การหาผลคูณร่วมของจำนวนสองจำนวน ตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

ตัวหารร่วมมาก

คำจำกัดความ 2

ถ้าจำนวนธรรมชาติ a หารด้วยจำนวนธรรมชาติ $b$ ดังนั้น $b$ จะเรียกว่าตัวหารของ $a$ และจำนวน $a$ เรียกว่าผลคูณของ $b$

ให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวน $c$ เรียกว่าตัวหารร่วมสำหรับทั้ง $a$ และ $b$

ชุดของตัวหารร่วมของจำนวน $a$ และ $b$ นั้นมีค่าจำกัด เนื่องจากไม่มีตัวหารใดที่มากกว่า $a$ ได้ ซึ่งหมายความว่าในบรรดาตัวหารเหล่านี้มีตัวหารที่ใหญ่ที่สุด ซึ่งเรียกว่าตัวหารร่วมมากของจำนวน $a$ และ $b$ และสัญกรณ์ใช้เพื่อแสดงว่า:

$gcd \ (a;b) \ ​​หรือ \ D \ (a;b)$

ในการหาตัวหารร่วมมากของสองจำนวน:

1. ค้นหาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนผลลัพธ์จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 1

หา gcd ของตัวเลข $121$ และ $132.$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

เลือกหมายเลขที่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขเหล่านี้

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

ค้นหาผลคูณของตัวเลขที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนผลลัพธ์จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$gcd=2\cdot 11=22$

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหา GCD ของ monomials $63$ และ $81$

เราจะพบตามอัลกอริทึมที่นำเสนอ สำหรับสิ่งนี้:

มาแยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะกัน

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

เราเลือกหมายเลขที่รวมอยู่ในการขยายหมายเลขเหล่านี้

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

ลองหาผลคูณของตัวเลขในขั้นตอนที่ 2 กัน ตัวเลขที่ได้จะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการ

$gcd=3\cdot 3=9$

คุณสามารถค้นหา GCD ของตัวเลขสองตัวด้วยวิธีอื่น โดยใช้ชุดตัวหารของตัวเลข

ตัวอย่างที่ 3

หา gcd ของตัวเลข $48$ และ $60$

สารละลาย:

หาตัวหารของ $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

ทีนี้มาหาเซตตัวหารของ $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\)$

มาหาจุดตัดของชุดเหล่านี้กัน: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - ชุดนี้จะกำหนดชุดของตัวหารร่วมของตัวเลข $48$ และ $60 $. องค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดในชุดนี้คือตัวเลข $12$ ดังนั้นตัวหารร่วมมากของ $48$ และ $60$ คือ $12$

ความหมายของ NOC

นิยาม 3

ตัวคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติ$a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่เป็นผลคูณของทั้ง $a$ และ $b$

ตัวคูณร่วมของจำนวนคือจำนวนที่หารด้วยจำนวนเดิมโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวเลข $25$ และ $50$ ตัวคูณร่วมจะเป็นตัวเลข $50,100,150,200$ เป็นต้น

ตัวคูณร่วมน้อยจะเรียกว่าตัวคูณร่วมน้อยและเขียนแทนด้วย LCM$(a;b)$ หรือ K$(a;b).$

หากต้องการค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัว คุณต้อง:

1. แยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ
2. เขียนตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวเลขตัวแรกและเพิ่มตัวประกอบที่เป็นส่วนหนึ่งของตัวที่สองและอย่าไปที่ตัวแรก

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหา LCM ของตัวเลข $99$ และ $77$

เราจะพบตามอัลกอริทึมที่นำเสนอ สำหรับสิ่งนี้

แยกย่อยตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

$99=3\cdot 3\cdot 11$

จดปัจจัยที่รวมอยู่ในข้อแรก

เพิ่มปัจจัยที่เป็นส่วนหนึ่งของปัจจัยที่สองและอย่าไปที่ปัจจัยแรก

ค้นหาผลคูณของจำนวนที่พบในขั้นตอนที่ 2 จำนวนที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยที่ต้องการ

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

การรวบรวมรายการตัวหารของตัวเลขมักจะใช้เวลานานมาก มีวิธีค้นหา GCD ที่เรียกว่าอัลกอริทึมของ Euclid

ข้อความที่อิงตามอัลกอริทึมของ Euclid:

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติ และ $a\vdots b$ ดังนั้น $D(a;b)=b$

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนธรรมชาติที่ $b

การใช้ $D(a;b)= D(a-b;b)$ เราสามารถลดจำนวนที่กำลังพิจารณาได้เรื่อยๆ จนกว่าจะถึงคู่ของตัวเลขเพื่อให้หนึ่งในจำนวนนั้นหารด้วยอีกจำนวนหนึ่ง จากนั้นตัวเลขที่น้อยกว่าจะเป็นตัวหารร่วมมากที่ต้องการสำหรับตัวเลข $a$ และ $b$

คุณสมบัติของ GCD และ LCM

1. ตัวคูณร่วมใดๆ ของ $a$ และ $b$ หารด้วย K$(a;b)$
2. ถ้า $a\vdots b$ แล้ว K$(a;b)=a$

ถ้า K$(a;b)=k$ และ $m$-จำนวนธรรมชาติ ดังนั้น K$(am;bm)=km$

ถ้า $d$ เป็นตัวหารร่วมของ $a$ และ $b$ ดังนั้น K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d ) $

ถ้า $a\vdots c$ และ $b\vdots c$ แล้ว $\frac(ab)(c)$ เป็นตัวคูณร่วมของ $a$ และ $b$

สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ $a$ และ $b$ ความเท่าเทียมกัน

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

ตัวหารร่วมใดๆ ของ $a$ และ $b$ คือตัวหารของ $D(a;b)$

ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อยเป็นแนวคิดหลักทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้คุณดำเนินการได้อย่างง่ายดาย เศษส่วนธรรมดา. LCM และมักใช้เพื่อหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนหลายส่วน

แนวคิดพื้นฐาน

ตัวหารของจำนวนเต็ม X เป็นจำนวนเต็ม Y อีกจำนวนหนึ่งที่ X หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวอย่างเช่น ตัวหารของ 4 คือ 2 และ 36 คือ 4, 6, 9 ผลคูณของจำนวนเต็ม X คือจำนวน Y ที่หารด้วย X ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ ตัวอย่างเช่น 3 เป็นผลคูณของ 15 และ 6 เป็นผลคูณของ 12

สำหรับคู่ของตัวเลข เราสามารถหาตัวหารร่วมและตัวคูณได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับ 6 และ 9 ตัวคูณร่วมคือ 18 และตัวหารร่วมคือ 3 เห็นได้ชัดว่าคู่สามารถมีตัวหารและตัวคูณได้หลายตัว ดังนั้นตัวหารที่ใหญ่ที่สุดของ GCD และตัวคูณที่เล็กที่สุดของ LCM จึงถูกนำมาใช้ในการคำนวณ .

ตัวหารที่น้อยที่สุดไม่สมเหตุสมผลเนื่องจากสำหรับจำนวนใด ๆ จะเป็นตัวหารเสมอ ตัวคูณที่ใหญ่ที่สุดก็ไม่มีความหมายเช่นกัน เนื่องจากลำดับของตัวคูณมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุด

ค้นหา GCD

มีหลายวิธีในการหาตัวหารร่วมมาก วิธีที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ:

• การแจงนับตัวหารตามลำดับ การเลือกตัวหารร่วมสำหรับคู่ และค้นหาตัวหารที่ใหญ่ที่สุด
• การสลายตัวของตัวเลขเป็นปัจจัยที่แบ่งแยกไม่ได้
• อัลกอริทึมของยุคลิด;
• อัลกอริทึมไบนารี

วันนี้ที่ สถาบันการศึกษาวิธีที่นิยมมากที่สุดคือวิธีแยกตัวประกอบเฉพาะและอัลกอริทึมของยุคลิด ในทางกลับกันก็ใช้ในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์: จำเป็นต้องค้นหา GCD เพื่อตรวจสอบสมการเพื่อหาความเป็นไปได้ในการแก้สมการเป็นจำนวนเต็ม

ค้นหา NOC

ตัวคูณร่วมน้อยถูกกำหนดโดยการแจงนับซ้ำหรือการแยกตัวประกอบออกเป็นตัวประกอบที่แบ่งแยกไม่ได้ นอกจากนี้ยังง่ายต่อการค้นหา LCM หากตัวหารที่ใหญ่ที่สุดได้รับการพิจารณาแล้ว สำหรับตัวเลข X และ Y LCM และ GCD มีความสัมพันธ์กันตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y)

ตัวอย่างเช่น ถ้า gcd(15,18) = 3 ดังนั้น LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90 การใช้ LCM ที่ชัดเจนที่สุดคือการหาตัวส่วนร่วม ซึ่งเป็นตัวคูณร่วมน้อยของ เศษส่วนที่กำหนด

หมายเลขโคไพรม์

หากคู่ของตัวเลขไม่มีตัวหารร่วม คู่นั้นเรียกว่าโคไพรม์ GCM สำหรับคู่ดังกล่าวจะเท่ากับหนึ่งเสมอ และขึ้นอยู่กับความเชื่อมโยงของตัวหารและตัวคูณ GCM สำหรับโคไพรม์จะเท่ากับผลคูณ ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 25 และ 28 เป็นโคไพรม์ เนื่องจากไม่มีตัวหารร่วม และ LCM(25, 28) = 700 ซึ่งสอดคล้องกับผลคูณ จำนวนสองจำนวนที่หารไม่ได้จะเป็นจำนวนเฉพาะเสมอ

ตัวหารร่วมและเครื่องคิดเลขหลายตัว

ด้วยเครื่องคิดเลขของเรา คุณสามารถคำนวณ GCD และ LCM สำหรับตัวเลขจำนวนเท่าใดก็ได้ให้เลือก งานสำหรับการคำนวณตัวหารร่วมและตัวคูณพบได้ในเลขคณิตของเกรด 5, 6 อย่างไรก็ตาม GCD และ LCM - แนวคิดหลักคณิตศาสตร์และใช้ในทฤษฎีจำนวน แผนภาพ และพีชคณิตเพื่อการสื่อสาร

ตัวอย่างชีวิตจริง

ตัวส่วนร่วมของเศษส่วน

ตัวคูณร่วมน้อยจะใช้เมื่อหาตัวส่วนร่วมของเศษส่วนหลายตัว สมมติว่าในโจทย์เลขคณิตจำเป็นต้องรวมเศษส่วน 5 ตัว:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

ในการเพิ่มเศษส่วน ต้องลดนิพจน์ให้เป็นตัวส่วนร่วม ซึ่งช่วยลดปัญหาในการหา LCM ในการทำเช่นนี้ให้เลือก 5 ตัวเลขในเครื่องคิดเลขและป้อนค่าตัวส่วนในเซลล์ที่เหมาะสม โปรแกรมจะคำนวณ LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360 ตอนนี้คุณต้องคำนวณปัจจัยเพิ่มเติมสำหรับแต่ละเศษส่วน ซึ่งกำหนดเป็นอัตราส่วนของ LCM ต่อตัวส่วน ดังนั้นตัวคูณพิเศษจะมีลักษณะดังนี้:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

หลังจากนั้น เราคูณเศษส่วนทั้งหมดด้วยปัจจัยเพิ่มเติมที่สอดคล้องกันและรับ:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

เราสามารถบวกเศษส่วนดังกล่าวได้อย่างง่ายดายและได้ผลลัพธ์ในรูปของ 159/360 เราลดเศษส่วนลง 3 และดูคำตอบสุดท้าย - 53/120

คำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น

สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นเป็นนิพจน์ในรูปแบบ ax + by = d ถ้าอัตราส่วน d / gcd(a, b) เป็นจำนวนเต็ม สมการจะแก้ได้ด้วยจำนวนเต็ม ลองตรวจสอบสมการสองสามสมหาความเป็นไปได้ของคำตอบจำนวนเต็ม ขั้นแรก ตรวจสอบสมการ 150x + 8y = 37 ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อหา gcd (150.8) = 2 หาร 37/2 = 18.5 จำนวนไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้น สมการจึงไม่มีรากจำนวนเต็ม

ตรวจสอบสมการกัน 1320x + 1760y = 10120 ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อหา gcd(1320, 1760) = 440 หาร 10120/440 = 23 ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนเต็ม ดังนั้นสมการไดโอแฟนไทน์จึงแก้ได้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม .

บทสรุป

GCD และ LCM มีบทบาทสำคัญในทฤษฎีจำนวน และแนวคิดเหล่านี้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านต่างๆ ของคณิตศาสตร์ ใช้เครื่องคิดเลขของเราเพื่อคำนวณตัวหารที่ใหญ่ที่สุดและผลคูณที่น้อยที่สุดของจำนวนใดๆ

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนสองจำนวนเกี่ยวข้องโดยตรงกับตัวหารร่วมมากของจำนวนเหล่านั้น นี้ การเชื่อมโยงระหว่าง GCD และ NOCถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท.

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวกสองตัว a และ b เท่ากับผลคูณของ a และ b หารด้วยตัวหารร่วมมากของ a และ b นั่นคือ LCM(a, b)=a b: GCD(a, b).

การพิสูจน์.

อนุญาต M คือผลคูณของจำนวน a และ b นั่นคือ M หารด้วย a ลงตัว และตามนิยามของการหารลงตัว มีจำนวนเต็ม k บางตัวที่สมการ M=a·k เป็นจริง แต่ M ก็หารด้วย b ลงตัว แล้ว a ก็หารด้วย b ลงตัว

แสดงว่า gcd(a, b) เป็น d จากนั้นเราสามารถเขียนความเท่าเทียมกัน a=a 1 ·d และ b=b 1 ·d และ a 1 =a:d และ b 1 =b:d จะเป็นจำนวนโคไพรม์ ดังนั้น เงื่อนไขที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้านี้ที่ a k หารด้วย b ลงตัว สามารถจัดรูปใหม่ได้ดังนี้ a 1 d k หารด้วย b 1 d ลงตัว และเนื่องจากคุณสมบัติของการหารลงตัว เท่ากับเงื่อนไขที่ a 1 k หารด้วย b 1 ลงตัว

เราต้องเขียนผลสรุปที่สำคัญสองข้อจากทฤษฎีบทที่พิจารณาด้วย

ผลคูณร่วมของจำนวนสองจำนวนจะเหมือนกับผลคูณของผลคูณร่วมน้อย

สิ่งนี้เป็นจริง เนื่องจากผลคูณร่วมใดๆ ของจำนวน M a และ b ถูกกำหนดโดยความเท่าเทียมกัน M=LCM(a, b) t สำหรับค่าจำนวนเต็ม t

ตัวคูณร่วมน้อยของโคไพรม์ ตัวเลขที่เป็นบวก a และ b เท่ากับผลคูณของพวกมัน

เหตุผลสำหรับข้อเท็จจริงนี้ค่อนข้างชัดเจน เนื่องจาก a และ b เป็นโคไพรม์ ดังนั้น gcd(a, b)=1 ดังนั้น LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

ตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนตั้งแต่สามจำนวนขึ้นไป

การหาตัวคูณร่วมน้อยของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไปสามารถลดลงเป็นการหา LCM ของตัวเลขสองตัวอย่างต่อเนื่อง วิธีดำเนินการนี้แสดงไว้ในทฤษฎีบทต่อไปนี้ a 1 , a 2 , …, a k ตรงกับผลคูณร่วมของจำนวน m k-1 และ a k ดังนั้น ตรงกับผลคูณของ m k และเนื่องจากผลคูณร่วมน้อยที่สุดของจำนวน m k คือจำนวน m k เอง ดังนั้นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวน a 1 , a 2 , …, a k คือ m k

บรรณานุกรม.

• Vilenkin N.Ya. ฯลฯ คณิตศาสตร์. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา.
• Vinogradov I.M. พื้นฐานของทฤษฎีจำนวน
• Mikhelovich Sh.Kh. ทฤษฎีจำนวน.
• Kulikov L.Ya. และอื่น ๆ ชุดของปัญหาในพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน: กวดวิชาสำหรับนักเรียนฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ ความเชี่ยวชาญพิเศษของสถาบันการศึกษา

เพื่อให้เข้าใจวิธีการคำนวณ LCM ก่อนอื่นคุณควรกำหนดความหมายของคำว่า "หลายค่า"

ผลคูณของ A เป็นจำนวนธรรมชาติที่ A หารลงตัวโดยไม่มีเศษ ดังนั้น 15, 20, 25 และอื่น ๆ จึงถือเป็นผลคูณของ 5

ตัวหารของจำนวนใดจำนวนหนึ่งอาจมีจำนวนจำกัด แต่ตัวคูณมีจำนวนนับไม่ถ้วน

ผลคูณร่วมของจำนวนธรรมชาติคือจำนวนที่หารลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

วิธีหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนนับ

ตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของจำนวน (สอง สามหรือมากกว่า) เป็นจำนวนธรรมชาติที่น้อยที่สุดที่หารลงตัวด้วยจำนวนเหล่านี้ทั้งหมด

หากต้องการค้นหา NOC คุณสามารถใช้หลายวิธี

สำหรับตัวเลขขนาดเล็กจะสะดวกที่จะเขียนผลคูณทั้งหมดของตัวเลขเหล่านี้ในบรรทัดจนกว่าจะพบตัวเลขทั่วไป หลายรายการระบุในบันทึก ตัวพิมพ์ใหญ่ถึง.

ตัวอย่างเช่น ผลคูณของ 4 สามารถเขียนได้ดังนี้:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

คุณจะเห็นว่าตัวคูณร่วมน้อยของเลข 4 และ 6 คือเลข 24 รายการนี้ดำเนินการดังนี้:

LCM(4, 6) = 24

หากตัวเลขมีจำนวนมาก ให้หาตัวคูณร่วมของตัวเลขสามตัวขึ้นไป ใช้วิธีอื่นในการคำนวณ LCM

เพื่อให้งานเสร็จสมบูรณ์ จำเป็นต้องแยกย่อยตัวเลขที่เสนอเป็นปัจจัยสำคัญ

ก่อนอื่นคุณต้องเขียนส่วนขยายของตัวเลขที่ใหญ่ที่สุดในบรรทัดและด้านล่าง - ส่วนที่เหลือ

ในการขยายจำนวนแต่ละครั้งอาจมีปัจจัยจำนวนที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่น ลองแยกตัวประกอบของตัวเลข 50 และ 20 เป็นตัวประกอบเฉพาะ

ในการขยายตัวของจำนวนที่น้อยกว่า ควรเน้นปัจจัยที่ไม่มีในการขยายตัวของจำนวนแรก จำนวนมากแล้วเพิ่มเข้าไป ในตัวอย่างที่นำเสนอ ไม่มีผีสาง

ตอนนี้เราสามารถคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของ 20 และ 50 ได้แล้ว

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

ดังนั้นผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนที่มากกว่าและตัวประกอบของจำนวนที่สองซึ่งไม่รวมอยู่ในการสลายตัวของจำนวนที่มากกว่าจะเป็นตัวคูณร่วมน้อย

ในการค้นหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป ควรแยกย่อยทั้งหมดออกเป็นปัจจัยเฉพาะ เช่นในกรณีก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น คุณสามารถหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวน 16, 24, 36

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

ดังนั้น มีเพียงสองผีจากการสลายตัวของสิบหกเท่านั้นที่ไม่รวมอยู่ในการแยกตัวประกอบของจำนวนที่มากกว่า (หนึ่งตัวอยู่ในการสลายตัวของยี่สิบสี่)

ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเพิ่มจำนวนมากขึ้นในการสลายตัว

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

มีกรณีพิเศษในการพิจารณาตัวคูณร่วมน้อย ดังนั้น ถ้าหนึ่งในจำนวนนั้นสามารถหารได้โดยไม่มีเศษที่เหลือด้วยจำนวนอื่น จำนวนที่มีค่ามากกว่าจะเป็นตัวคูณร่วมน้อย

ตัวอย่างเช่น NOC ของ 12 และ 24 จะเป็น 24

หากจำเป็นต้องหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนโคไพรม์ที่ไม่มีตัวหารเหมือนกัน LCM จะเท่ากับผลคูณ

ตัวอย่างเช่น LCM(10, 11) = 110

เรามาอภิปรายกันต่อเกี่ยวกับตัวคูณร่วมน้อยที่เราเริ่มไว้ในส่วน LCM - ตัวคูณร่วมน้อย, คำจำกัดความ, ตัวอย่าง ในหัวข้อนี้ เราจะดูวิธีค้นหา LCM สำหรับตัวเลขสามตัวขึ้นไป เราจะวิเคราะห์คำถามเกี่ยวกับวิธีค้นหา LCM ของจำนวนลบ

Yandex.RTB R-A-339285-1

การคำนวณตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ผ่าน gcd

เราได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างตัวคูณร่วมน้อยกับตัวหารร่วมมากแล้ว ตอนนี้เรามาเรียนรู้วิธีกำหนด LCM ผ่าน GCD ก่อนอื่น มาดูกันว่าจะทำอย่างไรกับจำนวนบวก

คำจำกัดความ 1

คุณสามารถค้นหาตัวคูณร่วมน้อยผ่านตัวหารร่วมมากโดยใช้สูตร LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b)

ตัวอย่างที่ 1

จำเป็นต้องค้นหา LCM ของหมายเลข 126 และ 70

สารละลาย

ลอง a = 126 , b = 70 . แทนค่าในสูตรสำหรับการคำนวณตัวคูณร่วมน้อยผ่านตัวหารร่วมมาก LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

ค้นหา GCD ของตัวเลข 70 และ 126 สำหรับสิ่งนี้เราต้องการอัลกอริทึมยุคลิด: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 ดังนั้น gcd (126 , 70) = 14 .

ลองคำนวณ LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630

คำตอบ: LCM (126, 70) = 630.

ตัวอย่างที่ 2

หาเลข 68 และ 34

สารละลาย

GCD ใน กรณีนี้หาง่าย เพราะ 68 หารด้วย 34 ลงตัว คำนวณตัวคูณร่วมน้อยโดยใช้สูตร: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68

คำตอบ: LCM(68, 34) = 68.

ในตัวอย่างนี้ เราใช้กฎในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนเต็มบวก a และ b: ถ้าจำนวนแรกหารด้วยจำนวนที่สองลงตัว LCM ของจำนวนเหล่านี้จะเท่ากับจำนวนแรก

การหา LCM โดยการแยกตัวประกอบตัวเลขเป็นตัวประกอบเฉพาะ

ทีนี้มาดูวิธีหา LCM ซึ่งอาศัยการสลายตัวของตัวเลขให้เป็นปัจจัยสำคัญ

คำจำกัดความ 2

ในการหาตัวคูณร่วมน้อย เราต้องทำขั้นตอนง่ายๆ ดังนี้

• เราสร้างผลคูณของปัจจัยเฉพาะของตัวเลขที่เราต้องการหา LCM
• เราไม่รวมปัจจัยสำคัญทั้งหมดออกจากผลิตภัณฑ์ที่ได้รับ
• ผลิตภัณฑ์ที่ได้รับหลังจากกำจัดปัจจัยสำคัญทั่วไปจะเท่ากับ LCM ของตัวเลขที่กำหนด

วิธีการหาตัวคูณร่วมน้อยนี้ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) หากคุณดูสูตรจะชัดเจน: ผลคูณของตัวเลข a และ b เท่ากับผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับการขยายตัวเลขสองตัวนี้ ในกรณีนี้ GCD ของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลคูณของตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดที่มีอยู่พร้อมกันในการแยกตัวประกอบของตัวเลขสองตัวนี้

ตัวอย่างที่ 3

เรามีเลขสองตัว 75 และ 210 . เราสามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. หากคุณสร้างผลคูณของตัวประกอบทั้งหมดของตัวเลขดั้งเดิมสองตัว คุณจะได้: 2 3 3 5 5 5 7.

หากเราไม่รวมปัจจัยทั่วไปของทั้ง 3 และ 5 เราจะได้ผลิตภัณฑ์ในรูปแบบต่อไปนี้: 2 3 5 5 7 = 1,050. ผลิตภัณฑ์นี้จะเป็น LCM ของเราสำหรับหมายเลข 75 และ 210

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหา LCM ของตัวเลข 441 และ 700 , แยกตัวเลขทั้งสองออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ

สารละลาย

มาหาตัวประกอบเฉพาะทั้งหมดของตัวเลขที่ระบุในเงื่อนไขกัน:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

เราได้ตัวเลขสองกลุ่ม: 441 = 3 3 7 7 และ 700 = 2 2 5 5 7 .

ผลคูณของปัจจัยทั้งหมดที่เข้าร่วมในการขยายตัวของตัวเลขเหล่านี้จะมีลักษณะดังนี้: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. มาหาปัจจัยร่วมกัน หมายเลขนี้คือ 7 ขอยกเว้นจาก ผลิตภัณฑ์ทั่วไป: 2 2 3 3 5 5 7 7. ปรากฎว่า คสช (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

คำตอบ: LCM (441 , 700) = 44 100

ให้เรากำหนดวิธีการค้นหา LCM อีกหนึ่งวิธีโดยการแยกย่อยตัวเลขให้เป็นปัจจัยสำคัญ

นิยาม 3

ก่อนหน้านี้ เราแยกตัวประกอบร่วมของตัวเลขทั้งสองออกจากจำนวนรวมทั้งหมด ตอนนี้เราจะทำมันแตกต่างออกไป:

• มาแยกย่อยตัวเลขทั้งสองให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ:
• เพิ่มผลคูณของตัวประกอบเฉพาะของจำนวนแรกกับตัวประกอบที่ขาดหายไปของจำนวนที่สอง
• เราได้ผลิตภัณฑ์ซึ่งจะเป็น LCM ที่ต้องการของตัวเลขสองตัว

ตัวอย่างที่ 5

กลับไปที่ตัวเลข 75 และ 210 ซึ่งเราได้มองหา LCM ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ มาแบ่งปัจจัยง่ายๆ กัน: 75 = 3 5 5และ 210 = 2 3 5 7. ต่อผลคูณของปัจจัย 3 , 5 และ 5 หมายเลข 75 บวกปัจจัยที่ขาด 2 และ 7 หมายเลข 210 . เราได้รับ: 2 3 5 5 7 .นี่คือ LCM ของหมายเลข 75 และ 210

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของตัวเลข 84 และ 648

สารละลาย

มาแยกย่อยตัวเลขจากเงื่อนไขเป็นปัจจัยสำคัญ: 84 = 2 2 3 7และ 648 = 2 2 2 3 3 3 3. บวกผลคูณของปัจจัย 2 , 2 , 3 และ 7 หมายเลข 84 ไม่มีตัวประกอบ 2 , 3 , 3 และ
3 หมายเลข 648 . เราได้รับสินค้า 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 .นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของ 84 และ 648

คำตอบ: LCM (84, 648) = 4536

การหา LCM ของตัวเลขตั้งแต่สามตัวขึ้นไป

ไม่ว่าเราจะจัดการกับตัวเลขจำนวนเท่าใด อัลกอริทึมของการดำเนินการของเราจะเหมือนกันเสมอ: เราจะค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวอย่างสม่ำเสมอ มีทฤษฎีบทสำหรับกรณีนี้

ทฤษฎีบท 1

สมมติว่าเรามีจำนวนเต็ม ก 1 , ก 2 , … , ก. นอค มของตัวเลขเหล่านี้พบได้ในการคำนวณตามลำดับ m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k)

ทีนี้มาดูว่าทฤษฎีบทสามารถนำไปใช้กับปัญหาเฉพาะได้อย่างไร

ตัวอย่างที่ 7

คุณต้องคำนวณตัวคูณร่วมน้อยของสี่จำนวน 140 , 9 , 54 และ 250 .

สารละลาย

ขอแนะนำสัญกรณ์: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250

เริ่มจากการคำนวณ m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . ลองใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดเพื่อคำนวณ GCD ของตัวเลข 140 และ 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . เราได้: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260 ดังนั้น ม.2 = 1 260 .

ทีนี้มาคำนวณตามอัลกอริทึมเดียวกัน m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . ในระหว่างการคำนวณเราได้ m 3 = 3 780

มันยังคงให้เราคำนวณ m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . เราดำเนินการตามอัลกอริทึมเดียวกัน เราได้ ม. 4 \u003d 94 500

LCM ของตัวเลขสี่ตัวจากเงื่อนไขตัวอย่างคือ 94500

คำตอบ: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

อย่างที่คุณเห็น การคำนวณนั้นง่าย แต่ค่อนข้างลำบาก เพื่อประหยัดเวลา คุณสามารถไปทางอื่นได้

ความหมาย 4

เราเสนออัลกอริทึมการดำเนินการต่อไปนี้ให้คุณ:

• แยกตัวเลขทั้งหมดออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ
• ให้กับผลคูณของตัวประกอบของเลขตัวแรก ให้บวกตัวประกอบที่ขาดหายไปจากผลคูณของเลขตัวที่สอง
• เพิ่มปัจจัยที่ขาดหายไปของตัวเลขที่สามให้กับผลิตภัณฑ์ที่ได้รับในขั้นตอนก่อนหน้า ฯลฯ
• ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนทั้งหมดจากเงื่อนไข

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องค้นหา LCM ของห้าหมายเลข 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

สารละลาย

มาแยกย่อยตัวเลขทั้งห้าเป็นตัวประกอบเฉพาะ: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 จำนวนเฉพาะซึ่งก็คือเลข 7 ไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นตัวประกอบเฉพาะได้ ตัวเลขดังกล่าวสอดคล้องกับการสลายตัวเป็นปัจจัยสำคัญ

ทีนี้ลองนำผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ 2, 2, 3 และ 7 ของจำนวน 84 มาบวกเข้ากับตัวประกอบที่ขาดหายไปของจำนวนที่สอง เราได้แยกย่อยหมายเลข 6 ออกเป็น 2 และ 3 ปัจจัยเหล่านี้อยู่ในผลคูณของจำนวนแรกแล้ว ดังนั้นเราจึงละเว้นพวกเขา

เรายังคงเพิ่มตัวคูณที่ขาดหายไป เราเปลี่ยนเป็นหมายเลข 48 จากผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่เรารับ 2 และ 2 จากนั้นเราเพิ่มตัวประกอบอย่างง่ายของ 7 จากจำนวนที่สี่และตัวประกอบของ 11 และ 13 ของตัวที่ห้า เราได้: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048 นี่คือตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนดั้งเดิมห้าจำนวน

คำตอบ: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048

การหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ

ในการหาตัวคูณร่วมน้อยของจำนวนลบ อันดับแรกต้องแทนที่ตัวเลขเหล่านี้ด้วยตัวเลขที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม จากนั้นจึงคำนวณตามอัลกอริทึมข้างต้น

ตัวอย่างที่ 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) และ LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888)

การกระทำดังกล่าวเป็นที่อนุญาตเนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าหากได้รับการยอมรับว่า กและ - ก- ตัวเลขตรงข้าม
จากนั้นชุดของผลคูณ กเกิดขึ้นพร้อมกับชุดของการคูณของจำนวน - ก.

ตัวอย่างที่ 10

จำเป็นต้องคำนวณ LCM ของจำนวนลบ − 145 และ − 45 .

สารละลาย

มาเปลี่ยนตัวเลขกันเถอะ − 145 และ − 45 เป็นเลขตรงข้ามกัน 145 และ 45 . ตอนนี้โดยใช้อัลกอริทึม เราคำนวณ LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 โดยก่อนหน้านี้กำหนด GCD โดยใช้อัลกอริทึม Euclid

เราได้รับ LCM ของตัวเลข - 145 และ − 45 เท่ากับ 1 305 .

คำตอบ: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดเน้นข้อความนั้นแล้วกด Ctrl+Enter