Dom › Šasija › Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije u ograničenom zatvorenom području? Istraživanje grafa funkcije.

Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije u ograničenom zatvorenom području? Istraživanje grafa funkcije.

U ovom ću članku govoriti o tome kako primijeniti sposobnost pronalaženja na proučavanje funkcije: pronaći njen najveći ili najmanja vrijednost. A zatim ćemo riješiti neke zadatke iz zadatka B15 iz otvorena banka zadaci za .

Kao i obično, prvo krenimo s teorijom.

Na početku svakog proučavanja funkcije nalazimo je

Da biste pronašli najveću ili najmanju vrijednost funkcije, potrebno je istražiti u kojim intervalima funkcija raste, au kojim pada.

Da biste to učinili, potrebno je pronaći izvod funkcije i proučavati njezine intervale konstantnog predznaka, odnosno intervale na kojima izvod zadržava svoj predznak.

Intervali na kojima je derivacija funkcije pozitivna su intervali rastuće funkcije.

Intervali na kojima je derivacija funkcije negativna su intervali opadajuće funkcije.

1 . Riješimo zadatak B15 (br. 245184)

Da bismo ga riješili, slijedit ćemo sljedeći algoritam:

a) Pronađite domenu funkcije

b) Pronađite izvod funkcije .

c) Postavite ga na nulu.

d) Nađimo intervale konstantnog predznaka funkcije.

e) Pronađite točku u kojoj funkcija ima najveću vrijednost.

f) Pronađite vrijednost funkcije u ovoj točki.

Govorim detaljno rješenje ovog zadatka u VIDEO LEKCIJI:

Vjerojatno vaš preglednik nije podržan. Da biste koristili simulator "Sat jedinstvenog državnog ispita", pokušajte preuzeti
Firefox

2. Riješimo zadatak B15 (br. 282862)

Pronađite najveću vrijednost funkcije na segmentu

Očito je da funkcija poprima najveću vrijednost na segmentu u točki maksimuma, pri x=2. Pronađite vrijednost funkcije u ovoj točki:

Odgovor: 5

3 . Riješimo zadatak B15 (br. 245180):

Pronađite najveću vrijednost funkcije

1.title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Budući da je opseg izvorne funkcije title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Brojnik je nula na . Provjerimo pripada li ODZ funkciji. Da biste to učinili, provjerite je li uvjet title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

pa točka pripada ODZ funkcije

Ispitujemo znak derivacije desno i lijevo od točke:

Vidimo da funkcija poprima najveću vrijednost u točki . Pronađimo sada vrijednost funkcije na:

Napomena 1. Imajte na umu da u ovom problemu nismo pronašli domenu funkcije: samo smo popravili ograničenja i provjerili pripada li točka u kojoj je derivacija jednaka nuli domeni funkcije. U ovom problemu to se pokazalo dovoljnim. Međutim, to nije uvijek slučaj. Ovisi o zadatku.

Opaska 2. Kada se proučava ponašanje složene funkcije, može se koristiti sljedeće pravilo:

ako vanjska funkcija složene funkcije raste, tada funkcija poprima svoju najveću vrijednost u istoj točki u kojoj unutarnja funkcija poprima svoju najveću vrijednost. To proizlazi iz definicije rastuće funkcije: funkcija raste na intervalu I if veću vrijednost argument iz ovog intervala odgovara većoj vrijednosti funkcije.
ako je vanjska funkcija složene funkcije opadajuća, tada funkcija poprima najveću vrijednost u istoj točki u kojoj unutarnja funkcija poprima najmanju vrijednost . To proizlazi iz definicije opadajuće funkcije: funkcija opada na intervalu I ako manja vrijednost funkcije odgovara većoj vrijednosti argumenta iz tog intervala

U našem primjeru, vanjska funkcija - raste preko cijele domene definicije. Ispod znaka logaritma je izraz - kvadratni trinom, koji uz negativni senior koeficijent poprima najveću vrijednost u točki . Zatim zamijenimo ovu vrijednost x u jednadžbu funkcije i pronaći njegovu najveću vrijednost.

Neka je funkcija $z=f(x,y)$ definirana i kontinuirana u nekoj ograničenoj zatvorenoj domeni $D$. Neka u ovom području za dana funkcija ima konačne parcijalne derivacije prvog reda (uz moguću iznimku konačnog broja točaka). Za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije dviju varijabli u danom zatvorenom području potrebna su tri koraka jednostavnog algoritma.

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcije $z=f(x,y)$ u zatvorenoj domeni $D$.

Pronađite kritične točke funkcije $z=f(x,y)$ koje pripadaju području $D$. Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim točkama.
Istražite ponašanje funkcije $z=f(x,y)$ na granici područja $D$ pronalaženjem točaka mogućih maksimalnih i minimalnih vrijednosti. Izračunajte vrijednosti funkcije u dobivenim točkama.
Od vrijednosti funkcije dobivenih u prethodna dva odlomka odaberite najveću i najmanju.

Što su kritične točke? Pokaži sakrij

Pod, ispod kritične točke impliciraju točke u kojima su obje parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli (tj. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ i $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) ili barem jedna parcijalna derivacija ne postoji.

Često se nazivaju točke u kojima su parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli stacionarne točke. Dakle, stacionarne točke su podskup kritičnih točaka.

Primjer #1

Pronađite maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije $z=x^2+2xy-y^2-4x$ u zatvorenom području omeđenom linijama $x=3$, $y=0$ i $y=x +1$.

Slijediti ćemo navedeno, ali ćemo se prvo pozabaviti crtanjem zadane površine koju ćemo označiti slovom $D$. Dane su nam jednadžbe triju ravnih linija koje ograničavaju ovo područje. Pravac $x=3$ prolazi točkom $(3;0)$ paralelno s osi y (osi Oy). Pravac $y=0$ je jednadžba apscisne osi (Ox os). Pa, da bismo konstruirali ravnu liniju $y=x+1$ nađimo dvije točke kroz koje povlačimo tu ravnu liniju. Možete, naravno, zamijeniti nekoliko proizvoljnih vrijednosti umjesto $x$. Na primjer, zamjenom $x=10$, dobivamo: $y=x+1=10+1=11$. Pronašli smo točku $(10;11)$ koja leži na pravcu $y=x+1$. Međutim, bolje je pronaći one točke u kojima se pravac $y=x+1$ siječe s pravcima $x=3$ i $y=0$. Zašto je bolje? Zato što ćemo jednim udarcem spustiti nekoliko muha: dobit ćemo dvije točke za konstrukciju pravca $y=x+1$ i ujedno saznati u kojim točkama ovaj pravac siječe druge pravce koji ograničavaju zadanu područje. Pravac $y=x+1$ siječe pravac $x=3$ u točki $(3;4)$, a pravac $y=0$ - u točki $(-1;0)$. Kako ne bih zatrpavao tijek rješenja pomoćnim objašnjenjima, pitanje dobivanja ove dvije točke stavit ću u napomenu.

Kako su dobivene točke $(3;4)$ i $(-1;0)$? Pokaži sakrij

Krenimo od točke sjecišta pravaca $y=x+1$ i $x=3$. Koordinate tražene točke pripadaju i prvom i drugom retku, pa je za pronalaženje nepoznatih koordinata potrebno riješiti sustav jednadžbi:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & x=3. \end(poravnano) \desno. $$

Rješenje takvog sustava je trivijalno: zamjenom $x=3$ u prvu jednadžbu imat ćemo: $y=3+1=4$. Točka $(3;4)$ je željena sjecišna točka pravaca $y=x+1$ i $x=3$.

Nađimo sada točku sjecišta pravaca $y=x+1$ i $y=0$. Opet sastavljamo i rješavamo sustav jednadžbi:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & y=x+1;\\ & y=0. \kraj(poravnano) \desno. $$

Zamjenom $y=0$ u prvu jednadžbu dobivamo: $0=x+1$, $x=-1$. Točka $(-1;0)$ je željena sjecišna točka pravaca $y=x+1$ i $y=0$ (apscisna os).

Sve je spremno za izradu crteža koji će izgledati ovako:

Pitanje bilješke čini se očiglednim, jer se iz slike sve vidi. Međutim, vrijedi zapamtiti da crtež ne može poslužiti kao dokaz. Slika je samo ilustracija radi jasnoće.

Naše područje postavljeno je pomoću jednadžbi linija koje ga ograničavaju. Očito je da ove linije definiraju trokut, zar ne? Ili nije sasvim očito? Ili nam je možda dano drugo područje, omeđeno istim linijama:

Naravno, uvjet kaže da je područje zatvoreno, pa je prikazana slika pogrešna. Ali kako bi se izbjegle takve dvosmislenosti, bolje je regije definirati nejednakostima. Zanima nas dio ravnine koji se nalazi ispod pravca $y=x+1$? U redu, dakle $y ≤ x+1$. Naše područje treba biti smješteno iznad linije $y=0$? Odlično, dakle $y ≥ 0$. Usput, posljednje dvije nejednakosti lako se spajaju u jednu: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \kraj(poravnano) \desno. $$

Ove nejednakosti definiraju domenu $D$, i definiraju je jedinstveno, bez ikakvih dvosmislenosti. Ali kako nam to pomaže u pitanju na početku bilješke? Također će pomoći :) Moramo provjeriti pripada li točka $M_1(1;1)$ regiji $D$. Zamijenimo $x=1$ i $y=1$ u sustav nejednakosti koje definiraju ovo područje. Ako su obje nejednakosti zadovoljene, tada se točka nalazi unutar regije. Ako barem jedna od nejednakosti nije zadovoljena, tada točka ne pripada regiji. Tako:

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno. \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(poravnano) \desno.$$

Obje nejednakosti su istinite. Točka $M_1(1;1)$ pripada području $D$.

Sada je red da istražimo ponašanje funkcije na granici domene, tj. ići. Počnimo s ravnom linijom $y=0$.

Pravac $y=0$ (os apscisa) ograničava područje $D$ pod uvjetom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamijenite $y=0$ u zadanu funkciju $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Rezultirajuća supstitucijska funkcija jedne varijable $x$ bit će označena kao $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Sada za funkciju $f_1(x)$ trebamo pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Pronađite izvod ove funkcije i izjednačite ga s nulom:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Vrijednost $x=2$ pripada segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$, pa na listu točaka dodajemo i $M_2(2;0)$. Osim toga, izračunavamo vrijednosti funkcije $z$ na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. u točkama $M_3(-1;0)$ i $M_4(3;0)$. Usput, ako točka $M_2$ ne pripada segmentu koji se razmatra, tada, naravno, ne bi bilo potrebno izračunati vrijednost funkcije $z$ u njoj.

Dakle, izračunajmo vrijednosti funkcije $z$ u točkama $M_2$, $M_3$, $M_4$. Možete, naravno, zamijeniti koordinate ovih točaka u izvornom izrazu $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Na primjer, za točku $M_2$ dobivamo:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Međutim, izračuni se mogu malo pojednostaviti. Da bismo to učinili, vrijedi zapamtiti da na segmentu $M_3M_4$ imamo $z(x,y)=f_1(x)$. Ja ću to detaljno opisati:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \kraj(poravnano)

Naravno, obično nema potrebe za tako detaljnim unosima, au budućnosti ćemo sve izračune početi zapisivati u skraćenom obliku:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Sada se okrenimo ravnoj liniji $x=3$. Ova linija omeđuje domenu $D$ pod uvjetom $0 ≤ y ≤ 4$. Zamijenite $x=3$ u zadanu funkciju $z$. Kao rezultat takve zamjene dobivamo funkciju $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

Za funkciju $f_2(y)$ trebate pronaći najveću i najmanju vrijednost na intervalu $0 ≤ y ≤ 4$. Pronađite izvod ove funkcije i izjednačite ga s nulom:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Vrijednost $y=3$ pripada segmentu $0 ≤ y ≤ 4$, pa dodajemo $M_5(3;3)$ prethodno pronađenim točkama. Osim toga, potrebno je izračunati vrijednost funkcije $z$ u točkama na krajevima segmenta $0 ≤ y ≤ 4$, tj. u točkama $M_4(3;0)$ i $M_6(3;4)$. U točki $M_4(3;0)$ već smo izračunali vrijednost $z$. Izračunajmo vrijednost funkcije $z$ u točkama $M_5$ i $M_6$. Da vas podsjetim da na segmentu $M_4M_6$ imamo $z(x,y)=f_2(y)$, dakle:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; &z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \kraj(poravnano)

I, konačno, razmotrite posljednju granicu $D$, tj. linija $y=x+1$. Ova linija omeđuje područje $D$ pod uvjetom $-1 ≤ x ≤ 3$. Zamjenom $y=x+1$ u funkciju $z$ imat ćemo:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Opet imamo funkciju jedne varijable $x$. I opet, trebate pronaći najveću i najmanju vrijednost ove funkcije na segmentu $-1 ≤ x ≤ 3$. Pronađite derivaciju funkcije $f_(3)(x)$ i izjednačite je s nulom:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Vrijednost $x=1$ pripada intervalu $-1 ≤ x ≤ 3$. Ako je $x=1$, onda je $y=x+1=2$. Dodajmo $M_7(1;2)$ listi točaka i saznajmo koja je vrijednost funkcije $z$ u ovoj točki. Točke na krajevima segmenta $-1 ≤ x ≤ 3$, tj. točke $M_3(-1;0)$ i $M_6(3;4)$ razmatrane ranije, već smo pronašli vrijednost funkcije u njima.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Drugi korak rješenja je završen. Imamo sedam vrijednosti:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Obratimo se. Odabirom najveće i najmanje vrijednosti od onih brojeva koji su dobiveni u trećem odlomku, imat ćemo:

$$z_(min)=-4; \; z_(max)=6.$$

Zadatak je riješen, ostaje samo da zapišemo odgovor.

Odgovor: $z_(min)=-4; \; z_(max)=6$.

Primjer #2

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije $z=x^2+y^2-12x+16y$ u području $x^2+y^2 ≤ 25$.

Prvo napravimo crtež. Jednadžba $x^2+y^2=25$ (ovo je granična linija zadanog područja) definira krug sa središtem u ishodištu (tj. u točki $(0;0)$) i polumjerom od 5. Nejednadžba $x^2 +y^2 ≤ 25$ zadovoljava sve točke unutar i na navedenoj kružnici.

Djelovat ćemo dalje. Pronađimo parcijalne derivacije i saznajmo kritične točke.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Ne postoje točke u kojima ne postoje pronađene parcijalne derivacije. Otkrijmo u kojim točkama su obje parcijalne derivacije istovremeno jednake nuli, tj. pronaći stacionarne točke.

$$ \lijevo \( \begin(poravnano) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(poravnano) \desno. \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & x =6;\\ & y=-8.\end(poravnano) \desno.$$

Dobili smo stacionarnu točku $(6;-8)$. Međutim, pronađena točka ne pripada području $D$. To je lako pokazati čak i bez pribjegavanja crtežu. Provjerimo vrijedi li nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$ koja definira našu domenu $D$. Ako je $x=6$, $y=-8$, onda je $x^2+y^2=36+64=100$, tj. nejednakost $x^2+y^2 ≤ 25$ nije zadovoljena. Zaključak: točka $(6;-8)$ ne pripada području $D$.

Dakle, unutar $D$ nema kritičnih točaka. Idemo dalje, na. Moramo istražiti ponašanje funkcije na granici zadanog područja, tj. na kružnici $x^2+y^2=25$. Možete, naravno, izraziti $y$ u smislu $x$, a zatim zamijeniti rezultirajući izraz u našu funkciju $z$. Iz jednadžbe kruga dobivamo: $y=\sqrt(25-x^2)$ ili $y=-\sqrt(25-x^2)$. Zamjenom, na primjer, $y=\sqrt(25-x^2)$ u zadanu funkciju, imat ćemo:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

Daljnje rješenje bit će potpuno identično proučavanju ponašanja funkcije na granici područja u prethodnom primjeru br. 1. Međutim, čini mi se da je u ovoj situaciji razumnije primijeniti Lagrangeovu metodu. Zanima nas samo prvi dio ove metode. Nakon primjene prvog dijela Lagrangeove metode dobit ćemo točke u kojima ćemo ispitati funkciju $z$ za minimalne i maksimalne vrijednosti.

Sastavljamo Lagrangeovu funkciju:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Nalazimo parcijalne derivacije Lagrangeove funkcije i sastavljamo odgovarajući sustav jednadžbi:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (poravnano) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0.\kraj (poravnano) \ desno. \;\; \lijevo \( \begin(poravnano) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( poravnato)\desno.$$

Da bismo riješili ovaj sustav, odmah naznačimo da je $\lambda\neq -1$. Zašto $\lambda\neq -1$? Pokušajmo zamijeniti $\lambda=-1$ u prvu jednadžbu:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; x-x=6; \; 0=6. $$

Rezultirajuća kontradikcija $0=6$ kaže da je vrijednost $\lambda=-1$ nevažeća. Izlaz: $\lambda\neq -1$. Izrazimo $x$ i $y$ kroz $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\lambda)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \kraj(poravnano)

Vjerujem da ovdje postaje očito zašto smo posebno odredili uvjet $\lambda\neq -1$. To je učinjeno kako bi se izraz $1+\lambda$ smjestio u nazivnike bez smetnji. Odnosno, da budemo sigurni da je nazivnik $1+\lambda\neq 0$.

Zamijenimo dobivene izraze za $x$ i $y$ u treću jednadžbu sustava, tj. u $x^2+y^2=25$:

$$ \lijevo(\frac(6)(1+\lambda) \desno)^2+\lijevo(\frac(-8)(1+\lambda) \desno)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\lambda)^2=4. $$

Iz dobivene jednakosti slijedi $1+\lambda=2$ ili $1+\lambda=-2$. Dakle, imamo dvije vrijednosti parametra $\lambda$, naime: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Prema tome, dobivamo dva para vrijednosti $x$ i $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \kraj(poravnano)

Dakle, dobili smo dvije točke mogućeg uvjetnog ekstremuma, tj. $M_1(3;-4)$ i $M_2(-3;4)$. Pronađite vrijednosti funkcije $z$ u točkama $M_1$ i $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \kraj(poravnano)

Treba odabrati najveću i najmanju vrijednost od onih koje smo dobili u prvom i drugom koraku. Ali u ovaj slučaj izbor je mali :) Imamo:

$$z_(min)=-75; \; z_(max)=125. $$

Odgovor: $z_(min)=-75; \; z_(max)=125$.

U ovom ću članku govoriti o algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti funkcija, točke minimuma i maksimuma.

Iz teorije, svakako će nam trebati tablica izvedenica I pravila razlikovanja. Sve je na ovoj ploči:

Algoritam za pronalaženje najveće i najmanje vrijednosti.

Lakše mi je objasniti konkretan primjer. Smatrati:

Primjer: Pronađite najveću vrijednost funkcije y=x^5+20x^3–65x na segmentu [–4;0].

Korak 1. Uzimamo izvedenicu.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Korak 2 Pronalaženje ekstremnih točaka.

ekstremna točka imenujemo takve točke u kojima funkcija postiže maksimalnu ili minimalnu vrijednost.

Da bismo pronašli točke ekstrema, potrebno je izjednačiti derivaciju funkcije s nulom (y "= 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Sada rješavamo ovu bikvadratnu jednadžbu i pronađeni korijeni su naše točke ekstrema.

Takve jednadžbe rješavam zamjenom t = x^2, zatim 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Smanjimo jednadžbu za 5, dobivamo: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Napravimo obrnutu zamjenu x^2 = t:

X_(1 i 2) = ±sqrt(1) = ±1
x_(3 i 4) = ±sqrt(-13) (isključujemo, ispod korijena ne mogu biti negativni brojevi, osim naravno ako ne govorimo o kompleksnim brojevima)

Ukupno: x_(1) = 1 i x_(2) = -1 - ovo su naše točke ekstrema.

3. korak Odredi najveću i najmanju vrijednost.

Metoda zamjene.

U uvjetu smo dobili segment [b][–4;0]. Točka x=1 nije uključena u ovaj segment. Dakle, ne uzimamo u obzir. Ali osim točke x=-1, također moramo uzeti u obzir lijevu i desnu granicu našeg segmenta, odnosno točke -4 i 0. Da bismo to učinili, zamijenimo sve te tri točke u izvornu funkciju. Primijetite da je izvorni onaj dan u uvjetu (y=x^5+20x^3–65x), neki počinju zamjenjivati u izvedenicu...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

To znači da je najveća vrijednost funkcije [b]44 i postiže se u točkama [b]-1, što se naziva točka maksimuma funkcije na segmentu [-4; 0].

Odlučili smo i dobili odgovor, super smo, možete se opustiti. Ali stani! Ne misliš li da je brojanje y(-4) nekako previše komplicirano? U uvjetima ograničenog vremena, bolje je koristiti drugu metodu, ja je zovem ovako:

Kroz intervale postojanosti.

Ove praznine nalaze se za derivaciju funkcije, odnosno za našu bikvadratnu jednadžbu.

Ja to radim na sljedeći način. Crtam smjernu liniju. Postavio sam točke: -4, -1, 0, 1. Unatoč činjenici da 1 nije uključen u zadani segment, ipak ga treba zabilježiti kako bi se ispravno odredili intervali konstantnosti. Uzmimo neki broj mnogo puta veći od 1, recimo 100, mentalno ga zamijenimo u našu bikvadratnu jednadžbu 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Čak i bez brojanja bilo čega, postaje očito da u točki 100 funkcija ima znak plus. To znači da za intervale od 1 do 100 ima predznak plus. Prolaskom kroz 1 (idemo s desna na lijevo) funkcija će promijeniti predznak u minus. Kada prolazi kroz točku 0, funkcija će zadržati svoj predznak, jer je to samo granica segmenta, a ne korijen jednadžbe. Kada prođe kroz -1, funkcija će ponovno promijeniti predznak u plus.

Iz teorije znamo gdje je derivacija funkcije (i to smo nacrtali za nju) mijenja predznak s plusa na minus (točka -1 u našem slučaju) funkcija doseže njegov lokalni maksimum (y(-1)=44 kako je ranije izračunato) na ovom segmentu (ovo je logički vrlo jasno, funkcija je prestala rasti, jer je dosegla svoj maksimum i počela se smanjivati).

Prema tome, gdje je izvod funkcije mijenja predznak iz minusa u plus, postignuto lokalni minimum funkcije. Da, da, također smo pronašli lokalnu minimalnu točku, koja je 1, a y(1) je minimalna vrijednost funkcije na intervalu, recimo od -1 do +∞. Napominjemo da je ovo samo LOKALNI MINIMUM, odnosno minimum na određenom segmentu. Budući da će stvarni (globalni) minimum funkcije doseći negdje tamo, u -∞.

Po mom mišljenju, prvi je način teoretski jednostavniji, a drugi je računski jednostavniji, ali teorijski mnogo teži. Uostalom, ponekad ima slučajeva da funkcija ne promijeni predznak pri prolasku kroz korijen jednadžbe, i doista se možete zbuniti s tim lokalnim, globalnim maksimumima i minimumima, iako ćete to ionako morati dobro savladati ako planirate za upis na tehničko sveučilište (i za što drugo dati profilni ispit i riješiti ovaj problem). Ali praksa i samo praksa će vas naučiti kako riješiti takve probleme jednom zauvijek. I možete trenirati na našoj web stranici. ovdje .

Ako imate pitanja, ili nešto nije jasno, svakako pitajte. Rado ću vam odgovoriti, te napraviti izmjene, dopune članka. Ne zaboravite da ovu stranicu radimo zajedno!

Pogledajmo kako istražiti funkciju pomoću grafikona. Ispostavilo se da gledajući grafikon možete saznati sve što nas zanima, naime:

opseg funkcije
raspon funkcija
funkcijske nule
razdoblja porasta i smanjenja
visoke i niske točke
najveća i najmanja vrijednost funkcije na intervalu.

Razjasnimo terminologiju:

Apscisa je horizontalna koordinata točke.
Ordinata- vertikalna koordinata.
apscisa- horizontalna os, najčešće se naziva os.
Y-os- okomita os, ili os.

Argument je nezavisna varijabla o kojoj ovise vrijednosti funkcije. Najčešće naznačeno.
Drugim riječima, sami izaberemo , zamijenimo u formulu funkcije i dobijemo .

Domena funkcije - skup onih (i samo onih) vrijednosti argumenta za koje funkcija postoji.
Označava se: ili .

Na našoj slici domena funkcije je segment. Na tom segmentu je nacrtan graf funkcije. Samo ovdje ova funkcija postoji.

Raspon funkcija je skup vrijednosti koje varijabla uzima. Na našoj slici to je segment - od najniže do najviše vrijednosti.

Funkcijske nule- točke u kojima je vrijednost funkcije jednaka nuli, tj. Na našoj slici to su točke i .

Vrijednosti funkcije su pozitivne gdje . Na našoj slici to su intervali i .
Vrijednosti funkcije su negativne gdje . Taj interval (ili interval) imamo od do.

Najvažniji pojmovi - rastuće i opadajuće funkcije na nekom setu. Kao skup možete uzeti segment, interval, uniju intervala ili cijeli brojevni pravac.

Funkcija povećava se

Drugim riječima, što je više , to je više , odnosno graf ide udesno i gore.

Funkcija smanjuje se na skupu ako za bilo koji i koji pripada skupu nejednakost implicira nejednakost .

Za opadajuću funkciju, veća vrijednost odgovara manjoj vrijednosti. Graf ide desno i dolje.

Na našoj slici funkcija raste na intervalu, a pada na intervalima i .

Definirajmo što je maksimalne i minimalne točke funkcije.

Maksimalna točka- ovo je unutarnja točka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj veća nego u svim točkama koje su joj dovoljno blizu.
Drugim riječima, najveća točka je takva točka, vrijednost funkcije u kojoj više nego u susjednim. Ovo je lokalno "brdo" na karti.

Na našoj slici - maksimalna točka.

Niska točka- unutarnja točka domene definicije, takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u svim točkama koje su joj dovoljno blizu.
Odnosno, minimalna točka je takva da je vrijednost funkcije u njoj manja nego u susjednim. Na grafikonu, ovo je lokalna "rupa".

Na našoj slici - minimalna točka.

Točka je granica. To nije unutarnja točka domene definicije i stoga ne odgovara definiciji maksimalne točke. Uostalom, ona nema susjeda s lijeve strane. Na isti način, ne može postojati minimalna točka na našem grafikonu.

Maksimalne i minimalne točke zajednički se nazivaju ekstremne točke funkcije. U našem slučaju to je i .

Ali što ako trebate pronaći npr. minimum funkcije na rezu? U ovom slučaju, odgovor je: Jer minimum funkcije je njegova vrijednost u minimalnoj točki.

Slično, maksimum naše funkcije je . Do njega se dolazi u točki .

Možemo reći da su ekstremumi funkcije jednaki i .

Ponekad u zadacima trebate pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na datom segmentu. Ne moraju se nužno poklapati s krajnostima.

U našem slučaju najmanja vrijednost funkcije na intervalu jednaka je i podudara se s minimumom funkcije. Ali njegova najveća vrijednost na ovom segmentu jednaka je . Do njega se dolazi na lijevom kraju segmenta.

U svakom slučaju, najveća i najmanja vrijednost kontinuirane funkcije na segmentu postižu se ili u točkama ekstrema ili na krajevima segmenta.

Minijaturni i prilično jednostavan zadatak od one vrste koja služi kao spas za lebdećeg učenika. U prirodi je uspavano carstvo sredine srpnja, pa je vrijeme da se skrasite s laptopom na plaži. Igrano rano ujutro sunčeva zraka teoriju da bi se uskoro usredotočio na praksu, koja, unatoč svojoj lakoći, sadrži krhotine stakla u pijesku. U tom smislu, preporučujem da savjesno razmotrite nekoliko primjera ove stranice. Za rješavanje praktičnih zadataka potrebno je znati pronaći izvedenice i razumjeti materijal članka Intervali monotonosti i ekstremi funkcije.

Prvo, ukratko o glavnoj stvari. U lekciji o kontinuitet funkcije Dao sam definiciju kontinuiteta u točki i kontinuiteta na intervalu. Formulirano je primjerno ponašanje funkcije na segmentu na sličan način. Funkcija je neprekidna na segmentu ako:

1) kontinuirana je na intervalu ;
2) kontinuirano u točki desno i u točki lijevo.

Drugi odlomak bavi se tzv jednostrani kontinuitet funkcije u točki. Postoji nekoliko pristupa njegovoj definiciji, ali ja ću se držati ranije započete linije:

Funkcija je kontinuirana u točki desno, ako je definirana u danoj točki i njena desna granica se podudara s vrijednošću funkcije u danoj točki: . U točki je kontinuirana lijevo, ako je definiran u danoj točki i njegova lijeva granica je jednaka vrijednosti u toj točki:

Zamislite da su zelene točkice nokti na koje je pričvršćena čarobna gumica:

Mentalno uzmite crvenu liniju u ruke. Očito, bez obzira koliko razvukli graf gore-dolje (duž osi), funkcija će i dalje ostati ograničeno- živica gore, živica dolje, a naš proizvod pase u oboru. Tako, funkcija kontinuirana na segmentu je na njemu omeđena. Tijekom matematičke analize ova se naizgled jednostavna činjenica izriče i rigorozno dokazuje Weierstrassov prvi teorem.... Mnogima smeta što se elementarne tvrdnje dosadno potkrepljuju u matematici, ali postoji važno značenje. Pretpostavimo da je određeni stanovnik frotirnog srednjeg vijeka povukao graf u nebo izvan granica vidljivosti, ovo je umetnuto. Prije izuma teleskopa ograničena funkcija u svemiru nije bila nimalo očita! Doista, kako znaš što nas čeka iza horizonta? Uostalom, nekada se Zemlja smatrala ravnom, pa danas i obična teleportacija traži dokaz =)

Prema drugi Weierstrassov teorem, kontinuirano na segmentufunkcija dosegne svoje točan gornji rub i njegov točan donji rub .

Broj se također zove maksimalnu vrijednost funkcije na segmentu i označen sa , a broj - minimalna vrijednost funkcije na segmentu označeno .

U našem slučaju:

Bilješka : u teoriji, zapisi su uobičajeni .

Grubo rečeno, najveća vrijednost nalazi se tamo gdje je najviše visoka točka grafika, a najmanji - gdje je najniža točka.

Važno! Kao što je već istaknuto u članku o ekstremi funkcije, najveću vrijednost funkcije I najmanja vrijednost funkcije – NIJE ISTO, Što maksimalna funkcija I minimum funkcije. Dakle, u ovom primjeru, broj je minimum funkcije, ali ne i minimalna vrijednost.

Usput, što se događa izvan segmenta? Da, čak ni poplava, u kontekstu razmatranog problema, to nas uopće ne zanima. Zadatak uključuje samo pronalaženje dva broja i to je to!

Štoviše, rješenje je čisto analitičko, dakle, nema potrebe za crtanjem!

Algoritam leži na površini i sugerira se iz gornje slike:

1) Pronađite vrijednosti funkcije u kritične točke, koji pripadaju ovom segmentu.

Uhvatite još jednu stvar: nema potrebe provjeravati dovoljan uvjet za ekstrem, jer, kao što je upravo pokazano, prisutnost minimuma ili maksimuma još nije zajamčeno koja je minimalna ili maksimalna vrijednost. Demo funkcija doseže svoj maksimum i voljom sudbine isti broj najveća vrijednost funkcije na intervalu . Ali, naravno, takva slučajnost se ne događa uvijek.

Dakle, u prvom koraku je brže i lakše izračunati vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju segmentu, ne zamarajući se imaju li one ekstreme ili ne.

2) Izračunavamo vrijednosti funkcije na krajevima segmenta.

3) Među vrijednostima funkcije koje se nalaze u 1. i 2. odlomku odabiremo najmanju i najveću veliki broj, zapišite odgovor.

Sjedimo na obali plavog mora i udaramo petama u plitkoj vodi:

Primjer 1

Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu

Riješenje:
1) Izračunajte vrijednosti funkcije u kritičnim točkama koje pripadaju ovom segmentu:

Izračunavamo vrijednost funkcije u drugom kritična točka:

2) Izračunajte vrijednosti funkcije na krajevima segmenta:

3) Dobiveni su "podebljani" rezultati s eksponencijalima i logaritmima, što znatno otežava njihovu usporedbu. Iz tog razloga ćemo se naoružati kalkulatorom ili Excelom i izračunati približne vrijednosti, ne zaboravljajući da: