Οι μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα. Πώς να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή μιας συνάρτησης
Αφήστε τη λειτουργία y=φά(Χ)συνεχής στο διάστημα [ α, β]. Όπως είναι γνωστό, μια τέτοια συνάρτηση φτάνει τις μέγιστες και τις ελάχιστες τιμές της σε αυτό το τμήμα. Η συνάρτηση μπορεί να λάβει αυτές τις τιμές είτε σε ένα εσωτερικό σημείο του τμήματος [ α, β] ή στο όριο του τμήματος.
Για να βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης στο διάστημα [ α, β] απαραίτητη:
1) βρείτε τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης στο διάστημα ( α, β);
2) υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα κρίσιμα σημεία που βρέθηκαν.
3) υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος, δηλαδή για Χ=ΕΝΑκαι x = σι;
4) από όλες τις υπολογισμένες τιμές της συνάρτησης, επιλέξτε τη μεγαλύτερη και τη μικρότερη.
Παράδειγμα.Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης
στο τμήμα.
Εύρεση κρίσιμων σημείων:
Αυτά τα σημεία βρίσκονται μέσα στο τμήμα. y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;
στο σημείο Χ= 3 και στο σημείο Χ= 0.
Διερεύνηση συνάρτησης κυρτότητας και σημείου καμπής.
Λειτουργία y = φά (Χ) που ονομάζεται κυρτόανάμεσα (ένα, σι) , εάν η γραφική παράσταση του βρίσκεται κάτω από μια εφαπτομένη που σχεδιάζεται σε οποιοδήποτε σημείο αυτού του διαστήματος, και καλείται κυρτό προς τα κάτω (κοίλο)αν η γραφική παράσταση του βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη.
Το σημείο στη μετάβαση μέσω του οποίου η κυρτότητα αντικαθίσταται από την κοιλότητα ή το αντίστροφο ονομάζεται σημείο καμπής.
Αλγόριθμος για τη μελέτη της κυρτότητας και του σημείου καμπής:
1. Να βρείτε τα κρίσιμα σημεία του δεύτερου είδους, δηλαδή τα σημεία στα οποία η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με μηδέν ή δεν υπάρχει.
2. Βάλτε κρίσιμα σημεία στην αριθμογραμμή, σπάζοντας την σε διαστήματα. Βρείτε το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου σε κάθε διάστημα. αν , τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα πάνω, αν, τότε η συνάρτηση είναι κυρτή προς τα κάτω.
3. Αν κατά τη διέλευση από ένα κρίσιμο σημείο του δεύτερου είδους αλλάζει πρόσημο και στο σημείο αυτό η δεύτερη παράγωγος είναι ίση με μηδέν, τότε το σημείο αυτό είναι η τετμημένη του σημείου καμπής. Βρείτε την τεταγμένη του.
Ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης. Διερεύνηση συνάρτησης σε ασύμπτωτες.
Ορισμός.Η ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης ονομάζεται ευθεία, το οποίο έχει την ιδιότητα ότι η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο του γραφήματος σε αυτή τη γραμμή τείνει στο μηδέν με απεριόριστη αφαίρεση του σημείου του γραφήματος από την αρχή.
Υπάρχουν τρεις τύποι ασυμπτωμάτων: κάθετα, οριζόντια και κεκλιμένα.
Ορισμός.Απευθείας κλήση κάθετη ασύμπτωτηγράφημα συνάρτησης y = f(x), αν τουλάχιστον ένα από τα μονόπλευρα όρια της συνάρτησης σε αυτό το σημείο είναι ίσο με το άπειρο, δηλαδή
όπου είναι το σημείο ασυνέχειας της συνάρτησης, δηλαδή δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού.
Παράδειγμα.
ΡΕ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
Χ= 2 - σημείο θραύσης.
Ορισμός.Ευθεία y=ΕΝΑπου ονομάζεται οριζόντια ασύμπτωτηγράφημα συνάρτησης y = f(x)στο , εάν
Παράδειγμα.
|
Χ | |||
|
y |
Ορισμός.Ευθεία y=κx +σι (κ≠ 0) καλείται λοξή ασύμπτωτηγράφημα συνάρτησης y = f(x)εκεί όπου
Γενικό σχήμα μελέτης συναρτήσεων και σχεδίασης.
Αλγόριθμος έρευνας συναρτήσεωνy = f(x) :
1. Βρείτε τον τομέα της συνάρτησης ρε (y).
2. Βρείτε (αν είναι δυνατόν) τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης με τους άξονες συντεταγμένων (με Χ= 0 και σε y = 0).
3. Διερεύνηση για άρτιες και περιττές συναρτήσεις ( y (‒ Χ) = y (Χ) ‒ ισοτιμία; y(‒ Χ) = ‒ y (Χ) ‒ Περιττός).
4. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
5. Να βρείτε διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.
6. Βρείτε τα άκρα της συνάρτησης.
7. Να βρείτε τα διαστήματα κυρτότητας (κοίλης) και καμπής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης.
8. Με βάση την έρευνα που έγινε να κατασκευάσετε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης.
Παράδειγμα.Διερευνήστε τη συνάρτηση και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της.
1) ρε (y) =
Χ= 4 - σημείο θραύσης.
2) Πότε Χ = 0,
(0; – 5) – σημείο τομής με ω.
Στο y = 0,
3)
y(‒
Χ)=
λειτουργία γενική εικόνα(ούτε ζυγός ούτε περιττός).
4) Διερευνούμε για ασυμπτώματα.
α) κάθετη
β) οριζόντια
γ) βρείτε πλάγιες ασύμπτωτες όπου
‒λοξή ασυμπτωτική εξίσωση
5) Στην εξίσωση αυτή δεν απαιτείται να βρεθούν διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης.
6)
Αυτά τα κρίσιμα σημεία χωρίζουν ολόκληρο το πεδίο ορισμού της συνάρτησης στο διάστημα (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) και (10; +∞). Είναι βολικό να παρουσιαστούν τα ληφθέντα αποτελέσματα με τη μορφή του παρακάτω πίνακα.
Συχνά στη φυσική και στα μαθηματικά απαιτείται να βρεθεί μικρότερη τιμήλειτουργίες. Πώς να το κάνουμε αυτό, θα πούμε τώρα.
Πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης: εντολή
- Για να υπολογίσετε τη μικρότερη τιμή μιας συνεχούς συνάρτησης σε ένα δεδομένο διάστημα, πρέπει να ακολουθήσετε αυτόν τον αλγόριθμο:
- Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης.
- Να βρείτε σε ένα δεδομένο τμήμα τα σημεία στα οποία η παράγωγος είναι ίση με μηδέν, καθώς και όλα τα κρίσιμα σημεία. Στη συνέχεια, βρείτε τις τιμές της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία, δηλαδή λύστε την εξίσωση όπου το x είναι ίσο με μηδέν. Μάθετε ποια από τις τιμές είναι η μικρότερη.
- Μάθετε ποια τιμή έχει η συνάρτηση στα τελικά σημεία. Προσδιορίστε τη μικρότερη τιμή της συνάρτησης σε αυτά τα σημεία.
- Συγκρίνετε τα ληφθέντα δεδομένα με τη μικρότερη τιμή. Ο μικρότερος από τους ληφθέντες αριθμούς θα είναι η μικρότερη τιμή της συνάρτησης.
Σημειώστε ότι στην περίπτωση που μια συνάρτηση σε ένα τμήμα δεν έχει τα μικρότερα σημεία, αυτό σημαίνει ότι αυξάνεται ή μειώνεται σε αυτό το τμήμα. Επομένως, η μικρότερη τιμή θα πρέπει να υπολογιστεί στα πεπερασμένα τμήματα της συνάρτησης.
Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, η τιμή της συνάρτησης υπολογίζεται σύμφωνα με τον δεδομένο αλγόριθμο. Σε κάθε βήμα του αλγορίθμου, θα πρέπει να λύσετε ένα απλό γραμμική εξίσωσημε μια ρίζα. Λύστε την εξίσωση χρησιμοποιώντας το σχέδιο για να αποφύγετε λάθη.
Πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης σε ένα μισάνοιχτο τμήμα; Σε μισάνοιχτο ή ανοιχτή περίοδοςσυνάρτηση, η μικρότερη τιμή πρέπει να βρεθεί ως εξής. Στα τελικά σημεία της τιμής της συνάρτησης, υπολογίστε το μονόπλευρο όριο της συνάρτησης. Με άλλα λόγια, λύστε μια εξίσωση στην οποία τα σημεία τάσης δίνονται με την τιμή a+0 και b+0, όπου a και b είναι τα ονόματα των κρίσιμων σημείων.
Τώρα ξέρετε πώς να βρείτε τη μικρότερη τιμή μιας συνάρτησης. Το κύριο πράγμα είναι να κάνετε όλους τους υπολογισμούς σωστά, με ακρίβεια και χωρίς λάθη.
Και για να το λύσετε, χρειάζεστε ελάχιστη γνώση του θέματος. Το επόμενο ακαδημαϊκό έτος τελειώνει, όλοι θέλουν να πάνε διακοπές και για να φέρω αυτή τη στιγμή πιο κοντά, μπαίνω αμέσως στη δουλειά:
Ας ξεκινήσουμε με την περιοχή. Η περιοχή που αναφέρεται στην κατάσταση είναι περιορισμένος κλειστό σύνολο σημείων στο επίπεδο. Για παράδειγμα, ένα σύνολο σημείων που οριοθετούνται από ένα τρίγωνο, συμπεριλαμβανομένου ΟΛΟΚΛΗΡΟ του τριγώνου (αν από σύνορα"Βγάλτε έξω" τουλάχιστον ένα σημείο, τότε η περιοχή δεν θα είναι πλέον κλειστή). Στην πράξη, υπάρχουν επίσης περιοχές ορθογώνιες, στρογγυλές και ελαφρώς περισσότερες σύνθετα σχήματα. Ας σημειωθεί ότι στη θεωρία της μαθηματικής ανάλυσης δίνονται αυστηροί ορισμοί περιορισμοί, απομόνωση, όρια κ.λπ., αλλά νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν αυτές τις έννοιες σε διαισθητικό επίπεδο και δεν χρειάζονται περισσότερα τώρα.
Η επίπεδη περιοχή τυπικά συμβολίζεται με το γράμμα και, κατά κανόνα, δίνεται αναλυτικά - με πολλές εξισώσεις (όχι απαραίτητα γραμμικό); σπανιότερα ανισότητες. Μια τυπική λεκτική ανατροπή: «κλειστή περιοχή περιορισμένη από γραμμές».
Αναπόσπαστο μέρος της εργασίας που εξετάζεται είναι η κατασκευή της περιοχής στο σχέδιο. Πως να το κάνεις? Είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε όλες τις γραμμές που αναφέρονται (σε αυτή η υπόθεση 3 ευθεία) και αναλύστε τι συνέβη. Η επιθυμητή περιοχή είναι συνήθως ελαφρά διαγραμμισμένη και το περίγραμμά της επισημαίνεται με έντονη γραμμή: 
Μπορεί να ρυθμιστεί η ίδια περιοχή γραμμικές ανισότητες: , που για κάποιο λόγο γράφονται συχνότερα ως απαρίθμηση και όχι Σύστημα.
Εφόσον το όριο ανήκει στην περιοχή, τότε όλες οι ανισότητες, φυσικά, μη αυστηρή.
Και τώρα η ουσία του θέματος. Φανταστείτε ότι ο άξονας πηγαίνει κατευθείαν σε εσάς από την αρχή των συντεταγμένων. Σκεφτείτε μια συνάρτηση που συνεχής σε κάθεσημείο περιοχής. Το γράφημα αυτής της συνάρτησης είναι επιφάνεια, και η μικρή ευτυχία είναι ότι για να λύσουμε το σημερινό πρόβλημα δεν χρειάζεται να ξέρουμε καθόλου πώς μοιάζει αυτή η επιφάνεια. Μπορεί να βρίσκεται πάνω, κάτω, να διασχίζει το αεροπλάνο - όλα αυτά δεν είναι σημαντικά. Και είναι σημαντικό το εξής: σύμφωνα με Θεωρήματα Weierstrass, συνεχής V περιορισμένη κλειστήπεριοχή, η συνάρτηση φτάνει στο μέγιστο (από τα «υψηλότερα»)και λιγότερο (από τα «χαμηλότερα»)τιμές που πρέπει να βρεθούν. Αυτές οι αξίες επιτυγχάνονται ή V ακίνητα σημεία, που ανήκουν στην περιοχήρε , ήσε σημεία που βρίσκονται στα όρια αυτής της περιοχής. Από το οποίο ακολουθεί ένας απλός και διαφανής αλγόριθμος λύσης:
Παράδειγμα 1
Περιορισμένος κλειστό χώρο
Λύση: Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να απεικονίσετε την περιοχή στο σχέδιο. Δυστυχώς, είναι τεχνικά δύσκολο για μένα να φτιάξω ένα διαδραστικό μοντέλο του προβλήματος και ως εκ τούτου θα δώσω αμέσως την τελική απεικόνιση, η οποία δείχνει όλα τα «ύποπτα» σημεία που βρέθηκαν κατά τη διάρκεια της μελέτης. Συνήθως τοποθετούνται το ένα μετά το άλλο καθώς βρίσκονται: 
Με βάση το προοίμιο, η απόφαση μπορεί εύκολα να χωριστεί σε δύο σημεία:
Θ) Ας βρούμε ακίνητα σημεία. Αυτή είναι μια τυπική ενέργεια που έχουμε πραγματοποιήσει επανειλημμένα στο μάθημα. σχετικά με τα άκρα πολλών μεταβλητών:
Βρέθηκε ακίνητο σημείο ανήκειπεριοχές: (σημειώστε το στο σχέδιο), που σημαίνει ότι θα πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή της συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο:
- όπως στο άρθρο Οι μεγαλύτερες και οι μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε ένα τμήμα, θα τονίσω τα σημαντικά αποτελέσματα με έντονους χαρακτήρες. Σε ένα σημειωματάριο, είναι βολικό να τα κυκλώνετε με ένα μολύβι.
Δώστε προσοχή στη δεύτερη ευτυχία μας - δεν έχει νόημα να ελέγξουμε επαρκής συνθήκη για εξτρέμ. Γιατί; Ακόμα κι αν στο σημείο που φτάνει η συνάρτηση, για παράδειγμα, τοπικό ελάχιστο, τότε αυτό ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι η τιμή που προκύπτει θα είναι ελάχιστοςσε όλη την περιοχή (δείτε την αρχή του μαθήματος για ακραίες άνευ όρων) .
Τι γίνεται αν το ακίνητο σημείο ΔΕΝ ανήκει στην περιοχή; Σχεδόν τίποτα! Θα πρέπει να σημειωθεί ότι και να προχωρήσουμε στην επόμενη παράγραφο.
ΙΙ) Ερευνούμε τα σύνορα της περιοχής.
Δεδομένου ότι το περίγραμμα αποτελείται από τις πλευρές ενός τριγώνου, είναι βολικό να χωρίσετε τη μελέτη σε 3 υποπαραγράφους. Αλλά είναι καλύτερα να μην το κάνουμε ούτως ή άλλως. Από την άποψή μου, αρχικά είναι πιο πλεονεκτικό να εξετάζουμε τμήματα παράλληλα με τους άξονες συντεταγμένων και πρώτα απ 'όλα αυτά που βρίσκονται στους ίδιους τους άξονες. Για να πιάσετε ολόκληρη τη σειρά και τη λογική των ενεργειών, προσπαθήστε να μελετήσετε το τέλος "σε μια ανάσα":
1) Ας ασχοληθούμε με την κάτω πλευρά του τριγώνου. Για να γίνει αυτό, αντικαθιστούμε απευθείας στη συνάρτηση:
Εναλλακτικά, μπορείτε να το κάνετε ως εξής: 
Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο συντεταγμένων (που δίνεται και από την εξίσωση)«κόβεται» από επιφάνειες«χωρική» παραβολή, η κορυφή της οποίας πέφτει αμέσως υπό υποψία. Ας ανακαλύψουμε που είναι αυτή:
- η τιμή που προκύπτει "χτύπησε" στην περιοχή, και μπορεί κάλλιστα να είναι αυτή στο σημείο (σημάδι στο σχέδιο)η συνάρτηση φτάνει τη μεγαλύτερη ή τη μικρότερη τιμή σε ολόκληρη την περιοχή. Τέλος πάντων, ας κάνουμε τους υπολογισμούς:
Άλλοι «υποψήφιοι» είναι φυσικά τα άκρα του τμήματος. Υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης σε σημεία 
(σημάδι στο σχέδιο):
Εδώ, παρεμπιπτόντως, μπορείτε να εκτελέσετε έναν προφορικό μίνι έλεγχο στην έκδοση "απογυμνωμένη": 
2) Για να μελετήσουμε τη δεξιά πλευρά του τριγώνου, την αντικαθιστούμε στη συνάρτηση και «βάζουμε τα πράγματα σε σειρά εκεί»:
Εδώ εκτελούμε αμέσως έναν πρόχειρο έλεγχο, "κουδουνίζοντας" το ήδη επεξεργασμένο άκρο του τμήματος:
, Εξαιρετική.
Η γεωμετρική κατάσταση σχετίζεται με το προηγούμενο σημείο:
- η προκύπτουσα τιμή «μπήκε επίσης στο εύρος των ενδιαφερόντων μας», πράγμα που σημαίνει ότι πρέπει να υπολογίσουμε με τι είναι ίση η συνάρτηση στο σημείο που εμφανίστηκε:
Ας εξετάσουμε το δεύτερο τέλος του τμήματος:
Χρησιμοποιώντας τη λειτουργία 
, ας ελέγξουμε: 
3) Όλοι πιθανότατα ξέρουν πώς να εξερευνήσουν την υπόλοιπη πλευρά. Αντικαθιστούμε τη συνάρτηση και πραγματοποιούμε απλοποιήσεις:
Η γραμμή τελειώνει 
έχουν ήδη διερευνηθεί, αλλά στο προσχέδιο εξακολουθούμε να ελέγχουμε αν βρήκαμε σωστά τη λειτουργία 
:
– συνέπεσε με το αποτέλεσμα του 1ου εδαφίου·
– συνέπεσε με το αποτέλεσμα του 2ου εδαφίου.
Μένει να μάθουμε αν υπάρχει κάτι ενδιαφέρον μέσα στο τμήμα:
- Υπάρχει! Αντικαθιστώντας μια ευθεία γραμμή στην εξίσωση, παίρνουμε την τεταγμένη αυτού του «ενδιαφέροντος»:
Σημειώνουμε ένα σημείο στο σχέδιο και βρίσκουμε την αντίστοιχη τιμή της συνάρτησης:
Ας ελέγξουμε τους υπολογισμούς σύμφωνα με την έκδοση "προϋπολογισμού". 
:
, Σειρά.
Και το τελευταίο βήμα: Κοιτάξτε προσεκτικά όλους τους «παχυλούς» αριθμούς, προτείνω ακόμη και στους αρχάριους να φτιάξουν μια ενιαία λίστα: 
από την οποία επιλέγουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές. Απάντησηγράψτε στο ύφος του προβλήματος της εύρεσης τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης στο διάστημα:
Για κάθε ενδεχόμενο, θα σχολιάσω για άλλη μια φορά τη γεωμετρική σημασία του αποτελέσματος:
- εδώ είναι τα περισσότερα υψηλό σημείοεπιφάνειες στην περιοχή ;
- εδώ είναι το χαμηλότερο σημείο της επιφάνειας στην περιοχή.
Στο πρόβλημα που αναλύθηκε, βρήκαμε 7 «ύποπτα» σημεία, αλλά ο αριθμός τους διαφέρει από εργασία σε εργασία. Για μια τριγωνική περιοχή, το ελάχιστο "σετ εξερεύνησης" αποτελείται από τρία σημεία. Αυτό συμβαίνει όταν η συνάρτηση, για παράδειγμα, ρυθμίζεται επίπεδο- είναι αρκετά σαφές ότι δεν υπάρχουν σταθερά σημεία και η συνάρτηση μπορεί να φτάσει τις μέγιστες / ελάχιστες τιμές μόνο στις κορυφές του τριγώνου. Αλλά δεν υπάρχουν τέτοια παραδείγματα μία, δύο φορές - συνήθως πρέπει να αντιμετωπίσετε κάποιο είδος επιφάνεια 2ης τάξης.
Εάν λύσετε αυτές τις εργασίες λίγο, τότε τα τρίγωνα μπορούν να κάνουν το κεφάλι σας να περιστρέφεται και επομένως έχω ετοιμάσει ασυνήθιστα παραδείγματα για να το κάνετε τετράγωνο :))
Παράδειγμα 2
Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης 
σε κλειστή περιοχή που οριοθετείται από γραμμές
Παράδειγμα 3
Βρείτε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε μια οριοθετημένη κλειστή περιοχή.
Δώστε ιδιαίτερη προσοχή στην ορθολογική σειρά και την τεχνική της εξερεύνησης του ορίου της περιοχής, καθώς και στην αλυσίδα των ενδιάμεσων ελέγχων, που θα αποφύγουν σχεδόν πλήρως τα υπολογιστικά λάθη. Σε γενικές γραμμές, μπορείτε να το λύσετε όπως θέλετε, αλλά σε ορισμένα προβλήματα, για παράδειγμα, στο ίδιο Παράδειγμα 2, υπάρχει κάθε πιθανότητα να περιπλέξει σημαντικά τη ζωή σας. Δείγμα Δείγματελειώνοντας τις εργασίες στο τέλος του μαθήματος.
Συστηματοποιούμε τον αλγόριθμο λύσης, διαφορετικά, με την επιμέλειά μου μιας αράχνης, κάπως χάθηκε σε ένα μακρύ νήμα σχολίων του 1ου παραδείγματος:
- Στο πρώτο βήμα, χτίζουμε μια περιοχή, είναι επιθυμητό να τη σκιάσουμε και να τονίσουμε το περίγραμμα με μια παχιά γραμμή. Κατά τη διάρκεια της λύσης, θα εμφανιστούν σημεία που πρέπει να τοποθετηθούν στο σχέδιο.
– Βρείτε σταθερά σημεία και υπολογίστε τις τιμές της συνάρτησης μόνο σε αυτά, που ανήκουν στην περιοχή . Οι λαμβανόμενες τιμές επισημαίνονται στο κείμενο (για παράδειγμα, κυκλώνονται με μολύβι). Αν το ακίνητο σημείο ΔΕΝ ανήκει στην περιοχή, τότε σημειώνουμε αυτό το γεγονός με εικονίδιο ή προφορικά. Αν δεν υπάρχουν καθόλου ακίνητα σημεία, τότε βγάζουμε γραπτό συμπέρασμα ότι απουσιάζουν. Σε κάθε περίπτωση, αυτό το στοιχείο δεν μπορεί να παραλειφθεί!
– Εξερεύνηση της παραμεθόριας περιοχής. Πρώτον, είναι πλεονεκτικό να αντιμετωπίζουμε ευθείες γραμμές που είναι παράλληλες με τους άξονες συντεταγμένων (αν υπάρχουν). Οι τιμές συναρτήσεων που υπολογίζονται σε "ύποπτα" σημεία επισημαίνονται επίσης. Πολλά έχουν ειπωθεί για την τεχνική λύσης παραπάνω και κάτι άλλο θα ειπωθεί παρακάτω - διαβάστε, ξαναδιαβάστε, εμβαθύνετε!
- Από τους επιλεγμένους αριθμούς, επιλέξτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές και δώστε μια απάντηση. Μερικές φορές συμβαίνει ότι η συνάρτηση φτάνει σε τέτοιες τιμές σε πολλά σημεία ταυτόχρονα - σε αυτήν την περίπτωση, όλα αυτά τα σημεία θα πρέπει να αντικατοπτρίζονται στην απάντηση. Ας, για παράδειγμα, 
και αποδείχθηκε ότι αυτή είναι η μικρότερη τιμή. Μετά το γράφουμε
Τα τελευταία παραδείγματα είναι αφιερωμένα σε άλλες χρήσιμες ιδέες που θα φανούν χρήσιμες στην πράξη:
Παράδειγμα 4
Βρείτε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές μιας συνάρτησης σε μια κλειστή περιοχή 
.
Έχω κρατήσει τη διατύπωση του συγγραφέα, στην οποία το εμβαδόν δίνεται ως διπλή ανισότητα. Αυτή η συνθήκη μπορεί να γραφτεί σε ένα ισοδύναμο σύστημα ή σε μια πιο παραδοσιακή μορφή για αυτό το πρόβλημα: 
Σας θυμίζω ότι με μη γραμμικόσυναντήσαμε ανισότητες στις
Λύση, όπως πάντα, ξεκινά με την κατασκευή του χώρου, που είναι ένα είδος «σόλας»: 
Χμ, μερικές φορές πρέπει να ροκανίζεις όχι μόνο τον γρανίτη της επιστήμης….
I) Βρείτε ακίνητα σημεία: 
Το σύστημα των ονείρων του ηλίθιου :) 
Το ακίνητο σημείο ανήκει στην περιοχή, δηλαδή, βρίσκεται στα όριά της.
Και έτσι, δεν είναι τίποτα... πήγε το διασκεδαστικό μάθημα - αυτό σημαίνει να πίνεις το σωστό τσάι =)
ΙΙ) Ερευνούμε τα σύνορα της περιοχής. Χωρίς περαιτέρω καθυστέρηση, ας ξεκινήσουμε με τον άξονα x:
1) Αν, τότε
Βρείτε πού βρίσκεται η κορυφή της παραβολής:
- Εκτιμήστε τέτοιες στιγμές - «χτυπήστε» κατευθείαν στο σημείο, από το οποίο όλα είναι ήδη ξεκάθαρα. Αλλά μην ξεχάσετε να ελέγξετε: 
Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του τμήματος: 
2) Θα ασχοληθούμε με το κάτω μέρος της "σόλας" "σε μία θέση" - χωρίς κανένα σύμπλεγμα το αντικαθιστούμε στη συνάρτηση, επιπλέον, θα μας ενδιαφέρει μόνο το τμήμα:
Ελεγχος:
Τώρα αυτό φέρνει ήδη κάποια αναζωογόνηση στη μονότονη διαδρομή σε μια κομμένη πίστα. Ας βρούμε τα κρίσιμα σημεία:
Εμείς αποφασίζουμε τετραγωνική εξίσωσητο θυμασαι αυτο? ... Ωστόσο, να θυμάστε, φυσικά, διαφορετικά δεν θα είχατε διαβάσει αυτές τις γραμμές =) Αν στα δύο προηγούμενα παραδείγματα ήταν βολικοί υπολογισμοί σε δεκαδικά κλάσματα (που, παρεμπιπτόντως, είναι σπάνιος), τότε εδώ περιμένουμε το συνήθης κοινά κλάσματα. Βρίσκουμε τις ρίζες «x» και, χρησιμοποιώντας την εξίσωση, προσδιορίζουμε τις αντίστοιχες συντεταγμένες «παιχνιδιού» των «υποψήφιων» σημείων: 
Ας υπολογίσουμε τις τιμές της συνάρτησης στα σημεία που βρέθηκαν: 
Ελέγξτε τη λειτουργία μόνοι σας.
Τώρα μελετάμε προσεκτικά τα τρόπαια που κατακτήθηκαν και γράφουμε απάντηση:
Ιδού οι «υποψήφιοι», άρα οι «υποψήφιοι»!
Για μια αυτόνομη λύση:
Παράδειγμα 5
Βρείτε τις μικρότερες και μεγαλύτερες τιμές μιας συνάρτησης 
σε κλειστό χώρο 
Μια καταχώριση με σγουρά τιράντες έχει ως εξής: «ένα σύνολο σημείων έτσι ώστε».
Μερικές φορές σε τέτοια παραδείγματα χρησιμοποιούν Μέθοδος πολλαπλασιαστή Lagrange, αλλά η πραγματική ανάγκη χρήσης του είναι απίθανο να προκύψει. Έτσι, για παράδειγμα, εάν δοθεί μια συνάρτηση με την ίδια περιοχή "de", τότε μετά την αντικατάσταση σε αυτήν - με μια παράγωγο χωρίς δυσκολίες. Επιπλέον, όλα συντάσσονται σε μια «μία γραμμή» (με σημάδια) χωρίς να χρειάζεται να ληφθούν υπόψη τα άνω και κάτω ημικύκλια χωριστά. Αλλά, φυσικά, υπάρχουν περισσότερα δύσκολες περιπτώσεις, όπου χωρίς τη συνάρτηση Lagrange (όπου, για παράδειγμα, είναι η ίδια εξίσωση κύκλου)είναι δύσκολο να τα βγάλεις πέρα - πόσο δύσκολο είναι να τα βγάλεις πέρα χωρίς καλή ξεκούραση!
Ό,τι καλύτερο για να περάσετε τη συνεδρία και να σας δούμε σύντομα την επόμενη σεζόν!
Λύσεις και απαντήσεις:
Παράδειγμα 2: Λύση: σχεδιάστε την περιοχή στο σχέδιο:
Τι είναι το άκρο μιας συνάρτησης και ποια είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για ένα άκρο;
Το άκρο μιας συνάρτησης είναι το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης.
Η απαραίτητη προϋπόθεση για το μέγιστο και το ελάχιστο (άκρο) της συνάρτησης είναι η εξής: αν η συνάρτηση f(x) έχει άκρο στο σημείο x = a, τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος είναι είτε μηδέν, είτε άπειρη, είτε δεν υπάρχει.
Αυτή η προϋπόθεση είναι απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής. Η παράγωγος στο σημείο x = a μπορεί να εξαφανιστεί, να πάει στο άπειρο ή να μην υπάρχει χωρίς η συνάρτηση να έχει άκρο σε αυτό το σημείο.
Ποια είναι η επαρκής συνθήκη για το άκρο της συνάρτησης (μέγιστο ή ελάχιστο);
Πρώτη προϋπόθεση:
Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι θετική στα αριστερά του a και αρνητική στα δεξιά του a, τότε στο ίδιο το σημείο x = a, η συνάρτηση f(x) έχει ανώτατο όριο
Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι αρνητική στα αριστερά του a και θετική στα δεξιά του a, τότε στο ίδιο το σημείο x = a, η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστομε την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής εδώ.
Αντίθετα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη επαρκή συνθήκη για το άκρο της συνάρτησης:
Έστω στο σημείο x = και η πρώτη παράγωγος f?(x) εξαφανίζεται. αν η δεύτερη παράγωγος f??(α) είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο στο σημείο x = a, αν είναι θετική, τότε ένα ελάχιστο.
Ποιο είναι το κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης και πώς να το βρείτε;
Αυτή είναι η τιμή του ορίσματος συνάρτησης στο οποίο η συνάρτηση έχει ένα άκρο (δηλαδή μέγιστο ή ελάχιστο). Για να το βρείτε, χρειάζεστε βρείτε την παράγωγοσυνάρτηση f?(x) και, εξισώνοντάς την με μηδέν, λύσει την εξίσωση f?(x) = 0. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, καθώς και εκείνα τα σημεία στα οποία η παράγωγος αυτής της συνάρτησης δεν υπάρχει, είναι κρίσιμα σημεία, δηλ. οι τιμές του ορίσματος στα οποία μπορεί να υπάρχει ακρότατο . Μπορούν εύκολα να αναγνωριστούν κοιτάζοντας παράγωγο γράφημα: μας ενδιαφέρουν εκείνες οι τιμές του ορίσματος στις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα της τετμημένης (άξονας Ox) και εκείνες στις οποίες το γράφημα υφίσταται διακοπές.
Για παράδειγμα, ας βρούμε άκρο της παραβολής.
Συνάρτηση y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Παράγωγος συνάρτησης: y?(x) = 6x + 2
Λύνουμε την εξίσωση: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Σε αυτή την περίπτωση, το κρίσιμο σημείο είναι x0=-1/3. Για αυτήν την τιμή του ορίσματος έχει η συνάρτηση ακραίο. Να το πάρεις εύρημα, αντικαθιστούμε τον αριθμό που βρέθηκε στην έκφραση για τη συνάρτηση αντί του "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Πώς να προσδιορίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης, π.χ. τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές του;
Εάν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από «συν» σε «πλην» όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο x0, τότε το x0 είναι μέγιστο σημείο; αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από μείον σε συν, τότε το x0 είναι ελάχιστο σημείο; αν το πρόσημο δεν αλλάξει, τότε στο σημείο x0 δεν υπάρχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
Για το εξεταζόμενο παράδειγμα:
Παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα αριστερά του κρίσιμο σημείο: x = -1
Όταν x = -1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y; (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (δηλαδή, το σύμβολο μείον).
Τώρα παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα δεξιά του κρίσιμου σημείου: x = 1
Για x = 1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (δηλαδή, το σύμβολο συν).
Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τη διέλευση από το κρίσιμο σημείο, η παράγωγος άλλαξε πρόσημο από μείον σε συν. Αυτό σημαίνει ότι στην κρίσιμη τιμή του x0 έχουμε ένα ελάχιστο σημείο.
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο μεσοδιάστημα(στο τμήμα) βρίσκονται με την ίδια διαδικασία, μόνο λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, ίσως, δεν θα βρίσκονται όλα τα κρίσιμα σημεία εντός του καθορισμένου μεσοδιαστήματος. Αυτά τα κρίσιμα σημεία που βρίσκονται εκτός του διαστήματος πρέπει να εξαιρεθούν από την εξέταση. Εάν υπάρχει μόνο ένα κρίσιμο σημείο μέσα στο διάστημα, θα έχει είτε μέγιστο είτε ελάχιστο. Σε αυτή την περίπτωση, για να προσδιορίσουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης, λαμβάνουμε επίσης υπόψη τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.
Για παράδειγμα, ας βρούμε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης
y (x) \u003d 3 αμαρτία (x) - 0,5x
κατά διαστήματα:
Άρα η παράγωγος της συνάρτησης είναι
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Λύνουμε την εξίσωση 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x \u003d ± τόξο (0,16667) + 2πk.
Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία στο διάστημα [-9; 9]:
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)
x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)
Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμες τιμές του ορίσματος:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Μπορεί να φανεί ότι στο διάστημα [-9; 9] υψηλότερη τιμήη συνάρτηση έχει x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
και το μικρότερο - στο x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε μόνο ένα κρίσιμο σημείο: x = -4,88. Η τιμή της συνάρτησης στο x = -4,88 είναι y = 5,398.
Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης
y = 5,398 σε x = -4,88
η μικρότερη τιμή είναι
y = 1,077 σε x = -3
Πώς να βρείτε τα σημεία καμπής ενός γραφήματος συνάρτησης και να προσδιορίσετε τις πλευρές της κυρτότητας και της κοιλότητας;
Για να βρείτε όλα τα σημεία καμπής της γραμμής y \u003d f (x), πρέπει να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, να την εξισώσετε με το μηδέν (λύστε την εξίσωση) και να δοκιμάσετε όλες εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν , άπειρο ή δεν υπάρχει. Εάν, όταν διέρχεται από μία από αυτές τις τιμές, η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει κλίση σε αυτό το σημείο. Αν δεν αλλάξει, τότε δεν υπάρχει κλίση.
Οι ρίζες της εξίσωσης f ? (x) = 0, καθώς και πιθανά σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης και της δεύτερης παραγώγου, διαιρούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε έναν αριθμό διαστημάτων. Η κυρτότητα σε κάθε μεσοδιάστημά τους καθορίζεται από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. Εάν η δεύτερη παράγωγος σε ένα σημείο του υπό μελέτη μεσοδιάστημα είναι θετική, τότε η ευθεία y = f(x) είναι κοίλη εδώ προς τα πάνω και αν είναι αρνητική, τότε προς τα κάτω.
Πώς να βρείτε τα άκρα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών;
Για να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης f(x, y), διαφοροποιήσιμη στην περιοχή της ανάθεσής της, χρειάζεστε:
1) βρείτε τα κρίσιμα σημεία και για αυτό, λύστε το σύστημα των εξισώσεων
fx; (x,y) = 0, fy; (x,y) = 0
2) για κάθε κρίσιμο σημείο P0(a;b), διερευνήστε εάν το πρόσημο της διαφοράς παραμένει αμετάβλητο
για όλα τα σημεία (x; y) αρκετά κοντά στο P0. Εάν η διαφορά διατηρεί θετικό πρόσημο, τότε στο σημείο P0 έχουμε ένα ελάχιστο, εάν αρνητικό, τότε ένα μέγιστο. Αν η διαφορά δεν διατηρήσει το πρόσημά της, τότε δεν υπάρχει άκρο στο σημείο Р0.
Παρομοίως, τα άκρα της συνάρτησης προσδιορίζονται για μεγαλύτερο αριθμό ορισμάτων.
Τι είναι το άκρο μιας συνάρτησης και ποια είναι η απαραίτητη προϋπόθεση για ένα άκρο;
Το άκρο μιας συνάρτησης είναι το μέγιστο και το ελάχιστο της συνάρτησης.
Η απαραίτητη προϋπόθεση για το μέγιστο και το ελάχιστο (άκρο) της συνάρτησης είναι η εξής: αν η συνάρτηση f(x) έχει άκρο στο σημείο x = a, τότε σε αυτό το σημείο η παράγωγος είναι είτε μηδέν, είτε άπειρη, είτε δεν υπάρχει.
Αυτή η προϋπόθεση είναι απαραίτητη, αλλά όχι επαρκής. Η παράγωγος στο σημείο x = a μπορεί να εξαφανιστεί, να πάει στο άπειρο ή να μην υπάρχει χωρίς η συνάρτηση να έχει άκρο σε αυτό το σημείο.
Ποια είναι η επαρκής συνθήκη για το άκρο της συνάρτησης (μέγιστο ή ελάχιστο);
Πρώτη προϋπόθεση:
Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι θετική στα αριστερά του a και αρνητική στα δεξιά του a, τότε στο ίδιο το σημείο x = a, η συνάρτηση f(x) έχει ανώτατο όριο
Εάν, σε επαρκή εγγύτητα με το σημείο x = a, η παράγωγος f?(x) είναι αρνητική στα αριστερά του a και θετική στα δεξιά του a, τότε στο ίδιο το σημείο x = a, η συνάρτηση f(x) έχει ελάχιστομε την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση f(x) είναι συνεχής εδώ.
Αντίθετα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη επαρκή συνθήκη για το άκρο της συνάρτησης:
Έστω στο σημείο x = και η πρώτη παράγωγος f?(x) εξαφανίζεται. αν η δεύτερη παράγωγος f??(α) είναι αρνητική, τότε η συνάρτηση f(x) έχει μέγιστο στο σημείο x = a, αν είναι θετική, τότε ένα ελάχιστο.
Ποιο είναι το κρίσιμο σημείο μιας συνάρτησης και πώς να το βρείτε;
Αυτή είναι η τιμή του ορίσματος συνάρτησης στο οποίο η συνάρτηση έχει ένα άκρο (δηλαδή μέγιστο ή ελάχιστο). Για να το βρείτε, χρειάζεστε βρείτε την παράγωγοσυνάρτηση f?(x) και, εξισώνοντάς την με μηδέν, λύσει την εξίσωση f?(x) = 0. Οι ρίζες αυτής της εξίσωσης, καθώς και εκείνα τα σημεία στα οποία η παράγωγος αυτής της συνάρτησης δεν υπάρχει, είναι κρίσιμα σημεία, δηλ. οι τιμές του ορίσματος στα οποία μπορεί να υπάρχει ακρότατο . Μπορούν εύκολα να αναγνωριστούν κοιτάζοντας παράγωγο γράφημα: μας ενδιαφέρουν εκείνες οι τιμές του ορίσματος στις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τον άξονα της τετμημένης (άξονας Ox) και εκείνες στις οποίες το γράφημα υφίσταται διακοπές.
Για παράδειγμα, ας βρούμε άκρο της παραβολής.
Συνάρτηση y(x) = 3x2 + 2x - 50.
Παράγωγος συνάρτησης: y?(x) = 6x + 2
Λύνουμε την εξίσωση: y?(x) = 0
6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3
Σε αυτή την περίπτωση, το κρίσιμο σημείο είναι x0=-1/3. Για αυτήν την τιμή του ορίσματος έχει η συνάρτηση ακραίο. Να το πάρεις εύρημα, αντικαθιστούμε τον αριθμό που βρέθηκε στην έκφραση για τη συνάρτηση αντί του "x":
y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.
Πώς να προσδιορίσετε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης, π.χ. τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές του;
Εάν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από «συν» σε «πλην» όταν διέρχεται από το κρίσιμο σημείο x0, τότε το x0 είναι μέγιστο σημείο; αν το πρόσημο της παραγώγου αλλάξει από μείον σε συν, τότε το x0 είναι ελάχιστο σημείο; αν το πρόσημο δεν αλλάξει, τότε στο σημείο x0 δεν υπάρχει ούτε μέγιστο ούτε ελάχιστο.
Για το εξεταζόμενο παράδειγμα:
Παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα αριστερά του κρίσιμου σημείου: x = -1
Όταν x = -1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y; (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (δηλαδή, το σύμβολο μείον).
Τώρα παίρνουμε μια αυθαίρετη τιμή του ορίσματος στα δεξιά του κρίσιμου σημείου: x = 1
Για x = 1, η τιμή της παραγώγου θα είναι y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (δηλαδή, το σύμβολο συν).
Όπως μπορείτε να δείτε, κατά τη διέλευση από το κρίσιμο σημείο, η παράγωγος άλλαξε πρόσημο από μείον σε συν. Αυτό σημαίνει ότι στην κρίσιμη τιμή του x0 έχουμε ένα ελάχιστο σημείο.
Η μεγαλύτερη και η μικρότερη τιμή της συνάρτησης στο μεσοδιάστημα(στο τμήμα) βρίσκονται με την ίδια διαδικασία, μόνο λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι, ίσως, δεν θα βρίσκονται όλα τα κρίσιμα σημεία εντός του καθορισμένου μεσοδιαστήματος. Αυτά τα κρίσιμα σημεία που βρίσκονται εκτός του διαστήματος πρέπει να εξαιρεθούν από την εξέταση. Εάν υπάρχει μόνο ένα κρίσιμο σημείο μέσα στο διάστημα, θα έχει είτε μέγιστο είτε ελάχιστο. Σε αυτή την περίπτωση, για να προσδιορίσουμε τις μεγαλύτερες και τις μικρότερες τιμές της συνάρτησης, λαμβάνουμε επίσης υπόψη τις τιμές της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος.
Για παράδειγμα, ας βρούμε τις μεγαλύτερες και μικρότερες τιμές της συνάρτησης
y (x) \u003d 3 αμαρτία (x) - 0,5x
κατά διαστήματα:
Άρα η παράγωγος της συνάρτησης είναι
y?(x) = 3cos(x) - 0,5
Λύνουμε την εξίσωση 3cos(x) - 0,5 = 0
cos(x) = 0,5/3 = 0,16667
x \u003d ± τόξο (0,16667) + 2πk.
Βρίσκουμε κρίσιμα σημεία στο διάστημα [-9; 9]:
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)
x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687
x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88
x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687
x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (δεν περιλαμβάνεται στο διάστημα)
Βρίσκουμε τις τιμές της συνάρτησης σε κρίσιμες τιμές του ορίσματος:
y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885
y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398
y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256
y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256
y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398
y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885
Μπορεί να φανεί ότι στο διάστημα [-9; 9] η συνάρτηση έχει τη μεγαλύτερη τιμή στο x = -4,88:
x = -4,88, y = 5,398,
και το μικρότερο - στο x = 4,88:
x = 4,88, y = -5,398.
Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε μόνο ένα κρίσιμο σημείο: x = -4,88. Η τιμή της συνάρτησης στο x = -4,88 είναι y = 5,398.
Βρίσκουμε την τιμή της συνάρτησης στα άκρα του διαστήματος:
y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838
y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077
Στο διάστημα [-6; -3] έχουμε τη μεγαλύτερη τιμή της συνάρτησης
y = 5,398 σε x = -4,88
η μικρότερη τιμή είναι
y = 1,077 σε x = -3
Πώς να βρείτε τα σημεία καμπής ενός γραφήματος συνάρτησης και να προσδιορίσετε τις πλευρές της κυρτότητας και της κοιλότητας;
Για να βρείτε όλα τα σημεία καμπής της γραμμής y \u003d f (x), πρέπει να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο, να την εξισώσετε με το μηδέν (λύστε την εξίσωση) και να δοκιμάσετε όλες εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες η δεύτερη παράγωγος είναι μηδέν , άπειρο ή δεν υπάρχει. Εάν, όταν διέρχεται από μία από αυτές τις τιμές, η δεύτερη παράγωγος αλλάζει πρόσημο, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει κλίση σε αυτό το σημείο. Αν δεν αλλάξει, τότε δεν υπάρχει κλίση.
Οι ρίζες της εξίσωσης f ? (x) = 0, καθώς και πιθανά σημεία ασυνέχειας της συνάρτησης και της δεύτερης παραγώγου, διαιρούν το πεδίο ορισμού της συνάρτησης σε έναν αριθμό διαστημάτων. Η κυρτότητα σε κάθε μεσοδιάστημά τους καθορίζεται από το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου. Εάν η δεύτερη παράγωγος σε ένα σημείο του υπό μελέτη μεσοδιάστημα είναι θετική, τότε η ευθεία y = f(x) είναι κοίλη εδώ προς τα πάνω και αν είναι αρνητική, τότε προς τα κάτω.
Πώς να βρείτε τα άκρα μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών;
Για να βρείτε τα άκρα της συνάρτησης f(x, y), διαφοροποιήσιμη στην περιοχή της ανάθεσής της, χρειάζεστε:
1) βρείτε τα κρίσιμα σημεία και για αυτό, λύστε το σύστημα των εξισώσεων
fx; (x,y) = 0, fy; (x,y) = 0
2) για κάθε κρίσιμο σημείο P0(a;b), διερευνήστε εάν το πρόσημο της διαφοράς παραμένει αμετάβλητο
για όλα τα σημεία (x; y) αρκετά κοντά στο P0. Εάν η διαφορά διατηρεί θετικό πρόσημο, τότε στο σημείο P0 έχουμε ένα ελάχιστο, εάν αρνητικό, τότε ένα μέγιστο. Αν η διαφορά δεν διατηρήσει το πρόσημά της, τότε δεν υπάρχει άκρο στο σημείο Р0.
Παρομοίως, τα άκρα της συνάρτησης προσδιορίζονται για μεγαλύτερο αριθμό ορισμάτων.
Τι είναι το Shrek Forever After;
Κινούμενα σχέδια: Shrek Forever Μετά Έτος κυκλοφορίας: 2010 Πρεμιέρα (Ρωσία): 20 Μαΐου 2010 Χώρα: ΗΠΑ Σκηνοθεσία: Michael Pitchel Σενάριο: Josh Klausner, Darren Lemke Είδος: οικογενειακή κωμωδία, φαντασία, περιπέτεια Επίσημη ιστοσελίδα: www.shrekforeverafter.com plot μουλάρι
Μπορώ να δωρίσω αίμα κατά τη διάρκεια της περιόδου μου;
Οι γιατροί δεν συνιστούν την αιμοδοσία κατά την έμμηνο ρύση, γιατί. η απώλεια αίματος, αν και όχι σε σημαντική ποσότητα, είναι γεμάτη με μείωση των επιπέδων αιμοσφαιρίνης και επιδείνωση της ευημερίας της γυναίκας. Κατά τη διαδικασία αιμοδοσίας, η κατάσταση με την ευημερία μπορεί να επιδεινωθεί μέχρι την ανακάλυψη αιμορραγίας. Ως εκ τούτου, οι γυναίκες πρέπει να απέχουν από την αιμοδοσία κατά τη διάρκεια της εμμήνου ρύσεως. Και ήδη την 5η μέρα αφού τελείωσαν
Πόσες kcal/ώρα καταναλώνονται κατά το πλύσιμο των δαπέδων
Είδη σωματική δραστηριότηταΚατανάλωση ενέργειας, kcal/h Μαγείρεμα 80 Ντύσιμο 30 Οδήγηση 50 Ξεσκόνισμα 80 Φαγητό 30 Κηπουρική 135 Σιδέρωμα 45 Στρώσιμο κρεβατιού 130 Ψώνια 80 Καθιστική εργασία 75 Κόψιμο ξύλου 300 Πλύσιμο δαπέδων 130 Φύλο 100-150 Χαμηλό χορό
Τι σημαίνει η λέξη «απατεώνας»;
Ένας απατεώνας είναι ένας κλέφτης που ασχολείται με μικροκλοπές ή ένας απατεώνας επιρρεπής σε δόλια κόλπα. Η επιβεβαίωση αυτού του ορισμού περιέχεται στο ετυμολογικό λεξικό του Κρίλοφ, σύμφωνα με το οποίο η λέξη «απατεώνας» σχηματίζεται από τη λέξη «απατεώνας» (κλέφτης, απατεώνας), παρόμοια με το ρήμα &la
Πώς ονομάζεται η τελευταία δημοσιευμένη ιστορία των αδελφών Strugatsky
Μια μικρή ιστορία Arkady and Boris Strugatsky "On the question of cyclotation" δημοσιεύθηκε για πρώτη φορά τον Απρίλιο του 2008 στην ανθολογία επιστημονικής φαντασίας "Noon. XXI αιώνας" (συμπλήρωμα του περιοδικού "Vokrug sveta", που εκδόθηκε υπό την επιμέλεια του Boris Strugatsky). Η έκδοση ήταν αφιερωμένη στην 75η επέτειο του Boris Strugatsky.
Πού μπορώ να διαβάσω τις ιστορίες των συμμετεχόντων στο πρόγραμμα Work And Travel USA
Το Work and Travel USA (εργασία και ταξίδι στις ΗΠΑ) είναι ένα δημοφιλές πρόγραμμα ανταλλαγής φοιτητών όπου μπορείτε να περάσετε το καλοκαίρι στην Αμερική, δουλεύοντας νόμιμα στον τομέα των υπηρεσιών και ταξιδεύοντας. Το πρόγραμμα History of the Work & Travel αποτελεί μέρος του προγράμματος Cultural Exchange Pro των διακυβερνητικών ανταλλαγών
Αυτί. Γαστρονομική και ιστορική αναφορά Για περισσότερους από δυόμισι αιώνες, η λέξη «ukha» χρησιμοποιείται για να δηλώσει σούπες ή αφέψημα φρέσκου ψαριού. Υπήρξε όμως μια εποχή που αυτή η λέξη ερμηνεύτηκε ευρύτερα. Δήλωναν σούπα - όχι μόνο ψάρι, αλλά και κρέας, μπιζέλι και ακόμη και γλυκό. Έτσι στο ιστορικό ντοκουμέντο - "
Πύλες πληροφοριών και στρατολόγησης Superjob.ru - Η πύλη πρόσληψης Superjob.ru λειτουργεί ρωσική αγορά online πρόσληψη από το 2000 και κατέχει ηγετική θέση μεταξύ των πόρων που προσφέρουν αναζήτηση εργασίας και στελέχωση. Περισσότερα από 80.000 βιογραφικά ειδικών και περισσότερες από 10.000 κενές θέσεις προστίθενται καθημερινά στη βάση δεδομένων του ιστότοπου.
Τι είναι κίνητρο
Ορισμός του κινήτρου Motivation (από το λατ. moveo - κινούμαι) - μια παρόρμηση για δράση. μια δυναμική διαδικασία ενός φυσιολογικού και ψυχολογικού σχεδίου που ελέγχει την ανθρώπινη συμπεριφορά, καθορίζει την κατεύθυνση, την οργάνωση, τη δραστηριότητα και τη σταθερότητά της. την ικανότητα του ανθρώπου να ικανοποιεί τις ανάγκες του μέσω της εργασίας. Motivac
Ποιος είναι ο Μπομπ Ντίλαν
Ο Bob Dylan (eng. Bob Dylan, πραγματικό όνομα - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; γεννημένος στις 24 Μαΐου 1941) είναι Αμερικανός τραγουδοποιός που - σύμφωνα με δημοσκόπηση του περιοδικού Rolling Stone - είναι ο δεύτερος (
Πώς να μεταφέρετε φυτά εσωτερικού χώρου
Μετά την αγορά φυτά εσωτερικού χώρου, ο κηπουρός έρχεται αντιμέτωπος με το καθήκον να παραδώσει τα εξωτικά λουλούδια που αγοράστηκαν χωρίς να βλάψουν. Η γνώση των βασικών κανόνων για τη συσκευασία και τη μεταφορά φυτών εσωτερικού χώρου θα βοηθήσει στην επίλυση αυτού του προβλήματος. Τα φυτά πρέπει να συσκευάζονται για να μεταφερθούν ή να μεταφερθούν. Ανεξάρτητα από το πόσο μικρή απόσταση μεταφέρονται τα φυτά, μπορεί να καταστραφούν, να στεγνώσουν και το χειμώνα και μ.
