namai › Variklis › Daugiakampių pjūvių statyba. Tiriamasis darbas tema "Daugiakampių pjūvių konstravimo metodai"

Daugiakampių pjūvių statyba. Tiriamasis darbas tema "Daugiakampių pjūvių konstravimo metodai"

Pati užduotis paprastai vyksta taip: „sukurti natūralų pjūvio figūros vaizdą“. Žinoma, nusprendėme nepalikti šio klausimo nuošalyje ir, jei įmanoma, pabandyti paaiškinti, kaip konstruojama įstriža dalis.

Norėdami paaiškinti, kaip statoma įstriža dalis, pateiksiu keletą pavyzdžių. Žinoma, pradėsiu nuo elementarių, palaipsniui didindama pavyzdžių sudėtingumą. Tikiuosi, kad išanalizavę šiuos pjūvių brėžinių pavyzdžius suprasite, kaip tai daroma, ir galėsite patys atlikti savo mokymosi užduotį.

Apsvarstykite "plytą", kurios matmenys yra 40x60x80 mm pagal savavališką pasvirusią plokštumą. Pjovimo plokštuma nupjauna jį išilgai taškų 1-2-3-4. Manau čia viskas aišku.

Pereikime prie natūralios pjūvio figūros formos kūrimo.
1. Pirmiausia nubrėžkime pjūvio ašį. Ašis turėtų būti nubrėžta lygiagrečiai pjūvio plokštumai - lygiagrečiai linijai, į kurią plokštuma projektuojama pagrindiniame vaizde - dažniausiai užduotis yra nustatyta pagrindiniame vaizde įstrižos sekcijos statyba(Toliau visada paminėsiu pagrindinį vaizdą, turėdamas omenyje, kad mokomuosiuose brėžiniuose taip būna beveik visada).
2. Ašyje atidedame sekcijos ilgį. Mano brėžinyje jis žymimas kaip L. Dydis L nustatomas pagrindiniame vaizde ir yra lygus atstumui nuo taško, kur pjūvis įeina į dalį, iki taško, kur jis išeina.
3. Iš gautų dviejų jam statmenos ašies taškų šiuose taškuose atidedame pjūvių pločius. Atkarpos plotį įėjimo į detalę taške ir išėjimo iš dalies taške galima nustatyti vaizde iš viršaus. IN Ši byla abu segmentai 1-4 ir 2-3 yra lygūs 60 mm. Kaip matote iš aukščiau esančio paveikslėlio, sekcijos kraštai yra tiesūs, todėl tiesiog sujungiame du gautus segmentus, gaudami stačiakampį 1-2-3-4. Tai yra natūralus mūsų plytų pjūvio su pasvirusia plokštuma figūros vaizdas.

Dabar apsunkinkime savo detales. Ant pagrindo klokime plytą 120x80x20 mm ir pridėkite prie figūros standiklius. Nubrėžkime pjovimo plokštumą taip, kad ji eitų per visus keturis figūros elementus (per pagrindą, plytą ir du standiklius). Žemiau esančiame paveikslėlyje galite pamatyti tris vaizdus ir tikrovišką šios dalies vaizdą.

Pabandykime sukurti natūralų šios nuožulnios dalies vaizdą. Vėl pradėkime nuo pjūvio ašies: nubrėžkite ją lygiagrečiai pjūvio plokštumai, nurodytai pagrindiniame vaizde. Ant jo atidedame sekcijos ilgį lygus A-E. Taškas A yra sekcijos įėjimo į dalį taškas, o konkrečiu atveju – atkarpos įėjimo į pagrindą taškas. Išėjimo taškas iš pagrindo yra taškas B. Atkarpos ašyje pažymėkime tašką B. Panašiai pažymime įėjimo-išėjimo taškus į kraštą, į "plytas" ir į antrą kraštą. Iš taškai A ir B, statmenai ašiai, atidedame segmentus, lygius pagrindo pločiui (kiekvienoje ašies pusėje 40, tik 80 mm). Prisijungti ekstremalūs taškai- gauname stačiakampį, kuris yra natūralus detalės pagrindo pjūvio vaizdas.

Dabar atėjo laikas sukurti sekcijos dalį, kuri yra dalies krašto dalis. Iš taškų B ir C kiekviena kryptimi atidedame 5 mm statmenis - gausime 10 mm segmentus. Prijunkite kraštutinius taškus ir gaukite šonkaulio skerspjūvį.

Iš taškų C ir D atidedame statmenas atkarpas, lygias „plytos“ pločiui – visiškai panašiai kaip pirmame šios pamokos pavyzdyje.

Atidėję statmenis iš taškų D ir E, lygius antrosios briaunos pločiui, ir sujungę kraštutinius taškus, gauname natūralų jos pjūvio vaizdą.

Belieka ištrinti trumpiklius tarp atskirų gautos sekcijos elementų ir pritaikyti perėjimą. Turėtumėte gauti kažką panašaus:

Jei pagal nurodytą skyrių padalinsime figūrą, pamatysime tokį vaizdą:

Tikiuosi, kad jūsų negąsdina varginančios algoritmo aprašymo pastraipos. Jei perskaitėte visa tai, kas išdėstyta pirmiau, bet vis tiek iki galo nesuprantate, kaip nubraižyti skerspjūvį, primygtinai patariu paimti į rankas popieriaus lapą ir pieštuką ir po manęs pabandyti pakartoti visus veiksmus – tai beveik 100% padės išmokti medžiagą.

Kartą pažadėjau šio straipsnio tęsinį. Galiausiai esu pasiruošęs pristatyti jums žingsnis po žingsnio įstrižinės dalies konstravimą, artimesnį namų darbų lygiui. Be to, įstrižinė dalis yra apibrėžta trečiajame vaizde (įstrižoji dalis apibrėžta kairiajame rodinyje)

arba užsirašykite mūsų telefono numerį ir papasakokite apie mus draugams – tikriausiai kažkas ieško, kaip padaryti piešinius

arba sukurkite pastabą apie mūsų pamokas savo puslapyje ar tinklaraštyje – ir kažkas kitas galės įvaldyti piešinį.

Taip, viskas gerai, bet norėčiau pamatyti, kaip tas pats daroma sudėtingesnėje dalyje, pavyzdžiui, su nuožulnomis ir kūgio formos skyle.

Ačiū. Bet ar ant pjūvių neišbristi standikliai?
Būtent. Tai jie neišsirita. Nes jie yra Bendrosios taisyklės darant pjūvius. Tačiau dažniausiai jie išbringinami darant pjūvius aksonometrinėse projekcijose – izometrijoje, dimetrijoje ir kt. Atliekant pasvirusias atkarpas, su standikliu susijusi sritis taip pat užtamsinama.

Ačiū, labai prieinama. Ar galite pasakyti, ar įstrižą pjūvį galima padaryti viršutiniame, ar kairiajame? Jei taip, norėčiau pamatyti paprasčiausią pavyzdį. Prašau.

Galima daryti tokius pjūvius. Bet, deja, šiuo metu neturiu pavyzdžio. Ir yra dar vienas įdomus taškas: viena vertus, nieko naujo ten nėra, bet iš kitos pusės, praktiškai tokias atkarpas nubraižyti tikrai sunkiau. Kažkodėl viskas ima maištis galvoje ir daugumai mokinių kyla sunkumų. Bet nepasiduok!

Taip, viskas gerai, bet aš norėčiau pamatyti, kaip tas pats daroma, bet su skylutėmis (kieriais ir ne kiaurai), kitaip jos niekada nevirsta elipse mano galvoje

Padėkite man išspręsti sudėtingą problemą

Gaila, kad čia parašei. Parašytume paštu – gal spėtume laiko viską aptarti.

Tu gerai paaiškinai. Ką daryti, jei viena iš dalies kraštinių yra pusapvalė? Be to, dalyje yra skylių.

Ilja, naudokite pamoką iš aprašomosios geometrijos skyriaus „Cilindro pjūvis pasvirusioje plokštumoje“. Su juo galite sugalvoti, ką daryti su skylutėmis (iš tikrųjų jos taip pat yra cilindrai) ir su puslankiu šonu.

Dėkoju autoriui už straipsnį!Trumpai ir suprantamai.Prieš maždaug 20 metų pati graužiau mokslo granitą, dabar padedu sūnui. Daug ką pamiršau, bet jūsų straipsnis grąžino esminį temos supratimą. Aš nagrinėsiu pasvirusią cilindro dalį)

Pridėkite savo komentarą.

Planimetrijos aksiomos:

Įvairiuose vadovėliuose tiesių ir plokštumų savybės gali būti pateikiamos įvairiai – aksiomos, pasekmės iš jos, teoremos, lemos ir kt. Apsvarstykite vadovėlį Pogorelovas A.V.

Tiesi linija padalija plokštumą į dvi pusiau plokštumas.

Nuo bet kurios pusės linijos iki tam tikros pusės plokštumos galima nustatyti kampą su duotuoju laipsnio matas, mažiau nei 180 0 , ir tik vienas.

Kad ir koks būtų trikampis, tam tikroje vietoje yra lygus trikampis nurodytos pusės linijos atžvilgiu.

Per tašką, esantį ne tam tikroje tiesėje, plokštumoje, lygiagrečioje nurodytai tiesei, galima nubrėžti daugiausia vieną tiesę.

Stereometrijos aksiomos:

Kad ir kokia būtų plokštuma, yra taškų, kurie priklauso šiai plokštumai, ir taškų, kurie nepriklauso šiai plokštumai, ir taškų, kurie jai nepriklauso.

Jei dvi skirtingos plokštumos turi bendrą tašką, tada jos susikerta išilgai tiesės, einančios per šį tašką.

Jei dvi skirtingos linijos turi bendrą tašką, tada per jas galima nubrėžti plokštumą, be to, tik vieną.

Kad ir kokia būtų linija, yra taškų, kurie priklauso šiai linijai, ir taškų, kurie jai nepriklauso.

Per bet kuriuos du taškus galite nubrėžti liniją ir tik vieną.

Iš trijų linijos taškų vienas ir tik vienas yra tarp kitų dviejų.

Kiekvienas segmentas turi tam tikrą ilgį, didesnį už nulį. Atkarpos ilgis yra lygus dalių, į kurias jis padalintas iš bet kurio jo taško, ilgių sumai.

Plokštumai priklausanti tiesė padalija šią plokštumą į dvi pusplokštumas.

Kiekvienas kampas turi tam tikrą laipsnio matą, didesnį už nulį. Tiesus kampas yra 180 0 . Kampo laipsnio matas yra lygus kampų, į kuriuos jis yra padalintas iš bet kurio spindulio, einančio tarp jo kraštų, laipsnio matų sumai.

Bet kurioje pustiesėje nuo pradinio taško galite atidėti tam tikro ilgio atkarpą ir tik vieną.

Iš pusės tiesės plokštumoje, kurioje jis yra, kampą, kurio tam tikro laipsnio matas yra mažesnis nei 180, galima nubraižyti į nurodytą pusplokštumą 0 , ir tik vienas.

Kad ir koks būtų trikampis, nurodytoje plokštumoje tam tikroje vietoje yra lygus trikampis, palyginti su duota tos plokštumos pustiese.

Plokštumoje per tam tikrą tašką, esantį ne ant duotosios tiesės, galima nubrėžti daugiausia vieną tiesę, lygiagrečią duotai tiesei.

skerspjūvis

Erdvėje dvi figūros, mūsų atveju, plokštuma ir daugiakampis gali turėti tokį tarpusavio išsidėstymą: nesikerta, susikerta taške, susikerta tiesia linija ir plokštuma kerta daugiakampį išilgai jo vidaus (1 pav.) , ir tuo pačiu metu suformuokite šiuos skaičius:

a) tuščia figūra (nesikerta)

b) taškas

c) supjaustyti

d) daugiakampis

Jei daugiakampio ir plokštumos sankirtoje yra daugiakampis, tai šis daugiakampisvadinama daugiakampio atkarpa su plokštuma .

pav.1

Apibrėžimas. skerspjūvis erdvinis kūnas (pavyzdžiui, daugiakampis) – figūra, gauta kūno sankirtoje su plokštuma.

pjovimo plokštuma daugiakampis Pavadinkime bet kurią plokštumą, kurios abiejose pusėse yra tam tikro daugiakampio taškai.

Nagrinėsime tik atvejį, kai plokštuma kerta daugiakampį išilgai jo vidaus. Šiuo atveju šios plokštumos sankirta su kiekvienu daugiakampio paviršiumi bus tam tikra atkarpa.

Jei plokštumos susikerta tiesia linija, tai vadinama tieseiš vieno iš šių lėktuvų į kitą.

Bendruoju atveju daugiakampio sekanti plokštuma kertasi su kiekvieno jo paviršiaus plokštuma (taip pat ir su bet kuria kita šio daugiabriaunio plokštuma). Jis taip pat kerta kiekvieną tiesę, ant kurios yra daugiakampio briaunos.

Tiesė, išilgai kurios sekanti plokštuma kerta bet kurio daugiakampio paviršiaus plokštumą, vadinamasekdami pjovimo plokštumą šio paviršiaus plokštumoje, o taškas, kuriame sekanti plokštuma kerta tiesę, kurioje yra bet kuri daugiakampio briauna, vadinamassekdami pjovimo plokštumą įjungtaši tiesi linija. Šis taškas taip pat yra tiesios linijos pėdsakas pjovimo plokštumoje. Jei pjovimo plokštuma tiesiogiai kerta daugiakampio paviršių, tada galime kalbėti apie pjovimo plokštumos pėdsaką ant veido ir, panašiai, apiepjovimo plokštumos pėdsakas daugiakampio krašte, tai yra briaunos pėdsakas pjovimo plokštumoje.

Kadangi tiesią liniją vienareikšmiškai nustato du taškai, norint rasti skenuojančios plokštumos pėdsaką bet kurioje kitoje plokštumoje ir ypač bet kurio daugiakampio paviršiaus plokštumoje, pakanka sukurti du bendrus plokštumų taškus.

Norint sukonstruoti sekantinės plokštumos pėdsaką, taip pat šia plokštuma sukonstruoti daugiakampio pjūvį, reikia nurodyti ne tik daugiakampį, bet ir sekantinę plokštumą. O pjūvio plokštumos konstravimas vyksta priklausomai nuo šios plokštumos priskyrimo. Pagrindiniai plokštumos, ypač slenkančios plokštumos, apibrėžimo būdai yra šie:

trys taškai, esantys ne vienoje tiesėje;

tiesi linija ir ne ant jos esantis taškas;

dvi lygiagrečios linijos;

dvi susikertančios linijos;

taškas ir dvi susikertančios tiesės;

Yra ir kitų būdų, kaip apibrėžti pjovimo plokštumą.

Todėl visus daugiakampių atkarpų konstravimo būdus galima suskirstyti į metodus.

Daugiakampių pjūvių konstravimo metodai

Daugiakampių pjūvių metodas stereometrijoje naudojamas statybos uždaviniuose. Jis pagrįstas galimybe sukurti daugiakampio atkarpą ir nustatyti atkarpos tipą.

Yra trys pagrindiniai daugiakampio atkarpų konstravimo būdai:

Aksiominis metodas:

pėdsakų metodas.

Kombinuotas metodas.

koordinačių metodas.

Pastaba kad pėdsakų metodas ir pagalbinių sekcijų metodas yra atmainosAksiominis atkarpų konstravimo metodas.

Taip pat galime išskirti šiuos daugiakampių pjūvių konstravimo būdus:

daugiakampio atkarpos konstravimas plokštuma, einanti per tam tikrą tašką, lygiagrečią tam tikrai plokštumai;

atkarpos, einančios per tam tikrą tiesę, lygiagrečią kitai nurodytai linijai, statyba;

atkarpos, einančios per nurodytą tašką, lygiagrečios dviem nurodytoms pasvirimo linijomis, konstravimas;

daugiakampio atkarpos konstravimas plokštuma, einančia per tam tikrą tiesę, statmeną duotai plokštumai;

daugiakampio atkarpos konstravimas plokštuma, einančia per tam tikrą tašką statmenai nurodytai tiesei.

Pagrindiniai veiksmai, sudarantys atkarpų konstravimo metodus, yra tiesės susikirtimo su plokštuma taško radimas, dviejų plokštumų susikirtimo linijos sukūrimas, tiesės, lygiagrečios plokštumai statmenai plokštumai, sukūrimas. Norint sukurti dviejų plokštumų susikirtimo tiesę, dažniausiai surandami du jos taškai ir per juos nubrėžiama tiesė. Norėdami sukurti tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką, plokštumoje raskite tiesę, kuri kerta duotąją. Tada rastos linijos sankirtoje su duotuoju gaunamas norimas taškas.

Apsvarstykite atskirai mūsų išvardytus dalykusDaugiakampių atkarpų konstravimo būdai:

pėdsakų metodas.

pėdsakų metodas yra pagrįstas (veikiamas) stereometrijos aksiomomis, metodo esmė – sukonstruoti pagalbinę liniją, kuri yra pjovimo plokštumos susikirtimo su bet kurio figūros paviršiaus plokštuma linijos vaizdas. Patogiausia sukurti pjovimo plokštumos susikirtimo su apatinio pagrindo plokštuma linijos vaizdą. Ši linijavadinamas pagrindiniu pjovimo plokštumos pėdsaku . Naudojant pėdsaką lengva sukonstruoti pjovimo plokštumos taškų, esančių figūros šoniniuose kraštuose arba paviršiuose, vaizdus. Nuosekliai sujungdami šių taškų vaizdus, gauname norimos sekcijos vaizdą.

Pastaba kad konstruojant pagrindinį sekantinės plokštumos pėdsaką naudojamas toks teiginys.

Jei taškai priklauso sekančiai plokštumai ir nėra vienoje tiesėje, o jų projekcija (centrinė arba lygiagreti) į plokštumą, pasirinktą kaip pagrindinė, yra atitinkamai taškai tada atitinkamų tiesių susikirtimo taškai, tai yra taškai ir yra toje pačioje tiesėje (1 pav., a, b).

pav.1.a pav.1.b

Ši linija yra pagrindinis pjovimo plokštumos pėdsakas. Kadangi taškai yra ant pagrindinio pėdsako, pakanka rasti du iš šių trijų taškų, kad būtų galima jį sukurti.

Pagalbinių sekcijų metodas.

Šis daugiakampių atkarpų konstravimo būdas yra pakankamai universalus. Tais atvejais, kai norimas pjovimo plokštumos pėdsakas (arba pėdsakai) yra už brėžinio ribų, šis būdas netgi turi tam tikrų privalumų. Tuo pačiu reikia nepamiršti, kad šiuo metodu atliekamos statybos dažnai būna „perkrautos“. Nepaisant to, kai kuriais atvejais pagalbinių sekcijų metodas yra racionaliausias.

Kombinuotas metodas

Kombinuoto daugiakampio atkarpų konstravimo metodo esmė yra teoremų apie tiesių ir plokštumų lygiagretumą erdvėje taikymas kartu su aksiomatiniu metodu.

Atkarpų konstravimo koordinačių metodas.

Koordinačių metodo esmė – skaičiuoti briaunų arba daugiabriaunio susikirtimo taškų koordinates su atsiskyrusia plokštuma, kurią pateikia plokštumos lygtis. Pjūvio plokštumos lygtis apskaičiuojama pagal uždavinio sąlygas.

Pastaba kad toks daugiabriaunio atkarpos konstravimo būdas yra priimtinas kompiuteriui, kadangi jis susijęs su dideliu skaičiavimų kiekiu ir todėl šį metodą patartina įgyvendinti kompiuteriu.

Mūsų pagrindinė užduotis bus sukonstruoti daugiakampio atkarpą su plokštuma, t.y. statant šių dviejų aibių sankirtą.

Daugiakampių pjūvių statyba

Pirmiausia atkreipiame dėmesį į tai, kad išgaubto daugiakampio pjūvis yra išgaubtas plokščias daugiakampis, kurio viršūnės bendruoju atveju yra slenkančios plokštumos susikirtimo taškai su daugiakampio kraštinėmis, o kraštinės – su jo paviršiais.

Skyrių kūrimo pavyzdžiai:

Yra daug skirtingų būdų, kaip apibrėžti skyrių. Dažniausias iš jų yra metodas, kai pjovimo plokštuma nurodoma trimis taškais, kurie nėra vienoje tiesėje.

1 pavyzdys Dėžutei ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Sukurkite atkarpą, einančią per taškus M, N, L.

Sprendimas:

Sujunkite taškus M ir L, esančius plokštumoje AA 1 D 1 D.

Sukirskite tiesę ML (priklausančią atkarpai) su briauna A 1 D 1 1 D 1 D. Gaukite tašką X 1 .

Taškas X1 yra ant kraštinės A 1 D 1 , taigi ir lėktuvai A 1 B 1 C 1 D 1 , sujunkite jį su tašku N, esančiu toje pačioje plokštumoje.

X 1 N kerta kraštą A 1 B 1 taške K.

Sujunkite taškus K ir M, esančius toje pačioje plokštumoje AA 1 B 1 b.

Raskite pjūvio plokštumos susikirtimo tiesę su plokštuma DD 1 C 1 C:

Sukirskite tiesę ML (priklausančią atkarpai) su briauna DD 1 , jie guli toje pačioje plokštumoje AA 1 D 1 D, gaukite tašką X 2 .

Sukirsime tiesę KN (priklausančią atkarpai) su briauna D 1 C 1 , jie guli toje pačioje plokštumoje A 1 B 1 C 1 D 1 , gauname tašką X3;

Taškai X2 ir X3 yra plokštumoje DD 1 C 1 C. Nubrėžkite liniją X 2 X 3 , kuris kerta kraštą C 1 C taške T, o briauna DC taške P. Ir sujungkime taškus L ir P, kurie yra plokštumoje ABCD.

Taigi, problema laikoma išspręsta, jei randami visi segmentai, išilgai kurių plokštuma kerta daugiakampio paviršius, ką mes padarėme. MKNTPL - norima sekcija.

Pastaba. Tą pačią atkarpos konstravimo užduotį galima išspręsti naudojant lygiagrečių plokštumų savybę.

Iš to, kas išdėstyta aukščiau, galime sudaryti tokio tipo problemų sprendimo algoritmą (taisyklę).

Daugiakampių pjūvių konstravimo taisyklės:

2 pavyzdys DL, M

Mes išsprendžiame aksiomatiniu metodu:

Nubrėžkite pagalbinę plokštumąDKM, kuri kerta briaunas AB ir BC taškuose E irF(sprendimo eiga pateikta 2 pav.). Šioje pagalbinėje plokštumoje pastatykime pjūvio plokštumos CM „pėdsaką“, suraskime CM ir E susikirtimo taškąF- taškas P. P taškas, taip patL, guli plokštumoje ABC, ir galima nubrėžti tiesę, išilgai kurios pjūvio plokštuma kerta plokštumą ABC („pjūvio pėdsakas“ plokštumoje ABC).

3 pavyzdys Piramidės MABCD briaunose AB ir AD nustatome atitinkamai šių briaunų vidurio taškus P ir Q, o briaunoje MC – tašką R. Sukonstruokime piramidės atkarpą einančia plokštuma per taškus P, Q ir R.

Sprendimas bus atliktas kombinuotu metodu:

1). Aišku, kad pagrindinis plokštumos PQR pėdsakas yra tiesė PQ.

2). Raskite tašką K, kuriame MAC plokštuma kerta tiesę PQ. Taškai K ir R priklauso ir PQR plokštumai, ir MAC plokštumai. Todėl nubrėžę tiesę KR, gauname šių plokštumų susikirtimo liniją.

3). Raskime tašką N=AC BD, nubrėžkime tiesę MN ir raskime tašką F=KR MN.

4). F taškas yra bendras taškas plokštumos PQR ir MDB, tai yra, šios plokštumos susikerta išilgai tiesės, einančios per tašką F. Tuo pačiu metu, kadangi PQ yra trikampio ABD vidurio linija, tai PQ lygiagreti BD, tai yra, tiesė PQ taip pat yra lygiagrečiai plokštumai MDB. Tada plokštuma PQR, einanti per tiesę PQ, kerta plokštumą MDB išilgai tiesės, lygiagrečios tiesei PQ, tai yra lygiagrečiai tiesei BD. Todėl plokštumoje MDB per tašką F brėžiame tiesę, lygiagrečią tiesei BD.

5). Tolesnės konstrukcijos aiškiai matomos paveikslėlyje. Dėl to gauname daugiakampį PQD"RB" - reikiamą skyrių

Apsvarstykite prizmės dalis dėl paprastumo, tai yra loginio mąstymo patogumo, apsvarstykite kubo dalis (3.a pav.):

Ryžiai. 3.a

Prizmės pjūviai plokštumų, lygiagrečių šoninėms briaunoms, yra lygiagretainiai. Visų pirma, įstrižainės yra lygiagretainiai (4 pav.).

Def. įstrižainė prizmė yra plokštumos, einančios per du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui, pjūvis.

Daugiakampis, gaunamas iš prizmės įstrižainės pjūvio, yra lygiagretainis. Klausimas apie įstrižainių sekcijų skaičiųn-kampinė prizmė yra sunkesnė nei įstrižainių skaičiaus klausimas. Atkarpų bus tiek, kiek yra įstrižainių prie pagrindo. Žinome, kad išgaubtos prizmės pagrinduose yra išgaubti daugiakampiai, o išgaubtosn- įstrižainių kampas. Taigi galime sakyti, kad įstrižainių pjūvių yra perpus mažiau nei įstrižainių.

Pastaba: Paveiksle statant gretasienio atkarpas, reikia atsižvelgti į tai, kad jei pjovimo plokštuma išilgai kai kurių atkarpų kerta du priešingus paviršius, tai šie atkarpos yra lygiagrečios „gretasienio savybe, t.y. Priešingi gretasienio paviršiai yra lygiagrečiai ir lygūs.

Pateikiame atsakymus į dažniausiai užduodamus klausimus:

Kokie daugiakampiai gaunami kubo pjūvyje plokštuma?

„trikampis, keturkampis, penkiakampis, šešiakampis“.

Ar plokštuminis kubo skerspjūvis gali sudaryti septyniakampį? O aštuonkampis?

"negaliu".

3) Kyla klausimas, koks yra didžiausias daugiakampio kraštinių skaičius, gautas daugiakampio atkarpos su plokštuma?

Didžiausias skaičius daugiakampio kraštinės, gautos daugiakampio atkarpoje pagal plokštumą, yra lygios daugiakampio paviršių skaičiui .

3 pavyzdys Sukurkite prizmės A atkarpą 1 B 1 C 1 D 1 ABCD plokštuma, kertanti tris taškus M, N, K.

Apsvarstykite taškų M, N, K išsidėstymo prizmės paviršiuje atvejį (5 pav.).

Apsvarstykite atvejį: Šiuo atveju akivaizdu, kad M1 = B1.

Pastatas:

4 pavyzdys Sukurkite gretasienio ABCDA atkarpą 1 B 1 C 1 D 1 plokštuma, einanti per taškus M, N, P (taškai nurodyti brėžinyje (6 pav.)).

Sprendimas:

Ryžiai. 6

Taškai N ir P yra pjūvio plokštumoje ir gretasienio apatinio pagrindo plokštumoje. Sukurkime tiesę, einančią per šiuos taškus. Ši linija yra sekantinės plokštumos pėdsakas gretasienio pagrindo plokštumoje.

Tęskime tiesę, kurioje yra gretasienio kraštinė AB. Tiesės AB ir NP susikerta tam tikru tašku S. Šis taškas priklauso pjūvio plokštumai.

Kadangi taškas M taip pat priklauso pjūvio plokštumai ir kerta tiesę AA 1 tam tikru momentu x.

Taškai X ir N yra toje pačioje paviršiaus AA plokštumoje 1 D 1 D, sujunkite juos ir gaukite liniją XN.

Kadangi gretasienio paviršių plokštumos yra lygiagrečios, galima nubrėžti tiesią liniją per tašką M veide A 1 B 1 C 1 D 1 lygiagrečiai tiesei NP. Ši linija susikirs su B puse 1 SU 1 taške Y.

Panašiai nubrėžiame tiesę YZ, lygiagrečią tiesei XN. Sujungiame Z su P ir gauname norimą skyrių - MYZPNX.

Piramidės atkarpos plokštumose, einančios per jos viršūnę, yra trikampiai. Visų pirma, įstrižainės yra trikampiai. Tai pjūviai plokštumų, einančių per du negretimus šoninius piramidės kraštus.

4 pavyzdys Sukonstruoti piramidės ABC atkarpąDplokštuma, einanti per taškus K,L, M.

Sprendimas:

Išspręskime tą patį pavyzdį kitaip. .

Tarkime, kad taškams K,L, ir М skyriųKLNM(7 pav.). PažymėtiFketurkampio įstrižainių susikirtimo taškasKLNM. Nubrėžkime tiesią linijąD.F.ir žymėtiF 1 jo susikirtimo taškas su veidu ABC. TaškasF 1 sutampa su tiesių AM ir SK susikirtimo tašku (F 1 kartu priklauso AM plokštumomsDIrDSC). TaškasF 1 lengva statyti. Toliau statome taškąFkaip susikirtimo taškasD.F. 1 IrLM. Toliau randame taškąN.

Nagrinėjamas metodas vadinamasvidaus projektavimo metodas . (Mūsų atveju Mes kalbame apie centrinį dizainą. keturkampisKISA yra keturkampio projekcijaKMNLiš taškoD. Šiuo atveju įstrižainių susikirtimo taškasKMNL- taškasF- eina į keturkampio įstrižainių susikirtimo taškąKISA – taškasF 1 .

Daugiakampio pjūvio plotas.

Daugiakampio skerspjūvio ploto apskaičiavimo problema paprastai sprendžiama keliais etapais. Jei problema sako, kad pjūvis pastatytas (arba nubrėžta pjovimo plokštuma ir pan.), tada pirmajame sprendimo etape išsiaiškinama pjūvyje gautos figūros forma.

Tai turi būti padaryta norint pasirinkti tinkamą skerspjūvio ploto skaičiavimo formulę. Išsiaiškinus sekcijoje gautos figūros formą ir pasirinkus šios figūros ploto apskaičiavimo formulę, jie pereina tiesiai prie skaičiavimo darbų.

Kai kuriais atvejais gali pasirodyti lengviau, jei, nesužinoję skyriuje gautos figūros formos, nedelsdami pradėsime skaičiuoti jos plotą naudodami formulę, kuri išplaukia iš teoremos.

Teorema apie daugiakampio stačiakampės projekcijos plotą: daugiakampio stačiakampės projekcijos į plokštumą plotas lygus jo ploto ir kampo tarp daugiakampio plokštumos ir projekcijos plokštumos kosinuso sandaugai: .

Galiojanti skerspjūvio ploto apskaičiavimo formulė yra tokia: kur yra pjūvyje gautos figūros stačiakampės projekcijos plotas ir kampas tarp skersinės plokštumos ir plokštumos, kurioje figūra projektuojama. Taikant tokį sprendimą, reikia sukonstruoti pjūvyje gautos figūros stačiakampę projekciją ir apskaičiuoti

Jei problemos būklė sako, kad atkarpą reikia statyti ir reikia rasti gautos atkarpos plotą, tai pirmame etape tikslinga pastatyti duotą atkarpą, o vėliau, žinoma, nustatyti jos formą. skyriuje gautas skaičius ir kt.

Atkreipiame dėmesį į tokį faktą: kadangi konstruojamos išgaubtų daugiakampių atkarpos, pjūvio daugiakampis taip pat bus išgaubtas, todėl jo plotą galima rasti padalijus jį į trikampius, tai yra, pjūvio plotas lygus daugiakampio plotų sumai. trikampiai, iš kurių jis sudarytas.

1 užduotis.

– teisinga trikampė piramidė kurios pagrindo kraštinė lygi ir lygi aukščiui Sukonstruoti piramidės atkarpą plokštuma, einančia per taškus, kur yra kraštinės vidurio taškas, ir rasti jos plotą (8 pav.).

Sprendimas.

Piramidės skerspjūvis yra trikampis. Raskime jo plotą.

Kadangi piramidės pagrindas yra lygiakraštis trikampis, o taškas yra šoninės pusės vidurio taškas, tai aukštis ir tada, .

Trikampio plotą galima rasti:

2 užduotis.

Šoninis šonkaulis Taisyklingosios prizmės yra lygi pagrindo kraštinei. Sukurkite prizmės atkarpas per tašką einančiomis plokštumomisA, statmenai linijai Jei rasite gautos prizmės atkarpos plotą.

Sprendimas.

Sukurkime pateiktą skyrių. Padarykime tai grynai geometriniais sumetimais, pavyzdžiui, taip.

Plokštumoje, einančioje per nurodytą tiesę ir duotą tašką, per šį tašką nubrėžiame tiesę, statmeną tiesei (9 pav.). Šiam tikslui panaudokime faktą, kad trikampyje ty jo mediana yra ir šio trikampio aukštis. Taigi, tiesi linija.

Per tašką nubrėžiame kitą tiesei statmeną liniją. Nubraižykime jį, pavyzdžiui, plokštumoje, einančioje per tiesią liniją. Akivaizdu, kad ši linija yra linija

Taigi, sudaromos dvi susikertančios tiesės, statmenos tiesei. Šios linijos apibrėžia plokštumą, einančią per tašką, statmeną tiesei, tai yra, duota skenanti plokštuma.

Pagal šią plokštumą statome prizmės atkarpą. Atkreipkite dėmesį, kad kadangi linija yra lygiagreti plokštumai. Tada plokštuma, einanti per liniją, kerta plokštumą išilgai tiesės, lygiagrečios tiesei, tai yra, tiesės. Nubrėžkite tiesią liniją per tašką ir gautą tašką sujunkite tašku.

Keturkampis duota pjūvis. Nustatykime jo plotą.

Aišku, kad keturkampis yra stačiakampis, tai yra jo plotas

ryžių. 9

SKYRIŲ KONSTRUKCIJA IR SKYRIUS ANT BRĖŽINIŲ

Dalies brėžinys formuojamas nuosekliai pridedant reikiamas iškyšas, pjūvius ir pjūvius. Iš pradžių tinkintas vaizdas sukuriamas naudojant vartotojo nurodytą modelį, o modelio orientacija nustatoma taip, kad ji geriausiai atitiktų pagrindinį rodinį. Be to, šiam ir šiems tipams sukuriami būtini pjūviai ir skyriai.

Pagrindinis vaizdas (vaizdas iš priekio) parenkamas taip, kad būtų kuo išsamesnis detalės formų ir matmenų vaizdas.

Pjūviai brėžiniuose

Atsižvelgiant į pjovimo plokštumos padėtį, išskiriami šie pjūvių tipai:

A) horizontali, jei pjovimo plokštuma lygiagreti horizontaliajai projekcijos plokštumai;

B) vertikali, jei pjovimo plokštuma yra statmena horizontaliajai projekcijos plokštumai;

C) pasviręs – pjovimo plokštuma pasvirusi į projekcines plokštumas.

Vertikalios sekcijos skirstomos į:

· priekinė - pjovimo plokštuma lygiagreti priekinei projekcijos plokštumai;

· profilis – pjovimo plokštuma lygiagreti profilio projekcijos plokštumai.
Priklausomai nuo pjovimo plokštumų skaičiaus, pjūviai yra:

· paprastas - su viena pjovimo plokštuma (107 pav.);

· kompleksinis – su dviem ar daugiau pjovimo plokštumų (108 pav.)
Standartas numato šiuos sudėtingų pjūvių tipus:

· laiptuotos, kai sekantinės plokštumos lygiagrečios (108 pav. a) ir trūkinės linijos - sekantinės plokštumos susikerta (108 pav. b)

107 pav. Paprastas pjūvis

A) b)

108 pav. Sudėtingi pjūviai

Skyriaus žymėjimas

Tuo atveju, kai paprastoje atkarpoje sekanti plokštuma sutampa su objekto simetrijos plokštuma, pjūvis nenurodomas (107 pav.). Visais kitais atvejais skyriai žymimi didžiosiomis rusiškos abėcėlės raidėmis, pradedant raide A, pavyzdžiui, A-A.

Pjovimo plokštumos padėtis brėžinyje nurodoma pjūvio linija – pastorinta atvira linija. Su sudėtingu pjūviu smūgiai atliekami ir pjūvio linijos posūkiuose. Rodyklės, nurodančios žiūrėjimo kryptį, turi būti dedamos ant pradinio ir galutinio potėpio, rodyklės turi būti 2-3 mm atstumu nuo išorinių potėpių galų. Kiekvienos rodyklės, rodančios žiūrėjimo kryptį, išorėje rašoma ta pati didžioji raidė.

Tas pats mygtukas naudojamas KOMPAS sistemos pjūviams ir atkarpoms žymėti Pjūvio eilutė, esanti puslapyje Legend (109 pav.).

109 pav. Sekcijos linijos mygtukas

Pusinio vaizdo sujungimas su puse pjūviu

Jei vaizdas ir pjūvis yra simetriškos figūros (110 pav.), galite sujungti pusę vaizdo ir pusę pjūvio, atskirdami juos brūkšneliu pažymėta plona linija, kuri yra simetrijos ašis. Dalis pjūvio dažniausiai dedama į dešinę nuo simetrijos ašies, skiriančios vaizdo dalį nuo pjūvio dalies, arba žemiau simetrijos ašies. Paslėptos kontūro linijos sujungtose vaizdo ir pjūvio dalyse paprastai nerodomos. Jei ašinė linija, skirianti vaizdą ir pjūvį, sutampa su kokios nors linijos projekcija, pavyzdžiui, briaunuotos figūros briauna, vaizdas ir pjūvis yra atskirti ištisine banguota linija, nubrėžta į kairę nuo simetrijos ašies, jei kraštas yra ant vidinio paviršiaus arba dešinėje, jei kraštas yra išorinis .

Ryžiai. 110 Vaizdo dalies ir sekcijos sujungimas

Pastatų pjūviai

Pjūvių konstravimą KOMPAS sistemoje tirsime prizmės brėžinio konstravimo pavyzdžiu, kurio užduotis parodyta 111 pav.

Piešimo seka yra tokia:

1. Pagal duotus matmenis pastatykime vientisą prizmės modelį (109 pav. b). Išsaugokime modelį kompiuterio atmintyje faile pavadinimu „Prism“.

112 pav. Linijų skydelis

3. Pastatyti profilinę sekciją (113 pav.) nubrėžti liniją A-A skyrius pagrindiniame vaizde naudodami mygtuką Iškirpti linija.

113 pav. Profilio sekcijos konstrukcija

Žiūrėjimo kryptį ir žymėjimo tekstą galima pasirinkti valdymo skydelyje su komanda ekrano apačioje (114 pav.). Pjūvio linijos konstravimas baigiamas paspaudus mygtuką Sukurti objektą.

114 pav. Pjūvių ir pjūvių konstravimo komandos valdymo pultas

4. Skydelyje Associative Views (115 pav.) pasirinkite mygtuką Cut line, tada nurodykite pjūvio liniją su gaudykle, kuri pasirodo ekrane. Jei viskas padaryta teisingai (pjūvio linija turi būti nubrėžta aktyviame rodinyje), tada pjūvio linija taps raudona. Nurodius pjūvio liniją A-A, ekrane atsiras vaizdo fantomas bendro stačiakampio pavidalu.

115 pav. Asociatyvinių vaizdų skydelis

Property juostoje esančio jungiklio Cut/section pagalba pasirenkamas vaizdo tipas - Cut (116 pav.) ir rodomo pjūvio mastelis.

116 pav. Pjūvių ir pjūvių konstravimo komandos valdymo pultas

Profilio sekcija bus pastatyta automatiškai projekcinėje jungtyje ir su standartine žyma. Jei reikia, projekcinį ryšį galima išjungti jungikliu Projekcinis jungtis (116 pav.). Norėdami nustatyti perėjimo parametrus, kurie bus naudojami sukurtoje skiltyje (skiltyje), naudokite valdiklius skirtuke Perėjimas.

117 pav. Horizontalios sekcijos B-B ir atkarpos C-C konstrukcija

Jeigu pasirinkta pjovimo plokštuma statant pjūvį sutampa su detalės simetrijos plokštuma, tai pagal standartą toks pjūvis nenurodomas. Bet jei tiesiog ištrinsite sekcijos žymėjimą, dėl to, kad vaizdas ir skyrius kompiuterio atmintyje yra tarpusavyje sujungti, visa sekcija bus ištrinta. Todėl, norėdami pašalinti pavadinimą, pirmiausia turite sunaikinti ryšį tarp vaizdo ir sekcijos. Norėdami tai padaryti, spustelėkite kairįjį pelės mygtuką, kad pasirinktumėte skyrių, o tada spustelėkite dešinįjį pelės mygtuką, kad atidarytumėte kontekstinį meniu, iš kurio pasirenkamas elementas Destroy view (97 pav.). Dabar sekcijos simbolį galima ištrinti.

5. Norėdami sukurti horizontalią pjūvį, nubrėžkime B-B pjūvio liniją per apatinę skylės plokštumą priekiniame vaizde. Vaizdas iš priekio pirmiausia turi būti aktualus du kartus spustelėjus kairįjį pelės mygtuką. Tada statoma horizontali sekcija (117 pav.).

6. Statant frontalinę sekciją dalis vaizdo ir atkarpos dera, nes tai simetriškos figūros. Išorinis prizmės kraštas projektuojamas ant linijos, skiriančios vaizdą ir pjūvį, todėl atribojame vientisos plonos banguotos linijos vaizdas ir pjūvis, nubrėžtas į dešinę nuo simetrijos ašies, nes išorinis šonkaulis. Mygtukas naudojamas banguotai linijai nubrėžti. Bezier kreivė, esanti skydelyje Geometry, nubrėžta naudojant stilių For clipping line (118 pav.). Paeiliui nurodykite taškus, per kuriuos turėtų eiti Bezier kreivė. Norėdami baigti komandos vykdymą, spustelėkite mygtuką Sukurti objektą.

118 pav. Linijos stiliaus pasirinkimas pertraukai

Skyrius

Pjūvis yra objekto vaizdas, gaunamas mintyse išskaidžius objektą plokštuma. Skyriuje rodoma tik tai, kas yra pjovimo plokštumoje.

Pjovimo plokštumos, kuria formuojamas pjūvis, padėtis brėžinyje nurodoma pjūvio linija, kaip ir pjūviams.

Pjūviai, atsižvelgiant į jų vietą brėžiniuose, skirstomi į išplėstinius ir uždėtus. Pašalintos sekcijos dažniausiai yra laisvajame brėžinio lauke ir yra pažymėtos pagrindine linija. Sudėtos sekcijos dedamos tiesiai ant objekto vaizdo ir kontūruojamos plonomis linijomis (119 pav.).

119 pav. Sekcijų konstrukcija

Apsvarstykite prizmės su išplėstine įstrižaine brėžinio konstravimo seką B-B skyrius(117 pav.).

1. Suaktyvinkite priekinį vaizdą dukart spustelėdami kairįjį pelės mygtuką rodinyje ir nubrėžkite pjūvio liniją naudodami mygtuką pjovimo linija . Pasirinkime užrašo В-В tekstą.

2. Naudodami mygtuką Cut line, esančiame Associative Views skydelyje (115 pav.), kuris rodomas kaip spąstai, nurodykite atsiskyrimo liniją. lėktuvai B-B. Naudodami jungiklį Cut/section ypatybių juostoje, pasirinkite vaizdo tipą - Section (116 pav.), iš Scale lange parenkamas rodomos sekcijos mastelis.

Sukonstruota pjūvis yra projekcijos santykyje, o tai riboja jos judėjimą brėžinyje, tačiau projekcijos ryšį galima išjungti mygtuku projekcinis ryšys.

Ant baigto piešinio pieškite vidurio linijos, jei reikia, įveskite matmenis.

Daugiakampių pjūvių konstravimo užduotys reikšminga vieta kaip mokyklinis geometrijos kursas vidurinei mokyklai ir įvairių lygių egzaminams. Tokio tipo problemų sprendimas prisideda prie stereometrijos aksiomų įsisavinimo, žinių ir įgūdžių sisteminimo, tobulėjimo. erdvinis vaizdavimas ir konstruktyvius įgūdžius. Sunkumai, kylantys sprendžiant sekcijų statybos problemas, yra gerai žinomi.

Nuo ankstyva vaikystė susiduriame su pjūviais. Supjaustome duoną, dešrą ir kitus gaminius, supjaustome pagaliuką ar pieštuką peiliu. Sekanti plokštuma visais šiais atvejais yra peilio plokštuma. Skyriai (gabalų sekcijos) yra skirtingi.

Išgaubto daugiakampio pjūvis yra išgaubtas daugiakampis, kurio viršūnės bendruoju atveju yra pjovimo plokštumos susikirtimo taškai su daugiakampio kraštinėmis, o kraštinės – pjovimo plokštumos susikirtimo su daugiakampio kraštinėmis linijos. veidus.

Norint sukurti dviejų plokštumų susikirtimo liniją, pakanka rasti du bendrus šių plokštumų taškus ir nubrėžti per juos liniją. Tai pagrįsta šiais teiginiais:

1. jei du tiesės taškai priklauso plokštumai, tai visa tiesė priklauso šiai plokštumai;

2. jei dvi skirtingos plokštumos turi bendrą tašką, tai jos susikerta išilgai tiesės, einančios per šį tašką.

Kaip jau sakiau, daugiakampių atkarpų konstravimas gali būti atliktas remiantis stereometrijos aksiomomis ir teoremomis apie tiesių ir plokštumų lygiagretumą. Tuo pačiu metu yra tam tikri daugiakampių plokščių pjūvių konstravimo metodai. Veiksmingiausi yra šie trys metodai:

pėdsakų metodas

Vidaus projektavimo metodas

Kombinuotas metodas.

Tiriant geometriją ir ypač tuos jos skyrius, kuriuose nagrinėjami vaizdai geometrines figūras, geometrinių formų vaizdai padeda naudotis kompiuterinėmis prezentacijomis. Kompiuterio pagalba daugelis geometrijos pamokų tampa vizualesnės ir dinamiškesnės. Aksiomas, teoremas, įrodymus, konstravimo užduotis, atkarpų konstravimo užduotis monitoriaus ekrane gali lydėti nuoseklios konstrukcijos. Kompiuteriu sugeneruotus brėžinius galima išsaugoti ir įklijuoti į kitus dokumentus.

Noriu parodyti kelias skaidres tema: „Sekcijų statyba in geometriniai kūnai»

Norėdami sukurti tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką, plokštumoje raskite tiesę, kuri kerta nurodytą tiesę. Tada norimas taškas yra rastos linijos susikirtimo su duotuoju taškas. Pažiūrėkime tai kitose skaidrėse.

1 užduotis.

Tetraedro DABC kraštinėse pažymėti du taškai M ir N; M GAD, N b DC. Pasirinkite tiesės MN susikirtimo tašką su pagrindo plokštuma.

Sprendimas: siekiant rasti tiesės MN susikirtimo tašką su plokštuma

bazę tęsime AC ir segmentą MN. Šių tiesių susikirtimo tašką pažymėkime per X. Taškas X priklauso tiesei MN ir veidui AC, o AC yra pagrindo plokštumoje, o tai reiškia, kad taškas X taip pat yra pagrindo plokštumoje. . Todėl taškas X yra tiesės MN susikirtimo su pagrindo plokštuma taškas.

Panagrinėkime antrąją problemą. Truputį apsunkinkime.

2 užduotis.

Duotas taškų M ir N tetraedras DABC, kur M € DA, N C (DBC). Raskite tiesės MN susikirtimo tašką su plokštuma ABC .

Sprendimas: Tiesės MN susikirtimo su plokštuma ABC taškas turi būti plokštumoje, kurioje yra tiesė MN, ir pagrindo plokštumoje. Tęsiame atkarpą DN iki susikirtimo su briauna DC taško. Susikirtimo tašką pažymime per E. Tęsiame liniją AE ir MN iki jų susikirtimo taško. Pastaba X. Taškas X priklauso MN, taigi jis yra plokštumoje, kurioje yra tiesė MN, o X priklauso AE, o AE yra plokštumoje ABC. Taigi X taip pat yra plokštumoje ABC. Taigi X yra tiesės MN ir plokštumos ABC susikirtimo taškas.

Apsunkinkime užduotį. Apsvarstykite geometrinių figūrų pjūvį plokštumose, kertančiomis tris nurodytus taškus.

3 užduotis

Tetraedro DABC kraštinėse AC, AD ir DB pažymėti taškai M, N ir P. Sukonstruokite tetraedro atkarpą pagal plokštumą MNP.

Sprendimas: nutieskite tiesę, išilgai kurios plokštuma MNP. Susikerta su veido plokštuma ABC. Taškas M yra bendras šių plokštumų taškas. Norėdami sukurti kitą bendrą tašką, tęsiame segmentą AB ir NP. Per X pažymime susikirtimo tašką, kuris bus antrasis bendras plokštumos MNP ir ABC taškas. Taigi šios plokštumos susikerta išilgai tiesės MX. MX kerta briauną BC tam tikrame taške E. Kadangi E yra ant MX, o MX yra tiesė, priklausanti plokštumai MNP, tai reiškia, kad PE priklauso MNP. Keturkampis MNPE yra reikalinga atkarpa.

4 užduotis

Tiesios prizmės ABCA1B1C1 pjūvį statome plokštuma, einančia per taškus P , K,R, kur R priklauso ( AA 1C 1C), R priklauso IN 1C1,

Q priklauso AB

Sprendimas: Visi trys taškai P, Q, R guli skirtinguose veiduose, todėl dar negalime nubrėžti sekantinės plokštumos susikirtimo linijos su bet kuriuo prizmės paviršiumi. Raskime PR ir ABC sankirtos tašką. Raskime taškų P ir R projekcijas į bazinę plokštumą PP1, statmeną BC, ir RR1, statmeną AC. Tiesė P1R1 kerta tiesę PR taške X. X yra tiesės PR ir plokštumos ABC susikirtimo taškas. Jis yra norimoje plokštumoje K ir pagrindo plokštumoje, kaip ir taškas Q. XQ yra tiesė, kertanti K su pagrindo plokštuma. XQ kerta AC taške K. Todėl KQ yra plokštumos X susikirtimo su veidu ABC atkarpa. K ir R yra X plokštumoje ir AA1C1C veido plokštumoje. Nubrėžkite tiesę KR ir pažymėkite susikirtimo tašką su A1Q E. KE yra plokštumos X susikirtimo su šiuo paviršiumi linija. Raskite X plokštumos susikirtimo liniją su veidų BB1A1A plokštuma. KE kertasi su A1A taške Y. Tiesė QY yra slankiosios plokštumos susikirtimo su plokštuma AA1B1B linija. FPEKQ - norima sekcija.

Užduotys konstruoti kubo atkarpas pagal plokštumą, kaip taisyklė, yra paprastesnės nei, pavyzdžiui, piramidės atkarpų užduotys.

Galime nubrėžti liniją per du taškus, jei jie yra toje pačioje plokštumoje. Statant kubo atkarpas galimas dar vienas pjovimo plokštumos pėdsakų sukūrimo variantas. Kadangi trečioji plokštuma kerta dvi lygiagrečias plokštumas išilgai lygiagrečių tiesių, tai jei viename iš paviršių jau nutiesta tiesė, o kitame yra taškas, per kurį eina atkarpa, tada galime nubrėžti tiesią liniją per šis taškas lygiagretus duotam.

Apsvarstykite konkrečių pavyzdžių kaip plokštuma sukonstruoti kubo atkarpas.

1) Sukurkite kubo atkarpą plokštuma, einančia per taškus A, C ir M.

Šio tipo uždaviniai yra paprasčiausias iš visų kubo atkarpų konstravimo uždavinių. Kadangi taškai A ir C yra toje pačioje plokštumoje (ABC), per juos galime nubrėžti liniją. Jo pėdsakas yra segmentas AC. Jis nematomas, todėl AC vaizduojame su smūgiu. Panašiai sujungiame taškus M ir C, esančius toje pačioje plokštumoje (CDD1), ir taškus A ir M, esančius toje pačioje plokštumoje (ADD1). Trikampis ACM yra reikalinga sekcija.

2) Sukurkite kubo atkarpą plokštuma, einančia per taškus M, N, P.

Čia tik taškai M ir N yra toje pačioje plokštumoje (ADD1), todėl per juos nubrėžiame tiesią liniją ir gauname pėdsaką MN (nematomas). Kadangi priešingi kubo paviršiai yra lygiagrečiose plokštumose, pjovimo plokštuma kerta lygiagrečias plokštumas (ADD1) ir (BCC1) išilgai lygiagrečių linijų. Mes jau pastatėme vieną iš lygiagrečių linijų - tai yra MN.

Per tašką P brėžiame tiesę, lygiagrečią MN. Jis kerta kraštą BB1 taške S. PS yra sekantinės plokštumos pėdsakas veide (BCC1).

Nubrėžiame tiesę per taškus M ir S, esančius toje pačioje plokštumoje (ABB1). Gautas MS pėdsakas (matomas).

Plokštumos (ABB1) ir (CDD1) yra lygiagrečios. Plokštumoje (ABB1) jau yra tiesė MS, todėl per tašką N plokštumoje (CDD1) nubrėžiame tiesę, lygiagrečią MS. Ši linija kerta kraštą D1C1 taške L. Jos pėdsakas yra NL (nematomas). Taškai P ir L yra toje pačioje plokštumoje (A1B1C1), todėl per juos nubrėžiame tiesią liniją.

Penkiakampis MNLPS yra reikalinga sekcija.

3) Sukurkite kubo atkarpą plokštuma, einančia per taškus M, N, P.

Taškai M ir N yra toje pačioje plokštumoje (BCC1), todėl per juos galima nubrėžti tiesią liniją. Gauname pėdsaką MN (matomas). Plokštuma (BCC1) lygiagreti plokštumai (ADD1), todėl per tašką P, esantį (ADD1), brėžiame tiesę, lygiagrečią su MN. Jis kerta kraštą AD taške E. Gavome pėdsaką PE (nematomas).

Nebėra taškų, esančių toje pačioje plokštumoje, arba tiesės ir taško lygiagrečiose plokštumose. Todėl norint gauti papildomą balą, reikia tęsti vieną iš jau esamų eilučių.

Jei tęsiame tiesę MN, tai, kadangi ji yra plokštumoje (BCC1), turime ieškoti MN susikirtimo taško su viena iš šios plokštumos tiesių. Jau yra susikirtimo taškai su CC1 ir B1C1 – tai M ir N. Linijos BC ir BB1 išlieka. Toliau BC ir MN tęsiame iki susikirtimo taške K. Taškas K yra tiesėje BC, o tai reiškia, kad jis priklauso plokštumai (ABC), todėl per jį galime nubrėžti liniją ir šioje plokštumoje esantį tašką E. Jis kerta kraštą CD taške H. EH yra jo pėdsakas (nematomas). Kadangi H ir N yra toje pačioje plokštumoje (CDD1), per juos galima nubrėžti tiesią liniją. Gauname pėdsaką HN (nematomas).

Plokštumos (ABC) ir (A1B1C1) yra lygiagrečios. Viename iš jų yra tiesė EH, kitame – taškas M. Per M galime nubrėžti tiesę, lygiagrečią EH. Gauname pėdsaką MF (matomas). Per taškus M ir F nubrėžiame tiesią liniją.

Šešiakampis MNHEPF yra reikalinga sekcija.

Jei tiesę MN tęstume iki susikirtimo su kita plokštumos tiese (BCC1), su BB1, tai gautume tašką G, priklausantį plokštumai (ABB1). Tai reiškia, kad per G ir P galima nubrėžti liniją, kurios pėdsakas yra PF. Be to, per lygiagrečiose plokštumose esančius taškus nubrėžiame tiesias linijas ir gauname tą patį rezultatą.

Dirbant su tiesia linija PE gaunamas toks pat skerspjūvis MNHEPF.

4) Sukurkite kubo atkarpą plokštuma, einančia per taškus M, N, P.

Čia galime nubrėžti tiesę per taškus M ir N, esančius toje pačioje plokštumoje (A1B1C1). Jos pėdsakas yra MN (matomas). Nebėra taškų, esančių toje pačioje plokštumoje arba lygiagrečiose plokštumose.

Tęsiame liniją MN. Jis yra plokštumoje (A1B1C1), todėl gali susikirsti tik su viena iš šios plokštumos tiesių. Jau yra susikirtimo taškai su A1D1 ir C1D1 - N ir M. Dar dvi šios plokštumos linijos yra A1B1 ir B1C1. A1B1 ir MN susikirtimo taškas yra S. Kadangi jis yra tiesėje A1B1, jis priklauso plokštumai (ABB1), tai reiškia, kad per ją galima nubrėžti tiesę ir tašką P, esantį toje pačioje plokštumoje. Tiesė PS kerta kraštą AA1 taške E. PE yra jos pėdsakas (matomas). Per taškus N ir E, esančius toje pačioje plokštumoje (ADD1), galima nubrėžti tiesę, kurios pėdsakas yra ŠV (nematomas). Plokštumoje (ADD1) yra tiesė NE, o jai lygiagrečioje plokštumoje (BCC1) – taškas P. Per tašką P galime nubrėžti tiesę PL, lygiagrečią NE. Jis kerta kraštą CC1 taške L. PL yra šios linijos pėdsakas (matomas). Taškai M ir L yra toje pačioje plokštumoje (CDD1), o tai reiškia, kad per juos galima nubrėžti tiesią liniją. Jos pėdsakas yra ML (nematomas). Penkiakampis MLPEN yra reikalinga sekcija.

Buvo galima tęsti tiesę NM abiem kryptimis ir ieškoti jos susikirtimo taškų ne tik tiese A1B1, bet ir tiese B1C1, kuri taip pat yra plokštumoje (A1B1C1). Šiuo atveju per tašką P brėžiame dvi tieses iš karto: vieną plokštumoje (ABB1) per taškus P ir S, o antrąją plokštumoje (BCC1), per taškus P ir R. Po to , belieka sujungti taškus, esančius toje pačioje plokštumoje: M c L, E - su N.