सूत्र के प्राकृतिक लघुगणक के गुण। लघुगणक के गुण और उनके समाधान के उदाहरण

एक्सेल में एलएन फ़ंक्शन को गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है प्राकृतिकसंख्याएँ और संबंधित संख्यात्मक मान लौटाता है। प्राकृतिक लघुगणक आधार ई लघुगणक (लगभग 2.718 की एक यूलर संख्या) है।

एक्सेल में लॉग फ़ंक्शन का उपयोग किसी संख्या के लघुगणक की गणना करने के लिए किया जाता है, जबकि लघुगणक के आधार को इस फ़ंक्शन के दूसरे तर्क के रूप में स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।

एक्सेल में LOG10 फ़ंक्शन को आधार 10 (दशमलव लघुगणक) के साथ किसी संख्या के लघुगणक की गणना करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।

एक्सेल में LN, LOG और LOG10 फ़ंक्शंस का उपयोग करने के उदाहरण

पुरातत्वविदों को एक प्राचीन जानवर के अवशेष मिले हैं। उनकी आयु निर्धारित करने के लिए, रेडियोकार्बन विश्लेषण की विधि का उपयोग करने का निर्णय लिया गया। माप के परिणामस्वरूप, यह पता चला कि रेडियोधर्मी आइसोटोप सी 14 की सामग्री उस मात्रा का 17% थी जो आमतौर पर जीवित जीवों में पाई जाती है। अवशेषों की आयु की गणना करें यदि कार्बन 14 समस्थानिक का आधा जीवन 5760 वर्ष है।

मूल तालिका का दृश्य:

हल करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:

यह सूत्र सूत्र x=t*(lgB-lgq)/lgp के आधार पर प्राप्त किया गया था, जहां:

• q प्रारंभिक क्षण में (जानवर की मृत्यु के क्षण में) कार्बन समस्थानिक की मात्रा है, जिसे एक इकाई (या 100%) के रूप में व्यक्त किया जाता है;
• बी अवशेषों के विश्लेषण के समय आइसोटोप की मात्रा है;
• टी आइसोटोप का आधा जीवन है;
• p एक संख्यात्मक मान है जो दर्शाता है कि किसी पदार्थ (कार्बन समस्थानिक) की मात्रा कितनी बार t की अवधि में बदलती है।

गणनाओं के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं:

मिले अवशेष लगभग 15 हजार साल पुराने हैं।



एक्सेल में चक्रवृद्धि ब्याज के साथ जमा कैलकुलेटर

एक बैंक ग्राहक ने 14.5% (चक्रवृद्धि ब्याज) की ब्याज दर के साथ 50,000 रूबल की राशि जमा की। निर्धारित करें कि निवेश की गई राशि को दोगुना करने में कितना समय लगेगा?

दिलचस्प तथ्य! इस समस्या को जल्दी से हल करने के लिए, आप चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश किए गए निवेश को दोगुना करने के लिए समय सीमा (वर्षों में) का अनुमान लगाने की अनुभवजन्य विधि का उपयोग कर सकते हैं। तथाकथित नियम 72 (या 70 या नियम 69)। ऐसा करने के लिए, आपको एक सरल सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है - संख्या 72 से विभाजित ब्याज दर: 72/14.5 = 4.9655 वर्ष। मुख्य नुकसान"जादू" संख्या 72 का नियम त्रुटि में निहित है। ब्याज दर जितनी अधिक होगी, नियम 72 में त्रुटि उतनी ही अधिक होगी। उदाहरण के लिए, प्रति वर्ष 100% की ब्याज दर के साथ, वर्षों में त्रुटि 0.72 तक पहुँच जाती है (और प्रतिशत में यह 28% है!)।

दोहरीकरण निवेश के समय की सटीक गणना करने के लिए, हम LOG फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे। एक बात के लिए, 14.5% प्रति वर्ष की ब्याज दर पर नियम 72 की त्रुटि की जाँच करें।

मूल तालिका का दृश्य:

ज्ञात ब्याज दर पर किसी निवेश के भविष्य के मूल्य की गणना करने के लिए, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: S=A(100%+n%) t , जहां:

• एस अवधि के अंत में अपेक्षित राशि है;
• ए जमा की राशि है;
• एन - ब्याज दर;
• टी बैंक में जमा राशि रखने की अवधि है।

इस उदाहरण के लिए, इस सूत्र को 100000=50000*(100%+14.5%) t या 2=(100%+14.5%) t के रूप में लिखा जा सकता है। फिर, t खोजने के लिए, आप समीकरण को t=log (114.5%) 2 या t=log 1.1452 के रूप में फिर से लिख सकते हैं।

टी का मान ज्ञात करने के लिए, हम एक्सेल में जमा राशि पर चक्रवृद्धि ब्याज के लिए निम्नलिखित सूत्र लिखते हैं:

लॉग (बी4/बी2;1+बी3)

तर्कों का विवरण:

• B4/B2 - अपेक्षित और प्रारंभिक राशियों का अनुपात, जो लघुगणक का सूचक है;
• 1+बी3 - ब्याज लाभ (लघुगणक का आधार)।

गणनाओं के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं:

जमा राशि 5 साल से कुछ अधिक समय के बाद दोगुनी हो जाएगी। के लिए सटीक परिभाषासाल और महीने, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

SELECT फ़ंक्शन INTEGER फ़ंक्शन के समान दशमलव बिंदु के बाद एक भिन्नात्मक संख्या में सब कुछ छोड़ देता है। SELECT और WHOLE फ़ंक्शंस के बीच का अंतर केवल ऋणात्मक भिन्नात्मक संख्याओं वाली गणनाओं में है। इसके अलावा, ओटीबीआर का दूसरा तर्क है जहां आप छोड़ने के लिए दशमलव स्थानों की संख्या निर्दिष्ट कर सकते हैं। में कवि इस मामले मेंआप उपयोगकर्ता की पसंद पर इन दो कार्यों में से किसी का भी उपयोग कर सकते हैं।

यह 5 साल और 1 महीना और 12 दिन निकला। अब आइए 72 के नियम के साथ सटीक परिणामों की तुलना करें और त्रुटि की मात्रा निर्धारित करें। इस उदाहरण के लिए, सूत्र है:

हमें सेल B3 के मान को 100 से गुणा करना होगा क्योंकि इसका वर्तमान मान 0.145 है, जो प्रतिशत के रूप में प्रदर्शित होता है। नतीजतन:

सेल B6 से सेल B8 और सेल B9 में सूत्र की प्रतिलिपि बनाने के बाद:

आइए त्रुटि शर्तों की गणना करें:

फिर, सेल B10 में, सेल B6 से सूत्र को फिर से कॉपी करें। परिणामस्वरूप, हमें अंतर मिलता है:

और अंत में, विचलन का आकार कैसे बदलता है और ब्याज दर में वृद्धि कितनी महत्वपूर्ण रूप से नियम 72 और तथ्य के बीच विसंगति के स्तर को प्रभावित करती है, यह जांचने के लिए प्रतिशत अंतर की गणना करें:

अब, त्रुटि में वृद्धि और ब्याज दर के स्तर में वृद्धि की आनुपातिक निर्भरता की कल्पना करने के लिए, हम ब्याज दर को 100% प्रति वर्ष तक बढ़ा देंगे:

पहली नज़र में, त्रुटि में अंतर 14.5% प्रति वर्ष की तुलना में महत्वपूर्ण नहीं है - केवल 2 महीने और 100% प्रति वर्ष - 3 महीने के भीतर। लेकिन पेबैक अवधि में त्रुटि का हिस्सा ¼ या 28% से अधिक है।

ब्याज दर में परिवर्तन की निर्भरता और नियम 72 की त्रुटि का प्रतिशत इस तथ्य से कैसे संबंधित है, इसके दृश्य विश्लेषण के लिए एक सरल ग्राफ बनाते हैं:

ब्याज दर जितनी अधिक होगी, नियम 72 उतना ही खराब होगा। नतीजतन, हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं: प्रति वर्ष 32.2% तक, आप सुरक्षित रूप से नियम 72 का उपयोग कर सकते हैं। फिर त्रुटि 10 प्रतिशत से कम है। यह सही होने पर करेगा, लेकिन 2 बार निवेश की वापसी अवधि पर जटिल गणना की आवश्यकता नहीं है।

एक्सेल में पूंजीकरण के साथ निवेश चक्रवृद्धि ब्याज कैलकुलेटर

बैंक ग्राहक को कुल राशि में निरंतर वृद्धि (चक्रवृद्धि ब्याज के साथ पूंजीकरण) के साथ जमा करने की पेशकश की गई थी। ब्याज दर 13% प्रति वर्ष है। निर्धारित करें कि प्रारंभिक राशि (250,000 रूबल) को तिगुना करने में कितना समय लगेगा। प्रतीक्षा समय को आधा करने के लिए ब्याज दर को कितना बढ़ाया जाना चाहिए?

नोट: चूंकि हम अंदर हैं यह उदाहरणहम निवेश की राशि को तिगुना कर देते हैं, तो नियम 72 यहां काम नहीं करता।

मूल डेटा तालिका का दृश्य:

निरंतर वृद्धि को सूत्र ln(N)=p*t द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जहां:

• एन जमा की अंतिम राशि का प्रारंभिक राशि का अनुपात है;
• पी ब्याज दर है;
• टी जमा किए गए वर्षों की संख्या है।

फिर टी = एलएन (एन)/पी। इस समानता के आधार पर, हम एक्सेल में सूत्र लिखते हैं:

तर्कों का विवरण:

• B3/B2 - जमा की अंतिम और प्रारंभिक राशियों का अनुपात;
• बी 4 - ब्याज दर।

प्रारंभिक जमा राशि को तिगुना करने में लगभग 8.5 वर्ष लगेंगे। उस दर की गणना करने के लिए जो प्रतीक्षा समय को आधा कर देगी, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

एलएन (बी3/बी2)/(0.5*बी5)

परिणाम:

यानी शुरुआती ब्याज दर को दोगुना करना जरूरी है।

एक्सेल में LN, LOG और LOG10 फ़ंक्शंस का उपयोग करने की सुविधाएँ

एलएन फ़ंक्शन में निम्न सिंटैक्स है:

एलएन (संख्या)

• संख्या एकमात्र अनिवार्य तर्क है जो सकारात्मक मानों की श्रेणी से वास्तविक संख्याओं को स्वीकार करता है।

टिप्पणियाँ:

1. एलएन फ़ंक्शन उलटा है ऍक्स्प समारोह. उत्तरार्द्ध संख्या ई को निर्दिष्ट शक्ति तक बढ़ाकर प्राप्त मूल्य लौटाता है। एलएन फ़ंक्शन उस शक्ति को निर्दिष्ट करता है जिस तक संख्या ई (आधार) को लघुगणक प्रतिपादक (संख्या तर्क) प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।
2. यदि संख्या तर्क ऋणात्मक मानों या शून्य की श्रेणी में एक संख्या है, तो LN फ़ंक्शन का परिणाम #NUM त्रुटि कोड है।

LOG फ़ंक्शन का सिंटैक्स इस प्रकार है:

लॉग (संख्या; [आधार])

तर्कों का विवरण:

• संख्या - एक अनिवार्य तर्क जो लघुगणक घातांक के संख्यात्मक मान की विशेषता है, अर्थात, लघुगणक के आधार को एक निश्चित शक्ति तक बढ़ाने के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या, जिसकी गणना LOG फ़ंक्शन द्वारा की जाएगी;
• [आधार] एक वैकल्पिक तर्क है जो लघुगणक के आधार के संख्यात्मक मान को दर्शाता है। यदि तर्क स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं है, तो लघुगणक को दशमलव मान लिया जाता है (अर्थात, आधार 10 है)।

टिप्पणियाँ:

1. यद्यपि LOG फ़ंक्शन का परिणाम ऋणात्मक संख्या हो सकता है (उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन =LOG(2;0.25) -0.5 लौटाएगा), इस फ़ंक्शन के तर्क सकारात्मक मानों की श्रेणी से लिए जाने चाहिए। यदि कम से कम एक तर्क ऋणात्मक संख्या है, लॉग समारोह#NUM! त्रुटि कोड लौटाएगा।
2. यदि 1 को [आधार] तर्क के रूप में पास किया जाता है, तो LOG फ़ंक्शन #DIV/0!

LOG10 फ़ंक्शन में निम्न सिंटैक्स नोटेशन है:

लॉग 10 (संख्या)

• संख्या एकमात्र और अनिवार्य तर्क है, जिसका अर्थ एलएन और लॉग कार्यों के समान नाम के तर्क के समान है।

नोट: यदि एक ऋणात्मक संख्या या 0 को संख्या तर्क के रूप में पारित किया गया था, तो LOG10 फ़ंक्शन #NUM! त्रुटि कोड लौटाएगा।

आधार a के लिए संख्या b का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको संख्या b प्राप्त करने के लिए संख्या a बढ़ाने की आवश्यकता है।

तो अगर ।

लघुगणक अत्यंत है महत्वपूर्ण गणितीय मात्रा, चूंकि लघुगणकीय कलन न केवल हल करने की अनुमति देता है घातीय समीकरण, लेकिन संकेतकों के साथ भी काम करते हैं, एक्सपोनेंशियल और लॉगरिदमिक कार्यों को अलग करते हैं, उन्हें एकीकृत करते हैं और गणना करने के लिए अधिक स्वीकार्य रूप का नेतृत्व करते हैं।

के साथ संपर्क में

लघुगणक के सभी गुण सीधे गुणों से संबंधित होते हैं घातीय कार्य. उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि मतलब कि:

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि विशिष्ट समस्याओं को हल करते समय, लघुगणक के गुण शक्तियों के साथ काम करने के नियमों की तुलना में अधिक महत्वपूर्ण और उपयोगी हो सकते हैं।

यहाँ कुछ पहचान हैं:

यहाँ मुख्य बीजगणितीय भाव हैं:

;

.

ध्यान!केवल x>0, x≠1, y>0 के लिए मौजूद हो सकता है।

आइए इस प्रश्न को समझने का प्रयास करें कि प्राकृतिक लघुगणक क्या होते हैं। गणित में अलग रुचि दो प्रकार का प्रतिनिधित्व करते हैं- पहले के आधार पर "10" संख्या होती है, और इसे "दशमलव लघुगणक" कहा जाता है। दूसरे को प्राकृतिक कहा जाता है। प्राकृतिक लघुगणक का आधार संख्या ई है। यह उनके बारे में है कि हम इस लेख में विस्तार से बात करेंगे।

पदनाम:

• एलजी एक्स - दशमलव;
• एलएन एक्स - प्राकृतिक।

सर्वसमिका का प्रयोग करके, हम देख सकते हैं कि ln e = 1, और साथ ही वह lg 10=1।

प्राकृतिक लॉग ग्राफ

हम बिंदुओं द्वारा मानक शास्त्रीय तरीके से प्राकृतिक लघुगणक का एक ग्राफ बनाते हैं। यदि आप चाहें, तो आप जाँच सकते हैं कि क्या हम फ़ंक्शन की जाँच करके सही ढंग से फ़ंक्शन का निर्माण कर रहे हैं। हालांकि, लॉगरिदम की सही गणना कैसे करें, यह जानने के लिए इसे "मैन्युअल" बनाने का तरीका सीखना समझ में आता है।

समारोह: वाई = लॉग एक्स। आइए बिंदुओं की एक तालिका लिखें जिसके माध्यम से ग्राफ गुजरेगा:

आइए हम समझाते हैं कि हमने तर्क x के ऐसे मान क्यों चुने। यह सब पहचान के बारे में है: एक प्राकृतिक लघुगणक के लिए, यह सर्वसमिका इस प्रकार दिखाई देगी:

सुविधा के लिए, हम पाँच संदर्भ बिंदु ले सकते हैं:

;

;

.

;

.

इस प्रकार, प्राकृतिक लघुगणकों की गिनती करना काफी सरल कार्य है, इसके अलावा, यह शक्तियों के साथ संचालन की गणना को सरल करता है, उन्हें बदल देता है सामान्य गुणन।

अंकों के आधार पर एक ग्राफ बनाने के बाद, हमें एक अनुमानित ग्राफ मिलता है:

प्राकृतिक लघुगणक का डोमेन (अर्थात, X तर्क के सभी मान्य मान) सभी संख्याएँ शून्य से अधिक हैं।

ध्यान!प्राकृतिक लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र में केवल शामिल है सकारात्मक संख्या! दायरे में x=0 शामिल नहीं है। लघुगणक के अस्तित्व की शर्तों के आधार पर यह असंभव है।

मानों की श्रेणी (यानी फ़ंक्शन y = ln x के सभी मान्य मान) अंतराल में सभी संख्याएँ हैं।

प्राकृतिक लॉग सीमा

ग्राफ का अध्ययन करते हुए, प्रश्न उठता है - फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है जब y<0.

जाहिर है, फ़ंक्शन का ग्राफ़ y-अक्ष को पार करता है, लेकिन ऐसा करने में सक्षम नहीं होगा, क्योंकि x का प्राकृतिक लघुगणक<0 не существует.

प्राकृतिक सीमा लकड़ी का लट्ठाइस प्रकार लिखा जा सकता है:

लघुगणक का आधार बदलने का सूत्र

एक प्राकृतिक लघुगणक से निपटना एक ऐसे लघुगणक से निपटने की तुलना में बहुत आसान है जिसका एक मनमाना आधार है। यही कारण है कि हम यह सीखने की कोशिश करेंगे कि किसी भी लघुगणक को प्राकृतिक लघुगणक में कैसे कम किया जाए, या इसे प्राकृतिक लघुगणक के माध्यम से मनमाने आधार में कैसे व्यक्त किया जाए।

आइए लघुगणकीय पहचान से शुरू करें:

तब किसी भी संख्या या चर y को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ x कोई संख्या है (लघुगणक के गुणों के अनुसार धनात्मक)।

इस व्यंजक को दोनों ओर से लघुगणित किया जा सकता है। इसे मनमाने ढंग से आधार z के साथ करते हैं:

आइए संपत्ति का उपयोग करें (केवल "साथ" के बजाय हमारे पास अभिव्यक्ति है):

यहाँ से हमें सार्वभौमिक सूत्र मिलता है:

.

विशेष रूप से, यदि z = e, तब:

.

हम दो प्राकृतिक लघुगणकों के अनुपात के माध्यम से एक मनमाने आधार पर लघुगणक का प्रतिनिधित्व करने में कामयाब रहे।

हम समस्याओं का समाधान करते हैं

प्राकृतिक लघुगणकों में बेहतर नेविगेट करने के लिए, कई समस्याओं के उदाहरणों पर विचार करें।

कार्य 1. समीकरण ln x = 3 को हल करना आवश्यक है।

समाधान:लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करना: यदि, तो, हम प्राप्त करते हैं:

कार्य 2. समीकरण (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3 को हल करें।

हल: लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करना: यदि , तो, हम प्राप्त करते हैं:

.

एक बार फिर, हम लघुगणक की परिभाषा लागू करते हैं:

.

इस प्रकार:

.

आप लगभग उत्तर की गणना कर सकते हैं, या आप इसे इस रूप में छोड़ सकते हैं।

कार्य 3।प्रश्न हल करें।

समाधान:आइए एक प्रतिस्थापन करें: t = ln x। तब समीकरण निम्नलिखित रूप लेगा:

.

हमारे पास एक द्विघात समीकरण है। आइए इसके विभेदक को खोजें:

समीकरण की पहली जड़:

.

समीकरण का दूसरा मूल:

.

यह याद रखते हुए कि हमने प्रतिस्थापन t = ln x बनाया है, हम पाते हैं:

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, लघुगणकीय मात्राएँ बहुत सामान्य हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि संख्या ई - अक्सर घातीय मूल्यों की वृद्धि दर को दर्शाता है।

कंप्यूटर विज्ञान, प्रोग्रामिंग और कंप्यूटर सिद्धांत में, लघुगणक काफी सामान्य हैं, उदाहरण के लिए, एन बिट्स को मेमोरी में स्टोर करने के लिए।

भग्न और आयाम के सिद्धांतों में, लघुगणक का लगातार उपयोग किया जाता है, क्योंकि भग्न के आयाम केवल उनकी सहायता से निर्धारित किए जाते हैं।

यांत्रिकी और भौतिकी मेंऐसा कोई खंड नहीं है जहां लघुगणक का उपयोग नहीं किया गया हो। बैरोमेट्रिक वितरण, सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी के सभी सिद्धांत, Tsiolkovsky समीकरण और इसी तरह की ऐसी प्रक्रियाएं हैं जिन्हें केवल लघुगणक का उपयोग करके गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है।

रसायन विज्ञान में, लघुगणक का उपयोग नर्नस्ट समीकरणों में किया जाता है, रेडॉक्स प्रक्रियाओं का विवरण।

आश्चर्यजनक रूप से, संगीत में भी, एक सप्तक के भागों की संख्या का पता लगाने के लिए, लघुगणक का उपयोग किया जाता है।

प्राकृतिक लघुगणक समारोह y=ln x इसके गुण

प्राकृतिक लघुगणक की मुख्य संपत्ति का प्रमाण

पाठ और विषयों पर प्रस्तुति: "प्राकृतिक लघुगणक। एक प्राकृतिक लघुगणक का आधार। एक प्राकृतिक संख्या का लघुगणक"

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प्राकृतिक लघुगणक क्या है

दोस्तों, पिछले पाठ में हमने एक नया, विशेष नंबर सीखा - ई। आज हम इस नंबर के साथ काम करना जारी रखेंगे।
हमने लघुगणक का अध्ययन किया है और हम जानते हैं कि लघुगणक का आधार संख्याओं का एक समूह हो सकता है जो 0 से अधिक हो। आज हम लघुगणक पर भी विचार करेंगे, जो संख्या ई पर आधारित है। ऐसे लघुगणक को आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। . इसका अपना अंकन है: $\ln(n)$ प्राकृतिक लघुगणक है। यह संकेतन इसके बराबर है: $\log_e(n)=\ln(n)$।
चरघातांकी और लघुगणक फलन व्युत्क्रम हैं, तो प्राकृतिक लघुगणक फलन का व्युत्क्रम है: $y=e^x$।
व्युत्क्रम कार्य सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में सममित हैं।
सीधी रेखा $y=x$ के संबंध में एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन को प्लॉट करके प्राकृतिक लघुगणक की साजिश करें।

यह ध्यान देने योग्य है कि बिंदु (0;1) पर फ़ंक्शन $y=e^x$ के ग्राफ के स्पर्शरेखा की ढलान 45 डिग्री है। तब बिंदु (1; 0) पर प्राकृतिक लघुगणक के ग्राफ की स्पर्श रेखा का ढलान भी 45° के बराबर होगा। ये दोनों स्पर्श रेखाएँ $y=x$ के समानांतर होंगी। आइए स्पर्शरेखाओं को स्केच करें:

फ़ंक्शन के गुण $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$।
2. न तो सम है और न ही विषम।
3. परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र में वृद्धि करता है।
4. ऊपर से सीमित नहीं, नीचे से सीमित नहीं।
5. कोई अधिकतम मान नहीं है, कोई न्यूनतम मान नहीं है।
6. निरंतर।
7. $ई(च)=(-∞; +∞)$।
8. उत्तल ऊपर।
9. हर जगह अलग-अलग।

उच्च गणित के पाठ्यक्रम में यह सिद्ध होता है व्युत्क्रम फलन का अवकलज दिए गए फलन के अवकलज का व्युत्क्रम होता है.
प्रमाण में तल्लीन करने का कोई मतलब नहीं है, आइए बस सूत्र लिखें: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$।

उदाहरण।
फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के मान की गणना करें: $y=\ln(2x-7)$ बिंदु $x=4$ पर।
समाधान।
सामान्य तौर पर, हमारे फ़ंक्शन को फ़ंक्शन $y=f(kx+m)$ द्वारा दर्शाया जाता है, हम ऐसे कार्यों के डेरिवेटिव की गणना कर सकते हैं।
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$।
आइए आवश्यक बिंदु पर व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$।
उत्तर: 2.

उदाहरण।
फ़ंक्शन $y=ln(x)$ के ग्राफ़ के बिंदु $x=e$ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं।
समाधान।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का समीकरण, बिंदु $x=a$ पर, हमें अच्छी तरह याद है।
$y=f(ए)+f"(ए)(x-a)$।
आइए हम क्रमिक रूप से आवश्यक मानों की गणना करें।
$ ए = ई $।
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(ए)=\frac(1)(ए)=\frac(1)(ई)$।
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$।
बिंदु $x=e$ पर स्पर्शरेखा समीकरण फ़ंक्शन $y=\frac(x)(e)$ है।
आइए प्राकृतिक लघुगणक और स्पर्शरेखा की साजिश करें।

उदाहरण।
monotonicity और extrema के लिए फ़ंक्शन की जांच करें: $y=x^6-6*ln(x)$।
समाधान।
फ़ंक्शन का डोमेन $D(y)=(0;+∞)$।
दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$।
डेरिवेटिव परिभाषा के डोमेन से सभी एक्स के लिए मौजूद है, फिर कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। आइए स्थिर बिंदु खोजें:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$।
$x^6=1$।
$x=±1$।
बिंदु $х=-1$ परिभाषा के डोमेन से संबंधित नहीं है। फिर हमारे पास एक स्थिर बिंदु $х=1$ है। वृद्धि और कमी के अंतराल का पता लगाएं:

बिंदु $x=1$ न्यूनतम बिंदु है, फिर $y_min=1-6*\ln(1)=1$।
उत्तर: फलन खंड (0;1] पर घटता है, किरण $ पर फलन बढ़ता है (\displaystyle ). इस परिभाषा की सादगी, जो इस लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य सूत्रों के अनुरूप है, "प्राकृतिक" नाम की उत्पत्ति की व्याख्या करती है।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर के वास्तविक कार्य के रूप में मानते हैं, तो यह घातीय कार्य का व्युत्क्रम कार्य है, जो सर्वसमिकाओं की ओर जाता है:

ई लॉग ⁡ ए = ए (ए> 0); (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log ⁡ e a = a (a > 0) । (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

सभी लघुगणकों की तरह, प्राकृतिक लघुगणक जोड़ के गुणन को मैप करता है:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y । (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

यह, उदाहरण के लिए, विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम के कार्यक्रमों के मूल सेट से एक कैलकुलेटर हो सकता है। इसे लॉन्च करने का लिंक OS के मुख्य मेनू में काफी छिपा हुआ है - इसे "स्टार्ट" बटन पर क्लिक करके खोलें, फिर इसके "प्रोग्राम्स" सेक्शन को खोलें, "एक्सेसरीज़" सबसेक्शन पर जाएँ, और फिर "यूटिलिटीज़" पर जाएँ। अनुभाग और, अंत में, "कैलकुलेटर" आइटम पर क्लिक करें। आप माउस के बजाय कीबोर्ड और प्रोग्राम लॉन्च डायलॉग का उपयोग कर सकते हैं और मेनू के माध्यम से नेविगेट कर सकते हैं - कुंजी संयोजन WIN + R दबाएं, कैल्क टाइप करें (यह कैलकुलेटर निष्पादन योग्य फ़ाइल का नाम है) और एंटर कुंजी दबाएं।

कैलकुलेटर के इंटरफ़ेस को उन्नत मोड में बदलें, जिससे आप . डिफ़ॉल्ट रूप से, यह "सामान्य" रूप में खुलता है, और आपको "इंजीनियरिंग" या "" (आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे OS के संस्करण के आधार पर) की आवश्यकता होती है। मेनू में "दृश्य" अनुभाग का विस्तार करें और उपयुक्त पंक्ति का चयन करें।

वह तर्क दर्ज करें जिसका प्राकृतिक मान परिकलित किया जाना है। यह कीबोर्ड से और ऑन-स्क्रीन कैलकुलेटर इंटरफ़ेस में संबंधित बटनों पर क्लिक करके किया जा सकता है।

ln लेबल वाले बटन पर क्लिक करें - प्रोग्राम आधार e के लघुगणक की गणना करेगा और परिणाम प्रदर्शित करेगा।

प्राकृतिक लघुगणक के मान की गणना करने के लिए एक -कैलकुलेटर का उपयोग एक विकल्प के रूप में करें। उदाहरण के लिए, जिस पर स्थित है http://calc.org.ua. इसका इंटरफ़ेस बेहद सरल है - एक एकल इनपुट फ़ील्ड है जहाँ आपको संख्या के मान में टाइप करने की आवश्यकता होती है, जिसका लघुगणक आप गणना करना चाहते हैं। बटनों में से, ln कहने वाले को ढूंढें और क्लिक करें। इस कैलकुलेटर की स्क्रिप्ट को सर्वर पर डेटा भेजने और प्रतिक्रिया की आवश्यकता नहीं है, इसलिए आपको गणना का परिणाम लगभग तुरंत प्राप्त होगा। एकमात्र विशेषता जिसे ध्यान में रखा जाना चाहिए वह यह है कि दर्ज संख्या के भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच विभाजक यहाँ एक बिंदु होना चाहिए, और नहीं।

शब्द " लोगारित्म" दो ग्रीक शब्दों से आया है, जिनमें से एक का अर्थ है "संख्या" और दूसरा - "संबंध"। वे एक चर (एक्सपोनेंट) की गणना के गणितीय ऑपरेशन को निरूपित करते हैं, जिसके लिए चिन्ह के तहत इंगित संख्या प्राप्त करने के लिए एक निरंतर मान (आधार) बढ़ाया जाना चाहिए लोगारित्मएक। यदि आधार गणितीय स्थिरांक के बराबर है, जिसे संख्या "ई" कहा जाता है, तो लोगारित्म"प्राकृतिक" कहा जाता है।

आपको चाहिये होगा

• इंटरनेट एक्सेस, माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल या कैलकुलेटर।

अनुदेश

इंटरनेट पर प्रस्तुत कई कैलकुलेटरों का उपयोग करें - यह, शायद, प्राकृतिक गणना करने का एक आसान तरीका है। आपको उपयुक्त सेवा की खोज नहीं करनी होगी, क्योंकि कई खोज इंजनों में स्वयं अंतर्निहित कैलकुलेटर होते हैं जो काम करने के लिए काफी उपयुक्त होते हैं लोगारित्मअमी। उदाहरण के लिए, सबसे बड़े ऑनलाइन सर्च इंजन - Google के होम पेज पर जाएं। मूल्यों को दर्ज करने और कार्यों का चयन करने के लिए यहां कोई बटन आवश्यक नहीं है, बस क्वेरी इनपुट फ़ील्ड में वांछित गणितीय क्रिया टाइप करें। गणना करने के लिए कहते हैं लोगारित्मऔर आधार "ई" में संख्या 457 ln 457 दर्ज करें - यह Google के लिए आठ दशमलव स्थानों (6.12468339) की सटीकता के साथ सर्वर को अनुरोध भेजने के लिए बटन दबाए बिना भी प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त होगा।

यदि आपको प्राकृतिक के मान की गणना करने की आवश्यकता है, तो उचित अंतर्निर्मित फ़ंक्शन का उपयोग करें लोगारित्मलेकिन लोकप्रिय स्प्रेडशीट संपादक माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल में डेटा के साथ काम करते समय होता है। इस फ़ंक्शन को यहाँ पारंपरिक संकेतन का उपयोग करके कहा जाता है लोगारित्मऔर अपरकेस में - एलएन। उस सेल का चयन करें जिसमें गणना का परिणाम प्रदर्शित किया जाना चाहिए, और एक समान चिह्न दर्ज करें - इस प्रकार मुख्य मेनू के "सभी कार्यक्रम" खंड के "मानक" उपखंड में शामिल कोशिकाओं में प्रविष्टियां इस तालिका में शुरू होनी चाहिए। संपादक। कीबोर्ड शॉर्टकट Alt + 2 दबाकर कैलकुलेटर को अधिक कार्यात्मक मोड में स्विच करें। फिर प्राकृतिक मान दर्ज करें लोगारित्मजिसकी आप गणना करना चाहते हैं, और प्रोग्राम इंटरफ़ेस में बटन पर क्लिक करें, जो प्रतीकों ln के साथ चिह्नित है। एप्लिकेशन गणना करेगा और परिणाम प्रदर्शित करेगा।

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