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Trova l'area di una figura piana. Integrale definito

Passiamo ora alla considerazione delle applicazioni del calcolo integrale. In questa lezione analizzeremo un compito tipico e più comune. calcolo dell'area di una figura piatta usando un integrale definito. Infine, tutti coloro che cercano un significato nella matematica superiore, possano trovarlo. Non si sa mai. Nella vita reale, dovrai approssimare un cottage estivo con funzioni elementari e trovare la sua area usando un certo integrale.

Per padroneggiare con successo il materiale, devi:

1) Comprendere l'integrale indefinito almeno a livello intermedio. Pertanto, i manichini dovrebbero prima leggere la lezione Non.

2) Saper applicare la formula di Newton-Leibniz e calcolare l'integrale definito. Forgia caldo relazioni amichevoli con integrali definiti si trovano nella pagina Integrale definito. Esempi di soluzioni. Il compito "calcolare l'area usando un integrale definito" comporta sempre la costruzione di un disegno, quindi, anche le tue conoscenze e capacità di disegno saranno una questione urgente. Come minimo bisogna essere in grado di costruire una retta, una parabola e un'iperbole.

Iniziamo con un trapezio curvilineo. Un trapezio curvilineo è una figura piatta delimitata dal grafico di una funzione si = F(X), asse BUE e linee X = UN; X = B.

L'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un certo integrale

Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico. Alla lezione Integrale definito. Esempi di soluzioni abbiamo detto che un integrale definito è un numero. E ora è il momento di dichiararne un altro fatto utile. Dal punto di vista della geometria, l'integrale definito è l'AREA. Questo è, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di qualche figura. Consideriamo l'integrale definito

Integrando

definisce una curva sul piano (può essere disegnata se lo si desidera) e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.

Esempio 1

, , , .

Questa è una tipica dichiarazione di attività. Il punto più importante della decisione è la costruzione di un disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.

Quando crei un progetto, raccomando il seguente ordine: All'inizioè meglio costruire tutte le linee (se ce ne sono) e solo Poi- parabole, iperboli, grafici di altre funzioni. La tecnica della costruzione puntuale può essere trovata in materiale di riferimento Grafici e proprietà delle funzioni elementari. Lì puoi anche trovare materiale molto utile in relazione alla nostra lezione: come costruire rapidamente una parabola.

In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.

Facciamo un disegno (si noti che l'equazione si= 0 specifica l'asse BUE):

Non schiuderemo il trapezio curvilineo, qui è ovvio quale area in questione. La soluzione continua così:

Sull'intervallo [-2; 1] grafico della funzione si = X 2 + 2 situato sopra l'asseBUE, Ecco perché:

Risposta: .

Chi ha difficoltà a calcolare l'integrale definito e ad applicare la formula di Newton-Leibniz

fare riferimento alla conferenza Integrale definito. Esempi di soluzioni. Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. IN questo caso"A occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitate circa 9, sembra essere vero. È abbastanza chiaro che se avessimo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle ovviamente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta si è rivelata negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.

Esempio 2

Calcola l'area di una figura delimitata da linee xy = 4, X = 2, X= 4 e asse BUE.

Questo è un esempio fai da te. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Cosa fare se si trova il trapezio curvilineo sotto asseBUE?

Esempio 3

Calcola l'area di una figura delimitata da linee si = ex, X= 1 e assi coordinati.

Soluzione: Facciamo un disegno:

Se un trapezio curvilineo completamente sotto l'asse BUE , allora la sua area può essere trovata dalla formula:

In questo caso:

Attenzione! I due tipi di attività non devono essere confusi:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora può essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché il meno appare nella formula appena considerata.

In pratica, il più delle volte la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa agli esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piana delimitata da linee si = 2X – X 2 , si = -X.

Soluzione: per prima cosa devi fare un disegno. Quando si costruisce un disegno in problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Trova i punti di intersezione della parabola si = 2X – X 2 e dritto si = -X. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Quindi il limite inferiore di integrazione UN= 0, limite superiore di integrazione B= 3. Spesso è più vantaggioso e veloce costruire linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione si scoprono come “da soli”. Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti a volte deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione filettata non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo un disegno:

Ripetiamo che nella costruzione puntuale i limiti dell'integrazione si scoprono il più delle volte “automaticamente”.

E ora la formula di lavoro:

Se sul segmento [ UN; B] qualche funzione continua F(X) Maggiore o uguale qualche funzione continua G(X), quindi l'area della figura corrispondente può essere trovata dalla formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura: sopra l'asse o sotto l'asse, ma importa quale grafico è SOPRA(rispetto ad un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova sopra la retta, e quindi da 2 X – X 2 deve essere sottratto - X.

Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:

La figura desiderata è limitata da una parabola si = 2X – X 2 superiore e dritto si = -X da sotto.

Sul segmento 2 X – X 2 ≥ -X. Secondo la formula corrispondente:

Risposta: .

Infatti la formula scolastica per l'area di un trapezio curvilineo nel semipiano inferiore (vedi esempio n. 3) è caso speciale formule

Dal momento che l'asse BUEè dato dall'equazione si= 0, e il grafico della funzione G(X) si trova sotto l'asse BUE, Quello

E ora un paio di esempi per una decisione indipendente

Esempio 5

Esempio 6

Trova l'area di una figura delimitata da linee

Nel corso della risoluzione dei problemi per il calcolo dell'area utilizzando un certo integrale, a volte accade un incidente divertente. Il disegno è stato eseguito correttamente, i calcoli erano corretti, ma, per disattenzione, ... trovato l'area della figura sbagliata.

Esempio 7

Disegniamo prima:

La cifra di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu.(guarda attentamente la condizione: come la cifra è limitata!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, spesso decidono di dover trovare l'area della figura che è ombreggiata in verde!

Questo esempio è utile anche in quanto in esso l'area della figura viene calcolata utilizzando due integrali definiti. Veramente:

1) Sul segmento [-1; 1] sopra l'asse BUE il grafico è dritto si = X+1;

2) Sul segmento sopra l'asse BUE si trova il grafico dell'iperbole si = (2/X).

È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:

Risposta:

Esempio 8

Calcola l'area di una figura delimitata da linee

Presentiamo le equazioni nella forma "scuola".

e fai il disegno al tratto:

Si può vedere dal disegno che il nostro limite superiore è "buono": B = 1.

Ma qual è il limite inferiore? È chiaro che questo non è un numero intero, ma cosa?

Forse, UN=(-1/3)? Ma dov'è la garanzia che il disegno sia realizzato con perfetta accuratezza, potrebbe benissimo risultare così UN=(-1/4). E se non riuscissimo a ottenere il grafico giusto?

In tali casi, è necessario dedicare più tempo e affinare analiticamente i limiti dell'integrazione.

Trova i punti di intersezione dei grafici

Per fare ciò, risolviamo l'equazione:

Quindi, UN=(-1/3).

L'ulteriore soluzione è banale. L'importante è non confondersi in sostituzioni e segni. I calcoli qui non sono i più facili. Sul segmento

, ,

secondo la formula corrispondente:

Risposta:

In conclusione della lezione, considereremo due compiti più difficili.

Esempio 9

Calcola l'area di una figura delimitata da linee

Soluzione: Disegna questa figura nel disegno.

Per il disegno punto per punto, devi sapere aspetto sinusoidi. In generale è utile conoscere i grafici di tutte le funzioni elementari, nonché alcuni valori del seno. Si trovano nella tabella dei valori funzioni trigonometriche . In alcuni casi (ad esempio, in questo caso), è consentito costruire un disegno schematico, sul quale grafici e limiti di integrazione devono essere visualizzati in linea di principio correttamente.

Non ci sono problemi con i limiti di integrazione qui, derivano direttamente dalla condizione:

- "x" cambia da zero a "pi". Prendiamo un'ulteriore decisione:

Sul segmento, il grafico della funzione si= peccato 3 X situato sopra l'asse BUE, Ecco perché:

(1) Puoi vedere come seni e coseni sono integrati nelle potenze dispari nella lezione Integrali di funzioni trigonometriche. Pizzichiamo un seno.

(2) Usiamo l'identità trigonometrica di base nella forma

(3) Cambiamo la variabile T= cos X, quindi: situato sopra l'asse , quindi:

Nota: si noti come si prende l'integrale della tangente nel cubo, qui si usa la conseguenza dell'identità trigonometrica di base

Infatti, per trovare l'area di una figura, non è necessaria tanta conoscenza dell'integrale indefinito e definito. Il compito "calcolare l'area usando un integrale definito" comporta sempre la costruzione di un disegno, quindi le tue conoscenze e abilità di disegno saranno una questione molto più rilevante. A questo proposito è utile rinfrescare la memoria dei grafici delle principali funzioni elementari, e, come minimo, riuscire a costruire una retta, e un'iperbole.

Un trapezio curvilineo è una figura piatta delimitata da un asse, linee rette e un grafico di una funzione continua su un segmento che non cambia segno su questo intervallo. Lascia che questa figura sia localizzata non meno ascissa:

Poi l'area di un trapezio curvilineo è numericamente uguale a un certo integrale. Qualsiasi integrale definito (che esiste) ha un ottimo significato geometrico.

In termini di geometria, l'integrale definito è l'AREA.

Questo è, l'integrale definito (se esiste) corrisponde geometricamente all'area di qualche figura. Ad esempio, consideriamo l'integrale definito . L'integrando definisce una curva sul piano che si trova sopra l'asse (chi lo desidera può completare il disegno), e l'integrale definito stesso è numericamente uguale all'area del corrispondente trapezio curvilineo.

Esempio 1

Questa è una tipica dichiarazione di attività. Primo e punto cruciale soluzioni - costruzione di un disegno. Inoltre, il disegno deve essere costruito GIUSTO.

In questo problema, la soluzione potrebbe essere simile a questa.
Facciamo un disegno (nota che l'equazione definisce l'asse):

Sul segmento si trova il grafico della funzione sopra l'asse, Ecco perché:

Risposta:

Dopo che l'attività è stata completata, è sempre utile guardare il disegno e capire se la risposta è reale. In questo caso, "a occhio" contiamo il numero di celle nel disegno - beh, ne verranno digitate circa 9, sembra essere vero. È abbastanza chiaro che se avessimo, diciamo, la risposta: 20 unità quadrate, allora, ovviamente, è stato commesso un errore da qualche parte: 20 celle chiaramente non rientrano nella cifra in questione, al massimo una dozzina. Se la risposta si è rivelata negativa, anche l'attività è stata risolta in modo errato.

Esempio 3

Calcola l'area della figura delimitata da linee e assi coordinati.

Soluzione: Facciamo un disegno:

Se si trova il trapezio curvilineo sotto asse(o quantomeno non superiore dato l'asse), allora la sua area può essere trovata dalla formula:

In questo caso:

Attenzione! Non confondere i due tipi di attività:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora può essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché il meno appare nella formula appena considerata.

In pratica, il più delle volte la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore, e quindi, dai problemi scolastici più semplici, si passa agli esempi più significativi.

Esempio 4

Trova l'area di una figura piatta delimitata da linee , .

Soluzione: Per prima cosa devi completare il disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Troviamo i punti di intersezione della parabola e della retta. Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico. Risolviamo l'equazione:

Quindi, il limite inferiore dell'integrazione, il limite superiore dell'integrazione.

È meglio non utilizzare questo metodo se possibile..

È molto più redditizio e veloce costruire le linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione si scoprono come “da soli”. Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti a volte deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione filettata non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali). E considereremo anche un esempio del genere.

Torniamo al nostro compito: è più razionale costruire prima una retta e solo dopo una parabola. Facciamo un disegno:

E ora la formula di lavoro: Se c'è qualche funzione continua sull'intervallo Maggiore o uguale qualche funzione continua, quindi l'area della figura, limitato al grafico di queste funzioni e rette , , si ricava dalla formula:

Qui non è più necessario pensare a dove si trova la figura - sopra l'asse o sotto l'asse e, grosso modo, importa quale grafico è SOPRA(rispetto ad un altro grafico), e quale è SOTTO.

Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da

Il completamento della soluzione potrebbe essere simile a questo:

La figura desiderata è limitata da una parabola dall'alto e da una linea retta dal basso.
Sul segmento , secondo la formula corrispondente:

Risposta:

Esempio 4

Calcola l'area della figura delimitata dalle linee , , , .

Soluzione: Facciamo prima un disegno:

La cifra di cui dobbiamo trovare l'area è ombreggiata in blu.(guarda attentamente la condizione: come la cifra è limitata!). Ma in pratica, a causa della disattenzione, spesso si verifica un "problema tecnico", che è necessario trovare l'area della figura che è ombreggiata in verde!

Questo esempio è utile anche in quanto in esso l'area della figura viene calcolata utilizzando due integrali definiti.

Veramente:

1) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico a linee rette;

2) Sul segmento sopra l'asse c'è un grafico iperbole.

È abbastanza ovvio che le aree possono (e devono) essere aggiunte, quindi:

Come inserire formule matematiche nel sito?

Se hai mai bisogno di aggiungere una o due formule matematiche a una pagina web, allora il modo più semplice per farlo è come descritto nell'articolo: le formule matematiche sono facilmente inserite nel sito sotto forma di immagini che Wolfram Alpha genera automaticamente. Oltre alla semplicità, questo metodo universale contribuirà a migliorare la visibilità del sito nei motori di ricerca. Funziona da molto tempo (e penso che funzionerà per sempre), ma è moralmente obsoleto.

Se utilizzi costantemente formule matematiche sul tuo sito, ti consiglio di utilizzare MathJax, una speciale libreria JavaScript che visualizza la notazione matematica nei browser Web utilizzando il markup MathML, LaTeX o ASCIIMathML.

Ci sono due modi per iniziare a utilizzare MathJax: (1) utilizzando un semplice codice, puoi connettere rapidamente uno script MathJax al tuo sito, che verrà caricato automaticamente da un server remoto al momento giusto (elenco dei server); (2) carica lo script MathJax da un server remoto sul tuo server e collegalo a tutte le pagine del tuo sito. Il secondo metodo è più complesso e richiede tempo e ti consentirà di velocizzare il caricamento delle pagine del tuo sito, e se il server MathJax principale diventa temporaneamente non disponibile per qualche motivo, ciò non influirà in alcun modo sul tuo sito. Nonostante questi vantaggi, ho scelto il primo metodo, in quanto è più semplice, veloce e non richiede competenze tecniche. Segui il mio esempio e in 5 minuti sarai in grado di utilizzare tutte le funzionalità di MathJax sul tuo sito web.

Puoi connettere lo script della libreria MathJax da un server remoto utilizzando due opzioni di codice prese dal sito Web principale di MathJax o dalla pagina della documentazione:

Una di queste opzioni di codice deve essere copiata e incollata nel codice della tua pagina web, preferibilmente tra i tag E o subito dopo il tag . Secondo la prima opzione, MathJax si carica più velocemente e rallenta meno la pagina. Ma la seconda opzione traccia e carica automaticamente le ultime versioni di MathJax. Se inserisci il primo codice, dovrà essere aggiornato periodicamente. Se incolli il secondo codice, le pagine si caricheranno più lentamente, ma non avrai bisogno di monitorare costantemente gli aggiornamenti di MathJax.

Il modo più semplice per connettere MathJax è in Blogger o WordPress: nel pannello di controllo del sito, aggiungi un widget progettato per inserire codice JavaScript di terze parti, copia la prima o la seconda versione del codice di caricamento sopra e posiziona il widget più vicino a l'inizio del modello (a proposito, questo non è affatto necessario, poiché lo script MathJax viene caricato in modo asincrono). È tutto. Ora impara la sintassi del markup MathML, LaTeX e ASCIIMathML e sei pronto per incorporare formule matematiche nelle tue pagine web.

Ogni frattale è costruito secondo una certa regola, che viene costantemente applicata un numero illimitato di volte. Ciascuno di questi tempi è chiamato iterazione.

L'algoritmo iterativo per la costruzione di una spugna di Menger è abbastanza semplice: il cubo originale con lato 1 è diviso da piani paralleli alle sue facce in 27 cubi uguali. Un cubo centrale e 6 cubi adiacenti ad esso lungo le facce vengono rimossi da esso. Si scopre un set composto da 20 cubi più piccoli rimanenti. Facendo lo stesso con ciascuno di questi cubi, otteniamo un set composto da 400 cubi più piccoli. Continuando questo processo all'infinito, otteniamo la spugna Menger.

Iniziamo a considerare l'effettivo processo di calcolo del doppio integrale e conosciamo il suo significato geometrico.

Il doppio integrale è numericamente uguale all'area di una figura piatta (regione di integrazione). Questo la forma più semplice doppio integrale quando la funzione di due variabili è uguale a uno: .

Consideriamo prima il problema in vista generale. Ora sarai sorpreso di quanto sia davvero semplice! Calcoliamo l'area di una figura piatta delimitata da linee. Per chiarezza assumiamo che nell'intervallo . L'area di questa figura è numericamente uguale a:

Rappresentiamo l'area nel disegno:

Scegliamo il primo modo per bypassare l'area:

Così:

E subito un trucco tecnico importante: gli integrali iterati possono essere considerati separatamente. Prima l'integrale interno, poi l'integrale esterno. Questo metodo è altamente raccomandato per i principianti nell'argomento teiere.

1) Calcolare l'integrale interno, mentre l'integrazione viene effettuata sulla variabile "y":

L'integrale indefinito qui è il più semplice, e quindi viene utilizzata la banale formula di Newton-Leibniz, con l'unica differenza che i limiti dell'integrazione non sono i numeri, ma le funzioni. Prima abbiamo sostituito il limite superiore nella "y" (funzione antiderivata), quindi il limite inferiore

2) Il risultato ottenuto nel primo paragrafo deve essere sostituito nell'integrale esterno:

Una notazione più compatta per l'intera soluzione è simile a questa:

La formula risultante - questa è esattamente la formula di lavoro per calcolare l'area di una figura piatta usando l'integrale definito "ordinario"! Vedi lezione Calcolo dell'area utilizzando un integrale definito, eccola ad ogni angolo!

Questo è, il problema del calcolo dell'area mediante un integrale doppio poco diverso dal problema di trovare l'area usando un integrale definito! In effetti, sono la stessa cosa!

Di conseguenza, non dovrebbero sorgere difficoltà! Non prenderò in considerazione molti esempi, poiché in effetti hai riscontrato ripetutamente questo problema.

Esempio 9

Soluzione: Rappresentiamo l'area nel disegno:

Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione:

Qui e sotto, non entrerò nel dettaglio di come attraversare un'area perché il primo paragrafo era molto dettagliato.

Così:

Come ho già notato, è meglio per i principianti calcolare gli integrali iterati separatamente, aderirò allo stesso metodo:

1) Innanzitutto, utilizzando la formula di Newton-Leibniz, trattiamo l'integrale interno:

2) Il risultato ottenuto al primo passaggio viene sostituito nell'integrale esterno:

Il punto 2 sta effettivamente trovando l'area di una figura piatta usando un integrale definito.

Risposta:

Ecco un compito così stupido e ingenuo.

Un esempio curioso per una soluzione indipendente:

Esempio 10

Usando il doppio integrale, calcola l'area di una figura piana delimitata dalle linee , ,

Campione Campione finalizzare la soluzione alla fine della lezione.

Negli esempi 9-10, è molto più redditizio utilizzare il primo modo per bypassare l'area, i lettori curiosi, tra l'altro, possono modificare l'ordine di bypass e calcolare le aree nel secondo modo. Se non si commette un errore, si ottengono naturalmente gli stessi valori dell'area.

Ma in alcuni casi, il secondo modo per aggirare l'area è più efficace e, in conclusione del corso per giovani nerd, diamo un'occhiata a un altro paio di esempi su questo argomento:

Esempio 11

Usando il doppio integrale, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee.

Soluzione: non vediamo l'ora di due parabole con una brezza che si trova dalla loro parte. Non c'è bisogno di sorridere, spesso si incontrano cose simili in più integrali.

Qual è il modo più semplice per fare un disegno?

Rappresentiamo la parabola come due funzioni:
- ramo superiore e - ramo inferiore.

Allo stesso modo, immagina una parabola come superiore e inferiore rami.

Successivamente, unità di tracciamento punto per punto, risultando in una figura così bizzarra:

L'area della figura viene calcolata utilizzando il doppio integrale secondo la formula:

Cosa succede se scegliamo il primo modo per aggirare l'area? Innanzitutto, quest'area dovrà essere divisa in due parti. E in secondo luogo, osserveremo questa triste immagine: . Gli integrali, ovviamente, non sono di livello supercomplesso, ma ... c'è un vecchio detto matematico: chi è amico delle radici non ha bisogno di una compensazione.

Pertanto, dall'equivoco dato nella condizione, esprimiamo le funzioni inverse:

Funzioni inverse v questo esempio hanno il vantaggio di impostare immediatamente l'intera parabola senza foglie, ghiande, rami e radici.

Secondo il secondo metodo, l'attraversamento dell'area sarà il seguente:

Così:

Come si suol dire, senti la differenza.

1) Ci occupiamo dell'integrale interno:

Sostituiamo il risultato nell'integrale esterno:

L'integrazione sulla variabile "y" non dovrebbe essere imbarazzante, se ci fosse una lettera "zyu" - sarebbe fantastico integrarla. Anche se chi ha letto il secondo paragrafo della lezione Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzione, non prova più il minimo imbarazzo con l'integrazione su "y".

Presta attenzione anche al primo passaggio: l'integranda è pari e il segmento di integrazione è simmetrico rispetto allo zero. Pertanto, il segmento può essere dimezzato e il risultato può essere raddoppiato. Questa tecnica commentato in dettaglio nella lezione Metodi efficaci calcolo di un integrale definito.

Cosa aggiungere…. Tutto!

Risposta:

Per testare la tua tecnica di integrazione, puoi provare a calcolare . La risposta dovrebbe essere esattamente la stessa.

Esempio 12

Usando il doppio integrale, calcola l'area di una figura piana delimitata da linee

Questo è un esempio fai da te. È interessante notare che se provi a utilizzare il primo modo per aggirare l'area, la figura non sarà più divisa in due, ma in tre parti! E, di conseguenza, otteniamo tre coppie di integrali iterati. A volte succede.

La master class è giunta al termine ed è ora di passare al livello di gran maestro - Come calcolare il doppio integrale? Esempi di soluzioni. Cercherò di non essere così maniacale nel secondo articolo =)

Vi auguro il successo!

Soluzioni e risposte:

Esempio 2:Soluzione: Disegna un'area sul disegno:

Scegliamo il seguente ordine di attraversamento della regione:

Così:
Passiamo alle funzioni inverse:

Così:
Risposta:

Esempio 4:Soluzione: Passiamo alle funzioni dirette:

Eseguiamo il disegno:

Cambiamo l'ordine di attraversamento dell'area:

Risposta:

UN)

Soluzione.

Il primo e più importante momento della decisione è la costruzione di un disegno.

Facciamo un disegno:

L'equazione y=0 imposta l'asse x;

- x=-2 E x=1 - dritto, parallelo all'asse UO;

- y \u003d x 2 +2 - una parabola i cui rami sono diretti verso l'alto, con un vertice nel punto (0;2).

Commento. Per costruire una parabola è sufficiente trovare i punti della sua intersezione con gli assi delle coordinate, ad es. mettendo x=0 trova l'intersezione con l'asse UO e decidendo l'appropriato equazione quadrata, trovare l'intersezione con l'asse OH .

Il vertice di una parabola può essere trovato usando le formule:

Puoi disegnare linee e punto per punto.

Sull'intervallo [-2;1] il grafico della funzione y=x 2 +2 situato sopra l'asse Bue , Ecco perché:

Risposta: S \u003d 9 unità quadrate

Cosa fare se si trova il trapezio curvilineo sotto asse OH?

B) Calcola l'area di una figura delimitata da linee y=-e x , x=1 e assi coordinati.

Soluzione.

Facciamo un disegno.

Se un trapezio curvilineo completamente sotto l'asse OH , quindi la sua area può essere trovata dalla formula:

Risposta: S=(e-1) unità mq" 1,72 unità mq

Attenzione! Non confondere i due tipi di attività:

1) Se ti viene chiesto di risolvere solo un integrale definito senza alcun significato geometrico, allora può essere negativo.

2) Se ti viene chiesto di trovare l'area di una figura usando un integrale definito, allora l'area è sempre positiva! Ecco perché il meno appare nella formula appena considerata.

In pratica, molto spesso la figura si trova sia nel semipiano superiore che in quello inferiore.

Con) Trova l'area di una figura piana delimitata da linee y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Soluzione.

Per prima cosa devi fare un disegno. In generale, quando si costruisce un disegno in problemi di area, siamo più interessati ai punti di intersezione delle linee. Trova i punti di intersezione della parabola e diretto Questo può essere fatto in due modi. Il primo modo è analitico.

Risolviamo l'equazione:

Quindi il limite inferiore di integrazione a=0 , il limite superiore di integrazione b=3 .

Costruiamo le linee date: 1. Parabola - vertice nel punto (1;1); intersezione degli assi OH - punti(0;0) e (0;2). 2. Linea retta: la bisettrice del 2° e 4° angolo coordinato. E ora Attenzione! Se sul segmento [ a; b] qualche funzione continua f(x) maggiore o uguale a una funzione continua g(x), quindi l'area della figura corrispondente può essere trovata dalla formula: .

E non importa dove si trova la figura - sopra l'asse o sotto l'asse, ma è importante quale grafico è PIÙ ALTO (rispetto a un altro grafico) e quale è SOTTO. Nell'esempio in esame è ovvio che sul segmento la parabola si trova al di sopra della retta, e quindi occorre sottrarre da

Si possono costruire linee punto per punto, mentre i limiti dell'integrazione si scoprono come "da soli". Tuttavia, il metodo analitico per trovare i limiti a volte deve ancora essere utilizzato se, ad esempio, il grafico è sufficientemente grande o la costruzione filettata non ha rivelato i limiti di integrazione (possono essere frazionari o irrazionali).