Kaip išspręsti išvestines. Funkcijos išvestinė
Išvestinis skaičiavimas viena iš svarbiausių operacijų diferencialinis skaičiavimas. Žemiau yra lentelė, skirta paprastų funkcijų išvestinėms rasti. Sudėtingesnių diferenciacijos taisyklių ieškokite kitose pamokose:- Eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių lentelė
Paprastų funkcijų dariniai
1. Skaičiaus išvestinė lygi nuliuiс´ = 0
Pavyzdys:
5' = 0
Paaiškinimas:
Išvestinė rodo greitį, kuriuo keičiasi funkcijos reikšmė pasikeitus argumentui. Kadangi skaičius jokiu būdu nesikeičia jokiomis sąlygomis, jo kitimo greitis visada lygus nuliui.
2. Kintamojo išvestinė lygus vienam
x' = 1
Paaiškinimas:
Kiekvieną kartą padidinus argumentą (x) vienu, funkcijos reikšmė (skaičiavimo rezultatas) padidėja tiek pat. Taigi funkcijos y = x reikšmės kitimo greitis yra tiksliai lygus argumento reikšmės kitimo greičiui.
3. Kintamojo ir koeficiento išvestinė yra lygi šiam veiksniui
сx´ = с
Pavyzdys:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Paaiškinimas:
IN Ši byla, kiekvieną kartą pasikeitus funkcijos argumentui ( X) jo vertė (y) auga Su kartą. Taigi funkcijos reikšmės kitimo greitis argumento kitimo greičio atžvilgiu yra tiksliai lygus reikšmei Su.
Iš kur tai išplaukia
(cx + b)" = c
y. diferencialas tiesinė funkcija y=kx+b yra kampo koeficientas tiesės nuolydis (k).
4. Modulinė kintamojo išvestinė yra lygus šio kintamojo ir jo modulio daliniui
|x|"= x / |x| su sąlyga, kad x ≠ 0
Paaiškinimas:
Kadangi kintamojo išvestinė (žr. 2 formulę) lygi vienetui, modulio išvestinė skiriasi tik tuo, kad kertant pradinį tašką funkcijos kitimo greičio reikšmė pasikeičia į priešingą (pabandykite nubraižyti grafiką funkcijos y = |x| ir pamatysite patys. Tai tiksliai reikšmė ir grąžinama išraiška x / |x| Kai x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - vienas. Tai yra, esant neigiamoms kintamojo x reikšmėms, kiekvieną kartą padidėjus argumento pokyčiui, funkcijos reikšmė sumažėja lygiai ta pačia reikšme, o esant teigiamoms reikšmėms, atvirkščiai, ji didėja, bet tiksliai ta pati vertė.
5. Kintamojo galios išvestinė yra lygus šios galios skaičiaus ir galios kintamojo sandaugai, sumažintam vienetu
(x c)"= cx c-1, su sąlyga, kad x c ir cx c-1 yra apibrėžti ir c ≠ 0
Pavyzdys:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Norėdami įsiminti formulę:
Paimkite kintamojo „žemyn“ rodiklį kaip daugiklį, o tada sumažinkite patį rodiklį vienu. Pavyzdžiui, x 2 – du buvo prieš x, o tada sumažinta galia (2-1 = 1) mums tiesiog suteikė 2x. Tas pats nutiko ir x 3 – „nusileidžiame“ tris, sumažiname vienu ir vietoj kubo gauname kvadratą, tai yra 3x 2. Šiek tiek „nemoksliška“, bet labai lengvai įsimenama.
6.Trupmenų darinys 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Pavyzdys:
Kadangi trupmena gali būti pavaizduota kaip neigiama galia
(1/x)" = (x -1)" , tada galite taikyti formulę iš išvestinių lentelės 5 taisyklės
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2
7. Trupmenų darinys su savavališko laipsnio kintamuoju vardiklyje
(1/x c)" = - c / x c+1
Pavyzdys:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. šaknies vedinys(kintamojo po kvadratine šaknimi išvestinė)
(√x)" = 1 / (2√x) arba 1/2 x -1/2
Pavyzdys:
(√x)" = (x 1/2)", kad galėtumėte taikyti formulę iš 5 taisyklės
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Kintamojo išvestinė pagal savavališko laipsnio šaknį
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
Ant jų išanalizavome paprasčiausius darinius, taip pat susipažinome su diferencijavimo taisyklėmis ir kai kuriomis išvestinių radimo technikomis. Taigi, jei nesate labai gerai susipažinę su funkcijų išvestiniais arba kai kurie šio straipsnio punktai nėra visiškai aiškūs, pirmiausia perskaitykite aukščiau pateiktą pamoką. Prašau nusiteikti rimtai – medžiaga nelengva, bet vis tiek stengsiuosi ją pateikti paprastai ir aiškiai.
Praktikoje su kompleksinės funkcijos išvestine tenka susidurti labai dažnai, net sakyčiau beveik visada, kai duodama užduotis surasti išvestines.
Lentelėje žiūrime į taisyklę (Nr. 5), kaip atskirti sudėtingą funkciją:
Mes suprantame. Visų pirma, pažvelkime į užrašą. Čia turime dvi funkcijas - ir , o funkcija, vaizdžiai tariant, yra įdėta į funkciją . Tokio tipo funkcija (kai viena funkcija įdėta į kitą) vadinama sudėtinga funkcija.
Paskambinsiu funkcijai išorinė funkcija, ir funkcija – vidinė (arba įdėta) funkcija.
! Šie apibrėžimai nėra teoriniai ir neturėtų būti įtraukti į galutinį užduočių planą. Aš naudoju neformalius posakius „išorinė funkcija“, „vidinė“ funkcija tik tam, kad jums būtų lengviau suprasti medžiagą.
Norėdami išsiaiškinti situaciją, apsvarstykite:
1 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Po sinusu turime ne tik raidę "x", bet ir visą išraišką, todėl išvestinės iš karto rasti iš lentelės nepavyks. Taip pat pastebime, kad čia neįmanoma taikyti pirmųjų keturių taisyklių, atrodo, kad skirtumas yra, bet faktas yra tas, kad sinuso „išplėšti“ neįmanoma:
IN šis pavyzdys jau iš mano paaiškinimų intuityviai aišku, kad funkcija yra sudėtinga funkcija, o daugianomas yra vidinė funkcija (įterpimas) ir išorinė funkcija.
Pirmas žingsnis, kuris turi būti atliktas ieškant sudėtingos funkcijos išvestinės to suprasti, kuri funkcija yra vidinė, o kuri išorinė.
Kada paprasti pavyzdžiai atrodo aišku, kad polinomas yra įdėtas po sinusu. Bet kas, jei tai nėra akivaizdu? Kaip tiksliai nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė? Norėdami tai padaryti, siūlau naudoti šią techniką, kurią galima atlikti protiškai arba pagal juodraštį.
Įsivaizduokime, kad reiškinio reikšmę reikia apskaičiuoti skaičiuotuvu (vietoj vieno skaičius gali būti bet koks).
Ką pirmiausia skaičiuosime? Pirmiausia turėsite atlikti šį veiksmą: , todėl daugianomas bus vidinė funkcija: 
Antra jums reikės rasti, taigi sinusas - bus išorinė funkcija: 
Po mūsų SUPRASTI su vidinėmis ir išorinėmis funkcijomis, laikas taikyti sudėtinių funkcijų diferenciacijos taisyklę 
.
Pradedame spręsti. Iš pamokos Kaip rasti išvestinę priemonę? prisimename, kad bet kurios išvestinės sprendinio dizainas visada prasideda taip - išraišką įdedame skliausteliuose, o viršuje dešinėje darome brūkšnį:
Iš pradžių randame išorinės funkcijos išvestinę (sinusą), pažiūrime į elementariųjų funkcijų išvestinių lentelę ir pastebime, kad . Visos lentelės formulės yra taikomos, net jei "x" pakeičiamas sudėtinga išraiška, tokiu atveju:
Atkreipkite dėmesį, kad vidinė funkcija nepasikeitė, jo neliečiame.
Na, tai visiškai akivaizdu
Formulės taikymo rezultatas 
švarus atrodo taip:
Pastovus koeficientas paprastai dedamas išraiškos pradžioje:
Jei kyla nesusipratimų, užrašykite sprendimą ant popieriaus ir dar kartą perskaitykite paaiškinimus.
2 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
3 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Kaip visada rašome: 
Išsiaiškiname, kur turime išorinę funkciją, o kur – vidinę. Norėdami tai padaryti, bandome (protiškai arba juodraštyje) apskaičiuoti išraiškos reikšmę. Ką pirmiausia reikia padaryti? Visų pirma reikia apskaičiuoti, kam lygi bazė:, tai reiškia, kad daugianomas yra vidinė funkcija: 
Ir tik tada atliekamas eksponentiškumas, todėl galios funkcija yra išorinė funkcija: 
Pagal formulę 
, pirmiausia reikia rasti išorinės funkcijos išvestinę, šiuo atveju laipsnį. Lentelėje ieškome norimos formulės:. Dar kartą kartojame: bet kuri lentelės formulė galioja ne tik "x", bet ir sudėtingai išraiškai. Taigi kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklės taikymo rezultatas 
Kitas:
Dar kartą pabrėžiu, kad imant išorinės funkcijos išvestinę, vidinė funkcija nesikeičia: 
Dabar belieka rasti labai paprastą vidinės funkcijos darinį ir šiek tiek „šukuoti“ rezultatą:
4 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Tai pavyzdys savarankiškam sprendimui (atsakymas pamokos pabaigoje).
Norėdami įtvirtinti supratimą apie sudėtingos funkcijos išvestinę, pateiksiu pavyzdį be komentarų, pabandykite tai išsiaiškinti patys, motyvuokite, kur yra išorinė, o kur vidinė funkcija, kodėl užduotys sprendžiamos būtent taip?
5 pavyzdys
a) Raskite funkcijos išvestinę
b) Raskite funkcijos išvestinę
6 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę 
Čia mes turime šaknį, o norint atskirti šaknį, ji turi būti pavaizduota kaip laipsnis. Taigi pirmiausia pateikiame funkciją į tinkamą diferencijavimo formą:
Analizuodami funkciją, darome išvadą, kad trijų narių suma yra vidinė funkcija, o eksponentiškumas yra išorinė funkcija. Taikome kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklę 
:
Laipsnis vėl vaizduojamas kaip radikalas (šaknis), o vidinės funkcijos išvestinei taikome paprastą sumos diferencijavimo taisyklę:
Paruošta. Taip pat galite suvesti išraišką į bendrą vardiklį skliausteliuose ir parašyti viską kaip vieną trupmeną. Žinoma, gražu, bet kai gaunami sudėtingi ilgi dariniai, geriau to nedaryti (lengva susipainioti, padaryti nereikalingą klaidą, o mokytojui bus nepatogu patikrinti).
7 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Tai pavyzdys savarankiškam sprendimui (atsakymas pamokos pabaigoje).
Įdomu pastebėti, kad kartais vietoj sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklės galima naudoti koeficiento diferencijavimo taisyklę. 
, tačiau toks sprendimas atrodys kaip iškrypimas neįprastas. Štai tipiškas pavyzdys:
8 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Čia galite naudoti koeficiento diferenciacijos taisyklę 
, tačiau daug pelningiau išvestinę rasti taikant sudėtingos funkcijos diferenciacijos taisyklę:
Paruošiame funkciją diferencijuoti - išimame išvestinės minuso ženklą ir pakeliame kosinusą iki skaitiklio:
Kosinusas yra vidinė funkcija, eksponencija yra išorinė funkcija.
Pasinaudokime savo taisykle 
:
Randame vidinės funkcijos išvestinę, iš naujo nustatome kosinusą žemyn:
Paruošta. Nagrinėjamame pavyzdyje svarbu nesupainioti ženkluose. Beje, pabandykite tai išspręsti taisykle 
, atsakymai turi sutapti.
9 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Tai pavyzdys savarankiškam sprendimui (atsakymas pamokos pabaigoje).
Iki šiol svarstėme atvejus, kai sudėtingoje funkcijoje turėjome tik vieną lizdą. Praktinėse užduotyse dažnai galima rasti išvestinių, kur, kaip ir lėlės, viena kitos viduje, vienu metu įdėtos 3 ar net 4-5 funkcijos.
10 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Mes suprantame šios funkcijos priedus. Bandome įvertinti išraišką naudodami eksperimentinę reikšmę . Kaip suskaičiuotume skaičiuotuvą?
Pirmiausia turite rasti, o tai reiškia, kad arcsinusas yra giliausias lizdas:
Tada šis vienybės arcsinusas turėtų būti padalytas kvadratu:
Ir galiausiai iškeliame septynis į galią: 
Tai reiškia, kad šiame pavyzdyje turime tris skirtingas funkcijas ir du lizdus, o vidinė funkcija yra arcsinė, o tolimiausia funkcija yra eksponentinė funkcija.
Pradedame spręsti
Pagal taisyklę 
pirmiausia reikia paimti išorinės funkcijos išvestinę. Žiūrime į išvestinių lentelę ir randame eksponentinės funkcijos išvestinę: Vienintelis skirtumas yra tas, kad vietoj „x“ turime sudėtingą išraišką, kuri nepaneigia šios formulės galiojimo. Taigi, kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisyklės taikymo rezultatas 
Kitas.
Eksponentinio (e iki x laipsnio) ir eksponentinės funkcijos (a iki x laipsnio) formulių įrodymas ir išvedimas. e^2x, e^3x ir e^nx išvestinių skaičiavimo pavyzdžiai. Aukštesnio laipsnio išvestinių finansinių priemonių formulės.
Rodiklio išvestinė lygi pačiam laipsniui (e išvestinė iš x laipsnio lygi e laipsnio x):
(1)
(e x )′ = e x.
A laipsnio bazę turinčios eksponentinės funkcijos išvestinė yra lygi pačiai funkcijai, padaugintai iš natūralusis logaritmas iš :
(2)
.
Rodiklio, e, laipsnio x laipsnio formulės išvedimas
Rodiklis yra eksponentinė funkcija, kurios eksponento bazė yra lygi skaičiui e, kuris yra ši riba:
.
Čia tai gali būti natūralus arba tikrasis skaičius. Toliau išvedame eksponento išvestinės formulę (1).
Rodiklio išvestinės formulės išvedimas
Apsvarstykite eksponentą e iki x laipsnio:
y = e x .
Ši funkcija nustatyta visiems. Raskime jo išvestinę x atžvilgiu. Pagal apibrėžimą išvestinė yra tokia riba:
(3)
.
Transformuokime šią išraišką, kad sumažintume ją iki žinomų matematinių savybių ir taisyklių. Tam mums reikia šių faktų:
A) Eksponento ypatybė:
(4)
;
B) Logaritmo savybė:
(5)
;
IN) Ištisinės funkcijos logaritmo tęstinumas ir ribų savybė:
(6)
.
Štai keletas funkcijų, kurios turi ribą ir ši riba yra teigiama.
G) Antrosios nuostabios ribos prasmė:
(7)
.
Šiuos faktus taikome iki savo ribų (3). Mes naudojame turtą (4):
;
.
Padarykime pakaitalą. Tada; .
Dėl eksponento tęstinumo,
.
Todėl , . Dėl to gauname:
.
Padarykime pakaitalą. Tada . adresu , . Ir mes turime:
.
Taikome logaritmo savybę (5):
. Tada
.
Taikykime savybę (6). Kadangi yra teigiama riba, o logaritmas yra tęstinis, tada:
.
Čia taip pat naudojome antrąją nepaprastą ribą (7). Tada
.
Taigi, mes gavome (1) formulę eksponento išvestinei.
Eksponentinės funkcijos išvestinės formulės išvedimas
Dabar išvedame formulę (2) eksponentinės funkcijos išvestinei su a laipsnio baze. Mes tikime, kad ir. Tada eksponentinė funkcija
(8)
Apibrėžta visiems.
Transformuokime (8) formulę. Tam mes naudojame eksponentinės funkcijos savybės ir logaritmas.
;
.
Taigi, mes transformavome formulę (8) į tokią formą:
.
Aukštesnės eilės e išvestinės iki x laipsnio
Dabar suraskime aukštesnių eilučių išvestinius. Pirmiausia pažvelkime į eksponentą:
(14)
.
(1)
.
Matome, kad funkcijos (14) išvestinė yra lygi pačiai funkcijai (14). Diferencijuodami (1), gauname antros ir trečios eilės išvestines:
;
.
Tai rodo, kad n-osios eilės išvestinė taip pat yra lygi pradinei funkcijai:
.
Aukštesnės eilės eksponentinės funkcijos išvestinės
Dabar apsvarstykite eksponentinė funkcija su baziniu laipsniu a:
.
Mes radome pirmosios eilės išvestinį:
(15)
.
Diferencijuodami (15), gauname antros ir trečios eilės išvestines:
;
.
Matome, kad kiekviena diferenciacija lemia pradinės funkcijos padauginimą iš . Todėl n-oji išvestinė turi tokią formą:
.
Po išankstinio artilerijos paruošimo pavyzdžiai su 3-4-5 funkcijų priedais bus mažiau baisūs. Galbūt kažkam šie du pavyzdžiai atrodys sudėtingi, bet jei jie bus suprasti (kas nors kenčia), tai beveik visa kita diferencialiniame skaičiavime atrodys kaip vaiko pokštas.
2 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Kaip jau buvo pažymėta, ieškant sudėtingos funkcijos išvestinę, pirmiausia tai būtina Teisingai SUPRASTAS INVESTICIJOS. Tais atvejais, kai kyla abejonių, primenu naudinga technika: paimame, pavyzdžiui, eksperimentinę reikšmę „x“ ir bandome (protiškai arba juodraštyje) pakeisti šią reikšmę į „baisią išraišką“.
1) Pirmiausia turime apskaičiuoti išraišką, todėl suma yra giliausias lizdas.
2) Tada reikia apskaičiuoti logaritmą:
4) Tada supjaustykite kosinusą:
5) Penktame etape skirtumas:
6) Galiausiai, tolimiausia funkcija yra kvadratinė šaknis: 
Sudėtinga funkcijų diferenciacijos formulė 
yra taikomos atvirkštine tvarka, nuo išorinės funkcijos iki vidinės. Mes nusprendžiame:
Atrodo, kad be klaidų:
1) Imame išvestinę iš kvadratinė šaknis.
2) Naudodami taisyklę imame skirtumo išvestinę 
3) Trigubo išvestinė lygi nuliui. Antruoju nariu imame laipsnio (kubo) išvestinę.
4) Imame kosinuso išvestinę.
6) Galiausiai paimame giliausio lizdo išvestinį .
Tai gali atrodyti per sunku, bet tai nėra pats žiauriausias pavyzdys. Paimkite, pavyzdžiui, Kuznecovo kolekciją ir įvertinsite visą analizuojamo darinio žavesį ir paprastumą. Pastebėjau, kad per egzaminą mėgsta duoti panašų dalyką, kad patikrintų, ar studentas supranta, kaip rasti sudėtingos funkcijos išvestinę, ar nesupranta.
Šis pavyzdys skirtas atskiram sprendimui.
3 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Patarimas: Pirmiausia taikome gaminio tiesiškumo ir diferenciacijos taisykles
Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.
Atėjo laikas pereiti prie kažko kompaktiškesnio ir gražesnio.
Neretai pasitaiko situacija, kai pavyzdyje pateikiama ne dviejų, o trijų funkcijų sandauga. Kaip rasti išvestinę gaminiai iš trijų daugikliai?
4 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę 
Pirmiausia žiūrime, bet ar įmanoma trijų funkcijų sandaugą paversti dviejų funkcijų sandauga? Pavyzdžiui, jei gaminyje būtų du daugianariai, galėtume atidaryti skliaustus. Tačiau šiame pavyzdyje visos funkcijos yra skirtingos: laipsnis, eksponentas ir logaritmas.
Tokiais atvejais būtina paeiliui taikyti produktų diferencijavimo taisyklę 
du kartus
Triukas yra tas, kad „y“ žymime dviejų funkcijų sandaugą: , o „ve“ - logaritmą:. Kodėl tai galima padaryti? Ar tai 
- tai ne dviejų veiksnių rezultatas ir taisyklė neveikia?! Nėra nieko sudėtingo:
Dabar belieka taisyklę taikyti antrą kartą skliausteliui:
Dar galima iškreipti ir ką nors ištraukti iš skliaustų, bet tokiu atveju geriau palikti atsakymą šioje formoje – bus lengviau patikrinti.
Aukščiau pateiktą pavyzdį galima išspręsti antruoju būdu:
Abu sprendimai yra visiškai lygiaverčiai.
5 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Tai yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys, pavyzdyje jis išspręstas pirmuoju būdu.
Apsvarstykite panašius pavyzdžius su trupmenomis.
6 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę 
Čia galite eiti keliais būdais:
Arba taip:
Bet sprendimas gali būti parašytas kompaktiškiau, jei visų pirma naudosime koeficiento diferenciacijos taisyklę 
, imant visą skaitiklį:
Iš principo pavyzdys išspręstas, o jei jis bus paliktas tokia forma, tai nebus klaida. Bet jei turite laiko, visada patartina patikrinti juodraštį, bet ar įmanoma supaprastinti atsakymą?
Skaitiklio išraišką sujungiame į bendrą vardiklį ir atsikratome triaukštės trupmenos:
Papildomų supaprastinimų trūkumas yra tas, kad kyla grėsmė suklysti ne ieškant išvestinės, o kai banalios mokyklos pertvarkos. Kita vertus, mokytojai dažnai atmeta užduotį ir prašo „atsiminti“ išvestinį.
Paprastesnis „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:
7 pavyzdys
Raskite funkcijos išvestinę
Mes ir toliau įvaldome išvestinės paieškos metodus, o dabar nagrinėsime tipišką atvejį, kai diferencijavimui siūlomas „siaubingas“ logaritmas.
Išvestinės radimo operacija vadinama diferenciacija.
Išsprendus paprasčiausių (ir nelabai paprastų) funkcijų išvestinių radimo uždavinius, išvestinę apibrėžiant kaip argumento prieaugio santykio ribą, atsirado išvestinių lentelė ir tiksliai apibrėžtos diferenciacijos taisyklės. . Pirmieji vedinių paieškos srityje pradėjo dirbti Izaokas Niutonas (1643-1727) ir Gotfrydas Vilhelmas Leibnicas (1646-1716).
Todėl mūsų laikais, norint rasti kokios nors funkcijos išvestinę, nereikia skaičiuoti minėtos funkcijos prieaugio ir argumento prieaugio santykio ribos, o tik pasinaudoti lentele. išvestinių ir diferencijavimo taisyklių. Išvestinei rasti tinka toks algoritmas.
Norėdami rasti išvestinę, jums reikia išraiškos po brūkšnio ženklu suskaidyti paprastas funkcijas ir nustatyti kokius veiksmus (produktas, suma, koeficientas)šios funkcijos yra susijusios. Toliau elementariųjų funkcijų išvestinius randame išvestinių lentelėje, o sandaugos, sumos ir dalinio išvestinių formules - diferenciacijos taisyklėse. Išvestinių ir diferenciacijos taisyklių lentelė pateikta po pirmųjų dviejų pavyzdžių.
1 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Iš diferenciacijos taisyklių sužinome, kad funkcijų sumos išvestinė yra funkcijų išvestinių suma, t.y.
Iš išvestinių lentelės sužinome, kad "X" išvestinė yra lygi vienetui, o sinuso išvestinė yra kosinusas. Šias reikšmes pakeičiame išvestinių sumoje ir randame išvestinę, kurios reikia pagal problemos sąlygą:
2 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Diferencijuokite kaip sumos išvestinę, kurioje antrasis narys su pastoviu koeficientu gali būti išimamas iš išvestinės ženklo:
Jei vis dar kyla klausimų, iš kur kažkas atsiranda, jie, kaip taisyklė, paaiškėja perskaičius išvestinių lentelę ir paprasčiausias diferenciacijos taisykles. Mes einame pas juos dabar.
Paprastų funkcijų išvestinių lentelė
| 1. Konstantos (skaičiaus) išvestinė. Bet koks skaičius (1, 2, 5, 200...), esantis funkcijos išraiškoje. Visada nulis. Tai labai svarbu atsiminti, nes to reikalaujama labai dažnai | |
| 2. Nepriklausomo kintamojo išvestinė. Dažniausiai "x". Visada lygus vienam. Tai taip pat svarbu atsiminti | |
| 3. Laipsnio išvestinė. Sprendžiant problemas, reikia konvertuoti ne kvadratines šaknis į laipsnį. | |
| 4. Kintamojo išvestinė iki -1 laipsnio | |
| 5. Kvadratinės šaknies išvestinė | |
| 6. Sinuso darinys | |
| 7. Kosinuso išvestinė |  |
| 8. Tangentinė išvestinė |  |
| 9. Kotangento išvestinė |  |
| 10. Arsinuso išvestinė |  |
| 11. Lanko kosinuso išvestinė |  |
| 12. Arkos liestinės išvestinė |  |
| 13. Atvirkštinės liestinės išvestinė |  |
| 14. Natūralaus logaritmo išvestinė | |
| 15. Logaritminės funkcijos išvestinė |  |
| 16. Rodiklio išvestinė | |
| 17. Eksponentinės funkcijos išvestinė |
Diferencijavimo taisyklės
| 1. Sumos arba skirtumo išvestinė |  |
| 2. Produkto darinys |  |
| 2a. Išraiškos, padaugintos iš pastovaus koeficiento, išvestinė | |
| 3. Dalinio išvestinė |  |
| 4. Sudėtinės funkcijos išvestinė |  |
1 taisyklėJei funkcijos
yra diferencijuojami tam tikru tašku, tada tame pačiame taške funkcijos
ir
tie. algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai.
Pasekmė. Jei dvi diferencijuojamos funkcijos skiriasi konstanta, tai jų išvestinės yra, t.y.
2 taisyklėJei funkcijos
tam tikru momentu skiriasi, tada jų produktas taip pat skiriasi tame pačiame taške
ir
tie. dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų ir kitos išvestinei sumai.
1 pasekmė. Pastovų koeficientą galima išimti iš išvestinės ženklo:
2 pasekmė. Kelių diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvieno faktoriaus ir visų kitų išvestinės sandaugų sumai.
Pavyzdžiui, trims daugintuvams:
3 taisyklėJei funkcijos
tam tikru momentu skiriasi Ir , tada šioje vietoje jų koeficientas taip pat yra diferencijuotas.u/v , ir
tie. dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio ir skaitiklio išvestinės ir skaitiklio ir vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, o vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas .
Kur ieškoti kituose puslapiuose
Kai surandama sandaugos išvestinė ir koeficientas in tikros užduotys visada reikia taikyti kelias diferenciacijos taisykles vienu metu, todėl daugiau pavyzdžių apie šias išvestines yra straipsnyje"produkto ir koeficiento išvestinė".
komentuoti. Neturėtumėte painioti konstantos (ty skaičiaus) kaip sumos termino ir kaip pastovaus koeficiento! Termino atveju jo išvestinė lygi nuliui, o esant pastoviam veiksniui – išimama iš išvestinių ženklo. Tai tipinė klaida, kuri įvyksta Pradinis etapas mokymosi išvestinių, tačiau sprendžiant kelis vieno-dviejų komponentų pavyzdžius, vidutinis mokinys šios klaidos nebedaro.
Ir jei diferencijuodami produktą ar koeficientą turite terminą u"v, kuriame u- skaičius, pavyzdžiui, 2 arba 5, tai yra konstanta, tada šio skaičiaus išvestinė bus lygi nuliui, todėl visas terminas bus lygus nuliui (toks atvejis analizuojamas 10 pavyzdyje) .
Kita dažna klaida- sudėtingos funkcijos išvestinės kaip paprastos funkcijos išvestinės mechaninis sprendimas. Štai kodėl sudėtingos funkcijos išvestinė skirta atskiram straipsniui. Bet pirmiausia išmoksime rasti paprastų funkcijų išvestinius.
Pakeliui neapsieisite be posakių transformacijų. Norėdami tai padaryti, gali tekti atidaryti naujus „Windows“ vadovus Veiksmai su galiomis ir šaknimis Ir Veiksmai su trupmenomis .
Jei ieškote sprendimų dėl išvestinių su galiomis ir šaknimis, tai yra, kai funkcija atrodo kaip 
, tada sekite pamoką „Trupmenų su laipsniais ir šaknimis išvestinė“.
Jei turite tokią užduotį kaip 
, tada esate pamokoje „Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai“.
Žingsnis po žingsnio pavyzdžiai – kaip rasti išvestinę
3 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Nustatome funkcijos išraiškos dalis: visa išraiška reprezentuoja sandaugą, o jos veiksniai yra sumos, kurių antrajame viename iš terminų yra pastovus koeficientas. Taikome sandaugų diferenciacijos taisyklę: dviejų funkcijų sandaugos išvestinė yra lygi kiekvienos iš šių funkcijų sandaugų sumai, o kitos – išvestinei:
Toliau taikome sumos diferenciacijos taisyklę: algebrinės funkcijų sumos išvestinė lygi šių funkcijų išvestinių algebrinei sumai. Mūsų atveju kiekvienoje sumoje antrasis terminas su minuso ženklu. Kiekvienoje sumoje matome ir nepriklausomą kintamąjį, kurio išvestinė lygi vienetui, ir konstantą (skaičius), kurios išvestinė lygi nuliui. Taigi „x“ virsta vienetu, o minus 5 – nuliu. Antroje išraiškoje „x“ padauginama iš 2, todėl du padauginame iš to paties vieneto kaip ir „x“ išvestinė. Gauname tokias išvestinių priemonių vertes:
Rastas išvestis pakeičiame sandaugų suma ir gauname visos funkcijos išvestinę, kurios reikalauja uždavinio sąlyga:
4 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Turime rasti koeficiento išvestinę. Taikome dalinio diferencijavimo formulę: dviejų funkcijų dalinio išvestinė yra lygi trupmenai, kurios skaitiklis yra vardiklio ir skaitiklio išvestinės ir skaitiklio bei vardiklio išvestinės sandaugų skirtumas, ir vardiklis yra buvusio skaitiklio kvadratas. Mes gauname:
Veiksnių išvestinę skaitiklyje jau radome 2 pavyzdyje. Taip pat nepamirškime, kad sandauga, kuri dabartiniame pavyzdyje yra antrasis skaitiklio veiksnys, imamas su minuso ženklu:
Jei ieškote sprendimų tokioms problemoms, kuriose reikia rasti funkcijos išvestinę, kurioje yra nuolatinė šaknų ir laipsnių krūva, pvz., 
tada sveiki atvykę į klasę "Trupmenų su laipsniais ir šaknimis sumos išvestinė" .
Jei reikia daugiau sužinoti apie sinusų, kosinusų, liestinių ir kt trigonometrinės funkcijos, tai yra, kai funkcija atrodo kaip , tada jūs turite pamoką "Paprastų trigonometrinių funkcijų dariniai" .
5 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Šioje funkcijoje matome sandaugą, kurios vienas iš faktorių yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis, su kurio išvestine mes susipažinome išvestinių lentelėje. Pagal sandaugų diferenciacijos taisyklę ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę gauname:
6 pavyzdys Raskite funkcijos išvestinę
Sprendimas. Šioje funkcijoje matome koeficientą, kurio dividendas yra nepriklausomo kintamojo kvadratinė šaknis. Pagal dalinio diferenciacijos taisyklę, kurią pakartojome ir taikėme 4 pavyzdyje, ir kvadratinės šaknies išvestinės lentelės reikšmę, gauname:
Norėdami atsikratyti trupmenos skaitiklyje, padauginkite skaitiklį ir vardiklį iš .
