"자연 지수가 있는 정도의 속성에 대한 예" 태그가 지정된 항목. 거듭제곱 또는 지수 방정식
전원 공식방정식과 불평등을 풀 때 복잡한 표현을 줄이고 단순화하는 과정에서 사용됩니다.
숫자 씨~이다 N-숫자의 거듭제곱 ㅏ언제:
학위가 있는 작업.
1. 동일한 기준으로 각도를 곱하면 지표가 더해집니다.
오전n = m + n .
2. 동일한 기준으로 학위를 나누면 지표가 뺍니다.
3. 2개 이상의 요인의 곱의 정도는 다음 요인의 정도의 곱과 같습니다.
(abc…) n = n b n c n …
4. 분수의 정도는 피제수와 제수의 비율과 같습니다.
(a/b)n = an / bn .
5. 거듭제곱을 거듭하면 지수가 곱해집니다.
(오전) n = 오전 n .
위의 각 수식은 왼쪽에서 오른쪽으로 또는 그 반대 방향으로 정확합니다.
예를 들어. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.
루트 작업.
1. 여러 인수의 곱의 근은 다음 인수의 근의 곱과 같습니다.
2. 비율의 근은 피제수의 비율과 근의 제수와 같습니다.
3. 근을 거듭제곱할 때 근수를 다음과 같이 거듭제곱하면 됩니다.
4. 뿌리의 정도를 높이면 N한 번과 동시에 N th 거듭제곱이 근수이면 근의 값은 변경되지 않습니다.
5. 뿌리의 정도를 낮추면 N동시에 루트 N근의 값은 변하지 않습니다.
음의 지수가 있는 정도.비양수(정수) 지수가 있는 숫자의 차수는 지수가 비양수 지수의 절대값과 같은 동일한 숫자의 차수로 1을 나눈 것으로 정의됩니다.
공식 오전:n = m - n뿐만 아니라 사용할 수 있습니다 중> N, 뿐만 아니라 중< N.
예를 들어. ㅏ4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.
수식으로 오전:n = m - n~에서 공정해졌다 m=n, 당신은 0도의 존재가 필요합니다.
지수가 0인 정도.지수가 0인 0이 아닌 숫자의 거듭제곱은 1과 같습니다.
예를 들어. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.
분수 지수가 있는 정도.실수를 올리려면 ㅏ어느 정도 m/n, 당신은 루트를 추출해야합니다 N의 학위 중이 숫자의 제곱 ㅏ.
분명히 거듭제곱이 있는 숫자는 다른 수량처럼 더할 수 있습니다. , 기호와 함께 하나씩 추가하여.
따라서 a 3 과 b 2 의 합은 a 3 + b 2 입니다.
a 3 - b n 과 h 5 -d 4 의 합은 a 3 - b n + h 5 - d 4 입니다.
승산 동일한 변수의 동일한 거듭제곱더하거나 뺄 수 있습니다.
따라서 2a 2 와 3a 2 의 합은 5a 2 입니다.
우리가 두 개의 정사각형 a, 또는 세 개의 정사각형을 a, 또는 다섯 개의 정사각형을 취하는 경우에도 명백합니다.
그러나 정도 다양한 변수그리고 다양한 학위 동일한 변수, 기호에 추가하여 추가해야 합니다.
따라서 a 2와 a 3의 합은 a 2 + a 3의 합입니다.
a의 제곱과 a의 세제곱은 a의 제곱의 두 배가 아니라 a의 세제곱의 두 배임이 분명합니다.
a 3bn 과 3a 5b 6 의 합은 a 3bn + 3a 5b 6 입니다.
빼기거듭제곱은 덧셈과 같은 방식으로 수행되지만, 그에 따라 서브트라헨드의 부호가 변경되어야 합니다.
또는:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
전력 곱셈
거듭제곱이 있는 숫자는 숫자 사이에 곱셈 부호가 있거나 없이 하나씩 차례로 써서 다른 양처럼 곱할 수 있습니다.
따라서 a 3에 b 2를 곱한 결과는 a 3 b 2 또는 aaabb입니다.
또는:
x -3 ⋅ am = am x -3
3a 6y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a2b3y2 ⋅ a3b2y = a2b3y2a3b2y
의 결과 마지막 예같은 변수를 추가하여 주문할 수 있습니다.
표현식은 a 5 b 5 y 3 형식을 취합니다.
몇 개의 숫자(변수)를 거듭제곱과 비교하여 그 중 두 개를 곱하면 결과는 다음과 같은 거듭제곱의 숫자(변수)임을 알 수 있습니다. 합집합용어의 정도.
따라서 a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
여기서 5는 곱셈 결과의 거듭제곱이며 항의 거듭제곱의 합인 2 + 3과 같습니다.
따라서 a n .a m = a m+n 입니다.
n의 경우 a는 n의 거듭제곱만큼 인수로 간주됩니다.
그리고 a m 은 차수 m 의 배수만큼 인수로 취해집니다.
그래서, 밑이 같은 거듭제곱은 지수를 추가하여 곱할 수 있습니다.
따라서 a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 입니다. 그리고 x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
또는:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b2y3 · b4y = b6y4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
(x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)를 곱합니다.
답: x 4 - y 4.
(x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1)을 곱합니다.
이 규칙은 지수가 -인 숫자에도 적용됩니다. 부정적인.
1. 따라서 a -2 .a -3 = a -5 . 이것은 (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa로 쓸 수 있습니다.
2. y-n .y-m = y-n-m .
3. a -n .am = a m-n .
a + b에 a - b를 곱하면 결과는 a 2 - b 2가 됩니다.
두 숫자의 합 또는 차이를 곱한 결과는 제곱의 합 또는 차이와 같습니다.
두 수의 합과 차를 제곱하면 정사각형, 결과는 다음 숫자의 합 또는 차와 같습니다. 네번째도.
그래서, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a4 - y4)⋅(a4 + y4) = a8 - y8 .
학위의 구분
거듭제곱이 있는 숫자는 다른 숫자와 마찬가지로 약수에서 빼거나 분수 형태로 배치하여 나눌 수 있습니다.
따라서 a 3b 2 를 b 2 로 나눈 값은 a 3 입니다.
또는:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$
5를 3으로 나눈 값은 $\frac(a^5)(a^3)$와 같습니다. 그러나 이것은 2와 같습니다. 일련의 숫자에서
+4, +3, +2, +1, 0, -1, -2, -3, -4.
모든 숫자는 다른 숫자로 나눌 수 있으며 지수는 다음과 같습니다. 차이점나눌 수 있는 숫자의 지표.
밑이 같은 거듭제곱을 나눌 때는 지수를 뺍니다..
따라서 y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 입니다. 즉, $\frac(yyy)(yy) = y$입니다.
그리고 n+1:a = n+1-1 = an n . 즉, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.
또는:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3
이 규칙은 다음이 있는 숫자에도 유효합니다. 부정적인학위 값.
-5를 -3으로 나눈 결과는 -2입니다.
또한 $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 또는 $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$
이러한 연산은 대수학에서 매우 널리 사용되기 때문에 거듭제곱과 나눗셈을 아주 잘 마스터해야 합니다.
거듭제곱이 있는 숫자를 포함하는 분수로 예를 푸는 예
1. $\frac(5a^4)(3a^2)$의 지수를 줄입니다. 정답: $\frac(5a^2)(3)$.
2. $\frac(6x^6)(3x^5)$의 지수를 줄입니다. 답: $\frac(2x)(1)$ 또는 2x.
3. 지수 a 2 / a 3 및 a -3 / a -4를 줄이고 공통 분모를 가져옵니다.
a 2 .a -4는 -2 첫 번째 분자입니다.
a 3 .a -3은 a 0 = 1, 두 번째 분자입니다.
a 3 .a -4 는 공통 분자인 -1 입니다.
단순화 후: a -2 /a -1 및 1/a -1 .
4. 지수 2a 4 /5a 3 및 2 /a 4를 줄이고 공통 분모가 되게 합니다.
답: 2a 3 / 5a 7 및 5a 5 / 5a 7 또는 2a 3 / 5a 2 및 5/5a 2.
5. (a 3 + b)/b 4에 (a - b)/3을 곱합니다.
6. (a 5 + 1)/x 2에 (b 2 - 1)/(x + a)를 곱합니다.
7. b 4 /a -2 에 h -3 /x 및 n /y -3 을 곱합니다.
8. 4 /y 3 을 3 /y 2 로 나눕니다. 답변: 그렇습니다.
9. (h 3 - 1)/d 4를 (d n + 1)/h로 나눕니다.
첫 번째 수준
학위와 그 속성. 종합 가이드 (2019)
학위가 필요한 이유는 무엇입니까? 어디에서 필요합니까? 왜 그것들을 공부하는데 시간을 할애해야 합니까?
학위에 대한 모든 것을 배우기 위해, 그것이 무엇을 위한 것인지, 당신의 지식을 일상 생활이 기사를 읽으십시오.
물론 학위를 알면 더 가까워질 것입니다. 성공적인 배송 OGE 또는 USE 그리고 꿈의 대학에 입학하십시오.
가자... (가자!)
중요 사항! 수식 대신 횡설수설이 표시되면 캐시를 지우십시오. 이렇게 하려면 CTRL+F5(Windows) 또는 Cmd+R(Mac)을 누릅니다.
첫 번째 수준
거듭제곱은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 또는 나눗셈과 동일한 수학적 연산입니다.
이제 나는 인간의 언어로 모든 것을 매우 쉽게 설명할 것입니다. 간단한 예. 조심하세요. 예는 초보적이지만 중요한 사항을 설명합니다.
덧셈부터 시작합시다.
여기서는 설명할 것이 없습니다. 당신은 이미 모든 것을 알고 있습니다. 우리는 여덟 명입니다. 각각 콜라 두 병이 있습니다. 콜라 얼마? 맞습니다-16 병.
이제 곱셈.
콜라에 대한 동일한 예를 다른 방식으로 작성할 수 있습니다. . 수학자들은 교활하고 게으른 사람들입니다. 그들은 먼저 몇 가지 패턴을 발견한 다음 더 빨리 "계산"하는 방법을 제시합니다. 우리의 경우, 그들은 8명의 사람들이 같은 수의 콜라 병을 가지고 있다는 것을 알아채고 곱셈이라는 기술을 생각해 냈습니다. 보다 쉽고 빠른 것으로 간주됩니다.
따라서 더 빠르고 쉽고 오류 없이 계산하려면 다음을 기억하면 됩니다. 곱셈 구구표. 물론 모든 것을 더 천천히, 더 어렵게, 실수로 할 수 있습니다! 하지만…
다음은 구구단입니다. 반복하다.
그리고 더 예쁜 것:
그리고 게으른 수학자들이 생각해낸 또 다른 까다로운 계산 방법은 무엇입니까? 오른쪽 - 숫자를 거듭제곱.
숫자의 거듭제곱
숫자 자체를 5번 곱해야 하는 경우 수학자들은 이 숫자를 5제곱으로 올려야 한다고 말합니다. 예를 들어, . 수학자들은 2의 5제곱을 기억합니다. 그리고 그들은 마음 속에서 그러한 문제를 더 빠르고 쉽고 오류없이 해결합니다.
이렇게 하려면 다음이 필요합니다. 숫자의 거듭제곱 표에서 색상으로 강조 표시된 것을 기억하십시오.. 저를 믿으십시오. 그것은 당신의 삶을 훨씬 쉽게 만들어 줄 것입니다.
그건 그렇고, 왜 2도가 호출됩니까? 정사각형숫자, 세 번째 입방체? 무슨 뜻이에요? 매우 좋은 질문. 이제 사각형과 큐브가 모두 생깁니다.
실제 사례 #1
제곱 또는 숫자의 두 번째 거듭제곱부터 시작하겠습니다.
미터 단위로 측정되는 정사각형 풀을 상상해 보십시오. 수영장은 뒷마당에 있습니다. 덥고 정말 수영하고 싶어요. 하지만 ... 바닥이없는 수영장! 수영장 바닥을 타일로 덮을 필요가 있습니다. 얼마나 많은 타일이 필요합니까? 이것을 결정하기 위해서는 수영장 바닥의 면적을 알아야 합니다.
수영장 바닥이 미터 단위로 큐브로 구성되어 있음을 손가락으로 찌르면 간단히 셀 수 있습니다. 타일이 미터 단위이면 조각이 필요합니다. 쉽네요... 근데 이런 타일 어디서 보셨어요? 타일은 오히려 cm x cm이고 "손가락으로 세는 것"으로 괴로워 할 것입니다. 그런 다음 곱해야합니다. 따라서 수영장 바닥의 한쪽에는 타일(조각)을, 다른 쪽에도 타일을 맞춥니다. 를 곱하면 타일()을 얻습니다.
수영장 바닥의 면적을 결정하기 위해 동일한 숫자 자체를 곱한 것을 알고 계셨습니까? 무슨 뜻이에요? 같은 숫자가 곱해지기 때문에 지수화 기법을 사용할 수 있습니다. (물론 숫자가 두 개인 경우에도 곱하거나 거듭제곱해야 합니다. 하지만 숫자가 많으면 거듭제곱이 훨씬 쉽고 계산 오류도 적습니다. . 시험의 경우 이것은 매우 중요합니다).
따라서 30의 2승은 ()이 됩니다. 또는 30제곱이 될 것이라고 말할 수 있습니다. 즉, 숫자의 두 번째 거듭제곱은 항상 제곱으로 나타낼 수 있습니다. 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 정사각형이 보이면 항상 어떤 숫자의 2제곱입니다. 사각형은 숫자의 두 번째 거듭제곱의 이미지입니다.
실제 사례 #2
여기에 당신을위한 작업이 있습니다. 숫자의 제곱을 사용하여 체스 판에 몇 개의 사각형이 있는지 계산하십시오 ... 셀의 한쪽과 다른쪽에도 있습니다. 숫자를 세려면 8에 8을 곱해야 합니다. 또는 ... 체스판이 한 변이 있는 사각형인 경우 8을 제곱할 수 있습니다. 세포를 얻으십시오. () 그래서?
실제 사례 #3
이제 큐브 또는 숫자의 3제곱입니다. 같은 풀. 하지만 이제 이 웅덩이에 얼마나 많은 물을 부어야 하는지 알아내야 합니다. 부피를 계산해야 합니다. (그런데 부피와 액체는 입방 미터로 측정됩니다. 예상치 못한, 맞죠?) 수영장을 그립니다. 크기가 1미터이고 깊이가 1미터인 풀을 그리고 1미터를 측정하는 큐브가 몇 미터에 들어갈지 계산해 보세요. 수영장.
손가락으로 가리키고 계산하세요! 하나, 둘, 셋, 넷… 스물 둘, 스물 셋… 길을 잃지 않았습니까? 손가락으로 계산하기 어렵습니까? 하도록 하다! 수학자에게서 예를 들어보십시오. 그들은 게으르기 때문에 수영장의 부피를 계산하려면 길이, 너비 및 높이를 서로 곱해야 한다는 것을 알아차렸습니다. 우리의 경우 풀의 부피는 큐브와 같을 것입니다 ... 더 쉽죠?
이제 수학자들이 너무 쉽게 만든다면 얼마나 게으르고 교활한지 상상해 보십시오. 모든 것을 한 행동으로 줄였습니다. 그들은 길이, 너비 및 높이가 같고 같은 숫자가 곱해 졌다는 것을 알았습니다 ... 그리고 이것은 무엇을 의미합니까? 이것은 학위를 사용할 수 있음을 의미합니다. 따라서 한 번 손가락으로 세는 작업을 한 번에 수행합니다. 큐브의 세 개는 동일합니다. 다음과 같이 작성됩니다.
남아있다 학위표를 외우다. 물론 당신이 수학자처럼 게으르고 교활하지 않다면 말이다. 열심히 일하고 실수하는 것을 좋아한다면 손가락으로 계속 셀 수 있습니다.
글쎄, 마침내 학위가 로퍼와 교활한 사람들이 문제를 해결하기 위해 발명했음을 확신시키기 위해 삶의 문제, 문제를 일으키지 않기 위해 인생의 몇 가지 예가 더 있습니다.
실제 사례 #4
백만 루블이 있습니다. 매년 초에 백만 달러당 또 다른 백만 달러를 벌게 됩니다. 즉, 매년 초에 백만 달러가 두 배가 됩니다. 몇 년 후에 얼마나 많은 돈을 갖게 될까요? 지금 앉아서 "손가락으로 세고"있다면 당신은 매우 열심히 일하는 사람이고 .. 바보입니다. 그러나 당신은 똑똑하기 때문에 몇 초 안에 답을 줄 것입니다! 그래서 첫해에-두 번 두 번 ... 두 번째 해에-무슨 일이 있었는지, 두 번 더, 세 번째 해에 ... 그만! 숫자 자체가 한 번 곱해지는 것을 확인했습니다. 따라서 2의 5제곱은 백만입니다! 이제 경쟁이 있고 더 빨리 계산하는 사람이이 수백만 달러를 얻을 것이라고 상상해보십시오 ... 숫자의 정도를 기억할 가치가 있습니까? 어떻게 생각하십니까?
실제 사례 #5
당신은 백만이 있습니다. 매년 초에 당신은 100만 달러당 2달러를 더 벌게 됩니다. 대단하죠? 백만 달러마다 세 배가 됩니다. 1년에 얼마의 돈을 갖게 될까요? 세어 봅시다. 첫해-곱한 다음 다른 결과를 ... 이미 모든 것을 이해했기 때문에 이미 지루합니다. 3은 자체적으로 곱해집니다. 따라서 네 번째 힘은 백만입니다. 3의 4제곱이 or라는 것을 기억하면 됩니다.
이제 숫자를 거듭제곱하면 인생이 훨씬 쉬워진다는 것을 알게 되었습니다. 학위로 무엇을 할 수 있고 학위에 대해 알아야 할 사항에 대해 자세히 살펴보겠습니다.
용어 및 개념 ... 혼동하지 않도록
먼저 개념을 정의합시다. 어떻게 생각하나요, 지수는 무엇인가? 그것은 매우 간단합니다. 이것은 숫자의 거듭 제곱의 "최상위"숫자입니다. 과학적이지 않지만 명확하고 기억하기 쉬운 ...
음, 동시에, 뭐 그러한 정도의 기초? 밑면에 있는 숫자는 더 간단합니다.
다음은 확인을 위한 사진입니다.
글쎄요 일반적인 견해일반화하고 더 잘 기억하기 위해 ... 밑이 ""이고 지수가 ""인 학위는 "정도"로 읽으며 다음과 같이 작성됩니다.
숫자의 거듭제곱 자연 지표
지수는 자연수이기 때문에 이미 짐작하셨을 것입니다. 응 근데 뭐야 자연수? 초등학교! 자연수는 항목을 나열할 때 계산에 사용되는 숫자입니다. 1, 2, 3 ... 항목을 셀 때 "마이너스 5", "마이너스 6", "마이너스 7"이라고 말하지 않습니다. 우리는 "1/3" 또는 "0.5/10"도 말하지 않습니다. 이들은 자연수가 아닙니다. 이 숫자가 무엇이라고 생각하십니까?
"마이너스 5", "마이너스 6", "마이너스 7"과 같은 숫자는 다음을 나타냅니다. 정수.일반적으로 정수는 자연수, 자연수와 반대되는 수(즉, 빼기 부호를 붙인 수), 수를 모두 포함한다. 0은 이해하기 쉽습니다. 이것은 아무것도 없을 때입니다. 그리고 음수("마이너스")는 무엇을 의미합니까? 그러나 그들은 주로 부채를 나타 내기 위해 발명되었습니다. 전화기에 루블 잔액이 있으면 교환 원에게 루블을 빚지고 있음을 의미합니다.
모든 분수는 유리수입니다. 그들은 어떻게 생겼습니까? 매우 간단합니다. 수천 년 전, 우리 조상들은 길이, 무게, 면적 등을 측정할 수 있는 자연수가 충분하지 않다는 것을 발견했습니다. 그리고 그들은 생각해 냈습니다. 유리수… 흥미롭지 않나요?
무리수도 있습니다. 이 숫자는 무엇입니까? 요컨대 무한 소수점입니다. 예를 들어 원의 둘레를 지름으로 나누면 무리수가 됩니다.
요약:
지수가 자연수(즉, 정수와 양수)인 정도의 개념을 정의해 봅시다.
- 모든 수의 1승은 그 자체와 같습니다.
- 숫자를 제곱하는 것은 그 자체로 곱하는 것입니다.
- 숫자를 세제곱하는 것은 자신을 세 번 곱하는 것입니다.
정의.숫자를 자연 거듭제곱으로 올리는 것은 숫자 자체를 곱하는 것입니다.
.
학위 속성
이러한 속성은 어디에서 왔습니까? 지금 보여드리겠습니다.
무엇인지 보자 그리고 ?
우선권:
승수는 총 몇 개입니까?
매우 간단합니다. 요인에 요인을 더하면 그 결과가 요인입니다.
그러나 정의상 이것은 지수가 있는 숫자의 차수, 즉 , 증명해야 하는 것입니다.
예: 표현을 단순화합니다.
해결책:
예:표현을 단순화하십시오.
해결책:우리 규칙에서 반드시같은 이유여야 합니다!
따라서 우리는 도를 기준과 결합하지만 별도의 요소로 남아 있습니다.
힘의 제품만을 위해!
어떤 경우에도 그렇게 쓰면 안 됩니다.
2. 즉 -숫자의 거듭제곱
이전 속성과 마찬가지로 정도의 정의를 살펴보겠습니다.
표현에 한 번 곱해집니다. 즉, 정의에 따르면 이것은 숫자의 제곱입니다.
실제로 이것은 "지표 브라켓팅"이라고 할 수 있습니다. 그러나 당신은 이것을 총체적으로 할 수 없습니다:
약식 곱셈의 공식을 기억해 봅시다. 몇 번이나 쓰고 싶었습니까?
그러나 그것은 사실이 아닙니다.
음수 기준의 학위
지금까지 우리는 지수가 무엇이어야 하는지에 대해서만 논의했습니다.
그러나 무엇을 근거로 삼아야 합니까?
에서 도 자연 지표기초가 될 수 있습니다 어떤 숫자. 실제로 우리는 양수이든 음수이든 짝수이든 어떤 수라도 서로 곱할 수 있습니다.
어떤 부호(" " 또는 "")가 양수와 음수의 차수를 가질지 생각해 봅시다.
예를 들어, 숫자가 양수입니까, 음수입니까? ㅏ? ? 첫 번째로 모든 것이 명확합니다. 우리가 얼마나 많은 양수를 서로 곱하든 결과는 양수입니다.
그러나 부정적인 것은 조금 더 흥미 롭습니다. 결국, 우리는 6학년의 간단한 규칙을 기억합니다. "마이너스 곱하기 마이너스는 플러스를 줍니다." 즉, 또는. 하지만 곱하면 됩니다.
다음 표현이 어떤 부호를 가질지 스스로 결정하십시오.
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
당신은 관리 했습니까?
답은 다음과 같습니다. 처음 네 가지 예에서 모든 것이 명확하기를 바랍니다. 단순히 밑과 지수를 보고 적절한 규칙을 적용합니다.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
예 5)에서 모든 것이 보이는 것만 큼 무섭지 않습니다. 기본이 무엇인지는 중요하지 않습니다. 정도는 짝수이므로 결과는 항상 긍정적입니다.
음, 밑이 0인 경우를 제외하고요. 베이스가 같지 않죠? 분명히 아닙니다, 이후(때문에).
예제 6)은 더 이상 그렇게 간단하지 않습니다!
6개의 연습 예
솔루션 6 예제 분석
8도에 주의를 기울이지 않으면 여기서 무엇을 볼 수 있습니까? 7학년 프로그램을 살펴보겠습니다. 기억나? 이것은 약식 곱셈 공식, 즉 제곱의 차이입니다! 우리는 다음을 얻습니다.
분모를주의 깊게 살펴 봅니다. 분자 인수 중 하나처럼 보이지만 무엇이 잘못되었습니까? 잘못된 용어 순서. 교체된 경우 규칙이 적용될 수 있습니다.
하지만 어떻게 해야 할까요? 그것은 매우 쉽다는 것이 밝혀졌습니다. 분모의 짝수 정도가 여기에서 우리를 돕습니다.
용어는 마술처럼 장소를 변경했습니다. 이 "현상"은 모든 표현에 균등하게 적용됩니다. 괄호 안의 기호를 자유롭게 변경할 수 있습니다.
그러나 다음 사항을 기억하는 것이 중요합니다. 모든 기호가 동시에 변경!
다시 예제로 돌아가 보겠습니다.
그리고 다시 공식:
전체우리는 자연수, 그 반대 (즉, ""기호로 취함) 및 숫자의 이름을 지정합니다.
양의 정수, 자연과 다르지 않으며 모든 것이 이전 섹션과 똑같이 보입니다.
이제 새로운 사례를 살펴보겠습니다. 다음과 같은 표시기로 시작하겠습니다.
0의 거듭제곱은 1과 같습니다.:
언제나 그렇듯이 우리는 스스로에게 묻습니다. 이것이 왜 그렇습니까?
기반이 있는 일부 전력을 고려하십시오. 예를 들어 다음을 곱합니다.
그래서, 우리는 숫자를 곱했고, 그것이 -와 같은 것을 얻었습니다. 아무 것도 변하지 않도록 곱해야 하는 숫자는 무엇입니까? 맞습니다. 수단.
임의의 숫자로 동일한 작업을 수행할 수 있습니다.
규칙을 반복해 보겠습니다.
0승의 모든 숫자는 1과 같습니다.
그러나 많은 규칙에는 예외가 있습니다. 그리고 여기에도 있습니다. 이것은 숫자입니다 (기본).
한편으로는 어떤 정도와 같아야합니다. 0을 아무리 곱해도 여전히 0이됩니다. 이것은 분명합니다. 그러나 다른 한편으로, 0도까지의 모든 숫자와 마찬가지로 반드시 같아야 합니다. 그래서 이것의 진실은 무엇입니까? 수학자들은 개입하지 않기로 결정했고 0을 0승으로 올리는 것을 거부했습니다. 즉, 이제 우리는 0으로 나눌 수 있을 뿐만 아니라 0승까지 올릴 수도 있습니다.
더 가자. 자연수와 숫자 외에도 정수에는 음수가 포함됩니다. 음의 정도가 무엇인지 이해하기 위해 지난번과 동일하게 해봅시다. 정상적인 숫자에 음의 정도를 곱합니다.
여기에서 이미 원하는 것을 쉽게 표현할 수 있습니다.
이제 결과 규칙을 임의의 정도로 확장합니다.
따라서 규칙을 공식화합시다.
음의 거듭제곱에 대한 숫자는 양의 거듭제곱에 대한 같은 숫자의 역수입니다. 하지만 동시에 base는 null일 수 없습니다.(나누기가 불가능하기 때문에).
요약하자면:
I. 대소문자에 대한 표현이 정의되어 있지 않습니다. 그렇다면.
II. 영승의 모든 숫자는 1과 같습니다. .
III. 0의 음승이 아닌 숫자는 같은 숫자의 양의 거듭제곱의 역수입니다: .
독립 솔루션을 위한 작업:
평소와 같이 독립 솔루션의 예는 다음과 같습니다.
독립 솔루션 작업 분석:
숫자가 무섭다는 건 알아요. 하지만 시험에서는 무엇이든 준비해야 해요! 이 예제를 풀거나 해결할 수 없는 경우 솔루션을 분석하면 시험에서 쉽게 처리하는 방법을 배울 수 있습니다!
지수로서 "적합한" 숫자의 범위를 계속 확장해 봅시다.
이제 고려 유리수.합리적인 숫자는 무엇입니까?
대답: 분수로 나타낼 수 있는 모든 것, 여기서 및 는 정수입니다.
무엇인지 이해하려면 "분수 정도"분수를 생각해 봅시다:
방정식의 양변을 거듭제곱해 보겠습니다.
이제 규칙을 기억하십시오 "도에서 정도":
어떤 숫자를 거듭제곱해야 합니까?
이 공식은 1도 근의 정의입니다.
상기시켜 드리겠습니다. 숫자()의 제곱근은 제곱했을 때 같은 숫자입니다.
즉, 차수의 근은 지수화의 역연산입니다: .
그것이 밝혀졌습니다. 분명히 이것은 특별한 경우확장 가능: .
이제 분자를 추가하십시오. 무엇입니까? 답은 power-to-power 규칙으로 쉽게 얻을 수 있습니다.
그러나 밑이 어떤 숫자라도 될 수 있습니까? 결국 모든 숫자에서 근을 추출할 수는 없습니다.
없음!
규칙을 기억하세요. 짝수로 거듭제곱한 숫자는 양수입니다. 즉, 음수에서 짝수의 근을 추출하는 것은 불가능합니다!
그리고 이것은 그러한 숫자를 분모가 짝수 인 분수 거듭 제곱으로 올릴 수 없음을 의미합니다. 즉, 표현이 의미가 없습니다.
표현은 어떻습니까?
그런데 여기서 문제가 발생합니다.
숫자는 예를 들어 또는 등의 다른 축소된 분수로 나타낼 수 있습니다.
그리고 그것은 존재하지만 존재하지 않는다는 것이 밝혀졌습니다. 이것은 같은 번호의 두 개의 다른 레코드 일뿐입니다.
또는 다른 예: 한 번, 그런 다음 적어 둘 수 있습니다. 그러나 지표를 다른 방식으로 작성하자마자 다시 문제가 발생합니다. 즉, 완전히 다른 결과를 얻었습니다!
이러한 역설을 피하려면 다음을 고려하십시오. 분수 지수가 있는 양의 기본 지수만.
그래서 만약:
- - 자연수;
- 정수입니다.
예:
유리수 지수가 있는 거듭제곱은 근이 있는 식을 변환하는 데 매우 유용합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
5가지 실습 예시
학습을 위한 5가지 예시 분석
글쎄, 지금 - 가장 어렵습니다. 이제 우리는 분석 할 것입니다 무리수 지수가 있는 정도.
여기서 차수의 모든 규칙과 속성은
실제로, 정의에 따르면 무리수는 분수로 나타낼 수 없는 숫자입니다. 여기서 와 는 정수입니다(즉, 무리수는 유리수를 제외한 모든 실수입니다).
자연스럽고 정수이며 합리적인 지표로 학위를 공부할 때마다 우리는 더 친숙한 용어로 특정 "이미지", "유추"또는 설명을 구성했습니다.
예를 들어, 자연 지수는 자신을 여러 번 곱한 숫자입니다.
...제로 파워-이것은 그대로 한 번 곱한 숫자입니다. 즉, 아직 곱하기 시작하지 않았으므로 숫자 자체가 아직 나타나지 않았으므로 결과는 특정 "숫자 공백"입니다. , 즉 숫자;
...음의 정수 지수-마치 어떤 "역 과정"이 일어난 것 같습니다. 즉, 숫자 자체가 곱해지지 않고 나뉩니다.
그건 그렇고, 과학은 종종 복잡한 지수, 즉 지수가 실수가 아닌 정도를 사용합니다.
그러나 학교에서는 그런 어려움에 대해 생각하지 않고 연구소에서 이러한 새로운 개념을 이해할 수 있는 기회를 갖게 될 것입니다.
당신이 갈 것이라고 확신하는 곳! (이러한 예제를 해결하는 방법을 배운다면 :))
예를 들어:
스스로 결정하십시오.
솔루션 분석:
1. 학위를 어느 정도 올리기 위한 이미 일반적인 규칙부터 시작하겠습니다.
이제 점수를 보세요. 그는 당신에게 무엇인가 생각나게 합니까? 제곱 차이의 약식 곱셈 공식을 기억합니다.
이 경우,
다음과 같은 사실이 밝혀졌습니다.
답변: .
2. 지수의 분수를 동일한 형식으로 가져옵니다. 둘 다 십진수이거나 둘 다 보통입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
답: 16
3. 특별한 것은 없으며 일반적인 학위 속성을 적용합니다.
고급 레벨
학위의 정의
정도는 다음 형식의 표현입니다.
- — 학위의 기초;
- - 지수.
자연 지수가 있는 차수(n = 1, 2, 3,...)
숫자를 자연 거듭제곱 n으로 올리는 것은 숫자 자체에 곱하기를 의미합니다.
지수가 정수인 거듭제곱(0, ±1, ±2,...)
지수가 양의 정수숫자:
발기 제로 파워로:
이 표현은 부정확합니다. 왜냐하면 한편으로는 어느 정도 this이고, 다른 한편으로는 1차까지의 모든 숫자가 this이기 때문입니다.
지수가 정수 음수숫자:
(나누기가 불가능하기 때문에).
null에 대해 한 번 더: 표현식이 케이스에 정의되어 있지 않습니다. 그렇다면.
예:
유리수 지수가 있는 차수
- - 자연수;
- 정수입니다.
예:
학위 속성
문제를 더 쉽게 해결할 수 있도록 이해해 봅시다. 이러한 속성은 어디에서 왔습니까? 그들을 증명합시다.
보자 : 그리고 무엇입니까?
우선권:
따라서 이 식의 오른쪽에서 다음 제품을 얻습니다.
그러나 정의상 이것은 지수가 있는 숫자의 거듭제곱입니다. 즉:
Q.E.D.
예 : 표현을 단순화합니다.
해결책 : .
예 : 표현을 단순화합니다.
해결책 : 우리 규칙에서 반드시같은 근거가 있어야 합니다. 따라서 우리는 도를 기준과 결합하지만 별도의 요소로 남아 있습니다.
또 다른 중요한 참고 사항: 이 규칙은 - 힘의 제품에만!
어떤 경우에도 그렇게 쓰면 안 됩니다.
이전 속성과 마찬가지로 정도의 정의를 살펴보겠습니다.
다음과 같이 재정렬합시다.
표현에 한 번 곱해집니다. 즉, 정의에 따르면 이것은 숫자의 -번째 거듭제곱입니다.
실제로 이것은 "지표 브라켓팅"이라고 할 수 있습니다. 그러나 당신은 이것을 총체적으로 할 수 없습니다:!
약식 곱셈의 공식을 기억해 봅시다. 몇 번이나 쓰고 싶었습니까? 그러나 그것은 사실이 아닙니다.
음수 기반의 전원.
지금까지 우리는 무엇이 되어야 하는지에 대해서만 논의했습니다. 색인도. 그러나 무엇을 근거로 삼아야 합니까? 에서 도 자연스러운 지시자 기초가 될 수 있습니다 어떤 숫자 .
실제로 우리는 양수이든 음수이든 짝수이든 어떤 수라도 서로 곱할 수 있습니다. 어떤 부호(" " 또는 "")가 양수와 음수의 차수를 가질지 생각해 봅시다.
예를 들어, 숫자가 양수입니까, 음수입니까? ㅏ? ?
첫 번째로 모든 것이 명확합니다. 우리가 얼마나 많은 양수를 서로 곱하든 결과는 양수입니다.
그러나 부정적인 것은 조금 더 흥미 롭습니다. 결국, 우리는 6학년의 간단한 규칙을 기억합니다. "마이너스 곱하기 마이너스는 플러스를 줍니다." 즉, 또는. 그러나 ()를 곱하면 -가 됩니다.
그리고 무한정: 각 후속 곱셈에서 부호가 변경됩니다. 다음과 같은 간단한 규칙을 공식화할 수 있습니다.
- 심지어정도, - 숫자 긍정적인.
- 음수 증가 이상한정도, - 숫자 부정적인.
- 정수거듭제곱은 양수입니다.
- 0의 모든 거듭제곱은 0과 같습니다.
다음 표현이 어떤 부호를 가질지 스스로 결정하십시오.
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
당신은 관리 했습니까? 답은 다음과 같습니다.
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
처음 네 가지 예에서 모든 것이 명확하기를 바랍니다. 단순히 밑과 지수를 보고 적절한 규칙을 적용합니다.
예 5)에서 모든 것이 보이는 것만 큼 무섭지 않습니다. 기본이 무엇인지는 중요하지 않습니다. 정도는 짝수이므로 결과는 항상 긍정적입니다. 음, 밑이 0인 경우를 제외하고요. 베이스가 같지 않죠? 분명히 아닙니다, 이후(때문에).
예 6)은 더 이상 그렇게 단순하지 않습니다. 여기에서 어느 것이 더 적은지 알아내야 합니다: 또는? 이것을 기억한다면 밑이 0보다 작다는 것이 분명해집니다. 즉, 규칙 2를 적용합니다. 결과는 음수입니다.
그리고 다시 학위의 정의를 사용합니다.
모든 것이 평소와 같습니다. 학위의 정의를 작성하고 서로 나누고 쌍으로 나누고 다음을 얻습니다.
분해하기 전에 마지막 규칙몇 가지 예를 살펴보겠습니다.
표현식의 값을 계산합니다.
솔루션 :
8도에 주의를 기울이지 않으면 여기서 무엇을 볼 수 있습니까? 7학년 프로그램을 살펴보겠습니다. 기억나? 이것은 약식 곱셈 공식, 즉 제곱의 차이입니다!
우리는 다음을 얻습니다.
분모를주의 깊게 살펴 봅니다. 분자 인수 중 하나처럼 보이지만 무엇이 잘못되었습니까? 잘못된 용어 순서. 반대라면 규칙 3을 적용할 수 있는데 어떻게 해야 할까요? 그것은 매우 쉽다는 것이 밝혀졌습니다. 분모의 짝수 정도가 여기에서 우리를 돕습니다.
곱하면 아무것도 바뀌지 않죠? 그러나 이제 다음과 같이 보입니다.
용어는 마술처럼 장소를 변경했습니다. 이 "현상"은 모든 표현에 균등하게 적용됩니다. 괄호 안의 기호를 자유롭게 변경할 수 있습니다. 그러나 다음 사항을 기억하는 것이 중요합니다. 모든 기호가 동시에 변경됩니다!우리에게 불쾌한 마이너스 하나만 변경하는 것으로는 대체할 수 없습니다!
다시 예제로 돌아가 보겠습니다.
그리고 다시 공식:
이제 마지막 규칙:
우리는 그것을 어떻게 증명할 것입니까? 물론 평소와 같이 학위의 개념을 확장하고 단순화합시다.
자, 이제 괄호를 열어봅시다. 얼마나 많은 글자가 있을까요? 승수에 의한 시간 - 어떻게 생겼습니까? 이것은 작업의 정의에 불과합니다. 곱셈: 합계가 승수로 밝혀졌습니다. 즉, 정의에 따라 지수가 있는 숫자의 거듭제곱입니다.
예:
무리수 지수가 있는 차수
평균 수준에 대한 정도에 대한 정보 외에도 비합리적인 지표로 정도를 분석합니다. 여기서도의 모든 규칙과 속성은 합리적인 지수가 있는 정도와 정확히 동일합니다. 단, 정의에 따라 비합리적인 숫자는 분수로 나타낼 수 없는 숫자입니다. , 무리수는 유리수를 제외한 모든 실수입니다).
자연스럽고 정수이며 합리적인 지표로 학위를 공부할 때마다 우리는 더 친숙한 용어로 특정 "이미지", "유추"또는 설명을 구성했습니다. 예를 들어, 자연 지수는 자신을 여러 번 곱한 숫자입니다. 0도까지의 숫자는 그대로 한 번 곱한 숫자, 즉 아직 곱하기 시작하지 않았으므로 숫자 자체가 아직 나타나지 않았으므로 결과는 단지 특정 "숫자 준비", 즉 숫자; 정수 음수 표시기가있는 정도 - 마치 특정 "역 과정"이 발생한 것 같습니다. 즉, 숫자 자체가 곱해지지 않고 나뉩니다.
무리수 지수가 있는 차수를 상상하는 것은 극히 어렵습니다(4차원 공간을 상상하기 어려운 것처럼). 오히려 도의 개념을 숫자의 전체 공간으로 확장하기 위해 수학자들이 만든 순전히 수학적 대상입니다.
그건 그렇고, 과학은 종종 복잡한 지수, 즉 지수가 실수가 아닌 정도를 사용합니다. 그러나 학교에서는 그런 어려움에 대해 생각하지 않고 연구소에서 이러한 새로운 개념을 이해할 수 있는 기회를 갖게 될 것입니다.
그렇다면 무리수 지수를 본다면 어떻게 해야 할까요? 없애기 위해 최선을 다하고 있습니다! :)
예를 들어:
스스로 결정하십시오.
| 1) | 2) | 3) |
답변:
- 제곱의 차이 공식을 기억하십시오. 답변: .
- 우리는 분수를 같은 형식으로 가져옵니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
- 특별한 것은 없으며 일반적인 학위 속성을 적용합니다.
섹션 요약 및 기본 공식
도다음과 같은 형식의 표현식이라고 합니다.
정수 지수가 있는 차수
지수는 자연수(즉, 정수 및 양수)입니다.
유리수 지수가 있는 차수
정도, 지표는 음수 및 분수입니다.
무리수 지수가 있는 차수
지수가 무한 소수 또는 근인 지수.
학위 속성
학위의 특징.
- 음수 증가 심지어정도, - 숫자 긍정적인.
- 음수 증가 이상한정도, - 숫자 부정적인.
- 모든 거듭제곱의 양수는 양수입니다.
- 0은 모든 거듭제곱과 같습니다.
- 0의 거듭제곱의 모든 숫자는 같습니다.
이제 당신은 단어가 있습니다 ...
기사가 마음에 드십니까? 마음에 드는지 아닌지 아래 댓글로 알려주세요.
전원 속성에 대한 귀하의 경험에 대해 알려주십시오.
아마도 당신은 질문이 있습니다. 또는 제안.
의견을 작성하십시오.
그리고 시험에 행운을 빕니다!
지수는 숫자 자체를 곱하는 연산을 더 쉽게 작성하기 위해 사용됩니다. 예를 들어, 쓰는 대신 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 4 5 (\디스플레이스타일 4^(5))(이러한 전환에 대한 설명은 이 문서의 첫 번째 섹션에 나와 있습니다.) 거듭제곱을 사용하면 길거나 복잡한 식이나 방정식을 더 쉽게 작성할 수 있습니다. 또한 거듭제곱을 쉽게 더하거나 뺄 수 있어 식이나 방정식이 단순화됩니다(예: 4 2 * 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).
메모:지수 방정식을 풀어야 하는 경우(이러한 방정식에서 미지수는 지수에 있음) 읽으십시오.
단계
힘으로 간단한 문제 해결
- 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
- 4 * 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)
-
결과(이 예에서는 16)에 다음 숫자를 곱합니다.각 후속 결과는 비례하여 증가합니다. 이 예에서는 16에 4를 곱합니다. 다음과 같습니다.
- 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
- 16 * 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
- 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
- 64 * 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
- 4 5 = 256 * 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
- 256 * 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
- 최종 답을 얻을 때까지 처음 두 숫자를 다음 숫자로 곱한 결과를 계속 곱하십시오. 이렇게 하려면 처음 두 숫자를 곱한 다음 그 결과에 시퀀스의 다음 숫자를 곱합니다. 이 방법은 모든 학위에 유효합니다. 이 예에서는 다음을 얻어야 합니다. 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .
- 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
-
다음 문제를 해결하십시오.계산기로 답을 확인하십시오.
- 8 2 (\디스플레이스타일 8^(2))
- 3 4 (\디스플레이스타일 3^(4))
- 10 7 (\디스플레이스타일 10^(7))
-
계산기에서 "exp" 또는 " xn (\디스플레이스타일 x^(n))", 또는 "^".이 키를 사용하면 숫자를 거듭제곱할 수 있습니다. 지수가 큰 차수를 수동으로 계산하는 것은 사실상 불가능합니다(예: 차수 9 15 (\디스플레이스타일 9^(15))), 그러나 계산기는 이 작업에 쉽게 대처할 수 있습니다. Windows 7에서는 표준 계산기를 엔지니어링 모드로 전환할 수 있습니다. 이렇게하려면 "보기"-\u003e "엔지니어링"을 클릭하십시오. 일반 모드로 전환하려면 "보기"-\u003e "일반"을 클릭하십시오.
- 검색 엔진(Google 또는 Yandex)을 사용하여 받은 답변을 확인합니다.. 컴퓨터 키보드의 "^" 키를 사용하여 검색 엔진에 표현식을 입력하면 정답이 즉시 표시됩니다(학습을 위해 유사한 표현을 제안할 수도 있음).
덧셈, 뺄셈, 거듭제곱
-
기본이 같은 경우에만 힘을 더하거나 뺄 수 있습니다.밑과 지수가 같은 거듭제곱을 더해야 하는 경우 덧셈 연산을 곱셈 연산으로 바꿀 수 있습니다. 예를 들어, 주어진 표현 4 5 + 4 5 (\디스플레이 스타일 4^(5)+4^(5)). 학위를 기억하십시오 4 5 (\디스플레이스타일 4^(5))로 나타낼 수 있습니다 1 * 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); 따라서, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(여기서 1 +1 =2). 즉, 비슷한 정도의 수를 세고 그 정도와 이 숫자를 곱합니다. 이 예에서는 4의 5제곱을 올린 다음 결과에 2를 곱합니다. 예를 들어 더하기 연산을 곱하기 연산으로 대체할 수 있음을 기억하십시오. 3 + 3 = 2 * 3 (\displaystyle 3+3=2*3). 다음은 다른 예입니다.
- 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
- 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
- 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
- 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))
-
밑이 같은 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해집니다(밑은 변하지 않음).예를 들어, 주어진 표현 x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). 이 경우 지표를 변경하지 않고 지표를 추가하기만 하면 됩니다. 따라서, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). 다음은 이 규칙에 대한 시각적 설명입니다.
거듭제곱을 거듭제곱하면 지수가 곱해집니다.예를 들어 학위가 주어집니다. 지수가 곱해지기 때문에 (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). 이 규칙의 의미는 당신이 힘을 곱한다는 것입니다 (x 2) (\디스플레이스타일 (x^(2)))스스로 다섯 번. 이와 같이:
- (x 2) 5 (\디스플레이스타일 (x^(2))^(5))
- (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
- 밑이 같기 때문에 지수는 단순히 더합니다. (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))
-
지수가 음수인 지수는 분수로 변환해야 합니다(역승으로).상호가 무엇인지 몰라도 상관없습니다. 예를 들어, 음의 지수로 학위를 받았다면, 3 − 2 (\디스플레이스타일 3^(-2)), 분수의 분모에 이 거듭제곱을 쓰고(분자에 1을 입력) 지수를 양수로 만듭니다. 이 예에서: 1 3 2 (\디스플레이스타일 (\frac (1)(3^(2)))). 다음은 다른 예입니다.
밑이 같은 거듭제곱을 나눌 때는 지수를 뺍니다(밑은 변하지 않음).나눗셈 연산은 곱셈 연산의 반대입니다. 예를 들어, 주어진 표현 4 4 4 2 (\디스플레이스타일 (\frac (4^(4))(4^(2)))). 분자의 지수에서 분모의 지수를 뺍니다(밑은 변경하지 마십시오). 따라서, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .
- 분모의 차수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 1 4 2 (\디스플레이스타일 (\frac (1)(4^(2)))) = 4 − 2 (\디스플레이스타일 4^(-2)). 분수는 지수가 음수인 숫자(승수, 식)임을 기억하십시오.
-
다음은 전원 문제를 해결하는 방법을 배우는 데 도움이 되는 몇 가지 표현입니다.위의 표현은 이 섹션에 제시된 자료를 다룹니다. 답을 보려면 등호 뒤의 빈 공간을 강조 표시하면 됩니다.
분수 지수로 문제 풀기
-
지수가 가분수이면 그러한 지수를 두 거듭제곱으로 분해하여 문제의 해를 단순화할 수 있습니다. 이것에 대해 복잡한 것은 없습니다. 거듭제곱에 대한 규칙을 기억하십시오. 예를 들어 학위가 주어집니다. 해당 지수를 지수가 분수 지수의 분모와 같은 근으로 바꾼 다음 해당 근을 분수 지수의 분자와 같은 지수로 올립니다. 이렇게 하려면 다음을 기억하십시오. 5 3 (\디스플레이스타일 (\frac (5)(3))) = (1 3) * 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). 이 예에서:
- x 5 3 (\디스플레이스타일 x^(\frac (5)(3)))
- x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
- x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
- 일부 계산기에는 지수 계산을 위한 버튼이 있습니다(먼저 밑을 입력한 다음 버튼을 누른 다음 지수를 입력해야 함). ^ 또는 x^y로 표시됩니다.
- 모든 수는 자신의 1승과 같다는 것을 기억하십시오. 예를 들면 다음과 같습니다. 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)또한 1을 곱하거나 나눈 숫자는 그 자체와 같습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 5 * 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)그리고 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
- 차수 0 0이 존재하지 않는다는 것을 알고 있습니다(이러한 차수에는 해가 없습니다). 계산기나 컴퓨터에서 그러한 정도를 풀려고 하면 오류가 발생합니다. 그러나 0의 거듭제곱은 1과 같다는 것을 기억하십시오. 예를 들면 다음과 같습니다. 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
- 허수로 작동하는 고등 수학에서: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), 어디 i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e는 대략 2.7과 같은 상수이고; a는 임의의 상수입니다. 이 평등의 증거는 고등 수학에 관한 모든 교과서에서 찾을 수 있습니다.
분수 지수가 있는 차수(예: )는 루트 추출 작업으로 변환됩니다.이 예에서: x 1 2 (\디스플레이스타일 x^(\frac (1)(2))) = x(\디스플레이스타일(\sqrt(x))). 분수 지수의 분모에 어떤 숫자가 있는지는 중요하지 않습니다. 예를 들어, x 1 4 (\디스플레이스타일 x^(\frac (1)(4)))"x"의 네 번째 루트입니다. x 4 (\디스플레이스타일 (\sqrt[(4)](x))) .
경고
- 지수가 증가함에 따라 그 값은 크게 증가합니다. 따라서 대답이 잘못된 것 같으면 실제로는 사실로 판명될 수 있습니다. 당신은 이것을 플로팅하여 확인할 수 있습니다. 지수 함수, 예를 들어 2 x .
지수의 밑수에 지수와 동일한 횟수를 곱합니다.지수 문제를 수동으로 해결해야 하는 경우 지수를 지수의 밑이 자체적으로 곱해지는 곱셈 연산으로 다시 작성하십시오. 예를 들어, 주어진 학위 3 4 (\디스플레이스타일 3^(4)). 이 경우 차수 3의 밑은 자체적으로 4번 곱해야 합니다. 3 * 3 * 3 * 3 (\displaystyle 3*3*3*3). 다음은 다른 예입니다.
먼저 처음 두 숫자를 곱합니다.예를 들어, 4 5 (\디스플레이스타일 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). 걱정하지 마십시오. 계산 프로세스는 언뜻보기에 복잡하지 않습니다. 먼저 처음 두 개의 네 배를 곱한 다음 결과로 바꿉니다. 이와 같이:
대수학, 실제로 모든 수학의 주요 특징 중 하나는 학위입니다. 물론 21세기에는 모든 계산을 온라인 계산기로 할 수 있지만, 두뇌 발달을 위해서는 직접 해보는 것이 좋다.
이 기사에서는 이 정의와 관련된 가장 중요한 문제를 고려할 것입니다. 즉, 일반적으로 그것이 무엇인지, 주요 기능이 무엇인지, 수학에 어떤 속성이 있는지 이해할 것입니다.
계산이 어떻게 보이는지, 기본 수식이 무엇인지에 대한 예를 살펴보겠습니다. 수량의 주요 유형과 다른 기능과의 차이점을 분석합니다.
이 값을 사용하여 다양한 문제를 해결하는 방법을 이해할 것입니다. 0도, 비합리적, 음수 등으로 올리는 방법을 예를 들어 보여 드리겠습니다.
온라인 지수 계산기
숫자의 정도는 무엇입니까
"숫자의 거듭제곱"이라는 표현은 무엇을 의미합니까?
숫자 a의 차수 n은 크기 인수 a를 n번 연속으로 곱한 값입니다.
수학적으로는 다음과 같습니다.
n = a * a * a * …
예를 들어:
- 2 3 = 세 번째 단계에서 2입니다. = 2 * 2 * 2 = 8;
- 4 2 = 단계에서 4. 2 = 4 * 4 = 16;
- 5 4 = 단계에서 5. 4 = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
- 10 5 \u003d 10 in 5 단계. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
- 10 4 \u003d 4 단계에서 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
아래는 1에서 10까지의 정사각형과 큐브의 표입니다.
1에서 10까지의 도 표
다음은 자연수를 "1에서 100으로" 양의 거듭제곱으로 올린 결과입니다.
| 클로이 | 2학년 | 3학년 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 279 |
| 10 | 100 | 1000 |
학위 속성
이러한 수학적 함수의 특징은 무엇입니까? 기본 속성을 살펴보겠습니다.
과학자들은 다음을 확립했습니다. 모든 학위의 특징적인 징후:
- n * am = (a) (n+m) ;
- n: m = (a) (n-m) ;
- (a b) m =(a) (b*m) .
예를 들어 확인해 보겠습니다.
2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. 반면에 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.
유사하게: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. 그렇지 않으면 2 3-2 = 2 1 =2.
(2 3) 2 = 8 2 = 64. 다르다면? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.
보시다시피 규칙이 작동합니다.
하지만 어떻게 덧셈과 뺄셈으로? 모든 것이 간단합니다. 첫 번째 거듭제곱이 수행된 다음 덧셈과 뺄셈이 수행됩니다.
예를 살펴보겠습니다.
- 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
- 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16
그러나이 경우 (5 + 3) 3 = 8 3 = 512와 같이 괄호 안에 작업이 있으므로 먼저 추가를 계산해야합니다.
생산 방법 더 많은 컴퓨팅 어려운 경우 ? 순서는 동일합니다.
- 괄호가 있으면 괄호부터 시작해야 합니다.
- 지수화;
- 그런 다음 곱셈, 나눗셈 연산을 수행합니다.
- 더하기, 빼기 후.
모든 학위의 특징이 아닌 특정 속성이 있습니다.
- 숫자 a에서 차수 m까지의 n차 루트는 다음과 같이 작성됩니다. a m / n .
- 분수를 거듭제곱할 때: 분자와 분모 모두 이 절차를 따릅니다.
- 서로 다른 숫자의 곱을 거듭제곱할 때 표현은 이러한 숫자의 곱을 주어진 거듭제곱에 해당합니다. 즉: (a * b) n = a n * b n .
- 숫자를 음의 거듭제곱으로 올릴 때는 같은 단계에서 "+" 기호를 사용하여 1을 숫자로 나누어야 합니다.
- 분수의 분모가 음의 거듭제곱인 경우 이 표현은 분자와 분모의 양의 거듭제곱의 곱과 같습니다.
- 0 = 1의 거듭제곱 및 단계까지의 숫자입니다. 1 = 자신에게.
이러한 규칙은 다음에서 중요합니다. 개별 사례, 아래에서 더 자세히 고려할 것입니다.
음의 지수가 있는 차수
음수, 즉 지표가 음수일 때 어떻게 해야 합니까?
속성 4와 5를 기반으로 함(위의 포인트 참조) 그것은 밝혀:
A (-n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.
그 반대:
1 / A (-n) \u003d An, 1 / 2 (-3) \u003d 2 · 3 \u003d 8.
분수라면?
(A/B)(-n) = (B/A)n , (3/5) (-2) = (5/3) 2 = 25/9.
자연 지표가 있는 정도
지수는 정수와 같은 정도로 이해됩니다.
기억해야 할 사항:
0 = 1, 10 = 1; 20 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1… 등.
A 1 = A, 11 = 1; 21 = 2; 3 1 = 3… 등.
또한 (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…인 경우 결과는 "+" 기호로 표시됩니다. 음수를 홀수 거듭제곱하면 그 반대도 마찬가지입니다.
일반 속성 및 모두 특정 징후위에서 설명한 것도 특징입니다.
분수 정도
이 보기는 A m / n 체계로 작성할 수 있습니다. 다음과 같이 읽습니다: 숫자 A의 n제곱 m의 근입니다.
분수 표시기를 사용하면 축소, 부분 분해, 다른 수준으로 올리기 등 무엇이든 할 수 있습니다.
무리수 지수가 있는 차수
α는 무리수이고 А ˃ 0이라고 합니다.
이러한 지표로 학위의 본질을 이해하려면, 다양한 가능한 경우를 살펴보겠습니다.
- A \u003d 1. 결과는 1과 같습니다. 공리가 있기 때문에-1은 모든 거듭 제곱에서 1과 같습니다.
А r 1 ˂ А α ˂ А r 2 , r 1 ˂ r 2는 유리수입니다.
- 0˂А˂1.
이 경우 반대의 경우도 마찬가지입니다. 두 번째 단락과 동일한 조건에서 А r 2 ˂ А α ˂ А r 1.
예를 들어, 지수는 숫자 π입니다.합리적입니다.
r 1 - 이 경우 3과 같습니다.
r 2 - 4와 같습니다.
그런 다음 A = 1에 대해 1 π = 1입니다.
A = 2이면 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16입니다.
A = 1/2, 그러면 (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.
이러한 정도는 위에서 설명한 모든 수학적 연산 및 특정 속성을 특징으로 합니다.
결론
요약하자면 - 이러한 값은 무엇이며 그러한 기능의 장점은 무엇입니까? 물론, 계산 최소화, 알고리즘 축소, 데이터 체계화 등을 가능하게 해주기 때문에 우선 예제를 풀 때 수학자 및 프로그래머의 삶을 단순화합니다.
이 지식이 다른 곳에 유용할 수 있습니까? 모든 작업 전문 분야: 의학, 약리학, 치과, 건축, 기술, 공학, 디자인 등
