So multiplizieren Sie einfache Brüche. Regeln zum Multiplizieren und Dividieren von Brüchen mit einer ganzen Zahl

Multiplikation und Division von Brüchen.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Material im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die stark „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr ...“

Diese Operation ist viel schöner als Addition-Subtraktion! Weil es einfacher ist. Ich erinnere Sie daran: Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die Zähler (dies ist der Zähler des Ergebnisses) und die Nenner (dies ist der Nenner) multiplizieren. Also:

Zum Beispiel:

Alles ist extrem einfach. Und bitte nicht nach einem gemeinsamen Nenner suchen! Brauche es hier nicht...

Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie umdrehen zweite(Das ist wichtig!) Brüche und multipliziere sie, d. h.:

Zum Beispiel:

Wenn die Multiplikation oder Division mit ganzen Zahlen und Brüchen abgefangen wird, ist das in Ordnung. Wie bei der Addition machen wir aus einer ganzen Zahl mit einer Einheit im Nenner einen Bruch – und los! Zum Beispiel:

In der Oberstufe muss man sich oft mit dreistöckigen (oder sogar vierstöckigen!) Brüchen auseinandersetzen. Zum Beispiel:

Wie bringt man diesen Bruch in eine anständige Form? Ja, ganz einfach! Verwenden Sie die Division durch zwei Punkte:

Aber vergessen Sie nicht die Teilungsreihenfolge! Im Gegensatz zur Multiplikation ist dies hier sehr wichtig! Natürlich werden wir 4:2 oder 2:4 nicht verwechseln. Aber in einem dreistöckigen Bruchteil kann man leicht einen Fehler machen. Bitte beachten Sie zum Beispiel:

Im ersten Fall (Ausdruck links):

Im zweiten (Ausdruck rechts):

Fühle den Unterschied? 4 und 1/9!

Wie ist die Reihenfolge der Teilung? Oder Klammern, oder (wie hier) die Länge horizontaler Striche. Entwickle ein Auge. Und wenn es keine Klammern oder Bindestriche gibt, wie zum Beispiel:

dann dividiere-multipliziere der Reihe nach von links nach rechts!

Und noch ein sehr einfacher und wichtiger Trick. Bei Aktionen mit Abschlüssen wird es Ihnen nützlich sein! Teilen wir die Einheit durch einen beliebigen Bruch, zum Beispiel durch 13/15:

Der Schuss ist umgekippt! Und es passiert immer. Wenn man 1 durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur invertiert.

Das sind alle Aktionen mit Brüchen. Die Sache ist recht einfach, liefert aber mehr als genug Fehler. Notiz praktische Ratschläge, und sie (Fehler) werden weniger sein!

Praktische Tipps:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit! Das sind keine gebräuchlichen Worte, keine guten Wünsche! Das ist ein dringendes Bedürfnis! Führen Sie alle Berechnungen der Prüfung als vollwertige Aufgabe, konzentriert und klar durch. Es ist besser, zwei zusätzliche Zeilen in einen Entwurf zu schreiben, als beim Rechnen im Kopf Fehler zu machen.

2. In den Beispielen mit verschiedene Typen Brüche – gehen Sie zu gewöhnlichen Brüchen.

3. Wir reduzieren alle Brüche bis zum Anschlag.

4. Wir reduzieren mehrstufige Bruchausdrücke auf gewöhnliche Ausdrücke, indem wir die Division durch zwei Punkte verwenden (wir folgen der Divisionsreihenfolge!).

5. Wir teilen die Einheit in Gedanken in einen Bruch auf, indem wir den Bruch einfach umdrehen.

Hier sind die Aufgaben, die Sie erledigen müssen. Nach allen Aufgaben werden Antworten gegeben. Nutzen Sie die Materialien zu diesem Thema und praktische Ratschläge. Schätzen Sie, wie viele Beispiele Sie richtig lösen könnten. Das erste Mal! Ohne Taschenrechner! Und ziehen Sie die richtigen Schlussfolgerungen...

Merken Sie sich die richtige Antwort ab dem zweiten (insbesondere dritten) Mal erhalten - zählt nicht! So ist das harte Leben.

So, im Prüfungsmodus lösen ! Das ist übrigens Vorbereitung auf die Prüfung. Wir lösen ein Beispiel, wir prüfen, wir lösen Folgendes. Wir haben alles entschieden – wir haben es vom ersten bis zum letzten noch einmal überprüft. Und nur Dann Schauen Sie sich die Antworten an.

Berechnung:

Haben Sie sich entschieden?

Suchen Sie nach Antworten, die zu Ihren passen. Ich habe sie gezielt durcheinander aufgeschrieben, sozusagen abseits der Versuchung ... Hier sind sie, die Antworten, mit Semikolon aufgeschrieben.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Und jetzt ziehen wir Schlussfolgerungen. Wenn alles geklappt hat, freue ich mich für Sie! Einfache Berechnungen mit Brüchen sind nicht Ihr Problem! Sie können ernstere Dinge tun. Wenn nicht...

Sie haben also eines von zwei Problemen. Oder beides gleichzeitig.) Mangelndes Wissen und (oder) Unaufmerksamkeit. Aber lösbar Probleme.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Multiplikation gewöhnliche Brüche

Betrachten Sie ein Beispiel.

Es sei $\frac(1)(3)$ Teil eines Apfels auf dem Teller. Wir müssen den $\frac(1)(2)$-Teil davon finden. Der benötigte Teil ist das Ergebnis der Multiplikation der Brüche $\frac(1)(3)$ und $\frac(1)(2)$. Das Ergebnis der Multiplikation zweier gemeinsamer Brüche ist ein gemeinsamer Bruch.

Zwei gewöhnliche Brüche multiplizieren

Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche:

Das Ergebnis der Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch ist ein Bruch, dessen Zähler gleich dem Produkt der Zähler der multiplizierten Brüche ist und dessen Nenner gleich dem Produkt der Nenner ist:

Beispiel 1

Multiplizieren Sie gewöhnliche Brüche $\frac(3)(7)$ und $\frac(5)(11)$.

Lösung.

Verwenden wir die Regel der Multiplikation gewöhnlicher Brüche:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Antworten:$\frac(15)(77)$

Wenn durch Multiplikation von Brüchen ein stornierbarer oder unechter Bruch entsteht, muss dieser vereinfacht werden.

Beispiel 2

Multiplizieren Sie die Brüche $\frac(3)(8)$ und $\frac(1)(9)$.

Lösung.

Wir verwenden die Regel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Als Ergebnis erhalten wir einen reduzierbaren Bruch (auf Basis der Division durch $3$). Teilen Sie Zähler und Nenner des Bruchs durch $3$, wir erhalten:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kurze Lösung:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Antworten:$\frac(1)(24).$

Bei der Multiplikation von Brüchen können Sie Zähler und Nenner reduzieren, um deren Produkt zu ermitteln. In diesem Fall werden Zähler und Nenner des Bruchs in einfache Faktoren zerlegt, anschließend werden die sich wiederholenden Faktoren reduziert und das Ergebnis ermittelt.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Produkt der Brüche $\frac(6)(75)$ und $\frac(15)(24)$.

Lösung.

Verwenden wir die Formel zum Multiplizieren gewöhnlicher Brüche:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Offensichtlich enthalten Zähler und Nenner Zahlen, die paarweise um die Zahlen $2$, $3$ und $5$ reduziert werden können. Wir zerlegen Zähler und Nenner in einfache Faktoren und führen die Reduktion durch:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Antworten:$\frac(1)(20).$

Bei der Multiplikation von Brüchen kann das Kommutativgesetz angewendet werden:

Einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren

Die Regel zum Multiplizieren eines gewöhnlichen Bruchs mit einer natürlichen Zahl:

Das Ergebnis der Multiplikation eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl ist ein Bruch, bei dem der Zähler gleich dem Produkt des Zählers des multiplizierten Bruchs mit der natürlichen Zahl und der Nenner gleich dem Nenner des multiplizierten Bruchs ist:

wobei $\frac(a)(b)$ ein gemeinsamer Bruch ist, $n$ eine natürliche Zahl.

Beispiel 4

Multiplizieren Sie den Bruch $\frac(3)(17)$ mit $4$.

Lösung.

Verwenden wir die Regel der Multiplikation eines gewöhnlichen Bruchs mit einer natürlichen Zahl:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Antworten:$\frac(12)(17).$

Vergessen Sie nicht, das Ergebnis der Multiplikation auf die Kontraktibilität eines Bruchs oder auf einen unechten Bruch zu überprüfen.

Beispiel 5

Multiplizieren Sie den Bruch $\frac(7)(15)$ mit $3$.

Lösung.

Verwenden wir die Formel zum Multiplizieren eines Bruchs mit einer natürlichen Zahl:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

Durch das Kriterium der Division durch die Zahl $3$ kann festgestellt werden, dass der resultierende Bruch reduziert werden kann:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Das Ergebnis ist ein unechter Bruch. Nehmen wir den ganzen Teil:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kurze Lösung:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Es war auch möglich, Brüche zu reduzieren, indem man die Zahlen im Zähler und Nenner durch deren Entwicklungen in Primfaktoren ersetzte. In diesem Fall könnte die Lösung wie folgt geschrieben werden:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Antworten:$1\frac(2)(5).$

Wenn Sie einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizieren, können Sie das Kommutativgesetz verwenden:

Division gewöhnlicher Brüche

Die Divisionsoperation ist die Umkehrung der Multiplikation und ihr Ergebnis ist ein Bruch, mit dem Sie einen bekannten Bruch multiplizieren müssen, um ihn zu erhalten berühmtes Werk zwei Brüche.

Division zweier gemeinsamer Brüche

Die Regel zum Teilen gewöhnlicher Brüche: Offensichtlich lassen sich Zähler und Nenner des resultierenden Bruchs in einfache Faktoren zerlegen und reduzieren:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Als Ergebnis erhalten wir einen unechten Bruch, aus dem wir den ganzzahligen Teil auswählen:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Antworten:$1\frac(5)(9).$

§ 87. Addition von Brüchen.

Das Addieren von Brüchen hat viele Ähnlichkeiten mit dem Addieren ganzer Zahlen. Die Addition von Brüchen ist eine Aktion, die darin besteht, dass mehrere gegebene Zahlen (Terme) zu einer Zahl (Summe) zusammengefasst werden, die alle Einheiten und Brüche von Einheiten von Termen enthält.

Wir werden der Reihe nach drei Fälle betrachten:

1. Addition von Brüchen mit gleichen Nennern.
2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Addition gemischter Zahlen.

1. Addition von Brüchen mit gleichen Nennern.

Betrachten Sie ein Beispiel: 1 / 5 + 2 / 5 .

Nehmen Sie das Segment AB (Abb. 17), nehmen Sie es als Einheit und teilen Sie es in 5 gleiche Teile, dann ist der Teil AC dieses Segments gleich 1/5 des Segments AB und der Teil desselben Segments CD wird gleich 2/5 AB sein.

Aus der Zeichnung ist ersichtlich, dass, wenn wir das Segment AD nehmen, es gleich 3/5 AB ist; aber Segment AD ist genau die Summe der Segmente AC und CD. Wir können also schreiben:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Wenn wir diese Terme und den daraus resultierenden Betrag betrachten, sehen wir, dass der Zähler der Summe durch Addition der Zähler der Terme erhalten wurde und der Nenner unverändert blieb.

Daraus erhalten wir folgende Regel: Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und denselben Nenner belassen.

Betrachten Sie ein Beispiel:

2. Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Addieren wir Brüche: 3/4 + 3/8 Zuerst müssen sie auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduziert werden:

Der Zwischenlink 6/8 + 3/8 konnte nicht geschrieben worden sein; Wir haben es hier zur besseren Übersichtlichkeit geschrieben.

Um Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, müssen Sie sie zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, ihre Zähler addieren und den gemeinsamen Nenner vorzeichen.

Betrachten Sie ein Beispiel (wir werden zusätzliche Faktoren über die entsprechenden Brüche schreiben):

3. Addition gemischter Zahlen.

Addieren wir die Zahlen: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.

Bringen wir zunächst die Bruchteile unserer Zahlen auf einen gemeinsamen Nenner und schreiben sie noch einmal um:

Fügen Sie nun der Reihe nach die ganzzahligen und gebrochenen Teile hinzu:

§ 88. Subtraktion von Brüchen.

Die Subtraktion von Brüchen wird auf die gleiche Weise definiert wie die Subtraktion ganzer Zahlen. Dabei handelt es sich um eine Aktion, bei der aus der Summe zweier Terme und einem davon ein anderer Term gefunden wird. Betrachten wir nacheinander drei Fälle:

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichen Nennern.
2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.
3. Subtraktion gemischter Zahlen.

1. Subtraktion von Brüchen mit gleichen Nennern.

Betrachten Sie ein Beispiel:

13 / 15 - 4 / 15

Nehmen wir das Segment AB (Abb. 18), nehmen es als Einheit und teilen es in 15 gleiche Teile; dann beträgt der AC-Teil dieses Segments 1/15 von AB und der AD-Teil desselben Segments entspricht 13/15 AB. Lassen Sie uns ein weiteres Segment ED beiseite legen, das 4/15 AB entspricht.

Wir müssen 4/15 von 13/15 subtrahieren. In der Zeichnung bedeutet dies, dass die Strecke ED von der Strecke AD abgezogen werden muss. Dadurch bleibt das Segment AE erhalten, das 9/15 des Segments AB ausmacht. Wir können also schreiben:

Das von uns erstellte Beispiel zeigt, dass der Zähler der Differenz durch Subtrahieren der Zähler erhalten wurde und der Nenner derselbe blieb.

Um Brüche mit demselben Nenner zu subtrahieren, müssen Sie daher den Zähler des Subtrahenden vom Zähler des Minuenden subtrahieren und den gleichen Nenner belassen.

2. Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern.

Beispiel. 3/4 - 5/8

Lassen Sie uns zunächst diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner reduzieren:

Der Zwischenlink 6 / 8 - 5 / 8 wird hier der Übersichtlichkeit halber geschrieben, kann aber in Zukunft übersprungen werden.

Um also einen Bruch von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie diese zunächst auf den kleinsten gemeinsamen Nenner bringen, dann den Zähler des Subtrahenden vom Zähler des Minuenden subtrahieren und den gemeinsamen Nenner unter ihrer Differenz unterschreiben.

Betrachten Sie ein Beispiel:

3. Subtraktion gemischter Zahlen.

Beispiel. 10 3/4 - 7 2/3 .

Bringen wir die Bruchteile des Minuends und des Subtrahends auf den kleinsten gemeinsamen Nenner:

Wir subtrahierten ein Ganzes von einem Ganzen und einen Bruch von einem Bruch. Es gibt jedoch Fälle, in denen der Nachkommateil des Subtrahends größer ist als der Nachkommateil des Minuenden. In solchen Fällen müssen Sie eine Einheit aus dem ganzzahligen Teil des Reduzierten nehmen, sie in die Teile aufteilen, in denen der Bruchteil ausgedrückt wird, und zum Bruchteil des Reduzierten addieren. Und dann wird die Subtraktion auf die gleiche Weise wie im vorherigen Beispiel durchgeführt:

§ 89. Multiplikation von Brüchen.

Bei der Untersuchung der Multiplikation von Brüchen werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:

1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.
2. Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl.
3. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch.
4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.
5. Multiplikation gemischter Zahlen.
6. Der Begriff des Interesses.
7. Prozentsätze einer bestimmten Zahl ermitteln. Betrachten wir sie der Reihe nach.

1. Einen Bruch mit einer ganzen Zahl multiplizieren.

Das Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl hat die gleiche Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einer ganzen Zahl. Das Multiplizieren eines Bruchs (Multiplikators) mit einer ganzen Zahl (Multiplikator) bedeutet, die Summe identischer Terme zu bilden, wobei jeder Term gleich dem Multiplikanden und die Anzahl der Terme gleich dem Multiplikator ist.

Wenn Sie also 1/9 mit 7 multiplizieren müssen, können Sie dies folgendermaßen tun:

Wir haben das Ergebnis leicht erhalten, da die Aktion auf das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner reduziert wurde. Somit,

Die Betrachtung dieser Aktion zeigt, dass die Multiplikation eines Bruchs mit einer ganzen Zahl gleichbedeutend damit ist, diesen Bruch so oft zu erhöhen, wie es Einheiten in der ganzen Zahl gibt. Und da die Erhöhung des Bruchs entweder durch Erhöhen seines Zählers erreicht wird

oder indem man seinen Nenner verringert , dann können wir entweder den Zähler mit der ganzen Zahl multiplizieren oder den Nenner durch sie dividieren, sofern eine solche Division möglich ist.

Von hier aus erhalten wir die Regel:

Um einen Bruch mit einer ganzen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dieser ganzen Zahl multiplizieren und den Nenner gleich lassen oder, wenn möglich, den Nenner durch diese Zahl dividieren und den Zähler unverändert lassen.

Beim Multiplizieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

2. Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl. Es gibt viele Probleme, bei denen Sie einen Teil einer bestimmten Zahl finden oder berechnen müssen. Der Unterschied zwischen diesen Aufgaben und anderen besteht darin, dass sie die Anzahl einiger Objekte oder Maßeinheiten angeben und Sie einen Teil dieser Zahl finden müssen, der hier auch durch einen bestimmten Bruch angegeben wird. Um das Verständnis zu erleichtern, geben wir zunächst Beispiele für solche Probleme und stellen dann die Methode zu ihrer Lösung vor.

Aufgabe 1. Ich hatte 60 Rubel; 1/3 dieses Geldes habe ich für den Kauf von Büchern ausgegeben. Wie viel haben die Bücher gekostet?

Aufgabe 2. Der Zug muss die Entfernung zwischen den Städten A und B zurücklegen, was 300 km entspricht. Zwei Drittel dieser Strecke hat er bereits zurückgelegt. Wie viele Kilometer sind das?

Aufgabe 3. Es gibt 400 Häuser im Dorf, 3/4 davon sind aus Ziegeln, der Rest ist aus Holz. Wie viele Backsteinhäuser gibt es?

Hier sind einige der vielen Probleme, mit denen wir uns befassen müssen, um einen Bruchteil einer bestimmten Zahl zu finden. Sie werden üblicherweise als Probleme zum Finden eines Bruchteils einer gegebenen Zahl bezeichnet.

Lösung von Problem 1. Ab 60 Rubel. Ich habe 1/3 für Bücher ausgegeben; Um den Preis für Bücher zu ermitteln, müssen Sie also die Zahl 60 durch 3 teilen:

Lösung für Problem 2. Die Bedeutung des Problems besteht darin, dass Sie 2/3 von 300 km finden müssen. Berechnen Sie das erste Drittel von 300; Dies wird erreicht, indem man 300 km durch 3 teilt:

300: 3 = 100 (das ist 1/3 von 300).

Um zwei Drittel von 300 zu finden, müssen Sie den resultierenden Quotienten verdoppeln, also mit 2 multiplizieren:

100 x 2 = 200 (das sind 2/3 von 300).

Lösung von Problem 3. Hier müssen Sie die Anzahl der Backsteinhäuser bestimmen, die 3/4 von 400 beträgt. Lassen Sie uns zunächst 1/4 von 400 ermitteln.

400: 4 = 100 (das ist 1/4 von 400).

Um drei Viertel von 400 zu berechnen, muss der resultierende Quotient verdreifacht, also mit 3 multipliziert werden:

100 x 3 = 300 (das sind 3/4 von 400).

Basierend auf der Lösung dieser Probleme können wir die folgende Regel ableiten:

Um den Wert eines Bruchs einer bestimmten Zahl zu ermitteln, müssen Sie diese Zahl durch den Nenner des Bruchs dividieren und den resultierenden Quotienten mit seinem Zähler multiplizieren.

3. Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch.

Zuvor (§ 26) wurde festgelegt, dass unter der Multiplikation ganzer Zahlen die Addition identischer Terme (5 x 4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20) zu verstehen ist. In diesem Absatz (Absatz 1) wurde festgelegt, dass das Multiplizieren eines Bruchs mit einer ganzen Zahl bedeutet, die Summe identischer Terme zu finden, die diesem Bruch entspricht.

In beiden Fällen bestand die Multiplikation darin, die Summe identischer Terme zu ermitteln.

Jetzt gehen wir dazu über, eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren. Hier werden wir zum Beispiel auf eine solche Multiplikation stoßen: 9 2 / 3. Es liegt auf der Hand, dass die bisherige Definition der Multiplikation auf diesen Fall nicht anwendbar ist. Dies wird aus der Tatsache deutlich, dass wir eine solche Multiplikation nicht durch Addition gleicher Zahlen ersetzen können.

Aus diesem Grund müssen wir die Multiplikation neu definieren, also mit anderen Worten die Frage beantworten, was unter Multiplikation mit einem Bruch zu verstehen ist und wie diese Aktion zu verstehen ist.

Die Bedeutung der Multiplikation einer ganzen Zahl mit einem Bruch wird aus der folgenden Definition deutlich: Eine ganze Zahl (Multiplikator) mit einem Bruch (Multiplikator) zu multiplizieren bedeutet, diesen Bruchteil des Multiplikators zu finden.

Das heißt, 9 mit 2/3 zu multiplizieren bedeutet, 2/3 von neun Einheiten zu finden. Im vorherigen Absatz wurden solche Probleme gelöst; Es ist also leicht herauszufinden, dass wir am Ende 6 haben.

Doch nun stellt sich eine interessante und wichtige Frage: Warum so auf den ersten Blick verschiedene Aktivitäten, wie das Ermitteln der Summe gleicher Zahlen und das Ermitteln des Bruchteils einer Zahl, wird in der Arithmetik dasselbe Wort „Multiplikation“ genannt?

Dies geschieht, weil die vorherige Aktion (mehrmaliges Wiederholen der Zahl mit Begriffen) und die neue Aktion (Ermitteln des Bruchteils einer Zahl) eine Antwort auf homogene Fragen geben. Das heißt, wir gehen hier von der Überlegung aus, dass homogene Fragestellungen oder Aufgaben durch ein und dieselbe Handlung gelöst werden.

Um dies zu verstehen, betrachten Sie das folgende Problem: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel kosten 4 m eines solchen Stoffes?

Dieses Problem wird gelöst, indem man die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (4) multipliziert, also 50 x 4 = 200 (Rubel).

Nehmen wir das gleiche Problem, aber darin wird die Stoffmenge als Bruchzahl ausgedrückt: „1 m Stoff kostet 50 Rubel. Wie viel kosten 3/4 m eines solchen Tuches?

Dieses Problem muss auch gelöst werden, indem die Anzahl der Rubel (50) mit der Anzahl der Meter (3/4) multipliziert wird.

Sie können die darin enthaltenen Zahlen auch mehrmals ändern, ohne die Bedeutung der Aufgabe zu ändern, z. B. 9/10 m oder 2 3/10 m usw.

Da diese Probleme den gleichen Inhalt haben und sich nur in der Zahl unterscheiden, nennen wir die zu ihrer Lösung verwendeten Aktionen das gleiche Wort – Multiplikation.

Wie wird eine ganze Zahl mit einem Bruch multipliziert?

Nehmen wir die im letzten Problem gefundenen Zahlen:

Laut Definition müssen wir 3/4 von 50 finden. Zuerst finden wir 1/4 von 50 und dann 3/4.

1/4 von 50 ist 50/4;

3/4 von 50 ist .

Somit.

Betrachten Sie ein anderes Beispiel: 12 5 / 8 = ?

1/8 von 12 ist 12/8,

5/8 der Zahl 12 ist .

Somit,

Von hier aus erhalten wir die Regel:

Um eine ganze Zahl mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie die ganze Zahl mit dem Zähler des Bruchs multiplizieren, dieses Produkt zum Zähler machen und den Nenner des gegebenen Bruchs als Nenner vorzeichen.

Wir schreiben diese Regel mit Buchstaben:

Um diese Regel vollkommen zu verdeutlichen, sollte man bedenken, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 dargelegten Regel zur Multiplikation einer Zahl mit einem Quotienten zu vergleichen

Es muss daran erinnert werden, dass Sie (wenn möglich) vor der Multiplikation Folgendes tun sollten: Schnitte, Zum Beispiel:

4. Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren. Das Multiplizieren eines Bruchs mit einem Bruch hat die gleiche Bedeutung wie das Multiplizieren einer ganzen Zahl mit einem Bruch. Das heißt, wenn Sie einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, müssen Sie den Bruch im Multiplikator aus dem ersten Bruch (Multiplikator) finden.

Das heißt, die Multiplikation von 3/4 mit 1/2 (die Hälfte) bedeutet, die Hälfte von 3/4 zu finden.

Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?

Nehmen wir ein Beispiel: 3/4 mal 5/7. Das bedeutet, dass Sie 5/7 aus 3/4 finden müssen. Finden Sie zuerst 1/7 von 3/4 und dann 5/7

1/7 von 3/4 würde so ausgedrückt werden:

5 / 7 Zahlen 3 / 4 werden wie folgt ausgedrückt:

Auf diese Weise,

Ein weiteres Beispiel: 5/8 mal 4/9.

1/9 von 5/8 ist,

4/9 Zahlen 5/8 sind .

Auf diese Weise,

Aus diesen Beispielen lässt sich folgende Regel ableiten:

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner multiplizieren und das erste Produkt zum Zähler und das zweite Produkt zum Nenner des Produkts machen.

Das ist die Regel in Gesamtansicht kann so geschrieben werden:

Bei der Multiplikation müssen (wenn möglich) Kürzungen vorgenommen werden. Betrachten Sie Beispiele:

5. Multiplikation gemischter Zahlen. Da gemischte Zahlen leicht durch unechte Brüche ersetzt werden können, wird dieser Umstand meist bei der Multiplikation gemischter Zahlen genutzt. Das bedeutet, dass in den Fällen, in denen der Multiplikand oder der Multiplikator oder beide Faktoren als gemischte Zahlen ausgedrückt werden, diese durch unechte Brüche ersetzt werden. Multiplizieren Sie beispielsweise gemischte Zahlen: 2 1/2 und 3 1/5. Wir wandeln jeden von ihnen in einen unechten Bruch um und multiplizieren dann die resultierenden Brüche gemäß der Regel der Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch:

Regel. Um gemischte Zahlen zu multiplizieren, müssen Sie sie zunächst in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel der Multiplikation eines Bruchs mit einem Bruch multiplizieren.

Notiz. Ist einer der Faktoren eine ganze Zahl, dann kann die Multiplikation nach dem Verteilungsgesetz wie folgt durchgeführt werden:

6. Der Begriff des Interesses. Beim Lösen von Problemen und bei der Durchführung verschiedener praktischer Berechnungen verwenden wir alle Arten von Brüchen. Man muss jedoch bedenken, dass viele Größen keine, sondern natürliche Unterteilungen zulassen. Sie können zum Beispiel ein Hundertstel (1/100) eines Rubels nehmen, es ist ein Penny, zwei Hundertstel sind 2 Kopeken, drei Hundertstel sind 3 Kopeken. Sie können 1/10 des Rubels nehmen, es sind „10 Kopeken“ oder ein Cent. Sie können ein Viertel des Rubels nehmen, also 25 Kopeken, einen halben Rubel, also 50 Kopeken (fünfzig Kopeken). Aber das ist praktisch nicht der Fall Nehmen Sie zum Beispiel nicht 2/7 Rubel, weil der Rubel nicht in Siebtel unterteilt ist.

Die Maßeinheit für das Gewicht, also das Kilogramm, erlaubt vor allem dezimale Unterteilungen, zum Beispiel 1/10 kg oder 100 g. Und Bruchteile eines Kilogramms wie 1/6, 1/11, 1/13 sind selten.

Im Allgemeinen sind unsere (metrischen) Maße dezimal und ermöglichen dezimale Unterteilungen.

Es ist jedoch zu beachten, dass es in den unterschiedlichsten Fällen äußerst nützlich und praktisch ist, die gleiche (einheitliche) Methode zur Unterteilung von Mengen zu verwenden. Die langjährige Erfahrung hat gezeigt, dass eine solche wohlbegründete Teilung die „Hundertstel“-Teilung ist. Betrachten wir einige Beispiele aus den unterschiedlichsten Bereichen der menschlichen Praxis.

1. Der Preis für Bücher ist um 12/100 des vorherigen Preises gesunken.

Beispiel. Der bisherige Preis des Buches beträgt 10 Rubel. Sie ist um 1 Rubel gesunken. 20 Kop.

2. Sparkassen zahlen den Einlegern im Laufe des Jahres 2/100 des eingezahlten Betrags aus.

Beispiel. 500 Rubel werden in die Kasse eingezahlt, das Jahreseinkommen aus diesem Betrag beträgt 10 Rubel.

3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5/100 der Gesamtzahl der Schüler.

BEISPIEL An der Schule studierten nur 1.200 Schüler, 60 von ihnen schlossen die Schule ab.

Das Hundertstel einer Zahl wird als Prozentsatz bezeichnet..

Das Wort „Prozent“ ist dem Lateinischen entlehnt und seine Wurzel „Cent“ bedeutet einhundert. Zusammen mit der Präposition (pro centum) bedeutet dieses Wort „für hundert“. Die Bedeutung dieses Ausdrucks ergibt sich aus der Tatsache, dass zunächst in antikes Rom Zinsen waren das Geld, das der Schuldner dem Kreditgeber „pro Hundert“ zahlte. Das Wort „Cent“ hört man in so bekannten Worten: Centner (einhundert Kilogramm), Zentimeter (man sagt Zentimeter).

Anstatt beispielsweise zu sagen, dass die Anlage 1/100 aller von ihr im vergangenen Monat produzierten Produkte produziert hat, sagen wir Folgendes: Die Anlage hat im vergangenen Monat ein Prozent des Ausschusses produziert. Anstatt zu sagen: Das Werk hat 4/100 Produkte mehr produziert als der festgelegte Plan, sagen wir: Das Werk hat den Plan um 4 Prozent übertroffen.

Die obigen Beispiele können unterschiedlich ausgedrückt werden:

1. Der Preis für Bücher ist um 12 Prozent des vorherigen Preises gesunken.

2. Sparkassen zahlen den Einlegern jährlich 2 Prozent des eingezahlten Betrags.

3. Die Zahl der Absolventen einer Schule betrug 5 Prozent der Zahl aller Schüler der Schule.

Um den Buchstaben zu verkürzen, ist es üblich, anstelle des Wortes „Prozent“ das %-Zeichen zu schreiben.

Es muss jedoch beachtet werden, dass das %-Zeichen normalerweise nicht in Berechnungen geschrieben wird, sondern in der Problemstellung und im Endergebnis. Wenn Sie Berechnungen durchführen, müssen Sie mit diesem Symbol einen Bruch mit einem Nenner von 100 anstelle einer ganzen Zahl schreiben.

Sie müssen in der Lage sein, eine ganze Zahl mit dem angegebenen Symbol durch einen Bruch mit dem Nenner 100 zu ersetzen:

Umgekehrt müssen Sie sich daran gewöhnen, mit dem angegebenen Symbol eine ganze Zahl anstelle eines Bruchs mit dem Nenner 100 zu schreiben:

7. Prozentsätze einer bestimmten Zahl ermitteln.

Aufgabe 1. Die Schule erhielt 200 Kubikmeter. m Brennholz, davon 30 % Birkenbrennholz. Wie viel Birkenholz gab es?

Die Bedeutung dieses Problems besteht darin, dass Birkenbrennholz nur ein Teil des an die Schule gelieferten Brennholzes war und dieser Teil als Bruchteil von 30/100 ausgedrückt wird. Wir stehen also vor der Aufgabe, den Bruchteil einer Zahl zu finden. Um es zu lösen, müssen wir 200 mit 30 / 100 multiplizieren (Aufgaben zum Ermitteln des Bruchteils einer Zahl werden durch Multiplizieren einer Zahl mit einem Bruch gelöst).

30 % von 200 sind also 60.

Der in diesem Problem vorkommende Bruch 30 / 100 kann um 10 reduziert werden. Es wäre möglich, diese Reduzierung von Anfang an durchzuführen; Die Lösung des Problems würde sich nicht ändern.

Aufgabe 2. Im Lager befanden sich 300 Kinder unterschiedlichen Alters. Bei Kindern im Alter von 11 Jahren lag der Anteil bei 21 %, bei Kindern im Alter von 12 Jahren bei 61 % und bei Kindern im Alter von 13 Jahren schließlich bei 18 %. Wie viele Kinder jeden Alters waren im Lager?

Bei diesem Problem müssen Sie drei Berechnungen durchführen, d. h. nacheinander die Anzahl der Kinder im Alter von 11 Jahren, dann im Alter von 12 Jahren und schließlich im Alter von 13 Jahren ermitteln.

Hier müssen Sie also dreimal den Bruchteil einer Zahl finden. Lass es uns tun:

1) Wie viele Kinder waren 11 Jahre alt?

2) Wie viele Kinder waren 12 Jahre alt?

3) Wie viele Kinder waren 13 Jahre alt?

Nach Lösung des Problems ist es sinnvoll, die gefundenen Zahlen zu addieren; ihre Summe sollte 300 betragen:

63 + 183 + 54 = 300

Beachten Sie auch, dass die Summe der in der Aufgabenstellung angegebenen Prozentsätze 100 beträgt:

21% + 61% + 18% = 100%

Das deutet darauf hin Gesamtzahl Kinder, die im Lager waren, wurden zu 100 % berücksichtigt.

3 a da cha 3. Der Arbeiter erhielt 1.200 Rubel pro Monat. Davon gab er 65 % für Lebensmittel aus, 6 % für eine Wohnung und Heizung, 4 % für Gas, Strom und Radio, 10 % für kulturelle Zwecke und 15 % sparte er. Wie viel Geld wurde für die in der Aufgabe angegebenen Bedürfnisse ausgegeben?

Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie fünfmal einen Bruchteil der Zahl 1.200 finden. Machen wir es.

1) Wie viel Geld wird für Lebensmittel ausgegeben? Die Aufgabe besagt, dass dieser Aufwand 65 % aller Einnahmen ausmacht, also 65/100 der Zahl 1.200. Machen wir die Rechnung:

2) Wie viel Geld wurde für eine Wohnung mit Heizung bezahlt? Wenn wir wie zuvor argumentieren, kommen wir zu folgender Berechnung:

3) Wie viel Geld haben Sie für Gas, Strom und Radio bezahlt?

4) Wie viel Geld wird für kulturelle Bedürfnisse ausgegeben?

5) Wie viel Geld hat der Arbeitnehmer gespart?

Zur Überprüfung ist es sinnvoll, die in diesen 5 Fragen gefundenen Zahlen zu addieren. Der Betrag sollte 1.200 Rubel betragen. Alle Einnahmen werden als 100 % angenommen, was sich leicht überprüfen lässt, indem man die in der Problemstellung angegebenen Prozentsätze addiert.

Wir haben drei Probleme gelöst. Obwohl es bei diesen Aufgaben um unterschiedliche Dinge ging (Lieferung von Brennholz für die Schule, Anzahl der Kinder unterschiedlichen Alters, Kosten des Arbeiters), wurden sie auf die gleiche Weise gelöst. Dies geschah, weil es bei allen Aufgaben darum ging, einige Prozent der vorgegebenen Zahlen zu finden.

§ 90. Division von Brüchen.

Bei der Untersuchung der Division von Brüchen werden wir die folgenden Fragen berücksichtigen:

1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.
2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl
3. Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch.
4. Division eines Bruchs durch einen Bruch.
5. Division gemischter Zahlen.
6. Finden einer Zahl anhand ihres Bruchs.
7. Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln.

Betrachten wir sie der Reihe nach.

1. Teilen Sie eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl.

Wie im Abschnitt über ganze Zahlen bereits erwähnt wurde, ist Division die Aktion, die darin besteht, dass aus dem Produkt zweier Faktoren (dem Dividenden) und einem dieser Faktoren (dem Divisor) ein anderer Faktor gefunden wird.

Die Division einer ganzen Zahl durch eine ganze Zahl haben wir in der Abteilung der ganzen Zahlen betrachtet. Wir haben dort zwei Fälle von Division kennengelernt: Division ohne Rest oder „ganz“ (150: 10 = 15) und Division mit Rest (100: 9 = 11 und 1 im Rest). Wir können daher sagen, dass im Bereich der ganzen Zahlen eine exakte Division nicht immer möglich ist, da der Dividend nicht immer das Produkt aus dem Divisor und der ganzen Zahl ist. Nach der Einführung der Multiplikation mit einem Bruch können wir jeden Fall der Division von ganzen Zahlen als möglich betrachten (nur die Division durch Null ist ausgeschlossen).

Wenn man beispielsweise 7 durch 12 dividiert, findet man eine Zahl, deren Produkt mal 12 7 ergibt. Diese Zahl ist der Bruch 7/12, weil 7/12 12 = 7. Ein weiteres Beispiel: 14: 25 = 14/25, weil 14/25 25 = 14.

Um also eine ganze Zahl durch eine ganze Zahl zu dividieren, müssen Sie einen Bruch bilden, dessen Zähler gleich dem Dividenden und dessen Nenner der Divisor ist.

2. Division eines Bruchs durch eine ganze Zahl.

Teilen Sie den Bruch 6 / 7 durch 3. Gemäß der oben gegebenen Divisionsdefinition haben wir hier das Produkt (6 / 7) und einen der Faktoren (3); Es ist erforderlich, einen solchen zweiten Faktor zu finden, der sich aus der Multiplikation mit 3 ergeben würde diese Arbeit 6/7. Offensichtlich sollte es dreimal kleiner sein als dieses Produkt. Das bedeutet, dass die vor uns liegende Aufgabe darin bestand, den Bruch 6/7 um das Dreifache zu reduzieren.

Wir wissen bereits, dass die Reduktion eines Bruchs entweder durch Verringern seines Zählers oder durch Erhöhen seines Nenners erfolgen kann. Daher können Sie schreiben:

IN dieser Fall Zähler 6 ist durch 3 teilbar, daher sollte der Zähler um das Dreifache reduziert werden.

Nehmen wir ein anderes Beispiel: 5 / 8 geteilt durch 2. Hier ist der Zähler 5 nicht durch 2 teilbar, was bedeutet, dass der Nenner mit dieser Zahl multipliziert werden muss:

Auf dieser Grundlage können wir die Regel formulieren: Um einen Bruch durch eine ganze Zahl zu dividieren, müssen Sie den Zähler des Bruchs durch diese ganze Zahl dividieren(wenn möglich), Belassen Sie den gleichen Nenner oder multiplizieren Sie den Nenner des Bruchs mit dieser Zahl und lassen Sie den gleichen Zähler übrig.

3. Division einer ganzen Zahl durch einen Bruch.

Angenommen, es soll 5 durch 1/2 geteilt werden, d. h. eine Zahl finden, die nach Multiplikation mit 1/2 das Produkt 5 ergibt. Offensichtlich muss diese Zahl größer als 5 sein, da 1/2 ein echter Bruch ist. und wenn man eine Zahl mit einem echten Bruch multipliziert, muss das Produkt kleiner als der Multiplikand sein. Um es klarer zu machen, schreiben wir unsere Aktionen wie folgt: 5: 1 / 2 = X , also x 1 / 2 = 5.

Wir müssen eine solche Zahl finden X , was bei Multiplikation mit 1/2 5 ergeben würde. Da das Multiplizieren einer bestimmten Zahl mit 1/2 bedeutet, die Hälfte dieser Zahl zu finden, ergibt sich somit die Hälfte der unbekannten Zahl X ist 5 und die ganze Zahl X doppelt so viel, d.h. 5 2 \u003d 10.

Also 5: 1 / 2 = 5 · 2 = 10

Lass uns das Prüfen:

Betrachten wir noch ein Beispiel. Es sei erforderlich, 6 durch 2/3 zu dividieren. Versuchen wir zunächst anhand der Zeichnung (Abb. 19) das gewünschte Ergebnis zu finden.

Abb.19

Zeichnen Sie ein Segment AB, das 6 Einheiten entspricht, und teilen Sie jede Einheit in 3 gleiche Teile. In jeder Einheit sind drei Drittel (3/3) im gesamten Segment AB sechsmal größer, d. h. B. 18/3. Wir verbinden mit Hilfe kleiner Klammern 18 erhaltene Segmente von 2; Es wird nur 9 Segmente geben. Dies bedeutet, dass der Bruch 2/3 9-mal in b-Einheiten enthalten ist, oder mit anderen Worten, der Bruch 2/3 ist 9-mal kleiner als 6 ganzzahlige Einheiten. Somit,

Wie erhält man dieses Ergebnis ohne eine Zeichnung und nur mit Berechnungen? Wir werden wie folgt argumentieren: Es ist erforderlich, 6 durch 2 / 3 zu dividieren, d. h. es ist erforderlich, die Frage zu beantworten, wie oft 2 / 3 in 6 enthalten ist. Lassen Sie uns zunächst herausfinden: Wie oft ist 1 / 3 enthalten in 6? In einer ganzen Einheit – 3 Drittel und in 6 Einheiten – 6-mal mehr, d.h. 18 Drittel; Um diese Zahl zu finden, müssen wir 6 mit 3 multiplizieren. Daher ist 1/3 18-mal in b-Einheiten enthalten, und 2/3 ist nicht 18-mal, sondern halb so oft in b-Einheiten enthalten, d. h. 18:2 = 9 Deshalb haben wir bei der Division von 6 durch 2/3 Folgendes getan:

Von hier aus erhalten wir die Regel zum Teilen einer ganzen Zahl durch einen Bruch. Um eine ganze Zahl durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie diese ganze Zahl mit dem Nenner des gegebenen Bruchs multiplizieren und dieses Produkt zum Zähler machen und es durch den Zähler des gegebenen Bruchs dividieren.

Wir schreiben die Regel mit Buchstaben:

Um diese Regel vollkommen zu verdeutlichen, sollte man bedenken, dass ein Bruch als Quotient betrachtet werden kann. Daher ist es sinnvoll, die gefundene Regel mit der in § 38 dargelegten Regel zur Division einer Zahl durch einen Quotienten zu vergleichen. Beachten Sie, dass dort die gleiche Formel erhalten wurde.

Beim Dividieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

4. Division eines Bruchs durch einen Bruch.

Es sei erforderlich, 3/4 durch 3/8 zu teilen. Was ist die Zahl, die man durch Division erhält? Es wird die Frage beantworten, wie oft der Bruch 3/8 im Bruch 3/4 enthalten ist. Um dieses Problem zu verstehen, erstellen wir eine Zeichnung (Abb. 20).

Nehmen Sie das Segment AB, nehmen Sie es als Einheit, teilen Sie es in 4 gleiche Teile und markieren Sie 3 solcher Teile. Segment AC entspricht 3/4 von Segment AB. Teilen wir nun jedes der vier Anfangssegmente in zwei Hälften, dann wird das Segment AB in 8 gleiche Teile geteilt und jeder dieser Teile entspricht 1/8 des Segments AB. Wir verbinden 3 solcher Segmente mit Bögen, dann ist jedes der Segmente AD und DC gleich 3/8 des Segments AB. Die Zeichnung zeigt, dass das Segment gleich 3/8 genau zweimal im Segment gleich 3/4 enthalten ist; Das Ergebnis der Division lässt sich also wie folgt schreiben:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Betrachten wir noch ein Beispiel. Es sei erforderlich, 15/16 durch 3/32 zu dividieren:

Wir können so argumentieren: Wir müssen eine Zahl finden, die nach Multiplikation mit 3/32 ein Produkt von 15/16 ergibt. Schreiben wir die Berechnungen so:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 unbekannte Nummer X 15/16 ausmachen

1/32 unbekannte Nummer X Ist ,

32 / 32 Zahlen X bilden .

Somit,

Um also einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten multiplizieren und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten multiplizieren und das erste Produkt aus Zähler und machen zweitens der Nenner.

Schreiben wir die Regel mit Buchstaben:

Beim Dividieren sind Abkürzungen möglich, zum Beispiel:

5. Division gemischter Zahlen.

Beim Dividieren gemischter Zahlen müssen diese zunächst in unechte Brüche umgewandelt werden, und dann sollten die resultierenden Brüche gemäß den Regeln zum Dividieren von Bruchzahlen dividiert werden. Betrachten Sie ein Beispiel:

Wandeln Sie gemischte Zahlen in unechte Brüche um:

Jetzt teilen wir uns auf:

Um gemischte Zahlen zu dividieren, müssen Sie sie also in unechte Brüche umwandeln und dann gemäß der Regel zum Dividieren von Brüchen dividieren.

6. Finden einer Zahl anhand ihres Bruchs.

Unter den verschiedenen Aufgaben zu Brüchen gibt es manchmal solche, bei denen der Wert eines Bruchs einer unbekannten Zahl angegeben ist und es darum geht, diese Zahl zu finden. Diese Art von Problem ist das Gegenteil des Problems, einen Bruchteil einer gegebenen Zahl zu finden. dort wurde eine Zahl angegeben und es galt, einen Bruchteil dieser Zahl zu finden, hier ist ein Bruchteil einer Zahl angegeben und es galt, diese Zahl selbst zu finden. Diese Idee wird noch klarer, wenn wir uns der Lösung dieser Art von Problemen zuwenden.

Aufgabe 1. Am ersten Tag verglasten Glaser 50 Fenster, also 1/3 aller Fenster des gebauten Hauses. Wie viele Fenster hat dieses Haus?

Lösung. Das Problem besagt, dass 50 verglaste Fenster 1/3 aller Fenster des Hauses ausmachen, was bedeutet, dass insgesamt dreimal mehr Fenster vorhanden sind, d. h.

Das Haus hatte 150 Fenster.

Aufgabe 2. Der Laden verkaufte 1.500 kg Mehl, was 3/8 des gesamten Mehlbestands im Laden entspricht. Wie hoch war der anfängliche Mehlvorrat des Geschäfts?

Lösung. Aus dem Problemzustand ist ersichtlich, dass die verkauften 1.500 kg Mehl 3/8 des Gesamtbestandes ausmachen; das bedeutet, dass 1/8 dieses Bestands dreimal weniger ausfällt, d. h. um ihn zu berechnen, müssen Sie 1500 um das Dreifache reduzieren:

1.500: 3 = 500 (das ist 1/8 des Bestands).

Offensichtlich wird der gesamte Bestand achtmal größer sein. Somit,

500 8 \u003d 4.000 (kg).

Der anfängliche Mehlvorrat im Lager betrug 4.000 kg.

Aus der Betrachtung dieses Problems lässt sich die folgende Regel ableiten.

Um eine Zahl anhand eines bestimmten Werts ihres Bruchs zu finden, reicht es aus, diesen Wert durch den Zähler des Bruchs zu dividieren und das Ergebnis mit dem Nenner des Bruchs zu multiplizieren.

Wir haben zwei Probleme beim Finden einer Zahl mit gegebenem Bruch gelöst. Solche Probleme werden, wie aus dem letzten besonders deutlich hervorgeht, durch zwei Aktionen gelöst: Division (wenn ein Teil gefunden wird) und Multiplikation (wenn die ganze Zahl gefunden wird).

Nachdem wir jedoch die Division von Brüchen untersucht haben, können die oben genannten Probleme in einer Aktion gelöst werden, nämlich: Division durch einen Bruch.

Die letzte Aufgabe kann beispielsweise in einer Aktion wie folgt gelöst werden:

In Zukunft werden wir das Problem, eine Zahl anhand ihres Bruchs zu finden, in einer Aktion lösen – der Division.

7. Eine Zahl anhand ihres Prozentsatzes ermitteln.

Bei diesen Aufgaben müssen Sie eine Zahl finden und dabei einige Prozent dieser Zahl kennen.

Aufgabe 1. Anfang dieses Jahres erhielt ich 60 Rubel von der Sparkasse. Einnahmen aus dem Betrag, den ich vor einem Jahr angespart habe. Wie viel Geld habe ich bei der Sparkasse eingezahlt? (Kassen stellen den Einlegern 2 % des Einkommens pro Jahr zur Verfügung.)

Der Sinn des Problems besteht darin, dass ich einen bestimmten Geldbetrag auf eine Sparkasse gelegt habe und dort ein Jahr lang lag. Nach einem Jahr erhielt ich 60 Rubel von ihr. Einkommen, das 2/100 des Geldes beträgt, das ich eingezahlt habe. Wie viel Geld habe ich eingezahlt?

Wenn wir also den Teil dieses Geldes kennen, der auf zwei Arten ausgedrückt wird (in Rubel und in Bruchteilen), müssen wir den gesamten, noch unbekannten Betrag ermitteln. Dies ist ein gewöhnliches Problem beim Finden einer Zahl mit gegebenem Bruchteil. Folgende Aufgaben werden durch Division gelöst:

Also wurden 3.000 Rubel auf die Sparkasse eingezahlt.

Aufgabe 2. In zwei Wochen erfüllten die Fischer den Monatsplan zu 64 %, indem sie 512 Tonnen Fisch zubereiteten. Was war ihr Plan?

Aus dem Zustand des Problems geht hervor, dass die Fischer einen Teil des Plans abgeschlossen haben. Dieser Teil entspricht 512 Tonnen, was 64 % des Plans entspricht. Wie viele Tonnen Fisch laut Plan geerntet werden müssen, wissen wir nicht. Die Lösung des Problems besteht darin, diese Nummer zu finden.

Solche Aufgaben werden gelöst durch die Aufteilung:

Dem Plan zufolge müssen Sie also 800 Tonnen Fisch zubereiten.

Aufgabe 3. Der Zug fuhr von Riga nach Moskau. Als er Kilometer 276 passiert hatte, fragte einer der Passagiere den vorbeifahrenden Schaffner, wie viel von der Strecke sie bereits zurückgelegt hätten. Darauf antwortete der Schaffner: „Wir haben bereits 30 % der gesamten Fahrt zurückgelegt.“ Wie weit ist es von Riga nach Moskau?

Aus dem Zustand des Problems geht hervor, dass 30 % der Strecke von Riga nach Moskau 276 km lang sind. Wir müssen die gesamte Entfernung zwischen diesen Städten ermitteln, d. h. für diesen Teil das Ganze:

§ 91. Reziproke Zahlen. Division durch Multiplikation ersetzen.

Nehmen Sie den Bruch 2/3 und ordnen Sie den Zähler an die Stelle des Nenners um, wir erhalten 3/2. Wir haben einen Bruch erhalten, den Kehrwert dieses Bruchteils.

Um den Kehrwert eines Bruchs zu erhalten, müssen Sie seinen Zähler an die Stelle des Nenners und den Nenner an die Stelle des Zählers setzen. Auf diese Weise können wir einen Bruch erhalten, der der Kehrwert eines beliebigen Bruchs ist. Zum Beispiel:

3/4, umgekehrt 4/3; 5/6, umgekehrt 6/5

Man nennt zwei Brüche, die die Eigenschaft haben, dass der Zähler des ersten der Nenner des zweiten und der Nenner des ersten der Zähler des zweiten ist gegenseitig umgekehrt.

Lassen Sie uns nun darüber nachdenken, welcher Bruch der Kehrwert von 1/2 sein wird. Offensichtlich wird es 2 / 1 oder einfach 2 sein. Wenn wir den Kehrwert davon suchen, erhalten wir eine ganze Zahl. Und dieser Fall ist kein Einzelfall; im Gegenteil, für alle Brüche mit einem Zähler von 1 (eins) sind die Kehrwerte ganze Zahlen, zum Beispiel:

1 / 3, Umkehrung 3; 1/5, rückwärts 5

Da wir bei der Suche nach Kehrwerten auch auf ganze Zahlen gestoßen sind, werden wir in Zukunft nicht mehr von Kehrwerten, sondern von Kehrwerten sprechen.

Lassen Sie uns herausfinden, wie man den Kehrwert einer ganzen Zahl schreibt. Bei Brüchen lässt sich dies einfach lösen: Sie müssen den Nenner an die Stelle des Zählers setzen. Auf die gleiche Weise können Sie den Kehrwert einer ganzen Zahl erhalten, da jede ganze Zahl einen Nenner von 1 haben kann. Daher ist der Kehrwert von 7 1/7, weil 7 \u003d 7/1; für die Zahl 10 ist das Gegenteil 1/10, da 10 = 10/1

Diese Idee lässt sich auch anders ausdrücken: Den Kehrwert einer gegebenen Zahl erhält man, indem man eins durch dividiert angegebene Nummer . Diese Aussage gilt nicht nur für ganze Zahlen, sondern auch für Brüche. Wenn Sie tatsächlich eine Zahl schreiben möchten, die der Kehrwert des Bruchs 5/9 ist, können wir 1 nehmen und durch 5/9 dividieren, d. h.

Lassen Sie uns nun auf eines hinweisen Eigentum gegenseitig reziproke Zahlen, die für uns nützlich sein werden: Das Produkt gegenseitig reziproker Zahlen ist gleich eins. Tatsächlich:

Mit dieser Eigenschaft können wir Kehrwerte auf folgende Weise ermitteln. Finden wir den Kehrwert von 8.

Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben X , dann 8 X = 1, daher X = 1 / 8 . Suchen wir eine andere Zahl, die Umkehrung von 7/12, und bezeichnen wir sie mit einem Buchstaben X , dann 7/12 X = 1, daher X = 1:7 / 12 oder X = 12 / 7 .

Wir haben hier das Konzept der reziproken Zahlen eingeführt, um die Informationen über die Division von Brüchen leicht zu ergänzen.

Wenn wir die Zahl 6 durch 3 / 5 teilen, dann machen wir Folgendes:

Achten Sie besonders auf den Ausdruck und vergleichen Sie ihn mit dem angegebenen: .

Wenn wir den Ausdruck separat nehmen, ohne Verbindung zum vorherigen, ist es unmöglich, die Frage zu lösen, woher er kommt: aus der Division von 6 durch 3/5 oder aus der Multiplikation von 6 mit 5/3. In beiden Fällen ist das Ergebnis das gleiche. So können wir sagen dass die Division einer Zahl durch eine andere durch Multiplikation des Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors ersetzt werden kann.

Die Beispiele, die wir unten anführen, bestätigen diese Schlussfolgerung voll und ganz.

Um einen Bruch mit einem Bruch oder einen Bruch mit einer Zahl richtig zu multiplizieren, müssen Sie einfache Regeln kennen. Wir werden diese Regeln nun im Detail analysieren.

Einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren.

Um einen Bruch mit einem Bruch zu multiplizieren, müssen Sie das Produkt der Zähler und das Produkt der Nenner dieser Brüche berechnen.

\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)

Betrachten Sie ein Beispiel:
Wir multiplizieren den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und multiplizieren außerdem den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs.

\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ mal 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\)

Der Bruch \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) wurde um 3 reduziert.

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren.

Beginnen wir mit der Regel Jede Zahl kann als Bruch \(\bf n = \frac(n)(1)\) dargestellt werden.

Lassen Sie uns diese Regel für die Multiplikation verwenden.

\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)

Unechter Bruch \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) in einen gemischten Bruch umgewandelt.

Mit anderen Worten, Wenn Sie eine Zahl mit einem Bruch multiplizieren, multiplizieren Sie die Zahl mit dem Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert. Beispiel:

\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)

Multiplikation gemischter Brüche.

Um gemischte Brüche zu multiplizieren, müssen Sie zunächst jeden gemischten Bruch als unechten Bruch darstellen und dann die Multiplikationsregel anwenden. Der Zähler wird mit dem Zähler multipliziert, der Nenner wird mit dem Nenner multipliziert.

Beispiel:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(rot) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(rot) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)

Multiplikation reziproker Brüche und Zahlen.

Der Bruch \(\bf \frac(a)(b)\) ist die Umkehrung des Bruchs \(\bf \frac(b)(a)\), vorausgesetzt a≠0,b≠0.
Die Brüche \(\bf \frac(a)(b)\) und \(\bf \frac(b)(a)\) heißen Kehrwerte. Das Produkt reziproker Brüche ist 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)

Beispiel:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)

Verwandte Fragen:
Wie multipliziert man einen Bruch mit einem Bruch?
Antwort: Das Produkt gewöhnlicher Brüche ist die Multiplikation des Zählers mit dem Zähler, des Nenners mit dem Nenner. Um das Produkt gemischter Brüche zu erhalten, müssen Sie diese in einen unechten Bruch umwandeln und gemäß den Regeln multiplizieren.

Wie multipliziert man Brüche mit unterschiedlichen Nennern?
Antwort: Es spielt keine Rolle, ob sie gleich sind oder verschiedene Nenner Bei Brüchen erfolgt die Multiplikation nach der Regel, das Produkt aus Zähler und Zähler, Nenner und Nenner zu ermitteln.

Wie multipliziert man gemischte Brüche?
Antwort: Zunächst müssen Sie den gemischten Bruch in einen unechten Bruch umwandeln und dann das Produkt gemäß den Multiplikationsregeln ermitteln.

Wie multipliziert man eine Zahl mit einem Bruch?
Antwort: Wir multiplizieren die Zahl mit dem Zähler und lassen den Nenner gleich.

Beispiel 1:
Berechnen Sie das Produkt: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )

Lösung:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rot) (5))(3 \times \color(rot) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)

Beispiel #2:
Berechnen Sie das Produkt einer Zahl und eines Bruchs: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)

Lösung:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)

Beispiel #3:
Schreiben Sie den Kehrwert von \(\frac(1)(3)\)?
Antwort: \(\frac(3)(1) = 3\)

Beispiel #4:
Berechnen Sie das Produkt zweier reziproker Brüche: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)

Lösung:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)

Beispiel #5:
Können zueinander inverse Brüche sein:
a) beide echten Brüche;
b) gleichzeitig unechte Brüche;
c) natürliche Zahlen gleichzeitig?

Lösung:
a) Beantworten wir die erste Frage anhand eines Beispiels. Der Bruch \(\frac(2)(3)\) ist echt, sein Kehrwert ist gleich \(\frac(3)(2)\) – ein unechter Bruch. Antwort: Nein.

b) In fast allen Aufzählungen von Brüchen ist diese Bedingung nicht erfüllt, aber es gibt einige Zahlen, die gleichzeitig die Bedingung erfüllen, ein unechter Bruch zu sein. Der unechte Bruch ist beispielsweise \(\frac(3)(3)\) , sein Kehrwert ist \(\frac(3)(3)\). Wir erhalten zwei unechte Brüche. Antwort: Nicht immer unter bestimmten Bedingungen, wenn Zähler und Nenner gleich sind.

c) Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die wir beim Zählen verwenden, zum Beispiel 1, 2, 3, .... Wenn wir die Zahl \(3 = \frac(3)(1)\) nehmen, dann ist ihr Kehrwert \(\frac(1)(3)\). Der Bruch \(\frac(1)(3)\) ist keine natürliche Zahl. Wenn wir alle Zahlen durchgehen, ist der Kehrwert immer ein Bruch, außer 1. Wenn wir die Zahl 1 nehmen, dann ist ihr Kehrwert \(\frac(1)(1) = \frac(1)(1) = 1\). Die Zahl 1 ist eine natürliche Zahl. Antwort: Sie können nur in einem Fall gleichzeitig natürliche Zahlen sein, wenn diese Zahl 1 ist.

Beispiel #6:
Berechnen Sie das Produkt gemischter Brüche: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )

Lösung:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1 )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)

Beispiel #7:
Können zwei reziproke Zahlen gleichzeitig gemischte Zahlen sein?

Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir einen gemischten Bruch \(1\frac(1)(2)\, finden seinen Kehrwert, dazu übersetzen wir ihn in einen unechten Bruch \(1\frac(1)(2) = \frac(3)( 2) \) . Sein Kehrwert ist gleich \(\frac(2)(3)\) . Der Bruch \(\frac(2)(3)\) ist ein echter Bruch. Antwort: Zwei zueinander inverse Brüche können nicht gleichzeitig gemischte Zahlen sein.

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zenon von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles rennt zehnmal schneller als die Schildkröte und ist tausend Schritte hinter ihr. Während Achilles diese Strecke zurücklegt, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilleus hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit andauern, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert ... Sie alle betrachteten auf die eine oder andere Weise die Aporien von Zenon. Der Schock war so stark, dass „ ... die Diskussionen gehen derzeit weiter, die wissenschaftliche Gemeinschaft hat es noch nicht geschafft, sich über das Wesen von Paradoxien zu einer gemeinsamen Meinung zu verständigen ... an der Untersuchung des Themas waren mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze beteiligt ; Keine davon wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ...„[Wikipedia, „Zenos Aporien“]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zenon in seiner Aporie den Übergang vom Wert zum Wert deutlich gemacht. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Anwendungsapparat variable Einheiten Die Messung ist entweder noch nicht entwickelt oder wurde nicht auf Zenos Aporie angewendet. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir auf den Kehrwert konstante Zeiteinheiten an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als würde die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, völlig zum Stillstand kommen. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, passt alles zusammen. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jeder weitere Abschnitt seines Weges ist zehnmal kürzer als der vorherige. Dementsprechend ist der Zeitaufwand für die Überwindung zehnmal geringer als beim vorherigen. Wenn wir in dieser Situation das Konzept der „Unendlichkeit“ anwenden, wäre es richtig zu sagen: „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen.“

Wie vermeide ich diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu Kehrwerten. In Zenos Sprache sieht es so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, das dem ersten entspricht, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen und ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ähnelt stark Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen gesucht werden, sondern in Maßeinheiten.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, und da er zu jedem Zeitpunkt in Ruhe ist, ist er immer in Ruhe.

In dieser Aporie logisches Paradoxon Es lässt sich ganz einfach überwinden – es genügt zu klären, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich eine Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Anhand eines Fotos eines Autos auf der Straße ist es unmöglich, die Tatsache seiner Bewegung oder die Entfernung zu ihm zu bestimmen. Um die tatsächliche Bewegung des Autos festzustellen, sind zwei Fotos erforderlich, die von demselben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, sie können jedoch nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos von verschiedene Punkte Raum zu einem bestimmten Zeitpunkt, aber es ist unmöglich, daraus die Tatsache der Bewegung zu bestimmen (natürlich werden noch zusätzliche Daten für Berechnungen benötigt, die Trigonometrie hilft Ihnen). Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten zur Erkundung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Die Unterschiede zwischen Set und Multiset sind in Wikipedia sehr gut beschrieben. Wir schauen.

Wie Sie sehen können, „kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben“, wenn es jedoch identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als „Multimenge“ bezeichnet. Vernünftige Wesen werden eine solche Logik der Absurdität niemals verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und dressierter Affen, bei denen der Verstand beim Wort „völlig“ fehlt. Mathematiker fungieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, als die Ingenieure, die die Brücke bauten, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke saßen. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der talentierte Ingenieur weitere Brücken.

Egal wie sehr sich Mathematiker hinter dem Satz „Pass auf mich auf, ich bin im Haus“ oder vielmehr „Mathematik studiert abstrakte Konzepte“ verstecken, es gibt eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf die Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik gelernt und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter. Hier kommt ein Mathematiker wegen seines Geldes zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedenen Stapeln aus, in die wir Scheine des gleichen Nennwerts legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen erst dann erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: „Man kann es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!“ Darüber hinaus werden wir beginnen, uns zu versichern, dass es Banknoten derselben Stückelung gibt verschiedene Zahlen Rechnungen, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente betrachtet werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen – auf den Münzen stehen keine Zahlen. Hier wird sich der Mathematiker hektisch an die Physik erinnern: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome ist bei jeder Münze einzigartig ...

Und jetzt habe ich das meiste Interesse Fragen: Wo ist die Grenze, jenseits derer Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht – alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd da.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit der gleichen Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, erhalten wir eine Menge, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt, uns entweder von einer Menge oder einer Multimenge zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengenlehre arbeiten und sie mit der Realität in Verbindung bringen, reicht es aus, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „vorstellbar als kein einzelnes Ganzes“ oder „nicht vorstellbar als ein einzelnes Ganzes“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Summe der Ziffern einer Zahl ist ein Tanz von Schamanen mit einem Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu ermitteln und sie zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Ziffernsumme einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Ziffernsumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finden Sie die Summe grafischer Symbole, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, Schamanen jedoch im Grunde.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Summe der Ziffern einer bestimmten Zahl zu ermitteln. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Summe der Ziffern dieser Zahl zu ermitteln? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein Zahlengrafiksymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Ausschneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Konvertieren Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist Mathematik.

Die Ziffernsumme der Zahl 12345 beträgt 15. Dabei handelt es sich um die von Mathematikern verwendeten „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem ​​Zahlensystem wir die Zahl schreiben. Also rein verschiedene Systeme Bei der Berechnung wird die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich sein. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts von der Zahl angegeben. Bei einer großen Zahl von 12345 möchte ich mir nichts vormachen, bedenke die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Schreiben wir diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist, als ob die Ermittlung der Fläche eines Rechtecks ​​in Metern und Zentimetern zu völlig anderen Ergebnissen führen würde.

Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Ziffernsumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Warum gibt es für Mathematiker nichts als Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, für Wissenschaftler jedoch nicht. In der Realität geht es nicht nur um Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen nicht mit unterschiedlichen Maßeinheiten vergleichen. Wenn die gleichen Aktionen mit unterschiedlichen Maßeinheiten zur gleichen Menge führen unterschiedliche Ergebnisse Nach dem Vergleich hat es nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies liegt vor, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Öffnet die Tür und sagt:

Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zur Untersuchung der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn Sie ein solches Design-Kunstwerk mehrmals am Tag vor Augen haben,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Persönlich bemühe ich mich, minus vier Grad bei einer kackenden Person zu erkennen (ein Bild) (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für eine Idiotin, die sich nicht mit Physik auskennt. Sie hat einfach ein bogenförmiges Stereotyp der Wahrnehmung grafischer Bilder. Und das lehren uns Mathematiker ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht „minus vier Grad“ oder „eins a“. Das ist „kackender Mann“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.