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Os menores e maiores valores de uma função em um segmento. Como encontrar o maior valor de uma função

Deixe a função y=f(X) contínua no segmento [ a, b]. Como é sabido, tal função atinge seus valores máximos e mínimos neste segmento. A função pode assumir esses valores tanto em um ponto interior do segmento [ a, b], ou no limite do segmento.

Para encontrar os maiores e menores valores de uma função no intervalo [ a, b] necessário:

1) encontre os pontos críticos da função no intervalo ( a, b);

2) calcule os valores da função nos pontos críticos encontrados;

3) calcule os valores da função nas extremidades do segmento, ou seja, para x=A e x = b;

4) de todos os valores calculados da função, escolha o maior e o menor.

Exemplo. Encontre os maiores e menores valores de uma função

no segmento.

Encontrar pontos críticos:

Esses pontos estão dentro do segmento; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

no ponto x= 3 e no ponto x= 0.

Investigação de uma função para convexidade e um ponto de inflexão.

Função y = f (x) chamado convexo entre (a, b) , se seu gráfico estiver sob uma tangente traçada em qualquer ponto desse intervalo, e é chamado convexo para baixo (côncavo) se seu gráfico estiver acima da tangente.

O ponto na transição através do qual a convexidade é substituída pela concavidade ou vice-versa é chamado ponto de inflexão.

Algoritmo para estudar a convexidade e o ponto de inflexão:

1. Encontre os pontos críticos do segundo tipo, ou seja, os pontos nos quais a segunda derivada é igual a zero ou não existe.

2. Coloque pontos críticos na reta numérica, dividindo-a em intervalos. Encontre o sinal da segunda derivada em cada intervalo; se , então a função é convexa para cima, se, então a função é convexa para baixo.

3. Se, ao passar por um ponto crítico de segunda espécie, muda de sinal e neste ponto a segunda derivada é igual a zero, então este ponto é a abcissa do ponto de inflexão. Encontre sua ordenada.

Assíntotas do gráfico de uma função. Investigação de uma função em assíntotas.

Definição. A assíntota do gráfico de uma função é chamada direto, que tem a propriedade de que a distância de qualquer ponto do gráfico a esta reta tende a zero com uma remoção ilimitada do ponto do gráfico da origem.

Existem três tipos de assíntotas: verticais, horizontais e inclinados.

Definição. chamada direta assíntota vertical gráfico de função y = f(x), se pelo menos um dos limites laterais da função neste ponto for igual ao infinito, isto é

onde é o ponto de descontinuidade da função, ou seja, não pertence ao domínio de definição.

Exemplo.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

x= 2 - ponto de ruptura.

Definição. Direto y=A chamado assíntota horizontal gráfico de funções y = f(x) em, se

Exemplo.

x
y

Definição. Direto y=kx +b (k≠ 0) é chamado assimptota oblíqua gráfico de funções y = f(x) onde

Esquema geral para o estudo de funções e plotagem.

Algoritmo de pesquisa de funçãoy = f(x) :

1. Encontre o domínio da função D (y).

2. Encontre (se possível) os pontos de interseção do gráfico com os eixos de coordenadas (com x= 0 e em y = 0).

3. Investigue as funções pares e ímpares ( y (‒ x) = y (x) ‒ paridade; y(‒ x) = ‒ y (x) ‒ chance).

4. Encontre as assíntotas do gráfico da função.

5. Encontre os intervalos de monotonicidade da função.

6. Encontre o extremo da função.

7. Encontre os intervalos de convexidade (concavidade) e os pontos de inflexão do gráfico da função.

8. Com base na pesquisa realizada, construa um gráfico da função.

Exemplo. Investigue a função e plote seu gráfico.

1) D (y) =

x= 4 - ponto de ruptura.

2) Quando x = 0,

(0; – 5) – ponto de intersecção com oi.

No y = 0,

3) y(‒ x)= função visão geral(nem par nem ímpar).

4) Investigamos as assíntotas.

a) vertical

b) horizontal

c) encontre assíntotas oblíquas onde

‒ equação assíntota oblíqua

5) Nesta equação, não é necessário encontrar intervalos de monotonicidade da função.

Esses pontos críticos particionam todo o domínio da função no intervalo (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) e (10; +∞). É conveniente apresentar os resultados obtidos na forma da tabela a seguir.

Muitas vezes, em física e matemática, é necessário encontrar menor valor funções. Como fazer isso, vamos contar agora.

Como encontrar o menor valor de uma função: instrução

Para calcular o menor valor de uma função contínua em um determinado intervalo, você precisa seguir este algoritmo:
Encontre a derivada de uma função.
Encontre em um determinado segmento os pontos em que a derivada é igual a zero, bem como todos os pontos críticos. Em seguida, descubra os valores da função nesses pontos, ou seja, resolva a equação em que x é igual a zero. Descubra qual dos valores é o menor.
Descubra qual valor a função tem nas extremidades. Determine o menor valor da função nesses pontos.
Compare os dados recebidos com o menor valor. O menor dos números recebidos será o menor valor da função.

Observe que caso uma função em um segmento não tenha os menores pontos, isso significa que ela aumenta ou diminui nesse segmento. Portanto, o menor valor deve ser calculado nos segmentos finitos da função.

Em todos os outros casos, o valor da função é calculado de acordo com o algoritmo fornecido. A cada passo do algoritmo, você precisará resolver um problema simples equação linear com uma raiz. Resolva a equação usando o desenho para evitar erros.

Como encontrar o menor valor de uma função em um segmento semiaberto? Em meio aberto ou período aberto função, o menor valor deve ser encontrado como segue. Nas extremidades do valor da função, calcule o limite unilateral da função. Em outras palavras, resolva uma equação na qual os pontos tendentes são dados pelos valores a+0 e b+0, onde a e b são os nomes dos pontos críticos.

Agora você sabe como encontrar o menor valor de uma função. O principal é fazer todos os cálculos corretamente, com precisão e sem erros.

E para resolvê-lo, você precisa de um conhecimento mínimo do assunto. O próximo ano letivo está acabando, todos querem sair de férias e, para aproximar esse momento, começo imediatamente a trabalhar:

Vamos começar com a área. A área referida na condição é limitado fechado conjunto de pontos do plano. Por exemplo, um conjunto de pontos limitados por um triângulo, incluindo TODO o triângulo (se de fronteiras“Poke out” pelo menos um ponto, então a área não será mais fechada). Na prática, também existem áreas retangulares, redondas e um pouco mais formas complexas. Deve-se notar que na teoria da análise matemática, definições estritas são dadas limitações, isolamento, limites, etc., mas acho que todos estão cientes desses conceitos em um nível intuitivo e não é necessário mais agora.

A área plana é normalmente denotada pela letra e, via de regra, é dada analiticamente - por várias equações (não necessariamente linear); menos frequentemente desigualdades. Uma rotatividade verbal típica: "área fechada limitada por linhas".

Uma parte integrante da tarefa em consideração é a construção da área no desenho. Como fazer isso? É necessário traçar todas as linhas listadas (em este caso 3 direto) e analisar o que aconteceu. A área desejada geralmente é levemente hachurada e sua borda é destacada com uma linha em negrito:

A mesma área pode ser definida desigualdades lineares: , que por algum motivo são mais frequentemente escritos como uma lista de enumeração e não sistema.
Como o limite pertence à região, todas as desigualdades, é claro, não estrito.

E agora o cerne da questão. Imagine que o eixo vai direto para você a partir da origem das coordenadas. Considere uma função que contínuo em cada ponto de área. O gráfico desta função é superfície, e a pequena felicidade é que, para resolver o problema de hoje, não precisamos saber como é essa superfície. Pode estar localizado acima, abaixo, cruzar o avião - tudo isso não é importante. E o seguinte é importante: de acordo com teoremas de Weierstrass, contínuo V limitado fechadoárea, a função atinge seu máximo (do "mais alto") e menos (dos "mais baixos") valores a serem encontrados. Esses valores são alcançados ou V pontos estacionários, pertencente à regiãoD , ou em pontos que se encontram no limite desta região. Do qual segue um algoritmo de solução simples e transparente:

Exemplo 1

Limitado área fechada

Solução: Primeiro de tudo, você precisa representar a área no desenho. Infelizmente, é tecnicamente difícil para mim fazer um modelo interativo do problema e, portanto, darei imediatamente a ilustração final, que mostra todos os pontos "suspeitos" encontrados durante o estudo. Normalmente, eles são colocados um após o outro à medida que são encontrados:

Com base no preâmbulo, a decisão pode ser convenientemente dividida em dois pontos:

I) Vamos encontrar pontos estacionários. Esta é uma ação padrão que realizamos repetidamente na lição. sobre extremos de várias variáveis:

Ponto estacionário encontrado pertenceáreas: (marque no desenho), o que significa que devemos calcular o valor da função em um determinado ponto:

- como no artigo Os maiores e menores valores de uma função em um segmento, destacarei os resultados importantes em negrito. Em um caderno, é conveniente circulá-los com um lápis.

Preste atenção à nossa segunda felicidade - não adianta verificar condição suficiente para um extremo. Por que? Mesmo que no ponto em que a função alcance, por exemplo, mínimo local, então isso NÃO SIGNIFICA que o valor resultante será mínimo em toda a região (veja o início da aula sobre extremos incondicionais) .

E se o ponto estacionário NÃO pertencer à área? Quase nada! Deve-se notar que e ir para o próximo parágrafo.

II) Investigamos a fronteira da região.

Como a borda consiste nos lados de um triângulo, é conveniente dividir o estudo em 3 subparágrafos. Mas é melhor não fazer isso de qualquer maneira. Do meu ponto de vista, a princípio é mais vantajoso considerar os segmentos paralelos aos eixos coordenados e, antes de tudo, aqueles que se encontram nos próprios eixos. Para captar toda a sequência e lógica das ações, tente estudar o final "de uma só vez":

1) Vamos lidar com o lado inferior do triângulo. Para fazer isso, substituímos diretamente na função:

Alternativamente, você pode fazer assim:

Geometricamente, isso significa que o plano coordenado (que também é dado pela equação)"cortar" de superfícies parábola "espacial", cujo topo imediatamente cai sob suspeita. Vamos descobrir onde ela está:

- o valor resultante "acertou" na área, e pode muito bem ser que no ponto (marcar no desenho) a função atinge o maior ou o menor valor em toda a área. De qualquer forma, vamos fazer os cálculos:

Outros “candidatos” são, claro, as pontas do segmento. Calcule os valores da função nos pontos (marcar no desenho):

Aqui, aliás, você pode fazer uma miniverificação oral na versão "despojada":

2) Para estudar o lado direito do triângulo, nós o substituímos na função e “colocamos as coisas em ordem ali”:

Aqui, realizamos imediatamente uma verificação grosseira, “tocando” o final já processado do segmento:
, Ótimo.

A situação geométrica está relacionada com o ponto anterior:

- o valor resultante também “entrou no escopo de nossos interesses”, o que significa que precisamos calcular a que a função é igual no ponto que apareceu:

Vamos examinar a segunda extremidade do segmento:

Usando a função , vamos checar:

3) Todo mundo provavelmente sabe como explorar o lado restante. Substituímos na função e realizamos simplificações:

Fim da linha já foram investigados, mas no rascunho ainda verificamos se encontramos a função corretamente :
– coincidiu com o resultado do 1º parágrafo;
– coincidiu com o resultado do 2º parágrafo.

Resta saber se há algo interessante dentro do segmento:

- Há! Substituindo uma linha reta na equação, obtemos a ordenada desse “interesse”:

Marcamos um ponto no desenho e encontramos o valor correspondente da função:

Vamos controlar os cálculos de acordo com a versão "orçamento" :
, ordem.

E o passo final: Olhe CUIDADOSAMENTE todos os números "gordos", recomendo mesmo aos iniciantes que façam uma única lista:

de onde escolhemos os maiores e menores valores. Responder escreva no estilo do problema de encontrar os maiores e menores valores da função no segmento:

Por via das dúvidas, comentarei mais uma vez sobre o significado geométrico do resultado:
- aqui é o mais ponto alto superfícies na área;
- aqui é o ponto mais baixo da superfície na área.

No problema analisado, encontramos 7 pontos “suspeitos”, mas seu número varia de tarefa para tarefa. Para uma região triangular, o "conjunto de exploração" mínimo consiste em três pontos. Isso acontece quando a função, por exemplo, define avião- é bastante claro que não há pontos estacionários, e a função pode atingir os valores máximos / mínimos apenas nos vértices do triângulo. Mas não existem tais exemplos uma vez, duas vezes - geralmente você tem que lidar com algum tipo de superfície de 2ª ordem.

Se você resolver um pouco essas tarefas, os triângulos podem fazer sua cabeça girar e, portanto, preparei exemplos incomuns para você torná-lo quadrado :))

Exemplo 2

Encontre os maiores e menores valores de uma função em uma área fechada delimitada por linhas

Exemplo 3

Encontre os maiores e menores valores de uma função em uma área fechada limitada.

Preste atenção especial à ordem racional e à técnica de explorar o limite da área, bem como à cadeia de verificações intermediárias, o que evitará quase completamente erros computacionais. De um modo geral, você pode resolvê-lo como quiser, mas em alguns problemas, por exemplo, no mesmo Exemplo 2, há todas as chances de complicar significativamente sua vida. Amostra Amostra terminando as tarefas no final da aula.

Sistematizamos o algoritmo de solução, caso contrário, com minha diligência de aranha, de alguma forma se perdeu em um longo fio de comentários do 1º exemplo:

- Na primeira etapa, construímos uma área, é desejável sombrear e destacar a borda com uma linha grossa. Durante a solução, aparecerão pontos que precisam ser colocados no desenho.

– Encontre pontos estacionários e calcule os valores da função apenas naqueles, que pertencem à área . Os valores obtidos são destacados no texto (por exemplo, circulados com um lápis). Se o ponto estacionário NÃO pertencer à área, marcamos esse fato com um ícone ou verbalmente. Se não houver nenhum ponto estacionário, concluímos por escrito que eles estão ausentes. De qualquer forma, este item não pode ser pulado!

– Explorando a área de fronteira. Primeiro, é vantajoso lidar com linhas retas paralelas aos eixos de coordenadas (se houver algum). Os valores da função calculados em pontos "suspeitos" também são destacados. Muito já foi dito sobre a técnica de solução acima e algo mais será dito abaixo - leia, releia, mergulhe!

- Dos números selecionados, selecione o maior e o menor valor e dê uma resposta. Às vezes acontece que a função atinge esses valores em vários pontos ao mesmo tempo - nesse caso, todos esses pontos devem ser refletidos na resposta. Deixe, por exemplo, e descobriu-se que este é o menor valor. Então escrevemos isso

Os exemplos finais são dedicados a outras ideias úteis que serão úteis na prática:

Exemplo 4

Encontre os maiores e menores valores de uma função em uma área fechada .

Mantive a formulação do autor, em que a área é dada como uma dupla desigualdade. Esta condição pode ser escrita em um sistema equivalente ou em uma forma mais tradicional para este problema:

Eu te lembro que com não linear encontramos desigualdades em , e se você não entender o significado geométrico da entrada, não demore e esclareça a situação agora ;-)

Solução, como sempre, começa com a construção da área, que é uma espécie de “sola”:

Hmm, às vezes você tem que roer não apenas o granito da ciência ....

I) Encontrar pontos estacionários:

Sistema de sonho de idiota :)

O ponto estacionário pertence à região, ou seja, encontra-se em seu limite.

E então, não é nada ... foi uma lição divertida - é isso que significa beber o chá certo =)

II) Investigamos a fronteira da região. Sem mais delongas, vamos começar com o eixo x:

1) Se , então

Descubra onde está o topo da parábola:
- Aprecie esses momentos - "acerte" direto ao ponto, a partir do qual tudo já está claro. Mas não se esqueça de verificar:

Vamos calcular os valores da função nas extremidades do segmento:

2) Trataremos da parte inferior da “sola” “de uma só vez” - sem complexos a substituímos na função, aliás, só nos interessará o segmento:

Ao controle:

Agora, isso já está trazendo algum renascimento ao passeio monótono em uma pista serrilhada. Vamos encontrar os pontos críticos:

Nós decidimos Equação quadrática você se lembra deste? ... Porém, lembre-se, é claro, caso contrário você não teria lido estas linhas =) Se nos dois exemplos anteriores cálculos em frações decimais fossem convenientes (o que, aliás, é raro), então aqui estamos aguardando o habitual frações comuns. Encontramos as raízes “x” e, usando a equação, determinamos as coordenadas correspondentes do “jogo” dos pontos “candidatos”:

Vamos calcular os valores da função nos pontos encontrados:

Verifique você mesmo a função.

Agora estudamos cuidadosamente os troféus conquistados e anotamos responder:

Aqui estão os "candidatos", então os "candidatos"!

Para uma solução autônoma:

Exemplo 5

Encontre os menores e maiores valores de uma função em uma área fechada

Uma entrada com chaves é lida assim: “um conjunto de pontos tal que”.

Às vezes, em tais exemplos, eles usam Método do multiplicador de Lagrange, mas é improvável que surja a necessidade real de usá-lo. Assim, por exemplo, se uma função com a mesma área "de" for fornecida, após a substituição nela - com uma derivada sem dificuldades; além disso, tudo é traçado em “uma linha” (com sinais) sem a necessidade de considerar separadamente os semicírculos superior e inferior. Mas é claro que existem mais casos difíceis, onde sem a função de Lagrange (onde , por exemplo, é a mesma equação do círculo)é difícil sobreviver - como é difícil sobreviver sem um bom descanso!

Tudo de bom para passar a sessão e até breve na próxima temporada!

Soluções e respostas:

Exemplo 2: Solução: desenhe a área no desenho:

O que é um extremo de uma função e qual é a condição necessária para um extremo?

O extremo de uma função é o máximo e o mínimo da função.

A condição necessária para o máximo e mínimo (extremo) da função é a seguinte: se a função f(x) tem um extremo no ponto x = a, então neste ponto a derivada é zero, ou infinita, ou não não existe.

Essa condição é necessária, mas não suficiente. A derivada no ponto x = a pode desaparecer, ir para o infinito ou não existir sem que a função tenha um extremo neste ponto.

Qual é a condição suficiente para o extremo da função (máximo ou mínimo)?

Primeira condição:

Se, suficientemente próximo do ponto x = a, a derivada f?(x) é positiva à esquerda de a e negativa à direita de a, então no próprio ponto x = a, a função f(x) tem máximo

Se, suficientemente próximo do ponto x = a, a derivada f?(x) é negativa à esquerda de a e positiva à direita de a, então no próprio ponto x = a, a função f(x) tem mínimo desde que a função f(x) seja contínua aqui.

Em vez disso, você pode usar a segunda condição suficiente para o extremo da função:

Seja no ponto x = e a primeira derivada f? (x) desaparece; se a segunda derivada f??(à) for negativa, então a função f(x) tem um máximo no ponto x = a, se for positiva, então um mínimo.

Qual é o ponto crítico de uma função e como encontrá-lo?

Este é o valor do argumento da função no qual a função tem um extremo (ou seja, máximo ou mínimo). Para encontrá-lo, você precisa encontre a derivada função f?(x) e, igualando-a a zero, resolva a equação f?(x) = 0. As raízes desta equação, bem como aqueles pontos nos quais a derivada desta função não existe, são pontos críticos, ou seja, os valores do argumento nos quais pode haver um extremo . Eles podem ser facilmente identificados observando gráfico derivado: estamos interessados nos valores do argumento nos quais o gráfico da função intercepta o eixo das abcissas (eixo Ox) e naqueles nos quais o gráfico sofre quebras.

Por exemplo, vamos encontrar extremo da parábola.

Função y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivada da função: y?(x) = 6x + 2

Resolvemos a equação: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Neste caso, o ponto crítico é x0=-1/3. É para este valor do argumento que a função tem extremo. Para obtê-la encontrar, substituímos o número encontrado na expressão pela função em vez de "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Como determinar o máximo e o mínimo de uma função, ou seja, seus maiores e menores valores?

Se o sinal da derivada mudar de “mais” para “menos” ao passar pelo ponto crítico x0, então x0 é ponto máximo; se o sinal da derivada muda de menos para mais, então x0 é ponto mínimo; se o sinal não muda, então no ponto x0 não há máximo nem mínimo.

Para o exemplo considerado:

Tomamos um valor arbitrário do argumento à esquerda de ponto crítico: x = -1

Quando x = -1, o valor da derivada será y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ou seja, o sinal de menos).

Agora tomamos um valor arbitrário do argumento à direita do ponto crítico: x = 1

Para x = 1, o valor da derivada será y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ou seja, o sinal de mais).

Como você pode ver, ao passar pelo ponto crítico, a derivada mudou de sinal de menos para mais. Isso significa que no valor crítico de x0 temos um ponto mínimo.

O maior e o menor valor da função no intervalo(no segmento) são encontrados pelo mesmo procedimento, apenas levando em consideração o fato de que, talvez, nem todos os pontos críticos estejam dentro do intervalo especificado. Esses pontos críticos que estão fora do intervalo devem ser excluídos da consideração. Se houver apenas um ponto crítico dentro do intervalo, ele terá um máximo ou um mínimo. Nesse caso, para determinar os maiores e menores valores da função, também levamos em consideração os valores da função nas extremidades do intervalo.

Por exemplo, vamos encontrar os maiores e menores valores da função

y (x) \u003d 3 sen (x) - 0,5x

nos intervalos:

Então a derivada da função é

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Resolvemos a equação 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arcos (0,16667) + 2πk.

Encontramos pontos críticos no intervalo [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (não incluído no intervalo)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arcos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arcos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arcos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (não incluído no intervalo)

Encontramos os valores da função em valores críticos do argumento:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Pode-se ver que no intervalo [-9; 9] valor mais alto a função tem em x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

e o menor - em x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

No intervalo [-6; -3] temos apenas um ponto crítico: x = -4,88. O valor da função em x = -4,88 é y = 5,398.

Encontramos o valor da função nas extremidades do intervalo:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

No intervalo [-6; -3] temos o maior valor da função

y = 5,398 em x = -4,88

o menor valor é

y = 1,077 em x = -3

Como encontrar os pontos de inflexão de um gráfico de função e determinar os lados de convexidade e concavidade?

Para encontrar todos os pontos de inflexão da linha y \u003d f (x), você precisa encontrar a segunda derivada, igualá-la a zero (resolva a equação) e testar todos os valores de x para os quais a segunda derivada é zero , infinito ou inexistente. Se, ao passar por um desses valores, a segunda derivada muda de sinal, então o gráfico da função tem uma inflexão neste ponto. Se não mudar, então não há inflexão.

As raízes da equação f ? (x) = 0, bem como possíveis pontos de descontinuidade da função e da segunda derivada, dividem o domínio da função em vários intervalos. A convexidade em cada um de seus intervalos é determinada pelo sinal da segunda derivada. Se a segunda derivada em um ponto no intervalo em estudo for positiva, então a linha y = f(x) é côncava para cima aqui, e se for negativa, então para baixo.

Como encontrar extremos de uma função de duas variáveis?

Para encontrar o extremo da função f(x, y), diferenciável na área de sua atribuição, você precisa:

1) encontre os pontos críticos e, para isso, resolva o sistema de equações

fx? (x,y) = 0,fy? (x,y) = 0

2) para cada ponto crítico P0(a;b), investigue se o sinal da diferença permanece inalterado

para todos os pontos (x; y) suficientemente próximos de P0. Se a diferença mantiver um sinal positivo, então no ponto P0 temos um mínimo, se for negativo, então um máximo. Se a diferença não retiver seu sinal, então não há extremo no ponto Р0.

Da mesma forma, os extremos da função são determinados para um número maior de argumentos.

O que é um extremo de uma função e qual é a condição necessária para um extremo?

O extremo de uma função é o máximo e o mínimo da função.

Essa condição é necessária, mas não suficiente. A derivada no ponto x = a pode desaparecer, ir para o infinito ou não existir sem que a função tenha um extremo neste ponto.

Qual é a condição suficiente para o extremo da função (máximo ou mínimo)?

Primeira condição:

Se, suficientemente próximo do ponto x = a, a derivada f?(x) é positiva à esquerda de a e negativa à direita de a, então no próprio ponto x = a, a função f(x) tem máximo

Em vez disso, você pode usar a segunda condição suficiente para o extremo da função:

Seja no ponto x = e a primeira derivada f? (x) desaparece; se a segunda derivada f??(à) for negativa, então a função f(x) tem um máximo no ponto x = a, se for positiva, então um mínimo.

Qual é o ponto crítico de uma função e como encontrá-lo?

Por exemplo, vamos encontrar extremo da parábola.

Função y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Derivada da função: y?(x) = 6x + 2

Resolvemos a equação: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Como determinar o máximo e o mínimo de uma função, ou seja, seus maiores e menores valores?

Para o exemplo considerado:

Tomamos um valor arbitrário do argumento à esquerda do ponto crítico: x = -1

Quando x = -1, o valor da derivada será y? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (ou seja, o sinal de menos).

Agora tomamos um valor arbitrário do argumento à direita do ponto crítico: x = 1

Para x = 1, o valor da derivada será y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (ou seja, o sinal de mais).

Como você pode ver, ao passar pelo ponto crítico, a derivada mudou de sinal de menos para mais. Isso significa que no valor crítico de x0 temos um ponto mínimo.

Por exemplo, vamos encontrar os maiores e menores valores da função

y (x) \u003d 3 sen (x) - 0,5x

nos intervalos:

Então a derivada da função é

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Resolvemos a equação 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arcos (0,16667) + 2πk.

Encontramos pontos críticos no intervalo [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (não incluído no intervalo)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arcos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arcos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arcos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (não incluído no intervalo)

Encontramos os valores da função em valores críticos do argumento:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Pode-se ver que no intervalo [-9; 9] a função tem o maior valor em x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

e o menor - em x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

No intervalo [-6; -3] temos apenas um ponto crítico: x = -4,88. O valor da função em x = -4,88 é y = 5,398.

Encontramos o valor da função nas extremidades do intervalo:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

No intervalo [-6; -3] temos o maior valor da função

y = 5,398 em x = -4,88

o menor valor é

y = 1,077 em x = -3

Como encontrar os pontos de inflexão de um gráfico de função e determinar os lados de convexidade e concavidade?

Como encontrar extremos de uma função de duas variáveis?

Para encontrar o extremo da função f(x, y), diferenciável na área de sua atribuição, você precisa:

1) encontre os pontos críticos e, para isso, resolva o sistema de equações

fx? (x,y) = 0,fy? (x,y) = 0

2) para cada ponto crítico P0(a;b), investigue se o sinal da diferença permanece inalterado

Da mesma forma, os extremos da função são determinados para um número maior de argumentos.

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Desenho animado: Shrek Forever After Ano de lançamento: 2010 Estreia (Rússia): 20 de maio de 2010 País: EUA Diretor: Michael Pitchel Roteiro: Josh Klausner, Darren Lemke Gênero: comédia familiar, fantasia, aventura Site oficial: www.shrekforeverafter.com enredo mula

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