บ้าน › ร้านเสริมสวย › คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

คู่มือฉบับสมบูรณ์ (2019) อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

ตารางที่ 2

ตารางที่ 1

แนวคิดเรื่องขีดจำกัดของตัวแปร อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ตารางอนุพันธ์ กฎของความแตกต่าง

วิธีการระบุฟังก์ชัน ประเภทของฟังก์ชันเบื้องต้น

ในการกำหนดฟังก์ชันหมายถึงการระบุกฎหรือกฎหมายตามค่าที่กำหนดของอาร์กิวเมนต์ เอ็กซ์กำหนดค่าฟังก์ชันที่สอดคล้องกันจะถูกกำหนด ที่.

ลองพิจารณาดู วิธีระบุฟังก์ชัน .

1. วิธีการวิเคราะห์ - การระบุฟังก์ชันโดยใช้สูตร ตัวอย่างเช่นการละลายของยาจากยาเม็ดเมื่อเตรียมสารละลายเป็นไปตามสมการ ม. = ม. 0 อี – นอต, ที่ไหน ม. 0และ ม –ตามลำดับ คือ เดิมและคงเหลืออยู่ในขณะที่เลิกกิจการ ทีปริมาณของสารยาในแท็บเล็ต เค –ค่าบวกคงที่บางส่วน

2. วิธีกราฟิก - นี่คืองานของฟังก์ชันในรูปของกราฟ ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้เครื่องตรวจคลื่นไฟฟ้าหัวใจ ค่าของความแตกต่างทางชีวภาพที่เกิดขึ้นระหว่างการทำงานของหัวใจจะถูกบันทึกลงบนกระดาษหรือบนจอคอมพิวเตอร์ ยูเป็นหน้าที่ของเวลา ที: ยู = ฉ(ที)

3. วิธีการแบบตาราง - นี่คือการกำหนดฟังก์ชันโดยใช้ตาราง วิธีการระบุฟังก์ชันนี้ใช้ในการทดลองและการสังเกต ตัวอย่างเช่น โดยการวัดอุณหภูมิร่างกายของผู้ป่วยในช่วงเวลาหนึ่ง คุณสามารถสร้างตารางค่าอุณหภูมิร่างกายได้ ตเป็นหน้าที่ของเวลา ที. จากข้อมูลแบบตาราง บางครั้งอาจเป็นไปได้ที่จะแสดงความสอดคล้องระหว่างอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชันโดยประมาณด้วยสูตร สูตรดังกล่าวเรียกว่าเชิงประจักษ์เช่น ได้รับจากประสบการณ์

ในทางคณิตศาสตร์มีความแตกต่าง ระดับประถมศึกษา และ ซับซ้อน ฟังก์ชั่น. ต่อไปนี้เป็นประเภทหลักของฟังก์ชันพื้นฐาน:

1. ฟังก์ชั่นพลังงาน – y = ฉ(x) = x n, ที่ไหน เอ็กซ์- การโต้แย้ง, n– จำนวนจริงใดๆ ( 1, 2, - 2, ฯลฯ)

2. ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง – y = ฉ(x) = a x, ที่ไหน ก- ถาวร จำนวนบวกแตกต่างจากความสามัคคี ( ก > 0, ก ≠ 0), ตัวอย่างเช่น:

y = 10 x (ก = 10);

y = อีเอ็กซ์ ; y = อี -x (a = อี γ 2.718…)

เรามาเน้นสองฟังก์ชันสุดท้ายกันที่เรียกว่า ฟังก์ชันเลขชี้กำลังหรือ ผู้แสดงสินค้าและอธิบายกระบวนการทางกายภาพ ชีวฟิสิกส์ เคมี และสังคมที่หลากหลาย นอกจากนี้ y = อี x –เลขชี้กำลังที่เพิ่มขึ้น y = อี - x– เลขชี้กำลังลดลง

3.ฟังก์ชันลอการิทึมด้วยเหตุผลใด ๆ ก: y = ขวานไม้ซุง, ที่ไหน y คือกำลังที่ต้องยกฐานของฟังก์ชันขึ้นเพื่อให้ได้มา หมายเลขที่กำหนด x คือ a y = x

ถ้าเป็นฐาน ก = 10, ที่ ยเรียกว่า ลอการิทึมทศนิยมตัวเลข xและถูกกำหนดไว้ y = บันทึก x; ถ้า ก=อี, ที่ ยเรียกว่า ลอการิทึมธรรมชาติตัวเลข xและถูกกำหนดไว้ y = 1n x.

ให้เรานึกถึงบ้าง กฎลอการิทึม :

ให้เลขสองตัวมา กและ ข, แล้ว:

· บันทึก (ab) = บันทึก a + บันทึก b;

· lg = แอลจี ก - แอลจี ข;

· lg ab = ข lg a;

จะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลงเมื่อเปลี่ยนสัญลักษณ์ แอลจีบน ln.

ยังมีประโยชน์ในการจำอีกด้วยว่า lg 10 = 1, ln e = 1, lg 1 = ln 1 = 0

4. ฟังก์ชันตรีโกณมิติ : y = บาป x, y = cos x, y = สีแทน xและอื่น ๆ.

นี่คือกราฟของฟังก์ชันพื้นฐานบางส่วน (ดูรูปที่ 1):

ปริมาณตัวแปรสามารถเปลี่ยนแปลงในลักษณะที่ในกระบวนการเพิ่มขึ้นหรือลดลง ปริมาณจะเข้าใกล้ค่าคงที่อันจำกัดซึ่งเป็นขีดจำกัดของมัน

A-ไพรเออรี่ ขีด จำกัด ของตัวแปร x คือค่าคงที่ A ซึ่งตัวแปร x เข้าใกล้ในกระบวนการเปลี่ยนแปลงเพื่อให้โมดูลัสของความแตกต่างระหว่าง x และ A คือ | x - A | มีแนวโน้มเป็นศูนย์.

สัญลักษณ์จำกัด: x→ กหรือ ลิม x = A(ที่นี่→เป็นสัญญาณของการ จำกัด การเปลี่ยนแปลง lim จากภาษาละติน จำกัด แปลเป็นภาษารัสเซีย - ขีด จำกัด ) ลองดูตัวอย่างง่ายๆ:

x: 0.9; 0.99; 0.999; 0.9999…→ 1, A = 1(lim x = 1) เพราะ

| x - ก |: 0.1; 0.01; 0.001; 0.0001…→ 0.

เรามาแนะนำแนวคิดกัน การเพิ่มอาร์กิวเมนต์และการเพิ่มฟังก์ชัน

หากเป็นตัวแปร เอ็กซ์เปลี่ยนค่าของมันจาก x1ก่อน x2แล้วความแตกต่าง x 2 – x 1 = ∆xเรียกว่าการเพิ่มอาร์กิวเมนต์และ ∆x(อ่านเดลต้า เอ็กซ์) เป็นสัญลักษณ์ที่เพิ่มขึ้นเพียงครั้งเดียว การเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันที่สอดคล้องกัน y 2 – y 1 = Δyเรียกว่าการเพิ่มฟังก์ชัน ลองแสดงสิ่งนี้บนกราฟของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)(รูปที่ 2) ในเชิงเรขาคณิต การเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์จะแสดงด้วยการเพิ่มขึ้นของค่า abscissa ของจุดบนเส้นโค้ง และการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะแสดงด้วยค่าเพิ่มของการเรียงลำดับของจุดนี้

อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนด y = f(x) เทียบกับอาร์กิวเมนต์ x คือขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน Δу ต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δx เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์ (Δx → 0)

อนุพันธ์ของฟังก์ชันแสดงแทน (อ่าน “ ที่โรคหลอดเลือดสมอง") หรือ หรือ หรือ ดี/ดีเอ็กซ์(อ่านว่า "เดอ" ยโดยเด x") ดังนั้นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)เท่ากับ:

(4)

กฎการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ย = ฉ(x)โดยการโต้แย้ง เอ็กซ์ที่มีอยู่ในคำจำกัดความของค่านี้: คุณต้องตั้งค่าส่วนเพิ่มของอาร์กิวเมนต์ ∆x, จงหาส่วนเพิ่มของฟังก์ชัน ∆yให้กำหนดอัตราส่วนและหาขีดจำกัดของอัตราส่วนนี้ได้ที่ Δх→ 0.

กระบวนการค้นหาอนุพันธ์เรียกว่าการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน นี่เป็นวิชาหนึ่งของวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูงที่เรียกว่า "แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์"

ตารางอนุพันธ์ของฟังก์ชันพื้นฐานหลักที่ได้รับตามกฎข้างต้นแสดงไว้ด้านล่าง

เลขที่	ประเภทของฟังก์ชัน	อนุพันธ์ของฟังก์ชัน
	คงที่ ย = ค	ย" = 0
	ฟังก์ชันยกกำลัง y = xn (n สามารถเป็นบวก ลบ จำนวนเต็ม เศษส่วน)	y" = nx n-1
	ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง y = a x (a > 0; a ≠ 1) y = อีเอ็กซ์ y = อี -x , y=e -kx (k=const)	y" = a x ln a ย" = อีเอ็กซ์ y" = - อี -x , y" = -k อี -kx
	ฟังก์ชันลอการิทึม y = บันทึก a x (a > 0; a ≠ 1) y = บันทึก x	ย" = ย" =
	ฟังก์ชันตรีโกณมิติ: y = บาป x y = cos x y = สีแทน x y = CTG x	y" = cos x y" = - บาป x ย" = ย" =

ถ้านิพจน์ที่ต้องการหาอนุพันธ์คือผลรวม ผลต่าง ผลคูณ หรือผลหารของฟังก์ชันต่างๆ เช่น ยู,โวลต์ ,zจากนั้นจะใช้กฎการสร้างความแตกต่างต่อไปนี้ (ตารางที่ 2)

ให้เรายกตัวอย่างการคำนวณอนุพันธ์โดยใช้ตารางที่ 1 และ 2

1. (x + บาป x)" = (x)" + (บาป x)" = 1 + cos x;

2. (x · บาป x)" = (x)" · บาป x + x · (บาป x)" = บาป x + x cos x;

4. (5 tgx)" = 5 (tg x)" =

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์คือกำหนดความเร็ว (อัตรา) ของการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน

ลองพิจารณาตัวอย่างการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรง ความเร็วของร่างกายเท่ากับอัตราส่วนของเส้นทาง ∆Sเคลื่อนไปตามร่างกายทันเวลา ∆t, ภายในช่วงเวลานี้ v = . หากการเคลื่อนไหวไม่สม่ำเสมอ อัตราส่วนคือความเร็วเฉลี่ยในส่วนนี้ของเส้นทาง และเรียกว่าความเร็วที่สอดคล้องกับแต่ละช่วงเวลาที่กำหนด ความเร็วทันทีและถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดของอัตราส่วนที่ ∆t→0, เช่น.

เมื่อสรุปผลลัพธ์ที่ได้รับแล้ว เราสามารถระบุอนุพันธ์ของฟังก์ชันได้ ฉ(x)ตามเวลา ทีคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันทันที แนวคิดเรื่องความเร็วชั่วขณะไม่ได้หมายถึงเฉพาะการเคลื่อนไหวทางกลเท่านั้น แต่ยังรวมถึงกระบวนการใดๆ ที่พัฒนาขึ้นเมื่อเวลาผ่านไปด้วย คุณสามารถค้นหาอัตราการหดตัวหรือคลายตัวของกล้ามเนื้อ อัตราการตกผลึกของสารละลาย อัตราการแข็งตัวของวัสดุอุด อัตราการแพร่กระจายของโรคระบาด เป็นต้น

ความหมาย การเร่งความเร็วทันทีในกระบวนการทั้งหมดนี้เท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันความเร็วเทียบกับเวลา:

. (5)

ในกลศาสตร์ หมายถึงอนุพันธ์อันดับสองของเส้นทางเทียบกับเวลา

แนวคิดเรื่องอนุพันธ์ซึ่งเป็นปริมาณที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันนั้นใช้สำหรับการขึ้นต่อกันต่างๆ ตัวอย่างเช่น คุณต้องค้นหาว่าอุณหภูมิเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนตามแท่งโลหะหากคุณให้ความร้อนที่ปลายด้านใดด้านหนึ่ง ใน ในกรณีนี้อุณหภูมิ - หน้าที่ของพิกัด x, เช่น. ที = ฉ(x)และแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิในอวกาศ

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) เทียบกับพิกัด x เรียกว่า การไล่ระดับสีฟังก์ชั่นนี้(มักใช้ตัวย่อ grad จากการไล่ระดับสีละติน) การไล่ระดับสีของตัวแปรต่างๆ คือปริมาณเวกเตอร์ ซึ่งมีทิศทางกำกับเสมอ ไปสู่การเพิ่มมูลค่าของตัวแปร .

โปรดทราบว่าการไล่ระดับของปริมาณจำนวนมากเป็นสาเหตุหนึ่งของกระบวนการเมแทบอลิซึมที่เกิดขึ้นในระบบทางชีววิทยา ตัวอย่างเช่น นี่คือการไล่ระดับความเข้มข้น การไล่ระดับศักย์ไฟฟ้าเคมี (μ - ตัวอักษรกรีก "mu") การไล่ระดับศักย์ไฟฟ้า

ตอนเล็กๆ ∆xสามารถเขียนได้:

. (6)

อนุพันธ์คืออะไร?
ความหมายและความหมายของฟังก์ชันอนุพันธ์

หลายคนจะแปลกใจกับตำแหน่งที่ไม่คาดคิดของบทความนี้ในหลักสูตรผู้เขียนของฉันเกี่ยวกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันของตัวแปรหนึ่งและการประยุกต์ ท้ายที่สุดแล้ว อย่างที่เคยเป็นมาตั้งแต่สมัยเรียน หนังสือเรียนมาตรฐานอันดับแรกเลยให้คำจำกัดความของอนุพันธ์ ความหมายทางเรขาคณิต และความหมายทางกล ต่อไป นักเรียนจะค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามคำจำกัดความ และในความเป็นจริงแล้ว นักเรียนจึงใช้เทคนิคการสร้างความแตกต่างให้สมบูรณ์แบบ ตารางอนุพันธ์.

แต่จากมุมมองของฉัน แนวทางต่อไปนี้เป็นแนวทางเชิงปฏิบัติมากกว่า: ประการแรก ขอแนะนำให้ทำความเข้าใจให้ดี ขีดจำกัดของฟังก์ชันและโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุด. ความจริงก็คือว่า คำจำกัดความของอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องขีดจำกัดซึ่งถือว่าไม่ดีในหลักสูตรของโรงเรียน นั่นคือเหตุผลที่ส่วนสำคัญของผู้บริโภคหินแกรนิตแห่งความรู้รุ่นเยาว์ไม่เข้าใจสาระสำคัญของอนุพันธ์ ดังนั้นหากคุณมีความรู้เพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์หรือมีสมองที่ชาญฉลาด ปีที่ยาวนานกำจัดสัมภาระนี้สำเร็จแล้ว กรุณาเริ่มด้วย ขีด จำกัด ของฟังก์ชัน. ในเวลาเดียวกัน ให้เชี่ยวชาญ/จดจำวิธีแก้ปัญหาของพวกเขา

ความหมายเชิงปฏิบัติเดียวกันกำหนดว่ามันได้เปรียบก่อน เรียนรู้ที่จะหาอนุพันธ์, รวมทั้ง อนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน. ทฤษฎีก็คือทฤษฎี แต่อย่างที่พวกเขาพูดกัน คุณมักจะต้องการแยกแยะเสมอ ในเรื่องนี้จะเป็นการดีกว่าถ้าเรียนบทเรียนพื้นฐานที่ระบุไว้และอาจเป็นไปได้ ต้นแบบของความแตกต่างโดยไม่ได้ตระหนักถึงแก่นแท้ของการกระทำของพวกเขาด้วยซ้ำ

ฉันขอแนะนำให้เริ่มต้นด้วยเนื้อหาในหน้านี้หลังจากอ่านบทความแล้ว ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับอนุพันธ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โดยที่พิจารณาปัญหาของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน แต่คุณสามารถรอได้ ความจริงก็คือการประยุกต์ใช้อนุพันธ์หลายอย่างไม่ต้องการความเข้าใจและไม่น่าแปลกใจที่บทเรียนเชิงทฤษฎีปรากฏค่อนข้างช้า - เมื่อฉันต้องการอธิบาย การหาช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น/ลดลง และสุดขั้วฟังก์ชั่น. นอกจากนี้เขายังอยู่ในหัวข้อนี้มาเป็นเวลานาน ฟังก์ชันและกราฟ” จนกระทั่งในที่สุดฉันก็ตัดสินใจวางไว้ก่อนหน้านี้

ดังนั้นกาน้ำชาที่รักอย่ารีบดูดซับสาระสำคัญของอนุพันธ์เช่นสัตว์ที่หิวโหยเพราะความอิ่มตัวจะไม่มีรสจืดและไม่สมบูรณ์

แนวคิดเรื่องการเพิ่ม ลด สูงสุด ต่ำสุดของฟังก์ชัน

มากมาย สื่อการสอนนำไปสู่แนวคิดเรื่องอนุพันธ์โดยใช้ปัญหาเชิงปฏิบัติ และฉันก็คิดขึ้นมาด้วย ตัวอย่างที่น่าสนใจ. ลองนึกภาพว่าเรากำลังจะเดินทางไปยังเมืองที่สามารถไปถึงได้หลายวิธี ให้ทิ้งทางโค้งที่คดเคี้ยวทันทีและพิจารณาเฉพาะทางหลวงที่เป็นทางตรงเท่านั้น อย่างไรก็ตาม เส้นทางที่เป็นเส้นตรงก็แตกต่างกันเช่นกัน คุณสามารถไปยังเมืองโดยใช้ทางหลวงสายเรียบได้ หรือตามทางหลวงที่เป็นเนินขึ้นลงขึ้นลง ถนนอีกสายหนึ่งขึ้นเขาเท่านั้น และอีกสายหนึ่งลงเนินตลอดเวลา ผู้ที่ชื่นชอบความเอ็กซ์ตรีมจะเลือกเส้นทางผ่านหุบเขาที่มีหน้าผาสูงชันและทางปีนสูงชัน

แต่ไม่ว่าคุณต้องการอะไร ขอแนะนำให้ทราบพื้นที่หรืออย่างน้อยก็มีแผนที่ภูมิประเทศ จะทำอย่างไรหากข้อมูลดังกล่าวหายไป? ท้ายที่สุดคุณสามารถเลือกได้เช่นเส้นทางเรียบ แต่ผลที่ตามมาก็สะดุดกับลานสกีกับฟินน์ที่ร่าเริง ไม่ใช่ความจริงที่ว่าเครื่องนำทางหรือแม้แต่ภาพถ่ายดาวเทียมจะให้ข้อมูลที่เชื่อถือได้ ดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะจัดทำเส้นทางบรรเทาทุกข์อย่างเป็นทางการโดยใช้คณิตศาสตร์

มาดูถนนกันบ้าง (วิวด้านข้าง) :

ในกรณีที่ฉันขอเตือนคุณถึงข้อเท็จจริงเบื้องต้น: การเดินทางเกิดขึ้น จากซ้ายไปขวา. เพื่อความง่าย เราจะถือว่าฟังก์ชันนั้น อย่างต่อเนื่องในพื้นที่ที่พิจารณา

กราฟนี้มีคุณสมบัติอะไรบ้าง?

เป็นระยะ การทำงาน เพิ่มขึ้นนั่นคือแต่ละค่าถัดไปของมัน มากกว่าก่อนหน้านี้. พูดคร่าวๆ ก็คือกำหนดการเปิดอยู่ ลงขึ้น(เราปีนขึ้นไปบนเนินเขา) และตามช่วงเวลาของฟังก์ชัน ลดลง– แต่ละค่าถัดไป น้อยก่อนหน้านี้ และกำหนดการของเราเปิดอยู่ จากบนลงล่าง(เราลงไปตามทางลาด)

มาดูประเด็นพิเศษกันด้วย เมื่อถึงจุดที่เราไปถึง ขีดสุด, นั่นคือ มีอยู่จริงส่วนของเส้นทางที่มีค่ามากที่สุด (สูงสุด) ในจุดเดียวกันก็บรรลุผลแล้ว ขั้นต่ำ, และ มีอยู่จริงบริเวณใกล้เคียงซึ่งค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด)

เราจะดูคำศัพท์และคำจำกัดความที่เข้มงวดยิ่งขึ้นในชั้นเรียน เกี่ยวกับสุดขั้วของฟังก์ชันแต่สำหรับตอนนี้เรามาศึกษากันอีกเรื่องหนึ่ง คุณสมบัติที่สำคัญ: เป็นระยะๆ ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น แต่มันเพิ่มขึ้น ด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน. และสิ่งแรกที่ดึงดูดสายตาของคุณก็คือกราฟจะทะยานขึ้นในช่วงเวลานั้น เจ๋งกว่ามากมากกว่าในช่วงเวลา เป็นไปได้ไหมที่จะวัดความชันของถนนโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์?

อัตราการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน

แนวคิดก็คือ: ลองหาค่าดูบ้าง (อ่านว่า "เดลต้า x")ซึ่งเราจะเรียกว่า อาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นและเรามาเริ่ม “ลองใช้” ไปยังจุดต่างๆ บนเส้นทางของเรากันดีกว่า:

1) ลองดูที่จุดซ้ายสุด: ผ่านระยะทางเราปีนขึ้นไปให้สูง ( สายสีเขียว). เรียกว่าปริมาณ เพิ่มฟังก์ชันและในกรณีนี้การเพิ่มขึ้นนี้จะเป็นค่าบวก (ความแตกต่างของค่าตามแกนมากกว่าศูนย์) มาสร้างอัตราส่วนที่จะเป็นตัววัดความชันของถนนเรากันดีกว่า แน่นอนว่านี่เป็นจำนวนที่เฉพาะเจาะจงมาก และเนื่องจากการเพิ่มขึ้นทั้งสองค่าเป็นบวก ดังนั้น

ความสนใจ! การกำหนดคือ หนึ่งสัญลักษณ์นั่นคือคุณไม่สามารถ "ฉีก" "เดลต้า" ออกจาก "X" และพิจารณาตัวอักษรเหล่านี้แยกกัน แน่นอนว่าความคิดเห็นยังเกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์การเพิ่มฟังก์ชันด้วย

มาสำรวจธรรมชาติของเศษส่วนผลลัพธ์อย่างมีความหมายมากขึ้นกันดีกว่า เบื้องต้นให้อยู่ที่ความสูง 20 เมตร (จุดดำด้านซ้าย) เมื่อครอบคลุมระยะทางเมตร (เส้นสีแดงซ้าย) เราจะพบว่าตัวเองอยู่ที่ระดับความสูง 60 เมตร จากนั้นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะเป็น เมตร (สายสีเขียว) และ: . ดังนั้น, ในทุกเมตรส่วนนี้ของถนน ความสูงเพิ่มขึ้น เฉลี่ย 4 เมตร...ลืมอุปกรณ์ปีนเขา? =) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นจะแสดงลักษณะเฉพาะของอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (ในกรณีนี้คือการเติบโต) ของฟังก์ชัน

บันทึก : ค่าตัวเลขของตัวอย่างที่เป็นปัญหานั้นสอดคล้องกับสัดส่วนของรูปวาดโดยประมาณเท่านั้น

2) ทีนี้ลองไปเป็นระยะทางเดียวกันจากจุดดำขวาสุด การเพิ่มขึ้นที่นี่จะค่อยเป็นค่อยไปมากขึ้น ดังนั้นการเพิ่มขึ้น (เส้นสีแดงเข้ม) จึงค่อนข้างน้อย และอัตราส่วนเมื่อเปรียบเทียบกับกรณีก่อนหน้าจะค่อนข้างเจียมเนื้อเจียมตัวมาก พูดค่อนข้าง, เมตรและ อัตราการเติบโตของฟังก์ชันเป็น . นั่นคือที่นี่ทุกเมตรของเส้นทางที่มี เฉลี่ยสูงขึ้นครึ่งเมตร

3) การผจญภัยเล็กๆ บนไหล่เขา ลองดูจุดสีดำด้านบนที่อยู่บนแกนกำหนด สมมติว่านี่คือเครื่องหมาย 50 เมตร เราเอาชนะระยะทางอีกครั้งซึ่งส่งผลให้เราพบว่าตัวเองต่ำกว่า - ที่ระดับ 30 เมตร เนื่องจากมีการเคลื่อนไหว จากบนลงล่าง(ในทิศทาง “ทวน” ของแกน) จากนั้นสุดท้าย การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน (ความสูง) จะเป็นค่าลบ: เมตร (ส่วนสีน้ำตาลในรูปวาด) และในกรณีนี้เรากำลังพูดถึงอยู่แล้ว อัตราการลดลงคุณสมบัติ: กล่าวคือ ความสูงจะลดลงทุกเมตรของเส้นทางในส่วนนี้ เฉลี่ยคูณ 2 เมตร ดูแลเสื้อผ้าของคุณในจุดที่ห้า

ทีนี้ลองถามตัวเองดูว่า "มาตรฐานการวัด" ควรใช้ค่าใดดีที่สุด เข้าใจได้ดีมาก 10 เมตรนั้นหยาบมาก ฮัมม็อกหลายสิบอันสามารถใส่เข้ากับพวกมันได้อย่างง่ายดาย ไม่ว่าจะมีเนินอะไรบ้าง ด้านล่างก็อาจมีหุบเขาลึก และหลังจากนั้นไม่กี่เมตรก็จะถึงอีกฝั่งที่มีความชันเพิ่มขึ้นอีก ดังนั้นในระยะสิบเมตรเราจะไม่ได้คำอธิบายที่เข้าใจได้ของส่วนต่างๆ ของเส้นทางผ่านอัตราส่วน .

จากการสนทนาข้างต้นมีข้อสรุปดังต่อไปนี้: ค่าที่ต่ำกว่ายิ่งเราอธิบายภูมิประเทศของถนนได้แม่นยำมากขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้ข้อเท็จจริงต่อไปนี้เป็นจริง:

– สำหรับใครก็ตามยกจุด คุณสามารถเลือกค่า (แม้ว่าจะน้อยมาก) ที่เหมาะกับขอบเขตของการเพิ่มขึ้นครั้งใดครั้งหนึ่งได้ ซึ่งหมายความว่าการเพิ่มความสูงที่สอดคล้องกันจะรับประกันว่าจะเป็นบวก และความไม่เท่าเทียมกันจะระบุการเติบโตของฟังก์ชันในแต่ละจุดของช่วงเวลาเหล่านี้อย่างถูกต้อง

- เช่นเดียวกัน, เพื่อสิ่งใดๆจุดความชัน มีค่าที่จะพอดีกับความชันนี้โดยสมบูรณ์ ดังนั้น ความสูงที่เพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกันจึงเป็นลบอย่างชัดเจน และความไม่เท่าเทียมกันจะแสดงการลดลงของฟังก์ชันในแต่ละจุดของช่วงเวลาที่กำหนดอย่างถูกต้อง

– กรณีที่น่าสนใจอย่างยิ่งคือเมื่ออัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเป็นศูนย์: . ประการแรก การเพิ่มความสูงเป็นศูนย์ () เป็นสัญลักษณ์ของเส้นทางที่ราบรื่น และประการที่สอง มีสถานการณ์ที่น่าสนใจอื่นๆ ดังตัวอย่างที่คุณเห็นในภาพ ลองนึกภาพว่าโชคชะตานำเราไปสู่ยอดเขาที่มีนกอินทรีบินโผบิน หรือด้านล่างของหุบเขาที่มีกบส่งเสียงร้อง หากคุณก้าวเล็กๆ ไปในทิศทางใดๆ การเปลี่ยนแปลงความสูงจะน้อยมาก และเราสามารถพูดได้ว่าอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันนั้นเป็นศูนย์จริงๆ นี่คือภาพที่สังเกตได้ตรงจุด

ดังนั้นเราจึงได้รับโอกาสอันน่าทึ่งที่จะระบุลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันได้อย่างแม่นยำอย่างสมบูรณ์แบบ ท้ายที่สุดแล้วการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทำให้สามารถควบคุมการเพิ่มอาร์กิวเมนต์ให้เป็นศูนย์ได้: นั่นคือเพื่อทำให้ ไม่มีที่สิ้นสุด.

เป็นผลให้มีคำถามเชิงตรรกะอีกประการหนึ่งเกิดขึ้น: เป็นไปได้หรือไม่ที่จะค้นหาถนนและกำหนดการ ฟังก์ชั่นอื่น, ที่ จะแจ้งให้เราทราบเกี่ยวกับพื้นที่ราบ ทางขึ้น ทางลง ยอดเขา หุบเขา รวมถึงอัตราการเติบโต/ลดลงในแต่ละจุดระหว่างทางหรือไม่

อนุพันธ์คืออะไร? ความหมายของอนุพันธ์
ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์และอนุพันธ์

โปรดอ่านอย่างละเอียดและไม่เร็วเกินไป - เนื้อหานี้เรียบง่ายและทุกคนเข้าถึงได้! ไม่เป็นไรหากในบางสถานที่มีบางอย่างดูไม่ชัดเจน คุณสามารถกลับมาที่บทความได้ในภายหลัง ฉันจะพูดมากกว่านี้มีประโยชน์ในการศึกษาทฤษฎีหลายครั้งเพื่อที่จะเข้าใจประเด็นทั้งหมดอย่างถี่ถ้วน (คำแนะนำนี้เกี่ยวข้องโดยเฉพาะกับนักเรียน "เทคนิค" ซึ่งคณิตศาสตร์ระดับสูงมีบทบาทสำคัญในกระบวนการศึกษา)

โดยธรรมชาติแล้ว ในคำจำกัดความของอนุพันธ์ ณ จุดหนึ่ง เราจะแทนที่มันด้วย:

เรามาเพื่ออะไร? และเราก็ได้ข้อสรุปว่าสำหรับการทำงานตามกฎหมาย ถูกวางให้สอดคล้อง ฟังก์ชั่นอื่น ๆ, ซึ่งถูกเรียกว่า ฟังก์ชันอนุพันธ์(หรือเพียงแค่ อนุพันธ์).

อนุพันธ์มีลักษณะเฉพาะ อัตราการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชั่น ยังไง? แนวคิดนี้ดำเนินไปเหมือนด้ายแดงตั้งแต่ต้นบทความ ลองพิจารณาบางประเด็น ขอบเขตของคำจำกัดความฟังก์ชั่น ปล่อยให้ฟังก์ชันหาอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนดได้ แล้ว:

1) ถ้า ฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้น ณ จุดนั้น และเห็นได้ชัดว่ามี ช่วงเวลา(แม้จะเล็กมากก็ตาม) ซึ่งมีจุดที่ฟังก์ชันเติบโตขึ้น และกราฟของมันจะไป "จากล่างขึ้นบน"

2) ถ้า ฟังก์ชันจะลดลงตรงจุดนั้น และมีช่วงเวลาหนึ่งซึ่งมีจุดที่ฟังก์ชันลดลง (กราฟเปลี่ยนจากบนลงล่าง)

3) ถ้า แล้ว ปิดอนันต์เมื่ออยู่ใกล้จุดที่ฟังก์ชันจะรักษาความเร็วให้คงที่ สิ่งนี้เกิดขึ้นตามที่ระบุไว้ด้วยฟังก์ชันคงที่และ ที่จุดวิกฤตของฟังก์ชัน, โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ที่จุดต่ำสุดและสูงสุด.

ความหมายเล็กน้อย คำกริยา "differentiate" หมายถึงอะไรในความหมายกว้างๆ การแยกความแตกต่างหมายถึงการเน้นคุณลักษณะ ด้วยการสร้างความแตกต่างให้กับฟังก์ชัน เราจะ "แยก" อัตราการเปลี่ยนแปลงในรูปแบบของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน คำว่า "อนุพันธ์" หมายถึงอะไร? การทำงาน เกิดขึ้นจากฟังก์ชัน

คำศัพท์เหล่านี้ตีความได้สำเร็จมากโดยความหมายเชิงกลของอนุพันธ์ :
ให้เราพิจารณากฎแห่งการเปลี่ยนแปลงพิกัดของร่างกายตามเวลาและหน้าที่ของความเร็วการเคลื่อนที่ของร่างกายที่กำหนด ฟังก์ชันนี้แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของพิกัดของร่างกาย ดังนั้นจึงเป็นอนุพันธ์อันดับหนึ่งของฟังก์ชันตามเวลา: ถ้าแนวคิดเรื่อง “การเคลื่อนไหวร่างกาย” ไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ก็คงไม่มี อนุพันธ์แนวคิดเรื่อง "ความเร็วของร่างกาย"

ความเร่งของร่างกายคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว ดังนั้น: ถ้าแนวคิดเริ่มต้นของ "การเคลื่อนไหวของร่างกาย" และ "ความเร็วของร่างกาย" ไม่มีอยู่ในธรรมชาติ ก็จะไม่มีอยู่จริง อนุพันธ์แนวคิดเรื่อง “ความเร่งของร่างกาย”

แต่จากมุมมองของฉัน วิธีการต่อไปนี้เป็นแนวทางเชิงปฏิบัติมากกว่า: ก่อนอื่น ขอแนะนำให้เข้าใจขีด จำกัด ของฟังก์ชันให้ดี และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริมาณที่ไม่มีที่สิ้นสุด. ความจริงก็คือว่า

คำจำกัดความของอนุพันธ์ขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องขีดจำกัด ซึ่งถือว่าไม่ดีในหลักสูตรของโรงเรียน นั่นคือเหตุผลที่ส่วนสำคัญของผู้บริโภคหินแกรนิตแห่งความรู้รุ่นเยาว์ไม่เข้าใจสาระสำคัญของอนุพันธ์ ดังนั้น หากคุณมีความเข้าใจเพียงเล็กน้อยเกี่ยวกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ หรือสมองที่ฉลาดสามารถกำจัดภาระนี้ไปได้สำเร็จในช่วงหลายปีที่ผ่านมา โปรดเริ่มด้วยขีด จำกัด ของฟังก์ชัน . ในเวลาเดียวกัน ให้เชี่ยวชาญ/จดจำวิธีแก้ปัญหาของพวกเขา

ความหมายเชิงปฏิบัติเดียวกันกำหนดว่ามันได้เปรียบก่อน

เรียนรู้การหาอนุพันธ์รวมถึงอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ซับซ้อน . ทฤษฎีก็คือทฤษฎี แต่อย่างที่พวกเขาพูดกัน คุณมักจะต้องการแยกแยะเสมอ ในเรื่องนี้จะเป็นการดีกว่าถ้าเรียนบทเรียนพื้นฐานที่ระบุไว้และอาจเป็นไปได้ต้นแบบของความแตกต่าง โดยไม่ได้ตระหนักถึงแก่นแท้ของการกระทำของพวกเขาด้วยซ้ำ

ฉันขอแนะนำให้เริ่มต้นด้วยเนื้อหาในหน้านี้หลังจากอ่านบทความแล้ว ปัญหาที่ง่ายที่สุดเกี่ยวกับอนุพันธ์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง โดยที่พิจารณาปัญหาของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน แต่คุณสามารถรอได้ ความจริงก็คือการประยุกต์ใช้อนุพันธ์หลายอย่างไม่ต้องการความเข้าใจและไม่น่าแปลกใจที่บทเรียนเชิงทฤษฎีปรากฏค่อนข้างช้า - เมื่อฉันต้องการอธิบาย การหาช่วงเวลาที่เพิ่มขึ้น/ลดลง และสุดขั้วฟังก์ชั่น. นอกจากนี้เขายังอยู่ในหัวข้อนี้มาเป็นเวลานาน ฟังก์ชันและกราฟ” จนกระทั่งในที่สุดฉันก็ตัดสินใจวางไว้ก่อนหน้านี้

แนวคิดเรื่องการเพิ่ม ลด สูงสุด ต่ำสุดของฟังก์ชัน

หนังสือเรียนหลายเล่มแนะนำแนวคิดเรื่องอนุพันธ์โดยอาศัยความช่วยเหลือจากปัญหาเชิงปฏิบัติบางเล่ม และฉันก็เกิดตัวอย่างที่น่าสนใจขึ้นมาด้วย ลองนึกภาพว่าเรากำลังจะเดินทางไปยังเมืองที่สามารถไปถึงได้หลายวิธี ให้ทิ้งทางโค้งที่คดเคี้ยวทันทีและพิจารณาเฉพาะทางหลวงที่เป็นทางตรงเท่านั้น อย่างไรก็ตาม เส้นทางที่เป็นเส้นตรงก็แตกต่างกันเช่นกัน คุณสามารถไปยังเมืองโดยใช้ทางหลวงสายเรียบได้ หรือตามทางหลวงที่เป็นเนินขึ้นลงขึ้นลง ถนนอีกสายหนึ่งขึ้นเขาเท่านั้น และอีกสายหนึ่งลงเนินตลอดเวลา ผู้ที่ชื่นชอบความเอ็กซ์ตรีมจะเลือกเส้นทางผ่านหุบเขาที่มีหน้าผาสูงชันและทางปีนสูงชัน

ภาพถ่ายดาวเทียมจะให้ข้อมูลที่เชื่อถือได้ ดังนั้นจึงเป็นการดีที่จะจัดทำเส้นทางบรรเทาทุกข์อย่างเป็นทางการโดยใช้คณิตศาสตร์

มาดูถนนกันบ้าง (วิวด้านข้าง) :

ในกรณีที่ฉันเตือนคุณถึงข้อเท็จจริงเบื้องต้น: การเดินทางเกิดขึ้นจากซ้ายไปขวา เพื่อความง่าย เราถือว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในพื้นที่ที่พิจารณา

กราฟนี้มีคุณสมบัติอะไรบ้าง?

เป็นระยะ ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้น กล่าวคือ แต่ละค่าถัดไปจะมากกว่าค่าก่อนหน้า พูดโดยคร่าวๆ กราฟจะเปลี่ยนจากล่างขึ้นบน (เราปีนเนินเขา) และในช่วงเวลาที่ฟังก์ชันลดลง - แต่ละค่าถัดไปจะน้อยกว่าค่าก่อนหน้า และกราฟของเราเปลี่ยนจากบนลงล่าง (เราลงไปตามทางลาด)

มาดูประเด็นพิเศษกันด้วย เมื่อถึงจุดที่เราอยู่

เราไปถึงจุดสูงสุด นั่นคือ มีส่วนหนึ่งของเส้นทางที่ค่าจะมากที่สุด (สูงสุด) เมื่อถึงจุด g ถึงค่าต่ำสุดแล้ว และมีพื้นที่ใกล้เคียงที่มีค่าน้อยที่สุด (ต่ำสุด)

เราจะดูคำศัพท์และคำจำกัดความที่เข้มงวดยิ่งขึ้นในชั้นเรียน เกี่ยวกับสุดขั้วของฟังก์ชันแต่สำหรับตอนนี้ เรามาศึกษาคุณลักษณะที่สำคัญอีกประการหนึ่งกัน: ตามช่วงเวลา ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น แต่มันเพิ่มขึ้น ด้วยความเร็วที่แตกต่างกัน. และสิ่งแรกที่สะดุดตาคุณก็คือกราฟพุ่งสูงขึ้นตามช่วงเวลา เจ๋งกว่ามากกว่าในช่วงเวลา เป็นไปได้ไหมที่จะวัดความชันของถนนโดยใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์?

อัตราการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชัน

แนวคิดก็คือ: ลองหาค่าดูบ้าง

(อ่านว่า "เดลต้า x") ซึ่งเราจะเรียกว่าอาร์กิวเมนต์เพิ่มขึ้นและเรามาเริ่ม “ลองใช้” ไปยังจุดต่างๆ บนเส้นทางของเรากันดีกว่า:

1) ลองดูที่จุดซ้ายสุด: ผ่านระยะทางเราปีนขึ้นไปให้สูง (เส้นสีเขียว) เรียกว่าปริมาณ เพิ่มฟังก์ชันและในกรณีนี้การเพิ่มขึ้นนี้จะเป็นค่าบวก (ความแตกต่างของค่าตามแกนจะมากกว่า

ศูนย์). มาสร้างอัตราส่วนที่จะเป็นตัววัดความชันของถนนเรากันดีกว่า แน่นอนว่านี่เป็นจำนวนที่เฉพาะเจาะจงมาก และเนื่องจากการเพิ่มขึ้นทั้งสองค่านั้นเป็นค่าบวก

ความสนใจ! การกำหนดเป็นสัญลักษณ์เดียวนั่นคือคุณไม่สามารถ "แยก" "เดลต้า" ออกจาก "X" และพิจารณาตัวอักษรเหล่านี้แยกกัน แน่นอนว่าความคิดเห็นยังเกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์การเพิ่มฟังก์ชันด้วย

มาสำรวจธรรมชาติของเศษส่วนผลลัพธ์อย่างมีความหมายมากขึ้นกันดีกว่า อนุญาต

ตอนแรกเราอยู่ที่ระดับความสูง 20 เมตร (จุดดำด้านซ้าย) เมื่อครอบคลุมระยะทางเมตร (เส้นสีแดงซ้าย) เราจะพบว่าตัวเองอยู่ที่ระดับความสูง 60 เมตร จากนั้นการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันจะเป็น

เมตร (สายสีเขียว) และ:. ดังนั้น

ดังนั้นในทุกเมตรของถนนส่วนนี้ ความสูงเพิ่มขึ้นเฉลี่ย 4 เมตร...ลืมอุปกรณ์ปีนเขาไปหรือเปล่า? =) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสัมพันธ์ที่สร้างขึ้นจะแสดงลักษณะเฉพาะของอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (ในกรณีนี้คือการเติบโต) ของฟังก์ชัน

หมายเหตุ: ค่าตัวเลขของตัวอย่างที่เป็นปัญหาสอดคล้องกับสัดส่วนของรูปวาดโดยประมาณเท่านั้น

2) ทีนี้ลองไปเป็นระยะทางเดียวกันจากจุดดำขวาสุด การเพิ่มขึ้นที่นี่มีความอ่อนโยนมากขึ้น ดังนั้นการเพิ่มขึ้น

(เส้นสีแดงเข้ม) มีขนาดค่อนข้างเล็กและมีอัตราส่วนอยู่

เมื่อเทียบกับกรณีก่อนหน้านี้จะเจียมเนื้อเจียมตัวมาก พูดค่อนข้าง, เมตรและ อัตราการเติบโตของฟังก์ชัน

เป็น . นั่นคือที่นี่ทุก ๆ เมตรของเส้นทางจะมีการขึ้นเฉลี่ยครึ่งเมตร

3) การผจญภัยเล็กๆ บนไหล่เขา ลองดูจุดสีดำด้านบนที่อยู่บนแกนกำหนด สมมติว่านี่คือเครื่องหมาย 50 เมตร เราเอาชนะระยะทางอีกครั้งซึ่งส่งผลให้เราพบว่าตัวเองต่ำกว่า - ที่ระดับ 30 เมตร เนื่องจากการเคลื่อนไหวเป็นจากบนลงล่าง (ในทิศทาง "ตัวนับ" ของแกน) จึงถือเป็นขั้นสุดท้าย การเพิ่มขึ้นของฟังก์ชัน (ความสูง) จะเป็นค่าลบ:เมตร (ส่วนสีน้ำตาลในรูปวาด) และในกรณีนี้ เรากำลังพูดถึงความเร็ว

ฟังก์ชั่นจากมากไปน้อย: กล่าวคือ สำหรับทุกเมตรของเส้นทาง

ความสูงของส่วนนี้จะลดลงโดยเฉลี่ย 2 เมตร ดูแลเสื้อผ้าของคุณในจุดที่ห้า

ทีนี้ลองถามตัวเองดูว่า "มาตรฐานการวัด" ควรใช้ค่าใดดีที่สุด เข้าใจได้ดีมาก 10 เมตรนั้นหยาบมาก ฮัมม็อกหลายสิบอันสามารถใส่เข้ากับพวกมันได้อย่างง่ายดาย ไม่ว่าจะมีเนินอะไรบ้าง ด้านล่างก็อาจมีหุบเขาลึก และหลังจากนั้นไม่กี่เมตรก็จะถึงอีกฝั่งที่มีความชันเพิ่มขึ้นอีก ดังนั้นในระยะสิบเมตรเราจะไม่ได้รับคำอธิบายที่เข้าใจได้ของส่วนต่างๆ ของเส้นทางดังกล่าว

ความสัมพันธ์ .

จากการสนทนาข้างต้นมีข้อสรุปดังต่อไปนี้: ค่าที่ต่ำกว่ายิ่งเราอธิบายภูมิประเทศของถนนได้แม่นยำมากขึ้นเท่านั้น นอกจากนี้พวกเขายังมีความยุติธรรมอีกด้วย

ความหมายทางกายภาพทางเลือกของแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

นิโคไล ไบรเลฟ

บทความสำหรับคนที่คิดไปเอง สำหรับผู้ที่ไม่เข้าใจว่าเราสามารถรับรู้ได้อย่างไรด้วยความช่วยเหลือจากสิ่งที่ไม่สามารถรับรู้ได้ และด้วยเหตุนี้จึงไม่เห็นด้วยกับการนำแนวคิดที่ไม่สามารถรับรู้มาสู่เครื่องมือของการรับรู้ได้: "อนันต์" "ความสิ้นคิดจนเป็นศูนย์" "ไม่สิ้นสุด" "เพื่อนบ้านของ จุด” ฯลฯ .P.

จุดประสงค์ของบทความนี้ไม่ได้วิพากษ์วิจารณ์แนวคิดในการแนะนำความรู้พื้นฐานที่มีประโยชน์มากในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์ แนวคิดเรื่องอนุพันธ์ของฟังก์ชัน(ส่วนต่าง) แต่ต้องเข้าใจอย่างลึกซึ้ง ในแง่กายภาพบนพื้นฐานของการพึ่งพาวิทยาศาสตร์ธรรมชาติทั่วโลกโดยทั่วไป เป้าหมายคือการมอบแนวคิด อนุพันธ์ของฟังก์ชัน(ส่วนต่าง) โครงสร้างเหตุและผลและ ความหมายลึกซึ้ง ฟิสิกส์ปฏิสัมพันธ์. ความหมายนี้เป็นไปไม่ได้ที่จะคาดเดาในปัจจุบัน เนื่องจากแนวคิดที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปได้รับการปรับให้เข้ากับแนวทางทางคณิตศาสตร์ที่เป็นทางการและมีเงื่อนไข ไม่เข้มงวด ของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์

1.1 แนวคิดคลาสสิกของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

เริ่มต้นด้วยให้เราหันไปหาสิ่งที่ใช้กันทั่วไปซึ่งเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปซึ่งมีมาเกือบสามศตวรรษซึ่งกลายเป็นเรื่องคลาสสิก แนวคิดทางคณิตศาสตร์ (คำจำกัดความ) ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (ดิฟเฟอเรนเชียล).

แนวคิดนี้อธิบายไว้ในหนังสือเรียนหลายเล่มในลักษณะเดียวกันและประมาณนี้

ปล่อยให้คุณค่าของคุณ ขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์ x เป็นคุณ = ฉ(x) ถ้าฉ(x ) ได้รับการแก้ไขที่จุดสองจุดในค่าอาร์กิวเมนต์: x 2 , x 1, จากนั้นเราจะได้ปริมาณคุณ 1 = f (x 1 ) และ คุณ 2 = f (x 2 ). ผลต่างของค่าอาร์กิวเมนต์สองค่า x 2 , x 1 ลองเรียกมันว่าอาร์กิวเมนต์ที่เพิ่มขึ้นและแสดงว่าเป็น Δ x = x 2 - x 1 (เพราะฉะนั้น x 2 = x 1 + Δ เอ็กซ์) . หากอาร์กิวเมนต์เปลี่ยนเป็น Δ x = x 2 - x 1, จากนั้นฟังก์ชันจะเปลี่ยนไป (เพิ่มขึ้น) ตามความแตกต่างระหว่างค่าฟังก์ชันสองค่าคุณ 1 = ฉ (x 1 ), คุณ 2 = ฉ (x 2 ) ตามค่าของฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นΔf. มักจะเขียนดังนี้:

Δf= คุณ 1 - คุณ 2 = ฉ (x 2 ) - ฉ (x 1 ) . หรือกำลังพิจารณาอยู่ว่า x 2 = x 1 + Δ x เราสามารถเขียนได้ว่าการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันเท่ากับΔf= ฉ (x 1 + ∆x)- ฉ (x 1 ). และการเปลี่ยนแปลงนี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติในช่วงของค่าที่เป็นไปได้ของฟังก์ชัน x 2 และ x 1, .

เชื่อกันว่าหากมีคุณค่า x2 และ x1, ปิดอนันต์ในขนาดซึ่งกันและกันแล้ว Δ x = x 2 - x 1, - ไม่มีที่สิ้นสุด.

ความหมายของอนุพันธ์: อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f (x) ที่จุด x 0 เรียกว่าขีดจำกัดของอัตราส่วนการเพิ่มฟังก์ชัน Δฉ ณ จุดนี้จนถึงการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ Δх เมื่อค่าหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์ (น้อยที่สุด) มันเขียนแบบนี้

ลิม ∆x →0 (Δf(x 0)/ ∆x)=ลิม ∆x→0 ((ฉ (x + ∆x)-f (x 0))/ ∆x)=ฉ ` (x0)

การหาอนุพันธ์เรียกว่า ความแตกต่าง . แนะนำตัว นิยามของฟังก์ชันเชิงอนุพันธ์ : การทำงาน ฉ การมีอนุพันธ์ในแต่ละจุดของช่วงเวลาหนึ่ง เรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ในช่วงเวลานี้

1.2 ความหมายทางกายภาพที่ยอมรับโดยทั่วไปของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

และตอนนี้ เกี่ยวกับความหมายทางกายภาพที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปของอนุพันธ์ .

เกี่ยวกับเธอที่เรียกว่า ทางกายภาพ, หรือว่า .. แทน กายภาพเทียมและความหมายทางเรขาคณิตสามารถอ่านได้ในตำราคณิตศาสตร์ทุกเล่ม (แคลคูลัส แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์) ฉันจะสรุปเนื้อหาโดยย่อตามหัวข้อ เกี่ยวกับแก่นแท้ทางกายภาพของเธอ:

ความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์ x`(ต ) จากฟังก์ชันต่อเนื่อง x (t) ที่จุด t 0 – คืออัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีของค่าของฟังก์ชัน โดยมีเงื่อนไขว่าการเปลี่ยนแปลงในอาร์กิวเมนต์ Δที มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์

และเพื่ออธิบายเรื่องนี้ให้นักเรียนฟัง ความหมายทางกายภาพครูอาจทำเช่นนี้

ลองนึกภาพว่าคุณกำลังบินอยู่บนเครื่องบินและมีนาฬิกาอยู่ในมือ เวลาคุณบินคุณมีความเร็วเท่ากับความเร็วของเครื่องบินใช่ไหม?” ครูพูดกับผู้ฟัง

ใช่! นักเรียนตอบ

ความเร็วของคุณและเครื่องบินในแต่ละช่วงเวลาบนนาฬิกาของคุณเป็นเท่าใด

ความเร็วเท่าความเร็วเครื่องบิน! - นักเรียนเก่งและเก่งตอบพร้อมเพรียงกัน

ไม่ใช่อย่างนั้น” ครูอธิบาย – ความเร็วตามแนวคิดทางกายภาพคือเส้นทางที่เครื่องบินเดินทางในหน่วยเวลา (เช่น ในหนึ่งชั่วโมง (กม./ชม.)) และเมื่อคุณดูนาฬิกา จะมีเพียงชั่วครู่หนึ่งเท่านั้นที่ผ่านไป ดังนั้น, ความเร็วทันที (ระยะทางที่เดินทางในทันที) เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่อธิบายเส้นทางของเครื่องบินในเวลา ความเร็วชั่วขณะคือความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์

1.3 ปัญหาความเข้มงวดของวิธีการในการสร้างแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันอนุพันธ์

ก ผู้ชมนักศึกษาที่สอนโดยระบบการศึกษาลาออกทันทีและครบถ้วนเรียนรู้ความจริงที่น่าสงสัยตามกฎแล้วไม่ถามคำถามกับครูเพิ่มเติม แนวคิดและความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์. แต่บุคคลที่อยากรู้อยากเห็น ลึกซึ้ง และคิดอย่างอิสระไม่สามารถเข้าใจได้ว่านี่เป็นความจริงทางวิทยาศาสตร์ที่เข้มงวด เขาจะถามคำถามจำนวนหนึ่งอย่างแน่นอนซึ่งเขาจะไม่ได้รับคำตอบที่สมเหตุสมผลจากอาจารย์ระดับใด ๆ อย่างชัดเจน คำถามมีดังนี้

1. แนวคิด (สำนวน) ของวิทยาศาสตร์ "แน่นอน" - คณิตศาสตร์เป็นเช่น: ช่วงเวลา - ค่าเล็กน้อยอย่างไม่สิ้นสุด, ความทะเยอทะยานสู่ศูนย์, ความทะเยอทะยานสู่อนันต์, ความเล็ก, อนันต์, ความทะเยอทะยาน? ทำอย่างไร รับรู้สาระสำคัญบางประการในขนาดของการเปลี่ยนแปลง ในขณะที่ดำเนินการด้วยแนวคิดที่ไม่รู้ไม่มีขนาด? มากกว่า อริสโตเติลผู้ยิ่งใหญ่ (384–322 ปีก่อนคริสตกาล) ในบทที่ 4 ของบทความเรื่อง “ฟิสิกส์” ตั้งแต่สมัยโบราณกล่าวว่า: “ถ้าอนันต์เนื่องจากเป็นอนันต์ไม่อาจหยั่งรู้ได้ ดังนั้น ปริมาณหรือขนาดอนันต์ก็หยั่งรู้ได้ ความยิ่งใหญ่เพียงใด และรูปลักษณ์อันอนันต์นั้นไม่อาจหยั่งรู้ได้ ว่าคุณภาพนั้นเป็นอย่างไร เนื่องจากหลักการนั้นอนันต์ทั้งในด้านปริมาณ และโดยรูปลักษณ์ภายนอกแล้ว การที่จะรู้ถึงสิ่งที่ถูกสร้างจากสิ่งเหล่านั้นนั้นก็เป็นไปไม่ได้ เพียงแต่เมื่อนั้นเราจึงเชื่อว่าเราได้รู้แล้ว สิ่งที่ซับซ้อนเมื่อเราพบว่า [หลักการ] ประกอบด้วยอะไรบ้างและจำนวนเท่าใด..." Aristotle, "Physics", 4 ช..

2. ทำอย่างไร อนุพันธ์มีความหมายทางกายภาพเหมือนกับความเร็วชั่วขณะบางประเภท หากความเร็วชั่วขณะไม่ใช่แนวคิดทางกายภาพ แต่เป็นแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่มีเงื่อนไขและ "ไม่แน่นอน" มาก เพราะมันเป็นขีดจำกัดของฟังก์ชัน และขีดจำกัดคือแนวคิดทางคณิตศาสตร์แบบมีเงื่อนไข

3. เหตุใดแนวคิดทางคณิตศาสตร์ของจุดซึ่งมีคุณสมบัติเดียวเท่านั้น - พิกัด (ไม่มีคุณสมบัติอื่น: ขนาด, พื้นที่, ช่วงเวลา) ถูกแทนที่ด้วยคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของอนุพันธ์โดยแนวคิดของพื้นที่ใกล้เคียงของจุดซึ่งจริงๆ แล้วมี ช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้นที่มีขนาดไม่แน่นอน สำหรับแนวคิดเรื่องอนุพันธ์ แนวคิดและปริมาณ Δ จะถูกระบุและเทียบเคียงตามจริง x = x 2 - x 1 และ x 0

4. ถูกต้อง เลย ความหมายทางกายภาพอธิบายด้วยแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีความหมายทางกายภาพ?

5. เหตุใดจึงเป็นความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผล (การทำงาน)ขึ้นอยู่กับเหตุผล (อาร์กิวเมนต์ คุณสมบัติ พารามิเตอร์) ต้องมี คอนกรีตจำกัดที่กำหนดตามขนาด ขีด จำกัด การเปลี่ยนแปลง (ผลที่ตามมา) โดยมีการเปลี่ยนแปลงขนาดของสาเหตุเล็กน้อยอย่างไม่มีกำหนด?

6. มีฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ที่ไม่มีอนุพันธ์ (ฟังก์ชันที่ไม่สามารถหาความแตกต่างได้ในการวิเคราะห์ที่ไม่ราบรื่น) ซึ่งหมายความว่าในฟังก์ชันเหล่านี้ เมื่อเปลี่ยนอาร์กิวเมนต์ (พารามิเตอร์ คุณสมบัติ) ฟังก์ชัน (วัตถุทางคณิตศาสตร์) จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ไม่มีวัตถุใดในธรรมชาติที่จะไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อคุณสมบัติของมันเปลี่ยนไป เหตุใดคณิตศาสตร์จึงถือเสรีภาพได้เหมือนกับการใช้แบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่ไม่คำนึงถึงความสัมพันธ์พื้นฐานของเหตุและผลของจักรวาล

ฉันจะตอบ. ในแนวคิดคลาสสิกที่เสนอซึ่งมีอยู่ในแนวคิดทางคณิตศาสตร์ - ความเร็วทันที อนุพันธ์ ฟิสิกส์และวิทยาศาสตร์โดยทั่วไป ไม่มีความหมายที่ถูกต้องและไม่สามารถเกิดจากความไม่ถูกต้องตามหลักวิทยาศาสตร์และความไม่รู้ของแนวคิดที่ใช้สำหรับสิ่งนี้! มันไม่ได้อยู่ในแนวคิดเรื่อง "อนันต์" และอยู่ในแนวคิด "ทันที" และอยู่ในแนวคิด "มุ่งมั่นสู่ศูนย์หรืออนันต์"

แต่เป็นจริง ปราศจากแนวคิดหละหลวมของฟิสิกส์และคณิตศาสตร์สมัยใหม่ (ความทะเยอทะยานสู่ศูนย์ คุณค่าอันไม่สิ้นสุด อนันต์ ฯลฯ)

ความหมายทางกายภาพของแนวคิดของฟังก์ชันอนุพันธ์มีอยู่!

นี่คือสิ่งที่เราจะพูดถึงตอนนี้

1.4 ความหมายทางกายภาพที่แท้จริงและโครงสร้างเชิงสาเหตุของอนุพันธ์

เพื่อทำความเข้าใจแก่นแท้ทางกายภาพ "สลัดเส้นก๋วยเตี๋ยวอายุหลายศตวรรษที่มีความหนาออกจากหูของคุณ" ที่ Gottfried Leibniz (1646-1716) และผู้ติดตามของเขาแขวนคอไว้ คุณจะต้องหันไปใช้วิธีการของ ความรู้ความเข้าใจและหลักการพื้นฐานที่เข้มงวด จริงอยู่ ควรสังเกตว่าด้วยสัมพัทธภาพที่มีอยู่ในปัจจุบัน หลักการเหล่านี้จึงไม่เป็นไปตามหลักวิทยาศาสตร์อีกต่อไป

ให้ฉันพูดนอกเรื่องสั้น ๆ

ตามที่ผู้เชื่ออย่างลึกซึ้งและจริงใจ Isaac Newton (1643-1727) และ Gottfried Leibniz การเปลี่ยนแปลงในวัตถุการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของพวกเขาไม่ได้เกิดขึ้นหากปราศจากการมีส่วนร่วมของผู้ทรงอำนาจ การศึกษาแหล่งที่มาของความแปรปรวนอันทรงอำนาจโดยนักวิทยาศาสตร์ธรรมชาติในเวลานั้นเต็มไปด้วยการข่มเหงโดยคริสตจักรที่มีอำนาจและไม่ได้ดำเนินการเพื่อจุดประสงค์ในการดูแลรักษาตนเอง แต่ในศตวรรษที่ 19 นักธรรมชาติวิทยาได้ค้นพบสิ่งนั้น สาระสำคัญของการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติของวัตถุใด ๆ - ปฏิสัมพันธ์. “ปฏิสัมพันธ์เป็นความสัมพันธ์เชิงสาเหตุในการพัฒนาอย่างเต็มที่”เฮเกล (ค.ศ. 1770-1831) ตั้งข้อสังเกต “ในทางที่ใกล้เคียงที่สุด ปฏิสัมพันธ์จะแสดงด้วยสาเหตุร่วมกันของสารที่สันนิษฐานซึ่งทำให้เกิดเงื่อนไขซึ่งกันและกัน แต่ละตัวมีสัมพัทธ์ซึ่งกันและกันในขณะเดียวกันก็เป็นสารออกฤทธิ์และสารเฉื่อย” . F. Engels (1820-1895) ระบุ: “ปฏิสัมพันธ์เป็นสิ่งแรกที่ปรากฏแก่เราเมื่อเราพิจารณาเคลื่อนย้าย (เปลี่ยนแปลง) สสารโดยรวม จากมุมมองของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่... ดังนั้น วิทยาศาสตร์ธรรมชาติจึงยืนยันว่า... ปฏิสัมพันธ์นั้นเป็นเหตุสุดท้ายที่แท้จริง (สาเหตุสูงสุด) ของสิ่งต่าง ๆ เราไม่สามารถไปไกลกว่าความรู้เกี่ยวกับการโต้ตอบนี้ได้อย่างแม่นยำเพราะเบื้องหลังนั้นไม่มีอะไรต้องรู้อีกต่อไป” อย่างไรก็ตาม เมื่อต้องจัดการกับต้นตอของความแปรปรวนอย่างเป็นทางการแล้ว ก็ไม่มีผู้ที่มีความคิดที่ฉลาดแห่งศตวรรษที่ 19 คนใดเลยที่เริ่มสร้างสิ่งปลูกสร้างของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติขึ้นมาใหม่เป็นผลให้อาคารยังคงเป็นเช่นนั้น - โดยพื้นฐานแล้วเน่าเปื่อย เป็นผลให้โครงสร้างเชิงสาเหตุ (ปฏิสัมพันธ์) ยังคงขาดหายไปในแนวคิดพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติส่วนใหญ่ (พลังงาน แรง มวล ประจุ อุณหภูมิ ความเร็ว โมเมนตัม ความเฉื่อย ฯลฯ) รวมถึง แนวคิดทางคณิตศาสตร์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน- เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่บรรยายว่า " ขนาดของการเปลี่ยนแปลงทันที" ของวัตถุจากการเปลี่ยนแปลง "เล็กน้อย" ในพารามิเตอร์เชิงสาเหตุทฤษฎีปฏิสัมพันธ์ที่รวมแม้แต่ปฏิสัมพันธ์พื้นฐานสี่อย่างที่รู้จักกันดี (แม่เหล็กไฟฟ้า, แรงโน้มถ่วง, แรง, อ่อน) ยังไม่ได้ถูกสร้างขึ้น ปัจจุบันนี้ยังมี "เรื่องเสียหาย" เกิดขึ้นอีกมาก และยังมี "วงกบ" ออกมาทุกหนทุกแห่ง การปฏิบัติซึ่งเป็นเกณฑ์แห่งความจริงได้ทำลายแบบจำลองทางทฤษฎีทั้งหมดที่สร้างขึ้นบนอาคารดังกล่าวที่อ้างว่าเป็นสากลและเป็นสากลโดยสิ้นเชิง ดังนั้นจึงยังจำเป็นต้องสร้างอาคารวิทยาศาสตร์ธรรมชาติขึ้นใหม่เนื่องจากไม่มีที่อื่นให้ "ว่ายน้ำ" วิทยาศาสตร์ได้รับการพัฒนาอย่างสุ่มมานานแล้ว - อย่างโง่เขลามีราคาแพงและไม่มีประสิทธิภาพ ฟิสิกส์แห่งอนาคต ฟิสิกส์แห่งศตวรรษที่ 21 และศตวรรษต่อ ๆ มา จะต้องกลายเป็นฟิสิกส์แห่งปฏิสัมพันธ์ และจำเป็นต้องแนะนำแนวคิดพื้นฐานใหม่ในวิชาฟิสิกส์ - "ปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์"ในเวลาเดียวกันมีการจัดเตรียมพื้นฐานพื้นฐานไว้สำหรับแนวคิดพื้นฐานและความสัมพันธ์ของฟิสิกส์และคณิตศาสตร์สมัยใหม่และเฉพาะในกรณีนี้คือสูตรพื้นฐานที่พบ“causa Finalis” (สาเหตุแรกสุด) สูตร เพื่อปรับสูตรพื้นฐานทั้งหมดที่ใช้งานได้จริง มีการชี้แจงความหมายของค่าคงที่ของโลกและอื่นๆ อีกมากมาย และนี่คือฉันสำหรับคุณ ผู้อ่านที่รักฉันจะแสดงให้คุณดูตอนนี้

ดังนั้น, การกำหนดปัญหา.

เรามาสรุปกัน โครงร่างทั่วไปแบบอย่าง. ปล่อยให้วัตถุนามธรรมของความรู้ความเข้าใจสามารถรับรู้ได้ในขนาดและธรรมชาติ (ให้เราแสดงว่ามัน -ยู) เป็นผลรวมสัมพัทธ์ โดยมีลักษณะ (มิติ) และขนาดที่แน่นอน วัตถุและคุณสมบัติของวัตถุเป็นระบบเหตุและผล วัตถุจะขึ้นอยู่กับขนาดตามขนาดของคุณสมบัติและพารามิเตอร์ และขนาดขึ้นอยู่กับขนาดด้วย ดังนั้นเราจึงแสดงพารามิเตอร์เชิงสาเหตุเป็น – x และพารามิเตอร์ที่มีประสิทธิผลเป็น – u ในทางคณิตศาสตร์ ความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผลดังกล่าวได้รับการอธิบายอย่างเป็นทางการโดยฟังก์ชัน (การพึ่งพา) กับคุณสมบัติของมัน - พารามิเตอร์ u = f (x) การเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์ (คุณสมบัติของวัตถุ) ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในค่าของฟังก์ชัน - ผลรวมสัมพัทธ์ ยิ่งไปกว่านั้น ปริมาณที่ทราบซึ่งกำหนดอย่างเป็นกลางของจำนวนทั้งหมด (จำนวน) คือค่าสัมพัทธ์ที่ได้รับเป็นอัตราส่วนต่อส่วนของหน่วย (วัตถุประสงค์บางอย่างที่ยอมรับกันโดยทั่วไปคือมาตรฐานเดียวของทั้งหมด - uet มาตรฐานของหน่วยคือปริมาณที่เป็นทางการ แต่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป เป็นการวัดเปรียบเทียบตามวัตถุประสงค์

แล้ว คุณ =k*u ชั้น ค่าวัตถุประสงค์ของพารามิเตอร์ (คุณสมบัติ) คืออัตราส่วนต่อส่วนของหน่วย (มาตรฐาน) ของพารามิเตอร์ (คุณสมบัติ) -x= ฉัน* x นี้. ขนาดโดยรวมและขนาดของพารามิเตอร์และมาตรฐานแต่ละรายการไม่เหมือนกัน ราคาต่อรองเค ฉันเป็นตัวเลขเท่ากับ u, x ตามลำดับเนื่องจากค่าอ้างอิงของ u fl และx นี้ถูกแยกออกจากกัน อันเป็นผลมาจากการโต้ตอบ พารามิเตอร์เปลี่ยนแปลงและการเปลี่ยนแปลงเชิงสาเหตุส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชัน (สัมพันธ์กับทั้งหมด วัตถุ ระบบ)

จำเป็นต้องกำหนดเป็นทางการ การพึ่งพาโดยทั่วไปของจำนวนการเปลี่ยนแปลงในวัตถุต่อการโต้ตอบ - สาเหตุของการเปลี่ยนแปลงนี้. คำแถลงปัญหานี้สะท้อนถึงแนวทางที่เป็นลำดับตามเหตุและผลที่แท้จริง (ตาม F. Bacon) ฟิสิกส์ปฏิสัมพันธ์.

การตัดสินใจและผลที่ตามมา

ปฏิสัมพันธ์เป็นกลไกวิวัฒนาการทั่วไป - สาเหตุของความแปรปรวน จริงๆ แล้วปฏิสัมพันธ์คืออะไร (ระยะสั้น ระยะยาว)? เพราะว่า ทฤษฎีทั่วไปปฏิสัมพันธ์และแบบจำลองทางทฤษฎีของปฏิสัมพันธ์ของวัตถุพาหะของคุณสมบัติสมส่วนในวิทยาศาสตร์ธรรมชาติยังคงขาดหายไปเราจะต้องสร้าง(เพิ่มเติมเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้ที่)แต่เนื่องจากนักอ่านคิดอยากจะรู้ เกี่ยวกับสาระสำคัญทางกายภาพที่แท้จริงของอนุพันธ์ทันทีและตอนนี้เราจะทำเพียงเนื้อหาสั้น ๆ แต่เข้มงวดและจำเป็นสำหรับการทำความเข้าใจแก่นแท้ของข้อสรุปอนุพันธ์จากงานนี้

“ใดๆ แม้กระทั่งปฏิสัมพันธ์ที่ซับซ้อนที่สุดของวัตถุ ก็สามารถแสดงได้ในช่วงเวลาและพื้นที่ดังกล่าว (ขยายในเวลาและแสดงในระบบพิกัดในลักษณะดังกล่าว) ซึ่งในแต่ละช่วงเวลา ณ จุดที่กำหนดในอวกาศ จะมีวัตถุเพียงสองชิ้นเท่านั้นที่มีสมบัติสมส่วนสองตัวเท่านั้นที่จะโต้ตอบกัน และ ณ ขณะนี้ วัตถุเหล่านั้นจะโต้ตอบกับสมบัติสมส่วนเพียงสองอย่างเท่านั้น"

« การเปลี่ยนแปลงใด ๆ (เชิงเส้นและไม่เชิงเส้น) ในคุณสมบัติใด ๆ (พารามิเตอร์) ของลักษณะเฉพาะของวัตถุใด ๆ สามารถสลายตัว (แสดง) อันเป็นผลมาจาก (ผลที่ตามมา) ของปฏิกิริยาระหว่างเหตุการณ์ในลักษณะเดียวกัน ตามมาในพื้นที่และเวลาอย่างเป็นทางการ ตามลำดับ เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น (สม่ำเสมอหรือไม่สม่ำเสมอ) ในเวลาเดียวกัน ในแต่ละปฏิสัมพันธ์เหตุการณ์ระดับประถมศึกษาและเดี่ยว (การโต้ตอบช่วงสั้น) คุณสมบัติจะเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเนื่องจากถูกกำหนดโดยเหตุผลเดียวสำหรับการเปลี่ยนแปลง - การโต้ตอบระดับประถมศึกษาที่เหมาะสม (ซึ่งหมายความว่ามันเป็นฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียว ). ... ดังนั้น การเปลี่ยนแปลงใดๆ (เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้น) อันเป็นผลมาจากปฏิสัมพันธ์ สามารถแสดงเป็นผลรวมของการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเบื้องต้นที่ตามมาเชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้นในพื้นที่และเวลาอย่างเป็นทางการ”

« ด้วยเหตุผลเดียวกัน ปฏิสัมพันธ์ใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นปริมาณของการเปลี่ยนแปลงได้ (ชิ้นส่วนเชิงเส้นที่แบ่งแยกไม่ได้) ควอนตัมเบื้องต้นของธรรมชาติใดๆ (มิติ) เป็นผลมาจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์เบื้องต้นตามธรรมชาติ (มิติ) ที่กำหนด ขนาดและมิติของควอนตัมถูกกำหนดโดยขนาดของคุณสมบัติที่มีปฏิสัมพันธ์และลักษณะของคุณสมบัตินี้ ตัวอย่างเช่น ด้วยการชนกันของลูกบอลในอุดมคติและยืดหยุ่นอย่างยิ่ง (โดยไม่คำนึงถึงการสูญเสียความร้อนและพลังงานอื่นๆ) ลูกบอลจะแลกเปลี่ยนแรงกระตุ้น (คุณสมบัติสมส่วน) การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของลูกบอลหนึ่งลูกเป็นส่วนหนึ่งของพลังงานเชิงเส้น (ที่มอบให้หรือพรากไปจากลูกบอล) - มีควอนตัมที่มีมิติของโมเมนตัมเชิงมุม หากลูกบอลที่มีค่าโมเมนตัมคงที่มีปฏิสัมพันธ์กัน สถานะของโมเมนตัมเชิงมุมของลูกบอลแต่ละลูกในช่วงเวลาปฏิสัมพันธ์ที่สังเกตได้จะเป็นค่า "อนุญาต" (โดยการเปรียบเทียบกับมุมมองของกลศาสตร์ควอนตัม)

ในรูปแบบฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปว่าคุณสมบัติใดๆ ในเวลาใดก็ได้และ ณ จุดใดๆ ในปริภูมิ (เพื่อความง่าย ลองพิจารณาเชิงเส้น พิกัดเดียว) มีค่าที่สามารถแสดงได้โดยการเขียน

(1)

มิติอยู่ที่ไหน

รายการนี้ เหนือสิ่งอื่นใด ถือเป็นสาระสำคัญและ ความหมายเชิงลึกทางกายภาพของจำนวนเชิงซ้อนแตกต่างจากการแสดงเรขาคณิตที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป (ตามเกาส์) ในรูปแบบของจุดบนระนาบ..( บันทึก ผู้เขียน)

ในทางกลับกัน โมดูลัสของขนาดของการเปลี่ยนแปลง แสดงใน (1) เป็น สามารถแสดงได้โดยคำนึงถึงปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ดังต่อไปนี้

(2)

ความหมายทางกายภาพพื้นฐานสำหรับความสัมพันธ์ที่รู้จักกันดีจำนวนมากของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ ซึ่งเป็นสูตรรากก็คือ ในช่วงเวลาและในช่วงเวลาของปริภูมิเชิงเส้น (พิกัดเดียว) ที่เป็นเนื้อเดียวกัน มีปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ที่สมส่วนกับปฏิสัมพันธ์ที่ใกล้ชิดของสิ่งเดียวกัน ธรรมชาติ ตามเวลาและสถานที่ตามหน้าที่ - การกระจายเหตุการณ์ในอวกาศและเวลา แต่ละเหตุการณ์เปลี่ยนไปเป็นบางอย่าง เราสามารถพูดได้ว่าในขณะที่มีความสม่ำเสมอของวัตถุปฏิสัมพันธ์ในช่วงเวลาหนึ่งของอวกาศและเวลาเรากำลังพูดถึง เกี่ยวกับบางอย่าง ค่าคงที่เชิงเส้นค่าเฉลี่ยของการเปลี่ยนแปลงเบื้องต้น - มูลค่าอนุพันธ์ถึงขนาดของการเปลี่ยนแปลง , คุณลักษณะของสภาพแวดล้อมการโต้ตอบ ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่อธิบายอย่างเป็นทางการซึ่งระบุลักษณะสภาพแวดล้อมและกระบวนการโต้ตอบของลักษณะเฉพาะ (มิติ) โดยคำนึงว่าอาจจะมี ประเภทต่างๆฟังก์ชันการกระจายของเหตุการณ์ในอวกาศและเวลา ดังนั้นมิติของกาล-อวกาศจึงแปรผันได้ เป็นส่วนสำคัญของฟังก์ชันการกระจายเหตุการณ์ในเวลาและพื้นที่ คือ [เวลา - t ] และ[ พิกัด - x ] สามารถยกกำลัง k ได้(k ไม่เท่ากับศูนย์)

ถ้าเราแสดงว่าในสภาพแวดล้อมที่เป็นเนื้อเดียวกันพอสมควร ค่าของช่วงเวลาเฉลี่ยระหว่างเหตุการณ์ - และค่าของช่วงเวลาเฉลี่ยของระยะทางระหว่างเหตุการณ์ - แล้วเราสามารถเขียนได้ว่าจำนวนเหตุการณ์ทั้งหมดในช่วงเวลาและ พื้นที่ก็เท่ากับ

(3)

นี้ บันทึกพื้นฐาน(3) สอดคล้องกับอัตลักษณ์กาล-อวกาศพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ (ไฟฟ้าพลศาสตร์ของแมกซ์เวลล์ อุทกพลศาสตร์ ทฤษฎีคลื่น กฎของฮุค สูตรพลังงานของพลังค์ ฯลฯ) และเป็นสาเหตุที่แท้จริงของความถูกต้องเชิงตรรกะของโครงสร้างทางกายภาพและทางคณิตศาสตร์ . รายการ (3) นี้สอดคล้องกับ "ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย" ที่รู้จักในวิชาคณิตศาสตร์ มาเขียนใหม่ (2) โดยคำนึงถึง (3)

(4) - สำหรับความสัมพันธ์ทางเวลา

(5) - สำหรับความสัมพันธ์เชิงพื้นที่

จากสมการเหล่านี้ (3-5) จะเป็นดังนี้ กฎทั่วไปของการโต้ตอบ:

ขนาดของการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ในวัตถุ (คุณสมบัติ) นั้นเป็นสัดส่วนกับจำนวนเหตุการณ์-ปฏิสัมพันธ์ (ปฏิสัมพันธ์ใกล้ชิด) ซึ่งสมส่วนกับสิ่งที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลง ในเวลาเดียวกัน ธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลง (ประเภทของการพึ่งพาในเวลาและสถานที่) สอดคล้องกับธรรมชาติของการสืบทอดเหตุการณ์เหล่านี้ในเวลาและสถานที่

เราได้รับ ความสัมพันธ์พื้นฐานทั่วไปของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสำหรับกรณีของปริภูมิและเวลาเชิงเส้น ปราศจากแนวคิดเรื่องอนันต์ ความทะเยอทะยานสู่ศูนย์ ความเร็วชั่วขณะ ฯลฯ ด้วยเหตุผลเดียวกัน การกำหนด dt และ dx ที่เล็กที่สุดจึงไม่ถูกนำมาใช้อย่างสมเหตุสมผล แทนที่จะใช้จะมีการแนะนำ Δti และ Δxi สุดท้าย . จากลักษณะทั่วไปเหล่านี้ (2-6) มีดังนี้:

- ความหมายทางกายภาพทั่วไปของอนุพันธ์ (ดิฟเฟอเรนเชียล) (4) และการไล่ระดับสี (5) รวมถึงค่าคงที่ "โลก" เป็นค่าของการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นเฉลี่ย (เฉลี่ย) ของฟังก์ชัน (วัตถุ) ในระหว่างเหตุการณ์เดียว - ปฏิสัมพันธ์ของการโต้แย้ง (คุณสมบัติ) ที่มีมิติที่แน่นอน ( ธรรมชาติ) ที่มีคุณสมบัติสมส่วน (ในลักษณะเดียวกัน) ของวัตถุอื่น ๆ อัตราส่วนของขนาดของการเปลี่ยนแปลงต่อจำนวนเหตุการณ์-ปฏิสัมพันธ์ที่เริ่มต้นนั้นแท้จริงแล้วคือมูลค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ซึ่งสะท้อนถึงการพึ่งพาสาเหตุและผลกระทบของวัตถุต่อคุณสมบัติของวัตถุ

; (7) - อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

; (8) - การไล่ระดับสีของฟังก์ชัน

- ความหมายทางกายภาพของอินทิกรัลเป็นผลรวมของขนาดของการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันระหว่างเหตุการณ์บนอาร์กิวเมนต์

; (9)

- การให้เหตุผล (พิสูจน์และความหมายทางกายภาพที่ชัดเจน) ของทฤษฎีบทของลากรองจ์สำหรับการเพิ่มขึ้นอันจำกัด(สูตรการเพิ่มขึ้นอันจำกัด) ส่วนใหญ่เป็นพื้นฐานสำหรับ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์. เพราะเมื่อไหร่. ฟังก์ชันเชิงเส้นและค่าอินทิกรัลในนิพจน์ (4)(5) และ . แล้ว

(10)

(10.1)

สูตร (10.1) คือ อันที่จริงแล้วคือสูตรของลากรองจ์สำหรับการเพิ่มขึ้นอันจำกัด [ 5].

เมื่อระบุวัตถุด้วยชุดคุณสมบัติ (พารามิเตอร์) เราได้รับการพึ่งพาที่คล้ายกันสำหรับความแปรปรวนของวัตถุในฐานะฟังก์ชันของความแปรปรวนของคุณสมบัติ (พารามิเตอร์) และชี้แจง ทางกายภาพ ความหมายของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน พารามิเตอร์ตัวแปรหลายตัว

(11)

สูตรเทย์เลอร์สำหรับฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่งซึ่งกลายเป็นคลาสสิกไปแล้ว

ดูเหมือน

(12)

มันแสดงถึงการขยายตัวของฟังก์ชัน (ระบบเหตุและผลที่เป็นทางการ) ไปสู่อนุกรมที่การเปลี่ยนแปลงมีค่าเท่ากับ

จะถูกแยกย่อยออกเป็นองค์ประกอบตามหลักการของการแยกย่อยกระแสทั่วไปของเหตุการณ์ที่มีลักษณะเดียวกันให้เป็นกระแสย่อยที่มีลักษณะแตกต่างกันดังต่อไปนี้ แต่ละโฟลว์ย่อยจะแสดงลักษณะความเป็นเส้นตรง (ความไม่เชิงเส้น) ของลำดับเหตุการณ์ในอวกาศหรือเวลา นี่คือ ความหมายทางกายภาพของสูตรของเทย์เลอร์ . ตัวอย่างเช่น เทอมแรกของสูตร Taylor ระบุการเปลี่ยนแปลงระหว่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นเชิงเส้นตรงในเวลา (ปริภูมิ)

ที่ . ที่สอง ที่ ตามมาแบบไม่เชิงเส้นเหตุการณ์ประเภท ฯลฯ

- ความหมายทางกายภาพของอัตราการเปลี่ยนแปลงคงที่ (การเคลื่อนไหว)[m/s] ซึ่งมีความหมายถึงการเคลื่อนที่เชิงเส้นเดี่ยว (การเปลี่ยนแปลง การเพิ่มขึ้น) ของปริมาณ (พิกัด เส้นทาง) โดยมีเหตุการณ์ติดตามเชิงเส้นตรง

(13)

ด้วยเหตุนี้ ความเร็วจึงไม่ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดหรือช่วงเวลาที่เลือกอย่างเป็นทางการ ความเร็วเป็นการพึ่งพาอย่างไม่เป็นทางการในหน้าที่ของการสืบทอด (การกระจาย) ในเวลาและพื้นที่ของเหตุการณ์ที่นำไปสู่การเปลี่ยนแปลงพิกัด

(14)

และการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนใดๆ ก็ตามสามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบต่างๆ ได้ โดยแต่ละองค์ประกอบจะขึ้นอยู่กับเหตุการณ์เชิงเส้นหรือไม่เชิงเส้นต่อไปนี้ ด้วยเหตุนี้ จลนศาสตร์ของจุด (สมการของจุด) จึงถูกขยายออกไปตามสูตรลากรองจ์หรือสูตรเทย์เลอร์

เมื่อลำดับเหตุการณ์เชิงเส้นเปลี่ยนเป็นไม่เชิงเส้น ความเร็วจะกลายเป็นความเร่ง

- ความหมายทางกายภาพของการเร่งความเร็ว- เป็นปริมาณเชิงตัวเลขเท่ากับการกระจัดของหน่วย โดยมีลำดับแบบไม่เชิงเส้นของปฏิกิริยาระหว่างเหตุการณ์ที่ทำให้เกิดการกระจัดนี้ . โดยที่ หรือ . ในเวลาเดียวกัน การเคลื่อนไหวทั้งหมดระหว่างลำดับเหตุการณ์แบบไม่เชิงเส้น (โดยมีการเปลี่ยนแปลงเชิงเส้นในความเร็วของเหตุการณ์) สำหรับ เท่ากับ (15) - สูตรที่รู้จักจาก วันไปโรงเรียน

- ความหมายทางกายภาพของการเร่งความเร็วของวัตถุตกอย่างอิสระ- เป็นค่าคงที่ ตัวเลขเท่ากับอัตราส่วนของแรงเชิงเส้นที่กระทำต่อวัตถุ (อันที่จริงเรียกว่าการกระจัดเชิงเส้นแบบ "ทันที") มีความสัมพันธ์กับจำนวนไม่เชิงเส้นของเหตุการณ์ที่ตามมา - ปฏิสัมพันธ์กับสภาพแวดล้อมในเวลาที่เป็นทางการ ทำให้เกิดพลังนี้

ดังนั้นมูลค่าจึงเท่ากับปริมาณ ตามมาแบบไม่เชิงเส้นเหตุการณ์หรือทัศนคติ - ได้รับชื่อ น้ำหนักตัว และค่าก็คือ น้ำหนักตัว เป็นแรงที่กระทำต่อร่างกาย (บนพยุง) ในสภาวะพักตัวให้เราชี้แจงข้างต้นเพราะว่า แนวคิดพื้นฐานทางกายภาพของมวลที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย ในฟิสิกส์สมัยใหม่ไม่มีโครงสร้างเชิงเหตุมาจากปฏิสัมพันธ์ใดๆ เลย และฟิสิกส์รู้ข้อเท็จจริงของการเปลี่ยนแปลงมวลของร่างกายเมื่อมีปฏิกิริยาบางอย่าง (ปฏิสัมพันธ์ทางกายภาพ) เกิดขึ้นภายในร่างกาย ตัวอย่างเช่น ในระหว่างการสลายตัวของสารกัมมันตภาพรังสี มวลรวมของสารจะลดลงเมื่อวัตถุอยู่นิ่งเมื่อเทียบกับพื้นผิวโลก จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด-ปฏิสัมพันธ์ของอนุภาคในร่างกายนี้กับตัวกลางที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งมีการไล่ระดับสี (หรือเรียกว่าสนามโน้มถ่วง) จะไม่เปลี่ยนแปลง ซึ่งหมายความว่าแรงที่กระทำต่อร่างกายไม่เปลี่ยนแปลง และมวลเฉื่อยเป็นสัดส่วนกับจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในวัตถุของร่างกายและวัตถุในสิ่งแวดล้อม เท่ากับอัตราส่วนของแรงต่อการเร่งความเร็วคงที่ .

เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ในสนามโน้มถ่วง (ตก) อัตราส่วนของแรงที่เปลี่ยนแปลงซึ่งกระทำต่อวัตถุต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เปลี่ยนแปลงจะยังคงคงที่และอัตราส่วน - สอดคล้องกับมวลความโน้มถ่วง. นี่หมายถึง เอกลักษณ์เชิงวิเคราะห์ของมวลเฉื่อยและแรงโน้มถ่วง. เมื่อวัตถุเคลื่อนที่แบบไม่เชิงเส้น แต่เป็นแนวนอนเข้าหาพื้นผิวโลก (ตามพื้นผิวศักย์สมดุลทรงกลมของสนามโน้มถ่วงของโลก) จะไม่มีการไล่ระดับสีในสนามโน้มถ่วงในวิถีโคจรนี้ แต่แรงใดๆ ที่กระทำต่อร่างกายนั้นแปรผันตามจำนวนเหตุการณ์ที่ทั้งเร่งและชะลอร่างกาย นั่นคือในกรณีของการเคลื่อนไหวในแนวนอน สาเหตุของการเคลื่อนไหวของร่างกายก็เปลี่ยนไป และจำนวนเหตุการณ์ที่เปลี่ยนแปลงแบบไม่เชิงเส้นจะทำให้ร่างกายมีความเร่ง (กฎข้อที่ 2 ของนิวตัน) ด้วยลำดับเหตุการณ์เชิงเส้น (ทั้งการเร่งและการชะลอตัว) ความเร็วของร่างกายจะคงที่และปริมาณทางกายภาพพร้อมกับลำดับของเหตุการณ์ดังกล่าวใน ฟิสิกส์เรียกว่าแรงกระตุ้น.

- ความหมายทางกายภาพของโมเมนตัมเชิงมุม เป็นการเคลื่อนไหวของร่างกายภายใต้อิทธิพลของเหตุการณ์เชิงเส้นตรงเวลา

(16)

- ความหมายทางกายภาพของประจุไฟฟ้า วัตถุที่นำเข้าสู่สนาม โดยอัตราส่วนของแรงที่กระทำต่อวัตถุ “มีประจุ” (แรงลอเรนซ์) ที่สนามชี้ไปที่ขนาดของประจุของจุดสนาม สำหรับแรงเป็นผลมาจากปฏิสัมพันธ์ของคุณสมบัติสมส่วนของวัตถุที่นำเข้าสู่สนามและวัตถุสนาม ปฏิสัมพันธ์จะแสดงออกมาในการเปลี่ยนแปลงคุณสมบัติที่สมส่วนเหล่านี้ของทั้งสอง จากการโต้ตอบแต่ละครั้ง วัตถุจะแลกเปลี่ยนโมดูลของการเปลี่ยนแปลง โดยเปลี่ยนซึ่งกันและกัน ซึ่งเป็นขนาดของแรง "ที่เกิดขึ้นทันที" ที่กระทำต่อวัตถุเหล่านั้น ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของแรงกระทำในช่วงเวลาอวกาศ แต่ในฟิสิกส์ยุคใหม่ น่าเสียดายที่สนามซึ่งเป็นสสารชนิดพิเศษไม่มีประจุ (ไม่มีวัตถุพาหะประจุ) แต่มีลักษณะที่แตกต่างกัน - ความตึงเครียดในช่วงเวลา (ความแตกต่างในศักยภาพ (ประจุ) ใน เป็นโมฆะบางประการ) ดังนั้น, ค่าใช้จ่ายตามขนาดจะแสดงจำนวนครั้งที่แรงที่กระทำต่อวัตถุที่มีประจุแตกต่างจากความแรงของสนามไฟฟ้า ณ จุดที่กำหนด (จากแรง "ที่เกิดขึ้นทันที") (17)

แล้ว ประจุบวกของวัตถุ– ถูกมองว่าเป็นประจุที่เกินค่าสัมบูรณ์ (มากกว่า) ประจุของจุดสนาม และประจุลบน้อยกว่าประจุของจุดสนาม นี่แสดงถึงความแตกต่างในสัญญาณของพลังที่น่ารังเกียจและน่าดึงดูด. ซึ่งกำหนดทิศทางของแรงผลัก-แรงดึงดูดที่กระทำการ ปรากฎว่าประจุนั้นมีปริมาณเท่ากับจำนวนเหตุการณ์ปฏิสัมพันธ์ที่เปลี่ยนแปลงในแต่ละเหตุการณ์ตามค่าความแรงของสนามขนาดของประจุตามแนวคิดของตัวเลข (ขนาด) คือความสัมพันธ์กับมาตรฐาน หน่วย ประจุทดสอบ - . จากที่นี่ . เมื่อประจุเคลื่อนที่ เมื่อเหตุการณ์เป็นไปตามเส้นตรง (สนามเป็นเนื้อเดียวกัน) อินทิกรัลจะเป็น และเมื่อสนามเนื้อเดียวกันเคลื่อนที่สัมพันธ์กับประจุ ดังนั้นความสัมพันธ์ทางฟิสิกส์ที่รู้จักกันดี ;

- ความหมายทางกายภาพของความแรงของสนามไฟฟ้าเป็นอัตราส่วนของแรงที่กระทำต่อวัตถุที่มีประจุต่อจำนวนเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น - การโต้ตอบของวัตถุที่มีประจุกับสภาพแวดล้อมที่มีประจุ มีลักษณะเฉพาะของสนามไฟฟ้าคงที่ นอกจากนี้ยังเป็นอนุพันธ์ของพิกัดของแรงลอเรนซ์อีกด้วยความแรงของสนามไฟฟ้าคือปริมาณทางกายภาพในเชิงตัวเลขเท่ากับแรงที่กระทำต่อประจุหนึ่งหน่วยในระหว่างปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์เดียว () ของวัตถุที่มีประจุและสนาม (ตัวกลางที่มีประจุ)

(18)

-ความหมายทางกายภาพของศักย์ กระแส แรงดัน และความต้านทาน (การนำไฟฟ้า)

เกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงขนาดประจุ

(19)

(20)

(21)

โดยที่ เรียกว่าศักย์ของจุดสนามและถือเป็นลักษณะพลังงานของจุดสนามที่กำหนด แต่ในความเป็นจริงแล้ว มันคือประจุของจุดสนาม ซึ่งแตกต่างจากประจุทดสอบ (อ้างอิง) ปัจจัยหนึ่ง หรือ: . เมื่อประจุที่นำเข้าสู่สนามและประจุของจุดสนามมีปฏิสัมพันธ์กัน การแลกเปลี่ยนคุณสมบัติสมส่วน—ประจุ—จะเกิดขึ้น การแลกเปลี่ยนเป็นปรากฏการณ์ที่อธิบายว่า "แรงลอเรนซ์กระทำต่อประจุที่ปล่อยลงสนาม" ซึ่งมีขนาดเท่ากับขนาดของการเปลี่ยนแปลงประจุ เช่นเดียวกับขนาดของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ในศักย์ไฟฟ้าของจุดสนาม เมื่อปล่อยประจุเข้าสู่สนามโลก โอกาสสุดท้ายสามารถละเลยได้เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงนี้มีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับมูลค่ามหาศาลของประจุรวมของจุดหนึ่งในสนามโลก

จาก (20) จะสังเกตได้ว่ากระแส (I) คืออนุพันธ์ของเวลาของขนาดของประจุที่เปลี่ยนแปลงในช่วงเวลาหนึ่ง การเปลี่ยนแปลงประจุในขนาดในหนึ่งเหตุการณ์-ปฏิสัมพันธ์ (ปฏิสัมพันธ์ระยะสั้น) ด้วยประจุของ ปานกลาง (จุดสนาม)

*ยังคงเชื่อกันในฟิสิกส์ว่า ถ้า: ตัวนำมีพื้นที่หน้าตัดที่มีพื้นที่ S ประจุของแต่ละอนุภาคเท่ากับ q 0 และปริมาตรของตัวนำถูกจำกัดด้วยหน้าตัด 1 และ 2 และความยาว () ประกอบด้วยอนุภาค โดยที่ n คือความเข้มข้นของอนุภาค นั่นคือค่าใช้จ่ายทั้งหมด หากอนุภาคเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวด้วยความเร็วเฉลี่ย v ดังนั้นในช่วงเวลานั้นอนุภาคทั้งหมดที่มีอยู่ในปริมาตรที่พิจารณาจะผ่านหน้าตัด 2 ดังนั้นความแรงของกระแสจึงเท่ากับ

เหมือนเราสามารถพูดได้ในกรณีของลักษณะทั่วไปของระเบียบวิธีของเรา (3-6) แทนที่จะบอกจำนวนอนุภาค เราควรพูดจำนวนเหตุการณ์ซึ่งในความหมายถูกต้องมากกว่า เนื่องจากมีอนุภาค (เหตุการณ์) ที่มีประจุมากกว่ามาก ในตัวนำมากกว่า ตัวอย่างเช่น อิเล็กตรอนในโลหะ การพึ่งพาจะถูกเขียนใหม่เป็น ดังนั้นความถูกต้องของ (3-6) และลักษณะทั่วไปอื่น ๆ ของงานนี้จึงได้รับการยืนยันอีกครั้ง

จุดสองจุดของสนามที่เป็นเนื้อเดียวกันซึ่งอยู่ห่างจากกันในอวกาศซึ่งมีศักย์ไฟฟ้า (ประจุ) ที่แตกต่างกันมีสัมพันธ์กับพลังงานศักย์ซึ่งกันและกันซึ่งมีตัวเลขเท่ากับงานในการเปลี่ยนศักย์ไฟฟ้าจากค่าเป็น มันเท่ากับความแตกต่างของพวกเขา

. (22)

มิฉะนั้น เราก็สามารถเขียนกฎของโอห์มให้เท่ากันได้

. (23)

โดยที่ในกรณีนี้คือค่าความต้านทานซึ่งแสดงจำนวนเหตุการณ์ที่ต้องเปลี่ยนปริมาณประจุ โดยมีเงื่อนไขว่าในแต่ละเหตุการณ์ประจุจะเปลี่ยนตามค่าคงที่ของกระแสที่เรียกว่ากระแส "ชั่วขณะ" ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของ ตัวนำ จากนี้ไปกระแสคือปริมาณที่ได้ตามเวลาและแนวคิดของแรงดันไฟฟ้า ควรจำไว้ว่าในหน่วย SI ค่าการนำไฟฟ้าจะแสดงในซีเมนส์ด้วยมิติ: cm = 1 / Ohm = Ampere / Volt = kg -1 m -2 s ³ก². ความต้านทานในฟิสิกส์คือปริมาณซึ่งกันและกันซึ่งเท่ากับผลคูณของการนำไฟฟ้า (ความต้านทานของส่วนตัดขวางของวัสดุ) และความยาวของตัวนำ สิ่งที่เขียนได้ (ตามความหมายทั่วไป (3-6)) เช่น

(24)

- ความหมายทางกายภาพของการเหนี่ยวนำสนามแม่เหล็ก เป็นที่ยอมรับจากการทดลองว่าอัตราส่วนของค่าสูงสุดของโมดูลัสแรงที่กระทำต่อตัวนำที่มีกระแสไฟฟ้า ( แรงของแอมแปร์) ต่อความแรงของกระแส - I ต่อความยาวของตัวนำ - l ไม่ขึ้นอยู่กับความแรงของกระแสใน ตัวนำหรือความยาวของตัวนำ ถือเป็นลักษณะของสนามแม่เหล็กในตำแหน่งที่ตัวนำตั้งอยู่ - การเหนี่ยวนำสนามแม่เหล็กค่าขึ้นอยู่กับโครงสร้างของสนาม - ซึ่งสอดคล้องกัน

(25)

และตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

เมื่อเราหมุนเฟรมในสนามแม่เหล็ก ก่อนอื่นเราจะเพิ่มจำนวนเหตุการณ์ปฏิสัมพันธ์ของวัตถุที่มีประจุในเฟรมและวัตถุที่มีประจุในสนาม นี่แสดงถึงการพึ่งพาแรงเคลื่อนไฟฟ้าและกระแสในเฟรมกับความเร็วการหมุนของเฟรมและความแรงของสนามใกล้กับเฟรม เราหยุดเฟรม - ไม่มีการโต้ตอบ - ไม่มีกระแส ซี หมุนวน (เปลี่ยน)สนาม - กระแสไหลในเฟรม

- ความหมายทางกายภาพของอุณหภูมิในปัจจุบันในวิชาฟิสิกส์ แนวคิดเรื่องการวัดอุณหภูมิไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย หนึ่งเคลวินเท่ากับ 1/273.16 ของอุณหภูมิทางอุณหพลศาสตร์ของจุดสามจุดของน้ำ จุดเริ่มต้นของมาตราส่วน (0 K) เกิดขึ้นพร้อมกับศูนย์สัมบูรณ์ การแปลงเป็นองศาเซลเซียส: °C = K -273.15 (อุณหภูมิของจุดสามจุดของน้ำ - 0.01 °C)
ในปี 2548 คำจำกัดความของเคลวินได้รับการปรับปรุงให้ดีขึ้น ในภาคผนวกทางเทคนิคบังคับของ ITS-90 คณะกรรมการที่ปรึกษาด้านเทอร์โมมิเตอร์ได้กำหนดข้อกำหนดสำหรับองค์ประกอบไอโซโทปของน้ำเมื่อคำนึงถึงอุณหภูมิจุดสามจุดของน้ำ

แต่ถึงอย่างไร, ความหมายทางกายภาพและสาระสำคัญของแนวคิดเรื่องอุณหภูมิง่ายกว่าและชัดเจนกว่ามาก โดยเนื้อแท้แล้วอุณหภูมิเป็นผลมาจากปฏิกิริยาระหว่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นภายในสารที่มีสาเหตุทั้ง "ภายใน" และ "ภายนอก" กิจกรรมเพิ่มเติม - อุณหภูมิที่มากขึ้น กิจกรรมน้อยลง- อุณหภูมิต่ำกว่า ดังนั้นปรากฏการณ์การเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิในปฏิกิริยาเคมีหลายชนิด ป.ล. กปิตสาก็เคยกล่าวไว้ว่า "... การวัดอุณหภูมิไม่ใช่การเคลื่อนไหว แต่เป็นความสุ่มของการเคลื่อนไหวนี้ ความสุ่มของสภาวะของร่างกายเป็นตัวกำหนดสถานะอุณหภูมิของมัน และแนวคิดนี้ (ซึ่งได้รับการพัฒนาครั้งแรกโดย Boltzmann) ที่กำหนดสถานะอุณหภูมิที่แน่นอน ของร่างกายไม่ได้ถูกกำหนดด้วยพลังงานแห่งการเคลื่อนไหวเลย แต่ด้วยความสุ่มของการเคลื่อนไหวนี้ และเป็นแนวคิดใหม่ในการอธิบายปรากฏการณ์อุณหภูมิที่เราต้องใช้…” (รายงานโดยผู้ได้รับรางวัล รางวัลโนเบล 1978 Pyotr Leonidovich Kapitsa “คุณสมบัติของฮีเลียมเหลว” อ่านในการประชุม “ปัญหา วิทยาศาสตร์สมัยใหม่"ที่มหาวิทยาลัยมอสโก เมื่อวันที่ 21 ธันวาคม พ.ศ. 2487)
การวัดความโกลาหลควรเข้าใจว่าเป็นลักษณะเชิงปริมาณของตัวเลข เหตุการณ์ปฏิสัมพันธ์ ต่อหน่วยเวลาในหน่วยปริมาตรของสาร - มัน อุณหภูมิ. ไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่คณะกรรมการชั่งน้ำหนักและมาตรการระหว่างประเทศจะเปลี่ยนคำจำกัดความของเคลวิน (การวัดอุณหภูมิ) ในปี 2554 เพื่อกำจัดสภาวะที่ยากต่อการทำซ้ำของ "จุดสามจุดของน้ำ" ในคำจำกัดความใหม่ เคลวินจะแสดงในรูปของวินาทีและค่าของค่าคงที่ของโบลต์ซมันน์ซึ่งตรงกับลักษณะทั่วไปขั้นพื้นฐาน (3-6) ของงานนี้ทุกประการ ในกรณีนี้ ค่าคงที่ของ Boltzmann จะแสดงการเปลี่ยนแปลงในสถานะของสสารจำนวนหนึ่งในระหว่างเหตุการณ์เดียว (ดูความหมายทางกายภาพของอนุพันธ์) และค่าและมิติของเวลาจะแสดงลักษณะของจำนวนเหตุการณ์ในช่วงเวลาหนึ่ง นี่เป็นการพิสูจน์อีกครั้งว่า โครงสร้างเชิงสาเหตุของอุณหภูมิ - เหตุการณ์-ปฏิสัมพันธ์อันเป็นผลมาจากปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น วัตถุในแต่ละเหตุการณ์จะแลกเปลี่ยนพลังงานจลน์ (โมเมนตัมเชิงมุมเช่นเดียวกับการชนกันของลูกบอล) และในที่สุดตัวกลางก็จะเข้าสู่สมดุลทางอุณหพลศาสตร์ (กฎข้อแรกของอุณหพลศาสตร์)

- ความหมายทางกายภาพของพลังงานและความแข็งแกร่ง

ในฟิสิกส์สมัยใหม่ พลังงาน E มีมิติที่แตกต่างกัน (ธรรมชาติ) มีธรรมชาติมากมายพอๆ กับที่มีพลังงาน ตัวอย่างเช่น:

แรงคูณด้วยความยาว (E γ F ·l asyN*m)

ความดันคูณด้วยปริมาตร (E µ P ·VµN*m 3 /m 2 µN*m)

แรงกระตุ้นคูณด้วยความเร็ว (E µ p vµkg*m /s*m /s (N* s 2 )/m*(m/s*m /s) µN*m);

มวลคูณด้วยความเร็วยกกำลังสอง (E µm ·v 2 µN*m)

กระแสคูณด้วยแรงดัน (E µ I U หยาบคาย

จากความสัมพันธ์เหล่านี้เป็นไปตามแนวคิดที่ประณีตเกี่ยวกับพลังงานและการเชื่อมโยงกับพลังงาน เหตุการณ์ และการเปลี่ยนแปลงที่เป็นมาตรฐานเดียว (หน่วยวัด)

พลังงาน, – เป็นคุณลักษณะเชิงปริมาณของการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ทางกายภาพใดๆ ของสสารภายใต้อิทธิพลของปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ในมิติเดียวกันที่ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงนี้ มิฉะนั้น เราสามารถพูดได้ว่าพลังงานเป็นคุณลักษณะเชิงปริมาณที่ใช้กับสมบัติของแรงกระทำภายนอกเป็นระยะเวลาหนึ่ง (ในระยะไกล) ขนาดของพลังงาน (จำนวน) คืออัตราส่วนของขนาดของการเปลี่ยนแปลงของลักษณะบางอย่างต่อมาตรฐานพลังงานที่เป็นทางการและเป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปของลักษณะนี้ มิติของพลังงานคือมิติของมาตรฐานพลังงานที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปอย่างเป็นทางการ โดยพื้นฐานแล้ว ขนาดและมิติของพลังงาน การเปลี่ยนแปลงในเวลาและพื้นที่ ขึ้นอยู่กับขนาดโดยรวมของการเปลี่ยนแปลงอย่างเป็นทางการโดยสัมพันธ์กับมาตรฐานและมิติของมาตรฐาน และขึ้นอยู่กับลักษณะของลำดับเหตุการณ์อย่างไม่เป็นทางการ

ขนาดรวมของการเปลี่ยนแปลง - ขึ้นอยู่กับจำนวนเหตุการณ์การโต้ตอบที่เปลี่ยนขนาดของการเปลี่ยนแปลงทั้งหมดในเหตุการณ์เดียวโดย - แรงต่อหน่วยเฉลี่ย - ค่าอนุพันธ์

มาตรฐานพลังงานในลักษณะเฉพาะ (มิติ) จะต้องสอดคล้องกับแนวคิดทั่วไป มาตรฐาน (เอกภาวะ เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป ไม่เปลี่ยนรูป)มีมิติของฟังก์ชันลำดับเหตุการณ์ในกาล-อวกาศและค่าที่เปลี่ยนแปลง

ความสัมพันธ์เหล่านี้ในความเป็นจริงแล้วเป็นเรื่องธรรมดาสำหรับพลังงานของการเปลี่ยนแปลงใดๆ ในสสาร

เกี่ยวกับความแข็งแกร่งและขนาดหรือโดยพื้นฐานแล้วมีแรง "ทันทีทันใด" แบบเดียวกับที่เปลี่ยนแปลงพลังงาน

. (26)

ดังนั้นภายใต้ แนวคิดทั่วไปความเฉื่อยควรเข้าใจว่าเป็นขนาดของการเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์เบื้องต้นในพลังงานภายใต้อิทธิพลของปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์เดียว (ไม่เหมือนกับแรงที่ไม่สัมพันธ์กับค่าของช่วงเวลา แต่เป็นการสันนิษฐานว่ามีอยู่ของช่วงเวลาที่ไม่แปรเปลี่ยนของการกระทำ) ซึ่งมีช่วงเวลาตามจริง (ช่วงเว้นวรรค) ของค่าคงที่จนถึงเหตุการณ์ถัดไป

ช่วงเวลาคือความแตกต่างระหว่างสองช่วงเวลาในการเริ่มต้นของการโต้ตอบเหตุการณ์ที่กำหนดและครั้งต่อไป หรือจุดประสานงานสองจุดของเหตุการณ์ในอวกาศ

ความเฉื่อยมีมิติของพลังงานเนื่องจากพลังงานคือผลรวมของค่าความเฉื่อยในเวลาภายใต้อิทธิพลของปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์ ขนาดของการเปลี่ยนแปลงพลังงานเท่ากับผลรวมของความเฉื่อย

(27)

มิฉะนั้น เราสามารถพูดได้ว่าความเฉื่อยที่มอบให้กับคุณสมบัติเชิงนามธรรมโดยเหตุการณ์ปฏิสัมพันธ์คือพลังงานของการเปลี่ยนแปลงในคุณสมบัติ ซึ่งมีช่วงเวลาคงที่จนกระทั่งถึงเหตุการณ์ปฏิสัมพันธ์ครั้งถัดไป

- ความหมายทางกายภาพของเวลา เป็นวิธีอย่างเป็นทางการในการทราบขนาดของระยะเวลาของการเปลี่ยนแปลง (ค่าคงที่) เป็นวิธีการวัดขนาดของระยะเวลาโดยเปรียบเทียบกับมาตรฐานของระยะเวลาที่เป็นทางการ เป็นการวัดระยะเวลาของการเปลี่ยนแปลง (ระยะเวลา ระยะเวลา

และถึงเวลาที่จะหยุดการคาดเดามากมายเกี่ยวกับการตีความแนวคิดพื้นฐานของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ

- ความหมายทางกายภาพของพื้นที่พิกัด เป็นขนาด (มาตรการ) ของการเปลี่ยนแปลง (เส้นทาง ระยะทาง)

(32)

มีมิติของรูปแบบที่เป็นทางการหน่วยมาตรฐานของพื้นที่ (พิกัด) และขนาดของพิกัดที่เป็นส่วนหนึ่งของการทำงานของลำดับเหตุการณ์ในอวกาศ , เท่ากัน จำนวนทั้งหมดมาตรฐานพิกัดตามช่วงเวลา เมื่อวัดพิกัดเพื่อความสะดวกจะแปรผันเชิงเส้น ปริพันธ์ย่อยฟังก์ชันที่มีอินทิกรัลเท่ากับจำนวนช่วงมาตรฐานที่เลือกอย่างเป็นทางการของพิกัดหน่วย

- ความหมายทางกายภาพของพื้นฐานทั้งหมด คุณสมบัติทางกายภาพ(พารามิเตอร์) ที่แสดงคุณลักษณะของตัวกลางใด ๆ ในระหว่างปฏิสัมพันธ์ที่สมส่วนกับมันเบื้องต้น (ความสามารถในการซึมผ่านของอิเล็กทริกและแม่เหล็ก ค่าคงที่ของพลังค์ ค่าสัมประสิทธิ์แรงเสียดทานและแรงตึงผิว ความร้อนจำเพาะ ค่าคงที่ของโลก ฯลฯ)

ดังนั้นจึงได้รับการพึ่งพาใหม่ซึ่งมีรูปแบบการบันทึกเริ่มต้นเดียวและความหมายเชิงสาเหตุที่สม่ำเสมอตามระเบียบวิธีเดียว และความหมายเชิงสาเหตุนี้ได้มาจากการนำหลักการทางกายภาพระดับโลกมาสู่วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ - "ปฏิสัมพันธ์ระหว่างเหตุการณ์"

ผู้อ่านที่รัก นี่คือสิ่งที่ควรจะเป็นในแง่ทั่วไปที่สุด คณิตศาสตร์ใหม่กอปรด้วยความหมายทางกายภาพและความแน่นอน และ ฟิสิกส์ใหม่ของปฏิสัมพันธ์แห่งศตวรรษที่ 21 ปราศจากกลุ่มแนวคิดที่ไม่เกี่ยวข้องซึ่งขาดคำจำกัดความ ขนาด และมิติ และดังนั้นจึงขาดสามัญสำนึก ดังกล่าว เช่น ยังไง อนุพันธ์คลาสสิกและความเร็วชั่วขณะ - มีอะไรที่เหมือนกันน้อยมาก แนวคิดทางกายภาพของความเร็ว. ยังไง แนวคิดเรื่องความเฉื่อย – ความสามารถบางอย่างของร่างกายในการรักษาความเร็ว... อย่างไร ระบบอ้างอิงเฉื่อย (IRS) ซึ่งไม่มีอะไรเหมือนกันเลย แนวคิดของกรอบอ้างอิง(ดังนั้น). เนื่องจาก ISO แตกต่างจากกรอบอ้างอิง (FR) ทั่วไป ไม่ใช่ระบบวัตถุประสงค์ของการรับรู้ถึงขนาดของการเคลื่อนไหว (การเปลี่ยนแปลง)เมื่อเทียบกับ ISO ตามคำจำกัดความแล้ว เนื้อหาจะอยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงหรือสม่ำเสมอเท่านั้น และยังมีสิ่งอื่น ๆ อีกมากมายที่ได้รับการทำซ้ำอย่างโง่เขลามานานหลายศตวรรษว่าเป็นความจริงที่ไม่สั่นคลอน ความจริงหลอกเหล่านี้ซึ่งกลายมาเป็นพื้นฐานแล้ว ไม่มีความสามารถที่เป็นพื้นฐาน สม่ำเสมอ และอีกต่อไป เหตุและผล อธิบายการพึ่งพาทั่วไป ปรากฏการณ์ต่าง ๆ มากมายในจักรวาลที่มีอยู่และเปลี่ยนแปลงไปตามกฎแห่งธรรมชาติอันเดียวกัน