X y lygčių sistemos sprendinys. Tiesinių lygčių sistemos

Lygčių sistemos plačiai naudojamos ekonomikos pramonėje įvairių procesų matematiniam modeliavimui. Pavyzdžiui, sprendžiant valdymo ir gamybos planavimo, logistikos maršrutų problemas ( transporto užduotis) arba įrangos išdėstymas.

Lygčių sistemos naudojamos ne tik matematikos, bet ir fizikos, chemijos ir biologijos srityse, sprendžiant populiacijos dydžio nustatymo uždavinius.

Tiesinių lygčių sistema yra dviejų ar daugiau lygčių su keliais kintamaisiais terminas, kuriems būtina rasti bendrą sprendimą. Tokia skaičių seka, kuriai visos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis arba įrodo, kad sekos nėra.

Tiesinė lygtis

Formos ax+by=c lygtys vadinamos tiesinėmis. Pavadinimai x, y – nežinomieji, kurių reikšmę reikia rasti, b, a – kintamųjų koeficientai, c – laisvasis lygties narys.
Lygties sprendimas nubraižant jos grafiką atrodys kaip tiesė, kurios visi taškai yra daugianario sprendinys.

Tiesinių lygčių sistemų tipai

Paprasčiausi yra tiesinių lygčių sistemų su dviem kintamaisiais X ir Y pavyzdžiai.

F1(x, y) = 0 ir F2(x, y) = 0, kur F1,2 yra funkcijos, o (x, y) yra funkcijų kintamieji.

Išspręskite lygčių sistemą - tai reiškia rasti tokias reikšmes (x, y), kurioms sistema tampa tikrąja lygybe, arba nustatyti, kad nėra tinkamų x ir y reikšmių.

Reikšmių pora (x, y), parašyta kaip taško koordinatės, vadinama tiesinių lygčių sistemos sprendimu.

Jei sistemos turi vieną bendrą sprendimą arba sprendimo nėra, jos vadinamos lygiavertėmis.

Homogeninės tiesinių lygčių sistemos yra sistemos, kurių dešinioji pusė lygi nuliui. Jei dešinioji dalis po „lygybės“ ženklo turi reikšmę arba išreiškiama funkcija, tokia sistema nėra vienalytė.

Kintamųjų skaičius gali būti daug didesnis nei du, tuomet turėtume kalbėti apie tiesinių lygčių sistemos su trimis ar daugiau kintamaisiais pavyzdį.

Susidūrę su sistemomis, moksleiviai mano, kad lygčių skaičius būtinai turi sutapti su nežinomųjų skaičiumi, tačiau taip nėra. Lygčių skaičius sistemoje nepriklauso nuo kintamųjų, jų gali būti savavališkai daug.

Paprasti ir sudėtingi lygčių sistemų sprendimo metodai

Nėra bendro analitinio būdo tokioms sistemoms spręsti, visi metodai yra pagrįsti skaitiniais sprendimais. Mokykliniame matematikos kurse išsamiai aprašomi tokie metodai kaip permutacija, algebrinis sudėjimas, keitimas, taip pat grafinis ir matricinis metodas, sprendimas Gauso metodu.

Pagrindinis uždavinys mokant sprendimo metodus – išmokyti teisingai analizuoti sistemą ir kiekvienam pavyzdžiui rasti optimalų sprendimo algoritmą. Svarbiausia yra ne įsiminti kiekvieno metodo taisyklių ir veiksmų sistemą, o suprasti konkretaus metodo taikymo principus.

Programos 7 klasės tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas vidurinė mokykla gana paprasta ir labai išsamiai paaiškinta. Bet kuriame matematikos vadovėlyje šiam skyriui skiriama pakankamai dėmesio. Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas Gauso ir Cramerio metodu plačiau nagrinėjamas pirmuosiuose aukštųjų mokyklų kursuose.

Sistemų sprendimas pakeitimo metodu

Pakeitimo metodo veiksmais siekiama išreikšti vieno kintamojo reikšmę per antrąjį. Išraiška pakeičiama į likusią lygtį, tada ji redukuojama į vieną kintamąjį. Veiksmas kartojamas priklausomai nuo nežinomųjų skaičiaus sistemoje

Pateiksime 7-osios klasės tiesinių lygčių sistemos pakeitimo metodu pavyzdį:

Kaip matyti iš pavyzdžio, kintamasis x buvo išreikštas F(X) = 7 + Y. Gauta išraiška, pakeista į 2-ąją sistemos lygtį vietoj X, padėjo gauti vieną kintamąjį Y 2-oje lygtyje. . Sprendimas šis pavyzdys nesukelia sunkumų ir leidžia gauti Y reikšmę. Paskutinis žingsnis tai gautų verčių testas.

Tiesinių lygčių sistemos pavyzdį ne visada įmanoma išspręsti pakeičiant. Lygtys gali būti sudėtingos, o kintamojo išraiška antrojo nežinomojo atžvilgiu bus pernelyg sudėtinga tolesniems skaičiavimams. Kai sistemoje yra daugiau nei 3 nežinomieji, pakeitimo sprendimas taip pat nepraktiškas.

Tiesinių nehomogeninių lygčių sistemos pavyzdžio sprendimas:

Sprendimas naudojant algebrinį sudėjimą

Ieškant sprendimų sistemoms sudavimo metodu, lygčių sudėjimas po termino ir dauginimas iš įvairūs skaičiai. Galutinis matematinių operacijų tikslas yra lygtis su vienu kintamuoju.

Programoms šis metodas reikia praktikos ir stebėjimo. Nelengva išspręsti tiesinių lygčių sistemą naudojant sudėjimo metodą, kai kintamųjų skaičius yra 3 ar daugiau. Algebrinis sudėjimas yra naudingas, kai lygtyse yra trupmenų ir dešimtainių skaičių.

Sprendimo veiksmų algoritmas:

1. Padauginkite abi lygties puses iš tam tikro skaičiaus. Dėl aritmetinės operacijos vienas iš kintamojo koeficientų turi tapti lygus 1.
2. Pridėkite gautą išraišką po termino ir raskite vieną iš nežinomųjų.
3. Pakeiskite gautą reikšmę į 2-ąją sistemos lygtį, kad rastumėte likusį kintamąjį.

Sprendimo metodas įvedant naują kintamąjį

Naujas kintamasis gali būti įvestas, jei sistemai reikia rasti sprendimą ne daugiau kaip dviem lygtims, nežinomųjų skaičius taip pat turėtų būti ne didesnis kaip du.

Metodas naudojamas supaprastinti vieną iš lygčių, įvedant naują kintamąjį. Naujoji lygtis išsprendžiama įvesto nežinomojo atžvilgiu, o gauta reikšmė naudojama pirminiam kintamajam nustatyti.

Iš pavyzdžio matyti, kad įvedus naują kintamąjį t, buvo galima 1-ąją sistemos lygtį sumažinti iki standartinio kvadratinio trinalio. Galite išspręsti daugianarį suradę diskriminantą.

Reikia rasti diskriminanto reikšmę naudojant gerai žinomą formulę: D = b2 - 4*a*c, kur D yra norimas diskriminantas, b, a, c yra daugianario daugikliai. Pateiktame pavyzdyje a=1, b=16, c=39, vadinasi, D=100. Jei diskriminantas didesnis už nulį, tai yra du sprendiniai: t = -b±√D / 2*a, jei diskriminantas mažesnis už nulį, tai yra tik vienas sprendinys: x= -b / 2*a.

Gautų sistemų sprendimas randamas pridėjimo metodu.

Vaizdinis sistemų sprendimo metodas

Tinka sistemoms su 3 lygtimis. Metodas susideda iš kiekvienos lygties, įtrauktos į sistemą, grafikų braižymo koordinačių ašyje. Kreivių susikirtimo taškų koordinatės bus bendras sistemos sprendimas.

Grafinis metodas turi nemažai niuansų. Apsvarstykite keletą tiesinių lygčių sistemų vaizdinio sprendimo pavyzdžių.

Kaip matyti iš pavyzdžio, kiekvienai eilutei buvo sudaryti du taškai, savavališkai parinktos kintamojo x reikšmės: 0 ir 3. Remiantis x reikšmėmis, buvo rastos y reikšmės: 3 ir 0. Taškai su koordinatėmis (0, 3) ir (3, 0) buvo pažymėti grafike ir sujungti linija.

Antrosios lygties veiksmai turi būti kartojami. Tiesių susikirtimo taškas yra sistemos sprendimas.

Šiame pavyzdyje reikia rasti grafinį tiesinių lygčių sistemos sprendimą: 0,5x-y+2=0 ir 0,5x-y-1=0.

Kaip matyti iš pavyzdžio, sistema neturi sprendimo, nes grafikai yra lygiagretūs ir nesikerta per visą savo ilgį.

2 ir 3 pavyzdžių sistemos yra panašios, tačiau sukūrus tampa akivaizdu, kad jų sprendimai skiriasi. Reikia atsiminti, kad ne visada galima pasakyti, ar sistema turi sprendimą, ar ne, visada reikia sudaryti grafiką.

Matrica ir jos atmainos

Matricos naudojamos santrumpa tiesinių lygčių sistemos. Matrica yra specialus lentelės tipas, užpildytas skaičiais. n*m turi n eilučių ir m stulpelių.

Matrica yra kvadratinė, kai stulpelių ir eilučių skaičius yra lygus. Matrica-vektorius yra vieno stulpelio matrica su be galo galimu eilučių skaičiumi. Matrica su vienetais išilgai vienos iš įstrižainių ir kitų nulinių elementų vadinama tapatybe.

Atvirkštinė matrica yra tokia matrica, iš kurios padauginus originalioji virsta vienetine, tokia matrica egzistuoja tik pradinei kvadratinei.

Lygčių sistemos transformavimo į matricą taisyklės

Kalbant apie lygčių sistemas, lygčių koeficientai ir laisvieji nariai rašomi kaip matricos skaičiai, viena lygtis yra viena matricos eilutė.

Matricos eilutė vadinama ne nuliu, jei bent vienas eilutės elementas nėra lygus nuliui. Todėl jeigu kurioje nors lygtyje kintamųjų skaičius skiriasi, tai vietoje trūkstamo nežinomojo reikia įvesti nulį.

Matricos stulpeliai turi griežtai atitikti kintamuosius. Tai reiškia, kad kintamojo x koeficientai gali būti rašomi tik viename stulpelyje, pavyzdžiui, pirmasis, nežinomo y koeficientas – tik antrame.

Dauginant matricą, visi matricos elementai paeiliui dauginami iš skaičiaus.

Atvirkštinės matricos paieškos parinktys

Formulė atvirkštinei matricai rasti yra gana paprasta: K -1 = 1 / |K|, kur K -1 yra atvirkštinė matrica ir |K| - matricos determinantas. |K| neturi būti lygus nuliui, tada sistema turi sprendimą.

Determinantas nesunkiai apskaičiuojamas matricai du po du, tereikia elementus padauginti įstrižai vienas iš kito. Parinkčiai „trys iš trijų“ yra formulė |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Galite naudoti formulę arba prisiminti, kad reikia paimti po vieną elementą iš kiekvienos eilutės ir kiekvieno stulpelio, kad produkte nesikartotų elementų stulpelių ir eilučių numeriai.

Tiesinių lygčių sistemų pavyzdžių sprendimas matriciniu metodu

Matricinis sprendimo paieškos metodas leidžia sumažinti sudėtingus įrašus sprendžiant sistemas su daugybe kintamųjų ir lygčių.

Pavyzdyje a nm yra lygčių koeficientai, matrica yra vektorius, x n yra kintamieji, o b n yra laisvieji nariai.

Sistemų sprendimas Gauso metodu

Aukštojoje matematikoje Gauso metodas tiriamas kartu su Cramerio metodu, o sistemų sprendimo paieškos procesas vadinamas Gauss-Cramer sprendimo metodu. Šie metodai naudojami ieškant sistemos kintamieji su daugybe tiesinių lygčių.

Gauso metodas yra labai panašus į pakeitimo ir algebrinio sudėjimo sprendimus, tačiau yra sistemingesnis. Mokykliniame kurse Gauso sprendimas naudojamas 3 ir 4 lygčių sistemoms. Metodo tikslas – paversti sistemą apverstos trapecijos forma. Algebrinėmis transformacijomis ir keitimais vieno kintamojo reikšmė randama vienoje iš sistemos lygčių. Antroji lygtis yra išraiška su 2 nežinomaisiais, o 3 ir 4 - su atitinkamai 3 ir 4 kintamaisiais.

Suvedus sistemą į aprašytą formą, tolesnis sprendimas redukuojamas iki nuoseklaus žinomų kintamųjų pakeitimo sistemos lygtyse.

IN mokykliniai vadovėliai 7 klasės atveju Gauso metodo sprendimo pavyzdys aprašomas taip:

Kaip matyti iš pavyzdžio, (3) žingsnyje buvo gautos dvi lygtys 3x 3 -2x 4 =11 ir 3x 3 +2x 4 =7. Bet kurios lygties sprendimas leis jums sužinoti vieną iš kintamųjų x n.

Tekste minima 5 teorema teigia, kad vieną iš sistemos lygčių pakeitus lygiaverte, tai gauta sistema taip pat bus lygiavertė pradinei.

Gauso metodą studentams sunku suprasti vidurinė mokykla, bet yra vienas iš labiausiai įdomių būdų ugdyti į matematikos ir fizikos pamokų išplėstinių studijų programą įstojusių vaikų išradingumą.

Kad būtų lengviau įrašyti skaičiavimus, įprasta atlikti šiuos veiksmus:

Lygčių koeficientai ir laisvieji nariai rašomi matricos pavidalu, kur kiekviena matricos eilutė atitinka vieną iš sistemos lygčių. atskiria kairę lygties pusę nuo dešinės. Romėniški skaitmenys reiškia lygčių skaičius sistemoje.

Pirmiausia jie užrašo matricą, su kuria reikia dirbti, tada visus veiksmus, atliekamus su viena iš eilučių. Gauta matrica rašoma po „rodyklės“ ženklu ir toliau atliekamos reikiamos algebrinės operacijos, kol pasiekiamas rezultatas.

Dėl to turėtų būti gauta matrica, kurios viena iš įstrižainių yra 1, o visi kiti koeficientai lygūs nuliui, tai yra, matrica sumažinama iki vienos formos. Turime nepamiršti atlikti skaičiavimų su abiejų lygties pusių skaičiais.

Šis žymėjimas yra ne toks sudėtingas ir leidžia nesiblaškyti išvardijant daugybę nežinomųjų.

Nemokamas bet kokio sprendimo metodo taikymas pareikalaus kruopštumo ir tam tikros patirties. Ne visi metodai taikomi. Kai kurie sprendimų paieškos būdai yra labiau tinkami tam tikroje žmogaus veiklos srityje, o kiti yra mokymosi tikslais.

1. Pakeitimo metodas: iš bet kurios sistemos lygties vieną nežinomąjį išreiškiame kita ir pakeičiame antrąja sistemos lygtimi.

Užduotis. Išspręskite lygčių sistemą:

Sprendimas. Iš pirmosios sistemos lygties išreiškiame adresu per X ir pakeiskite į antrąją sistemos lygtį. Paimkime sistemą lygiavertis originalui.

Įvedus tokias sąlygas, sistema įgis tokią formą:

Iš antrosios lygties randame: . Šios reikšmės pakeitimas į lygtį adresu = 2 - 2X, mes gauname adresu= 3. Todėl šios sistemos sprendinys yra skaičių pora .

2. Algebrinis sudėjimo metodas: pridėję dvi lygtis, gaukite lygtį su vienu kintamuoju.

Užduotis. Išspręskite sistemos lygtį:

Sprendimas. Abi antrosios lygties puses padauginus iš 2, gauname sistemą lygiavertis originalui. Sudėjus dvi šios sistemos lygtis, gauname sistemą

Sumažinus panašius terminus, ši sistema bus tokia: Iš antrosios lygties randame . Šios reikšmės pakeitimas į 3 lygtį X + 4adresu= 5, gauname , kur. Todėl šios sistemos sprendimas yra skaičių pora .

3. Naujų kintamųjų įvedimo metodas: sistemoje ieškome kai kurių pasikartojančių išraiškų, kurias žymėsime naujais kintamaisiais, taip supaprastindami sistemos formą.

Užduotis. Išspręskite lygčių sistemą:

Sprendimas. Parašykime šią sistemą kitaip:

Leisti x + y = u, hu = v. Tada gauname sistemą

Išspręskime tai pakeitimo metodu. Iš pirmosios sistemos lygties išreiškiame u per v ir pakeiskite į antrąją sistemos lygtį. Paimkime sistemą tie.

Iš antrosios sistemos lygties randame v 1 = 2, v 2 = 3.

Pakeičiant šias reikšmes į lygtį u = 5 - v, mes gauname u 1 = 3,
u 2 = 2. Tada turime dvi sistemas

Išspręsdami pirmąją sistemą, gauname dvi skaičių poras (1; 2), (2; 1). Antroji sistema neturi sprendimų.

Pratimai savarankiškam darbui

1. Išspręskite lygčių sistemas keitimo metodu.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Instrukcija

Papildymo būdas.
Turite parašyti du griežtai vienas po kito:

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
Savavališkai pasirinktoje (iš sistemos) lygtyje vietoj jau rasto „žaidimo“ įterpkite skaičių 11 ir apskaičiuokite antrąjį nežinomąjį:

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
Šios lygčių sistemos atsakymas: x=116, y=11.

Grafinis būdas.
Jį sudaro praktinis taško, kuriame linijos yra matematiškai parašytos lygčių sistemoje, koordinatės. Turėtumėte braižyti abiejų linijų grafikus atskirai toje pačioje koordinačių sistemoje. Bendras vaizdas: - y \u003d kx + b. Norint sukurti tiesią liniją, pakanka rasti dviejų taškų koordinates, o x pasirenkamas savavališkai.
Tegul sistema pateikiama: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
Tiesi linija nutiesta pagal pirmąją, patogumui ją reikia užrašyti: y \u003d 2x-4. Sugalvokite (lengvesnes) x reikšmes, pakeiskite ją į lygtį, išspręskite, suraskite y. Gaunami du taškai, išilgai kurių nutiesta tiesi linija. (žr. pav.)
x 0 1

y -4 -2
Tiesi linija sudaroma pagal antrąją lygtį: y \u003d -3x + 1.
Taip pat sukurkite liniją. (žr. pav.)

1-5
Grafike raskite dviejų sukonstruotų tiesių susikirtimo taško koordinates (jei tiesės nesikerta, tai lygčių sistema neturi – taigi).

Susiję vaizdo įrašai

Naudingas patarimas

Jei ta pati lygčių sistema išspręsta trimis Skirtingi keliai, atsakymas bus toks pat (jei sprendimas teisingas).

Šaltiniai:

• Algebra 8 klasė
• internete išspręskite lygtį su dviem nežinomaisiais
• Tiesinių lygčių sistemų su dviem sprendimo pavyzdžiai

Sistema lygtys yra matematinių įrašų, kurių kiekviename yra tam tikras skaičius kintamųjų, rinkinys. Yra keletas būdų, kaip juos išspręsti.

Jums reikės

• -Liniuote ir pieštukas;
• - skaičiuotuvas.

Instrukcija

Apsvarstykite sistemos sprendimo seką, kurią sudaro tiesinės lygtys, kurių forma yra: a1x + b1y = c1 ir a2x + b2y = c2. Kur x ir y yra nežinomi kintamieji, o b,c yra laisvieji nariai. Taikant šį metodą, kiekviena sistema yra taškų, atitinkančių kiekvieną lygtį, koordinatės. Pirma, kiekvienu atveju vieną kintamąjį išreikškite kitu. Tada nustatykite x kintamąjį į bet kokį reikšmių skaičių. Pakanka dviejų. Įjunkite lygtį ir raskite y. Sukurkite koordinačių sistemą, pažymėkite joje gautus taškus ir per juos nubrėžkite tiesią liniją. Panašūs skaičiavimai turi būti atlikti ir kitoms sistemos dalims.

Sistema turi vienintelis sprendimas, jei sudarytos tiesės susikerta ir viena bendras taškas. Tai nenuoseklu, jei jie yra lygiagrečiai vienas kitam. Ir turi be galo daug sprendimų, kai linijos susilieja viena su kita.

Šis metodas laikomas labai aiškiu. Pagrindinis trūkumas yra tas, kad apskaičiuoti nežinomieji turi apytiksles reikšmes. Tikslesnį rezultatą duoda vadinamieji algebriniai metodai.

Verta patikrinti bet kokį lygčių sistemos sprendimą. Norėdami tai padaryti, vietoj kintamųjų pakeiskite gautas reikšmes. Jo sprendimą taip pat galite rasti keliais būdais. Jei sistemos sprendimas yra teisingas, tada visi turėtų pasirodyti vienodi.

Dažnai yra lygčių, kuriose vienas iš terminų yra nežinomas. Norėdami išspręsti lygtį, turite atsiminti ir atlikti tam tikrą veiksmų rinkinį su šiais skaičiais.

Jums reikės

• - popierius;
• - Rašiklis arba pieštukas.

Instrukcija

Įsivaizduokite, kad priešais jus yra 8 triušiai, o jūs turite tik 5 morkas. Pagalvokite, kad reikia nusipirkti daugiau morkų, kad kiekvienas triušis gautų morką.

Pavaizduokime šią problemą lygties forma: 5 + x = 8. Pakeiskime x skaičių 3. Iš tiesų, 5 + 3 = 8.

Kai pakeitėte skaičių x, atlikote tą pačią operaciją, kaip ir atėmėte 5 iš 8. Taigi, norėdami rasti nežinomas terminas, iš sumos atimkite žinomą terminą.

Tarkime, kad turite 20 triušių ir tik 5 morkas. Kurkime. Lygtis yra lygybė, kuri galioja tik tam tikroms į ją įtrauktų raidžių reikšmėms. Raidės, kurių reikšmes norite rasti, yra vadinamos. Parašykite lygtį su vienu nežinomuoju, pavadinkite ją x. Sprendžiant mūsų uždavinį apie triušius, gaunama tokia lygtis: 5 + x = 20.

Raskime skirtumą tarp 20 ir 5. Atimant skaičius, iš kurio jis atimamas, sumažinamas. Skaičius, kuris buvo atimtas, vadinamas , o galutinis rezultatas vadinamas skirtumu. Taigi, x = 20 - 5; x = 15. Reikia nusipirkti 15 morkų triušiams.

Patikrinkite: 5 + 15 = 20. Lygtis teisinga. Žinoma, kada Mes kalbame apie tokius paprastus, tikrinti nereikia. Tačiau kalbant apie lygtis su triženkliais, keturiais skaitmenimis ir pan., būtina patikrinti, kad būtumėte visiškai tikri dėl savo darbo rezultato.

Susiję vaizdo įrašai

Naudingas patarimas

Norėdami rasti nežinomą minuendą, prie skirtumo turite pridėti potraukį.

Norint rasti nežinomą dalį, reikia atimti skirtumą iš mažosios dalies.

4 patarimas: kaip išspręsti trijų lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą

Trijų lygčių sistema su trimis nežinomaisiais gali neturėti sprendinių, nepaisant pakankamo lygčių skaičiaus. Galite pabandyti ją išspręsti naudodami pakeitimo metodą arba naudodami Cramer metodą. Cramerio metodas, be sistemos sprendimo, leidžia įvertinti, ar sistema yra išsprendžiama prieš surandant nežinomųjų reikšmes.

Instrukcija

Pakeitimo metodas susideda iš nuoseklaus vieno nežinomojo per dviejų kitų ir gauto rezultato pakeitimo sistemos lygtimis. Pateikiame trijų lygčių sistemą bendras vaizdas:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Išreikškite x iš pirmosios lygties: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - ir pakeiskite antrąja ir trečiąja lygtimis, tada išreikškite y iš antrosios lygties ir pakeiskite trečiąja. Per sistemos lygčių koeficientus gausite tiesinę z išraišką. Dabar eikite „atgal“: prijunkite z prie antrosios lygties ir raskite y, tada prijunkite z ir y prie pirmosios lygties ir raskite x. Procesas paprastai parodytas paveikslėlyje, kol randamas z. Be to, įrašas bendra forma bus pernelyg sudėtingas, praktiškai pakeisdami , galite gana lengvai rasti visus tris nežinomus.

Cramerio metodas susideda iš sistemos matricos sudarymo ir šios matricos determinanto apskaičiavimo, taip pat dar trijų pagalbinių matricų. Sistemos matrica sudaryta iš koeficientų nežinomuose lygčių dėmenyse. Stulpelis, kuriame yra skaičiai dešinėje lygčių pusėje, stulpelis dešinėje. Jis nenaudojamas sistemoje, bet naudojamas sprendžiant sistemą.

Susiję vaizdo įrašai

pastaba

Visos sistemos lygtys turi pateikti papildomos informacijos, nepriklausančios nuo kitų lygčių. Priešingu atveju sistema bus nepakankamai apibrėžta ir nebus galima rasti vienareikšmiško sprendimo.

Naudingas patarimas

Išsprendę lygčių sistemą, rastąsias reikšmes pakeiskite į pradinę sistemą ir patikrinkite, ar jos tenkina visas lygtis.

Savaime lygtis su trimis nežinomas turi daug sprendinių, todėl dažniausiai jis papildomas dar dviem lygtimis arba sąlygomis. Priklausomai nuo to, kokie yra pradiniai duomenys, labai priklausys sprendimo eiga.

Jums reikės

• - trijų lygčių sistema su trimis nežinomaisiais.

Instrukcija

Jei dvi iš trijų sistemų turi tik du iš trijų nežinomųjų, pabandykite kai kuriuos kintamuosius išreikšti kitais ir prijungti juos prie lygtis su trimis nežinomas. Jūsų tikslas yra tai paversti įprasta lygtis su nežinomybe. Jei tai yra , tolesnis sprendimas yra gana paprastas - pakeiskite rastą reikšmę kitomis lygtimis ir suraskite visus kitus nežinomus.

Kai kurias lygčių sistemas iš vienos lygties galima atimti kita. Pažiūrėkite, ar įmanoma padauginti vieną iš arba kintamąjį, kad du nežinomieji būtų sumažinti vienu metu. Jei yra tokia galimybė, pasinaudokite ja, greičiausiai, tolesnis sprendimas nebus sunkus. Nepamirškite, kad dauginant iš skaičiaus turite padauginti ir kairę, ir dešinę pusę. Panašiai, atimdami lygtis, atminkite, kad dešinė pusė taip pat turi būti atimta.

Jeigu ankstesni metodai nepadėjo, bet kokias lygtis su trimis naudokite bendruoju metodu nežinomas. Norėdami tai padaryti, perrašykite lygtis į formą a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Dabar sukurkite koeficientų matricą ties x (A), nežinomųjų (X) ir laisvųjų (B) matricą. Atkreipkite dėmesį, padauginę koeficientų matricą iš nežinomųjų matricos, gausite matricą, laisvųjų narių matricą, tai yra A * X \u003d B.

Suraskite laipsnio (-1) matricą A, atkreipkite dėmesį, kad ji neturėtų būti lygi nuliui. Po to gautą matricą padauginkite iš matricos B, taip gausite norimą matricą X, nurodant visas reikšmes.

Taip pat galite rasti trijų lygčių sistemos sprendimą naudodami Cramerio metodą. Norėdami tai padaryti, suraskite sistemos matricą atitinkantį trečiosios eilės determinantą ∆. Tada iš eilės raskite dar tris determinantus ∆1, ∆2 ir ∆3, pakeisdami laisvųjų terminų reikšmes vietoj atitinkamų stulpelių reikšmių. Dabar raskite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Šaltiniai:

• lygčių su trimis nežinomaisiais sprendiniai

Pradėdami spręsti lygčių sistemą, išsiaiškinkite, kas yra šios lygtys. Tiesinių lygčių sprendimo būdai yra gerai išnagrinėti. Netiesinės lygtys dažniausiai neišsprendžiamos. Yra tik vienas ypatingas atvejis, kiekvienas iš jų praktiškai individualus. Todėl sprendimo metodų tyrimas turėtų prasidėti tiesinėmis lygtimis. Tokias lygtis galima išspręsti net grynai algoritmiškai.

rastų nežinomųjų vardikliai lygiai tokie pat. Taip, ir skaitikliai matomi kai kurie jų konstrukcijos modeliai. Jei lygčių sistemos matmuo būtų didesnis nei du, tai pašalinimo metodas sukeltų labai sudėtingus skaičiavimus. Norint jų išvengti, buvo sukurti grynai algoritminiai sprendimai. Paprasčiausias iš jų yra Cramerio algoritmas (Cramer formulės). Nes turėtum žinoti bendra sistema lygtys iš n lygčių.

n tiesinių algebrinių lygčių su n nežinomųjų sistema turi formą (žr. 1a pav.). Jame aij yra sistemos koeficientai,
хj – nežinomieji, bi – laisvieji nariai (i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). Tokią sistemą galima kompaktiškai parašyti matricos forma AX=B. Čia A – sistemos koeficientų matrica, X – nežinomųjų stulpelių matrica, B – laisvųjų dėmenų stulpelių matrica (žr. 1b pav.). Pagal Cramerio metodą kiekvienas nežinomasis xi =∆i/∆ (i=1,2…,n). Koeficientų matricos determinantas ∆ vadinamas pagrindiniu determinantu, o ∆i – pagalbiniu. Kiekvienam nežinomam randamas pagalbinis determinantas, pagrindinio determinanto i-tą stulpelį pakeičiant laisvųjų narių stulpeliu. Kramerio metodas, skirtas antros ir trečios eilės sistemoms, išsamiai pateiktas fig. 2.

Sistema yra dviejų ar daugiau lygybių, kurių kiekviena turi du ar daugiau nežinomųjų, sąjunga. Yra du pagrindiniai būdai, kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemas, kurios naudojamos sistemoje mokyklos mokymo programa. Vienas iš jų vadinamas metodu, kitas – papildymo metodu.

Standartinė dviejų lygčių sistemos forma

At Standartinė forma pirmoji lygtis yra a1*x+b1*y=c1, antroji lygtis yra a2*x+b2*y=c2 ir pan. Pavyzdžiui, dviejų sistemos dalių atveju a1, a2, b1, b2, c1, c2 yra tam tikri skaitiniai koeficientai, pateikti konkrečiose lygtyse. Savo ruožtu x ir y yra nežinomi, kurių reikšmes reikia nustatyti. Norimos reikšmės abi lygtis vienu metu paverčia tikromis lygybėmis.

Sistemos sprendimas papildymo metodu

Norėdami išspręsti sistemą, ty rasti tas x ir y reikšmes, kurios pavers jas tikrosiomis lygybėmis, turite atlikti kelis paprastus veiksmus. Pirmasis iš jų – bet kurią lygtį paversti taip, kad abiejų lygčių kintamojo x arba y skaitiniai koeficientai absoliučia verte sutaptų, bet skirtųsi ženklu.

Pavyzdžiui, tebūnie pateikta sistema, susidedanti iš dviejų lygčių. Pirmasis iš jų turi formą 2x+4y=8, antrasis turi formą 6x+2y=6. Vienas iš užduoties atlikimo variantų yra padauginti antrą lygtį iš koeficiento -2, todėl ji bus suformuota -12x-4y=-12. Teisingas koeficiento pasirinkimas yra viena iš pagrindinių užduočių sprendžiant sistemą pridėjimo metodu, nes tai lemia visą tolesnę nežinomųjų radimo procedūros eigą.

Dabar reikia pridėti dvi sistemos lygtis. Akivaizdu, kad abipusis vienodos vertės, bet priešingų ženklų koeficientų kintamųjų naikinimas atves į formą -10x=-4. Po to reikia išspręsti šią paprastą lygtį, iš kurios vienareikšmiškai išplaukia, kad x=0,4.

Paskutinis sprendimo proceso žingsnis yra vieno iš kintamųjų rastos vertės pakeitimas bet kuria iš pradinių sistemoje esančių lygybių. Pavyzdžiui, pirmoje lygtyje pakeitę x=0.4, galite gauti išraišką 2*0.4+4y=8, iš kurios y=1.8. Taigi, x=0.4 ir y=1.8 yra pavyzdyje parodytos sistemos šaknys.

Norint įsitikinti, kad šaknys buvo rastos teisingai, naudinga patikrinti, rastąsias reikšmes pakeičiant į antrąją sistemos lygtį. Pavyzdžiui, į Ši byla gaunama 0,4*6+1,8*2=6 formos lygybė, kuri yra teisinga.

Susiję vaizdo įrašai

Išanalizuosime dviejų tipų lygčių sistemų sprendimo būdus:

1. Sistemos sprendimas pakeitimo metodu.
2. Sistemos sprendimas sudedant (atimant) sistemos lygtis.

Siekiant išspręsti lygčių sistemą pakeitimo metodas turite laikytis paprasto algoritmo:
1. Išreiškiame. Iš bet kurios lygties išreiškiame vieną kintamąjį.
2. Pakaitalas. Vietoj išreikšto kintamojo, gautą reikšmę, pakeičiame kita lygtimi.
3. Gautą lygtį išsprendžiame vienu kintamuoju. Mes randame sistemos sprendimą.

Išspręsti sistema po termino pridėjimo (atėmimo) reikia:
1. Pasirinkite kintamąjį, kuriam darysime tuos pačius koeficientus.
2. Sudedame arba atimame lygtis, todėl gauname lygtį su vienu kintamuoju.
3. Išsprendžiame gautą tiesinę lygtį. Mes randame sistemos sprendimą.

Sistemos sprendimas – funkcijos grafikų susikirtimo taškai.

Išsamiai apsvarstykime sistemų sprendimą naudodami pavyzdžius.

1 pavyzdys:

Išspręskime pakeitimo metodu

Lygčių sistemos sprendimas pakeitimo metodu

2x+5y=1 (1 lygtis)
x-10y = 3 (2 lygtis)

1. Išreikšti
Matyti, kad antroje lygtyje yra kintamasis x, kurio koeficientas yra 1, taigi paaiškėja, kad kintamąjį x lengviausia išreikšti iš antrosios lygties.
x=3+10m

2. Išreiškę pirmoje lygtyje vietoj kintamojo x pakeičiame 3 + 10y.
2(3+10m)+5m=1

3. Gautą lygtį išsprendžiame vienu kintamuoju.
2(3+10m)+5y=1 (atviri skliausteliai)
6+20m+5m=1
25m = 1-6
25 m = -5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Lygčių sistemos sprendimas yra grafikų susikirtimo taškai, todėl reikia rasti x ir y, nes susikirtimo taškas susideda iš x ir y. Raskime x, pirmoje pastraipoje, kurioje išreiškėme, ten pakeičiame y.
x=3+10m
x=3+10*(-0,2)=1

Įprasta pirmoje vietoje rašyti taškus, rašome kintamąjį x, o antroje – y.
Atsakymas: (1; -0,2)

2 pavyzdys:

Išspręskime terminų pridėjimu (atėmimu).

Lygčių sistemos sprendimas sudėjimo metodu

3x-2y=1 (1 lygtis)
2x-3y = -10 (2 lygtis)

1. Pasirinkite kintamąjį, tarkime, kad pasirenkame x. Pirmoje lygtyje kintamasis x turi koeficientą 3, antroje - 2. Koeficientus turime padaryti vienodus, tam turime teisę padauginti lygtis arba padalyti iš bet kurio skaičiaus. Pirmąją lygtį padauginame iš 2, o antrąją iš 3 ir gauname bendrą koeficientą 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3m = -10 |*3
6x-9y=-30

2. Iš pirmosios lygties atimkite antrąją, kad atsikratytumėte kintamojo x. Išspręskite tiesinę lygtį.
__6x-4y=2

5m=32 | :5
y = 6,4

3. Raskite x. Rastą y pakeičiame bet kurioje lygtyje, tarkime, pirmoje lygtyje.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Susikirtimo taškas bus x=4,6; y = 6,4
Atsakymas: (4.6; 6.4)

Ar norite ruoštis egzaminams nemokamai? Mokytoja internete nemokamai. Nejuokauju.