पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण। "पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के तरीके" विषय पर शोध कार्य

कार्य आमतौर पर इस तरह होता है: "अनुभाग आकृति का एक प्राकृतिक दृश्य बनाएँ". बेशक, हमने इस सवाल को एक तरफ नहीं छोड़ने का फैसला किया और यदि संभव हो तो यह समझाने की कोशिश करें कि तिरछे खंड का निर्माण कैसे किया जाता है।

यह समझाने के लिए कि तिरछा खंड कैसे बनाया जाता है, मैं कुछ उदाहरण दूंगा। बेशक, मैं प्राथमिक से शुरू करूंगा, धीरे-धीरे उदाहरणों की जटिलता को बढ़ाऊंगा। मुझे उम्मीद है कि सेक्शन ड्रॉइंग के इन उदाहरणों का विश्लेषण करने के बाद आप समझ जाएंगे कि यह कैसे किया जाता है और आप अपने सीखने के कार्य को स्वयं पूरा करने में सक्षम होंगे।

मनमाने ढंग से इच्छुक विमान द्वारा 40x60x80 मिमी के आयामों के साथ "ईंट" पर विचार करें। काटने वाला विमान इसे 1-2-3-4 अंक के साथ काटता है। मुझे लगता है कि यहां सब कुछ स्पष्ट है।

आइए अनुभागीय आकृति के प्राकृतिक रूप के निर्माण के लिए आगे बढ़ें।
1. सबसे पहले, आइए अनुभाग की धुरी बनाएं। अक्ष को सेक्शन प्लेन के समानांतर खींचा जाना चाहिए - उस लाइन के समानांतर जिसमें प्लेन को मुख्य दृश्य पर प्रक्षेपित किया जाता है - आमतौर पर यह मुख्य दृश्य पर होता है जिसके लिए कार्य निर्धारित किया जाता है तिरछे खंड का निर्माण(आगे, मैं हमेशा मुख्य दृश्य का उल्लेख करूंगा, यह ध्यान में रखते हुए कि प्रशिक्षण चित्र में लगभग हमेशा ऐसा ही होता है)।
2. अक्ष पर, हम खंड की लंबाई अलग रख देते हैं। मेरी ड्राइंग में, इसे एल के रूप में नामित किया गया है। आकार एल मुख्य दृश्य में निर्धारित किया गया है और उस बिंदु से दूरी के बराबर है जहां अनुभाग उस हिस्से में प्रवेश करता है जहां से यह निकलता है।
3. परिणामी दो बिंदुओं से इसके लंबवत अक्ष पर, हम इन बिंदुओं पर अनुभाग की चौड़ाई निर्धारित करते हैं। भाग में प्रवेश के बिंदु पर और भाग से बाहर निकलने के बिंदु पर खंड की चौड़ाई शीर्ष दृश्य में निर्धारित की जा सकती है। में इस मामले मेंदोनों खंड 1-4 और 2-3 60 मिमी के बराबर हैं। जैसा कि आप ऊपर की तस्वीर से देख सकते हैं, खंड के किनारे सीधे हैं, इसलिए हम अपने दो परिणामी खंडों को जोड़ते हैं, एक आयत 1-2-3-4 प्राप्त करते हैं। यह है - एक झुके हुए विमान के साथ हमारी ईंट के खंड की आकृति का प्राकृतिक दृश्य।

अब हम अपने विवरण को जटिल करते हैं। आइए 120x80x20 मिमी के आधार पर एक ईंट लगाएं और आकृति में स्टिफ़नर जोड़ें। आइए एक कटिंग प्लेन बनाएं ताकि यह आकृति के सभी चार तत्वों (आधार, ईंट और दो स्टिफ़नर के माध्यम से) से होकर गुजरे। नीचे दी गई तस्वीर में आप इस हिस्से के तीन दृश्य और एक यथार्थवादी छवि देख सकते हैं।

आइए इस तिरछे खंड का एक प्राकृतिक दृश्य बनाने का प्रयास करें। आइए खंड अक्ष के साथ फिर से शुरू करें: इसे मुख्य दृश्य पर इंगित अनुभाग तल के समानांतर बनाएं। उस पर हम खंड की लंबाई अलग रख देते हैं ए-ई के बराबर. बिंदु ए भाग में अनुभाग का प्रवेश बिंदु है, और एक विशेष मामले में, अनुभाग का प्रवेश बिंदु आधार में है। आधार से बाहर निकलने का बिंदु बिंदु B है। आइए खंड के अक्ष पर बिंदु B को चिह्नित करें। इसी तरह, हम प्रवेश-निकास बिंदुओं को किनारे पर, "ईंट" और दूसरे किनारे पर चिह्नित करते हैं। अंक ए और बी से अक्ष के लंबवत, हम आधार की चौड़ाई के बराबर खंडों को अलग करते हैं (अक्ष के प्रत्येक तरफ, 40, केवल 80 मिमी)। जोड़ना चरम बिंदु- हमें एक आयत मिलती है, जो भाग के आधार के खंड का एक प्राकृतिक दृश्य है।

अब यह खंड का एक टुकड़ा बनाने का समय है, जो भाग के किनारे का एक खंड है। बिंदु बी और सी से, हम प्रत्येक दिशा में 5 मिमी के लंबवत सेट करते हैं - हमें 10 मिमी के खंड मिलते हैं। चरम बिंदुओं को कनेक्ट करें और रिब का क्रॉस सेक्शन प्राप्त करें।

बिंदु C और D से हम "ईंट" की चौड़ाई के बराबर लंब खंडों को अलग करते हैं - इस पाठ के पहले उदाहरण के समान।

दूसरे किनारे की चौड़ाई के बराबर बिंदु डी और ई से लंबों को अलग करके और चरम बिंदुओं को जोड़कर, हम इसके खंड का एक प्राकृतिक दृश्य प्राप्त करते हैं।

यह परिणामी खंड के अलग-अलग तत्वों के बीच कूदने वालों को मिटाने और हैचिंग लागू करने के लिए बनी हुई है। आपको ऐसा कुछ मिलना चाहिए:

यदि किसी दिए गए भाग के अनुसार, हम इस आकृति को विभाजित करें, तो हमें निम्नलिखित दृश्य दिखाई देगा:

मुझे आशा है कि आप एल्गोरिथम के विवरण के थकाऊ पैराग्राफ से भयभीत नहीं होंगे। यदि आपने उपरोक्त सभी को पढ़ लिया है और अभी भी पूरी तरह से समझ में नहीं आता है, क्रॉस सेक्शन कैसे ड्रा करें, मैं आपको दृढ़ता से सलाह देता हूं कि आप अपने हाथों में कागज का एक टुकड़ा और एक पेंसिल लें और मेरे बाद सभी चरणों को दोहराने की कोशिश करें - इससे आपको सामग्री सीखने में लगभग 100% मदद मिलेगी।

एक बार मैंने इस लेख को जारी रखने का वादा किया था। अंत में, मैं आपको होमवर्क के स्तर के करीब एक भाग के तिरछे खंड के चरण-दर-चरण निर्माण के साथ प्रस्तुत करने के लिए तैयार हूं। इसके अलावा, तिरछे खंड को तीसरे दृश्य में परिभाषित किया गया है (तिरछे खंड को बाएं दृश्य में परिभाषित किया गया है)

याहमारा फोन नंबर लिख लें और अपने दोस्तों को हमारे बारे में बताएं - कोई शायद चित्र बनाने का तरीका ढूंढ रहा है

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हां, सब कुछ ठीक है, लेकिन मैं यह देखना चाहूंगा कि एक ही चीज को अधिक जटिल हिस्से पर कैसे किया जाता है, उदाहरण के लिए चामर और शंकु के आकार का छेद।

धन्यवाद। लेकिन क्या कटने पर स्टिफ़नर नहीं रचे गए हैं?
बिल्कुल। यह वे हैं जो हैच नहीं करते हैं। क्योंकि वो है सामान्य नियमकटौती करना। हालांकि, वे आमतौर पर एक्सोनोमेट्रिक प्रोजेक्शन - आइसोमेट्री, डाइमेट्री, आदि में कटौती करते समय रचे जाते हैं। झुके हुए वर्गों का प्रदर्शन करते समय, स्टिफ़नर से संबंधित क्षेत्र को भी छायांकित किया जाता है।

धन्यवाद, बहुत सुलभ। क्या आप मुझे बता सकते हैं कि तिरछा अनुभाग शीर्ष दृश्य में किया जा सकता है, या बाएं दृश्य में? यदि ऐसा है, तो मैं सबसे सरल उदाहरण देखना चाहूंगा। कृपया।

ऐसी कटौती करना संभव है। लेकिन दुर्भाग्य से मेरे पास अभी कोई उदाहरण नहीं है। और एक और है दिलचस्प बिंदु: एक ओर, वहाँ कुछ भी नया नहीं है, लेकिन दूसरी ओर, व्यवहार में, ऐसे वर्गों को खींचना वास्तव में अधिक कठिन है। किसी कारण से, सब कुछ सिर में उलझने लगता है और अधिकांश छात्रों को कठिनाइयाँ होती हैं। लेकिन हार मत मानो!

हां, सब कुछ ठीक है, लेकिन मैं देखना चाहता हूं कि एक ही चीज कैसे की जाती है, लेकिन छेद (के माध्यम से और गैर-माध्यम से) के साथ, अन्यथा वे मेरे सिर में अंडाकार में कभी नहीं बदलते

एक जटिल समस्या में मेरी मदद करें

यह अफ़सोस की बात है कि आपने यहाँ लिखा है। हम मेल में लिखेंगे - शायद हमारे पास हर चीज पर चर्चा करने का समय हो।

आप अच्छे से समझाते हैं। क्या होगा यदि भाग का एक पक्ष अर्धवृत्ताकार है? साथ ही हिस्से में छेद भी हैं।

इल्या, वर्णनात्मक ज्यामिति पर अनुभाग से पाठ का उपयोग करें "एक झुके हुए विमान द्वारा एक सिलेंडर का खंड"। इसके साथ, आप यह पता लगा सकते हैं कि छिद्रों के साथ क्या करना है (वे वास्तव में सिलेंडर भी हैं) और एक अर्धवृत्ताकार पक्ष के साथ।

मैं लेख के लिए लेखक को धन्यवाद देता हूं! संक्षिप्त और समझने योग्य। लगभग 20 साल पहले मैंने खुद विज्ञान के ग्रेनाइट पर कुतर दिया था, अब मैं अपने बेटे की मदद करता हूँ। मैं बहुत कुछ भूल गया, लेकिन आपके लेख ने विषय की एक मौलिक समझ लौटा दी। मैं इससे निपटने के लिए सिलेंडर के झुके हुए हिस्से के साथ जाऊंगा)

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प्लैनिमेट्री के सिद्धांत:

विभिन्न पाठ्यपुस्तकों में, रेखाओं और तलों के गुणों को अलग-अलग तरीकों से प्रस्तुत किया जा सकता है, एक स्वयंसिद्ध के रूप में, इसके परिणामस्वरूप, एक प्रमेय, एक लेम्मा, आदि। पाठ्यपुस्तक पोगोरेलोव ए.वी. पर विचार करें।

सीधी रेखा समतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।

0

किसी भी अर्ध-रेखा से दिए गए आधे-विमान तक, एक दिए गए कोण के साथ एक कोण बना सकता है डिग्री माप, 180 से कम 0 , और केवल एक।

त्रिभुज जो भी हो, दी गई अर्ध-रेखा के संबंध में दिए गए स्थान पर एक समान त्रिभुज मौजूद होता है।

किसी दिए गए रेखा पर झूठ नहीं होने वाले बिंदु के माध्यम से, दी गई रेखा के समानांतर विमान में अधिकतम एक रेखा खींची जा सकती है।

रूढ़िवादिता के सिद्धांत:

कोई भी तल हो, ऐसे बिंदु होते हैं जो इस तल से संबंधित होते हैं, और ऐसे बिंदु होते हैं जो इस तल से संबंधित नहीं होते हैं, और ऐसे बिंदु होते हैं जो इससे संबंधित नहीं होते हैं।

यदि दो अलग-अलग विमानों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो वे इस बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।

यदि दो अलग-अलग रेखाओं में एक सामान्य बिंदु है, तो उनके माध्यम से एक विमान खींचा जा सकता है, और केवल एक ही।

रेखा जो भी हो, ऐसे बिंदु हैं जो इस रेखा से संबंधित हैं, और ऐसे बिंदु हैं जो इससे संबंधित नहीं हैं।

किन्हीं दो बिंदुओं से आप एक रेखा खींच सकते हैं, और केवल एक।

एक रेखा पर तीन बिंदुओं में से एक और केवल एक अन्य दो के बीच स्थित होता है।

प्रत्येक खंड की एक निश्चित लंबाई शून्य से अधिक होती है। एक खंड की लंबाई उन भागों की लंबाई के योग के बराबर होती है जिनमें इसे इसके किसी भी बिंदु से विभाजित किया जाता है।

एक समतल से संबंधित एक सीधी रेखा इस तल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।

प्रत्येक कोण का एक निश्चित डिग्री माप शून्य से अधिक होता है। सीधा कोण 180 है 0 . एक कोण का डिग्री माप उन कोणों के डिग्री मापों के योग के बराबर होता है जिसमें इसे किसी भी किरण द्वारा अपने पक्षों के बीच से विभाजित किया जाता है।

अपने शुरुआती बिंदु से किसी भी आधे रेखा पर, आप दी गई लंबाई के एक खंड को हटा सकते हैं, और केवल एक ही।

इसे समाविष्ट करने वाले समतल पर अर्ध-रेखा से, 180 से कम दिए गए अंश माप वाले कोण को दिए गए अर्ध-तल में आलेखित किया जा सकता है 0 , और केवल एक।

त्रिकोण कोई भी हो, दिए गए तल में दी गई अर्ध-रेखा के सापेक्ष दिए गए स्थान पर दिए गए तल में एक समान त्रिभुज होता है।

एक तल में, एक दिए गए बिंदु से जो किसी रेखा पर स्थित नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर अधिक से अधिक एक रेखा खींची जा सकती है।

क्रॉस सेक्शन

अंतरिक्ष में, दो आंकड़े, हमारे मामले के लिए, एक विमान और एक पॉलीहेड्रॉन में निम्नलिखित पारस्परिक व्यवस्था हो सकती है: प्रतिच्छेद न करें, एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करें, एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करें और विमान अपने इंटीरियर के साथ पॉलीहेड्रॉन को काटता है (चित्र 1)। , और साथ ही निम्नलिखित आंकड़े बनाते हैं:

a) एक खाली आकृति (प्रतिच्छेद न करें)

बी) बिंदु

ग) कटा हुआ

घ) बहुभुज

यदि एक बहुफलक और एक समतल के प्रतिच्छेदन पर एक बहुभुज है, तो यह बहुभुजएक विमान के साथ बहुफलक का एक खंड कहा जाता है .

चित्र .1

परिभाषा। क्रॉस सेक्शन एक स्थानिक निकाय (उदाहरण के लिए, एक पॉलीहेड्रॉन) एक विमान के साथ शरीर के चौराहे पर प्राप्त एक आकृति है।

काटने का विमान बहुतल आइए किसी भी विमान को कहते हैं, जिसके दोनों तरफ दिए गए पॉलीहेड्रॉन के बिंदु हैं।

हम केवल उस मामले पर विचार करेंगे जब विमान पॉलीहेड्रॉन को उसके इंटीरियर के साथ काटता है। इस मामले में, पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक चेहरे के साथ इस विमान का प्रतिच्छेदन एक निश्चित खंड होगा।

यदि तल एक सीधी रेखा में प्रतिच्छेद करते हैं, तो सीधी रेखा कहलाती हैइनमें से एक विमान से दूसरे विमान में।

सामान्य स्थिति में, एक बहुफलक का छेदक तल इसके प्रत्येक फलक के तल को काटता है (साथ ही इस बहुफलक का कोई अन्य छेदक तल)। यह उन सभी रेखाओं को भी काटता है जिन पर पॉलीहेड्रॉन के किनारे स्थित होते हैं।

वह रेखा जिसके अनुदिश छेदक तल बहुफलक के किसी भी फलक के तल को काटती है, कहलाती हैकटिंग प्लेन के बाद इस चेहरे के तल पर, और वह बिंदु जिस पर छेदक समतल बहुफलक के किसी भी किनारे वाली रेखा को काटता है, कहलाता हैकटिंग प्लेन के बाद परयह सीधी रेखा। यह बिंदु कटिंग प्लेन पर एक सीधी रेखा का निशान भी है। यदि कटिंग प्लेन सीधे पॉलीहेड्रॉन के चेहरे को काटता है, तो हम चेहरे पर कटिंग प्लेन के निशान के बारे में बात कर सकते हैं, और इसी तरह, के बारे मेंपॉलीहेड्रॉन के किनारे पर एक काटने वाले विमान का निशान, वह है, एक काटने वाले विमान पर किनारे का निशान।

चूंकि एक सीधी रेखा विशिष्ट रूप से दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित की जाती है, किसी भी अन्य विमान पर और विशेष रूप से, पॉलीहेड्रॉन के किसी भी चेहरे के तल पर एक छेदक विमान का पता लगाने के लिए, यह विमानों के दो सामान्य बिंदुओं का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है।

एक छेदक समतल का पता लगाने के साथ-साथ इस तल द्वारा बहुफलक के एक खंड का निर्माण करने के लिए, न केवल बहुतल, बल्कि छेदक तल को भी निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। और इस विमान के असाइनमेंट के आधार पर सेक्शन प्लेन का निर्माण होता है। एक विमान को परिभाषित करने के मुख्य तरीके, और विशेष रूप से एक छेदक विमान, इस प्रकार हैं:

एक सीधी रेखा पर नहीं पड़े तीन बिंदु;

एक सीधी रेखा और एक बिंदु जो उस पर स्थित नहीं है;

दो समानांतर रेखाएँ;

दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ;

एक बिंदु और दो प्रतिच्छेदी रेखाएँ;

कटिंग प्लेन को परिभाषित करने के अन्य तरीके हैं।

इसलिए, पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण की सभी विधियों को विधियों में विभाजित किया जा सकता है।

पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के तरीके

स्टिरियोमेट्री में पॉलीहेड्रा के अनुभागों की विधि का उपयोग निर्माण समस्याओं में किया जाता है। यह बहुफलक के एक खंड का निर्माण करने और खंड के प्रकार का निर्धारण करने की क्षमता पर आधारित है।

पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के लिए तीन मुख्य विधियाँ हैं:

स्वयंसिद्ध विधि:

ट्रेस विधि।

संयुक्त विधि।

समन्वय विधि।

टिप्पणी कि अंशों की विधि और सहायक अनुभागों की विधि किस्में हैंवर्गों के निर्माण के लिए स्वयंसिद्ध विधि।

हम पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के लिए निम्नलिखित विधियों में भी अंतर कर सकते हैं:

किसी दिए गए विमान के समानांतर दिए गए बिंदु से गुजरने वाले विमान द्वारा पॉलीहेड्रॉन के एक खंड का निर्माण;

किसी दिए गए रेखा के समानांतर किसी अन्य रेखा के माध्यम से गुजरने वाले खंड का निर्माण;

दो दी गई तिरछी रेखाओं के समानांतर दिए गए बिंदु से गुजरने वाले खंड का निर्माण;

किसी दिए गए विमान के लंबवत रेखा से गुजरने वाले विमान द्वारा पॉलीहेड्रॉन के एक खंड का निर्माण;

एक दी गई सीधी रेखा के लम्बवत दिए गए बिंदु से होकर गुजरने वाले तल द्वारा बहुफलक के एक खंड का निर्माण।

मुख्य क्रियाएं जो वर्गों के निर्माण के तरीके बनाती हैं, एक विमान के साथ एक सीधी रेखा के चौराहे के बिंदु का पता लगा रही हैं, दो विमानों के चौराहे की एक रेखा का निर्माण कर रही हैं, एक सीधी रेखा का निर्माण विमान के लंबवत विमान के समानांतर कर रही हैं। दो समतलों के प्रतिच्छेदन की एक सीधी रेखा का निर्माण करने के लिए, आमतौर पर इसके दो बिंदु पाए जाते हैं और उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जाती है। एक रेखा और एक समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करने के लिए, उस तल में एक रेखा खोजें जो दिए गए को प्रतिच्छेद करती है। फिर वांछित बिंदु दिए गए रेखा के चौराहे पर प्राप्त होता है।

हमारे द्वारा अलग से सूचीबद्ध पर विचार करेंपॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के तरीके:

ट्रेस विधि।

ट्रेस विधि स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्धों पर आधारित (संचालित) है, विधि का सार एक सहायक रेखा का निर्माण करना है, जो आकृति के किसी भी चेहरे के तल के साथ काटने वाले विमान के चौराहे की रेखा की छवि है। निचले आधार के विमान के साथ काटने वाले विमान के चौराहे की रेखा की छवि बनाना सबसे सुविधाजनक है। यह रेखाकटिंग प्लेन का मुख्य निशान कहा जाता है . ट्रेस का उपयोग करके, किनारे के किनारों या आकृति के चेहरों पर स्थित काटने वाले विमान के बिंदुओं की छवियों का निर्माण करना आसान है। इन बिंदुओं की छवियों को लगातार जोड़ते हुए, हम वांछित खंड की छवि प्राप्त करते हैं।

टिप्पणी कि छेदक तल के मुख्य निशान का निर्माण करते समय, निम्नलिखित कथन का उपयोग किया जाता है।

यदि बिंदु छेदक तल से संबंधित हैं और एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं, और उनके प्रक्षेपण (केंद्रीय या समांतर) को मुख्य के रूप में चुने गए विमान पर क्रमशः अंक हैं फिर संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु, अर्थात्, बिंदु और एक ही रेखा पर स्थित होते हैं (चित्र 1, ए, बी)।

Fig.1.a Fig.1.b

यह लाइन कटिंग प्लेन का मुख्य निशान है। चूंकि बिंदु मुख्य निशान पर स्थित हैं, इसलिए इसे बनाने के लिए इन तीन बिंदुओं में से दो को खोजना पर्याप्त है।

सहायक वर्गों की विधि।

पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण की यह विधि पर्याप्त रूप से सार्वभौमिक है। ऐसे मामलों में जहां कटिंग प्लेन का वांछित ट्रेस (या निशान) ड्राइंग के बाहर है, इस पद्धति के कुछ फायदे भी हैं। साथ ही, यह ध्यान में रखना चाहिए कि इस पद्धति का उपयोग करके किए गए निर्माण अक्सर "भीड़" हो जाते हैं। फिर भी, कुछ मामलों में सहायक अनुभागों की विधि सबसे तर्कसंगत निकली।

संयुक्त विधि

पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के लिए संयुक्त विधि का सार स्वयंसिद्ध विधि के संयोजन में अंतरिक्ष में रेखाओं और विमानों की समानता पर प्रमेय का अनुप्रयोग है।

वर्गों के निर्माण के लिए समन्वय विधि।

समन्वय विधि का सार किनारों के चौराहे बिंदुओं के निर्देशांक या एक पॉलीहेड्रॉन को एक छेदक विमान के साथ गणना करना है, जो विमान के समीकरण द्वारा दिया गया है। समस्या की स्थितियों के आधार पर सेक्शन प्लेन के समीकरण की गणना की जाती है।

टिप्पणी पॉलीहेड्रॉन के एक खंड के निर्माण की यह विधि एक कंप्यूटर के लिए स्वीकार्य है, क्योंकि यह बड़ी मात्रा में गणनाओं से जुड़ा है और इसलिए कंप्यूटर का उपयोग करके इस पद्धति को लागू करने की सलाह दी जाती है।

हमारा मुख्य कार्य एक विमान के साथ एक पॉलीहेड्रॉन के एक खंड का निर्माण करना होगा, अर्थात। इन दो सेटों के प्रतिच्छेदन के निर्माण में।

पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण

सबसे पहले, हम ध्यान दें कि एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन का खंड एक उत्तल सपाट बहुभुज है, जिसके सामान्य मामले में कोने पॉलीहेड्रॉन के किनारों के साथ छेदक विमान के चौराहे के बिंदु हैं, और इसके चेहरे वाले पक्ष हैं।

अनुभाग निर्माण उदाहरण:

किसी सेक्शन को परिभाषित करने के कई अलग-अलग तरीके हैं। इनमें से सबसे आम एक काटने वाले विमान को तीन बिंदुओं से निर्दिष्ट करने की विधि है जो एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं है।

उदाहरण 1 बॉक्स एबीसीडीए के लिए 1 बी 1 सी 1 डी 1 . बिंदुओं M, N, L से होकर जाने वाले एक खंड का निर्माण करें।

समाधान:

समतल AA में स्थित बिंदुओं M और L को मिलाइए 1 डी 1 डी।

किनारे A के साथ रेखा ML (अनुभाग से संबंधित) को प्रतिच्छेद करें 1 डी 1 1 डी 1 D. बिंदु X प्राप्त करें 1 .

बिंदु X1 किनारे A पर स्थित है 1 डी 1 , और इसलिए विमान ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 , इसे उसी तल में स्थित बिंदु N से जोड़ दें।

एक्स 1 N किनारे A को काटता है 1 बी 1 बिंदु K पर

एक ही तल AA में स्थित बिंदुओं K और M को मिलाइए 1 बी 1 बी।

डीडी विमान के साथ खंड विमान के चौराहे की रेखा का पता लगाएं 1 सी 1 सी:

रेखा ML (अनुभाग से संबंधित) को किनारे DD से प्रतिच्छेद करें 1 , वे एक ही तल AA में स्थित हैं 1 डी 1 D, बिंदु X प्राप्त करें 2 .

आइए किनारे डी के साथ लाइन केएन (अनुभाग से संबंधित) को पार करें 1 सी 1 , वे एक ही तल A में स्थित हैं 1 बी 1 सी 1 डी 1 , हमें बिंदु X3 मिलता है;

बिंदु X2 और X3 समतल DD में स्थित हैं 1 सी 1 C. एक रेखा X खींचिए 2 एक्स 3 , जो किनारे C को काटता है 1 C बिंदु T पर, और किनारा DC बिंदु P पर। और बिंदु L और P को जोड़ते हैं, जो समतल ABCD में स्थित हैं।

इस प्रकार, समस्या को हल माना जाता है यदि वे सभी खंड जिनके साथ विमान पॉलीहेड्रॉन के चेहरों को काटता है, जो हमने किया था। MKNTPL - वांछित अनुभाग।

टिप्पणी। समानांतर विमानों की संपत्ति का उपयोग करके एक खंड के निर्माण के लिए एक ही कार्य को हल किया जा सकता है।

ऊपर से, हम इस प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए एक एल्गोरिथम (नियम) बना सकते हैं।

पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के नियम:

1. हम एक ही तल में स्थित बिंदुओं से सीधी रेखाएँ खींचते हैं;

   हम इसके लिए पॉलीहेड्रॉन के चेहरों के साथ सेक्शन प्लेन के सीधे चौराहों की तलाश कर रहे हैं:

उदाहरण 2 डीएल, एम

हम स्वयंसिद्ध विधि द्वारा हल करते हैं:

एक सहायक विमान ड्रा करेंडीकेएम, जो किनारों AB और BC को बिंदुओं E और पर काटता हैएफ(समाधान का कोर्स चित्र 2 में है।)। आइए इस सहायक विमान पर सेक्शन प्लेन के सीएम का "ट्रेस" बनाएं, सीएम और ई के चौराहे का पता लगाएंएफ- बिंदु पी। बिंदु पी, साथ हीएल, समतल ABC में स्थित है, और एक सीधी रेखा खींचना संभव है जिसके साथ अनुभाग तल समतल ABC को काटता है (विमान ABC में खंड का "ट्रेस")।

उदाहरण 3 पिरामिड MABCD के किनारों AB और AD पर, हम क्रमशः बिंदु P और Q सेट करते हैं, इन किनारों के मध्य बिंदु, और किनारे MC पर, हम बिंदु R सेट करते हैं। आइए एक समतल से गुजरते हुए पिरामिड के एक खंड का निर्माण करें बिंदुओं P, Q और R से होकर।

समाधान एक संयुक्त विधि द्वारा किया जाएगा:

1). यह स्पष्ट है कि समतल PQR का मुख्य निशान रेखा PQ है।

2). वह बिंदु K ज्ञात कीजिए जिस पर MAC तल रेखा PQ को प्रतिच्छेद करता है। बिंदु K और R, PQR तल और MAC तल दोनों से संबंधित हैं। इसलिए सीधी रेखा KR खींचकर हमें इन तलों की प्रतिच्छेद रेखा प्राप्त होती है।

3). आइए बिंदु N=AC BD खोजें, रेखा MN बनाएं और बिंदु F=KR MN ज्ञात करें।

4). प्वाइंट एफ है आम बातविमान PQR और MDB, यानी ये विमान बिंदु F से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। उसी समय, चूंकि PQ त्रिभुज ABD की मध्य रेखा है, तो PQ BD के समानांतर है, यानी रेखा PQ भी है एमडीबी विमान के समानांतर। तब रेखा PQ से गुजरने वाला तल PQR समतल MDB को रेखा PQ के समांतर रेखा, अर्थात् रेखा BD के समांतर काटता है। इसलिए, समतल MDB में बिंदु F से होकर हम रेखा BD के समानांतर एक रेखा खींचते हैं।

5). आगे के निर्माण आंकड़े से स्पष्ट हैं। नतीजतन, हमें बहुभुज PQD"RB" - आवश्यक खंड मिलता है

प्रिज्म के वर्गों पर विचार करें सादगी के लिए, यानी तार्किक सोच की सुविधा, घन के वर्गों पर विचार करें (चित्र 3.ए):

चावल। 3.क

साइड किनारों के समानांतर विमानों द्वारा प्रिज्म के खंड समांतर चतुर्भुज हैं। विशेष रूप से, विकर्ण खंड समांतर चतुर्भुज हैं (चित्र 4)।

डीईएफ़। विकर्ण खंड एक प्रिज्म एक विमान द्वारा दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाला एक खंड है जो एक ही चेहरे से संबंधित नहीं है।

प्रिज्म के विकर्ण खंड से उत्पन्न बहुभुज एक समांतर चतुर्भुज है। विकर्ण वर्गों की संख्या के बारे में प्रश्नएन-कोणीय प्रिज्म विकर्णों की संख्या के प्रश्न से अधिक कठिन है। आधार पर जितने विकर्ण हैं उतने ही खंड होंगे। हम जानते हैं कि एक उत्तल प्रिज्म के आधार पर उत्तल बहुभुज होते हैं, जबकि एक उत्तलएन- विकर्णों का। और इसलिए हम कह सकते हैं कि जितने विकर्ण खंड हैं, उतने आधे विकर्ण हैं।

टिप्पणी: आकृति में एक समानांतर चतुर्भुज के वर्गों का निर्माण करते समय, इस तथ्य को ध्यान में रखा जाना चाहिए कि यदि काटने वाला विमान कुछ खंडों के साथ दो विपरीत चेहरों को काटता है, तो ये खंड समानांतर होते हैं "समानांतर चतुर्भुज की संपत्ति के अनुसार, अर्थात। समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समांतर और समान होते हैं।

हम अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों के उत्तर प्रदान करते हैं:

एक समतल द्वारा एक घन के परिच्छेद में कौन-से बहुभुज प्राप्त होते हैं?

"त्रिकोण, चतुर्भुज, पंचकोण, षट्भुज"।

क्या घन का समतल अनुप्रस्थ काट एक सप्तभुज बना सकता है? और अष्टकोना?

"नही सकता"।

3) प्रश्न उठता है, एक बहुफलक के एक समतल के एक खंड द्वारा प्राप्त बहुभुज की भुजाओं की सबसे बड़ी संख्या क्या है?

सबसे बड़ी संख्यासमतल द्वारा बहुफलक के खंड में प्राप्त बहुभुज की भुजाएँ बहुफलक के फलकों की संख्या के बराबर होती हैं .

उदाहरण 3 प्रिज्म ए के एक खंड का निर्माण करें 1 बी 1 सी 1 डी 1 एबीसीडी तीन बिंदुओं एम, एन, के के माध्यम से गुजरने वाले विमान द्वारा।

प्रिज्म की सतह पर बिंदुओं M, N, K की स्थिति पर विचार करें (चित्र 5)।

मामले पर विचार करें: इस मामले में यह स्पष्ट है कि M1 = B1।

इमारत:

उदाहरण 4 समानांतर चतुर्भुज ABCDA के एक खंड का निर्माण करें 1 बी 1 सी 1 डी 1 बिंदु एम, एन, पी के माध्यम से गुजरने वाला एक विमान (अंक चित्र (चित्र 6) पर इंगित किए गए हैं)।

समाधान:

चावल। 6

बिंदु N और P खंड के तल में और समानांतर चतुर्भुज के निचले आधार के तल में स्थित हैं। आइए इन बिंदुओं से गुजरने वाली एक रेखा का निर्माण करें। यह रेखा समांतर चतुर्भुज के आधार के तल पर छेदक तल का निशान है।

आइए हम उस रेखा को जारी रखें जिस पर समांतर चतुर्भुज की भुजा AB स्थित है। रेखाएँ AB और NP किसी बिंदु S पर प्रतिच्छेद करती हैं। यह बिंदु खंड तल से संबंधित है।

चूँकि बिंदु M भी सेक्शन प्लेन से संबंधित है और रेखा AA को प्रतिच्छेद करता है 1 किसी बिंदु पर एक्स।

बिंदु X और N फलक AA के एक ही तल में स्थित हैं 1 डी 1 D, उन्हें कनेक्ट करें और लाइन XN प्राप्त करें।

चूँकि समांतर चतुर्भुज के फलकों के तल समानांतर हैं, फलक A में बिंदु M से होकर एक सीधी रेखा खींचना संभव है 1 बी 1 सी 1 डी 1 लाइन एनपी के समानांतर। यह रेखा भुजा B को प्रतिच्छेद करेगी 1 साथ 1 बिंदु Y पर

इसी प्रकार, हम रेखा XN के समांतर रेखा YZ खींचते हैं। हम Z को P से जोड़ते हैं और वांछित खंड प्राप्त करते हैं - MYZPNX।

इसके शीर्ष से गुजरने वाले विमानों द्वारा पिरामिड के खंड त्रिभुज हैं। विशेष रूप से, विकर्ण अनुभाग त्रिभुज होते हैं। ये पिरामिड के दो गैर-आसन्न साइड किनारों से गुजरने वाले विमानों के खंड हैं।

उदाहरण 4 पिरामिड एबीसी के एक खंड का निर्माण करेंडीबिंदु K से गुजरने वाला एक विमान,एल, एम.

समाधान:

1. एक अन्य सहायक तल खींचिएडीसीकेऔर प्रतिच्छेदन बिंदु B का निर्माण करेंएलऔरडीके - बिंदु ई। यह बिंदु दोनों सहायक विमानों (चित्र 7, बी) से संबंधित है;

   खंडों के चौराहे का बिंदु खोजेंएलएमऔर ईसी (ये खंड विमान में स्थित हैंबीएलसी, अंजीर। 7, सी) - एक बिंदुएफ. डॉटएफअनुभाग के तल में और तल में स्थित हैडीसीके;

   चलो एक सीधी रेखा खींचते हैंकेएफऔर इस रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिएडीसी- बिंदुएन(बिंदुएनअनुभाग) के अंतर्गत आता है। चतुष्कोषKLNM- वांछित खंड।

आइए एक ही उदाहरण को अलग तरीके से हल करें। .

आइए मान लें कि बिंदु K के लिए,एल, और एम अनुभागKLNM(चित्र 7)। द्वारा निरूपित करेंएफचतुर्भुज के विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदुKLNM. चलो एक सीधी रेखा खींचते हैंडी.एफ.और द्वारा निरूपित करेंएफ 1 फलक ABC के साथ इसका प्रतिच्छेदन बिंदु। डॉटएफ 1 लाइनों AM और SK के प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ मेल खाता है (एफ 1 एक साथ विमानों AM के अंतर्गत आता हैडीऔरडीअनुसूचित जाति)। बिंदुएफ 1 निर्माण में आसान। अगला हम एक बिंदु बनाते हैंएफचौराहे के बिंदु के रूप मेंडी.एफ. 1 औरएलएम. अगला हम बिंदु पाते हैंएन.

मानी जाने वाली विधि कहलाती हैआंतरिक डिजाइन विधि . (हमारे मामले के लिए हम बात कर रहे हैंकेंद्रीय डिजाइन के बारे में। चतुष्कोषकआईएसए एक चतुर्भुज का प्रक्षेपण हैकेएमएनएलएक बिंदु सेडी. इस मामले में, विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदुकेएमएनएल- डॉटएफ- चतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु तक जाता हैकआईएसए - डॉटएफ 1 .

एक पॉलीहेड्रॉन का अनुभागीय क्षेत्र।

पॉलीहेड्रॉन के क्रॉस-आंशिक क्षेत्र की गणना की समस्या आमतौर पर कई चरणों में हल की जाती है। यदि समस्या कहती है कि अनुभाग बनाया गया है (या कि काटने वाला विमान खींचा गया है, आदि), तो समाधान के पहले चरण में, अनुभाग में प्राप्त आकृति का आकार पता चला है।

क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र की गणना के लिए उपयुक्त सूत्र का चयन करने के लिए ऐसा किया जाना चाहिए। अनुभाग में प्राप्त आकृति के रूप को स्पष्ट करने के बाद और इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र चुने जाने के बाद, वे सीधे कम्प्यूटेशनल कार्य के लिए आगे बढ़ते हैं।

कुछ मामलों में, यह आसान हो सकता है यदि, अनुभाग में प्राप्त आकृति के रूप का पता लगाए बिना, हम प्रमेय से अनुसरण करने वाले सूत्र का उपयोग करके इसके क्षेत्र की गणना करने के लिए तुरंत आगे बढ़ते हैं।

बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के क्षेत्र पर प्रमेय: एक विमान पर एक बहुभुज के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्र उसके क्षेत्र के उत्पाद के बराबर है और बहुभुज के विमान और प्रक्षेपण विमान के बीच के कोण के कोसाइन: ।

क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र की गणना के लिए एक वैध सूत्र है: अनुभाग में प्राप्त आकृति के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का क्षेत्र कहां है, और सेकेंडरी विमान और उस विमान के बीच का कोण है जिस पर आंकड़ा प्रक्षेपित किया गया है। इस तरह के समाधान के साथ, अनुभाग में प्राप्त आकृति के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण का निर्माण करना और गणना करना आवश्यक है

यदि समस्या की स्थिति कहती है कि खंड का निर्माण करने की आवश्यकता है और प्राप्त खंड का क्षेत्र पाया जाना चाहिए, तो पहले चरण में दिए गए खंड का निर्माण करना उचित है, और फिर, स्वाभाविक रूप से, के आकार का निर्धारण अनुभाग में प्राप्त आंकड़ा, आदि।

हम निम्नलिखित तथ्य पर ध्यान देते हैं: चूंकि उत्तल पॉलीहेड्रा के खंड निर्मित होते हैं, अनुभाग बहुभुज भी उत्तल होगा, इसलिए इसका क्षेत्रफल इसे त्रिभुजों में विभाजित करके पाया जा सकता है, अर्थात, खंड क्षेत्र के क्षेत्रों के योग के बराबर है। त्रिकोण जिससे यह बना है।

कार्य 1।

– सही त्रिकोणीय पिरामिडआधार भुजा के बराबर और ऊँचाई के बराबर बिंदुओं से गुजरने वाले समतल द्वारा पिरामिड के एक खंड का निर्माण करें, जहाँ भुजा का मध्य बिंदु है, और इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें (चित्र 8)।

समाधान।

पिरामिड का क्रॉस सेक्शन एक त्रिभुज है। आइए इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।

चूँकि पिरामिड का आधार एक समबाहु त्रिभुज है और बिंदु भुजा का मध्य बिंदु है, तो यह ऊँचाई है और फिर, .

त्रिभुज का क्षेत्रफल पाया जा सकता है:

कार्य 2।

साइड रिबएक नियमित प्रिज्म आधार के किनारे के बराबर होता है। एक बिंदु से गुजरने वाले विमानों द्वारा प्रिज्म के वर्गों का निर्माण करेंए, रेखा के लंबवत यदि आप प्रिज्म के परिणामी खंड का क्षेत्रफल पाते हैं।

समाधान।

आइए दिए गए अनुभाग का निर्माण करें। आइए हम इसे विशुद्ध रूप से ज्यामितीय विचारों से करते हैं, उदाहरण के लिए, इस प्रकार है।

एक दिए गए रेखा और दिए गए बिंदु से गुजरने वाले एक विमान में, हम इस बिंदु के माध्यम से रेखा के लंबवत एक रेखा खींचते हैं (चित्र 9)। आइए हम इस उद्देश्य के लिए इस तथ्य का उपयोग करें कि त्रिभुज में अर्थात् इसकी माध्यिका भी इस त्रिभुज की ऊँचाई है। इस प्रकार, एक सीधी रेखा।

बिंदु के माध्यम से हम रेखा के लंबवत एक और रेखा खींचते हैं। उदाहरण के लिए, आइए हम इसे एक सीधी रेखा से गुजरने वाले तल में खींचते हैं। स्पष्ट है कि यह रेखा एक रेखा है

तो, दो अन्तर्विभाजक रेखाएँ, रेखा के लंबवत, निर्मित होती हैं। ये रेखाएँ रेखा के लंबवत बिंदु से गुजरने वाले तल को परिभाषित करती हैं, अर्थात एक छेदक तल दिया जाता है।

हम इस तल द्वारा प्रिज्म के एक भाग का निर्माण करते हैं। ध्यान दें कि चूंकि रेखा समतल के समानांतर है। तब रेखा से गुजरने वाला तल समतल को रेखा के समानांतर एक रेखा, यानी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करता है। बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें और परिणामी बिंदु को एक बिंदु से जोड़ दें।

चतुर्भुज दिया खंड। आइए इसका क्षेत्र निर्धारित करें।

यह स्पष्ट है कि एक चतुर्भुज एक आयत है, अर्थात इसका क्षेत्रफल

चावल। 9

ड्रॉइंग पर सेक्शन और सेक्शन का निर्माण

भाग की ड्राइंग क्रमिक रूप से आवश्यक अनुमानों, कटों और वर्गों को जोड़कर बनाई जाती है। प्रारंभ में, उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट मॉडल के साथ एक कस्टम दृश्य बनाया जाता है, और मॉडल अभिविन्यास मुख्य दृश्य के लिए सबसे उपयुक्त होता है। इसके अलावा, इसके लिए और निम्न प्रकारों के लिए आवश्यक कटौती और अनुभाग बनाए जाते हैं।

मुख्य दृश्य (सामने का दृश्य) इस तरह से चुना जाता है कि यह भाग के आकार और आयामों का सबसे संपूर्ण विचार देता है।

रेखाचित्रों में अनुभाग

काटने वाले विमान की स्थिति के आधार पर, निम्न प्रकार के कटौती प्रतिष्ठित हैं:

ए) क्षैतिज, यदि काटने वाला विमान क्षैतिज प्रक्षेपण विमान के समानांतर है;

बी) लंबवत, यदि काटने वाला विमान क्षैतिज प्रक्षेपण विमान के लंबवत है;

सी) झुका हुआ - काटने वाला विमान प्रक्षेपण विमानों के लिए झुका हुआ है।

ऊर्ध्वाधर वर्गों में विभाजित हैं:

· ललाट - काटने का तल ललाट प्रक्षेपण तल के समानांतर है;

· प्रोफाइल - कटिंग प्लेन प्रोफाइल प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर है।
काटने वाले विमानों की संख्या के आधार पर, कटौती निम्न हैं:

· सरल - एक काटने वाले विमान के साथ (चित्र। 107);

· जटिल - दो या दो से अधिक काटने वाले विमानों के साथ (चित्र। 108)
मानक निम्न प्रकार के जटिल कटौती के लिए प्रदान करता है:

· चरणबद्ध, जब छेदक तल समानांतर होते हैं (चित्र 108 क) और टूटी हुई रेखाएँ - छेदक तल प्रतिच्छेद करते हैं (चित्र 108 ख)

Fig.107 सिंपल कट

ए) बी)

Fig.108 जटिल कटौती

कटौती का पदनाम

मामले में जब एक साधारण खंड में छेदक विमान वस्तु के समरूपता के विमान के साथ मेल खाता है, तो अनुभाग इंगित नहीं किया गया है (चित्र। 107)। अन्य सभी मामलों में, वर्गों को रूसी वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा इंगित किया जाता है, जो अक्षर A से शुरू होता है, उदाहरण के लिए, A-A।

ड्राइंग में कटिंग प्लेन की स्थिति को सेक्शन लाइन - एक मोटी खुली लाइन द्वारा दर्शाया गया है। एक जटिल कट के साथ, सेक्शन लाइन के विभक्तियों पर स्ट्रोक भी किए जाते हैं। देखने की दिशा को इंगित करने वाले तीरों को प्रारंभिक और अंतिम स्ट्रोक पर रखा जाना चाहिए, तीर स्ट्रोक के बाहरी छोर से 2-3 मिमी की दूरी पर होना चाहिए। देखने की दिशा को दर्शाने वाले प्रत्येक तीर के बाहर, वही कैपिटल लेटर लगाया जाता है।

KOMPAS प्रणाली में कटौती और अनुभागों को नामित करने के लिए एक ही बटन का उपयोग किया जाता है लेजेंड पेज पर सेक्शन लाइन स्थित है (चित्र 109)।

Fig.109 सेक्शन लाइन बटन

हाफ व्यू को हाफ सेक्शन से कनेक्ट करना

यदि दृश्य और खंड सममित आंकड़े हैं (चित्र। 110), तो आप आधे दृश्य और आधे खंड को जोड़ सकते हैं, उन्हें डैश-बिंदीदार पतली रेखा से अलग कर सकते हैं, जो समरूपता की धुरी है। अनुभाग का हिस्सा आमतौर पर समरूपता के अक्ष के दाईं ओर रखा जाता है, जो दृश्य के भाग को अनुभाग के भाग से अलग करता है, या समरूपता के अक्ष के नीचे होता है। दृश्य और अनुभाग के जुड़े भागों पर छिपी समोच्च रेखाएँ आमतौर पर नहीं दिखाई जाती हैं। यदि दृश्य और खंड को अलग करने वाली अक्षीय रेखा किसी रेखा के प्रक्षेपण के साथ मेल खाती है, उदाहरण के लिए, एक मुखर आकृति का किनारा, तो दृश्य और खंड समरूपता अक्ष के बाईं ओर खींची गई एक ठोस लहराती रेखा द्वारा अलग किए जाते हैं यदि किनारा भीतरी सतह पर होता है, या यदि किनारा बाहरी है तो दाईं ओर होता है।

चावल। 110 एक दृश्य और एक खंड का कनेक्टिंग भाग

भवन में कटौती

हम KOMPAS प्रणाली में वर्गों के निर्माण का अध्ययन एक प्रिज्म की ड्राइंग के निर्माण के उदाहरण का उपयोग करके करेंगे, जिसके लिए कार्य चित्र 111 में दिखाया गया है।

ड्राइंग का क्रम इस प्रकार है:

1. द्वारा दिए गए आयामआइए एक प्रिज्म का एक ठोस मॉडल बनाएं (चित्र। 109 बी)। आइए "प्रिज्म" नामक फ़ाइल में मॉडल को कंप्यूटर की मेमोरी में सेव करें।

Fig.112 लाइन्स पैनल

3. प्रोफाइल सेक्शन बनाने के लिए (चित्र 113) एक रेखा खींचो खंड ए-एबटन का उपयोग करके मुख्य दृश्य परकट रेखा।

Fig.113 एक प्रोफ़ाइल अनुभाग का निर्माण

देखने की दिशा और पदनाम के पाठ को नियंत्रण कक्ष पर स्क्रीन के नीचे कमांड के साथ चुना जा सकता है (चित्र। 114)। क्रिएट ऑब्जेक्ट बटन को दबाकर सेक्शन लाइन का निर्माण पूरा किया जाता है।

Fig.114 कट्स और सेक्शन बनाने के लिए कमांड के लिए कंट्रोल पैनल

4. एसोसिएटिव व्यूज पैनल (चित्र 115) पर, कट लाइन बटन का चयन करें, फिर स्क्रीन पर दिखाई देने वाले ट्रैप के साथ कट लाइन निर्दिष्ट करें। यदि सब कुछ सही ढंग से किया जाता है (कट लाइन को सक्रिय दृश्य में खींचा जाना चाहिए), तो कट लाइन लाल हो जाएगी। कट लाइन ए-ए निर्दिष्ट करने के बाद, एक समग्र आयत के रूप में स्क्रीन पर एक छवि प्रेत दिखाई देगी।

Fig.115 सहयोगी विचार पैनल

प्रॉपर्टी बार पर कट/सेक्शन स्विच की मदद से, छवि प्रकार का चयन किया जाता है - कट (चित्र 116) और प्रदर्शित कट का पैमाना।

Fig.116 कट्स और सेक्शन बनाने के लिए कमांड के लिए कंट्रोल पैनल

प्रोजेक्शन कनेक्शन में और एक मानक अंकन के साथ प्रोफ़ाइल अनुभाग स्वचालित रूप से बनाया जाएगा। यदि आवश्यक हो, प्रोजेक्शन कनेक्शन को स्विच द्वारा बंद किया जा सकता है प्रोजेक्शन कनेक्शन (चित्र। 116)।बनाए गए अनुभाग (अनुभाग) में उपयोग किए जाने वाले हैचिंग पैरामीटर सेट करने के लिए, हैचिंग टैब पर नियंत्रणों का उपयोग करें।

Fig.117 एक क्षैतिज खंड B-B और अनुभाग C-C का निर्माण

यदि कट का निर्माण करते समय चयनित कटिंग प्लेन भाग के समरूपता के प्लेन के साथ मेल खाता है, तो मानक के अनुसार, इस तरह के कट का संकेत नहीं दिया जाता है। लेकिन यदि आप केवल अनुभाग पदनाम को मिटा देते हैं, तो इस तथ्य के कारण कि कंप्यूटर की मेमोरी में दृश्य और अनुभाग आपस में जुड़े हुए हैं, संपूर्ण खंड मिट जाएगा। इसलिए, पदनाम को हटाने के लिए, आपको पहले दृश्य और अनुभाग के बीच के संबंध को नष्ट करना होगा। ऐसा करने के लिए, अनुभाग का चयन करने के लिए बाईं माउस बटन पर क्लिक करें, और फिर संदर्भ मेनू खोलने के लिए दाएं माउस बटन पर क्लिक करें, जिसमें से नष्ट दृश्य आइटम का चयन किया गया है (चित्र 97)। अनुभाग प्रतीक अब हटाया जा सकता है।

5. एक क्षैतिज खंड का निर्माण करने के लिए, सामने के दृश्य में छेद के निचले तल के माध्यम से एक B-B अनुभाग रेखा खींचें। सामने के दृश्य को पहले बाईं माउस बटन के दो क्लिक से चालू किया जाना चाहिए। फिर एक क्षैतिज खंड बनाया गया है (चित्र 117)।

6. ललाट खंड का निर्माण करते समय, दृश्य का एक भाग और खंड का एक भाग संगत होता है, क्योंकि वे सममित आंकड़े हैं। प्रिज्म के बाहरी किनारे को दृश्य और कट को अलग करने वाली रेखा पर प्रक्षेपित किया जाता है, इसलिए हम परिसीमन करते हैं समरूपता के अक्ष के दाईं ओर खींची गई एक ठोस पतली लहरदार रेखा का दृश्य और खंड, क्योंकि बाहरी पसली। लहरदार रेखा खींचने के लिए बटन का उपयोग किया जाता है।फ़ोर क्लिपिंग लाइन शैली (चित्र 118) के साथ खींचे गए ज्यामिति पैनल पर स्थित बेज़ियर वक्र। क्रमिक रूप से उन बिंदुओं को निर्दिष्ट करें जिनसे बेज़ियर वक्र को गुजरना चाहिए। कमांड निष्पादन समाप्त करने के लिए, ऑब्जेक्ट बनाएं बटन पर क्लिक करें।

Fig.118 एक ब्रेक के लिए एक लाइन शैली का चयन

सेक्शनिंग

एक खंड एक वस्तु की एक छवि है जो एक वस्तु को एक विमान के साथ मानसिक रूप से विच्छेदित करके प्राप्त की जाती है। अनुभाग केवल वही दिखाता है जो कटिंग प्लेन में स्थित है।

कटिंग प्लेन की स्थिति, जिसके साथ सेक्शन बनता है, ड्राइंग में सेक्शन लाइन द्वारा इंगित किया जाता है, जैसे कि सेक्शन के लिए।

आरेखण में उनके स्थान के आधार पर अनुभागों को विस्तारित और आरोपित में विभाजित किया गया है। हटाए गए खंड अक्सर ड्राइंग के मुक्त क्षेत्र में स्थित होते हैं और मुख्य रेखा द्वारा रेखांकित किए जाते हैं। आरोपित अनुभागों को सीधे वस्तु की छवि पर रखा जाता है और पतली रेखाओं के साथ रेखांकित किया जाता है (चित्र 119)।

Fig.119 वर्गों का निर्माण

विस्तारित तिरछे प्रिज्म के आरेखण के निर्माण के क्रम पर विचार करें खंड बी-बी(चित्र। 117)।

1. दृश्य पर बाईं माउस बटन को डबल-क्लिक करके सामने के दृश्य को सक्रिय करें और बटन के साथ एक अनुभाग रेखा बनाएं प्रतिच्छेदन रेखा . शिलालेख В-В के पाठ का चयन करें।

2. सहयोगी दृश्य पैनल (चित्र 115) पर स्थित कट लाइन बटन का उपयोग करना, जो एक जाल के रूप में दिखाई देता है, छेदक रेखा को इंगित करता है विमान बी-बी. प्रॉपर्टी बार पर कट/सेक्शन स्विच का उपयोग करके, इमेज टाइप - सेक्शन (चित्र 116) का चयन करें, स्केल विंडो से प्रदर्शित सेक्शन के स्केल का चयन किया जाता है।

निर्मित खंड प्रक्षेपण संबंध में स्थित है, जो ड्राइंग में इसके आंदोलन को सीमित करता है, लेकिन बटन का उपयोग करके प्रक्षेपण संबंध को बंद किया जा सकता है प्रक्षेपण कनेक्शन।

तैयार ड्राइंग पर, ड्रा करें केंद्ररेखा, यदि आवश्यक हो, आयाम दर्ज करें।

पॉलीहेड्रा के वर्गों के निर्माण के कार्य लेते हैं महत्वपूर्ण स्थानहाई स्कूल के लिए स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम के रूप में, और विभिन्न स्तरों पर परीक्षाओं में। इस प्रकार की समस्याओं का समाधान रूढ़िवादिता के स्वयंसिद्धों को आत्मसात करने, ज्ञान और कौशल के व्यवस्थितकरण, विकास में योगदान देता है स्थानिक प्रतिनिधित्वऔर रचनात्मक कौशल। वर्गों के निर्माण पर आने वाली समस्याओं को हल करने में आने वाली कठिनाइयाँ सर्वविदित हैं।

से बचपनहम कटौती का सामना कर रहे हैं। हम रोटी, सॉसेज और अन्य उत्पादों को काटते हैं, एक छड़ी या पेंसिल को चाकू से काटते हैं। इन सभी मामलों में छेदक तल चाकू का तल है। खंड (टुकड़ों के खंड) अलग हैं।

उत्तल पॉलीहेड्रॉन का खंड एक उत्तल बहुभुज है, जिसके कोने, सामान्य स्थिति में, बहुभुज के किनारों के साथ काटने वाले विमान के चौराहे के बिंदु हैं, और भुजाएँ काटने वाले विमान के चौराहे की रेखाएँ हैं चेहरे।

दो विमानों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा का निर्माण करने के लिए, इन विमानों के दो सामान्य बिंदु खोजने और उनके माध्यम से एक रेखा खींचने के लिए पर्याप्त है। यह निम्नलिखित कथनों पर आधारित है:

1. यदि एक सीधी रेखा के दो बिंदु एक समतल के हैं, तो पूरी रेखा इस तल की है;

2. यदि दो अलग-अलग तलों में एक उभयनिष्ठ बिंदु है, तो वे इस बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।

जैसा कि मैंने पहले ही कहा है, पॉलीहेड्रा के वर्गों का निर्माण स्टीरियोमेट्री के सिद्धांतों और रेखाओं और विमानों के समांतरता पर प्रमेय के आधार पर किया जा सकता है। इसी समय, पॉलीहेड्रा के समतल वर्गों के निर्माण के लिए कुछ विधियाँ हैं। निम्नलिखित तीन विधियाँ सबसे प्रभावी हैं:

ट्रेस विधि

आंतरिक डिजाइन विधि

संयुक्त विधि।

ज्यामिति के अध्ययन में और, विशेष रूप से, इसके उन खंडों में जहाँ छवियों पर विचार किया जाता है ज्यामितीय आकार, ज्यामितीय आकृतियों के चित्र कंप्यूटर प्रस्तुतियों के उपयोग में मदद करते हैं। कंप्यूटर की मदद से, ज्यामिति के कई पाठ अधिक दृश्य और गतिशील हो जाते हैं। अभिगृहीत, प्रमेय, प्रमाण, निर्माण कार्य, खंड निर्माण कार्य मॉनिटर स्क्रीन पर क्रमिक निर्माण के साथ हो सकते हैं। कंप्यूटर जनित रेखाचित्रों को सहेजा जा सकता है और अन्य दस्तावेजों में चिपकाया जा सकता है।

मैं इस विषय पर कुछ स्लाइड दिखाना चाहता हूं: "अनुभागों का निर्माण ज्यामितीय निकाय»

एक रेखा और एक समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु का निर्माण करने के लिए, उस तल में एक रेखा खोजें जो दी गई रेखा को काटती है। तब वांछित बिंदु दी गई रेखा के साथ मिली हुई रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है। आइए देखते हैं आगे की स्लाइड्स में।

कार्य 1।

टेट्राहेड्रोन डीएबीसी के किनारों पर दो बिंदु एम और एन चिह्नित हैं; एम जीएडी, एन बी डीसी। आधार के तल के साथ रेखा MN का प्रतिच्छेदन बिंदु चुनें।

समाधान: समतल के साथ रेखा MN का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए

आधार हम एसी और सेगमेंट एमएन जारी रखेंगे। आइए X के माध्यम से इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें। बिंदु X रेखा MN और फलक AC से संबंधित है, और AC आधार के तल में स्थित है, जिसका अर्थ है कि बिंदु X भी आधार के तल में स्थित है। . इसलिए, बिंदु X आधार के तल के साथ MN रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

आइए दूसरी समस्या पर विचार करें। इसे थोड़ा जटिल करते हैं।

कार्य 2।

बिंदु M और N के टेट्राहेड्रॉन DABC को देखते हुए, जहाँ M € DA, N C (DBC)। रेखा MN और समतल ABC का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान: समतल ABC के साथ रेखा MN का प्रतिच्छेदन बिंदु उस तल में स्थित होना चाहिए जिसमें रेखा MN है और यह आधार के तल में होना चाहिए। हम खंड डीएन को किनारे डीसी के साथ चौराहे के बिंदु तक जारी रखते हैं। हम ई के माध्यम से चौराहे के बिंदु को चिह्नित करते हैं। हम लाइन एई और एमएन को उनके चौराहे के बिंदु तक जारी रखते हैं। नोट X। बिंदु X MN से संबंधित है, इसलिए यह उस तल पर स्थित है जिसमें रेखा MN है और X AE से संबंधित है, और AE समतल ABC पर स्थित है। अतः X भी समतल ABC में स्थित है। अतः X रेखा MN और समतल ABC का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

कार्य को जटिल करते हैं। तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले विमानों द्वारा ज्यामितीय आकृतियों के एक खंड पर विचार करें।

कार्य 3

अंक एम, एन और पी टेट्राहेड्रॉन डीएबीसी के किनारों एसी, एडी और डीबी पर चिह्नित हैं। समतल एमएनपी द्वारा टेट्राहेड्रोन के एक खंड का निर्माण करें।

समाधान: एक सीधी रेखा का निर्माण करें जिसके साथ समतल MNP हो। मुख तल ABC को प्रतिच्छेद करता है। बिंदु M इन तलों का सामान्य बिंदु है। एक और सामान्य बिंदु बनाने के लिए, हम खंड AB और NP को जारी रखते हैं। हम एक्स के माध्यम से प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करते हैं, जो एमएनपी और एबीसी विमान का दूसरा सामान्य बिंदु होगा। अतः ये तल सीधी रेखा MX पर प्रतिच्छेद करते हैं। MX किनारे BC को किसी बिंदु E पर काटता है। चूंकि E, MX पर स्थित है और MX समतल MNP से संबंधित एक रेखा है, इसलिए इसका अर्थ है कि PE MNP से संबंधित है। चतुर्भुज MNPE आवश्यक खंड है।

कार्य 4

हम बिंदु P से गुजरने वाले समतल द्वारा एक सीधे प्रिज्म ABCA1B1C1 के एक खंड का निर्माण करते हैं , क्यू,आर, जहां आर संबंधित है ( आ 1सी 1सी), आरअंतर्गत आता है में 1सी 1,

Q AB से संबंधित है

समाधान:सभी तीन अंक पी, क्यू, आरअलग-अलग चेहरों में स्थित हैं, इसलिए हम अभी तक प्रिज्म के किसी भी चेहरे के साथ छेदक तल के प्रतिच्छेदन रेखा का निर्माण नहीं कर सकते हैं। आइए ABC के साथ PR का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। आइए, आधार तल PP1 पर BC के लम्बवत और AC के लम्बवत RR1 पर बिंदुओं P और R के प्रक्षेपणों का पता लगाएं। रेखा P1R1 रेखा PR को बिंदु X पर प्रतिच्छेद करती है। X रेखा PR का समतल ABC के साथ प्रतिच्छेद बिंदु है। यह वांछित तल K में स्थित है और आधार के तल में बिंदु Q की तरह है। XQ एक सीधी रेखा है जो K को आधार के तल से काटती है। XQ, AC को बिंदु K पर प्रतिच्छेद करता है। इसलिए, KQ फलक ABC के साथ समतल X के प्रतिच्छेदन का खंड है। K और R, X तल में और AA1C1C फलक के तल में स्थित हैं। एक रेखा KR बनाएं और A1Q E के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें। KE इस फलक के साथ समतल X की प्रतिच्छेदन रेखा है। BB1A1A चेहरों के तल के साथ X तल के प्रतिच्छेदन रेखा का पता लगाएं। KE, A1A को बिंदु Y पर प्रतिच्छेद करता है। रेखा QY, छेदक तल को समतल AA1B1B के साथ प्रतिच्छेद करने वाली रेखा है। FPEKQ - वांछित खंड।

एक विमान द्वारा एक घन के वर्गों के निर्माण के कार्य, एक नियम के रूप में, सरल होते हैं, उदाहरण के लिए, एक पिरामिड के वर्गों के लिए कार्य।

हम दो बिन्दुओं से होकर एक रेखा खींच सकते हैं यदि वे एक ही तल में हों। घन के वर्गों का निर्माण करते समय, काटने वाले विमान का निशान बनाने का एक और विकल्प संभव है। चूंकि तीसरा विमान समानांतर सीधी रेखाओं के साथ दो समानांतर विमानों को काटता है, तो अगर एक चेहरे में एक सीधी रेखा पहले से ही बनी हुई है, और दूसरे में एक बिंदु है जिसके माध्यम से अनुभाग गुजरता है, तो हम एक सीधी रेखा खींच सकते हैं यह बिंदु दिए गए बिंदु के समानांतर है।

पर विचार करें ठोस उदाहरणप्लेन द्वारा क्यूब के सेक्शन का निर्माण कैसे करें।

1) बिंदु A, C और M से गुजरने वाले समतल द्वारा घन के एक खंड का निर्माण करें।

घन के अनुभागों के निर्माण के लिए इस प्रकार की समस्याएँ सभी समस्याओं में सबसे सरल हैं। चूँकि बिंदु A और C एक ही तल (ABC) में स्थित हैं, हम उनके बीच से एक रेखा खींच सकते हैं। इसका निशान खंड एसी है। यह अदृश्य है, इसलिए हम एसी को स्ट्रोक के साथ चित्रित करते हैं। इसी तरह, हम बिंदुओं M और C को जोड़ते हैं, जो एक ही तल (CDD1) में स्थित हैं, और बिंदु A और M, जो एक ही तल (ADD1) में स्थित हैं। त्रिभुज ACM आवश्यक खंड है।

2) बिंदुओं M, N, P से गुजरने वाले समतल द्वारा घन के एक खंड का निर्माण करें।

यहाँ, केवल बिंदु M और N एक ही तल (ADD1) में स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं और ट्रेस MN (अदृश्य) प्राप्त करते हैं। चूंकि घन के विपरीत फलक समांतर तलों में स्थित हैं, काटने वाला तल समांतर रेखाओं के साथ समानांतर तलों (ADD1) और (BCC1) को काटता है। हम पहले से ही समानांतर रेखाओं में से एक का निर्माण कर चुके हैं - यह एमएन है।

बिंदु P से होकर हम MN के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। यह किनारे BB1 को बिंदु S पर काटता है। PS चेहरे (BCC1) में छेदक तल का निशान है।

हम बिंदुओं M और S से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं, जो एक ही तल (ABB1) में स्थित हैं। एमएस ट्रेस मिला (दृश्यमान)।

विमान (ABB1) और (CDD1) समानांतर हैं। समतल (ABB1) में पहले से ही एक रेखा MS है, इसलिए तल (CDD1) में बिंदु N से होकर हम MS के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। यह रेखा किनारे D1C1 को बिंदु L पर काटती है। इसका निशान NL (अदृश्य) है। बिंदु P और L एक ही तल (A1B1C1) में स्थित हैं, इसलिए हम उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं।

पंचभुज MNLPS आवश्यक खंड है।

3) बिंदुओं M, N, P से गुजरने वाले समतल द्वारा घन के एक खंड का निर्माण करें।

बिंदु M और N एक ही तल (BCC1) में स्थित हैं, इसलिए उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। हमें ट्रेस एमएन (दृश्यमान) मिलता है। समतल (BCC1) समतल (ADD1) के समांतर है, इसलिए (ADD1) में स्थित बिंदु P से होकर हम MN के समानांतर एक रेखा खींचते हैं। यह किनारे AD को बिंदु E पर काटता है। हमें ट्रेस PE (अदृश्य) मिला।

एक ही तल, या एक रेखा और समांतर तलों में एक बिंदु पर अधिक बिंदु नहीं हैं। इसलिए, अतिरिक्त बिंदु प्राप्त करने के लिए पहले से मौजूद लाइनों में से एक को जारी रखा जाना चाहिए।

यदि हम लाइन MN को जारी रखते हैं, तो, चूंकि यह विमान (BCC1) में स्थित है, इसलिए हमें इस विमान की किसी एक रेखा के साथ MN के प्रतिच्छेदन बिंदु की तलाश करनी होगी। CC1 और B1C1 के साथ पहले से ही चौराहे बिंदु हैं - ये M और N हैं। रेखाएँ BC और BB1 बनी हुई हैं। हम BC और MN को बिंदु K पर चौराहे तक जारी रखते हैं। बिंदु K रेखा BC पर स्थित है, जिसका अर्थ है कि यह विमान (ABC) से संबंधित है, इसलिए हम इसके माध्यम से एक रेखा खींच सकते हैं और बिंदु E इस विमान में स्थित है। यह एज CD को बिंदु H पर काटता है। EH इसका निशान (अदृश्य) है। चूँकि H और N एक ही तल (CDD1) में स्थित हैं, उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। हमें ट्रेस एचएन (अदृश्य) मिलता है।

विमान (ABC) और (A1B1C1) समानांतर हैं। उनमें से एक में EH रेखा है, दूसरे में बिंदु M है। हम EH के समानांतर M से होकर एक रेखा खींच सकते हैं। हमें ट्रेस एमएफ (दृश्यमान) मिलता है। हम बिंदु M और F से होकर एक सीधी रेखा खींचते हैं।

हेक्सागोन एमएनएचईपीएफ आवश्यक खंड है।

यदि हम BB1 के साथ समतल (BCC1) में एक अन्य रेखा के साथ चौराहे तक रेखा MN को जारी रखते हैं, तो हमें तल (ABB1) से संबंधित एक बिंदु G प्राप्त होगा। इसका मतलब यह है कि जी और पी के माध्यम से एक रेखा खींची जा सकती है जिसका निशान पीएफ है। इसके अलावा, हम समानांतर विमानों में स्थित बिंदुओं के माध्यम से सीधी रेखाएँ खींचते हैं, और हम उसी परिणाम पर पहुँचते हैं।

सीधी रेखा पीई के साथ काम करने से समान क्रॉस सेक्शन एमएनएचईपीएफ मिलता है।

4) बिंदु M, N, P से गुजरने वाले समतल द्वारा घन के एक खंड का निर्माण करें।

यहां हम एक ही तल (A1B1C1) में स्थित बिंदुओं M और N से होकर एक सीधी रेखा खींच सकते हैं। उसका पदचिह्न एमएन (दृश्यमान) है। एक ही तल या समांतर तल में और कोई बिंदु नहीं है।

हम एमएन लाइन जारी रखते हैं। यह समतल (A1B1C1) में स्थित है, इसलिए यह इस तल में केवल एक रेखा के साथ प्रतिच्छेद कर सकता है। A1D1 और C1D1 - N और M के साथ पहले से ही चौराहे के बिंदु हैं। इस विमान की दो और रेखाएँ A1B1 और B1C1 हैं। A1B1 और MN का प्रतिच्छेदन बिंदु S है। चूँकि यह रेखा A1B1 पर स्थित है, यह समतल (ABB1) से संबंधित है, जिसका अर्थ है कि इसके माध्यम से एक रेखा खींची जा सकती है और बिंदु P, जो एक ही तल में स्थित है। रेखा PS किनारे AA1 को बिंदु E पर काटती है। PE इसका निशान (दृश्यमान) है। बिंदु N और E के माध्यम से, एक ही तल (ADD1) में स्थित, एक सीधी रेखा खींचना संभव है, जिसका निशान NE (अदृश्य) है। समतल में एक रेखा NE (ADD1) है, और समतल में इसके समानांतर एक बिंदु P (BCC1) है। बिंदु P से होकर हम NE के समानांतर एक रेखा PL खींच सकते हैं। यह बिंदु L पर किनारे CC1 को काटता है। PL इस रेखा (दृश्यमान) का निशान है। बिंदु M और L एक ही तल (CDD1) में स्थित हैं, जिसका अर्थ है कि उनके माध्यम से एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। उसका पदचिह्न एमएल (अदृश्य) है। पेंटागन MLPEN आवश्यक खंड है।

लाइन NM को दोनों दिशाओं में जारी रखना संभव था और इसके चौराहे के बिंदुओं को न केवल A1B1 लाइन के साथ, बल्कि B1C1 लाइन के साथ भी देखा जा सकता है, जो विमान (A1B1C1) में भी स्थित है। इस स्थिति में, हम बिंदु P से एक साथ दो सीधी रेखाएँ खींचते हैं: एक बिंदु P और S से होते हुए समतल (ABB1) में, और दूसरी समतल (BCC1) में, बिंदु P और R से होते हुए। उसके बाद , यह एक ही विमान में स्थित बिंदुओं को जोड़ने के लिए बनी हुई है: एम सी एल, ई - एन के साथ।