Designazioni in progressione aritmetica.  Algebra: progressioni aritmetiche e geometriche

Aritmetica e progressione geometrica

Informazioni teoriche

Informazioni teoriche

	Progressione aritmetica	Progressione geometrica
Definizione	Progressione aritmetica UN viene chiamata una sequenza, ogni membro della quale, a partire dal secondo, è uguale al membro precedente, sommato con lo stesso numero D (D- differenza di progressione)	progressione geometrica b n viene chiamata una sequenza di numeri diversi da zero, ogni termine dei quali, a partire dal secondo, è uguale al termine precedente moltiplicato per lo stesso numero Q (Q- denominatore di progressione)
Formula ricorrente	Per qualsiasi naturale N un n + 1 = un n + d	Per qualsiasi naturale N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formula dell'ennesimo termine	un n = un 1 + d (n-1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
proprietà caratteristica
Somma dei primi n termini

Esempi di attività con commenti

Esercizio 1

IN progressione aritmetica (UN) un 1 = -6, un 2

Secondo la formula dell'ennesimo termine:

un 22 = un 1+ d (22 - 1) = un 1+ 21gg

Per condizione:

un 1= -6, quindi un 22= -6 + 21d.

È necessario trovare la differenza di progressioni:

d= un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Risposta : un 22 = -48.

Compito 2

Trova il quinto termine della progressione geometrica: -3; 6;....

1° modo (usando la formula n-termine)

Secondo la formula dell'n-esimo membro di una progressione geometrica:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Perché b 1 = -3,

2a via (usando la formula ricorsiva)

Poiché il denominatore della progressione è -2 (q = -2), allora:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Risposta : b 5 = -48.

Compito 3

In progressione aritmetica ( a n) a 74 = 34; un 76= 156. Trova il settantacinquesimo termine di questa progressione.

Per una progressione aritmetica, la proprietà caratteristica ha la forma .

Perciò:

.

Sostituisci i dati nella formula:

Risposta: 95.

Compito 4

In progressione aritmetica ( un n) un n= 3n - 4. Trova la somma dei primi diciassette termini.

Per trovare la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica si utilizzano due formule:

.

Quale dentro questo caso più comodo da usare?

Per condizione, è nota la formula dell'ennesimo membro della progressione originaria ( UN) UN= 3n - 4. Può essere trovato immediatamente e un 1, E un 16 senza trovare d. Pertanto, usiamo la prima formula.

Risposta: 368.

Compito 5

In progressione aritmetica UN) un 1 = -6; un 2= -8. Trova il ventiduesimo termine della progressione.

Secondo la formula dell'ennesimo termine:

un 22 = un 1 + d (22 – 1) = un 1+ 21gg.

A condizione, se un 1= -6, quindi un 22= -6 + 21d. È necessario trovare la differenza di progressioni:

d= un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Risposta : un 22 = -48.

Compito 6

Vengono registrati diversi termini consecutivi di una progressione geometrica:

Trova il termine della progressione, indicato dalla lettera x .

Quando risolviamo, usiamo la formula per l'ennesimo termine b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 per progressioni geometriche. Il primo membro della progressione. Per trovare il denominatore della progressione q, devi prendere uno qualsiasi di questi termini della progressione e dividerlo per il precedente. Nel nostro esempio, puoi prendere e dividere per. Otteniamo q \u003d 3. Invece di n, sostituiamo 3 nella formula, poiché è necessario trovare il terzo termine di una data progressione geometrica.

Sostituendo i valori trovati nella formula, otteniamo:

.

Risposta : .

Compito 7

Tra le progressioni aritmetiche date dalla formula dell'ennesimo termine, scegli quella per cui la condizione è soddisfatta un 27 > 9:

Poiché la condizione specificata deve essere soddisfatta per il 27° termine della progressione, sostituiamo 27 invece di n in ognuna delle quattro progressioni. Nella quarta progressione otteniamo:

.

Risposta: 4.

Compito 8

In progressione aritmetica un 1= 3, d = -1,5. Specificare valore più alto n , per cui la disuguaglianza UN > -6.

I problemi di progressione aritmetica esistono fin dall'antichità. Sono apparsi e hanno chiesto una soluzione, perché avevano un bisogno pratico.

Quindi, in uno dei papiri antico Egitto, che ha contenuto matematico - il papiro Rhind (XIX secolo aC) - contiene il seguente compito: dividere dieci misure di pane in dieci persone, a condizione che la differenza tra ciascuna di esse sia un ottavo di misura.

E nelle opere matematiche degli antichi greci ci sono eleganti teoremi legati alla progressione aritmetica. Così, Hypsicles of Alexandria (II secolo, che compilò molti problemi interessanti e aggiunse il quattordicesimo libro agli "Elementi" di Euclide), formulò l'idea: "In una progressione aritmetica con un numero pari di membri, la somma dei membri della 2a metà più della quantità membri del 1° sul quadrato 1/2 del numero dei membri.

La sequenza an è denotata. I numeri della sequenza sono chiamati i suoi membri e sono solitamente indicati da lettere con indici che indicano il numero seriale di questo membro (a1, a2, a3 ... leggi: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" e così via).

La sequenza può essere infinita o finita.

Cos'è una progressione aritmetica? Si intende ottenuto sommando al termine precedente (n) lo stesso numero d, che è la differenza della progressione.

Se d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, allora tale progressione è considerata crescente.

Una progressione aritmetica si dice finita se si tiene conto solo di alcuni dei suoi primi termini. Con un numero molto elevato di membri, questo è già progressione infinita.

L'eventuale progressione aritmetica è data dalla seguente formula:

an =kn+b, mentre b e k sono dei numeri.

L'affermazione, che è l'opposto, è assolutamente vera: se la sequenza è data da una formula simile, allora questa è esattamente una progressione aritmetica, che ha le proprietà:

1. Ogni membro della progressione è la media aritmetica del membro precedente e del successivo.
2. Al contrario: se, partendo dal 2°, ogni termine è la media aritmetica del termine precedente e del successivo, cioè se la condizione è soddisfatta, allora la sequenza data è una progressione aritmetica. Questa uguaglianza è allo stesso tempo un segno di progressione, quindi di solito è chiamata proprietà caratteristica della progressione.
   Allo stesso modo vale il teorema che riflette questa proprietà: una successione è una progressione aritmetica solo se questa uguaglianza è vera per uno qualunque dei membri della successione, a partire dal 2°.

La proprietà caratteristica per quattro numeri qualsiasi di una progressione aritmetica può essere espressa dalla formula an + am = ak + al se n + m = k + l (m, n, k sono i numeri della progressione).

In una progressione aritmetica, qualsiasi termine necessario (ennesimo) può essere trovato applicando la seguente formula:

Ad esempio: il primo termine (a1) in una progressione aritmetica è dato ed è uguale a tre, e la differenza (d) è uguale a quattro. Devi trovare il quarantacinquesimo termine di questa progressione. a45 = 1+4(45-1)=177

La formula an = ak + d(n - k) ci permette di determinare ennesimo membro progressione aritmetica attraverso uno qualsiasi dei suoi termini k-esimi, purché sia ​​noto.

La somma dei membri di una progressione aritmetica (assumendo i primi n membri della progressione finale) si calcola come segue:

Sn = (a1+an) n/2.

Se è noto anche il primo termine, un'altra formula è conveniente per il calcolo:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

La somma di una progressione aritmetica che contiene n termini si calcola come segue:

La scelta delle formule per i calcoli dipende dalle condizioni delle attività e dai dati iniziali.

Serie naturale di qualsiasi numero come 1,2,3,...,n,...- l'esempio più semplice progressione aritmetica.

Oltre alla progressione aritmetica, ne esiste anche una geometrica, che ha proprietà e caratteristiche proprie.

Tipo di lezione: imparare nuovo materiale.

Obiettivi della lezione:

• espansione e approfondimento delle idee degli studenti sui compiti risolti utilizzando la progressione aritmetica; organizzazione dell'attività di ricerca degli studenti nella derivazione della formula per la somma dei primi n membri di una progressione aritmetica;
• sviluppo di capacità per acquisire autonomamente nuove conoscenze, utilizzare le conoscenze già acquisite per raggiungere il compito;
• sviluppo del desiderio e della necessità di generalizzare i fatti ottenuti, lo sviluppo dell'indipendenza.

Compiti:

• generalizzare e sistematizzare le conoscenze esistenti sull'argomento "Progressione aritmetica";
• derivare formule per calcolare la somma dei primi n membri di una progressione aritmetica;
• insegnare come applicare le formule ottenute per risolvere vari problemi;
• attirare l'attenzione degli studenti sulla procedura per trovare il valore di un'espressione numerica.

Attrezzatura:

• schede con compiti per lavorare in gruppo e in coppia;
• documento di valutazione;
• presentazione"Progressione aritmetica".

I. Attualizzazione delle conoscenze di base.

1. Lavoro indipendente A coppie.

1a opzione:

Definire una progressione aritmetica. Scrivi una formula ricorsiva che definisce una progressione aritmetica. Fai un esempio di progressione aritmetica e indicane la differenza.

2a opzione:

Scrivi la formula per l'ennesimo termine di una progressione aritmetica. Trova il centesimo termine di una progressione aritmetica ( UN}: 2, 5, 8 …
In questo momento, due studenti rovescio le schede preparano le risposte alle stesse domande.
Gli studenti valutano il lavoro del partner confrontandolo con la lavagna. (I volantini con le risposte vengono consegnati).

2. Momento di gioco.

Esercizio 1.

Insegnante. Ho concepito una progressione aritmetica. Fammi solo due domande in modo che dopo le risposte tu possa nominare rapidamente il settimo membro di questa progressione. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Domande degli studenti.

1. Qual è il sesto termine della progressione e qual è la differenza?
2. Qual è l'ottavo termine della progressione e qual è la differenza?

Se non ci sono più domande, l'insegnante può stimolarle: un "divieto" di d (differenza), ovvero non è consentito chiedere quale sia la differenza. Puoi porre domande: qual è il sesto termine della progressione e qual è l'ottavo termine della progressione?

Compito 2.

Ci sono 20 numeri scritti sulla lavagna: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

L'insegnante sta con le spalle alla lavagna. Gli studenti dicono il numero del numero e l'insegnante chiama immediatamente il numero stesso. Spiegare come posso farlo?

L'insegnante ricorda la formula dell'ennesimo termine a n \u003d 3n - 2 e, sostituendo i valori dati di n, trova i valori corrispondenti UN .

II. Dichiarazione del compito educativo.

Propongo di risolvere un vecchio problema risalente al II millennio a.C., rinvenuto nei papiri egizi.

Compito:“Vi sia detto: dividete 10 misure di orzo tra 10 persone, la differenza tra ogni persona e il suo vicino è 1/8 della misura”.

• In che modo questo problema si collega al tema della progressione aritmetica? (Ogni persona successiva ottiene 1/8 della misura in più, quindi la differenza è d=1/8, 10 persone, quindi n=10.)
• Cosa pensi che significhi il numero 10? (La somma di tutti i membri della progressione.)
• Cos'altro hai bisogno di sapere per rendere facile e semplice dividere l'orzo in base alle condizioni del problema? (Il primo termine della progressione.)

Obiettivo della lezione- ricavare la dipendenza della somma dei termini della progressione dal loro numero, dal primo termine e dalla differenza, e verificare se il problema era risolto correttamente in tempi antichi.

Prima di derivare la formula, vediamo come gli antichi egizi risolvevano il problema.

E hanno risolto così:

1) 10 misure: 10 = 1 misura - quota media;
2) 1 battuta ∙ = 2 battute - raddoppiato media condividere.
raddoppiato media la quota è data dalla somma delle quote della 5° e 6° persona.
3) 2 battute - 1/8 di battuta = 1 7/8 di battuta - il doppio della quota della quinta persona.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - la quota del quinto; e così via, puoi trovare la quota di ogni persona precedente e successiva.

Otteniamo la sequenza:

III. La soluzione del compito.

1. Lavorare in gruppo

1° gruppo: Trova la somma di 20 numeri naturali consecutivi: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Generalmente

II gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 100 (Leggenda di Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Conclusione:

III gruppo: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 21.

Soluzione: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Conclusione:

Gruppo IV: Trova la somma dei numeri naturali da 1 a 101.

Conclusione:

Questo metodo per risolvere i problemi considerati è chiamato "metodo Gauss".

2. Ogni gruppo presenta la soluzione al problema alla lavagna.

3. Generalizzazione delle soluzioni proposte per una progressione aritmetica arbitraria:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Troviamo questa somma ragionando in modo simile:

4. Abbiamo risolto il compito?(SÌ.)

IV. Comprensione primaria e applicazione delle formule ottenute nella risoluzione di problemi.

1. Verifica della soluzione di un vecchio problema con la formula.

2. Applicazione della formula nella risoluzione di vari problemi.

3. Esercizi per la formazione della capacità di applicare la formula nella risoluzione dei problemi.

A) N. 613

Dato :( e n) - progressione aritmetica;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Trovare: S 1500

Soluzione: , e 1 = 1, e 1500 = 1500,

B) Dato: ( e n) - progressione aritmetica;
(e n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Trovare: N
Soluzione:

V. Lavoro indipendente con verifica reciproca.

Denis è andato a lavorare come corriere. Nel primo mese il suo stipendio era di 200 rubli, in ogni mese successivo aumentava di 30 rubli. Quanto ha guadagnato in un anno?

Dato :( e n) - progressione aritmetica;
a1 = 200, d=30, n=12
Trovare: S 12
Soluzione:

Risposta: Denis ha ricevuto 4380 rubli per l'anno.

VI. Istruzioni per i compiti.

1. p.4.3 - impara la derivazione della formula.
2. №№ 585, 623 .
3. Comporre un problema da risolvere utilizzando la formula per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica.

VII. Riassumendo la lezione.

1. Foglio dei punteggi

2. Continua le frasi

• Oggi in classe ho imparato...
• Formule imparate...
• Credo che …

3. Riesci a trovare la somma dei numeri da 1 a 500? Quale metodo utilizzerai per risolvere questo problema?

Bibliografia.

1. Algebra, 9a elementare. Libro di testo per le istituzioni educative. ed. G.V. Dorofeeva. Mosca: Illuminismo, 2009.

Sì, sì: la progressione aritmetica non è un giocattolo per te :)

Bene, amici, se state leggendo questo testo, allora l'evidenza del cappuccio interno mi dice che ancora non sapete cosa sia una progressione aritmetica, ma davvero (no, così: SOOOOO!) volete saperlo. Pertanto, non ti tormenterò con lunghe presentazioni e mi metterò subito al lavoro.

Per iniziare, un paio di esempi. Considera diverse serie di numeri:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Cosa hanno in comune tutti questi set? A prima vista, niente. Ma in realtà c'è qualcosa. Vale a dire: ogni elemento successivo differisce dal precedente per lo stesso numero.

Giudica tu stesso. Il primo set è solo numeri consecutivi, ognuno più del precedente. Nel secondo caso, la differenza tra numeri adiacenti è già uguale a cinque, ma questa differenza è ancora costante. Nel terzo caso, ci sono radici in generale. Tuttavia, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mentre $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, cioè nel qual caso ogni elemento successivo aumenta semplicemente di $\sqrt(2)$ (e non aver paura che questo numero sia irrazionale).

Quindi: tutte queste sequenze sono semplicemente chiamate progressioni aritmetiche. Diamo una definizione rigorosa:

Definizione. Una sequenza di numeri in cui ogni successivo differisce dal precedente esattamente della stessa quantità è chiamata progressione aritmetica. La stessa quantità di differenza tra i numeri è chiamata differenza di progressione ed è spesso indicata dalla lettera $d$.

Notazione: $\left(((a)_(n)) \right)$ è la progressione stessa, $d$ è la sua differenza.

E solo un paio di osservazioni importanti. Innanzitutto, viene considerata solo la progressione ordinato sequenza di numeri: possono essere letti rigorosamente nell'ordine in cui sono scritti - e nient'altro. Non puoi riorganizzare o scambiare i numeri.

In secondo luogo, la sequenza stessa può essere finita o infinita. Ad esempio, l'insieme (1; 2; 3) è ovviamente una progressione aritmetica finita. Ma se scrivi qualcosa come (1; 2; 3; 4; ...) - questa è già una progressione infinita. I puntini di sospensione dopo i quattro, per così dire, suggeriscono che molti numeri vanno oltre. Infiniti, per esempio. :)

Vorrei anche notare che le progressioni stanno aumentando e diminuendo. Ne abbiamo già visti di crescenti: lo stesso set (1; 2; 3; 4; ...). Ecco alcuni esempi di progressioni decrescenti:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: ultimo esempio può sembrare eccessivamente complicato. Ma il resto, penso, tu capisci. Pertanto, introduciamo nuove definizioni:

Definizione. Una progressione aritmetica si chiama:

1. crescente se ogni elemento successivo è maggiore del precedente;
2. decrescente, se, al contrario, ogni elemento successivo è minore del precedente.

Inoltre, esistono le cosiddette sequenze "stazionarie": sono costituite dallo stesso numero ripetuto. Ad esempio, (3; 3; 3; ...).

Resta solo una domanda: come distinguere una progressione crescente da una decrescente? Fortunatamente qui tutto dipende solo dal segno del numero $d$, cioè differenze di progressione:

1. Se $d \gt 0$, allora la progressione è crescente;
2. Se $d \lt 0$, allora la progressione è ovviamente decrescente;
3. Infine, c'è il caso $d=0$ — in questo caso l'intera progressione è ridotta a una sequenza stazionaria di numeri identici: (1; 1; 1; 1; ...), ecc.

Proviamo a calcolare la differenza $d$ per le tre progressioni decrescenti di cui sopra. Per fare ciò, è sufficiente prendere due elementi adiacenti qualsiasi (ad esempio, il primo e il secondo) e sottrarre dal numero a destra il numero a sinistra. Sembrerà così:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Come puoi vedere, in tutti e tre i casi la differenza si è rivelata davvero negativa. E ora che abbiamo più o meno capito le definizioni, è tempo di capire come vengono descritte le progressioni e quali proprietà hanno.

Membri della progressione e della formula ricorrente

Poiché gli elementi delle nostre sequenze non possono essere scambiati, possono essere numerati:

\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Giusto\)\]

I singoli elementi di questo insieme sono chiamati membri della progressione. Sono indicati in questo modo con l'aiuto di un numero: il primo membro, il secondo membro e così via.

Inoltre, come già sappiamo, i membri vicini della progressione sono correlati dalla formula:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

In breve, per trovare il $n$esimo termine della progressione, devi conoscere il $n-1$esimo termine e la differenza $d$. Tale formula si chiama ricorrente, perché con il suo aiuto puoi trovare qualsiasi numero, conoscendo solo il precedente (e di fatto tutti i precedenti). Questo è molto scomodo, quindi esiste una formula più complicata che riduce qualsiasi calcolo al primo termine e alla differenza:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\sinistra(n-1 \destra)d\]

Probabilmente ti sei già imbattuto in questa formula. A loro piace darlo in tutti i tipi di libri di riferimento e reshebnik. E in qualsiasi libro di testo ragionevole sulla matematica, è uno dei primi.

Ti consiglio comunque di esercitarti un po'.

Compito numero 1. Annota i primi tre termini della progressione aritmetica $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$.

Soluzione. Quindi, conosciamo il primo termine $((a)_(1))=8$ e la differenza di progressione $d=-5$. Usiamo la formula appena data e sostituiamo $n=1$, $n=2$ e $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\sinistra(1-1 \destra)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\sinistra(2-1 \destra)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\sinistra(3-1 \destra)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Risposta: (8; 3; -2)

È tutto! Nota che la nostra progressione sta diminuendo.

Ovviamente, $n=1$ non avrebbe potuto essere sostituito: conosciamo già il primo termine. Tuttavia, sostituendo l'unità, ci siamo assicurati che anche per il primo termine la nostra formula funzioni. In altri casi, tutto si riduceva a banale aritmetica.

Compito numero 2. Scrivi i primi tre termini di una progressione aritmetica se il suo settimo termine è −40 e il suo diciassettesimo termine è −50.

Soluzione. Scriviamo la condizione del problema nei soliti termini:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Giusto.\]

Metto il segno del sistema perché questi requisiti devono essere soddisfatti contemporaneamente. E ora notiamo che se sottraiamo la prima equazione dalla seconda equazione (abbiamo il diritto di farlo, perché abbiamo un sistema), otteniamo questo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Proprio così, abbiamo trovato la differenza di progressione! Resta da sostituire il numero trovato in una qualsiasi delle equazioni del sistema. Ad esempio, nel primo:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(matrice)\]

Ora, conoscendo il primo termine e la differenza, resta da trovare il secondo e il terzo termine:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Pronto! Problema risolto.

Risposta: (-34; -35; -36)

Notare una curiosa proprietà della progressione che abbiamo scoperto: se prendiamo i termini $n$esimo e $m$esimo e li sottraiamo l'uno dall'altro, otteniamo la differenza della progressione moltiplicata per il numero $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Semplice ma molto proprietà utile, che devi assolutamente conoscere: con il suo aiuto puoi accelerare notevolmente la soluzione di molti problemi nelle progressioni. Ecco un primo esempio di questo:

Compito numero 3. Il quinto termine della progressione aritmetica è 8,4 e il suo decimo termine è 14,4. Trova il quindicesimo termine di questa progressione.

Soluzione. Poiché $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, e dobbiamo trovare $((a)_(15))$, notiamo quanto segue:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ma per la condizione $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, quindi $5d=6$, da cui abbiamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(align)\]

Risposta: 20.4

È tutto! Non abbiamo avuto bisogno di comporre alcun sistema di equazioni e calcolare il primo termine e la differenza: tutto è stato deciso in un paio di righe.

Consideriamo ora un altro tipo di problema: la ricerca di membri negativi e positivi della progressione. Non è un segreto che se la progressione aumenta, mentre il suo primo termine è negativo, prima o poi appariranno termini positivi. E viceversa: i termini di una progressione decrescente prima o poi diventeranno negativi.

Allo stesso tempo, è tutt'altro che sempre possibile trovare questo momento "sulla fronte", ordinando in sequenza gli elementi. Spesso i problemi sono progettati in modo tale che senza conoscere le formule, i calcoli richiederebbero diversi fogli: ci addormenteremmo semplicemente finché non troveremmo la risposta. Pertanto, proveremo a risolvere questi problemi in modo più rapido.

Compito numero 4. Quanti termini negativi in ​​una progressione aritmetica -38,5; -35,8; …?

Soluzione. Quindi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, da cui troviamo subito la differenza:

Si noti che la differenza è positiva, quindi la progressione è in aumento. Il primo termine è negativo, quindi a un certo punto ci imbatteremo in numeri positivi. L'unica domanda è quando ciò accadrà.

Proviamo a scoprire: per quanto tempo (cioè fino a quale numero naturale $n$) si conserva la negatività dei termini:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \giusto. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

L'ultima riga necessita di chiarimenti. Quindi sappiamo che $n \lt 15\frac(7)(27)$. D'altra parte, solo i valori interi del numero ci andranno bene (inoltre: $n\in \mathbb(N)$), quindi il numero massimo consentito è precisamente $n=15$, e in nessun caso 16.

Compito numero 5. In progressione aritmetica $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trova il numero del primo termine positivo di questa progressione.

Questo sarebbe esattamente lo stesso problema del precedente, ma non sappiamo $((a)_(1))$. Ma i termini vicini sono noti: $((a)_(5))$ e $((a)_(6))$, quindi possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:

Inoltre, proviamo a esprimere il quinto termine in termini del primo e della differenza utilizzando la formula standard:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Ora procediamo per analogia con il problema precedente. Scopriamo in quale punto della nostra sequenza appariranno i numeri positivi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Freccia destra ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

La soluzione minima intera di questa disuguaglianza è il numero 56.

Si prega di notare: a ultimo incarico tutto si riduceva a una stretta disuguaglianza, quindi l'opzione $n=55$ non ci andrebbe bene.

Ora che abbiamo imparato a risolvere problemi semplici, passiamo a quelli più complessi. Ma prima, impariamo un'altra proprietà molto utile delle progressioni aritmetiche, che ci farà risparmiare un sacco di tempo e celle disuguali in futuro. :)

Media aritmetica e rientri uguali

Consideriamo diversi termini consecutivi della progressione aritmetica crescente $\left(((a)_(n)) \right)$. Proviamo a segnarli su una linea numerica:

Membri della progressione aritmetica sulla linea dei numeri

Ho annotato specificamente i membri arbitrari $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, e non qualsiasi $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ ecc. Perché la regola, che ora ti dirò, funziona allo stesso modo per qualsiasi "segmento".

E la regola è molto semplice. Ricordiamo la formula ricorsiva e scriviamola per tutti i membri contrassegnati:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Tuttavia, queste uguaglianze possono essere riscritte in modo diverso:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Bene, e allora? Ma il fatto che i termini $((a)_(n-1))$ e $((a)_(n+1))$ si trovino alla stessa distanza da $((a)_(n)) $ . E questa distanza è uguale a $d$. Lo stesso si può dire dei termini $((a)_(n-2))$ e $((a)_(n+2))$ - anch'essi vengono rimossi da $((a)_(n) )$ della stessa distanza pari a $2d$. Puoi continuare all'infinito, ma l'immagine illustra bene il significato

I membri della progressione giacciono alla stessa distanza dal centro

Cosa significa questo per noi? Ciò significa che puoi trovare $((a)_(n))$ se i numeri vicini sono noti:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Abbiamo dedotto una magnifica affermazione: ogni membro di una progressione aritmetica è uguale alla media aritmetica dei membri vicini! Inoltre, possiamo deviare dal nostro $((a)_(n))$ a sinistra e a destra non di un passo, ma di $k$ passi — e comunque la formula sarà corretta:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Quelli. possiamo facilmente trovare alcuni $((a)_(150))$ se conosciamo $((a)_(100))$ e $((a)_(200))$, perché $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. A prima vista, può sembrare che questo fatto non ci dia nulla di utile. Tuttavia, in pratica, molti compiti sono appositamente "affilati" per l'uso della media aritmetica. Guarda:

Compito numero 6. Trova tutti i valori di $x$ tali che i numeri $-6((x)^(2))$, $x+1$ e $14+4((x)^(2))$ siano membri consecutivi di una progressione aritmetica (nell'ordine specificato).

Soluzione. Poiché questi numeri sono membri di una progressione, per essi è soddisfatta la condizione della media aritmetica: l'elemento centrale $x+1$ può essere espresso in termini di elementi vicini:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Si è rivelato classico equazione quadrata. Le sue radici: $x=2$ e $x=-3$ sono le risposte.

Risposta: -3; 2.

Compito numero 7. Trova i valori di $$ tali che i numeri $-1;4-3;(()^(2))+1$ formino una progressione aritmetica (in quest'ordine).

Soluzione. Ancora una volta, esprimiamo il termine medio in termini di media aritmetica dei termini vicini:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\destra.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Un'altra equazione quadratica. E ancora due radici: $x=6$ e $x=1$.

Risposta 1; 6.

Se nel processo di risoluzione di un problema ottieni dei numeri brutali, o non sei completamente sicuro della correttezza delle risposte trovate, allora c'è un meraviglioso trucco che ti permette di verificare: abbiamo risolto correttamente il problema?

Diciamo che nel problema 6 abbiamo ottenuto le risposte -3 e 2. Come possiamo verificare che queste risposte siano corrette? Inseriamoli nella condizione originale e vediamo cosa succede. Lascia che ti ricordi che abbiamo tre numeri ($-6(()^(2))$, $+1$ e $14+4(()^(2))$), che dovrebbero formare una progressione aritmetica. Sostituisci $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Abbiamo i numeri -54; -2; 50 che differiscono per 52 è senza dubbio una progressione aritmetica. La stessa cosa accade per $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Di nuovo una progressione, ma con una differenza di 27. Quindi, il problema è risolto correttamente. Chi lo desidera può controllare da solo il secondo compito, ma dirò subito: anche lì è tutto corretto.

In generale, risolvendo gli ultimi compiti, ci siamo imbattuti in un altro fatto interessante, che va ricordato anche:

Se tre numeri sono tali che il secondo è la media del primo e dell'ultimo, allora questi numeri formano una progressione aritmetica.

In futuro, la comprensione di questa affermazione ci consentirà di "costruire" letteralmente le progressioni necessarie in base alla condizione del problema. Ma prima di impegnarci in una simile "costruzione", dovremmo prestare attenzione a un altro fatto, che segue direttamente da quanto già considerato.

Raggruppamento e somma di elementi

Torniamo di nuovo alla linea dei numeri. Notiamo lì diversi membri della progressione, tra i quali, forse. vale molti altri membri:

6 elementi contrassegnati sulla linea dei numeri

Proviamo ad esprimere la "coda sinistra" in termini di $((a)_(n))$ e $d$, e la "coda destra" in termini di $((a)_(k))$ e $ d$. È molto semplice:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Ora nota che le seguenti somme sono uguali:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

In poche parole, se consideriamo come inizio due elementi della progressione, che in totale sono uguali a un certo numero $S$, e poi iniziamo a muoverci da questi elementi in direzioni opposte (l'uno verso l'altro o viceversa per allontanarci), Poi uguali saranno anche le somme degli elementi su cui ci imbatteremo$S$. Questo può essere meglio rappresentato graficamente:

Gli stessi trattini danno somme uguali

Comprensione questo fatto ci permetterà di risolvere i problemi fondamentalmente di più alto livello complessità rispetto a quelle discusse sopra. Ad esempio, questi:

Compito numero 8. Determina la differenza di una progressione aritmetica in cui il primo termine è 66 e il prodotto del secondo e del dodicesimo termine è il più piccolo possibile.

Soluzione. Scriviamo tutto ciò che sappiamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Quindi, non conosciamo la differenza della progressione $d$. In realtà, l'intera soluzione sarà costruita attorno alla differenza, poiché il prodotto $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ può essere riscritto come segue:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \end(align)\]

Per quelli nel serbatoio: ho tolto il fattore comune 11 dalla seconda parentesi. Pertanto, il prodotto desiderato è una funzione quadratica rispetto alla variabile $d$. Pertanto, considera la funzione $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - il suo grafico sarà una parabola con rami verso l'alto, perché se apriamo le parentesi otteniamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Come puoi vedere, il coefficiente al termine più alto è 11 - questo è numero positivo, quindi abbiamo davvero a che fare con una parabola con rami verso l'alto:

grafico di una funzione quadratica - parabola

Nota: questa parabola assume il suo valore minimo nel suo vertice con l'ascissa $((d)_(0))$. Naturalmente, possiamo calcolare questa ascissa secondo lo schema standard (c'è una formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ma sarebbe molto più ragionevole si noti che il vertice desiderato giace sull'asse di simmetria della parabola, quindi il punto $((d)_(0))$ è equidistante dalle radici dell'equazione $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Ecco perché non avevo fretta di aprire le parentesi: nella forma originale le radici erano molto, molto facili da trovare. Pertanto, l'ascissa è uguale alla media aritmetica dei numeri −66 e −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Cosa ci dà il numero scoperto? Con esso, il prodotto richiesto prende valore più piccolo(A proposito, non abbiamo calcolato $((y)_(\min ))$ - non siamo tenuti a farlo). Allo stesso tempo, questo numero è la differenza della progressione iniziale, cioè abbiamo trovato la risposta. :)

Risposta: -36

Compito numero 9. Inserisci tre numeri tra i numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac(1)(6)$ in modo che insieme ai numeri dati formino una progressione aritmetica.

Soluzione. Bisogna infatti fare una sequenza di cinque numeri, con il primo e ultimo numero già noto. Indica i numeri mancanti con le variabili $x$, $y$ e $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Nota che il numero $y$ è il "centro" della nostra sequenza - è equidistante dai numeri $x$ e $z$, e dai numeri $-\frac(1)(2)$ e $-\frac (1)(6)$. E se dai numeri $x$ e $z$ siamo dentro questo momento non possiamo ottenere $y$, allora la situazione è diversa con le estremità della progressione. Ricorda la media aritmetica:

Ora, conoscendo $y$, troveremo i numeri rimanenti. Nota che $x$ si trova tra $-\frac(1)(2)$ e $y=-\frac(1)(3)$ appena trovato. Ecco perché

Argomentando in modo simile, troviamo il numero rimanente:

Pronto! Abbiamo trovato tutti e tre i numeri. Scriviamoli nella risposta nell'ordine in cui devono essere inseriti tra i numeri originali.

Risposta: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Compito numero 10. Tra i numeri 2 e 42 inserire più numeri che, insieme ai numeri dati, formino una progressione aritmetica, se si sa che la somma del primo, del secondo e dell'ultimo dei numeri inseriti è 56.

Soluzione. Un compito ancora più difficile, che però si risolve allo stesso modo dei precedenti, attraverso la media aritmetica. Il problema è che non sappiamo esattamente quanti numeri inserire. Pertanto, per chiarezza, assumiamo che dopo l'inserimento ci saranno esattamente $n$ numeri, e il primo di essi è 2 e l'ultimo è 42. In questo caso, la progressione aritmetica desiderata può essere rappresentata come:

\[\sinistra(((a)_(n)) \destra)=\sinistra\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \destra\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Si noti, tuttavia, che i numeri $((a)_(2))$ e $((a)_(n-1))$ sono ottenuti dai numeri 2 e 42 che stanno ai bordi di un passo l'uno verso l'altro , cioè . al centro della sequenza. E questo significa che

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ma allora l'espressione sopra può essere riscritta in questo modo:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Conoscendo $((a)_(3))$ e $((a)_(1))$, possiamo facilmente trovare la differenza di progressione:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\sinistra(3-1 \destra)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Freccia destra d=5. \\ \end(align)\]

Resta solo da trovare i membri rimanenti:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Pertanto, già al nono passaggio arriveremo all'estremità sinistra della sequenza: il numero 42. In totale, dovevano essere inseriti solo 7 numeri: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Risposta: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Compiti di testo con progressioni

In conclusione, vorrei considerare un paio di problemi relativamente semplici. Ebbene, come quelli semplici: per la maggior parte degli studenti che studiano matematica a scuola e non hanno letto quanto scritto sopra, questi compiti possono sembrare un gesto. Tuttavia, sono proprio questi compiti che si incontrano nell'OGE e nell'USE in matematica, quindi ti consiglio di familiarizzare con loro.

Compito numero 11. Il team ha prodotto 62 parti a gennaio e in ogni mese successivo ha prodotto 14 parti in più rispetto al precedente. Quante parti ha prodotto la brigata a novembre?

Soluzione. Ovviamente il numero delle parti, dipinte per mese, sarà una progressione aritmetica crescente. E:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre è l'undicesimo mese dell'anno, quindi dobbiamo trovare $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Pertanto, a novembre verranno prodotte 202 parti.

Compito numero 12. Il laboratorio di legatoria ha rilegato 216 libri a gennaio e ogni mese ha rilegato 4 libri in più rispetto al mese precedente. Quanti libri ha rilegato il workshop a dicembre?

Soluzione. Tutti uguali:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Dicembre è l'ultimo, 12° mese dell'anno, quindi stiamo cercando $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Questa è la risposta: 260 libri saranno rilegati a dicembre.

Ebbene, se sei arrivato a leggere fin qui, mi affretto a congratularmi con te: hai completato con successo il “corso per giovani combattenti” in progressioni aritmetiche. Puoi tranquillamente andare a prossima lezione, dove studieremo la formula della somma di progressione, nonché le conseguenze importanti e molto utili che ne derivano.

O aritmetica: questo è un tipo di sequenza numerica ordinata, le cui proprietà sono studiate in un corso di algebra scolastica. Questo articolo discute in dettaglio la questione di come trovare la somma di una progressione aritmetica.

Cos'è questa progressione?

Prima di procedere alla considerazione della domanda (come trovare la somma di una progressione aritmetica), vale la pena capire cosa verrà discusso.

Qualsiasi sequenza di numeri reali che si ottiene aggiungendo (sottraendo) un valore da ciascun numero precedente è chiamata progressione algebrica (aritmetica). Questa definizione, tradotta nel linguaggio della matematica, assume la forma:

Qui i è il numero ordinale dell'elemento della serie a i . Pertanto, conoscendo un solo numero iniziale, è possibile ripristinare facilmente l'intera serie. Il parametro d nella formula è chiamato differenza di progressione.

Si può facilmente dimostrare che vale la seguente uguaglianza per la serie di numeri considerata:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Cioè, per trovare il valore dell'n-esimo elemento in ordine, aggiungi la differenza d al primo elemento a 1 n-1 volte.

Qual è la somma di una progressione aritmetica: formula

Prima di dare la formula per l'importo indicato, vale la pena considerare un semplice caso speciale. Data una progressione di numeri naturali da 1 a 10, devi trovare la loro somma. Poiché ci sono pochi termini nella progressione (10), è possibile risolvere il problema frontalmente, cioè sommare tutti gli elementi in ordine.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vale la pena considerare una cosa interessante: poiché ogni termine differisce dal successivo per lo stesso valore d \u003d 1, quindi la sommatoria a coppie del primo con il decimo, del secondo con il nono e così via darà lo stesso risultato . Veramente:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Come puoi vedere, ci sono solo 5 di queste somme, cioè esattamente due volte meno del numero di elementi nella serie. Moltiplicando poi il numero delle somme (5) per il risultato di ciascuna somma (11), si arriva al risultato ottenuto nel primo esempio.

Se generalizziamo questi argomenti, possiamo scrivere la seguente espressione:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Questa espressione mostra che non è affatto necessario sommare tutti gli elementi di fila, è sufficiente conoscere il valore del primo a 1 e dell'ultimo an , e anche numero totale termini nf.

Si ritiene che Gauss abbia pensato per la prima volta a questa uguaglianza quando stava cercando una soluzione al problema posto dal suo insegnante di scuola: sommare i primi 100 numeri interi.

Somma degli elementi da m ad n: formula

La formula data nel paragrafo precedente risponde alla domanda su come trovare la somma di una progressione aritmetica (dei primi elementi), ma spesso nei compiti è necessario sommare una serie di numeri nel mezzo della progressione. Come farlo?

Il modo più semplice per rispondere a questa domanda è considerare il seguente esempio: sia necessario trovare la somma dei termini dall'm-esimo all'ennesimo. Per risolvere il problema, un dato segmento da m ad n della progressione dovrebbe essere rappresentato come una nuova serie numerica. In tale rappresentazione m-th il termine a m sarà il primo, e an sarà numerato n-(m-1). In questo caso, applicando la formula standard per la somma, si otterrà la seguente espressione:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Esempio di utilizzo delle formule

Sapendo come trovare la somma di una progressione aritmetica, vale la pena considerare un semplice esempio di utilizzo delle formule di cui sopra.

Di seguito è riportato sequenza numerica, dovresti trovare la somma dei suoi membri, partendo dal 5 e finendo con il 12:

I numeri indicati indicano che la differenza d è uguale a 3. Usando l'espressione per l'ennesimo elemento, puoi trovare i valori del 5° e 12° membro della progressione. Si scopre:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Conoscendo i valori dei numeri agli estremi della progressione algebrica in esame, e conoscendo anche quali numeri della serie occupano, si può utilizzare la formula per la somma ottenuta nel paragrafo precedente. Ottenere:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vale la pena notare che questo valore potrebbe essere ottenuto in modo diverso: prima trova la somma dei primi 12 elementi utilizzando la formula standard, quindi calcola la somma dei primi 4 elementi utilizzando la stessa formula, quindi sottrai il secondo dalla prima somma .