사다리꼴 if의 면적을 찾는 방법. 이등변 사다리꼴의 면적을 찾는 방법
그리고 . 이제 우리는 사다리꼴 영역을 찾는 방법에 대한 질문을 고려할 수 있습니다. 일상 생활 에서이 작업은 매우 드물게 발생하지만 때로는 예를 들어 현대 아파트 건설에 점점 더 많이 사용되는 사다리꼴 형태의 방 영역을 찾는 데 필요한 것으로 판명되었습니다. 또는 리노베이션 설계 프로젝트에서.
그네는 기하학적 도형, 4개의 교차 세그먼트로 구성되며 그 중 2개는 서로 평행하며 사다리꼴의 밑면이라고 합니다. 다른 두 부분은 사다리꼴의 측면이라고 합니다. 또한 나중에 다른 정의가 필요합니다. 이것은 사다리꼴의 중심선으로 변의 중심점과 밑면 사이의 거리와 같은 사다리꼴의 높이를 연결하는 세그먼트입니다.
사다리꼴은 삼각형과 마찬가지로 변의 길이가 같은 이등변 사다리꼴과 변 중 하나가 밑면과 직각을 이루는 직사각형 사다리꼴 형태의 특정 유형이 있습니다.
사다리꼴에는 몇 가지 흥미로운 속성이 있습니다.
- 사다리꼴의 정중선은 밑면 합의 절반이고 밑면과 평행합니다.
- 이등변 사다리꼴은 밑면과 형성하는 면과 각도가 동일합니다.
- 사다리꼴의 대각선의 중점과 대각선의 교점은 같은 직선 위에 있습니다.
- 사다리꼴의 변의 합이 밑변의 합과 같으면 그 안에 원을 새길 수 있습니다.
- 밑면 중 하나에서 사다리꼴의 변이 이루는 각도의 합이 90이면 밑면의 중간점을 연결하는 선분의 길이는 반차와 같습니다.
- 이등변 사다리꼴은 원으로 설명할 수 있습니다. 그 반대. 사다리꼴이 원에 새겨 져 있으면 이등변입니다.
- 베이스의 중간점을 통과하는 세그먼트 이등변 사다리꼴베이스에 수직이며 대칭축을 나타냅니다.
사다리꼴의 면적을 찾는 방법.
사다리꼴의 면적은 밑면의 합에 높이를 곱한 값의 절반입니다. 수식의 형태로 표현하면 다음과 같습니다.
여기서 S는 사다리꼴의 면적, a,b는 사다리꼴의 각 밑면의 길이, h는 사다리꼴의 높이입니다.
이 공식을 다음과 같이 이해하고 기억할 수 있습니다. 아래 그림과 같이 정중선을 이용한 사다리꼴은 밑변의 합의 반이 되는 길이의 직사각형으로 변환할 수 있습니다.
사다리꼴을 더 많은 것으로 분해할 수도 있습니다. 간단한 수치: 직사각형과 하나 또는 두 개의 삼각형, 더 쉬운 경우 구성 요소의 영역의 합으로 사다리꼴 영역을 찾으십시오.
하나 더 있습니다 간단한 공식면적을 계산합니다. 그것에 따르면 사다리꼴의 면적은 정중선과 사다리꼴 높이의 곱과 같으며 다음과 같이 작성됩니다. S \u003d m * h, 여기서 S는 면적, m은 길이입니다. 정중선, h는 사다리꼴의 높이입니다. 이 공식은 일상적인 문제보다 수학 문제에 더 적합합니다. 실제 상황에서는 예비 계산 없이는 중간 선의 길이를 알 수 없기 때문입니다. 그리고 밑면과 옆면의 길이만 알 수 있습니다.
이 경우 사다리꼴의 면적은 다음 공식을 사용하여 찾을 수 있습니다.
S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2-((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2
여기서 S는 면적, a,b는 밑면, c,d는 사다리꼴의 변입니다.
사다리꼴 영역을 찾는 방법에는 여러 가지가 더 있습니다. 그러나 그들은 마지막 공식만큼 불편합니다. 즉, 그것들에 연연하는 것은 의미가 없습니다. 따라서 기사의 첫 번째 공식을 사용하는 것이 좋으며 항상 정확한 결과를 얻으시기 바랍니다.
수학에서는 정사각형, 직사각형, 마름모, 평행 사변형과 같은 여러 유형의 사변형이 알려져 있습니다. 그중에는 사다리꼴이 있습니다. 볼록한 사변형의 일종으로 두면이 평행하고 다른 2면은 평행하지 않습니다. 평행한 반대쪽 면을 밑면이라고 하고 다른 두 면을 사다리꼴의 측면이라고 합니다. 측면의 중간점을 연결하는 세그먼트를 정중선이라고 합니다. 사다리꼴에는 이등변, 직사각형, 곡선 등 여러 유형이 있습니다. 각 유형의 사다리꼴에는 면적을 구하는 공식이 있습니다.
사다리꼴 지역
사다리꼴의 넓이를 구하려면 밑면의 길이와 높이를 알아야 합니다. 사다리꼴의 높이는 밑면에 수직인 세그먼트입니다. 위쪽 밑면을 a, 아래쪽 밑면을 b, 높이를 h라고 합니다. 그런 다음 공식으로 면적 S를 계산할 수 있습니다.
S = ½ * (a + b) * h
저것들. 밑면의 합에 높이를 곱한 값의 절반을 취하십시오.
높이와 정중선의 값을 알면 사다리꼴의 면적도 계산할 수 있습니다. 중간 선을 표시합시다 - m. 그 다음에
더 복잡한 문제를 해결해 봅시다. 사다리꼴의 네 변의 길이인 a, b, c, d를 알고 있습니다. 그런 다음 면적은 다음 공식으로 구합니다.
대각선의 길이와 그 사이의 각도를 알고 있으면 다음과 같이 영역을 찾습니다.
S = ½ * d1 * d2 * sinα
여기서 인덱스 1과 2가 있는 d는 대각선입니다. 이 공식에서 각도의 사인이 계산에 제공됩니다.
기본 길이 a와 b를 알고 있고 아래쪽 기본에 두 개의 각도가 있는 경우 면적은 다음과 같이 계산됩니다.
S = ½ * (b2 - a2) * (사인 α * 죄 β / 죄(α + β))
이등변 사다리꼴의 면적
이등변 사다리꼴은 특별한 경우사다리꼴. 차이점은 이러한 사다리꼴은 대칭축이 마주보는 두 변의 중간점을 통과하는 볼록 사각형이라는 것입니다. 그 측면은 동일합니다.
이등변 사다리꼴의 면적을 찾는 방법에는 여러 가지가 있습니다.
- 세 변의 길이를 통해. 이 경우 측면의 길이가 일치하므로 밑면의 길이인 c, a 및 b라는 하나의 값으로 표시됩니다.
- 위 밑면의 길이, 옆면 및 아래 밑면의 각도를 알고 있으면 면적은 다음과 같이 계산됩니다.
S = c * sin α * (a + c * cos α)
여기서 a는 상단 베이스이고 c는 측면입니다.
- 상단베이스 대신 하단베이스의 길이가 알려진 경우-b, 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.
S = c * sin α * (b - c * cos α)
- 2개의 밑면과 아래쪽 밑면의 각도를 알고 있는 경우 각도의 탄젠트를 사용하여 면적을 계산합니다.
S = ½ * (b2 - a2) * tg α
- 또한 면적은 대각선과 그 사이의 각도를 통해 계산됩니다. 이 경우 대각선의 길이는 같으므로 각 대각선은 인덱스 없이 문자 d로 표시됩니다.
S = ½ * d2 * sinα
- 측면의 길이, 정중선 및 아래쪽 밑면의 각도를 알고 사다리꼴의 면적을 계산하십시오.
측면 - c, 중간 선 - m, 모서리 - a로 설정한 다음:
S = m * c * sinα
때때로 원은 반지름이 - r인 등변 사다리꼴에 새겨질 수 있습니다.
밑변의 길이의 합이 변의 길이의 합과 같으면 모든 사다리꼴에 원을 새길 수 있다는 것이 알려져 있습니다. 그런 다음 내접원의 반지름과 아래쪽 밑면의 각도를 통해 영역을 찾습니다.
S = 4r2 / sinα
내접원의 직경 D를 통해 동일한 계산이 이루어집니다(그런데 사다리꼴의 높이와 일치합니다).
밑면과 각도를 알면 이등변 사다리꼴의 면적은 다음과 같이 계산됩니다.
S = a*b/sinα
(이 공식과 후속 공식은 내접원이 있는 사다리꼴에만 유효합니다.)
밑면과 원의 반지름을 통해 다음과 같이 영역을 찾습니다.
밑면만 알려진 경우 면적은 다음 공식에 따라 계산됩니다.
밑면과 옆선을 통해 내접원이 있는 사다리꼴의 면적과 밑면과 정중선을 통과하는 m은 다음과 같이 계산됩니다.
직사각형 사다리꼴의 면적
사다리꼴은 직사각형이라고하며 측면 중 하나가 밑면에 수직입니다. 이 경우 변의 길이는 사다리꼴의 높이와 일치합니다.
직사각형 사다리꼴은 정사각형과 삼각형입니다. 각 도형의 면적을 구한 후 결과를 합산하여 도형의 전체 면적을 구합니다.
또한 사다리꼴의 면적을 계산하는 일반 공식은 직사각형 사다리꼴의 면적을 계산하는 데 적합합니다.
- 밑면의 길이와 높이(또는 수직면)를 알고 있으면 면적은 다음 공식으로 계산됩니다.
S = (a + b) * h / 2
As h(높이)가 있는 측면이 될 수 있습니다. 그러면 공식은 다음과 같습니다.
S = (a + b) * c / 2
- 면적을 계산하는 또 다른 방법은 정중선의 길이에 높이를 곱하는 것입니다.
또는 측면 수직 변의 길이:
- 다음 계산 방법은 대각선 곱의 절반과 그 사이 각도의 사인을 통한 것입니다.
S = ½ * d1 * d2 * sinα
대각선이 수직이면 공식은 다음과 같이 단순화됩니다.
S = ½ * d1 * d2
- 계산하는 또 다른 방법은 반지름(반대쪽 두 변의 길이의 합)과 내접원의 반지름을 사용하는 것입니다.
이 공식은 염기에 유효합니다. 변의 길이를 취하면 그 중 하나는 반지름의 두 배와 같습니다. 수식은 다음과 같습니다.
S = (2r + c) * r
- 원이 사다리꼴로 새겨진 경우 면적은 같은 방식으로 계산됩니다.
여기서 m은 정중선의 길이입니다.
곡선 사다리꼴의 면적
곡선 사다리꼴은 선분 , x축 및 직선 x = a, x = b에 정의된 음이 아닌 연속 함수 y = f(x)의 그래프로 둘러싸인 평평한 도형입니다. 실제로 두 변은 서로 평행하고(밑변) 세 번째 변은 밑변에 수직이며 네 번째 변은 함수의 그래프에 해당하는 곡선입니다.
곡선 사다리꼴의 면적은 Newton-Leibniz 공식을 사용하여 적분을 통해 구합니다.
면적 계산 방법 다양한 종류부등변 사각형. 그러나 변의 속성 외에도 사다리꼴은 각도의 속성도 동일합니다. 기존의 모든 사각형과 마찬가지로 사다리꼴의 내각의 합은 360도입니다. 그리고 변에 인접한 내각의 합은 180도이다.
사다리꼴의 면적. 인사말! 이 간행물에서는 이 공식을 고려할 것입니다. 왜 그런 것이고 어떻게 이해할 수 있습니까? 이해가 있다면 배울 필요가 없습니다. 이 공식과 긴급한 사항을 보고 싶다면 즉시 페이지를 아래로 스크롤할 수 있습니다.))
이제 상세하고 순서대로.
사다리꼴은 사각형이고 이 사각형의 두 변은 평행하고 다른 두 변은 평행하지 않습니다. 평행하지 않은 것은 사다리꼴의 밑면입니다. 나머지 두 개는 측면이라고 합니다.
변이 같으면 사다리꼴을 이등변이라고합니다. 측면 중 하나가 밑면에 수직이면 이러한 사다리꼴을 직사각형이라고합니다.
고전적인 형태에서 사다리꼴은 다음과 같이 묘사됩니다. 더 큰 바닥은 각각 하단에 있고 작은 바닥은 상단에 있습니다. 그러나 아무도 그것을 묘사하는 것을 금지하지 않으며 그 반대도 마찬가지입니다. 스케치는 다음과 같습니다.
다음으로 중요한 개념입니다.
사다리꼴의 중앙선은 측면의 중간점을 연결하는 세그먼트입니다. 중간 선은 사다리꼴 밑면과 평행하며 반합과 같습니다.
이제 더 깊이 파고들어 보자. 왜 정확히?
밑면이 있는 사다리꼴 고려 a와 b그리고 가운데 선으로 엘, 그리고 몇 가지 추가 구성을 수행합니다. 밑면을 통과하는 직선을 그리고 밑면과 교차할 때까지 정중선의 끝을 통과하는 수직선을 그립니다.
*정점 및 기타 점의 문자 지정은 불필요한 지정을 피하기 위해 의도적으로 입력하지 않습니다.
보세요, 삼각형 1과 2는 삼각형의 두 번째 등호에 따라 같고 삼각형 3과 4는 같습니다. 삼각형의 평등에서 요소의 평등, 즉 다리가 따릅니다 (각각 파란색과 빨간색으로 표시됨).
이제 주목! 하단베이스에서 파란색과 빨간색 세그먼트를 정신적으로 "잘라내면"정중선과 동일한 세그먼트 (직사각형의 측면)가 생깁니다. 또한 잘라낸 파란색과 빨간색 세그먼트를 사다리꼴의 위쪽 바닥에 "접착"하면 사다리꼴의 중간 선과 같은 세그먼트 (직사각형의 측면이기도 함)도 얻게됩니다.
알았어요? 밑변의 합은 사다리꼴의 두 중앙값과 같습니다.
다른 설명 보기
다음을 수행해 보겠습니다. 사다리꼴의 아래쪽 밑면을 통과하는 직선과 점 A와 B를 통과하는 직선을 만듭니다.
우리는 삼각형 1과 2를 얻습니다. 측면과 인접 각도가 같습니다 (삼각형의 두 번째 평등 기호). 이는 결과 세그먼트(스케치에서 파란색으로 표시됨)가 사다리꼴의 위쪽 밑면과 동일함을 의미합니다.
이제 삼각형을 고려하십시오.
*이 사다리꼴의 중앙선과 삼각형의 중앙선은 일치합니다.
삼각형은 그에 평행한 밑면의 절반과 같다는 것이 알려져 있습니다. 즉,
알겠습니다. 이제 사다리꼴 영역에 대해.
사다리꼴 면적 공식:
그들은 말합니다 : 사다리꼴의 면적은 바닥과 높이의 합의 절반의 곱과 같습니다.
즉, 중간선과 높이의 곱과 같다는 것이 밝혀졌습니다.
이것이 명백하다는 것을 이미 눈치 챘을 것입니다. 기하학적으로 이것은 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 사다리꼴에서 삼각형 2와 4를 정신적으로 잘라내어 각각 삼각형 1과 3에 놓으면 다음과 같습니다.
그런 다음 사다리꼴의 면적과 동일한 면적의 직사각형을 얻습니다. 이 직사각형의 면적은 정중선과 높이의 곱과 같습니다. 즉, 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
그러나 여기서 요점은 물론 서면이 아니라 이해입니다.
기사 자료를 *pdf 형식으로 다운로드(보기)
그게 다야. 행운을 빕니다!
진심으로, 알렉산더.
섹션에는 사다리꼴에 대한 기하학(단면 면적 측정) 문제가 포함되어 있습니다. 문제에 대한 해결책을 찾지 못한 경우 포럼에 글을 작성하십시오. 코스는 확실히 업데이트됩니다.
공중 그네. 정의, 공식 및 속성
사다리꼴(다른 그리스어 τραπέζιον - "테이블", τράπεζα - "테이블, 음식"에서 유래)은 정확히 한 쌍의 반대편이 평행한 사변형입니다.사다리꼴은 마주보는 두 변이 평행한 사변형입니다.
메모. 이 경우 평행사변형은 사다리꼴의 특수한 경우입니다.
평행한 대변을 사다리꼴의 밑변이라고 하고 나머지 두 변을 변이라고 합니다.
그네는 다음과 같습니다.
- 변하기 쉬운 ;
- 이등변;
- 직사각형
.빨간색과 갈색 꽃측면이 표시되고 녹색과 파란색은 사다리꼴의 바닥입니다.
A - 이등변 (등변, 이등변) 사다리꼴
B - 직사각형 사다리꼴
C - 다목적 사다리꼴
다목적 사다리꼴은 모든 면의 길이가 다르고 밑면이 평행합니다.
변은 같고 밑변은 평행하다.
그것들은 밑면에서 평행하고, 한쪽은 밑면에 수직이고, 다른 쪽은 밑면에 기울어져 있습니다.
사다리꼴 속성
- 사다리꼴의 중앙선밑면과 평행하고 합의 절반과 같습니다.
- 대각선의 중간점을 연결하는 선분, 베이스 차이의 절반과 같으며 정중선에 있습니다. 길이
- 사다리꼴의 모든 각도의 측면과 교차하는 평행선은 각도의 측면에서 비례 세그먼트를 잘라냅니다(탈레스의 정리 참조).
- 사다리꼴 대각선의 교점, 측면의 확장과 밑면의 중간점의 교차점은 하나의 직선에 있습니다(사변형의 속성 참조).
- 기지의 삼각형꼭지점이 대각선의 교차점인 사다리꼴은 비슷합니다. 이러한 삼각형의 면적 비율은 사다리꼴 밑면 비율의 제곱과 같습니다.
- 측면의 삼각형꼭지점이 대각선의 교점인 사다리꼴은 면적이 동일합니다(면적이 동일함).
- 사다리꼴로 당신은 원을 새길 수 있습니다사다리꼴 밑변의 길이의 합이 그 변의 길이의 합과 같은 경우. 이 경우 중앙선은 변의 합을 2로 나눈 것과 같습니다(사다리꼴의 중앙선은 밑변의 합의 절반과 같기 때문입니다).
- 베이스에 평행한 세그먼트대각선의 교차점을 통과하는 것은 후자로 반으로 나뉘며 합계 2ab / (a + b) (Burakov의 공식)로 나눈 기본 제품의 두 배와 같습니다.
그네 각도
그네 각도 날카롭고 곧고 무뚝뚝하다.직각은 두 개뿐입니다.
직사각형 사다리꼴에는 두 개의 직각이 있습니다., 다른 두 개는 예리하고 무뚝뚝합니다. 다른 유형의 사다리꼴에는 다음이 있습니다. 날카로운 모서리그리고 멍청한 두 사람.
사다리꼴의 둔각은 가장 작은 각도에 속합니다.베이스의 길이에 따라, 그리고 날카로운 - 더기초.
모든 사다리꼴을 고려할 수 있습니다. 잘린 삼각형처럼, 단면선은 삼각형의 밑면과 평행합니다.
중요한. 이러한 방식으로(삼각형에 사다리꼴을 추가로 구성하여) 사다리꼴에 대한 몇 가지 문제를 해결할 수 있고 일부 정리를 증명할 수 있습니다.
사다리꼴의 변과 대각선을 찾는 방법
사다리꼴의 변과 대각선을 찾는 것은 아래 주어진 공식을 사용하여 수행됩니다.
이 수식에서는 그림과 같이 표기법이 사용됩니다.
a - 사다리꼴 밑면 중 가장 작은 것
b - 사다리꼴 밑면 중 가장 큰 것
c,d - 측면
h 1 h 2 - 대각선
사다리꼴의 대각선의 제곱의 합은 사다리꼴 밑변의 곱에 두 변의 제곱의 합을 곱한 것과 같습니다(공식 2).
공중 그네사변형이라고 한다 단 두개측면은 서로 평행합니다.
그들은 그림의 기초, 나머지는 측면이라고합니다. 평행사변형은 도형의 특별한 경우로 간주됩니다. 함수 그래프를 포함하는 곡선 사다리꼴도 있습니다. 사다리꼴 면적의 공식에는 거의 모든 요소가 포함되며 주어진 값에 따라 최상의 솔루션이 선택됩니다.
사다리꼴의 주요 역할은 높이와 정중선에 할당됩니다. 중간 선- 변의 중간점을 연결하는 선입니다. 키사다리꼴은 에서 직각으로 유지됩니다. 상단 모서리기지에.
높이를 통한 사다리꼴의 면적은 밑면 길이의 절반에 높이를 곱한 것과 같습니다.
조건에 따라 중앙선을 알면 밑면 길이의 합의 절반과 같기 때문에 이 공식이 크게 단순화됩니다.
조건에 따라 모든면의 길이가 주어지면 다음 데이터를 통해 사다리꼴 면적을 계산하는 예를 고려할 수 있습니다. 
밑변이 a = 3 cm, b = 7 cm이고 변이 c = 5 cm, d = 4 cm인 사다리꼴이 주어졌다고 가정하고 그림의 넓이를 구합니다. 
이등변 사다리꼴의 면적
별도의 경우는 이등변 또는 이등변 사다리꼴이라고도합니다.
특별한 경우도 이등변(isosceles) 사다리꼴의 넓이를 찾는 것이다. 공식 파생 다른 방법들- 대각선을 통해, 밑면에 인접한 각도와 내접원의 반지름을 통해.
대각선의 길이가 조건에 의해 지정되고 대각선 사이의 각도가 알려진 경우 다음 공식을 사용할 수 있습니다.
이등변 사다리꼴의 대각선은 서로 같다는 것을 기억하세요!
즉, 밑면, 측면 및 각도 중 하나를 알면 면적을 쉽게 계산할 수 있습니다.
곡선 사다리꼴의 면적
별도의 경우는 곡선 사다리꼴. 좌표축에 위치하며 연속 양의 함수 그래프로 제한됩니다.
기준은 X축에 있으며 두 지점으로 제한됩니다. 
적분은 곡선 사다리꼴의 면적을 계산하는 데 도움이 됩니다.
수식은 다음과 같이 작성됩니다.
곡선 사다리꼴의 면적을 계산하는 예를 고려하십시오. 수식을 사용하려면 특정 지식이 필요합니다. 명확한 적분. 먼저 정적분의 값을 분석해 보겠습니다. 
여기서 F(a)는 점 a에서 역도함수 함수 f(x)의 값이고, F(b)는 점 b에서 동일한 함수 f(x)의 값입니다. 
이제 문제를 해결해 봅시다. 그림은 곡선 사다리꼴을 보여줍니다. 기능 제한. 기능 
선택한 그림의 영역을 찾아야 합니다. 이 영역은 그래프로 경계가 지정된 곡선 사다리꼴이며 오른쪽은 직선 x = (-8)이고 왼쪽은 직선 x = (- 10) 축 OX가 아래에 있습니다.
다음 공식을 사용하여 이 그림의 면적을 계산합니다. 
문제의 조건에 따라 함수가 주어집니다. 이를 사용하여 각 지점에서 역도함수의 값을 찾을 수 있습니다.
지금
답변:주어진 곡선 사다리꼴의 면적은 4입니다.
이 값을 계산하는 데 어려운 것은 없습니다. 계산에 있어서는 최대한의 주의만이 중요합니다.
