Головна › Різне › Елементи фракталу. Лабораторія космічних досліджень

Елементи фракталу. Лабораторія космічних досліджень

Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися наприкінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Слово фрактал утворене від латинського fractus і в перекладі означає, що складається з фрагментів. Воно було запропоновано Бенуа Мандельбротом в 1975 для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом у 1977 році книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature.У його роботах використані наукові результати інших учених, які працювали в період 1875-1925 років в тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф ) Але тільки в наш час вдалося об'єднати їх роботи в єдину систему.
Роль фракталів у машинній графіці сьогодні досить велика. Вони приходять на допомогу, наприклад, коли потрібно за допомогою декількох коефіцієнтів задати лінії і поверхні дуже складної форми. З погляду машинної графіки, фрактальна геометрія незамінна при генерації штучних хмар, гір, поверхні моря. Фактично знайдено спосіб легеніуявлення складних неевклідових об'єктів, образи яких дуже схожі на природні.
Однією з основних властивостей фракталів є самоподібність. В самому простому випадкуневелика частина фрактал містить інформацію про весь фрактал. Визначення фракталу, дане Мандельбротом, звучить так: "Фрактал називається структура, що складається з частин, які в якомусь сенсі подібні до цілого".

Існує велике числоматематичних об'єктів званих фракталами (трикутник Серпінського, сніжинка Коха, крива Пеано, безліч Мандельброта та лоренцеві атрактори). Фрактали з великою точністю описують багато фізичних явищ і освіти реального світу: гори, хмари, турбулентні (вихрові) течії, коріння, гілки та листя дерев, кровоносні судини, що далеко не відповідає простим геометричним фігурам. Вперше про фрактальну природу нашого світу заговорив Бенуа Мандельброт у своїй основній роботі "Фрактальна геометрія природи".
Термін фрактал введений Бенуа Мандельбротом у 1977 році у його фундаментальній роботі "Фрактали, Форма, Хаос і Розмірність". Згідно з Мандельбротом, слово фрактал походить від латинських слів fractus - дробовий і frangere - ламати, що відображає суть фракталу, як "зламаного", нерегулярного безлічі.

Класифікація фракталів.

Для того, щоб представити все різноманіття фракталів, зручно вдатися до їх загальноприйнятої класифікації. Існує три класи фракталів.

1. Геометричні фрактали.

Фрактали цього класу найнаочніші. У двомірному випадку їх одержують за допомогою ламаної (або поверхні у тривимірному випадку), яка називається генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор у відповідному масштабі. Внаслідок нескінченного повторення цієї процедури виходить геометричний фрактал.

Розглянемо на прикладі один із таких фрактальних об'єктів – тріадну криву Коха.

Побудова тріадної кривої Коха.

Візьмемо прямолінійний відрізок довжини 1. Назвемо його затравкою. Розіб'ємо затравку на три рівні частини довжиною в 1/3, відкинемо середню частину і замінимо її ламаною з двох ланок довжиною 1/3.

Ми отримаємо ламану, що складається з 4 ланок із загальною довжиною 4/3 , - так званий перше покоління.

Для того, щоб перейти до наступного покоління кривої Коха, треба у кожної ланки відкинути та замінити середню частину. Відповідно довжина другого покоління буде 16/9, третього – 64/27. якщо продовжити цей процес до нескінченності, то в результаті вийде тріадна крива Коха.

Розглянемо тепер св-ва тріадною кривою Коха і з'ясуємо, чому ж фрактали називали «монстрами».

По-перше, ця крива немає довжини - як ми переконалися, з кількістю поколінь її довжина прагне нескінченності.

По-друге, до цієї кривої неможливо побудувати дотичну – кожна її точка є точкою перегину, в якій похідна не існує, – ця крива не гладка.

Довжина і гладкість - фундаментальні св-ва кривих, які вивчаються як евклідовою геометрією, і геометрією Лобачевського, Рімана. До тріадної кривої Коха традиційні методи геометричного аналізувиявилися непридатними, тому крива Коха виявилася чудовиськом – «монстром» серед гладких мешканців традиційних геометрій.

Побудова "дракона" Хартера-Хейтуея.

Для отримання іншого фрактального об'єкта необхідно змінити правила побудови. Нехай утворюючим елементом будуть два рівні відрізки, з'єднаних під прямим кутом. У нульовому поколінні замінимо одиничний відрізок на цей утворюючий елемент так, щоб кут був зверху. Можна сказати, що за такої заміни відбувається зміщення середини ланки. При побудові наступних поколіньвиконується правило: найперша ліворуч ланка замінюється на утворює елемент так, щоб середина ланки зміщувалась ліворуч від напрямку руху, а при заміні наступних ланок, напрямки зміщення середин відрізків повинні чергуватись. На малюнку представлені кілька перших поколінь і 11 покоління кривої, побудованої за вищеописаним принципом. Крива, що при n прагне до нескінченності, називається драконом Хартера-Хейтуея.
У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідне для отримання зображень дерев, кущів. Двовимірні геометричні фрактали використовуються для створення об'ємних текстур (малюнку на поверхні об'єкта).

2. Алгебраїчні фрактали

Це найбільша група фракталів. Отримують їх за допомогою нелінійних процесів у n-мірних просторах. Найбільш вивчені двомірні процеси. Інтерпретуючи нелінійний ітераційний процес, як дискретну динамічну систему, можна скористатися термінологією теорії цих систем: фазовий портрет, процес, атрактор і т.д.
Відомо, що нелінійні динамічні системи мають кілька стійких станів. Той стан, у якому опинилася динамічна система після певної кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан (або як кажуть - атрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить у кінцеві стани, що розглядаються. Таким чином фазовий простір системи розбивається на ділянці тяжіння атракторів. Якщо фазовим є двовимірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати фазовий колірний портрет цієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати складні нетривіальні структури.

Безліч Мандельброта.

Як приклад розглянемо безліч Мандельброта. Алгоритм його побудови досить простий і ґрунтується на простому ітеративному вираженні: Z = Z [i] * Z [i] + C, де Ziі C- Комплексні змінні. Ітерації виконуються для кожної стартової точки з прямокутної або квадратної області - підмножини комплексної площини. Ітераційний процес триває доти, доки Z[i]не вийде за межі кола радіуса 2, центр якого лежить у точці (0,0), (це означає, що атрактор динамічної системи знаходиться в нескінченності), або після досить великої кількості ітерацій (наприклад 200-500) Z[i]зійдеться до якоїсь точки окружності. Залежно від кількості ітерацій, протягом яких Z[i]залишалася всередині кола, можна встановити колір точки C(якщо Z[i]залишається всередині кола протягом досить великої кількості ітерацій, ітераційний процес припиняється і ця точка растра забарвлюється в чорний колір.

3.Стохастичні фрактали

Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційному процесі хаотично змінювати будь-які його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні – несиметричні дерева, порізані берегові лінії тощо. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості та поверхні моря.
Існують і інші класифікації фракталів, наприклад розподіл фракталів на детерміновані (алгебраїчні та геометричні) та недетерміновані (стохастичні).

Про застосування фракталів

Насамперед, фрактали – область дивовижного математичного мистецтва, коли за допомогою найпростіших формул та алгоритмів виходять картини надзвичайної краси та складності! У контурах побудованих зображень нерідко вгадуються листя, дерева та квіти.

Одні з найпотужніших додатків фракталів лежать у комп'ютерної графіки. По-перше, це фрактальне стиснення зображень, і по-друге побудова ландшафтів, дерев, рослин та генерування фрактальних текстур. Сучасна фізика і механіка щойно починають вивчати поведінку фрактальних об'єктів. І, звичайно ж, фрактали застосовуються безпосередньо у самій математиці.
Переваги алгоритмів фрактального стиснення зображень - дуже малий розмір упакованого файлу і короткий час відновлення картинки. Фрактально упаковані зображення можна масштабувати без появи пікселізації. Але процес стиснення займає тривалий час і іноді триває годинами. Алгоритм фрактальної упаковки із втратою якості дозволяє встановити ступінь стиснення, аналогічно формату jpeg. В основі алгоритму лежить пошук великих шматків зображення подібних до деяких маленьких шматочків. І у вихідний файл записується тільки якийсь шматочок якому подібний. При стиску зазвичай використовують квадратну сітку (шматочки - квадрати), що призводить до невеликої незграбності при відновленні картинки, шестикутна сітка позбавлена такого недоліку.
Компанією Iterated розроблено новий формат зображень "Sting", що поєднує в собі фрактальне та "хвильове" (таке як у форматі jpeg) стиск без втрат. Новий формат дозволяє створювати зображення з можливістю подальшого високоякісного масштабування, причому обсяг графічних файлів складає 15-20% обсягу стиснених зображень.
Схильність фракталів бути схожими на гори, квіти та дерева експлуатується деякими графічними редакторами, наприклад фрактальні хмари з 3D studio MAX, фрактальні гори у World Builder. Фрактальні дерева, гори та цілі пейзажі задаються простими формулами, легко програмуються та не розпадаються на окремі трикутники та кубики при наближенні.
Не можна обійти стороною та застосування фракталів у самій математиці. У теорії множин безліч Кантора доводить існування досконалих ніде не щільних множин, в теорії міри самоафінна функція "Канторова драбина" є гарним прикладом функції розподілу сингулярної міри.
У механіці та фізиці фрактали використовуються завдяки унікальній властивостіповторювати контури багатьох об'єктів природи. Фрактали дозволяють наближати дерева, гірські поверхні та тріщини з більш високою точністю, ніж наближення наборами відрізків або багатокутників (при тому ж обсязі даних, що зберігаються). Фрактальні моделі, як і природні об'єкти, мають "шорсткість", і властивість це зберігається при будь-якому великому збільшенні моделі. Наявність на фракталах рівномірної міри дозволяє застосовувати інтегрування, теорію потенціалу, використовувати їх замість стандартних об'єктів у вже досліджених рівняннях.
При фрактальному підході хаос перестає бути синім безладу і набуває тонкої структури. Фрактальна наука ще дуже молода, і її чекає велике майбутнє. Краса фракталів далеко не вичерпана і ще подарує нам чимало шедеврів - тих, які насолоджують око, і тих, які приносять справжню насолоду розуму.

Про побудову фракталів

Метод послідовних наближень

Дивлячись на цю картинку, неважко зрозуміти, як можна збудувати самоподібний фрактал (в даному випадку піраміду Серпінського). Потрібно взяти звичайну піраміду (тетраедр), потім вирізати її середину (октаедр), в результаті чого у нас виходить чотири маленькі пірамідки. З кожною з них ми робимо ту ж саму операцію і т.д. Це дещо наївне, але наочне пояснення.

Розглянемо суть методу суворіше. Нехай є деяка IFS-система, тобто. система стискаючих відображень S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (наприклад, для нашої пірамідки відображення мають вигляд S i (x)=1/2*x+o i , де o i - вершини тетраедра, i=1,..,4). Потім вибираємо деяке компактне безліч A 1 R n (у нашому випадку вибираємо тетраедр). І визначаємо по індукції послідовність множин A k : Ak + 1 = S 1 (A k) U ... U S m (A k). Відомо, що множини Ak з зростанням k, все краще наближають шуканий атрактор системи S.

Зауважимо, що кожна з цих ітерацій є атрактором рекурентної системи ітерованих функцій(англійський термін Digraph IFS, RIFSі також Graph-directed IFS) і тому їх легко збудувати за допомогою нашої програми.

Побудова за точками або ймовірнісний метод

Це найлегший реалізації на комп'ютері метод. Для простоти розглянемо випадок плоскої самоафінної множини. Отже, нехай (S

) - деяка система афінних стисків. Відображення S

представлені у вигляді: S

Фіксована матриця розміру 2x2 та o

Двовимірний вектор стовпець.

Візьмемо нерухому точку першого відображення S 1 як початкову точку:
x: = o1;
Тут ми користуємося тим, що всі нерухомі точки стисків S 1, .., S m належать фракталу. Як початкова точка можна вибрати довільну точку і породжена нею послідовність точок стягнеться до фракталу, але тоді на екрані з'являться кілька зайвих точок.
Зазначимо поточну точку x=(x 1 ,x 2) на екрані:
putpixel(x 1, x 2, 15);
Виберемо випадково число j від 1 до m і перерахуємо координати точки x:
j:=Random(m)+1;
x: = S j (x);
Переходимо на крок 2, або, якщо зробили досить багато ітерацій, то зупиняємося.

Примітка.Якщо коефіцієнти стиснення відображень S i різні, то фрактал заповнюватиметься точками нерівномірно. Якщо відображення S i є подобами, цього можна уникнути невеликим ускладненням алгоритму. Для цього на 3-му кроці алгоритму число j від 1 до m треба вибирати з ймовірностями p 1 =r 1 s ,. з рівняння r1s+...+rms=1. Вирішення цього рівняння можна знайти, наприклад, методом Ньютона.

Про фрактали та їх алгоритми

Фрактал походить від латинського прикметника "fractus", і в перекладі означає, що складається з фрагментів, а відповідне латинське дієслово "frangere" означає розбивати, тобто створювати неправильні фрагменти. Поняття фрактал і фрактальна геометрія, що з'явилися наприкінці 70-х, з середини 80-х міцно увійшли в ужиток математиків і програмістів. Термін був запропонований Бенуа Мандельбротом в 1975 для позначення нерегулярних, але самоподібних структур, якими він займався. Народження фрактальної геометрії прийнято пов'язувати з виходом у 1977 році книги Мандельброта The Fractal Geometry of Nature - Фрактальна геометрія природи. У його роботах використано наукові результати інших учених, які працювали в період 1875-1925 років у тій же області (Пуанкаре, Фату, Жюліа, Кантор, Хаусдорф).

Корективи

Дозволю собі внести деякі корективи до алгоритмів запропонованих у книзі Х.-О. Пайтгена і П.Х.Рихтера "Краса фракталів" М. 1993 суто для викорінення друкарських помилок і полегшення розуміння процесів оскільки після їх вивчення багато чого залишилося для мене загадкою. На жаль ці "зрозумілі" і "прості" алгоритми ведуть спосіб життя, що хитає.

В основі побудови фракталів лежить якась нелінійна функція комплексного процесу із зворотним зв'язком z=> z 2 +c оскільки z і с -комплексні числа, то z=x+iy, c=p+iq необхідно розкласти його на х і щоб перейти в більш реальну для простої людиниплощина:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Площина, що складається з усіх пар (x, y), може розглядатися як при фіксованих значеннях р і q, і при динамічних. У першому випадку перебираючи за законом всі точки (х, у) площини і забарвлюючи їх залежно від кількості повторень функції необхідні виходу з ітераційного процесу або не забарвлюючи (чорний колір) при підвищенні допустимого максимуму повторень ми отримаємо відображення безлічі Жюліа. Якщо, навпаки, визначити початкову пару значень (x, y) і простежити її колористическую долю при значеннях параметрів p і q, що динамічно змінюються, то одержуємо зображення, звані множинами Мандельброта.

До питання про алгоритми розмальовки фракталів.

Зазвичай тіло множини представляють у вигляді чорного поля, хоча очевидно, що чорний колір може бути замінений на будь-який інший, але це також мало цікавий результат. Отримати зображення безлічі розфарбованого в усі кольори - завдання яка може вирішуватися з допомогою циклічних операцій т.к. кількість ітерації формують тіло множини одно максимально можливому і завжди одне і теж. Розфарбувати безліч різні кольориможливо застосувавши як номер кольору результат перевірки умови виходу з циклу (z_magnitude) або подібний до нього, але з іншими математичними діями.

Застосування "фрактального мікроскопа"

для демонстрації прикордонних явищ.

Атрактори - центри, що ведуть боротьбу за домінування на площині. Між атракторами виникає межа, що представляє витуватий візерунок. Збільшуючи масштаб розгляду в межах меж множини можна отримувати нетривіальні візерунки, що відображають стан детермінованого хаосу - звичайного явища у світі природи.

Досліджувані географами об'єкти утворюють систему з дуже складно організованими кордонами, у зв'язку з чим їх проведення стає непростим практичним завданням. Природні комплекси мають ядра типовості виступають як атрактори, що втрачають силу впливу на територію в міру її видалення.

Використовуючи фрактальний мікроскоп для множин Мандельброта і Жюліа можна сформувати уявлення про прикордонні процеси та явища, однаково складні незалежно від масштабу розгляду і таким чином підготувати сприйняття фахівця до зустрічі з динамічним і на перший погляд хаотичним у просторі та часі природним об'єктом, до розуміння фракції. природи. Багатоколірність фарб і фрактальна музика безперечно залишать глибокий слід у свідомості учнів.

Фракталам присвячені тисячі публікацій та величезні ресурси інтернет, проте для багатьох фахівців далеких від інформатики цей термін є абсолютно новим. Фрактали, як об'єкти, що становлять інтерес для фахівців різних галузей знання, повинні отримати належне місце в курсі інформатики.

Приклади

РЕШИТКА СЕРПІНСЬКОГО

Це один із фракталів, з якими експериментував Мандельброт, коли розробляв концепції фрактальних розмірностей та ітерацій. Трикутники, сформовані з'єднанням середніх точок більшого трикутника, вирізані з головного трикутника, утворюючи трикутник, з великою кількістю дірочок. У цьому випадку ініціатор - великий трикутник, а шаблон - операція вирізування трикутників, подібних до більшого. Так само можна отримати і тривимірну версію трикутника, використовуючи звичайний тетраедр і вирізуючи невеликі тетраедри. Розмірність такого фракталу ln3/ln2 = 1.584962501.

Щоб отримати килим Серпінського, Візьмемо квадрат, розділимо його на дев'ять квадратів, а середній виріжемо. Те саме зробимо і з рештою менших квадратів. Зрештою утворюється плоска фрактальна сітка, яка не має площі, але з нескінченними зв'язками. У своїй просторовій формі губка Серпінського перетворюється на систему наскрізних форм, в якій кожен наскрізний елемент постійно замінюється собі подібним. Ця структура дуже схожа на розріз кісткової тканини. Колись такі повторювані структури стануть елементом будівельних конструкцій. Їхня статика і динаміка, вважає Мандельброт, заслуговує на пильне вивчення.

КРИВА КОХА

Крива Коха - один з найбільш типових детермінованих фракталів. Вона була винайдена в ХІХ столітті німецьким математиком на ім'я Хельге фон Кох, який, вивчаючи роботи Георга Контора і Карла Вейєрштрассе, натрапив на описи деяких дивних кривих з незвичайною поведінкою. Ініціатор – пряма лінія. Генератор - рівносторонній трикутник, сторони якого дорівнюють третини довжини більшого відрізка. Ці трикутники додаються до середини кожного сегмента знову і знову. У своєму дослідженні Мандельброт багато експериментував з кривими Коха, і отримав фігури такі як Острови Коха, Хрести Коха, Сніжинки Коха і навіть тривимірні уявлення кривої Коха, використовуючи тетраедр і додаючи менші за розмірами тетраедри до кожної його грані. Крива Коха має розмірність ln4/ln3 = 1.261859507.

ФРАКТАЛ МАНДЕЛЬБРОТУ

Це не безліч Мандельброта, яке можна досить часто бачити. Багато Мандельброта засноване на нелінійних рівняннях і є комплексним фракталом. Це теж варіант кривої Коха, незважаючи на те, що цей об'єкт не схожий на неї. Ініціатор і генератор також відмінні від використаних для створення фракталів, заснованих на принципі кривої Коха, але ідея залишається тією ж. Замість того щоб приєднувати рівносторонні трикутники до відрізка кривої, квадрати приєднуються до квадрата. Завдяки тому, що цей фрактал займає половину відведеного простору при кожній ітерації, він має просту фрактальну розмірність 3/2 = 1.5.

П'ЯТКУТНИК ДАРЕРА

Фрактал виглядає як зв'язка п'ятикутників, стиснутих разом. Фактично він утворений при використанні п'ятикутника в якості ініціатора і рівнобедрених трикутників, відношення більшої сторони до меншої в яких точно так званої золотої пропорції (1.618033989 або 1/(2cos72)) в якості генератора. Ці трикутники вирізаються з середини кожного п'ятикутника, у результаті виходить фігура, схожа на 5 маленьких п'ятикутників, приклеєних до одного великому.

Варіант цього фракталу можна отримати при використанні як ініціатор шестикутника. Цей фрактал називається Зірка Давида і досить схожий на шестикутну версію Сніжинки Коха. Фрактальна розмірність п'ятикутника Дарера ln6/ln(1+g), де g - відношення довжини більшої сторони трикутника до меншої довжини. У даному випадку g - це Золота Пропорція, так що фрактальна розмірність приблизно дорівнює 1.86171596. Фрактальний вимір Зірки Давида ln6/ln3 або 1.630929754.

Складні фрактали

Фактично, якщо ви збільшите маленьку область будь-якого складного фракталу, а потім зробите те саме з маленькою областю цієї області, то ці два збільшення будуть значно відрізнятися один від одного. Два зображення будуть дуже схожі на деталі, але вони не будуть повністю ідентичними.

Рис 1. Наближення множини Мандельброта

Порівняйте, наприклад, наведені тут картинки безлічі Мандельброта, одна з яких отримана при збільшенні деякої області інший. Як видно, вони абсолютно не є ідентичними, хоча на обох ми бачимо чорне коло, від якого в різні боки йдуть щупальця, що палають. Ці елементи повторюються нескінченно довго в множині Мандельброта в пропорції, що зменшується.

Детерміністські фрактали є лінійними, тоді як складні фрактали не є такими. Будучи нелінійними, ці фрактали генеруються тим, що Мандельброт назвав нелінійними рівняннями алгебри. Гарний приклад- це процес Zn+1=ZnІ + C, що є рівнянням, що використовується для побудови множини Мандельброта та Жулії другого ступеня. Вирішення цих математичних рівнянь залучає комплексні та уявні числа. Коли рівняння інтерпретується графічно на комплексній площині, результатом виявляється дивна постать, у якій прямі лінії переходять у криві, з'являються хоча й без деформацій, ефекти самоподібності різних масштабних рівнях. При цьому вся картина загалом є непередбачуваною та дуже хаотичною.

Як можна побачити, дивлячись на картинки, складні фрактал дійсно дуже складні і їх неможливо створити без допомоги комп'ютера. Для отримання яскравих результатів цей комп'ютер повинен мати потужний математичний співпроцесор і монітор з високою роздільною здатністю. На відміну від детерміністських фракталів складні фрактали не обчислюються за 5-10 ітерацій. Майже кожна точка на екрані комп'ютера як окремий фрактал. Під час математичної обробки кожна точка розглядається як окремий малюнок. Кожній точці відповідає певне значення. Рівняння вбудовується, стосовно кожної точки і виробляється, наприклад 1000 ітерацій. Для отримання порівняно неспотвореного зображення за прийнятний для домашніх комп'ютерів проміжок часу, для однієї точки можна проводити 250 ітерації.

Більшість фракталів, які ми бачимо сьогодні, гарно розфарбовані. Можливо фрактальні зображення отримали таке велике естетичне значеннясаме завдяки своїм кольоровим схемам. Після того, як рівняння підраховано, комп'ютер аналізує результати. Якщо результати залишаються стабільними, або коливаються навколо певного значення, точка зазвичай набуває чорного кольору. Якщо значення на тому чи іншому кроці прагне нескінченності, точку зафарбовують в інший колір, може бути синій або червоний. Під час цього процесу комп'ютер призначає кольори для всіх швидкостей руху.

Зазвичай, крапки, що швидко рухаються, зафарбовують в червоний колір, тоді як повільніші в жовтий і так далі. Темні точкиймовірно, найстабільніші.

Складні фрактали відрізняються від детерміністських у тому сенсі, що вони нескінченно складні, але при цьому можуть бути згенеровані дуже простою формулою. Детерміністським фракталам не потрібні формули чи рівняння. Просто візьміть креслярський папір і ви можете побудувати решето Серпінського до 3 або 4 ітерації без будь-яких труднощів. Спробуйте зробити це з безліччю Жулія! Легше піти міряти довжину берегової лінії Англії!

МНОЖИНА МАНДЕЛЬБРОТА

Рис 2. Безліч Мандельброта

Безліч Мандельброта і Жуліа, ймовірно, два найбільш поширені серед складних фракталів. Їх можна знайти у багатьох наукових журналах, обкладинки книг, листівки, та в комп'ютерних зберігачах екрану. Безліч Мандельброта, яке було побудовано Бенуа Мандельбротом, це перша асоціація, що виникає у людей, коли вони чують слово фрактал. Цей фрактал, що нагадує чесальну машину з прикріпленими до неї палаючими деревоподібними та круглими областями, генерується простою формулою Zn+1=Zna+C, де Z та C - комплексні числа та а - позитивне число.

Безліч Мандельброта, яке найчастіше можна побачити - це безліч Мандельброта 2-го ступеня, тобто а=2. Той факт, що безліч Мандельброта не тільки Zn+1=ZnІ+C, а фрактал, показник у формулі якого може бути будь-яким позитивним числом, ввів в оману багатьох. На цій сторінці ви бачите приклад безлічі Мандельброта для різних значень показника а.
Рис 3. Поява бульбашок при a=3.5

Також популярний процес Z = Z * tg (Z + C). Завдяки включенню функції тангенса виходить безліч Мандельброта, оточене областю, що нагадує яблуко. При використанні функції косинуса виходять ефекти повітряних бульбашок. Коротше кажучи, існує безліч способів налаштування безлічі Мандельброта для отримання різних красивих картинок.

МОЖЛИВО ЖУЛІА

Дивно, але безліч Жуліа утворюються за тією ж формулою, що і безліч Мандельброта. Безліч Жуліа було винайдено французьким математиком Гастоном Жуліа, на ім'я якого і було названо безліч. Перше питання, що виникає після візуального знайомства з множинами Мандельброта і Жуліа, це "якщо обидва фрактали згенеровані за однією формулою, чому вони такі різні?" Спочатку подивіться на картинки множини Жуліа. Досить дивно, але існують різні типи множин Жулія. При малюванні фракталу з використанням різних початкових точок (щоб розпочати процес ітерацій), генеруються різні зображення. Це можна застосувати лише до багатьох Жуліа.

Рис 4. Безліч Жуліа

Хоча це не можна побачити на картинці, фрактал Мандельброта - це насправді безліч фракталів Жуліа, з'єднаних разом. Кожна точка (або координата) множини Мандельброта відповідає фракталу Жуліа. Безліч Жуліа можна згенерувати, використовуючи ці точки як початкові значення в рівнянні Z=ZІ+C. Але це не означає, що якщо вибрати крапку на фракталі Мандельброта та збільшити її, можна отримати фрактал Жулія. Ці дві точки ідентичні, але лише в математичному значенні. Якщо взяти цю точку і прорахувати її за цією формулою, можна отримати фрактал Жуліа, який відповідає певній точці фракталу Мандельброта.

Для того щоб представити все різноманіття фракталів зручно вдатися до їх загальноприйнятої класифікації.

2.1 Геометричні фрактали

Фрактали цього класу найнаочніші. У двомірному випадку їх одержують за допомогою деякої ламаної (або поверхні у тривимірному випадку), званої генератором. За один крок алгоритму кожен із відрізків, що становлять ламану, замінюється на ламану-генератор, у відповідному масштабі. В результаті нескінченного повторення цієї процедури виходить геометричний фрактал.

Рис 1. Побудова тріадної кривої Кох.

Розглянемо один із таких фрактальних об'єктів – тріадну криву Кох. Побудова кривої починається з відрізка одиничної довжини (рис.1) – це 0-е покоління кривої Кох. Далі кожна ланка (у нульовому поколінні один відрізок) замінюється на утворюючий елемент, позначений на рис.1 через n=1. Внаслідок такої заміни виходить наступне покоління кривої Кох. У 1-му поколінні - це крива з чотирьох прямолінійних ланок, кожна завдовжки 1/3 . Для отримання 3-го покоління робляться ті ж дії - кожна ланка замінюється на зменшений утворюючий елемент. Отже, для отримання кожного наступного покоління всі ланки попереднього покоління необхідно замінити зменшеним утворюючим елементом. Крива n-го покоління за будь-якого кінцевого nназивається передфракталом. На рис.1 представлено п'ять поколінь кривої. При nкрива Кох, що прагне до нескінченності, стає фрактальним об'єктом.

Рис 2. Побудова "дракона" Хартера-Хейтуея.

Для отримання іншого фрактального об'єкта необхідно змінити правила побудови. Нехай утворюючим елементом будуть два рівні відрізки, з'єднаних під прямим кутом. У нульовому поколінні замінимо одиничний відрізок на цей утворюючий елемент так, щоб кут був зверху. Можна сказати, що за такої заміни відбувається зміщення середини ланки. При побудові наступних поколінь виконується правило: перша ліворуч ланка замінюється на утворює елемент так, щоб середина ланки зміщувалась ліворуч від напрямку руху, а при заміні наступних ланок, напрямки зміщення середин відрізків повинні чергуватись. На рис.2 представлені кілька перших поколінь і 11 покоління кривої, побудованої за вищеописаним принципом. Гранична фрактальна крива (при nщо прагне до нескінченності) називається драконом Хартера-Хейтуея .

У машинній графіці використання геометричних фракталів необхідне для отримання зображень дерев, кущів, берегової лінії. Двовимірні геометричні фрактали використовуються для створення об'ємних текстур (малюнку на поверхні об'єкта).

2.2 Алгебраїчні фрактали

Відомо, що нелінійні динамічні системи мають несільними стійкими станами. Той стан, у якому опинилася динамічна система після певної кількості ітерацій, залежить від її початкового стану. Тому кожен стійкий стан (або як кажуть - атрактор) володіє деякою областю початкових станів, з яких система обов'язково потрапить у кінцеві стани, що розглядаються. Таким чином фазовий простір системи розбивається на області тяжінняатракторів. Якщо фазовим є двомірний простір, то забарвлюючи області тяжіння різними кольорами, можна отримати колірний фазовий портретцієї системи (ітераційного процесу). Змінюючи алгоритм вибору кольору, можна отримати складні фрактальні картини з химерними кольоровими візерунками. Несподіванкою для математиків стала можливість за допомогою примітивних алгоритмів породжувати складні нетривіальні структури.

Рис 3. Безліч Мандельброта.

Як приклад розглянемо безліч Мандельброта (див. рис.3 та рис.4). Алгоритм його побудови досить простий і ґрунтується на простому ітеративному вираженні:

Z = Z[i] * Z[i] + C,

де Z i та C- Комплексні змінні. Ітерації виконуються для кожної стартової точки Cпрямокутної або квадратної області - підмножини комплексної площини. Ітераційний процес триває доти, доки Z[i] не вийде за межі кола радіуса 2, центр якого лежить у точці (0,0), (це означає, що атрактор динамічної системи знаходиться в нескінченності), або після досить великої кількості ітерацій (наприклад 200-500) Z[i] зійдеться до якоїсь точки окружності. Залежно від кількості ітерацій, протягом яких Z[i] залишалася всередині кола, можна встановити колір точки C(якщо Z[i] залишається всередині кола протягом досить великої кількості ітерацій, ітераційний процес припиняється і ця точка растра забарвлюється в чорний колір).

Рис 4. Ділянка кордону множини Мандельброта, збільшена в 200 разів.

Вищеописаний алгоритм дає наближення до так званої множини Мандельброта. Безліч Мандельброта належать точки, які протягом нескінченногочисла ітерацій не йдуть у нескінченність (крапки, що мають чорний колір). Крапки, що належать межі множини (саме там виникає складні структури) йдуть у нескінченність за кінцеве число ітерацій, а точки, що лежать за межами множини, йдуть у нескінченність через кілька ітерацій (білий фон).

2.3 Стохастичні фрактали

Ще одним відомим класом фракталів є стохастичні фрактали, які виходять у тому випадку, якщо в ітераційному процесі випадково змінювати будь-які його параметри. При цьому виходять об'єкти дуже схожі на природні – несиметричні дерева, порізані берегові лінії тощо. Двовимірні стохастичні фрактали використовуються при моделюванні рельєфу місцевості та поверхні моря.

Існують і інші класифікації фракталів, наприклад розподіл фракталів на детерміновані (алгебраїчні та геометричні) та недетерміновані (стохастичні).

Фрактал

Фрактал (лат. fractus-подрібнений, зламаний, розбитий) - геометрична фігура, що володіє властивістю самоподібності, тобто складена з декількох частин, кожна з яких подібна до всієї фігури цілком. Хаусдорфа), або метричну розмірність, відмінну від топологічної. Фрактазм - самостійна точна наука вивчення та складання фракталів.

Тобто фрактали – геометричні об'єкти з дробовою розмірністю. Наприклад, розмірність лінії – 1, площі – 2, обсягу – 3. У фрактала значення розмірності може бути між 1 і 2 або між 2 і 3. Наприклад, фрактальна розмірність зім'ятої паперової кульки приблизно дорівнює 2,5. У математиці існує спеціальна складна формула для обчислення розмірності фракталів. Розгалуження трубочок трахей, листя на деревах, вени в руці, річка – це фрактали. Говорячи простою мовою, фрактал – це геометрична фігура, певна частина якої повторюється знову і знову, змінюючись у розмірах – це і є принцип самоподібності. Фрактали подібні до самих себе, вони схожі самі на себе на всіх рівнях (тобто в будь-якому масштабі). Існує багато різних типів фракталів. В принципі, можна стверджувати, що все, що існує в реальному світі, є фракталом, чи то хмара, чи молекула кисню.

Слово «хаос» наводить на думки про щось непередбачуване, але насправді хаос досить упорядкований і підпорядковується певним законам. Мета вивчення хаосу та фракталів – передбачити закономірності, які, на перший погляд, можуть здаватися непередбачуваними та абсолютно хаотичними.

Піонером у цій галузі пізнання був франко-американський математик, професор Бенуа Б. Мандельброт. У середині 1960-х ним розроблено фрактальну геометрію, метою якої був аналіз ламаних, зморшкуватих та нечітких форм. Безліч Мандельброта (показано малюнку) - перша асоціація, що виникає в людини, що він чує слово «фрактал». До речі, Мандельброт визначив, що фрактальна розмірність берегової лінії Англії становить 1,25.

Фрактали знаходять дедалі більше застосування у науці. Вони описують реальний світнавіть краще, ніж традиційна фізика чи математика. Броунівський рух - це, наприклад, випадковий та хаотичний рух частинок пилу, зважених у воді. Цей тип руху, можливо, є аспектом фрактальної геометрії, що має найбільше практичного використання. Випадковий броунівський рух має частотну характеристику, яка може бути використана для передбачення явищ, що включають велику кількість даних та статистики. Наприклад, Мандельброт передбачив з допомогою броунівського руху зміну ціни шерсть.

Слово «фрактал» може вживатися як математичний термін. Фракталом у пресі та науково-популярній літературі можуть називати фігури, що володіють якими-небудь із наведених нижче властивостей:

Має нетривіальну структуру на всіх масштабах. У цьому відмінність від регулярних фігур (таких, як коло, еліпс, графік гладкої функції): якщо ми розглянемо невеликий фрагмент регулярної фігури в дуже великому масштабі, він схожий на фрагмент прямий. Для фрактал збільшення масштабу не веде до спрощення структури, на всіх шкалах ми побачимо однаково складну картину.

Є самоподібною або приблизно самоподібною.

Має дробову метричну розмірність або метричну розмірність, що перевищує топологічну.

Найбільш корисним використанням фракталів у комп'ютерній техніці є фрактальний стиск даних. При цьому картинки стискаються набагато краще, ніж це робиться звичайними методами – до 600:1. Інша перевага фрактального стиску в тому, що при збільшенні не спостерігається ефекту пікселізації, що різко погіршує картинку. Мало того, фрактально стиснене зображення після збільшення часто виглядає навіть краще, ніж до нього. Cпеціалістам у галузі комп'ютерної техніки відомо також, що фрактали нескінченної складності та краси можуть бути згенеровані простими формулами. Індустрія кіно для створення реалістичних елементів ландшафту (хмари, скелі та тіні) широко використовує технологію фрактальної графіки.

Вивчення турбулентності у потоках дуже добре підлаштовується під фрактали. Це дозволяє краще зрозуміти динаміку складних потоків. За допомогою фракталів можна також змоделювати мови полум'я. Пористі матеріали добре видаються у фрактальній формі у зв'язку з тим, що вони мають дуже складну геометрію. Для передачі даних на відстані використовуються антени, що мають фрактальні форми, що сильно зменшує їх розміри та вагу. Фрактали використовуються для опису кривизни поверхонь. Нерівна поверхня характеризується комбінацією двох різних фракталів.

Багато об'єктів у природі мають фрактальні властивості, наприклад, узбережжя, хмари, крони дерев, сніжинки, кровоносна система і система альвеол людини або тварин.

Фрактали, особливо на площині, популярні завдяки поєднанню краси з простотою побудови за допомогою комп'ютера.

Перші приклади самоподібних множин з незвичайними властивостями з'явилися в XIX столітті (наприклад, функція Больцано, функція Вейєрштраса, безліч Кантора). Термін «фрактал» був запроваджений Бенуа Мандельбротом у 1975 році і набув широкої популярності з виходом у 1977 році його книги «Фрактальна геометрія природи».

На малюнку зліва як простий приклад наведено фрактал «п'ятикутник Дарера», який виглядає, як зв'язка п'ятикутників, стиснутих разом. Фактично він утворений при використанні п'ятикутника в якості ініціатора і рівнобедрених трикутників, відношення більшої сторони до меншої в яких точно так званої золотої пропорції (1.618033989 або 1/(2cos72°)) в якості генератора. Ці трикутники вирізаються з середини кожного п'ятикутника, у результаті виходить фігура, схожа на 5 маленьких п'ятикутників, приклеєних до одного великому.

Теорія хаосу каже, що складні нелінійні системи є спадково непередбачуваними, але, водночас стверджує, що спосіб висловлювання таких непередбачуваних систем виявляється вірним над точних рівностях, а представлення поведінки системи - у графіках дивних атракторів, мають вигляд фракталов. Таким чином, теорія хаосу, про яку багато хто думає як про непередбачуваність, виявляється наукою про передбачуваність навіть у найбільш нестабільних системах. Вчення про динамічні системи показує: прості рівняння можуть породжувати таке хаотичне поведінка, у якому система будь-коли повертається у стабільний стан і навіть не проявляється ніякої закономірності. Часто такі системи поводяться цілком нормально до певного певного значення ключового параметра, потім відчувають перехід, у якому є дві можливості її подальшого розвитку, потім чотири, і, нарешті, хаотичний набір можливостей.

Схеми процесів, які у технічних об'єктах, мають чітко виражене фрактальне будова. Структура мінімальної технічної системи (МС) має на увазі протікання в межах ТЗ двох типів процесів - головного і забезпечують, причому цей поділ умовно і відносно. Будь-який процес може бути головним по відношенню до забезпечувальних, а будь-який із забезпечувальних процесів може вважатися головним по відношенню до «своїм» забезпечуючим процесам. Гуртками на схемі позначені фізефекти, що забезпечують протікання тих процесів, для забезпечення яких не потрібно спеціально створювати «свої» ТЗ. Ці процеси є результатом взаємодії між речовинами, полями, речовинами та полями. Якщо бути точним, то фізефект - це ТЗ, на принцип роботи якої ми не можемо вплинути, а в її пристрій не бажаємо або не маємо можливості втручатися.

Протікання головного процесу, зображеного на схемі, забезпечується існуванням трьох забезпечують процесів, що є головними для ТС. Заради справедливості зазначимо, що з функціонування навіть мінімальної ТЗ трьох процесів явно недостатньо, тобто. схема дуже і дуже перебільшена.

Все не так просто, як показано на схемі. Корисний ( потрібний людині) процес не може виконуватися зі стовідсотковою ефективністю. Розсіювана енергія витрачається створення шкідливих процесів – нагрівання, вібрації тощо. В результаті паралельно корисному процесу виникають шкідливі. Не завжди є можливість замінити «поганий» процес на «хороший», тому доводиться організовувати нові процеси, спрямовані на компенсацію шкідливих для системи наслідків. Характерний приклад - необхідність боротьби з тертям, що змушує організовувати хитромудрі схеми мастила, застосовувати дорогі антифрикційні матеріали або витрачати час на мастило вузлів і деталей або його періодичну заміну.

У зв'язку з існуванням неминучого впливу мінливого середовища корисний процес може потребувати управління. Управління може здійснюватися як з допомогою автоматичних пристроїв, і безпосередньо людиною. Схема процесів є набором спеціальних команд, тобто. алгоритмом. Сутність (опис) кожної команди складає сукупність окремо взятого корисного процесу, супутніх йому шкідливих процесів та набору необхідних керуючих процесів. У такому алгоритмі набір процесів, що забезпечують, є звичайною підпрограмою – і тут ми теж виявляємо фрактал. Створений чверть століття тому метод Р. Колера дозволяє при створенні систем обійтися досить обмеженим набором лише з 12 пар функцій (процесів).

Самоподібні множини з незвичайними властивостями в математиці

Починаючи з кінця XIXстоліття, в математиці з'являються приклади самоподібних об'єктів з патологічними з погляду класичного аналізу властивостями. До них можна віднести такі:

безліч Кантора - ніде не щільне незліченне досконале безліч. Модифікувавши процедуру, можна отримати ніде не щільне безліч позитивної довжини.

трикутник Серпінського («скатертина») та килим Серпінського – аналоги безлічі Кантора на площині.

губка Менгера - аналог множини Кантора в тривимірному просторі;

приклади Вейєрштраса і Ван дер Вардена ніде не диференційованої безперервної функції.

крива Коха - безперервна крива нескінченної довжини, що не самоперетинається, не має дотичної в жодній точці;

крива Пеано - безперервна крива, що проходить через усі крапки квадрата.

траєкторія броунівської частки також із ймовірністю 1 ніде не диференційована. Її хаусдорфова розмірність дорівнює двом

Рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих

Побудова кривої Коха

Існує проста рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих на площині. Задамо довільну ламану з кінцевим числом ланок, що називається генератором. Далі, замінимо в ній кожен відрізок генератором (точніше, ламаною, подібною до генератора). У ламаною, що вийшла, знову замінимо кожен відрізок генератором. Продовжуючи до нескінченності, отримаємо в межах фрактальну криву. На малюнку праворуч наведено чотири перші кроки цієї процедури для кривої Коха.

Прикладами таких кривих є:

крива дракона,

крива Коха (сніжинка Коха),

крива Леві,

крива Мінковського,

Крива Гільберта,

Ламана (крива) дракона (Фрактал Хартера-Хейтуея),

крива Пеан.

За допомогою подібної процедури виходить дерево Піфагора.

Фрактали як нерухомі точки стискаючих відображень

Властивість самоподібності можна математично суворо висловити в такий спосіб. Нехай – стискаючі відображення площини. Розглянемо наступне відображення на безлічі всіх компактних (замкнутих та обмежених) підмножин площини:

Можна показати, що відображення є стискуючим відображенням на багатьох компактах з метрикою Хаусдорфа. Отже, за теоремою Банаха це відображення має єдину нерухому точку. Ця нерухома точка і буде нашим фракталом.

Рекурсивна процедура отримання фрактальних кривих, описана вище, є окремим випадком даної конструкції. У ньому все відображення - відображення подоби, а - число ланок генератора.

Для трикутника Серпінського та відображення , , - гомотетії з центрами у вершинах правильного трикутника та коефіцієнтом 1/2. Легко бачити, що трикутник Серпінського перетворюється на відображення .

У разі коли відображення - перетворення подібності з коефіцієнтами , розмірність фракталу (за деяких додаткових технічних умов) може бути обчислена як рішення рівняння . Так, для трикутника Серпінського отримуємо .

По тій же теоремі Банаха, розпочавши з будь-якої компактної множини і застосовуючи до неї ітерацію відображення, ми отримаємо послідовність компактів, що сходяться (в сенсі метрики Хаусдорфа) до нашого фракталу.

Фрактали в комплексній динаміці

Безліч Жюліа

Ще одна безліч Жюліа

Фрактали природно виникають щодо нелінійних динамічних систем. Найбільш вивчений випадок, коли динамічна система задається ітераціями багаточлена чи голоморфної функції комплексної змінної на площині. Перші дослідження в цій галузі відносяться до початку 20 століття та пов'язані з іменами Фату та Жюліа.

Нехай F(z) - багаточлен, z 0 – комплексне число. Розглянемо таку послідовність: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Нас цікавить поведінка цієї послідовності при прагненні nдо нескінченності. Ця послідовність може:

прагнути до нескінченності,

прагнути до кінцевої межі,

демонструвати в межі циклічну поведінку, наприклад: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

вести себе хаотично, тобто не демонструвати жоден із трьох згаданих типів поведінки.

Безліч значень z 0 , для яких послідовність демонструє один конкретний тип поведінки, а також безлічі точок біфуркації між різними типами, часто володіють фрактальними властивостями.

Так, безліч Жюлі - безліч точок біфуркації для многочлена F(z)=z 2 +c(або іншої схожої функції), тобто тих значень z 0 , для яких поведінка послідовності ( z n) може різко змінюватися при будь-яких малих змінах z 0 .

Інший варіант отримання фрактальних множин - введення параметра в багаточлен F(z) та розгляд безлічі тих значень параметра, при яких послідовність ( z n) демонструє певну поведінку при фіксованому z 0 . Так, безліч Мандельброта - це безліч всіх, при яких ( z n) для F(z)=z 2 +cі z 0 не прагне нескінченності.

Ще один відомий прикладтакого роду – басейни Ньютона.

Популярне створення гарних графічних образів на основі комплексної динаміки шляхом розфарбовування точок площини залежно від поведінки відповідних динамічних систем. Наприклад, для доповнення безлічі Мандельброта можна розфарбувати крапки в залежності від швидкості прагнення ( z n) до нескінченності (визначуваної, скажімо, як найменший номер n, у якому | z n| перевищить фіксовану велику величину A.

Біоморфи - фрактали, побудовані на основі комплексної динаміки та нагадують живі організми.

Стохастичні фрактали

Рандомізований фрактал на основі множини Жюліа

Природні об'єкти часто мають фрактальну форму. Для їх моделювання можуть застосовуватись стохастичні (випадкові) фрактали. Приклади стохастичних фракталів:

траєкторія броунівського руху на площині та у просторі;

межа траєкторії броунівського руху на площині. У 2001 року Лоулер, Шрамм і Вернер довели припущення Мандельброта у тому, що її розмірність дорівнює 4/3.

еволюції Шрамма-Левнера - конформно-інваріантні фрактальні криві, що виникають у критичних двовимірних моделях статистичної механіки, наприклад, у моделі Ізинга та перколяції.

різні види рандомізованих фракталів, тобто фракталів, отриманих за допомогою рекурсивної процедури, яку на кожному кроці введено випадковий параметр. Плазма – приклад використання такого фракталу у комп'ютерній графіці.

В природі

Вид спереду на трахею та бронхи

Бронхіальне дерево

Мережа кровоносних судин

Застосування

Природні науки

У фізиці фрактали природно виникають при моделюванні нелінійних процесів, таких, як турбулентний перебіг рідини, складні процеси дифузії-адсорбції, полум'я, хмари і т. п. Фрактали використовуються при моделюванні пористих матеріалів, наприклад, нафтохімії. У біології вони використовуються для моделювання популяцій і для опису систем внутрішніх органів (система кровоносних судин).

Радіотехніка

Фрактальні антени

Використання фрактальної геометрії при проектуванні антенних пристроїв було вперше застосовано американським інженером Натаном Коеном, який тоді жив у центрі Бостона, де було заборонено встановлення зовнішніх антен на будівлі. Натан вирізав із алюмінієвої фольги фігуру у формі кривої Коха і наклеїв її на аркуш паперу, потім приєднав до приймача. Коен заснував власну компанію та налагодив їх серійний випуск.

Інформатика

Стиснення зображень

Основна стаття: Алгоритм фрактального стиснення

Фрактальне дерево

Існують алгоритми стиснення зображення за допомогою фракталів. Вони засновані на ідеї про те, що замість самого зображення можна зберігати відображення, що стискає, для якого це зображення (або деяке близьке до нього) є нерухомою точкою. Один із варіантів даного алгоритму був використаний [ джерело не вказано 895 днів] Фірмою Microsoft при виданні своєї енциклопедії, але великого поширення ці алгоритми не отримали.

Комп'ютерна графіка

Ще одне фрактальне дерево

Фрактал широко застосовуються в комп'ютерній графіці для побудови зображень природних об'єктів, таких як дерева, кущі, гірські ландшафти, поверхні морів і так далі. Існує безліч програм, що служать для генерації фрактальних зображень, див. Генератор фракталів (програма).

Децентралізовані мережі

Система призначення IP-адрес у мережі Netsukuku використовує принцип фрактального стиснення інформації для компактного збереження інформації про вузли мережі. Кожен вузол мережі Netsukuku зберігає всього 4 Кб інформації про стан сусідніх вузлів, при цьому будь-який новий вузол підключається до загальної мережі без необхідності центрального регулювання роздачі IP-адрес, що, наприклад, характерно для мережі Інтернет. Таким чином, принцип фрактального стиснення інформації гарантує повністю децентралізовану, а отже максимально стійку роботу всієї мережі.

Фрактали відомі вже майже століття, добре вивчені та мають численні додатки у житті. В основі цього явища лежить дуже проста ідея: нескінченна за красою та різноманітністю безліч фігур можна отримати з відносно простих конструкцій за допомогою всього двох операцій - копіювання та масштабування

Це поняття немає суворого визначення. Тому слово "фрактал" не є математичним терміном. Зазвичай так називають геометричну фігуру, яка задовольняє одній або декільком з таких властивостей:

має складну структуру при будь-якому збільшенні;
є (наближено) самоподібною;
має дробову хаусдорфову (фрактальну) розмірність, яка більше топологічної;
може бути побудована рекурсивними процедурами.

На рубежі XIX і XX століть вивчення фракталів мало швидше епізодичний, ніж систематичний характер, тому що раніше математики в основному вивчали «хороші» об'єкти, які піддавалися дослідженню за допомогою загальних методівта теорій. У 1872 році німецький математик Карл Вейєрштрас побудував приклад безперервної функції, яка ніде не диференційована. Однак його побудова була цілком абстрактною і важкою для сприйняття. Тому в 1904 році швед Хельге фон Кох вигадав безперервну криву, яка ніде не має дотичної, причому її досить просто намалювати. Виявилося, що вона має властивості фракталу. Один з варіантів цієї кривої зветься «сніжинка Коха».

Ідеї самоподібності постатей підхопив француз Поль П'єр Леві, майбутній наставник Бенуа Мандельброта. У 1938 році вийшла його стаття «Плоскі та просторові криві та поверхні, що складаються з частин, подібних до цілого», в якій описаний ще один фрактал - С-крива Леві. Всі ці перераховані вище фрактали можна умовно віднести до одного класу конструктивних (геометричних) фракталів.

Інший клас - динамічні (алгебраїчні) фрактали, до яких відноситься і безліч Мандельброта. Перші дослідження у цьому напрямі відносяться до початку XX століття та пов'язані з іменами французьких математиків Гастона Жюліа та П'єра Фату. У 1918 році вийшла майже двохсотсторінкова праця Жюліа, присвячена ітераціям комплексних раціональних функцій, в якій описано безліч Жюліа - ціле сімейство фракталів, близько пов'язаних з безліччю Мандельброта. Ця праця була удостоєна призу Французької академії, проте в ньому не було жодної ілюстрації, так що оцінити красу відкритих об'єктів було неможливо. Незважаючи на те, що ця робота прославила Жюліа серед математиків того часу, про неї досить швидко забули.

Знову увагу до робіт Жюліа і Фату звернулося лише через півстоліття, з появою комп'ютерів: саме вони зробили видимими багатство і красу світу фракталів. Адже Фату ніколи не міг подивитися на зображення, які ми зараз знаємо як зображення множини Мандельброта, тому що необхідну кількість обчислень неможливо провести вручну. Першим, хто використав для цього комп'ютер, був Бенуа Мандельброт.

У 1982 році вийшла книга Мандельброта «Фрактальна геометрія природи», в якій автор зібрав і систематизував практично всю інформацію про фрактали, що була на той момент, і в легкій і доступній манері виклав її. Основний наголос у своєму викладі Мандельброт зробив не так на важкі формули та математичні конструкції, але в геометричну інтуїцію читачів. Завдяки ілюстраціям, отриманим за допомогою комп'ютера, та історичним байкам, якими автор вправно розбавив наукову складову монографії, книга стала бестселером, а фрактали стали відомі широкому загалу. Їх успіх серед нематематиків багато в чому обумовлений тим, що за допомогою вельми простих конструкцій та формул, які здатний зрозуміти і старшокласник, виходять дивовижні за складністю та красою зображення. Коли персональні комп'ютери стали досить потужними, то з'явився навіть цілий напрямок у мистецтві - фрактальний живопис, причому займатися нею міг практично будь-який власник комп'ютера. Зараз в інтернеті можна легко знайти безліч сайтів, присвячених цій темі.

Редакція NNN випадково натрапила на дуже цікавий матеріал, представлений у блозі користувача xtsarx, присвячений елементам теорії фракталівта її практичного застосування. Як відомо, терія фракталів відіграє далеко не останню роль у фізиці та хімії наносистем. Внісши свій внесок у цей добротний матеріал, викладений мовою, доступною для широкого кола читачів і підкріплений великою кількістю графічного і навіть відео матеріалу, ми представляємо його Вашій увазі. Сподіваємось, що читачам NNN цей матеріал буде цікавим.

Природа так загадкова, що чим більше вивчаєш її, тим більше питань з'являється… Нічні блискавки – сині «струмені» розрядів, що розгалужуються, морозні візерунки на вікні, сніжинки, гори, хмари, кора дерева – все це виходить за рамки звичної евклідової геометрії. Ми не можемо описати камінь або межі острова за допомогою прямих, гуртків та трикутників. І тут нам приходять на допомогу фрактали. Що це за знайомі незнайомці?

«Під мікроскопом він відкрив, що на блосі
Живе блоху кусаюча блішка;
На блішці тієї блошинка-крихта,
У блошинку ж встромляє зуб сердито
Блошиночка, і так ad infinitum». Д. Свіфт.

Трохи з історії

Перші ідеї фрактальної геометріївиникли у 19 столітті. Кантор за допомогою простої рекурсивної процедури, що повторюється, перетворив лінію на набір незв'язаних точок (так звана Пил Кантора). Він брав лінію і видаляв центральну третину і після цього повторював те ж саме з відрізками, що залишилися.

Мал. 1. Крива пеано 1,2-5 ітерації.

Пеано намалював особливий виглядлінії. Пеано вчинив так: На першому кроці він брав пряму лінію і заміняв її на 9 відрізків довжиною в 3 рази меншою, ніж довжина вихідної лінії Далі він робив те саме з кожним відрізком лінії, що вийшла. І так до безкінечності. Її унікальність у цьому, що вона заповнює всю площину. Доведено, що кожної точки на площині можна знайти точку, що належить лінії Пеано. Крива Пеано та пил Кантора виходили за рамки звичайних геометричних об'єктів. Вони не мали чіткої розмірності. Пил Кантора будувався начебто на підставі одномірної прямої, але складався з точок (розмірність 0). А крива Пеано будувалася виходячи з одномірної лінії, а результаті виходила площину. У багатьох інших галузях науки з'являлися завдання, вирішення яких призводило до дивних результатів на кшталт описаних вище (Броунівський рух, ціни на акції). Кожен з нас може зробити цю процедуру.

Батько Фракталов

Аж до 20 століття йшло накопичення даних про такі дивні об'єкти, без спроби їх систематизувати. Так було, доки за них не взявся Бенуа Мандельброт – батько сучасної фрактальної геометрії та слова фрактал.

Мал. 2. Бенуа Мандельброт.

Працюючи в IBM математичним аналітиком, він вивчав шуми в електронних схемах, які неможливо було описати за допомогою статистики. Поступово зіставляючи факти, він прийшов до відкриття нового напряму математики – фрактальної геометрії.

Термін «фрактал» Б.Мандельброт увів у 1975 р.. Згідно з Мандельбротом, фракталом(від латів. «fractus» – дробовий, ламаний, розбитий) називається структура, що складається з частин, подібних до цілого. Властивість самоподібності різко відрізняє фрактал від об'єктів класичної геометрії. Термін самоподібністьозначає наявність тонкої структури, що повторюється, як на найменших масштабах об'єкта, так і в макромаштабі.

Мал. 3. До визначення поняття «фрактал».

Прикладами самоподібності є: криві Коха, Леві, Мінковського, трикутник Серпінського, губка Менгера, дерево Піфагора та ін.

З математичної точки зору, фрактал- це, перш за все, множина з дробовою (проміжною, «не цілою») розмірністю. У той час як гладка евклідова лінія заповнює в точності одновимірний простір, фрактальна крива виходить за межі одновимірного простору, вторгається за кордони в двовимірний простір. у фрактального об'єкта неможливо точно виміряти його довжину! З цих геометричних фракталів дуже цікавим і досить відомим є перший. сніжинка Коха.

Мал. 4. До визначення поняття «фрактал».

Будується вона на основі рівностороннього трикутника. Кожна лінія якого замінюється на 4 лінії кожна довжиною 1/3 вихідної. Таким чином, з кожною ітерацією довжина кривої збільшується на третину. І якщо ми зробимо нескінченну кількість ітерацій – отримаємо фрактал – сніжинку Коха нескінченної довжини. Виходить, що наша нескінченна крива вкриває обмежену площу. Спробуйте зробити те саме методами і фігурами з евклідової геометрії.
Розмір сніжинки Коха(При збільшенні сніжинки втричі її довжина зростає вчетверо) D=log(4)/log(3)=1.2619.

Про сам фракталь

Фрактали знаходять дедалі більше застосування у науці та техніці. Основна причина цього у тому, що вони описують реальний світ іноді навіть краще, ніж традиційна фізика чи математика. Можна до нескінченності наводити приклади фрактальних об'єктів у природі – це і хмари, і пластівці снігу, і гори, і спалах блискавки, і, нарешті, цвітна капуста. Фрактал як природний об'єкт – це вічне безперервне рух, нове становлення та розвитку.

Мал. 5. Фрактали економіки.

Крім того, фрактали знаходять застосування у децентралізованих комп'ютерних мережах і «фрактальні антени» . Дуже цікаві та перспективні для моделювання різних стохастичних (не детермінованих) «випадкових» процесів, так звані «броунівські фрактали». У разі нанотехнологій фрактали теж відіграють важливу роль , оскільки через свою ієрархічну самоорганізацію багато наносистеми мають нецілочисленну розмірністьтобто є за своєю геометричною, фізико-хімічною або функціональною природою фракталами. Наприклад, яскравим прикладом хімічних фрактальних систем є молекули «дендрімерів» . Крім того, принцип фрактальності (самоподібної, скейлінгової структури) є відображенням ієрархічності будови системи і тому є більш загальним та універсальним, ніж стандартні підходи до опису будови та властивостей наносистем.

Мал. 6. Молекули «дендрімерів».

Мал. 7. Графічна модель комунікації у архітектурно-будівельному процесі. Перший рівень взаємодії з позицій мікропроцесів.

Мал. 8. Графічна модель комунікації у архітектурно-будівельному процесі. Другий рівень взаємодії з позицій макропроцесів (фрагмент моделі).

Мал. 9. Графічна модель комунікації у архітектурно-будівельному процесі. Другий рівень взаємодії з позицій макропроцесів (модель цілком)

Мал. 10. Площинний розвиток графічної моделі. Перший гомеостатичний стан.

Фрактали та Золотий перетин «Фрактали» частина 1 «Фрактали» частина 2 «Фрактали» частина 3 «Фрактали» частина 4 «Фрактали» частина 5