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Die Wurzeln einer quadratischen Gleichung werden durch die Formel gefunden. Quadratische Gleichungen lösen: Wurzelformel, Beispiele

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Quadratische Gleichungen. Umfassender Leitfaden (2019)

Im Begriff "quadratische Gleichung" ist das Schlüsselwort "quadratisch". Das bedeutet, dass die Gleichung unbedingt eine Variable (dasselbe X) im Quadrat enthalten muss, und gleichzeitig sollte es keine Xs dritten (oder höheren) Grades geben.

Die Lösung vieler Gleichungen wird auf die Lösung quadratischer Gleichungen reduziert.

Lassen Sie uns lernen festzustellen, dass wir eine quadratische Gleichung haben und keine andere.

Beispiel 1

Werde den Nenner los und multipliziere jeden Term der Gleichung mit

Lassen Sie uns alles auf die linke Seite verschieben und die Terme in absteigender Reihenfolge der Potenzen von x anordnen

Jetzt können wir mit Zuversicht sagen, dass diese Gleichung quadratisch ist!

Beispiel 2

Multiplizieren Sie die linke und rechte Seite mit:

Diese Gleichung ist, obwohl sie ursprünglich darin enthalten war, kein Quadrat!

Beispiel 3

Multiplizieren wir alles mit:

Gruselig? Der vierte und zweite Grad ... Wenn wir jedoch eine Ersetzung vornehmen, werden wir sehen, dass wir eine einfache quadratische Gleichung haben:

Beispiel 4

Es scheint so zu sein, aber lasst uns einen genaueren Blick darauf werfen. Lassen Sie uns alles auf die linke Seite verschieben:

Sie sehen, es ist geschrumpft – und jetzt ist es eine einfache lineare Gleichung!

Versuchen Sie nun selbst zu bestimmen, welche der folgenden Gleichungen quadratisch sind und welche nicht:

Beispiele:

Antworten:

Quadrat;
Quadrat;
nicht quadratisch;
nicht quadratisch;
nicht quadratisch;
Quadrat;
nicht quadratisch;
Quadrat.

Mathematiker unterteilen alle quadratischen Gleichungen bedingt in die folgenden Typen:

Vervollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, bei denen die Koeffizienten und sowie der freie Term c ungleich Null sind (wie im Beispiel). Darüber hinaus gibt es unter den vollständigen quadratischen Gleichungen gegeben sind Gleichungen, bei denen der Koeffizient (die Gleichung aus Beispiel eins ist nicht nur vollständig, sondern auch reduziert!)

Unvollständige quadratische Gleichungen- Gleichungen, in denen der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:
Sie sind unvollständig, weil ihnen ein Element fehlt. Aber die Gleichung muss immer x zum Quadrat enthalten !!! Sonst ist es keine quadratische Gleichung mehr, sondern eine andere Gleichung.

Warum haben sie sich eine solche Aufteilung ausgedacht? Es scheint, dass es ein X im Quadrat gibt, und okay. Eine solche Aufteilung ist auf die Lösungsmethoden zurückzuführen. Betrachten wir jeden von ihnen genauer.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Konzentrieren wir uns zunächst auf das Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen - sie sind viel einfacher!

Unvollständige quadratische Gleichungen sind von folgenden Typen:

, in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.
, in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.
, in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

1. ich. Da wir wissen, wie man extrahiert Quadratwurzel, dann lassen Sie uns aus dieser Gleichung ausdrücken

Der Ausdruck kann entweder negativ oder positiv sein. Eine quadrierte Zahl kann nicht negativ sein, denn wenn zwei negative oder zwei positive Zahlen multipliziert werden, ist das Ergebnis immer positive Zahl, also: wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen.

Und wenn, dann bekommen wir zwei Wurzeln. Diese Formeln müssen nicht auswendig gelernt werden. Die Hauptsache ist, dass Sie immer wissen und sich daran erinnern sollten, dass es nicht weniger sein kann.

Versuchen wir, einige Beispiele zu lösen.

Beispiel 5:

Löse die Gleichung

Jetzt bleibt es, die Wurzel aus dem linken und rechten Teil zu extrahieren. Erinnerst du dich schließlich, wie man die Wurzeln extrahiert?

Antworten:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit einem negativen Vorzeichen!!!

Beispiel 6:

Löse die Gleichung

Antworten:

Beispiel 7:

Löse die Gleichung

Oh! Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

Keine Wurzeln!

Für solche Gleichungen, in denen es keine Wurzeln gibt, haben Mathematiker ein spezielles Symbol entwickelt - (leere Menge). Und die Antwort kann so geschrieben werden:

Antworten:

Somit hat diese quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Hier gibt es keine Einschränkungen, da wir die Wurzel nicht extrahiert haben.
Beispiel 8:

Löse die Gleichung

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:

Auf diese Weise,

Diese Gleichung hat zwei Wurzeln.

Antworten:

Die einfachste Art unvollständiger quadratischer Gleichungen (obwohl sie alle einfach sind, oder?). Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Hier verzichten wir auf Beispiele.

Komplette quadratische Gleichungen lösen

Wir erinnern Sie daran, dass die vollständige quadratische Gleichung eine Gleichung der Formgleichung wo ist

Das Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen ist ein bisschen komplizierter (nur ein bisschen) als die angegebenen.

Erinnern, jede quadratische Gleichung kann mit der Diskriminante gelöst werden! Sogar unvollständig.

Die restlichen Methoden werden dir helfen, es schneller zu machen, aber wenn du Probleme mit quadratischen Gleichungen hast, meistere zuerst die Lösung mit der Diskriminante.

1. Lösen quadratischer Gleichungen mit der Diskriminante.

Das Lösen quadratischer Gleichungen auf diese Weise ist sehr einfach. Die Hauptsache ist, sich an die Abfolge der Aktionen und einige Formeln zu erinnern.

Wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel Besondere Aufmerksamkeit sollte dem Schritt geschenkt werden. Die Diskriminante () gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

Wenn, dann wird die Formel im Schritt reduziert auf. Somit hat die Gleichung nur eine Wurzel.
Wenn, dann können wir die Wurzel der Diskriminante im Schritt nicht ziehen. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Gehen wir zurück zu unseren Gleichungen und schauen uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 9:

Löse die Gleichung

Schritt 1überspringen.

Schritt 2

Diskriminante finden:

Die Gleichung hat also zwei Wurzeln.

Schritt 3

Antworten:

Beispiel 10:

Löse die Gleichung

Die Gleichung ist in Standardform, also Schritt 1überspringen.

Schritt 2

Diskriminante finden:

Die Gleichung hat also eine Wurzel.

Antworten:

Beispiel 11:

Löse die Gleichung

Die Gleichung ist in Standardform, also Schritt 1überspringen.

Schritt 2

Diskriminante finden:

Dies bedeutet, dass wir nicht in der Lage sein werden, die Wurzel aus der Diskriminante zu ziehen. Es gibt keine Wurzeln der Gleichung.

Jetzt wissen wir, wie man solche Antworten richtig aufschreibt.

Antworten: Keine Wurzeln

2. Lösung quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta.

Wenn Sie sich erinnern, gibt es eine solche Art von Gleichungen, die als reduziert bezeichnet werden (wenn der Koeffizient a gleich ist):

Solche Gleichungen lassen sich sehr einfach mit dem Satz von Vieta lösen:

Die Summe der Wurzeln gegeben quadratische Gleichung ist gleich, und das Produkt der Wurzeln ist gleich.

Beispiel 12:

Löse die Gleichung

Diese Gleichung ist zur Lösung mit dem Satz von Vieta geeignet, weil .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist, d.h. Wir erhalten die erste Gleichung:

Und das Produkt ist:

Lassen Sie uns das System erstellen und lösen:

Und. Die Summe ist;
Und. Die Summe ist;
Und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Antworten: ; .

Beispiel 13:

Löse die Gleichung

Antworten:

Beispiel 14:

Löse die Gleichung

Die Gleichung wird reduziert, was bedeutet:

Antworten:

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Was ist eine quadratische Gleichung?

Mit anderen Worten, eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form, wobei - unbekannt, - einige Zahlen, außerdem.

Die Zahl heißt die höchste oder erster Koeffizient quadratische Gleichung, - zweiter Koeffizient, A - Freies Mitglied.

Warum? Denn wenn, wird die Gleichung sofort linear, weil wird verschwinden.

In diesem Fall kann und gleich Null sein. Dabei wird die Stuhlgleichung als unvollständig bezeichnet. Wenn alle Terme vorhanden sind, ist die Gleichung vollständig.

Lösungen für verschiedene Arten von quadratischen Gleichungen

Methoden zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen:

Zunächst analysieren wir die Methoden zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen - sie sind einfacher.

Folgende Arten von Gleichungen können unterschieden werden:

I. , in dieser Gleichung sind der Koeffizient und der freie Term gleich.

II. , in dieser Gleichung ist der Koeffizient gleich.

III. , in dieser Gleichung ist der freie Term gleich.

Betrachten Sie nun die Lösung für jeden dieser Untertypen.

Offensichtlich hat diese Gleichung immer nur eine Wurzel:

Eine Zahl zum Quadrat kann nicht negativ sein, denn die Multiplikation zweier negativer oder zweier positiver Zahlen ergibt immer eine positive Zahl. Deshalb:

wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen;

wenn wir zwei Wurzeln haben

Diese Formeln müssen nicht auswendig gelernt werden. Die Hauptsache, an die Sie sich erinnern sollten, ist, dass es nicht weniger sein kann.

Beispiele:

Lösungen:

Antworten:

Vergessen Sie niemals Wurzeln mit einem negativen Vorzeichen!

Das Quadrat einer Zahl kann nicht negativ sein, was bedeutet, dass die Gleichung

Keine Wurzeln.

Um kurz zu schreiben, dass das Problem keine Lösungen hat, verwenden wir das leere Set-Icon.

Antworten:

Diese Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Antworten:

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus der Klammer:

Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Das bedeutet, dass die Gleichung eine Lösung hat, wenn:

Diese quadratische Gleichung hat also zwei Wurzeln: und.

Beispiel:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Wir faktorisieren die linke Seite der Gleichung und finden die Wurzeln:

Antworten:

Methoden zum Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen:

1. Diskriminant

Das Lösen quadratischer Gleichungen auf diese Weise ist einfach. Die Hauptsache ist, sich an die Abfolge der Aktionen und einige Formeln zu erinnern. Denken Sie daran, dass jede quadratische Gleichung mit der Diskriminante gelöst werden kann! Sogar unvollständig.

Hast du die Wurzel der Diskriminante in der Wurzelformel bemerkt? Aber die Diskriminante kann negativ sein. Was zu tun ist? Wir müssen besonders auf Schritt 2 achten. Die Diskriminante gibt uns die Anzahl der Wurzeln der Gleichung an.

Wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel:
Wenn, dann hat die Gleichung dieselbe Wurzel, aber tatsächlich eine Wurzel:
Solche Wurzeln nennt man Doppelwurzeln.
Wenn, dann wird die Wurzel der Diskriminante nicht gezogen. Dies zeigt an, dass die Gleichung keine Wurzeln hat.

Warum gibt es eine unterschiedliche Anzahl von Wurzeln? Wenden wir uns der geometrischen Bedeutung der quadratischen Gleichung zu. Der Graph der Funktion ist eine Parabel:

In einem speziellen Fall, der eine quadratische Gleichung ist, . Und das bedeutet, dass die Wurzeln der quadratischen Gleichung die Schnittpunkte mit der x-Achse (Achse) sind. Die Parabel kann die Achse überhaupt nicht kreuzen, oder sie kann sie an einem (wenn die Spitze der Parabel auf der Achse liegt) oder zwei Punkten schneiden.

Außerdem ist der Koeffizient für die Richtung der Äste der Parabel verantwortlich. Wenn, dann sind die Äste der Parabel nach oben gerichtet und wenn - dann nach unten.

Beispiele:

Lösungen:

Antworten:

Antworten: .

Antworten:

Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Antworten: .

2. Satz von Vieta

Die Verwendung des Vieta-Theorems ist sehr einfach: Sie müssen nur ein Zahlenpaar auswählen, dessen Produkt gleich dem freien Term der Gleichung ist, und die Summe ist gleich dem zweiten Koeffizienten, der mit dem entgegengesetzten Vorzeichen genommen wird.

Es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass der Satz von Vieta nur auf angewendet werden kann gegebenen quadratischen Gleichungen ().

Schauen wir uns ein paar Beispiele an:

Beispiel 1:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Diese Gleichung ist zur Lösung mit dem Satz von Vieta geeignet, weil . Andere Koeffizienten: ; .

Die Summe der Wurzeln der Gleichung ist:

Und das Produkt ist:

Lassen Sie uns solche Zahlenpaare auswählen, deren Produkt gleich ist, und prüfen, ob ihre Summe gleich ist:

Und. Die Summe ist;
Und. Die Summe ist;
Und. Der Betrag ist gleich.

und sind die Lösung des Systems:

Somit sind und die Wurzeln unserer Gleichung.

Antworten: ; .

Beispiel #2:

Lösung:

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben, und prüfen dann, ob ihre Summe gleich ist:

und: insgesamt geben.

und: insgesamt geben. Um es zu bekommen, müssen Sie nur die Vorzeichen der angeblichen Wurzeln ändern: und schließlich das Produkt.

Antworten:

Beispiel #3:

Lösung:

Der freie Term der Gleichung ist negativ, und daher ist das Produkt der Wurzeln eine negative Zahl. Dies ist nur möglich, wenn eine der Wurzeln negativ und die andere positiv ist. Also ist die Summe der Wurzeln Unterschiede ihrer Module.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, die das Produkt ergeben und deren Differenz gleich ist:

und: ihr Unterschied ist - nicht geeignet;

und: - nicht geeignet;

und: - geeignet. Es bleibt nur zu bedenken, dass eine der Wurzeln negativ ist. Da ihre Summe gleich sein muss, muss die betragsmäßig kleinere Wurzel negativ sein: . Wir überprüfen:

Antworten:

Beispiel #4:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Die Gleichung wird reduziert, was bedeutet:

Der freie Term ist negativ, und daher ist das Produkt der Wurzeln negativ. Und das ist nur möglich, wenn eine Wurzel der Gleichung negativ und die andere positiv ist.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist, und bestimmen dann, welche Wurzeln ein negatives Vorzeichen haben sollen:

Offensichtlich sind nur Wurzeln und für die erste Bedingung geeignet:

Antworten:

Beispiel #5:

Löse die Gleichung.

Lösung:

Die Gleichung wird reduziert, was bedeutet:

Die Summe der Wurzeln ist negativ, was bedeutet, dass mindestens eine der Wurzeln negativ ist. Aber da ihr Produkt positiv ist, bedeutet dies, dass beide Wurzeln minus sind.

Wir wählen solche Zahlenpaare aus, deren Produkt gleich ist:

Offensichtlich sind die Wurzeln die Zahlen und.

Antworten:

Stimmen Sie zu, es ist sehr praktisch, Wurzeln mündlich zu erfinden, anstatt diese unangenehme Diskriminante zu zählen. Versuchen Sie, den Satz von Vieta so oft wie möglich anzuwenden.

Aber das Vieta-Theorem wird benötigt, um das Finden der Wurzeln zu erleichtern und zu beschleunigen. Um es für Sie rentabel zu machen, müssen Sie die Aktionen zum Automatismus bringen. Und lösen Sie dazu fünf weitere Beispiele. Aber schummeln Sie nicht: Sie können die Diskriminante nicht verwenden! Nur Satz von Vieta:

Lösungen für Aufgaben zum selbstständigen Arbeiten:

Aufgabe 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Nach dem Satz von Vieta:

Wie gewohnt beginnen wir die Auswahl mit dem Produkt:

Nicht geeignet wegen der Menge;

: Die Menge ist, was Sie brauchen.

Antworten: ; .

Aufgabe 2.

Und wieder unser Lieblingssatz von Vieta: Die Summe sollte stimmen, aber das Produkt ist gleich.

Aber da es nicht sein sollte, aber, ändern wir die Vorzeichen der Wurzeln: und (insgesamt).

Antworten: ; .

Aufgabe 3.

Hm... Wo ist es?

Es ist notwendig, alle Begriffe in einen Teil zu überführen:

Die Summe der Wurzeln ist gleich dem Produkt.

Ja, halt! Die Gleichung ist nicht gegeben. Aber der Satz von Vieta ist nur in den gegebenen Gleichungen anwendbar. Also musst du zuerst die Gleichung bringen. Wenn Sie es nicht aufbringen können, lassen Sie diese Idee fallen und lösen Sie sie auf andere Weise (z. B. durch die Diskriminante). Ich möchte Sie daran erinnern, dass das Aufbringen einer quadratischen Gleichung bedeutet, den führenden Koeffizienten gleich zu machen:

Großartig. Dann ist die Summe der Wurzeln gleich und das Produkt.

Hier ist es einfacher zu verstehen: Immerhin - eine Primzahl (sorry für die Tautologie).

Antworten: ; .

Aufgabe 4.

Die freie Laufzeit ist negativ. Was ist daran so besonders? Und die Tatsache, dass die Wurzeln unterschiedliche Vorzeichen haben werden. Und jetzt prüfen wir bei der Auswahl nicht die Summe der Wurzeln, sondern die Differenz zwischen ihren Modulen: Diese Differenz ist gleich, aber das Produkt.

Die Wurzeln sind also gleich und, aber eine davon hat ein Minus. Der Satz von Vieta sagt uns, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit dem entgegengesetzten Vorzeichen ist, das heißt. Dies bedeutet, dass die kleinere Wurzel ein Minus hat: und, seit.

Antworten: ; .

Aufgabe 5.

Was muss zuerst getan werden? Das ist richtig, geben Sie die Gleichung an:

Nochmals: Wir wählen die Faktoren der Zahl aus, und ihre Differenz sollte gleich sein:

Die Wurzeln sind gleich und, aber eine von ihnen ist minus. Welche? Ihre Summe muss gleich sein, was bedeutet, dass bei einem Minus eine größere Wurzel entsteht.

Antworten: ; .

Lassen Sie mich zusammenfassen:

Der Satz von Vieta wird nur in den gegebenen quadratischen Gleichungen verwendet.
Unter Verwendung des Vieta-Theorems können Sie die Wurzeln mündlich durch Auswahl finden.
Wenn die Gleichung nicht gegeben ist oder kein passendes Faktorenpaar des freien Terms gefunden wurde, dann gibt es keine ganzzahligen Wurzeln und Sie müssen sie auf andere Weise lösen (z. B. durch die Diskriminante).

3. Vollquadrat-Auswahlmethode

Wenn alle Terme, die die Unbekannte enthalten, als Terme aus den Formeln der abgekürzten Multiplikation - dem Quadrat der Summe oder Differenz - dargestellt werden, kann die Gleichung nach der Änderung der Variablen als unvollständige quadratische Gleichung des Typs dargestellt werden.

Zum Beispiel:

Beispiel 1:

Löse die Gleichung: .

Lösung:

Antworten:

Beispiel 2:

Löse die Gleichung: .

Lösung:

Antworten:

IN Gesamtansicht die Verwandlung sieht so aus:

Dies impliziert: .

Erinnert es dich an nichts? Es ist die Diskriminante! Genau so wurde die Diskriminanzformel erhalten.

QUADRATISCHE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

Quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form, wobei die Unbekannte ist, sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung, ist der freie Term.

Vervollständige die quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der die Koeffizienten ungleich Null sind.

Reduzierte quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient, also: .

Unvollständige quadratische Gleichung- eine Gleichung, in der der Koeffizient und/oder der freie Term c gleich Null sind:

wenn der Koeffizient, hat die Gleichung die Form: ,
wenn es sich um einen freien Term handelt, hat die Gleichung die Form: ,
wenn und hat die Gleichung die Form: .

1. Algorithmus zum Lösen unvollständiger quadratischer Gleichungen

1.1. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Unbekanntes ausdrücken: ,

2) Überprüfen Sie das Vorzeichen des Ausdrucks:

wenn, dann hat die Gleichung keine Lösungen,
wenn, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

1.2. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

1) Nehmen wir den gemeinsamen Teiler aus Klammern: ,

2) Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Daher hat die Gleichung zwei Wurzeln:

1.3. Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form, wobei:

Diese Gleichung hat immer nur eine Wurzel: .

2. Algorithmus zum Lösen vollständiger quadratischer Gleichungen der Form wo

2.1. Lösung mit der Diskriminante

1) Bringen wir die Gleichung auf die Standardform: ,

2) Berechnen Sie die Diskriminante mit der Formel: , die die Anzahl der Wurzeln der Gleichung angibt:

3) Finden Sie die Wurzeln der Gleichung:

wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird:
wenn, dann hat die Gleichung eine Wurzel, die durch die Formel gefunden wird:
wenn, dann hat die Gleichung keine Wurzeln.

2.2. Lösung mit dem Satz von Vieta

Die Summe der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung (eine Gleichung der Form, wo) ist gleich, und das Produkt der Wurzeln ist gleich, d.h. , A.

2.3. Vollständig quadratische Lösung

Einige Probleme in der Mathematik erfordern die Fähigkeit, den Wert der Quadratwurzel zu berechnen. Zu diesen Problemen gehört das Lösen von Gleichungen zweiter Ordnung. In diesem Artikel stellen wir vor effektive Methode Berechnungen Quadratwurzeln und verwenden Sie es, wenn Sie mit den Formeln der Wurzeln einer quadratischen Gleichung arbeiten.

Was ist eine Quadratwurzel?

In der Mathematik entspricht dieser Begriff dem Symbol √. Historische Daten besagen, dass es erstmals um die erste Hälfte des 16. Jahrhunderts in Deutschland verwendet wurde (das erste deutsche Werk über Algebra von Christoph Rudolf). Wissenschaftler glauben, dass dieses Symbol transformiert ist Lateinischer Buchstabe r (Radix bedeutet im Lateinischen „Wurzel“).

Die Wurzel einer beliebigen Zahl ist gleich einem solchen Wert, dessen Quadrat dem Wurzelausdruck entspricht. In der Sprache der Mathematik sieht diese Definition so aus: √x = y wenn y 2 = x.

Die Wurzel einer positiven Zahl (x > 0) ist auch eine positive Zahl (y > 0), aber wenn Sie die Wurzel einer negativen Zahl (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Hier sind zwei einfache Beispiele:

√9 = 3, weil 3 2 = 9; √(-9) = 3i, da i 2 = -1.

Iterative Formel von Heron zum Finden der Werte der Quadratwurzeln

Die obigen Beispiele sind sehr einfach und die Berechnung der Wurzeln in ihnen ist nicht schwierig. Schwierigkeiten treten bereits auf, wenn die Wurzelwerte für jeden Wert gefunden werden, der nicht als Quadrat einer natürlichen Zahl dargestellt werden kann, zum Beispiel √10, √11, √12, √13, ganz zu schweigen von der Tatsache, dass es in der Praxis so ist ist notwendig, um Wurzeln für nicht ganzzahlige Zahlen zu finden: zum Beispiel √(12,15), √(8,5) und so weiter.

In allen oben genannten Fällen sollte eine spezielle Methode zur Berechnung der Quadratwurzel verwendet werden. Gegenwärtig sind mehrere solcher Verfahren bekannt: zum Beispiel Entwicklung in einer Taylor-Reihe, Division durch eine Spalte und einige andere. Von allen bekannten Methoden ist die vielleicht einfachste und effektivste die Verwendung von Herons iterativer Formel, die auch als babylonische Methode zur Bestimmung von Quadratwurzeln bekannt ist (es gibt Hinweise darauf, dass die alten Babylonier sie in ihren praktischen Berechnungen verwendeten).

Es sei notwendig, den Wert von √x zu bestimmen. Die Formel zum Finden der Quadratwurzel lautet wie folgt:

a n+1 = 1/2(a n + x/a n), wobei lim n->∞ (a n) => x.

Lassen Sie uns diese mathematische Notation entziffern. Um √x zu berechnen, sollten Sie eine Zahl a 0 nehmen (es kann willkürlich sein, aber um schnell das Ergebnis zu erhalten, sollten Sie sie so wählen, dass (a 0) 2 so nah wie möglich an x liegt. Dann ersetzen Sie sie in die angegebene Formel zur Berechnung der Quadratwurzel und erhalten Sie eine neue Zahl a 1, die bereits näher am gewünschten Wert liegt. Danach ist es notwendig, eine 1 in den Ausdruck einzufügen und eine 2 zu erhalten. Dieser Vorgang sollte bis wiederholt werden die erforderliche Genauigkeit erreicht wird.

Ein Beispiel für die Anwendung der iterativen Formel von Heron

Für viele mag der Algorithmus zum Ziehen der Quadratwurzel einer bestimmten Zahl ziemlich kompliziert und verwirrend klingen, aber in Wirklichkeit stellt sich alles als viel einfacher heraus, da diese Formel sehr schnell konvergiert (besonders wenn eine gute Zahl eine 0 gewählt wird).

Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel geben: Es muss √11 berechnet werden. Wir wählen 0 \u003d 3, da 3 2 \u003d 9, was näher an 11 liegt als 4 2 \u003d 16. Durch Einsetzen in die Formel erhalten wir:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3,333333;

a 2 \u003d 1/2 (3,33333 + 11 / 3,33333) \u003d 3,316668;

a 3 \u003d 1/2 (3,316668 + 11 / 3,316668) \u003d 3,31662.

Es macht keinen Sinn, die Berechnungen fortzusetzen, da wir festgestellt haben, dass sich eine 2 und eine 3 erst ab der 5. Dezimalstelle zu unterscheiden beginnen. Somit reichte es aus, die Formel nur 2 Mal anzuwenden, um √11 mit einer Genauigkeit von 0,0001 zu berechnen.

Derzeit werden Taschenrechner und Computer häufig verwendet, um die Wurzeln zu berechnen, es ist jedoch nützlich, sich die markierte Formel zu merken, um ihren genauen Wert manuell berechnen zu können.

Gleichungen zweiter Ordnung

Das Verständnis, was eine Quadratwurzel ist, und die Fähigkeit, sie zu berechnen, wird beim Lösen quadratischer Gleichungen verwendet. Diese Gleichungen sind Gleichungen mit einer Unbekannten, deren allgemeine Form in der folgenden Abbildung dargestellt ist.

Hier sind c, b und a einige Zahlen, und a darf nicht gleich Null sein, und die Werte von c und b können völlig beliebig sein, einschließlich gleich Null.

Alle Werte von x, die die in der Abbildung angegebene Gleichheit erfüllen, werden als Wurzeln bezeichnet (dieses Konzept sollte nicht mit der Quadratwurzel √ verwechselt werden). Da die betrachtete Gleichung die 2. Ordnung (x 2) hat, kann es für sie nicht mehr Wurzeln als zwei Zahlen geben. Wir werden später in diesem Artikel betrachten, wie man diese Wurzeln findet.

Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung (Formel)

Diese Methode zur Lösung der betrachteten Art von Gleichheiten wird auch universell oder die Methode durch die Diskriminante genannt. Es kann auf beliebige quadratische Gleichungen angewendet werden. Die Formel für die Diskriminante und Wurzeln der quadratischen Gleichung lautet wie folgt:

Daraus ist ersichtlich, dass die Wurzeln vom Wert jedes der drei Koeffizienten der Gleichung abhängen. Außerdem unterscheidet sich die Berechnung von x 1 von der Berechnung von x 2 nur durch das Vorzeichen vor der Quadratwurzel. Der Wurzelausdruck, der gleich b 2 - 4ac ist, ist nichts anderes als die Diskriminante der betrachteten Gleichheit. Die Diskriminante in der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung spielt eine wichtige Rolle, weil sie die Anzahl und Art der Lösungen bestimmt. Wenn es also Null ist, dann gibt es nur eine Lösung, wenn es positiv ist, dann hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln, und schließlich führt eine negative Diskriminante zu zwei komplexen Wurzeln x 1 und x 2.

Satz von Vieta oder einige Eigenschaften der Wurzeln von Gleichungen zweiter Ordnung

Ende des 16. Jahrhunderts konnte einer der Begründer der modernen Algebra, ein Franzose, der Gleichungen zweiter Ordnung studierte, die Eigenschaften ihrer Wurzeln ermitteln. Mathematisch lassen sie sich so schreiben:

x 1 + x 2 = -b / a und x 1 * x 2 = c / a.

Beide Gleichungen sind für jedermann leicht zu erreichen, dazu müssen nur die entsprechenden mathematischen Operationen mit den durch eine Formel mit Diskriminante erhaltenen Wurzeln durchgeführt werden.

Die Kombination dieser beiden Ausdrücke kann zu Recht als zweite Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung bezeichnet werden, die es ermöglicht, ihre Lösungen ohne Verwendung der Diskriminante zu erraten. An dieser Stelle sei darauf hingewiesen, dass, obwohl beide Ausdrücke immer gültig sind, es praktisch ist, sie nur dann zum Lösen einer Gleichung zu verwenden, wenn sie faktorisiert werden kann.

Die Aufgabe, das erworbene Wissen zu festigen

Wir lösen ein mathematisches Problem, bei dem wir alle im Artikel besprochenen Techniken demonstrieren. Die Bedingungen des Problems sind wie folgt: Sie müssen zwei Zahlen finden, deren Produkt -13 ist und deren Summe 4 ist.

Diese Bedingung erinnert sofort an den Satz von Vieta, mit den Formeln für die Summe der Quadratwurzeln und deren Produkt schreiben wir:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Angenommen a = 1, dann b = -4 und c = -13. Mit diesen Koeffizienten können wir eine Gleichung zweiter Ordnung aufstellen:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Wenden wir die Formel mit der Diskriminante an, erhalten wir folgende Wurzeln:

x 1,2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Das heißt, die Aufgabe wurde darauf reduziert, die Zahl √68 zu finden. Beachten Sie, dass 68 = 4 * 17 ist, dann erhalten wir unter Verwendung der Quadratwurzeleigenschaft: √68 = 2√17.

Jetzt verwenden wir die betrachtete Quadratwurzelformel: a 0 \u003d 4, dann:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4,125;

a 2 \u003d 1/2 (4,125 + 17 / 4,125) \u003d 4,1231.

Eine 3 muss nicht berechnet werden, da sich die gefundenen Werte nur um 0,02 unterscheiden. Somit ist √68 = 8,246. Setzen wir es in die Formel für x 1,2 ein, erhalten wir:

x 1 \u003d (4 + 8,246) / 2 \u003d 6,123 und x 2 \u003d (4 - 8,246) / 2 \u003d -2,123.

Wie Sie sehen können, ist die Summe der gefundenen Zahlen wirklich gleich 4, aber wenn Sie ihr Produkt finden, dann ist es gleich -12,999, was die Bedingung des Problems mit einer Genauigkeit von 0,001 erfüllt.

Mit diesem Mathe-Programm können Sie quadratische Gleichung lösen.

Das Programm gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess auf zwei Arten an:
- Verwendung der Diskriminante
- Verwendung des Vieta-Theorems (wenn möglich).

Außerdem wird die Antwort genau und nicht ungefähr angezeigt.
Beispielsweise wird für die Gleichung $81x^2-16x-1=0$ die Antwort in dieser Form angezeigt:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ statt dessen: $x_1 = 0,247; \ Quad x_2 = -0,05 $

Dieses Programm kann für Gymnasiasten nützlich sein allgemeinbildende Schulen in Vorbereitung für Kontrollarbeit und Prüfungen, beim Testen von Wissen vor der Prüfung, Eltern, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer einzustellen oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie es einfach so schnell wie möglich erledigen? Hausaufgaben Mathe oder Algebra? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.

So können Sie Ihre durchführen eigene Ausbildung und/oder Ausbildung ihrer jüngeren Geschwister, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Aufgaben erhöht wird.

Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.

Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms

Jeder lateinische Buchstabe kann als Variable fungieren.
Zum Beispiel: $x, y, z, a, b, c, o, p, q $ usw.

Zahlen können als Ganzzahlen oder Brüche eingegeben werden.
Außerdem können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil von der ganzen Zahl entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise Dezimalzahlen wie folgt eingeben: 2,5x - 3,5x^2

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der ganzzahlige Teil wird durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Ergebnis: $3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 $

Bei der Eingabe eines Ausdrucks Sie können Klammern verwenden. In diesem Fall wird beim Lösen einer quadratischen Gleichung zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

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Ein bisschen Theorie.

Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen

Jede der Gleichungen
$-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 $
hat die Form
$ax^2+bx+c=0, $
wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind.
In der ersten Gleichung a = -1, b = 6 und c = 1,4, in der zweiten a = 8, b = -7 und c = 0, in der dritten a = 1, b = 0 und c = 4/9. Solche Gleichungen werden aufgerufen quadratische Gleichungen.

Definition.
quadratische Gleichung eine Gleichung der Form ax 2 +bx+c=0 wird aufgerufen, wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind und $a \neq 0 $.

Die Zahlen a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl a wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als zweiter Koeffizient und die Zahl c als Achsenabschnitt.

In jeder der Gleichungen der Form ax 2 +bx+c=0, wobei $a \neq 0 $, ist die größte Potenz der Variablen x ein Quadrat. Daher der Name: quadratische Gleichung.

Beachten Sie, dass eine quadratische Gleichung auch als Gleichung zweiten Grades bezeichnet wird, da ihre linke Seite ein Polynom zweiten Grades ist.

Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient bei x 2 gleich 1 ist, wird aufgerufen reduzierte quadratische Gleichung. Beispielsweise sind die gegebenen quadratischen Gleichungen die Gleichungen
$x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 $

Wenn in der quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische gleichung. Die Gleichungen -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sind also unvollständige quadratische Gleichungen. Im ersten b=0, im zweiten c=0, im dritten b=0 und c=0.

Es gibt drei Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen:
1) ax 2 +c=0, wobei $c \neq 0 $;
2) ax 2 +bx=0, wobei $b \neq 0 $;
3) ax2=0.

Betrachten Sie die Lösung von Gleichungen für jeden dieser Typen.

Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +c=0 nach $c \neq 0 $ zu lösen, wird ihr freier Term auf die rechte Seite übertragen und beide Gleichungsteile durch a dividiert:
$x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) $

Da $c \neq 0 $, dann $-\frac(c)(a) \neq 0 $

Wenn $-\frac(c)(a)>0 $, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.

Wenn $-\frac(c)(a) Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für \(b \neq 0 $ zu lösen, faktorisiere ihre linke Seite und erhalte die Gleichung
$x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. $

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 +bx=0 für $b \neq 0 $ hat also immer zwei Wurzeln.

Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 \u003d 0 entspricht der Gleichung x 2 \u003d 0 und hat daher eine einzige Wurzel 0.

Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Betrachten wir nun, wie quadratische Gleichungen gelöst werden, bei denen beide Koeffizienten der Unbekannten und der freie Term ungleich Null sind.

Wir lösen die quadratische Gleichung in allgemeiner Form und erhalten als Ergebnis die Formel der Wurzeln. Dann kann diese Formel angewendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

Lösen Sie die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c=0

Wenn wir beide Teile durch a dividieren, erhalten wir die äquivalente reduzierte quadratische Gleichung
$x^2+\frac(b)(a)x+\frac(c)(a)=0 $

Wir wandeln diese Gleichung um, indem wir das Quadrat des Binoms hervorheben:
$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow $

$x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow $ $\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow $ $x+\frac(b). )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2 -4ac) )(2a) \Rightarrow $ $x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) $

Der Stammausdruck wird aufgerufen Diskriminante einer quadratischen Gleichung ax 2 +bx+c=0 („Diskriminant“ auf Latein – Unterscheider). Es wird mit dem Buchstaben D bezeichnet, d.h.
$D = b^2-4ac$

Nun schreiben wir unter Verwendung der Notation der Diskriminante die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung um:
$x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) $, wobei $D= b^2-4ac $

Es ist klar, dass:
1) Wenn D>0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Wenn D=0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel $x=-\frac(b)(2a)$.
3) Wenn D Je nach Wert der Diskriminante kann die quadratische Gleichung also zwei Wurzeln (für D > 0), eine Wurzel (für D = 0) oder keine Wurzeln (für D) haben. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel , ist es ratsam, den folgenden Weg zu gehen:
1) Berechne die Diskriminante und vergleiche sie mit Null;
2) wenn die Diskriminante positiv oder gleich Null ist, dann verwende die Wurzelformel, wenn die Diskriminante negativ ist, dann schreibe auf, dass es keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Die gegebene quadratische Gleichung ax 2 -7x+10=0 hat die Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7 und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Jede reduzierte quadratische Gleichung, die Wurzeln hat, hat diese Eigenschaft.

Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten, genommen mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.

Diese. Der Satz von Vieta besagt, dass die Wurzeln x 1 und x 2 der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 +px+q=0 die Eigenschaft haben:
$\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. $

Dieses Thema mag aufgrund der vielen zunächst schwierig erscheinen einfache Formeln. Nicht nur die quadratischen Gleichungen selbst haben lange Einträge, sondern auch die Wurzeln werden über die Diskriminante gefunden. Insgesamt gibt es drei neue Formeln. Nicht ganz leicht zu merken. Dies ist nur nach häufigem Lösen solcher Gleichungen möglich. Dann werden sich alle Formeln von selbst merken.

Gesamtansicht der quadratischen Gleichung

Hier wird ihre explizite Notation vorgeschlagen, wenn der größte Grad zuerst geschrieben wird und dann - in absteigender Reihenfolge. Oft gibt es Situationen, in denen die Begriffe auseinanderstehen. Dann ist es besser, die Gleichung in absteigender Reihenfolge des Grades der Variablen umzuschreiben.

Wir führen die Notation ein. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Wenn wir diese Notationen akzeptieren, werden alle quadratischen Gleichungen auf die folgende Notation reduziert.

Außerdem ist der Koeffizient a ≠ 0. Diese Formel sei mit der Nummer eins bezeichnet.

Wenn die Gleichung gegeben ist, ist nicht klar, wie viele Wurzeln in der Antwort sein werden. Denn eine von drei Möglichkeiten ist immer möglich:

die Lösung wird zwei Wurzeln haben;
die Antwort wird eine Zahl sein;
Die Gleichung hat überhaupt keine Wurzeln.

Und obwohl die Entscheidung nicht zu Ende geführt wird, ist es schwer zu verstehen, welche der Optionen in einem bestimmten Fall herausfallen wird.

Arten von Datensätzen quadratischer Gleichungen

Aufgaben können unterschiedliche Einträge haben. Sie werden nicht immer wie die allgemeine Formel einer quadratischen Gleichung aussehen. Manchmal fehlen einige Begriffe. Was oben geschrieben wurde, ist die vollständige Gleichung. Wenn Sie den zweiten oder dritten Begriff darin entfernen, erhalten Sie etwas anderes. Diese Datensätze werden auch quadratische Gleichungen genannt, nur unvollständig.

Außerdem können nur die Terme verschwinden, für die die Koeffizienten "b" und "c" verschwinden. Die Zahl „a“ darf unter keinen Umständen gleich Null sein. Denn in diesem Fall wird aus der Formel eine lineare Gleichung. Die Formeln für die unvollständige Form der Gleichungen lauten wie folgt:

Es gibt also nur zwei Arten, neben vollständigen gibt es auch unvollständige quadratische Gleichungen. Die erste Formel sei Nummer zwei und die zweite Nummer drei.

Die Diskriminante und die Abhängigkeit der Anzahl der Wurzeln von ihrem Wert

Diese Zahl muss bekannt sein, um die Wurzeln der Gleichung zu berechnen. Sie kann immer berechnet werden, egal wie die Formel der quadratischen Gleichung lautet. Um die Diskriminante zu berechnen, müssen Sie die unten geschriebene Gleichheit verwenden, die die Nummer vier hat.

Nachdem Sie die Werte der Koeffizienten in diese Formel eingesetzt haben, können Sie Zahlen mit erhalten verschiedene Vorzeichen. Wenn die Antwort ja ist, dann wird die Antwort auf die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln sein. Bei einer negativen Zahl fehlen die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Wenn es gleich Null ist, ist die Antwort eins.

Wie wird eine vollständige quadratische Gleichung gelöst?

Tatsächlich hat die Betrachtung dieser Frage bereits begonnen. Denn zuerst müssen Sie die Diskriminante finden. Nachdem klar ist, dass es Wurzeln der quadratischen Gleichung gibt und ihre Anzahl bekannt ist, müssen Sie die Formeln für die Variablen verwenden. Wenn es zwei Wurzeln gibt, müssen Sie eine solche Formel anwenden.

Da es das „±“-Zeichen enthält, gibt es zwei Werte. Der Ausdruck unter dem Quadratwurzelzeichen ist die Diskriminante. Daher kann die Formel auf andere Weise umgeschrieben werden.

Formel fünf. Aus derselben Aufzeichnung ist ersichtlich, dass, wenn die Diskriminante Null ist, beide Wurzeln dieselben Werte annehmen.

Wenn die Lösung quadratischer Gleichungen noch nicht ausgearbeitet wurde, ist es besser, die Werte aller Koeffizienten aufzuschreiben, bevor Sie die Diskriminanz- und Variablenformeln anwenden. Später wird dieser Moment keine Schwierigkeiten verursachen. Aber ganz am Anfang herrscht Verwirrung.

Wie wird eine unvollständige quadratische Gleichung gelöst?

Hier ist alles viel einfacher. Es sind auch keine zusätzlichen Formeln erforderlich. Und Sie brauchen keine, die bereits für die Diskriminante und das Unbekannte geschrieben wurden.

Betrachten Sie zunächst die unvollständige Gleichung Nummer zwei. In dieser Gleichung soll es den unbekannten Wert aus der Klammer nehmen und die lineare Gleichung lösen, die in der Klammer bleiben wird. Die Antwort wird zwei Wurzeln haben. Die erste ist notwendigerweise gleich Null, weil es einen Faktor gibt, der aus der Variablen selbst besteht. Die zweite erhält man durch Lösen einer linearen Gleichung.

Die unvollständige Gleichung bei Nummer drei wird gelöst, indem die Zahl von der linken Seite der Gleichung auf die rechte übertragen wird. Dann müssen Sie durch den Koeffizienten vor dem Unbekannten dividieren. Es bleibt nur noch die Quadratwurzel zu ziehen und nicht zu vergessen, sie zweimal mit entgegengesetzten Vorzeichen aufzuschreiben.

Im Folgenden finden Sie einige Aktionen, mit denen Sie lernen, wie Sie alle Arten von Gleichungen lösen, die sich in quadratische Gleichungen verwandeln. Sie helfen dem Schüler, Fehler durch Unaufmerksamkeit zu vermeiden. Diese Mängel sind die Ursache für schlechte Noten beim Studium des umfangreichen Themas „Quadrische Gleichungen (Klasse 8)“. Anschließend müssen diese Aktionen nicht ständig durchgeführt werden. Weil es eine stabile Gewohnheit geben wird.

Zuerst müssen Sie die Gleichung in Standardform schreiben. Das heißt, zuerst der Term mit dem größten Grad der Variablen und dann - ohne den Grad und den letzten - nur eine Zahl.

Wenn vor dem Koeffizienten "a" ein Minus steht, kann es einem Anfänger die Arbeit erschweren, quadratische Gleichungen zu studieren. Es ist besser, es loszuwerden. Dazu müssen alle Gleichheiten mit „-1“ multipliziert werden. Dies bedeutet, dass alle Terme das Vorzeichen in das Gegenteil ändern.

Auf die gleiche Weise wird empfohlen, Brüche loszuwerden. Multiplizieren Sie die Gleichung einfach mit dem entsprechenden Faktor, sodass sich die Nenner aufheben.

Beispiele

Es ist erforderlich, die folgenden quadratischen Gleichungen zu lösen:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Die erste Gleichung: x 2 - 7x \u003d 0. Sie ist unvollständig und wird daher wie für Formel Nummer zwei beschrieben gelöst.

Nach dem Klammern stellt sich heraus: x (x - 7) \u003d 0.

Die erste Wurzel nimmt den Wert an: x 1 = 0. Die zweite wird aus gefunden Lineargleichung: x - 7 = 0. Es ist leicht zu sehen, dass x 2 = 7.

Zweite Gleichung: 5x2 + 30 = 0. Wieder unvollständig. Nur sie wird wie für die dritte Formel beschrieben gelöst.

Nachdem Sie 30 auf die rechte Seite der Gleichung übertragen haben: 5x 2 = 30. Jetzt müssen Sie durch 5 teilen. Es stellt sich heraus: x 2 = 6. Die Antworten sind Zahlen: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Dritte Gleichung: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Hier und unten beginnt die Lösung quadratischer Gleichungen mit dem Umschreiben Standard Ansicht: - x 2 - 2x + 15 = 0. Jetzt ist es Zeit, die zweite zu verwenden Hilfreicher Tipp und alles mit minus eins multiplizieren. Es stellt sich heraus, x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Nach der vierten Formel müssen Sie die Diskriminante berechnen: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Es ist a positive Zahl. Aus dem oben Gesagten geht hervor, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat. Sie müssen nach der fünften Formel berechnet werden. Demnach stellt sich heraus, dass x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Dann x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Die vierte Gleichung x 2 + 8 + 3x \u003d 0 wird wie folgt umgewandelt: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Ihre Diskriminante ist gleich diesem Wert: -23. Da diese Zahl negativ ist, lautet die Antwort auf diese Aufgabe der folgende Eintrag: "Es gibt keine Wurzeln."

Die fünfte Gleichung 12x + x 2 + 36 = 0 sollte wie folgt umgeschrieben werden: x 2 + 12x + 36 = 0. Nach Anwendung der Formel für die Diskriminante erhält man die Zahl Null. Dies bedeutet, dass es eine Wurzel haben wird, nämlich: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Die sechste Gleichung (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) erfordert Umformungen, die darin bestehen, dass man vor dem Öffnen der Klammern gleiche Terme bringen muss. Anstelle des ersten steht ein solcher Ausdruck: x 2 + 2x + 1. Nach Gleichheit erscheint dieser Eintrag: x 2 + 3x + 2. Nachdem ähnliche Terme gezählt wurden, nimmt die Gleichung die Form an: x 2 - x \u003d 0. Es ist unvollständig geworden . Ähnlich wurde es schon etwas höher angesetzt. Die Wurzeln davon werden die Zahlen 0 und 1 sein.

IN moderne Gesellschaft Die Fähigkeit, mit Gleichungen zu arbeiten, die eine quadrierte Variable enthalten, kann in vielen Tätigkeitsbereichen nützlich sein und wird in der Praxis bei wissenschaftlichen und technischen Entwicklungen häufig eingesetzt. Dies kann durch das Design von See- und Flussschiffen, Flugzeugen und Raketen belegt werden. Mit Hilfe solcher Berechnungen werden die Bewegungsbahnen verschiedener Körper, einschließlich Weltraumobjekte, bestimmt. Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen werden nicht nur in Wirtschaftsprognosen, in der Planung und Konstruktion von Gebäuden, sondern auch in den gewöhnlichsten Alltagsumständen verwendet. Sie können bei Wanderausflügen benötigt werden Sport, in Geschäften beim Einkaufen und in anderen sehr häufigen Situationen.

Lassen Sie uns den Ausdruck in Teilfaktoren zerlegen

Der Grad einer Gleichung wird durch den Maximalwert des Grades der Variablen bestimmt, die der gegebene Ausdruck enthält. Wenn es gleich 2 ist, wird eine solche Gleichung als quadratische Gleichung bezeichnet.

Wenn wir in der Sprache der Formeln sprechen, dann lassen sich diese Ausdrücke, egal wie sie aussehen, immer dann in die Form bringen, wenn die linke Seite des Ausdrucks aus drei Gliedern besteht. Darunter: ax 2 (d. h. eine Variable im Quadrat mit ihrem Koeffizienten), bx (eine Unbekannte ohne Quadrat mit ihrem Koeffizienten) und c (freie Komponente, dh eine gewöhnliche Zahl). All dies ist auf der rechten Seite gleich 0. Wenn ein solches Polynom keinen seiner konstituierenden Terme hat, mit Ausnahme von ax 2, wird es eine unvollständige quadratische Gleichung genannt. Beispiele mit der Lösung solcher Probleme, bei denen der Wert der Variablen nicht schwer zu finden ist, sollten zunächst betrachtet werden.

Wenn der Ausdruck so aussieht, als hätte er zwei Terme auf der rechten Seite des Ausdrucks, genauer gesagt ax 2 und bx, ist es am einfachsten, x zu finden, indem man die Variable in Klammern setzt. Jetzt sieht unsere Gleichung so aus: x(ax+b). Außerdem wird offensichtlich, dass entweder x = 0 ist oder das Problem darauf reduziert wird, eine Variable aus dem folgenden Ausdruck zu finden: ax + b = 0. Dies wird durch eine der Eigenschaften der Multiplikation vorgegeben. Die Regel besagt, dass das Produkt zweier Faktoren nur dann 0 ergibt, wenn einer von ihnen null ist.

Beispiel

x=0 oder 8x - 3 = 0

Als Ergebnis erhalten wir zwei Wurzeln der Gleichung: 0 und 0,375.

Gleichungen dieser Art können die Bewegung von Körpern unter der Wirkung der Schwerkraft beschreiben, die sich von einem bestimmten Punkt, der als Ursprung genommen wird, zu bewegen begannen. Hier hat die mathematische Schreibweise folgende Form: y = v 0 t + gt 2 /2. Ersetzen erforderliche Werte, indem du die rechte Seite mit 0 gleichsetzt und mögliche Unbekannte findest, kannst du die Zeit herausfinden, die vom Moment des Aufsteigens des Körpers bis zum Moment des Fallens verstrichen ist, sowie viele andere Größen. Aber wir werden später darüber sprechen.

Faktorisieren eines Ausdrucks

Die oben beschriebene Regel ermöglicht es, diese und weitere Probleme zu lösen schwierige Fälle. Betrachten Sie Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen dieser Art.

X2 - 33x + 200 = 0

Dieses quadratische Trinom ist vollständig. Zuerst transformieren wir den Ausdruck und zerlegen ihn in Faktoren. Es gibt zwei davon: (x-8) und (x-25) = 0. Als Ergebnis haben wir zwei Wurzeln 8 und 25.

Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen in Klasse 9 ermöglichen es dieser Methode, eine Variable nicht nur in Ausdrücken zweiter, sondern sogar dritter und vierter Ordnung zu finden.

Zum Beispiel: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Wenn die rechte Seite in Faktoren mit einer Variablen faktorisiert wird, gibt es drei davon, nämlich (x + 1), (x-3) und (x + 3).

Als Ergebnis wird offensichtlich, dass diese Gleichung drei Wurzeln hat: -3; -1; 3.

Ziehen der Quadratwurzel

Ein weiterer Fall einer unvollständigen Gleichung zweiter Ordnung ist ein Ausdruck, der in der Buchstabensprache so geschrieben ist, dass die rechte Seite aus den Komponenten ax 2 und c gebildet wird. Um den Wert der Variablen zu erhalten, wird hier der freie Term auf die rechte Seite übertragen und danach die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichheit gezogen. Zu beachten ist, dass in dieser Fall Es gibt normalerweise zwei Wurzeln einer Gleichung. Die einzigen Ausnahmen sind Gleichheiten, die den Term c überhaupt nicht enthalten, bei denen die Variable gleich Null ist, sowie Varianten von Ausdrücken, bei denen die rechte Seite negativ ausfällt. Im letzteren Fall gibt es überhaupt keine Lösungen, da die obigen Aktionen nicht mit Roots ausgeführt werden können. Beispiele für Lösungen quadratischer Gleichungen dieser Art sollten betrachtet werden.

In diesem Fall sind die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -4 und 4.

Berechnung der Grundstücksfläche

Die Notwendigkeit für diese Art von Berechnungen entstand in der Antike, da die Entwicklung der Mathematik in jenen fernen Zeiten größtenteils auf die Notwendigkeit zurückzuführen war, die Flächen und Umfänge von Grundstücken mit größter Genauigkeit zu bestimmen.

Wir sollten auch Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen betrachten, die auf der Grundlage solcher Probleme erstellt wurden.

Nehmen wir also an, es gibt ein rechteckiges Stück Land, dessen Länge 16 Meter länger ist als die Breite. Sie sollten die Länge, Breite und den Umfang des Geländes ermitteln, wenn bekannt ist, dass seine Fläche 612 m 2 beträgt.

Um zur Sache zu kommen, werden wir zuerst die notwendige Gleichung aufstellen. Lassen Sie uns die Breite des Abschnitts mit x bezeichnen, dann ist seine Länge (x + 16). Aus dem Geschriebenen folgt, dass die Fläche durch den Ausdruck x (x + 16) bestimmt wird, der gemäß der Bedingung unseres Problems 612 ist. Dies bedeutet, dass x (x + 16) \u003d 612.

Die Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen, und dieser Ausdruck ist genau das, kann nicht auf die gleiche Weise erfolgen. Warum? Obwohl die linke Seite davon immer noch zwei Faktoren enthält, ist das Produkt davon überhaupt nicht gleich 0, sodass hier andere Methoden verwendet werden.

Diskriminant

Zunächst nehmen wir dann die notwendigen Transformationen vor Aussehen dieser Ausdruck sieht folgendermaßen aus: x 2 + 16x - 612 = 0. Das bedeutet, dass wir einen Ausdruck in der Form erhalten haben, die dem zuvor angegebenen Standard entspricht, wobei a = 1, b = 16, c = -612.

Dies kann ein Beispiel für das Lösen quadratischer Gleichungen durch die Diskriminante sein. Hier werden die notwendigen Berechnungen nach dem Schema durchgeführt: D = b 2 - 4ac. Dieser Hilfswert ermöglicht es nicht nur, die gewünschten Werte in der Gleichung zweiter Ordnung zu finden, er bestimmt die Anzahl Optionen. Im Fall D > 0 gibt es zwei davon; für D=0 gibt es eine Wurzel. Im Fall D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Über Wurzeln und ihre Formel

In unserem Fall ist die Diskriminante: 256 - 4(-612) = 2704. Dies zeigt an, dass es für unser Problem eine Lösung gibt. Wenn Sie wissen, muss die Lösung quadratischer Gleichungen mit der folgenden Formel fortgesetzt werden. Damit können Sie die Wurzeln berechnen.

Das bedeutet im vorgestellten Fall: x 1 = 18, x 2 = -34. Die zweite Option in diesem Dilemma kann keine Lösung sein, da die Größe des Grundstücks nicht in negativen Werten gemessen werden kann, was bedeutet, dass x (also die Breite des Grundstücks) 18 m beträgt. Daraus berechnen wir die Länge: 18+16=34, und der Umfang 2(34+18) = 104 (m 2).

Beispiele und Aufgaben

Wir setzen das Studium der quadratischen Gleichungen fort. Beispiele und eine detaillierte Lösung einiger davon werden unten angegeben.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Lassen Sie uns alles auf die linke Seite der Gleichheit übertragen, eine Transformation durchführen, das heißt, wir erhalten die Form der Gleichung, die normalerweise als Standardform bezeichnet wird, und setzen sie mit Null gleich.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Nachdem wir ähnliche hinzugefügt haben, bestimmen wir die Diskriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Unsere Gleichung hat also zwei Wurzeln. Wir berechnen sie nach der obigen Formel, was bedeutet, dass der erste von ihnen gleich 4/3 und der zweite gleich 1 ist.

2) Jetzt werden wir Rätsel einer anderen Art enthüllen.

Lassen Sie uns herausfinden, ob es hier überhaupt Wurzeln x 2 - 4x + 5 = 1 gibt? Um eine erschöpfende Antwort zu erhalten, bringen wir das Polynom auf die entsprechende bekannte Form und berechnen die Diskriminante. In diesem Beispiel ist es nicht notwendig, die quadratische Gleichung zu lösen, da die Essenz des Problems überhaupt nicht darin besteht. In diesem Fall ist D \u003d 16 - 20 \u003d -4, was bedeutet, dass es wirklich keine Wurzeln gibt.

Satz von Vieta

Es ist bequem, quadratische Gleichungen durch die obigen Formeln und die Diskriminante zu lösen, wenn die Quadratwurzel aus dem Wert der letzteren gezogen wird. Aber dies geschieht nicht immer. Es gibt jedoch viele Möglichkeiten, in diesem Fall die Werte von Variablen zu erhalten. Beispiel: Lösen quadratischer Gleichungen mit dem Satz von Vieta. Es ist nach einem Mann benannt, der im Frankreich des 16. Jahrhunderts lebte und dank seines mathematischen Talents und seiner Verbindungen zum Hof eine glänzende Karriere hatte. Sein Porträt ist im Artikel zu sehen.

Das Muster, das der berühmte Franzose bemerkte, war wie folgt. Er bewies, dass die Summe der Wurzeln der Gleichung gleich -p=b/a ist und ihr Produkt q=c/a entspricht.

Betrachten wir nun bestimmte Aufgaben.

3x2 + 21x - 54 = 0

Lassen Sie uns der Einfachheit halber den Ausdruck umwandeln:

x 2 + 7x - 18 = 0

Unter Verwendung des Vieta-Theorems erhalten wir Folgendes: Die Summe der Wurzeln ist -7 und ihr Produkt ist -18. Von hier aus erhalten wir, dass die Wurzeln der Gleichung die Zahlen -9 und 2 sind. Nachdem wir eine Überprüfung vorgenommen haben, stellen wir sicher, dass diese Werte der Variablen wirklich in den Ausdruck passen.

Graph und Gleichung einer Parabel

Die Konzepte einer quadratischen Funktion und quadratischer Gleichungen sind eng miteinander verbunden. Beispiele hierfür wurden bereits zuvor gegeben. Sehen wir uns nun einige mathematische Rätsel etwas genauer an. Jede Gleichung des beschriebenen Typs kann visuell dargestellt werden. Eine solche in Form eines Graphen gezeichnete Abhängigkeit wird als Parabel bezeichnet. Die verschiedenen Typen sind in der folgenden Abbildung dargestellt.

Jede Parabel hat einen Scheitelpunkt, das heißt einen Punkt, an dem ihre Äste herauskommen. Wenn a > 0, gehen sie hoch bis unendlich, und wenn a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Visuelle Darstellungen von Funktionen helfen beim Lösen beliebiger Gleichungen, einschließlich quadratischer. Diese Methode wird Grafik genannt. Und der Wert der x-Variablen ist die Abszissenkoordinate an den Punkten, an denen die Diagrammlinie 0x schneidet. Die Koordinaten des Scheitelpunkts können durch die gerade angegebene Formel x 0 = -b / 2a gefunden werden. Und wenn Sie den resultierenden Wert in die ursprüngliche Gleichung der Funktion einsetzen, können Sie y 0 herausfinden, dh die zweite Koordinate des Parabelscheitels, der zur y-Achse gehört.

Der Schnittpunkt der Äste der Parabel mit der Abszissenachse

Es gibt viele Beispiele mit der Lösung quadratischer Gleichungen, aber es gibt auch allgemeine Muster. Betrachten wir sie. Es ist klar, dass der Schnittpunkt des Graphen mit der 0x-Achse für a > 0 nur möglich ist, wenn y 0 negative Werte annimmt. Und für ein<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Sonst D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Aus dem Graphen einer Parabel können Sie auch die Wurzeln bestimmen. Das Gegenteil ist auch wahr. Das heißt, wenn es nicht einfach ist, eine visuelle Darstellung einer quadratischen Funktion zu erhalten, können Sie die rechte Seite des Ausdrucks mit 0 gleichsetzen und die resultierende Gleichung lösen. Und wenn man die Schnittpunkte mit der 0x-Achse kennt, ist es einfacher zu zeichnen.

Aus der Geschichte

Mit Hilfe von Gleichungen, die eine quadratische Variable enthielten, wurden früher nicht nur mathematische Berechnungen durchgeführt und die Fläche geometrischer Formen bestimmt. Die Alten brauchten solche Berechnungen für grandiose Entdeckungen auf dem Gebiet der Physik und Astronomie sowie für astrologische Vorhersagen.

Wie moderne Wissenschaftler vermuten lassen, gehörten die Bewohner Babylons zu den ersten, die quadratische Gleichungen lösten. Es geschah vier Jahrhunderte vor dem Aufkommen unserer Zeitrechnung. Natürlich waren ihre Berechnungen grundlegend anders als die derzeit akzeptierten und erwiesen sich als viel primitiver. Beispielsweise hatten mesopotamische Mathematiker keine Ahnung von der Existenz negativer Zahlen. Sie waren auch mit anderen Feinheiten nicht vertraut, die jedem Studenten unserer Zeit bekannt sind.

Vielleicht noch früher als die Wissenschaftler von Babylon hat sich der Weise aus Indien, Baudhayama, der Lösung quadratischer Gleichungen angenommen. Dies geschah etwa acht Jahrhunderte vor der Ankunft der Ära Christi. Die Gleichungen zweiter Ordnung, die Lösungsmethoden, die er angab, waren zwar die einfachsten. Neben ihm interessierten sich früher auch chinesische Mathematiker für ähnliche Fragen. In Europa wurden quadratische Gleichungen erst zu Beginn des 13. Jahrhunderts gelöst, aber später wurden sie von so großen Wissenschaftlern wie Newton, Descartes und vielen anderen in ihrer Arbeit verwendet.

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