आपके सामने तीन दरवाजे हैं। मोंटी हॉल का विरोधाभास - पसंद की संभावना में वृद्धि के लिए एक स्पष्टीकरण

लॉटरी के बारे में

इस खेल ने लंबे समय से व्यापक चरित्र प्राप्त किया है और इसका एक अभिन्न अंग बन गया है आधुनिक जीवन. और यद्यपि लॉटरी अपनी क्षमताओं का अधिक से अधिक विस्तार कर रही है, फिर भी बहुत से लोग इसे अमीर बनने के एक तरीके के रूप में देखते हैं। मुक्त और विश्वसनीय नहीं होने दें। दूसरी ओर, जैसा कि जैक लंदन के नायकों में से एक ने उल्लेख किया है जुआकोई भी तथ्यों पर विश्वास किए बिना नहीं रह सकता - लोग कभी-कभी भाग्यशाली होते हैं।

मामले का गणित। संभाव्यता सिद्धांत का इतिहास

अलेक्जेंडर बुफेटोव

डॉक्टर ऑफ फिजिकल एंड मैथमैटिकल साइंसेज, मेजबान द्वारा एक व्याख्यान का प्रतिलेख और वीडियो रिकॉर्डिंग शोधकर्तास्टेकलोव इंस्टीट्यूट ऑफ मैथमैटिक्स, लीडिंग रिसर्च फेलो, आईपीटीपी आरएएस, प्रोफेसर, गणित संकाय, हायर स्कूल ऑफ इकोनॉमिक्स, रिसर्च डायरेक्टर राष्ट्रीय केंद्र वैज्ञानिक अनुसंधानअलेक्जेंडर बुफेटोव द्वारा फ्रांस में (CNRS), 6 फरवरी, 2014 को Polit.ru सार्वजनिक व्याख्यान श्रृंखला के भाग के रूप में दिया गया।

नियमितता का भ्रम: यादृच्छिकता अप्राकृतिक क्यों लगती है

यादृच्छिक, नियमित और असंभव के बारे में हमारे विचार अक्सर आँकड़ों और संभाव्यता सिद्धांत के डेटा से भिन्न होते हैं। "अपूर्ण संभावना" में। कैसे मौका हमारे जीवन को नियंत्रित करता है" अमेरिकी भौतिक विज्ञानी और विज्ञान के लोकप्रिय लियोनार्ड माल्डिनोव इस बारे में बात करते हैं कि यादृच्छिक एल्गोरिदम इतने अजीब क्यों दिखते हैं, आइपॉड पर गाने के "यादृच्छिक" फेरबदल की क्या पकड़ है, और स्टॉक विश्लेषक की सफलता क्या निर्धारित करती है। सिद्धांत और व्यवहार पुस्तक से एक अंश प्रकाशित करते हैं।

यह सिद्धांत कि मनुष्य के कार्य स्वतंत्र नहीं होते

नियतत्ववाद एक सामान्य वैज्ञानिक अवधारणा है और दर्शनदुनिया में होने वाली सभी घटनाओं और प्रक्रियाओं की कार्य-कारण, पैटर्न, आनुवंशिक संबंध, अंतःक्रिया और स्थिति के बारे में।

ईश्वर सांख्यिकी है

बर्कले में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय में सांख्यिकी के प्रोफेसर डेबोराह नोलन अपने छात्रों से पहली नज़र में एक बहुत ही अजीब काम करने के लिए कहते हैं। पहले समूह को एक सिक्के को सौ बार उछालना चाहिए और परिणाम लिखना चाहिए: चित या पट। दूसरे को यह कल्पना करनी चाहिए कि वह एक सिक्का उछाल रही है - और सैकड़ों "काल्पनिक" परिणामों की सूची भी बनाएं।

निश्चयवाद क्या है

यदि सिस्टम की प्रारंभिक स्थितियों को जाना जाता है, तो इसकी अंतिम स्थिति की भविष्यवाणी करने के लिए, प्रकृति के नियमों का उपयोग करना संभव है।

द पिकी ब्राइड प्रॉब्लम

हुसैन-जेड S. M.

ज़ेनो का विरोधाभास

क्या अंतरिक्ष में एक बिंदु से दूसरे स्थान पर जाना संभव है? एलिया के प्राचीन यूनानी दार्शनिक ज़ेनो का मानना ​​था कि आंदोलन बिल्कुल भी नहीं किया जा सकता था, लेकिन उन्होंने यह तर्क कैसे दिया? कोलम केलर ज़ेनो के प्रसिद्ध विरोधाभास को हल करने के तरीके के बारे में बात करते हैं।

अनंत सेटों के विरोधाभास

अनंत कमरों वाले एक होटल की कल्पना करें। एक बस अनंत संख्या में भविष्य के मेहमानों के साथ आती है। लेकिन उन सभी को लगाना इतना आसान नहीं है। यह एक अंतहीन परेशानी है, और मेहमान बेहद थके हुए हैं। और यदि आप कार्य का सामना करने में विफल रहते हैं, तो आप अनंत राशि खो सकते हैं! क्या करें?

माता-पिता की ऊंचाई पर बच्चे की ऊंचाई की निर्भरता

बेशक, युवा माता-पिता यह जानना चाहते हैं कि एक वयस्क के रूप में उनका बच्चा कितना लंबा होगा। गणितीय आँकड़े केवल पिता और माता की ऊँचाई के आधार पर बच्चों की ऊँचाई का मोटे तौर पर अनुमान लगाने के लिए एक सरल रेखीय संबंध प्रदान कर सकते हैं, और इस तरह के अनुमान की सटीकता का संकेत भी दे सकते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत में मोंटी हॉल विरोधाभास शायद सबसे प्रसिद्ध विरोधाभास है। इसके कई रूप हैं, उदाहरण के लिए, तीन कैदियों का विरोधाभास। और इस विरोधाभास की कई व्याख्याएँ और व्याख्याएँ हैं। लेकिन यहां, मैं न केवल औपचारिक स्पष्टीकरण देना चाहता हूं, बल्कि मोंटी हॉल और उसके जैसे अन्य लोगों के विरोधाभास में क्या होता है इसका "भौतिक" आधार दिखाना चाहता हूं।

क्लासिक शब्दावली है:

"आप खेल में हैं। आपके सामने तीन दरवाजे हैं। उनमें से एक को पुरस्कार मिला है। मेजबान आपको यह अनुमान लगाने के लिए आमंत्रित करता है कि पुरस्कार कहां है। आप एक दरवाजे की ओर इशारा करते हैं (यादृच्छिक रूप से)।

मोंटी हॉल विरोधाभास का निरूपण

मेजबान जानता है कि पुरस्कार वास्तव में कहां है। जबकि वह उस दरवाजे को नहीं खोलता जिस पर आपने दिखाया है। लेकिन यह आपके लिए बचे हुए दरवाजों में से एक और द्वार खोलता है, जिसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं है। सवाल यह है कि क्या आपको अपनी पसंद बदलनी चाहिए, या उसी फैसले के साथ रहना चाहिए?

यह पता चला है कि यदि आप सिर्फ अपनी पसंद बदलते हैं, तो आपके जीतने की संभावना बढ़ जाएगी!

स्थिति का विरोधाभास स्पष्ट है। जो कुछ भी घटित होता है वह अनायास ही प्रतीत होता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप अपना विचार बदलते हैं या नहीं। लेकिन ऐसा नहीं है।

इस विरोधाभास की प्रकृति की "भौतिक" व्याख्या

आइए, सबसे पहले, गणितीय सूक्ष्मताओं में न जाएं, बल्कि बिना किसी पूर्वाग्रह के स्थिति को देखें।

इस खेल में, आप केवल पहले करते हैं यादृच्छिक चयन. मेजबान तब आपको बताता है अतिरिक्त जानकारी , जो आपको जीतने की संभावना बढ़ाने की अनुमति देता है।

फैसिलिटेटर आपको अतिरिक्त जानकारी कैसे देता है? बहुत सरल। ध्यान दें कि यह खुलता है कोई भी नहींदरवाजा।

आइए, सादगी के लिए (हालांकि इसमें धूर्तता का एक तत्व है), एक अधिक संभावित स्थिति पर विचार करें: आपने एक ऐसे दरवाजे की ओर इशारा किया है जिसमें कोई पुरस्कार नहीं है। फिर, शेष दरवाजों में से एक के पीछे, पुरस्कार वहाँ है. यानी नेता के पास कोई विकल्प नहीं है। यह एक बहुत विशिष्ट द्वार खोलता है। (आपने एक की ओर इशारा किया, दूसरे के पीछे एक पुरस्कार है, केवल एक दरवाजा बचा है जिसे मेजबान खोल सकता है।)

यह सार्थक विकल्प के इस क्षण में है कि वह आपको वह जानकारी देता है जिसका आप उपयोग कर सकते हैं।

में इस मामले मेंसूचना का उपयोग यह है कि आप निर्णय बदलते हैं।

वैसे, आपकी दूसरी पसंद भी पहले से ही है आकस्मिक नहीं(या बल्कि, पहली पसंद के रूप में यादृच्छिक नहीं)। आखिरकार, आप बंद दरवाजे से चुनते हैं, और एक पहले से ही खुला है और यह मनमाना नहीं.

दरअसल, इन तर्कों के बाद, आपको यह महसूस हो सकता है कि अपना मन बदलना बेहतर है। वह वाकई में। आइए इसे और अधिक औपचारिक रूप से दिखाएं।

मोंटी हॉल विरोधाभास की एक और औपचारिक व्याख्या

वास्तव में, आपकी पहली यादृच्छिक पसंद सभी दरवाजों को दो समूहों में विभाजित करती है। आपके द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे, पुरस्कार 1/3 की संभावना के साथ स्थित है, अन्य दो के पीछे - 2/3 की संभावना के साथ। अब मेजबान बदलाव करता है: वह दूसरे समूह में एक दरवाजा खोलता है। और अब पूरी 2/3 संभावना केवल दो दरवाजों के समूह में बंद दरवाजे पर लागू होती है।

यह स्पष्ट है कि अब आपके लिए अपना मन बदलना अधिक लाभदायक है।

हालाँकि, निश्चित रूप से, आपके पास अभी भी हारने का मौका है।

हालाँकि, आपके चयन को बदलने से आपके जीतने की संभावना बढ़ जाती है।

मोंटी हॉल विरोधाभास

मोंटी हॉल विरोधाभास एक संभाव्य समस्या है, जिसका समाधान (कुछ के अनुसार) सामान्य ज्ञान के विपरीत है। कार्य निरूपण:

कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बन गए हैं जिसमें आपको तीन दरवाजों में से एक को चुनना है। एक दरवाजे के पीछे एक कार है, अन्य दो दरवाजों के पीछे बकरियां हैं।
आप दरवाजों में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, नंबर 1, उसके बाद मेजबान, जो जानता है कि कार कहाँ है और बकरियाँ कहाँ हैं, शेष दरवाजों में से एक को खोलता है, उदाहरण के लिए, नंबर 3, जिसके पीछे एक बकरी है।

मोंटी हॉल विरोधाभास। अब तक का सबसे गलत गणित

उसके बाद, वह आपसे पूछता है कि क्या आप अपनी पसंद बदलना चाहते हैं और दरवाजा संख्या 2 चुनना चाहते हैं।
यदि आप मेजबान के प्रस्ताव को स्वीकार करते हैं और अपनी पसंद बदलते हैं तो क्या आपके कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी?

किसी समस्या को हल करते समय, अक्सर गलती से यह मान लिया जाता है कि दो विकल्प स्वतंत्र हैं और इसलिए, पसंद बदलने पर संभावना नहीं बदलेगी। वास्तव में, यह मामला नहीं है, जैसा कि आप बेयस सूत्र को याद करके या नीचे दिए गए सिमुलेशन परिणामों को देखकर देख सकते हैं:

यहां: "रणनीति 1" - पसंद को न बदलें, "रणनीति 2" - पसंद को बदलें। सैद्धांतिक रूप से, 3 दरवाजों वाले मामले के लिए, प्रायिकता वितरण 33.(3)% और 66.(6)% है। संख्यात्मक सिमुलेशन को समान परिणाम देना चाहिए।

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मोंटी हॉल विरोधाभास- संभाव्यता सिद्धांत के खंड से एक कार्य, जिसके समाधान में सामान्य ज्ञान का विरोधाभास है।

उत्पत्ति [संपादित करें | विकी पाठ संपादित करें]

1963 के अंत में, प्रसारित हुआ नया टॉक शोशीर्षक "लेट्स मेक ए डील" ("लेट्स मेक ए डील")। क्विज़ के परिदृश्य के अनुसार, दर्शकों के दर्शकों को सही उत्तर के लिए पुरस्कार मिला, नए दांव लगाकर उन्हें गुणा करने का मौका मिला, लेकिन अपनी मौजूदा जीत को जोखिम में डालकर। शो के संस्थापक स्टीफ़न हटोसु और मोंटी हॉल थे, जिनमें से बाद वाले कई वर्षों तक इसके स्थायी मेजबान बने।

प्रतिभागियों के लिए कार्यों में से एक ग्रैंड प्राइज़ का चित्र बनाना था, जो तीन दरवाजों में से एक के पीछे स्थित था। शेष दो के लिए प्रोत्साहन पुरस्कार थे, बदले में प्रस्तुतकर्ता को उनके स्थान का क्रम पता था। प्रतियोगी को शो से अपनी सभी जीत को दांव पर लगाकर जीत का द्वार निर्धारित करना था।

जब अनुमानक ने संख्या पर फैसला किया, तो मेजबान ने शेष दरवाजों में से एक खोला, जिसके पीछे एक प्रोत्साहन पुरस्कार था, और खिलाड़ी को मूल रूप से चयनित दरवाजे को बदलने की पेशकश की।

सूत्रीकरण [संपादित करें | विकी पाठ संपादित करें]

एक विशिष्ट समस्या के रूप में, विरोधाभास पहली बार 1975 में स्टीव सेल्विन द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिन्होंने द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन और होस्ट मोंटी हॉल को यह प्रश्न प्रस्तुत किया था: क्या प्रतियोगी के ग्रैंड पुरस्कार जीतने की संभावना बदल जाएगी, अगर प्रोत्साहन के साथ दरवाजा खोलने के बाद वह बदल जाएगा उसकी पसंद? इस घटना के बाद, "मोंटी हॉल विरोधाभास" की अवधारणा प्रकट हुई।

1990 में, विरोधाभास का सबसे आम संस्करण परेड पत्रिका (पत्रिका "परेड") में एक उदाहरण के साथ प्रकाशित हुआ था:

"एक टीवी गेम पर खुद की कल्पना करें जहां आपको तीन दरवाजों में से एक को वरीयता देनी है: उनमें से दो के पीछे बकरियां और तीसरे के पीछे एक कार। जब आप एक विकल्प चुनते हैं, उदाहरण के लिए, यह मानते हुए कि जीतने वाला दरवाजा नंबर एक है, तो मेजबान शेष दो दरवाजों में से एक खोलता है, उदाहरण के लिए नंबर तीन, जिसके पीछे एक बकरी है। क्या फिर आपको अपने चयन को दूसरे दरवाजे से बदलने का मौका दिया जाता है? क्या आप दरवाजा नंबर एक से दरवाजा नंबर दो में अपनी पसंद बदलकर कार जीतने की संभावना बढ़ा सकते हैं?"

यह शब्दांकन एक सरलीकृत संस्करण है, क्योंकि मेजबान के प्रभाव का कारक बना रहता है, जो जानता है कि कार कहां है और प्रतिभागी को खोने में दिलचस्पी है।

समस्या को विशुद्ध रूप से गणितीय बनने के लिए, एक प्रोत्साहन पुरस्कार के साथ एक दरवाजा खोलने और प्रारंभिक पसंद को अभिन्न शर्तों के रूप में बदलने की क्षमता को पेश करके मानव कारक को खत्म करना आवश्यक है।

समाधान[संपादित करें | विकी पाठ संपादित करें]

पहली नज़र में ऑड्स की तुलना करते समय, डोर नंबर बदलने से कोई फायदा नहीं होगा, क्योंकि। सभी तीन विकल्पों में जीतने का 1/3 मौका है (तीनों दरवाजों में से प्रत्येक पर लगभग 33.33%)। वहीं, किसी एक दरवाजे को खोलने से बाकी दो की संभावना पर कोई असर नहीं पड़ेगा, जिसकी संभावना 1/2 से 1/2 (बाकी दो दरवाजों में से प्रत्येक के लिए 50%) हो जाएगी। यह निर्णय इस धारणा पर आधारित है कि खिलाड़ी द्वारा दरवाजे का चुनाव और मेजबान द्वारा दरवाजे का चुनाव दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं जो एक दूसरे को प्रभावित नहीं करती हैं। वास्तव में, घटनाओं के पूरे क्रम पर समग्र रूप से विचार करना आवश्यक है। संभाव्यता के सिद्धांत के अनुसार, खेल के शुरू से अंत तक पहले चुने गए दरवाजे की संभावना हमेशा 1/3 (लगभग 33.33%) होती है, और शेष दो दरवाजों का कुल योग 1/3 + 1 होता है। /3 = 2/3 (लगभग 66.66%)। जब दो शेष दरवाजों में से एक को खोला जाता है, तो इसकी संभावना 0% हो जाती है (इसके पीछे प्रोत्साहन पुरस्कार छिपा होता है), और परिणामस्वरूप, एक बंद अचयनित दरवाजे की संभावना 66.66% होगी, अर्थात। मूल से दो गुना ज्यादा।

पसंद के परिणामों को समझना आसान बनाने के लिए, हम एक वैकल्पिक स्थिति पर विचार कर सकते हैं जिसमें विकल्पों की संख्या अधिक होगी, उदाहरण के लिए, एक हजार। जीतने वाले विकल्प को चुनने की संभावना 1/1000 (0.1%) होगी। बशर्ते कि बाद में शेष नौ सौ निन्यानवे विकल्पों में से नौ सौ निन्यानबे गलत खोले जाएं, यह स्पष्ट हो जाता है कि नौ सौ निन्यानवे में से एक शेष दरवाजे की संभावना नहीं चुनी गई संभावना से अधिक है शुरुआत में केवल एक चुना गया।

उल्लेख [संपादित करें | विकी पाठ संपादित करें]

आप "ट्वेंटी-वन" (रॉबर्ट ल्यूकेटिच की फिल्म), "क्लुट्योप" (सर्गेई लुक्यानेंको द्वारा उपन्यास), टीवी श्रृंखला "4isla" (टीवी श्रृंखला), "द मिस्टीरियस नाइटटाइम किलिंग ऑफ ए" में मोंटी हॉल पैराडॉक्स का उल्लेख पा सकते हैं। डॉग" (मार्क हैडॉन के उपन्यास), "एक्सकेसीडी" (हास्य पुस्तक), मिथबस्टर्स (टीवी शो)।

यह भी देखें [संपादित करें | विकी पाठ संपादित करें]

छवि में, मूल रूप से प्रस्तावित तीन में से दो बंद दरवाजों के बीच चयन की प्रक्रिया

कॉम्बिनेटरिक्स में समस्याओं के समाधान के उदाहरण

साहचर्यएक ऐसा विज्ञान है जिससे हर कोई रूबरू होता है रोजमर्रा की जिंदगी: कक्षा की सफाई के लिए 3 परिचारक चुनने के कितने तरीके हैं या दिए गए अक्षरों से शब्द बनाने के कितने तरीके हैं।

सामान्य तौर पर, कॉम्बिनेटरिक्स आपको यह गणना करने की अनुमति देता है कि कुछ शर्तों के अनुसार कितने अलग-अलग संयोजन दिए गए ऑब्जेक्ट्स (समान या अलग) से बनाए जा सकते हैं।

एक विज्ञान के रूप में, कॉम्बिनेटरिक्स 16 वीं शताब्दी में वापस आ गया, और अब हर छात्र (और अक्सर एक स्कूली छात्र भी) इसका अध्ययन करता है। वे क्रमपरिवर्तन, प्लेसमेंट, संयोजन (पुनरावृत्ति के साथ या बिना) की अवधारणाओं के साथ अध्ययन करना शुरू करते हैं, आपको नीचे इन विषयों पर समस्याएं मिलेंगी। कॉम्बिनेटरिक्स के सबसे प्रसिद्ध नियम योग और उत्पाद के नियम हैं, जो अक्सर विशिष्ट कॉम्बिनेटरियल समस्याओं में उपयोग किए जाते हैं।

नीचे आपको मिश्रित अवधारणाओं और नियमों के समाधान के साथ कार्यों के कई उदाहरण मिलेंगे जो आपको विशिष्ट कार्यों से निपटने में मदद करेंगे। यदि कार्यों में कठिनाइयाँ हैं, तो एक संयोजन परीक्षण का आदेश दें।

ऑनलाइन समाधान के साथ कॉम्बिनेटरिक्स में समस्याएं

कार्य 1।माँ के पास 2 सेब और 3 नाशपाती हैं। हर दिन लगातार 5 दिनों तक वह एक फल का एक टुकड़ा देती है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

कॉम्बिनेटरिक्स 1 में समस्या का समाधान (pdf, 35 Kb)

कार्य 2।एक उद्यम एक विशेषता में 4 महिलाओं को, दूसरे में - 6 पुरुषों को, तीसरे में - 3 कर्मचारियों को, लिंग की परवाह किए बिना काम प्रदान कर सकता है। रिक्तियों को कितने तरीकों से भरा जा सकता है यदि 14 आवेदक हैं: 6 महिलाएं और 8 पुरुष?

कॉम्बिनेटरिक्स 2 में समस्या का समाधान (pdf, 39 Kb)

कार्य 3।एक पैसेंजर ट्रेन में 9 कारें होती हैं। एक ट्रेन में 4 लोगों को कितने प्रकार से बैठाया जा सकता है, बशर्ते कि वे सभी अलग-अलग कारों में यात्रा करते हों?

कॉम्बिनेटरिक्स 3 में समस्या का समाधान (pdf, 33 Kb)

कार्य 4।समूह में 9 लोग हैं। कितने अलग-अलग उपसमूह बनाए जा सकते हैं, बशर्ते कि उपसमूह में कम से कम 2 लोग शामिल हों?

कॉम्बिनेटरिक्स 4 में समस्या का समाधान (pdf, 34 Kb)

कार्य 5। 20 छात्रों के एक समूह को 3 टीमों में विभाजित किया जाना चाहिए, और पहली टीम में 3, दूसरी - 5 और तीसरी - 12 लोगों को शामिल किया जाना चाहिए। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है।

कॉम्बिनेटरिक्स 5 में समस्या का समाधान (pdf, 37 Kb)

टास्क 6।टीम में भाग लेने के लिए, कोच 10 में से 5 लड़कों का चयन करता है। यदि 2 निश्चित लड़कों को टीम में शामिल किया जाना है तो वह कितने तरीकों से एक टीम बना सकता है?

समाधान 6 के साथ कॉम्बिनेटरिक्स समस्या (पीडीएफ, 33 केबी)

टास्क 7।शतरंज टूर्नामेंट में 15 शतरंज खिलाड़ियों ने भाग लिया, और उनमें से प्रत्येक ने एक दूसरे के साथ केवल एक खेल खेला। इस टूर्नामेंट में कितने खेल खेले गए?

समाधान 7 के साथ कॉम्बिनेटरिक्स समस्या (पीडीएफ, 37 केबी)

टास्क 8।संख्या 3, 5, 7, 11, 13, 17 से कितने भिन्न भिन्न बनाए जा सकते हैं कि प्रत्येक भिन्न में 2 शामिल हो? विभिन्न संख्याएँ? उनमें से कितने उचित भिन्न होंगे?

समाधान 8 के साथ कॉम्बिनेटरिक्स समस्या (पीडीएफ, 32 केबी)

टास्क 9। Horus और Institute शब्द के अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करके कितने शब्द प्राप्त किए जा सकते हैं?

समाधान 9 के साथ कॉम्बिनेटरिक्स समस्या (पीडीएफ, 32 केबी)

टास्क 10। 1 से 1,000,000 तक कौन सी संख्याएँ बड़ी हैं: वे जिनमें इकाई होती है, या वे जिनमें यह नहीं होती है?

समाधान 10 के साथ कॉम्बिनेटरिक्स समस्या (पीडीएफ, 39 केबी)

तैयार उदाहरण

कॉम्बिनेटरिक्स में हल की गई समस्याओं की आवश्यकता है? गाइड में खोजें:

संभाव्यता सिद्धांत में समस्याओं के अन्य समाधान

कल्पना कीजिए कि एक निश्चित बैंकर आपको तीन बंद बक्से में से एक चुनने की पेशकश करता है। उनमें से एक में 50 सेंट, दूसरे में - एक डॉलर, तीसरे में - 10 हजार डॉलर। आप जो भी चुनेंगे, वह आपको पुरस्कार के रूप में मिलेगा।

आप यादृच्छिक रूप से चुनते हैं, बॉक्स नंबर 1 कहें। और फिर बैंकर (जो निश्चित रूप से जानता है कि सब कुछ कहां है) आपकी आंखों के सामने एक डॉलर के साथ एक बॉक्स खोलता है (मान लें कि यह नंबर 2 है), जिसके बाद वह आपको शुरू में चयनित बॉक्स नंबर को बदलने की पेशकश करता है। 1 से बॉक्स नंबर 3 तक।

क्या आपको अपना मन बदलना चाहिए? क्या इससे आपके 10 हजार मिलने की संभावना बढ़ जाएगी?

यह मोंटी हॉल का विरोधाभास है - संभाव्यता सिद्धांत की समस्या, जिसका समाधान, पहली नज़र में, सामान्य ज्ञान के विपरीत है। लोग 1975 से इस समस्या पर अपना सिर खुजला रहे हैं।

विरोधाभास का नाम लोकप्रिय अमेरिकी टीवी शो लेट्स मेक ए डील के मेजबान के नाम पर रखा गया था। इस टीवी शो के समान नियम थे, केवल प्रतिभागियों ने दरवाजे चुने, जिनमें से दो बकरियां छिपा रही थीं, और तीसरा एक कैडिलैक था।

अधिकांश खिलाड़ियों ने तर्क दिया कि जब दो बंद दरवाजे थे और उनमें से एक के पीछे एक कैडिलैक था, तो उसके मिलने की संभावना 50-50 थी।जाहिर है, जब मेजबान एक दरवाजा खोलता है और आपको अपना मन बदलने के लिए आमंत्रित करता है, तो वह प्रारंभ होगा नया खेल. आप अपना विचार बदलें या नहीं, फिर भी आपकी संभावना 50 प्रतिशत रहेगी। बहुत सही?

यह पता चला है कि ऐसा नहीं है। वास्तव में, अपना मन बदलने से, आप अपनी सफलता की संभावना को दोगुना कर देते हैं। क्यों?

इस उत्तर के लिए सबसे सरल व्याख्या निम्नलिखित विचार है। पसंद बदले बिना कार जीतने के लिए, खिलाड़ी को तुरंत उस दरवाजे का अनुमान लगाना चाहिए जिसके पीछे कार खड़ी है। इसकी संभावना 1/3 है। यदि खिलाड़ी शुरू में उसके पीछे एक बकरी के साथ दरवाजा मारता है (और इस घटना की संभावना 2/3 है, क्योंकि दो बकरियां हैं और केवल एक कार है), तो वह निश्चित रूप से अपना मन बदलकर कार जीत सकता है, क्योंकि कार और एक बकरी बची है, और मेज़बान बकरी के साथ द्वार खोल चुका है।

इस प्रकार, पसंद को बदले बिना, खिलाड़ी 1/3 जीतने की अपनी प्रारंभिक संभावना के साथ बना रहता है, और प्रारंभिक पसंद को बदलते समय, खिलाड़ी शेष संभावना से दो बार अपने लाभ में बदल जाता है कि उसने शुरुआत में सही ढंग से अनुमान नहीं लगाया था।

साथ ही, दो घटनाओं की अदला-बदली करके एक सहज व्याख्या की जा सकती है। पहली घटना दरवाजे को बदलने का खिलाड़ी का निर्णय है, दूसरी घटना एक अतिरिक्त द्वार खोलने की है। यह स्वीकार्य है, क्योंकि एक अतिरिक्त दरवाजा खोलने से खिलाड़ी को कुछ नहीं मिलता है नई जानकारी(दस्तावेज़ इस लेख में देखें)। तब समस्या को निम्न सूत्रीकरण में कम किया जा सकता है। समय के पहले क्षण में, खिलाड़ी दरवाजों को दो समूहों में विभाजित करता है: पहले समूह में एक द्वार होता है (जिसे उसने चुना है), दूसरे समूह में दो शेष द्वार होते हैं। समय के अगले क्षण में, खिलाड़ी समूहों के बीच चुनाव करता है। यह स्पष्ट है कि पहले समूह के जीतने की संभावना 1/3 है, दूसरे समूह के लिए 2/3। खिलाड़ी दूसरे समूह को चुनता है। दूसरे समूह में वह दोनों दरवाजे खोल सकता है। एक मेजबान द्वारा खोला जाता है, और दूसरा खुद खिलाड़ी द्वारा।

आइए "सबसे अधिक समझने योग्य" स्पष्टीकरण देने का प्रयास करें। समस्या को सुधारें: एक ईमानदार मेजबान खिलाड़ी को घोषणा करता है कि तीन दरवाजों में से एक के पीछे एक कार है, और सुझाव देता है कि वह पहले दरवाजों में से एक की ओर इशारा करता है, और फिर दो क्रियाओं में से एक का चयन करता है: संकेतित दरवाजा खोलें (में) पुराने फॉर्मूलेशन, इसे "अपनी पसंद न बदलें" कहा जाता है) या अन्य दो को खोलें (पुराने शब्दों में, यह सिर्फ "पसंद बदलें" होगा। इसके बारे में सोचें, यह समझने की कुंजी है!)। यह स्पष्ट है कि खिलाड़ी दो कार्यों में से दूसरे का चयन करेगा, क्योंकि इस मामले में कार प्राप्त करने की संभावना दोगुनी है। और छोटी सी बात यह है कि मेजबान कार्रवाई को चुनने से पहले "बकरी दिखाया" मदद नहीं करता है और पसंद में हस्तक्षेप नहीं करता है, क्योंकि दो दरवाजों में से एक के पीछे हमेशा एक बकरी होती है और मेजबान इसे किसी भी समय निश्चित रूप से दिखाएगा खेल के दौरान, तो खिलाड़ी इस बकरी पर और नहीं देख सकते हैं। खिलाड़ी का व्यवसाय, यदि उसने दूसरी कार्रवाई को चुना है, तो उसे दो दरवाजों में से एक को खोलने की परेशानी से बचाने के लिए मेजबान को "धन्यवाद" कहना है, और दूसरे को खोलना है। अच्छा, या और भी आसान। आइए इस स्थिति की कल्पना मेजबान के दृष्टिकोण से करें, जो दर्जनों खिलाड़ियों के साथ इसी तरह की प्रक्रिया कर रहा है। चूंकि वह अच्छी तरह से जानता है कि दरवाजों के पीछे क्या है, औसतन, तीन में से दो मामलों में, वह पहले से देखता है कि खिलाड़ी ने "गलत" दरवाजा चुना है। इसलिए, उसके लिए निश्चित रूप से कोई विरोधाभास नहीं है कि पहला दरवाजा खोलने के बाद पसंद को बदलने के लिए सही रणनीति है: आखिरकार, तीन में से दो मामलों में, खिलाड़ी एक नई कार में स्टूडियो छोड़ देगा।

अंत में, सबसे "भोला" प्रमाण। जो अपनी पसंद से खड़ा होता है उसे "जिद्दी" कहा जाता है, और जो नेता के निर्देशों का पालन करता है उसे "चौकस" कहा जाता है। फिर जिद्दी जीतता है अगर उसने शुरू में कार (1/3) का अनुमान लगाया, और चौकस - अगर वह पहली बार चूक गया और बकरी (2/3) को मारा। आखिरकार, केवल इस मामले में वह कार के साथ दरवाजे की ओर इशारा करेगा।

मोंटी हॉल, शो के निर्माता और होस्ट चलो एक सौदा करते हैं 1963 से 1991 तक।

1990 में यह समस्या और इसका समाधान अमेरिकी पत्रिका परेड में प्रकाशित हुआ था। प्रकाशन ने पाठकों की क्रोधित समीक्षाओं की झड़ी लगा दी, जिनमें से कई के पास वैज्ञानिक डिग्री थी।

मुख्य शिकायत यह थी कि समस्या की सभी स्थितियों को निर्दिष्ट नहीं किया गया था, और कोई भी अति सूक्ष्म अंतर परिणाम को प्रभावित कर सकता था। उदाहरण के लिए, मेजबान निर्णय को बदलने की पेशकश तभी कर सकता है जब खिलाड़ी ने पहली चाल में कार चुनी हो। जाहिर है, ऐसी स्थिति में शुरुआती पसंद बदलने से नुकसान की गारंटी होगी।

हालाँकि, मोंटी हॉल टीवी शो के पूरे अस्तित्व में, जिन लोगों ने अपना मन बदल लिया, वे अक्सर दो बार जीते:

अपना मन बदलने वाले 30 खिलाड़ियों में से कैडिलैक ने 18 जीते - यानी 60%

30 खिलाड़ियों में से जो अपनी पसंद के साथ बचे थे, कैडिलैक ने 11 जीते - यानी लगभग 36%

इसलिए निर्णय में दिए गए तर्क, चाहे वे कितने भी अतार्किक क्यों न लगें, अभ्यास द्वारा पुष्टि की जाती है।

दरवाजों की संख्या में वृद्धि

क्या हो रहा है इसका सार समझना आसान बनाने के लिए, हम उस मामले पर विचार कर सकते हैं जब खिलाड़ी उसके सामने तीन दरवाजे नहीं देखता, लेकिन, उदाहरण के लिए, सौ। उसी समय, दरवाजों में से एक के पीछे एक कार है, और अन्य 99 के पीछे बकरियाँ हैं। खिलाड़ी दरवाजों में से एक को चुनता है, जबकि 99% मामलों में वह एक बकरी के साथ दरवाजा चुनता है, और तुरंत कार के साथ दरवाजा चुनने की संभावना बहुत कम होती है - वे 1% होती हैं। उसके बाद, मेजबान बकरियों के साथ 98 दरवाजे खोलता है और खिलाड़ी को शेष दरवाजे को चुनने के लिए कहता है। इस मामले में, 99% मामलों में, कार इस शेष दरवाजे के पीछे होगी, क्योंकि खिलाड़ी द्वारा तुरंत सही दरवाजा चुने जाने की संभावना बहुत कम है। यह स्पष्ट है कि इस स्थिति में एक तार्किक सोच वाले खिलाड़ी को हमेशा नेता के प्रस्ताव को स्वीकार करना चाहिए।

दरवाजों की बढ़ी हुई संख्या पर विचार करते समय, अक्सर यह सवाल उठता है: यदि मूल समस्या में नेता तीन में से एक दरवाजा खोलता है (अर्थात, 1/3) कुलदरवाजे), हमें यह क्यों मानना ​​​​चाहिए कि 100 दरवाजों के मामले में, मेजबान बकरियों के साथ 98 दरवाजे खोलेगा, न कि 33? यह विचार आमतौर पर महत्वपूर्ण कारणों में से एक है कि क्यों मोंटी हॉल का विरोधाभास स्थिति की सहज धारणा के साथ संघर्ष करता है। 98 दरवाजों को खोलना सही होगा क्योंकि आवश्यक शर्तकार्य खिलाड़ी के लिए केवल एक वैकल्पिक विकल्प है, जो मॉडरेटर द्वारा पेश किया जाता है। इसलिए, कार्य समान होने के लिए, 4 दरवाजों के मामले में, नेता को 2 दरवाजे खोलने चाहिए, 5 दरवाजों के मामले में - 3, और इसी तरह, ताकि एक के अलावा हमेशा एक बंद दरवाजा हो जिसे खिलाड़ी ने शुरू में चुना था। यदि सूत्रधार कम दरवाजे खोलता है, तो कार्य अब मूल मोंटी हॉल कार्य के समान नहीं होगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि कई दरवाजों के मामले में, भले ही मेजबान एक दरवाजे को बंद नहीं करता है, लेकिन कई, और खिलाड़ी को उनमें से एक को चुनने की पेशकश करता है, फिर प्रारंभिक पसंद को बदलते समय, खिलाड़ी की कार जीतने की संभावना होगी अभी भी वृद्धि हुई है, यद्यपि इतनी अधिक नहीं है। उदाहरण के लिए, एक ऐसी स्थिति पर विचार करें जहां एक खिलाड़ी सौ में से एक दरवाजा चुनता है, और फिर सूत्रधार शेष दरवाजों में से केवल एक को खोलता है, खिलाड़ी को अपनी पसंद बदलने के लिए आमंत्रित करता है। उसी समय, संभावना है कि कार मूल रूप से खिलाड़ी द्वारा चुने गए दरवाजे के पीछे है - 1/100, और शेष दरवाजों के लिए संभावनाएं बदल जाती हैं: कुल संभावना है कि कार शेष दरवाजों में से एक के पीछे है ( 99/100) अब 99 दरवाजों पर नहीं, बल्कि 98 पर वितरित किया जाता है। इसलिए, इनमें से प्रत्येक दरवाजे के पीछे एक कार मिलने की संभावना 1/100 नहीं, बल्कि 99/9800 होगी। संभाव्यता में वृद्धि लगभग 1% होगी।

पेड़ संभव समाधानखिलाड़ी और मेजबान, प्रत्येक परिणाम की संभावना दिखाते हुए अधिक औपचारिक रूप से, निर्णय वृक्ष का उपयोग करके खेल के परिदृश्य का वर्णन किया जा सकता है। पहले दो मामलों में, जब खिलाड़ी पहले उस दरवाजे को चुनता है जिसके पीछे बकरी होती है, पसंद बदलने से जीत होती है। पिछले दो मामलों में, जब खिलाड़ी ने पहली बार कार के साथ दरवाजा चुना, पसंद बदलने से नुकसान हुआ।

फिर भी न समझे तो सूत्रों पर थूकिये और बससांख्यिकीय रूप से सब कुछ जांचें। एक अन्य संभावित व्याख्या:

• एक खिलाड़ी जिसकी रणनीति हर बार चयनित दरवाजे को बदलने की होगी, वह तभी हारेगा जब वह शुरू में उस दरवाजे को चुनता है जिसके पीछे कार स्थित है।
• चूंकि पहली कोशिश में कार चुनने का मौका तीन (या 33%) में से एक है, खिलाड़ी द्वारा अपनी पसंद बदलने पर कार न चुनने की संभावना भी तीन (या 33%) में से एक है।
• इसका मतलब यह है कि जिस खिलाड़ी ने दरवाजा बदलने के लिए रणनीति का इस्तेमाल किया वह 66% या दो से तीन की संभावना के साथ जीत जाएगा।
• यह उस खिलाड़ी के जीतने की संभावना को दोगुना कर देगा जिसकी रणनीति हर बार अपनी पसंद बदलने की नहीं है।

अभी भी विश्वास नहीं हो रहा है? मान लीजिए कि आप दरवाजा #1 चुनते हैं। यहाँ सब हैं संभव विकल्पइस मामले में क्या हो सकता है।

"झूठ तीन प्रकार के होते हैं: झूठ, घोर झूठऔर आँकड़े। मार्क ट्वेन द्वारा ब्रिटिश प्रधान मंत्री बेंजामिन डिसरायली को दिया गया यह वाक्यांश, गणितीय कानूनों के बहुमत के दृष्टिकोण को अच्छी तरह से दर्शाता है। दरअसल, प्रायिकता का सिद्धांत कभी-कभी फेंक देता है आश्चर्यजनक तथ्य, जिन पर पहली नजर में यकीन करना मुश्किल है - और जिनकी, फिर भी, विज्ञान द्वारा पुष्टि की जाती है। "सिद्धांत और व्यवहार" ने सबसे प्रसिद्ध विरोधाभासों को याद किया।

मोंटी हॉल समस्या

यह वह काम था जो चालाक एमआईटी प्रोफेसर ने फिल्म ट्वेंटी-वन में छात्रों को दिया था। सही जवाब दे रहे हैं मुख्य चरित्रलास वेगास में कैसिनो को मात देने वाले शानदार युवा गणितज्ञों की एक टीम में शामिल होता है।

क्लासिक शब्दांकन इस प्रकार है: "मान लें कि एक निश्चित खिलाड़ी को प्रसिद्ध अमेरिकी टीवी शो लेट्स मेक ए डील में भाग लेने की पेशकश की गई थी, जिसे मोंटी हॉल द्वारा होस्ट किया गया था, और उसे तीन दरवाजों में से एक को चुनने की जरूरत है। दो दरवाजों के पीछे बकरियां हैं, एक के पीछे मुख्य पुरस्कार है, एक कार है, प्रस्तुतकर्ता पुरस्कारों का स्थान जानता है। खिलाड़ी द्वारा अपनी पसंद बनाने के बाद, सूत्रधार शेष दरवाजों में से एक को खोलता है, जिसके पीछे एक बकरी होती है, और खिलाड़ी को अपना मन बदलने के लिए आमंत्रित करता है। क्या खिलाड़ी को सहमत होना चाहिए या अपनी मूल पसंद रखना बेहतर है?"

यहाँ तर्क की एक विशिष्ट रेखा है: मेजबान द्वारा एक दरवाजा खोलने और बकरी दिखाने के बाद, खिलाड़ी को दो दरवाजों के बीच चयन करना होता है। कार उनमें से एक के पीछे है, इसलिए इसका अनुमान लगाने की प्रायिकता ½ है। इसलिए कोई अंतर नहीं है - अपनी पसंद बदलें या न बदलें। और फिर भी, संभाव्यता का सिद्धांत कहता है कि आप अपना निर्णय बदलकर अपने जीतने की संभावना बढ़ा सकते हैं। आइए देखें कि ऐसा क्यों है।

ऐसा करने के लिए, चलिए एक कदम पीछे चलते हैं। उस समय जब हमने अपनी प्रारंभिक पसंद की, हमने दरवाजों को दो भागों में विभाजित किया: एक जिसे हमने चुना और दूसरा दो। जाहिर है, संभावना है कि कार "हमारे" दरवाजे के पीछे छिपी है - क्रमशः, कार ⅔ की संभावना के साथ दो शेष दरवाजों में से एक के पीछे है। जब सूत्रधार इंगित करता है कि इन दरवाजों में से एक के पीछे एक बकरी है, तो यह पता चलता है कि ये ⅔ संभावना दूसरे दरवाजे पर पड़ती है। और यह खिलाड़ी की पसंद को दो दरवाजों तक कम कर देता है, जिनमें से एक के पीछे (प्रारंभिक रूप से चुनी गई) कार ⅓ की संभावना के साथ है, और दूसरे के पीछे ⅔ की संभावना है। चुनाव स्पष्ट हो जाता है। जो, निश्चित रूप से, इस तथ्य को नकारता नहीं है कि शुरू से ही खिलाड़ी कार के साथ एक दरवाजा चुन सकता था।

तीन कैदियों का कार्य

तीन कैदी विरोधाभास मोंटी हॉल की समस्या के समान है, हालांकि कार्रवाई अधिक नाटकीय सेटिंग्स में होती है। तीन कैदियों (ए, बी और सी) को मौत की सजा दी जाती है और एकांत कारावास में रखा जाता है। राज्यपाल बेतरतीब ढंग से उनमें से एक का चयन करता है और उसे क्षमा प्रदान करता है। वार्डन जानता है कि तीनों में से किसे क्षमा किया गया है, लेकिन उसे इसे गुप्त रखने के लिए कहा गया है। कैदी ए ने गार्ड से दूसरे कैदी (अपने अलावा) का नाम बताने के लिए कहा, जिसे निश्चित रूप से निष्पादित किया जाएगा: "यदि बी को क्षमा कर दिया गया है, तो मुझे बताएं कि सी को निष्पादित किया जाएगा। यदि सी को क्षमा किया जाता है, तो मुझे बताएं कि बी को निष्पादित किया जाएगा।" यदि वे दोनों निष्पादित किए जाते हैं, लेकिन मुझे दया आती है, तो एक सिक्का उछालें और इन दोनों में से कोई भी नाम कहें। वार्डन का कहना है कि कैदी बी को फाँसी दी जाएगी। क्या कैदी ए को खुश होना चाहिए?

ऐसा लगता है, हाँ। आखिरकार, यह जानकारी प्राप्त करने से पहले, कैदी ए की मृत्यु की संभावना ⅔ थी, और अब वह जानता है कि अन्य दो कैदियों में से एक को मार दिया जाएगा, जिसका अर्थ है कि उसके निष्पादन की संभावना घटकर ½ हो गई है। लेकिन वास्तव में, कैदी ए ने कुछ भी नया नहीं सीखा: यदि उसे क्षमा नहीं किया गया, तो उसे दूसरे कैदी का नाम बताया जाएगा, और वह पहले से ही जानता था कि शेष दो में से एक को मार दिया जाएगा। यदि वह भाग्यशाली था और निष्पादन रद्द कर दिया गया था, तो वह सुनेगा यादृच्छिक नामबी या सी। इसलिए, उसके उद्धार की संभावना किसी भी तरह से नहीं बदली है।

अब कल्पना कीजिए कि शेष कैदियों में से एक कैदी ए के प्रश्न और प्राप्त उत्तर के बारे में सीखता है। यह क्षमा की संभावना के बारे में उनके विचारों को बदल देगा।

यदि कैदी बी बातचीत को सुन लेता है, तो उसे पता चल जाएगा कि उसे निश्चित रूप से मृत्युदंड दिया जाएगा। तथा यदि कैदी B है तो उसके क्षमादान की प्रायिकता ⅔ होगी। यह क्यों होता है? कैदी ए को कोई सूचना नहीं मिली है और उसके क्षमा किए जाने की संभावना अभी भी ⅓ है। कैदी बी को निश्चित रूप से क्षमा नहीं किया जाएगा, और उसकी संभावना शून्य है। इसका मतलब है कि तीसरे कैदी के रिहा होने की संभावना ⅔ है।

दो लिफाफों का विरोधाभास

यह विरोधाभास गणितज्ञ मार्टिन गार्डनर के लिए जाना जाता है, और इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: “मान लीजिए कि आपको और एक मित्र को दो लिफाफे दिए जाते हैं, जिनमें से एक में एक निश्चित राशि X होती है, और दूसरे में दो गुना अधिक राशि होती है। आप स्वतंत्र रूप से लिफाफे खोलते हैं, पैसे गिनते हैं, जिसके बाद आप उनका आदान-प्रदान कर सकते हैं। लिफाफे समान हैं, इसलिए इस बात की ½ संभावना है कि आपको कम राशि वाला एक लिफाफा मिलेगा। मान लीजिए कि आपने एक लिफाफा खोला और उसमें $10 पाए। इसलिए, आपके मित्र के लिफाफे में $5 या $20 होने की समान संभावना हो सकती है। यदि आप विनिमय करने का निर्णय लेते हैं, तो आप अंतिम राशि की गणितीय अपेक्षा की गणना कर सकते हैं - अर्थात इसका औसत मूल्य। यह 1/2x$5+1/2x20=$12.5 है। ऐसे में एक्सचेंज आपके लिए फायदेमंद है। और, सबसे अधिक संभावना है, आपका दोस्त बिल्कुल उसी तरह बहस करेगा। लेकिन जाहिर सी बात है कि एक्सचेंज आप दोनों के लिए फायदेमंद नहीं हो सकता। गलती क्या है?

विरोधाभास यह है कि जब तक आप अपना लिफाफा नहीं खोलते हैं, संभावनाएं काफी हद तक व्यवहार करती हैं: आपके पास वास्तव में आपके लिफाफे में एक्स खोजने का 50 प्रतिशत मौका होता है और आपके लिफाफे में 2X खोजने का 50 प्रतिशत मौका होता है। और सामान्य ज्ञान यह तय करता है कि आपके पास मौजूद राशि के बारे में जानकारी दूसरे लिफाफे की सामग्री को प्रभावित नहीं कर सकती है।

हालाँकि, जैसे ही आप लिफ़ाफ़ा खोलते हैं, स्थिति नाटकीय रूप से बदल जाती है (यह विरोधाभास कुछ हद तक श्रोडिंगर की बिल्ली की कहानी के समान है, जहाँ एक पर्यवेक्षक की उपस्थिति मामलों की स्थिति को प्रभावित करती है)। तथ्य यह है कि विरोधाभास की शर्तों का पालन करने के लिए, दूसरे लिफाफे में आपकी राशि से बड़ी या छोटी राशि मिलने की संभावना समान होनी चाहिए। लेकिन तब इस योग का कोई भी मान शून्य से अनंत तक समान रूप से संभव है। और यदि समान रूप से संभावित संख्या में संभावनाएं हैं, तो वे अनंत तक जुड़ते हैं। और यह असंभव है।

स्पष्टता के लिए, आप कल्पना कर सकते हैं कि आप अपने लिफाफे में एक प्रतिशत पाते हैं। जाहिर है, दूसरे लिफाफे में आधी रकम नहीं हो सकती।

यह उत्सुक है कि वर्तमान समय में विरोधाभास के समाधान के बारे में चर्चा जारी है। इसी समय, विरोधाभास को अंदर से समझाने और विकसित करने के लिए दोनों प्रयास किए जा रहे हैं सर्वोत्तम रणनीतिऐसी स्थिति में व्यवहार। विशेष रूप से, प्रोफेसर थॉमस कवर ने एक रणनीति के गठन के लिए एक मूल दृष्टिकोण का प्रस्ताव दिया - लिफाफे को बदलने या न बदलने के लिए, कुछ सहज अपेक्षा द्वारा निर्देशित। मान लें कि यदि आप एक लिफाफा खोलते हैं और उसमें $10 पाते हैं - आपके अनुमान से एक छोटी राशि - यह विनिमय करने के लायक है। और अगर लिफाफा में $ 1,000 है, जो आपकी बेतहाशा अपेक्षाओं से अधिक है, तो बदलने की कोई आवश्यकता नहीं है। यह सहज रणनीति, यदि आपको नियमित रूप से दो लिफाफे चुनने की पेशकश की जाती है, तो आपको लगातार बदलते लिफाफे की रणनीति की तुलना में कुल जीत को बढ़ाने का अवसर मिलता है।

लड़का और लड़की विरोधाभास

यह विरोधाभास भी मार्टिन गार्डनर द्वारा प्रस्तावित किया गया था और इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: “श्री स्मिथ के दो बच्चे हैं। कम से कम एक बच्चा लड़का है। क्या संभावना है कि दूसरा भी एक लड़का है?

ऐसा लगेगा कि कार्य सरल है। हालाँकि, यदि आप समझना शुरू करते हैं, तो एक जिज्ञासु परिस्थिति सामने आती है: सही उत्तर इस बात पर निर्भर करेगा कि हम दूसरे बच्चे के लिंग की संभावना की गणना कैसे करते हैं।

विकल्प 1

दो बच्चों वाले परिवारों में सभी संभावित संयोजनों पर विचार करें:

लड़की/लड़की

लडकी लडका

लडका लडकी

लड़का

समस्या की स्थितियों के अनुसार लड़की/लड़की का विकल्प हमें शोभा नहीं देता। इसलिए, श्री स्मिथ के परिवार के लिए, तीन समान रूप से संभावित विकल्प हैं - जिसका अर्थ है कि दूसरे बच्चे के भी लड़का होने की संभावना ⅓ है। शुरुआत में खुद गार्डनर ने यही जवाब दिया था।

विकल्प 2

आइए कल्पना करें कि हम मिस्टर स्मिथ से सड़क पर मिलते हैं जब वे अपने बेटे के साथ चल रहे होते हैं। क्या संभावना है कि दूसरा बच्चा भी लड़का है? चूंकि दूसरे बच्चे का लिंग पहले के लिंग से स्वतंत्र है, स्पष्ट (और सही) उत्तर ½ है।

ऐसा क्यों हो रहा है, क्योंकि ऐसा लगता है कि कुछ भी नहीं बदला है?

यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम संभाव्यता की गणना के मुद्दे पर कैसे संपर्क करते हैं। पहले मामले में, हमने स्मिथ परिवार के सभी संभावित प्रकारों पर विचार किया। दूसरे में - हमने उन सभी परिवारों पर विचार किया जो अनिवार्य शर्त के अंतर्गत आते हैं "एक लड़का होना चाहिए।" दूसरे बच्चे के लिंग की संभावना की गणना इस स्थिति के साथ की गई थी (संभाव्यता सिद्धांत में इसे "सशर्त संभाव्यता" कहा जाता है), जिसके परिणामस्वरूप परिणाम पहले से अलग था।

दिसंबर 1963 में अमेरिकी टीवी चैनल पर एनबीसीकार्यक्रम पहले जारी किया चलो एक सौदा करते हैं("लेट्स मेक ए डील!"), जिसमें स्टूडियो में दर्शकों में से चुने गए प्रतिभागियों ने एक दूसरे के साथ और मेजबान के साथ सौदेबाजी की, खेला छोटे खेलया केवल प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाएं। प्रसारण के अंत में, प्रतिभागी "डील ऑफ द डे" खेल सकते थे। उनके सामने तीन दरवाजे थे, जिनके बारे में यह ज्ञात था कि उनमें से एक के पीछे ग्रैंड प्राइज़ (उदाहरण के लिए, एक कार) थी, और अन्य दो के पीछे कम मूल्यवान या पूरी तरह से बेतुके उपहार थे (उदाहरण के लिए, जीवित बकरियाँ) . खिलाड़ी द्वारा अपनी पसंद किए जाने के बाद, कार्यक्रम के मेजबान मोंटी हॉल ने शेष दो दरवाजों में से एक को खोला, यह दिखाते हुए कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं था और प्रतिभागी को खुश होने दिया कि उसके पास जीतने का मौका था।

1975 में, यूसीएलए के वैज्ञानिक स्टीव सेल्विन ने पूछा कि क्या होगा यदि उस समय, बिना पुरस्कार के दरवाजा खोलने के बाद, प्रतिभागी को अपनी पसंद बदलने के लिए कहा जाए। क्या इस मामले में खिलाड़ी के पुरस्कार पाने की संभावना बदल जाएगी, और यदि हां, तो किस दिशा में? उन्होंने संबंधित प्रश्न को पत्रिका के अंक के रूप में प्रस्तुत किया अमेरिकी सांख्यिकीविद("द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन"), और खुद मोंटी हॉल को भी, जिन्होंने उन्हें एक जिज्ञासु उत्तर दिया। इस उत्तर के बावजूद (या शायद इसके कारण), समस्या "मोंटी हॉल समस्या" के नाम से लोकप्रिय हो गई।

काम

आप मोंटी हॉल शो में एक प्रतिभागी के रूप में समाप्त हुए - और अंतिम क्षण में, एक बकरी के साथ दरवाजा खोलते हुए, मेजबान ने सुझाव दिया कि आप अपनी पसंद बदल लें। क्या आपका निर्णय - सहमत या नहीं - जीतने की संभावना को प्रभावित करेगा?

संकेत

उन लोगों पर विचार करने की कोशिश करें जिन्होंने एक ही मामले में अलग-अलग दरवाजे चुने (यानी, जब पुरस्कार, उदाहरण के लिए, दरवाजा नंबर 1 के पीछे हो)। अपनी पसंद बदलने से किसे फायदा होगा और किसे नहीं?

समाधान

जैसा कि टूलटिप में सुझाया गया है, उन लोगों पर विचार करें जिन्होंने अलग-अलग विकल्प चुने। मान लेते हैं कि पुरस्कार #1 दरवाजे के पीछे है, और दरवाजे #2 और #3 के पीछे बकरियां हैं। मान लीजिए कि हमारे पास छह लोग हैं, और प्रत्येक दरवाजे को दो लोगों द्वारा चुना गया था, और प्रत्येक जोड़ी में से एक ने बाद में निर्णय बदल दिया, और दूसरे ने नहीं किया।

ध्यान दें कि मेजबान जो दरवाजा नंबर 1 चुनता है, वह अपने स्वाद के लिए दो दरवाजों में से एक को खोलेगा, जबकि इस पर ध्यान दिए बिना, कार उसी को प्राप्त होगी जो अपनी पसंद नहीं बदलता है, लेकिन जिसने अपनी प्रारंभिक पसंद बदल दी है पुरस्कार के बिना रहेगा। अब उन लोगों पर नजर डालते हैं जिन्होंने नंबर 2 और नंबर 3 के दरवाजे चुने। चूंकि दरवाजे नंबर 1 के पीछे एक कार है, मेजबान इसे नहीं खोल सकता है, जो उसे कोई विकल्प नहीं छोड़ता है - वह क्रमशः उनके लिए दरवाजे नंबर 3 और नंबर 2 खोलता है। उसी समय, प्रत्येक जोड़ी में निर्णय बदलने वाले को पुरस्कार के रूप में चुना जाएगा, और जो नहीं बदला वह कुछ भी नहीं छोड़ेगा। इस प्रकार, अपना मन बदलने वाले तीन लोगों में से दो को पुरस्कार मिलेगा, और एक को बकरी मिलेगी, जबकि अपनी मूल पसंद को अपरिवर्तित छोड़ने वाले तीन में से केवल एक को पुरस्कार मिलेगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि कार #2 या #3 दरवाजे के पीछे थी, तो परिणाम समान होगा, केवल विशिष्ट विजेता बदलेंगे। इस प्रकार, यह मानते हुए कि शुरू में प्रत्येक दरवाजे को समान संभावना के साथ चुना जाता है, हम पाते हैं कि जो लोग अपनी पसंद बदलते हैं वे दो बार पुरस्कार जीतते हैं, यानी इस मामले में जीतने की संभावना अधिक होती है।

आइए इस समस्या को संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत के दृष्टिकोण से देखें। हम मान लेंगे कि प्रत्येक दरवाजे की प्रारंभिक पसंद की संभावना समान है, साथ ही कार के प्रत्येक दरवाजे के पीछे होने की संभावना भी है। इसके अलावा, यह आरक्षण करना उपयोगी है कि नेता, जब वह दो दरवाजे खोल सकता है, उनमें से प्रत्येक को समान संभावना के साथ चुनता है। फिर यह पता चलता है कि पहले निर्णय के बाद, संभावना है कि पुरस्कार चयनित दरवाजे के पीछे 1/3 है, जबकि संभावना है कि यह अन्य दो दरवाजों में से एक के पीछे 2/3 है। उसी समय, मेजबान द्वारा दो "अचयनित" दरवाजों में से एक को खोलने के बाद, 2/3 की पूरी संभावना शेष दरवाजों में से केवल एक पर पड़ती है, जिससे निर्णय बदलने का आधार बनता है, जिससे जीतने की संभावना बढ़ जाती है 2 बार से। जो, निश्चित रूप से, एक विशिष्ट मामले में किसी भी तरह से इसकी गारंटी नहीं देता है, लेकिन प्रयोग को बार-बार दोहराने के मामले में अधिक सफल परिणाम देगा।

अंतभाषण

मोंटी हॉल समस्या इस समस्या का पहला ज्ञात सूत्रीकरण नहीं है। विशेष रूप से, 1959 में, मार्टिन गार्डनर ने जर्नल में प्रकाशित किया अमेरिकी वैज्ञानिकइसी तरह की समस्या "तीन कैदियों के बारे में" (तीन कैदी समस्या) निम्नलिखित सूत्रीकरण के साथ: " तीन कैदियों में से एक को क्षमा किया जाना चाहिए और दो को मृत्युदंड दिया जाना चाहिए। कैदी ए ने गार्ड को अन्य दो में से एक का नाम बताने के लिए राजी किया, जिसे निष्पादित किया जाएगा (या तो यदि दोनों को निष्पादित किया जाता है), जिसके बाद, बी नाम प्राप्त करने के बाद, वह मानता है कि उसके स्वयं के उद्धार की संभावना नहीं बन गई है 1/3, लेकिन 1/2। वहीं, कैदी सी का दावा है कि उसके बचने की संभावना 2/3 हो गई है, जबकि ए के लिए कुछ भी नहीं बदला है। उनमें से कौन सा सही है?»

हालांकि, गार्डनर पहले नहीं थे, 1889 के बाद से, उनकी प्रायिकता की गणना में, फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ बर्ट्रेंड (अंग्रेज बर्ट्रेंड रसेल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए!) एक समान समस्या पेश करते हैं (बर्ट्रेंड का बॉक्स विरोधाभास देखें): " तीन बक्से हैं, जिनमें से प्रत्येक में दो सिक्के हैं: पहले में दो सोने के, दूसरे में दो चांदी के, और तीसरे में दो अलग-अलग। बेतरतीब ढंग से चुने गए बॉक्स से, एक सिक्का बेतरतीब ढंग से निकाला गया, जो सोने का निकला। इसकी क्या प्रायिकता है कि बॉक्स में शेष सिक्का सोने का है?»

यदि आप तीनों समस्याओं के समाधान को समझते हैं, तो उनके विचारों की समानता को नोटिस करना आसान है; गणितीय रूप से, वे सभी सशर्त संभाव्यता की अवधारणा से एकजुट हैं, अर्थात घटना A की संभावना, यदि यह ज्ञात है कि घटना B हुई है। सबसे सरल उदाहरण: प्रायिकता कि एक नियमित पासा फेंका जाता है 1/6 है; हालाँकि, यदि लुढ़का हुआ नंबर विषम के रूप में जाना जाता है, तो संभावना है कि यह पहले से ही 1/3 है। द मॉन्टी हॉल समस्या, उद्धृत अन्य दो समस्याओं की तरह, यह दर्शाती है कि सशर्त संभावनाओं को सावधानी से संभाला जाना चाहिए।

इन समस्याओं को अक्सर विरोधाभास भी कहा जाता है: मोंटी हॉल का विरोधाभास, बर्ट्रेंड का बॉक्स विरोधाभास (उत्तरार्द्ध को उसी पुस्तक में दिए गए वास्तविक बर्ट्रेंड के विरोधाभास के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो उस समय मौजूद संभाव्यता की अवधारणा की अस्पष्टता को साबित करता है) - जो कुछ विरोधाभास का अर्थ है (उदाहरण के लिए, "झूठे का विरोधाभास" वाक्यांश "यह कथन झूठा है" बहिष्कृत मध्य के कानून का खंडन करता है)। इस मामले में, हालांकि, कठोर दावों के साथ कोई विरोधाभास नहीं है। हालांकि, के साथ एक स्पष्ट विरोधाभास है जनता की रायया बस समस्या का "एक स्पष्ट समाधान"। वास्तव में, अधिकांश लोग, समस्या को देखते हुए, मानते हैं कि किसी एक दरवाजे को खोलने के बाद, शेष दो में से किसी एक के पीछे पुरस्कार खोजने की संभावना 1/2 है। ऐसा करके, वे दावा करते हैं कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे अपना मन बदलने के लिए सहमत हैं या असहमत हैं। इसके अलावा, बहुत से लोगों को विस्तृत समाधान बताए जाने के बाद भी इसके अलावा कोई अन्य उत्तर समझने में कठिनाई होती है।

दिसंबर 1963 में, अमेरिकी टेलीविजन चैनल एनबीसी ने पहली बार लेट्स मेक ए डील ("लेट्स मेक ए डील!") कार्यक्रम प्रसारित किया, जिसमें स्टूडियो में दर्शकों से चुने गए प्रतिभागियों ने एक-दूसरे के साथ और मेजबान के साथ सौदेबाजी की, छोटे-छोटे नाटक किए। खेल या केवल प्रश्न के उत्तर का अनुमान लगाया। प्रसारण के अंत में, प्रतिभागी "डील ऑफ द डे" खेल सकते थे। उनके सामने तीन दरवाजे थे, जिनके बारे में यह ज्ञात था कि उनमें से एक के पीछे ग्रैंड प्राइज़ (उदाहरण के लिए, एक कार) थी, और अन्य दो के पीछे कम मूल्यवान या पूरी तरह से बेतुके उपहार थे (उदाहरण के लिए, जीवित बकरियाँ) . खिलाड़ी द्वारा अपनी पसंद किए जाने के बाद, कार्यक्रम के मेजबान मोंटी हॉल ने शेष दो दरवाजों में से एक को खोला, यह दिखाते हुए कि इसके पीछे कोई पुरस्कार नहीं था और प्रतिभागी को खुश होने दिया कि उसके पास जीतने का मौका था।

1975 में, यूसीएलए के वैज्ञानिक स्टीव सेल्विन ने पूछा कि क्या होगा यदि उस समय, बिना पुरस्कार के दरवाजा खोलने के बाद, प्रतिभागी को अपनी पसंद बदलने के लिए कहा जाए। क्या इस मामले में खिलाड़ी के पुरस्कार पाने की संभावना बदल जाएगी, और यदि हां, तो किस दिशा में? उन्होंने द अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन ("अमेरिकन स्टेटिस्टिशियन") के साथ-साथ खुद मोंटी हॉल को एक समस्या के रूप में संबंधित प्रश्न भेजा, जिन्होंने इसका एक जिज्ञासु उत्तर दिया। इस उत्तर के बावजूद (या शायद इसके कारण), समस्या "मोंटी हॉल समस्या" के नाम से लोकप्रिय हो गई।

परेड पत्रिका में 1990 में प्रकाशित इस समस्या का सबसे आम सूत्रीकरण इस प्रकार है:

"कल्पना कीजिए कि आप एक ऐसे खेल में भागीदार बन गए हैं जिसमें आपको तीन दरवाजों में से एक को चुनना है। एक दरवाजे के पीछे एक कार है, अन्य दो दरवाजों के पीछे बकरियां हैं। आप दरवाजों में से एक चुनते हैं, उदाहरण के लिए, नंबर 1, उसके बाद मेजबान, जो जानता है कि कार कहाँ है और बकरियाँ कहाँ हैं, शेष दरवाजों में से एक को खोलता है, उदाहरण के लिए, नंबर 3, जिसके पीछे एक बकरी है। उसके बाद, वह आपसे पूछता है कि क्या आप अपनी पसंद बदलना चाहते हैं और दरवाजा नंबर 2 चुनना चाहते हैं। क्या आपके कार जीतने की संभावना बढ़ जाएगी यदि आप मेजबान के प्रस्ताव को स्वीकार करते हैं और अपनी पसंद बदलते हैं?

प्रकाशन के बाद, यह तुरंत स्पष्ट हो गया कि समस्या गलत तरीके से तैयार की गई थी: सभी शर्तें निर्धारित नहीं की गई थीं। उदाहरण के लिए, सूत्रधार "नारकीय मोंटी" रणनीति का पालन कर सकता है: पसंद को बदलने की पेशकश करें यदि और केवल अगर खिलाड़ी ने पहली चाल पर कार चुनी है। जाहिर है, शुरुआती पसंद बदलने से ऐसी स्थिति में नुकसान की गारंटी होगी।

सबसे लोकप्रिय एक अतिरिक्त शर्त के साथ समस्या है - खेल के प्रतिभागी निम्नलिखित नियमों को पहले से जानते हैं:

1. कार के 3 दरवाजों में से किसी के पीछे रखे जाने की समान संभावना है;
2. किसी भी स्थिति में, मेजबान को बकरी के साथ दरवाजा खोलने के लिए बाध्य किया जाता है (लेकिन वह नहीं जिसे खिलाड़ी ने चुना है) और खिलाड़ी को पसंद बदलने की पेशकश करता है;
3. यदि नेता के पास दोनों में से कौन सा दरवाजा खोलने का विकल्प है, तो वह समान संभावना के साथ उनमें से किसी एक को चुनता है।

संकेत

उन लोगों पर विचार करने की कोशिश करें जिन्होंने एक ही मामले में अलग-अलग दरवाजे चुने (यानी, जब पुरस्कार, उदाहरण के लिए, दरवाजा नंबर 1 के पीछे हो)। अपनी पसंद बदलने से किसे फायदा होगा और किसे नहीं?

समाधान

जैसा कि टूलटिप में सुझाया गया है, उन लोगों पर विचार करें जिन्होंने अलग-अलग विकल्प चुने। मान लेते हैं कि पुरस्कार #1 दरवाजे के पीछे है, और दरवाजे #2 और #3 के पीछे बकरियां हैं। मान लीजिए कि हमारे पास छह लोग हैं, और प्रत्येक दरवाजे को दो लोगों द्वारा चुना गया था, और प्रत्येक जोड़ी में से एक ने बाद में निर्णय बदल दिया, और दूसरे ने नहीं किया।

ध्यान दें कि मेजबान जो दरवाजा नंबर 1 चुनता है, वह अपने स्वाद के लिए दो दरवाजों में से एक को खोलेगा, जबकि इस पर ध्यान दिए बिना, कार उसी को प्राप्त होगी जो अपनी पसंद नहीं बदलता है, लेकिन जिसने अपनी प्रारंभिक पसंद बदल दी है पुरस्कार के बिना रहेगा। अब उन लोगों पर नजर डालते हैं जिन्होंने नंबर 2 और नंबर 3 के दरवाजे चुने। चूंकि दरवाजे नंबर 1 के पीछे एक कार है, मेजबान इसे नहीं खोल सकता है, जो उसे कोई विकल्प नहीं छोड़ता है - वह क्रमशः उनके लिए दरवाजे नंबर 3 और नंबर 2 खोलता है। उसी समय, प्रत्येक जोड़ी में निर्णय बदलने वाले को पुरस्कार के रूप में चुना जाएगा, और जो नहीं बदला वह कुछ भी नहीं छोड़ेगा। इस प्रकार, अपना मन बदलने वाले तीन लोगों में से दो को पुरस्कार मिलेगा, और एक को बकरी मिलेगी, जबकि अपनी मूल पसंद को अपरिवर्तित छोड़ने वाले तीन में से केवल एक को पुरस्कार मिलेगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि कार #2 या #3 दरवाजे के पीछे थी, तो परिणाम समान होगा, केवल विशिष्ट विजेता बदलेंगे। इस प्रकार, यह मानते हुए कि शुरू में प्रत्येक दरवाजे को समान संभावना के साथ चुना जाता है, हम पाते हैं कि जो लोग अपनी पसंद बदलते हैं वे दो बार पुरस्कार जीतते हैं, यानी इस मामले में जीतने की संभावना अधिक होती है।

आइए इस समस्या को संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत के दृष्टिकोण से देखें। हम मान लेंगे कि प्रत्येक दरवाजे की प्रारंभिक पसंद की संभावना समान है, साथ ही कार के प्रत्येक दरवाजे के पीछे होने की संभावना भी है। इसके अलावा, यह आरक्षण करना उपयोगी है कि नेता, जब वह दो दरवाजे खोल सकता है, उनमें से प्रत्येक को समान संभावना के साथ चुनता है। फिर यह पता चलता है कि पहले निर्णय के बाद, संभावना है कि पुरस्कार चयनित दरवाजे के पीछे 1/3 है, जबकि संभावना है कि यह अन्य दो दरवाजों में से एक के पीछे 2/3 है। उसी समय, मेजबान द्वारा दो "अचयनित" दरवाजों में से एक को खोलने के बाद, 2/3 की पूरी संभावना शेष दरवाजों में से केवल एक पर पड़ती है, जिससे निर्णय बदलने का आधार बनता है, जिससे जीतने की संभावना बढ़ जाती है 2 बार से। जो, निश्चित रूप से, एक विशिष्ट मामले में किसी भी तरह से इसकी गारंटी नहीं देता है, लेकिन प्रयोग को बार-बार दोहराने के मामले में अधिक सफल परिणाम देगा।

अंतभाषण

मोंटी हॉल समस्या इस समस्या का पहला ज्ञात सूत्रीकरण नहीं है। विशेष रूप से, 1959 में, मार्टिन गार्डनर ने साइंटिफिक अमेरिकन में "तीन कैदियों के बारे में" (तीन कैदियों की समस्या) के समान समस्या को निम्नलिखित शब्दों के साथ प्रकाशित किया: "तीन कैदियों में से एक को क्षमा किया जाना चाहिए, और दो को मृत्युदंड दिया जाना चाहिए। कैदी ए ने गार्ड को अन्य दो में से एक का नाम बताने के लिए राजी किया, जिसे निष्पादित किया जाएगा (या तो यदि दोनों को निष्पादित किया जाता है), जिसके बाद, बी नाम प्राप्त करने के बाद, वह मानता है कि उसके स्वयं के उद्धार की संभावना नहीं बन गई है 1/3, लेकिन 1/2। वहीं, कैदी सी का दावा है कि उसके बचने की संभावना 2/3 हो गई है, जबकि ए के लिए कुछ भी नहीं बदला है। कौन सा सही है?"

हालांकि, गार्डनर पहले नहीं थे, 1889 के बाद से, उनकी प्रायिकता की गणना में, फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ बर्ट्रेंड (अंग्रेज बर्ट्रेंड रसेल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए!) एक समान समस्या पेश करते हैं (देखें बर्ट्रेंड का बॉक्स विरोधाभास): "वहाँ हैं तीन बक्से, जिनमें से प्रत्येक में दो सिक्के हैं: पहले में दो सोने के सिक्के, दूसरे में दो चांदी के सिक्के और तीसरे में दो अलग-अलग सिक्के।

यदि आप तीनों समस्याओं के समाधान को समझते हैं, तो उनके विचारों की समानता को नोटिस करना आसान है; गणितीय रूप से, वे सभी सशर्त संभाव्यता की अवधारणा से एकजुट हैं, अर्थात घटना A की संभावना, यदि यह ज्ञात है कि घटना B हुई है। सबसे सरल उदाहरण: एक नियमित पासे पर एक इकाई के गिरने की संभावना 1/6 है; हालाँकि, यदि लुढ़का हुआ नंबर विषम के रूप में जाना जाता है, तो संभावना है कि यह पहले से ही 1/3 है। द मॉन्टी हॉल समस्या, उद्धृत अन्य दो समस्याओं की तरह, यह दर्शाती है कि सशर्त संभावनाओं को सावधानी से संभाला जाना चाहिए।

इन समस्याओं को अक्सर विरोधाभास भी कहा जाता है: मोंटी हॉल का विरोधाभास, बर्ट्रेंड का बॉक्स विरोधाभास (उत्तरार्द्ध को उसी पुस्तक में दिए गए वास्तविक बर्ट्रेंड के विरोधाभास के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो उस समय मौजूद संभाव्यता की अवधारणा की अस्पष्टता को साबित करता है) - जो कुछ विरोधाभास का अर्थ है (उदाहरण के लिए, "झूठा का विरोधाभास" वाक्यांश "यह कथन झूठा है" बहिष्कृत मध्य के कानून का खंडन करता है)। इस मामले में, हालांकि, कठोर दावों के साथ कोई विरोधाभास नहीं है। लेकिन "जनमत" या समस्या के "स्पष्ट समाधान" के साथ एक स्पष्ट विरोधाभास है। दरअसल, समस्या को देखते हुए ज्यादातर लोगों का मानना ​​है कि किसी एक दरवाजे को खोलने के बाद, बाकी दो बंद दरवाजों में से किसी एक के पीछे पुरस्कार मिलने की संभावना 1/2 है। ऐसा करके, वे दावा करते हैं कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वे अपना मन बदलने के लिए सहमत हैं या असहमत हैं। इसके अलावा, बहुत से लोगों को विस्तृत समाधान बताए जाने के बाद भी इसके अलावा कोई अन्य उत्तर समझने में कठिनाई होती है।

स्टीव सेल्विन को मोंटी हॉल की प्रतिक्रिया

श्री स्टीव सेल्विन,
बायोस्टैटिस्टिक्स के सहायक प्रोफेसर,
यूनिवर्सिटी ऑफ कैलिफोर्निया, बर्केले।

प्रिय स्टीव,

मुझे अमेरिकी सांख्यिकी से समस्या भेजने के लिए धन्यवाद।

हालांकि मैंने विश्वविद्यालय में आंकड़ों का अध्ययन नहीं किया, लेकिन मुझे पता है कि अगर मैं उन्हें हेरफेर करना चाहता हूं तो संख्याओं का हमेशा मेरे लाभ के लिए उपयोग किया जा सकता है। आपका तर्क एक आवश्यक परिस्थिति को ध्यान में नहीं रखता है: पहला बॉक्स खाली होने के बाद, प्रतिभागी अब अपनी पसंद नहीं बदल सकता है। तो संभावनाएँ समान रहती हैं: तीन में से एक, है ना? और, ज़ाहिर है, एक बॉक्स के खाली होने के बाद, संभावना 50/50 नहीं बनती है, लेकिन वही रहती है - तीन में से एक। प्रतिभागी को केवल यह लगता है कि एक बॉक्स से छुटकारा पाने से उसे अधिक मौके मिलते हैं। बिल्कुल नहीं। उसके खिलाफ दो से एक, जैसा कि था, और रहता है। और अगर आप अचानक मेरे शो पर आ जाते हैं, तो आपके लिए नियम वही रहेंगे: चयन के बाद कोई चेंजिंग बॉक्स नहीं।