Die Wurzeln der quadratischen Gleichung werden durch Formeln berechnet. Quadratische Gleichungen lösen: Wurzelformel, Beispiele

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form a*x^2 +b*x+c=0, wobei a,b,c einige beliebige reelle (reelle) Zahlen sind und x eine Variable ist. Und die Zahl a=0.

Die Zahlen a,b,c heißen Koeffizienten. Die Zahl a - wird als führender Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als Koeffizient bei x und die Zahl c als freies Element.

Lösen quadratischer Gleichungen

Eine quadratische Gleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Wurzeln zu finden oder die Tatsache festzustellen, dass die quadratische Gleichung keine Wurzeln hat. Die Wurzel der quadratischen Gleichung a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 ist ein beliebiger Wert der Variablen x, so dass das quadratische Trinom a * x ^ 2 + b * x + c verschwindet. Manchmal wird ein solcher Wert von x Wurzel eines quadratischen Trinoms genannt.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, quadratische Gleichungen zu lösen. Betrachten Sie einen von ihnen - den vielseitigsten. Es kann verwendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.

Formeln zum Lösen quadratischer Gleichungen

Die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung lautet a*x^2 +b*x+c=0.

x=(-b±√D)/(2*a), wobei D =b^2-4*a*c.

Diese Formel erhält man durch Lösen der Gleichung a*x^2 +b*x+c=0 in Gesamtansicht, indem Sie das Quadrat des Binoms auswählen.

In der Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung wird der Ausdruck D (b^2-4*a*c) als Diskriminante der quadratischen Gleichung a*x^2 +b*x+c=0 bezeichnet. Dieser Name stammt aus dem Lateinischen und wird mit „Unterscheider“ übersetzt. Abhängig vom Wert der Diskriminante hat die quadratische Gleichung zwei oder eine Wurzel oder gar keine Wurzel.

Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln. (x=(-b±√D)/(2*a))

Wenn die Diskriminante Null ist, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel. (x=(-b/(2*a))

Wenn die Diskriminante negativ ist, dann hat die quadratische Gleichung keine Wurzeln.

Allgemeiner Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung

Basierend auf dem Vorhergehenden formulieren wir einen allgemeinen Algorithmus zum Lösen der quadratischen Gleichung a*x^2 +b*x+c=0 unter Verwendung der Formel:

1. Ermitteln Sie den Wert der Diskriminante mit der Formel D =b^2-4*a*c.

2. Berechnen Sie je nach Wert der Diskriminante die Wurzeln mit den Formeln:

D<0, корней нет.

D=0, x=(-b/(2*a)

D>0, x=(-b+√D)/(2*a), x=(-b-√D)/(2*a)

Dieser Algorithmus ist universell und zum Lösen beliebiger quadratischer Gleichungen geeignet. Vollständig und unvollständig, zitiert und nicht zitiert.

Dieses Thema mag aufgrund der vielen zunächst schwierig erscheinen einfache Formeln. Nicht nur die quadratischen Gleichungen selbst haben lange Einträge, sondern auch die Wurzeln werden über die Diskriminante gefunden. Insgesamt gibt es drei neue Formeln. Nicht ganz leicht zu merken. Dies ist nur nach häufigem Lösen solcher Gleichungen möglich. Dann werden sich alle Formeln von selbst merken.

Gesamtansicht der quadratischen Gleichung

Hier wird ihre explizite Notation vorgeschlagen, wenn der größte Grad zuerst geschrieben wird und dann - in absteigender Reihenfolge. Oft gibt es Situationen, in denen die Begriffe auseinanderstehen. Dann ist es besser, die Gleichung in absteigender Reihenfolge des Grades der Variablen umzuschreiben.

Wir führen die Notation ein. Sie sind in der folgenden Tabelle dargestellt.

Wenn wir diese Notationen akzeptieren, werden alle quadratischen Gleichungen auf die folgende Notation reduziert.

Außerdem ist der Koeffizient a ≠ 0. Diese Formel sei mit der Nummer eins bezeichnet.

Wenn die Gleichung gegeben ist, ist nicht klar, wie viele Wurzeln in der Antwort sein werden. Denn eine von drei Möglichkeiten ist immer möglich:

• die Lösung wird zwei Wurzeln haben;
• die Antwort wird eine Zahl sein;
• Die Gleichung hat überhaupt keine Wurzeln.

Und obwohl die Entscheidung nicht zu Ende geführt wird, ist es schwer zu verstehen, welche der Optionen in einem bestimmten Fall herausfallen wird.

Arten von Datensätzen quadratischer Gleichungen

Aufgaben können unterschiedliche Einträge haben. Sie werden nicht immer wie die allgemeine Formel einer quadratischen Gleichung aussehen. Manchmal fehlen einige Begriffe. Was oben geschrieben wurde, ist die vollständige Gleichung. Wenn Sie den zweiten oder dritten Begriff darin entfernen, erhalten Sie etwas anderes. Diese Datensätze werden auch quadratische Gleichungen genannt, nur unvollständig.

Außerdem können nur die Terme verschwinden, für die die Koeffizienten "b" und "c" verschwinden. Die Zahl „a“ darf unter keinen Umständen gleich Null sein. Denn in diesem Fall wird die Formel Lineargleichung. Die Formeln für die unvollständige Form der Gleichungen lauten wie folgt:

Es gibt also nur zwei Arten, neben vollständigen gibt es auch unvollständige quadratische Gleichungen. Die erste Formel sei Nummer zwei und die zweite Nummer drei.

Die Diskriminante und die Abhängigkeit der Anzahl der Wurzeln von ihrem Wert

Diese Zahl muss bekannt sein, um die Wurzeln der Gleichung zu berechnen. Sie kann immer berechnet werden, egal wie die Formel der quadratischen Gleichung lautet. Um die Diskriminante zu berechnen, müssen Sie die unten geschriebene Gleichheit verwenden, die die Nummer vier hat.

Nachdem Sie die Werte der Koeffizienten in diese Formel eingesetzt haben, können Sie Zahlen mit erhalten verschiedene Vorzeichen. Wenn die Antwort ja ist, dann wird die Antwort auf die Gleichung zwei verschiedene Wurzeln sein. Bei einer negativen Zahl fehlen die Wurzeln der quadratischen Gleichung. Wenn es gleich Null ist, ist die Antwort eins.

Wie wird eine vollständige quadratische Gleichung gelöst?

Tatsächlich hat die Betrachtung dieser Frage bereits begonnen. Denn zuerst müssen Sie die Diskriminante finden. Nachdem klar ist, dass es Wurzeln der quadratischen Gleichung gibt und ihre Anzahl bekannt ist, müssen Sie die Formeln für die Variablen verwenden. Wenn es zwei Wurzeln gibt, müssen Sie eine solche Formel anwenden.

Da es das „±“-Zeichen enthält, gibt es zwei Werte. Der Ausdruck unter dem Quadratwurzelzeichen ist die Diskriminante. Daher kann die Formel auf andere Weise umgeschrieben werden.

Formel fünf. Aus derselben Aufzeichnung ist ersichtlich, dass, wenn die Diskriminante Null ist, beide Wurzeln dieselben Werte annehmen.

Wenn die Lösung quadratischer Gleichungen noch nicht ausgearbeitet wurde, ist es besser, die Werte aller Koeffizienten aufzuschreiben, bevor Sie die Diskriminanz- und Variablenformeln anwenden. Später wird dieser Moment keine Schwierigkeiten verursachen. Aber ganz am Anfang herrscht Verwirrung.

Wie wird eine unvollständige quadratische Gleichung gelöst?

Hier ist alles viel einfacher. Es sind auch keine zusätzlichen Formeln erforderlich. Und Sie brauchen keine, die bereits für die Diskriminante und das Unbekannte geschrieben wurden.

Betrachten Sie zunächst die unvollständige Gleichung Nummer zwei. In dieser Gleichung soll es den unbekannten Wert aus der Klammer nehmen und die lineare Gleichung lösen, die in der Klammer bleiben wird. Die Antwort wird zwei Wurzeln haben. Die erste ist notwendigerweise gleich Null, weil es einen Faktor gibt, der aus der Variablen selbst besteht. Die zweite erhält man durch Lösen einer linearen Gleichung.

Die unvollständige Gleichung bei Nummer drei wird gelöst, indem die Zahl von der linken Seite der Gleichung auf die rechte übertragen wird. Dann müssen Sie durch den Koeffizienten vor dem Unbekannten dividieren. Es bleibt nur noch die Quadratwurzel zu ziehen und nicht zu vergessen, sie zweimal mit entgegengesetzten Vorzeichen aufzuschreiben.

Im Folgenden finden Sie einige Aktionen, mit denen Sie lernen, wie Sie alle Arten von Gleichungen lösen, die sich in quadratische Gleichungen verwandeln. Sie helfen dem Schüler, Fehler durch Unaufmerksamkeit zu vermeiden. Diese Mängel sind die Ursache für schlechte Noten beim Studium des umfangreichen Themas „Quadrische Gleichungen (Klasse 8)“. Anschließend müssen diese Aktionen nicht ständig durchgeführt werden. Weil es eine stabile Gewohnheit geben wird.

• Zuerst müssen Sie die Gleichung in Standardform schreiben. Das heißt, zuerst der Term mit dem größten Grad der Variablen und dann - ohne den Grad und den letzten - nur eine Zahl.

• Wenn vor dem Koeffizienten "a" ein Minus steht, kann es einem Anfänger die Arbeit erschweren, quadratische Gleichungen zu studieren. Es ist besser, es loszuwerden. Dazu müssen alle Gleichheiten mit „-1“ multipliziert werden. Dies bedeutet, dass alle Terme das Vorzeichen in das Gegenteil ändern.

• Auf die gleiche Weise wird empfohlen, Brüche loszuwerden. Multiplizieren Sie die Gleichung einfach mit dem entsprechenden Faktor, sodass sich die Nenner aufheben.

Beispiele

Es ist erforderlich, die folgenden quadratischen Gleichungen zu lösen:

x 2 - 7x \u003d 0;

15 - 2x - x 2 \u003d 0;

x2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Die erste Gleichung: x 2 - 7x \u003d 0. Sie ist unvollständig und wird daher wie für Formel Nummer zwei beschrieben gelöst.

Nach dem Klammern stellt sich heraus: x (x - 7) \u003d 0.

Die erste Wurzel nimmt den Wert an: x 1 \u003d 0. Die zweite ergibt sich aus der linearen Gleichung: x - 7 \u003d 0. Es ist leicht zu erkennen, dass x 2 \u003d 7.

Zweite Gleichung: 5x2 + 30 = 0. Wieder unvollständig. Nur sie wird wie für die dritte Formel beschrieben gelöst.

Nachdem Sie 30 auf die rechte Seite der Gleichung übertragen haben: 5x 2 = 30. Jetzt müssen Sie durch 5 teilen. Es stellt sich heraus: x 2 = 6. Die Antworten sind Zahlen: x 1 = √6, x 2 = - √ 6.

Dritte Gleichung: 15 - 2x - x 2 \u003d 0. Hier und unten beginnt die Lösung quadratischer Gleichungen damit, sie in eine Standardform umzuschreiben: - x 2 - 2x + 15 \u003d 0. Jetzt ist es Zeit, die zweite zu verwenden Hilfreicher Tipp und alles mit minus eins multiplizieren. Es stellt sich heraus, dass x 2 + 2x - 15 \u003d 0. Gemäß der vierten Formel müssen Sie die Diskriminante berechnen: D \u003d 2 2 - 4 * (- 15) \u003d 4 + 60 \u003d 64. Es repräsentiert positive Zahl. Aus dem oben Gesagten geht hervor, dass die Gleichung zwei Wurzeln hat. Sie müssen nach der fünften Formel berechnet werden. Demnach stellt sich heraus, dass x \u003d (-2 ± √64) / 2 \u003d (-2 ± 8) / 2. Dann x 1 \u003d 3, x 2 \u003d - 5.

Die vierte Gleichung x 2 + 8 + 3x \u003d 0 wird wie folgt umgewandelt: x 2 + 3x + 8 \u003d 0. Ihre Diskriminante ist gleich diesem Wert: -23. Da diese Zahl negativ ist, lautet die Antwort auf diese Aufgabe der folgende Eintrag: "Es gibt keine Wurzeln."

Die fünfte Gleichung 12x + x 2 + 36 = 0 sollte wie folgt umgeschrieben werden: x 2 + 12x + 36 = 0. Nach Anwendung der Formel für die Diskriminante erhält man die Zahl Null. Dies bedeutet, dass es eine Wurzel haben wird, nämlich: x \u003d -12 / (2 * 1) \u003d -6.

Die sechste Gleichung (x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2) erfordert Umformungen, die darin bestehen, dass man vor dem Öffnen der Klammern gleiche Terme bringen muss. Anstelle des ersten steht ein solcher Ausdruck: x 2 + 2x + 1. Nach Gleichheit erscheint dieser Eintrag: x 2 + 3x + 2. Nachdem ähnliche Terme gezählt wurden, nimmt die Gleichung die Form an: x 2 - x \u003d 0. Es ist unvollständig geworden . Ähnlich wurde es schon etwas höher angesetzt. Die Wurzeln davon werden die Zahlen 0 und 1 sein.

Quadratische Gleichungen. Diskriminant. Lösung, Beispiele.

Aufmerksamkeit!
Es gibt zusätzliche
Material in Sondersektion 555.
Für diejenigen, die stark "nicht sehr ..."
Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Arten quadratischer Gleichungen

Was ist eine quadratische Gleichung? Wie sieht es aus? In der Bezeichnung quadratische Gleichung Stichwort ist "Quadrat". Es bedeutet das in der Gleichung Notwendig Es muss ein x zum Quadrat geben. Darüber hinaus kann es in der Gleichung nur x (bis zum ersten Grad) und nur eine Zahl geben (oder auch nicht!). (Freies Mitglied). Und es sollte kein x in einem Grad größer als zwei geben.

Mathematisch gesehen ist eine quadratische Gleichung eine Gleichung der Form:

Hier a, b und c- einige Zahlen. b und c- absolut jeder, aber A- alles andere als null. Zum Beispiel:

Hier A =1; B = 3; C = -4

Hier A =2; B = -0,5; C = 2,2

Hier A =-3; B = 6; C = -18

Nun, Sie haben die Idee ...

In diesen quadratischen Gleichungen auf der linken Seite gibt es vollständiger Satz Mitglieder. x quadriert mit Koeffizient A, x hoch 1 mit Koeffizient B Und freies Mitglied bei

Solche quadratischen Gleichungen werden aufgerufen vollständig.

Und wenn B= 0, was bekommen wir? Wir haben X wird im ersten Grad verschwinden. Dies geschieht durch Multiplizieren mit Null.) Es stellt sich heraus, zum Beispiel:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

Usw. Und wenn beide Koeffizienten B Und C gleich Null sind, dann ist es noch einfacher:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Solche Gleichungen, wo etwas fehlt, nennt man Unvollständige quadratische Gleichungen. Was ziemlich logisch ist.) Bitte beachten Sie, dass x zum Quadrat in allen Gleichungen vorhanden ist.

Übrigens warum A kann nicht null sein? Und Sie ersetzen stattdessen A Null.) Das X im Quadrat verschwindet! Die Gleichung wird linear. Und es geht anders...

Das sind alle Haupttypen quadratischer Gleichungen. Vollständig und unvollständig.

Lösung quadratischer Gleichungen.

Lösung vollständiger quadratischer Gleichungen.

Quadratische Gleichungen sind einfach zu lösen. Nach Formeln und klaren einfachen Regeln. Der erste Schritt besteht darin, die gegebene Gleichung auf zu bringen Standard Ansicht, d.h. zur Ansicht:

Wenn Ihnen die Gleichung in dieser Form bereits gegeben ist, müssen Sie die erste Stufe nicht ausführen.) Die Hauptsache ist, alle Koeffizienten korrekt zu bestimmen. A, B Und C.

Die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung sieht folgendermaßen aus:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird aufgerufen diskriminierend. Aber mehr über ihn weiter unten. Wie Sie sehen können, verwenden wir, um x zu finden nur a, b und c. Diese. Koeffizienten aus der quadratischen Gleichung. Ersetzen Sie die Werte einfach sorgfältig a, b und c in diese Formel und zähle. Ersatz mit deinen Zeichen! Zum Beispiel in der Gleichung:

A =1; B = 3; C= -4. Hier schreiben wir:

Beispiel fast gelöst:

Das ist die Antwort.

Alles ist sehr einfach. Und was denkst du, du kannst nichts falsch machen? Nun ja, wie...

Die häufigsten Fehler sind Verwechslungen mit den Vorzeichen von Werten a, b und c. Oder besser gesagt nicht mit ihren Vorzeichen (wo soll da verwechselt werden?), Sondern mit dem Einsetzen negativer Werte in die Formel zur Berechnung der Wurzeln. Hier wird eine detaillierte Aufzeichnung der Formel mit konkreten Nummern gespeichert. Bei Rechenproblemen also mach es!

Angenommen, wir müssen das folgende Beispiel lösen:

Hier A = -6; B = -5; C = -1

Nehmen wir an, Sie wissen, dass Sie beim ersten Mal selten Antworten erhalten.

Nun, sei nicht faul. Es dauert 30 Sekunden, um eine zusätzliche Zeile zu schreiben, und die Anzahl der Fehler wird stark abfallen. Also schreiben wir ausführlich, mit allen Klammern und Zeichen:

Es scheint unglaublich schwierig, so sorgfältig zu malen. Aber es scheint nur. Versuch es. Nun, oder wählen Sie. Was ist besser, schnell oder richtig? Außerdem werde ich dich glücklich machen. Nach einer Weile müssen Sie nicht mehr alles so sorgfältig streichen. Es wird sich einfach als richtig herausstellen. Vor allem, wenn Sie praktische Techniken anwenden, die unten beschrieben werden. Dieses böse Beispiel mit vielen Minuspunkten wird einfach und fehlerfrei gelöst!

Aber oft sehen quadratische Gleichungen etwas anders aus. Zum Beispiel so:

Wussten Sie schon?) Ja! Das Unvollständige quadratische Gleichungen.

Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen.

Sie können auch durch die allgemeine Formel gelöst werden. Sie müssen nur richtig herausfinden, was hier gleich ist a, b und c.

Erkannte? Im ersten Beispiel a = 1; b = -4; A C? Es existiert überhaupt nicht! Nun ja, das stimmt. In der Mathematik bedeutet dies das c = 0 ! Das ist alles. Setzen Sie stattdessen Null in die Formel ein C, und alles wird für uns klappen. Ähnlich beim zweiten Beispiel. Nur Null haben wir hier nicht Mit, A B !

Aber unvollständige quadratische Gleichungen lassen sich viel einfacher lösen. Ohne irgendwelche Formeln. Betrachten Sie die erste unvollständige Gleichung. Was kann man auf der linken Seite tun? Du kannst das X aus Klammern nehmen! Nehmen wir es heraus.

Und was daraus? Und die Tatsache, dass das Produkt genau dann gleich Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist! Glauben Sie nicht? Nun, dann denken Sie sich zwei Zahlen ungleich Null aus, die, wenn sie multipliziert werden, Null ergeben!
Klappt nicht? Etwas...
Daher können wir getrost schreiben: x 1 = 0, x 2 = 4.

Alle. Dies werden die Wurzeln unserer Gleichung sein. Beide passen. Wenn wir eine davon in die ursprüngliche Gleichung einsetzen, erhalten wir die korrekte Identität 0 = 0. Wie Sie sehen können, ist die Lösung viel einfacher als die allgemeine Formel. Ich stelle übrigens fest, welches X das erste und welches das zweite sein wird - es ist absolut gleichgültig. Einfach in Ordnung zu schreiben x 1- was auch immer weniger ist x 2- das was mehr ist.

Auch die zweite Gleichung lässt sich leicht lösen. Wir verschieben 9 auf die rechte Seite. Wir bekommen:

Es bleibt, die Wurzel aus 9 zu ziehen, und das war's. Erhalten:

auch zwei Wurzeln . x 1 = -3, x 2 = 3.

So werden alle unvollständigen quadratischen Gleichungen gelöst. Entweder durch Entfernen von X aus Klammern oder durch einfaches Übertragen der Zahl nach rechts und anschließendem Wurzelziehen.
Es ist äußerst schwierig, diese Methoden zu verwechseln. Einfach, weil Sie im ersten Fall die Wurzel aus X ziehen müssen, was irgendwie unverständlich ist, und im zweiten Fall gibt es nichts aus Klammern zu nehmen ...

Diskriminant. Diskriminante Formel.

magisches Wort diskriminierend ! Ein seltener Gymnasiast hat dieses Wort noch nicht gehört! Der Satz „durch die Diskriminante entscheiden“ ist beruhigend und beruhigend. Denn auf Tricks der Diskriminanten muss nicht gewartet werden! Es ist einfach und problemlos zu verwenden.) Ich erinnere Sie an die allgemeinste Lösungsformel beliebig quadratische Gleichungen:

Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen heißt Diskriminante. Die Diskriminante wird normalerweise mit dem Buchstaben bezeichnet D. Diskriminanzformel:

D = b2 - 4ac

Und was ist so besonders an diesem Ausdruck? Warum verdient es einen besonderen Namen? Worin Bedeutung der Diskriminante? Schließlich -B, oder 2a In dieser Formel nennen sie nicht speziell ... Buchstaben und Buchstaben.

Der Punkt ist folgender. Beim Lösen einer quadratischen Gleichung mit dieser Formel ist es möglich nur drei Fälle.

1. Die Diskriminante ist positiv. Dies bedeutet, dass Sie die Wurzel daraus extrahieren können. Ob die Wurzel gut oder schlecht gezogen wird, ist eine andere Frage. Es ist wichtig, was im Prinzip extrahiert wird. Dann hat deine quadratische Gleichung zwei Wurzeln. Zwei verschiedene Lösungen.

2. Die Diskriminante ist Null. Dann haben Sie eine Lösung. Da das Addieren oder Subtrahieren von Null im Zähler nichts ändert. Genau genommen ist dies keine einzelne Wurzel, sondern zwei identisch. Aber in einer vereinfachten Version ist es üblich, darüber zu sprechen eine Lösung.

3. Die Diskriminante ist negativ. Eine negative Zahl zieht nicht die Quadratwurzel. Na ja, okay. Das heißt, es gibt keine Lösungen.

Um ehrlich zu sein, ist bei einer einfachen Lösung quadratischer Gleichungen das Konzept einer Diskriminante nicht wirklich erforderlich. Wir ersetzen die Werte der Koeffizienten in der Formel und betrachten. Da stellt sich alles von selbst heraus und zwei Wurzeln und eine und keine einzige. Allerdings beim Lösen mehr schwierige Aufgaben, ohne Wissen Bedeutung und Diskriminanzformel nicht genug. Besonders - in Gleichungen mit Parametern. Solche Gleichungen sind Kunstflug für das GIA und die Einheitliche Staatsprüfung!)

So, wie man quadratische gleichungen löst durch die Diskriminante, an die Sie sich erinnerten. Oder gelernt, was auch nicht schlimm ist.) Du weißt, wie man richtig erkennt a, b und c. Weißt du wie aufmerksam Ersetzen Sie sie in die Wurzelformel und aufmerksam zählen das Ergebnis. hast Du das verstanden Stichwort Hier - aufmerksam?

Beachten Sie nun die praktischen Techniken, die die Anzahl der Fehler drastisch reduzieren. Gerade die, die auf Unaufmerksamkeit zurückzuführen sind ... Für die es dann schmerzhaft und beleidigend ist ...

Erster Empfang . Seien Sie nicht faul, bevor Sie eine quadratische Gleichung lösen, um sie in eine Standardform zu bringen. Was bedeutet das?
Angenommen, Sie erhalten nach allen Transformationen die folgende Gleichung:

Beeilen Sie sich nicht, die Formel der Wurzeln zu schreiben! Sie werden mit ziemlicher Sicherheit die Chancen verwechseln a, b und c. Baue das Beispiel richtig auf. Zuerst x im Quadrat, dann ohne Quadrat, dann ein freies Mitglied. So:

Und noch einmal: keine Eile! Das Minus vor dem x zum Quadrat kann Sie sehr verärgern. Es zu vergessen ist leicht ... Werde das Minus los. Wie? Ja, wie im vorherigen Thema gelehrt! Wir müssen die ganze Gleichung mit -1 multiplizieren. Wir bekommen:

Und jetzt können Sie die Formel für die Wurzeln sicher aufschreiben, die Diskriminante berechnen und das Beispiel vervollständigen. Entscheiden Sie selbst. Sie sollten mit den Wurzeln 2 und -1 enden.

Zweiter Empfang. Überprüfen Sie Ihre Wurzeln! Nach dem Satz von Vieta. Keine Sorge, ich erkläre dir alles! Überprüfung letztes Ding Die gleichung. Diese. diejenige, mit der wir die Formel der Wurzeln niedergeschrieben haben. Wenn (wie in diesem Beispiel) der Koeffizient a = 1, überprüfen Sie die Wurzeln leicht. Es reicht aus, sie zu multiplizieren. Sie sollten eine freie Amtszeit bekommen, d.h. in unserem Fall -2. Achtung, nicht 2, sondern -2! Freies Mitglied mit deinem Zeichen . Wenn es nicht geklappt hat, bedeutet das, dass sie bereits irgendwo Mist gebaut haben. Suchen Sie nach einem Fehler.

Wenn es geklappt hat, müssen Sie die Wurzeln falten. Letzte und letzte Kontrolle. Sollte ein Verhältnis sein B Mit Gegenteil Zeichen. In unserem Fall -1+2 = +1. Ein Koeffizient B, das vor dem x steht, ist gleich -1. Also alles richtig!
Schade, dass es nur für Beispiele so einfach ist, wo x zum Quadrat rein ist, mit einem Koeffizienten a = 1. Aber überprüfen Sie wenigstens solche Gleichungen! Es werden weniger Fehler passieren.

Rezeption dritte . Wenn Ihre Gleichung Bruchkoeffizienten hat, werden Sie die Brüche los! Multiplizieren Sie die Gleichung mit dem gemeinsamen Nenner, wie in der Lektion "Gleichungen lösen? Identitätstransformationen" beschrieben. Bei der Arbeit mit Brüchen steigen Fehler aus irgendeinem Grund ...

Übrigens habe ich zur Vereinfachung ein böses Beispiel mit ein paar Minuspunkten versprochen. Bitte! Da ist er.

Um bei den Minuszeichen nicht durcheinander zu kommen, multiplizieren wir die Gleichung mit -1. Wir bekommen:

Das ist alles! Entscheiden macht Spaß!

Fassen wir das Thema also nochmal zusammen.

Praktische Tipps:

1. Vor dem Lösen bringen wir die quadratische Gleichung in die Standardform und bauen sie auf Rechts.

2. Wenn vor dem x im Quadrat ein negativer Koeffizient steht, eliminieren wir ihn, indem wir die gesamte Gleichung mit -1 multiplizieren.

3. Wenn die Koeffizienten gebrochen sind, eliminieren wir die Brüche, indem wir die gesamte Gleichung mit dem entsprechenden Faktor multiplizieren.

4. Wenn x zum Quadrat rein ist, der Koeffizient dafür gleich eins ist, kann die Lösung leicht mit dem Satz von Vieta überprüft werden. Tu es!

Jetzt können Sie entscheiden.)

Gleichungen lösen:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Antworten (durcheinander):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - eine beliebige Zahl

x 1 = -3
x 2 = 3

keine Lösungen

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Passt alles? Großartig! Quadratische Gleichungen sind nicht Ihre Kopfschmerzen. Die ersten drei fielen aus, aber der Rest nicht? Dann liegt das Problem nicht in quadratischen Gleichungen. Das Problem liegt in identischen Transformationen von Gleichungen. Schau dir mal den Link an, ist hilfreich.

Funktioniert nicht ganz? Oder geht das gar nicht? Dann hilft Ihnen Abschnitt 555. Dort sind alle diese Beispiele nach Knochen sortiert. Anzeigen hauptsächlich Fehler in der Lösung. Natürlich wird auch die Anwendung identischer Transformationen beim Lösen verschiedener Gleichungen beschrieben. Hilft sehr!

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

In Fortsetzung des Themas „Gleichungen lösen“ führt Sie das Material in diesem Artikel in quadratische Gleichungen ein.

Betrachten wir alles im Detail: das Wesen und die Notation einer quadratischen Gleichung, stellen Sie verwandte Terme ein, analysieren Sie das Schema zur Lösung unvollständiger und vollständiger Gleichungen, machen Sie sich mit der Formel der Wurzeln und der Diskriminante vertraut, stellen Sie Verbindungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten her und natürlich Wir werden eine visuelle Lösung von praktischen Beispielen geben.

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Quadratische Gleichung, ihre Typen

Bestimmung 1

Quadratische Gleichung ist die Gleichung geschrieben als a x 2 + b x + c = 0, Wo X– variabel, a , b und C sind einige Zahlen, während A ist nicht null.

Häufig werden quadratische Gleichungen auch als Gleichungen zweiten Grades bezeichnet, da eine quadratische Gleichung eigentlich eine algebraische Gleichung zweiten Grades ist.

Lassen Sie uns ein Beispiel geben, um die gegebene Definition zu veranschaulichen: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 usw. sind quadratische Gleichungen.

Bestimmung 2

Zahlen a , b und C sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung a x 2 + b x + c = 0, während der Koeffizient A heißt der erste oder Senior oder Koeffizient bei x 2, b - der zweite Koeffizient oder Koeffizient bei X, A C freies Mitglied genannt.

Zum Beispiel in der quadratischen Gleichung 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 der höchste Koeffizient ist 6, der zweite Koeffizient ist − 2 , und der freie Begriff ist gleich − 11 . Achten wir darauf, dass bei den Koeffizienten B und/oder c sind dann negativ Kurzform Aufzeichnungen des Formulars 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, und nicht 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Lassen Sie uns auch diesen Aspekt verdeutlichen: Wenn die Koeffizienten A und/oder B gleich 1 oder − 1 , dann dürfen sie sich nicht explizit an der Erstellung der quadratischen Gleichung beteiligen, was sich durch die Besonderheiten beim Schreiben der angegebenen numerischen Koeffizienten erklärt. Zum Beispiel in der quadratischen Gleichung y 2 − y + 7 = 0 der Senior-Koeffizient ist 1 und der zweite Koeffizient ist − 1 .

Reduzierte und nicht reduzierte quadratische Gleichungen

Entsprechend dem Wert des ersten Koeffizienten werden quadratische Gleichungen in reduzierte und nicht reduzierte unterteilt.

Bestimmung 3

Reduzierte quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung, bei der der führende Koeffizient 1 ist. Für andere Werte des führenden Koeffizienten ist die quadratische Gleichung nicht reduziert.

Hier einige Beispiele: Es werden quadratische Gleichungen x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0 reduziert, bei denen der führende Koeffizient jeweils 1 ist.

9 x 2 - x - 2 = 0- nicht reduzierte quadratische Gleichung, bei der der erste Koeffizient unterschiedlich ist 1 .

Jede nicht reduzierte quadratische Gleichung kann in eine reduzierte Gleichung umgewandelt werden, indem beide Teile durch den ersten Koeffizienten dividiert werden (äquivalente Transformation). Die transformierte Gleichung hat dieselben Wurzeln wie die gegebene nicht reduzierte Gleichung oder hat auch überhaupt keine Wurzeln.

Rücksichtnahme Fallstudie wird es uns ermöglichen, den Übergang von einer nicht reduzierten quadratischen Gleichung zu einer reduzierten visuell zu demonstrieren.

Beispiel 1

Gegeben sei die Gleichung 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Es ist notwendig, die ursprüngliche Gleichung in die reduzierte Form umzuwandeln.

Lösung

Nach obigem Schema dividieren wir beide Teile der ursprünglichen Gleichung durch den führenden Koeffizienten 6 . Dann bekommen wir: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, und das ist dasselbe wie: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0 und weiter: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 . Von hier: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Somit wird eine der gegebenen äquivalente Gleichung erhalten.

Antworten: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Vollständige und unvollständige quadratische Gleichungen

Wenden wir uns der Definition einer quadratischen Gleichung zu. Darin haben wir das festgelegt a ≠ 0. Eine ähnliche Bedingung ist für die Gleichung erforderlich a x 2 + b x + c = 0 war genau quadratisch, da a = 0 es wandelt sich im Wesentlichen in eine lineare Gleichung um b x + c = 0.

In dem Fall, wo die Koeffizienten B Und C gleich Null sind (was sowohl einzeln als auch gemeinsam möglich ist), heißt die quadratische Gleichung unvollständig.

Bestimmung 4

Unvollständige quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung a x 2 + b x + c \u003d 0, wobei mindestens einer der Koeffizienten B Und C(oder beides) ist null.

Vervollständige die quadratische Gleichung ist eine quadratische Gleichung, bei der alle numerischen Koeffizienten ungleich Null sind.

Lassen Sie uns diskutieren, warum die Typen quadratischer Gleichungen genau solche Namen erhalten.

Für b = 0 nimmt die quadratische Gleichung die Form an a x 2 + 0 x + c = 0, was dasselbe ist wie a x 2 + c = 0. Bei c = 0 Die quadratische Gleichung wird geschrieben als a x 2 + b x + 0 = 0, was äquivalent ist a x 2 + b x = 0. Bei b = 0 Und c = 0 Die Gleichung nimmt die Form an a x 2 = 0. Die erhaltenen Gleichungen unterscheiden sich von der vollen quadratischen Gleichung dadurch, dass ihre linken Seiten weder einen Term mit der Variablen x noch einen freien Term oder beides gleichzeitig enthalten. Tatsächlich gab diese Tatsache dieser Art von Gleichungen den Namen - unvollständig.

Beispielsweise sind x 2 + 3 x + 4 = 0 und − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 vollständige quadratische Gleichungen; x 2 \u003d 0, − 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 sind unvollständige quadratische Gleichungen.

Unvollständige quadratische Gleichungen lösen

Die oben gegebene Definition ermöglicht es, die folgenden Arten von unvollständigen quadratischen Gleichungen zu unterscheiden:

• a x 2 = 0 entsprechen Koeffizienten einer solchen Gleichung b = 0 und c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 für b \u003d 0;
• a x 2 + b x = 0 für c = 0 .

Betrachten Sie nacheinander die Lösung jeder Art von unvollständigen quadratischen Gleichungen.

Lösung der Gleichung a x 2 \u003d 0

Wie bereits oben erwähnt, entspricht eine solche Gleichung den Koeffizienten B Und C, gleich Null. Die gleichung a x 2 = 0 kann in eine äquivalente Gleichung umgewandelt werden x2 = 0, die wir erhalten, indem wir beide Seiten der ursprünglichen Gleichung durch die Zahl dividieren A, ungleich Null. Die offensichtliche Tatsache ist, dass die Wurzel der Gleichung x2 = 0 ist null, weil 0 2 = 0 . Diese Gleichung hat keine anderen Wurzeln, was durch die Eigenschaften des Grades erklärt wird: für jede Zahl P , ungleich Null, die Ungleichung ist wahr p2 > 0, woraus folgt, dass wann p ≠ 0 Gleichwertigkeit p2 = 0 wird nie erreicht.

Bestimmung 5

Somit gibt es für die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 = 0 eine eindeutige Wurzel x=0.

Beispiel 2

Lassen Sie uns zum Beispiel eine unvollständige quadratische Gleichung lösen − 3 x 2 = 0. Es ist äquivalent zur Gleichung x2 = 0, seine einzige Wurzel ist x=0, dann hat die ursprüngliche Gleichung eine einzelne Wurzel - Null.

Die Lösung ist wie folgt zusammengefasst:

− 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Lösung der Gleichung a x 2 + c \u003d 0

Als nächstes folgt die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen, wobei b \u003d 0, c ≠ 0 ist, dh Gleichungen der Form a x 2 + c = 0. Transformieren wir diese Gleichung, indem wir den Term von einer Seite der Gleichung auf die andere übertragen, das Vorzeichen auf das andere ändern und beide Seiten der Gleichung durch eine Zahl ungleich Null dividieren:

• ertragen C auf die rechte Seite, was die Gleichung ergibt a x 2 = − c;
• Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch A, erhalten wir als Ergebnis x = - c a .

Unsere Transformationen sind äquivalent bzw. die resultierende Gleichung ist auch äquivalent zur ursprünglichen, und diese Tatsache erlaubt einen Rückschluss auf die Wurzeln der Gleichung. Von was sind die Werte A Und C hängt vom Wert des Ausdrucks ab - c a: Es kann ein Minuszeichen haben (z. B. wenn a = 1 Und c = 2, dann - c a = - 2 1 = - 2) oder ein Pluszeichen (zum Beispiel, wenn a = -2 Und c=6, dann - c a = - 6 - 2 = 3); es ist nicht gleich Null, weil c ≠ 0. Lassen Sie uns näher auf Situationen eingehen, in denen - c a< 0 и - c a > 0 .

In dem Fall, wenn - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P Gleichheit p 2 = - c a kann nicht wahr sein.

Alles ist anders, wenn - c a > 0: Denken Sie an die Quadratwurzel, und es wird offensichtlich, dass die Wurzel der Gleichung x 2 \u003d - c a die Zahl - c a sein wird, da - c a 2 \u003d - c a. Es ist leicht zu verstehen, dass die Zahl - - c a - auch die Wurzel der Gleichung x 2 = - c a ist: in der Tat - - c a 2 = - c a .

Die Gleichung hat keine anderen Wurzeln. Wir können dies mit der umgekehrten Methode demonstrieren. Lassen Sie uns zunächst die Notation der oben gefundenen Wurzeln als festlegen x 1 Und − x 1. Nehmen wir an, dass die Gleichung x 2 = - c a auch eine Wurzel hat x2, die sich von den Wurzeln unterscheidet x 1 Und − x 1. Wir wissen das, indem wir statt in die Gleichung einsetzen X ihre Wurzeln, wandeln wir die Gleichung in eine faire numerische Gleichheit um.

Für x 1 Und − x 1 schreiben: x 1 2 = - c a , und für x2- x 2 2 \u003d - c ein. Basierend auf den Eigenschaften numerischer Gleichheiten subtrahieren wir eine wahre Gleichheit von einer anderen Term für Term, was uns ergibt: x 1 2 − x 2 2 = 0. Verwenden Sie die Eigenschaften von Zahlenoperationen, um die letzte Gleichheit neu zu schreiben als (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Es ist bekannt, dass das Produkt zweier Zahlen genau dann Null ist, wenn mindestens eine der Zahlen Null ist. Aus dem Gesagten folgt x1 − x2 = 0 und/oder x1 + x2 = 0, was das gleiche ist x2 = x1 und/oder x2 = − x1. Ein offensichtlicher Widerspruch entstand, weil zunächst vereinbart wurde, dass die Wurzel der Gleichung x2 unterscheidet sich von x 1 Und − x 1. Wir haben also bewiesen, dass die Gleichung keine anderen Wurzeln hat als x = - c a und x = - - c a .

Wir fassen alle obigen Argumente zusammen.

Bestimmung 6

Unvollständige quadratische Gleichung a x 2 + c = 0 entspricht der Gleichung x 2 = - c a , die:

• hat keine Wurzeln bei - c a< 0 ;
• hat zwei Nullstellen x = - c a und x = - - c a , wenn - c a > 0 .

Lassen Sie uns Beispiele für das Lösen von Gleichungen geben a x 2 + c = 0.

Beispiel 3

Gegeben sei eine quadratische Gleichung 9 x 2 + 7 = 0 . Es ist notwendig, seine Lösung zu finden.

Lösung

Wir übertragen den freien Term auf die rechte Seite der Gleichung, dann nimmt die Gleichung die Form an 9 x 2 \u003d - 7.
Wir dividieren beide Seiten der resultierenden Gleichung durch 9 , kommen wir zu x 2 = - 7 9 . Auf der rechten Seite sehen wir eine Zahl mit Minuszeichen, was bedeutet: Die gegebene Gleichung hat keine Wurzeln. Dann die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung 9 x 2 + 7 = 0 wird keine Wurzeln haben.

Antworten: Die gleichung 9 x 2 + 7 = 0 hat keine Wurzeln.

Beispiel 4

Es ist notwendig, die Gleichung zu lösen − x2 + 36 = 0.

Lösung

Lassen Sie uns 36 auf die rechte Seite verschieben: − x 2 = − 36.
Teilen wir beide Teile in − 1 , wir bekommen x2 = 36. Auf der rechten Seite steht eine positive Zahl, woraus wir darauf schließen können x = 36 bzw x = - 36 .
Wir ziehen die Wurzel und schreiben das Endergebnis: eine unvollständige quadratische Gleichung − x2 + 36 = 0 hat zwei Wurzeln x=6 oder x = -6.

Antworten: x=6 oder x = -6.

Lösung der Gleichung a x 2 + b x=0

Lassen Sie uns die dritte Art unvollständiger quadratischer Gleichungen analysieren c = 0. Eine Lösung für eine unvollständige quadratische Gleichung finden a x 2 + b x = 0 verwenden wir die Faktorisierungsmethode. Lassen Sie uns das Polynom faktorisieren, das sich auf der linken Seite der Gleichung befindet, indem wir den gemeinsamen Faktor aus Klammern herausnehmen X. Dieser Schritt wird es ermöglichen, die ursprüngliche unvollständige quadratische Gleichung in ihr Äquivalent umzuwandeln x (a x + b) = 0. Und diese Gleichung wiederum ist äquivalent zum Gleichungssystem x=0 Und a x + b = 0. Die gleichung a x + b = 0 linear, und seine Wurzel: x = − b ein.

Bestimmung 7

Also die unvollständige quadratische Gleichung a x 2 + b x = 0 wird zwei Wurzeln haben x=0 Und x = − b ein.

Konsolidieren wir das Material mit einem Beispiel.

Beispiel 5

Es ist notwendig, die Lösung der Gleichung 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 zu finden.

Lösung

Nehmen wir heraus X außerhalb der Klammern und erhalten die Gleichung x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Diese Gleichung ist äquivalent zu den Gleichungen x=0 und 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Jetzt sollten Sie die resultierende lineare Gleichung lösen: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Wir schreiben die Lösung der Gleichung kurz wie folgt:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oder 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 oder x = 3 3 7

Antworten: x = 0 , x = 3 3 7 .

Diskriminante, Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Um eine Lösung für quadratische Gleichungen zu finden, gibt es eine Wurzelformel:

Bestimmung 8

x = - b ± D 2 a, wobei D = b 2 − 4 ein c ist die sogenannte Diskriminante einer quadratischen Gleichung.

Das Schreiben von x \u003d - b ± D 2 a bedeutet im Wesentlichen, dass x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Es ist hilfreich zu verstehen, wie die angegebene Formel abgeleitet wurde und wie sie anzuwenden ist.

Herleitung der Formel der Wurzeln einer quadratischen Gleichung

Angenommen, wir stehen vor der Aufgabe, eine quadratische Gleichung zu lösen a x 2 + b x + c = 0. Führen wir einige äquivalente Transformationen durch:

• Teile beide Seiten der Gleichung durch die Zahl A, anders als Null, erhalten wir die reduzierte quadratische Gleichung: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• herausgreifen volles Quadrat auf der linken Seite der resultierenden Gleichung:
  x 2 + b ein x + c ein = x 2 + 2 b 2 ein x + b 2 ein 2 - b 2 ein 2 + c ein = = x + b 2 ein 2 - b 2 ein 2 + c ein
  Danach nimmt die Gleichung die Form an: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• jetzt ist es möglich, die letzten beiden Terme auf die rechte Seite zu übertragen und das Vorzeichen auf das Gegenteil zu ändern, wonach wir erhalten: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Schließlich transformieren wir den Ausdruck, der auf der rechten Seite der letzten Gleichheit steht:
  b 2 ein 2 - c ein \u003d b 2 4 ein 2 - c ein \u003d b 2 4 ein 2 - 4 ein c 4 ein 2 \u003d b 2 - 4 ein c 4 ein 2.

Somit sind wir zu der Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 – 4 a c 4 a 2 gekommen, die der ursprünglichen Gleichung entspricht a x 2 + b x + c = 0.

Wir haben die Lösung solcher Gleichungen in den vorherigen Abschnitten besprochen (die Lösung unvollständiger quadratischer Gleichungen). Die bereits gesammelten Erfahrungen erlauben einen Rückschluss auf die Wurzeln der Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• für b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• für b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 hat die Gleichung die Form x + b 2 · a 2 = 0, dann ist x + b 2 · a = 0.

Von hier aus ist die einzige Wurzel x = - b 2 · a offensichtlich;

• für b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0 ist die richtige: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oder x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , was die ist wie x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 oder x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , d.h. Die Gleichung hat zwei Wurzeln.

Daraus kann geschlossen werden, dass das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln der Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (und damit der ursprünglichen Gleichung) vom Vorzeichen des Ausdrucks b 2 - 4 a c abhängt 4 · eine 2 auf der rechten Seite geschrieben. Und das Vorzeichen dieses Ausdrucks wird durch das Vorzeichen des Zählers (der Nenner) gegeben 4 ein 2 immer positiv sein), also das Vorzeichen des Ausdrucks b 2 − 4 ein c. Dieser Ausdruck b 2 − 4 ein c ein Name wird gegeben - die Diskriminante einer quadratischen Gleichung und der Buchstabe D wird als ihre Bezeichnung definiert. Hier können Sie die Essenz der Diskriminante aufschreiben - anhand ihres Werts und Vorzeichens schließen sie, ob die quadratische Gleichung echte Wurzeln hat und wenn ja, wie viele Wurzeln - eine oder zwei.

Kehren wir zur Gleichung x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 zurück. Schreiben wir es mit der Diskriminanznotation um: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Fassen wir die Schlussfolgerungen zusammen:

Bestimmung 9

• bei D< 0 die Gleichung hat keine wirklichen Wurzeln;
• bei D=0 die Gleichung hat eine einzige Wurzel x = -b 2 · a ;
• bei D > 0 Die Gleichung hat zwei Wurzeln: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 oder x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Basierend auf den Eigenschaften von Radikalen können diese Wurzeln geschrieben werden als: x \u003d - b 2 a + D 2 a oder - b 2 a - D 2 a. Und wenn wir die Module öffnen und die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, erhalten wir: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

Das Ergebnis unserer Überlegungen war also die Herleitung der Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung:

x = –b + D 2 a, x = – b – D 2 a, Diskriminante D nach der Formel berechnet D = b 2 − 4 ein c.

Diese Formeln ermöglichen es, wenn die Diskriminante größer als Null ist, beide reellen Wurzeln zu bestimmen. Wenn die Diskriminante Null ist, ergibt die Anwendung beider Formeln dieselbe Wurzel wie einzige Entscheidung quadratische Gleichung. Wenn die Diskriminante negativ ist und versucht wird, die Quadratwurzelformel zu verwenden, müssen wir extrahieren Quadratwurzel von einer negativen Zahl, was uns über reelle Zahlen hinausführt. Bei einer negativen Diskriminante hat die quadratische Gleichung keine echten Wurzeln, aber ein Paar komplexer konjugierter Wurzeln ist möglich, bestimmt durch dieselben Wurzelformeln, die wir erhalten haben.

Algorithmus zum Lösen quadratischer Gleichungen mit Wurzelformeln

Es ist möglich, eine quadratische Gleichung zu lösen, indem man sofort die Wurzelformel verwendet, aber im Grunde wird dies getan, wenn es notwendig ist, komplexe Wurzeln zu finden.

In den meisten Fällen ist die Suche normalerweise nicht für komplexe, sondern für reelle Wurzeln einer quadratischen Gleichung gedacht. Dann ist es optimal, bevor Sie die Formeln für die Wurzeln der quadratischen Gleichung verwenden, zuerst die Diskriminante zu bestimmen und sicherzustellen, dass sie nicht negativ ist (sonst schließen wir daraus, dass die Gleichung keine echten Wurzeln hat), und dann mit der Berechnung fortzufahren Wert der Wurzeln.

Die obige Überlegung ermöglicht es, einen Algorithmus zum Lösen einer quadratischen Gleichung zu formulieren.

Bestimmung 10

Eine quadratische Gleichung lösen a x 2 + b x + c = 0, notwendig:

• laut Formel D = b 2 − 4 ein c finde den Wert der Diskriminante;
• bei D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• für D = 0 finde die einzige Wurzel der Gleichung durch die Formel x = - b 2 · a ;
• für D > 0 bestimme zwei reelle Wurzeln der quadratischen Gleichung durch die Formel x = - b ± D 2 · a.

Beachten Sie, dass Sie, wenn die Diskriminante Null ist, die Formel x = - b ± D 2 · a verwenden können, sie ergibt das gleiche Ergebnis wie die Formel x = - b 2 · a .

Betrachten Sie Beispiele.

Beispiele zum Lösen quadratischer Gleichungen

Lassen Sie uns eine Beispiellösung für geben verschiedene Werte diskriminierend.

Beispiel 6

Es ist notwendig, die Wurzeln der Gleichung zu finden x 2 + 2 x - 6 = 0.

Lösung

Wir schreiben die numerischen Koeffizienten der quadratischen Gleichung: a \u003d 1, b \u003d 2 und c = − 6. Als nächstes handeln wir nach dem Algorithmus, d.h. Beginnen wir mit der Berechnung der Diskriminante, für die wir die Koeffizienten a , b einsetzen Und C in die Diskriminanzformel: D = b 2 − 4 ein c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Wir haben also D > 0, was bedeutet, dass die ursprüngliche Gleichung zwei reelle Wurzeln haben wird.
Um sie zu finden, verwenden wir die Wurzelformel x \u003d - b ± D 2 · a und setzen die entsprechenden Werte ein und erhalten: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Wir vereinfachen den resultierenden Ausdruck, indem wir den Faktor aus dem Vorzeichen der Wurzel entfernen, gefolgt von einer Kürzung des Bruchs:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 oder x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 oder x = - 1 - 7

Antworten: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .

Beispiel 7

Es ist notwendig, eine quadratische Gleichung zu lösen − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Lösung

Lassen Sie uns die Diskriminante definieren: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. Bei diesem Wert der Diskriminante hat die ursprüngliche Gleichung nur eine Wurzel, bestimmt durch die Formel x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Antworten: x = 3, 5.

Beispiel 8

Es ist notwendig, die Gleichung zu lösen 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Lösung

Die numerischen Koeffizienten dieser Gleichung sind: a = 5 , b = 6 und c = 2 . Wir verwenden diese Werte, um die Diskriminante zu finden: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Die berechnete Diskriminante ist negativ, sodass die ursprüngliche quadratische Gleichung keine echten Wurzeln hat.

Wenn die Aufgabe darin besteht, komplexe Wurzeln anzuzeigen, wenden wir die Wurzelformel an, indem wir Operationen mit komplexen Zahlen ausführen:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 ich 10 oder x \u003d - 6 - 2 ich 10,

x = - 3 5 + 1 5 ich oder x = - 3 5 - 1 5 ich .

Antworten: es gibt keine wirklichen Wurzeln; die komplexen Wurzeln sind: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

IN Lehrplan Standardmäßig ist es nicht erforderlich, nach komplexen Wurzeln zu suchen, daher wird, wenn die Diskriminante während der Lösung als negativ bestimmt wird, sofort die Antwort aufgezeichnet, dass es keine echten Wurzeln gibt.

Wurzelformel für gerade zweite Koeffizienten

Die Wurzelformel x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) ermöglicht es, eine andere, kompaktere Formel zu erhalten, mit der Sie Lösungen für quadratische Gleichungen mit einem geraden Koeffizienten bei x (oder mit einem Koeffizienten der Form 2 a n, zum Beispiel 2 3 oder 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Lassen Sie uns zeigen, wie diese Formel hergeleitet wird.

Angenommen, wir stehen vor der Aufgabe, eine Lösung für die quadratische Gleichung a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 zu finden. Wir gehen nach dem Algorithmus vor: Wir bestimmen die Diskriminante D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) , und verwenden dann die Wurzelformel:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c ein .

Lassen Sie den Ausdruck n 2 − a c als D 1 bezeichnet werden (manchmal wird er als D " bezeichnet). Dann hat die Formel für die Wurzeln der betrachteten quadratischen Gleichung mit dem zweiten Koeffizienten 2 n die Form:

x \u003d - n ± D 1 a, wobei D 1 \u003d n 2 - a c.

Es ist leicht zu sehen, dass D = 4 · D 1 oder D 1 = D 4 . Mit anderen Worten, D 1 ist ein Viertel der Diskriminante. Offensichtlich ist das Vorzeichen von D 1 dasselbe wie das Vorzeichen von D, was bedeutet, dass das Vorzeichen von D 1 auch als Indikator für das Vorhandensein oder Fehlen der Wurzeln einer quadratischen Gleichung dienen kann.

Bestimmung 11

Um also eine Lösung für eine quadratische Gleichung mit einem zweiten Koeffizienten von 2 n zu finden, ist es notwendig:

• finde D 1 = n 2 − ein c ;
• bei D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• für D 1 = 0 bestimme die einzige Wurzel der Gleichung durch die Formel x = - n a ;
• für D 1 > 0 bestimme zwei reelle Nullstellen mit der Formel x = - n ± D 1 a.

Beispiel 9

Es ist notwendig, die quadratische Gleichung 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0 zu lösen.

Lösung

Der zweite Koeffizient der gegebenen Gleichung kann als 2 · (− 3) dargestellt werden. Dann schreiben wir die gegebene quadratische Gleichung um als 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , wobei a = 5 , n = − 3 und c = − 32 .

Berechnen wir den vierten Teil der Diskriminante: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Der resultierende Wert ist positiv, was bedeutet, dass die Gleichung zwei reelle Wurzeln hat. Wir definieren sie durch die entsprechende Wurzelformel:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 oder x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 oder x = - 2

Es wäre möglich, Berechnungen mit der üblichen Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung durchzuführen, aber in diesem Fall wäre die Lösung umständlicher.

Antworten: x = 3 1 5 oder x = - 2 .

Vereinfachung der Form quadratischer Gleichungen

Manchmal ist es möglich, die Form der ursprünglichen Gleichung zu optimieren, was die Berechnung der Wurzeln vereinfacht.

Beispielsweise ist die quadratische Gleichung 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 zum Lösen deutlich bequemer als 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Häufiger erfolgt die Vereinfachung der Form einer quadratischen Gleichung durch Multiplikation oder Division ihrer beiden Teile mit einer bestimmten Zahl. Zum Beispiel haben wir oben eine vereinfachte Darstellung der Gleichung 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0 gezeigt, die man erhält, indem man beide Teile durch 100 dividiert.

Eine solche Transformation ist möglich, wenn die Koeffizienten der quadratischen Gleichung keine relativen Primzahlen sind. Dann ist es üblich, beide Seiten der Gleichung durch die größte zu teilen gemeinsamer Teiler absolute Werte seiner Koeffizienten.

Als Beispiel verwenden wir die quadratische Gleichung 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Definieren wir den ggT der Absolutwerte seiner Koeffizienten: ggT (12 , 42 , 48) = ggT(ggT (12 , 42) , 48) = ggT (6 , 48) = 6 . Teilen wir beide Teile der ursprünglichen quadratischen Gleichung durch 6 und erhalten die äquivalente quadratische Gleichung 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Durch Multiplizieren beider Seiten der quadratischen Gleichung werden Bruchkoeffizienten normalerweise eliminiert. Multiplizieren Sie in diesem Fall mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner seiner Koeffizienten. Wenn beispielsweise jeder Teil der quadratischen Gleichung 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 mit LCM (6, 3, 1) \u003d 6 multipliziert wird, wird mehr geschrieben einfache Form x 2 + 4 x - 18 = 0 .

Schließlich stellen wir fest, dass wir fast immer das Minus beim ersten Koeffizienten der quadratischen Gleichung loswerden, indem wir die Vorzeichen jedes Terms der Gleichung ändern, was durch Multiplizieren (oder Dividieren) beider Teile mit − 1 erreicht wird. Beispielsweise können Sie von der quadratischen Gleichung - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0 zu ihrer vereinfachten Version 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0 wechseln.

Beziehung zwischen Wurzeln und Koeffizienten

Die bereits bekannte Formel für die Wurzeln quadratischer Gleichungen x = - b ± D 2 · a drückt die Wurzeln der Gleichung durch ihre numerischen Koeffizienten aus. Basierend auf dieser Formel haben wir die Möglichkeit, andere Abhängigkeiten zwischen Wurzeln und Koeffizienten einzustellen.

Die bekanntesten und anwendbarsten sind die Formeln des Vieta-Theorems:

x 1 + x 2 \u003d - b a und x 2 \u003d c a.

Insbesondere ist für die gegebene quadratische Gleichung die Summe der Wurzeln der zweite Koeffizient mit dem entgegengesetzten Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Beispielsweise kann durch die Form der quadratischen Gleichung 3 · x 2 - 7 · x + 22 \u003d 0 sofort bestimmt werden, dass die Summe ihrer Wurzeln 7 3 und das Produkt der Wurzeln 22 3 beträgt.

Sie können auch eine Reihe anderer Beziehungen zwischen den Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung finden. Beispielsweise kann die Summe der Quadrate der Wurzeln einer quadratischen Gleichung in Form von Koeffizienten ausgedrückt werden:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c ein 2.

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