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Fraktale Elemente. Weltraumforschungslabor

Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre fest im Alltag von Mathematikern und Programmierern etabliert. Das Wort Fraktal leitet sich vom lateinischen fractus ab und bedeutet in der Übersetzung aus Fragmenten bestehend. Es wurde 1975 von Benoit Mandelbrot vorgeschlagen, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, die er untersuchte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird üblicherweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch „Die fraktale Geometrie der Natur“ im Jahr 1977 in Verbindung gebracht. Seine Arbeiten nutzten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875 bis 1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Aber erst in unserer Zeit war es möglich, ihre Werke in einem einzigen System zusammenzufassen.
Die Rolle von Fraktalen in der Computergrafik ist heutzutage recht groß. Sie kommen beispielsweise dann zum Einsatz, wenn es darum geht, mit Hilfe mehrerer Koeffizienten Linien und Flächen mit sehr komplexer Form zu definieren. Aus Sicht der Computergrafik ist die fraktale Geometrie für die Erzeugung künstlicher Wolken, Berge und Meeresoberflächen unverzichtbar. tatsächlich gefunden Lungenweg Darstellungen komplexer nichteuklidischer Objekte, deren Bilder den natürlichen sehr ähnlich sind.
Eine der Haupteigenschaften von Fraktalen ist Selbstähnlichkeit. Im sehr einfacher Fall Ein kleiner Teil des Fraktals enthält Informationen über das gesamte Fraktal. Die von Mandelbrot gegebene Definition eines Fraktals lautet wie folgt: „Ein Fraktal ist eine Struktur, die aus Teilen besteht, die in gewisser Weise dem Ganzen ähnlich sind.“

Existiert große Nummer mathematische Objekte, die Fraktale genannt werden (Sierpinski-Dreieck, Koch-Schneeflocke, Peano-Kurve, Mandelbrot-Menge und Lorentz-Attraktoren). Fraktale beschreiben mit großer Genauigkeit viele physikalische Phänomene und Formationen der realen Welt: Berge, Wolken, turbulente (Wirbel-)Strömungen, Wurzeln, Äste und Blätter von Bäumen, Blutgefäße, was bei weitem nicht einfachen geometrischen Formen entspricht. Zum ersten Mal sprach Benoit Mandelbrot in seinem bahnbrechenden Werk „The Fractal Geometry of Nature“ über die fraktale Natur unserer Welt.
Der Begriff Fraktal wurde 1977 von Benoit Mandelbrot in seinem grundlegenden Werk „Fraktale, Form, Chaos und Dimension“ eingeführt. Laut Mandelbrot kommt das Wort Fraktal von den lateinischen Wörtern fractus – fraktional und frangere – brechen, was die Essenz des Fraktals als „gebrochene“, unregelmäßige Menge widerspiegelt.

Klassifizierung von Fraktalen.

Um die ganze Vielfalt der Fraktale darzustellen, ist es sinnvoll, auf deren allgemein anerkannte Klassifizierung zurückzugreifen. Es gibt drei Klassen von Fraktalen.

1. Geometrische Fraktale.

Fraktale dieser Klasse sind am offensichtlichsten. Im zweidimensionalen Fall werden sie mithilfe einer Polylinie (oder einer Fläche im dreidimensionalen Fall), die als Generator bezeichnet wird, ermittelt. In einem Schritt des Algorithmus wird jedes Segment, aus dem die gestrichelte Linie besteht, durch einen Generator für gestrichelte Linien im entsprechenden Maßstab ersetzt. Durch die endlose Wiederholung dieses Vorgangs entsteht ein geometrisches Fraktal.

Betrachten Sie zum Beispiel eines dieser fraktalen Objekte – die Koch-Triadenkurve.

Konstruktion der triadischen Koch-Kurve.

Nehmen Sie ein gerades Liniensegment der Länge 1. Nennen wir es Samen. Teilen wir den Samen in drei gleiche Teile der Länge 1/3, verwerfen den mittleren Teil und ersetzen ihn durch eine gestrichelte Linie aus zwei Gliedern der Länge 1/3.

Wir erhalten eine gestrichelte Linie, bestehend aus 4 Gliedern mit einer Gesamtlänge von 4/3, der sogenannten erste Generation.

Um zur nächsten Generation der Koch-Kurve überzugehen, muss der mittlere Teil jedes Glieds verworfen und ersetzt werden. Dementsprechend beträgt die Länge der zweiten Generation 16/9, die der dritten 64/27. Wenn man diesen Prozess bis ins Unendliche fortsetzt, erhält man eine triadische Koch-Kurve.

Betrachten wir nun die heilige triadische Koch-Kurve und finden wir heraus, warum Fraktale „Monster“ genannt wurden.

Erstens hat diese Kurve keine Länge – wie wir gesehen haben, tendiert ihre Länge mit der Anzahl der Generationen gegen Unendlich.

Zweitens ist es unmöglich, eine Tangente an diese Kurve zu konstruieren – jeder ihrer Punkte ist ein Wendepunkt, an dem die Ableitung nicht existiert – diese Kurve ist nicht glatt.

Länge und Glätte sind die grundlegenden Eigenschaften von Kurven, die sowohl in der euklidischen Geometrie als auch in der Geometrie von Lobatschewski und Riemann untersucht werden. Zur triadischen Koch-Kurve traditionelle Methoden geometrische Analyse erwies sich als unanwendbar, so dass sich die Koch-Kurve als Monster herausstellte – ein „Monster“ unter den glatten Bewohnern traditioneller Geometrien.

Bau des „Drachen“ Harter-Hateway.

Um ein weiteres fraktales Objekt zu erhalten, müssen Sie die Konstruktionsregeln ändern. Das erzeugende Element seien zwei gleiche Segmente, die im rechten Winkel verbunden sind. Bei der Nullgenerierung ersetzen wir das Einheitssegment durch dieses erzeugende Element, sodass der Winkel oben liegt. Wir können sagen, dass es bei einem solchen Austausch zu einer Verschiebung in der Mitte der Verbindung kommt. Beim Bauen nächste Generationen Die Regel ist erfüllt: Das allererste Glied links wird durch ein erzeugendes Element ersetzt, so dass die Mitte des Glieds nach links von der Bewegungsrichtung verschoben wird, und beim Ersetzen der nächsten Glieder die Verschiebungsrichtungen der Mittelpunkte der Segmente müssen sich abwechseln. Die Abbildung zeigt die ersten Generationen und die 11. Generation der nach dem oben beschriebenen Prinzip aufgebauten Kurve. Die Kurve mit n gegen Unendlich wird Harter-Hateway-Drache genannt.
In der Computergrafik ist die Verwendung geometrischer Fraktale erforderlich, um Bilder von Bäumen und Büschen zu erhalten. Zweidimensionale geometrische Fraktale werden verwendet, um dreidimensionale Texturen (Muster auf der Oberfläche eines Objekts) zu erzeugen.

2. Algebraische Fraktale

Dies ist die größte Gruppe von Fraktalen. Sie werden durch nichtlineare Prozesse in n-dimensionalen Räumen gewonnen. Zweidimensionale Prozesse werden am häufigsten untersucht. Wenn man einen nichtlinearen iterativen Prozess als ein diskretes dynamisches System interpretiert, kann man die Terminologie der Theorie dieser Systeme verwenden: Phasenporträt, stationärer Prozess, Attraktor usw.
Es ist bekannt, dass nichtlineare dynamische Systeme mehrere stabile Zustände haben. Der Zustand, in dem sich das dynamische System nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen befindet, hängt von seinem Ausgangszustand ab. Daher verfügt jeder stabile Zustand (oder, wie man sagt, ein Attraktor) über einen bestimmten Bereich von Anfangszuständen, von dem aus das System zwangsläufig in die betrachteten Endzustände fällt. Somit wird der Phasenraum des Systems in Anziehungsbereiche von Attraktoren unterteilt. Wenn der Phasenraum zweidimensional ist, kann man durch Einfärben der Anziehungsbereiche mit unterschiedlichen Farben ein Farbphasenporträt dieses Systems erhalten (iterativer Prozess). Durch Ändern des Farbauswahlalgorithmus können Sie komplexe Fraktalmuster mit ausgefallenen Mehrfarbenmustern erhalten. Eine Überraschung für Mathematiker war die Fähigkeit, mithilfe primitiver Algorithmen sehr komplexe nichttriviale Strukturen zu erzeugen.

Die Mandelbrot-Menge.

Betrachten Sie als Beispiel die Mandelbrot-Menge. Der Algorithmus für seine Konstruktion ist recht einfach und basiert auf einem einfachen iterativen Ausdruck: Z = Z[i] * Z[i] + C, Wo Zi Und C sind komplexe Variablen. Für jeden Startpunkt werden Iterationen aus einem rechteckigen oder quadratischen Bereich – einer Teilmenge der komplexen Ebene – durchgeführt. Der iterative Prozess wird fortgesetzt bis Z[i] wird nicht über den Kreis mit Radius 2 hinausgehen, dessen Mittelpunkt im Punkt (0,0) liegt (das bedeutet, dass der Attraktor des dynamischen Systems im Unendlichen liegt) oder nach einer ausreichend großen Anzahl von Iterationen (z. B , 200-500) Z[i] konvergiert an einem Punkt auf dem Kreis. Abhängig von der Anzahl der Iterationen, während denen Z[i] Wenn der Punkt innerhalb des Kreises verbleibt, können Sie die Farbe des Punktes festlegen C(Wenn Z[i] Bleibt der Rasterpunkt für eine ausreichend große Anzahl von Iterationen innerhalb des Kreises, stoppt der Iterationsprozess und dieser Rasterpunkt wird schwarz dargestellt.

3. Stochastische Fraktale

Eine weitere bekannte Klasse von Fraktalen sind stochastische Fraktale, die entstehen, wenn einer ihrer Parameter in einem iterativen Prozess zufällig geändert wird. Dadurch entstehen Objekte, die der Natur sehr ähnlich sind – asymmetrische Bäume, gegliederte Küstenlinien usw. Zweidimensionale stochastische Fraktale werden zur Modellierung des Geländes und der Meeresoberfläche verwendet.
Es gibt andere Klassifikationen von Fraktalen, zum Beispiel die Unterteilung von Fraktalen in deterministische (algebraische und geometrische) und nichtdeterministische (stochastische).

Über die Verwendung von Fraktalen

Fraktale sind zunächst einmal ein Bereich erstaunlicher mathematischer Kunst, wenn mit Hilfe einfachster Formeln und Algorithmen Bilder von außergewöhnlicher Schönheit und Komplexität entstehen! In den Konturen der konstruierten Bilder lassen sich oft Blätter, Bäume und Blumen erahnen.

Einige der wirkungsvollsten Anwendungen von Fraktalen liegen in Computergrafik. Erstens handelt es sich um eine fraktale Komprimierung von Bildern, zweitens um die Konstruktion von Landschaften, Bäumen, Pflanzen und die Erzeugung fraktaler Texturen. Die moderne Physik und Mechanik fängt gerade erst an, das Verhalten fraktaler Objekte zu untersuchen. Und natürlich werden Fraktale direkt in der Mathematik selbst angewendet.
Die Vorteile fraktaler Bildkomprimierungsalgorithmen liegen in der sehr geringen Größe der gepackten Datei und der kurzen Bildwiederherstellungszeit. Fraktal gepackte Bilder können skaliert werden, ohne dass es zu Pixelbildung kommt. Der Komprimierungsvorgang nimmt jedoch viel Zeit in Anspruch und dauert teilweise mehrere Stunden. Mit dem verlustbehafteten fraktalen Packalgorithmus können Sie die Komprimierungsstufe festlegen, ähnlich wie beim JPEG-Format. Der Algorithmus basiert auf der Suche nach großen Teilen des Bildes, die einigen kleinen Teilen ähneln. Und nur welches Stück welchem ähnlich ist, wird in die Ausgabedatei geschrieben. Beim Komprimieren wird üblicherweise ein quadratisches Raster verwendet (Stücke sind Quadrate), was bei der Wiederherstellung des Bildes zu einer leichten Winkligkeit führt, ein sechseckiges Raster weist einen solchen Nachteil nicht auf.
Iterated hat ein neues Bildformat entwickelt, „Sting“, das verlustfreie Fraktal- und „Wave“-Komprimierung (z. B. JPEG) kombiniert. Das neue Format ermöglicht die Erstellung von Bildern mit der Möglichkeit einer anschließenden hochwertigen Skalierung, wobei das Volumen der Grafikdateien 15-20 % des Volumens unkomprimierter Bilder beträgt.
Die Tendenz von Fraktalen, wie Berge, Blumen und Bäume auszusehen, wird von manchen ausgenutzt Grafikeditoren, wie fraktale Wolken aus 3D Studio MAX, fraktale Berge in World Builder. Gegeben sind fraktale Bäume, Berge und ganze Landschaften einfache Formeln sind einfach zu programmieren und zerfallen bei Annäherung nicht in einzelne Dreiecke und Würfel.
Sie können die Verwendung von Fraktalen in der Mathematik selbst nicht ignorieren. In der Mengenlehre beweist die Cantor-Menge die Existenz perfekter nirgendwo dichter Mengen; in der Maßtheorie ist die selbstaffine Funktion „Cantor-Leiter“ ein gutes Beispiel für eine singuläre Maßverteilungsfunktion.
In der Mechanik und Physik werden Fraktale aufgrund von verwendet einzigartiges Anwesen Wiederholen Sie die Umrisse vieler Naturobjekte. Mit Fraktalen können Sie Bäume, Bergoberflächen und Spalten mit höherer Genauigkeit annähern als Annäherungen mit Liniensegmenten oder Polygonen (bei gleicher Menge gespeicherter Daten). Fraktale Modelle weisen wie natürliche Objekte eine „Rauheit“ auf, und diese Eigenschaft bleibt bei einer beliebig großen Vergrößerung des Modells erhalten. Das Vorhandensein eines einheitlichen Maßes für Fraktale ermöglicht die Anwendung der Integrations- und Potentialtheorie, um sie anstelle von Standardobjekten in den bereits untersuchten Gleichungen zu verwenden.
Mit dem fraktalen Ansatz hört das Chaos auf, blaue Unordnung zu sein, und erhält eine feine Struktur. Die Fraktalwissenschaft ist noch sehr jung und hat eine große Zukunft vor sich. Die Schönheit der Fraktale ist noch lange nicht erschöpft und wird uns noch viele Meisterwerke bescheren – solche, die das Auge erfreuen, und solche, die dem Geist wahre Freude bereiten.

Über das Erstellen von Fraktalen

Methode sukzessiver Approximationen

Wenn man sich dieses Bild ansieht, ist es nicht schwer zu verstehen, wie ein selbstähnliches Fraktal (in diesem Fall die Sierpinski-Pyramide) aufgebaut werden kann. Wir müssen eine gewöhnliche Pyramide (Tetraeder) nehmen und dann ihre Mitte (Oktaeder) ausschneiden, wodurch wir vier kleine Pyramiden erhalten. Mit jedem von ihnen führen wir den gleichen Vorgang durch und so weiter. Das ist eine etwas naive, aber anschauliche Erklärung.

Betrachten wir das Wesen der Methode genauer. Es soll ein IFS-System geben, d.h. Kontraktionskartierungssystem S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (für unsere Pyramide sehen die Zuordnungen beispielsweise wie folgt aus: S i (x)=1/2*x+o i , wobei o i sind die Eckpunkte des Tetraeders, i=1,..,4). Dann wählen wir eine kompakte Menge A 1 im R n (in unserem Fall wählen wir ein Tetraeder). Und wir bestimmen durch Induktion die Folge der Mengen A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Es ist bekannt, dass die Mengen A k mit zunehmendem k den erforderlichen Attraktor des Systems annähern S.

Beachten Sie, dass jede dieser Iterationen ein Attraktor ist wiederkehrendes System iterierter Funktionen(englischer Begriff DigraphIFS, Gewehre und auch Graphgesteuertes IFS) und sind daher mit unserem Programm einfach zu erstellen.

Konstruktion nach Punkten oder Wahrscheinlichkeitsmethode

Dies ist die am einfachsten auf einem Computer zu implementierende Methode. Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall einer flachen selbstaffinen Menge. Also sei (S

) ist ein System affiner Kontraktionen. Zuordnungen S

vertretbar als: S

Feste Matrix der Größe 2x2 und o

Zweidimensionale Vektorspalte.

Nehmen wir als Ausgangspunkt einen Fixpunkt der ersten Abbildung S 1:
x:=o1;
Hier nutzen wir die Tatsache aus, dass alle festen Kontraktionspunkte S 1 ,..,S m zum Fraktal gehören. Als Ausgangspunkt kann ein beliebiger Punkt gewählt werden und die von ihm erzeugte Punktfolge schrumpft zu einem Fraktal zusammen, allerdings erscheinen dann ein paar zusätzliche Punkte auf dem Bildschirm.
Beachten Sie den aktuellen Punkt x=(x 1 ,x 2) auf dem Bildschirm:
putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
Wir wählen zufällig eine Zahl j von 1 bis m und berechnen die Koordinaten des Punktes x neu:
j:=Random(m)+1;
x:=S j (x);
Wir fahren mit Schritt 2 fort oder hören auf, wenn wir eine ausreichend große Anzahl an Iterationen durchgeführt haben.

Notiz. Wenn die Kompressionskoeffizienten der Abbildungen S i unterschiedlich sind, wird das Fraktal ungleichmäßig mit Punkten gefüllt. Wenn es sich bei den Abbildungen S i um Ähnlichkeiten handelt, kann dies durch eine leichte Komplizierung des Algorithmus vermieden werden. Dazu muss im 3. Schritt des Algorithmus die Zahl j von 1 bis m mit den Wahrscheinlichkeiten p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s gewählt werden, wobei r i die Kontraktionskoeffizienten der Abbildungen S i bezeichnen , und die Zahl s (Ähnlichkeitsdimension genannt) ergibt sich aus der Gleichung r 1 s +...+r m s =1. Die Lösung dieser Gleichung kann beispielsweise mit der Newton-Methode gefunden werden.

Über Fraktale und ihre Algorithmen

Fraktal kommt vom lateinischen Adjektiv „fractus“ und bedeutet in der Übersetzung „aus Fragmenten bestehen“, und das entsprechende lateinische Verb „frangere“ bedeutet brechen, also unregelmäßige Fragmente erzeugen. Die Ende der 70er Jahre aufgekommenen Konzepte des Fraktals und der fraktalen Geometrie haben sich seit Mitte der 80er Jahre fest im Alltag von Mathematikern und Programmierern etabliert. Der Begriff wurde 1975 von Benoit Mandelbrot vorgeschlagen, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, die er untersuchte. Die Geburt der fraktalen Geometrie wird normalerweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“ – „Die fraktale Geometrie der Natur“ im Jahr 1977 in Verbindung gebracht. Seine Arbeiten nutzten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875 bis 1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Anpassungen

Lassen Sie mich einige Anpassungen an den im Buch von H.-O. vorgeschlagenen Algorithmen vornehmen. Paytgen und P.H. Richter „The Beauty of Fractals“ M. 1993, lediglich um Tippfehler zu beseitigen und das Verständnis der Prozesse zu erleichtern, da mir nach dem Studium vieles noch ein Rätsel blieb. Leider führen diese „verständlichen“ und „einfachen“ Algorithmen einen rockigen Lebensstil.

Die Konstruktion von Fraktalen basiert auf einer bestimmten nichtlinearen Funktion eines komplexen Prozesses mit Rückkopplung z = z 2 + c, da z und c komplexe Zahlen sind, dann ist z = x + iy, c = p + iq notwendig um es in x und y zu zerlegen, um realistischer zu werden gewöhnlicher Mensch Ebene:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Die aus allen Paaren (x, y) bestehende Ebene kann als mit festen Werten betrachtet werden p und q sowie für dynamische. Im ersten Fall werden alle Punkte (x, y) der Ebene gemäß dem Gesetz sortiert und abhängig von der Anzahl der Wiederholungen der Funktion, die zum Beenden des iterativen Prozesses erforderlich sind, eingefärbt oder nicht (schwarz) gefärbt, wenn das zulässige Maximum erreicht ist Anzahl der Wiederholungen erhöht wird, erhalten wir die Anzeige der Julia-Menge. Wenn wir im Gegenteil das anfängliche Wertepaar (x, y) bestimmen und sein koloristisches Schicksal mit sich dynamisch ändernden Werten der Parameter p und q verfolgen, dann erhalten wir Bilder, die Mandelbrot-Mengen genannt werden.

Zur Frage fraktaler Farbalgorithmen.

Normalerweise wird der Körper des Sets als schwarzes Feld dargestellt, obwohl es offensichtlich ist, dass die schwarze Farbe durch jede andere ersetzt werden kann, aber auch das ist ein uninteressantes Ergebnis. Ein Bild eines in allen Farben bemalten Sets zu erhalten, ist eine Aufgabe, die nicht mit zyklischen Operationen gelöst werden kann, da Die Anzahl der Iterationen, die den Körper der Menge bilden, ist gleich dem maximal möglichen und immer gleich. Färben Sie das Set aus verschiedene Farben vielleicht durch Verwendung des Ergebnisses der Prüfung der Austrittsbedingung aus der Schleife (z_magnitude) als Farbzahl oder ähnlich, aber mit anderen mathematischen Operationen.

Anwendung des „Fraktalmikroskops“

Grenzphänomene aufzuzeigen.

Attraktoren sind die Zentren, die den Kampf um die Vorherrschaft auf der Ebene anführen. Zwischen den Attraktoren befindet sich eine Grenze, die ein Wirbelmuster darstellt. Indem man den Betrachtungsumfang innerhalb der Grenzen der Menge vergrößert, kann man nicht-triviale Muster erhalten, die den Zustand des deterministischen Chaos widerspiegeln – ein häufiges Phänomen in der natürlichen Welt.

Die von Geographen untersuchten Objekte bilden ein System mit sehr komplex organisierten Grenzen, wodurch ihre Umsetzung zu einer schwierigen praktischen Aufgabe wird. Naturkomplexe verfügen über typische Kerne, die als Attraktoren fungieren und mit zunehmender Entfernung ihre Einflusskraft auf das Territorium verlieren.

Mit einem fraktalen Mikroskop für die Mandelbrot- und Julia-Mengen kann man sich ein Bild von Grenzprozessen und Phänomenen machen, die unabhängig vom Betrachtungsmaßstab gleich komplex sind, und so die Wahrnehmung eines Spezialisten auf eine Begegnung mit einem dynamischen und scheinbar chaotischen Phänomen vorbereiten in Raum und Zeit natürliches Objekt, zum Verständnis der fraktalen Geometrie der Natur. Mehrfarbige Farben und fraktale Musik werden definitiv tiefe Spuren im Gedächtnis der Schüler hinterlassen.

Tausende Veröffentlichungen und riesige Internetressourcen widmen sich den Fraktalen, doch für viele Spezialisten fernab der Informatik scheint dieser Begriff völlig neu zu sein. Fraktale sollten als Objekte, die für Spezialisten verschiedener Wissensgebiete von Interesse sind, ihren gebührenden Platz im Studium der Informatik erhalten.

Beispiele

SIERPINSKI-GITTER

Dies ist eines der Fraktale, mit denen Mandelbrot experimentiert hat, als er die Konzepte fraktaler Dimensionen und Iterationen entwickelte. Dreiecke, die durch Verbinden der Mittelpunkte des größeren Dreiecks entstehen, werden aus dem Hauptdreieck geschnitten, um ein Dreieck mit mehr Löchern zu bilden. In diesem Fall ist der Initiator ein großes Dreieck und die Vorlage ist eine Operation zum Schneiden ähnlicher Dreiecke wie das größere. Sie können auch eine 3D-Version eines Dreiecks erhalten, indem Sie ein gewöhnliches Tetraeder verwenden und kleinere Tetraeder ausschneiden. Die Dimension eines solchen Fraktals beträgt ln3/ln2 = 1,584962501.

Um zu bekommen Sierpinski-Teppich, nimm ein Quadrat, teile es in neun Quadrate und schneide das mittlere aus. Das Gleiche machen wir auch mit den restlichen, kleineren Quadraten. Am Ende entsteht ein flaches fraktales Gitter, das keine Fläche, aber unendlich viele Verbindungen hat. In seiner räumlichen Form verwandelt sich der Sierpinski-Schwamm in ein System von Durchgangsformen, in dem jedes Durchgangselement ständig durch seinesgleichen ersetzt wird. Diese Struktur ist einem Knochengewebeabschnitt sehr ähnlich. Eines Tages werden solche sich wiederholenden Strukturen zu einem Element von Baustrukturen werden. Mandelbrot ist der Ansicht, dass ihre Statik und Dynamik eine eingehende Untersuchung verdient.

KOCH-KURVE

Die Koch-Kurve ist eines der typischsten deterministischen Fraktale. Es wurde im 19. Jahrhundert von einem deutschen Mathematiker namens Helge von Koch erfunden, der beim Studium der Arbeiten von Georg Kontor und Karl Weierstraße auf Beschreibungen einiger seltsamer Kurven mit ungewöhnlichem Verhalten stieß. Initiator - Direktleitung. Der Generator ist ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seiten einem Drittel der Länge des größeren Segments entsprechen. Diese Dreiecke werden immer wieder in der Mitte jedes Segments hinzugefügt. In seiner Forschung experimentierte Mandelbrot viel mit Koch-Kurven und erhielt Figuren wie Koch-Inseln, Koch-Kreuze, Koch-Schneeflocken und sogar dreidimensionale Darstellungen der Koch-Kurve, indem er ein Tetraeder verwendete und zu jeder seiner Flächen kleinere Tetraeder hinzufügte. Die Koch-Kurve hat die Dimension ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktales Mandelbrot

Dies ist NICHT die Mandelbrot-Menge, die man oft sieht. Die Mandelbrot-Menge basiert auf nichtlinearen Gleichungen und ist ein komplexes Fraktal. Auch dies ist eine Variante der Koch-Kurve, obwohl dieses Objekt nicht so aussieht. Auch der Initiator und der Generator unterscheiden sich von denen, die zur Erzeugung von Fraktalen nach dem Prinzip der Koch-Kurve verwendet werden, die Idee bleibt jedoch dieselbe. Anstatt gleichseitige Dreiecke an ein Kurvensegment anzuhängen, werden Quadrate an ein Quadrat angehängt. Aufgrund der Tatsache, dass dieses Fraktal bei jeder Iteration genau die Hälfte des zugewiesenen Platzes einnimmt, hat es eine einfache fraktale Dimension von 3/2 = 1,5.

DARERS FÜNFECK

Ein Fraktal sieht aus wie ein Bündel zusammengedrückter Fünfecke. Tatsächlich entsteht es durch die Verwendung eines Fünfecks als Initiator und gleichschenkliger Dreiecke, deren Verhältnis der größten zur kleinsten Seite genau dem sogenannten Goldenen Schnitt (1,618033989 oder 1/(2cos72)) als Generator entspricht . Diese Dreiecke werden aus der Mitte jedes Fünfecks herausgeschnitten, sodass eine Form entsteht, die wie fünf kleine Fünfecke aussieht, die an ein großes Fünfeck geklebt sind.

Eine Variante dieses Fraktals kann durch die Verwendung eines Sechsecks als Initiator erhalten werden. Dieses Fraktal wird Davidstern genannt und ist der sechseckigen Version von Kochs Schneeflocke sehr ähnlich. Die fraktale Dimension des Darer-Fünfecks beträgt ln6/ln(1+g), wobei g das Verhältnis der Länge der größeren Seite des Dreiecks zur Länge der kleineren Seite ist. In diesem Fall ist g der Goldene Schnitt, die fraktale Dimension beträgt also ungefähr 1,86171596. Die fraktale Dimension des Davidsterns beträgt ln6/ln3 oder 1,630929754.

Komplexe Fraktale

Wenn Sie in einen kleinen Bereich eines komplexen Fraktals hineinzoomen und das Gleiche dann in einem kleinen Bereich dieses Bereichs tun, unterscheiden sich die beiden Vergrößerungen tatsächlich deutlich voneinander. Die beiden Bilder werden sich im Detail sehr ähneln, aber nicht völlig identisch sein.

Abb. 1. Approximation der Mandelbrot-Menge

Vergleichen Sie zum Beispiel die hier gezeigten Bilder der Mandelbrot-Menge, von denen eines durch Vergrößerung eines Bereichs des anderen erhalten wurde. Wie Sie sehen, sind sie absolut nicht identisch, obwohl wir auf beiden einen schwarzen Kreis sehen, von dem aus brennende Tentakel in verschiedene Richtungen gehen. Diese Elemente wiederholen sich in der Mandelbrot-Menge auf unbestimmte Zeit in abnehmendem Verhältnis.

Deterministische Fraktale sind linear, komplexe Fraktale hingegen nicht. Da diese Fraktale nichtlinear sind, werden sie durch das erzeugt, was Mandelbrot als nichtlineare algebraische Gleichungen bezeichnete. Gutes Beispiel ist der Prozess Zn+1=ZnІ + C, der die Gleichung ist, die zur Konstruktion der Mandelbrot- und Julia-Mengen zweiten Grades verwendet wird. Die Lösung dieser mathematischen Gleichungen erfordert komplexe und imaginäre Zahlen. Bei der grafischen Interpretation der Gleichung in der komplexen Ebene ergibt sich eine seltsame Figur, in der Geraden zu Kurven werden, Selbstähnlichkeitseffekte treten auf verschiedenen Skalenebenen auf, wenn auch nicht ohne Deformationen. Gleichzeitig ist das Gesamtbild unvorhersehbar und sehr chaotisch.

Wie Sie anhand der Bilder sehen können, sind komplexe Fraktale tatsächlich sehr komplex und ohne die Hilfe eines Computers nicht zu erstellen. Um farbenfrohe Ergebnisse zu erzielen, muss dieser Computer über einen leistungsstarken mathematischen Coprozessor und einen hochauflösenden Monitor verfügen. Im Gegensatz zu deterministischen Fraktalen werden komplexe Fraktale nicht in 5–10 Iterationen berechnet. Fast jeder Punkt auf dem Computerbildschirm ist wie ein separates Fraktal. Bei der mathematischen Verarbeitung wird jeder Punkt als separates Muster behandelt. Jeder Punkt entspricht einem bestimmten Wert. Die Gleichung ist für jeden Punkt eingebaut und wird beispielsweise in 1000 Iterationen durchgeführt. Um in einem für Heimcomputer akzeptablen Zeitintervall ein relativ unverzerrtes Bild zu erhalten, ist es möglich, 250 Iterationen für einen Punkt durchzuführen.

Die meisten Fraktale, die wir heute sehen, sind wunderschön gefärbt. Vielleicht sind die fraktalen Bilder so groß geworden ästhetischer Wert gerade wegen ihrer Farbgebung. Nachdem die Gleichung berechnet wurde, analysiert der Computer die Ergebnisse. Wenn die Ergebnisse stabil bleiben oder um einen bestimmten Wert schwanken, wird der Punkt normalerweise schwarz. Wenn der Wert bei der einen oder anderen Stufe gegen Unendlich geht, wird der Punkt in einer anderen Farbe dargestellt, vielleicht blau oder rot. Dabei ordnet der Computer allen Bewegungsgeschwindigkeiten Farben zu.

Normalerweise werden sich schnell bewegende Punkte rot, langsamere gelb usw. angezeigt. dunkle Punkte sind wahrscheinlich die stabilsten.

Komplexe Fraktale unterscheiden sich von deterministischen Fraktalen dadurch, dass sie unendlich komplex sind und dennoch durch eine sehr einfache Formel erzeugt werden können. Deterministische Fraktale benötigen keine Formeln oder Gleichungen. Nehmen Sie einfach etwas Zeichenpapier und Sie können problemlos ein Sierpinski-Sieb in bis zu 3 oder 4 Iterationen bauen. Versuchen Sie es mit viel Julia! Es ist einfacher, die Länge der Küste Englands zu messen!

MANDERBROT-SET

Abb. 2. Mandelbrot-Menge

Die Mandelbrot- und Julia-Mengen sind wahrscheinlich die beiden häufigsten unter den komplexen Fraktalen. Sie sind in vielen zu finden wissenschaftliche Zeitschriften, Buchumschläge, Postkarten und Bildschirmschoner für Computer. Die Mandelbrot-Menge, die von Benoit Mandelbrot erstellt wurde, ist wahrscheinlich die erste Assoziation, die Menschen haben, wenn sie das Wort Fraktal hören. Dieses Fraktal, das einer Karte mit leuchtenden Baum- und Kreisbereichen ähnelt, wird durch die einfache Formel Zn+1=Zna+C erzeugt, wobei Z und C komplexe Zahlen und a eine positive Zahl ist.

Die am häufigsten vorkommende Mandelbrot-Menge ist die Mandelbrot-Menge 2. Grades, d. h. a=2. Die Tatsache, dass die Mandelbrot-Menge nicht nur Zn+1=ZnІ+C ist, sondern ein Fraktal, dessen Exponent in der Formel jede positive Zahl sein kann, hat viele Menschen in die Irre geführt. Auf dieser Seite sehen Sie ein Beispiel der Mandelbrot-Menge für verschiedene Werte des Exponenten a.
Abbildung 3. Das Auftreten von Blasen bei a=3,5

Beliebt ist auch der Prozess Z=Z*tg(Z+C). Durch die Einbeziehung der Tangensfunktion erhält man die Mandelbrot-Menge, umgeben von einer apfelähnlichen Fläche. Bei Verwendung der Kosinusfunktion werden Luftblaseneffekte erzielt. Kurz gesagt, es gibt unendlich viele Möglichkeiten, die Mandelbrot-Menge zu optimieren, um verschiedene schöne Bilder zu erzeugen.

MEHRERE JULIA

Überraschenderweise werden die Julia-Mengen nach der gleichen Formel gebildet wie die Mandelbrot-Menge. Die Julia-Menge wurde vom französischen Mathematiker Gaston Julia erfunden, nach dem die Menge benannt wurde. Die erste Frage, die sich nach einer visuellen Bekanntschaft mit den Mandelbrot- und Julia-Mengen stellt, lautet: „Wenn beide Fraktale durch dieselbe Formel erzeugt werden, warum sind sie dann so unterschiedlich?“ Schauen Sie sich zunächst die Bilder des Julia-Sets an. Seltsamerweise gibt es verschiedene Arten von Julia-Sets. Wenn Sie ein Fraktal mit verschiedenen Startpunkten zeichnen (um den Iterationsprozess zu starten), verschiedene Bilder. Dies gilt nur für die Julia-Menge.

Abb. 4. Julia-Set

Obwohl es auf dem Bild nicht zu sehen ist, handelt es sich bei einem Mandelbrot-Fraktal tatsächlich um eine Ansammlung miteinander verbundener Julia-Fraktale. Jeder Punkt (oder jede Koordinate) der Mandelbrot-Menge entspricht einem Julia-Fraktal. Mit diesen Punkten als Anfangswerten in der Gleichung Z=ZI+C können Julia-Mengen erzeugt werden. Dies bedeutet jedoch nicht, dass Sie ein Julia-Fraktal erhalten können, wenn Sie einen Punkt auf dem Mandelbrot-Fraktal auswählen und vergrößern. Diese beiden Punkte sind identisch, jedoch nur im mathematischen Sinne. Wenn wir diesen Punkt nehmen und ihn gemäß dieser Formel berechnen, können wir das Julia-Fraktal erhalten, das einem bestimmten Punkt des Mandelbrot-Fraktals entspricht.

Um die ganze Vielfalt der Fraktale darzustellen, ist es sinnvoll, auf deren allgemein anerkannte Klassifizierung zurückzugreifen.

2.1 Geometrische Fraktale

Fraktale dieser Klasse sind am offensichtlichsten. Im zweidimensionalen Fall werden sie mithilfe einer sogenannten Polylinie (oder Fläche im dreidimensionalen Fall) ermittelt Generator. In einem Schritt des Algorithmus wird jedes Segment, aus dem die unterbrochene Linie besteht, durch einen Generator für unterbrochene Linien im entsprechenden Maßstab ersetzt. Durch die endlose Wiederholung dieses Vorgangs entsteht ein geometrisches Fraktal.

Abb. 1. Konstruktion der triadischen Koch-Kurve.

Betrachten Sie eines dieser fraktalen Objekte – die triadische Koch-Kurve. Die Konstruktion der Kurve beginnt mit einem Segment der Einheitslänge (Abb. 1) – dies ist die 0. Generation der Koch-Kurve. Außerdem wird jeder Link (ein Segment in der Nullgeneration) durch ersetzt Generatrix, angegeben in Abb. 1 bis n=1. Als Ergebnis einer solchen Ersetzung erhält man die nächste Generation der Koch-Kurve. In der 1. Generation handelt es sich um eine Kurve aus vier geraden Gliedern mit einer Länge von jeweils 1/3 . Um die 3. Generation zu erhalten, werden die gleichen Aktionen durchgeführt – jedes Glied wird durch ein reduziertes Formelement ersetzt. Um also jede nachfolgende Generation zu erhalten, müssen alle Glieder der vorherigen Generation durch ein reduziertes Formelement ersetzt werden. Kurve N Generation für jede endliche N genannt präfraktal. Abbildung 1 zeigt fünf Generationen der Kurve. Bei N Die Koch-Kurve tendiert ins Unendliche und wird zu einem fraktalen Objekt.

Abbildung 2. Konstruktion des „Drachen“ von Harter-Hateway.

Um ein weiteres fraktales Objekt zu erhalten, müssen Sie die Konstruktionsregeln ändern. Das erzeugende Element seien zwei gleiche Segmente, die im rechten Winkel verbunden sind. Bei der Nullgenerierung ersetzen wir das Einheitssegment durch dieses erzeugende Element, sodass der Winkel oben liegt. Wir können sagen, dass es bei einem solchen Austausch zu einer Verschiebung in der Mitte der Verbindung kommt. Beim Aufbau der nächsten Generationen wird die Regel erfüllt: Das allererste Glied links wird durch ein erzeugendes Element ersetzt, so dass die Mitte des Glieds nach links von der Bewegungsrichtung verschoben wird, und beim Ersetzen der nächsten Glieder wird das Die Verschiebungsrichtungen der Mittelpunkte der Segmente müssen sich abwechseln. Abbildung 2 zeigt die ersten Generationen und die 11. Generation der nach dem oben beschriebenen Prinzip konstruierten Kurve. Begrenzende fraktale Kurve (bei N gegen Unendlich tendierend) heißt Harter-Hateway-Drache .

In der Computergrafik ist die Verwendung geometrischer Fraktale erforderlich, um Bilder von Bäumen, Büschen und der Küste zu erhalten. Zweidimensionale geometrische Fraktale werden verwendet, um volumetrische Texturen (Muster auf der Oberfläche eines Objekts) zu erzeugen.

2.2 Algebraische Fraktale

Dies ist die größte Gruppe von Fraktalen. Sie werden durch nichtlineare Prozesse in erhalten N-dimensionale Räume. Zweidimensionale Prozesse werden am häufigsten untersucht. Wenn man einen nichtlinearen iterativen Prozess als diskretes dynamisches System interpretiert, kann man die Terminologie der Theorie dieser Systeme verwenden: Phasenporträt, Gleichgewichtszustand, Attraktor usw.

Es ist bekannt, dass nichtlineare dynamische Systeme mehrere stabile Zustände haben. Der Zustand, in dem sich das dynamische System nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen befindet, hängt von seinem Ausgangszustand ab. Daher verfügt jeder stabile Zustand (oder, wie man sagt, ein Attraktor) über einen bestimmten Bereich von Anfangszuständen, von dem aus das System zwangsläufig in die betrachteten Endzustände fällt. Somit wird der Phasenraum des Systems unterteilt Anziehungspunkte Attraktoren. Wenn der Phasenraum zweidimensional ist, kann man durch Einfärben der Anziehungsbereiche mit unterschiedlichen Farben erhalten Farbphasenporträt dieses System (iterativer Prozess). Durch Ändern des Farbauswahlalgorithmus können Sie komplexe Fraktalmuster mit ausgefallenen Mehrfarbenmustern erhalten. Eine Überraschung für Mathematiker war die Fähigkeit, mithilfe primitiver Algorithmen sehr komplexe nichttriviale Strukturen zu erzeugen.

Abb. 3. Mandelbrot-Menge.

Betrachten Sie als Beispiel die Mandelbrot-Menge (siehe Abb.3 und Abb.4). Der Algorithmus für seine Konstruktion ist recht einfach und basiert auf einem einfachen iterativen Ausdruck:

Z = Z[ich]* Z[i]+ C,

Wo Z Ich und C sind komplexe Variablen. Für jeden Startpunkt werden Iterationen durchgeführt C rechteckige oder quadratische Fläche – eine Teilmenge der komplexen Ebene. Der iterative Prozess wird fortgesetzt bis Z[i] wird nicht über den Kreis mit dem Radius 2 hinausgehen, dessen Mittelpunkt im Punkt (0,0) liegt (das bedeutet, dass der Attraktor des dynamischen Systems im Unendlichen liegt) oder nach einer ausreichend großen Anzahl von Iterationen (zum Beispiel 200-500) Z[i] konvergiert zu einem bestimmten Punkt auf dem Kreis. Abhängig von der Anzahl der Iterationen, während denen Z[i] innerhalb des Kreises bleibt, können Sie die Farbe des Punktes einstellen C(Wenn Z[i] bleibt für eine ausreichend große Anzahl von Iterationen innerhalb des Kreises, der Iterationsprozess stoppt und dieser Rasterpunkt wird schwarz gefärbt.

Abbildung 4. Teil der Grenze der Mandelbrot-Menge, 200-fach vergrößert.

Der obige Algorithmus liefert eine Näherung an die sogenannte Mandelbrot-Menge. Die Mandelbrot-Menge enthält Punkte, die während endlos die Anzahl der Iterationen geht nicht ins Unendliche (Punkte sind schwarz). Punkte, die zum Rand der Menge gehören (hier entstehen komplexe Strukturen), gehen in einer endlichen Anzahl von Iterationen gegen Unendlich, und Punkte, die außerhalb der Menge liegen, gehen nach mehreren Iterationen gegen Unendlich (weißer Hintergrund).

2.3 Stochastische Fraktale

Es gibt andere Klassifikationen von Fraktalen, zum Beispiel die Unterteilung von Fraktalen in deterministische (algebraische und geometrische) und nichtdeterministische (stochastische).

Fraktal

Fraktal (lat. Fraktus- zerdrückt, gebrochen, gebrochen) - eine geometrische Figur, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit besitzt, das heißt, sie besteht aus mehreren Teilen, von denen jeder der gesamten Figur als Ganzes ähnlich ist. In der Mathematik werden Fraktale als verstanden Mengen von Punkten im euklidischen Raum, die eine gebrochene metrische Dimension (im Sinne von Minkowski oder Hausdorff) oder eine andere als topologische metrische Dimension haben. Fraktasmus ist eine unabhängige exakte Wissenschaft des Studiums und der Zusammenstellung von Fraktalen.

Mit anderen Worten: Fraktale sind geometrische Objekte mit einer gebrochenen Dimension. Beispielsweise beträgt die Dimension einer Linie 1, eine Fläche 2 und ein Volumen 3. Bei einem Fraktal kann der Dimensionswert zwischen 1 und 2 oder zwischen 2 und 3 liegen. Beispielsweise die fraktale Dimension eines zerknitterten Papiers Ball ist ungefähr 2,5. In der Mathematik gibt es eine spezielle komplexe Formel zur Berechnung der Dimension von Fraktalen. Die Verzweigungen der Luftröhren, die Blätter der Bäume, die Adern im Arm, der Fluss sind Fraktale. Vereinfacht ausgedrückt ist ein Fraktal eine geometrische Figur, von der sich ein bestimmter Teil immer wieder wiederholt und dabei seine Größe verändert – das ist das Prinzip der Selbstähnlichkeit. Fraktale sind sich selbst ähnlich, sie sind sich selbst auf allen Ebenen (dh auf jeder Skala) ähnlich. Es gibt viele verschiedene Arten von Fraktalen. Grundsätzlich lässt sich argumentieren, dass alles, was in der realen Welt existiert, ein Fraktal ist, sei es eine Wolke oder ein Sauerstoffmolekül.

Das Wort „Chaos“ suggeriert etwas Unvorhersehbares, aber in Wirklichkeit ist Chaos recht geordnet und gehorcht bestimmten Gesetzen. Der Zweck der Untersuchung von Chaos und Fraktalen besteht darin, Muster vorherzusagen, die auf den ersten Blick unvorhersehbar und völlig chaotisch erscheinen könnten.

Der Pionier auf diesem Wissensgebiet war der französisch-amerikanische Mathematiker Professor Benoit B. Mandelbrot. Mitte der 1960er Jahre entwickelte er die fraktale Geometrie, deren Ziel es war, gebrochene, faltige und unscharfe Formen zu analysieren. Die Mandelbrot-Menge (in der Abbildung dargestellt) ist die erste Assoziation, die eine Person hat, wenn sie das Wort „Fraktal“ hört. Mandelbrot hat übrigens festgestellt, dass die fraktale Dimension der Küstenlinie Englands 1,25 beträgt.

Fraktale werden zunehmend in der Wissenschaft eingesetzt. Sie beschreiben echte Welt sogar besser als traditionelle Physik oder Mathematik. Unter der Brownschen Bewegung versteht man beispielsweise die zufällige und chaotische Bewegung von in Wasser schwebenden Staubpartikeln. Diese Art der Bewegung ist vielleicht der praktischste Aspekt der fraktalen Geometrie. Die zufällige Brownsche Bewegung verfügt über einen Frequenzgang, der zur Vorhersage von Phänomenen mit großen Datenmengen und Statistiken verwendet werden kann. Beispielsweise hat Mandelbrot mithilfe der Brownschen Bewegung Änderungen im Wollpreis vorhergesagt.

Das Wort „Fraktal“ kann nicht nur als mathematischer Begriff verwendet werden. Ein Fraktal kann in der Presse und populärwissenschaftlichen Literatur als Figuren bezeichnet werden, die eine der folgenden Eigenschaften aufweisen:

Es weist auf allen Skalen eine nicht triviale Struktur auf. Dies ist der Unterschied zu regulären Figuren (wie einem Kreis, einer Ellipse, einem Graphen einer glatten Funktion): Wenn wir ein kleines Fragment einer regelmäßigen Figur in einem sehr großen Maßstab betrachten, sieht es aus wie ein Fragment einer geraden Linie . Bei einem Fraktal führt das Heranzoomen nicht zu einer Vereinfachung der Struktur, wir sehen auf allen Maßstäben ein gleich komplexes Bild.

Es ist selbstähnlich oder annähernd selbstähnlich.

Es hat eine gebrochene metrische Dimension oder eine metrische Dimension, die der topologischen überlegen ist.

Die nützlichste Verwendung von Fraktalen in der Informatik ist die Komprimierung fraktaler Daten. Gleichzeitig werden Bilder deutlich besser komprimiert als mit herkömmlichen Methoden – bis zu 600:1. Ein weiterer Vorteil der fraktalen Komprimierung besteht darin, dass beim Vergrößern kein Pixeleffekt auftritt, der das Bild drastisch verschlechtert. Darüber hinaus sieht ein fraktal komprimiertes Bild nach der Vergrößerung oft noch besser aus als zuvor. Informatiker wissen auch, dass sich mit einfachen Formeln Fraktale von unendlicher Komplexität und Schönheit erzeugen lassen. Die Filmindustrie nutzt die fraktale Grafiktechnologie in großem Umfang, um realistische Landschaftselemente (Wolken, Felsen und Schatten) zu erstellen.

Die Untersuchung von Turbulenzen in Strömungen eignet sich sehr gut für Fraktale. Dies ermöglicht ein besseres Verständnis der Dynamik komplexer Strömungen. Flammen können auch mithilfe von Fraktalen modelliert werden. Poröse Materialien werden aufgrund ihrer sehr komplexen Geometrie gut in fraktaler Form dargestellt. Um Daten über Entfernungen zu übertragen, werden fraktalförmige Antennen verwendet, was ihre Größe und ihr Gewicht erheblich reduziert. Fraktale werden verwendet, um die Krümmung von Oberflächen zu beschreiben. Eine unebene Oberfläche zeichnet sich durch eine Kombination zweier verschiedener Fraktale aus.

Viele Objekte in der Natur haben fraktale Eigenschaften, etwa Küsten, Wolken, Baumkronen, Schneeflocken, das Kreislaufsystem und das Alveolarsystem von Menschen oder Tieren.

Fraktale sind vor allem im Flugzeug wegen ihrer Kombination aus Schönheit und einfacher Konstruktion mit einem Computer beliebt.

Die ersten Beispiele selbstähnlicher Mengen mit ungewöhnlichen Eigenschaften tauchten im 19. Jahrhundert auf (z. B. die Bolzano-Funktion, die Weierstrass-Funktion, die Cantor-Menge). Der Begriff „Fraktal“ wurde 1975 von Benoit Mandelbrot eingeführt und erlangte mit der Veröffentlichung seines Buches „The Fractal Geometry of Nature“ im Jahr 1977 große Popularität.

Die Abbildung links zeigt als einfaches Beispiel ein Darer-Pentagon-Fraktal, das wie ein Bündel zusammengedrückter Fünfecke aussieht. Tatsächlich wird es durch die Verwendung eines Fünfecks als Initiator und gleichschenkliger Dreiecke gebildet, wobei das Verhältnis der größten zur kleinsten Seite genau dem sogenannten Goldenen Schnitt (1,618033989 oder 1/(2cos72°)) entspricht Generator. Diese Dreiecke werden aus der Mitte jedes Fünfecks herausgeschnitten, sodass eine Form entsteht, die wie fünf kleine Fünfecke aussieht, die an ein großes Fünfeck geklebt sind.

Die Chaostheorie besagt, dass komplexe nichtlineare Systeme erblich unvorhersehbar sind, behauptet aber gleichzeitig, dass sich die Art und Weise, solche unvorhersehbaren Systeme auszudrücken, nicht in exakten Gleichheiten als wahr erweist, sondern in Darstellungen des Systemverhaltens – in Diagrammen seltsamer Attraktoren sehen aus wie Fraktale. So erweist sich die Chaostheorie, die von vielen als Unvorhersehbarkeit angesehen wird, als die Wissenschaft der Vorhersagbarkeit selbst in den instabilsten Systemen. Die Lehre von dynamischen Systemen zeigt, dass einfache Gleichungen solch chaotisches Verhalten erzeugen können, bei dem das System nie in einen stabilen Zustand zurückkehrt und gleichzeitig keine Regelmäßigkeit auftritt. Oftmals verhalten sich solche Systeme bis zu einem bestimmten Wert eines Schlüsselparameters ganz normal, erleben dann einen Übergang, bei dem es zwei Möglichkeiten zur Weiterentwicklung gibt, dann vier und schließlich eine chaotische Reihe von Möglichkeiten.

Prozessschemata in technischen Objekten haben eine klar definierte fraktale Struktur. Die Struktur des minimalen technischen Systems (TS) impliziert den Ablauf zweier Arten von Prozessen innerhalb des TS – der Haupt- und der unterstützenden Prozesse, und diese Unterteilung ist bedingt und relativ. Jeder Prozess kann der Hauptprozess im Verhältnis zu den unterstützenden Prozessen sein, und jeder der unterstützenden Prozesse kann als der Hauptprozess im Verhältnis zu „ihren“ unterstützenden Prozessen betrachtet werden. Die Kreise im Diagramm deuten auf die physikalischen Effekte hin, die den Ablauf jener Prozesse gewährleisten, für die es nicht erforderlich ist, eigens „eigene“ TS zu erstellen. Diese Prozesse sind das Ergebnis der Wechselwirkung zwischen Stoffen, Feldern, Stoffen und Feldern. Genauer gesagt ist die physikalische Wirkung ein Vehikel, auf dessen Prinzip wir keinen Einfluss haben und in dessen Struktur wir nicht eingreifen wollen oder haben.

Der Ablauf des im Diagramm dargestellten Hauptprozesses wird durch die Existenz von drei unterstützenden Prozessen sichergestellt, die für den TS, der sie generiert, die wichtigsten sind. Der Fairness halber stellen wir fest, dass für das Funktionieren selbst eines minimalen TS drei Prozesse eindeutig nicht ausreichen, d. h. Das Schema ist sehr, sehr übertrieben.

Es ist nicht alles so einfach wie im Diagramm dargestellt. Nützlich ( für eine Person notwendig) kann der Prozess nicht mit 100 % Effizienz durchgeführt werden. Die verlorene Energie wird für die Entstehung schädlicher Prozesse aufgewendet – Erwärmung, Vibration usw. Dadurch entstehen parallel zum wohltuenden Prozess auch schädliche. Es ist nicht immer möglich, einen „schlechten“ Prozess durch einen „guten“ zu ersetzen, daher müssen neue Prozesse organisiert werden, um die systemschädlichen Folgen zu kompensieren. Ein typisches Beispiel ist die Notwendigkeit, Reibung zu bekämpfen, die dazu zwingt, ausgeklügelte Schmiersysteme zu organisieren, teure reibungsmindernde Materialien zu verwenden oder Zeit damit zu verbringen, Komponenten und Teile zu schmieren oder sie regelmäßig auszutauschen.

Im Zusammenhang mit dem Vorhandensein des unvermeidlichen Einflusses einer veränderlichen Umgebung muss möglicherweise ein nützlicher Prozess gesteuert werden. Die Verwaltung kann sowohl mit Hilfe automatischer Geräte als auch direkt durch eine Person erfolgen. Das Prozessdiagramm besteht eigentlich aus einer Reihe spezieller Befehle, d. Algorithmus. Die Essenz (Beschreibung) jedes Befehls ist eine Kombination aus einem einzelnen nützlichen Prozess, begleitenden schädlichen Prozessen und einer Reihe notwendiger Kontrollprozesse. In einem solchen Algorithmus ist die Menge der unterstützenden Prozesse ein gewöhnliches Unterprogramm – und hier finden wir auch ein Fraktal. Die vor einem Vierteljahrhundert entwickelte Methode von R. Koller ermöglicht die Erstellung von Systemen mit einem relativ begrenzten Satz von nur 12 Funktionspaaren (Prozessen).

Selbstähnliche Mengen mit ungewöhnlichen Eigenschaften in der Mathematik

Mit ... anfangen Ende des 19. Jahrhunderts Jahrhundert gibt es in der Mathematik Beispiele für selbstähnliche Objekte mit pathologischen Eigenschaften aus Sicht der klassischen Analyse. Dazu gehören die folgenden:

Die Cantor-Menge ist eine nirgends dichte, unzählige perfekte Menge. Durch Modifizieren des Verfahrens kann man auch einen nirgendwo dichten Satz positiver Länge erhalten.

Das Sierpinski-Dreieck („Tischdecke“) und der Sierpinski-Teppich sind Analogien des Cantor im Flugzeug.

Mengers Schwamm – ein Analogon des Cantor im dreidimensionalen Raum;

Beispiele von Weierstrass und van der Waerden für eine nirgends differenzierbare stetige Funktion.

Koch-Kurve – eine sich nicht selbst schneidende kontinuierliche Kurve unendlicher Länge, die an keinem Punkt eine Tangente hat;

Die Peano-Kurve ist eine kontinuierliche Kurve, die durch alle Punkte eines Quadrats verläuft.

Auch die Flugbahn eines Brownschen Teilchens ist nirgends mit der Wahrscheinlichkeit 1 differenzierbar. Seine Hausdorff-Dimension ist zwei

Rekursives Verfahren zum Erhalten fraktaler Kurven

Konstruktion der Koch-Kurve

Es gibt ein einfaches rekursives Verfahren zum Erhalten fraktaler Kurven in einer Ebene. Wir definieren eine beliebige gestrichelte Linie mit einer endlichen Anzahl von Verbindungen, einen sogenannten Generator. Als nächstes ersetzen wir jedes darin enthaltene Segment durch einen Generator (genauer gesagt eine gestrichelte Linie ähnlich einem Generator). In der resultierenden gestrichelten Linie ersetzen wir erneut jedes Segment durch einen Generator. Wenn wir weiter bis ins Unendliche gehen, erhalten wir im Grenzfall eine fraktale Kurve. Die Abbildung rechts zeigt die ersten vier Schritte dieses Verfahrens für die Koch-Kurve.

Beispiele für solche Kurven sind:

Drachenkurve,

Koch-Kurve (Koch-Schneeflocke),

Abgabekurve,

Minkowski-Kurve,

Hilbert-Kurve,

Gebrochener (Kurven-)Drache (Harter-Hateway-Fraktal),

Peano-Kurve.

Mit einem ähnlichen Verfahren wird ein Pythagorasbaum erhalten.

Fraktale als Fixpunkte von Kontraktionsabbildungen

Die Selbstähnlichkeitseigenschaft kann mathematisch genau wie folgt ausgedrückt werden. Seien es Kontraktionskarten der Ebene. Betrachten Sie die folgende Abbildung auf der Menge aller kompakten (geschlossenen und beschränkten) Teilmengen der Ebene:

Es kann gezeigt werden, dass es sich bei der Abbildung um eine Kontraktionsabbildung auf der Menge kompakter Mengen mit der Hausdorff-Metrik handelt. Daher hat diese Abbildung nach dem Satz von Banach einen eindeutigen Fixpunkt. Dieser Fixpunkt wird unser Fraktal sein.

Das oben beschriebene rekursive Verfahren zur Gewinnung fraktaler Kurven ist ein Sonderfall dieser Konstruktion. Darin sind alle Zuordnungen Ähnlichkeitszuordnungen und die Anzahl der Generatorverknüpfungen.

Für das Sierpinski-Dreieck und die Abbildung , sind Homotheten mit Mittelpunkten an den Eckpunkten eines regelmäßigen Dreiecks und Koeffizient 1/2. Es ist leicht zu erkennen, dass sich das Sierpinski-Dreieck unter der Abbildung in sich selbst verwandelt.

Für den Fall, dass es sich bei den Abbildungen um Ähnlichkeitstransformationen mit Koeffizienten handelt, kann die Dimension des Fraktals (unter einigen zusätzlichen technischen Bedingungen) als Lösung der Gleichung berechnet werden. Für das Sierpinski-Dreieck erhalten wir also .

Nach dem gleichen Banach-Theorem erhalten wir, ausgehend von einer beliebigen kompakten Menge und der Anwendung von Iterationen der Karte auf diese, eine Folge kompakter Mengen, die (im Sinne der Hausdorff-Metrik) zu unserem Fraktal konvergieren.

Fraktale in komplexer Dynamik

Julia gesetzt

Ein weiterer Satz von Julia

Fraktale entstehen natürlicherweise bei der Untersuchung nichtlinearer dynamischer Systeme. Der am häufigsten untersuchte Fall liegt vor, wenn das dynamische System durch Iterationen eines Polynoms oder einer holomorphen Funktion einer komplexen Variablen auf der Ebene definiert wird. Die ersten Studien auf diesem Gebiet stammen aus dem Anfang des 20. Jahrhunderts und sind mit den Namen Fatou und Julia verbunden.

Lassen F(z) - Polynom, z 0 ist eine komplexe Zahl. Betrachten Sie die folgende Reihenfolge: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Wir sind am Verhalten dieser Sequenz interessiert, wie wir es tendieren N zur Unendlichkeit. Diese Sequenz kann:

Strebe nach Unendlichkeit

Strebe nach dem Höchsten

zeigen im Grenzfall zyklisches Verhalten, zum Beispiel: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

sich chaotisch zu verhalten, also keine der drei genannten Verhaltensweisen an den Tag zu legen.

Wertemengen z 0 , für die die Sequenz einen bestimmten Verhaltenstyp aufweist, sowie Sätze von Gabelungspunkten zwischen verschiedenen Typen haben häufig fraktale Eigenschaften.

Somit ist die Julia-Menge die Menge der Bifurkationspunkte für das Polynom F(z)=z 2 +C(oder eine andere ähnliche Funktion), also diese Werte z 0 , für das das Verhalten der Sequenz ( z N) kann sich mit beliebig kleinen Änderungen dramatisch ändern z 0 .

Eine weitere Möglichkeit, fraktale Mengen zu erhalten, besteht darin, einen Parameter in das Polynom einzuführen F(z) und unter Berücksichtigung der Menge derjenigen Parameterwerte, für die die Sequenz ( z N) zeigt ein bestimmtes Verhalten für einen festen Wert z 0 . Somit ist die Mandelbrot-Menge die Menge aller, für die ( z N) Für F(z)=z 2 +C Und z 0 geht nicht bis unendlich.

Noch eins berühmtes Beispiel Zu dieser Art gehören die Newtonschen Pools.

Es ist beliebt, schöne grafische Bilder basierend auf komplexer Dynamik zu erstellen, indem ebene Punkte abhängig vom Verhalten der entsprechenden dynamischen Systeme eingefärbt werden. Um beispielsweise die Mandelbrot-Menge zu ergänzen, können Sie die Punkte abhängig von der Geschwindigkeit des Strebens einfärben ( z N) bis Unendlich (z. B. als kleinste Zahl definiert). N, wo | z N| einen festen großen Wert überschreitet A.

Biomorphe sind Fraktale, die auf der Grundlage komplexer Dynamiken aufgebaut sind und lebenden Organismen ähneln.

Stochastische Fraktale

Randomisiertes Fraktal basierend auf dem Julia-Set

Natürliche Objekte haben oft eine fraktale Form. Für ihre Modellierung können stochastische (zufällige) Fraktale verwendet werden. Beispiele für stochastische Fraktale:

Flugbahn der Brownschen Bewegung in der Ebene und im Raum;

Grenze der Flugbahn der Brownschen Bewegung in der Ebene. Im Jahr 2001 bewiesen Lawler, Schramm und Werner Mandelbrots Vermutung, dass seine Dimension 4/3 beträgt.

Schramm-Löwner-Entwicklungen sind konform invariante fraktale Kurven, die in kritischen zweidimensionalen Modellen der statistischen Mechanik auftreten, beispielsweise im Ising-Modell und in der Perkolation.

verschiedene Arten von randomisierten Fraktalen, d. h. Fraktale, die durch ein rekursives Verfahren erhalten werden, bei dem bei jedem Schritt ein Zufallsparameter eingeführt wird. Plasma ist ein Beispiel für die Verwendung eines solchen Fraktals in der Computergrafik.

In der Natur

Vorderansicht der Luftröhre und der Bronchien

Bronchialbaum

Netzwerk von Blutgefäßen

Anwendung

Naturwissenschaften

In der Physik entstehen Fraktale natürlicherweise bei der Modellierung nichtlinearer Prozesse wie turbulenter Flüssigkeitsströmungen, komplexer Diffusions-Adsorptions-Prozesse, Flammen, Wolken usw. Fraktale werden bei der Modellierung poröser Materialien beispielsweise in der Petrochemie verwendet. In der Biologie werden sie zur Modellierung von Populationen und zur Beschreibung von Systemen innerer Organe (Blutgefäßsystem) verwendet.

Funktechnik

fraktale Antennen

Die Verwendung fraktaler Geometrie beim Entwurf von Antennengeräten wurde erstmals vom amerikanischen Ingenieur Nathan Cohen angewendet, der damals in der Innenstadt von Boston lebte, wo es verboten war, externe Antennen an Gebäuden zu installieren. Nathan schnitt aus Aluminiumfolie eine Figur in Form einer Koch-Kurve aus, klebte sie auf ein Blatt Papier und befestigte sie dann am Empfänger. Cohen gründete seine eigene Firma und startete deren Serienproduktion.

Informatik

Bildkompression

Hauptartikel: Fraktaler Kompressionsalgorithmus

fraktaler Baum

Es gibt Bildkomprimierungsalgorithmen, die Fraktale verwenden. Sie basieren auf der Idee, dass Sie anstelle des Bildes selbst eine Kontraktionskarte speichern können, für die dieses Bild (oder ein Bild in seiner Nähe) einen festen Punkt darstellt. Eine der Varianten dieses Algorithmus wurde verwendet [ Quelle nicht angegeben 895 Tage] von Microsoft bei der Veröffentlichung seiner Enzyklopädie, aber diese Algorithmen wurden nicht häufig verwendet.

Computergrafik

Ein weiterer fraktaler Baum

Fraktale werden in der Computergrafik häufig verwendet, um Bilder von natürlichen Objekten wie Bäumen, Büschen, Berglandschaften, Meeresoberflächen usw. zu erstellen. Es gibt viele Programme zum Generieren von Fraktalbildern, siehe Fractal Generator (Programm).

dezentrale Netzwerke

Das IP-Adresszuweisungssystem von Netsukuku nutzt das Prinzip der fraktalen Informationskomprimierung, um Informationen über Netzwerkknoten kompakt zu speichern. Jeder Knoten im Netsukuku-Netzwerk speichert nur 4 KB an Informationen über den Status benachbarter Knoten, während jeder neue Knoten eine Verbindung zum allgemeinen Netzwerk herstellt, ohne dass eine zentrale Regulierung der Verteilung von IP-Adressen erforderlich ist, was beispielsweise typisch für ist Internet. Somit garantiert das Prinzip der fraktalen Informationskomprimierung einen vollständig dezentralen und damit stabilsten Betrieb des gesamten Netzwerks.

Fraktale sind seit fast einem Jahrhundert bekannt, gut erforscht und haben zahlreiche Anwendungen im Leben. Diesem Phänomen liegt eine sehr einfache Idee zugrunde: Aus relativ einfachen Strukturen lassen sich mit nur zwei Arbeitsgängen – Kopieren und Skalieren – unendlich viele Figuren in Schönheit und Vielfalt erhalten.

Für dieses Konzept gibt es keine strenge Definition. Daher ist das Wort „Fraktal“ kein mathematischer Begriff. Normalerweise heißt es geometrische Figur, das eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften erfüllt:

hat bei jeder Vergrößerung eine komplexe Struktur;
ist (annähernd) selbstähnlich;
hat eine gebrochene Hausdorff-Dimension (fraktal), die größer als die topologische ist;
kann durch rekursive Verfahren erstellt werden.

An der Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert war die Untersuchung von Fraktalen eher episodisch als systematisch, da frühere Mathematiker hauptsächlich „gute“ Objekte untersuchten, mit denen sie untersucht werden konnten gängige Methoden und Theorien. Im Jahr 1872 konstruierte der deutsche Mathematiker Karl Weierstrass ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgends differenzierbar ist. Allerdings war seine Konstruktion völlig abstrakt und schwer zu verstehen. Daher entwickelte der Schwede Helge von Koch im Jahr 1904 eine kontinuierliche Kurve, die nirgendwo eine Tangente aufweist und deren Zeichnung recht einfach ist. Es stellte sich heraus, dass es die Eigenschaften eines Fraktals hat. Eine Variante dieser Kurve wird Koch-Schneeflocke genannt.

Die Ideen der Selbstähnlichkeit von Figuren wurden vom Franzosen Paul Pierre Levy, dem späteren Mentor von Benoit Mandelbrot, aufgegriffen. Im Jahr 1938 erschien sein Artikel „Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole“, in dem ein weiteres Fraktal beschrieben wird – die Lévy C-Kurve. Alle oben genannten Fraktale können bedingt einer Klasse konstruktiver (geometrischer) Fraktale zugeordnet werden.

Eine weitere Klasse sind dynamische (algebraische) Fraktale, zu denen die Mandelbrot-Menge gehört. Die ersten Studien in dieser Richtung stammen aus dem Anfang des 20. Jahrhunderts und sind mit den Namen der französischen Mathematiker Gaston Julia und Pierre Fatou verbunden. Im Jahr 1918 wurden fast zweihundert Seiten von Julias Werk veröffentlicht, das sich mit Iterationen komplexer rationaler Funktionen befasst und Julia-Mengen beschreibt – eine ganze Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Dieses Werk wurde mit dem Preis der Französischen Akademie ausgezeichnet, enthielt jedoch keine einzige Illustration, sodass die Schönheit der entdeckten Objekte nicht gewürdigt werden konnte. Obwohl diese Arbeit Julia unter den damaligen Mathematikern berühmt machte, geriet sie schnell in Vergessenheit.

Nur ein halbes Jahrhundert später, mit dem Aufkommen der Computer, richtete sich die Aufmerksamkeit auf die Arbeit von Julia und Fatou: Sie waren es, die den Reichtum und die Schönheit der Welt der Fraktale sichtbar machten. Schließlich konnte Fatou sich die Bilder, die wir heute als Bilder der Mandelbrot-Menge kennen, nie ansehen, da die erforderliche Anzahl an Berechnungen nicht manuell durchgeführt werden kann. Der erste Mensch, der hierfür einen Computer nutzte, war Benoit Mandelbrot.

1982 erschien Mandelbrots Buch „The Fractal Geometry of Nature“, in dem der Autor fast alle damals verfügbaren Informationen über Fraktale sammelte, systematisierte und auf einfache und zugängliche Weise präsentierte. Mandelbrot legte in seinem Vortrag den Schwerpunkt nicht auf schwerfällige Formeln und mathematische Konstruktionen, sondern auf die geometrische Intuition der Leser. Dank computergenerierter Illustrationen und historischer Geschichten, mit denen der Autor die wissenschaftliche Komponente der Monographie gekonnt verwässerte, wurde das Buch zum Bestseller und die Fraktale wurden einer breiten Öffentlichkeit bekannt. Ihr Erfolg unter Nicht-Mathematikern ist vor allem darauf zurückzuführen, dass mit Hilfe sehr einfacher Konstruktionen und Formeln, die selbst ein Gymnasiast verstehen kann, Bilder von erstaunlicher Komplexität und Schönheit entstehen. Als Personalcomputer leistungsfähig genug wurden, entstand sogar ein ganzer Trend in der Kunst – die fraktale Malerei, und fast jeder Computerbesitzer konnte es tun. Mittlerweile können Sie im Internet problemlos viele Websites finden, die sich diesem Thema widmen.

Die Redakteure von NNN sind zufällig auf etwas gestoßen interessantes Material, vorgestellt im Blog des Benutzers xtsarx, gewidmet den Elementen der Theorie Fraktale und seine praktische Anwendung. Die Theorie der Fraktale spielt bekanntlich eine wichtige Rolle in der Physik und Chemie von Nanosystemen. Nachdem wir unseren Beitrag zu diesem soliden Material geleistet haben, das in einer Sprache präsentiert wird, die einem breiten Leserkreis zugänglich ist und durch eine große Menge an grafischem und sogar Videomaterial unterstützt wird, präsentieren wir es Ihnen. Wir hoffen, dass NNN-Leser dieses Material interessant finden.

Die Natur ist so geheimnisvoll, dass umso mehr Fragen auftauchen, je mehr man sie studiert... Nachtblitze – blaue „Ströme“ verzweigter Entladungen, frostige Muster am Fenster, Schneeflocken, Berge, Wolken, Baumrinde – all das geht über das Übliche hinaus Euklidische Geometrie. Wir können den Stein oder die Grenzen der Insel nicht mit Linien, Kreisen und Dreiecken beschreiben. Und hier kommen wir zur Rettung Fraktale. Was sind diese bekannten Fremden?

„Unter dem Mikroskop hat er das bei einem Floh entdeckt
Der beißende Floh lebt von einem Floh;
Auf diesem Floh ist ein kleiner Floh,
Steckt wütend einen Zahn in einen Floh
Floh und so weiter bis ins Unendliche. D. Swift.

Ein bisschen Geschichte

Erste Ideen fraktale Geometrie entstand im 19. Jahrhundert. Kantor wandelte die Linie mithilfe eines einfachen rekursiven (wiederholenden) Verfahrens in eine Reihe nicht verbundener Punkte um (den sogenannten Cantor-Staub). Er nahm die Linie, entfernte das mittlere Drittel und wiederholte das Gleiche dann mit den restlichen Segmenten.

Reis. 1. Peano-Kurve 1,2–5 Iterationen.

Peano malte besondere Art Linien. Peano hat Folgendes getan: Im ersten Schritt nahm er eine gerade Linie und ersetzte sie durch 9 Segmente, die dreimal kürzer waren als die Länge der ursprünglichen Linie. Dann machte er dasselbe mit jedem Segment der resultierenden Linie. Und so weiter bis ins Unendliche. Seine Einzigartigkeit liegt darin, dass es die gesamte Ebene ausfüllt. Es ist bewiesen, dass man für jeden Punkt in der Ebene einen Punkt finden kann, der zur Peano-Linie gehört. Peanos Kurve und Cantors Staub gingen über gewöhnliche geometrische Objekte hinaus. Sie waren nicht eindeutig dimensioniert.. Cantors Staub wurde scheinbar auf der Grundlage einer eindimensionalen Geraden konstruiert, bestand jedoch aus Punkten (Dimension 0). Und die Peano-Kurve wurde auf der Grundlage einer eindimensionalen Linie erstellt und das Ergebnis war eine Ebene. In vielen anderen Bereichen der Wissenschaft traten Probleme auf, die zu seltsamen Ergebnissen führten, wie beispielsweise den oben beschriebenen (Brownsche Bewegung, Aktienkurse). Jeder von uns kann dieses Verfahren durchführen ...

Vater der Fraktale

Bis zum 20. Jahrhundert kam es zu einer Anhäufung von Daten über solche seltsamen Objekte, ohne dass versucht wurde, sie zu systematisieren. So war es, bis sie es nahmen Benoit Mandelbrot – Vater der modernen fraktalen Geometrie und des Wortes Fraktal.

Reis. 2. Benoit Mandelbrot.

Während er bei IBM als mathematischer Analyst arbeitete, untersuchte er Rauschen in elektronischen Schaltkreisen, das nicht mithilfe von Statistiken beschrieben werden konnte. Nach und nach verglich er die Fakten und entdeckte eine neue Richtung in der Mathematik – fraktale Geometrie.

Der Begriff „Fraktal“ wurde 1975 von B. Mandelbrot eingeführt. Laut Mandelbrot Fraktal(vom lateinischen „fractus“ – gebrochen, gebrochen, gebrochen) heißt eine Struktur, die aus Teilen wie einem Ganzen besteht. Die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit unterscheidet Fraktale deutlich von Objekten der klassischen Geometrie. Begriff Selbstähnlichkeit bedeutet das Vorhandensein einer feinen, sich wiederholenden Struktur, sowohl im kleinsten Maßstab des Objekts als auch im Makromaßstab.

Reis. 3. Zur Definition des Begriffs „Fraktal“.

Beispiele für Selbstähnlichkeit sind: Koch-, Levy-, Minkowski-Kurven, Sierpinski-Dreieck, Menger-Schwamm, Pythagorasbaum usw.

Aus mathematischer Sicht ist Fraktal ist zunächst einmal mit gebrochener (mittlerer, „nicht ganzzahliger“) Dimension festgelegt. Während eine glatte euklidische Linie genau einen eindimensionalen Raum ausfüllt, geht eine fraktale Kurve über den eindimensionalen Raum hinaus und dringt über die Grenzen hinaus in den zweidimensionalen Raum ein. Daher wird die fraktale Dimension der Koch-Kurve zwischen 1 und 2 liegen. Dies bedeutet zunächst einmal, dass ein fraktales Objekt seine Länge nicht genau messen kann! Von diesen geometrischen Fraktalen ist das erste sehr interessant und ziemlich berühmt – Koch-Schneeflocke.

Reis. 4. Zur Definition des Begriffs „Fraktal“.

Es ist auf der Basis aufgebaut gleichseitiges Dreieck. Jede Zeile davon wird durch 4 Zeilen mit jeweils 1/3 der ursprünglichen Länge ersetzt. Somit erhöht sich die Länge der Kurve mit jeder Iteration um ein Drittel. Und wenn wir unendlich viele Iterationen durchführen, erhalten wir ein Fraktal – eine Koch-Schneeflocke von unendlicher Länge. Es stellt sich heraus, dass unsere unendliche Kurve einen begrenzten Bereich abdeckt. Versuchen Sie dasselbe mit Methoden und Figuren aus der euklidischen Geometrie.
Dimension einer Koch-Schneeflocke(Wenn eine Schneeflocke um das Dreifache zunimmt, erhöht sich ihre Länge um das Vierfache) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Über das Fraktal

Fraktale finden in Wissenschaft und Technik immer mehr Anwendung. Der Hauptgrund dafür ist, dass sie die reale Welt teilweise sogar besser beschreiben als die traditionelle Physik oder Mathematik. Sie können endlos Beispiele für fraktale Objekte in der Natur nennen – das sind Wolken, Schneeflocken, Berge, Blitze und schließlich Blumenkohl. Ein Fraktal als natürliches Objekt ist eine ewige kontinuierliche Bewegung, eine Neubildung und Entwicklung.

Reis. 5. Fraktale in der Wirtschaftswissenschaft.

Außerdem, Fraktale finden Anwendung in dezentralen Computernetzwerken Und „Fraktale Antennen“ . Sehr interessant und vielversprechend für die Modellierung verschiedener stochastischer (nicht deterministischer) „zufälliger“ Prozesse sind die sogenannten „Brownschen Fraktale“. Auch in der Nanotechnologie spielen Fraktale eine wichtige Rolle. , da aufgrund ihrer hierarchischen Selbstorganisation viele Nanosysteme haben eine nicht ganzzahlige Dimension, das heißt, sie sind Fraktale in ihrer geometrischen, physikalisch-chemischen oder funktionellen Natur. Zum Beispiel, Ein markantes Beispiel für chemische fraktale Systeme sind die Moleküle der „Dendrimere“. . Darüber hinaus spiegelt das Prinzip der Fraktalität (selbstähnliche, skalierende Struktur) die hierarchische Struktur des Systems wider und ist daher allgemeiner und universeller als Standardansätze zur Beschreibung der Struktur und Eigenschaften von Nanosystemen.

Reis. 6. Moleküle von „Dendrimeren“.

Reis. 7. Grafisches Modell der Kommunikation im Architektur- und Bauprozess. Die erste Interaktionsebene aus Sicht der Mikroprozesse.

Reis. 8. Grafisches Modell der Kommunikation im Architektur- und Bauprozess. Die zweite Interaktionsebene aus den Positionen von Makroprozessen (ein Fragment des Modells).

Reis. 9. Grafisches Modell der Kommunikation im Architektur- und Bauprozess. Die zweite Interaktionsebene aus Sicht der Makroprozesse (das gesamte Modell)