namai › Elektros įranga › Prieš jus yra trys durys. Monty Hall paradoksas – pasirinkimo tikimybės padidėjimo paaiškinimas

Prieš jus yra trys durys. Monty Hall paradoksas – pasirinkimo tikimybės padidėjimo paaiškinimas

Apie loterijas

Šis žaidimas jau seniai tapo plačiai paplitęs ir tapo neatsiejama jo dalimi šiuolaikinis gyvenimas. Ir nors loterija vis labiau plečia savo galimybes, daugelis žmonių vis dar mato ją tik kaip būdą praturtėti. Jis gali būti ne nemokamas ar patikimas. Kita vertus, kaip pažymėjo vienas iš Jacko Londono herojų, in azartinių lošimų Negalite ignoruoti faktų – kartais žmonėms pasiseka.

Atsitiktinumo matematika. Tikimybių teorijos istorija

Aleksandras Bufetovas

Fizinių ir matematikos mokslų daktarės, vedėjos paskaitos stenograma ir vaizdo įrašas mokslinis bendradarbis Steklovo matematikos institutas, Rusijos mokslų akademijos Pramonės problemų instituto vadovaujantis mokslo darbuotojas, Aukštosios ekonomikos mokyklos Matematikos fakulteto profesorius, tyrimų direktorius Nacionalinis centras moksliniai tyrimai Prancūzijoje (CNRS), kurį skaitė Aleksandras Bufetovas, 2014 m. vasario 6 d.

Taisyklingumo iliuzija: kodėl atsitiktinumas atrodo nenatūralus

Mūsų idėjos apie atsitiktinumą, natūralumą ir neįmanomą dažnai nesutampa su statistikos ir tikimybių teorijos duomenimis. Knygoje „Netobulas šansas. Kaip atsitiktinumai valdo mūsų gyvenimus“, – amerikiečių fizikas ir mokslo populiarintojas Leonardas Mlodinovas pasakoja apie tai, kodėl atsitiktiniai algoritmai atrodo taip keistai, koks yra „atsitiktinio“ dainų maišymo „iPod“ grožis ir nuo ko priklauso akcijų analitiko sėkmė. „Teorijos ir praktika“ publikuoja ištrauką iš knygos.

Determinizmas

Determinizmas yra bendra mokslinė sąvoka ir filosofinė doktrina apie visų pasaulyje vykstančių reiškinių ir procesų priežastingumą, modelius, genetinius ryšius, sąveiką ir sąlygiškumą.

Dievas yra statistika

Kalifornijos universiteto Berklyje statistikos profesorė Deborah Nolan savo studentų prašo atlikti iš pirmo žvilgsnio labai keistą užduotį. Pirmoji grupė turi šimtą kartų mesti monetą ir užrašyti rezultatą: galvos ar uodegos. Antroji turi įsivaizduoti, kad ji meta monetą, taip pat sudaryti šimtų „įsivaizduojamų“ rezultatų sąrašą.

Kas yra determinizmas

Jei žinomos pradinės sistemos sąlygos, tai pagal gamtos dėsnius galima numatyti galutinę jos būseną.

Išrankios nuotakos problema

Huseyn-Zade S. M.

Zenono paradoksas

Ar įmanoma patekti iš vieno erdvės taško į kitą? Senovės graikų filosofas Zenonas iš Elėjos manė, kad judėjimas apskritai negali būti įvykdytas, bet kaip jis tai argumentavo? Colmas Kelleris kalbės apie tai, kaip išspręsti garsųjį Zenono paradoksą.

Begalinių aibių paradoksai

Įsivaizduokite viešbutį su begaliniu kambarių skaičiumi. Atvažiuoja autobusas su begale būsimų svečių. Tačiau juos visus sudėti nėra taip paprasta. Tai begalinis vargas, o svečiai be galo pavargę. Ir jei nepavyks susidoroti su užduotimi, galite prarasti begalę pinigų! Ką daryti?

Vaiko augimo priklausomybė nuo tėvų ūgio

Jauni tėvai, žinoma, nori žinoti, kokio ūgio jų vaikas bus suaugęs. Matematinė statistika gali pasiūlyti paprastą tiesinį ryšį, leidžiantį apytiksliai apskaičiuoti vaikų ūgį, pagrįstą tik tėvo ir motinos ūgiu, ir taip pat parodyti tokio įvertinimo tikslumą.

Monty Hall paradoksas yra bene garsiausias tikimybių teorijos paradoksas. Yra daug jo variantų, pavyzdžiui, trijų kalinių paradoksas. Ir yra daugybė šio paradokso interpretacijų ir paaiškinimų. Bet čia norėčiau ne tik formaliai paaiškinti, bet ir parodyti „fizinį“ pagrindą to, kas vyksta Monty Hall paradokso ir panašių dalykų.

Klasikinė formulė yra tokia:

„Jūs esate žaidimo dalyvis. Prieš jus yra trys durys. Vienam iš jų skirtas prizas. Šeimininkas kviečia pabandyti atspėti, kur yra prizas. Rodote į vieną iš durų (atsitiktinai).

Monty Hall paradokso formuluotė

Šeimininkas žino, kur iš tikrųjų yra prizas. Jis dar neatidaro jūsų nurodytų durų. Bet tai atveria jums dar vienas iš likusių durų, už kurių nėra prizo. Kyla klausimas, ar turėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ar likti prie ankstesnio sprendimo?

Pasirodo, jei tiesiog pakeisite savo pasirinkimą, jūsų šansai laimėti padidės!

Situacijos paradoksas akivaizdus. Atrodo, kad viskas, kas vyksta, yra atsitiktinė. Nesvarbu, ar persigalvosite, ar ne. Bet tai netiesa.

„Fizinis“ šio paradokso prigimties paaiškinimas

Pirmiausia nesigilinkime į matematines subtilybes, o tiesiog pažvelkime į situaciją atvirai.

Šiame žaidime jūs darote tik pirmas atsitiktinis pasirinkimas. Tada vedėjas jums pasakys Papildoma informacija , kuri leidžia padidinti savo šansus laimėti.

Kaip vedėjas suteikia papildomos informacijos? Labai paprasta. Atkreipkite dėmesį, kad jis atsidaro ne bet koks duris.

Paprastumo dėlei (nors čia yra apgaulės elemento) apsvarstykime labiau tikėtiną situaciją: nurodėte duris, už kurių nėra prizo. Tada už vienų iš likusių durų yra prizas Yra. Tai yra, vedėjas neturi pasirinkimo. Jis atidaro labai specifines duris. (Parodėte į vieną, už kito yra prizas, liko tik vienos durys, kurias vadovas gali atidaryti.)

Būtent šiuo prasmingo pasirinkimo momentu jis suteikia jums informaciją, kuria galite pasinaudoti.

IN tokiu atveju, informacijos naudojimas reiškia, kad pakeisite savo sprendimą.

Beje, jūsų antrasis pasirinkimas jau taip pat neatsitiktinai(tiksliau, ne taip atsitiktinai, kaip pirmasis pasirinkimas). Juk renkiesi iš uždarų durų, bet vienos jau atidarytos ir tai nėra savavališkas.

Tiesą sakant, po šių svarstymų jums gali kilti jausmas, kad geriau pakeisti savo sprendimą. Tai yra tiesa. Parodykime tai formaliau.

Formalesnis Monty Hall paradokso paaiškinimas

Tiesą sakant, jūsų pirmasis atsitiktinis pasirinkimas padalija visas duris į dvi grupes. Už jūsų pasirinktų durų yra prizas su 1/3 tikimybe, už kitų dviejų - su 2/3 tikimybe. Dabar lyderis pasikeičia: atidaro vienas duris antroje grupėje. O dabar visa 2/3 tikimybė galioja tik uždarytoms durims iš dviejų durų grupės.

Akivaizdu, kad dabar jums apsimoka keisti savo sprendimą.

Nors, žinoma, vis tiek turite galimybę pralaimėti.

Tačiau pakeitus pasirinkimą, padidėja tikimybė laimėti.

Monty Hall paradoksas

Monty Hall paradoksas – tikimybinė problema, kurios sprendimas (kai kurių nuomone) prieštarauja sveikam protui. Problemos formulavimas:

Įsivaizduokite, kad esate žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyvis. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos.
Jūs pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po kurio vadovas, žinantis, kur yra automobilis, o kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numeris 3, už kurių yra ožka.

Monty Hall paradoksas. Netiksliausia matematika

Tada jis jūsų paklaus, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2.
Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite vedėjo pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?

Sprendžiant problemą dažnai klaidingai manoma, kad abu pasirinkimai yra nepriklausomi, todėl tikimybė nepasikeis, jei pasirinkimas bus pakeistas. Tiesą sakant, taip nėra, kaip matote prisiminę Bayes formulę arba pažiūrėję į toliau pateiktus modeliavimo rezultatus:

Čia: "strategija 1" - nekeiskite pasirinkimo, "strategija 2" - pakeiskite pasirinkimą. Teoriškai 3 durų atveju tikimybės skirstinys yra 33.(3)% ir 66.(6)%. Skaitmeninis modeliavimas turėtų duoti panašius rezultatus.

Nuorodos

Monty Hall paradoksas– problema iš tikimybių teorijos skyriaus, kurios sprendimas prieštarauja sveikam protui.

Istorija[taisyti | redaguoti wiki tekstą]

1963 m. pabaigoje jis buvo transliuojamas nauja pokalbių laida pavadinimu „Sudaryk sandorį“ („Leisk susitarti“). Pagal viktorinos scenarijų žiūrovai iš publikos gavo prizus už teisingus atsakymus, turėdami galimybę juos padidinti darydami naujus statymus, tačiau rizikuodami savo turimais laimėjimais. Laidos įkūrėjai buvo Stefanas Hatosu ir Monty Hall, pastarasis daugelį metų tapo nuolatiniu jos vedėju.

Viena iš dalyvių užduočių buvo ištraukti pagrindinį prizą, kuris buvo už vienų iš trijų durų. Už likusių dviejų buvo skatinamieji prizai, o vedėjas savo ruožtu žinojo jų išdėstymo tvarką. Dalyvis turėjo nustatyti laimėjimo duris, statydamas visą savo laimėjimą šou.

Spėjėjui apsisprendus dėl skaičiaus, vedėjas atidarė vienas iš likusių durų, už kurių buvo skatinamasis prizas, ir pakvietė žaidėją pakeisti iš pradžių pasirinktas duris.

Formuluotė[taisyti | redaguoti wiki tekstą]

Kaip konkrečią problemą, paradoksą pirmą kartą suformulavo Steve'as Selvinas 1975 m., kai išsiuntė žurnalui „The American Statistician“ ir vedėjui Monty Hallui klausimą: ar pasikeis konkurso dalyvio galimybės laimėti Didįjį prizą, jei jis, atvėręs duris su paskatinimu, pakeisti savo pasirinkimą? Po šio incidento atsirado „Monty Hall paradokso“ koncepcija.

1990 m. žurnale „Parade Magazine“ buvo paskelbta labiausiai paplitusi paradokso versija su pavyzdžiu:

„Įsivaizduokite save žaidimo šou, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų: dvi iš jų yra ožkos, o trečios - automobilis. Kai pasirenkate, pavyzdžiui, darant prielaidą, kad laiminčios durys yra numeris vienas, lyderis atidaro vienas iš likusių dviejų durų, pavyzdžiui, trečias, už kurių yra ožka. Tada jums suteikiama galimybė pakeisti pasirinkimą į kitas duris? Ar galite padidinti savo šansus laimėti automobilį, jei pakeisite savo pasirinkimą iš durų numeris vienas į duris Nr.

Ši formuluotė yra supaprastinta versija, nes Lieka vedėjo, kuris tiksliai žino, kur yra automobilis, ir domisi dalyvio netektimi, įtakos veiksnys.

Kad užduotis taptų grynai matematinė, būtina eliminuoti žmogiškąjį faktorių, įvedant durų atidarymą su skatinamuoju prizu ir galimybę pakeisti pradinį pasirinkimą kaip neatsiejamas sąlygas.

Sprendimas[redaguoti | redaguoti wiki tekstą]

Lyginant tikimybes, iš pirmo žvilgsnio durų numerio pakeitimas neduos jokių pranašumų, nes visi trys variantai turi 1/3 galimybę laimėti (apie 33,33 % kiekvienos iš trijų durų). Šiuo atveju vienos iš durų atidarymas jokiu būdu neturės įtakos likusių dviejų, kurių tikimybė bus nuo 1/2 iki 1/2 (po 50 % kiekvienos iš dviejų likusių durų), tikimybei. Šis sprendimas pagrįstas prielaida, kad žaidėjo durų pasirinkimas ir lyderio durų pasirinkimas yra du nepriklausomi įvykiai, kurie vienas kitam neturi įtakos. Tiesą sakant, reikia atsižvelgti į visą įvykių seką kaip į visumą. Remiantis tikimybių teorija, pirmųjų pasirinktų durų tikimybė nuo žaidimo pradžios iki pabaigos visada yra 1/3 (apie 33,33%), o likusių dviejų iš viso yra 1/3+1 /3 = 2/3 (apytiksliai 66,66%). Atsidarius vienai iš dviejų likusių durų, jos tikimybė tampa 0% (už jo slepiasi skatinamasis prizas), o dėl to tikimybė uždaryti nepasirinktas duris bus 66,66%, t.y. dvigubai daugiau nei iš pradžių pasirinkta.

Kad būtų lengviau suprasti pasirinkimo rezultatus, galite apsvarstyti alternatyvią situaciją, kurioje variantų skaičius bus didesnis, pavyzdžiui, tūkstantis. Laimėjimo varianto pasirinkimo tikimybė yra 1/1000 (0,1%). Atsižvelgiant į tai, kad iš likusių devynių šimtų devyniasdešimt devynių variantų vėliau atidaromos devyni šimtai devyniasdešimt aštuonios neteisingos, tampa aišku, kad tikimybė, kad iš devynių šimtų devyniasdešimt devynių nepasirinks vienos likusios durys, yra didesnė nei kad iš vienintelio pasirinkto pradžioje.

Pamini [taisyti | redaguoti wiki tekstą]

Nuorodų į Monty Hall paradoksą galite rasti „Dvidešimt vienas“ (Roberto Luketic filmas), „Klutzas“ (Sergėjaus Lukjanenkos romanas), televizijos serialuose „4isla“ (TV serialas), „Paslaptinga žmogžudystė“. apie šunį naktį“ (Marko Haddono istorija), „XKCD“ (komiksas), „Mitų griovėjai“ (TV laida).

Taip pat žiūrėkite [taisyti | redaguoti wiki tekstą]

Paveikslėlyje parodytas pasirinkimas tarp dviejų palaidotų durų iš trijų iš pradžių pasiūlytų

Kombinatorikos uždavinių sprendimų pavyzdžiai

Kombinatorika yra mokslas, su kuriuo susiduria visi Kasdienybė: kiek būdų pasirinkti 3 palydovus valyti klasę arba kiek būdų suformuoti žodį iš duotų raidžių.

Apskritai kombinatorika leidžia apskaičiuoti, kiek skirtingų kombinacijų, pagal tam tikras sąlygas, galima padaryti iš pateiktų objektų (vienodų ar skirtingų).

Kaip mokslas kombinatorika atsirado XVI amžiuje, o dabar jos studijuoja kiekvienas studentas (dažnai net ir moksleivis). Jie pradeda mokytis permutacijų, vietų, derinių (su pasikartojimais arba be jų) sąvokų; toliau rasite problemų šiomis temomis. Labiausiai žinomos kombinatorikos taisyklės yra sumos ir sandaugos taisyklės, kurios dažniausiai naudojamos tipiniuose kombinatoriniuose uždaviniuose.

Žemiau rasite keletą problemų, susijusių su sprendimų, naudojant kombinacines sąvokas ir taisykles, pavyzdžių, kurie padės suprasti tipines užduotis. Jei kyla sunkumų atliekant užduotis, užsisakykite kombinatorikos testą.

Kombinatorikos problemos su internetiniais sprendimais

1 užduotis. Mama turi 2 obuolius ir 3 kriaušes. Kasdien 5 dienas iš eilės ji duoda po vieną vaisių. Kiek būdų tai galima padaryti?

1 kombinatorikos uždavinio sprendimas (pdf, 35 Kb)

2 užduotis. Vienoje specialybėje įmonė gali įdarbinti 4 moteris, kitą – 6 vyrus, trečią – 3 darbuotojus, nepriklausomai nuo lyties. Kokiais būdais galima užpildyti laisvas vietas, jei yra 14 pretendentų: 6 moterys ir 8 vyrai?

Kombinatorikos 2 uždavinio sprendimas (pdf, 39 Kb)

3 užduotis. Keleiviniame traukinyje yra 9 vagonai. Kiek būdų traukinyje gali sėdėti 4 žmonės, jei jie visi važiuoja skirtinguose vagonuose?

3 kombinatorikos uždavinio sprendimas (pdf, 33 Kb)

4 užduotis. Grupėje yra 9 žmonės. Kiek skirtingų pogrupių galite sudaryti, jei pogrupyje yra bent 2 žmonės?

4 kombinatorikos uždavinio sprendimas (pdf, 34 Kb)

5 užduotis. 20 mokinių grupę reikia suskirstyti į 3 komandas, o pirmoje komandoje turėtų būti 3 žmonės, antroje – 5, trečioje – 12. Kiek būdų tai galima padaryti?

Kombinatorikos 5 uždavinio sprendimas (pdf, 37 Kb)

6 užduotis. Treneris į komandą atrenka 5 berniukus iš 10. Kiek būdų jis gali sudaryti komandą, jei komandoje turi būti 2 konkretūs berniukai?

Kombinatorikos uždavinys su 6 sprendimu (pdf, 33 Kb)

7 užduotis.Šachmatų turnyre dalyvavo 15 šachmatininkų, o kiekvienas su kitais žaidė tik po vieną partiją. Kiek rungtynių buvo sužaista šiame turnyre?

Kombinatorikos uždavinys su 7 sprendimu (pdf, 37 Kb)

8 užduotis. Kiek skirtingų trupmenų galima padaryti iš skaičių 3, 5, 7, 11, 13, 17, kad kiekvienoje trupmenoje būtų 2 skirtingi skaičiai? Kiek iš jų yra taisyklingosios trupmenos?

Kombinatorikos uždavinys su 8 sprendimu (pdf, 32 Kb)

9 užduotis. Kiek žodžių galite gauti pertvarkydami žodžio Kalnas ir institutas raides?

Kombinatorikos uždavinys su 9 sprendimu (pdf, 32 Kb)

10 problema. Kurie skaičiai nuo 1 iki 1 000 000 yra didesni: tie, kuriuose vienetas atsiranda, ar tie, kuriuose jo nėra?

Kombinatorikos uždavinys su 10 sprendimu (pdf, 39 Kb)

Paruošti pavyzdžiai

Reikia išspręsti kombinatorikos problemas? Rasti darbo knygelėje:

Kiti problemų sprendimai tikimybių teorijoje

Įsivaizduokite, kad bankininkas siūlo pasirinkti vieną iš trijų uždarų dėžių. Viename jų yra 50 centų, kitame – vienas doleris, trečiame – 10 tūkstančių dolerių. Kad ir kurį pasirinktumėte, gausite jį kaip prizą.

Atsitiktinai pasirenkate, tarkime, langelį Nr. Ir tada bankininkas (kuris, žinoma, žino, kur viskas) prieš akis atidaro dėžutę su vienu doleriu (tarkime, tai Nr. 2), po to pakviečia iš pradžių pasirinktą langelį Nr. 1 pakeisti į dėžutę. Nr. 3.

Ar turėtumėte persigalvoti? Ar tai padidins jūsų galimybes gauti 10 tūkst.

Tai yra Monty Hall paradoksas – tikimybių teorijos problema, kurios sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui. Žmonės dėl šios problemos glumina nuo 1975 m.

Paradoksas buvo pavadintas populiarios amerikiečių televizijos laidos „Leisk sudaryti sandorį“ vedėjo vardu. Šioje televizijos laidoje galiojo panašios taisyklės, tik dalyviai rinkosi duris, už kurių dviejų slėpėsi ožkos, už trečiųjų – „Cadillac“.

Dauguma žaidėjų samprotavo, kad po dviejų uždarytų durų, o už vienos iš jų stovi Cadillac, šansai jį gauti buvo 50-50. Akivaizdu, kad šeimininkas atidaro vienas duris ir kviečia pakeisti savo sprendimą, jis pradeda Naujas žaidimas. Nesvarbu, ar pakeisite savo sprendimą, ar ne, jūsų tikimybė vis tiek bus 50 procentų. Tiesa?

Pasirodo, kad ne. Tiesą sakant, persigalvoję galite padvigubinti savo sėkmės tikimybę. Kodėl?

Paprasčiausias šio atsakymo paaiškinimas yra toks. Norėdamas laimėti automobilį nepakeitęs pasirinkimo, žaidėjas turi nedelsdamas atspėti duris, už kurių yra automobilis. To tikimybė yra 1/3. Jei žaidėjas iš pradžių nusileidžia ant durų, už kurių yra ožka (o šio įvykio tikimybė yra 2/3, nes yra dvi ožkos ir tik vienas automobilis), tada jis tikrai gali laimėti automobilį pakeisdamas savo sprendimą, nes liko mašina ir viena ožka, o vedėja jau buvo atidariusi duris su ožiuku.

Taigi, nekeisdamas pasirinkimo, žaidėjas išlieka su savo pradine tikimybe laimėti 1/3, o keičiant pradinį pasirinkimą žaidėjui naudinga dvigubai didesnė tikimybė, kad jis pradžioje atspėjo neteisingai.

Intuityvus paaiškinimas taip pat gali būti pateiktas sukeitus du įvykius. Pirmasis įvykis yra žaidėjo sprendimas pakeisti duris, antrasis įvykis yra papildomų durų atidarymas. Tai priimtina, nes atidarius papildomas duris žaidėjas nieko neduoda nauja informacija(Dokumentacijos ieškokite šiame straipsnyje). Tada problemą galima sumažinti iki tokios formuluotės. Pirmuoju momentu žaidėjas padalija duris į dvi grupes: pirmoje grupėje yra vienos durys (tokias, kurias jis pasirinko), antroje – dvi likusios durys. Kitą akimirką žaidėjas pasirenka tarp grupių. Akivaizdu, kad pirmajai grupei tikimybė laimėti yra 1/3, antrajai grupei – 2/3. Žaidėjas pasirenka antrąją grupę. Antroje grupėje jis gali atidaryti abi duris. Vieną atidaro vedėjas, o antrąjį – pats žaidėjas.

Pabandykime pateikti „labiausiai suprantamą“ paaiškinimą. Performuluok problemą: Sąžiningas vedėjas praneša žaidėjui, kad už vienų iš trijų durų yra automobilis, ir pakviečia jį pirmiausia parodyti į vienas iš durų, o tada pasirinkti vieną iš dviejų veiksmų: atidaryti nurodytas duris ( senoji formuluotė vadinama „nekeisk savo pasirinkimo“) arba atidaryk kitas dvi (senojoje formuluotėje tai būtų tik „pakeisk pasirinkimą“. Pagalvok, čia slypi supratimo raktas!). Akivaizdu, kad žaidėjas pasirinks antrąjį iš dviejų veiksmų, nes tikimybė gauti automobilį šiuo atveju yra dvigubai didesnė. O ta smulkmena, kurią vedėjas dar prieš pasirinkdamas veiksmą „parodė ožką“, nepadeda ir netrukdo pasirinkti, nes už vienų iš dviejų durų visada yra ožka ir vedėjas būtinai parodys jį bet kuriame žaidimo posūkyje , todėl žaidėjas gali naudoti šią ožką nežiūrėk. Žaidėjas, pasirinkęs antrą veiksmą, turi pasakyti „ačiū“ lyderiui už tai, kad jis išvengė rūpesčių pačiam atidaryti vienas iš dviejų durų, o kitas – atidaryti. Na, ar dar paprasčiau. Įsivaizduokime šią situaciją iš laidos vedėjo, kuris atlieka panašią procedūrą su dešimtimis žaidėjų, požiūriu. Kadangi jis puikiai žino, kas yra už durų, tai vidutiniškai dviem atvejais iš trijų iš anksto mato, kad žaidėjas pasirinko „ne tas“ duris. Todėl jam tikrai nėra paradokso tame, kad teisinga strategija yra pakeisti pasirinkimą atidarius pirmąsias duris: juk tada tais pačiais dviem atvejais iš trijų žaidėjas studiją paliks nauju automobiliu.

Pagaliau pats „naiviausias“ įrodymas. Tegul tas, kuris laikosi savo pasirinkimo, vadinamas „Užsispyrusiu“, o tas, kuris vykdo vadovo nurodymus, vadinamas „Dėmesingu“. Tada „Stubborn“ laimi, jei iš pradžių atspėjo automobilį (1/3), o „Dėmesingas“ laimi, jei iš pradžių nepataikė ir pataikė į ožką (2/3). Juk tik tokiu atveju jis paskui su mašina parodys į duris.

Monty Hall, prodiuseris ir laidos vedėjas Susitarkime nuo 1963 iki 1991 m.

1990 metais ši problema ir jos sprendimas buvo paskelbti Amerikos žurnale „Parade“. Leidinys sukėlė daugybę pasipiktinusių skaitytojų atsiliepimų, kurių daugelis turėjo mokslinius laipsnius.

Pagrindinis skundas buvo tas, kad nebuvo nurodytos visos užduoties sąlygos, o bet koks niuansas gali turėti įtakos rezultatui. Pavyzdžiui, vedėjas galėtų pasiūlyti pakeisti sprendimą tik tuo atveju, jei žaidėjas pirmuoju žingsniu pasirinktų automobilį. Akivaizdu, kad pakeitus pradinį pasirinkimą tokioje situacijoje bus garantuotas nuostolis.

Tačiau per visą „Monty Hall“ televizijos laidos egzistavimą žmonės, kurie persigalvojo, iš tikrųjų laimėjo dvigubai dažniau:

Iš 30 žaidėjų, kurie pakeitė savo pradinį sprendimą, Cadillac laimėjo 18 – tai yra 60 proc.

Iš 30 žaidėjų, kurie liko pasirinkti, „Cadillac“ laimėjo 11 – tai yra maždaug 36 proc.

Taigi sprendime pateiktus motyvus, kad ir koks nelogiškas jis atrodytų, patvirtina praktika.

Durų skaičiaus didinimas

Kad būtų lengviau suprasti to, kas vyksta, galime apsvarstyti atvejį, kai žaidėjas priešais save mato ne trejas duris, o, pavyzdžiui, šimtą. Be to, už vienų durų stovi automobilis, o už kitų 99 – ožkos. Žaidėjas pasirenka vienas iš durų, o 99% atvejų jis rinksis duris su ožiu, o tikimybė iš karto pasirinkti duris su automobiliu yra labai maža - jie yra 1%. Po to vedėjas atidaro 98 duris su ožkomis ir kviečia žaidėją pasirinkti likusias duris. Tačiau 99% atvejų automobilis bus už šių likusių durų, nes tikimybė, kad žaidėjas iškart pasirinko tinkamas duris, yra labai maža. Akivaizdu, kad šioje situacijoje racionaliai mąstantis žaidėjas visada turėtų priimti lyderio pasiūlymą.

Svarstant apie padidintą durų skaičių, dažnai kyla klausimas: jei pirminėje užduotyje vadovas atidaro vienas duris iš trijų (tai yra 1/3 iš viso durys), tai kodėl turėtume manyti, kad 100 durų atveju vedėjas su ožkomis atidarys 98 duris, o ne 33? Šis svarstymas dažniausiai yra viena iš reikšmingų priežasčių, kodėl Monty Hall paradoksas prieštarauja intuityviam situacijos suvokimui. Būtų teisinga manyti, kad atsidarys 98 durys, nes esminė sąlyga Užduotis – žaidėjui turėti tik vieną alternatyvų pasirinkimą, kurį siūlo vedėjas. Todėl, kad užduotys būtų panašios, 4 durų atveju vadovas turi atidaryti 2 duris, 5 durų atveju - 3 ir pan. žaidėjas iš pradžių pasirinko. Jei vedėjas atidarys mažiau durų, užduotis nebebus panaši į pradinę „Monty Hall“ užduotį.

Pažymėtina, kad esant daugybei durų, net jei vedėjas palieka uždarytas ne vienas duris, o kelias ir pakviečia žaidėją pasirinkti vieną iš jų, tai keičiant pradinį pasirinkimą, žaidėjo galimybės laimėti automobilį išliks. vis dar didėja, nors ir ne taip smarkiai. Pavyzdžiui, apsvarstykite situaciją, kai žaidėjas pasirenka vienas duris iš šimto, o tada šeimininkas atidaro tik vienas iš likusių durų, kviesdamas žaidėją pakeisti savo pasirinkimą. Tuo pačiu tikimybė, kad automobilis bus už žaidėjo iš pradžių pasirinktų durų, išlieka ta pati – 1/100, o likusių durų tikimybė pasikeičia: bendra tikimybė, kad automobilis yra už vienų iš likusių durų ( 99/100) dabar pasiskirsto ne per Yra 99 durys, o 98. Todėl tikimybė rasti automobilį už kiekvienos iš šių durų bus ne 1/100, o 99/9800. Tikimybė padidės maždaug 1%.

Medis galimi sprendimaižaidėjas ir vedėjas, parodant kiekvieno rezultato tikimybę.. Dar formaliau žaidimo scenarijų galima apibūdinti naudojant sprendimų medį. Pirmaisiais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmiausia pasirinko duris, už kurių yra ožka, pasirinkimo pakeitimas lemia laimėjimą. Paskutiniais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris kartu su automobiliu, pasirinkimo pakeitimas lemia pralaimėjimą.

Jei vis tiek tau neaišku, spjauk į formules ir tiesiogpatikrink viską statistiškai. Kitas galimas paaiškinimas:

Žaidėjas, kurio strategija būtų kiekvieną kartą keisti pasirinktas duris, pralaimėtų tik tuomet, jei iš pradžių pasirinktų duris, už kurių stovėjo automobilis.
Kadangi tikimybė išsirinkti automobilį iš pirmo karto yra vienas iš trijų (arba 33 proc.), žaidėjui pakeitus savo pasirinkimą tikimybė nepasirinkti automobilio taip pat yra vienas iš trijų (arba 33 proc.).
Tai reiškia, kad žaidėjas, pasinaudojęs durų keitimo strategija, laimėtų su 66% tikimybe arba nuo dviejų iki trijų.
Tai padvigubins žaidėjo, kurio strategija yra kaskart nekeisti savo pasirinkimo, galimybes laimėti.

Vis dar netiki manimi? Tarkime, kad pasirinkote duris Nr. 1. Visi čia pateikti galimi variantai kas gali nutikti šiuo atveju.

„Yra trys melo rūšys: melas, akivaizdus melas ir statistika“. Ši frazė, kurią Markas Tvenas priskyrė Didžiosios Britanijos ministrui pirmininkui Benjaminui Disraeli, teisingai atspindi daugumos požiūrį į matematinius dėsnius. Iš tiesų, tikimybių teorija kartais nukrenta nuostabių faktų, kuriais iš pirmo žvilgsnio sunku patikėti – ir kuriuos vis dėlto patvirtina mokslas. „Teorijos ir praktika“ priminė garsiausius paradoksus.

Monty Hall problema

Būtent tokią problemą gudrus MIT profesorius pristatė studentams filme „Dvidešimt vienas“. Pateikęs teisingą atsakymą, Pagrindinis veikėjas atsiduria puikių jaunų matematikų komandai, kuri nugali kazino Las Vegase.

Klasikinė formuluotė skamba taip: „Tarkime, tam tikram žaidėjui pasiūloma dalyvauti garsioje Amerikos televizijos laidoje „Susitarkime“, kurią veda Monty Hall, ir jam reikia pasirinkti vieną iš trijų durų. Už dviejų durų – ožkos, už vienų – pagrindinis prizas, automobilis, prizų vietą vedėjas žino. Žaidėjui pasirinkus, šeimininkas atidaro vienas iš likusių durų, už kurių stovi ožka, ir kviečia žaidėją pakeisti savo sprendimą. Ar žaidėjas turėtų sutikti, ar geriau pasilikti savo pirminį pasirinkimą?

Štai tipiškas samprotavimas: šeimininkui atidarius vienas iš durų ir parodžius ožką, žaidėjas turi rinktis iš dviejų durų. Automobilis yra už vieno iš jų, o tai reiškia, kad tikimybė jį atspėti yra ½. Taigi nėra skirtumo, keisti pasirinkimą ar ne. Ir vis dėlto tikimybių teorija teigia, kad pakeitę savo sprendimą galite padidinti savo šansus laimėti. Išsiaiškinkime, kodėl taip yra.

Norėdami tai padaryti, žengkime žingsnį atgal. Kai padarėme pirminį pasirinkimą, duris padalinome į dvi dalis: vieną, kurią pasirinkome, ir kitas dvi. Akivaizdu, kad tikimybė, kad automobilis slepiasi už „mūsų“ durų, yra ⅓ – atitinkamai, automobilis yra už vienų iš dviejų likusių durų su ⅔ tikimybe. Kai vedėjas parodo, kad už vienų iš šių durų yra ožka, paaiškėja, kad ši ⅔ tikimybė patenka ant antrųjų durų. Ir tai sumažina žaidėjo pasirinkimą iki dviejų durų, už kurių vienos (iš pradžių pasirinktos) automobilis yra su ⅓ tikimybe, o už kitų - su ⅔ tikimybe. Pasirinkimas tampa akivaizdus. Kas, žinoma, nekeičia fakto, kad žaidėjas nuo pat pradžių galėjo rinktis duris kartu su automobiliu.

Trijų kalinių problema

Trijų kalinių paradoksas panašus į Monty Hall problemą, nors vyksta dramatiškesnėje aplinkoje. Trys kaliniai (A, B ir C) nuteisti mirties bausme ir patalpinti į izoliatorių. Gubernatorius atsitiktinai pasirenka vieną iš jų ir jam atleidžia. Prižiūrėtojas žino, kuris iš trijų buvo atleistas, bet jam įsakoma tai laikyti paslaptyje. Kalinys A prašo sargybinio pasakyti antrojo kalinio vardą (be jo paties), kuriam tikrai bus įvykdyta mirties bausmė: „Jei B bus atleista, pasakyk, kad C bus įvykdyta. Jei B bus atleista, pasakyk, kad B bus įvykdyta. . Jei jiems abiem bus įvykdyta mirties bausmė ir man buvo atleista, meskite monetą ir pasakykite bet kurį iš šių dviejų vardų. Prižiūrėtojas sako, kad kaliniui B bus įvykdyta mirties bausmė. Ar kalinys A turi būti laimingas?

Taip atrodytų. Juk iki šios informacijos gavimo kalinio A mirties tikimybė buvo ⅔, o dabar jis žino, kad vienam iš kitų dviejų kalinių bus įvykdyta mirties bausmė – vadinasi, jo mirties bausmės tikimybė sumažėjo iki ½. Tačiau iš tikrųjų kalinys A nieko naujo nesužinojo: jei jam nebus atleista, jam būtų pasakyta kito kalinio vardas, o jis jau žinojo, kad vienam iš dviejų likusių bus įvykdyta mirties bausmė. Jei jam pasiseks ir egzekucija bus atšaukta, jis išgirs atsitiktinis vardas B arba C. Todėl jo išsigelbėjimo galimybės niekaip nepasikeitė.

Dabar įsivaizduokite, kad vienas iš likusių kalinių sužinos apie kalinio A klausimą ir gautą atsakymą. Tai pakeis jo požiūrį į malonės tikimybę.

Jei kalinys B išgirdo pokalbį, jis žinos, kad jam tikrai bus įvykdyta mirties bausmė. O jei kalinys B, tada jo atleidimo tikimybė bus ⅔. Kodėl taip atsitiko? Kalinys A negavo jokios informacijos ir vis dar turi ⅓ galimybę būti atleistas. Kalinys B tikrai nebus atleistas, o jo šansai yra nuliniai. Tai reiškia, kad tikimybė, kad trečiasis kalinys bus paleistas, yra ⅔.

Dviejų vokų paradoksas

Šis paradoksas tapo žinomas matematiko Martino Gardnerio dėka ir suformuluotas taip: „Tarkime, jums ir draugui buvo pasiūlyti du vokai, kurių viename yra tam tikra pinigų suma X, o kitame – dvigubai didesnė suma. Savarankiškai atplėšiate vokus, suskaičiuojate pinigus ir tuomet galėsite juos pakeisti. Vokai yra vienodi, todėl tikimybė, kad gausite voką su mažesne suma, yra ½. Tarkime, atplėšiate voką ir radote jame 10 USD. Todėl lygiai taip pat tikėtina, kad jūsų draugo voke yra 5 arba 20 USD. Jei nuspręsite keistis, galite apskaičiuoti matematinį galutinės sumos lūkestį - tai yra jos vidutinę vertę. Tai yra 1/2x5$+1/2x20=12,5$. Taigi mainai jums naudingi. Ir, greičiausiai, jūsų draugas manys taip pat. Tačiau akivaizdu, kad mainai negali būti naudingi jums abiem. Kokia klaida?

Paradoksas yra tas, kad kol neatplėšiate voko, tikimybės elgiasi gerai: iš tikrųjų turite 50% tikimybę, kad voke rasite sumą X ir 50% tikimybę, kad rasite 2X sumą. O sveikas protas diktuoja, kad informacija apie turimą sumą negali turėti įtakos antrojo voko turiniui.

Tačiau vos atplėšus voką situacija kardinaliai pasikeičia (šis paradoksas kažkuo panašus į istoriją apie Šriodingerio katę, kur pats stebėtojo buvimas paveikia reikalų būklę). Faktas yra tas, kad norint atitikti paradokso sąlygas, tikimybė antrame voke rasti didesnę ar mažesnę sumą nei jūsų turi būti tokia pati. Bet tada bet kuri šios sumos reikšmė nuo nulio iki begalybės yra vienodai tikėtina. Ir jei yra vienodai tikėtinas begalinis galimybių skaičius, jie sumuojasi iki begalybės. Ir tai neįmanoma.

Aiškumo dėlei galite įsivaizduoti, kad savo voke rasite vieną centą. Akivaizdu, kad antrame voke negali būti pusė sumos.

Įdomu, kad diskusijos dėl paradokso sprendimo tęsiasi iki šiol. Tuo pačiu metu paradoksą bandoma paaiškinti ir iš vidaus, ir plėtoti geriausia strategija elgesys tokioje situacijoje. Visų pirma, profesorius Thomas Coveris pasiūlė originalų požiūrį į strategijos formavimą – keisti ar nekeisti voką, vadovaujantis tam tikru intuityviu lūkesčiu. Tarkime, jei atplėšiate voką ir jame rasite 10 USD – jūsų vertinimu, nedidelė suma – verta jį iškeisti. Ir jei voke yra, tarkime, 1000 USD, o tai viršija jūsų drąsiausius lūkesčius, tada keisti nereikia. Ši intuityvi strategija, jei jūsų nuolat prašoma pasirinkti du vokus, leidžia padidinti bendrą laimėjimą labiau nei nuolat keičiant vokus.

Berniuko ir mergaitės paradoksas

Šį paradoksą taip pat pasiūlė Martinas Gardneris ir jis suformuluotas taip: „Ponas Smithas turi du vaikus. Bent vienas vaikas yra berniukas. Kokia tikimybė, kad antrasis taip pat yra berniukas?

Atrodytų, užduotis paprasta. Tačiau pradėjus domėtis, išaiškėja kurioziška aplinkybė: teisingas atsakymas skirsis priklausomai nuo to, kaip skaičiuosime kito vaiko lyties tikimybę.

1 variantas

Panagrinėkime visus galimus derinius šeimose su dviem vaikais:

Mergina/Mergina

Mergina berniukas

Berniukas/Mergaitė

Berniukas/berniukas

Mergaitės/merginos variantas mums netinka pagal užduoties sąlygas. Todėl P. Smitho šeimai yra trys vienodai tikėtini variantai – tai reiškia, kad tikimybė, kad kitas vaikas taip pat bus berniukas, yra ⅓. Būtent tokį atsakymą iš pradžių pateikė pats Gardneris.

2 variantas

Įsivaizduokime, kad sutinkame poną Smithą gatvėje, kai jis vaikšto su sūnumi. Kokia tikimybė, kad antrasis vaikas taip pat yra berniukas? Kadangi antrojo vaiko lytis neturi nieko bendra su pirmojo vaiko lytimi, akivaizdus (ir teisingas) atsakymas yra ½.

Kodėl taip nutinka, nes atrodo, kad niekas nepasikeitė?

Viskas priklauso nuo to, kaip sprendžiame tikimybės skaičiavimo klausimą. Pirmuoju atveju apsvarstėme visus galimus Smithų šeimos variantus. Antrajame apžvelgėme visas šeimas, kurioms taikoma privaloma sąlyga „turi būti vienas berniukas“. Antrojo vaiko lyties tikimybės apskaičiavimas buvo atliktas esant šiai sąlygai (tikimybių teorijoje tai vadinama „sąlygine tikimybe“), dėl kurios gautas kitoks nei pirmasis rezultatas.

1963 m. gruodžio mėn. per Amerikos televizijos kanalą NBC programa buvo išleista pirmą kartą Susitarkime(„Sudaryk sandorį!“), kuriame iš studijos publikos atrinkti dalyviai derėjosi tarpusavyje ir su vedėju. maži žaidimai arba tiesiog atspėjo atsakymą į klausimą. Pasibaigus šou, dalyviai galėjo žaisti „dienos sandorį“. Prieš juos buvo trejos durys, apie kurias buvo žinoma, kad už vienų – Pagrindinis prizas (pavyzdžiui, automobilis), o už kitų – mažiau vertingos arba visiškai absurdiškos dovanos (pavyzdžiui, gyvos ožkos). Po to, kai žaidėjas pasirinko, programos vedėjas Monty Hall atidarys vienas iš dviejų likusių durų, parodydamas, kad po jo nėra prizo, ir suteikdamas dalyviui pasitenkinimą, kad jis vis dar turi galimybę laimėti.

1975 m. Kalifornijos universiteto mokslininkas Steve'as Selvinas susimąstė, kas nutiktų, jei tą akimirką, atsidarius durims be prizo, dalyvio būtų paprašyta pakeisti savo pasirinkimą. Ar tokiu atveju pasikeis žaidėjo galimybės gauti Prizą ir jei taip, kokia kryptimi? Atitinkamą klausimą jis pateikė žurnalui kaip užduotį Amerikos statistikas(„Amerikos statistikas“), taip pat pats Monty Hall, kuris į tai gana įdomiai atsakė. Nepaisant šio atsakymo (o gal dėl jo), problema išpopuliarėjo pavadinimu „Monty Hall problema“.

Užduotis

Atsidūrėte „Monty Hall“ laidoje kaip dalyvė – ir paskutinę akimirką, pravėrusi duris su ožiu, vedėjas pakvietė pakeisti pasirinkimą. Ar jūsų sprendimas – priimti ar ne – turės įtakos tikimybei laimėti?

Užuomina

Pabandykite atsižvelgti į žmones, kurie tuo pačiu atveju pasirinko skirtingas duris (tai yra, kai prizas yra, pavyzdžiui, už durų Nr. 1). Kam bus naudinga pakeisti savo pasirinkimą, o kam – ne?

Sprendimas

Kaip siūloma raginime, pažvelkime į žmones, kurie pasirinko skirtingai. Tarkime, kad prizas yra už durų #1, o už durų #2 ir #3 yra ožkos. Turėkime šešis žmones, du žmonės pasirinko kiekvieną duris, ir iš kiekvienos poros vienas vėliau pakeitė savo sprendimą, o kitas – ne.

Atkreipkite dėmesį, kad pasirinkusiems duris Nr. 1, Pristatytojas pagal savo skonį atvers vienas iš dviejų durų ir, nepaisant to, Automobilį gaus tie, kurie nekeičia savo pasirinkimo, o tie, kurie keičia pradinį pasirinkimą liks be Prizo. Dabar pažiūrėkime į tuos, kurie rinkosi duris Nr.2 ir Nr.3. Kadangi už durų Nr.1 stovi Automobilis, lyderis negali jų atidaryti, o tai jam nelieka pasirinkimo – joms jis atidaro atitinkamai duris Nr.3 ir Nr.2. Tokiu atveju kiekvienoje poroje sprendimą pakeitęs asmuo galiausiai išsirinks Prizą, o nepakeitęs liks be nieko. Taigi, iš trijų sprendimus pakeitusių asmenų Prizą gaus du, ožką – vienam, o iš trijų, palikusių nepakeistą savo pirminį pasirinkimą, Prizą gaus tik vienas.

Pažymėtina, kad jei Automobilis būtų atsidūręs už durų Nr.2 ar Nr.3, rezultatas būtų buvęs toks pat, būtų pasikeitę tik konkretūs laimėtojai. Taigi, darant prielaidą, kad iš pradžių kiekvienos durys pasirenkamos vienoda tikimybe, matome, kad tie, kurie keičia savo pasirinkimą, Prizą laimi dvigubai dažniau, tai yra, tikimybė laimėti šiuo atveju yra didesnė.

Pažvelkime į šią problemą matematinės tikimybių teorijos požiūriu. Darysime prielaidą, kad tikimybė iš pradžių pasirinkti kiekvieną iš durų yra vienoda, taip pat tikimybė rasti Automobilį už kiekvienų durų. Be to, naudinga perspėti, kad GM, kai gali atidaryti dvi duris, kiekviena iš jų pasirenka vienoda tikimybe. Tada paaiškėja, kad priėmus pirmąjį sprendimą, tikimybė, kad Prizas yra už pasirinktų durų, yra 1/3, o tikimybė, kad jis yra už vienų iš kitų dviejų durų, yra 2/3. Be to, lyderiui atidarius vienas iš dviejų „nepasirinktų“ durų, visa 2/3 tikimybė tenka tik vienoms iš likusių durų, taip sukuriant pagrindą pakeisti sprendimą, o tai padidins tikimybę laimėti 2 kartus. . Tai, žinoma, to visiškai negarantuoja vienu konkrečiu atveju, tačiau bus sėkmingesni rezultatai, jei eksperimentas bus kartojamas daug kartų.

Pokalbis

Monty Hall problema nėra pirmoji žinoma šios problemos formuluotė. Visų pirma, 1959 m. Martinas Gardneris paskelbė žurnalą Mokslinis amerikietis panaši problema „apie tris kalinius“ (Trijų kalinių problema) su tokia formuluote: „ Iš trijų kalinių vienam turėtų būti suteikta malonė, o dviem – mirties bausmė. Kalinys A įtikina sargybinį pasakyti jam vieno iš kitų dviejų, kuriam bus įvykdyta mirties bausmė (bet kurio vieno, jei abu bus įvykdyti mirties bausmė), vardą, po kurio, gavęs vardą B, jis mano, kad jo paties išsigelbėjimo tikimybė tampa ne 1/3, o 1/2. Tuo pačiu metu kalinys C teigia, kad jo išsigelbėjimo tikimybė tapo 2/3, tačiau A niekas nepasikeitė. Kuris teisingas?»

Tačiau Gardneris nebuvo pirmasis, nes dar 1889 m. savo „Tikimybių skaičiavime“ prancūzų matematikas Josephas Bertrand'as (nepainioti su anglu Bertrand'u Russell'u!) pasiūlė panašią problemą (žr. Bertrand'o langelio paradoksą): Yra trys dėžutės, kurių kiekvienoje yra po dvi monetas: pirmoje – dvi auksinės, antroje – dvi sidabrinės, trečioje – dvi skirtingos. Iš atsitiktinai parinktos dėžutės atsitiktinai buvo ištraukta moneta, kuri pasirodė auksinė. Kokia tikimybė, kad dėžutėje likusi moneta yra auksinė?»

Jei supranti visų trijų problemų sprendimus, nesunku pastebėti jų idėjų panašumą; matematiškai juos visus vienija sąlyginės tikimybės sąvoka, tai yra įvykio A tikimybė, jei žinoma, kad įvykis B įvyko. Paprasčiausias pavyzdys: tikimybė, kad įprastas kauliukas meta vieną, yra 1/6; tačiau jei žinoma, kad ištrauktas skaičius yra nelyginis, tada tikimybė, kad jis yra vienas, jau bus 1/3. Monty Hall problema, kaip ir kitos dvi aukščiau pateiktos problemos, rodo, kad sąlygines tikimybes reikia tvarkyti atsargiai.

Šios problemos dar dažnai vadinamos paradoksais: Monty Hall paradoksu, Bertrano dėžės paradoksu (pastarojo nereikėtų painioti su tikruoju Bertrano paradoksu, pateiktu toje pačioje knygoje, kuris įrodė tuo metu egzistavusios tikimybės sampratos dviprasmiškumą) – kuri. reiškia tam tikrą prieštaravimą (pavyzdžiui, „Melagio paradokse“ frazė „šis teiginys yra klaidingas“ prieštarauja neįtraukiamo vidurio dėsniui). Tačiau šiuo atveju griežtiems teiginiams neprieštaraujama. Tačiau yra aiškus prieštaravimas su „ vieša nuomonė“ arba tiesiog „akivaizdus problemos sprendimas“. Iš tiesų, dauguma žmonių, žvelgdami į problemą, mano, kad atidarius vieną iš durų, tikimybė rasti Prizą bet kuriai iš dviejų likusių uždarytų yra 1/2. Taigi jie teigia, kad nėra skirtumo, ar sutinkate, ar nesutinkate pakeisti savo sprendimą. Be to, daugeliui žmonių sunku suprasti kitokį nei šis atsakymą, net ir jiems pasakius išsamų sprendimą.

1963-iųjų gruodį Amerikos televizijos kanalas NBC debiutavo laidoje „Sudaryk sandorį“, kurioje iš studijos publikos atrinkti dalyviai derėjosi tarpusavyje ir su vedėju, žaidė mažus žaidimus ar tiesiog atspėjo atsakymą į klausimą.klausimas. Pasibaigus šou, dalyviai galėjo žaisti „dienos sandorį“. Prieš juos buvo trejos durys, apie kurias buvo žinoma, kad už vienų – Pagrindinis prizas (pavyzdžiui, automobilis), o už kitų – mažiau vertingos arba visiškai absurdiškos dovanos (pavyzdžiui, gyvos ožkos). Po to, kai žaidėjas pasirinko, programos vedėjas Monty Hall atidarys vienas iš dviejų likusių durų, parodydamas, kad po jo nėra prizo, ir suteikdamas dalyviui pasitenkinimą, kad jis vis dar turi galimybę laimėti.

1975 m. Kalifornijos universiteto mokslininkas Steve'as Selvinas susimąstė, kas nutiktų, jei tą akimirką, atsidarius durims be prizo, dalyvio būtų paprašyta pakeisti savo pasirinkimą. Ar tokiu atveju pasikeis žaidėjo galimybės gauti Prizą ir jei taip, kokia kryptimi? Atitinkamą klausimą problemos forma jis nusiuntė žurnalui „The American Statistician“, taip pat pačiam Monty Hallui, kuris jam pateikė gana įdomų atsakymą. Nepaisant šio atsakymo (o gal dėl jo), problema išpopuliarėjo pavadinimu „Monty Hall problema“.

Dažniausia šios problemos formuluotė, paskelbta 1990 m. Parade Magazine, yra tokia:

„Įsivaizduokite, kad tampate žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyviu. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Jūs pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po kurio vadovas, žinantis, kur yra automobilis, o kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numeris 3, už kurių yra ožka. Po to jis jūsų klausia, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2. Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite vedėjo pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?

Paskelbus iškart paaiškėjo, kad užduotis suformuluota neteisingai: nurodytos ne visos sąlygos. Pavyzdžiui, vedėjas gali vadovautis strategija „Monty from Hell“: pasiūlyti pakeisti pasirinkimą tada ir tik tada, kai žaidėjas pasirinko automobilį kaip savo pirmąjį žingsnį. Akivaizdu, kad pakeitus pradinį pasirinkimą tokioje situacijoje bus garantuotas nuostolis.

Populiariausia užduotis su papildoma sąlyga – žaidimo dalyvis iš anksto žino šias taisykles:

automobilis yra vienodai tikėtinas už bet kurių iš 3 durų;
Bet kuriuo atveju vedėjas privalo atidaryti duris su ožiu (bet ne ta, kurią žaidėjas pasirinko) ir pakviesti žaidėją pakeisti pasirinkimą;
Jei vadovas gali pasirinkti, kurias iš dviejų durų atidaryti, jis pasirenka bet kurią iš jų su vienoda tikimybe.

Užuomina

Sprendimas

Pokalbis

Monty Hall problema nėra pirmoji žinoma šios problemos formuluotė. Konkrečiai, 1959 m. Martinas Gardneris žurnale „Scientific American“ paskelbė panašią „Trijų kalinių problemą“ su tokia formuluote: „Iš trijų kalinių vienam turėtų būti suteikta malonė, o dviem – mirties bausmė. Kalinys A įtikina sargybinį pasakyti jam vieno iš kitų dviejų, kuriam bus įvykdyta mirties bausmė (bet kurio vieno, jei abu bus įvykdyti mirties bausmė), vardą, po kurio, gavęs vardą B, jis mano, kad jo paties išsigelbėjimo tikimybė tampa ne 1/3, o 1/2. Tuo pačiu metu kalinys C teigia, kad jo išsigelbėjimo tikimybė tapo 2/3, tačiau A niekas nepasikeitė. Kuris teisingas?

Tačiau Gardneris nebuvo pirmasis, nes dar 1889 m. savo „Tikimybių skaičiavime“ prancūzų matematikas Josephas Bertrand'as (nepainioti su anglu Bertrand'u Russell'u!) pasiūlė panašią problemą (žr. Bertrand'o langelio paradoksą): Yra trys dėžutės, kurių kiekvienoje yra po dvi monetas: pirmoje dvi auksinės, antroje dvi sidabrinės, trečioje dvi skirtingos.Iš atsitiktinai parinktos dėžutės atsitiktinai buvo ištraukta moneta, kuri pasirodė būti auksu. Kokia tikimybė, kad dėžutėje likusi moneta yra auksinė?

Jei supranti visų trijų problemų sprendimus, nesunku pastebėti jų idėjų panašumą; matematiškai juos visus vienija sąlyginės tikimybės sąvoka, tai yra įvykio A tikimybė, jei žinoma, kad įvykis B įvyko. Paprasčiausias pavyzdys: tikimybė, kad ant įprasto kauliuko atsiras vienas, yra 1/6; tačiau jei žinoma, kad ištrauktas skaičius yra nelyginis, tada tikimybė, kad jis yra vienas, jau bus 1/3. Monty Hall problema, kaip ir kitos dvi aukščiau pateiktos problemos, rodo, kad sąlygines tikimybes reikia tvarkyti atsargiai.

Šios problemos dar dažnai vadinamos paradoksais: Monty Hall paradoksu, Bertrano dėžės paradoksu (pastarojo nereikėtų painioti su tikruoju Bertrano paradoksu, pateiktu toje pačioje knygoje, kuris įrodė tuo metu egzistavusios tikimybės sampratos dviprasmiškumą) – kuri. reiškia tam tikrą prieštaravimą (pavyzdžiui, „Melagio paradokse“ frazė „šis teiginys yra klaidingas“ prieštarauja neįtraukiamo vidurio dėsniui). Tačiau šiuo atveju griežtiems teiginiams neprieštaraujama. Tačiau yra aiškus prieštaravimas „viešajai nuomonei“ arba tiesiog „akivaizdžiui problemos sprendimui“. Iš tiesų, dauguma žmonių, žvelgdami į problemą, mano, kad atidarius vieną iš durų, tikimybė rasti Prizą bet kuriai iš dviejų likusių uždarytų yra 1/2. Taigi jie teigia, kad nėra skirtumo, ar sutinkate, ar nesutinkate pakeisti savo sprendimą. Be to, daugeliui žmonių sunku suprasti kitokį nei šis atsakymą, net ir jiems pasakius išsamų sprendimą.

Monty Hall atsakymas Steve'ui Selwynui

Ponas Steve'as Selwynas,
Biostatistikos docentas,
Kalifornijos universitetas, Berklis.

Gerbiamas Steve,

Dėkojame, kad atsiuntėte man problemą iš „The American Statistician“.

Nors universitete statistikos nestudijavau, žinau, kad skaičiais visada galiu pasinaudoti, jei noriu jais manipuliuoti. Jūsų samprotavime neatsižvelgiama į vieną esminę aplinkybę: po to, kai pirmasis langelis yra tuščias, dalyvis nebegali pakeisti savo pasirinkimo. Taigi tikimybė išlieka ta pati: viena iš trijų, tiesa? Ir, žinoma, po to, kai viena iš dėžių pasirodo tuščia, tikimybė netampa 50/50, o išlieka tokia pati – vienas iš trijų. Tik dalyviui atrodo, kad atsikratęs vienos dėžės jis gauna daugiau šansų. Visai ne. Du prieš vieną prieš jį, kaip buvo, taip ir lieka. O jei staiga ateisi į mano laidą, taisyklės tau išliks tos pačios: išsirinkus jokių keitimo dėžučių.

Populiarus kategorijoje: