บ้าน › ระบบเชื้อเพลิง › สร้างความก้าวหน้าทางเลขคณิตของผลต่าง ความก้าวหน้าทางเลขคณิต - ลำดับตัวเลข

สร้างความก้าวหน้าทางเลขคณิตของผลต่าง ความก้าวหน้าทางเลขคณิต - ลำดับตัวเลข

เครื่องคิดเลขออนไลน์
วิธีแก้ปัญหาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์
ให้: a n , d, n
ค้นหา: a 1

โปรแกรมคณิตศาสตร์นี้ค้นหา $a_1$ ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตตามตัวเลขที่ผู้ใช้ระบุ $a_n, d $ และ $n $
ตัวเลข $a_n$ และ $d $ สามารถระบุได้ไม่เพียงแต่เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังระบุเป็นเศษส่วนได้อีกด้วย นอกจากนี้ ตัวเลขเศษส่วนสามารถป้อนในรูปของเศษส่วนทศนิยม (\ (2.5 \)) และในรูปแบบ เศษส่วนร่วม($-5\frac(2)(7) $).

โปรแกรมนี้ไม่เพียงแต่ให้คำตอบสำหรับปัญหาเท่านั้น แต่ยังแสดงกระบวนการค้นหาวิธีแก้ไขอีกด้วย

เครื่องคิดเลขออนไลน์นี้มีประโยชน์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย โรงเรียนศึกษาทั่วไปในการเตรียมการ ควบคุมการทำงานและการสอบเมื่อทดสอบความรู้ก่อนสอบผู้ปกครองจะควบคุมการแก้ปัญหาต่าง ๆ ในวิชาคณิตศาสตร์และพีชคณิต หรืออาจจะแพงเกินไปสำหรับคุณที่จะจ้างติวเตอร์หรือซื้อหนังสือเรียนใหม่? หรือคุณแค่ต้องการทำให้เสร็จโดยเร็วที่สุด? การบ้านคณิตศาสตร์หรือพีชคณิต? ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้โปรแกรมของเราพร้อมวิธีแก้ปัญหาโดยละเอียด

ดังนั้นคุณสามารถดำเนินการของคุณ การฝึกอบรมของตัวเองและ/หรือการฝึกอบรมน้องชายหรือน้องสาวของตน ในขณะที่ระดับการศึกษาในสาขางานที่จะแก้ไขเพิ่มขึ้น

หากคุณไม่คุ้นเคยกับกฎสำหรับการป้อนตัวเลข เราขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับกฎเหล่านั้น

กฎสำหรับการป้อนตัวเลข

ตัวเลข $a_n$ และ $d $ สามารถระบุได้ไม่เพียงแต่เป็นจำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังระบุเป็นเศษส่วนได้อีกด้วย
ตัวเลข $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกได้เท่านั้น

กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนทศนิยม
ส่วนที่เป็นจำนวนเต็มและเศษส่วนในเศษส่วนทศนิยมสามารถคั่นด้วยจุดหรือเครื่องหมายจุลภาค
ตัวอย่างเช่น คุณสามารถป้อนทศนิยม เช่น 2.5 หรือ เช่น 2.5

กฎสำหรับการป้อนเศษส่วนสามัญ
จำนวนเต็มเท่านั้นที่สามารถทำหน้าที่เป็นตัวเศษ ตัวส่วน และส่วนจำนวนเต็มของเศษส่วนได้

ตัวส่วนไม่สามารถเป็นค่าลบได้

เมื่อป้อนเศษส่วนตัวเลข ตัวเศษจะถูกแยกออกจากตัวส่วนด้วยเครื่องหมายหาร: /
ป้อนข้อมูล:
ผลลัพธ์: $-\frac(2)(3) $

ส่วนจำนวนเต็มแยกออกจากเศษส่วนด้วยเครื่องหมายและ: &
ป้อนข้อมูล:
ผลลัพธ์: $-1\frac(2)(3) $

ป้อนตัวเลข a n , d, n ค้นหา 1

พบว่าไม่ได้โหลดสคริปต์บางตัวที่จำเป็นในการแก้ปัญหานี้ และโปรแกรมอาจไม่ทำงาน
คุณอาจเปิดใช้งาน AdBlock
ในกรณีนี้ ให้ปิดการใช้งานและรีเฟรชหน้า

คุณปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ
ต้องเปิดใช้งาน JavaScript เพื่อให้โซลูชันปรากฏขึ้น
นี่คือคำแนะนำเกี่ยวกับวิธีเปิดใช้งาน JavaScript ในเบราว์เซอร์ของคุณ

เพราะ มีคนจำนวนมากที่ต้องการแก้ปัญหาคำขอของคุณอยู่ในคิว
หลังจากนั้นไม่กี่วินาที วิธีแก้ไขจะปรากฏขึ้นด้านล่าง
โปรดรอ วินาที...

ถ้าคุณ สังเกตเห็นข้อผิดพลาดในการแก้ปัญหาจากนั้นคุณสามารถเขียนเกี่ยวกับเรื่องนี้ในแบบฟอร์มข้อเสนอแนะ
อย่าลืม ระบุว่างานใดคุณตัดสินใจอะไร ป้อนในฟิลด์.

เกม ปริศนา อีมูเลเตอร์ของเรา:

ทฤษฎีเล็กน้อย

ลำดับตัวเลข

การนับเลขมักใช้ในชีวิตประจำวัน รายการต่างๆเพื่อระบุลำดับของพวกเขา ตัวอย่างเช่น บ้านในแต่ละถนนมีหมายเลข ในห้องสมุด การสมัครสมาชิกของผู้อ่านจะถูกกำหนดหมายเลขและจัดเรียงตามลำดับหมายเลขที่กำหนดในตู้เก็บเอกสารพิเศษ

ในธนาคารออมสิน ตามหมายเลขบัญชีส่วนบุคคลของผู้ฝาก คุณสามารถค้นหาบัญชีนี้ได้อย่างง่ายดายและดูว่ามีเงินฝากประเภทใด ปล่อยให้มีเงินฝาก a1 รูเบิลในบัญชีหมายเลข 1 เงินฝาก a2 รูเบิลในบัญชีหมายเลข 2 เป็นต้น ปรากฎว่า ลำดับตัวเลข
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
โดยที่ N คือจำนวนบัญชีทั้งหมด ที่นี่ แต่ละหมายเลขธรรมชาติ n จาก 1 ถึง N ถูกกำหนดเป็นหมายเลข a n

คณิตศาสตร์ก็เรียนเช่นกัน ลำดับจำนวนอนันต์:
ก 1 , 2 , 3 , ... , n , .... .
หมายเลข 1 เรียกว่า สมาชิกตัวแรกของลำดับ, หมายเลข 2 - สมาชิกตัวที่สองของลำดับ, หมายเลข 3 - สมาชิกตัวที่สามของลำดับเป็นต้น
หมายเลข a n ถูกเรียก สมาชิกที่ n (n) ของลำดับและจำนวนธรรมชาติ n คือจำนวนของมัน ตัวเลข.

ตัวอย่างเช่น ในลำดับกำลังสองของจำนวนธรรมชาติ 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 , ... และ 1 = 1 เป็นสมาชิกตัวแรกของลำดับ และ n = n 2 คือ สมาชิกคนที่ nลำดับ; a n+1 = (n + 1) 2 คือสมาชิก (n + 1)th (en บวกตัวแรก) ของลำดับ บ่อยครั้งที่ลำดับสามารถระบุได้ด้วยสูตรของเทอมที่ n ตัวอย่างเช่น สูตร $a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) $ ให้ลำดับ $1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots $

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ระยะเวลาหนึ่งปีมีประมาณ 365 วัน มากกว่า ค่าที่แน่นอนเท่ากับ $365\frac(1)(4) $ วัน ดังนั้นทุก ๆ สี่ปีจะมีข้อผิดพลาดสะสมหนึ่งวัน

เพื่ออธิบายข้อผิดพลาดนี้ หนึ่งวันจะถูกเพิ่มในทุกๆ ปีที่สี่ และปีที่ยืดออกไปจะเรียกว่าปีอธิกสุรทิน

ตัวอย่างเช่น ในสหัสวรรษที่สาม ปีอธิกสุรทินคือ 2004, 2008, 2012, 2016, ... .

ในลำดับนี้ สมาชิกแต่ละตัวที่เริ่มต้นจากตัวที่สองจะเท่ากับตัวก่อนหน้า บวกด้วยเลข 4 เท่ากัน ลำดับดังกล่าวเรียกว่า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

คำนิยาม.
ลำดับตัวเลข a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... เรียกว่า ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, ถ้าเป็นธรรมชาติทั้งหมด n ความเท่าเทียมกัน
$a_(n+1) = a_n+d, $
โดยที่ d คือจำนวนจำนวนหนึ่ง

จากสูตรนี้ จะได้ว่า a n+1 - a n = d จำนวน d เรียกว่าผลต่าง ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์.

ตามนิยามของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เรามี:
$a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, $
ที่ไหน
$a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) $ โดยที่ $n>1 $

ดังนั้น สมาชิกแต่ละตัวของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เริ่มจากตัวที่สอง จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกสองตัวที่อยู่ติดกัน สิ่งนี้อธิบายถึงความก้าวหน้าของชื่อ "เลขคณิต"

โปรดทราบว่าหากกำหนด 1 และ d ไว้ พจน์ที่เหลือของความก้าวหน้าทางเลขคณิตสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรเรียกซ้ำ a n+1 = a n + d ด้วยวิธีนี้ การคำนวณระยะสองสามระยะแรกไม่ใช่เรื่องยาก อย่างไรก็ตาม ตัวอย่างเช่น สำหรับ 100 จะต้องมีการคำนวณจำนวนมากอยู่แล้ว โดยปกติจะใช้สูตรเทอมที่ n สำหรับสิ่งนี้ ตามนิยามของความก้าวหน้าทางเลขคณิต
$a_2=a_1+d, $
$a_3=a_2+d=a_1+2d, $
$a_4=a_3+d=a_1+3d$
เป็นต้น
เลย
$a_n=a_1+(n-1)d, $
เพราะ เทอมที่ nความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์หาได้จากเทอมแรกโดยการบวก (n-1) คูณจำนวน d
สูตรนี้เรียกว่า สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต.

ผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

มาหาผลรวมของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดตั้งแต่ 1 ถึง 100
เราเขียนผลรวมนี้ได้สองวิธี:
S = ล. + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1.
เราเพิ่มความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละคำ:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
มี 100 เงื่อนไขในผลรวมนี้
ดังนั้น 2S = 101 * 100 ดังนั้น S = 101 * 50 = 5050

พิจารณาความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์โดยพลการ
ก 1 , 2 , 3 , ... , n , ...
ให้ S n เป็นผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้านี้:
S n \u003d a 1, a 2, a 3, ..., a n
แล้ว ผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคือ
$S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) $

เนื่องจาก $a_n=a_1+(n-1)d $ จากนั้นแทนที่ a n ในสูตรนี้ เราจะได้สูตรอื่นสำหรับการค้นหา ผลรวมของพจน์ n แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:
$S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) $

หนังสือ (ตำราเรียน) บทคัดย่อของการสอบ Unified State และการทดสอบ OGE เกมออนไลน์ ปริศนา การสร้างกราฟของฟังก์ชัน พจนานุกรมการสะกดคำของพจนานุกรมภาษารัสเซียของคำสแลงเยาวชน ไดเรกทอรีของโรงเรียนในรัสเซีย แคตตาล็อกโรงเรียนมัธยมในรัสเซีย แคตตาล็อกของมหาวิทยาลัยในรัสเซีย รายการงาน

หรือเลขคณิต - นี่คือประเภทของลำดับตัวเลขที่ได้รับคำสั่งซึ่งเป็นคุณสมบัติของการศึกษาในหลักสูตรพีชคณิตของโรงเรียน บทความนี้กล่าวถึงรายละเอียดคำถามเกี่ยวกับวิธีหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ความก้าวหน้านี้คืออะไร?

ก่อนดำเนินการพิจารณาคำถาม (วิธีหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต) ควรทำความเข้าใจกับสิ่งที่จะกล่าวถึง

ลำดับใดๆ ของจำนวนจริงที่ได้จากการบวก (ลบ) ค่าบางอย่างจากจำนวนก่อนหน้าแต่ละจำนวนเรียกว่า พีชคณิต (เลขคณิต) คำนิยามนี้ซึ่งแปลเป็นภาษาคณิตศาสตร์จะอยู่ในรูปแบบ:

ในที่นี้ i คือเลขลำดับขององค์ประกอบของอนุกรม a i ดังนั้นเมื่อทราบหมายเลขเริ่มต้นเพียงหมายเลขเดียว คุณก็สามารถกู้คืนข้อมูลทั้งชุดได้อย่างง่ายดาย พารามิเตอร์ d ในสูตรเรียกว่าความแตกต่างของความก้าวหน้า

สามารถแสดงได้ง่ายว่าความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ถือเป็นชุดของตัวเลขที่อยู่ระหว่างการพิจารณา:

n \u003d a 1 + d * (n - 1)

นั่นคือ หากต้องการหาค่าขององค์ประกอบที่ n ตามลำดับ ให้เพิ่มผลต่าง d ให้กับองค์ประกอบแรก a 1 n-1 คูณ

ผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคืออะไร: สูตร

ก่อนที่จะให้สูตรสำหรับจำนวนที่ระบุ ควรพิจารณาง่ายๆ กรณีพิเศษ. จากความก้าวหน้าของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 10 คุณต้องหาผลรวมของมัน เนื่องจากมีคำศัพท์ไม่กี่คำในความคืบหน้า (10) จึงเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาโดยตรง นั่นคือรวมองค์ประกอบทั้งหมดตามลำดับ

ส 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55

มันคุ้มค่าที่จะพิจารณาสิ่งที่น่าสนใจอย่างหนึ่ง: เนื่องจากแต่ละคำแตกต่างจากคำถัดไปด้วยค่าเดียวกัน d \u003d 1 ดังนั้นผลรวมคู่ของคำแรกกับสิบ ที่สองกับเก้า และอื่น ๆ จะให้ผลลัพธ์เดียวกัน . จริงหรือ:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

อย่างที่คุณเห็น มีเพียง 5 ผลรวมเหล่านี้ ซึ่งน้อยกว่าจำนวนองค์ประกอบในชุดถึงสองเท่า จากนั้นคูณจำนวนผลรวม (5) ด้วยผลลัพธ์ของแต่ละผลรวม (11) คุณจะได้ผลลัพธ์ที่ได้จากตัวอย่างแรก

หากเราสรุปข้อโต้แย้งเหล่านี้ เราสามารถเขียนนิพจน์ต่อไปนี้:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

นิพจน์นี้แสดงให้เห็นว่าไม่จำเป็นเลยที่จะรวมองค์ประกอบทั้งหมดในแถว มันก็เพียงพอแล้วที่จะทราบค่าของอันแรก a 1 และอันสุดท้าย a n และ จำนวนทั้งหมดเงื่อนไข n.

มีความเชื่อกันว่า Gauss นึกถึงความเท่าเทียมกันนี้เป็นครั้งแรกเมื่อเขามองหาวิธีแก้ปัญหาที่ครูตั้งให้ นั่นคือ การรวมจำนวนเต็ม 100 ตัวแรก

ผลรวมขององค์ประกอบจาก m ถึง n: สูตร

สูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ตอบคำถามเกี่ยวกับวิธีหาผลบวกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (ขององค์ประกอบแรก) แต่บ่อยครั้งในงาน จำเป็นต้องรวมชุดตัวเลขในช่วงกลางของความก้าวหน้า ทำอย่างไร?

วิธีที่ง่ายที่สุดในการตอบคำถามนี้คือการพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: ให้จำเป็นต้องหาผลรวมของพจน์จากเดือนถึงอันดับที่ n เพื่อแก้ปัญหา ส่วนที่กำหนดจาก m ถึง n ของความก้าวหน้าควรแสดงเป็นชุดตัวเลขใหม่ ในการดังกล่าว ม.-ธเทอม a m จะเป็นเทอมแรก และ n จะเป็นเลข n-(m-1) ในกรณีนี้ เมื่อใช้สูตรมาตรฐานสำหรับผลรวม จะได้นิพจน์ต่อไปนี้:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

ตัวอย่างการใช้สูตร

การรู้วิธีหาผลรวมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต การพิจารณาตัวอย่างง่ายๆ ของการใช้สูตรข้างต้นเป็นสิ่งที่ควรค่าแก่การพิจารณา

ด้านล่างนี้เป็นลำดับตัวเลข คุณควรหาผลรวมของสมาชิก โดยเริ่มจากวันที่ 5 และลงท้ายด้วยวันที่ 12:

ตัวเลขที่ระบุระบุว่าผลต่าง d เท่ากับ 3 เมื่อใช้นิพจน์สำหรับองค์ประกอบที่ n คุณจะพบค่าของสมาชิกลำดับที่ 5 และ 12 ของความก้าวหน้า ปรากฎว่า:

5 \u003d 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
12 \u003d 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29

เมื่อทราบค่าของตัวเลขที่ส่วนท้ายของความก้าวหน้าทางพีชคณิตที่อยู่ระหว่างการพิจารณาและทราบว่าหมายเลขใดในซีรีส์ที่พวกเขาครอบครองคุณสามารถใช้สูตรสำหรับผลรวมที่ได้รับในย่อหน้าก่อนหน้า รับ:

ส 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

เป็นที่น่าสังเกตว่าค่านี้สามารถรับได้แตกต่างกัน ขั้นแรก หาผลรวมขององค์ประกอบ 12 รายการแรกโดยใช้สูตรมาตรฐาน จากนั้นคำนวณผลรวมขององค์ประกอบ 4 รายการแรกโดยใช้สูตรเดียวกัน จากนั้นให้ลบองค์ประกอบที่สองออกจากผลรวมแรก .

อะไร จุดหลักสูตร?

สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหา ใดๆ ตามหมายเลขของเขา" น" .

แน่นอนคุณต้องรู้คำศัพท์แรก 1และความแตกต่างของความก้าวหน้า งหากไม่มีพารามิเตอร์เหล่านี้ คุณจะไม่สามารถเขียนความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจงได้

การท่องจำ (หรือโกง) สูตรนี้ไม่เพียงพอ จำเป็นต้องรวบรวมสาระสำคัญและใช้สูตรในปัญหาต่างๆ ใช่และอย่าลืมในเวลาที่เหมาะสมใช่ ... ) อย่างไร ไม่ลืม- ฉันไม่รู้. และที่นี่ วิธีการจำหากจำเป็น ฉันจะให้คำใบ้แก่คุณ สำหรับผู้ที่เรียนรู้บทเรียนจนจบ)

เรามาจัดการกับสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของการก้าวหน้าเลขคณิตกัน

โดยทั่วไปแล้วสูตรคืออะไร - เราจินตนาการ) อะไรคือความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ หมายเลขสมาชิก ผลต่างของความก้าวหน้า - มีการระบุไว้อย่างชัดเจนในบทเรียนที่แล้ว ลองดูถ้าคุณยังไม่ได้อ่าน ทุกอย่างเรียบง่ายที่นั่น มันยังคงต้องคิดออกว่าอะไร สมาชิกคนที่ n

ความก้าวหน้าใน ปริทัศน์เขียนเป็นชุดตัวเลขได้ดังนี้

ก 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , .....

1- หมายถึงเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต 3- สมาชิกคนที่สาม 4- ที่สี่และอื่น ๆ หากเราสนใจเทอมที่ 5 สมมติว่าเรากำลังทำงานกับ 5ถ้าหนึ่งร้อยยี่สิบ - จาก 120.

วิธีการกำหนดโดยทั่วไป ใดๆสมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์, s ใดๆตัวเลข? ง่ายมาก! แบบนี้:

หนึ่ง

นั่นคือสิ่งที่มันเป็น สมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตภายใต้ตัวอักษร n จำนวนสมาชิกทั้งหมดจะถูกซ่อนไว้พร้อมกัน: 1, 2, 3, 4 และอื่น ๆ

และบันทึกดังกล่าวให้อะไรเราบ้าง? แค่คิดว่าแทนที่จะเป็นตัวเลขพวกเขาเขียนจดหมาย ...

สัญกรณ์นี้เป็นเครื่องมืออันทรงพลังสำหรับการทำงานกับความก้าวหน้าทางเลขคณิต การใช้สัญกรณ์ หนึ่งเราสามารถค้นหาได้อย่างรวดเร็ว ใดๆสมาชิก ใดๆความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ และงานมากมายที่ต้องแก้ไขในความคืบหน้า คุณจะเห็นต่อไป

ในสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต:

ก n = ก 1 + (n-1)ง

1- สมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

น- หมายเลขสมาชิก.

สูตรจะเชื่อมโยงพารามิเตอร์หลักของความก้าวหน้าใดๆ: หนึ่ง ; 1 ; งและ น. รอบ ๆ พารามิเตอร์เหล่านี้ ปริศนาทั้งหมดจะหมุนไปเรื่อย ๆ

นอกจากนี้ยังสามารถใช้สูตรเทอมที่ n เพื่อเขียนความก้าวหน้าเฉพาะได้อีกด้วย ตัวอย่างเช่น ในปัญหา อาจกล่าวได้ว่าความก้าวหน้าถูกกำหนดโดยเงื่อนไข:

n = 5 + (n-1) 2.

ปัญหาดังกล่าวอาจทำให้สับสนได้ ... ไม่มีอนุกรมไม่มีความแตกต่าง ... แต่การเปรียบเทียบเงื่อนไขกับสูตรนั้นเป็นเรื่องง่ายที่จะเข้าใจว่าในความก้าวหน้านี้ ก 1 \u003d 5 และ d \u003d 2

และอาจโกรธยิ่งกว่านี้!) ถ้าเราใช้เงื่อนไขเดียวกัน: n = 5 + (n-1) 2,ใช่เปิดวงเล็บแล้วให้คำที่คล้ายกันหรือไม่ เราได้สูตรใหม่:

อัน = 3 + 2n

นี้ ไม่ใช่ทั่วไปเท่านั้น แต่สำหรับความก้าวหน้าที่เฉพาะเจาะจง นี่คือจุดที่ผิดพลาด บางคนคิดว่าเทอมแรกคือสาม แม้ว่าในความเป็นจริงสมาชิกคนแรกคือห้า ... ต่ำกว่านี้เล็กน้อยเราจะทำงานกับสูตรที่แก้ไขแล้ว

ในงานเพื่อความก้าวหน้ามีสัญลักษณ์อื่น - n+1. คุณเดาได้ว่านี่คือเทอม "n บวกตัวแรก" ของความก้าวหน้า ความหมายนั้นเรียบง่ายและไม่เป็นอันตราย) นี่คือสมาชิกของความก้าวหน้าซึ่งมีจำนวนมากกว่าจำนวน n ต่อหนึ่ง ตัวอย่างเช่น หากเรามีปัญหาบางอย่าง หนึ่งเทอมที่ห้าแล้ว n+1จะเป็นสมาชิกคนที่หก เป็นต้น

ส่วนใหญ่มักจะกำหนด n+1เกิดขึ้นในสูตรแบบเรียกซ้ำ อย่ากลัวคำที่น่ากลัวนี้!) นี่เป็นเพียงวิธีแสดงคำศัพท์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ผ่านอันที่แล้วสมมติว่าเราได้รับความก้าวหน้าทางเลขคณิตในแบบฟอร์มนี้ โดยใช้สูตรที่เกิดซ้ำ:

n+1 = n +3

ก 2 = ก 1 + 3 = 5+3 = 8

ก 3 = ก 2 + 3 = 8+3 = 11

ที่สี่ - ถึงสาม, ที่ห้า - ถึงสี่และอื่น ๆ แล้วจะนับยังไง พูดเทอมที่ยี่สิบ 20? แต่ไม่มีทาง!) ในขณะที่ไม่ทราบระยะที่ 19 ไม่สามารถนับที่ 20 ได้ นี่คือความแตกต่างพื้นฐานระหว่างสูตรเรียกซ้ำและสูตรของเทอมที่ n Recursive ทำงานผ่านเท่านั้น ก่อนหน้าเทอมและสูตรของเทอมที่ n - ถึง อันดับแรกและช่วยให้ ทันทีค้นหาสมาชิกตามหมายเลข ไม่นับเลขทั้งชุดตามลำดับ

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต สูตรเรียกซ้ำสามารถเปลี่ยนเป็นสูตรปกติได้อย่างง่ายดาย นับคู่ของเงื่อนไขที่ต่อเนื่องกัน คำนวณผลต่าง ง,ค้นหาเทอมแรกหากจำเป็น 1ให้เขียนสูตรในรูปแบบปกติ และทำงานกับมัน ใน GIA มักพบงานดังกล่าว

การใช้สูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ขั้นแรก ให้ดูที่การใช้สูตรโดยตรง ในตอนท้ายของบทเรียนก่อนหน้านี้มีปัญหา:

กำหนดความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) หา 121 ถ้า a 1 =3 และ d=1/6

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องใช้สูตรใด ๆ เพียงขึ้นอยู่กับความหมายของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เพิ่มใช่เพิ่ม ... หนึ่งหรือสองชั่วโมง)

และตามสูตรการแก้ปัญหาจะใช้เวลาน้อยกว่าหนึ่งนาที คุณสามารถจับเวลาได้) เราตัดสินใจ

เงื่อนไขให้ข้อมูลทั้งหมดสำหรับการใช้สูตร: ก 1 \u003d 3, ง \u003d 1/6คงต้องดูกันต่อไปว่า น.ไม่มีปัญหา! เราจำเป็นต้องค้นหา 121. ที่นี่เราเขียน:

กรุณาให้ความสนใจ! แทนที่จะเป็นดัชนี นจำนวนเฉพาะปรากฏขึ้น: 121 ซึ่งค่อนข้างสมเหตุสมผล) เราสนใจสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต หมายเลขหนึ่งร้อยยี่สิบเอ็ดนี่จะเป็นของเรา น.มันคือความหมายนี้ น= 121 เราจะแทนที่เพิ่มเติมในสูตรในวงเล็บ แทนตัวเลขทั้งหมดในสูตรแล้วคำนวณ:

ก 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป เช่นเดียวกับที่เราสามารถหาสมาชิกห้าร้อยและสิบและพันที่สามได้อย่างรวดเร็ว เราใส่แทน นตัวเลขที่ต้องการในดัชนีของตัวอักษร " ก"และในวงเล็บและเราจะพิจารณา

ฉันขอเตือนคุณถึงสาระสำคัญ: สูตรนี้ช่วยให้คุณค้นหาได้ ใดๆเทอมของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ตามหมายเลขของเขา" น" .

มาแก้ปัญหาอย่างชาญฉลาดกันเถอะ สมมติว่าเรามีปัญหาต่อไปนี้:

ค้นหาเทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) ถ้า a 17 =-2; ง=-0.5

หากคุณมีปัญหาใด ๆ ฉันจะแนะนำขั้นตอนแรก จดสูตรสำหรับเทอมที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต!ใช่ ๆ. เขียนด้วยลายมือในสมุดบันทึกของคุณ:

ก n = ก 1 + (n-1)ง

และตอนนี้เมื่อดูที่ตัวอักษรของสูตรเราเข้าใจว่าข้อมูลใดที่เรามีอยู่และสิ่งใดขาดหายไป มีอยู่ d=-0.5,มีสมาชิกคนที่สิบเจ็ด ... ทั้งหมด? ถ้าคิดแค่นั้นก็แก้ปัญหาไม่ได้ ใช่...

เรามีเบอร์ด้วย น! ในสภาพ 17 = -2ที่ซ่อนอยู่ สองตัวเลือกนี่คือทั้งค่าของสมาชิกตัวที่สิบเจ็ด (-2) และจำนวนของมัน (17) เหล่านั้น. n=17."สิ่งเล็กน้อย" นี้มักจะหลุดออกจากหัวและหากไม่มี "สิ่งเล็กน้อย" ไม่ใช่หัว!) ปัญหาจะไม่สามารถแก้ไขได้ แม้ว่า ... และไม่มีหัวด้วย)

ตอนนี้เราสามารถแทนที่ข้อมูลของเราลงในสูตรได้อย่างโง่เขลา:

17 \u003d 1 + (17-1) (-0.5)

โอ้ใช่, 17เรารู้ว่ามันคือ -2 เอาล่ะใส่มันเข้าไป:

-2 \u003d 1 + (17-1) (-0.5)

โดยเนื้อแท้แล้วก็คือทั้งหมด มันยังคงแสดงพจน์แรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตจากสูตรและคำนวณ คุณได้รับคำตอบ: 1 = 6

เทคนิคดังกล่าว - การเขียนสูตรและเพียงแค่แทนที่ข้อมูลที่รู้จัก - ช่วยได้มากในงานง่ายๆ แน่นอนว่าคุณต้องสามารถแสดงตัวแปรจากสูตรได้ แต่จะทำอย่างไร!? หากไม่มีทักษะนี้จะไม่สามารถเรียนคณิตศาสตร์ได้เลย ...

อีกปัญหายอดนิยม:

ค้นหาผลต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) ถ้า a 1 =2; 15 = 12.

เรากำลังทำอะไรอยู่? คุณจะประหลาดใจ เราเขียนสูตร!)

ก n = ก 1 + (n-1)ง

พิจารณาสิ่งที่เรารู้: 1 = 2; 15 = 12; และ (ไฮไลท์พิเศษ!) n=15. อย่าลังเลที่จะแทนที่ในสูตร:

12=2 + (15-1)ง

มาทำเลขคณิตกันเถอะ)

12=2 + 14d

ง=10/14 = 5/7

นี่คือคำตอบที่ถูกต้อง

ดังนั้นงาน ก น , ก 1และ งตัดสินใจแล้ว. ยังคงต้องเรียนรู้วิธีค้นหาหมายเลข:

เลข 99 เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) โดยที่ 1 =12; ง=3. ค้นหาหมายเลขของสมาชิกนี้

เราแทนที่ปริมาณที่ทราบลงในสูตรของเทอมที่ n:

n = 12 + (n-1) 3

เมื่อมองแวบแรก มีปริมาณที่ไม่รู้จักสองจำนวนที่นี่: n และ nแต่ หนึ่งเป็นสมาชิกของความคืบหน้าด้วยหมายเลข น... และสมาชิกของความก้าวหน้าที่เรารู้! คือ 99 เราไม่รู้หมายเลขของเขา เอ็นดังนั้นจึงต้องหาหมายเลขนี้ด้วย แทนค่าความก้าวหน้า 99 ลงในสูตร:

99 = 12 + (n-1) 3

เราแสดงจากสูตร น, พวกเราคิดว่า. เราได้คำตอบ: n=30.

และตอนนี้เป็นปัญหาในหัวข้อเดียวกัน แต่สร้างสรรค์กว่า):

กำหนดว่าหมายเลข 117 จะเป็นสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิต (an n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

ลองเขียนสูตรอีกครั้ง อะไรนะ ไม่มีตัวเลือกเหรอ? หืม... ทำไมเราต้องตา?) เราเห็นสมาชิกคนแรกของความก้าวหน้าหรือไม่? ที่เราเห็น. นี่คือ -3.6 คุณสามารถเขียนได้อย่างปลอดภัย: 1 \u003d -3.6ความแตกต่าง งสามารถกำหนดได้จากซีรีส์? เป็นเรื่องง่ายถ้าคุณรู้ว่าความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิตคืออะไร:

d = -2.4 - (-3.6) = 1.2

ใช่ เราทำสิ่งที่ง่ายที่สุด ยังคงต้องจัดการกับหมายเลขที่ไม่รู้จัก นและจำนวนที่เข้าใจยาก 117 ในปัญหาที่แล้ว อย่างน้อยก็รู้ว่าเป็นศัพท์ของความก้าวหน้าที่ให้มา แต่นี่เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่า...จะเป็นยังไง!? จะเป็นยังไง จะเป็นยังไง... ทักษะความคิดสร้างสรรค์!)

เรา สมมติท้ายที่สุดแล้ว 117 ก็เป็นสมาชิกของความก้าวหน้าของเรา ด้วยหมายเลขที่ไม่รู้จัก น. และเช่นเดียวกับในปัญหาก่อนหน้านี้ ลองหาตัวเลขนี้กัน เหล่านั้น. เราเขียนสูตร (ใช่-ใช่!)) และแทนตัวเลขของเรา:

117 = -3.6 + (n-1) 1.2

เราแสดงอีกครั้งจากสูตรนเรานับและรับ:

อ๊ะ! เลขที่เปิดออก เศษส่วน!หนึ่งร้อยหนึ่งครึ่ง และเลขเศษส่วน ไม่สามารถ.เราได้ข้อสรุปอะไร? ใช่! หมายเลข 117 ไม่ใช่สมาชิกของความก้าวหน้าของเรา อยู่ระหว่างสมาชิกลำดับที่ 101 และ 102 หากตัวเลขกลายเป็นธรรมชาตินั่นคือ จำนวนเต็มบวก จำนวนนั้นจะเป็นสมาชิกของการก้าวหน้าด้วยจำนวนที่พบ และในกรณีของเรา คำตอบของปัญหาจะเป็นดังนี้ เลขที่

งานขึ้นอยู่กับ GIA เวอร์ชันจริง:

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข:

น \u003d -4 + 6.8n

ค้นหาพจน์ที่หนึ่งและสิบของการก้าวหน้า

ความคืบหน้าถูกกำหนดในลักษณะที่ผิดปกติ สูตรบางอย่าง ... มันเกิดขึ้น) อย่างไรก็ตาม สูตรนี้ (ตามที่ฉันเขียนไว้ด้านบน) - ยังเป็นสูตรของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต!เธอยังอนุญาต ค้นหาสมาชิกของความก้าวหน้าด้วยหมายเลขของมัน

เรากำลังมองหาสมาชิกคนแรก คนที่คิดว่า. ว่าเทอมแรกเป็นลบสี่ ผิดมหันต์!) เนื่องจากสูตรในโจทย์มีการแก้ไข เทอมแรกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตในนั้น ที่ซ่อนอยู่.ไม่มีอะไร เราจะค้นหาตอนนี้)

เช่นเดียวกับในงานก่อนหน้า เราแทนที่ n=1ลงในสูตรนี้:

ก 1 \u003d -4 + 6.8 1 \u003d 2.8

ที่นี่! เทอมแรกคือ 2.8 ไม่ใช่ -4!

ในทำนองเดียวกัน เรากำลังมองหาเทอมที่สิบ:

ก 10 \u003d -4 + 6.8 10 \u003d 64

นั่นคือทั้งหมดที่มีไป

และตอนนี้ สำหรับผู้ที่อ่านมาถึงบรรทัดเหล่านี้ โบนัสที่สัญญาไว้)

สมมติว่าในสถานการณ์การต่อสู้ที่ยากลำบากของ GIA หรือการสอบ Unified State คุณลืมสูตรที่เป็นประโยชน์ของสมาชิกตัวที่ n ของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีบางอย่างอยู่ในใจ แต่ก็ไม่แน่นอน ... ไม่ว่าจะเป็น นที่นั่นหรือ n+1 หรือ n-1...จะเป็นอย่างไร!?

เงียบสงบ! สูตรนี้หาง่าย ไม่เข้มงวดมาก แต่เพียงพอสำหรับความมั่นใจและการตัดสินใจที่ถูกต้องอย่างแน่นอน!) สำหรับบทสรุป ก็เพียงพอที่จะจำความหมายเบื้องต้นของความก้าวหน้าทางเลขคณิตและมีเวลาสองสามนาที คุณเพียงแค่ต้องวาดภาพ เพื่อความชัดเจน

เราวาดแกนตัวเลขและทำเครื่องหมายแกนแรก ที่สอง สาม ฯลฯ สมาชิก. และสังเกตความแตกต่าง งระหว่างสมาชิก. แบบนี้:

เราดูรูปแล้วคิดว่าเทอมที่สองเท่ากับอะไร? ที่สอง หนึ่ง ง:

ก 2 = ก 1 + 1 ง

เทอมที่สามคืออะไร? ที่สามเทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สอง ง.

ก 3 = ก 1 + 2 ง

คุณเข้าใจไหม? ฉันไม่ใส่คำบางคำเป็นตัวหนาเพื่ออะไร โอเค อีกหนึ่งขั้นตอน)

เทอมที่สี่คืออะไร? ประการที่สี่เทอมเท่ากับเทอมแรกบวก สาม ง.

ก 4 = ก 1 + 3 ง

ถึงเวลาที่ต้องตระหนักว่าจำนวนช่องว่างเช่น ง, เสมอ น้อยกว่าหนึ่งหมายเลขสมาชิกที่คุณต้องการ น. นั่นคือขึ้นอยู่กับจำนวน n จำนวนช่องว่างจะ n-1.ดังนั้น สูตรจะเป็น (ไม่มีตัวเลือก!):

ก n = ก 1 + (n-1)ง

โดยทั่วไปแล้วภาพที่มองเห็นมีประโยชน์มากในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ อย่าละเลยรูปภาพ แต่ถ้ามันยากที่จะวาดรูปล่ะก็ ... สูตรเท่านั้น!) นอกจากนี้สูตรของเทอมที่ n ยังช่วยให้คุณเชื่อมต่อคลังแสงคณิตศาสตร์อันทรงพลังทั้งหมดเข้ากับวิธีแก้ปัญหา - สมการ, อสมการ, ระบบ ฯลฯ ใส่รูปในสมการไม่ได้...

งานเพื่อการตัดสินใจที่เป็นอิสระ

สำหรับการอุ่นเครื่อง:

1. ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) a 2 =3; 5 \u003d 5.1 หา 3

คำแนะนำ: ตามภาพ ปัญหาจะแก้ไขได้ใน 20 วินาที ... ตามสูตร มันจะยากขึ้น แต่การเชี่ยวชาญสูตรจะเป็นประโยชน์มากกว่า) ในมาตรา 555 ปัญหานี้แก้ไขได้ทั้งโดยรูปและโดยสูตร รู้สึกถึงความแตกต่าง!)

และนี่ไม่ใช่การอุ่นเครื่องอีกต่อไป)

2. ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต (a n) a 85 \u003d 19.1; a 236 =49, 3 หา a 3

อะไรนะ ฝืนวาดรูป?) ยัง! สูตรที่ดีกว่า ใช่...

3. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์กำหนดตามเงื่อนไข:1 \u003d -5.5; n+1 = n +0.5 จงหาระยะที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้าของการก้าวหน้านี้

ในภารกิจนี้ ความก้าวหน้าจะได้รับในลักษณะที่เกิดซ้ำ แต่นับถึงเทอมที่หนึ่งร้อยยี่สิบห้า... ไม่ใช่ทุกคนที่จะทำแบบนั้นได้) แต่สูตรของเทอมที่ n อยู่ในอำนาจของทุกคน!

4. กำหนดความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ (และ n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

ค้นหาจำนวนของระยะบวกที่น้อยที่สุดของความก้าวหน้า

5. ตามเงื่อนไขของภารกิจที่ 4 ให้หาผลรวมของค่าบวกที่เล็กที่สุดและค่าลบที่มากที่สุดของความก้าวหน้า

6. ผลคูณของพจน์ที่ห้าและสิบสองของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เพิ่มขึ้นคือ -2.5 และผลรวมของพจน์ที่สามและสิบเอ็ดเป็นศูนย์ ค้นหา 14 .

ไม่ใช่งานที่ง่ายที่สุดใช่ ... ) วิธีการ "บนนิ้ว" จะไม่ทำงานที่นี่ คุณต้องเขียนสูตรและแก้สมการ

คำตอบ (ในความระส่ำระสาย):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

เกิดขึ้น? มันดีนะ!)

ทุกอย่างไม่ได้ผล? เกิดขึ้น โดยวิธีการใน การมอบหมายครั้งสุดท้ายมีจุดหนึ่งที่ละเอียดอ่อน จะต้องให้ความสนใจเมื่ออ่านปัญหา และตรรกะ

วิธีแก้ปัญหาเหล่านี้มีการกล่าวถึงโดยละเอียดในมาตรา 555 และองค์ประกอบแฟนตาซีสำหรับส่วนที่สี่และช่วงเวลาที่ละเอียดอ่อนสำหรับวันที่หกและแนวทางทั่วไปสำหรับการแก้ปัญหาใด ๆ สำหรับสูตรของเทอมที่ n - ทุกอย่างถูกทาสี ฉันแนะนำ

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

ใช่ ใช่: ความก้าวหน้าทางเลขคณิตไม่ใช่ของเล่นสำหรับคุณ :)

เพื่อนๆ ถ้าคุณกำลังอ่านข้อความนี้ หลักฐานภายในบอกฉันว่าคุณยังไม่รู้ว่าความก้าวหน้าทางเลขคณิตคืออะไร แต่คุณอยากรู้จริงๆ ดังนั้นฉันจะไม่ทรมานคุณด้วยการแนะนำที่ยาวนานและจะลงมือทำธุรกิจทันที

ในการเริ่มต้นสองสามตัวอย่าง พิจารณาตัวเลขหลายชุด:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

ชุดเหล่านี้มีอะไรที่เหมือนกัน? ได้อย่างรวดเร็วก่อนไม่มีอะไร แต่จริงๆแล้วมีบางอย่าง คือ: แต่ละองค์ประกอบถัดไปแตกต่างจากองค์ประกอบก่อนหน้าด้วยหมายเลขเดียวกัน.

ตัดสินด้วยตัวคุณเอง ชุดแรกเป็นเพียงตัวเลขเรียงกัน แต่ละชุดมากกว่าชุดก่อนหน้า ในกรณีที่สอง ผลต่างระหว่างจำนวนที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากับห้าอยู่แล้ว แต่ความแตกต่างนี้ยังคงที่ ในกรณีที่สามมีรากอยู่ทั่วไป อย่างไรก็ตาม $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ ในขณะที่ $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$ เช่น ซึ่งในกรณีนี้ แต่ละองค์ประกอบถัดไปจะเพิ่มขึ้น $\sqrt(2)$ (และไม่ต้องกลัวว่าตัวเลขนี้จะไม่ลงตัว)

ดังนั้น: ลำดับดังกล่าวทั้งหมดเรียกว่าความก้าวหน้าทางเลขคณิต ให้คำจำกัดความที่เข้มงวด:

คำนิยาม. ลำดับของตัวเลขซึ่งแต่ละลำดับถัดไปแตกต่างจากลำดับก่อนหน้าด้วยจำนวนที่เท่ากันทุกประการ เรียกว่า ความก้าวหน้าทางเลขคณิต จำนวนเงินที่ตัวเลขแตกต่างกันมากเรียกว่าผลต่างของความก้าวหน้า และมักจะเขียนแทนด้วยตัวอักษร $d$

สัญกรณ์: $\left(((a)_(n)) \right)$ คือความก้าวหน้าของตัวมันเอง $d$ คือความแตกต่างของมัน

และข้อสังเกตที่สำคัญเพียงไม่กี่ข้อ ประการแรก ความก้าวหน้าจะพิจารณาเท่านั้น เป็นระเบียบเรียบร้อยลำดับของตัวเลข: อนุญาตให้อ่านได้อย่างเคร่งครัดตามลำดับที่เขียน - และไม่มีอะไรอื่น คุณไม่สามารถจัดเรียงใหม่หรือสลับหมายเลขได้

ประการที่สอง ลำดับนั้นสามารถมีขอบเขตจำกัดหรือไม่มีที่สิ้นสุดก็ได้ ตัวอย่างเช่น เซต (1; 2; 3) เห็นได้ชัดว่าเป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่มีขอบเขตจำกัด แต่ถ้าคุณเขียนบางสิ่งด้วยจิตวิญญาณ (1; 2; 3; 4; ... ) - สิ่งนี้มีอยู่แล้ว ความก้าวหน้าที่ไม่มีที่สิ้นสุด. จุดไข่ปลาหลังสี่เหมือนเดิมบอกเป็นนัยว่าตัวเลขค่อนข้างมากไปไกลกว่านั้น มากมายนับไม่ถ้วน เช่น :)

ฉันต้องการทราบด้วยว่าความก้าวหน้านั้นเพิ่มขึ้นและลดลง เราได้เห็นเพิ่มขึ้นแล้ว - ชุดเดียวกัน (1; 2; 3; 4; ...) นี่คือตัวอย่างของความก้าวหน้าที่ลดลง:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

โอเคโอเค: ตัวอย่างสุดท้ายอาจดูซับซ้อนเกินไป แต่ที่เหลือฉันคิดว่าคุณเข้าใจ ดังนั้นเราจึงแนะนำคำจำกัดความใหม่:

คำนิยาม. ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์เรียกว่า:

เพิ่มขึ้นหากแต่ละองค์ประกอบถัดไปมีค่ามากกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

ลดลงหากตรงกันข้ามแต่ละองค์ประกอบที่ตามมาน้อยกว่าองค์ประกอบก่อนหน้า

นอกจากนี้ยังมีลำดับ "คงที่" ที่เรียกว่าซึ่งประกอบด้วยหมายเลขซ้ำกัน ตัวอย่างเช่น (3; 3; 3; ...)

เหลือเพียงคำถามเดียว: จะแยกแยะความก้าวหน้าที่เพิ่มขึ้นจากความก้าวหน้าที่ลดลงได้อย่างไร โชคดีที่ทุกอย่างขึ้นอยู่กับสัญลักษณ์ของตัวเลข $d$ เท่านั้น นั่นคือ ความแตกต่างของความก้าวหน้า:

ถ้า $d \gt 0$ ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้น
ถ้า $d \lt 0$ ความก้าวหน้าจะลดลงอย่างเห็นได้ชัด
สุดท้าย มีกรณี $d=0$ — ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทั้งหมดจะลดลงเป็นลำดับคงที่ของตัวเลขที่เหมือนกัน: (1; 1; 1; 1; ...) ฯลฯ

ลองคำนวณผลต่าง $d$ สำหรับความก้าวหน้าที่ลดลงสามรายการด้านบน ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้องค์ประกอบที่อยู่ติดกันสององค์ประกอบ (เช่นองค์ประกอบที่หนึ่งและสอง) และลบออกจากตัวเลขทางด้านขวาซึ่งเป็นตัวเลขทางด้านซ้าย มันจะมีลักษณะดังนี้:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$

อย่างที่คุณเห็น ในทั้งสามกรณี ความแตกต่างกลายเป็นลบจริงๆ และตอนนี้เราได้เข้าใจคำจำกัดความไม่มากก็น้อยแล้ว ก็ถึงเวลาที่จะเข้าใจว่าความก้าวหน้านั้นอธิบายอย่างไรและมีคุณสมบัติอะไรบ้าง

สมาชิกของความก้าวหน้าและสูตรที่เกิดซ้ำ

เนื่องจากองค์ประกอบของลำดับของเราไม่สามารถแลกเปลี่ยนกันได้ จึงสามารถกำหนดหมายเลขได้:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \ขวา$\]

องค์ประกอบส่วนบุคคลของชุดนี้เรียกว่าสมาชิกของความก้าวหน้า พวกเขาระบุด้วยวิธีนี้โดยใช้ตัวเลข: สมาชิกตัวแรก สมาชิกตัวที่สอง และอื่น ๆ

นอกจากนี้ อย่างที่เราทราบกันดีอยู่แล้วว่า สมาชิกข้างเคียงของความก้าวหน้ามีความสัมพันธ์กันด้วยสูตร:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\ลูกศรขวา ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

ในระยะสั้น เพื่อหาระยะ $n$th ของความก้าวหน้า คุณต้องรู้ระยะ $n-1$th และผลต่าง $d$ สูตรดังกล่าวเรียกว่าเกิดซ้ำเพราะด้วยความช่วยเหลือคุณสามารถค้นหาหมายเลขใดก็ได้โดยรู้เฉพาะหมายเลขก่อนหน้า (และในความเป็นจริงทั้งหมดก่อนหน้านี้) วิธีนี้ไม่สะดวกมาก ดังนั้นจึงมีสูตรที่ยุ่งยากกว่าซึ่งลดการคำนวณใดๆ ลงในเทอมแรกและผลต่าง:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

คุณอาจเคยเจอสูตรนี้มาก่อน พวกเขาชอบที่จะให้มันอยู่ในหนังสืออ้างอิงและ reshebniks ทุกประเภท และในหนังสือเรียนคณิตศาสตร์ที่สมเหตุสมผลก็เป็นหนึ่งในเล่มแรก

อย่างไรก็ตาม ฉันขอแนะนำให้คุณฝึกฝนเล็กน้อย

งานหมายเลข 1 เขียนสามเทอมแรกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $\left(((a)_(n)) \right)$ if $((a)_(1))=8,d=-5$

สารละลาย. ดังนั้นเราจึงทราบเทอมแรก $((a)_(1))=8$ และความแตกต่างของความก้าวหน้า $d=-5$ ลองใช้สูตรที่ให้มาแทน $n=1$, $n=2$ และ $n=3$:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบ: (8; 3; -2)

นั่นคือทั้งหมด! โปรดทราบว่าความก้าวหน้าของเราจะลดลง

แน่นอน $n=1$ ไม่สามารถแทนที่ได้ - เรารู้เทอมแรกแล้ว อย่างไรก็ตาม โดยการแทนที่หน่วย เรามั่นใจว่าแม้เทอมแรกจะใช้สูตรของเราได้ ในกรณีอื่น ๆ ทุกอย่างมาจากเลขคณิตซ้ำซาก

งานหมายเลข 2 เขียนสามพจน์แรกของการก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้าพจน์ที่เจ็ดคือ −40 และพจน์ที่สิบเจ็ดคือ −50

สารละลาย. เราเขียนเงื่อนไขของปัญหาในเงื่อนไขปกติ:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(จัดเรียง) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(จัดเรียง) \right.\]

\[\left\( \begin(จัดตำแหน่ง) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(จัดตำแหน่ง) \ขวา.\]

ฉันใส่เครื่องหมายของระบบเพราะต้องปฏิบัติตามข้อกำหนดเหล่านี้พร้อมกัน และตอนนี้เราทราบว่าถ้าเราลบสมการแรกออกจากสมการที่สอง (เรามีสิทธิ์ที่จะทำเช่นนี้ เพราะเรามีระบบ) เราจะได้สิ่งนี้:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((ก)_(1))+16d-((ก)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เช่นเดียวกับที่เราพบความแตกต่างของความก้าวหน้า! มันยังคงใช้แทนจำนวนที่พบในสมการใดๆ ของระบบ ตัวอย่างเช่น ในตอนแรก:

\[\begin(เมทริกซ์) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \ลูกศรลง \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((ก)_(1))=-40+6=-34. \\ \จบ(เมทริกซ์)\]

ตอนนี้ เมื่อรู้เทอมแรกและความแตกต่างแล้ว ก็ยังคงต้องหาเทอมที่สองและสาม:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((ก)_(3))=((ก)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

พร้อม! แก้ไขปัญหา.

คำตอบ: (-34; -35; -36)

สังเกตคุณสมบัติที่น่าสงสัยของความก้าวหน้าที่เราค้นพบ: ถ้าเรานำเงื่อนไข $n$th และ $m$th มาลบออกจากกัน เราจะได้ผลต่างของความก้าวหน้าคูณด้วยจำนวน $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

เรียบง่ายแต่มาก คุณสมบัติที่เป็นประโยชน์ซึ่งคุณจำเป็นต้องรู้อย่างแน่นอน - ด้วยความช่วยเหลือของมัน คุณสามารถเร่งความเร็วในการแก้ไขปัญหาต่างๆ ที่กำลังดำเนินอยู่ได้อย่างมาก นี่คือตัวอย่างที่สำคัญของสิ่งนี้:

งานหมายเลข 3 เทอมที่ห้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์คือ 8.4 และเทอมที่สิบคือ 14.4 ค้นหาเทอมที่สิบห้าของความก้าวหน้านี้

สารละลาย. เนื่องจาก $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$ และเราต้องหา $((a)_(15))$ เราทราบดังต่อไปนี้:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แต่ตามเงื่อนไข $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ ดังนั้น $5d=6$ เราจึงมี:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((ก)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบ: 20.4

นั่นคือทั้งหมด! เราไม่จำเป็นต้องสร้างระบบสมการใดๆ และคำนวณเทอมแรกและผลต่าง ทุกอย่างถูกตัดสินในไม่กี่บรรทัด

ทีนี้ลองพิจารณาปัญหาประเภทอื่น - การค้นหาสมาชิกเชิงลบและบวกของความก้าวหน้า ไม่มีความลับว่าถ้าความก้าวหน้าเพิ่มขึ้นในขณะที่เทอมแรกเป็นลบ แง่บวกจะปรากฏขึ้นไม่ช้าก็เร็ว และในทางกลับกัน เงื่อนไขของความก้าวหน้าที่ลดลงไม่ช้าก็เร็วจะกลายเป็นเชิงลบ

ในขณะเดียวกันก็เป็นไปไม่ได้เลยที่จะพบช่วงเวลานี้ "ที่หน้าผาก" โดยเรียงลำดับองค์ประกอบตามลำดับ บ่อยครั้งที่ปัญหาได้รับการออกแบบในลักษณะที่การคำนวณต้องใช้หลายแผ่นโดยไม่ทราบสูตร - เราจะหลับไปจนกว่าเราจะพบคำตอบ ดังนั้นเราจะพยายามแก้ปัญหาเหล่านี้ให้เร็วขึ้น

งานหมายเลข 4 จำนวนพจน์เชิงลบในความก้าวหน้าทางเลขคณิต -38.5; -35.8; …?

สารละลาย. ดังนั้น $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$ ซึ่งเราพบความแตกต่างทันที:

โปรดทราบว่าความแตกต่างเป็นบวก ดังนั้นความคืบหน้าจึงเพิ่มขึ้น เทอมแรกเป็นค่าลบ ดังนั้น ณ จุดหนึ่งเราจะสะดุดกับจำนวนบวก คำถามเดียวคือสิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อใด

ลองหาดูว่า: นานแค่ไหน (เช่นถึงจำนวนธรรมชาติ $n$) ค่าลบของเงื่อนไขจะถูกรักษาไว้:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n)) \lt 0\ลูกศรขวา ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \ขวา \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\ลูกศรขวา ((n)_(\max ))=15. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

บรรทัดสุดท้ายต้องการคำชี้แจง เราจึงรู้ว่า $n \lt 15\frac(7)(27)$. ในทางกลับกัน เฉพาะค่าจำนวนเต็มของตัวเลขเท่านั้นที่เหมาะกับเรา (ยิ่งกว่านั้น: $n\in \mathbb(N)$) ดังนั้นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่อนุญาตคือ $n=15$ และในกรณีที่ไม่ใช่ 16

งานหมายเลข 5 ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$ ค้นหาจำนวนเทอมบวกแรกของความก้าวหน้านี้

นี่จะเป็นปัญหาเดียวกันกับปัญหาก่อนหน้า แต่เราไม่รู้ว่า $((a)_(1))$ แต่คำศัพท์ใกล้เคียงเป็นที่รู้จัก: $((a)_(5))$ และ $((a)_(6))$ เราจึงสามารถหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

นอกจากนี้ ลองแสดงพจน์ที่ห้าในแง่ของพจน์แรกและผลต่างโดยใช้สูตรมาตรฐาน:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((ก)_(5))=((ก)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ก)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้เราดำเนินการโดยเปรียบเทียบกับปัญหาก่อนหน้า เราพบว่าจำนวนบวกในลำดับของเราจะปรากฏที่จุดใด:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\ลูกศรขวา ((n)_(\นาที ))=56. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

คำตอบของจำนวนเต็มขั้นต่ำของอสมการนี้คือเลข 56

โปรดทราบว่าในงานสุดท้ายทุกอย่างถูกลดความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวด ดังนั้นตัวเลือก $n=55$ จะไม่เหมาะกับเรา

ตอนนี้เราได้เรียนรู้วิธีแก้ปัญหาง่าย ๆ แล้ว เรามาต่อกันที่ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น แต่ก่อนอื่น เรามาเรียนรู้คุณสมบัติที่มีประโยชน์อีกอย่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ซึ่งจะช่วยประหยัดเวลาและจำนวนเซลล์ที่ไม่เท่ากันในอนาคตได้มากมาย :)

ค่าเฉลี่ยเลขคณิตและการเยื้องเท่ากัน

พิจารณาพจน์ต่อเนื่องหลายพจน์ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เพิ่มขึ้น $\left(((a)_(n)) \right)$ ลองทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน:

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตบนเส้นจำนวน

ฉันสังเกตเฉพาะสมาชิกโดยพลการ $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, และไม่ใช่ $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ เป็นต้น เนื่องจากกฎที่ฉันจะบอกคุณตอนนี้ใช้เหมือนกันกับ "กลุ่ม" ใดๆ

และกฎนั้นง่ายมาก จำสูตรเรียกซ้ำและจดไว้สำหรับสมาชิกที่ทำเครื่องหมายไว้ทั้งหมด:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อย่างไรก็ตาม ความเท่าเทียมกันเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้แตกต่างกัน:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

แล้วไงต่อ? แต่ข้อเท็จจริงที่ว่าเงื่อนไข $((a)_(n-1))$ และ $((a)_(n+1))$ อยู่ในระยะที่เท่ากันจาก $((a)_(n)) $ . และระยะนี้เท่ากับ $d$ อาจกล่าวได้เช่นเดียวกันเกี่ยวกับเงื่อนไข $((a)_(n-2))$ และ $((a)_(n+2))$ - พวกมันจะถูกลบออกจาก $((a)_(n) )$ โดยระยะทางเท่ากันเท่ากับ $2d$ คุณสามารถดำเนินการต่อไปเรื่อย ๆ แต่รูปภาพอธิบายความหมายได้ดี

สมาชิกของความก้าวหน้าอยู่ในระยะห่างเท่ากันจากจุดศูนย์กลาง

สิ่งนี้มีความหมายต่อเราอย่างไร? ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถค้นหา $((a)_(n))$ หากทราบหมายเลขข้างเคียง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

เราได้สรุปข้อความที่ยอดเยี่ยม: สมาชิกแต่ละคนของความก้าวหน้าทางเลขคณิตเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกข้างเคียง! นอกจากนี้ เราสามารถเบี่ยงเบนจาก $((a)_(n))$ ไปทางซ้ายและทางขวาได้ ไม่ใช่ทีละขั้น แต่ด้วย $k$ ขั้น — และสูตรก็ยังถูกต้อง:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

เหล่านั้น. เราสามารถหา $((a)_(150))$ ได้ง่ายๆ ถ้าเรารู้ว่า $((a)_(100))$ และ $((a)_(200))$ เนื่องจาก $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$ เมื่อมองแวบแรกอาจดูเหมือนว่าข้อเท็จจริงนี้ไม่ได้ให้ประโยชน์อะไรกับเราเลย อย่างไรก็ตาม ในทางปฏิบัติ งานจำนวนมากถูก "ลับคม" เป็นพิเศษสำหรับการใช้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ลองดูสิ:

งานหมายเลข 6 ค้นหาค่าทั้งหมดของ $x$ โดยที่ตัวเลข $-6((x)^(2))$, $x+1$ และ $14+4((x)^(2))$ เป็นสมาชิกต่อเนื่องกันของ ความก้าวหน้าทางเลขคณิต (ตามลำดับที่ระบุ)

สารละลาย. เนื่องจากตัวเลขเหล่านี้เป็นสมาชิกของความก้าวหน้า เงื่อนไขค่าเฉลี่ยเลขคณิตจึงเป็นที่พอใจสำหรับพวกเขา: องค์ประกอบกลาง $x+1$ สามารถแสดงในรูปขององค์ประกอบข้างเคียง:

\[\begin(จัดตำแหน่ง) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

มันกลายเป็นแบบคลาสสิก สมการกำลังสอง. รากของมัน: $x=2$ และ $x=-3$ คือคำตอบ

คำตอบ: -3; 2.

งานหมายเลข 7 ค้นหาค่าของ $$ โดยที่ตัวเลข $-1;4-3;(()^(2))+1$ ก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเลขคณิต (ตามลำดับนั้น)

สารละลาย. อีกครั้ง เราแสดงพจน์กลางในรูปของค่าเฉลี่ยเลขคณิตของศัพท์ข้างเคียง:

\[\begin(จัดเรียง) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

อีกสมการกำลังสอง และอีกสองราก: $x=6$ และ $x=1$

คำตอบ: 1; 6.

หากในระหว่างการแก้ปัญหาคุณได้รับตัวเลขที่โหดเหี้ยมหรือคุณไม่แน่ใจในความถูกต้องของคำตอบที่พบอย่างสมบูรณ์ มีเคล็ดลับที่ยอดเยี่ยมที่ให้คุณตรวจสอบ: เราแก้ปัญหาถูกต้องหรือไม่?

สมมติว่าในปัญหา 6 เราได้คำตอบ -3 และ 2 เราจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าคำตอบเหล่านี้ถูกต้อง ลองเสียบเข้ากับสภาพเดิมแล้วดูว่าเกิดอะไรขึ้น ฉันขอเตือนคุณว่าเรามีตัวเลขสามตัว ($-6(()^(2))$, $+1$ และ $14+4(()^(2))$) ซึ่งควรเป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต แทนที่ $x=-3$:

\[\begin(จัดเรียง) & x=-3\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(จัดเรียง)\]

เราได้ตัวเลข -54; −2; 50 ที่ต่างกันด้วย 52 คือความก้าวหน้าทางเลขคณิตอย่างไม่ต้องสงสัย สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับ $x=2$:

\[\begin(จัดแนว) & x=2\ลูกศรขวา \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(จัดเรียง)\]

ความคืบหน้าอีกครั้ง แต่มีความแตกต่าง 27 ดังนั้นปัญหาจึงได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้อง ผู้ที่ต้องการตรวจสอบงานที่สองด้วยตัวเอง แต่ฉันจะบอกทันที: ทุกอย่างถูกต้องเช่นกัน

โดยทั่วไปในขณะที่แก้ไขงานสุดท้ายเราสะดุดกับงานอื่น ความจริงที่น่าสนใจซึ่งจำเป็นต้องจำไว้ด้วย:

หากตัวเลขสามตัวเป็นตัวเลขที่สองคือค่าเฉลี่ยของตัวเลขแรกและตัวสุดท้าย ตัวเลขเหล่านี้จะก่อให้เกิดความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ในอนาคต การทำความเข้าใจข้อความนี้จะช่วยให้เราสามารถ "สร้าง" ความก้าวหน้าที่จำเป็นตามสภาพของปัญหาได้อย่างแท้จริง แต่ก่อนที่เราจะเข้าร่วมใน "การก่อสร้าง" ดังกล่าวเราควรให้ความสนใจกับข้อเท็จจริงอีกประการหนึ่งซึ่งติดตามโดยตรงจากสิ่งที่ได้รับการพิจารณาแล้ว

การจัดกลุ่มและผลรวมขององค์ประกอบ

กลับไปที่เส้นจำนวนอีกครั้ง เราทราบว่ามีสมาชิกหลายคนของความก้าวหน้า ซึ่งบางทีอาจอยู่ระหว่างนั้น คุ้มค่ากับสมาชิกท่านอื่นๆ มากมาย:

6 องค์ประกอบที่ทำเครื่องหมายบนเส้นจำนวน

ลองแสดง "หางซ้าย" ในรูปของ $((a)_(n))$ และ $d$ และ "หางขวา" ในรูปของ $((a)_(k))$ และ $ d$ มันง่ายมาก:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((ก)_(k-1))=((ก)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ตอนนี้โปรดทราบว่าผลรวมต่อไปนี้มีค่าเท่ากัน:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= ส; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= ส. \end(จัดเรียง)\]

พูดง่ายๆ คือ หากเราถือว่าสององค์ประกอบเริ่มต้นของความก้าวหน้า ซึ่งโดยรวมแล้วมีค่าเท่ากับจำนวน $S$ จากนั้นเราเริ่มก้าวจากองค์ประกอบเหล่านี้ในทิศทางตรงกันข้าม (เข้าหากันหรือกลับกันเพื่อถอยห่าง) แล้ว ผลรวมขององค์ประกอบที่เราจะสะดุดก็จะเท่ากัน$S$ สิ่งนี้สามารถแสดงเป็นภาพกราฟิกได้ดีที่สุด:

การเยื้องเดียวกันให้ผลรวมที่เท่ากัน

ความเข้าใจ ข้อเท็จจริงนี้จะทำให้เราแก้ปัญหาพื้นฐานได้มากขึ้น ระดับสูงซับซ้อนกว่าที่กล่าวมา ตัวอย่างเช่น:

งานหมายเลข 8 กำหนดผลต่างของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ซึ่งพจน์แรกคือ 66 และผลคูณของพจน์ที่สองและสิบสองมีค่าน้อยที่สุด

สารละลาย. ลองเขียนทุกสิ่งที่เรารู้:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min \end(จัดเรียง)\]

ดังนั้นเราจึงไม่ทราบความแตกต่างของความก้าวหน้า $d$ ที่จริงแล้ว โซลูชันทั้งหมดจะสร้างขึ้นจากความแตกต่าง เนื่องจากผลิตภัณฑ์ $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((ก)_(12))=((ก)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right) \end(จัดเรียง)\]

สำหรับผู้ที่อยู่ในถัง: ฉันได้นำปัจจัยทั่วไป 11 ออกจากวงเล็บเหลี่ยมที่สอง ดังนั้น ผลคูณที่ต้องการคือฟังก์ชันกำลังสองที่เกี่ยวกับตัวแปร $d$ ดังนั้น พิจารณาฟังก์ชัน $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - กราฟของมันจะเป็นพาราโบลาที่มีกิ่งขึ้น เนื่องจาก ถ้าเราเปิดวงเล็บ เราจะได้:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( ง)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

อย่างที่คุณเห็นค่าสัมประสิทธิ์ที่ระยะสูงสุดคือ 11 - นี่คือ จำนวนบวกดังนั้นเรากำลังจัดการกับพาราโบลาที่มีกิ่งก้านขึ้น:

กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง - พาราโบลา
โปรดทราบ: พาราโบลานี้ใช้ค่าต่ำสุดที่จุดยอดด้วยเครื่องหมาย abscissa $((d)_(0))$ แน่นอน เราสามารถคำนวณ abscissa นี้ได้ตามโครงร่างมาตรฐาน (มีสูตร $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$) แต่มันจะสมเหตุสมผลกว่ามากที่จะ โปรดทราบว่าจุดยอดที่ต้องการนั้นอยู่บนแกนสมมาตรของพาราโบลา ดังนั้นจุด $((d)_(0))$ จึงอยู่ห่างจากรากของสมการ $f\left(d \right)=0$ เท่ากัน:

\[\begin(จัดเรียง) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

นั่นคือเหตุผลที่ฉันไม่รีบร้อนที่จะเปิดวงเล็บ: ในรูปแบบเดิม รากหาง่ายมาก ดังนั้น abscissa จึงเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของตัวเลข −66 และ −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

อะไรทำให้เราค้นพบจำนวน? ด้วยผลิตภัณฑ์ที่จำเป็นจะใช้เวลา ค่าที่น้อยที่สุด(อย่างไรก็ตาม เราไม่ได้คำนวณ $((y)_(\min ))$ - เราไม่จำเป็นต้องทำสิ่งนี้) ในขณะเดียวกัน ตัวเลขนี้คือความแตกต่างของความก้าวหน้าเริ่มต้น เช่น เราพบคำตอบ :)

คำตอบ: -36

งานหมายเลข 9 แทรกตัวเลขสามตัวระหว่างตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac(1)(6)$ เพื่อให้ตัวเลขเหล่านี้สร้างความก้าวหน้าทางเลขคณิตร่วมกับตัวเลขที่กำหนด

สารละลาย. ในความเป็นจริงเราต้องสร้างลำดับของตัวเลขห้าตัว โดยตัวแรกและ หมายเลขสุดท้ายรู้จักกันแล้ว แสดงตัวเลขที่ขาดหายไปโดยตัวแปร $x$, $y$ และ $z$:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

โปรดทราบว่าตัวเลข $y$ คือ "ตรงกลาง" ของลำดับของเรา - มันอยู่ห่างจากตัวเลข $x$ และ $z$ เท่ากัน และจากตัวเลข $-\frac(1)(2)$ และ $-\frac (1)( 6)$. และถ้าจากจำนวน $x$ และ $z$ เราอยู่ใน ช่วงเวลานี้เราไม่สามารถรับ $y$ ได้ ดังนั้นสถานการณ์จะแตกต่างออกไปเมื่อสิ้นสุดความก้าวหน้า จำค่าเฉลี่ยเลขคณิต:

ตอนนี้เมื่อรู้ $y$ แล้ว เราจะหาจำนวนที่เหลือ โปรดทราบว่า $x$ อยู่ระหว่าง $-\frac(1)(2)$ และ $y=-\frac(1)(3)$ เพิ่งพบ นั่นเป็นเหตุผล

ในทำนองเดียวกันเราจะพบจำนวนที่เหลือ:

พร้อม! เราพบทั้งสามหมายเลข ลองเขียนลงในคำตอบตามลำดับที่ควรแทรกระหว่างตัวเลขดั้งเดิม

คำตอบ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

งานหมายเลข 10 ระหว่างเลข 2 และ 42 ให้ใส่ตัวเลขหลายๆ ตัวที่ร่วมกับตัวเลขที่กำหนด เพื่อสร้างความก้าวหน้าทางเลขคณิต หากทราบว่าผลรวมของตัวเลขตัวแรก ตัวที่สอง และตัวสุดท้ายคือ 56

สารละลาย. งานที่ยากยิ่งขึ้นซึ่งได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับงานก่อนหน้า - ผ่านค่าเฉลี่ยเลขคณิต ปัญหาคือเราไม่รู้ว่าต้องใส่ตัวเลขเท่าไหร่ ดังนั้น เพื่อความแน่นอน เราถือว่าหลังจากใส่แล้วจะมีตัวเลข $n$ ทุกประการ และตัวแรกคือ 2 และตัวสุดท้ายคือ 42 ในกรณีนี้ ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่ต้องการสามารถแสดงเป็น:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( ก)_(n-1));42 \right$\]

\[((ก)_(2))+((ก)_(3))+((ก)_(n-1))=56\]

อย่างไรก็ตาม โปรดทราบว่าตัวเลข $((a)_(2))$ และ $((a)_(n-1))$ ได้มาจากตัวเลข 2 และ 42 ซึ่งยืนอยู่ที่ขอบโดยหันเข้าหากันหนึ่งก้าว คือ.. ไปที่กึ่งกลางของลำดับ และนี่หมายความว่า

\[((ก)_(2))+((ก)_(n-1))=2+42=44\]

แต่นิพจน์ด้านบนสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((ก)_(3))=56; \\ & ((ก)_(3))=56-44=12. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

เมื่อทราบ $((a)_(3))$ และ $((a)_(1))$ เราสามารถหาความแตกต่างของความก้าวหน้าได้อย่างง่ายดาย:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\ลูกศรขวา d=5. \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ยังคงเป็นเพียงการค้นหาสมาชิกที่เหลืออยู่:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(1))=2; \\ & ((ก)_(2))=2+5=7; \\ & ((ก)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(จัดตำแหน่ง)\]

ดังนั้นในขั้นตอนที่ 9 เราจะมาที่ปลายด้านซ้ายของลำดับ - หมายเลข 42 โดยรวมแล้วต้องใส่เพียง 7 หมายเลขเท่านั้น: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

คำตอบ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

งานข้อความที่มีความก้าวหน้า

โดยสรุปฉันต้องการพิจารณาปัญหาที่ค่อนข้างง่ายสองสามข้อ เป็นเรื่องง่ายๆ สำหรับนักเรียนส่วนใหญ่ที่เรียนคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนและยังไม่ได้อ่านสิ่งที่เขียนไว้ข้างต้น งานเหล่านี้อาจดูเหมือนเป็นท่าทาง อย่างไรก็ตาม เป็นงานดังกล่าวที่พบใน OGE และการใช้งานในวิชาคณิตศาสตร์ ดังนั้นฉันขอแนะนำให้คุณทำความคุ้นเคยกับพวกเขา

งานหมายเลข 11 ทีมงานผลิตชิ้นส่วนได้ 62 ชิ้นในเดือนมกราคม และในแต่ละเดือนต่อมา พวกเขาผลิตชิ้นส่วนได้มากกว่าเดือนก่อนหน้า 14 ชิ้น กองพลน้อยผลิตได้กี่ส่วนในเดือนพฤศจิกายน

สารละลาย. เห็นได้ชัดว่าจำนวนชิ้นส่วนที่วาดตามเดือนจะเป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เพิ่มขึ้น และ:

\[\begin(จัดเรียง) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(จัดเรียง)\]

พฤศจิกายนเป็นเดือนที่ 11 ของปี ดังนั้นเราต้องหา $((a)_(11))$:

\[((ก)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

ดังนั้นจะมีการผลิตชิ้นส่วน 202 ชิ้นในเดือนพฤศจิกายน

งานหมายเลข 12 เวิร์กช็อปเข้าเล่มเย็บเล่มหนังสือ 216 เล่มในเดือนมกราคม และแต่ละเดือนเข้าเล่มมากกว่าเดือนก่อนหน้า 4 เล่ม การประชุมเชิงปฏิบัติการเข้าเล่มกี่เล่มในเดือนธันวาคม?

สารละลาย. เหมือนกันทั้งหมด:

$\begin(จัดเรียง) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(จัดตำแหน่ง)$

ธันวาคมเป็นเดือนสุดท้ายของปี ดังนั้นเราจึงกำลังมองหา $((a)_(12))$:

\[((ก)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

นี่คือคำตอบ - หนังสือ 260 เล่มจะเข้าเล่มในเดือนธันวาคม

ถ้าคุณอ่านมาถึงตรงนี้แล้ว ฉันขอแสดงความยินดีกับคุณด้วย: คุณสำเร็จหลักสูตร "นักสู้รุ่นเยาว์" ในความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์แล้ว คุณสามารถไปได้อย่างปลอดภัย บทเรียนต่อไปซึ่งเราจะศึกษาสูตรผลรวมของความก้าวหน้า ตลอดจนผลลัพธ์ที่สำคัญและมีประโยชน์มากจากสูตรนั้น

ถ้าทุกจำนวนธรรมชาติ น จับคู่จำนวนจริง หนึ่ง แล้วพวกเขาบอกว่าให้ ลำดับหมายเลข :

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง , . . . .

ดังนั้น ลำดับตัวเลขจึงเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์ธรรมชาติ

ตัวเลข ก 1 เรียกว่า สมาชิกตัวแรกของลำดับ , ตัวเลข ก 2 — สมาชิกตัวที่สองของลำดับ , ตัวเลข ก 3 — ที่สาม และอื่น ๆ ตัวเลข หนึ่ง เรียกว่า สมาชิกตัวที่ n ของลำดับ และจำนวนธรรมชาติ น — หมายเลขของเขา .

จากสองสมาชิกเพื่อนบ้าน หนึ่ง และ หนึ่ง +1 ลำดับสมาชิก หนึ่ง +1 เรียกว่า ภายหลัง (ต่อ หนึ่ง ), ก หนึ่ง — ก่อนหน้า (ต่อ หนึ่ง +1 ).

ในการระบุลำดับ คุณต้องระบุวิธีที่ช่วยให้คุณค้นหาสมาชิกลำดับด้วยตัวเลขใดๆ

มักจะได้รับลำดับด้วย สูตรเทอมที่ n นั่นคือ สูตรที่ให้คุณกำหนดสมาชิกลำดับด้วยหมายเลขของมัน

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของจำนวนคี่ที่เป็นบวกสามารถกำหนดได้ด้วยสูตร

หนึ่ง= 2n- 1,

และลำดับการสลับ 1 และ -1 - สูตร

ขน = (-1)น +1 . ◄

สามารถกำหนดลำดับได้ สูตรที่เกิดซ้ำ, นั่นคือ สูตรที่แสดงสมาชิกใดๆ ของลำดับ โดยเริ่มจากสมาชิกบางส่วน ไปจนถึงสมาชิกก่อนหน้า (หนึ่งหรือมากกว่า)

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 1 , ก หนึ่ง +1 = หนึ่ง + 5

ก 1 = 1,

ก 2 = ก 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

ก 3 = ก 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

ก 4 = ก 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

ก 5 = ก 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

ถ้า 1= 1, 2 = 1, หนึ่ง +2 = หนึ่ง + หนึ่ง +1 , จากนั้นให้กำหนดสมาชิกเจ็ดตัวแรกของลำดับตัวเลขดังนี้

1 = 1,

2 = 1,

3 = 1 + 2 = 1 + 1 = 2,

4 = 2 + 3 = 1 + 2 = 3,

5 = 3 + 4 = 2 + 3 = 5,

ก 6 = ก 4 + ก 5 = 3 + 5 = 8,

ก 7 = ก 5 + ก 6 = 5 + 8 = 13. ◄

ลำดับได้ สุดท้าย และ ไม่มีที่สิ้นสุด .

ลำดับนั้นเรียกว่า สุดยอด ถ้ามีจำนวนสมาชิกจำกัด ลำดับนั้นเรียกว่า ไม่มีที่สิ้นสุด หากมีสมาชิกมากมายมหาศาล

ตัวอย่างเช่น,

ลำดับของจำนวนธรรมชาติสองหลัก:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

สุดท้าย.

ลำดับเลขเฉพาะ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

ไม่มีที่สิ้นสุด ◄

ลำดับนั้นเรียกว่า เพิ่มขึ้น ถ้าสมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองมากกว่าตัวก่อนหน้า

ลำดับนั้นเรียกว่า เสื่อมโทรม ถ้าสมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากตัวที่สองน้อยกว่าตัวก่อนหน้า

ตัวอย่างเช่น,

2, 4, 6, 8, . . . , 2น, . . . เป็นลำดับจากน้อยไปมาก

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /น, . . . เป็นลำดับถัดลงมา ◄

ลำดับที่องค์ประกอบไม่ลดลงตามจำนวนที่เพิ่มขึ้น หรือในทางกลับกัน ไม่เพิ่มขึ้น เรียกว่า ลำดับที่ซ้ำซากจำเจ .

โดยเฉพาะอย่างยิ่งลำดับโมโนโทนิกคือลำดับที่เพิ่มขึ้นและลำดับที่ลดลง

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์

ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ มีการเรียกลำดับซึ่งสมาชิกแต่ละตัวเริ่มต้นจากลำดับที่สองเท่ากับลำดับก่อนหน้าซึ่งเพิ่มหมายเลขเดียวกัน

ก 1 , ก 2 , ก 3 , . . . , หนึ่ง, . . .

เป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิตสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ น ตรงตามเงื่อนไข:

หนึ่ง +1 = หนึ่ง + ง,

ที่ไหน ง - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น ความแตกต่างระหว่างสมาชิกถัดไปและสมาชิกก่อนหน้าของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดจะคงที่เสมอ:

2 - ก 1 = 3 - ก 2 = . . . = หนึ่ง +1 - หนึ่ง = ง.

ตัวเลข ง เรียกว่า ความแตกต่างของความก้าวหน้าทางเลขคณิต.

ในการตั้งค่าความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุพจน์แรกและผลต่าง

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ก 1 = 3, ง = 4 จากนั้นจะพบคำศัพท์ห้าคำแรกของลำดับดังต่อไปนี้:

1 =3,

2 = 1 + ง = 3 + 4 = 7,

3 = 2 + ง= 7 + 4 = 11,

4 = 3 + ง= 11 + 4 = 15,

ก 5 = ก 4 + ง= 15 + 4 = 19. ◄

สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตกับเทอมแรก ก 1 และความแตกต่าง ง ของเธอ น

หนึ่ง = 1 + (น- 1)ง.

ตัวอย่างเช่น,

หาพจน์ที่ 30 ของความก้าวหน้าทางเลขคณิต

1, 4, 7, 10, . . .

1 =1, ง = 3,

30 = 1 + (30 - 1)ง= 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = 1 + (น- 2)ง,

หนึ่ง= 1 + (น- 1)ง,

หนึ่ง +1 = ก 1 + nd,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	n-1 + n+1
	2

สมาชิกแต่ละตัวของความก้าวหน้าทางเลขคณิต เริ่มจากตัวที่สอง เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของสมาชิกตัวก่อนหน้าและตัวถัดไป

ตัวเลข a, b และ c เป็นสมาชิกต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเลขคณิต ถ้าหนึ่งในนั้นมีค่าเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

หนึ่ง = 2น- 7 เป็นความก้าวหน้าทางเลขคณิต

ลองใช้คำสั่งด้านบน เรามี:

หนึ่ง = 2น- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2น- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2น- 5.

เพราะฉะนั้น,

n+1 + n-1	=	2น- 5 + 2น- 9	= 2น- 7 = หนึ่ง,
2		2

◄

โปรดทราบว่า น -th สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์สามารถพบได้ไม่เพียงผ่าน ก 1 แต่ยังก่อนหน้านี้ ก

หนึ่ง = ก + (น- เค)ง.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ก 5 สามารถเขียนได้

5 = 1 + 4ง,

5 = 2 + 3ง,

5 = 3 + 2ง,

5 = 4 + ง. ◄

หนึ่ง = เอ็น-เค + เคดี,

หนึ่ง = n+k - เคดี,

เห็นได้ชัดว่า

หนึ่ง=	ก n-k +ก n+k
	2

สมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางเลขคณิตที่เริ่มต้นจากลำดับที่ 2 จะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลบวกของสมาชิกของความก้าวหน้าทางเลขคณิตนี้โดยเว้นระยะห่างเท่าๆ กัน

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเลขคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

a m + a n = a k + a l,

ม. + n = k + ล.

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต

1) ก 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (ก 9 + ก 11 )/2;

2) 28 = 10 = 3 + 7ง= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (ก 7 + ก 13)/2;

4) ก 2 + ก 12 = ก 5 + ก 9, เพราะ

ก 2 + ก 12= 4 + 34 = 38,

ก 5 + ก 9 = 13 + 25 = 38. ◄

เอส เอ็น= ก 1 + ก 2 + ก 3 + . . .+ หนึ่ง,

อันดับแรก น สมาชิกของความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์จะเท่ากับผลคูณของผลบวกครึ่งหนึ่งของจำนวนเทอม:

โดยเฉพาะอย่างยิ่งจากนี้ จะตามมาว่าหากจำเป็นต้องสรุปเงื่อนไข

ก, ก +1 , . . . , หนึ่ง,

จากนั้นสูตรก่อนหน้าจะคงโครงสร้างไว้:

ตัวอย่างเช่น,

ในความก้าวหน้าทางเลขคณิต 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

ส 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = ส 10 - ส 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

หากได้รับความก้าวหน้าทางเลขคณิต ปริมาณ ก 1 , หนึ่ง, ง, นและส น เชื่อมโยงด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากกำหนดค่าของสามปริมาณเหล่านี้ ค่าที่สอดคล้องกันของอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่มีสองค่าที่ไม่รู้จัก

ความก้าวหน้าทางเลขคณิตเป็นลำดับโมโนโทนิก ประเด็น:

ถ้า ง > 0 แล้วมันก็เพิ่มขึ้น;
ถ้า ง < 0 แล้วจะลดลง;
ถ้า ง = 0 จากนั้นลำดับจะอยู่นิ่ง

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลำดับเรียกว่าแต่ละเทอมซึ่งเริ่มต้นจากวินาทีเท่ากับลำดับก่อนหน้าคูณด้วยจำนวนเดียวกัน

ข 1 , ข 2 , ข 3 , . . . , ข n, . . .

เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ น ตรงตามเงื่อนไข:

ข n +1 = ข n · ถาม,

ที่ไหน ถาม ≠ 0 - จำนวนหนึ่ง

ดังนั้น อัตราส่วนของพจน์ถัดไปของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตนี้กับพจน์ก่อนหน้าจึงเป็นจำนวนคงที่:

ข 2 / ข 1 = ข 3 / ข 2 = . . . = ข n +1 / ข n = ถาม.

ตัวเลข ถาม เรียกว่า ตัวส่วนของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต.

ในการตั้งค่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุพจน์แรกและตัวส่วน

ตัวอย่างเช่น,

ถ้า ข 1 = 1, ถาม = -3 จากนั้นจะพบคำศัพท์ห้าคำแรกของลำดับดังต่อไปนี้:

ข 1 = 1,

ข 2 = ข 1 · ถาม = 1 · (-3) = -3,

ข 3 = ข 2 · ถาม= -3 · (-3) = 9,

ข 4 = ข 3 · ถาม= 9 · (-3) = -27,

ข 5 = ข 4 · ถาม= -27 · (-3) = 81. ◄

ข 1 และตัวส่วน ถาม ของเธอ น เทอม -th สามารถพบได้โดยสูตร:

ข n = ข 1 · คิว เอ็น -1 .

ตัวอย่างเช่น,

หาพจน์ที่เจ็ดของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต 1, 2, 4, . . .

ข 1 = 1, ถาม = 2,

ข 7 = ข 1 · ถาม 6 = 1 2 6 = 64. ◄

พันล้าน-1 = ข 1 · คิว เอ็น -2 ,

ข n = ข 1 · คิว เอ็น -1 ,

ข n +1 = ข 1 · คิว เอ็น,

เห็นได้ชัดว่า

ข n 2 = ข n -1 · ข n +1 ,

สมาชิกแต่ละตัวของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต เริ่มจากลำดับที่สอง เท่ากับค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิต (ตามสัดส่วน) ของสมาชิกก่อนหน้าและสมาชิกที่ตามมา

เนื่องจากการสนทนาเป็นจริงเช่นกัน การยืนยันต่อไปนี้ถือ:

ตัวเลข a, b และ c เป็นสมาชิกต่อเนื่องกันของความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ถ้ากำลังสองของหนึ่งในนั้นเท่ากับผลคูณของอีกสองตัว นั่นคือ ตัวเลขตัวใดตัวหนึ่งเป็นค่าเฉลี่ยทางเรขาคณิตของอีกสองตัว

ตัวอย่างเช่น,

ให้เราพิสูจน์ว่าลำดับที่กำหนดโดยสูตร ข n= -3 2 น เป็นความก้าวหน้าทางเรขาคณิต ลองใช้คำสั่งด้านบน เรามี:

ข n= -3 2 น,

ข n -1 = -3 2 น -1 ,

ข n +1 = -3 2 น +1 .

เพราะฉะนั้น,

ข n 2 = (-3 2 น) 2 = (-3 2 น -1 ) (-3 2 น +1 ) = ข n -1 · ข n +1 ,

ซึ่งพิสูจน์การยืนยันที่จำเป็น ◄

โปรดทราบว่า น เทอมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถพบได้ไม่เพียงผ่าน ข 1 แต่ยังรวมถึงคำศัพท์ก่อนหน้านี้ ข ซึ่งก็เพียงพอแล้วที่จะใช้สูตร

ข n = ข · คิว เอ็น - เค.

ตัวอย่างเช่น,

สำหรับ ข 5 สามารถเขียนได้

ข 5 = ข 1 · ถาม 4 ,

ข 5 = ข 2 · คำถามที่ 3,

ข 5 = ข 3 · ไตรมาสที่ 2,

ข 5 = ข 4 · ถาม. ◄

ข n = ข · คิว เอ็น - เค,

ข n = ข n - เค · คิวเค,

เห็นได้ชัดว่า

ข n 2 = ข n - เค· ข n + เค

กำลังสองของสมาชิกใดๆ ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่เริ่มต้นจากวินาที เท่ากับผลคูณของสมาชิกของความก้าวหน้านี้ที่ห่างจากมันเท่ากัน

นอกจากนี้ สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตใดๆ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

บีม· ข n= ข· ข,

ม+ น= เค+ ล.

ตัวอย่างเช่น,

ชี้แจง

1) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = ข 5 · ข 7 ;

2) 1024 = ข 11 = ข 6 · ถาม 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) ข 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = ข 4 · ข 8 ;

4) ข 2 · ข 7 = ข 4 · ข 5 , เพราะ

ข 2 · ข 7 = 2 · 64 = 128,

ข 4 · ข 5 = 8 · 16 = 128. ◄

เอส เอ็น= ข 1 + ข 2 + ข 3 + . . . + ข n

อันดับแรก น เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน ถาม ≠ 0 คำนวณโดยสูตร:

และเมื่อ ถาม = 1 -ตามสูตร

เอส เอ็น= n.b. 1

โปรดทราบว่าหากเราต้องการรวมเงื่อนไข

ข, ข +1 , . . . , ข n,

จากนั้นใช้สูตร:

เอส เอ็น- สก -1 = ข + ข +1 + . . . + ข n = ข ·	1 - คิว เอ็น - เค +1	.
	1 - ถาม

ตัวอย่างเช่น,

ชี้แจง 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

ส 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = ส 10 - ส 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

ถ้าให้ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแล้วปริมาณ ข 1 , ข n, ถาม, นและ เอส เอ็น เชื่อมโยงด้วยสองสูตร:

ดังนั้นหากมีการกำหนดค่าของสามปริมาณใด ๆ จากนั้นค่าที่สอดคล้องกันของอีกสองปริมาณจะถูกกำหนดจากสูตรเหล่านี้รวมกันเป็นระบบสมการสองสมการที่มีสองค่าที่ไม่รู้จัก

สำหรับความก้าวหน้าทางเรขาคณิตกับเทอมแรก ข 1 และตัวส่วน ถาม ต่อไปนี้เกิดขึ้น คุณสมบัติความเป็นเอกเทศ :

ความก้าวหน้าจะเพิ่มขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ ถาม> 1;

ข 1 < 0 และ 0 < ถาม< 1;

ความก้าวหน้าจะลดลงหากตรงตามเงื่อนไขข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้:

ข 1 > 0 และ 0 < ถาม< 1;

ข 1 < 0 และ ถาม> 1.

ถ้า ถาม< 0 จากนั้นความก้าวหน้าทางเรขาคณิตจะเป็นเครื่องหมายสลับกัน: พจน์ที่เป็นเลขคี่จะมีเครื่องหมายเหมือนกับพจน์แรก และพจน์ที่เป็นเลขคู่จะมีเครื่องหมายตรงกันข้าม เป็นที่ชัดเจนว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตแบบสลับนั้นไม่ซ้ำซากจำเจ

สินค้าชิ้นแรก น เงื่อนไขของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตสามารถคำนวณได้จากสูตร:

พี เอ็น= ข 1 · ข 2 · ข 3 · . . . · ข n = (ข 1 · ข n) น / 2 .

ตัวอย่างเช่น,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด

ความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด เรียกว่าการก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ไม่สิ้นสุดซึ่งมีโมดูลัสของตัวส่วนน้อยกว่า 1 , นั่นคือ

|ถาม| < 1 .

โปรดทราบว่าความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดอาจไม่ใช่ลำดับที่ลดลง เหมาะกับกรณีนี้

1 < ถาม< 0 .

ด้วยตัวส่วนดังกล่าว ลำดับจึงเป็นเครื่องหมายสลับกัน ตัวอย่างเช่น,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

ผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุด ตั้งชื่อหมายเลขซึ่งเป็นผลรวมของรายการแรก น เงื่อนไขของความก้าวหน้าที่มีจำนวนเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด น . จำนวนนี้มีค่าจำกัดเสมอและแสดงโดยสูตร