Dom › Svjetlo i staklo › Kako pronaći površinu trapeza ako. Kako pronaći površinu jednakokračnog trapeza

Kako pronaći površinu trapeza ako. Kako pronaći površinu jednakokračnog trapeza

I . Sada možemo početi razmatrati pitanje kako pronaći područje trapeza. Ovaj se zadatak u svakodnevnom životu događa vrlo rijetko, ali ponekad se pokaže potrebnim, na primjer, pronaći površinu sobe u obliku trapeza, koji se sve više koristi u izgradnji modernih stanova, ili u projektima obnove.

Trapez je geometrijski lik, koju čine četiri segmenta koji se sijeku, od kojih su dva međusobno paralelna i nazivaju se osnovicama trapeza. Druga dva segmenta nazivaju se stranicama trapeza. Osim toga, kasnije će nam trebati još jedna definicija. Ovo je srednja linija trapeza, koja je segment koji povezuje središta stranica i visinu trapeza, koja je jednaka udaljenosti između baza.
Poput trokuta, trapez ima posebne vrste u obliku jednakokračnog (istokračnog) trapeza, u kojem su duljine stranica jednake i pravokutnog trapeza, u kojem jedna od stranica s osnovicama tvori pravi kut.

Trapezi imaju neka zanimljiva svojstva:

Srednjica trapeza je polovica zbroja osnovica i paralelna je s njima.
Jednakokračni trapezi imaju jednake stranice i kutove koje tvore s bazama.
Središta dijagonala trapeza i sjecište njegovih dijagonala nalaze se na istoj ravnici.
Ako je zbroj stranica trapeza jednak zbroju osnovica, tada se u njega može upisati kružnica.
Ako je zbroj kutova koje tvore stranice trapeza na bilo kojoj njegovoj osnovici 90, tada je duljina segmenta koji povezuje središta baza jednaka njihovoj polurazlici.
Jednakokračni trapez može se opisati kružnicom. I obrnuto. Ako je trapez upisan u krug, onda je on jednakokračan.
Segment koji prolazi središtima baza jednakokračni trapez bit će okomita na svoje baze i predstavlja os simetrije.

Kako pronaći područje trapeza.

Površina trapeza bit će polovica zbroja njegovih baza pomnoženih s njegovom visinom. U obliku formule, ovo je zapisano kao izraz:

gdje je S površina trapeza, a,b je duljina svake baze trapeza, h je visina trapeza.

Ovu formulu možete razumjeti i zapamtiti na sljedeći način. Kao što slijedi iz donje slike, trapez pomoću središnje linije može se pretvoriti u pravokutnik, čija će duljina biti jednaka polovici zbroja baza.

Također možete rastaviti bilo koji trapez na više jednostavne figure: pravokutnik i jedan ili dva trokuta, a ako vam je lakše, pronađite površinu trapeza kao zbroj površina njegovih sastavnih likova.

Postoji još jedan jednostavna formula izračunati njegovu površinu. Prema njemu, površina trapeza jednaka je umnošku njegove središnje crte i visine trapeza i zapisuje se kao: S \u003d m * h, gdje je S površina, m duljina srednja linija, h je visina trapeza. Ova je formula prikladnija za matematičke probleme nego za svakodnevne probleme, jer u stvarnim uvjetima nećete znati duljinu srednje crte bez preliminarnih izračuna. A znat ćete samo duljine baza i stranica.

U ovom slučaju, područje trapeza može se pronaći pomoću formule:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

gdje je S površina, a,b su osnovice, c,d su stranice trapeza.

Postoji još nekoliko načina za pronalaženje površine trapeza. No, nezgodne su otprilike kao i posljednja formula, što znači da nema smisla zadržavati se na njima. Stoga preporučamo da koristite prvu formulu iz članka i želimo da uvijek dobijete točne rezultate.

U matematici je poznato nekoliko vrsta četverokuta: kvadrat, pravokutnik, romb, paralelogram. Među njima je trapezoid - vrsta konveksnog četverokuta, u kojem su dvije stranice paralelne, a druge dvije nisu. Usporedne nasuprotne stranice nazivaju se osnovice, a druge dvije stranice trapeza. Isječak koji spaja središnje točke stranica naziva se središnja linija. Postoji nekoliko vrsta trapeza: jednakokračni, pravokutni, krivocrtni. Za svaku vrstu trapeza postoje formule za određivanje površine.

Područje trapeza

Da biste pronašli područje trapeza, morate znati duljinu njegovih baza i visinu. Visina trapeza je isječak okomit na osnovice. Neka je gornja baza a, donja baza b, a visina h. Tada možete izračunati površinu S pomoću formule:

S = ½ * (a + b) * h

oni. uzmi polovicu zbroja baza pomnoženu s visinom.

Također možete izračunati površinu trapeza ako znate vrijednost visine i srednje linije. Označimo srednju liniju - m. Zatim

Riješimo složeniji problem: znamo duljine četiri strane trapeza - a, b, c, d. Tada se površina nalazi prema formuli:

Ako su poznate duljine dijagonala i kut između njih, tada se površina traži na sljedeći način:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

gdje su d s indeksima 1 i 2 dijagonale. U ovoj formuli, sinus kuta je dan u izračunu.

Uz poznate duljine baza a i b i dva kuta na donjoj bazi, površina se izračunava na sljedeći način:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin (α + β))

Površina jednakokračnog trapeza

Jednakokračni trapez je poseban slučaj trapez. Njegova razlika je u tome što je takav trapez konveksni četverokut s osi simetrije koja prolazi kroz sredine dviju suprotnih strana. Njegove stranice su jednake.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje površine jednakokračnog trapeza.

Kroz duljine tri stranice. U ovom slučaju, duljine stranica će se podudarati, stoga su označene jednom vrijednošću - c, a i b - duljine baza:

Ako je poznata duljina gornje baze, bočne stranice i kuta na donjoj osnovici, tada se površina izračunava na sljedeći način:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

gdje je a gornja baza, c je stranica.

Ako je umjesto gornje baze poznata duljina donje baze - b, površina se izračunava po formuli:

S = c * sin α * (b - c * cos α)

Ako su poznate dvije baze i kut pri donjoj bazi, površina se izračunava pomoću tangensa kuta:

S = ½ * (b2 - a2) * tg α

Također, površina se izračunava kroz dijagonale i kut između njih. U ovom slučaju dijagonale su jednake duljine, pa se svaka označava slovom d bez indeksa:

S = ½ * d2 * sinα

Izračunajte površinu trapeza, znajući duljinu bočne strane, središnju liniju i kut na donjoj bazi.

Neka strana - c, srednja linija - m, kut - a, zatim:

S = m * c * sinα

Ponekad se u jednakostranični trapez može upisati kružnica čiji će polumjer biti - r.

Poznato je da se u svaki trapez može upisati kružnica ako je zbroj duljina osnovica jednak zbroju duljina njegovih stranica. Tada se površina nalazi kroz polumjer upisane kružnice i kut na donjoj bazi:

S = 4r2 / sinα

Isti izračun se vrši kroz promjer D upisanog kruga (usput, podudara se s visinom trapeza):

Poznavajući baze i kut, površina jednakokračnog trapeza izračunava se na sljedeći način:

S = a*b/sinα

(ova i sljedeće formule vrijede samo za trapeze s upisanom kružnicom).

Kroz baze i polumjer kruga traži se površina na sljedeći način:

Ako su poznate samo baze, površina se izračunava prema formuli:

Kroz baze i bočnu liniju, površina trapeza s upisanom kružnicom i kroz baze i središnju liniju - m izračunava se na sljedeći način:

Površina pravokutnog trapeza

Trapezoid se naziva pravokutnim, u kojem je jedna od strana okomita na baze. U ovom slučaju, duljina stranice podudara se s visinom trapeza.

Pravokutni trapez je kvadrat i trokut. Nakon pronalaženja površine svake od figura, zbrojite rezultate i dobijete ukupnu površinu figure.

Također, opće formule za izračunavanje površine trapeza prikladne su za izračunavanje površine pravokutnog trapeza.

Ako su poznate duljine baza i visina (ili okomita stranica), tada se površina izračunava po formuli:

S = (a + b) * h / 2

Kao h (visina) može biti strana s. Tada formula izgleda ovako:

S = (a + b) * c / 2

Drugi način za izračunavanje površine je množenje duljine srednje linije s visinom:

ili duljinom bočne okomite stranice:

Sljedeća metoda izračuna je polovica umnoška dijagonala i sinusa kuta između njih:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

Ako su dijagonale okomite, formula se pojednostavljuje na:

S = ½ * d1 * d2

Drugi način izračuna je preko poluperimetra (zbroja duljina dviju suprotnih stranica) i polumjera upisane kružnice.

Ova formula vrijedi za baze. Ako uzmemo duljine stranica, tada će jedna od njih biti jednaka dvostrukom radijusu. Formula će izgledati ovako:

S = (2r + c) * r

Ako je krug upisan u trapez, površina se izračunava na isti način:

gdje je m duljina središnje linije.

Površina krivocrtnog trapeza

Krivocrtni trapez je ravna figura omeđena grafom nenegativne kontinuirane funkcije y = f(x) definirane na segmentu , osi x i ravnima x = a, x = b. Naime, dvije njegove stranice su paralelne jedna s drugom (baze), treća stranica je okomita na baze, a četvrta je krivulja koja odgovara grafu funkcije.

Područje krivocrtnog trapeza traži se kroz integral koristeći Newton-Leibnizovu formulu:

Kako se izračunavaju površine razne vrste trapez. Ali, osim svojstava stranica, trapezi imaju ista svojstva kutova. Kao i kod svih postojećih četverokuta, zbroj unutarnjih kutova trapeza je 360 stupnjeva. A zbroj kutova uz stranicu je 180 stupnjeva.

Područje trapeza. Lijep pozdrav! U ovoj publikaciji razmotrit ćemo ovu formulu. Zašto je to tako i kako to razumjeti? Ako postoji razumijevanje, onda ga ne trebate učiti. Ako samo želite vidjeti ovu formulu i ono što je hitno, odmah se možete pomaknuti prema dolje na stranici))

Sada detaljno i po redu.

Trapez je četverokut, dvije stranice tog četverokuta su paralelne, druge dvije nisu. One koje nisu paralelne su osnovice trapeza. Druge dvije se nazivaju strane.

Ako su stranice jednake, tada se trapez naziva jednakokračan. Ako je jedna od stranica okomita na baze, tada se takav trapez naziva pravokutnim.

U klasičnom obliku, trapez je prikazan na sljedeći način - veća baza je na dnu, odnosno manja je na vrhu. Ali nitko ne zabranjuje prikazivanje i obrnuto. Evo skica:

Sljedeći važan koncept.
Srednja linija trapeza je isječak koji povezuje središta stranica. Srednja crta je paralelna s osnovicama trapeza i jednaka je njihovom poluzbroju.

Sada zaronimo dublje. Zašto točno?

Razmotrimo trapez s bazama a i b a sa srednjom linijom l, i izvršite neke dodatne konstrukcije: povucite ravne crte kroz baze i okomice kroz krajeve središnje crte dok se ne sijeku s bazama:

*Slovne oznake vrhova i ostalih točaka nisu unesene namjerno kako bi se izbjegle nepotrebne oznake.

Pogledajte, trokuti 1 i 2 su jednaki prema drugom znaku jednakosti trokuta, trokuti 3 i 4 su jednaki. Iz jednakosti trokuta slijedi jednakost elemenata, odnosno krakova (oni su označeni redom plavom i crvenom bojom).

Sada pažnja! Ako mentalno "odsječemo" plavi i crveni segment od donje baze, tada ćemo imati segment (ovo je strana pravokutnika) jednak srednjoj liniji. Nadalje, ako "zalijepimo" odrezane plave i crvene segmente na gornju bazu trapeza, tada ćemo također dobiti segment (ovo je također stranica pravokutnika) jednak srednjoj liniji trapeza.

kužiš Ispada da će zbroj baza biti jednak dvjema medijanima trapeza:

Pogledajte drugo objašnjenje

Učinimo sljedeće - izgradimo ravnu liniju koja prolazi kroz donju bazu trapeza i ravnu liniju koja će prolaziti kroz točke A i B:

Dobivamo trokute 1 i 2, jednaki su po stranicama i susjednim kutovima (drugi znak jednakosti trokuta). To znači da je dobiveni segment (na skici označen plavom bojom) jednak gornjoj osnovici trapeza.

Sada razmotrite trokut:

*Srednja crta ovog trapeza i središnja crta trokuta podudaraju se.

Poznato je da je trokut jednak polovici baze koja je paralelna s njim, to jest:

U redu, shvatio sam. Sada o području trapeza.

Formula površine trapeza:

Kažu: površina trapeza jednaka je umnošku polovice zbroja njegovih baza i visine.

Odnosno, ispada da je jednak proizvodu srednje linije i visine:

Vjerojatno ste već primijetili da je to očito. Geometrijski, to se može izraziti na sljedeći način: ako mentalno odsječemo trokute 2 i 4 od trapeza i stavimo ih na trokute 1 odnosno 3:

Tada dobivamo pravokutnik čija je površina jednaka površini našeg trapeza. Površina ovog pravokutnika bit će jednaka umnošku srednje linije i visine, odnosno možemo napisati:

Ali poanta ovdje nije u pisanju, naravno, nego u razumijevanju.

Preuzmite (pregledajte) materijal članka u *pdf formatu

To je sve. Sretno ti!

S poštovanjem, Alexander.

Odjeljak sadrži zadatke iz geometrije (planimetrije presjeka) o trapezu. Ako niste pronašli rješenje problema - napišite o tome na forumu. Tečaj će se sigurno ažurirati.

Trapez. Definicija, formule i svojstva

Trapez (od drugog grčkog τραπέζιον - "stol"; τράπεζα - "stol, hrana") je četverokut s točno jednim parom suprotnih stranica paralelnih.

Trapez je četverokut s dvije nasuprotne stranice paralelne.

Bilješka. U ovom slučaju, paralelogram je poseban slučaj trapeza.

Usporedne nasuprotne stranice nazivaju se osnovice trapeza, a druge dvije stranice.

Trapezi su:

- svestran ;

- jednakokračan;

- pravokutan

.
crvena i smeđe cvijeće naznačene su bočne stranice, zelena i plava su osnovice trapeza.

A - jednakokračan (istokračan, jednakokračan) trapez
B - pravokutni trapez
C - svestrani trapez

Svestrani trapez ima sve stranice različitih duljina, a osnovice su paralelne.

Stranice su jednake, a osnovice paralelne.

U osnovi su paralelne, jedna stranica je okomita na baze, a druga stranica je nagnuta na baze.

Svojstva trapeza

Srednja linija trapeza paralelne s bazama i jednake polovici njihova zbroja
Odsječak koji povezuje središta dijagonala, jednaka je polovici razlike baza i leži na srednjoj liniji. Njegova duljina
Paralelne crte koje sijeku stranice bilo kojeg kuta trapeza odsijecaju proporcionalne odsječke od stranica kuta (vidi Thalesov teorem)
Sjecište dijagonala trapeza, točka sjecišta produžetaka njegovih bočnih stranica i središta baza leže na jednoj ravnoj liniji (vidi također svojstva četverokuta)
Trokuti na bazama slični su trapezi čiji su vrhovi sjecište dijagonala. Omjer površina takvih trokuta jednak je kvadratu omjera baza trapeza.
Trokuti na stranama trapezi čiji su vrhovi sjecište dijagonala jednake površine (jednake površine)
u trapez možete upisati krug ako je zbroj duljina osnovica trapeza jednak zbroju duljina njegovih stranica. Srednja linija u ovom slučaju jednaka je zbroju stranica podijeljenom s 2 (budući da je središnja linija trapeza jednaka polovici zbroja baza)
Segment paralelan s bazama i prolazi kroz sjecište dijagonala, dijeli se potonjim na pola i jednak je dvostrukom umnošku baza podijeljenom njihovim zbrojem 2ab / (a + b) (Burakova formula)

Kutovi trapeza

Kutovi trapeza su oštri, ravni i tupi.
Postoje samo dva prava kuta.

Pravokutni trapez ima dva prava kuta, a druga dva su oštra i tupa. Ostale vrste trapeza imaju: dva oštri kutovi i dva glupa.

Tupi kutovi trapeza pripadaju najmanjim duž duljine baze, i oštar - više osnova.

Može se uzeti u obzir bilo koji trapez poput krnjeg trokuta, čija je linija presjeka paralelna s osnovicom trokuta.
Važno. Napominjemo da se na ovaj način (dogradnjom trapeza na trokut) mogu riješiti neki problemi o trapezu i dokazati neki teoremi.

Kako pronaći stranice i dijagonale trapeza

Pronalaženje stranica i dijagonala trapeza vrši se pomoću formula koje su dane u nastavku:

U ovim se formulama koristi oznaka kao na slici.

a - najmanja baza trapeza
b - najveća od baza trapeza
c,d - strane
h 1 h 2 - dijagonale

Zbroj kvadrata dijagonala trapeza jednak je dvostrukom umnošku baza trapeza i zbroju kvadrata stranica (Formula 2)

Trapez naziva se četverokut samo dva stranice su međusobno paralelne.

Nazivaju se bazama figure, ostalo - stranama. Paralelogram se smatra posebnim slučajem figure. Postoji i krivolinijski trapez, koji uključuje graf funkcije. Formule za površinu trapeza uključuju gotovo sve njegove elemente, a najbolje rješenje odabire se ovisno o zadanim vrijednostima.
Glavne uloge u trapezu dodijeljene su visini i središnjoj liniji. središnja linija- ovo je linija koja povezuje sredine strana. Visina trapez se drži pod pravim kutom od gornji kut do baze.
Površina trapeza kroz visinu jednaka je umnošku polovine zbroja duljina baza, pomnoženog s visinom:

Ako je srednja linija poznata prema uvjetima, tada je ova formula znatno pojednostavljena, jer je jednaka polovici zbroja duljina baza:

Ako su prema uvjetima zadane duljine svih stranica, tada možemo razmotriti primjer izračuna površine trapeza pomoću ovih podataka:

Pretpostavimo da je dan trapez s bazama a = 3 cm, b = 7 cm i stranicama c = 5 cm, d = 4 cm. Odredite površinu figure:

Površina jednakokračnog trapeza

Poseban slučaj je jednakokračan ili, kako se još naziva, jednakokračan trapez.
Poseban slučaj je i pronalaženje površine jednakokračnog (istokračnog) trapeza. Izvedena formula različiti putevi- kroz dijagonale, kroz kutove uz osnovicu i radijus upisane kružnice.
Ako je duljina dijagonala određena uvjetima i poznat je kut između njih, možete koristiti sljedeću formulu:

Zapamtite da su dijagonale jednakokračnog trapeza međusobno jednake!

To jest, znajući jednu od njihovih baza, stranu i kut, možete lako izračunati područje.

Površina krivocrtnog trapeza

Poseban slučaj je krivolinijski trapez. Nalazi se na koordinatnoj osi i ograničen je na graf kontinuirane pozitivne funkcije.

Njegova baza nalazi se na X osi i ograničena je na dvije točke:
Integrali pomažu izračunati površinu krivocrtnog trapeza.
Formula je ovako napisana:

Razmotrite primjer izračuna površine krivocrtnog trapeza. Formula zahtijeva određeno znanje za rad određeni integrali. Prvo, analizirajmo vrijednost određenog integrala:

Ovdje je F(a) vrijednost antiderivacijske funkcije f(x) u točki a, F(b) je vrijednost iste funkcije f(x) u točki b.

Sada riješimo problem. Slika prikazuje zakrivljeni trapez, funkcija ograničena. Funkcija
Moramo pronaći područje odabrane figure, koja je zakrivljeni trapez omeđen na vrhu grafom, s desne strane je ravna linija x = (-8), s lijeve strane je ravna linija x = (- 10), a os OX je ispod.
Izračunat ćemo površinu ove figure pomoću formule:

Dana nam je funkcija prema uvjetima problema. Koristeći ga, pronaći ćemo vrijednosti antiderivacije u svakoj od naših točaka:

Sada
Odgovor: površina zadanog krivocrtnog trapeza je 4.