Svojstva prirodnih logaritama formule. Svojstva logaritama i primjeri njihovih rješenja
Funkcija LN u Excelu je dizajnirana za izračunavanje prirodni logaritam brojeva i vraća odgovarajuću numeričku vrijednost. Prirodni logaritam je baza e logaritma (Eulerov broj od približno 2,718).
Funkcija LOG u Excelu koristi se za izračunavanje logaritma broja, dok se baza logaritma može eksplicitno navesti kao drugi argument ove funkcije.
Funkcija LOG10 u programu Excel dizajnirana je za izračunavanje logaritma broja s bazom 10 (decimalni logaritam).
Primjeri korištenja funkcija LN, LOG i LOG10 u Excelu
Arheolozi su pronašli ostatke drevne životinje. Za određivanje njihove starosti odlučeno je koristiti metodu radiokarbonske analize. Kao rezultat mjerenja, pokazalo se da je sadržaj radioaktivnog izotopa C 14 bio 17% količine koja se obično nalazi u živim organizmima. Izračunajte starost ostataka ako je vrijeme poluraspada izotopa ugljika 14 5760 godina.
Pogled na izvornu tablicu:
Za rješavanje koristimo sljedeću formulu:
Ova formula je dobivena na temelju formule x=t*(lgB-lgq)/lgp, gdje je:
- q je količina izotopa ugljika u početnom trenutku (u trenutku smrti životinje), izražena kao jedinica (ili 100%);
- B je količina izotopa u vrijeme analize ostataka;
- t je vrijeme poluraspada izotopa;
- p je brojčana vrijednost koja pokazuje koliko se puta količina tvari (izotopa ugljika) promijenila u vremenskom razdoblju t.
Kao rezultat izračuna dobivamo:
Pronađeni ostaci stari su gotovo 15 tisuća godina.
Depozitni kalkulator sa složenim kamatama u Excelu
Klijent banke položio je depozit u iznosu od 50.000 rubalja uz kamatu od 14,5% (složena kamata). Odredite koliko će vremena trebati da se udvostruči uloženi iznos?
Zanimljiva činjenica! Kako biste brzo riješili ovaj problem, možete koristiti empirijsku metodu približnog vremenskog okvira (u godinama) za udvostručenje ulaganja uloženih uz složenu kamatu. Takozvano pravilo 72 (ili 70 ili pravilo 69). Da biste to učinili, morate koristiti jednostavnu formulu - broj 72 podijeljen s kamatna stopa: 72/14,5 = 4,9655 godina. Glavni nedostatak pravilo "čarobnog" broja 72 leži u pogrešci. Što je veća kamata, to je veća pogreška kod pravila 72. Primjerice, kod kamate od 100% godišnje pogreška u godinama doseže i do 0,72 (a u postotku čak 28%!).
Za točan izračun vremena udvostručenja ulaganja koristit ćemo se funkcijom LOG. Kao prvo, provjerimo pogrešku pravila 72 pri kamatnoj stopi od 14,5% godišnje.
Pogled na izvornu tablicu:
Da biste izračunali buduću vrijednost ulaganja po poznatoj kamatnoj stopi, možete upotrijebiti sljedeću formulu: S=A(100%+n%) t, gdje:
- S je očekivani iznos na kraju roka;
- A je iznos depozita;
- n - kamatna stopa;
- t je rok čuvanja depozitnih sredstava u banci.
Za ovaj primjer, ova se formula može napisati kao 100000=50000*(100%+14,5%) t ili 2=(100%+14,5%) t. Zatim, da biste pronašli t, možete prepisati jednadžbu kao t=log (114,5%) 2 ili t=log 1,1452.
Da bismo pronašli vrijednost t, napišemo sljedeću formulu za složenu kamatu na depozit u Excelu:
LOG(B4/B2;1+B3)
Opis argumenata:
- B4/B2 - omjer očekivanog i početnog iznosa, koji je pokazatelj logaritma;
- 1+B3 - kamata (baza logaritma).
Kao rezultat izračuna dobivamo:
Polog će se udvostručiti nakon nešto više od 5 godina. Za točna definicija godina i mjeseci koristimo formulu:
Funkcija SELECT odbacuje sve što je iza decimalne točke u razlomku, slično funkciji INTEGER. Razlika između funkcija SELECT i WHOLE je samo u izračunima s negativnim razlomcima. Osim toga, OTBR ima drugi argument gdje možete odrediti broj decimalnih mjesta koja treba ostaviti. Pjesnik u ovaj slučaj možete koristiti bilo koju od ove dvije funkcije po izboru korisnika.
Ispalo je 5 godina i 1 mjesec i 12 dana. Sada usporedimo točne rezultate s pravilom 72 i odredimo količinu pogreške. Za ovaj primjer, formula je:
Moramo pomnožiti vrijednost ćelije B3 sa 100 budući da je njezina trenutna vrijednost 0,145, što se prikazuje kao postotak. Kao rezultat:
Nakon što kopiramo formulu iz ćelije B6 u ćeliju B8, te u ćeliju B9:
Izračunajmo uvjete pogreške:
Zatim u ćeliju B10 ponovo kopirajte formulu iz ćelije B6. Kao rezultat toga, dobivamo razliku:
I na kraju, izračunajmo postotak razlike kako bismo provjerili kako se mijenja veličina odstupanja i koliko značajno povećanje kamatne stope utječe na razinu odstupanja između pravila 72 i činjenice:
Sada, da bismo vizualizirali proporcionalnu ovisnost povećanja pogreške i povećanja razine kamatne stope, povećat ćemo kamatnu stopu na 100% godišnje:
Na prvi pogled razlika u pogrešci nije značajna u usporedbi s 14,5% godišnje – samo oko 2 mjeseca i 100% godišnje – unutar 3 mjeseca. Ali udio pogreške u razdoblju povrata je veći od ¼, odnosno 28%.
Napravimo jednostavan grafikon za vizualnu analizu kako ovisnost promjene kamatne stope i postotka pogreške pravila 72 korelira s činjenicom:
Što je viša kamatna stopa, to lošije radi pravilo 72. Kao rezultat toga, možemo izvući sljedeći zaključak: do 32,2% godišnje, možete sigurno koristiti pravilo 72. Tada je pogreška manja od 10 posto. To će učiniti ako nisu potrebni točni, ali složeni izračuni o razdoblju povrata ulaganja 2 puta.
Investicijski složeni kamatni kalkulator s kapitalizacijom u Excelu
Klijentu banke ponuđeno je oročenje uz kontinuirano povećanje ukupnog iznosa (kapitalizacija s kamatama). Kamatna stopa je 13% godišnje. Odredite koliko će vremena trebati da se utrostruči početni iznos (250 000 rubalja). Za koliko treba povećati kamatu da se vrijeme čekanja prepolovi?
Napomena: budući da smo u ovaj primjer utrostručimo iznos ulaganja, tada pravilo 72 ovdje ne funkcionira.
Prikaz izvorne podatkovne tablice:
Kontinuirani rast može se opisati formulom ln(N)=p*t, gdje je:
- N je omjer konačnog iznosa depozita prema početnom;
- p je kamatna stopa;
- t je broj godina koje su prošle od izvršenja depozita.
Tada je t=ln(N)/p. Na temelju te jednakosti u Excelu zapisujemo formulu:
Opis argumenata:
- B3/B2 - omjer konačnog i početnog iznosa depozita;
- B4 - kamatna stopa.
Trebat će gotovo 8,5 godina da se utrostruči početni iznos depozita. Da bismo izračunali stopu koja će smanjiti vrijeme čekanja za pola, koristimo se formulom:
LN(B3/B2)/(0,5*B5)
Proizlaziti:
Odnosno, potrebno je udvostručiti početnu kamatnu stopu.
Značajke korištenja funkcija LN, LOG i LOG10 u Excelu
Funkcija LN ima sljedeću sintaksu:
LN(broj)
- broj je jedini obvezni argument koji prihvaća realne brojeve iz niza pozitivnih vrijednosti.
Bilješke:
- Funkcija LN je inverzna EXP funkcija. Potonji vraća vrijednost dobivenu podizanjem broja e na zadanu potenciju. Funkcija LN navodi potenciju na koju se broj e (baza) mora podići da bi se dobio eksponent logaritma (argument broja).
- Ako je argument broj broj u rasponu negativnih vrijednosti ili nula, rezultat funkcije LN je kod pogreške #NUM!.
Sintaksa funkcije LOG je sljedeća:
LOG(broj;[baza])
Opis argumenata:
- broj - obvezni argument koji karakterizira numeričku vrijednost eksponenta logaritma, odnosno broj dobiven kao rezultat podizanja baze logaritma na određenu potenciju, koja će se izračunati funkcijom LOG;
- [baza] je izborni argument koji karakterizira numeričku vrijednost baze logaritma. Ako argument nije eksplicitno naveden, pretpostavlja se da je logaritam decimalni (to jest, baza je 10).
Bilješke:
- Iako rezultat funkcije LOG može biti negativan broj (na primjer, funkcija =LOG(2;0,25) vratit će -0,5), argumenti ove funkcije moraju se uzeti iz raspona pozitivnih vrijednosti. Ako je barem jedan od argumenata negativan broj, LOG funkcija vratit će kod pogreške #NUM!.
- Ako se 1 proslijedi kao [osnovni] argument, funkcija LOG će vratiti kod pogreške #DIV/0!, budući da će rezultat podizanja 1 na bilo koju potenciju uvijek biti isti i jednak 1.
Funkcija LOG10 ima sljedeću sintaktičku notaciju:
LOG10(broj)
- broj je jedini i obvezni argument čije je značenje identično istoimenom argumentu funkcija LN i LOG.
Napomena: Ako je kao argument broja proslijeđen negativan broj ili 0, funkcija LOG10 vratit će kod pogreške #NUM!.
Logaritam broja b na bazu a je eksponent na koji trebate povisiti broj a da biste dobili broj b.
Ako tada .
Logaritam je izuzetno važna matematička veličina, budući da logaritamski račun omogućuje ne samo rješavanje eksponencijalne jednadžbe, ali i raditi s indikatorima, razlikovati eksponencijalne i logaritamske funkcije, integrirati ih i dovesti do prihvatljivijeg oblika za izračunavanje.
U kontaktu s
Sva svojstva logaritama izravno su povezana sa svojstvima eksponencijalne funkcije. Na primjer, činjenica da 
znači da:
Treba napomenuti da pri rješavanju specifičnih problema svojstva logaritama mogu biti važnija i korisnija od pravila za rad s ovlastima.
Evo nekoliko identiteta:
Evo glavnih algebarskih izraza:
;
.
Pažnja! može postojati samo za x>0, x≠1, y>0.
Pokušajmo razumjeti pitanje što su prirodni logaritmi. Odvojeno zanimanje za matematiku predstavljaju dvije vrste- prvi ima u osnovi broj "10", a naziva se "decimalni logaritam". Drugi se naziva prirodnim. Osnovica prirodnog logaritma je broj e. O njemu ćemo detaljno govoriti u ovom članku.
Oznake:
- lg x - decimala;
- ln x - prirodno.
Koristeći se identitetom, možemo vidjeti da je ln e = 1, kao i da je lg 10=1.
prirodni log graf
Konstruiramo graf prirodnog logaritma na standardni klasičan način po točkama. Ako želite, možete provjeriti gradimo li funkciju ispravno pregledom funkcije. Međutim, ima smisla naučiti kako ga graditi "ručno" kako biste znali ispravno izračunati logaritam.
Funkcija: y = log x. Napišimo tablicu točaka kroz koje će graf prolaziti:
Objasnimo zašto smo odabrali takve vrijednosti argumenta x. Sve je u identitetu: Za prirodni logaritam, ovaj identitet će izgledati ovako:
Radi praktičnosti, možemo uzeti pet referentnih točaka:
;
;
.
;
.
Dakle, brojanje prirodnih logaritama je prilično jednostavan zadatak, štoviše, pojednostavljuje izračun operacija s ovlastima, pretvarajući ih u normalno množenje.
Izgradnjom grafa po točkama dobivamo približni graf:
Domena prirodnog logaritma (to jest, sve važeće vrijednosti argumenta X) su svi brojevi veći od nule.
Pažnja! Područje definiranja prirodnog logaritma uključuje samo pozitivni brojevi! Opseg ne uključuje x=0. To je nemoguće na temelju uvjeta postojanja logaritma.
Raspon vrijednosti (tj. sve važeće vrijednosti funkcije y = ln x) su svi brojevi u intervalu.
granica prirodnog dnevnika
Proučavajući graf, postavlja se pitanje - kako se funkcija ponaša kada y<0.
Očito, graf funkcije teži prijeći y-os, ali to neće moći učiniti, budući da je prirodni logaritam od x<0 не существует.
Prirodna granica log može se napisati ovako:
Formula za promjenu baze logaritma
Rad s prirodnim logaritmom mnogo je lakši nego rad s logaritmom koji ima proizvoljnu bazu. Zato ćemo pokušati naučiti kako svesti bilo koji logaritam na prirodni ili ga izraziti u proizvoljnoj bazi kroz prirodne logaritme.
Počnimo s logaritamskim identitetom:
Tada se bilo koji broj ili varijabla y može predstaviti kao:
gdje je x bilo koji broj (pozitivan prema svojstvima logaritma).
Ovaj izraz se može logaritmirati s obje strane. Učinimo to s proizvoljnom bazom z:
Upotrijebimo svojstvo (samo umjesto "with" imamo izraz):
Odavde dobivamo univerzalnu formulu:
.
Konkretno, ako je z=e, tada:
.
Uspjeli smo prikazati logaritam proizvoljnoj bazi kroz omjer dva prirodna logaritma.
Rješavamo probleme
Kako biste se bolje snalazili u prirodnim logaritmima, razmotrite primjere nekoliko problema.
Zadatak 1. Potrebno je riješiti jednadžbu ln x = 3.
Riješenje: Koristeći definiciju logaritma: ako , onda , dobivamo:
Zadatak 2. Riješite jednadžbu (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.
Rješenje: Koristeći definiciju logaritma: ako , onda , dobivamo:
.
Još jednom primjenjujemo definiciju logaritma:
.
Tako:
.
Odgovor možete približno izračunati ili ga možete ostaviti u ovom obrascu.
Zadatak 3. Riješite jednadžbu.
Riješenje: Napravimo zamjenu: t = ln x. Tada će jednadžba imati sljedeći oblik:
.
Imamo kvadratnu jednadžbu. Nađimo njegovu diskriminantu:
Prvi korijen jednadžbe:
.
Drugi korijen jednadžbe:
.
Sjetimo se da smo napravili zamjenu t = ln x, dobivamo:
U statistici i teoriji vjerojatnosti logaritamske su veličine vrlo česte. To ne čudi, jer broj e - često odražava stopu rasta eksponencijalnih vrijednosti.
U informatici, programiranju i teoriji računala, logaritmi su prilično česti, na primjer, kako bi se u memoriju pohranilo N bitova.
U teorijama fraktala i dimenzija stalno se koriste logaritmi, budući da se jedino pomoću njih određuju dimenzije fraktala.
U mehanici i fizici nema odjeljka gdje se nisu koristili logaritmi. Barometrijska raspodjela, svi principi statističke termodinamike, jednadžba Ciolkovskog i tako dalje su procesi koji se mogu opisati samo matematički koristeći logaritme.
U kemiji se logaritam koristi u Nernstovim jednadžbama, opisima redoks procesa.
Nevjerojatno, čak iu glazbi, kako bi se saznao broj dijelova oktave, koriste se logaritmi.
Prirodni logaritam Funkcija y=ln x njena svojstva
Dokaz glavnog svojstva prirodnog logaritma
Lekcija i prezentacija na teme: "Prirodni logaritmi. Baza prirodnog logaritma. Logaritam prirodnog broja"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Nastavna pomagala i simulatori u online trgovini "Integral" za 11. razred
Interaktivni priručnik za razrede 9-11 "Trigonometrija"
Interaktivni priručnik za razrede 10-11 "Logaritmi"
Što je prirodni logaritam
Dečki, u prošloj lekciji naučili smo novi, poseban broj - e. Danas ćemo nastaviti raditi s ovim brojem.Proučavali smo logaritme i znamo da baza logaritma može biti skup brojeva koji su veći od 0. Danas ćemo također razmotriti logaritam koji se temelji na broju e. Takav logaritam se obično naziva prirodnim logaritmom . Ima svoju notaciju: $\ln(n)$ je prirodni logaritam. Ova notacija je ekvivalentna: $\log_e(n)=\ln(n)$.
Eksponencijalna i logaritamska funkcija su inverzne, tada je prirodni logaritam inverzna funkcija: $y=e^x$.
Inverzne funkcije su simetrične u odnosu na ravnu liniju $y=x$.
Nacrtajmo prirodni logaritam crtanjem eksponencijalne funkcije s obzirom na ravnu liniju $y=x$.
Važno je napomenuti da je nagib tangente na graf funkcije $y=e^x$ u točki (0;1) 45°. Tada će nagib tangente na graf prirodnog logaritma u točki (1; 0) također biti jednak 45°. Obje ove tangente bit će paralelne s pravcem $y=x$. Skiciramo tangente: 
Svojstva funkcije $y=\ln(x)$
1. $D(f)=(0;+∞)$.2. Nije ni paran ni neparan.
3. Povećava se preko cijele domene definicije.
4. Nije ograničeno odozgo, nije ograničeno odozdo.
5. Ne postoji maksimalna vrijednost, ne postoji minimalna vrijednost.
6. Kontinuirano.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Konveksno gore.
9. Svugdje se može razlikovati.
U tečaju više matematike dokazuje se da derivacija inverzne funkcije je recipročna vrijednost derivacije dane funkcije.
Nema puno smisla upuštati se u dokaz, samo napišimo formulu: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.
Primjer.
Izračunajte vrijednost derivacije funkcije: $y=\ln(2x-7)$ u točki $x=4$.
Riješenje.
Općenito, naša funkcija je predstavljena funkcijom $y=f(kx+m)$, možemo izračunati derivacije takvih funkcija.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Izračunajmo vrijednost derivacije u traženoj točki: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Odgovor: 2.
Primjer.
Nacrtajte tangentu na graf funkcije $y=ln(x)$ u točki $x=e$.
Riješenje.
Jednadžbu tangente na graf funkcije, u točki $x=a$, dobro smo zapamtili.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Izračunajmo redoslijedom potrebne vrijednosti.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Jednadžba tangente u točki $x=e$ je funkcija $y=\frac(x)(e)$.
Nacrtajmo prirodni logaritam i tangens. 
Primjer.
Istražite funkciju za monotonost i ekstreme: $y=x^6-6*ln(x)$.
Riješenje.
Domena funkcije $D(y)=(0;+∞)$.
Nađi izvod zadane funkcije:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivacija postoji za sve x iz domene definicije, tada nema kritičnih točaka. Nađimo stacionarne točke:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Točka $h=-1$ ne pripada domeni definicije. Tada imamo jednu stacionarnu točku $h=1$. Pronađite intervale povećanja i smanjenja: 
Točka $x=1$ je minimalna točka, tada $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Odgovor: Funkcija opada na segmentu (0;1], funkcija raste na zraki $ (\displaystyle ). Jednostavnost ove definicije, koja je u skladu s mnogim drugim formulama koje koriste ovaj logaritam, objašnjava podrijetlo naziva "prirodno".
Ako prirodni logaritam promatramo kao realnu funkciju realne varijable, onda je to inverzna funkcija eksponencijalne funkcije, što dovodi do identiteta:
e log a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)Kao i svi logaritmi, prirodni logaritam preslikava množenje u zbrajanje:
ln x y = ln x + ln y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)To može biti, primjerice, kalkulator iz osnovnog skupa programa operacijskog sustava Windows. Veza za pokretanje skrivena je u glavnom izborniku OS-a - otvorite ga klikom na gumb "Start", zatim otvorite odjeljak "Programi", idite na pododjeljak "Dodaci", a zatim na "Uslužni programi" i na kraju kliknite na stavku "Kalkulator". Možete koristiti tipkovnicu i dijalog za pokretanje programa umjesto miša i kretati se kroz izbornik - pritisnite kombinaciju tipki WIN + R, upišite calc (ovo je naziv izvršne datoteke kalkulatora) i pritisnite tipku Enter.
Prebacite sučelje kalkulatora u napredni način rada, omogućujući vam da . Standardno se otvara u "normalnom" obliku, a vama je potreban "engineering" ili "" (ovisno o verziji OS-a koju koristite). Proširite odjeljak "Prikaz" u izborniku i odaberite odgovarajući redak.
Unesite argument čiju prirodnu vrijednost želite izračunati. To se može učiniti i s tipkovnice i klikom na odgovarajuće gumbe u sučelju kalkulatora na zaslonu.
Pritisnite gumb s oznakom ln - program će izračunati logaritam prema bazi e i prikazati rezultat.
Koristite jedan od -kalkulatora kao alternativu za izračun vrijednosti prirodnog logaritma. Na primjer, onaj koji se nalazi na http://calc.org.ua. Njegovo sučelje je krajnje jednostavno - postoji jedno polje za unos u koje je potrebno upisati vrijednost broja čiji logaritam želite izračunati. Među gumbima pronađite i kliknite onaj na kojem piše ln. Skripta ovog kalkulatora ne zahtijeva slanje podataka na poslužitelj i odgovor, tako da ćete rezultat izračuna dobiti gotovo trenutno. Jedino što treba uzeti u obzir je da razdjelnik između razlomaka i cijelog unesenog broja ovdje mora biti točka, a ne .
Uvjet " logaritam" dolazi od dvije grčke riječi od kojih jedna znači "broj", a druga - "odnos". Označavaju matematičku operaciju izračunavanja varijable (eksponenta), na koju se mora podići konstantna vrijednost (baza) da bi se dobio broj označen pod znakom logaritam A. Ako je baza jednaka matematičkoj konstanti, koja se naziva broj "e", tada logaritam nazivaju "prirodnim".
Trebat će vam
- Pristup internetu, Microsoft Office Excel ili kalkulator.
Uputa
Koristite mnoge kalkulatore predstavljene na Internetu - ovo je, možda, jednostavan način za izračunavanje prirodnog a. Nećete morati tražiti odgovarajuću uslugu, budući da mnoge tražilice same imaju ugrađene kalkulatore koji su sasvim prikladni za rad s logaritam ami. Na primjer, idite na početnu stranicu najveće online tražilice – Google. Ovdje nisu potrebni gumbi za unos vrijednosti i odabir funkcija, samo upišite željenu matematičku radnju u polje za unos upita. Recimo izračunati logaritam a brojevi 457 u bazi "e" ulaze u ln 457 - to će biti dovoljno da Google prikaže s točnošću od osam decimalnih mjesta (6.12468339) čak i bez pritiska na tipku za slanje zahtjeva serveru.
Koristite odgovarajuću ugrađenu funkciju ako trebate izračunati vrijednost naturalne vrijednosti logaritam ali se javlja pri radu s podacima u popularnom uređivaču proračunskih tablica Microsoft Office Excel. Ova se funkcija ovdje poziva koristeći konvencionalni zapis kao što je logaritam a velikim slovima - LN. Odaberite ćeliju u kojoj bi trebao biti prikazan rezultat izračuna i unesite znak jednakosti - tako bi trebali započeti unosi u ćelijama koje sadrže pododjeljak "Standardno" odjeljka "Svi programi" glavnog izbornika u ovoj tablici urednik. Prebacite kalkulator u funkcionalniji način rada pritiskom na tipkovni prečac Alt + 2. Zatim unesite vrijednost, prirodno logaritam koju želite izračunati i kliknite gumb u sučelju programa, označen simbolima ln. Aplikacija će izvršiti izračun i prikazati rezultat.
Povezani Videi
