स्वर्ण खंड के कम्पास. प्राचीन स्वर्ण अनुपात कम्पास

प्राचीन काल से, लोग इस सवाल को लेकर चिंतित रहे हैं कि क्या सुंदरता और सद्भाव जैसी मायावी चीजें किसी गणितीय गणना के अधीन हैं। बेशक, सुंदरता के सभी नियमों को कुछ सूत्रों में समाहित नहीं किया जा सकता है, लेकिन गणित का अध्ययन करके, हम सुंदरता की कुछ शर्तों - स्वर्णिम अनुपात - की खोज कर सकते हैं। हमारा कार्य यह पता लगाना है कि स्वर्णिम खंड क्या है और यह स्थापित करना है कि मानव जाति ने स्वर्णिम खंड का उपयोग कहां पाया है।

आपने शायद देखा होगा कि आसपास की वास्तविकता की वस्तुओं और घटनाओं के प्रति हमारा दृष्टिकोण अलग होता है। होना एचशालीनता, हो एचएकरूपता, असमानता को हम कुरूप मानते हैं और प्रतिकूल प्रभाव डालते हैं। और वस्तुएं और घटनाएं, जो माप, समीचीनता और सद्भाव की विशेषता होती हैं, सुंदर मानी जाती हैं और हमें प्रशंसा, खुशी, उत्साह की भावना पैदा करती हैं।

एक व्यक्ति अपनी गतिविधि में लगातार उन वस्तुओं का सामना करता है जो सुनहरे अनुपात पर आधारित होती हैं। ऐसी चीजें हैं जिन्हें समझाया नहीं जा सकता। तो आप एक खाली बेंच पर आएं और उस पर बैठें। कहाँ बैठोगे? बीच में? या शायद बिल्कुल किनारे से? नहीं, संभवतः एक या दूसरा नहीं। आप इस प्रकार बैठेंगे कि आपके शरीर के सापेक्ष बेंच के एक हिस्से का दूसरे हिस्से से अनुपात लगभग 1.62 होगा। एक साधारण बात, बिल्कुल सहज... एक बेंच पर बैठकर, आपने "सुनहरा अनुपात" दोहराया।

स्वर्णिम अनुपात पहले से ज्ञात था प्राचीन मिस्रऔर बेबीलोन, भारत और चीन। महान पाइथागोरस ने एक गुप्त विद्यालय बनाया जहाँ "सुनहरे खंड" के रहस्यमय सार का अध्ययन किया गया। यूक्लिड ने इसे लागू किया, अपनी ज्यामिति बनाई, और फ़िडियास ने - अपनी अमर मूर्तियां बनाईं। प्लेटो ने कहा कि ब्रह्माण्ड "स्वर्णिम खंड" के अनुसार व्यवस्थित है। अरस्तू ने नैतिक कानून के लिए "स्वर्णिम खंड" का पत्राचार पाया। "गोल्डन सेक्शन" के उच्चतम सामंजस्य का प्रचार लियोनार्डो दा विंची और माइकल एंजेलो द्वारा किया जाएगा, क्योंकि सुंदरता और "गोल्डन सेक्शन" एक ही हैं। और ईसाई रहस्यवादी शैतान से बचते हुए अपने मठों की दीवारों पर "स्वर्ण खंड" के पेंटाग्राम बनाएंगे। उसी समय, वैज्ञानिक - पैसिओली से लेकर आइंस्टीन तक - खोजेंगे, लेकिन उसे कभी नहीं ढूंढ पाएंगे। सही मूल्य. होना एचदशमलव बिंदु के बाद अंतिम पंक्ति 1.6180339887 है... एक अजीब, रहस्यमय, अकथनीय चीज़ - यह दिव्य अनुपात रहस्यमय रूप से सभी जीवित चीजों के साथ है। निर्जीव प्रकृति नहीं जानती कि "स्वर्णिम खंड" क्या है। लेकिन आप निश्चित रूप से इस अनुपात को समुद्री सीपियों की वक्रता में, और फूलों के रूप में, और भृंगों के रूप में, और एक सुंदर मानव शरीर में देखेंगे। हर जीवित चीज़ और हर चीज़ सुंदर - हर चीज़ ईश्वरीय नियम का पालन करती है, जिसका नाम "स्वर्ण खंड" है। तो "सुनहरा अनुपात" क्या है? यह उत्तम, दिव्य संयोजन क्या है? शायद यह सुंदरता का नियम है? या यह अभी भी एक रहस्यमय रहस्य है? वैज्ञानिक घटना या नैतिक सिद्धांत? उत्तर अभी भी अज्ञात है. अधिक सटीक - नहीं, यह ज्ञात है। "गोल्डन सेक्शन" वह, और दूसरा, और तीसरा दोनों है। केवल अलग से नहीं, बल्कि एक ही समय में... और यही उसका सच्चा रहस्य है, उसका महान रहस्य है।

सौंदर्य के वस्तुपरक मूल्यांकन के लिए कोई विश्वसनीय माप ढूँढ़ना संभवतः कठिन है, और केवल तर्क यहाँ काम नहीं करेगा। हालाँकि, उन लोगों का अनुभव यहाँ मदद करेगा जिनके लिए सुंदरता की खोज ही जीवन का अर्थ थी, जिन्होंने इसे अपना पेशा बनाया। सबसे पहले, ये कला के लोग हैं, जैसा कि हम उन्हें कहते हैं: कलाकार, वास्तुकार, मूर्तिकार, संगीतकार, लेखक। लेकिन ये सटीक विज्ञान के लोग हैं, सबसे पहले, गणितज्ञ।

अन्य इंद्रियों की तुलना में आंख पर अधिक भरोसा करते हुए, मनुष्य ने सबसे पहले अपने आस-पास की वस्तुओं को आकार के आधार पर अलग करना सीखा। किसी वस्तु के रूप में रुचि महत्वपूर्ण आवश्यकता से निर्धारित हो सकती है, या यह रूप की सुंदरता के कारण हो सकती है। यह रूप, जो समरूपता और सुनहरे अनुपात के संयोजन पर आधारित है, सर्वोत्तम दृश्य धारणा और सौंदर्य और सद्भाव की भावना की उपस्थिति में योगदान देता है। संपूर्ण में हमेशा कुछ हिस्से होते हैं, विभिन्न आकारों के हिस्से एक-दूसरे से और संपूर्ण से एक निश्चित संबंध में होते हैं। स्वर्ण खंड का सिद्धांत कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भागों की संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है।

स्वर्ण खंड - हार्मोनिक अनुपात

गणित में, अनुपात दो अनुपातों की समानता है:

रेखाखंड AB को निम्नलिखित प्रकार से दो भागों में विभाजित किया जा सकता है:

• दो बराबर भागों में - AB: AC = AB: BC;
• किसी भी अनुपात में दो असमान भागों में (ऐसे भाग अनुपात नहीं बनाते);
• इस प्रकार, जब AB:AC=AC:BC.

उत्तरार्द्ध स्वर्णिम विभाग (खंड) है।

स्वर्ण खंड एक खंड का असमान भागों में ऐसा आनुपातिक विभाजन है, जिसमें संपूर्ण खंड बड़े भाग से उसी प्रकार संबंधित होता है जैसे बड़ा भाग छोटे खंड से संबंधित होता है, दूसरे शब्दों में, छोटा खंड होता है बड़े से संबंधित, जैसे बड़ा हर चीज़ से है

a:b=b:c या c:b=b:a.

स्वर्णिम अनुपात का ज्यामितीय प्रतिनिधित्व

सुनहरे अनुपात के साथ व्यावहारिक परिचय एक कंपास और रूलर का उपयोग करके एक सीधी रेखा खंड को सुनहरे अनुपात में विभाजित करने से शुरू होता है।

स्वर्णिम अनुपात के अनुसार एक रेखाखंड का विभाजन। बीसी=1/2एबी; सीडी=बीसी

बिंदु B से आधे AB के बराबर एक लंब डाला जाता है। परिणामी बिंदु C, बिंदु A से एक रेखा द्वारा जुड़ा हुआ है। परिणामी रेखा पर, एक खंड BC अंकित है, जो बिंदु D पर समाप्त होता है। खंड AD को सीधी रेखा AB में स्थानांतरित किया जाता है। परिणामी बिंदु E खंड AB को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करता है।

स्वर्णिम अनुपात के खंड बिना व्यक्त किए गए हैं एचअंतिम अंश AE=0.618..., यदि AB को एक इकाई के रूप में लिया जाता है, तो BE=0.382... व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, 0.62 और 0.38 के अनुमानित मान अक्सर उपयोग किए जाते हैं। यदि खंड AB को 100 भागों के रूप में लिया जाए, तो खंड का सबसे बड़ा भाग 62 भाग है, और छोटा भाग 38 भाग है।

स्वर्ण खंड के गुणों को समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:

इस समीकरण का हल:

सुनहरे अनुपात के गुणों ने इस संख्या के चारों ओर रहस्य की एक रोमांटिक आभा और लगभग एक रहस्यमय पीढ़ी का निर्माण किया। उदाहरण के लिए, एक नियमित पांच-बिंदु वाले तारे में, प्रत्येक खंड को सुनहरे अनुपात के अनुपात में इसे पार करने वाले एक खंड द्वारा विभाजित किया जाता है (यानी नीले खंड का हरा, लाल से नीला, हरे से बैंगनी का अनुपात 1.618 है)।

दूसरा स्वर्ण खंड

यह अनुपात वास्तुकला में पाया जाता है।

द्वितीय स्वर्ण खण्ड का निर्माण

विभाजन निम्नानुसार किया जाता है। खंड एबी को सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित किया गया है। बिंदु C से, लंबवत CD को पुनर्स्थापित किया जाता है। त्रिज्या AB बिंदु D है, जो एक रेखा द्वारा बिंदु A से जुड़ा है। समकोण ACD द्विभाजित है। बिंदु C से रेखा AD वाले प्रतिच्छेदन तक एक रेखा खींची गई है। बिंदु E खंड AD को 56:44 के संबंध में विभाजित करता है।

दूसरे सुनहरे अनुपात की एक रेखा द्वारा एक आयत का विभाजन

यह आंकड़ा दूसरे सुनहरे खंड की रेखा की स्थिति को दर्शाता है। यह स्वर्ण खंड रेखा और आयत की मध्य रेखा के बीच में स्थित है।

स्वर्ण त्रिभुज (पेंटाग्राम)

आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंड खोजने के लिए, आप पेंटाग्राम का उपयोग कर सकते हैं।

एक नियमित पंचकोण और पंचग्राम का निर्माण

पेंटाग्राम बनाने के लिए, आपको एक नियमित पेंटागन बनाने की आवश्यकता है। इसके निर्माण की विधि जर्मन चित्रकार और ग्राफिक कलाकार अल्ब्रेक्ट ड्यूरर द्वारा विकसित की गई थी। मान लीजिए कि O वृत्त का केंद्र है, A वृत्त पर एक बिंदु है, और E खंड OA का मध्यबिंदु है। बिंदु O पर उठाया गया त्रिज्या OA का लंब, बिंदु D पर वृत्त के साथ प्रतिच्छेद करता है। कम्पास का उपयोग करके, व्यास पर खंड CE=ED को चिह्नित करें। एक वृत्त में अंकित नियमित पंचभुज की एक भुजा की लंबाई DC है। हम वृत्त पर डीसी खंडों को अलग रखते हैं और एक नियमित पंचभुज बनाने के लिए पांच अंक प्राप्त करते हैं। हम पेंटागन के कोनों को एक विकर्ण के माध्यम से जोड़ते हैं और एक पेंटाग्राम प्राप्त करते हैं। पंचभुज के सभी विकर्ण एक दूसरे को सुनहरे अनुपात से जुड़े खंडों में विभाजित करते हैं।

पंचकोणीय तारे का प्रत्येक सिरा एक स्वर्ण त्रिभुज है। इसके किनारे शीर्ष पर 36 0 का कोण बनाते हैं, और किनारे पर रखा आधार इसे सुनहरे खंड के अनुपात में विभाजित करता है।

सीधी रेखा AB खींचिए। बिंदु A से हम मनमाने आकार के एक खंड O को तीन बार हटाते हैं, परिणामी बिंदु P के माध्यम से हम रेखा AB पर एक लंब खींचते हैं, बिंदु P के दाएं और बाएं लंबवत पर हम खंड O को हटाते हैं। बिंदु d और d 1 बिंदु A के साथ सीधी रेखाओं से जुड़े हुए हैं। खंड dd 1 को हमने बिंदु C प्राप्त करते हुए रेखा Ad 1 पर रखा है। उसने रेखा Ad 1 को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित किया है। पंक्तियाँ Ad 1 और dd 1 का उपयोग "सुनहरा" आयत बनाने के लिए किया जाता है।

स्वर्ण त्रिभुज का निर्माण

स्वर्ण खंड का इतिहास

दरअसल, तूतनखामुन के मकबरे से चेप्स के पिरामिड, मंदिरों, घरेलू सामानों और सजावट के अनुपात से संकेत मिलता है कि मिस्र के कारीगरों ने उन्हें बनाते समय सुनहरे विभाजन के अनुपात का उपयोग किया था। फ्रांसीसी वास्तुकार ले कोर्बुसीयर ने पाया कि एबिडोस में फिरौन सेती प्रथम के मंदिर की राहत और फिरौन रामसेस को चित्रित करने वाली राहत में, आंकड़ों का अनुपात स्वर्ण प्रभाग के मूल्यों के अनुरूप है। वास्तुकार खेसिरा को उनके नाम की कब्र से एक लकड़ी के बोर्ड की राहत पर चित्रित किया गया है, उनके हाथों में मापने वाले उपकरण हैं, जिसमें सुनहरे विभाजन के अनुपात तय किए गए हैं।

यूनानी कुशल ज्यामितिक थे। यहाँ तक कि उनके बच्चों को अंकगणित भी ज्यामितीय आकृतियों की सहायता से सिखाया जाता था। पाइथागोरस का वर्ग और इस वर्ग का विकर्ण गतिशील आयतों के निर्माण का आधार थे।

गतिशील आयतें

प्लेटो को स्वर्णिम विभाजन का भी ज्ञान था। प्लेटो के इसी नाम के संवाद में पाइथागोरस टिमियस कहता है: “दो चीजों का किसी तीसरे के बिना पूरी तरह से एकजुट होना असंभव है, क्योंकि उनके बीच एक ऐसी चीज अवश्य प्रकट होनी चाहिए जो उन्हें एक साथ रखे। अनुपात इसे सर्वोत्तम ढंग से पूरा कर सकता है, क्योंकि यदि तीन संख्याओं में यह गुण है कि माध्य छोटे से संबंधित है, क्योंकि बड़ा माध्य से संबंधित है, और इसके विपरीत, छोटा माध्य से और माध्य बड़े से संबंधित है, तो अंतिम और पहला मध्य होगा, और मध्य - पहला और आखिरी होगा। इस प्रकार, सभी आवश्यक चीजें समान होंगी, और चूंकि यह वही होगी, यह समग्र बनाएगी। प्लेटो ने दो प्रकार के त्रिकोणों का उपयोग करके सांसारिक दुनिया का निर्माण किया: समद्विबाहु और गैर-समद्विबाहु। वह सबसे सुंदर समकोण त्रिभुज उसे मानते हैं जिसमें कर्ण पैरों से दोगुना छोटा होता है (ऐसा आयत आधा समबाहु होता है, बेबीलोनियों की मुख्य आकृति, इसका अनुपात 1: 3 1/2 होता है) , जो स्वर्णिम अनुपात से लगभग 1/25 भिन्न है, और इसे टाइमरडिंग "स्वर्णिम अनुपात का प्रतिद्वंद्वी" कहा जाता है)। त्रिकोणों का उपयोग करते हुए, प्लेटो ने चार नियमित पॉलीहेड्रा का निर्माण किया, उन्हें चार सांसारिक तत्वों (पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि) के साथ जोड़ा। और पांच मौजूदा नियमित पॉलीहेड्रा में से केवल अंतिम - डोडेकेहेड्रॉन, जिसके सभी बारह चेहरे नियमित पेंटागन हैं, स्वर्गीय दुनिया की एक प्रतीकात्मक छवि होने का दावा करते हैं।

इकोसाहेड्रोन और डोडेकाहेड्रोन

डोडेकाहेड्रोन (या, जैसा कि माना जाता था, ब्रह्मांड ही, चार तत्वों की यह सर्वोत्कृष्टता, जिसे क्रमशः टेट्राहेड्रोन, ऑक्टाहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन और क्यूब द्वारा दर्शाया गया है) की खोज का सम्मान हिप्पासस को है, जो बाद में एक जहाज़ दुर्घटना में मर गया। यह आंकड़ा वास्तव में सुनहरे खंड के कई रिश्तों को दर्शाता है, इसलिए बाद वाला दिया गया था मुख्य भूमिकास्वर्गीय दुनिया में, जिस पर बाद में भाई माइनर लुका पैसिओली ने जोर दिया था।

पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान दिशासूचक यंत्र पाए गए, जिनका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी स्वर्ण मंडल का अनुपात शामिल है।

प्राचीन कम्पाससुनहरा अनुपात

प्राचीन साहित्य में जो हमारे सामने आया है, स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख सबसे पहले यूक्लिड के तत्वों में किया गया था। "बिगिनिंग्स" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तीसरी शताब्दी ईस्वी) और अन्य लोगों ने स्वर्ण प्रभाग का अध्ययन किया। मध्ययुगीन यूरोप में, वे स्वर्ण प्रभाग से परिचित हुए अरबी अनुवादयूक्लिड की "शुरुआत"। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को ईर्ष्यापूर्वक संरक्षित किया गया, सख्त गोपनीयता में रखा गया। वे केवल दीक्षार्थियों को ही ज्ञात थे।

मध्य युग में, पेंटाग्राम को राक्षसी बना दिया गया था (वास्तव में, प्राचीन बुतपरस्ती में इसे दिव्य माना जाता था) और इसे गुप्त विज्ञान में आश्रय मिला। हालाँकि, पुनर्जागरण फिर से पेंटाग्राम और सुनहरे अनुपात दोनों को प्रकाश में लाता है। इस प्रकार, मानव शरीर की संरचना का वर्णन करने वाली एक योजना ने मानवतावाद के दावे के उस दौर में व्यापक प्रसार प्राप्त किया।

लियोनार्डो दा विंची ने भी बार-बार ऐसी तस्वीर का सहारा लिया, वास्तव में, एक पेंटाग्राम का पुनरुत्पादन किया। इसकी व्याख्या: मानव शरीर में दिव्य पूर्णता है, क्योंकि इसमें निहित अनुपात मुख्य खगोलीय आकृति के समान हैं। एक कलाकार और वैज्ञानिक लियोनार्डो दा विंची ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास अनुभवजन्य अनुभव तो बहुत था, लेकिन ज्ञान बहुत कम था। उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक किताब लिखना शुरू किया, लेकिन उसी समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक किताब सामने आई और लियोनार्डो ने अपना विचार त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक विद्वान थे, जो फिबोनाची और गैलीलियो के बीच इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का के छात्र थे, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह परिचित थीं।

1496 में, ड्यूक मोरो के निमंत्रण पर, वह मिलान आये, जहाँ उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान के मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में वेनिस में प्रकाशित लुका पैसिओली की डी डिविना प्रोपोरियो, 1497, शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ वेनिस में प्रकाशित हुई थी, यही कारण है कि ऐसा माना जाता है कि वे लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाए गए थे। यह पुस्तक सुनहरे अनुपात का एक उत्साही भजन थी। ऐसा केवल एक ही अनुपात है, और विशिष्टता ईश्वर का सर्वोच्च गुण है। यह पवित्र त्रिमूर्ति का प्रतीक है। यह अनुपात किसी सुलभ संख्या द्वारा व्यक्त नहीं किया जा सकता है, छिपा हुआ और गुप्त रहता है, और स्वयं गणितज्ञों द्वारा इसे तर्कहीन कहा जाता है (इसलिए भगवान को न तो परिभाषित किया जा सकता है और न ही शब्दों द्वारा समझाया जा सकता है)। ईश्वर कभी नहीं बदलता और हर चीज में हर चीज का प्रतिनिधित्व करता है और अपने प्रत्येक हिस्से में हर चीज का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए किसी भी निरंतर और निश्चित मात्रा (चाहे वह बड़ी या छोटी हो) के लिए सुनहरा अनुपात समान है, इसे बदला या परिवर्तित नहीं किया जा सकता है। अन्यथा द्वारा माना जाता है दिमाग। ईश्वर ने स्वर्गीय सद्गुण को अस्तित्व में बुलाया, अन्यथा इसे पाँचवाँ पदार्थ कहा जाता है, इसकी मदद से चार अन्य सरल शरीर (चार तत्व - पृथ्वी, जल, वायु, अग्नि), और उनके आधार पर प्रकृति में हर दूसरी चीज़ को अस्तित्व में बुलाया; इसलिए हमारा पवित्र अनुपात, टिमियस में प्लेटो के अनुसार, आकाश को ही औपचारिक अस्तित्व देता है, क्योंकि इसे डोडेकाहेड्रोन नामक एक पिंड के रूप में जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिसे सुनहरे खंड के बिना नहीं बनाया जा सकता है। ये पैसिओली के तर्क हैं।

लियोनार्डो दा विंची ने स्वर्ण प्रभाग के अध्ययन पर भी बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पंचकोणों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। अत: उन्होंने इस विभाग को स्वर्णिम खंड का नाम दिया। इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है.

उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। उन्होंने अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय दिया। ड्यूरर लिखते हैं: “यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया है।"

ड्यूरर के एक पत्र को देखते हुए, इटली में रहने के दौरान उनकी मुलाकात लुका पैसिओली से हुई। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में सुनहरे खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्य उंगलियों की युक्तियों, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह आदि के माध्यम से खींची गई रेखा द्वारा विभाजित किया जाता है। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।

16वीं सदी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर ने सुनहरे अनुपात को ज्यामिति के खजानों में से एक कहा। वह वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं।

केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को स्व-निरंतर कहा। उन्होंने लिखा, "इसे इस तरह से व्यवस्थित किया गया है कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम पद, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगला पद, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"

स्वर्णिम अनुपात के खंडों की श्रृंखला का निर्माण वृद्धि की दिशा (बढ़ती श्रृंखला) और कमी की दिशा (अवरोही श्रृंखला) दोनों में किया जा सकता है।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर, खंड को स्थगित करें एम , एक खंड को अलग रख दें एम . इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही पंक्तियों के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं।

स्वर्णिम अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाना

बाद की शताब्दियों में, सुनहरे अनुपात का नियम एक अकादमिक सिद्धांत में बदल गया, और जब, समय के साथ, कला में एक अकादमिक दिनचर्या के साथ संघर्ष शुरू हुआ, तो संघर्ष की गर्मी में, "उन्होंने बच्चे को पानी के साथ बाहर फेंक दिया।" 19वीं सदी के मध्य में सुनहरा खंड फिर से "खोजा" गया।

1855 में, गोल्डन सेक्शन के जर्मन शोधकर्ता, प्रोफेसर ज़ीसिंग ने अपना काम एस्थेटिक रिसर्च प्रकाशित किया। ज़ीसिंग के साथ, वास्तव में जो हुआ वह उस शोधकर्ता के साथ घटित होना ही था जो इस घटना को अन्य घटनाओं के साथ संबंध के बिना मानता है। उन्होंने प्रकृति और कला की सभी घटनाओं के लिए इसे सार्वभौमिक घोषित करते हुए, सुनहरे खंड के अनुपात को निरपेक्ष कर दिया। ज़ीसिंग के कई अनुयायी थे, लेकिन ऐसे विरोधी भी थे जिन्होंने अनुपात के उनके सिद्धांत को "गणितीय सौंदर्यशास्त्र" घोषित किया था।

ज़ीसिंग ने बहुत अच्छा काम किया। उन्होंने लगभग दो हजार मानव शरीरों को मापा और इस निष्कर्ष पर पहुंचे कि स्वर्णिम अनुपात औसत सांख्यिकीय कानून को व्यक्त करता है। नाभि बिंदु द्वारा शरीर का विभाजन स्वर्ण खंड का सबसे महत्वपूर्ण सूचक है। अनुपात पुरुष शरीर 13:8 = 1.625 के औसत अनुपात के भीतर उतार-चढ़ाव होता है और अनुपात की तुलना में सुनहरे अनुपात के कुछ करीब होता है महिला शरीर, जिसके संबंध में अनुपात का औसत मान 8:5=1.6 के अनुपात में व्यक्त किया गया है। नवजात शिशु में अनुपात 1:1 होता है, 13 वर्ष की आयु तक यह 1.6 होता है, और 21 वर्ष की आयु तक यह पुरुष के बराबर होता है। सुनहरे खंड का अनुपात शरीर के अन्य हिस्सों के संबंध में भी प्रकट होता है - कंधे की लंबाई, अग्रबाहु और हाथ, हाथ और उंगलियां, आदि।

ज़ीसिंग ने ग्रीक मूर्तियों पर अपने सिद्धांत की वैधता का परीक्षण किया। उन्होंने अपोलो बेल्वेडियर के अनुपात को सबसे अधिक विस्तार से विकसित किया। ग्रीक फूलदान, विभिन्न युगों की स्थापत्य संरचनाएं, पौधे, जानवर, पक्षियों के अंडे, संगीत स्वर, काव्य मीटर अनुसंधान के अधीन थे। ज़ीज़िंग ने सुनहरे अनुपात को परिभाषित किया, दिखाया कि इसे रेखा खंडों और संख्याओं में कैसे व्यक्त किया जाता है। जब खंडों की लंबाई व्यक्त करने वाले आंकड़े प्राप्त किए गए, तो ज़ीसिंग ने देखा कि वे एक फाइबोनैचि श्रृंखला का गठन करते हैं, जिसे एक दिशा और दूसरे में अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है। उनकी अगली पुस्तक का शीर्षक था "प्रकृति और कला में बुनियादी रूपात्मक कानून के रूप में स्वर्ण प्रभाग।" 1876 ​​में, ज़ीसिंग के काम को रेखांकित करते हुए, एक छोटी सी किताब, लगभग एक पैम्फलेट, रूस में प्रकाशित हुई थी। लेखक ने प्रारंभिक यू.एफ.वी. के तहत शरण ली। इस संस्करण में एक भी पेंटिंग का उल्लेख नहीं है।

में देर से XIX- XX सदी की शुरुआत। कला और वास्तुकला के कार्यों में स्वर्ण खंड के उपयोग के बारे में कई विशुद्ध रूप से औपचारिक सिद्धांत सामने आए। डिज़ाइन और तकनीकी सौंदर्यशास्त्र के विकास के साथ, सुनहरे अनुपात का नियम कारों, फर्नीचर आदि के डिज़ाइन तक फैल गया।

स्वर्णिम अनुपात और समरूपता

समरूपता के संबंध के बिना, स्वर्णिम अनुपात को अपने आप में अलग से नहीं माना जा सकता है। महान रूसी क्रिस्टलोग्राफर जी.वी. वुल्फ (1863-1925) ने सुनहरे अनुपात को समरूपता की अभिव्यक्तियों में से एक माना।

स्वर्णिम विभाजन विषमता की अभिव्यक्ति नहीं है, समरूपता के विपरीत कुछ है। के अनुसार आधुनिक विचारस्वर्णिम विभाजन असममित समरूपता है। समरूपता के विज्ञान में स्थिर और गतिशील समरूपता जैसी अवधारणाएँ शामिल हैं। स्थैतिक समरूपता आराम, संतुलन की विशेषता है, और गतिशील समरूपता गति, विकास की विशेषता है। तो, प्रकृति में, स्थैतिक समरूपता क्रिस्टल की संरचना द्वारा दर्शायी जाती है, और कला में यह शांति, संतुलन और गतिहीनता की विशेषता है। गतिशील समरूपता गतिविधि को व्यक्त करती है, गति, विकास, लय की विशेषता बताती है, यह जीवन का प्रमाण है। स्थैतिक समरूपता समान खंडों, समान परिमाणों की विशेषता है। गतिशील समरूपता को खंडों में वृद्धि या उनकी कमी की विशेषता है, और इसे बढ़ती या घटती श्रृंखला के सुनहरे खंड के मूल्यों में व्यक्त किया जाता है।

फाइबोनैचि श्रृंखला

पीसा के इतालवी गणितज्ञ भिक्षु लियोनार्डो का नाम, जिसे फाइबोनैचि के नाम से जाना जाता है, अप्रत्यक्ष रूप से सुनहरे अनुपात के इतिहास से जुड़ा हुआ है। उन्होंने पूर्व में बहुत यात्रा की, यूरोप को अरबी अंकों से परिचित कराया। 1202 में उनका गणितीय कार्य "द बुक ऑफ द अबेकस" (काउंटिंग बोर्ड) प्रकाशित हुआ, जिसमें उस समय ज्ञात सभी समस्याएं एकत्र की गईं।

संख्याओं की एक श्रृंखला 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, आदि। फाइबोनैचि श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। संख्याओं के अनुक्रम की ख़ासियत यह है कि इसका प्रत्येक सदस्य, तीसरे से शुरू होकर, पिछले दो के योग के बराबर है 2+3=5; 3+5=8; 5+8=13, 8+13=21; 13+21=34, आदि, और श्रृंखला की आसन्न संख्याओं का अनुपात स्वर्णिम विभाजन के अनुपात के करीब पहुंचता है। तो, 21:34=0.617, और 34:55=0.618। इस अनुपात को प्रतीक Ф द्वारा निरूपित किया जाता है। केवल यह अनुपात - 0.618: 0.382 - सुनहरे अनुपात में एक सीधी रेखा खंड का निरंतर विभाजन देता है, इसकी वृद्धि या अनंत तक घटती है, जब छोटा खंड बड़े खंड से संबंधित होता है बड़ा एक हर चीज़ के लिए है.

जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, उंगली के प्रत्येक पोर की लंबाई एफ-अनुपात में अगले पोर की लंबाई से संबंधित होती है। यही संबंध सभी उंगलियों और पैर की उंगलियों में भी देखा जाता है। यह संबंध किसी तरह असामान्य है, क्योंकि एक उंगली बिना किसी दृश्यमान पैटर्न के दूसरे से लंबी है, लेकिन यह आकस्मिक नहीं है, जैसे मानव शरीर में सब कुछ आकस्मिक नहीं है। अंगुलियों पर ए से बी, सी से डी से ई तक चिह्नित दूरियां, सभी एफ के अनुपात में एक दूसरे से संबंधित हैं, जैसे कि एफ से जी से एच तक उंगलियों के फालेंज हैं।

इस मेंढक के कंकाल पर एक नज़र डालें और देखें कि कैसे प्रत्येक हड्डी मानव शरीर की तरह ही एफ-अनुपात पैटर्न के अनुरूप होती है।

सामान्यीकृत स्वर्ण अनुपात

वैज्ञानिकों ने फाइबोनैचि संख्याओं और सुनहरे खंड के सिद्धांत को सक्रिय रूप से विकसित करना जारी रखा। यू. मटियासेविच फाइबोनैचि संख्याओं का उपयोग करके हिल्बर्ट की 10वीं समस्या को हल करता है। फाइबोनैचि संख्याओं और गोल्डन सेक्शन का उपयोग करके कई साइबरनेटिक समस्याओं (खोज सिद्धांत, गेम, प्रोग्रामिंग) को हल करने की विधियां हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका में, गणितीय फाइबोनैचि एसोसिएशन भी बनाया जा रहा है, जो 1963 से एक विशेष पत्रिका प्रकाशित कर रहा है।

इस क्षेत्र में उपलब्धियों में से एक सामान्यीकृत फाइबोनैचि संख्या और सामान्यीकृत सुनहरे अनुपात की खोज है।

उनके द्वारा खोजी गई फाइबोनैचि श्रृंखला (1, 1, 2, 3, 5, 8) और वजन 1, 2, 4, 8 की "बाइनरी" श्रृंखला पहली नज़र में पूरी तरह से अलग हैं। लेकिन उन्हें बनाने के एल्गोरिदम एक-दूसरे से बहुत मिलते-जुलते हैं: पहले मामले में, प्रत्येक संख्या पिछली संख्या का योग होती है, जिसमें स्वयं 2=1+1 होता है; 4=2+2..., दूसरे में - यह पिछली दो संख्याओं का योग है 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... क्या सामान्य गणितीय खोजना संभव है किस सूत्र से "बाइनरी »श्रृंखला, और फाइबोनैचि श्रृंखला? या शायद यह सूत्र हमें कुछ नए अद्वितीय गुणों के साथ नए संख्यात्मक सेट देगा?

वास्तव में, आइए एक संख्यात्मक पैरामीटर S सेट करें, जो कोई भी मान ले सकता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5... और पिछले वाले से S चरणों द्वारा अलग किया गया है। यदि हम इस श्रृंखला के nवें सदस्य को किससे निरूपित करें? एस (एन), तो हमें सामान्य सूत्र मिलता है? एस(एन)=? एस(एन-1)+? एस(एन-एस-1).

जाहिर है, इस सूत्र से S=0 के साथ हमें एक "बाइनरी" श्रृंखला मिलेगी, S=1 के साथ - एक फाइबोनैचि श्रृंखला, S=2, 3, 4 के साथ संख्याओं की नई श्रृंखला, जिन्हें S-फाइबोनैचि संख्या कहा जाता है।

में सामान्य रूप से देखेंस्वर्णिम एस-अनुपात स्वर्णिम एस-अनुपात समीकरण x S+1 -x S -1=0 का सकारात्मक मूल है।

यह दिखाना आसान है कि जब S=0, तो खंड का आधा भाग प्राप्त होता है, और जब S=1, तो परिचित शास्त्रीय स्वर्णिम खंड प्राप्त होता है।

पूर्ण गणितीय सटीकता के साथ पड़ोसी फाइबोनैचि एस-संख्याओं का अनुपात सुनहरे एस-अनुपात के साथ सीमा में मेल खाता है! ऐसे मामलों में गणितज्ञों का कहना है कि सुनहरे एस-सेक्शन फाइबोनैचि एस-संख्याओं के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं।

प्रकृति में सुनहरे एस-सेक्शन के अस्तित्व की पुष्टि करने वाले तथ्य बेलारूसी वैज्ञानिक ई.एम. द्वारा दिए गए हैं। सोरोको की पुस्तक "स्ट्रक्चरल हार्मनी ऑफ सिस्टम्स" (मिन्स्क, "साइंस एंड टेक्नोलॉजी", 1984)। उदाहरण के लिए, यह पता चला है कि अच्छी तरह से अध्ययन किए गए बाइनरी मिश्र धातुओं में विशेष, स्पष्ट कार्यात्मक गुण (थर्मल रूप से स्थिर, कठोर, पहनने के लिए प्रतिरोधी, ऑक्सीकरण प्रतिरोधी, आदि) होते हैं, यदि प्रारंभिक घटकों के विशिष्ट वजन एक दूसरे से संबंधित होते हैं सुनहरे एस-अनुपात से एक-एक करके। इसने लेखक को एक परिकल्पना प्रस्तुत करने की अनुमति दी कि सुनहरे एस-सेक्शन स्व-संगठित प्रणालियों के संख्यात्मक अपरिवर्तनीय हैं। प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि होने के कारण, यह परिकल्पना विज्ञान के एक नए क्षेत्र, सिनर्जेटिक्स के विकास के लिए मौलिक महत्व की हो सकती है जो स्व-संगठित प्रणालियों में प्रक्रियाओं का अध्ययन करती है।

सुनहरे एस-अनुपात कोड का उपयोग करके, किसी भी वास्तविक संख्या को पूर्णांक गुणांक के साथ सुनहरे एस-अनुपात की डिग्री के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

संख्याओं को एन्कोड करने की इस पद्धति के बीच मूलभूत अंतर यह है कि नए कोड के आधार, जो सुनहरे एस-अनुपात हैं, एस> 0 के लिए अपरिमेय संख्या बन जाते हैं। इस प्रकार, अपरिमेय आधारों वाली नई संख्या प्रणालियाँ, तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं के बीच संबंधों के ऐतिहासिक रूप से स्थापित पदानुक्रम को "उल्टा" कर देती हैं। तथ्य यह है कि सबसे पहले प्राकृतिक संख्याओं की "खोज" की गई थी; तो उनके अनुपात परिमेय संख्याएँ हैं। और केवल बाद में, पाइथागोरस द्वारा असंगत खंडों की खोज के बाद, अपरिमेय संख्याएँ सामने आईं। उदाहरण के लिए, दशमलव, क्विनरी, बाइनरी और अन्य शास्त्रीय स्थितीय संख्या प्रणालियों में, प्राकृतिक संख्याओं को एक प्रकार के मौलिक सिद्धांत के रूप में चुना गया था: 10, 5, 2, जिसमें से, कुछ नियमों के अनुसार, अन्य सभी प्राकृतिक, साथ ही तर्कसंगत और अपरिमेय संख्याओं का निर्माण किया गया।

क्रमांकन के मौजूदा तरीकों का एक प्रकार का विकल्प एक नई, अपरिमेय, प्रणाली है, जिसकी गणना की शुरुआत के मूल सिद्धांत के रूप में एक अपरिमेय संख्या को चुना जाता है (जो, हम याद करते हैं, स्वर्ण खंड समीकरण की जड़ है) ; अन्य वास्तविक संख्याएँ इसके माध्यम से पहले से ही व्यक्त की जाती हैं।

ऐसी संख्या प्रणाली में, किसी भी प्राकृतिक संख्या को हमेशा एक सीमित संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है - और अनंत नहीं, जैसा कि पहले सोचा गया था! किसी भी सुनहरे एस-अनुपात की शक्तियों का योग है। यह एक कारण है कि "अतार्किक" अंकगणित, जिसमें अद्भुत गणितीय सरलता और लालित्य है, ने शास्त्रीय बाइनरी और "फाइबोनैचि" अंकगणित के सर्वोत्तम गुणों को अवशोषित कर लिया है।

प्रकृति में आकार देने के सिद्धांत

हर चीज़ जिसने कोई न कोई रूप धारण किया, गठित हुई, बढ़ी, अंतरिक्ष में जगह बनाने और खुद को संरक्षित करने का प्रयास किया। यह आकांक्षा मुख्य रूप से दो रूपों में साकार होती है: ऊपर की ओर बढ़ना या पृथ्वी की सतह पर फैलना और एक सर्पिल में घूमना।

खोल एक सर्पिल में मुड़ा हुआ है। यदि आप इसे खोलते हैं, तो आपको सांप की लंबाई से थोड़ी कम लंबाई मिलती है। एक छोटे दस-सेंटीमीटर खोल में 35 सेमी लंबा एक सर्पिल होता है। सर्पिल प्रकृति में बहुत आम हैं। यदि सर्पिल के बारे में न कहा जाए तो स्वर्णिम अनुपात की अवधारणा अधूरी होगी।

सर्पिलाकार घुंघराले खोल के आकार ने आर्किमिडीज़ का ध्यान आकर्षित किया। उन्होंने इसका अध्ययन किया और सर्पिल का समीकरण निकाला। इस समीकरण के अनुसार खींचे गए सर्पिल को उनके नाम से पुकारा जाता है। उसके कदम में वृद्धि हमेशा एक समान होती है। वर्तमान में, आर्किमिडीज़ सर्पिल का व्यापक रूप से इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है।

यहां तक ​​कि गोएथे ने प्रकृति की सर्पिलता की प्रवृत्ति पर जोर दिया। पेड़ की शाखाओं पर पत्तियों की सर्पिल और सर्पिल व्यवस्था बहुत पहले ही देखी गई थी।

सर्पिल को सूरजमुखी के बीजों की व्यवस्था, पाइन शंकु, अनानास, कैक्टि, आदि में देखा गया था। वनस्पतिशास्त्रियों और गणितज्ञों के संयुक्त कार्य ने इन अद्भुत प्राकृतिक घटनाओं पर प्रकाश डाला है। यह पता चला कि एक शाखा (फाइलोटैक्सिस), सूरजमुखी के बीज, पाइन शंकु पर पत्तियों की व्यवस्था में, फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं प्रकट होती है, और इसलिए, सुनहरे खंड का नियम स्वयं प्रकट होता है। मकड़ी अपने जाल को सर्पिल पैटर्न में बुनती है। एक तूफ़ान घूम रहा है. हिरन का भयभीत झुंड एक सर्पिल में तितर-बितर हो गया। डीएनए अणु एक दोहरे हेलिक्स में मुड़ जाता है। गोएथे ने सर्पिल को "जीवन का वक्र" कहा।

मैंडेलब्रॉट श्रृंखला

सुनहरे सर्पिल का चक्रों से गहरा संबंध है। आधुनिक विज्ञानअराजकता के बारे में सरल चक्रीय प्रतिक्रिया संचालन और उनके द्वारा उत्पन्न भग्न रूपों का अध्ययन किया जाता है, जो पहले अज्ञात थे। यह चित्र सुप्रसिद्ध मैंडेलब्रॉट श्रृंखला को दर्शाता है - शब्दकोश का एक पृष्ठ एचव्यक्तिगत पैटर्न के अंग, जिन्हें जूलियन श्रृंखला कहा जाता है। कुछ वैज्ञानिक मैंडेलब्रॉट श्रृंखला को कोशिका नाभिक के आनुवंशिक कोड से जोड़ते हैं। अनुभागों में लगातार वृद्धि से उनकी कलात्मक जटिलता में आश्चर्यजनक भग्नता का पता चलता है। और यहाँ भी, लघुगणकीय सर्पिल हैं! यह और भी अधिक महत्वपूर्ण है क्योंकि मैंडेलब्रॉट श्रृंखला और जूलियन श्रृंखला दोनों आविष्कार नहीं हैं। मानव मस्तिष्क. वे प्लेटो के प्रोटोटाइप के दायरे से उत्पन्न होते हैं। जैसा कि डॉक्टर आर. पेनरोज़ ने कहा, "वे माउंट एवरेस्ट की तरह हैं"

सड़क किनारे घास के बीच एक अनोखा पौधा उगता है - चिकोरी। आइए इस पर करीब से नज़र डालें। मुख्य तने से एक शाखा का निर्माण हुआ। यहाँ पहला पत्ता है.

उपांग अंतरिक्ष में एक मजबूत इजेक्शन बनाता है, रुकता है, एक पत्ती छोड़ता है, लेकिन पहले से पहले से ही छोटा होता है, फिर से अंतरिक्ष में इजेक्शन करता है, लेकिन कम बल का, और भी छोटे आकार की एक पत्ती छोड़ता है और फिर से इजेक्शन करता है।

यदि पहला आउटलायर 100 इकाइयों के रूप में लिया जाता है, तो दूसरा 62 इकाइयां है, तीसरा 38 है, चौथा 24 है, और इसी तरह। पंखुड़ियों की लंबाई भी सुनहरे अनुपात के अधीन है। विकास में, अंतरिक्ष की विजय में, पौधे ने कुछ अनुपात बरकरार रखा। सुनहरे अनुपात के अनुपात में इसकी वृद्धि की गति धीरे-धीरे कम हो गई।

कासनी

कई तितलियों में, शरीर के वक्ष और पेट के हिस्सों के आकार का अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। अपने पंखों को मोड़कर, रात्रि तितली एक नियमित समबाहु त्रिभुज बनाती है। लेकिन यह पंख फैलाने लायक है, और आप शरीर को 2, 3, 5, 8 में विभाजित करने का एक ही सिद्धांत देखेंगे। ड्रैगनफ्लाई भी सुनहरे अनुपात के नियमों के अनुसार बनाई गई है: पूंछ की लंबाई का अनुपात और शरीर कुल लंबाई और पूंछ की लंबाई के अनुपात के बराबर है।

छिपकली में, पहली नज़र में, हमारी आंखों के लिए सुखद अनुपात कैद हो जाता है - इसकी पूंछ की लंबाई शरीर के बाकी हिस्सों की लंबाई से 62 से 38 तक होती है।

जीवित बच्चा जनने वाली छिपकली

पौधे और पशु जगत दोनों में, प्रकृति की रूप-निर्माण प्रवृत्ति लगातार टूटती रहती है - विकास और गति की दिशा के संबंध में समरूपता। यहां सुनहरा अनुपात विकास की दिशा के लंबवत भागों के अनुपात में दिखाई देता है।

प्रकृति ने विभाजन को सममित भागों और सुनहरे अनुपात में किया है। भागों में संपूर्ण की संरचना की पुनरावृत्ति प्रकट होती है।

पक्षियों के अंडों के स्वरूप का अध्ययन बहुत रुचिकर है। उनके विभिन्न रूप दो चरम प्रकारों के बीच उतार-चढ़ाव करते हैं: उनमें से एक को सुनहरे खंड के एक आयत में अंकित किया जा सकता है, दूसरे को 1.272 (स्वर्ण अनुपात की जड़) के मॉड्यूल के साथ एक आयत में अंकित किया जा सकता है।

पक्षी के अंडों के ऐसे रूप आकस्मिक नहीं हैं, क्योंकि अब यह स्थापित हो गया है कि सुनहरे खंड के अनुपात द्वारा वर्णित अंडों का आकार अंडे के छिलके की उच्च शक्ति विशेषताओं से मेल खाता है।

हाथियों और विलुप्त मैमथों के दांत, शेरों के पंजे और तोते की चोंच लघुगणकीय रूप हैं और एक अक्ष के आकार से मिलते जुलते हैं जो एक सर्पिल में बदल जाता है।

वन्य जीवन में, "पंचकोणीय" समरूपता पर आधारित रूप व्यापक हैं (स्टारफिश, समुद्री अर्चिन, पुष्प)।

सुनहरा अनुपात सभी क्रिस्टल की संरचना में मौजूद होता है, लेकिन अधिकांश क्रिस्टल सूक्ष्म रूप से छोटे होते हैं, जिससे हम उन्हें नग्न आंखों से नहीं देख सकते हैं। हालाँकि, बर्फ के टुकड़े, जो पानी के क्रिस्टल भी हैं, हमारी आँखों के लिए काफी सुलभ हैं। बर्फ के टुकड़े बनाने वाली उत्कृष्ट सुंदरता की सभी आकृतियाँ, बर्फ के टुकड़े में सभी कुल्हाड़ियाँ, वृत्त और ज्यामितीय आकृतियाँ भी, बिना किसी अपवाद के, हमेशा सुनहरे खंड के पूर्ण स्पष्ट सूत्र के अनुसार बनाई जाती हैं।

सूक्ष्म जगत में, सुनहरे अनुपात के अनुसार निर्मित त्रि-आयामी लघुगणकीय रूप सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए, कई वायरस में एक इकोसाहेड्रोन का त्रि-आयामी ज्यामितीय आकार होता है। शायद इनमें से सबसे प्रसिद्ध वायरस एडेनो वायरस है। एडेनो वायरस का प्रोटीन खोल एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित 252 इकाइयों प्रोटीन कोशिकाओं से बनता है। इकोसाहेड्रोन के प्रत्येक कोने पर एक पंचकोणीय प्रिज्म के आकार में 12 प्रोटीन कोशिका इकाइयाँ हैं, और स्पाइक जैसी संरचनाएँ इन कोनों से फैली हुई हैं।

एडेनो वायरस

वायरस की संरचना में स्वर्णिम अनुपात पहली बार 1950 के दशक में खोजा गया था। लंदन के बिर्कबेक कॉलेज के वैज्ञानिक ए. क्लुग और डी. कास्पर। पहला लघुगणकीय रूप पोलियो वायरस द्वारा ही प्रकट हुआ था। इस वायरस का स्वरूप राइनो वायरस जैसा ही निकला.

सवाल उठता है: वायरस ऐसे जटिल त्रि-आयामी रूप कैसे बनाते हैं, जिसके उपकरण में सुनहरा अनुपात होता है, जिसे हमारे मानव दिमाग से भी बनाना काफी मुश्किल है? वायरस के इन रूपों के खोजकर्ता, वायरोलॉजिस्ट ए. क्लुग, निम्नलिखित टिप्पणी करते हैं: “डॉ. कास्पर और मैंने दिखाया है कि वायरस के गोलाकार खोल के लिए, सबसे इष्टतम आकार इकोसाहेड्रोन के आकार की तरह समरूपता है। ऐसा क्रम कनेक्टिंग तत्वों की संख्या को कम करता है... बकमिनस्टर फुलर के अधिकांश जियोडेसिक अर्धगोलाकार क्यूब्स का निर्माण एक समान ज्यामितीय सिद्धांत के अनुसार किया जाता है। ऐसे क्यूब्स की स्थापना के लिए बेहद सटीक और विस्तृत स्पष्टीकरण योजना की आवश्यकता होती है, जबकि अचेतन वायरस स्वयं लोचदार, लचीली प्रोटीन कोशिका इकाइयों के ऐसे जटिल खोल का निर्माण करते हैं।

क्लुग की टिप्पणी एक बार फिर एक अत्यंत स्पष्ट सत्य की याद दिलाती है: यहां तक ​​कि एक सूक्ष्म जीव की संरचना में, जिसे वैज्ञानिक "जीवन का सबसे आदिम रूप" के रूप में वर्गीकृत करते हैं। इस मामले मेंवायरस में, एक स्पष्ट इरादा और एक उचित डिजाइन है। यह परियोजना अपनी पूर्णता और निष्पादन की सटीकता में लोगों द्वारा बनाई गई सबसे उन्नत वास्तुशिल्प परियोजनाओं के साथ अतुलनीय है। उदाहरण के लिए, प्रतिभाशाली वास्तुकार बकमिन्स्टर फ़ुलर द्वारा बनाई गई परियोजनाएँ।

डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन के त्रि-आयामी मॉडल एककोशिकीय समुद्री सूक्ष्मजीव रेडिओलेरियन (बीमर) के कंकालों की संरचना में भी मौजूद हैं, जिनका कंकाल सिलिका से बना है।

रेडिओलेरियन अपने शरीर को अत्यंत उत्तम, असामान्य सुंदरता से निर्मित करते हैं। उनका आकार एक नियमित डोडेकाहेड्रोन है, और इसके प्रत्येक कोने से एक छद्म-दीर्घ-अंग और अन्य असामान्य रूप-वृद्धि बढ़ती है।

महान गोएथे, एक कवि, प्रकृतिवादी और कलाकार (उन्होंने पानी के रंग में चित्रित और चित्रित किया), कार्बनिक निकायों के रूप, गठन और परिवर्तन का एक एकीकृत सिद्धांत बनाने का सपना देखा। यह वह थे जिन्होंने मॉर्फोलॉजी शब्द को वैज्ञानिक उपयोग में लाया।

हमारी सदी की शुरुआत में पियरे क्यूरी ने समरूपता के कई गहन विचार तैयार किए। उन्होंने तर्क दिया कि पर्यावरण की समरूपता को ध्यान में रखे बिना कोई भी किसी पिंड की समरूपता पर विचार नहीं कर सकता है।

"सुनहरे" समरूपता के पैटर्न प्राथमिक कणों के ऊर्जा संक्रमण में, कुछ रासायनिक यौगिकों की संरचना में, ग्रहों और अंतरिक्ष प्रणालियों में, जीवित जीवों की जीन संरचनाओं में प्रकट होते हैं। ये पैटर्न, जैसा कि ऊपर बताया गया है, व्यक्तिगत मानव अंगों और संपूर्ण शरीर की संरचना में हैं, और बायोरिदम और मस्तिष्क की कार्यप्रणाली और दृश्य धारणा में भी प्रकट होते हैं।

मानव शरीर और स्वर्ण खंड

सभी मानव हड्डियाँ स्वर्ण खंड के अनुपात में हैं। अनुपात विभिन्न भागहमारा शरीर स्वर्णिम अनुपात के बहुत करीब की संख्या है। यदि ये अनुपात स्वर्णिम अनुपात के सूत्र से मेल खाते हैं, तो किसी व्यक्ति का रूप या शरीर आदर्श रूप से निर्मित माना जाता है।

मानव शरीर के अंगों में स्वर्णिम अनुपात

यदि हम नाभि बिंदु को मानव शरीर के केंद्र के रूप में लेते हैं, और मानव पैर और नाभि बिंदु के बीच की दूरी को माप की इकाई के रूप में लेते हैं, तो एक व्यक्ति की ऊंचाई संख्या 1.618 के बराबर होती है।

• कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी और सिर का आकार 1:1.618 है;
• नाभि के बिंदु से सिर के शीर्ष तक और कंधे के स्तर से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है;
• नाभि बिंदु से घुटनों तक और घुटनों से पैरों तक की दूरी 1:1.618 है;
• ठोड़ी की नोक से ऊपरी होंठ की नोक तक और ऊपरी होंठ की नोक से नासिका छिद्र तक की दूरी 1:1.618 है;
• वास्तव में, किसी व्यक्ति के चेहरे पर सुनहरे अनुपात की सटीक उपस्थिति मानव दृष्टि के लिए सुंदरता का आदर्श है;
• ठोड़ी की नोक से भौंहों की ऊपरी रेखा तक और भौंहों की शीर्ष रेखा से सिर के शीर्ष तक की दूरी 1:1.618 है;
• चेहरे की ऊंचाई/चेहरे की चौड़ाई;
• नाक के आधार/नाक की लंबाई से होठों के कनेक्शन का केंद्रीय बिंदु;
• चेहरे की ऊंचाई/ठोड़ी की नोक से होठों के जंक्शन के केंद्र बिंदु तक की दूरी;
• मुँह की चौड़ाई/नाक की चौड़ाई;
• नाक की चौड़ाई/नाक के छिद्रों के बीच की दूरी;
• पुतलियों के बीच की दूरी/भौहों के बीच की दूरी।

अब बस अपनी हथेली को अपने करीब लाना और ध्यान से देखना ही काफी है तर्जनी अंगुली, और आपको तुरंत इसमें गोल्डन सेक्शन फॉर्मूला मिल जाएगा।

हमारे हाथ की प्रत्येक उंगली तीन फालेंजों से बनी होती है। उंगली की पूरी लंबाई के संबंध में उंगली के पहले दो पर्वों की लंबाई का योग सुनहरा अनुपात (अंगूठे को छोड़कर) देता है।

इसके अलावा, मध्यमा और छोटी उंगली के बीच का अनुपात भी सुनहरे अनुपात के बराबर होता है।

एक व्यक्ति के 2 हाथ होते हैं, प्रत्येक हाथ की उंगलियां 3 फालेंजों से बनी होती हैं (अंगूठे को छोड़कर)। प्रत्येक हाथ में 5 उंगलियां होती हैं, यानी कुल मिलाकर 10, लेकिन दो दो हाथ के अंगूठे को छोड़कर, सुनहरे अनुपात के सिद्धांत के अनुसार केवल 8 उंगलियां बनाई जाती हैं। जबकि ये सभी संख्याएँ 2, 3, 5 और 8 फाइबोनैचि अनुक्रम की संख्याएँ हैं।

यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि ज्यादातर लोगों में फैली हुई भुजाओं के सिरों के बीच की दूरी ऊंचाई के बराबर होती है।

स्वर्णिम अनुपात की सच्चाइयाँ हमारे भीतर और हमारे स्थान में हैं। किसी व्यक्ति के फेफड़ों को बनाने वाली ब्रांकाई की ख़ासियत उनकी विषमता में निहित है। ब्रांकाई दो मुख्य वायुमार्गों से बनी होती है, एक (बायां) लंबा और दूसरा (दाएं) छोटा। यह पाया गया कि यह विषमता ब्रांकाई की शाखाओं, सभी छोटे वायुमार्गों में जारी है। इसके अलावा, छोटी और लंबी ब्रांकाई की लंबाई का अनुपात भी स्वर्णिम अनुपात है और 1:1.618 के बराबर है।

मनुष्य के आंतरिक कान में एक अंग कोक्लीअ ("घोंघा") होता है, जो ध्वनि कंपन संचारित करने का कार्य करता है। यह अस्थिभंग संरचना द्रव से भरी हुई है और घोंघे के रूप में भी बनाई गई है, जिसमें एक स्थिर लघुगणकीय सर्पिल आकार =73 0 43" है।

दिल के धड़कने के साथ ही रक्तचाप बदल जाता है। यह संकुचन (सिस्टोल) के समय हृदय के बाएं वेंट्रिकल में अपने अधिकतम मूल्य तक पहुँच जाता है। हृदय के निलय के सिस्टोल के दौरान धमनियों में, एक युवा में रक्तचाप 115-125 मिमी एचजी के बराबर अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है, स्वस्थ व्यक्ति. हृदय की मांसपेशियों (डायस्टोल) के शिथिल होने के समय, दबाव 70-80 मिमी एचजी तक कम हो जाता है। अधिकतम (सिस्टोलिक) और न्यूनतम (डायस्टोलिक) दबाव का अनुपात औसतन 1.6 है, यानी सुनहरे अनुपात के करीब।

यदि हम महाधमनी में औसत रक्तचाप को एक इकाई के रूप में लेते हैं, तो महाधमनी में सिस्टोलिक रक्तचाप 0.382 है, और डायस्टोलिक 0.618 है, अर्थात उनका अनुपात सुनहरे अनुपात से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि समय चक्र और रक्तचाप में परिवर्तन के संबंध में हृदय का कार्य सुनहरे अनुपात के नियम के समान सिद्धांत के अनुसार अनुकूलित होता है।

डीएनए अणु में दो लंबवत आपस में गुंथे हुए हेलिकॉप्टर होते हैं। इनमें से प्रत्येक सर्पिल 34 एंगस्ट्रॉम लंबा और 21 एंगस्ट्रॉम चौड़ा है। (1 एंगस्ट्रॉम एक सेंटीमीटर का सौ करोड़वां हिस्सा है)।

डीएनए अणु के हेलिक्स खंड की संरचना

तो 21 और 34 फाइबोनैचि संख्याओं के अनुक्रम में एक के बाद एक आने वाली संख्याएँ हैं, अर्थात, डीएनए अणु के लघुगणकीय हेलिक्स की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात स्वर्ण खंड 1: 1.618 के सूत्र को वहन करता है।

मूर्तिकला में स्वर्ण खंड

स्मृति चिन्ह के रूप में मूर्तियाँ, स्मारक बनाये जाते हैं विशेष घटनाएँ, प्रसिद्ध लोगों के नाम, उनके कारनामों और कार्यों को वंशजों की याद में रखना। यह ज्ञात है कि प्राचीन काल में भी मूर्तिकला का आधार अनुपात का सिद्धांत था। मानव शरीर के अंगों का संबंध स्वर्ण खंड के सूत्र से जोड़ा गया। "गोल्डन सेक्शन" के अनुपात सद्भाव, सुंदरता की छाप पैदा करते हैं, इसलिए मूर्तिकारों ने उन्हें अपने कार्यों में इस्तेमाल किया। मूर्तिकारों का दावा है कि कमर "सुनहरे खंड" के संबंध में संपूर्ण मानव शरीर को विभाजित करती है। उदाहरण के लिए, प्रसिद्ध मूर्तिअपोलो बेल्वेडियर में ऐसे हिस्से शामिल हैं जो सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित हैं। महान प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फ़िडियास अक्सर अपने कार्यों में "सुनहरा अनुपात" का उपयोग करते थे। उनमें से सबसे प्रसिद्ध ओलंपियन ज़ीउस (जिसे दुनिया के आश्चर्यों में से एक माना जाता था) और एथेना पार्थेनन की मूर्ति थी।

अपोलो बेल्वेडियर की मूर्ति का सुनहरा अनुपात ज्ञात है: चित्रित व्यक्ति की ऊंचाई को सुनहरे खंड में नाभि रेखा द्वारा विभाजित किया गया है।

वास्तुकला में स्वर्ण खंड

"गोल्डन सेक्शन" पर पुस्तकों में कोई यह टिप्पणी पा सकता है कि वास्तुकला में, चित्रकला की तरह, सब कुछ पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर करता है, और यदि एक ओर किसी इमारत में कुछ अनुपात "गोल्डन सेक्शन" बनाते प्रतीत होते हैं, तब अन्य दृष्टिकोण से वे भिन्न दिखेंगे। "गोल्डन सेक्शन" कुछ लंबाई के आकार का सबसे आरामदायक अनुपात देता है।

प्राचीन यूनानी वास्तुकला के सबसे खूबसूरत कार्यों में से एक पार्थेनन (वी शताब्दी ईसा पूर्व) है।

आंकड़े सुनहरे अनुपात से जुड़े कई पैटर्न दिखाते हैं। इमारत के अनुपात को संख्या Ф = 0.618 की विभिन्न डिग्री के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है ...

पार्थेनन में छोटे पक्षों पर 8 और लंबे पक्षों पर 17 स्तंभ हैं। कगारें पूरी तरह से पेंटिलियन संगमरमर के वर्गों से बनी हैं। जिस सामग्री से मंदिर का निर्माण किया गया था उसकी उत्कृष्टता ने रंग के उपयोग को सीमित करना संभव बना दिया, जो ग्रीक वास्तुकला में आम है, यह केवल विवरणों पर जोर देता है और मूर्तिकला के लिए एक रंगीन पृष्ठभूमि (नीला और लाल) बनाता है। इमारत की ऊंचाई और उसकी लंबाई का अनुपात 0.618 है। यदि हम पार्थेनन को "गोल्डन सेक्शन" के अनुसार विभाजित करते हैं, तो हमें मुखौटे के कुछ उभार मिलेंगे।

पार्थेनन के फर्श योजना पर, आप "सुनहरे आयत" भी देख सकते हैं।

हम नोट्रे डेम कैथेड्रल (नोट्रे डेम डे पेरिस) की इमारत और चेप्स के पिरामिड में सुनहरा अनुपात देख सकते हैं।

न केवल मिस्र के पिरामिड स्वर्ण खंड के सही अनुपात के अनुसार बनाए गए थे; यही घटना मैक्सिकन पिरामिडों में भी पाई जाती है।

लंबे समय तक यह माना जाता था कि आर्किटेक्ट प्राचीन रूस'बिना किसी विशेष गणितीय गणना के, सब कुछ "आँख से" बनाया। हालाँकि, नवीनतम शोध से पता चला है कि रूसी वास्तुकार गणितीय अनुपात को अच्छी तरह से जानते थे, जैसा कि प्राचीन मंदिरों की ज्यामिति के विश्लेषण से पता चलता है।

प्रसिद्ध रूसी वास्तुकार एम. कज़ाकोव ने अपने काम में "गोल्डन सेक्शन" का व्यापक रूप से उपयोग किया। उनकी प्रतिभा बहुमुखी थी, लेकिन काफी हद तक उन्होंने खुद को आवासीय भवनों और संपदाओं की कई पूर्ण परियोजनाओं में प्रकट किया। उदाहरण के लिए, "गोल्डन सेक्शन" क्रेमलिन में सीनेट भवन की वास्तुकला में पाया जा सकता है। एम. कज़ाकोव की परियोजना के अनुसार, गोलित्सिन अस्पताल मास्को में बनाया गया था, जिसे वर्तमान में फर्स्ट कहा जाता है नैदानिक ​​अस्पतालएन.आई. के नाम पर रखा गया पिरोगोव।

मॉस्को में पेत्रोव्स्की पैलेस। एम.एफ. की परियोजना के अनुसार निर्मित। कज़ाकोवा

मॉस्को की एक और वास्तुशिल्प कृति - पश्कोव हाउस - वी. बझेनोव द्वारा वास्तुकला के सबसे उत्तम कार्यों में से एक है।

पश्कोव हाउस

वी. बाझेनोव की अद्भुत रचना ने आधुनिक मॉस्को के केंद्र के समूह में मजबूती से प्रवेश किया है, इसे समृद्ध किया है। इस तथ्य के बावजूद कि 1812 में यह बुरी तरह जल गया था, घर का बाहरी दृश्य आज तक लगभग अपरिवर्तित बना हुआ है। जीर्णोद्धार के दौरान, इमारत ने और अधिक विशाल रूप प्राप्त कर लिया। इमारत के आंतरिक लेआउट को भी संरक्षित नहीं किया गया है, जिसका अंदाजा केवल निचली मंजिल के चित्र से ही चलता है।

वास्तुकार के कई कथन आज भी ध्यान देने योग्य हैं। अपनी पसंदीदा कला के बारे में, वी. बझेनोव ने कहा: "वास्तुकला के तीन मुख्य विषय हैं: इमारत की सुंदरता, शांति और ताकत... इसे प्राप्त करने के लिए, सामान्य रूप से अनुपात, परिप्रेक्ष्य, यांत्रिकी या भौतिकी का ज्ञान एक मार्गदर्शक के रूप में कार्य करता है, और उन सभी का एक ही नेता है, वह है कारण।"

संगीत में स्वर्णिम अनुपात

संगीत के किसी भी टुकड़े में एक समय अवधि होती है और इसे कुछ "सौंदर्य मील के पत्थर" में अलग-अलग हिस्सों में विभाजित किया जाता है जो ध्यान आकर्षित करते हैं और समग्र रूप से धारणा को सुविधाजनक बनाते हैं। ये मील के पत्थर किसी संगीत कार्य के गतिशील और अन्तर्राष्ट्रीय चरमोत्कर्ष बिंदु हो सकते हैं। एक नियम के रूप में, "क्लाइमेक्टिक इवेंट" से जुड़े संगीत के एक टुकड़े के अलग-अलग समय अंतराल, स्वर्ण अनुपात के अनुपात में होते हैं।

1925 में, कला समीक्षक एल.एल. सबनीव ने 42 लेखकों के 1770 संगीत टुकड़ों का विश्लेषण करके दिखाया कि उत्कृष्ट कार्यों के विशाल बहुमत को आसानी से थीम, या इंटोनेशन, या मोडल सिस्टम द्वारा भागों में विभाजित किया जा सकता है, जो सुनहरे खंड के संबंध में हैं। इसके अलावा, संगीतकार जितना अधिक प्रतिभाशाली था, उसकी रचनाओं में उतने ही सुनहरे खंड पाए जाते थे। सबनीव के अनुसार स्वर्णिम अनुपात एक विशेष सामंजस्य का आभास कराता है संगीत रचना. इस परिणाम को सबनीव द्वारा सभी 27 चोपिन एट्यूड्स पर सत्यापित किया गया था। उन्हें उनमें 178 स्वर्ण खंड मिले। इसी समय, यह पता चला कि न केवल एट्यूड के बड़े हिस्से को सुनहरे खंड के संबंध में अवधि के अनुसार विभाजित किया जाता है, बल्कि अंदर के एट्यूड के हिस्सों को अक्सर उसी अनुपात में विभाजित किया जाता है।

संगीतकार और वैज्ञानिक एम.ए. मारुतेव ने प्रसिद्ध अप्पासियोनाटा सोनाटा में उपायों की संख्या गिना और कई दिलचस्प संख्यात्मक संबंध पाए। विशेष रूप से, विकास में, सोनाटा की केंद्रीय संरचनात्मक इकाई, जहां विषयों को गहनता से विकसित किया जाता है और कुंजियाँ एक दूसरे को प्रतिस्थापित करती हैं, वहां दो मुख्य खंड होते हैं। पहले में - 43.25 चक्र, दूसरे में - 26.75। अनुपात 43.25:26.75=0.618:0.382=1.618 स्वर्णिम अनुपात देता है।

एरेन्स्की (95%), बीथोवेन (97%), हेडन (97%), मोजार्ट (91%), चोपिन (92%), शूबर्ट (91%) के कार्यों की संख्या सबसे अधिक है जिनमें गोल्डन सेक्शन है।

यदि संगीत ध्वनियों का सामंजस्यपूर्ण क्रम है, तो कविता वाणी का हार्मोनिक क्रम है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और बिना तनाव वाले अक्षरों का नियमित विकल्प, कविताओं की एक क्रमबद्ध आयामीता, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीत कार्यों की बहन बनाती है। कविता में स्वर्णिम अनुपात मुख्य रूप से कविता के एक निश्चित क्षण (चरमोत्कर्ष, शब्दार्थ मोड़,) की उपस्थिति के रूप में प्रकट होता है। मुख्य विचारउत्पाद) विभाजन बिंदु के कारण पंक्ति में कुल गणनाकविता की पंक्तियाँ सुनहरे अनुपात में। इसलिए, यदि कविता में 100 पंक्तियाँ हैं, तो स्वर्णिम अनुपात का पहला बिंदु 62वीं पंक्ति (62%) पर पड़ता है, दूसरा - 38वीं (38%) पर, आदि। अलेक्जेंडर सर्गेइविच पुश्किन की रचनाएँ, जिनमें "यूजीन वनगिन" भी शामिल है, सुनहरे अनुपात का बेहतरीन पत्राचार हैं! शोता रुस्तवेली और एम.यू. की कृतियाँ। लेर्मोंटोव का निर्माण भी गोल्डन सेक्शन के सिद्धांत पर किया गया है।

स्ट्राडिवेरी ने लिखा कि उन्होंने अपने प्रसिद्ध वायलिनों के शरीर पर एफ-आकार के निशानों के स्थान निर्धारित करने के लिए सुनहरे अनुपात का उपयोग किया।

कविता में स्वर्णिम खंड

इन पदों से काव्य रचनाओं का अध्ययन अभी प्रारंभ हो रहा है। और आपको ए.एस. की कविता से शुरुआत करनी होगी। पुश्किन। आख़िरकार, उनकी रचनाएँ रूसी संस्कृति की सबसे उत्कृष्ट कृतियों का एक उदाहरण हैं, एक उदाहरण हैं उच्चतम स्तरसद्भाव। ए.एस. की कविता से पुश्किन, हम सुनहरे अनुपात की खोज शुरू करेंगे - सद्भाव और सुंदरता का माप।

काव्य कृतियों की संरचना में बहुत कुछ इस कला रूप को संगीत से संबंधित बनाता है। एक स्पष्ट लय, तनावग्रस्त और बिना तनाव वाले अक्षरों का नियमित विकल्प, कविताओं की एक क्रमबद्ध आयामीता, उनकी भावनात्मक समृद्धि कविता को संगीत कार्यों की बहन बनाती है। प्रत्येक छंद का अपना संगीत रूप, अपनी लय और धुन होती है। यह उम्मीद की जा सकती है कि कविताओं की संरचना में संगीत कार्यों की कुछ विशेषताएं, पैटर्न दिखाई देंगे संगीतमय सामंजस्यऔर इसलिए स्वर्णिम अनुपात।

आइए कविता के आकार, यानी उसमें पंक्तियों की संख्या से शुरुआत करें। ऐसा प्रतीत होता है कि कविता का यह पैरामीटर मनमाने ढंग से बदल सकता है। हालाँकि, यह पता चला कि ऐसा नहीं था। उदाहरण के लिए, ए.एस. की कविताओं का विश्लेषण। पुश्किन ने दिखाया कि छंदों के आकार बहुत असमान रूप से वितरित हैं; यह पता चला कि पुश्किन स्पष्ट रूप से 5, 8, 13, 21 और 34 लाइनों (फाइबोनैचि संख्या) के आकार को पसंद करते हैं।

कई शोधकर्ताओं ने देखा है कि कविताएँ समान हैं संगीतमय कार्य; उनके पास चरम बिंदु भी हैं जो कविता को सुनहरे अनुपात के अनुपात में विभाजित करते हैं। उदाहरण के लिए, ए.एस. की एक कविता पर विचार करें। पुश्किन "शोमेकर":

आइए इस दृष्टांत का विश्लेषण करें। कविता में 13 पंक्तियाँ हैं। यह दो अर्थपूर्ण भागों पर प्रकाश डालता है: पहला 8 पंक्तियों में और दूसरा (दृष्टान्त का नैतिक) 5 पंक्तियों में (13, 8, 5 फाइबोनैचि संख्याएँ हैं)।

पुश्किन की आखिरी कविताओं में से एक, "मैं हाई-प्रोफाइल अधिकारों को महत्व नहीं देता..." में 21 पंक्तियाँ हैं और इसमें दो शब्दार्थ भाग प्रतिष्ठित हैं: 13 और 8 पंक्तियों में:

मैं हाई-प्रोफ़ाइल अधिकारों को महत्व नहीं देता, जिससे किसी को भी चक्कर नहीं आता. मैं इस बात पर शिकायत नहीं करता कि देवताओं ने इनकार कर दिया मैं चुनौतीपूर्ण करों के मीठे समूह में हूँ अथवा राजाओं को आपस में लड़ने से रोके; और मेरे लिए थोड़ा दुख की बात यह है कि प्रेस स्वतंत्र है मूर्ख बनाना, या संवेदनशील सेंसरशिप पत्रिका की योजनाओं में जोकर शर्मनाक है। यह सब, आप देखिए, शब्द, शब्द, शब्द। अन्य, बेहतर, अधिकार मुझे प्रिय हैं: एक और, बेहतर, मुझे आज़ादी चाहिए: राजा पर निर्भर रहो, प्रजा पर निर्भर रहो - क्या हम सबको परवाह नहीं है? भगवान उनके साथ हैं. रिपोर्ट न दें, केवल अपने आप को सेवा करो और कृपया; सत्ता के लिए, पोशाक के लिए न विवेक, न विचार, न गर्दन झुकाओ; अपनी मर्जी से इधर-उधर भटकना, प्रकृति के दिव्य सौन्दर्य से आश्चर्यचकित होकर, और कला और प्रेरणा के प्राणियों से पहले कोमलता के आनंद में खुशी से कांपते हुए, यहाँ खुशी है! यह सही है...

विशेषता यह है कि इस श्लोक का प्रथम भाग (13 पंक्तियाँ) शब्दार्थ की दृष्टि से 8 एवं 5 पंक्तियों में विभाजित है, अर्थात् सम्पूर्ण काव्य स्वर्णिम अनुपात के नियमों के अनुसार रचा गया है।

निस्संदेह रुचि एन. वास्युटिंस्की द्वारा बनाए गए उपन्यास "यूजीन वनगिन" का विश्लेषण है। इस उपन्यास में 8 अध्याय हैं, प्रत्येक में औसतन लगभग 50 छंद हैं। सबसे उत्तम, सबसे परिष्कृत और भावनात्मक रूप से समृद्ध आठवां अध्याय है। इसमें 51 श्लोक हैं। येवगेनी के तात्याना को लिखे पत्र (60 पंक्तियों) के साथ, यह बिल्कुल फाइबोनैचि संख्या 55 से मेल खाता है!

एन. वास्युटिंस्की कहते हैं: "अध्याय की परिणति एवगेनी द्वारा तात्याना के लिए प्यार की घोषणा है - पंक्ति "पीला और फीका ... यह आनंद है!" यह पंक्ति पूरे आठवें अध्याय को दो भागों में विभाजित करती है: पहले में 477 पंक्तियाँ हैं, और दूसरे में 295 पंक्तियाँ हैं। इनका अनुपात 1.617 है! स्वर्णिम अनुपात के मूल्य का सूक्ष्मतम पत्राचार! यह सद्भाव का एक महान चमत्कार है, जो पुश्किन की प्रतिभा द्वारा पूरा किया गया है!

ई. रोसेनोव ने एम.यू. की कई काव्य कृतियों का विश्लेषण किया। लेर्मोंटोव, शिलर, ए.के. टॉल्स्टॉय ने उनमें "स्वर्णिम खंड" की भी खोज की।

लेर्मोंटोव की प्रसिद्ध कविता "बोरोडिनो" को दो भागों में विभाजित किया गया है: कथावाचक को संबोधित एक परिचय, जिसमें केवल एक छंद है ("मुझे बताओ, चाचा, यह व्यर्थ नहीं है ..."), और मुख्य हिस्सा, एक स्वतंत्र संपूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, जो दो समकक्ष भागों में विभाजित है। उनमें से पहला, बढ़ते तनाव के साथ, एक लड़ाई की उम्मीद का वर्णन करता है, दूसरा कविता के अंत तक तनाव में धीरे-धीरे कमी के साथ लड़ाई का वर्णन करता है। इन भागों के बीच की सीमा कार्य का चरमोत्कर्ष है और इसे सुनहरे खंड द्वारा विभाजित करने के बिंदु पर बिल्कुल गिरती है।

कविता के मुख्य भाग में 13 सात पंक्तियाँ अर्थात् 91 पंक्तियाँ हैं। इसे सुनहरे अनुपात (91:1.618=56.238) से विभाजित करते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि विभाजन बिंदु 57वें श्लोक की शुरुआत में है, जहां एक छोटा वाक्यांश है: "ठीक है, यह एक दिन था!" यह वह वाक्यांश है जो "उत्साहित अपेक्षा के चरम बिंदु" का प्रतिनिधित्व करता है, जो कविता के पहले भाग (लड़ाई की उम्मीद) को समाप्त करता है और इसके दूसरे भाग (लड़ाई का विवरण) को खोलता है।

इस प्रकार, स्वर्णिम अनुपात कविता में एक बहुत ही सार्थक भूमिका निभाता है, जो कविता के चरमोत्कर्ष को उजागर करता है।

शोटा रुस्तवेली की कविता "द नाइट इन द पैंथर्स स्किन" के कई शोधकर्ता उनकी कविता के असाधारण सामंजस्य और माधुर्य पर ध्यान देते हैं। कविता के ये गुण जॉर्जियाई वैज्ञानिक, शिक्षाविद् जी.वी. त्सेरेटेली इसका श्रेय कवि द्वारा कविता के स्वरूप के निर्माण और अपनी कविताओं के निर्माण में सुनहरे अनुपात के सचेत उपयोग को देती है।

रुस्तवेली की कविता में 1587 छंद हैं, जिनमें से प्रत्येक में चार पंक्तियाँ हैं। प्रत्येक पंक्ति में 16 अक्षर होते हैं और प्रत्येक आधी पंक्ति में 8 अक्षरों के दो बराबर भागों में विभाजित होती है। सभी हेमिस्टिच को दो प्रकार के दो खंडों में विभाजित किया गया है: ए - समान खंडों वाला एक हेमिस्टिच और बराबर संख्याशब्दांश (4+4); बी दो असमान भागों (5+3 या 3+5) में एक असममित विभाजन के साथ एक अर्ध-रेखा है। इस प्रकार, आधी रेखा बी में, अनुपात 3:5:8 है, जो सुनहरे अनुपात का एक अनुमान है।

यह स्थापित किया गया है कि रुस्तवेली की कविता में 1587 छंदों में से आधे से अधिक (863) स्वर्ण खंड के सिद्धांत के अनुसार निर्मित हैं।

हमारे समय में, एक नई तरह की कला का जन्म हुआ है - सिनेमा, जिसने एक्शन, पेंटिंग, संगीत की नाटकीयता को अवशोषित किया है। सिनेमैटोग्राफी के उत्कृष्ट कार्यों में सुनहरे खंड की अभिव्यक्तियों की तलाश करना वैध है। ऐसा करने वाले पहले व्यक्ति विश्व सिनेमा की उत्कृष्ट कृति "बैटलशिप पोटेमकिन" के निर्माता, फिल्म निर्देशक सर्गेई ईसेनस्टीन थे। इस चित्र के निर्माण में, वह सामंजस्य के मूल सिद्धांत - स्वर्णिम अनुपात - को मूर्त रूप देने में कामयाब रहे। जैसा कि आइज़ेंस्टीन ने स्वयं नोट किया है, विद्रोही युद्धपोत के मस्तूल पर लाल झंडा (फिल्म का चरम बिंदु) सुनहरे अनुपात के बिंदु पर फहराता है, जिसे फिल्म के अंत से गिना जाता है।

फ़ॉन्ट और घरेलू वस्तुओं में स्वर्णिम अनुपात

प्राचीन ग्रीस की एक विशेष प्रकार की ललित कला में सभी प्रकार के जहाजों के निर्माण और पेंटिंग पर प्रकाश डाला जाना चाहिए। एक सुंदर रूप में, सुनहरे खंड के अनुपात का अनुमान आसानी से लगाया जा सकता है।

मंदिरों की पेंटिंग और मूर्तिकला में, घरेलू वस्तुओं पर, प्राचीन मिस्रवासी अक्सर देवताओं और फिरौन को चित्रित करते थे। खड़े, चलते, बैठते आदि व्यक्ति की छवि के सिद्धांत स्थापित किए गए। कलाकारों को तालिकाओं और नमूनों से छवियों के व्यक्तिगत रूपों और योजनाओं को याद रखना आवश्यक था। प्राचीन यूनानी कलाकारों ने कैनन का उपयोग करना सीखने के लिए मिस्र की विशेष यात्राएँ कीं।

बाहरी वातावरण के इष्टतम भौतिक पैरामीटर

यह ज्ञात है कि अधिकतम ध्वनि आवाज़, जो दर्द का कारण बनता है, 130 डेसिबल के बराबर है। यदि हम इस अंतराल को 1.618 के सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं, तो हमें 80 डेसिबल मिलते हैं, जो एक मानव चीख की ज़ोर के लिए विशिष्ट हैं। यदि अब हम 80 डेसिबल को सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं, तो हमें 50 डेसिबल मिलता है, जो मानव भाषण की तीव्रता से मेल खाता है। अंत में, यदि हम 50 डेसिबल को 2.618 के सुनहरे अनुपात के वर्ग से विभाजित करते हैं, तो हमें 20 डेसिबल मिलता है, जो एक मानव फुसफुसाहट के अनुरूप है। इस प्रकार, ध्वनि की मात्रा के सभी विशिष्ट पैरामीटर सुनहरे अनुपात के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं।

18-20 0 C के अंतराल के तापमान पर नमी 40-60% को इष्टतम माना जाता है। यदि 100% की पूर्ण आर्द्रता को सुनहरे अनुपात से दो बार विभाजित किया जाए तो इष्टतम आर्द्रता सीमा की सीमाएँ प्राप्त की जा सकती हैं: 100 / 2.618 = 38.2% (निचली सीमा); 100/1.618=61.8% (ऊपरी सीमा)।

पर हवा का दबाव 0.5 एमपीए, एक व्यक्ति को असुविधा का अनुभव होता है, उसकी शारीरिक और मनोवैज्ञानिक गतिविधि. 0.3-0.35 एमपीए के दबाव पर, केवल अल्पकालिक संचालन की अनुमति है, और 0.2 एमपीए के दबाव पर, इसे 8 मिनट से अधिक समय तक काम करने की अनुमति नहीं है। ये सभी विशिष्ट पैरामीटर सुनहरे अनुपात द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं: 0.5/1.618=0.31 एमपीए; 0.5/2.618=0.19 एमपीए।

सीमा पैरामीटर बाहरी तापमान, जिसके भीतर किसी व्यक्ति का सामान्य अस्तित्व (और, सबसे महत्वपूर्ण, उत्पत्ति) संभव है, तापमान सीमा 0 से + (57-58) 0 सी तक है। जाहिर है, स्पष्टीकरण की पहली सीमा को छोड़ा जा सकता है।

हम सकारात्मक तापमान की संकेतित सीमा को सुनहरे अनुपात से विभाजित करते हैं। इस मामले में, हमें दो सीमाएँ मिलती हैं (दोनों सीमाएँ मानव शरीर के लिए विशिष्ट तापमान हैं): पहली सीमा तापमान से मेल खाती है, दूसरी सीमा मानव शरीर के लिए अधिकतम संभव बाहरी हवा के तापमान से मेल खाती है।

पेंटिंग में स्वर्ण खंड

पुनर्जागरण में भी, कलाकारों ने पाया कि किसी भी चित्र में कुछ बिंदु होते हैं जो अनायास ही हमारा ध्यान आकर्षित करते हैं, तथाकथित दृश्य केंद्र। इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि चित्र क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर किस प्रारूप में है। ऐसे केवल चार बिंदु हैं, और वे समतल के संगत किनारों से 3/8 और 5/8 की दूरी पर स्थित हैं।

उस समय के कलाकारों के बीच इस खोज को चित्र का "सुनहरा खंड" कहा जाता था।

पेंटिंग में "गोल्डन सेक्शन" के उदाहरणों की ओर मुड़ते हुए, कोई भी लियोनार्डो दा विंची के काम पर अपना ध्यान नहीं रोक सकता है। उनकी पहचान इतिहास के रहस्यों में से एक है। लियोनार्डो दा विंची ने स्वयं कहा था: "कोई भी जो गणितज्ञ नहीं है वह मेरे कार्यों को पढ़ने का साहस न करे।"

उन्होंने एक नायाब कलाकार, एक महान वैज्ञानिक, एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के रूप में ख्याति प्राप्त की, जिन्होंने कई ऐसे आविष्कारों का अनुमान लगाया जो 20 वीं शताब्दी तक लागू नहीं किए गए थे।

इसमें कोई संदेह नहीं है कि लियोनार्डो दा विंची एक महान कलाकार थे, उनके समकालीनों ने पहले ही यह पहचान लिया था, लेकिन उनका व्यक्तित्व और गतिविधियाँ रहस्य में डूबी रहेंगी, क्योंकि उन्होंने भावी पीढ़ी के लिए अपने विचारों की सुसंगत प्रस्तुति नहीं, बल्कि केवल कई हस्तलिखित रेखाचित्र, नोट्स छोड़े थे। जो कहता है "दुनिया में सब कुछ।"

वह दाएँ से बाएँ अपठनीय लिखावट में और बाएँ हाथ से लिखता था। यह अस्तित्व में दर्पण लेखन का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है।

मोना लिसा का पोर्ट्रेट (मोना लिसा) लंबे सालने शोधकर्ताओं का ध्यान आकर्षित किया, जिन्होंने पाया कि चित्र की संरचना सुनहरे त्रिकोणों पर आधारित है, जो एक नियमित तारा पंचकोण के हिस्से हैं। इस चित्र के इतिहास के बारे में कई संस्करण हैं। उनमें से एक यहां पर है।

एक बार लियोनार्डो दा विंची को बैंकर फ्रांसेस्को डेल जिओकोंडो से एक युवा महिला, बैंकर की पत्नी, मोना लिसा का चित्र बनाने का आदेश मिला। वह महिला सुंदर नहीं थी, लेकिन वह अपने रूप-रंग की सादगी और स्वाभाविकता से आकर्षित थी। लियोनार्डो एक चित्र बनाने के लिए सहमत हुए। उनकी मॉडल दुखी और उदास थी, लेकिन लियोनार्डो ने उसे एक परी कथा सुनाई, जिसे सुनने के बाद वह जीवंत और दिलचस्प हो गई।

परी कथा. एक बार की बात है, एक गरीब आदमी था, उसके चार बेटे थे: तीन होशियार, और उनमें से एक इस तरह का और एक वैसा। और फिर पिता के लिए मौत आ गई. अपने जीवन से अलग होने से पहले, उन्होंने अपने बच्चों को अपने पास बुलाया और कहा: “मेरे बेटों, जल्द ही मैं मर जाऊँगा। जैसे ही तुम मुझे दफनाओगे, झोपड़ी में ताला लगा दो और अपना भाग्य बनाने के लिए दुनिया के अंत तक चले जाओ। आपमें से हर कोई कुछ न कुछ सीखे ताकि आप अपना पेट भर सकें।” पिता की मृत्यु हो गई, और बेटे दुनिया भर में फैल गए, तीन साल बाद अपने मूल उपवन में लौटने के लिए सहमत हुए। पहला भाई आया, जिसने बढ़ईगीरी सीखी, एक पेड़ काटा और उसे काटा, उसमें से एक औरत बनाई, थोड़ा दूर चला गया और इंतजार करता रहा। दूसरा भाई लौटा, उसने एक लकड़ी की औरत को देखा और चूँकि वह एक दर्जी था, उसने एक मिनट में उसे कपड़े पहनाए: एक कुशल कारीगर के रूप में, उसने उसके लिए सुंदर रेशमी कपड़े सिल दिए। तीसरे बेटे ने महिला को सोने से सजाया और कीमती पत्थरक्योंकि वह एक जौहरी था. आख़िरकार चौथा भाई आ गया। वह बढ़ईगीरी और सिलाई करना नहीं जानता था, वह केवल यह जानता था कि पृथ्वी, पेड़, जड़ी-बूटियाँ, पशु और पक्षी क्या कह रहे हैं, उसे कैसे सुनना है, वह आकाशीय पिंडों की गति जानता था और अद्भुत गीत गाना भी जानता था। उसने एक गाना गाया जिससे झाड़ियों के पीछे छिपे भाई रोने लगे। इस गाने से उसने महिला को पुनर्जीवित कर दिया, वह मुस्कुराई और आह भरी। भाई उसके पास दौड़े और प्रत्येक ने एक ही बात चिल्लाई: "तुम्हें मेरी पत्नी बनना होगा।" लेकिन महिला ने उत्तर दिया: “तुमने मुझे बनाया - मेरे पिता बनो। तुमने मुझे कपड़े पहनाए, और तुमने मुझे सजाया - मेरे भाई बनो। और तुम, जिसने मुझमें मेरी आत्मा फूंक दी और मुझे जीवन का आनंद लेना सिखाया, मुझे जीवन भर तुम्हारी ही जरूरत है।

कहानी ख़त्म करने के बाद, लियोनार्डो ने मोना लिसा की ओर देखा, उसका चेहरा चमक उठा, उसकी आँखें चमक उठीं। फिर, मानो स्वप्न से जागी हो, उसने आह भरी, अपना हाथ अपने चेहरे पर फिराया, और बिना कुछ बोले अपनी जगह पर चली गई, हाथ जोड़े और अपनी सामान्य मुद्रा में आ गई। लेकिन काम तो हो गया - कलाकार ने उदासीन प्रतिमा को जगा दिया; आनंद की मुस्कान, उसके चेहरे से धीरे-धीरे गायब हो रही थी, उसके मुंह के कोनों में ही रह गई और कांपने लगी, जिससे उसके चेहरे पर एक अद्भुत, रहस्यमय और थोड़ा धूर्त अभिव्यक्ति हो गई, जैसे उस व्यक्ति की तरह जिसने एक रहस्य जान लिया है और, इसे ध्यान से रखते हुए, नहीं कर सकता उसकी विजय को रोको. लियोनार्डो ने चुपचाप काम किया, इस पल को चूकने के डर से, सूरज की इस किरण ने उसके उबाऊ मॉडल को रोशन कर दिया...

यह नोट करना मुश्किल है कि कला की इस उत्कृष्ट कृति में क्या देखा गया था, लेकिन सभी ने मानव शरीर की संरचना के बारे में लियोनार्डो के गहरे ज्ञान के बारे में बात की, जिसकी बदौलत वह इस रहस्यमयी मुस्कान को पकड़ने में कामयाब रहे। उन्होंने चित्र के अलग-अलग हिस्सों की अभिव्यंजना और चित्र के अभूतपूर्व साथी परिदृश्य के बारे में बात की। उन्होंने अभिव्यक्ति की स्वाभाविकता, मुद्रा की सरलता, हाथों की सुंदरता के बारे में बात की। कलाकार ने कुछ अभूतपूर्व किया है: चित्र में हवा को दर्शाया गया है, यह आकृति को पारदर्शी धुंध से ढक देता है। सफलता के बावजूद, लियोनार्डो उदास थे, फ्लोरेंस की स्थिति कलाकार को दर्दनाक लग रही थी, वह जाने के लिए तैयार हो गए। बाढ़ के आदेशों की याद दिलाने से उसे कोई मदद नहीं मिली।

आई.आई. की तस्वीर में सुनहरा खंड शिश्किन "पाइन ग्रोव"। इस में प्रसिद्ध पेंटिंगआई.आई. शिश्किन के अनुसार, सुनहरे खंड के उद्देश्य स्पष्ट रूप से दिखाई देते हैं। चमकदार रोशनी वाला देवदार का पेड़ (अग्रभूमि में खड़ा) चित्र की लंबाई को सुनहरे अनुपात के अनुसार विभाजित करता है। देवदार के पेड़ के दाहिनी ओर सूर्य से प्रकाशित एक पहाड़ी है। यह चित्र के दाहिने हिस्से को सुनहरे अनुपात के अनुसार क्षैतिज रूप से विभाजित करता है। मुख्य देवदार के बाईं ओर कई देवदार के पेड़ हैं - यदि आप चाहें, तो आप चित्र को सुनहरे अनुपात के अनुसार और आगे भी सफलतापूर्वक विभाजित करना जारी रख सकते हैं।

पाइन ग्रोव

चित्र में उज्ज्वल ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की उपस्थिति, इसे सुनहरे खंड के संबंध में विभाजित करते हुए, इसे कलाकार के इरादे के अनुसार संतुलन और शांति का चरित्र प्रदान करती है। जब कलाकार का इरादा अलग होता है, मान लीजिए, वह तेजी से विकसित होने वाली क्रिया के साथ एक चित्र बनाता है, तो रचना की ऐसी ज्यामितीय योजना (ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज की प्रबलता के साथ) अस्वीकार्य हो जाती है।

में और। सुरिकोव। "बोयार मोरोज़ोवा"

उसकी भूमिका चित्र के मध्य भाग को सौंपी गई है। यह चित्र के कथानक के उच्चतम उत्थान के बिंदु और निम्नतम पतन के बिंदु से बंधा हुआ है: दो अंगुलियों के साथ क्रॉस के चिन्ह के साथ मोरोज़ोवा के हाथ का उत्थान, उच्चतम बिंदु के रूप में; असहाय होकर उसी महानुभाव की ओर हाथ बढ़ाया, लेकिन इस बार एक बूढ़ी औरत का हाथ - एक भिखारी पथिक, एक ऐसा हाथ जिसके नीचे से, मुक्ति की आखिरी आशा के साथ, स्लेज का अंत भी निकल जाता है।

और "के बारे में क्या?" सबसे ऊंचा स्थान"? पहली नज़र में, हमारे पास एक विरोधाभास प्रतीत होता है: आखिरकार, खंड ए 1 बी 1, जो चित्र के दाहिने किनारे से 0.618 ... है, बांह से नहीं गुजरता है, यहां तक ​​कि सिर या आंख से भी नहीं गुजरता है। रईस, लेकिन रईस के मुंह के सामने कहीं न कहीं निकलता है।

स्वर्णिम अनुपात वास्तव में यहां सबसे महत्वपूर्ण बात पर कटौती करता है। उनमें, और ठीक उन्हीं में, मोरोज़ोवा की सबसे बड़ी ताकत है।

सैंड्रो बोथीसेली की पेंटिंग से अधिक काव्यात्मक कोई पेंटिंग नहीं है, और महान सैंड्रो की वीनस से अधिक प्रसिद्ध कोई पेंटिंग नहीं है। बॉटलिकली के लिए, उनका शुक्र प्रकृति में प्रचलित "सुनहरे खंड" की सार्वभौमिक सद्भाव के विचार का अवतार है। शुक्र का आनुपातिक विश्लेषण हमें इस बात से आश्वस्त करता है।

शुक्र

राफेल "एथेंस स्कूल"। राफेल गणितज्ञ नहीं थे, लेकिन, उस युग के कई कलाकारों की तरह, उन्हें ज्यामिति का काफी ज्ञान था। प्रसिद्ध फ्रेस्को "द स्कूल ऑफ एथेंस" में, जहां पुरातनता के महान दार्शनिकों का समाज विज्ञान के मंदिर में आयोजित किया जाता है, हमारा ध्यान सबसे बड़े प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड के समूह की ओर आकर्षित होता है, जो एक जटिल चित्र को अलग करता है।

दो त्रिभुजों का सरल संयोजन भी सुनहरे अनुपात के अनुसार बनाया गया है: इसे 5/8 के पहलू अनुपात के साथ एक आयत में अंकित किया जा सकता है। यह चित्र वास्तुकला के ऊपरी भाग में सम्मिलित करना आश्चर्यजनक रूप से आसान है। शीर्ष कोनात्रिकोण दर्शक के निकटतम क्षेत्र में मेहराब के कीस्टोन पर टिका हुआ है, निचला वाला - परिप्रेक्ष्य के लुप्त बिंदु पर, और पार्श्व भाग मेहराब के दो हिस्सों के बीच स्थानिक अंतर के अनुपात को इंगित करता है।

राफेल की पेंटिंग "द नरसंहार ऑफ द इनोसेंट्स" में सुनहरा सर्पिल। सुनहरे खंड के विपरीत, गतिशीलता, उत्तेजना की भावना शायद एक और सरल ज्यामितीय आकृति - सर्पिल में सबसे अधिक स्पष्ट होती है। 1509 - 1510 में राफेल द्वारा बनाई गई बहु-आकृति रचना, जब प्रसिद्ध चित्रकार ने वेटिकन में अपने भित्तिचित्र बनाए, केवल कथानक की गतिशीलता और नाटकीयता से प्रतिष्ठित है। राफेल ने कभी भी अपने विचार को पूरा नहीं किया, हालांकि, उनके स्केच को एक अज्ञात इतालवी ग्राफिक कलाकार मार्केंटिनियो रायमोंडी ने उकेरा था, जिन्होंने इस स्केच के आधार पर मासूमों के नरसंहार की नक्काशी बनाई थी।

निर्दोषों का नरसंहार

यदि राफेल के प्रारंभिक स्केच पर हम मानसिक रूप से रचना के शब्दार्थ केंद्र से चलने वाली रेखाएँ खींचते हैं - वे बिंदु जहाँ योद्धा की उंगलियाँ बच्चे के टखने के चारों ओर बंद हो जाती हैं, बच्चे की आकृतियों के साथ, महिला उसे अपने पास रखती है, तलवार उठाए हुए योद्धा, और फिर दाहिनी ओर उसी समूह की आकृतियों के साथ रेखाचित्र बनाएं (आकृति में, ये रेखाएँ लाल रंग में खींची गई हैं), और फिर वक्र के इन टुकड़ों को एक बिंदीदार रेखा से जोड़ें, फिर एक सुनहरा सर्पिल बहुत उच्च सटीकता के साथ प्राप्त किया जाता है। इसे वक्र की शुरुआत से गुजरने वाली सीधी रेखाओं पर सर्पिल द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई के अनुपात को मापकर जांचा जा सकता है।

स्वर्ण अनुपात और छवि धारणा

गोल्डन सेक्शन एल्गोरिदम के अनुसार निर्मित वस्तुओं को सुंदर, आकर्षक और सामंजस्यपूर्ण के रूप में अलग करने की मानव दृश्य विश्लेषक की क्षमता लंबे समय से ज्ञात है। स्वर्णिम अनुपात सबसे उत्तम एकीकृत संपूर्णता का एहसास देता है। कई पुस्तकों का प्रारूप स्वर्णिम अनुपात का अनुसरण करता है। इसे खिड़कियों, पेंटिंगों और लिफाफों, टिकटों, बिजनेस कार्डों के लिए चुना जाता है। एक व्यक्ति को संख्या Ф के बारे में कुछ भी पता नहीं हो सकता है, लेकिन वस्तुओं की संरचना के साथ-साथ घटनाओं के अनुक्रम में, वह अवचेतन रूप से सुनहरे अनुपात के तत्वों को पाता है।

ऐसे अध्ययन किए गए हैं जिनमें विषयों को विभिन्न अनुपातों के आयतों का चयन करने और उनकी प्रतिलिपि बनाने के लिए कहा गया था। चुनने के लिए तीन आयतें थीं: एक वर्ग (40:40 मिमी), 1:1.62 (31:50 मिमी) के पहलू अनुपात के साथ एक "गोल्डन सेक्शन" आयत और 1:2.31 (26:) के विस्तारित अनुपात के साथ एक आयत। 60 मिमी)।

सामान्य अवस्था में आयत चुनते समय, आधे मामलों में वर्ग को प्राथमिकता दी जाती है। दायां गोलार्ध सुनहरे अनुपात को प्राथमिकता देता है और लम्बी आयत को अस्वीकार करता है। इसके विपरीत, बायां गोलार्ध लम्बे अनुपात की ओर बढ़ता है और सुनहरे अनुपात को अस्वीकार कर देता है।

इन आयतों की नकल करते समय, निम्नलिखित देखा गया: जब दायां गोलार्ध सक्रिय था, तो प्रतियों में अनुपात सबसे सटीक रूप से बनाए रखा गया था; जब बायां गोलार्ध सक्रिय था, तो सभी आयतों का अनुपात विकृत हो गया था, आयतें खिंच गईं (वर्ग को 1:1.2 के पहलू अनुपात के साथ एक आयत के रूप में खींचा गया था; खिंचे हुए आयत का अनुपात तेजी से बढ़ गया और 1:2.8 तक पहुंच गया) ). "सुनहरे" आयत के अनुपात सबसे अधिक विकृत थे; प्रतियों में इसका अनुपात आयत 1:2.08 का अनुपात बन गया।

अपने स्वयं के चित्र बनाते समय, सुनहरे अनुपात के करीब और लम्बाई का अनुपात प्रबल होता है। औसतन, अनुपात 1:2 है, जबकि दायां गोलार्ध सुनहरे खंड के अनुपात को पसंद करता है, बायां गोलार्ध सुनहरे खंड के अनुपात से दूर चला जाता है और पैटर्न को फैलाता है।

अब कुछ आयत बनाएं, उनकी भुजाओं को मापें और पक्षानुपात ज्ञात करें। आपके पास कौन सा गोलार्ध है?

फोटोग्राफी में स्वर्णिम अनुपात

फोटोग्राफी में सुनहरे अनुपात के उपयोग का एक उदाहरण फ्रेम के प्रमुख घटकों का उन बिंदुओं पर स्थान है जो फ्रेम के किनारों से 3/8 और 5/8 पर स्थित हैं। इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट किया जा सकता है: एक बिल्ली की तस्वीर, जो फ्रेम में एक मनमाने स्थान पर स्थित है।

आइए अब फ्रेम को सशर्त रूप से फ्रेम के प्रत्येक तरफ से कुल लंबाई के 1.62 के अनुपात में खंडों में विभाजित करें। खंडों के चौराहे पर, मुख्य "दृश्य केंद्र" होंगे जिनमें छवि के आवश्यक प्रमुख तत्वों को रखना उचित है। आइए अपनी बिल्ली को "दृश्य केंद्रों" के बिंदुओं पर ले जाएं।

स्वर्णिम अनुपात और स्थान

खगोल विज्ञान के इतिहास से ज्ञात होता है कि 18वीं शताब्दी के जर्मन खगोलशास्त्री आई. टिटियस ने इस श्रृंखला का उपयोग करके सौर मंडल के ग्रहों के बीच की दूरी में नियमितता और व्यवस्था पाई थी।

हालाँकि, एक मामला जो कानून के विरुद्ध प्रतीत होता था: मंगल और बृहस्पति के बीच कोई ग्रह नहीं था। आकाश के इस क्षेत्र के केंद्रित अवलोकन से क्षुद्रग्रह बेल्ट की खोज हुई। यह 19वीं सदी की शुरुआत में टिटियस की मृत्यु के बाद हुआ। फाइबोनैचि श्रृंखला का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: इसकी मदद से, वे जीवित प्राणियों की वास्तुकला, और मानव निर्मित संरचनाओं और आकाशगंगाओं की संरचना का प्रतिनिधित्व करते हैं। ये तथ्य संख्या श्रृंखला की अभिव्यक्ति की स्थितियों से स्वतंत्रता के प्रमाण हैं, जो इसकी सार्वभौमिकता के संकेतों में से एक है।

आकाशगंगा के दो सुनहरे सर्पिल डेविड स्टार के साथ संगत हैं।

आकाशगंगा से सफ़ेद सर्पिल में उभरते तारों पर ध्यान दें। एक सर्पिल से ठीक 180 0 पर, एक और खुला सर्पिल निकलता है... लंबे समय तक, खगोलविदों का बस यही मानना ​​था कि जो कुछ भी वहां है वह वही है जो हम देखते हैं; यदि कुछ दिखाई दे रहा है, तो वह अस्तित्व में है। या तो उन्होंने वास्तविकता के अदृश्य हिस्से पर ध्यान ही नहीं दिया, या उन्होंने इसे महत्वपूर्ण नहीं माना। लेकिन हमारी वास्तविकता का अदृश्य पक्ष वास्तव में दृश्य पक्ष से बहुत बड़ा है और, शायद, अधिक महत्वपूर्ण है... दूसरे शब्दों में, वास्तविकता का दृश्य भाग संपूर्ण के एक प्रतिशत से भी बहुत कम है - लगभग कुछ भी नहीं। वास्तव में, हमारा सच्चा घर अदृश्य ब्रह्मांड है...

ब्रह्मांड में, मानव जाति को ज्ञात सभी आकाशगंगाएँ और उनमें मौजूद सभी पिंड स्वर्ण खंड के सूत्र के अनुरूप एक सर्पिल के रूप में मौजूद हैं। हमारी आकाशगंगा के सर्पिल में स्वर्णिम अनुपात निहित है

निष्कर्ष

प्रकृति, जिसे संपूर्ण विश्व अपने विभिन्न रूपों में समझा जाता है, मानो दो भागों से बनी है: सजीव और निर्जीव प्रकृति। निर्जीव प्रकृति की रचनाओं को मानव जीवन के पैमाने के आधार पर उच्च स्थिरता, कम परिवर्तनशीलता की विशेषता है। एक व्यक्ति जन्म लेता है, जीवित रहता है, बूढ़ा होता है, मर जाता है, लेकिन ग्रेनाइट पहाड़ वैसे ही रहते हैं और ग्रह सूर्य के चारों ओर उसी तरह घूमते हैं जैसे पाइथागोरस के समय में थे।

वन्य जीवन की दुनिया हमारे सामने बिल्कुल अलग दिखाई देती है - गतिशील, परिवर्तनशील और आश्चर्यजनक रूप से विविध। जीवन हमें रचनात्मक संयोजनों की विविधता और मौलिकता का एक शानदार कार्निवल दिखाता है! निर्जीव प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, समरूपता की दुनिया है, जो उनकी रचनाओं को स्थिरता और सुंदरता देती है। प्रकृति की दुनिया, सबसे पहले, सद्भाव की दुनिया है, जिसमें "स्वर्णिम खंड का कानून" संचालित होता है।

में आधुनिक दुनियाप्रकृति पर मनुष्य के बढ़ते प्रभाव के संबंध में विज्ञान का विशेष महत्व है। वर्तमान चरण में महत्वपूर्ण कार्य मनुष्य और प्रकृति के सह-अस्तित्व के नए तरीकों की खोज, समाज के सामने आने वाली दार्शनिक, सामाजिक, आर्थिक, शैक्षिक और अन्य समस्याओं का अध्ययन करना है।

इस पेपर में "गोल्डन सेक्शन" के गुणों का सजीव और निर्जीव पर प्रभाव बताया गया है वन्य जीवन, समग्र रूप से मानव जाति और ग्रह के इतिहास के विकास के ऐतिहासिक पाठ्यक्रम पर। उपरोक्त सभी का विश्लेषण करते हुए, कोई एक बार फिर दुनिया की अनुभूति की प्रक्रिया की भव्यता, इसके नए पैटर्न की खोज पर आश्चर्यचकित हो सकता है और निष्कर्ष निकाल सकता है: सुनहरे खंड का सिद्धांत संरचनात्मक और कार्यात्मक पूर्णता की उच्चतम अभिव्यक्ति है। कला, विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रकृति में संपूर्ण और उसके भाग। यह उम्मीद की जा सकती है कि प्रकृति की विभिन्न प्रणालियों के विकास के नियम, विकास के नियम बहुत विविध नहीं हैं और इन्हें सबसे विविध संरचनाओं में खोजा जा सकता है। यह प्रकृति की एकता की अभिव्यक्ति है। विषम प्राकृतिक घटनाओं में समान पैटर्न की अभिव्यक्ति के आधार पर ऐसी एकता के विचार ने पाइथागोरस से लेकर आज तक अपनी प्रासंगिकता बरकरार रखी है।

उदाहरण के लिए, गुलाब सुंदर क्यों है? या सूरजमुखी? या मोर की पूँछ? आपका पसंदीदा कुत्ता और कम पसंदीदा बिल्ली नहीं? "बहुत सरल!" - गणितज्ञ जवाब देंगे और कानून की व्याख्या करना शुरू करेंगे, जो प्राचीन काल में खोजा गया था (शायद यह प्रकृति में देखा गया था) और इसे स्वर्णिम अनुपात कहा जाता था।

हमारा सुझाव है कि आप एक "गोल्डन कंपास" बनाएं - सबसे सरल उपकरणस्वर्णिम अनुपात को मापने के लिए, जिसे प्राचीन काल से जाना जाता है। इससे आस-पास की वस्तुओं में गणितीय रूप से सत्यापित सामंजस्य खोजने में मदद मिलेगी।

1. हमें समान लंबाई की दो स्ट्रिप्स चाहिए - लकड़ी, कार्डबोर्ड या मोटे कागज से बनी, साथ ही वॉशर और नट के साथ एक बोल्ट।

2. हम दोनों बार में एक छेद ड्रिल करते हैं ताकि छेद का मध्य बार को सुनहरे अनुपात में विभाजित करे, अर्थात, इसके बड़े हिस्से की लंबाई, पूरे बार की लंबाई से विभाजित होकर, 1.618 के बराबर होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि बार की लंबाई 10 सेमी है, तो छेद को 10 x 0.618 = 6.18 सेमी के किसी एक किनारे से पीछे हटते हुए ड्रिल किया जाना चाहिए। यदि बार की लंबाई 1 मीटर है, तो हम छेद ड्रिल करते हैं, किनारे से पीछे हटते हुए 100 x 0.618 = 61.8 सेमी.

3. हम तख्तों को एक बोल्ट से जोड़ते हैं ताकि वे घर्षण के साथ इसके चारों ओर घूम सकें। घेरा तैयार है. त्रिभुजों की समानता के नियमों के अनुसार, कम्पास के छोटे और बड़े पैरों के सिरों के बीच की दूरी उसी तरह से संबंधित होती है जैसे बार के छोटे हिस्से की लंबाई बड़े हिस्से से होती है, यानी उनका अनुपात होता है φ = 1.618.

4. अब आप अन्वेषण शुरू कर सकते हैं! आइए जाँच करें कि क्या किसी व्यक्ति का निर्माण स्वर्णिम अनुपात के नियमों के अनुसार किया गया था।

आइए एक बड़े कंपास समाधान में ठोड़ी से नाक के पुल तक की दूरी लें। हम कम्पास को अपनी उंगलियों से दबाकर इस दूरी को तय करते हैं और इसे पलट देते हैं। एक छोटे घोल में नाक के पुल से बालों की जड़ों तक की दूरी को फिट करें। इसका मतलब यह है कि नाक के पुल पर बिंदु हमारे चेहरे को सुनहरे अनुपात में विभाजित करता है!

5. यदि आप सुनहरे अनुपात के नियमों से रोमांचित हैं, तो हम "गोल्डन कंपास" को थोड़ा अधिक जटिल डिज़ाइन बनाने का सुझाव देते हैं। कैसे? अपने बारे में सोचने का प्रयास करें.

जो चीजें आपको सुंदर लगती हैं, उनमें सुनहरे अनुपात की तलाश करें - आप निश्चित रूप से उनमें सुनहरा अनुपात पाएंगे और सुनिश्चित करेंगे कि हमारी दुनिया सुंदर और सामंजस्यपूर्ण है! शोध में सफलता!

अक्सर आपको ऐसी स्थिति से जूझना पड़ता है जब आपके द्वारा खींचा गया तत्व "बजता नहीं है"? कुछ गड़बड़ है क्या? ग़लत अनुपात?

यह तर्क नहीं दिया जाना चाहिए कि प्रकृति में कोई आदर्श नहीं है, क्योंकि यह मौजूद है और गणित और ज्यामिति की मदद से बहुत पहले ही इसका अनुमान लगा लिया गया था। "गोल्डन सेक्शन" शब्द को सबसे पहले पेश करने वाले व्यक्ति का नाम अज्ञात है, हालांकि कई लोग यह मानने के आदी हैं कि यह लियोनार्डो दा विंची हैं। इस शब्द की सबसे पहली उपस्थिति 1835 में मार्टिन ओम की बदौलत उनके प्योर एलीमेंट्री मैथमेटिक्स के दूसरे संस्करण के फ़ुटनोट में हुई।

गोल्डन सेक्शन फॉर्मूला कैसा दिखता है?

यह सामंजस्यपूर्ण अनुपातदो मात्राएँ b और a, a > b, जब a/b = (a+b)/a सत्य है। अनुपात a/b के बराबर संख्या को आमतौर पर बड़े ग्रीक अक्षर से दर्शाया जाता है

(\displaystyle \phi )

के सम्मान में प्राचीन यूनानी मूर्तिकारऔर वास्तुकार फ़िडियास।

व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, वे = 1.618 या = 1.62 के अनुमानित मान तक सीमित हैं। एक पूर्ण प्रतिशत में, स्वर्णिम अनुपात 62% और 38% के संबंध में एक मूल्य का विभाजन है।

कभी-कभी संख्या को "गोल्डन नंबर" कहा जाता है

ताकि आप और मैं गणित से परेशान न हों, स्मार्ट लोग ऐसा कंपास लेकर आए। इसके साथ, आप भागों के अनुपात के लिए तैयार परियोजनाओं की जांच कर सकते हैं, और "गोल्डन सेक्शन" के सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए नए निर्माण कर सकते हैं।

अपनी परियोजनाओं को विश्व सांस्कृतिक विरासत में बने रहने दें!

गतिशील आयतें

प्लेटो (427...347 ईसा पूर्व) को भी स्वर्णिम विभाजन का ज्ञान था। उनका संवाद "टाइमियस" पाइथागोरस के स्कूल के गणितीय और सौंदर्यवादी विचारों और विशेष रूप से स्वर्णिम प्रभाग के प्रश्नों के लिए समर्पित है।

पार्थेनन के प्राचीन यूनानी मंदिर के अग्रभाग में सुनहरे अनुपात हैं। इसकी खुदाई के दौरान दिशासूचक यंत्र पाए गए, जिनका उपयोग प्राचीन विश्व के वास्तुकारों और मूर्तिकारों द्वारा किया जाता था। पोम्पियन कम्पास (नेपल्स में संग्रहालय) में भी स्वर्ण मंडल का अनुपात शामिल है।

प्राचीन स्वर्ण अनुपात कम्पास

प्राचीन साहित्य में जो हमारे सामने आया है, स्वर्णिम विभाजन का उल्लेख सबसे पहले यूक्लिड के तत्वों में किया गया था। "बिगिनिंग्स" की दूसरी पुस्तक में स्वर्ण मंडल का ज्यामितीय निर्माण दिया गया है। यूक्लिड के बाद, हाइप्सिकल्स (द्वितीय शताब्दी ईसा पूर्व), पप्पस (तृतीय शताब्दी ईस्वी) और अन्य लोग स्वर्ण मंडल के अध्ययन में लगे हुए थे। मध्ययुगीन यूरोप में यूक्लिड के तत्वों के अरबी अनुवाद के माध्यम से हम सुनहरे विभाजन से मिले। नवरे (तीसरी शताब्दी) के अनुवादक जे. कैम्पानो ने अनुवाद पर टिप्पणी की। स्वर्ण मंडल के रहस्यों को ईर्ष्यापूर्वक संरक्षित किया गया, सख्त गोपनीयता में रखा गया। वे केवल दीक्षार्थियों को ही ज्ञात थे।

पुनर्जागरण के दौरान, ज्यामिति और कला, विशेषकर वास्तुकला में इसके उपयोग के संबंध में वैज्ञानिकों और कलाकारों के बीच सुनहरे विभाजन में रुचि बढ़ गई, लियोनार्डो दा विंची, एक कलाकार और वैज्ञानिक, ने देखा कि इतालवी कलाकारों के पास महान अनुभवजन्य अनुभव था, लेकिन बहुत कम ज्ञान था . उन्होंने कल्पना की और ज्यामिति पर एक किताब लिखना शुरू किया, लेकिन उसी समय भिक्षु लुका पैसिओली की एक किताब सामने आई और लियोनार्डो ने अपना विचार त्याग दिया। समकालीनों और विज्ञान के इतिहासकारों के अनुसार, लुका पैसिओली एक वास्तविक विद्वान थे, जो फिबोनाची और गैलीलियो के बीच इटली के सबसे महान गणितज्ञ थे। लुका पैसिओली कलाकार पिएरो डेला फ्रांसेस्का के छात्र थे, जिन्होंने दो किताबें लिखीं, जिनमें से एक का नाम ऑन पर्सपेक्टिव इन पेंटिंग था। उन्हें वर्णनात्मक ज्यामिति का निर्माता माना जाता है।

लुका पैसिओली कला के लिए विज्ञान के महत्व से अच्छी तरह परिचित थीं। 1496 में, ड्यूक ऑफ़ मोरो के निमंत्रण पर, वह मिलान आये, जहाँ उन्होंने गणित पर व्याख्यान दिया। लियोनार्डो दा विंची ने उस समय मिलान के मोरो कोर्ट में भी काम किया था। 1509 में, लुका पैसिओली का दिव्य अनुपात शानदार ढंग से निष्पादित चित्रों के साथ वेनिस में प्रकाशित हुआ था, यही कारण है कि माना जाता है कि उन्हें लियोनार्डो दा विंची द्वारा बनाया गया था। यह पुस्तक सुनहरे अनुपात का एक उत्साही भजन थी। सुनहरे अनुपात के कई फायदों के बीच, भिक्षु लुका पैसिओली इसके "दिव्य सार" को ईश्वर पुत्र, ईश्वर पिता और ईश्वर पवित्र आत्मा की दिव्य त्रिमूर्ति की अभिव्यक्ति के रूप में नामित करने से नहीं चूके (यह समझा गया कि छोटा खंड ईश्वर पुत्र का अवतार है, बड़ा खंड ईश्वर पिता का अवतार है, और संपूर्ण - पवित्र आत्मा का देवता)।

लियोनार्डो दा विंची ने स्वर्ण प्रभाग के अध्ययन पर भी बहुत ध्यान दिया। उन्होंने नियमित पंचकोणों द्वारा गठित एक स्टीरियोमेट्रिक निकाय के खंड बनाए, और हर बार उन्होंने सुनहरे विभाजन में पहलू अनुपात के साथ आयतें प्राप्त कीं। इसलिए उन्होंने इस प्रभाग को यह नाम दिया सुनहरा अनुपात. इसलिए यह अभी भी सबसे लोकप्रिय है.

उसी समय, उत्तरी यूरोप में, जर्मनी में, अल्ब्रेक्ट ड्यूरर उन्हीं समस्याओं पर काम कर रहे थे। उन्होंने अनुपात पर एक ग्रंथ के पहले मसौदे का परिचय दिया। ड्यूरर लिखते हैं. “यह आवश्यक है कि जो कुछ जानता है वह इसे दूसरों को सिखाए जिन्हें इसकी आवश्यकता है। मैंने यही करने का निश्चय किया है।"

ड्यूरर के एक पत्र को देखते हुए, इटली में रहने के दौरान उनकी मुलाकात लुका पैसिओली से हुई। अल्ब्रेक्ट ड्यूरर ने मानव शरीर के अनुपात के सिद्धांत को विस्तार से विकसित किया है। ड्यूरर ने अनुपात की अपनी प्रणाली में सुनहरे खंड को एक महत्वपूर्ण स्थान दिया। किसी व्यक्ति की ऊंचाई को बेल्ट लाइन द्वारा सुनहरे अनुपात में विभाजित किया जाता है, साथ ही निचले हाथों की मध्य उंगलियों की युक्तियों, चेहरे के निचले हिस्से - मुंह आदि के माध्यम से खींची गई रेखा द्वारा विभाजित किया जाता है। ज्ञात आनुपातिक कम्पास ड्यूरर।

16वीं सदी के महान खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर ने सुनहरे अनुपात को ज्यामिति के खजानों में से एक कहा। वह वनस्पति विज्ञान (पौधे की वृद्धि और संरचना) के लिए सुनहरे अनुपात के महत्व पर ध्यान आकर्षित करने वाले पहले व्यक्ति हैं।

केप्लर ने स्वर्णिम अनुपात को स्व-निरंतर कहा। उन्होंने लिखा, "इसे इस तरह से व्यवस्थित किया गया है कि इस अनंत अनुपात के दो कनिष्ठ पद तीसरे पद में जुड़ते हैं, और कोई भी दो अंतिम पद, यदि एक साथ जोड़े जाते हैं, तो देते हैं अगला पद, और वही अनुपात अनंत तक बना रहता है।"

स्वर्णिम अनुपात के खंडों की श्रृंखला का निर्माण वृद्धि की दिशा (बढ़ती श्रृंखला) और कमी की दिशा (अवरोही श्रृंखला) दोनों में किया जा सकता है।

यदि मनमानी लंबाई की सीधी रेखा पर, खंड को स्थगित करें एम, एक खंड को अलग रख दें एम. इन दो खंडों के आधार पर, हम आरोही और अवरोही श्रृंखला के सुनहरे अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाते हैं

स्वर्णिम अनुपात के खंडों का एक पैमाना बनाना

वर्णित सिद्धांत के आधार पर, एक सुनहरा (या सामंजस्यपूर्ण) आयत वह है जिसमें भुजाएँ 1: 1.618 के रूप में संबंधित होती हैं, अर्थात। आयत की लंबी भुजा की लंबाई आयत की छोटी भुजा की लंबाई को ∳ से गुणा करने के बराबर होती है (phi)=1.618:

क्या आप पहचान रहे हैं? यह एक सामंजस्यपूर्ण टेबल टॉप है! या कैबिनेट का मुखौटा और भी बहुत कुछ।

इसी तरह, गोल्डन (या सामंजस्यपूर्ण) पैरेललेपिप्ड वह है जिसमें पक्ष भी 1: 1.618 के रूप में संबंधित होते हैं, यानी। बॉक्स की लंबी भुजा की लंबाई बॉक्स की ऊंचाई को ∳ (phi)=1.618 से गुणा करने के बराबर है, और बॉक्स की चौड़ाई बॉक्स की ऊंचाई को ∳ (phi)=1.618 से विभाजित करने के बराबर है:

क्या आप पहचान रहे हैं? यह एक फर्नीचर कैबिनेट, दीवार टेबल (कंसोल) आदि है।

सुनहरा अनुपातकई (यदि सभी नहीं तो) प्राकृतिक संबंधों और यहां तक ​​कि हमारे ब्रह्मांड के निर्माण का आधार भी यही है। खरगोश प्रजनन, सूरजमुखी में बीज और शंकु में मेवों की व्यवस्था, खगोल भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी तक, हर स्तर पर उदाहरण प्रचुर मात्रा में हैं। ग्रहों की कक्षाएँ और सम संरचना मानव आकृतिइस उल्लेखनीय अनुपात की एक और पुष्टि है।

उंगलियों के आसन्न पोर के बीच का अनुपात ∳ (phi) = 1.618 है, कोहनी और हाथ के बीच का अनुपात ∳ (phi) = 1.618 है, सिर के शीर्ष से आंखों की दूरी और आंखों से दूरी का अनुपात ठुड्डी ∳ (phi) = 1.618 है, सिर के शीर्ष से नाभि तक की दूरी और नाभि से एड़ी तक की दूरी का अनुपात फिर से ∳ (phi) = 1.618 है:

सूर्य और सौर मंडल के पहले पांच ग्रहों के बीच की दूरियां भी (लगभग) ∳ (phi) = 1.618 के रूप में संबंधित हैं, इसलिए, जैसा कि निश्चित रूप से ज्ञात है, ग्रहों को उनकी कक्षाओं में निर्धारित करते समय एस्ट्रोमेट्री सुनहरे अनुपात का उपयोग करती है:

प्रकृति में इतना मौलिक और इतना व्यापक होने के कारण, यह रवैया हमें अवचेतन स्तर पर अनुसरण करने के लिए बिल्कुल सही चीज़ के रूप में बुलाता है। इस प्रकार, इस अनुपात का उपयोग पिरामिडों से लेकर फर्नीचर की उत्कृष्ट कृतियों तक, डिजाइनरों और वास्तुकारों द्वारा सदियों से किया जाता रहा है।

गीज़ा में महान पिरामिड, जैसा कि अब स्पष्ट है, स्वर्ण खंड के अनुसार भी बनाया गया था: पिरामिड के किनारे की ऊंचाई पिरामिड के किनारे के आधार की लंबाई के बराबर है, समान मूल्य से गुणा किया गया है ∳ (फी) = 1.618:

पार्थेनन (एथेनियन एक्रोपोलिस पर स्थित एक प्राचीन यूनानी मंदिर, प्राचीन एथेंस में मुख्य मंदिर) के निर्माण के दौरान, बाहरी आयामों और इसके हिस्सों के अनुपात को निर्धारित करते समय अनुपात ∳ (फी) = 1.618 का उपयोग किया गया था:

यह निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है कि पार्थेनन के निर्माण में कैलकुलेटर या फाइबोनैचि मार्कर का उपयोग किया गया था, लेकिन अनुपात निश्चित रूप से लागू किया गया था। इस वास्तुशिल्प स्मारक के निर्माण में अनुपात ∳ (phi) = 1.618 के बारे में अधिक विवरण 48वें सेकंड से शुरू होने वाले वीडियो में दिए गए हैं:

उपरोक्त वीडियो में, आख़िरकार, फ़र्निचर के एक टुकड़े की बात आई, भले ही वह साधारण हो। मुख्य बात यह है कि अनुपात अभी भी वही है - ∳ (phi) = 1.618.

1762 और 1790 के बीच फिलाडेल्फिया में बनाई गई कई दराजों वाली एक प्रकार की दराज की छाती, जिसे विभिन्न प्रकाशनों में हाईबॉय या पॉपडौर ("लंबा आदमी" या "पोमपौर") कहा जाता है, कई के आकार के अनुपात में स्वर्ण अनुपात का उपयोग करती है। इसके तत्व. फ़्रेम एक सुनहरा आयत है, संकीर्णता की स्थिति (कैबिनेट की "कमर") कैबिनेट की कुल ऊंचाई को ∳ (phi) = 1.618 से विभाजित करके निर्धारित की जाती है। निचली दराजों की ऊंचाई भी ∳ (phi) = 1.618 से संबंधित है:

गोल्डन सेक्शन का उपयोग अक्सर फर्नीचर के निर्माण में एक प्रकार के आयत के रूप में किया जाता है, जिसे इसके दो आयामों के लिए ∳ (phi) = 1.618 का उपयोग करके बनाया जाता है, अर्थात। पहले से उल्लिखित स्वर्ण आयत, जहां लंबाई चौड़ाई से 1.618 गुना है (या इसके विपरीत)। इन अनुपातों का उपयोग फर्नीचर के समग्र आयामों के साथ-साथ दरवाजे और दराज जैसे आंतरिक विवरण निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। कोई 1.618 जैसी "गोल" और सुविधाजनक संख्या से विभाजित और गुणा करके गणना लागू कर सकता है, लेकिन कोई इसका उपयोग आसानी से कर सकता है, बस बड़ी वस्तु के आयाम ले सकता है और उसके बाद छोटी वस्तु के आकार को अलग रख सकता है। या विपरीत। तेज़, सरल और सुविधाजनक।

फर्नीचर त्रि-आयामी है और गोल्डन रेशियो को तीनों आयामों पर लागू किया जा सकता है, अर्थात। यदि फर्नीचर का एक टुकड़ा गोल्डन रेशियो के नियमों के अनुसार बनाया जाता है तो वह गोल्डन पैरेललेपिप्ड बन जाता है। उदाहरण के लिए, फर्नीचर के एक टुकड़े को किनारे से देखने के साधारण मामले में, इसकी ऊंचाई गोल्डन रेक्टेंगल में सबसे बड़ा आयाम हो सकती है। हालाँकि, सामने से फर्नीचर के एक ही टुकड़े को देखने पर, वही ऊँचाई गोल्डन रेक्टेंगल में एक छोटी माप हो सकती है।

हालाँकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी वस्तु का रूप उसके कार्य के अनुरूप होना चाहिए। यहां तक ​​कि फर्नीचर के एक टुकड़े का सही अनुपात भी अर्थहीन हो सकता है यदि वस्तु का उपयोग नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए क्योंकि यह बहुत छोटा या बहुत बड़ा है, या अन्य कारणों से आराम से उपयोग नहीं किया जा सकता है। इसलिए, व्यावहारिक विचार पहले आना चाहिए। वास्तव में, अधिकांश फर्नीचर परियोजनाओं के लिए आपको कुछ के साथ डिजाइनिंग शुरू करने की आवश्यकता होती है दिए गए आयामउत्तर: एक टेबल के लिए एक निश्चित ऊंचाई की आवश्यकता होती है, एक कैबिनेट को एक विशेष स्थान पर समायोजित करने की आवश्यकता हो सकती है, और एक किताबों की अलमारी के लिए एक निश्चित संख्या में अलमारियों की आवश्यकता हो सकती है। लेकिन लगभग निश्चित रूप से आप कई अन्य आकारों को परिभाषित करने के लिए मजबूर होंगे जिनके संबंध में सही अनुपात लागू किया जा सकता है। लेकिन अंतिम परिणाम यह देखने के प्रयास के लायक होगा कि गोल्डन रेशियो इन सभी तत्वों के लिए कैसे काम कर सकता है। "आंख से" या इससे भी बदतर, उपलब्ध रिक्त स्थान के आधार पर आयामों पर निर्णय लेने से, आपको अलग-अलग हिस्सों के सुंदर अनुपात और समग्र रूप से फर्नीचर के एक टुकड़े के साथ पूरी तरह से संतुलित होने की अनुमति नहीं मिलेगी।

इसलिए, फर्नीचर के अलग-अलग टुकड़ों के आयाम सुनहरे अनुपात के अनुसार आनुपातिक होने चाहिए। टेबल के पैर जैसे तत्व, फ़्रेम तत्वों के सापेक्ष आयाम जैसे कि अग्रभाग, प्रोलेग, दराज आदि के ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज भागों की गणना गोल्डन अनुपात का उपयोग करके की जा सकती है। स्वर्णिम अनुपात दराजों की ऊंचाई में चरणबद्ध वृद्धि के साथ दराजों के संदूक में दराजों को डिजाइन करने की समस्या को हल करने का एक तरीका भी प्रदान करता है। इसकी मदद से इस तरह का अंकन करना आसान है - आपको बस एक बड़े बॉक्स का आकार लेना होगा और मार्कर आदि का उपयोग करके दो आसन्न बक्से के आयामों को अलग रखना होगा। उसके बाद, बॉक्स का आकार लेते हुए, मार्कर का उपयोग करके बॉक्स के शीर्ष से उसके हैंडल के स्थान तक की दूरी निर्धारित करें।

के लिए एक उपकरण के रूप में उपयोग की यह विधि व्यावहारिक अनुप्रयोगगोल्डन रेशियो अन्य आयामों को भी निर्धारित करने के लिए प्रभावी होगा, जैसे कोठरी में अलमारियों की स्थिति, दराजों के बीच डिवाइडर आदि। फर्नीचर के किसी टुकड़े का कोई भी आकार शुरू में कार्यात्मक और संरचनात्मक आवश्यकताओं द्वारा निर्धारित किया जाता है, लेकिन गोल्डन रेशियो लागू करके कई समायोजन किए जा सकते हैं, जो निश्चित रूप से टुकड़े में सामंजस्य जोड़ देगा। फ़र्निचर डिज़ाइन करते समय गोल्डन रेशियो का उपयोग करने से आप न केवल वस्तु को समग्र रूप से सुसंगत बना पाएंगे, बल्कि आपको यह भी सुनिश्चित करने की अनुमति मिलेगी कि सभी घटक - दरवाज़े के पैनल, दराज, पैर, किनारे आदि। मौलिक रूप से, सामंजस्यपूर्ण रूप से परस्पर जुड़े हुए।

बिल्कुल सही अनुपात के साथ किसी चीज़ को डिज़ाइन करना वास्तविकता में शायद ही संभव हो। फर्नीचर या लकड़ी के लगभग हर टुकड़े को कार्यक्षमता, जुड़ाव या लागत बचत की बाधाओं के विरुद्ध तौलना होगा। लेकिन यहां तक ​​कि पूर्णता के करीब पहुंचने की कोशिश भी, जिसे उन आयामों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो बिल्कुल सुनहरे अनुपात के अनुरूप हैं, आपको इन मूलभूत सिद्धांतों पर ध्यान दिए बिना डिजाइन करने की तुलना में बेहतर परिणाम की गारंटी देगा। यहां तक ​​​​कि अगर आप आदर्श अनुपात के करीब पहुंचते हैं, तो दर्शक की आंखें छोटी खामियों को दूर कर देंगी और चेतना डिजाइन में कुछ अंतराल भर देगी। यह वांछनीय है, लेकिन आवश्यक नहीं कि सब कुछ उत्तम और सूत्र के अनुसार हो। लेकिन अगर आपका फर्नीचर का टुकड़ा बिल्कुल अनियमित है, तो इसमें कोई संदेह नहीं कि यह बदसूरत होगा। इसलिए, सही अनुपात के लिए प्रयास करना आवश्यक है।

अंततः, विषय बनाने के लिए हम अक्सर चीजों को आंखों के आधार पर समायोजित करते हैंहल्का और बेहतर संतुलित, और हम इसे तरीकों की मदद से करते हैंजो लकड़ी के काम में प्रतिदिन होते हैं। इन विधियों में लकड़ी के रेशों की दिशा के आधार पर वर्कपीस के आयामों में परिवर्तन को ध्यान में रखना शामिल हैलकड़ी का पैटर्न, जिससे आप फर्नीचर के एक टुकड़े को और अधिक आकर्षक बना सकते हैं,किनारों और कोनों को खत्म करना जो अधिक या कम मोटाई का आभास देते हैंउत्पाद का तत्व, गोल्डन रेक्टेंगल या पैरेललेपिप्ड के साथ उत्पाद को अधिक निकटता से मिलाने के लिए मोल्डिंग का उपयोग, अहसास कराने के लिए पतले पैरों का उपयोगफर्नीचर के टुकड़े को करीब लाना सही अनुपात, और, अंत में, सही डिज़ाइन प्राप्त करने के लिए इन सभी तरीकों को मिलाना। गोल्डन मीन का उपयोग और इसके अनुप्रयोग के लिए उपकरण, फाइबोनैचि स्कैटरर, पूर्णता की इस खोज की शुरुआत है।

लेख में प्रयुक्त सामग्रीग्राहम ब्लैकबर्न की पुस्तक "प्रैक्टिकल फ़र्निचर डिज़ाइन" से अध्याय "ए गाइड टू गुड डिज़ाइन"। - मान्यता प्राप्त फर्नीचर निर्माता, वुडवर्किंग के लोकप्रिय निर्माता और प्रकाशक