namai › Važiuoklė › Monty Hall paradoksas. Netiksliausia matematika

Monty Hall paradoksas. Netiksliausia matematika

Kurio sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

Problema suformuluota kaip žaidimo aprašymas pagal amerikietišką žaidimų laidą „Susidarom“ ir pavadinta tos laidos vedėjo vardu. Dažniausia šios problemos formuluotė, publikuota 1990 m. žurnale Parado žurnalas, skamba taip:

Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyviu. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Jūs pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po kurio vadovas, žinantis, kur yra automobilis, o kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numeris 3, už kurių yra ožka. Po to jis jūsų klausia, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2? Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite vedėjo pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?

Paskelbus iškart paaiškėjo, kad užduotis suformuluota neteisingai: nurodytos ne visos sąlygos. Pavyzdžiui, vedėjas gali vadovautis „Pragaro Monty“ strategija: pasiūlyti pakeisti pasirinkimą tada ir tik tada, kai žaidėjas pasirinko automobilį kaip savo pirmąjį žingsnį. Akivaizdu, kad pakeitus pradinį pasirinkimą tokioje situacijoje bus garantuotas nuostolis (žr. toliau).

Populiariausia užduotis su papildoma sąlyga – žaidimo dalyvis iš anksto žino šias taisykles:

automobilis yra vienodai tikėtinas už bet kurių iš trijų durų;
Bet kuriuo atveju vedėjas privalo atidaryti duris su ožiu (bet ne ta, kurią žaidėjas pasirinko) ir pakviesti žaidėją pakeisti pasirinkimą;
Jei vadovas gali pasirinkti, kurias iš dviejų durų atidaryti, jis pasirenka bet kurią iš jų su vienoda tikimybe.

Tolesniame tekste Monty Hall problema aptariama būtent tokia formuluote.

Analizė

Laimėjimo strategijai svarbu: jei pakeisite durų pasirinkimą po lyderio veiksmų, tada laimite, jei iš pradžių pasirinkote pralaimėjusias duris. Tikėtina, kad taip nutiks 2 ⁄ 3 , nes iš pradžių prarandančias duris galite pasirinkti 2 iš 3 būdų.

Tačiau dažnai spręsdami šią problemą jie samprotauja maždaug taip: lyderis visada pašalina vienas prarandamas duris, o tada tikimybė, kad automobilis atsiras už dviejų neatidarytų, tampa lygi ½, nepriklausomai nuo pradinio pasirinkimo. Bet tai netiesa: nors iš tiesų yra dvi pasirinkimo galimybės, šios galimybės (atsižvelgiant į foną) nėra vienodai tikėtinos! Tai tiesa, nes iš pradžių visos durys turėjo vienodas galimybes laimėti, bet vėliau turėjo skirtingą tikimybę būti pašalintos.

Daugeliui žmonių ši išvada prieštarauja intuityviam situacijos suvokimui, o dėl atsiradusio loginės išvados ir atsakymo, į kurį linksta intuityvi nuomonė, neatitikimo, problema vadinama. Monty Hall paradoksas.

Situacija su durimis tampa dar aiškesnė, jei įsivaizduoji, kad yra ne 3 durys, o, tarkime, 1000, o žaidėjui pasirinkus vedėjas pašalina 998 papildomas, palikdamas 2 duris: tas, kurias pasirinko žaidėjas, ir dar vienas. Atrodo akivaizdžiau, kad tikimybė rasti prizą už šių durų yra skirtinga ir nėra lygi ½. Jei pakeičiame duris, pralaimime tik tada, kai pirmiau pasirinkome prizo duris, kurių tikimybė yra 1:1000. Mes laimime, jei mūsų pradinis pasirinkimas buvo Ne teisinga, o to tikimybė yra 999 iš 1000. 3 durų atveju logika išlieka, tačiau pakeitus sprendimą tikimybė laimėti atitinkamai mažesnė, t. 2 ⁄ 3 .

Kitas samprotavimo būdas – sąlygą pakeisti lygiaverte. Įsivaizduokime, kad vietoj to, kad žaidėjas padarytų pradinį pasirinkimą (tegu visada bus durys Nr. 1), o paskui lyderis atidaro duris su ožiu tarp likusių (tai yra visada tarp Nr. 2 ir Nr. 3), įsivaizduokite, kad žaidėjui pirmu bandymu reikia atspėti duris, tačiau jam iš anksto pranešama, kad už durų Nr.1 su pradine tikimybe (33%) gali būti automobilis, o tarp likusių durų nurodoma, kuri iš durų tikrai nėra automobilio (0%). Atitinkamai, paskutinės durys visada sudarys 67%, todėl pageidautina jų pasirinkimo strategija.

Kitas vedėjo elgesys

Klasikinė versija Monty Hall paradoksas teigia, kad šeimininkas tikrai pasiūlys žaidėjui pasikeisti duris, nesvarbu, ar jis pasirinko automobilį, ar ne. Tačiau galimas ir sudėtingesnis vadovo elgesys. Šioje lentelėje trumpai aprašomi keli elgesio būdai.

Galimas vedėjos elgesys
Pranešėjo elgesys	Rezultatas
„Hell Monty“: šeimininkas siūlo pakeisti, jei durys yra tinkamos.	Pokyčiai visada pagimdys ožką.
„Angelas Monty“: šeimininkas siūlo pasikeisti, jei durys netinkamos.	Pokyčiai visada suteiks jums automobilį.
„Nežinantis Monty“ arba „Monty Buh“: vedėjas netyčia krenta, atsidaro durys ir paaiškėja, kad už jo nėra automobilio. Kitaip tariant, pats vedėjas nežino, kas yra už durų, jis duris atidaro visiškai atsitiktinai, o tik atsitiktinai už jų nebuvo automobilio.	Pakeitimas suteikia naudos ½ atvejų. Būtent taip veikia amerikiečių laida „Deal or No Deal“ – tačiau atsitiktines duris atidaro pats žaidėjas, o jei už jo nėra automobilio, vedėjas pasiūlo jas pakeisti.
Šeimininkas pasirenka vieną iš ožkų ir atidaro, jei žaidėjas pasirinko kitas duris.	Pakeitimas suteikia naudos ½ atvejų.
Vadovas visada atidaro ožką. Jei pasirenkamas automobilis, kairioji ožka atsidaro su tikimybe p ir teisingai su tikimybe q=1−p.	Jei lyderis atidarė kairiąsias duris, pamaina duoda laimėjimą su tikimybe 1 1 + p (\displaystyle (\frac (1)(1+p))). Jei teisus - 1 1 + q (\displaystyle (\frac (1)(1+q))). Tačiau subjektas niekaip negali turėti įtakos tikimybei, kad bus atidarytos tinkamos durys – nepaisant jo pasirinkimo, tai įvyks su tikimybe. 1 + q 3 (\displaystyle (\frac (1+q)(3))).
Tas pats, p=q= ½ (klasikinis atvejis).	Pakeitimas suteikia laimėjimą su tikimybe 2 ⁄ 3 .
Tas pats, p=1, q=0 („bejėgis Monty“ – pavargęs vedėjas stovi prie kairiųjų durų ir atidaro arčiau esančią ožką).	Jei lyderis atidaro tinkamas duris, pasikeitimas suteikia garantuotą laimėjimą. Jei paliekama - tikimybė ½.
Pranešėjas visada atidaro ožką, jei pasirenkamas automobilis, o su ½ tikimybe kitu atveju.	Pakeitimas suteikia laimėjimą su ½ tikimybe.
Bendras atvejis: žaidimas kartojamas daug kartų, tikimybė paslėpti automobilį už vienų ar kitų durų, taip pat atidaryti vienas ar kitas duris yra savavališka, tačiau vadovas žino, kur yra automobilis ir visada pasiūlo pakeisti, atidarydamas vieną iš ožkos.	Nešo pusiausvyra: lyderis daugiausiai naudos iš Monty Hall paradokso klasikine forma (tikimybė laimėti 2 ⁄ 3 ). Automobilis slepiasi už bet kurių durų su ⅓ tikimybe; jei yra pasirinkimas, atsitiktinai atidarome bet kurią ožką.
Tas pats, bet vedėjas gali išvis neatidaryti durų.	Nešo pusiausvyra: lyderiui naudinga neatidaryti durų, tikimybė laimėti yra ⅓.

taip pat žr

Pastabos

Tierney, John (1991 m. liepos 21 d.), „Už Monty's Hall“ durų: galvosūkis, diskusijos ir atsakymas? ", „The New York Times“., . Žiūrėta 2008 m. sausio 18 d.

1963 m. gruodį Amerikos televizijos kanalas NBC pirmą kartą transliavo programą „Susitarkime“ („Leisk susitarti!“), kurioje iš studijos publikos atrinkti dalyviai derėjosi tarpusavyje ir su vedėju. maži žaidimai arba tiesiog atspėjo atsakymą į klausimą. Pasibaigus šou, dalyviai galėjo žaisti „dienos sandorį“. Prieš juos buvo trejos durys, apie kurias buvo žinoma, kad už vienų – Pagrindinis prizas (pavyzdžiui, automobilis), o už kitų – mažiau vertingos arba visiškai absurdiškos dovanos (pavyzdžiui, gyvos ožkos). Po to, kai žaidėjas pasirinko, programos vedėjas Monty Hall atidarys vienas iš dviejų likusių durų, parodydamas, kad po jo nėra prizo, ir suteikdamas dalyviui pasitenkinimą, kad jis vis dar turi galimybę laimėti.

1975 m. Kalifornijos universiteto mokslininkas Steve'as Selvinas susimąstė, kas nutiktų, jei tą akimirką, atsidarius durims be prizo, dalyvio būtų paprašyta pakeisti savo pasirinkimą. Ar tokiu atveju pasikeis žaidėjo galimybės gauti Prizą ir jei taip, kokia kryptimi? Atitinkamą klausimą problemos forma jis nusiuntė žurnalui „The American Statistician“, taip pat pačiam Monty Hallui, kuris jam pateikė gana įdomų atsakymą. Nepaisant šio atsakymo (o gal dėl jo), problema išpopuliarėjo pavadinimu „Monty Hall problema“.

Dažniausia šios problemos formuluotė, paskelbta 1990 m. Parade Magazine, yra tokia:

„Įsivaizduokite, kad tampate žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyviu. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Jūs pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po kurio vadovas, žinantis, kur yra automobilis, o kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numeris 3, už kurių yra ožka. Po to jis jūsų klausia, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2. Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite vedėjo pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?

Populiariausia užduotis su papildoma sąlyga – žaidimo dalyvis iš anksto žino šias taisykles:

automobilis yra vienodai tikėtinas už bet kurių iš 3 durų;
Bet kuriuo atveju vedėjas privalo atidaryti duris su ožiu (bet ne ta, kurią žaidėjas pasirinko) ir pakviesti žaidėją pakeisti pasirinkimą;
Jei vadovas gali pasirinkti, kurias iš dviejų durų atidaryti, jis pasirenka bet kurią iš jų su vienoda tikimybe.

Užuomina

Pabandykite atsižvelgti į žmones, kurie tuo pačiu atveju pasirinko skirtingas duris (tai yra, kai prizas yra, pavyzdžiui, už durų Nr. 1). Kam bus naudinga pakeisti savo pasirinkimą, o kam – ne?

Sprendimas

Kaip siūloma raginime, pažvelkime į žmones, kurie pasirinko skirtingai. Tarkime, kad prizas yra už durų #1, o už durų #2 ir #3 yra ožkos. Turėkime šešis žmones, du žmonės pasirinko kiekvieną duris, ir iš kiekvienos poros vienas vėliau pakeitė savo sprendimą, o kitas – ne.

Atkreipkite dėmesį, kad pasirinkusiems duris Nr. 1, Pristatytojas pagal savo skonį atvers vienas iš dviejų durų ir, nepaisant to, Automobilį gaus tie, kurie nekeičia savo pasirinkimo, o tie, kurie keičia pradinį pasirinkimą liks be Prizo. Dabar pažiūrėkime į tuos, kurie rinkosi duris Nr.2 ir Nr.3. Kadangi už durų Nr.1 stovi Automobilis, lyderis negali jų atidaryti, o tai jam nelieka pasirinkimo – joms jis atidaro atitinkamai duris Nr.3 ir Nr.2. Tokiu atveju kiekvienoje poroje sprendimą pakeitęs asmuo galiausiai išsirinks Prizą, o nepakeitęs liks be nieko. Taigi, iš trijų sprendimus pakeitusių asmenų Prizą gaus du, ožką – vienam, o iš trijų, palikusių nepakeistą savo pirminį pasirinkimą, Prizą gaus tik vienas.

Pažymėtina, kad jei Automobilis būtų atsidūręs už durų Nr.2 ar Nr.3, rezultatas būtų buvęs toks pat, būtų pasikeitę tik konkretūs laimėtojai. Taigi, darant prielaidą, kad iš pradžių kiekvienos durys pasirenkamos vienoda tikimybe, matome, kad tie, kurie keičia savo pasirinkimą, Prizą laimi dvigubai dažniau, tai yra, tikimybė laimėti šiuo atveju yra didesnė.

Pažvelkime į šią problemą matematinės tikimybių teorijos požiūriu. Darysime prielaidą, kad tikimybė iš pradžių pasirinkti kiekvieną iš durų yra vienoda, taip pat tikimybė rasti Automobilį už kiekvienų durų. Be to, naudinga perspėti, kad GM, kai gali atidaryti dvi duris, kiekviena iš jų pasirenka vienoda tikimybe. Tada paaiškėja, kad priėmus pirmąjį sprendimą, tikimybė, kad Prizas yra už pasirinktų durų, yra 1/3, o tikimybė, kad jis yra už vienų iš kitų dviejų durų, yra 2/3. Be to, lyderiui atidarius vienas iš dviejų „nepasirinktų“ durų, visa 2/3 tikimybė tenka tik vienoms iš likusių durų, taip sukuriant pagrindą pakeisti sprendimą, o tai padidins tikimybę laimėti 2 kartus. . Tai, žinoma, to visiškai negarantuoja vienu konkrečiu atveju, tačiau bus sėkmingesni rezultatai, jei eksperimentas bus kartojamas daug kartų.

Pokalbis

Monty Hall problema nėra pirmoji žinoma šios problemos formuluotė. Konkrečiai, 1959 m. Martinas Gardneris žurnale „Scientific American“ paskelbė panašią „Trijų kalinių problemą“ su tokia formuluote: „Iš trijų kalinių vienam turėtų būti suteikta malonė, o dviem – mirties bausmė. Kalinys A įtikina sargybinį pasakyti jam vieno iš kitų dviejų, kuriam bus įvykdyta mirties bausmė (bet kurio vieno, jei abu bus įvykdyti mirties bausmė), vardą, po kurio, gavęs vardą B, jis mano, kad jo paties išsigelbėjimo tikimybė tampa ne 1/3, o 1/2. Tuo pačiu metu kalinys C teigia, kad jo išsigelbėjimo tikimybė tapo 2/3, tačiau A niekas nepasikeitė. Kuris teisingas?

Tačiau Gardneris nebuvo pirmasis, nes dar 1889 m. savo „Tikimybių skaičiavime“ prancūzų matematikas Josephas Bertrand'as (nepainioti su anglu Bertrand'u Russell'u!) pasiūlė panašią problemą (žr. Bertrand'o langelio paradoksą): Yra trys dėžutės, kurių kiekvienoje yra po dvi monetas: pirmoje dvi auksinės, antroje dvi sidabrinės, trečioje dvi skirtingos.Iš atsitiktinai parinktos dėžutės atsitiktinai buvo ištraukta moneta, kuri pasirodė būti auksu. Kokia tikimybė, kad dėžutėje likusi moneta yra auksinė?

Jei supranti visų trijų problemų sprendimus, nesunku pastebėti jų idėjų panašumą; matematiškai juos visus vienija sąlyginės tikimybės sąvoka, tai yra įvykio A tikimybė, jei žinoma, kad įvykis B įvyko. Paprasčiausias pavyzdys: tikimybė, kad įprastas kauliukas meta vieną, yra 1/6; tačiau jei žinoma, kad ištrauktas skaičius yra nelyginis, tada tikimybė, kad jis yra vienas, jau bus 1/3. Monty Hall problema, kaip ir kitos dvi aukščiau pateiktos problemos, rodo, kad sąlygines tikimybes reikia tvarkyti atsargiai.

Šios problemos dar dažnai vadinamos paradoksais: Monty Hall paradoksu, Bertrano dėžės paradoksu (pastarojo nereikėtų painioti su tikruoju Bertrano paradoksu, pateiktu toje pačioje knygoje, kuris įrodė tuo metu egzistavusios tikimybės sampratos dviprasmiškumą) – kuri. reiškia tam tikrą prieštaravimą (pavyzdžiui, „Melagio paradokse“ frazė „šis teiginys yra klaidingas“ prieštarauja neįtraukiamo vidurio dėsniui). IN tokiu atveju tačiau griežtiems teiginiams neprieštarauja. Tačiau yra aiškus prieštaravimas su „ vieša nuomonė“ arba tiesiog „akivaizdus problemos sprendimas“. Iš tiesų, dauguma žmonių, žvelgdami į problemą, mano, kad atidarius vieną iš durų, tikimybė rasti Prizą bet kuriai iš dviejų likusių uždarytų yra 1/2. Taigi jie teigia, kad nėra skirtumo, ar sutinkate, ar nesutinkate pakeisti savo sprendimą. Be to, daugeliui žmonių sunku suprasti kitokį nei šis atsakymą, net ir jiems pasakius išsamų sprendimą.

Monty Hall atsakymas Steve'ui Selwynui

Ponas Steve'as Selwynas,
Biostatistikos docentas,
Kalifornijos universitetas, Berklis.

Gerbiamas Steve,

Dėkojame, kad atsiuntėte man problemą iš „The American Statistician“.

Nors universitete statistikos nestudijavau, žinau, kad skaičiais visada galiu pasinaudoti, jei noriu jais manipuliuoti. Jūsų samprotavime neatsižvelgiama į vieną esminę aplinkybę: po to, kai pirmasis langelis yra tuščias, dalyvis nebegali pakeisti savo pasirinkimo. Taigi tikimybė išlieka ta pati: viena iš trijų, tiesa? Ir, žinoma, po to, kai viena iš dėžių pasirodo tuščia, tikimybė netampa 50/50, o išlieka tokia pati – vienas iš trijų. Tik dalyviui atrodo, kad atsikratęs vienos dėžės jis gauna daugiau šansų. Visai ne. Du prieš vieną prieš jį, kaip buvo, taip ir lieka. O jei staiga ateisi į mano laidą, taisyklės tau išliks tos pačios: išsirinkus jokių keitimo dėžučių.

Įsivaizduokite, kad bankininkas siūlo pasirinkti vieną iš trijų uždarų dėžių. Viename jų yra 50 centų, kitame – vienas doleris, trečiame – 10 tūkstančių dolerių. Kad ir kurį pasirinktumėte, gausite jį kaip prizą.

Atsitiktinai pasirenkate, tarkime, langelį Nr. Ir tada bankininkas (kuris, žinoma, žino, kur viskas) prieš akis atidaro dėžutę su vienu doleriu (tarkime, tai Nr. 2), po to pakviečia iš pradžių pasirinktą langelį Nr. 1 pakeisti į dėžutę. Nr. 3.

Ar turėtumėte persigalvoti? Ar tai padidins jūsų galimybes gauti 10 tūkst.

Tai yra Monty Hall paradoksas – tikimybių teorijos problema, kurios sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui. Žmonės dėl šios problemos glumina nuo 1975 m.

Paradoksas buvo pavadintas populiarios amerikiečių televizijos laidos „Leisk sudaryti sandorį“ vedėjo vardu. Šioje televizijos laidoje galiojo panašios taisyklės, tik dalyviai rinkosi duris, už kurių dviejų slėpėsi ožkos, už trečiųjų – „Cadillac“.

Dauguma žaidėjų samprotavo, kad po dviejų uždarytų durų, o už vienos iš jų stovi Cadillac, šansai jį gauti buvo 50-50. Akivaizdu, kad šeimininkas atidaro vienas duris ir kviečia pakeisti savo sprendimą, jis pradeda Naujas žaidimas. Nesvarbu, ar pakeisite savo sprendimą, ar ne, jūsų tikimybė vis tiek bus 50 procentų. Tiesa?

Pasirodo, kad ne. Tiesą sakant, persigalvoję galite padvigubinti savo sėkmės tikimybę. Kodėl?

Paprasčiausias šio atsakymo paaiškinimas yra toks. Norėdamas laimėti automobilį nepakeitęs pasirinkimo, žaidėjas turi nedelsdamas atspėti duris, už kurių yra automobilis. To tikimybė yra 1/3. Jei žaidėjas iš pradžių nusileidžia ant durų, už kurių yra ožka (o šio įvykio tikimybė yra 2/3, nes yra dvi ožkos ir tik vienas automobilis), tada jis tikrai gali laimėti automobilį pakeisdamas savo sprendimą, nes liko mašina ir viena ožka, o vedėja jau buvo atidariusi duris su ožiuku.

Taigi, nekeisdamas pasirinkimo, žaidėjas išlieka su savo pradine tikimybe laimėti 1/3, o keičiant pradinį pasirinkimą žaidėjui naudinga dvigubai didesnė tikimybė, kad jis pradžioje atspėjo neteisingai.

Intuityvus paaiškinimas taip pat gali būti pateiktas sukeitus du įvykius. Pirmasis įvykis yra žaidėjo sprendimas pakeisti duris, antrasis įvykis yra papildomų durų atidarymas. Tai priimtina, nes atidarius papildomas duris žaidėjas nieko neduoda nauja informacija(Dokumentacijos ieškokite šiame straipsnyje). Tada problemą galima sumažinti iki tokios formuluotės. Pirmuoju momentu žaidėjas padalija duris į dvi grupes: pirmoje grupėje yra vienos durys (tokias, kurias jis pasirinko), antroje – dvi likusios durys. Kitą akimirką žaidėjas pasirenka tarp grupių. Akivaizdu, kad pirmajai grupei tikimybė laimėti yra 1/3, antrajai grupei – 2/3. Žaidėjas pasirenka antrąją grupę. Antroje grupėje jis gali atidaryti abi duris. Vieną atidaro vedėjas, o antrąjį – pats žaidėjas.

Pabandykime pateikti „labiausiai suprantamą“ paaiškinimą. Performuluok problemą: Sąžiningas vedėjas praneša žaidėjui, kad už vienų iš trijų durų yra automobilis, ir pakviečia jį pirmiausia parodyti į vienas iš durų, o tada pasirinkti vieną iš dviejų veiksmų: atidaryti nurodytas duris ( senoji formuluotė vadinama „nekeisk savo pasirinkimo“) arba atidaryk kitas dvi (senojoje formuluotėje tai būtų tik „pakeisk pasirinkimą“. Pagalvok, čia slypi supratimo raktas!). Akivaizdu, kad žaidėjas pasirinks antrąjį iš dviejų veiksmų, nes tikimybė gauti automobilį šiuo atveju yra dvigubai didesnė. O ta smulkmena, kurią vedėjas dar prieš pasirinkdamas veiksmą „parodė ožką“, nepadeda ir netrukdo pasirinkti, nes už vienų iš dviejų durų visada yra ožka ir vedėjas būtinai parodys jį bet kuriame žaidimo posūkyje , todėl žaidėjas gali naudoti šią ožką nežiūrėk. Žaidėjas, pasirinkęs antrą veiksmą, turi pasakyti „ačiū“ lyderiui už tai, kad jis išvengė rūpesčių pačiam atidaryti vienas iš dviejų durų, o kitas – atidaryti. Na, ar dar paprasčiau. Įsivaizduokime šią situaciją iš laidos vedėjo, kuris atlieka panašią procedūrą su dešimtimis žaidėjų, požiūriu. Kadangi jis puikiai žino, kas yra už durų, tai vidutiniškai dviem atvejais iš trijų iš anksto mato, kad žaidėjas pasirinko „ne tas“ duris. Todėl jam tikrai nėra paradokso tame, kad teisinga strategija yra pakeisti pasirinkimą atidarius pirmąsias duris: juk tada tais pačiais dviem atvejais iš trijų žaidėjas išeis iš studijos. naujas automobilis.

Pagaliau pats „naiviausias“ įrodymas. Tegul tas, kuris laikosi savo pasirinkimo, vadinamas „Užsispyrusiu“, o tas, kuris vykdo vadovo nurodymus, vadinamas „Dėmesingu“. Tada „Stubborn“ laimi, jei iš pradžių atspėjo automobilį (1/3), o „Dėmesingas“ laimi, jei iš pradžių nepataikė ir pataikė į ožką (2/3). Juk tik tokiu atveju jis paskui su mašina parodys į duris.

Monty Hall, prodiuseris ir laidos vedėjas Susitarkime nuo 1963 iki 1991 m.

1990 metais ši problema ir jos sprendimas buvo paskelbti Amerikos žurnale „Parade“. Leidinys sukėlė daugybę pasipiktinusių skaitytojų atsiliepimų, kurių daugelis turėjo mokslinius laipsnius.

Pagrindinis skundas buvo tas, kad nebuvo nurodytos visos užduoties sąlygos, o bet koks niuansas gali turėti įtakos rezultatui. Pavyzdžiui, vedėjas galėtų pasiūlyti pakeisti sprendimą tik tuo atveju, jei žaidėjas pirmuoju žingsniu pasirinktų automobilį. Akivaizdu, kad pakeitus pradinį pasirinkimą tokioje situacijoje bus garantuotas nuostolis.

Tačiau per visą „Monty Hall“ televizijos laidos egzistavimą žmonės, kurie persigalvojo, iš tikrųjų laimėjo dvigubai dažniau:

Iš 30 žaidėjų, kurie pakeitė savo pradinį sprendimą, Cadillac laimėjo 18 – tai yra 60 proc.

Iš 30 žaidėjų, kurie liko pasirinkti, „Cadillac“ laimėjo 11 – tai yra maždaug 36 proc.

Taigi sprendime pateiktus motyvus, kad ir koks nelogiškas jis atrodytų, patvirtina praktika.

Durų skaičiaus didinimas

Kad būtų lengviau suprasti to, kas vyksta, galime apsvarstyti atvejį, kai žaidėjas priešais save mato ne trejas duris, o, pavyzdžiui, šimtą. Be to, už vienų durų stovi automobilis, o už kitų 99 – ožkos. Žaidėjas pasirenka vienas iš durų, o 99% atvejų jis rinksis duris su ožiu, o tikimybė iš karto pasirinkti duris su automobiliu yra labai maža - jie yra 1%. Po to vedėjas atidaro 98 duris su ožkomis ir kviečia žaidėją pasirinkti likusias duris. Tačiau 99% atvejų automobilis bus už šių likusių durų, nes tikimybė, kad žaidėjas iškart pasirinko tinkamas duris, yra labai maža. Akivaizdu, kad šioje situacijoje racionaliai mąstantis žaidėjas visada turėtų priimti lyderio pasiūlymą.

Svarstant apie padidintą durų skaičių, dažnai kyla klausimas: jei pirminėje užduotyje vadovas atidaro vienas duris iš trijų (tai yra 1/3 iš viso durys), tai kodėl turėtume manyti, kad 100 durų atveju vedėjas su ožkomis atidarys 98 duris, o ne 33? Šis svarstymas dažniausiai yra viena iš reikšmingų priežasčių, kodėl Monty Hall paradoksas prieštarauja intuityviam situacijos suvokimui. Būtų teisinga manyti, kad atsidarys 98 durys, nes esminė sąlyga Užduotis – žaidėjui turėti tik vieną alternatyvų pasirinkimą, kurį siūlo vedėjas. Todėl, kad užduotys būtų panašios, 4 durų atveju vadovas turi atidaryti 2 duris, 5 durų atveju - 3 ir pan. žaidėjas iš pradžių pasirinko. Jei vedėjas atidarys mažiau durų, užduotis nebebus panaši į pradinę „Monty Hall“ užduotį.

Pažymėtina, kad esant daugybei durų, net jei vedėjas palieka uždarytas ne vienas duris, o kelias ir pakviečia žaidėją pasirinkti vieną iš jų, tai keičiant pradinį pasirinkimą, žaidėjo galimybės laimėti automobilį išliks. vis dar didėja, nors ir ne taip smarkiai. Pavyzdžiui, apsvarstykite situaciją, kai žaidėjas pasirenka vienas duris iš šimto, o tada šeimininkas atidaro tik vienas iš likusių durų, kviesdamas žaidėją pakeisti savo pasirinkimą. Tuo pačiu tikimybė, kad automobilis bus už žaidėjo iš pradžių pasirinktų durų, išlieka ta pati – 1/100, o likusių durų tikimybė pasikeičia: bendra tikimybė, kad automobilis yra už vienų iš likusių durų ( 99/100) dabar pasiskirsto ne per Yra 99 durys, o 98. Todėl tikimybė rasti automobilį už kiekvienos iš šių durų bus ne 1/100, o 99/9800. Tikimybė padidės maždaug 1%.

Medis galimi sprendimaižaidėjas ir vedėjas, parodant kiekvieno rezultato tikimybę.. Dar formaliau žaidimo scenarijų galima apibūdinti naudojant sprendimų medį. Pirmaisiais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmiausia pasirinko duris, už kurių yra ožka, pasirinkimo pakeitimas lemia laimėjimą. Paskutiniais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris kartu su automobiliu, pasirinkimo pakeitimas lemia pralaimėjimą.

Jei vis tiek tau neaišku, spjauk į formules ir tiesiogpatikrink viską statistiškai. Kitas galimas paaiškinimas:

Žaidėjas, kurio strategija būtų kiekvieną kartą keisti pasirinktas duris, pralaimėtų tik tuomet, jei iš pradžių pasirinktų duris, už kurių stovėjo automobilis.
Kadangi tikimybė išsirinkti automobilį iš pirmo karto yra vienas iš trijų (arba 33 proc.), žaidėjui pakeitus savo pasirinkimą tikimybė nepasirinkti automobilio taip pat yra vienas iš trijų (arba 33 proc.).
Tai reiškia, kad žaidėjas, pasinaudojęs durų keitimo strategija, laimėtų su 66% tikimybe arba nuo dviejų iki trijų.
Tai padvigubins žaidėjo, kurio strategija yra kaskart nekeisti savo pasirinkimo, galimybes laimėti.

Vis dar netiki manimi? Tarkime, kad pasirinkote duris Nr. 1. Visi čia pateikti galimi variantai kas gali nutikti šiuo atveju.

Sutikau jį pavadinimu „The Monty Hall Paradox“ ir oho, išsprendė kitaip, būtent: įrodė, kad tai pseudoparadoksas.

Bičiuliai, mielai išklausysiu kritiką dėl šio paradokso paneigimo (pseudoparadokso, jei aš teisus). Ir tada savo akimis pamatysiu, kad mano logika šlubuoja, nustosiu įsivaizduoti save mąstytoja ir pagalvosiu apie veiklos rūšį keisti į lyriškesnę :o). Taigi, štai užduoties turinys. Siūlomas sprendimas ir mano atsikirtimas pateikiami žemiau.

Įsivaizduokite, kad esate žaidimo, kuriame esate priešais trejas duris, dalyvis. Laidos vedėjas, žinomas kaip sąžiningas, už vienų durų pastatė automobilį, o už kitų – po ožką. Neturite informacijos apie tai, kas yra už kokių durų.

Šeimininkas jums sako: „Pirmiausia turite pasirinkti vieną iš durų. Po to atidarysiu vienas iš likusių durų, už kurių – ožka. Tada pakeisite savo pradinį pasirinkimą ir pasirinksite likusias uždarytas duris, o ne tas, kurias pasirinkote iš pradžių. Galite vadovautis mano patarimu ir pasirinkti kitas duris arba patvirtinti savo pirminį pasirinkimą. Po to aš atidarysiu tavo pasirinktas duris ir tu laimėsi viską, kas yra už tų durų.

Jūs pasirenkate duris numeris 3. Šeimininkas atidaro duris numeris 1 ir parodo, kad už jų yra ožka. Tada šeimininkas paprašo pasirinkti durų numerį 2.

Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei vadovausitės jo patarimais?
Monty Hall paradoksas yra viena iš gerai žinomų tikimybių teorijos problemų, kurios sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui.
Spręsdami šią problemą, jie dažniausiai samprotauja maždaug taip: lyderiui atidarius duris, už kurių yra ožka, automobilis gali būti tik už vienų iš dviejų likusių durų. Kadangi žaidėjas negali gauti jokių Papildoma informacija apie tai, už kurių durų yra automobilis, tada tikimybė rasti automobilį už kiekvienų durų yra vienoda, o pradinio durų pasirinkimo pakeitimas žaidėjui nesuteikia jokio pranašumo. Tačiau toks samprotavimas yra neteisingas.
Jei šeimininkas visada žino, kurios durys yra už ko yra, visada atidaro vienas iš likusių durų, už kurių yra ožka, ir visada kviečia žaidėją pakeisti savo pasirinkimą, tada tikimybė, kad automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų yra 1/3, ir, atitinkamai, tikimybė, kad automobilis yra už likusių durų, yra 2/3. Taigi, pakeitus pradinį pasirinkimą, žaidėjo šansai laimėti automobilį padidėja 2 kartus. Ši išvada prieštarauja daugumos žmonių intuityviam situacijos suvokimui, todėl aprašyta problema vadinama Monty Hall paradoksu.

Man atrodo, kad šansai nepasikeis, t.y. paradokso nera.

Ir štai kodėl: pirmųjų ir antrųjų durų pasirinkimas yra nepriklausomasįvykius. Tai panašu į monetos metimą du kartus: tai, kas pasirodo antrą kartą, niekaip nepriklauso nuo to, kas pasirodys pirmą kartą.

Taip yra čia: atidaręs duris su ožiu, žaidėjas atsiduria nauja situacija, kai jis turi 2 duris ir tikimybė pasirinkti automobilį ar ožką yra 1/2.

Dar kartą: atidarius vienas duris iš trijų, tikimybė, kad automobilis yra už likusių durų, yra nelygu 2/3, nes 2/3 yra tikimybė, kad automobilis yra už bet kokių 2 durų. Neteisinga šią tikimybę priskirti neatidarytoms arba atidarytoms durims. Prieš atverti duris buvo tokia tikimybių pusiausvyra, bet po to atidarius vienas duris, visos šios tikimybės tampa nereikšmingas, nes situacija pasikeitė, todėl reikalingas naujas tikimybių skaičiavimas, kuris paprasti žmonės teisingai, atsakydamas, kad pasirinkimo pakeitimas nieko nepakeis.

Papildymas: 1) motyvavimas, kad:

a) tikimybė rasti automobilį už pasirinktų durų yra 1/3,

b) tikimybė, kad automobilis yra už kitų dviejų nepasirinktų durų, yra 2/3,

c) nes vadovas atidarė duris su ožka, tada tikimybė 2/3 atitenka vienoms nepasirinktoms (ir neatidarytoms) durims,

ir todėl reikia pakeisti pasirinkimą į kitas duris, kad tikimybė nuo 1/3 taptų 2/3, ne tiesa, bet klaidinga, būtent: "c" pastraipoje, nes iš pradžių 2/3 tikimybė yra susijusi su bet kuriomis dvejomis durimis, įskaitant 2, kurios liko neatidarytos, o kadangi buvo atidarytos vienos durys, tada ši tikimybė bus padalinta po lygiai tarp 2 neatidarytų, t.y. tikimybė bus lygi, o pasirinkus kitas duris jos nepadidins.

2) skaičiuojamos sąlyginės tikimybės, jei atsitiktinių įvykių yra 2 ir daugiau, o kiekvienam įvykiui tikimybė skaičiuojama atskirai ir tik tada skaičiuojama 2 ir daugiau įvykių bendro įvykio tikimybė. Čia iš pradžių tikimybė atspėti buvo 1/3, bet norint apskaičiuoti tikimybę, kad automobilis yra ne už pasirinktų durų, o už kitų, kurios neatidaromos, nereikia skaičiuoti sąlyginio tikimybę, bet reikia apskaičiuoti paprastą tikimybę, kuri lygi 1 iš 2, tuos. 1/2.

3) Taigi tai ne paradoksas, o kliedesys! (2009-11-19)

2 priedas: Vakar aš sugalvojau paprasčiausią paaiškinimą perrinkimo strategija vis tiek yra naudingesnė(paradoksas tiesa!): su pirmu pasirinkimu 2 kartus didesnė tikimybė patekti į ožką nei į mašiną, nes ožkos yra dvi, todėl antruoju pasirinkimu reikia pakeisti pasirinkimą. Tai taip aišku :o)

Arba kitaip: automobilyje reikia ne ožkas žymėti, o ožkas išbrauti, o ožką atidarydamas padeda net vadovas. O žaidimo pradžioje su tikimybe 2 iš 3 žaidėjui pasiseks, todėl, išpjovus ožkas, reikia pakeisti pasirinkimą. Ir tai staiga tapo labai akivaizdu: o)

Taigi viskas, ką iki šiol rašiau, buvo pseudoneigimas. Na, štai dar viena iliustracija, kad reikia būti kuklesniam, gerbti kažkieno požiūrį ir nepasitikėti savo logikos patikinimais, kad jo sprendimai yra krištolo logiški.

Monty Hall paradoksas yra viena iš gerai žinomų tikimybių teorijos problemų, kurios sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui. Problema suformuluota kaip hipotetinio žaidimo aprašymas pagal Amerikos televizijos laidą „Sudarom sandorį“ ir pavadintas šios programos vedėjo vardu. Dažniausia šios problemos formuluotė, paskelbta 1990 m. Parade Magazine, yra tokia:

Įsivaizduokite, kad esate žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyvis. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Jūs pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po kurio vadovas, žinantis, kur yra automobilis, o kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numeris 3, už kurių yra ožka. Tada jis jūsų paklaus, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2. Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite šeimininko pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?

Nors ši problemos formuluotė yra geriausiai žinoma, ji yra šiek tiek problemiška, nes palieka neapibrėžtas kai kurias svarbias problemos sąlygas. Žemiau pateikiama išsamesnė formuluotė.

Spręsdami šią problemą, jie dažniausiai samprotauja maždaug taip: lyderiui atidarius duris, už kurių yra ožka, automobilis gali būti tik už vienų iš dviejų likusių durų. Kadangi žaidėjas negali gauti papildomos informacijos apie tai, už kurių durų yra automobilis, tikimybė rasti automobilį už kiekvienų durų yra vienoda, o žaidėjo pirminio durų pasirinkimo pakeitimas nesuteikia žaidėjui jokio pranašumo. Tačiau toks samprotavimas yra neteisingas. Jei šeimininkas visada žino, kurios durys yra už ko yra, visada atidaro vienas iš likusių durų, už kurių yra ožka, ir visada kviečia žaidėją pakeisti savo pasirinkimą, tada tikimybė, kad automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų yra 1/3, ir, atitinkamai, tikimybė, kad automobilis yra už likusių durų, yra 2/3. Taigi, pakeitus pradinį pasirinkimą, žaidėjo šansai laimėti automobilį padidėja 2 kartus. Ši išvada prieštarauja daugumos žmonių intuityviam situacijos suvokimui, todėl aprašyta problema vadinama Monty Hall paradoksu.

Žodinis sprendimas

Teisingas atsakymas į šią problemą yra toks: taip, tikimybė laimėti automobilį padidėja 2 kartus, jei žaidėjas paiso vedėjo patarimo ir pakeičia savo pradinį pasirinkimą.

Tada problemą galima sumažinti iki tokios formuluotės. Pirmuoju momentu žaidėjas padalija duris į dvi grupes: pirmoje grupėje yra vienos durys (tokias, kurias jis pasirinko), antroje – dvi likusios durys. Kitą akimirką žaidėjas pasirenka tarp grupių. Akivaizdu, kad pirmajai grupei tikimybė laimėti yra 1/3, antrajai grupei – 2/3. Žaidėjas pasirenka antrąją grupę. Antroje grupėje jis gali atidaryti abi duris. Vieną atidaro vedėjas, o antrąjį – pats žaidėjas.

Pabandykime pateikti „labiausiai suprantamą“ paaiškinimą. Performuluok užduotį: Sąžiningas vedėjas praneša žaidėjui, kad už vienų iš trijų durų yra automobilis, ir pakviečia jį pirmiausia parodyti į vienas iš durų, o tada pasirinkti vieną iš dviejų veiksmų: atidaryti nurodytas duris (į senoji formuluotė vadinama „nekeisk savo pasirinkimo“) arba atidaryk kitas dvi (senojoje formuluotėje tai būtų „pakeisk pasirinkimą“. Pagalvok, čia slypi supratimo raktas!). Akivaizdu, kad žaidėjas pasirinks antrąjį iš dviejų veiksmų, nes tikimybė gauti automobilį šiuo atveju yra dvigubai didesnė. O ta smulkmena, kurią vedėjas dar prieš pasirinkdamas veiksmą „parodė ožką“, nepadeda ir netrukdo pasirinkti, nes už vienų iš dviejų durų visada yra ožka ir vedėjas būtinai parodys jį bet kuriame žaidimo posūkyje , todėl žaidėjas gali naudoti šią ožką nežiūrėk. Žaidėjo užduotis, jei jis pasirinko antrą veiksmą, yra pasakyti „ačiū“ lyderiui už tai, kad jis išvengė vargo pačiam atidaryti vienas iš dviejų durų, o atidaryti kitas. Na, ar dar paprasčiau. Įsivaizduokime šią situaciją iš laidos vedėjo, kuris atlieka panašią procedūrą su dešimtimis žaidėjų, požiūriu. Kadangi jis puikiai žino, kas yra už durų, tai vidutiniškai dviem atvejais iš trijų iš anksto mato, kad žaidėjas pasirinko „ne tas“ duris. Todėl jam tikrai nėra paradokso tame, kad teisinga strategija yra pakeisti pasirinkimą atidarius pirmąsias duris: juk tada tais pačiais dviem atvejais iš trijų žaidėjas studiją paliks nauju automobiliu.

Raktai į supratimą

Nepaisant šio reiškinio paaiškinimo paprastumo, daugelis žmonių intuityviai tiki, kad tikimybė laimėti nepasikeičia žaidėjui pakeitus savo pasirinkimą. Paprastai neįmanoma pakeisti laimėjimo tikimybės motyvuojama tuo, kad skaičiuojant tikimybę praeityje įvykę įvykiai neturi reikšmės, kaip atsitinka, pavyzdžiui, metant monetą – galvos ar uodegų nukritimo tikimybė. nepriklauso nuo to, kiek kartų anksčiau nukrito galvos ar uodegos. Todėl daugelis mano, kad šiuo metu žaidėjas renkasi vienas duris iš dviejų, nebesvarbu, kad anksčiau buvo galima rinktis vienas duris iš trijų, o tikimybė laimėti automobilį yra vienoda tiek keičiant pasirinkimas ir paliekant pirminį pasirinkimą.

Tačiau, nors tokie svarstymai teisingi monetų mėtymo atveju, jie galioja ne visiems žaidimams. Tokiu atveju reikia ignoruoti šeimininko durų atidarymą. Žaidėjas iš esmės pasirenka tarp pirmųjų pasirinktų durų ir kitų dviejų – atidarius vieną iš jų, žaidėjas tik atitraukia dėmesį. Yra žinoma, kad yra vienas automobilis ir dvi ožkos. Žaidėjui pradinis vienos iš durų pasirinkimas galimus žaidimo rezultatus suskirsto į dvi grupes: arba automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų (tikimybė, kad tai yra 1/3), arba už vienos iš kitų dviejų ( to tikimybė yra 2/3). Tuo pačiu jau žinoma, kad už vienų iš dviejų likusių durų bet kokiu atveju yra ožka, o atidarydamas šias duris vedėjas nesuteikia žaidėjui jokios papildomos informacijos apie tai, kas yra už durų, kurias pasirinko žaidėjas. Taigi lyderis, atidaręs duris su ožiu, nekeičia tikimybės (2/3), kad automobilis yra už vienų iš likusių durų. Ir nuo tada jau atidarytos durysžaidėjas nesirenka, tada visa ši tikimybė susikoncentruoja tuo atveju, jei automobilis yra už likusių uždarų durų.

Intuityvesnis samprotavimas: leiskite žaidėjui naudoti „pakeitimo pasirinkimo“ strategiją. Tada jis pralaimės tik iš pradžių pasirinkęs automobilį. Ir to tikimybė yra trečdalis. Todėl tikimybė laimėti: 1-1/3=2/3. Jei žaidėjas laikosi strategijos „nekeisk pasirinkimo“, jis laimės tada ir tik tada, kai iš pradžių pasirinks automobilį. Ir to tikimybė yra trečdalis.

Įsivaizduokime šią situaciją iš laidos vedėjo, kuris atlieka panašią procedūrą su dešimtimis žaidėjų, požiūriu. Kadangi jis puikiai žino, kas yra už durų, tai vidutiniškai dviem atvejais iš trijų iš anksto mato, kad žaidėjas pasirinko „ne tas“ duris. Todėl jam tikrai nėra paradokso tame, kad teisinga strategija yra pakeisti pasirinkimą atidarius pirmąsias duris: juk tada tais pačiais dviem atvejais iš trijų žaidėjas studiją paliks nauju automobiliu.

Kita dažna priežastis, kodėl sunku suprasti šios problemos sprendimą, yra ta, kad žmonės dažnai įsivaizduoja kiek kitokį žaidimą – kai iš anksto nežinoma, ar vedėjas atidarys duris su ožiu ir pakvies žaidėją pakeisti savo pasirinkimą. Tokiu atveju žaidėjas nežino lyderio taktikos (ty iš esmės nežino visų žaidimo taisyklių) ir negali to padaryti. optimalus pasirinkimas. Pavyzdžiui, jei vedėjas siūlo pakeisti pasirinkimą tik tuo atveju, jei žaidėjas iš pradžių pasirinko duris kartu su automobiliu, tada, žinoma, žaidėjas visada turėtų palikti pirminį sprendimą nepakeistą. Štai kodėl svarbu nepamiršti tikslios Monty Hall problemos formuluotės. (su šiuo variantu skirtingų strategijų lyderis gali pasiekti bet kokią tikimybę tarp durų, bendru (vidutiniu) atveju ji bus nuo 1/2 iki 1/2).

Durų skaičiaus didinimas

Svarstant apie padidintą durų skaičių, dažnai kyla klausimas: jei pirminėje problemoje vadovas atidaro vienas duris iš trijų (tai yra 1/3 viso durų skaičiaus), tai kodėl turėtume manyti, kad tuo atveju iš 100 durų lyderis atidarys 98 duris su ožkomis, o ne 33? Šis svarstymas dažniausiai yra viena iš reikšmingų priežasčių, kodėl Monty Hall paradoksas prieštarauja intuityviam situacijos suvokimui. Būtų teisinga manyti, kad bus atidarytos 98 durys, nes esminė užduoties sąlyga yra tik vieno alternatyvaus žaidėjo pasirinkimo buvimas, kurį siūlo vedėjas. Todėl, kad užduotys būtų panašios, 4 durų atveju vadovas turi atidaryti 2 duris, 5 durų atveju - 3 ir pan. žaidėjas iš pradžių pasirinko. Jei vedėjas atidarys mažiau durų, užduotis nebebus panaši į pradinę „Monty Hall“ užduotį.

Sprendimų medis

Galimų žaidėjo ir vedėjo sprendimų medis, parodantis kiekvieno rezultato tikimybę

Formaliau žaidimo scenarijų galima apibūdinti naudojant sprendimų medį.

Pirmaisiais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmiausia pasirinko duris, už kurių yra ožka, pasirinkimo pakeitimas lemia laimėjimą. Paskutiniais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris kartu su automobiliu, pasirinkimo pakeitimas lemia pralaimėjimą.

Bendra tikimybė, kad pasirinkimo pasikeitimas lems laimėjimą, yra lygi pirmųjų dviejų baigčių tikimybių sumai, ty

Atitinkamai, tikimybė, kad atsisakymas pakeisti pasirinkimą sukels naudos, yra lygi

Vykdant panašus eksperimentas

Yra paprastas būdas patikrinti, ar pakeitus pradinį pasirinkimą vidutiniškai laimima du kartus iš trijų. Norėdami tai padaryti, galite imituoti žaidimą, aprašytą „Monty Hall“ užduotyje Žaidžiu kortomis. Vienas asmuo (dalinantis kortas) atlieka šeimininko Monty Hall vaidmenį, o antrasis – žaidėjo vaidmenį. Žaidimui paimamos trys kortos, iš kurių vienoje pavaizduotos durys su automobiliu (pavyzdžiui, pikų tūzas), o kitos dvi identiškos (pavyzdžiui, dvi raudonos dvikovos) – durys su ožkomis.

Pranešėjas išdėlioja tris kortas užverstas, pakviesdamas žaidėją paimti vieną iš kortų. Po to, kai žaidėjas pasirenka kortelę, lyderis žiūri į dvi likusias kortas ir atskleidžia raudoną dvi. Po to atidaromos žaidėjui ir vedėjui likusios kortos, o jei žaidėjo pasirinkta korta yra pikų tūzas, tada taškas įrašomas pasirinkimo naudai, kai žaidėjas nekeičia savo pasirinkimo ir jei žaidėjas pasirodo turintis raudoną du, o lyderis lieka su pikų tūzu, tada, žaidėjui pakeitus savo pasirinkimą, įrašomas taškas pasirinkimo naudai. Jei žaidžiama daug tokių žaidimo raundų, tai taškų santykis dviejų variantų naudai gana gerai atspindės šių variantų tikimybių santykį. Pasirodo, balų skaičius už pradinio pasirinkimo keitimą yra maždaug dvigubai didesnis.

Toks eksperimentas leidžia ne tik patikrinti, ar tikimybė laimėti pakeitus pasirinkimą yra dvigubai didesnė, bet ir gerai iliustruoja, kodėl taip nutinka. Tuo metu, kai žaidėjas pasirenka kortą, jau nustatoma, ar kasų tūzas yra jo rankoje, ar ne. Tolimesnis vienos iš savo kortų lyderio atvertimas situacijos nekeičia – žaidėjas kortą jau laiko rankoje, ir ji ten lieka nepriklausomai nuo lyderio veiksmų. Tikimybė, kad žaidėjas pasirinks pikų tūzą trys kortos akivaizdžiai yra 1/3, taigi tikimybė jo nepasirinkti (o tada žaidėjas laimėtų, jei pakeistų savo pradinį pasirinkimą) yra 2/3.

Paminėti

Filme „Dvidešimt vienas“ mokytoja Miki Rosa prašo pagrindinio veikėjo Beno išspręsti galvosūkį: už trijų durų stovi du motoroleriai ir vienas automobilis, norint laimėti automobilį reikia atspėti duris. Po pirmojo pasirinkimo Miki siūlo pakeisti pasirinkimą. Benas sutinka ir matematiškai argumentuoja savo sprendimą. Taigi jis netyčia išlaiko Mikos komandos testą.

Sergejaus Lukjanenkos romane „Klucas“ pagrindiniai veikėjai naudoja šią techniką, kad laimėtų vežimą ir galimybę tęsti kelionę.

Televizijos seriale „4isla“ (1 sezono „Žmogaus medžioklė“ 13 serija) vienas pagrindinių veikėjų Charlie Eppsas populiarioje matematikos paskaitoje paaiškina Monty Hall paradoksą, vaizdžiai iliustruodamas jį naudojant žymeklius. minusų iš kurių nupieštos ožkos ir automobilis. Pakeitęs pasirinkimą, Čarlis iš tikrųjų suranda automobilį. Tačiau reikia pažymėti, kad jis atlieka tik vieną eksperimentą, o pasirinkimo keitimo strategijos pranašumas yra statistinis, o norint tinkamai jį iliustruoti, reikia atlikti keletą eksperimentų.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

Populiarus kategorijoje: