Kako riješiti sustave linearnih jednadžbi. Sustavi jednadžbi s dvije varijable, rješenja

Prisjetimo se najprije definicije rješenja sustava jednadžbi u dvije varijable.

Definicija 1

Par brojeva naziva se rješenjem sustava jednadžbi s dvije varijable ako se njihovom zamjenom u jednadžbu dobije ispravna jednakost.

U nastavku ćemo razmatrati sustave dviju jednadžbi s dvije varijable.

postojati četiri osnovna načina rješavanja sustava jednadžbi: metoda supstitucije, metoda dodavanja, grafička metoda, nova metoda upravljanja varijablama. Pogledajmo ove metode konkretni primjeri. Kako bismo opisali princip korištenja prve tri metode, razmotrit ćemo sustav od dvije linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice:

Metoda zamjene

Metoda supstitucije je sljedeća: uzima se bilo koja od ovih jednadžbi i $y$ se izražava kroz $x$, zatim se $y$ supstituira u jednadžbu sustava, odakle se nalazi varijabla $x.$. Nakon toga možemo jednostavno izračunati varijablu $y.$

Primjer 1

Izrazimo iz druge jednadžbe $y$ kroz $x$:

Zamijenite prvu jednadžbu, pronađite $x$:

\ \ \

Pronađite $y$:

Odgovor: $(-2,\ 3)$

Metoda zbrajanja.

Razmotrite ovu metodu na primjeru:

Primjer 2

\[\lijevo\( \begin(niz)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(niz) \desno.\]

Pomnožimo drugu jednadžbu s 3, dobivamo:

\[\lijevo\( \begin(niz)(c) (2x+3y=5) \\ (9x-3y=-27) \end(niz) \desno.\]

Sada zbrojimo obje jednadžbe:

\ \ \

Pronađite $y$ iz druge jednadžbe:

\[-6-y=-9\] \

Odgovor: $(-2,\ 3)$

Napomena 1

Imajte na umu da je u ovoj metodi potrebno pomnožiti jednu ili obje jednadžbe takvim brojevima da prilikom zbrajanja jedna od varijabli "nestane".

Grafički način

Grafička metoda je sljedeća: obje jednadžbe sustava prikazuju se na koordinatnoj ravnini i pronalazi se točka njihova sjecišta.

Primjer 3

\[\lijevo\( \begin(niz)(c) (2x+3y=5) \\ (3x-y=-9) \end(niz) \desno.\]

Izrazimo $y$ iz obje jednadžbe u smislu $x$:

\[\lijevo\( \begin(niz)(c) (y=\frac(5-2x)(3)) \\ (y=3x+9) \end(niz) \desno.\]

Nacrtajmo oba grafa u istoj ravnini:

Slika 1.

Odgovor: $(-2,\ 3)$

Kako uvesti nove varijable

Razmotrit ćemo ovu metodu u sljedećem primjeru:

Primjer 4

\[\lijevo\( \begin(niz)(c) (2^(x+1)-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(niz) \desno .\]

Riješenje.

Ovaj sustav je ekvivalentan sustavu

\[\lijevo\( \begin(niz)(c) ((2\cdot 2)^x-3^y=-1) \\ (3^y-2^x=2) \end(niz) \ pravo.\]

Neka $2^x=u\ (u>0)$ i $3^y=v\ (v>0)$, dobivamo:

\[\lijevo\( \begin(niz)(c) (2u-v=-1) \\ (v-u=2) \kraj(niz) \desno.\]

Dobiveni sustav rješavamo metodom zbrajanja. Dodajmo jednadžbe:

\ \

Zatim iz druge jednadžbe dobivamo to

Vraćajući se na zamjenu, dobivamo novi sustav eksponencijalne jednadžbe:

\[\lijevo\( \begin(niz)(c) (2^x=1) \\ (3^y=3) \end(niz) \desno.\]

Dobivamo:

\[\lijevo\( \begin(niz)(c) (x=0) \\ (y=1) \kraj(niz) \desno.\]

Uputa

Metoda zbrajanja.
Morate napisati dva strogo jedan ispod drugog:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
U proizvoljno odabranu (iz sustava) jednadžbu umjesto već pronađene "igre" umetnuti broj 11 i izračunati drugu nepoznanicu:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Odgovor ovog sustava jednadžbi: x=116, y=11.

Grafički način.
Sastoji se od praktičnog pronalaženja koordinata točke u kojoj su pravci matematički zapisani u sustavu jednadžbi. Trebali biste nacrtati grafikone obje linije odvojeno u istom koordinatnom sustavu. Opći pogled: - y \u003d kx + b. Za konstruiranje ravne linije dovoljno je pronaći koordinate dviju točaka, a x je odabrano proizvoljno.
Neka je zadan sustav: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Ravna linija izgrađena je prema prvoj, zbog praktičnosti treba je zapisati: y \u003d 2x-4. Smislite (lakše) vrijednosti za x, zamijenite ga u jednadžbu, riješite ga, pronađite y. Dobivaju se dvije točke duž kojih se gradi pravac. (vidi sliku.)
x 0 1

y -4 -2
Ravna linija je konstruirana prema drugoj jednadžbi: y \u003d -3x + 1.
Također izgradite liniju. (vidi sliku.)

1-5
Odredite koordinate sjecišta dvaju konstruiranih pravaca na grafu (ako se pravci ne sijeku, onda sustav jednadžbi nema - dakle).

Povezani Videi

Koristan savjet

Ako se isti sustav jednadžbi riješi pomoću tri različiti putevi, odgovor će biti isti (ako je rješenje točno).

Izvori:

• Algebra 8. razred
• riješite jednadžbu s dvije nepoznanice online
• Primjeri rješavanja sustava linearnih jednadžbi s dva

Sustav jednadžbe je skup matematičkih zapisa od kojih svaki sadrži određeni broj varijabli. Postoji nekoliko načina za njihovo rješavanje.

Trebat će vam

• -ravnalo i olovka;
• -kalkulator.

Uputa

Razmotrimo redoslijed rješavanja sustava koji se sastoji od linearnih jednadžbi oblika: a1x + b1y = c1 i a2x + b2y = c2. Gdje su x i y nepoznate varijable, a b,c slobodni članovi. Pri primjeni ove metode svaki sustav je koordinate točaka koje odgovaraju svakoj jednadžbi. Prvo, u svakom slučaju, izrazite jednu varijablu u smislu druge. Zatim postavite varijablu x na bilo koji broj vrijednosti. Dvije su dovoljne. Uključite se u jednadžbu i pronađite y. Izgradite koordinatni sustav, na njemu označite dobivene točke i kroz njih povucite ravnu liniju. Slični proračuni moraju se provesti i za ostale dijelove sustava.

Sustav ima jedinstveno rješenje ako se konstruirane linije sijeku i jedan zajednička točka. Nedosljedno je ako su međusobno paralelne. I ima beskonačno mnogo rješenja kada se linije spajaju jedna s drugom.

Ova se metoda smatra vrlo jasnom. Glavni nedostatak je što izračunate nepoznanice imaju približne vrijednosti. Točniji rezultat daju tzv. algebarske metode.

Svako rješenje sustava jednadžbi vrijedi provjeriti. Da biste to učinili, zamijenite dobivene vrijednosti umjesto varijabli. Također možete pronaći njegovo rješenje na nekoliko načina. Ako je rješenje sustava točno, onda bi svi trebali ispasti isti.

Često postoje jednadžbe u kojima je jedan od članova nepoznat. Da biste riješili jednadžbu, trebate zapamtiti i izvršiti određeni skup radnji s ovim brojevima.

Trebat će vam

• - papir;
• - Olovka ili olovka.

Uputa

Zamislite da ispred sebe imate 8 zečeva, a imate samo 5 mrkvi. Mislite da trebate kupiti više mrkvi kako bi svaki kunić dobio mrkvu.

Predstavimo ovaj problem u obliku jednadžbe: 5 + x = 8. Zamijenimo x s brojem 3. Doista, 5 + 3 = 8.

Kada ste zamijenili broj umjesto x, radili ste istu operaciju kao oduzimanje 5 od 8. Dakle, da biste pronašli nepoznatočlan, od zbroja oduzmite poznati član.

Recimo da imate 20 zečeva i samo 5 mrkvi. Sastavljajmo. Jednadžba je jednakost koja vrijedi samo za određene vrijednosti slova koja su u njoj uključena. Zovu se slova čije vrijednosti želite pronaći. Napišite jednadžbu s jednom nepoznatom, nazovite je x. Rješavajući naš problem o zečevima, dobivamo sljedeću jednadžbu: 5 + x = 20.

Nađimo razliku između 20 i 5. Pri oduzimanju se smanjuje broj od kojeg se oduzima. Broj koji se oduzima naziva se , a konačni rezultat razlika. Dakle, x = 20 - 5; x = 15. Trebate kupiti 15 mrkvi za kuniće.

Provjerite: 5 + 15 = 20. Jednadžba je točna. Naravno, kada pričamo o takvim jednostavnim nije potrebno vršiti provjeru. Međutim, kada su u pitanju jednadžbe s troznamenkastim, četveroznamenkastim i tako dalje, obavezno je provjeriti kako biste bili potpuno sigurni u rezultat svog rada.

Povezani Videi

Koristan savjet

Da biste pronašli nepoznati umanjenik, potrebno je dodati umanjenik razlici.

Da bismo pronašli nepoznati umanjenik, potrebno je od umanjenika oduzeti razliku.

Savjet 4: Kako riješiti sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice

Sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice možda nema rješenja, unatoč dovoljnom broju jednadžbi. Možete ga pokušati riješiti metodom zamjene ili metodom Cramer. Cramerova metoda, osim rješavanja sustava, omogućuje procjenu je li sustav rješiv prije pronalaženja vrijednosti nepoznanica.

Uputa

Metoda zamjene sastoji se od sekvencijalne jedne nepoznanice kroz druge dvije i zamjene dobivenog rezultata u jednadžbe sustava. Neka je dan sustav od tri jednadžbe u općem obliku:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Izrazite x iz prve jednadžbe: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - i zamijenite u drugu i treću jednadžbu, zatim izrazite y iz druge jednadžbe i zamijenite u treću. Dobit ćete linearni izraz za z kroz koeficijente jednadžbi sustava. Sada se vratite "natrag": uključite z u drugu jednadžbu i pronađite y, zatim uključite z i y u prvu jednadžbu i pronađite x. Proces je općenito prikazan na slici dok se ne pronađe z. Nadalje, zapis u općem obliku bit će previše glomazan, u praksi, zamjenom , vrlo lako možete pronaći sve tri nepoznanice.

Cramerova metoda sastoji se u sastavljanju matrice sustava i izračunavanju determinante te matrice, kao i još tri pomoćne matrice. Matrica sustava sastavljena je od koeficijenata pri nepoznatim članovima jednadžbi. Stupac koji sadrži brojeve s desne strane jednadžbi, stupac s desne strane. Ne koristi se u sustavu, ali se koristi pri rješavanju sustava.

Povezani Videi

Bilješka

Sve jednadžbe u sustavu moraju pružiti dodatne informacije neovisne o drugim jednadžbama. U suprotnom, sustav će biti nedovoljno determiniran i neće biti moguće pronaći jednoznačno rješenje.

Koristan savjet

Nakon rješavanja sustava jednadžbi, pronađene vrijednosti zamijenite u izvorni sustav i provjerite zadovoljavaju li sve jednadžbe.

Samo po sebi jednadžba sa tri nepoznato ima mnogo rješenja pa se najčešće nadopunjuje s još dvije jednadžbe ili uvjeta. Ovisno o tome kakvi su početni podaci, uvelike će ovisiti i tijek odluke.

Trebat će vam

• - sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice.

Uputa

Ako dva od tri sustava imaju samo dvije od tri nepoznanice, pokušajte izraziti neke varijable u terminima drugih i uključiti ih u jednadžba sa tri nepoznato. Vaš cilj s ovim je pretvoriti ga u normalu jednadžba s nepoznatim. Ako je to , daljnje rješenje je vrlo jednostavno - zamijenite pronađenu vrijednost u druge jednadžbe i pronađite sve ostale nepoznanice.

Neki sustavi jednadžbi mogu se od jedne jednadžbe oduzeti drugom. Provjerite je li moguće pomnožiti jedan s ili varijablu tako da se dvije nepoznanice reduciraju odjednom. Ako postoji takva prilika, iskoristite je, najvjerojatnije, naknadna odluka neće biti teška. Ne zaboravite da kada množite brojem, morate pomnožiti i lijevu i desnu stranu. Slično tome, kada oduzimate jednadžbe, zapamtite da se desna strana također mora oduzeti.

Ako prethodni načini nije pomoglo, upotrijebite opću metodu za rješavanje bilo koje jednadžbe s tri nepoznato. Da biste to učinili, prepišite jednadžbe u obliku a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Sada napravite matricu koeficijenata na x (A), matricu nepoznanica (X) i matricu slobodnih (B). Obratite pozornost, množenjem matrice koeficijenata s matricom nepoznanica dobit ćete matricu, matricu slobodnih članova, odnosno A * X \u003d B.

Pronađite matricu A na potenciju (-1) nakon pronalaženja , imajte na umu da ne bi trebala biti jednaka nuli. Nakon toga pomnožite dobivenu matricu s matricom B, kao rezultat ćete dobiti željenu matricu X, koja označava sve vrijednosti.

Rješenje sustava od tri jednadžbe možete pronaći i pomoću Cramerove metode. Da biste to učinili, pronađite determinantu trećeg reda ∆ koja odgovara matrici sustava. Zatim uzastopno pronađite još tri determinante ∆1, ∆2 i ∆3, zamjenjujući vrijednosti slobodnih članova umjesto vrijednosti odgovarajućih stupaca. Sada pronađite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Izvori:

• rješenja jednadžbi s tri nepoznanice

Počevši rješavati sustav jednadžbi, shvatite koje su to jednadžbe. Metode rješavanja linearnih jednadžbi dobro su proučene. Nelinearne jednadžbe najčešće se ne rješavaju. Postoji samo jedan poseban slučaj, od kojih je svaki praktički individualan. Stoga proučavanje metoda rješavanja treba započeti s linearnim jednadžbama. Takve se jednadžbe mogu riješiti čak i čisto algoritamski.

nazivnici pronađenih nepoznanica potpuno su isti. Da, i brojnici su vidljivi neki uzorci njihove konstrukcije. Ako bi dimenzija sustava jednadžbi bila veća od dva, tada bi metoda eliminacije dovela do vrlo glomaznih izračuna. Kako bi ih se izbjeglo, razvijena su čisto algoritamska rješenja. Najjednostavniji od njih je Cramerov algoritam (Cramerove formule). Jer ti bi trebao znati opći sustav jednadžbe iz n jednadžbi.

Sustav od n linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznanica ima oblik (vidi sliku 1a). U njemu su aij koeficijenti sustava,
hj – nepoznanice, bi – slobodni članovi (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Takav sustav može se kompaktno napisati u matričnom obliku AX=B. Ovdje je A matrica koeficijenata sustava, X je matrica stupca nepoznanica, B je matrica stupca slobodnih članova (vidi sliku 1b). Prema Cramerovoj metodi, svaka nepoznanica xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Determinanta ∆ matrice koeficijenata naziva se glavna determinanta, a ∆i pomoćna. Za svaku nepoznanicu nalazi se pomoćna determinanta tako da se i-ti stupac glavne determinante zamijeni stupcem slobodnih članova. Cramerova metoda za slučaj sustava drugog i trećeg reda detaljno je prikazana na sl. 2.

Sustav je unija dviju ili više jednakosti, od kojih svaka ima dvije ili više nepoznanica. Postoje dva glavna načina za rješavanje sustava linearnih jednadžbi koje se koriste u okviru školski plan i program. Jedna od njih se zove metoda, druga je metoda sabiranja.

Standardni oblik sustava dviju jednadžbi

Na standardna forma prva jednadžba je a1*x+b1*y=c1, druga jednadžba je a2*x+b2*y=c2, i tako dalje. Na primjer, u slučaju dva dijela sustava u oba su dani a1, a2, b1, b2, c1, c2 neki numerički koeficijenti prikazani u specifičnim jednadžbama. S druge strane, x i y su nepoznanice čije vrijednosti treba odrediti. Željene vrijednosti pretvaraju obje jednadžbe istovremeno u prave jednakosti.

Rješenje sustava metodom adicije

Kako biste riješili sustav, odnosno pronašli one vrijednosti x i y koje će ih pretvoriti u prave jednakosti, potrebno je poduzeti nekoliko jednostavnih koraka. Prvi od njih je transformirati bilo koju od jednadžbi na takav način da se numerički koeficijenti za varijablu x ili y u obje jednadžbe podudaraju u apsolutnoj vrijednosti, ali razlikuju u predznaku.

Na primjer, neka je dan sustav koji se sastoji od dvije jednadžbe. Prvi od njih ima oblik 2x+4y=8, drugi ima oblik 6x+2y=6. Jedna od opcija za rješavanje zadatka je množenje druge jednadžbe s faktorom -2, što će je dovesti do oblika -12x-4y=-12. Pravilan izbor koeficijenta jedan je od ključnih zadataka u procesu rješavanja sustava metodom zbrajanja, jer određuje cjelokupni daljnji tijek postupka pronalaženja nepoznanica.

Sada je potrebno zbrojiti dvije jednadžbe sustava. Očito, međusobno uništavanje varijabli s koeficijentima jednake vrijednosti, ali suprotnog predznaka dovest će ga do oblika -10x=-4. Nakon toga potrebno je riješiti ovu jednostavnu jednadžbu iz koje nedvosmisleno proizlazi da je x=0,4.

Posljednji korak u procesu rješavanja je zamjena pronađene vrijednosti jedne od varijabli u bilo kojoj od početnih jednakosti dostupnih u sustavu. Na primjer, zamjenom x=0,4 u prvu jednadžbu, možete dobiti izraz 2*0,4+4y=8, iz čega je y=1,8. Dakle, x=0,4 i y=1,8 su korijeni sustava prikazanog u primjeru.

Kako bismo bili sigurni da su korijeni ispravno pronađeni, korisno je provjeriti zamjenom pronađenih vrijednosti u drugu jednadžbu sustava. Na primjer, u ovaj slučaj dobije se jednakost oblika 0,4*6+1,8*2=6, što je točno.

Povezani Videi

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi (SLAE) nedvojbeno je najvažnija tema kolegija linearne algebre. Veliki broj problema iz svih grana matematike svodi se na rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Ovi čimbenici objašnjavaju razlog za stvaranje ovog članka. Građa članka odabrana je i strukturirana tako da uz pomoć nje možete

• odabrati optimalnu metodu za rješavanje vašeg sustava linearnih algebarskih jednadžbi,
• proučiti teoriju odabrane metode,
• riješite svoj sustav linearnih jednadžbi, detaljno razmotrivši rješenja tipičnih primjera i problema.

Kratak opis materijala članka.

Prvo dajemo sve potrebne definicije, pojmove i uvodimo neke oznake.

Zatim razmatramo metode za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi u kojima je broj jednadžbi jednak broju nepoznatih varijabli i koje imaju jedinstveno rješenje. Prvo, usredotočimo se na Cramerovu metodu, drugo, prikazat ćemo matričnu metodu za rješavanje ovakvih sustava jednadžbi, i treće, analizirat ćemo Gaussovu metodu (metoda uzastopne eliminacije nepoznatih varijabli). Da bismo učvrstili teoriju, svakako ćemo riješiti nekoliko SLAE na različite načine.

Nakon toga prelazimo na rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi opći pogled, u kojima se broj jednadžbi ne poklapa s brojem nepoznatih varijabli ili je glavna matrica sustava degenerirana. Formuliramo Kronecker-Capellijev teorem, koji nam omogućuje utvrđivanje kompatibilnosti SLAE. Analizirajmo rješenje sustava (u slučaju njihove kompatibilnosti) koristeći koncept baznog minora matrice. Također ćemo razmotriti Gaussovu metodu i detaljno opisati rješenja primjera.

Obavezno se zadržite na strukturi općeg rješenja homogenih i nehomogenih sustava linearnih algebarskih jednadžbi. Dajmo koncept temeljnog sustava rješenja i pokažimo kako se opće rješenje SLAE piše korištenjem vektora temeljnog sustava rješenja. Za bolje razumijevanje, pogledajmo nekoliko primjera.

Zaključno, razmatramo sustave jednadžbi koje se svode na linearne, kao i različite probleme u čijem rješavanju nastaju SLAE.

Navigacija po stranici.

Definicije, pojmovi, oznake.

Razmotrit ćemo sustave od p linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatih varijabli (p može biti jednako n) oblika

Nepoznate varijable, - koeficijenti (neki realni ili kompleksni brojevi), - slobodni članovi (također realni ili kompleksni brojevi).

Ovaj oblik SLAE naziva se Koordinirati.

U matrični oblik ovaj sustav jednadžbi ima oblik,
Gdje - glavna matrica sustava, - matrica-stupac nepoznatih varijabli, - matrica-stupac slobodnih članova.

Ako matrici A kao (n + 1)-tom stupcu dodamo matricu-stupac slobodnih članova, tada dobivamo tzv. proširena matrica sustavi linearnih jednadžbi. Obično se proširena matrica označava slovom T, a stupac slobodnih članova odvaja se s vertikalna linija iz ostalih stupaca, tj.

Rješavanjem sustava linearnih algebarskih jednadžbi naziva se skup vrijednosti nepoznatih varijabli, koji sve jednadžbe sustava pretvara u identitete. Matrična jednadžba za zadane vrijednosti nepoznatih varijabli također se pretvara u identitet.

Ako sustav jednadžbi ima barem jedno rješenje, tada se zove spojnica.

Ako sustav jednadžbi nema rješenja, tada se naziva nekompatibilan.

Ako SLAE ima jedinstveno rješenje, tada se ono naziva određeni; ako postoji više od jednog rješenja, tada - neizvjestan.

Ako su slobodni članovi svih jednadžbi sustava jednaki nuli , tada se sustav poziva homogena, inače - heterogena.

Rješavanje elementarnih sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Ako je broj jednadžbi sustava jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta njegove glavne matrice nije jednaka nuli, tada ćemo takve SLAE nazvati elementarni. Takvi sustavi jednadžbi imaju jedinstveno rješenje, au slučaju homogenog sustava sve nepoznate varijable jednake su nuli.

Počeli smo proučavati takve SLAE u Srednja škola. Prilikom njihovog rješavanja uzeli smo jednu jednadžbu, izrazili jednu nepoznatu varijablu kroz druge i zamijenili je u preostale jednadžbe, zatim uzeli sljedeću jednadžbu, izrazili sljedeću nepoznatu varijablu i zamijenili je u druge jednadžbe, i tako dalje. Ili su koristili metodu zbrajanja, odnosno zbrajali su dvije ili više jednadžbi kako bi eliminirali neke nepoznate varijable. Nećemo se detaljnije zadržavati na ovim metodama, budući da su one u biti modifikacije Gaussove metode.

Glavne metode za rješavanje elementarnih sustava linearnih jednadžbi su Cramerova metoda, matrična metoda i Gaussova metoda. Razvrstajmo ih.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Cramerovom metodom.

Trebamo riješiti sustav linearnih algebarskih jednadžbi

u kojoj je broj jednadžbi jednak broju nepoznatih varijabli i determinanta glavne matrice sustava različita od nule, odnosno .

Neka je determinanta glavne matrice sustava, i su determinante matrica koje se dobivaju iz A zamjenom 1., 2., …, n-ti stupcu odnosno stupcu slobodnih članova:

Uz takav zapis, nepoznate varijable izračunavaju se formulama Cramerove metode kao . Tako se Cramerovom metodom nalazi rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Primjer.

Cramer metoda .

Riješenje.

Glavna matrica sustava ima oblik . Izračunajte njegovu determinantu (ako je potrebno, pogledajte članak):

Budući da je determinanta glavne matrice sustava različita od nule, sustav ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći Cramerovom metodom.

Sastavi i izračunaj potrebne odrednice (determinanta se dobiva zamjenom prvog stupca u matrici A stupcem slobodnih članova, determinanta - zamjenom drugog stupca stupcem slobodnih članova, - zamjenom trećeg stupca matrice A stupcem slobodnih članova ):

Pronalaženje nepoznatih varijabli pomoću formula :

Odgovor:

Glavni nedostatak Cramerove metode (ako se može nazvati nedostatkom) je složenost izračunavanja determinanti kada je broj jednadžbi sustava veći od tri.

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom (pomoću inverzne matrice).

Neka je sustav linearnih algebarskih jednadžbi zadan u matričnom obliku, gdje matrica A ima dimenziju n puta n i njena determinanta je različita od nule.

Kako je , tada je matrica A invertibilna, odnosno postoji inverzna matrica . Ako oba dijela jednakosti pomnožimo s lijevo, tada dobivamo formulu za pronalaženje stupca matrice nepoznatih varijabli. Tako smo dobili rješenje sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom.

Primjer.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi matrična metoda.

Riješenje.

Prepišimo sustav jednadžbi u matričnom obliku:

Jer

tada se SLAE može riješiti matričnom metodom. Koristeći inverznu matricu, rješenje ovog sustava može se pronaći kao .

Izgradimo inverznu matricu pomoću matrice algebarskih komplemenata elemenata matrice A (ako je potrebno, pogledajte članak):

Ostaje izračunati - matricu nepoznatih varijabli množenjem inverzne matrice na stupcu matrice slobodnih članova (po potrebi pogledajte članak):

Odgovor:

ili u drugom zapisu x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Glavni problem u pronalaženju rješenja sustava linearnih algebarskih jednadžbi matričnom metodom je složenost pronalaženja inverzne matrice, posebno za kvadratne matrice reda višeg od trećeg.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussovom metodom.

Pretpostavimo da trebamo pronaći rješenje za sustav od n linearnih jednadžbi s n nepoznatih varijabli
čija je determinanta glavne matrice različita od nule.

Suština Gaussove metode sastoji se u uzastopnom isključivanju nepoznatih varijabli: prvo, x 1 se isključuje iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge, zatim se x 2 isključuje iz svih jednadžbi, počevši od treće, i tako dalje, sve dok samo nepoznata varijabla x n ostaje u posljednjoj jednadžbi. Takav proces transformacije jednadžbi sustava za uzastopnu eliminaciju nepoznatih varijabli naziva se izravna Gaussova metoda. Nakon dovršetka napredovanja Gaussove metode, x n se nalazi iz posljednje jednadžbe, x n-1 se izračunava iz pretposljednje jednadžbe koristeći ovu vrijednost, i tako dalje, x 1 se nalazi iz prve jednadžbe. Proces izračuna nepoznatih varijabli pri prelasku sa zadnje jednadžbe sustava na prvu naziva se reverzna Gaussova metoda.

Opišimo ukratko algoritam za eliminaciju nepoznatih varijabli.

Pretpostavit ćemo da , budući da to uvijek možemo postići preuređivanjem jednadžbi sustava. Nepoznatu varijablu x 1 isključujemo iz svih jednadžbi sustava, počevši od druge. Da biste to učinili, dodajte prvu jednadžbu pomnoženu s drugoj jednadžbi sustava, dodajte prvu pomnoženu s trećoj jednadžbi i tako dalje, dodajte prvu pomnoženu s n-toj jednadžbi. Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje .

Do istog bismo rezultata došli kad bismo izrazili x 1 u smislu drugih nepoznatih varijabli u prvoj jednadžbi sustava i zamijenili dobiveni izraz u sve ostale jednadžbe. Dakle, varijabla x 1 je isključena iz svih jednadžbi, počevši od druge.

Zatim postupamo slično, ali samo s dijelom dobivenog sustava koji je označen na slici

Da biste to učinili, dodajte sekundu pomnoženu s trećoj jednadžbi sustava, dodajte drugu pomnoženu s četvrtoj jednadžbi i tako dalje, dodajte sekundu pomnoženu s n-toj jednadžbi. Sustav jednadžbi nakon takvih transformacija poprimit će oblik

gdje . Time je varijabla x 2 isključena iz svih jednadžbi, počevši od treće.

Zatim prelazimo na eliminaciju nepoznate x 3, a slično postupamo s dijelom sustava označenim na slici

Dakle, nastavljamo direktni tijek Gaussove metode sve dok sustav ne poprimi oblik

Od tog trenutka počinjemo obrnuti tijek Gaussove metode: izračunavamo x n iz posljednje jednadžbe kao , pomoću dobivene vrijednosti x n nalazimo x n-1 iz pretposljednje jednadžbe, i tako dalje, nalazimo x 1 iz prve jednadžba.

Primjer.

Rješavanje sustava linearnih jednadžbi Gaussova metoda.

Riješenje.

Isključimo nepoznatu varijablu x 1 iz druge i treće jednadžbe sustava. Da bismo to učinili, oba dijela druge i treće jednadžbe dodamo odgovarajuće dijelove prve jednadžbe, pomnožene sa i sa, redom:

Sada isključujemo x 2 iz treće jednadžbe dodavanjem lijevog i desnog dijela druge jednadžbe, pomnoženo s:

Na ovome je prednji tijek Gaussove metode završen, počinjemo obrnuti tijek.

Iz posljednje jednadžbe dobivenog sustava jednadžbi nalazimo x 3:

Iz druge jednadžbe dobivamo .

Iz prve jednadžbe nalazimo preostalu nepoznatu varijablu i time završavamo obrnuti tijek Gaussove metode.

Odgovor:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 \u003d -1.

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

U općem slučaju, broj jednadžbi sustava p ne podudara se s brojem nepoznatih varijabli n:

Takvi SLAE mogu imati rješenja, imati jedno rješenje ili imati beskonačno mnogo rješenja. Ova se izjava također odnosi na sustave jednadžbi čija je glavna matrica kvadratna i degenerirana.

Kronecker-Capellijev teorem.

Prije pronalaska rješenja sustava linearnih jednadžbi potrebno je utvrditi njegovu kompatibilnost. Odgovor na pitanje kada je SLAE kompatibilan, a kada nekompatibilan daje Kronecker–Capellijev teorem:
da bi sustav od p jednadžbi s n nepoznanica (p može biti jednako n) bio konzistentan potrebno je i dovoljno da rang glavne matrice sustava bude jednak rangu proširene matrice, odnosno Rank( A)=Rang(T) .

Razmotrimo kao primjer primjenu Kronecker-Cappellijevog teorema za određivanje kompatibilnosti sustava linearnih jednadžbi.

Primjer.

Utvrdite ima li sustav linearnih jednadžbi rješenja.

Riješenje.

. Upotrijebimo metodu rubnih minora. Minor drugog reda različit od nule. Prijeđimo na minore trećeg reda koji ga okružuju:

Budući da su svi rubni minori trećeg reda jednaki nuli, rang glavne matrice je dva.

Zauzvrat, rang proširene matrice jednako je tri, budući da je minor trećeg reda

različit od nule.

Tako, Rang(A), dakle, prema Kronecker-Capellijevom teoremu, možemo zaključiti da je izvorni sustav linearnih jednadžbi nekonzistentan.

Odgovor:

Ne postoji sustav rješenja.

Dakle, naučili smo utvrditi nekonzistentnost sustava pomoću Kronecker-Capellijevog teorema.

Ali kako pronaći rješenje SLAE ako je njegova kompatibilnost uspostavljena?

Da bismo to učinili, potreban nam je koncept minora baze matrice i teorem o rangu matrice.

Naziva se minor najvišeg reda matrice A, različit od nule Osnovni, temeljni.

Iz definicije baznog minora proizlazi da je njegov red jednak rangu matrice. Za matricu A različitu od nule može postojati nekoliko bazičnih minora; uvijek postoji jedan bazični minor.

Na primjer, razmotrite matricu .

Svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli, jer su elementi trećeg retka ove matrice zbroj odgovarajućih elemenata prvog i drugog retka.

Sljedeći minori drugog reda su bazični jer nisu nula

Maloljetnici nisu bazične, jer su jednake nuli.

Teorem o rangu matrice.

Ako je rang matrice reda p prema n jednak r, tada su svi elementi redaka (i stupaca) matrice koji ne tvore odabrani bazni minor linearno izraženi kroz odgovarajuće elemente redaka (i stupaca) ) koji čine bazu minor.

Što nam daje teorem o rangu matrice?

Ako smo Kronecker-Capellijevim teoremom utvrdili kompatibilnost sustava, tada biramo bilo koji osnovni minor glavne matrice sustava (njegov je red jednak r), a iz sustava isključujemo sve jednadžbe koje ne tvore odabrani osnovni mol. SLAE dobiven na ovaj način bit će ekvivalentan izvornom, budući da su odbačene jednadžbe i dalje suvišne (prema teoremu o rangu matrice, one su linearna kombinacija preostalih jednadžbi).

Kao rezultat toga, nakon odbacivanja suvišnih jednadžbi sustava, moguća su dva slučaja.

Ako je broj jednadžbi r u rezultirajućem sustavu jednak broju nepoznatih varijabli, tada će on biti određen i jedino rješenje može se pronaći Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Primjer.

.

Riješenje.

Rang glavne matrice sustava jednako je dva, budući da je minor drugog reda različit od nule. Prošireni rang matrice također je jednako dva, budući da je jedini minor trećeg reda jednak nuli

a minor drugog reda razmatran gore je različit od nule. Na temelju Kronecker-Capellijevog teorema, može se tvrditi kompatibilnost izvornog sustava linearnih jednadžbi, jer Rank(A)=Rank(T)=2 .

Kao sporednu osnovu uzimamo . Formiraju ga koeficijenti prve i druge jednadžbe:


Treća jednadžba sustava ne sudjeluje u formiranju osnovnog minora, pa je isključujemo iz sustava na temelju teorema o rangu matrice:


Tako smo dobili elementarni sustav linearnih algebarskih jednadžbi. Riješimo to Cramerovom metodom:


Odgovor:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Ako je broj jednadžbi r u rezultirajućem SLAE manje od broja nepoznate varijable n, tada na lijevoj strani jednadžbi ostavljamo članove koji čine osnovni minor, a preostale članove prenosimo na desnu stranu jednadžbi sustava suprotnog predznaka.

Nepoznate varijable (ima ih r) koje ostaju na lijevoj strani jednadžbi nazivaju se glavni.

Pozivaju se nepoznate varijable (ima ih n - r) koje su završile na desnoj strani besplatno.

Sada pretpostavljamo da slobodne nepoznate varijable mogu poprimiti proizvoljne vrijednosti, dok će r glavnih nepoznatih varijabli biti izražene u terminima slobodnih nepoznatih varijabli na jedinstven način. Njihov se izraz može pronaći rješavanjem dobivenog SLAE Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Uzmimo primjer.

Primjer.

Rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi .

Riješenje.

Odredite rang glavne matrice sustava metodom graničnih maloljetnika. Uzmimo 1 1 = 1 kao minor prvog reda različit od nule. Počnimo tražiti minor drugog reda različit od nule koji okružuje ovaj minor:


Dakle, pronašli smo minor drugog reda različit od nule. Počnimo tražiti rubni minor trećeg reda koji nije nula:


Dakle, rang glavne matrice je tri. Rang proširene matrice također je jednak tri, odnosno sustav je konzistentan.

Pronađeni minor trećeg reda različit od nule uzet će se kao osnovni.

Radi jasnoće, prikazujemo elemente koji čine osnovni minor:


Članove koji sudjeluju u osnovnom minoru ostavljamo na lijevoj strani jednadžbi sustava, a ostale suprotnih predznaka prenosimo na desne strane:


Slobodnim nepoznatim varijablama x 2 i x 5 dajemo proizvoljne vrijednosti, odnosno uzimamo , gdje su proizvoljni brojevi. U ovom slučaju, SLAE ima oblik


Dobiveni elementarni sustav linearnih algebarskih jednadžbi rješavamo Cramerovom metodom:


Stoga, .

U odgovoru ne zaboravite navesti slobodne nepoznate varijable.

Odgovor:

Gdje su proizvoljni brojevi.

Rezimirati.

Da bismo riješili sustav linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika, prvo ćemo utvrditi njegovu kompatibilnost pomoću Kronecker-Capellijevog teorema. Ako rang glavne matrice nije jednak rangu proširene matrice, tada zaključujemo da je sustav nekonzistentan.

Ako je rang glavne matrice jednak rangu proširene matrice, tada biramo osnovni minor i odbacujemo jednadžbe sustava koje ne sudjeluju u formiranju izabranog osnovnog minora.

Ako je poredak minora baze jednak broju nepoznatih varijabli, tada SLAE ima jedinstveno rješenje koje se može pronaći bilo kojom nama poznatom metodom.

Ako je poredak baznog minora manji od broja nepoznatih varijabli, tada ostavljamo članove s glavnim nepoznatim varijablama na lijevoj strani jednadžbi sustava, preostale članove prenosimo na desne strane i dodjeljujemo proizvoljne vrijednosti​ na slobodne nepoznate varijable. Iz dobivenog sustava linearnih jednadžbi nalazimo glavne nepoznate varijable Cramerovom metodom, matričnom metodom ili Gaussovom metodom.

Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

Koristeći Gaussovu metodu, mogu se riješiti sustavi linearnih algebarskih jednadžbi bilo koje vrste bez njihovog prethodnog ispitivanja kompatibilnosti. Proces sukcesivne eliminacije nepoznatih varijabli omogućuje izvođenje zaključaka o kompatibilnosti i nedosljednosti SLAE, a ako rješenje postoji, omogućuje njegovo pronalaženje.

Sa stajališta računalnog rada prednost daje Gaussova metoda.

Gledaj Detaljan opis te analizirane primjere u članku Gaussova metoda za rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi općeg oblika.

Snimanje općeg rješenja homogenih i nehomogenih linearnih algebarskih sustava pomoću vektora temeljnog sustava rješenja.

U ovom odjeljku ćemo se usredotočiti na zajedničke homogene i nehomogene sustave linearnih algebarskih jednadžbi koje imaju beskonačan broj rješenja.

Pozabavimo se prvo homogenim sustavima.

Temeljni sustav odlučivanja Homogeni sustav od p linearnih algebarskih jednadžbi s n nepoznatih varijabli skup je (n – r) linearno neovisnih rješenja tog sustava, gdje je r red baznog minora glavne matrice sustava.

Ako linearno neovisna rješenja homogenog SLAE označimo kao X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) su stupci matrice dimenzije n pomoću 1 ) , tada se opće rješenje ovog homogenog sustava prikazuje kao linearna kombinacija vektora temeljnog sustava rješenja s proizvoljnim konstantnim koeficijentima S 1 , S 2 , …, S (n-r), odnosno .

Što znači pojam opće rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi (oroslau)?

Značenje je jednostavno: formula postavlja sve moguća rješenja izvorni SLAE, drugim riječima, uzimajući bilo koji skup vrijednosti proizvoljnih konstanti S 1 , S 2 , …, S (n-r) , prema formuli dobivamo jedno od rješenja izvornog homogenog SLAE.

Stoga, ako pronađemo temeljni sustav rješenja, tada možemo postaviti sva rješenja ovog homogenog SLAE kao .

Pokažimo proces konstruiranja temeljnog sustava rješenja za homogeni SLAE.

Biramo osnovni minor izvornog sustava linearnih jednadžbi, isključujemo sve ostale jednadžbe iz sustava, a na desnu stranu jednadžbi sustava suprotnih predznaka prenosimo sve članove koji sadrže slobodne nepoznate varijable. Dajmo besplatne nepoznanice varijabilne vrijednosti 1,0,0,…,0 i izračunati glavne nepoznanice rješavanjem rezultirajućeg elementarnog sustava linearnih jednadžbi na bilo koji način, na primjer, Cramerovom metodom. Tako će se dobiti X (1) - prvo rješenje fundamentalnog sustava. Ako slobodnim nepoznanicama damo vrijednosti 0,1,0,0,…,0 i izračunamo glavne nepoznanice, tada ćemo dobiti X (2) . I tako dalje. Ako slobodnim nepoznatim varijablama damo vrijednosti 0,0,…,0,1 i izračunamo glavne nepoznanice, tada ćemo dobiti X (n-r) . Tako će se konstruirati temeljni sustav rješenja homogene SLAE čije se opće rješenje može napisati u obliku .

Za nehomogene sustave linearnih algebarskih jednadžbi opće rješenje se prikazuje kao

Pogledajmo primjere.

Primjer.

Naći temeljni sustav rješenja i opće rješenje homogenog sustava linearnih algebarskih jednadžbi .

Riješenje.

Rang glavne matrice homogenih sustava linearnih jednadžbi uvijek je jednak rangu proširene matrice. Nađimo rang glavne matrice metodom rubnih sporednih. Kao minor različit od nule prvog reda uzimamo element a 1 1 = 9 glavne matrice sustava. Pronađite rubni minor drugog reda različit od nule:

Nađen je minor drugog reda, različit od nule. Prođimo kroz minore trećeg reda koji graniče s njim u potrazi za jedinicom koja nije nula:

Svi rubni minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang glavne i proširene matrice dva. Uzmimo osnovni minor. Radi jasnoće, bilježimo elemente sustava koji ga čine:

Treća jednadžba izvornog SLAE ne sudjeluje u formiranju osnovnog minora, stoga se može isključiti:

Članove koji sadrže glavne nepoznanice ostavljamo na desnim stranama jednadžbi, a članove sa slobodnim nepoznanicama prenosimo na desne strane:

Konstruirajmo temeljni sustav rješenja izvornog homogenog sustava linearnih jednadžbi. Temeljni sustav rješenja ovog SLAE sastoji se od dva rješenja, budući da izvorni SLAE sadrži četiri nepoznate varijable, a redoslijed njegovog osnovnog minora je dva. Da bismo pronašli X (1), slobodnim nepoznatim varijablama dajemo vrijednosti x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, a zatim nalazimo glavne nepoznanice iz sustava jednadžbi
.

1. Metoda zamjene: iz bilo koje jednadžbe sustava jednu nepoznanicu izražavamo preko druge i supstituiramo je u drugu jednadžbu sustava.

Zadatak. Riješite sustav jednadžbi:

Riješenje. Iz prve jednadžbe sustava izražavamo na kroz x i zamijeniti u drugu jednadžbu sustava. Uhvatimo sustav ekvivalentan originalu.

Nakon donošenja takvih uvjeta sustav će imati oblik:

Iz druge jednadžbe nalazimo: . Zamjenom ove vrijednosti u jednadžbu na = 2 - 2x, dobivamo na= 3. Dakle, rješenje ovog sustava je par brojeva .

2. Algebarska metoda zbrajanja: zbrajanjem dviju jednadžbi dobivamo jednadžbu s jednom varijablom.

Zadatak. Riješite jednadžbu sustava:

Riješenje. Množenjem obje strane druge jednadžbe s 2, dobivamo sustav ekvivalentan originalu. Zbrajanjem dviju jednadžbi ovog sustava dolazimo do sustava

Nakon smanjenja sličnih uvjeta, ovaj sustav će imati oblik: Iz druge jednadžbe nalazimo . Zamjenom ove vrijednosti u jednadžbu 3 x + 4na= 5, dobivamo , gdje . Dakle, rješenje ovog sustava je par brojeva.

3. Metoda uvođenja novih varijabli: tražimo neke ponovljene izraze u sustavu, koje ćemo označiti novim varijablama, čime ćemo pojednostaviti oblik sustava.

Zadatak. Riješite sustav jednadžbi:

Riješenje. Zapišimo ovaj sustav drugačije:

Neka x + y = u, hu = v. Tada dobivamo sustav

Riješimo to metodom zamjene. Iz prve jednadžbe sustava izražavamo u kroz v i zamijeniti u drugu jednadžbu sustava. Uhvatimo sustav oni.

Iz druge jednadžbe sustava nalazimo v 1 = 2, v 2 = 3.

Zamjena ovih vrijednosti u jednadžbu u = 5 - v, dobivamo u 1 = 3,
u 2 = 2. Tada imamo dva sustava

Rješavanjem prvog sustava dobivamo dva para brojeva (1; 2), (2; 1). Drugi sustav nema rješenja.

Vježbe za samostalan rad

1. Rješavanje sustava jednadžbi metodom supstitucije.

Sadržaj lekcije

Linearne jednadžbe s dvije varijable

Učenik ima 200 rubalja za ručak u školi. Kolač košta 25 rubalja, a šalica kave 10 rubalja. Koliko kolača i šalica kave možete kupiti za 200 rubalja?

Označite broj kolača kroz x i broj popijenih šalica kave g. Tada će trošak kolača biti označen izrazom 25 x, a cijena šalica kave u 10 g .

25x- cijena x kolači
10y- cijena gšalice kave

Ukupni iznos trebao bi biti 200 rubalja. Tada dobivamo jednadžbu s dvije varijable x I g

25x+ 10g= 200

Koliko korijena ima ova jednadžba?

Sve ovisi o apetitu učenika. Ako kupi 6 kolača i 5 šalica kave, tada će korijeni jednadžbe biti brojevi 6 i 5.

Za par vrijednosti 6 i 5 se kaže da su korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 . Zapisuje se kao (6; 5) , pri čemu je prvi broj vrijednost varijable x, a drugi - vrijednost varijable g .

6 i 5 nisu jedini korijeni koji preokreću jednadžbu 25 x+ 10g= 200 do identiteta. Po želji, za istih 200 rubalja, student može kupiti 4 kolača i 10 šalica kave:

U ovom slučaju, korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 je par vrijednosti (4; 10) .

Štoviše, student uopće ne može kupiti kavu, ali kupiti kolače za svih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 bit će vrijednosti 8 i 0

Ili obrnuto, ne kupujte kolače, ali kupite kavu za svih 200 rubalja. Tada su korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200 bit će vrijednosti 0 i 20

Pokušajmo navesti sve moguće korijene jednadžbe 25 x+ 10g= 200 . Složimo se da vrijednosti x I g pripadaju skupu cijelih brojeva. I neka ove vrijednosti budu veće ili jednake nuli:

x∈Z, g∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Tako će biti prikladno za samog učenika. Kolače je praktičnije kupiti cijele nego, na primjer, nekoliko cijelih kolača i pola kolača. Kavu je također zgodnije uzimati u cijelim šalicama nego, na primjer, nekoliko cijelih šalica i pola šalice.

Imajte na umu da za ak x nemoguće je postići jednakost ni pod kojim g. Zatim vrijednosti x postojat će sljedeći brojevi 0, 2, 4, 6, 8. I znajući x može se lako odrediti g

Tako smo dobili sljedeće parove vrijednosti (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Ovi parovi su rješenja ili korijeni jednadžbe 25 x+ 10g= 200. Oni ovu jednadžbu pretvaraju u identitet.

Vrsta jednadžbe sjekira + prema = c nazvao linearna jednadžba s dvije varijable. Rješenje ili korijeni ove jednadžbe je par vrijednosti ( x; g), što ga pretvara u identitet.

Također primijetite da ako je linearna jednadžba s dvije varijable napisana kao ax + b y = c, onda kažu da je zapisano u kanonski(normalan) oblik.

Neke linearne jednadžbe u dvije varijable mogu se svesti na kanonski oblik.

Na primjer, jednadžba 2(16x+ 3y- 4) = 2(12 + 8x − g) može se prisjetiti sjekira + prema = c. Otvorimo zagrade u oba dijela ove jednadžbe, dobivamo 32x + 6g − 8 = 24 + 16x − 2g . Članovi koji sadrže nepoznanice grupirani su na lijevoj strani jednadžbe, a članovi bez nepoznanica grupirani su na desnoj strani. Onda dobivamo 32x - 16x+ 6g+ 2g = 24 + 8 . Donosimo slične članove u oba dijela, dobivamo jednadžbu 16 x+ 8g= 32. Ova se jednadžba svodi na oblik sjekira + prema = c i kanonski je.

Jednadžba 25 razmatrana ranije x+ 10g= 200 je također linearna jednadžba s dvije varijable u kanonskom obliku. U ovoj jednadžbi parametri a , b I c jednaki su vrijednostima 25, 10 i 200, redom.

Zapravo jednadžba sjekira + prema = c ima beskonačan broj rješenja. Rješavanje jednadžbe 25x+ 10g= 200, tražili smo njegove korijene samo na skupu cijelih brojeva. Kao rezultat, dobili smo nekoliko parova vrijednosti koje su ovu jednadžbu pretvorile u identitet. Ali na skupu racionalnih brojeva jednadžba 25 x+ 10g= 200 će imati beskonačan broj rješenja.

Da biste dobili nove parove vrijednosti, trebate uzeti proizvoljnu vrijednost za x, zatim izrazite g. Na primjer, uzmimo varijablu x vrijednost 7. Tada dobivamo jednadžbu s jednom varijablom 25×7 + 10g= 200 u kojem se izraziti g

Neka x= 15. Zatim jednadžba 25x+ 10g= 200 postaje 25 × 15 + 10g= 200. Odavde to nalazimo g = −17,5

Neka x= −3 . Zatim jednadžba 25x+ 10g= 200 postaje 25 × (−3) + 10g= 200. Odavde to nalazimo g = −27,5

Sustav dviju linearnih jednadžbi s dvije varijable

Za jednadžbu sjekira + prema = c možete uzeti bilo koji broj puta proizvoljne vrijednosti za x i pronaći vrijednosti za g. Uzeta zasebno, takva jednadžba će imati beskonačan broj rješenja.

No događa se i da varijable x I g povezani ne jednom, nego dvjema jednadžbama. U tom slučaju tvore tzv sustav linearnih jednadžbi s dvije varijable. Takav sustav jednadžbi može imati jedan par vrijednosti (ili drugim riječima: "jedno rješenje").

Također se može dogoditi da sustav uopće nema rješenja. Sustav linearnih jednadžbi može imati beskonačan broj rješenja u rijetkim i iznimnim slučajevima.

Dvije linearne jednadžbe tvore sustav kada vrijednosti x I g uključeni su u svaku od ovih jednadžbi.

Vratimo se na prvu jednadžbu 25 x+ 10g= 200 . Jedan od parova vrijednosti za ovu jednadžbu bio je par (6; 5) . To je slučaj kada se za 200 rubalja može kupiti 6 kolača i 5 šalica kave.

Sastavimo zadatak tako da par (6; 5) postane jedino rješenje za jednadžbu 25 x+ 10g= 200 . Da bismo to učinili, sastavljamo drugu jednadžbu koja bi povezivala iste x kolači i gšalice kave.

Stavimo tekst zadatka na sljedeći način:

“Učenik je kupio nekoliko kolača i nekoliko šalica kave za 200 rubalja. Kolač košta 25 rubalja, a šalica kave 10 rubalja. Koliko je kolača i šalica kave kupio učenik ako se zna da je broj kolača za jedan veći od broja šalica kave?

Već imamo prvu jednadžbu. Ovo je jednadžba 25 x+ 10g= 200 . Sada napišimo jednadžbu za uvjet "broj kolača je za jednu jedinicu veći od broja šalica kave" .

Broj kolača je x, a broj šalica kave je g. Ovaj izraz možete napisati pomoću jednadžbe x − y= 1. Ova jednadžba bi značila da je razlika između kolača i kave 1.

x=y+ 1 . Ova jednadžba znači da je broj kolača za jedan veći od broja šalica kave. Dakle, da bi se dobila jednakost, broju šalica kave dodaje se jedna. To se lako može razumjeti ako upotrijebimo težinski model koji smo razmatrali proučavajući najjednostavnije probleme:

Dobili smo dvije jednadžbe: 25 x+ 10g= 200 i x=y+ 1. Budući da vrijednosti x I g, naime 6 i 5 su uključeni u svaku od ovih jednadžbi, tada zajedno čine sustav. Zapišimo ovaj sustav. Ako jednadžbe tvore sustav, onda su uokvirene predznakom sustava. Oznaka sustava je vitičasta zagrada:

Riješimo ovaj sustav. To će nam omogućiti da vidimo kako dolazimo do vrijednosti 6 i 5. Postoje mnoge metode za rješavanje takvih sustava. Razmotrite najpopularnije od njih.

Metoda zamjene

Naziv ove metode govori sam za sebe. Njegova suština je zamjena jedne jednadžbe u drugu, nakon što je prethodno izražena jedna od varijabli.

U našem sustavu ništa se ne mora izražavati. U drugoj jednadžbi x = g+ 1 varijabla x već izraženo. Ova varijabla jednaka je izrazu g+ 1 . Zatim možete zamijeniti ovaj izraz u prvoj jednadžbi umjesto varijable x

Nakon zamjene izraza g+ 1 umjesto toga u prvu jednadžbu x, dobivamo jednadžbu 25(g+ 1) + 10g= 200 . Ovo je linearna jednadžba s jednom varijablom. Ovu je jednadžbu vrlo lako riješiti:

Pronašli smo vrijednost varijable g. Sada zamijenimo ovu vrijednost u jednu od jednadžbi i pronađemo vrijednost x. Za to je zgodno koristiti drugu jednadžbu x = g+ 1 . Stavimo vrijednost u to g

Dakle, par (6; 5) je rješenje sustava jednadžbi, kao što smo i namjeravali. Provjeravamo i uvjeravamo se da par (6; 5) zadovoljava sustav:

Primjer 2

Zamijenite prvu jednadžbu x= 2 + g u drugu jednadžbu 3 x - 2g= 9. U prvoj jednadžbi varijabla x jednaka je izrazu 2 + g. Zamjenjujemo ovaj izraz u drugu jednadžbu umjesto x

Sada pronađimo vrijednost x. Da biste to učinili, zamijenite vrijednost g u prvu jednadžbu x= 2 + g

Dakle, rješenje sustava je vrijednost para (5; 3)

Primjer 3. Metodom supstitucije riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Ovdje, za razliku od prethodnih primjera, jedna od varijabli nije eksplicitno izražena.

Da biste jednu jednadžbu zamijenili drugom, prvo trebate .

Poželjno je izraziti varijablu koja ima koeficijent jedan. Jedinica koeficijenta ima varijablu x, koji je sadržan u prvoj jednadžbi x+ 2g= 11. Izrazimo ovu varijablu.

Nakon varijabilnog izraza x, naš će sustav izgledati ovako:

Sada zamijenimo prvu jednadžbu u drugu i pronađemo vrijednost g

Zamjena g x

Dakle, rješenje sustava je par vrijednosti (3; 4)

Naravno, možete izraziti i varijablu g. Korijeni se neće promijeniti. Ali ako izrazite y, rezultat nije vrlo jednostavna jednadžba za čije će rješavanje trebati više vremena. Izgledat će ovako:

To vidimo u ovaj primjer izraziti x mnogo zgodnije od izražavanja g .

Primjer 4. Metodom supstitucije riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Izrazite u prvoj jednadžbi x. Tada će sustav imati oblik:

g

Zamjena g u prvu jednadžbu i pronađite x. Možete koristiti izvornu jednadžbu 7 x+ 9g= 8 , ili upotrijebite jednadžbu u kojoj je varijabla izražena x. Koristit ćemo ovu jednadžbu jer je prikladna:

Dakle, rješenje sustava je par vrijednosti (5; −3)

Metoda zbrajanja

Metoda zbrajanja je zbrajanje člana po člana jednadžbi uključenih u sustav. Ovo zbrajanje rezultira novom jednadžbom s jednom varijablom. I prilično je lako riješiti ovu jednadžbu.

Riješimo sljedeći sustav jednadžbi:

Dodajte lijevu stranu prve jednadžbe lijevoj strani druge jednadžbe. I desna strana prve jednadžbe s desnom stranom druge jednadžbe. Dobijamo sljedeću jednakost:

Evo sličnih pojmova:

Kao rezultat dobili smo najjednostavniju jednadžbu 3 x= 27 čiji je korijen 9. Poznavajući vrijednost x možete pronaći vrijednost g. Zamijenite vrijednost x u drugu jednadžbu x − y= 3. Dobivamo 9 − g= 3. Odavde g= 6 .

Dakle, rješenje sustava je par vrijednosti (9; 6)

Primjer 2

Dodajte lijevu stranu prve jednadžbe lijevoj strani druge jednadžbe. I desna strana prve jednadžbe s desnom stranom druge jednadžbe. U dobivenoj jednakosti predstavljamo slične članove:

Kao rezultat, dobili smo najjednostavniju jednadžbu 5 x= 20 čiji je korijen 4. Poznavanje vrijednosti x možete pronaći vrijednost g. Zamijenite vrijednost x u prvu jednadžbu 2 x+y= 11. Ajmo 8 + g= 11. Odavde g= 3 .

Dakle, rješenje sustava je par vrijednosti (4;3)

Proces dodavanja nije detaljno opisan. To se mora učiniti u umu. Prilikom zbrajanja obje se jednadžbe moraju svesti na kanonski oblik. Odnosno na pamet ac+by=c .

Iz razmatranih primjera vidljivo je da je glavni cilj dodavanja jednadžbi riješiti se jedne od varijabli. Ali nije uvijek moguće odmah riješiti sustav jednadžbi metodom dodavanja. Najčešće se sustav preliminarno dovodi u oblik u koji je moguće dodati jednadžbe uključene u ovaj sustav.

Na primjer, sustav može se riješiti izravno metodom zbrajanja. Pri zbrajanju obje jednadžbe, članovi g I −y nestaju jer je njihov zbroj nula. Kao rezultat, formirana je najjednostavnija jednadžba 11 x= 22 , čiji je korijen 2. Tada će se moći odrediti g jednako 5.

I sustav jednadžbi metoda zbrajanja ne može se odmah riješiti jer to neće dovesti do nestanka jedne od varijabli. Zbrajanje će rezultirati jednadžbom 8 x+ g= 28 , koji ima beskonačno mnogo rješenja.

Ako se oba dijela jednadžbe pomnože ili podijele s istim brojem koji nije jednak nuli, tada će se dobiti jednadžba ekvivalentna danoj. Ovo pravilo vrijedi i za sustav linearnih jednadžbi s dvije varijable. Jedna od jednadžbi (ili obje jednadžbe) može se pomnožiti s nekim brojem. Rezultat je ekvivalentni sustav, čiji će se korijeni podudarati s prethodnim.

Vratimo se na prvi sustav koji opisuje koliko je kolača i šalica kave student kupio. Rješenje ovog sustava bio je par vrijednosti (6; 5).

Obje jednadžbe uključene u ovaj sustav množimo s nekim brojevima. Recimo da pomnožimo prvu jednadžbu s 2, a drugu s 3

Rezultat je sustav
Rješenje ovog sustava još uvijek je par vrijednosti (6; 5)

To znači da se jednadžbe uključene u sustav mogu svesti na oblik prikladan za primjenu metode zbrajanja.

Natrag u sustav , koje nismo mogli riješiti metodom sabiranja.

Pomnožite prvu jednadžbu sa 6, a drugu s −2

Tada dobivamo sljedeći sustav:

Dodajemo jednadžbe uključene u ovaj sustav. Dodavanje komponenti 12 x i -12 x rezultirat će 0, zbrajanje 18 g i 4 g dat će 22 g, a zbrajanje 108 i −20 daje 88. Tada dobivate jednadžbu 22 g= 88, dakle g = 4 .

Ako vam je u početku teško dodati jednadžbe u mislima, tada možete zapisati kako se lijeva strana prve jednadžbe dodaje lijevoj strani druge jednadžbe, a desna strana prve jednadžbe desnoj strani druga jednadžba:

Znajući da vrijednost varijable g je 4, možete pronaći vrijednost x. Zamjena g u jednu od jednadžbi, na primjer u prvu jednadžbu 2 x+ 3g= 18. Tada dobivamo jednadžbu s jednom varijablom 2 x+ 12 = 18 . Prebacujemo 12 na desnu stranu, mijenjajući znak, dobivamo 2 x= 6, dakle x = 3 .

Primjer 4. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Pomnožite drugu jednadžbu s −1. Tada će sustav poprimiti sljedeći oblik:

Zbrojimo obje jednadžbe. Dodavanje komponenti x I −x rezultirat će 0, zbrajanje 5 g i 3 g dat će 8 g, a zbrajanje 7 i 1 daje 8. Rezultat je jednadžba 8 g= 8 , čiji je korijen 1. Znajući da vrijednost g je 1, možete pronaći vrijednost x .

Zamjena g u prvu jednadžbu, dobivamo x+ 5 = 7, dakle x= 2

Primjer 5. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Poželjno je da se termini koji sadrže iste varijable nalaze jedan ispod drugog. Stoga, u drugoj jednadžbi, članovi 5 g i −2 x mijenjati mjesta. Kao rezultat toga, sustav će imati oblik:

Pomnožite drugu jednadžbu s 3. Tada će sustav poprimiti oblik:

Sada zbrojimo obje jednadžbe. Kao rezultat zbrajanja dobivamo jednadžbu 8 g= 16, čiji je korijen 2.

Zamjena g u prvu jednadžbu, dobivamo 6 x− 14 = 40 . Prenesemo član −14 na desnu stranu, mijenjajući predznak, dobivamo 6 x= 54. Odavde x= 9.

Primjer 6. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Riješimo se razlomaka. Pomnožite prvu jednadžbu s 36, a drugu s 12

U rezultirajućem sustavu prva se jednadžba može pomnožiti s −5, a druga s 8

Dodajmo jednadžbe u dobiveni sustav. Tada dobivamo najjednostavniju jednadžbu −13 g= −156 . Odavde g= 12. Zamjena g u prvu jednadžbu i pronađite x

Primjer 7. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Obje jednadžbe dovodimo u normalan oblik. Ovdje je zgodno primijeniti pravilo proporcije u obje jednadžbe. Ako je u prvoj jednadžbi desna strana predstavljena kao , a desna strana druge jednadžbe kao , tada će sustav imati oblik:

Imamo proporciju. Množimo njegove ekstremne i srednje članove. Tada će sustav imati oblik:

Prvu jednadžbu pomnožimo s −3, a u drugoj otvorimo zagrade:

Sada zbrojimo obje jednadžbe. Kao rezultat zbrajanja ovih jednadžbi, dobivamo jednakost, u oba dijela koja će biti nula:

Ispada da sustav ima beskonačan broj rješenja.

Ali ne možemo jednostavno uzeti proizvoljne vrijednosti s neba x I g. Možemo odrediti jednu od vrijednosti, a druga će se odrediti ovisno o vrijednosti koju smo naveli. Na primjer, neka x= 2. Zamijenite ovu vrijednost u sustav:

Kao rezultat rješavanja jedne od jednadžbi, vrijednost za g, koji će zadovoljiti obje jednadžbe:

Rezultirajući par vrijednosti (2; −2) zadovoljit će sustav:

Pronađimo drugi par vrijednosti. Neka x= 4. Zamijenite ovu vrijednost u sustav:

Na oko se može utvrditi da g jednaka nuli. Tada dobivamo par vrijednosti (4; 0), što zadovoljava naš sustav:

Primjer 8. Metodom zbrajanja riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Pomnožite prvu jednadžbu sa 6, a drugu s 12

Prepišimo ono što je ostalo:

Pomnožite prvu jednadžbu s −1. Tada će sustav imati oblik:

Sada zbrojimo obje jednadžbe. Kao rezultat zbrajanja nastaje jednadžba 6 b= 48 , čiji je korijen 8. Zamijenite b u prvu jednadžbu i pronađite a

Sustav linearnih jednadžbi s tri varijable

Linearna jednadžba s tri varijable uključuje tri varijable s koeficijentima, kao i presjek. U kanonskom obliku može se napisati na sljedeći način:

sjekira + by + cz = d

Ova jednadžba ima beskonačan broj rješenja. Davanje dvije varijable razna značenja, možete pronaći treću vrijednost. Rješenje u ovom slučaju je trostruka vrijednost ( x; y; z) koji jednadžbu pretvara u identitet.

Ako varijable x, y, z su međusobno povezane s tri jednadžbe, tada nastaje sustav od tri linearne jednadžbe s tri varijable. Za rješavanje takvog sustava možete primijeniti iste metode koje se primjenjuju na linearne jednadžbe s dvije varijable: metodu supstitucije i metodu zbrajanja.

Primjer 1. Metodom supstitucije riješite sljedeći sustav jednadžbi:

Izražavamo u trećoj jednadžbi x. Tada će sustav imati oblik:

Sada napravimo zamjenu. Varijabilna x jednak je izrazu 3 − 2g − 2z . Zamijenite ovaj izraz u prvu i drugu jednadžbu:

Otvorimo zagrade u obje jednadžbe i dajmo slične članove:

Došli smo do sustava linearnih jednadžbi s dvije varijable. U ovom slučaju prikladno je primijeniti metodu dodavanja. Kao rezultat toga, varijabla gće nestati i možemo pronaći vrijednost varijable z

Sada pronađimo vrijednost g. Za to je zgodno koristiti jednadžbu − g+ z= 4. Zamijenite vrijednost z

Sada pronađimo vrijednost x. Za to je zgodno koristiti jednadžbu x= 3 − 2g − 2z . Zamijenite vrijednosti u njega g I z

Dakle, trojka vrijednosti (3; −2; 2) je rješenje našeg sustava. Provjerom osiguravamo da ove vrijednosti zadovoljavaju sustav:

Primjer 2. Riješite sustav metodom zbrajanja

Zbrojimo prvu jednadžbu s drugom pomnoženom s −2.

Ako se druga jednadžba pomnoži s −2, tada će poprimiti oblik −6x+ 6y- 4z = −4 . Sada to dodajte prvoj jednadžbi:

Vidimo da je kao rezultat elementarnih transformacija određena vrijednost varijable x. Jednako je jedan.

Natrag na glavni sustav. Zbrojimo drugu jednadžbu s trećom pomnoženom s −1. Ako se treća jednadžba pomnoži s −1, tada će poprimiti oblik −4x + 5g − 2z = −1 . Sada to dodajte drugoj jednadžbi:

Shvatio sam jednadžbu x - 2g= −1. Zamijenite vrijednost u nju x koje smo ranije pronašli. Tada možemo odrediti vrijednost g

Sada znamo vrijednosti x I g. To vam omogućuje određivanje vrijednosti z. Koristimo jednu od jednadžbi uključenih u sustav:

Dakle, trostruka vrijednost (1; 1; 1) je rješenje našeg sustava. Provjerom osiguravamo da ove vrijednosti zadovoljavaju sustav:

Zadaci za sastavljanje sustava linearnih jednadžbi

Zadatak sastavljanja sustava jednadžbi rješava se uvođenjem nekoliko varijabli. Zatim se jednadžbe sastavljaju na temelju uvjeta problema. Od sastavljenih jednadžbi sastavljaju sustav i rješavaju ga. Nakon što je sustav riješen, potrebno je provjeriti zadovoljava li njegovo rješenje uvjete zadatka.

Zadatak 1. Automobil Volga otišao je iz grada u kolektivnu farmu. Vratila se drugom cestom, koja je bila 5 km kraća od prve. Ukupno je auto prešao 35 km u oba smjera. Koliko je kilometara duga svaka cesta?

Riješenje

Neka x- duljina prve ceste, g- duljina sekunde. Ako je automobil vozio 35 km u oba smjera, tada se prva jednadžba može napisati kao x+ g= 35. Ova jednadžba opisuje zbroj duljina obiju cesta.

Priča se da se auto vraćao natrag cestom koja je bila kraća od prve za 5 km. Tada se druga jednadžba može napisati kao x− g= 5. Ova jednadžba pokazuje da je razlika duljina cesta 5 km.

Ili se druga jednadžba može napisati kao x= g+ 5 . Koristit ćemo se ovom jednadžbom.

Budući da varijable x I g u obje jednadžbe označavaju isti broj, onda od njih možemo oblikovati sustav:

Riješimo ovaj sustav pomoću jedne od prethodno proučenih metoda. U ovom slučaju prikladno je koristiti metodu supstitucije, budući da je u drugoj jednadžbi varijabla x već izraženo.

Zamijenite drugu jednadžbu u prvu i pronađite g

Zamijenite pronađenu vrijednost g u drugu jednadžbu x= g+ 5 i pronađite x

Duljina prve ceste označena je varijablom x. Sada smo pronašli njegovo značenje. Varijabilna x je 20. Dakle duljina prve ceste je 20 km.

A duljina druge ceste bila je označena sa g. Vrijednost ove varijable je 15. Dakle, duljina druge ceste je 15 km.

Napravimo provjeru. Prvo provjerimo je li sustav ispravno riješen:

Sada provjerimo zadovoljava li rješenje (20; 15) uvjete zadatka.

Rečeno je da je automobil ukupno prešao 35 km u oba smjera. Zbrajamo duljine obiju cesta i uvjeravamo se da rješenje (20; 15) zadovoljava ovo stanje: 20 km + 15 km = 35 km

Sljedeći uvjet: auto se vratio drugom cestom, koja je bila 5 km kraća od prve . Vidimo da rješenje (20; 15) također zadovoljava ovaj uvjet, jer je 15 km kraće od 20 km za 5 km: 20 km − 15 km = 5 km

Pri sastavljanju sustava važno je da varijable označavaju iste brojeve u svim jednadžbama uključenim u ovaj sustav.

Dakle, naš sustav sadrži dvije jednadžbe. Ove jednadžbe pak sadrže varijable x I g, koji označavaju iste brojeve u obje jednadžbe, naime duljine cesta jednake 20 km i 15 km.

Zadatak 2. Na platformu su ukrcani hrastovi i borovi pragovi, ukupno 300 pragova. Poznato je da su svi hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od svih borovih pragova. Odredite koliko je zasebno bilo hrastovih i borovih pragova, ako je svaki hrastov prag težio 46 kg, a svaki borov prag 28 kg.

Riješenje

Neka x hrast i g na platformu su utovareni borovi pragovi. Ako je ukupno bilo 300 spavača, tada se prva jednadžba može napisati kao x+y = 300 .

Svi hrastovi pragovi su težili 46 x kg, a bor je težio 28 g kg. Budući da su hrastovi pragovi težili 1 tonu manje od borovih pragova, druga se jednadžba može napisati kao 28y- 46x= 1000 . Ova jednadžba pokazuje da je razlika u masi hrastovih i borovih pragova 1000 kg.

Tone su pretvorene u kilograme jer se masa hrastovih i borovih pragova mjeri u kilogramima.

Kao rezultat toga dobivamo dvije jednadžbe koje tvore sustav

Riješimo ovaj sustav. Izrazite u prvoj jednadžbi x. Tada će sustav imati oblik:

Zamijenite prvu jednadžbu u drugu i pronađite g

Zamjena g u jednadžbu x= 300 − g i saznati što x

To znači da je na platformu ukrcano 100 hrastovih i 200 borovih pragova.

Provjerimo da li rješenje (100; 200) zadovoljava uvjete zadatka. Prvo provjerimo je li sustav ispravno riješen:

Rečeno je da je ukupno bilo 300 spavača. Zbrajamo broj hrastovih i borovih pragova i uvjeravamo se da rješenje (100; 200) zadovoljava ovaj uvjet: 100 + 200 = 300.

Sljedeći uvjet: svi hrastovi pragovi težili su 1 tonu manje od svih borovih . Vidimo da rješenje (100; 200) također zadovoljava ovaj uvjet, jer je 46 × 100 kg hrastovih pragova lakše od 28 × 200 kg borovih pragova: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Zadatak 3. Uzeli smo tri komada legure bakra i nikla u težinskim omjerima 2:1, 3:1 i 5:1. Od toga je komad težine 12 kg topljen s omjerom sadržaja bakra i nikla 4:1. Odredite masu svakog originalnog komada ako je masa prvog od njih dvostruko veća od mase drugog.