Η τιμή του p. Τι το ιδιαίτερο έχει το Pi; Ο μαθηματικός απαντά

(), και έγινε γενικά αποδεκτό μετά το έργο του Euler. Αυτός ο χαρακτηρισμός προέρχεται από το αρχικό γράμμα Ελληνικές λέξειςπεριφέρεια - circumference, periphery and περίμετρος - perimeter.

Ακροαματικότητα

• 510 signs after aim: π ≈ 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 974 944 592 307 816 406 286 208 998 628 034 825 342 067 982 148 086 513 282 306 644 69 69 69 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 381 964 428 810 975 665 933 446 128 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 091 715 364 367 892 590 360 011 330 548 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 765 757 59 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 011 949 129 833 673 362…

Ιδιότητες

Αναλογίες

Υπάρχουν πολλοί τύποι με τον αριθμό π:

• Φόρμουλα Wallis:

• Ταυτότητα Euler:

• T. n. "ολοκλήρωμα Poisson" ή "ολοκλήρωμα Gauss"

Υπερβατικότητα και παραλογισμός

Άλυτα ζητήματα

• Δεν είναι γνωστό αν οι αριθμοί π και μιαλγεβρικά ανεξάρτητος.
• Δεν είναι γνωστό αν οι αριθμοί π + μι , π − μι , π μι , π / μι , π μι , π π , μι μιυπερβατικός.
• Μέχρι τώρα, τίποτα δεν είναι γνωστό για την κανονικότητα του αριθμού π. δεν είναι καν γνωστό ποια από τα ψηφία 0-9 εμφανίζονται στη δεκαδική αναπαράσταση του αριθμού π άπειρες φορές.

Ιστορικό υπολογισμών

και ο Τσουντόφσκι

Μνημονικοί κανόνες

Για να μην κάνουμε λάθη, πρέπει να διαβάσουμε σωστά: Τρία, δεκατέσσερα, δεκαπέντε, ενενήντα δύο και έξι. Απλά πρέπει να προσπαθήσεις Και να θυμάσαι τα πάντα όπως είναι: Τρία, δεκατέσσερα, δεκαπέντε, ενενήντα δύο και έξι. Τρία, δεκατέσσερα, δεκαπέντε, εννιά, δύο, έξι, πέντε, τρία, πέντε. Ετσι ώστε ασχολούνται με την επιστήμη, Αυτό πρέπει να το γνωρίζουν όλοι. Μπορείτε απλώς να προσπαθήσετε και να επαναλάβετε πιο συχνά: «Τρία, δεκατέσσερα, δεκαπέντε, εννέα, είκοσι έξι και πέντε».

2. Μετρήστε τον αριθμό των γραμμάτων σε κάθε λέξη στις παρακάτω φράσεις ( αγνοώντας τα σημεία στίξης) και γράψτε αυτούς τους αριθμούς στη σειρά - χωρίς να ξεχνάτε την υποδιαστολή μετά το πρώτο ψηφίο "3", φυσικά. Λάβετε έναν κατά προσέγγιση αριθμό Pi.

Αυτό το ξέρω και το θυμάμαι τέλεια: Και πολλά σημάδια μου περιττεύουν, μάταια.

Ποιος, αστειευόμενος, και θέλει σύντομα ο Πι να μάθει τον αριθμό - το ξέρει ήδη!

Έτσι ο Misha και η Anyuta έτρεξαν στο Pi για να μάθουν τον αριθμό που ήθελαν.

(Το δεύτερο μνημονικό είναι σωστό (με στρογγυλοποίηση του τελευταίου ψηφίου) μόνοόταν χρησιμοποιείτε προ-μεταρρυθμιστική ορθογραφία: κατά την καταμέτρηση του αριθμού των γραμμάτων σε λέξεις, πρέπει να λαμβάνονται υπόψη τα σκληρά σημάδια!)

Μια άλλη εκδοχή αυτής της μνημονικής σημειογραφίας:

Αυτό ξέρω και θυμάμαι πολύ καλά:
Πι πολλά σημάδια μου περιττεύουν, μάταια.
Ας εμπιστευτούμε την τεράστια γνώση
Όσοι έχουν μετρήσει, αριθμούς αρμάδα.

Αν ακολουθήσετε το ποιητικό μέγεθος, μπορείτε γρήγορα να θυμηθείτε:

Τρία, δεκατέσσερα, δεκαπέντε, εννιά δύο, έξι πέντε, τρία πέντε
Οκτώ εννιά, επτά και εννιά, τρία δύο, τρία οκτώ, σαράντα έξι
Δύο έξι τέσσερα, τρία τρία οκτώ, τρία δύο επτά εννιά, πέντε μηδέν δύο
Οκτώ οκτώ και τέσσερα δεκαεννιά επτά ένα

αστεία γεγονότα

Σημειώσεις

Δείτε τι είναι το "Pi" σε άλλα λεξικά:

αριθμός- Πηγή υποδοχής: GOST 111 90: Λαμαρίνα. Προδιαγραφέςαρχικό έγγραφο Δείτε επίσης σχετικούς όρους: 109. Αριθμός ταλαντώσεων βήτατρον … Λεξικό-βιβλίο αναφοράς όρων κανονιστικής και τεχνικής τεκμηρίωσης

π.χ., σ., χρήση. πολύ συχνά Μορφολογία: (όχι) τι; αριθμοί για τι; αριθμός, (δείτε) τι; αριθμός από; αριθμός για τι; Σχετικά με τον αριθμό? pl. Τι? αριθμοί, (όχι) τι; αριθμοί για τι; αριθμοί, (δείτε) τι; αριθμοί παρά; αριθμοί για τι; για τους μαθηματικούς αριθμούς 1. Αριθμός ... ... ΛεξικόΝτμίτριεβα

NUMBER, numbers, pl. αριθμοί, αριθμοί, αριθμοί, βλ. 1. Έννοια που χρησιμεύει ως έκφραση ποσότητας, κάτι με τη βοήθεια του οποίου μετρώνται αντικείμενα και φαινόμενα (ματ.). Ακέραιος αριθμός. Ένας κλασματικός αριθμός. επώνυμος αριθμός. Πρώτος αριθμός. (δείτε τιμή απλή1 σε 1).…… Επεξηγηματικό Λεξικό Ushakov

Μια αφηρημένη ονομασία, χωρίς ειδικό περιεχόμενο, οποιουδήποτε μέλους μιας συγκεκριμένης σειράς, στην οποία αυτό το μέλος προηγείται ή ακολουθεί κάποιο άλλο συγκεκριμένο μέλος. ένα αφηρημένο ατομικό χαρακτηριστικό που διακρίνει ένα σύνολο από ... ... Φιλοσοφική Εγκυκλοπαίδεια

Αριθμός- Ο αριθμός είναι μια γραμματική κατηγορία που εκφράζει τα ποσοτικά χαρακτηριστικά των αντικειμένων σκέψης. γραμματικός αριθμόςμια από τις εκδηλώσεις μιας γενικότερης γλωσσικής κατηγορίας ποσότητας (βλ. Γλωσσική Κατηγορία) μαζί με μια λεξιλογική εκδήλωση («λεξική ... ... Γλωσσολογικό Εγκυκλοπαιδικό Λεξικό

Ένας αριθμός περίπου ίσος με 2.718, ο οποίος συναντάται συχνά στα μαθηματικά και τις επιστήμες. Για παράδειγμα, κατά τη διάσπαση μιας ραδιενεργής ουσίας μετά το χρόνο t, ένα κλάσμα ίσο με e kt παραμένει από την αρχική ποσότητα της ουσίας, όπου k είναι ένας αριθμός, ... ... Εγκυκλοπαίδεια Collier

ΕΝΑ; pl. νούμερα, χωριά, slam? βλ. 1. Λογιστική μονάδα που εκφράζει τη μία ή την άλλη ποσότητα. Κλασματικές, ακέραιες, απλές ώρες Ζυγές, περιττές ώρες Μετρήστε ως στρογγυλούς αριθμούς (περίπου, μετρώντας ως ολόκληρες μονάδες ή δεκάδες). Φυσικές ώρες (θετικός ακέραιος... εγκυκλοπαιδικό λεξικό

Νυμφεύομαι ποσότητα, μέτρηση, στην ερώτηση: πόσο; και το ίδιο το σημάδι που εκφράζει την ποσότητα, το σχήμα. Αναρίθμητος; χωρίς αριθμό, χωρίς μέτρηση, πολλά πολλά. Τοποθετήστε τις συσκευές ανάλογα με τον αριθμό των καλεσμένων. Ρωμαϊκοί, αραβικοί ή εκκλησιαστικοί αριθμοί. Ακέραιος, αντί. κλάσμα........ Επεξηγηματικό Λεξικό Dahl

Υπάρχουν πολλά μυστήρια μεταξύ των PI. Μάλλον, αυτά δεν είναι καν αινίγματα, αλλά ένα είδος Αλήθειας που κανείς δεν έχει καταλάβει ακόμη σε ολόκληρη την ιστορία της ανθρωπότητας…

Τι είναι το Pi; Ο αριθμός PI είναι μια μαθηματική «σταθερά» που εκφράζει τον λόγο της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Στην αρχή, λόγω άγνοιας, θεωρήθηκε (αυτή η αναλογία) ίση με τρία, που ήταν περίπου κατά προσέγγιση, αλλά ήταν αρκετά. Αλλά όταν οι προϊστορικοί χρόνοι έδωσαν τη θέση τους στους αρχαίους χρόνους (δηλαδή, ήδη ιστορικούς), τότε δεν υπήρχε όριο στην έκπληξη των περίεργων μυαλών: αποδείχθηκε ότι ο αριθμός τρία εκφράζει πολύ ανακριβώς αυτήν την αναλογία. Με το πέρασμα του χρόνου και την ανάπτυξη της επιστήμης, ο αριθμός αυτός άρχισε να θεωρείται ίσος με είκοσι δύο έβδομα.

Ο Άγγλος μαθηματικός August de Morgan κάποτε ονόμασε τον αριθμό PI «... ο μυστηριώδης αριθμός 3.14159... που σέρνεται μέσα από την πόρτα, μέσα από το παράθυρο και μέσα από την οροφή». Ακούραστοι επιστήμονες συνέχισαν και συνέχισαν να υπολογίζουν τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού Pi, κάτι που είναι στην πραγματικότητα μια εξαιρετικά μη τετριμμένη εργασία, γιατί δεν μπορείς να τον υπολογίσεις απλώς σε μια στήλη: ο αριθμός δεν είναι μόνο παράλογος, αλλά και υπερβατικός (αυτά είναι ακριβώς τέτοιοι αριθμοί που δεν υπολογίζονται με απλές εξισώσεις).

Στη διαδικασία υπολογισμού αυτών των σημείων, πολλά διαφορετικά επιστημονικές μεθόδουςκαι ολόκληρες επιστήμες. Αλλά το πιο σημαντικό είναι ότι δεν υπάρχουν επαναλήψεις στο δεκαδικό μέρος του pi, όπως σε ένα συνηθισμένο περιοδικό κλάσμα, και ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων σε αυτό είναι άπειρος. Μέχρι σήμερα, έχει επαληθευτεί ότι πραγματικά δεν υπάρχουν επαναλήψεις σε 500 δισεκατομμύρια ψηφία του αριθμού pi. Υπάρχουν λόγοι να πιστεύουμε ότι δεν υπάρχουν καθόλου.

Δεδομένου ότι δεν υπάρχουν επαναλήψεις στην ακολουθία των σημείων του αριθμού pi, αυτό σημαίνει ότι η ακολουθία των σημείων του αριθμού pi υπακούει στη θεωρία του χάους, πιο συγκεκριμένα, ο αριθμός pi είναι χάος γραμμένος σε αριθμούς. Επιπλέον, εάν είναι επιθυμητό, ​​αυτό το χάος μπορεί να αναπαρασταθεί γραφικά και υπάρχει η υπόθεση ότι αυτό το χάος είναι λογικό.

Το 1965, ο Αμερικανός μαθηματικός M. Ulam, καθισμένος σε μια βαρετή συνάντηση, χωρίς να κάνει τίποτα, άρχισε να γράφει αριθμούς που περιλαμβάνονται στον αριθμό pi σε καρό χαρτί. Βάζοντας το 3 στο κέντρο και κινούμενος σε αριστερόστροφη σπείρα, έγραψε 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 και άλλους αριθμούς μετά την υποδιαστολή. Στην πορεία, κύκλωσε όλους τους πρώτους αριθμούς. Ποια ήταν η έκπληξη και η φρίκη του όταν οι κύκλοι άρχισαν να παρατάσσονται στις ευθείες γραμμές!

Στη δεκαδική ουρά του pi, μπορείτε να βρείτε οποιαδήποτε ακολουθία ψηφίων. Οποιαδήποτε ακολουθία ψηφίων σε δεκαδικά ψηφία του pi αργά ή γρήγορα θα βρεθεί. Οποιος!

Και λοιπόν? - εσύ ρωτάς. Και μετά. Εκτίμηση: αν το τηλέφωνό σας είναι εκεί (και είναι), τότε υπάρχει και το τηλέφωνο της κοπέλας που δεν ήθελε να σας δώσει τον αριθμό της. Επιπλέον, υπάρχουν και αριθμοί πιστωτικών καρτών, ακόμη και όλες οι αξίες νικήτριες αριθμοίη αυριανή κλήρωση. Γιατί, γενικά, όλα τα λαχεία για πολλές χιλιετίες που έρχονται. Το θέμα είναι πώς θα τα βρούμε εκεί...

Εάν κρυπτογραφήσετε όλα τα γράμματα σε αριθμούς, τότε στη δεκαδική επέκταση του αριθμού pi μπορείτε να βρείτε όλη την παγκόσμια λογοτεχνία και την επιστήμη και τη συνταγή για την παρασκευή σάλτσας μπεσαμέλ, και αυτό είναι. ιερά βιβλίαόλες τις θρησκείες. Είναι αυστηρό επιστημονικό γεγονός. Εξάλλου, η ακολουθία είναι ΑΠΕΙΡΗ και οι συνδυασμοί στον αριθμό PI δεν επαναλαμβάνονται, επομένως περιέχει ΟΛΟΥΣ τους συνδυασμούς των αριθμών, και αυτό έχει ήδη αποδειχθεί. Και αν όλα, τότε τα πάντα. Συμπεριλαμβανομένων εκείνων που αντιστοιχούν στο βιβλίο που επιλέξατε.

Και αυτό πάλι σημαίνει ότι δεν περιέχει μόνο όλα παγκόσμια λογοτεχνία, που έχει ήδη γραφτεί (συγκεκριμένα όσα βιβλία κάηκαν κ.λπ.), αλλά και όλα τα βιβλία που ΘΑ γραφτούν. Συμπεριλαμβανομένων των άρθρων σας στους ιστότοπους. Αποδεικνύεται ότι αυτός ο αριθμός (ο μόνος λογικός αριθμός στο Σύμπαν!) ελέγχει τον κόσμο μας. Απλά πρέπει να εξετάσετε περισσότερα σημάδια, να βρείτε τη σωστή περιοχή και να την αποκρυπτογραφήσετε. Αυτό είναι κάτι παρόμοιο με ένα παράδοξο με ένα κοπάδι χιμπατζήδων να σφυροκοπούν στο πληκτρολόγιο. Με ένα αρκετά μεγάλο (μπορεί και να υπολογίσει κανείς αυτή τη φορά) πείραμα, θα τυπώσουν όλα τα έργα του Σαίξπηρ.

Αυτό υποδηλώνει αμέσως μια αναλογία με περιοδικά εμφανιζόμενες αναφορές ότι η Παλαιά Διαθήκη φέρεται να κωδικοποιούσε μηνύματα προς τους μεταγενέστερους που μπορούν να διαβαστούν με τη βοήθεια έξυπνων προγραμμάτων. Δεν είναι εντελώς σοφό να απορρίπτουμε ένα τόσο εξωτικό χαρακτηριστικό της Βίβλου αμέσως, οι καβαλιστές αναζητούν τέτοιες προφητείες εδώ και αιώνες, αλλά θα ήθελα να αναφέρω το μήνυμα ενός ερευνητή που, χρησιμοποιώντας έναν υπολογιστή, βρήκε στο Old Διαθήκη τα λόγια ότι δεν υπάρχουν προφητείες στην Παλαιά Διαθήκη. Πιθανότατα σε πολύ μεγάλο κείμενο, όπως και στα άπειρα ψηφία του αριθμού PI, μπορείτε όχι μόνο να κωδικοποιήσετε οποιαδήποτε πληροφορία, αλλά και να «βρείτε» φράσεις που δεν περιλαμβάνονταν αρχικά εκεί.

Για εξάσκηση, μέσα στη Γη, αρκούν 11 χαρακτήρες μετά την τελεία. Στη συνέχεια, γνωρίζοντας ότι η ακτίνα της Γης είναι 6400 km ή 6,4 * 1012 χιλιοστά, αποδεικνύεται ότι, έχοντας απορρίψει το δωδέκατο ψηφίο στον αριθμό των PI μετά το σημείο κατά τον υπολογισμό του μήκους του μεσημβρινού, θα κάνουμε λάθος κατά πολλούς χιλιοστά. Και κατά τον υπολογισμό του μήκους της τροχιάς της Γης κατά την περιστροφή γύρω από τον Ήλιο (όπως γνωρίζετε, R \u003d 150 * 106 km \u003d 1,5 * 1014 mm), για την ίδια ακρίβεια, αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον αριθμό PI με δεκατέσσερα ψηφία μετά από το σημείο, αλλά τι υπάρχει εκεί για να ψιθυρίσουμε - η διάμετρος των Γαλαξιών μας είναι περίπου 100.000 έτη φωτός (1 έτος φωτός είναι περίπου ίσο με 1013 km) ή 1018 km ή 1030 mm. και αυτοί επάνω αυτή τη στιγμήυπολογίζεται σε 12411 τρισεκατομμύρια σημάδια!!!

Η απουσία περιοδικά επαναλαμβανόμενων σχημάτων, δηλαδή, με βάση τον τύπο τους Περιφέρεια = Pi * D, ο κύκλος δεν κλείνει, αφού δεν υπάρχει πεπερασμένος αριθμός. Αυτό το γεγονός μπορεί επίσης να σχετίζεται στενά με τη σπειροειδή εκδήλωση στη ζωή μας...

Υπάρχει επίσης μια υπόθεση ότι όλες (ή μερικές) καθολικές σταθερές (σταθερά Planck, αριθμός Euler, καθολική σταθερά βαρύτητας, φορτίο ηλεκτρονίων κ.λπ.) αλλάζουν τις τιμές τους με την πάροδο του χρόνου, καθώς η καμπυλότητα του χώρου αλλάζει λόγω της ανακατανομής της ύλης ή για άλλους άγνωστους σε εμάς λόγους.

Με τον κίνδυνο να υποστούμε την οργή της φωτισμένης κοινότητας, μπορούμε να υποθέσουμε ότι ο αριθμός των PI που εξετάζονται σήμερα, που αντανακλά τις ιδιότητες του Σύμπαντος, μπορεί να αλλάξει με την πάροδο του χρόνου. Σε κάθε περίπτωση, κανείς δεν μπορεί να μας απαγορεύσει να ξαναβρούμε την τιμή του αριθμού PI, επιβεβαιώνοντας (ή μη επιβεβαιώνοντας) τις υπάρχουσες τιμές.

10 ενδιαφέροντα γεγονότα για το Pi

1. Η ιστορία των αριθμών έχει περισσότερες από μία χιλιετίες, σχεδόν όσο υπάρχει η επιστήμη των μαθηματικών. Σίγουρα, ακριβής αξίαοι αριθμοί δεν υπολογίστηκαν αμέσως. Αρχικά, ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο θεωρήθηκε ίσος με 3. Όμως με την πάροδο του χρόνου, όταν άρχισε να αναπτύσσεται η αρχιτεκτονική, χρειάστηκε μια πιο ακριβής μέτρηση. Παρεμπιπτόντως, ο αριθμός υπήρχε, αλλά έλαβε ονομασία γράμματος μόνο στις αρχές του 18ου αιώνα (1706) και προέρχεται από τα αρχικά γράμματα δύο ελληνικών λέξεων που σημαίνουν «περιφέρεια» και «περίμετρος». Ο μαθηματικός Τζόουνς προίκισε τον αριθμό με το γράμμα "π" και μπήκε σταθερά στα μαθηματικά ήδη το 1737.

2. ΣΕ διαφορετικές εποχέςκαι στο διαφορετικούς λαούςπι έχει διαφορετική σημασία. Για παράδειγμα, σε Αρχαία Αίγυπτοςήταν ίσο με 3,1604, μεταξύ των Ινδουιστών απέκτησε την τιμή 3,162, οι Κινέζοι χρησιμοποίησαν τον αριθμό ίσο με 3,1459. Με την πάροδο του χρόνου, το π υπολογιζόταν όλο και πιο σωστά και όταν εμφανίστηκε η τεχνολογία των υπολογιστών, δηλαδή ένας υπολογιστής, άρχισε να έχει περισσότερους από 4 δισεκατομμύρια χαρακτήρες.

3. Υπάρχει ένας θρύλος, πιο συγκεκριμένα, οι ειδικοί πιστεύουν ότι ο αριθμός Pi χρησιμοποιήθηκε στην κατασκευή του Πύργου της Βαβέλ. Ωστόσο, δεν ήταν η οργή του Θεού που προκάλεσε την κατάρρευσή του, αλλά οι λανθασμένοι υπολογισμοί κατά την κατασκευή. Όπως, οι αρχαίοι δάσκαλοι έκαναν λάθος. Παρόμοια εκδοχή υπάρχει και για τον ναό του Σολομώντα.

4. Αξιοσημείωτο είναι ότι προσπάθησαν να εισαγάγουν την αξία του αριθμού Πι ακόμη και σε επίπεδο κράτους, δηλαδή μέσω του νόμου. Το 1897, συντάχθηκε ένα νομοσχέδιο στην πολιτεία της Ιντιάνα. Το Pi ήταν 3,2 σύμφωνα με το έγγραφο. Ωστόσο, οι επιστήμονες επενέβησαν έγκαιρα και έτσι απέτρεψαν ένα λάθος. Συγκεκριμένα, ο καθηγητής Purdue, ο οποίος ήταν παρών στη νομοθετική συνέλευση, τάχθηκε κατά του νομοσχεδίου.

5. Είναι ενδιαφέρον ότι αρκετοί αριθμοί στην άπειρη ακολουθία Pi έχουν το δικό τους όνομα. Έτσι, έξι εννιά του Πι έχουν το όνομα ενός Αμερικανού φυσικού. Κάποτε ο Ρίτσαρντ Φάινμαν έδινε μια διάλεξη και κατέπληξε το κοινό με μια παρατήρηση. Είπε ότι ήθελε να μάθει τα ψηφία του pi έως έξι εννιάρια από την καρδιά, μόνο για να πει "εννέα" έξι φορές στο τέλος της ιστορίας, αφήνοντας να εννοηθεί ότι το νόημά του ήταν ορθολογικό. Όταν στην πραγματικότητα είναι παράλογο.

6. Οι μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο δεν σταματούν να κάνουν έρευνες που σχετίζονται με τον αριθμό Pi. Κυριολεκτικά καλύπτεται από μυστήριο. Μερικοί θεωρητικοί πιστεύουν μάλιστα ότι περιέχει μια καθολική αλήθεια. Να μοιράζονται γνώσεις και ΝΕΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑσχετικά με τον Πι, οργάνωσε το Pi Club. Η είσοδος σε αυτό δεν είναι εύκολη, πρέπει να έχετε εξαιρετική μνήμη. Έτσι, όσοι επιθυμούν να γίνουν μέλη του κλαμπ εξετάζονται: ένα άτομο πρέπει να πει όσο το δυνατόν περισσότερα σημάδια του αριθμού Pi από τη μνήμη του.

7. Βρήκαν ακόμη και διάφορες τεχνικές για να θυμούνται τον αριθμό Pi μετά την υποδιαστολή. Για παράδειγμα, βγάζουν ολόκληρα κείμενα. Σε αυτές, οι λέξεις έχουν τον ίδιο αριθμό γραμμάτων με το αντίστοιχο ψηφίο μετά την υποδιαστολή. Για να απλοποιήσουν περαιτέρω την απομνημόνευση ενός τόσο μεγάλου αριθμού, συνθέτουν στίχους σύμφωνα με την ίδια αρχή. Τα μέλη του Pi Club συχνά διασκεδάζουν με αυτόν τον τρόπο και ταυτόχρονα εκπαιδεύουν τη μνήμη και την εφευρετικότητά τους. Για παράδειγμα, ο Mike Keith είχε ένα τέτοιο χόμπι, ο οποίος πριν από δεκαοκτώ χρόνια σκέφτηκε μια ιστορία στην οποία κάθε λέξη ήταν ίση με σχεδόν τέσσερις χιλιάδες (3834) πρώτα ψηφία του pi.

8. Υπάρχουν ακόμη και άνθρωποι που έχουν σημειώσει ρεκόρ απομνημόνευσης πινακίδων Pi. Έτσι, στην Ιαπωνία, ο Akira Haraguchi απομνημόνευσε περισσότερους από ογδόντα τρεις χιλιάδες χαρακτήρες. Αλλά το εγχώριο ρεκόρ δεν είναι τόσο εξαιρετικό. Ένας κάτοικος του Τσελιάμπινσκ μπόρεσε να απομνημονεύσει μόνο δυόμισι χιλιάδες αριθμούς μετά την υποδιαστολή του Πι.

9. Η Ημέρα του Πι γιορτάζεται για περισσότερο από ένα τέταρτο του αιώνα, από το 1988. Κάποτε, ένας φυσικός από το Λαϊκό Μουσείο Επιστημών στο Σαν Φρανσίσκο, ο Larry Shaw, παρατήρησε ότι η 14η Μαρτίου γράφεται το ίδιο με το pi. Σε μια ημερομηνία, ο μήνας και η ημέρα αποτελούν 3.14.

10. Υπάρχει μια ενδιαφέρουσα σύμπτωση. 14 Μαρτίου γεννήθηκε ο μεγάλος επιστήμονας ΆλμπερτΟ Αϊνστάιν, ο οποίος δημιούργησε, όπως γνωρίζετε, τη θεωρία της σχετικότητας.

Οι μαθηματικοί σε όλο τον κόσμο τρώνε ένα κομμάτι κέικ κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου - άλλωστε αυτή είναι η μέρα του Πι, του πιο διάσημου παράλογου αριθμού. Αυτή η ημερομηνία σχετίζεται άμεσα με τον αριθμό του οποίου τα πρώτα ψηφία είναι 3,14. Pi είναι ο λόγος της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Εφόσον είναι παράλογο, είναι αδύνατο να το γράψουμε ως κλάσμα. Αυτός είναι ένας απείρως μεγάλος αριθμός. Ανακαλύφθηκε πριν από χιλιάδες χρόνια και από τότε μελετάται συνεχώς, αλλά έχει απομείνει στον Πι κανένα μυστικό; Από αρχαία προέλευσημέχρι ένα απροσδιόριστο μέλλον, εδώ είναι μερικά από τα πιο ενδιαφέροντα στοιχεία για το pi.

Απομνημόνευση Pi

Το ρεκόρ απομνημόνευσης αριθμών μετά την υποδιαστολή ανήκει στον Rajveer Meena από την Ινδία, ο οποίος κατάφερε να θυμηθεί 70.000 ψηφία - έκανε το ρεκόρ στις 21 Μαρτίου 2015. Πριν από αυτό, ο κάτοχος του ρεκόρ ήταν ο Chao Lu από την Κίνα, ο οποίος κατάφερε να απομνημονεύσει 67.890 ψηφία - αυτό το ρεκόρ σημειώθηκε το 2005. Ο ανεπίσημος κάτοχος του ρεκόρ είναι ο Akira Haraguchi, ο οποίος βιντεοσκόπησε την επανάληψη των 100.000 ψηφίων το 2005 και πρόσφατα δημοσίευσε ένα βίντεο όπου καταφέρνει να θυμάται 117.000 ψηφία. Επίσημο ρεκόρ θα γινόταν μόνο αν αυτό το βίντεο ηχογραφήθηκε παρουσία εκπροσώπου του Βιβλίου Ρεκόρ Γκίνες και χωρίς επιβεβαίωση παραμένει μόνο ένα εντυπωσιακό γεγονός, αλλά δεν θεωρείται επίτευγμα. Οι λάτρεις των μαθηματικών λατρεύουν να απομνημονεύουν τον αριθμό Pi. Πολλοί άνθρωποι χρησιμοποιούν διάφορες μνημονικές τεχνικές, όπως η ποίηση, όπου ο αριθμός των γραμμάτων σε κάθε λέξη είναι ο ίδιος με το π. Κάθε γλώσσα έχει τις δικές της παραλλαγές τέτοιων φράσεων, οι οποίες βοηθούν να θυμάστε τόσο τα πρώτα λίγα ψηφία όσο και μια ολόκληρη εκατοντάδα.

Υπάρχει μια γλώσσα Pi

Γοητευμένοι από τη λογοτεχνία, οι μαθηματικοί επινόησαν μια διάλεκτο στην οποία ο αριθμός των γραμμάτων σε όλες τις λέξεις αντιστοιχεί στα ψηφία του Πι με ακριβή σειρά. Ο συγγραφέας Mike Keith έγραψε ακόμη και ένα βιβλίο, Not a Wake, το οποίο είναι εντελώς γραμμένο στη γλώσσα Pi. Οι λάτρεις μιας τέτοιας δημιουργικότητας γράφουν τα έργα τους σε πλήρη συμφωνία με τον αριθμό των γραμμάτων και τη σημασία των αριθμών. Δεν έχει εφαρμογή αλλά είναι αρκετά συνηθισμένο και διάσημο φαινόμενοσε κύκλους ενθουσιωδών επιστημόνων.

Εκθετική αύξηση

Το Pi είναι ένας άπειρος αριθμός, επομένως οι άνθρωποι, εξ ορισμού, δεν θα μπορέσουν ποτέ να καταλάβουν τους ακριβείς αριθμούς αυτού του αριθμού. Ωστόσο, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή έχει αυξηθεί πολύ από την πρώτη χρήση του Pi. Ακόμη και οι Βαβυλώνιοι το χρησιμοποιούσαν, αλλά ένα κλάσμα από τρία και ένα όγδοο ήταν αρκετό για αυτούς. Οι Κινέζοι και οι δημιουργοί της Παλαιάς Διαθήκης περιορίστηκαν εντελώς στα τρία. Μέχρι το 1665, ο Sir Isaac Newton είχε υπολογίσει 16 ψηφία του pi. Μέχρι το 1719, ο Γάλλος μαθηματικός Tom Fante de Lagny είχε υπολογίσει 127 ψηφία. Η έλευση των υπολογιστών έχει βελτιώσει ριζικά τις γνώσεις του ανθρώπου για το Pi. Από το 1949 έως το 1967 ο αριθμός γνωστό στον άνθρωποοι αριθμοί εκτοξεύτηκαν από το 2037 στις 500.000. Όχι πολύ καιρό πριν, ο Peter Trueb, ένας επιστήμονας από την Ελβετία, μπόρεσε να υπολογίσει 2,24 τρισεκατομμύρια ψηφία του Pi! Αυτό κράτησε 105 ημέρες. Φυσικά, αυτό δεν είναι το όριο. Είναι πιθανό ότι με την ανάπτυξη της τεχνολογίας θα είναι δυνατό να καθοριστεί ένας ακόμη πιο ακριβής αριθμός - καθώς το Pi είναι άπειρο, απλά δεν υπάρχει όριο στην ακρίβεια και μόνο τα τεχνικά χαρακτηριστικά της τεχνολογίας υπολογιστών μπορούν να το περιορίσουν.

Υπολογισμός Pi με το χέρι

Εάν θέλετε να βρείτε μόνοι σας τον αριθμό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την τεχνική της παλιάς κοπής - θα χρειαστείτε χάρακα, βάζο και κορδόνι, μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε ένα μοιρογνωμόνιο και ένα μολύβι. Το μειονέκτημα της χρήσης ενός βάζου είναι ότι πρέπει να είναι στρογγυλό και η ακρίβεια θα καθοριστεί από το πόσο καλά μπορεί το άτομο να τυλίξει το σχοινί γύρω του. Είναι δυνατό να σχεδιάσετε έναν κύκλο με ένα μοιρογνωμόνιο, αλλά αυτό απαιτεί επίσης επιδεξιότητα και ακρίβεια, καθώς ένας ανομοιόμορφος κύκλος μπορεί να παραμορφώσει σοβαρά τις μετρήσεις σας. Μια πιο ακριβής μέθοδος περιλαμβάνει τη χρήση της γεωμετρίας. Διαχωρίστε τον κύκλο σε πολλά τμήματα, όπως φέτες πίτσας, και στη συνέχεια υπολογίστε το μήκος μιας ευθείας γραμμής που θα μετατρέψει κάθε τμήμα σε ένα ισοσκελές τρίγωνο. Το άθροισμα των πλευρών θα δώσει έναν κατά προσέγγιση αριθμό pi. Όσο περισσότερα τμήματα χρησιμοποιείτε, τόσο πιο ακριβής θα είναι ο αριθμός. Φυσικά, στους υπολογισμούς σας δεν θα μπορείτε να προσεγγίσετε τα αποτελέσματα ενός υπολογιστή, παρόλα αυτά αυτά απλά πειράματασας επιτρέπουν να κατανοήσετε με περισσότερες λεπτομέρειες τι είναι ο αριθμός pi γενικά και πώς χρησιμοποιείται στα μαθηματικά.

Ανακάλυψη του Πι

Οι αρχαίοι Βαβυλώνιοι γνώριζαν για την ύπαρξη του αριθμού Πι ήδη τέσσερις χιλιάδες χρόνια πριν. Οι βαβυλωνιακές πινακίδες υπολογίζουν το Pi ως 3,125 και ο αιγυπτιακός μαθηματικός πάπυρος περιέχει τον αριθμό 3,1605. Στη Βίβλο, ο αριθμός Pi δίνεται σε ένα απαρχαιωμένο μήκος - σε πήχεις, και ο Έλληνας μαθηματικός Αρχιμήδης χρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να περιγράψει το Πι, τη γεωμετρική αναλογία του μήκους των πλευρών ενός τριγώνου και του εμβαδού του \u200τις φιγούρες εντός και εκτός των κύκλων. Έτσι, είναι ασφαλές να πούμε ότι το Pi είναι μια από τις αρχαιότερες μαθηματικές έννοιες, αν και το ακριβές όνομα δεδομένου αριθμούκαι εμφανίστηκε σχετικά πρόσφατα.

Μια νέα άποψη για το Pi

Ακόμη και πριν το pi συσχετιστεί με κύκλους, οι μαθηματικοί είχαν ήδη πολλούς τρόπους να ονομάσουν ακόμη και αυτόν τον αριθμό. Για παράδειγμα, στα παλιά εγχειρίδια μαθηματικών μπορεί κανείς να βρει μια φράση στα λατινικά, η οποία μπορεί να μεταφραστεί χονδρικά ως «η ποσότητα που δείχνει το μήκος όταν η διάμετρος πολλαπλασιάζεται με αυτήν». Ο παράλογος αριθμός έγινε διάσημος όταν ο Ελβετός επιστήμονας Leonhard Euler τον χρησιμοποίησε στην εργασία του για την τριγωνομετρία το 1737. Ωστόσο, το ελληνικό σύμβολο για το πι δεν χρησιμοποιήθηκε ακόμα - συνέβη μόνο σε ένα βιβλίο λιγότερο διάσημος μαθηματικόςΟυίλιαμ Τζόουνς. Το χρησιμοποίησε ήδη από το 1706, αλλά είχε παραμεληθεί για πολύ. Με την πάροδο του χρόνου, οι επιστήμονες υιοθέτησαν αυτό το όνομα και τώρα αυτή είναι η πιο διάσημη εκδοχή του ονόματος, αν και πριν ονομαζόταν επίσης ο αριθμός Λούντολφ.

Το pi είναι φυσιολογικό;

Ο αριθμός pi είναι σίγουρα περίεργος, αλλά πώς υπακούει στους κανονικούς μαθηματικούς νόμους; Οι επιστήμονες έχουν ήδη επιλύσει πολλά ερωτήματα που σχετίζονται με αυτόν τον παράλογο αριθμό, αλλά ορισμένα μυστήρια παραμένουν. Για παράδειγμα, δεν είναι γνωστό πόσο συχνά χρησιμοποιούνται όλα τα ψηφία - οι αριθμοί από το 0 έως το 9 πρέπει να χρησιμοποιούνται σε ίση αναλογία. Ωστόσο, τα στατιστικά στοιχεία μπορούν να εντοπιστούν για τα πρώτα τρισεκατομμύρια ψηφία, αλλά λόγω του γεγονότος ότι ο αριθμός είναι άπειρος, είναι αδύνατο να αποδειχθεί κάτι με βεβαιότητα. Υπάρχουν άλλα προβλήματα που εξακολουθούν να διαφεύγουν οι επιστήμονες. Είναι πολύ πιθανό αυτό περαιτέρω ανάπτυξηΗ επιστήμη θα βοηθήσει να ρίξει φως σε αυτά, αλλά προς το παρόν αυτό παραμένει πέρα ​​από το πεδίο της ανθρώπινης νοημοσύνης.

Το Pi ακούγεται θεϊκό

Οι επιστήμονες δεν μπορούν να απαντήσουν σε ορισμένες ερωτήσεις σχετικά με τον αριθμό Pi, ωστόσο, κάθε χρόνο κατανοούν καλύτερα την ουσία του. Ήδη τον δέκατο όγδοο αιώνα, ο παραλογισμός αυτού του αριθμού αποδείχθηκε. Επιπλέον, έχει αποδειχθεί ότι ο αριθμός είναι υπερβατικό. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει σαφής τύπος που θα σας επέτρεπε να υπολογίσετε το pi χρησιμοποιώντας ρητούς αριθμούς.

Δυσαρέσκεια για τον Πι

Πολλοί μαθηματικοί είναι απλά ερωτευμένοι με τον Πι, αλλά υπάρχουν και εκείνοι που πιστεύουν ότι αυτοί οι αριθμοί δεν έχουν ιδιαίτερη σημασία. Επιπλέον, ισχυρίζονται ότι ο αριθμός Tau, ο οποίος είναι διπλάσιος από το Pi, είναι πιο βολικός να χρησιμοποιηθεί ως παράλογος. Το Tau δείχνει τη σχέση μεταξύ της περιφέρειας και της ακτίνας, η οποία, σύμφωνα με ορισμένους, αντιπροσωπεύει μια πιο λογική μέθοδο υπολογισμού. Ωστόσο, για να ορίσουμε ξεκάθαρα κάτι στο Αυτό το θέμααδύνατο, και ο ένας και ο άλλος αριθμός θα έχουν πάντα υποστηρικτές, και οι δύο μέθοδοι έχουν δικαίωμα στη ζωή, επομένως αυτό είναι απλώς ένα ενδιαφέρον γεγονός και όχι λόγος να πιστεύουμε ότι δεν πρέπει να χρησιμοποιείτε το Pi.

Ένας από τους πιο μυστηριώδεις αριθμούς που γνωρίζει η ανθρωπότητα, φυσικά, είναι ο αριθμός Π (διαβάστε - πι). Στην άλγεβρα, αυτός ο αριθμός αντικατοπτρίζει την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του. Προηγουμένως, αυτή η ποσότητα ονομαζόταν αριθμός Λούντολφ. Το πώς και από πού προήλθε ο αριθμός Pi δεν είναι γνωστό με βεβαιότητα, αλλά οι μαθηματικοί χωρίζουν ολόκληρη την ιστορία του αριθμού Π σε 3 στάδια, στην αρχαία, την κλασική και την εποχή. ψηφιακούς υπολογιστές.

Ο αριθμός P είναι παράλογος, δηλαδή δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως απλό κλάσμα, όπου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι ακέραιοι. Επομένως, ένας τέτοιος αριθμός δεν έχει τέλος και είναι περιοδικός. Για πρώτη φορά, ο παραλογισμός του Π αποδείχθηκε από τον I. Lambert το 1761.

Εκτός από αυτήν την ιδιότητα, ο αριθμός P δεν μπορεί επίσης να είναι η ρίζα οποιουδήποτε πολυωνύμου, και επομένως είναι μια αριθμητική ιδιότητα, όταν αποδείχθηκε το 1882, έβαλε τέλος στη σχεδόν ιερή διαμάχη των μαθηματικών «για τον τετραγωνισμό του κύκλου », που κράτησε για 2.500 χρόνια.

Είναι γνωστό ότι ο πρώτος που εισήγαγε την ονομασία αυτού του αριθμού ήταν ο Βρετανός Τζόουνς το 1706. Μετά την εμφάνιση του έργου του Euler, η χρήση ενός τέτοιου χαρακτηρισμού έγινε γενικά αποδεκτή.

Για να κατανοήσουμε λεπτομερώς τι είναι το Pi, θα πρέπει να ειπωθεί ότι η χρήση του είναι τόσο διαδεδομένη που είναι δύσκολο να ονομάσουμε ακόμη και έναν τομέα της επιστήμης στον οποίο δεν θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί. Ένα από τα πιο απλά και γνωστά σχολικό πρόγραμμα σπουδώντιμές είναι ο προσδιορισμός της γεωμετρικής περιόδου. Ο λόγος του μήκους ενός κύκλου προς το μήκος της διαμέτρου του είναι σταθερός και ίσος με 3,14 Αυτή η τιμή ήταν γνωστή ακόμη και στους αρχαιότερους μαθηματικούς στην Ινδία, την Ελλάδα, τη Βαβυλώνα, την Αίγυπτο. Η παλαιότερη εκδοχή υπολογισμού της αναλογίας χρονολογείται από το 1900 π.Χ. μι. Πιο κοντά στο σύγχρονο νόημαΤο P υπολογίστηκε από τον Κινέζο επιστήμονα Liu Hui, επιπλέον, εφηύρε και γρήγορο τρόποένας τέτοιος υπολογισμός. Η αξία του παρέμεινε γενικά αποδεκτή για σχεδόν 900 χρόνια.

Η κλασική περίοδος στην ανάπτυξη των μαθηματικών χαρακτηρίστηκε από το γεγονός ότι για να καθορίσουν ακριβώς ποιος είναι ο αριθμός Pi, οι επιστήμονες άρχισαν να χρησιμοποιούν τις μεθόδους μαθηματικής ανάλυσης. Το 1400, ο Ινδός μαθηματικός Madhava χρησιμοποίησε τη θεωρία των σειρών για να υπολογίσει και να καθορίσει την περίοδο του αριθμού P με ακρίβεια 11 ψηφίων μετά την υποδιαστολή. Ο πρώτος Ευρωπαίος, μετά τον Αρχιμήδη, που ερεύνησε τον αριθμό P και συνέβαλε σημαντικά στη δικαίωσή του, ήταν ο Ολλανδός Λούντολφ βαν Ζέουλεν, ο οποίος προσδιόρισε ήδη 15 ψηφία μετά την υποδιαστολή και έγραψε πολύ διασκεδαστικά λόγια στη διαθήκη του: «.. . όποιος ενδιαφέρεται - ας πάει παραπέρα». Ήταν προς τιμήν αυτού του επιστήμονα που ο αριθμός P έλαβε το πρώτο και μοναδικό ονομαστικό του όνομα στην ιστορία.

Η εποχή των υπολογιστών έφερε νέες λεπτομέρειες στην κατανόηση της ουσίας του αριθμού P. Έτσι, για να μάθουμε ποιος είναι ο αριθμός Pi, το 1949 χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά ο υπολογιστής ENIAC, ένας από τους προγραμματιστές του οποίου ήταν ο μελλοντικός «πατέρας» της θεωρίας των σύγχρονων υπολογιστών J. Η πρώτη μέτρηση πραγματοποιήθηκε για 70 ώρες και έδωσε 2037 ψηφία μετά την υποδιαστολή στην περίοδο του αριθμού P. Το σημάδι ενός εκατομμυρίου χαρακτήρων επιτεύχθηκε το 1973 . Επιπλέον, κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, καθιερώθηκαν και άλλοι τύποι που αντικατοπτρίζουν τον αριθμό P. Έτσι, οι αδελφοί Chudnovsky μπόρεσαν να βρουν έναν που επέτρεψε τον υπολογισμό 1.011.196.691 ψηφίων της περιόδου.

Σε γενικές γραμμές, πρέπει να σημειωθεί ότι για να απαντηθεί το ερώτημα: «Ποιος είναι ο αριθμός Pi;», πολλές μελέτες άρχισαν να μοιάζουν με διαγωνισμούς. Σήμερα, οι υπερυπολογιστές ασχολούνται ήδη με το ερώτημα τι είναι πραγματικά, ο αριθμός Pi. Ενδιαφέροντα γεγονόταπου σχετίζονται με αυτές τις μελέτες διαπερνούν σχεδόν ολόκληρη την ιστορία των μαθηματικών.

Σήμερα, για παράδειγμα, διεξάγονται παγκόσμια πρωταθλήματα στην απομνημόνευση του αριθμού P και σημειώνονται παγκόσμια ρεκόρ, το τελευταίο ανήκει στον Κινέζο Liu Chao, ο οποίος ονομάτισε 67.890 χαρακτήρες σε λίγο περισσότερο από μια μέρα. Στον κόσμο υπάρχει ακόμη και αργία του αριθμού P, η οποία γιορτάζεται ως «Ημέρα Πι».

Από το 2011, έχουν ήδη καθοριστεί 10 τρισεκατομμύρια ψηφία της αριθμητικής περιόδου.

Πίνακας αξιών τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Σημείωση. Αυτός ο πίνακας τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιεί το σύμβολο √ για να δηλώσει τετραγωνική ρίζα. Για να δηλώσετε ένα κλάσμα - το σύμβολο "/".

δείτε επίσηςχρήσιμα υλικά:

Για τον προσδιορισμό της τιμής μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης, να το βρείτε στην τομή της ευθείας που δείχνει την τριγωνομετρική συνάρτηση. Για παράδειγμα, ένα ημίτονο 30 μοιρών - ψάχνουμε για μια στήλη με την επικεφαλίδα sin (sine) και βρίσκουμε την τομή αυτής της στήλης του πίνακα με τη γραμμή "30 μοίρες", στη διασταύρωση τους διαβάζουμε το αποτέλεσμα - ένα δεύτερος. Ομοίως, βρίσκουμε συνημίτονο 60βαθμούς, ημιτονο 60μοίρες (για άλλη μια φορά, στη διασταύρωση της στήλης sin (sine) και της σειράς 60 μοιρών, βρίσκουμε την τιμή sin 60 = √3/2), κ.λπ. Με τον ίδιο τρόπο, βρίσκονται οι τιμές των ημιτόνων, των συνημιτόνων και των εφαπτομένων άλλων «δημοφιλών» γωνιών.

Ημίτονο του π, συνημίτονο του π, εφαπτομένη του π και άλλες γωνίες σε ακτίνια

Ο παρακάτω πίνακας συνημίτονων, ημιτόνων και εφαπτομένων είναι επίσης κατάλληλος για την εύρεση της τιμής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων των οποίων το όρισμα είναι δίνεται σε ακτίνια. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τη δεύτερη στήλη τιμών γωνίας. Χάρη σε αυτό, μπορείτε να μετατρέψετε την τιμή των δημοφιλών γωνιών από μοίρες σε ακτίνια. Για παράδειγμα, ας βρούμε τη γωνία των 60 μοιρών στην πρώτη γραμμή και ας διαβάσουμε την τιμή της σε ακτίνια κάτω από αυτήν. Οι 60 μοίρες είναι ίσες με π/3 ακτίνια.

Ο αριθμός pi εκφράζει μοναδικά την εξάρτηση της περιφέρειας από μέτρο βαθμούγωνία. Άρα pi ακτίνια ισούται με 180 μοίρες.

Οποιοσδήποτε αριθμός εκφράζεται σε pi (ακτίνιο) μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε μοίρες αντικαθιστώντας τον αριθμό pi (π) με 180.

Παραδείγματα:
1. sine pi.
sin π = αμαρτία 180 = 0
Έτσι, το ημίτονο του π είναι ίδιο με το ημίτονο των 180 μοιρών και ισούται με μηδέν.

2. συνημίτονο π.
cos π = cos 180 = -1
Έτσι, το συνημίτονο του pi είναι ίδιο με το συνημίτονο των 180 μοιρών και ισούται με μείον ένα.

3. Εφαπτομένη π
tg π = tg 180 = 0
Έτσι, η εφαπτομένη του pi είναι ίδια με την εφαπτομένη των 180 μοιρών και ισούται με μηδέν.

Πίνακας τιμών ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης για γωνίες 0 - 360 μοίρες (συχνές τιμές)

Εάν στον πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αντί για την τιμή της συνάρτησης, εμφανίζεται μια παύλα (εφαπτομένη (tg) 90 μοίρες, συνεφαπτομένη (ctg) 180 μοίρες), τότε όταν δεδομένη αξίατο μέτρο της μοίρας της συνάρτησης γωνίας δεν έχει σαφή σημασία. Εάν δεν υπάρχει παύλα, το κελί είναι κενό, επομένως δεν έχουμε εισαγάγει ακόμα την επιθυμητή τιμή. Μας ενδιαφέρει για ποια αιτήματα έρχονται οι χρήστες σε εμάς και συμπληρώνουν τον πίνακα με νέες τιμές, παρά το γεγονός ότι τα τρέχοντα δεδομένα για τις τιμές των συνημιτόνων, των ημιτόνων και των εφαπτομένων των πιο κοινών τιμών γωνίας είναι αρκετά για να λύσουν τα περισσότερα προβλήματα.

Πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων sin, cos, tg για τις πιο δημοφιλείς γωνίες
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 μοίρες
(αριθμητικές τιμές "σύμφωνα με τους πίνακες Bradis")