Dom › Prijenos (mjenjač) › Objašnjenje Monty Hall paradoksa. Paradoks Monty Halla je logička zagonetka koja nije za one sa slabim srcem.

Objašnjenje Monty Hall paradoksa. Paradoks Monty Halla je logička zagonetka koja nije za one sa slabim srcem.

Upoznao sam je pod nazivom Monty Hall Paradox, i vau riješio drugačije, naime: dokazao da je to pseudoparadoks.

Prijatelji, bit će mi drago čuti kritike na moje pobijanje ovog paradoksa (pseudo-paradoksa, ako sam u pravu). A onda ću se vlastitim očima uvjeriti da je moja logika slaba, prestat ću misliti o sebi kao o misliocu i razmisliti o promjeni vrste aktivnosti na lirskiju: o). Dakle, evo sadržaja zadatka. Predloženo rješenje i moje pobijanje nalaze se u nastavku.

Zamislite da ste postali sudionikom igre u kojoj se nalazite ispred troja vrata. Domaćin, koji je poznat kao poštenjak, iza jednih vrata smjestio je kola, a iza druga dvoja vrata kozu. Nemate informaciju što je iza kojih vrata.

Voditelj vam kaže: “Prvo morate izabrati jedna od vrata. Nakon toga otvorit ću jedna od preostalih vrata iza kojih je koza. Tada ću vam predložiti da promijenite svoj izvorni izbor i odaberete preostala zatvorena vrata umjesto onih koja ste odabrali na početku. Možete poslušati moj savjet i odabrati druga vrata ili možete potvrditi svoj prvotni odabir. Nakon toga ću otvoriti vrata koja ste odabrali i osvojit ćete ono što je iza tih vrata.”

Vi birate vrata broj 3. Voditelj otvara vrata broj 1 i pokazuje da je iza njih koza. Domaćin vas zatim pita da odaberete vrata broj 2.

Hoće li se vaše šanse za osvajanje automobila povećati ako poslušate njegov savjet?
Monty Hallov paradoks je jedan od poznatih problema teorije vjerojatnosti, čije je rješenje, na prvi pogled, u suprotnosti sa zdravim razumom.
Prilikom rješavanja ovog problema obično rezoniraju ovako: nakon što je domaćin otvorio vrata iza kojih se nalazi koza, auto može biti samo iza jednih od dvoja preostala vrata. Budući da igrač ne može primiti nijedan dodatne informacije o tome iza kojih se vrata automobil nalazi, tada je vjerojatnost pronalaska automobila iza svakih vrata ista, a promjena početnog izbora vrata ne daje igraču nikakvu prednost. Međutim, ovo razmišljanje je netočno.
Ako domaćin uvijek zna iza kojih se vrata nalazi, uvijek otvara preostala vrata koja sadrže kozu i uvijek traži od igrača da promijeni svoj izbor, tada je vjerojatnost da je automobil iza vrata koje je odabrao igrač 1/3, a , prema tome, vjerojatnost da je automobil iza preostalih vrata je 2/3. Dakle, promjena početnog izbora udvostručuje šanse igrača da osvoji automobil. Ovaj zaključak je u suprotnosti s intuitivnom percepcijom situacije kod većine ljudi, zbog čega se opisani problem naziva Monty Hallovim paradoksom.

Čini mi se da se šanse neće promijeniti; nema paradoksa.

A evo i zašto: prva i druga vrata izbor su nezavisna događanja. To je kao da 2 puta bacate novčić: ono što ispadne drugi put ni na koji način ne ovisi o onome što je ispalo prvi put.

Tako i ovdje: nakon otvaranja vrata s kozom, igrač se nađe unutra nova situacija kada ima 2 vrata i vjerojatnost da odaberete auto ili kozu je 1/2.

Još jednom: nakon otvaranja jednih vrata od tri, vjerojatnost da je automobil iza preostalih vrata, nije jednako 2/3, jer 2/3 je vjerojatnost da je automobil iza bilo koja 2 vrata. Netočno je tu vjerojatnost pripisivati neotvorenim i otvorenim vratima. Prije otvaranje vrata bilo je takvo poravnanje vjerojatnosti, ali nakon otvarajući jedna vrata, sve te vjerojatnosti postaju ništavno, jer situacija se promijenila i stoga je potreban novi izračun vjerojatnosti, koji obični ljudi ispravno provedeno, odgovarajući da se ništa neće promijeniti promjenom izbora.

Dodatak: 1) obrazlažući da:

a) vjerojatnost pronalaska automobila iza odabranih vrata je 1/3,

b) vjerojatnost da je automobil iza druga dvoja neodabrana vrata, 2/3,

c) jer domaćin je otvorio vrata s kozom, tada vjerojatnost 2/3 ide u cijelosti na jedna neodabrana (i neotvorena) vrata,

i stoga je potrebno promijeniti izbor na druga vrata, tako da vjerojatnost od 1/3 postane 2/3, nije točno, nego netočno, naime: u stavku "c", jer se inicijalno vjerojatnost 2/3 odnosi na bilo koja dva vrata, uključujući 2 koja su ostala neotvorena, a budući da su jedna vrata otvorena, tada će se ta vjerojatnost jednako podijeliti između 2 neotvorena, tj. vjerojatnost će biti jednaka, a odabir drugih vrata neće je povećati.

2) uvjetne vjerojatnosti računaju se ako postoje 2 ili više slučajnih događaja, a vjerojatnost se računa posebno za svaki događaj, a tek onda se računa vjerojatnost zajedničkog događanja 2 ili više događaja. Ovdje je isprva vjerojatnost pogađanja bila 1/3, ali da bi se izračunala vjerojatnost da se automobil ne nalazi iza odabranih vrata, već iza onih drugih koja nisu otvorena, ne morate računati uvjetna vjerojatnost, ali trebate izračunati jednostavnu vjerojatnost, koja je 1 od 2, one. 1/2.

3) Dakle, ovo nije paradoks, već zabluda! (19.11.2009.)

Dodatak 2: Jučer sam došao do najjednostavnijeg objašnjenja koje strategija ponovnog odabira još uvijek ima prednost(paradoks je istinit!): kod prvog izbora ulazak u kozu je 2 puta vjerojatniji nego u auto, jer postoje dvije koze, pa prema tome, kod drugog izbora morate promijeniti izbor. Tako je očito :o)

Ili drugim riječima: potrebno je ne markirati u autu, već odbiti koze, au tome pomaže i voditelj, otvarajući kozu. A na početku igre, s vjerojatnošću 2 od 3, igrač će također uspjeti, tako da, odbivši koze, trebate promijeniti izbor. I to je odjednom postalo vrlo očito :o)

Dakle, sve što sam do sada napisao bilo je pseudopobijanje. Pa, evo još jedne ilustracije da treba biti skromniji, poštivati tuđe gledište i ne vjerovati uvjeravanjima svoje logike da su njezine odluke kristalno logične.

U prosincu 1963. američki televizijski kanal NBC prvi je put emitirao program Let's Make a Deal ("Dogovorimo se!"), u kojem su se sudionici, odabrani iz publike u studiju, međusobno i s voditeljem cjenkali, igrali male igrice ili samo pogodite odgovor na pitanje. Na kraju emitiranja sudionici su mogli odigrati “dogovor dana”. Ispred njih su bila troja vrata za koja se znalo da je iza jednih glavna nagrada (primjerice automobil), a iza druga dvoja manje vrijedni ili potpuno apsurdni darovi (primjerice žive koze) . Nakon što je igrač napravio svoj izbor, Monty Hall, voditelj programa, otvorio je jedna od dvoja preostala vrata, pokazujući da iza njih nema nagrade i dopustivši sudioniku da bude sretan što ima priliku pobijediti.

Godine 1975., UCLA znanstvenik Steve Selvin upitao je što bi se dogodilo da se u tom trenutku, nakon otvaranja vrata bez nagrade, od sudionika zatraži da promijeni svoj izbor. Hoće li se u ovom slučaju promijeniti šanse igrača da dobije nagradu i ako je tako, u kojem smjeru? Odgovarajuće pitanje u obliku problema poslao je časopisu The American Statistician ("American Statistician"), kao i samom Montyju Hallu, koji je na njega dao prilično zanimljiv odgovor. Usprkos ovom odgovoru (ili možda baš zbog njega), problem je postao popularan pod imenom "Monty Hall problem".

Najčešća formulacija ovog problema, objavljena 1990. u časopisu Parade, je sljedeća:

“Zamislite da ste postali sudionik igre u kojoj morate izabrati jednu od troja vrata. Iza jednih vrata je auto, iza druga dvoja vrata su koze. Odaberete jedna od vrata, npr. broj 1, nakon toga domaćin, koji zna gdje su kola, a gdje su koze, otvori jedna od preostalih vrata, npr. broj 3, iza kojih je koza. Nakon toga vas pita želite li promijeniti izbor i odabrati vrata broj 2. Hoće li vam se povećati šanse za osvajanje automobila ako prihvatite ponudu domaćina i promijenite izbor?

Nakon objave odmah je postalo jasno da je problem pogrešno formuliran: nisu navedeni svi uvjeti. Na primjer, voditelj može slijediti strategiju "paklenog Montyja": ponuditi promjenu izbora ako i samo ako je igrač odabrao automobil u prvom potezu. Očito će promjena početnog izbora dovesti do zajamčenog gubitka u takvoj situaciji.

Najpopularniji je problem s dodatnim uvjetom - sudionik igre unaprijed zna sljedeća pravila:

automobil će jednako vjerojatno biti smješten iza bilo kojih od 3 vrata;
u svakom slučaju domaćin je dužan otvoriti vrata s kozom (ali ne onom koju je igrač izabrao) i ponuditi igraču da promijeni izbor;
ako vođa ima izbor koja će od dvoja vrata otvoriti, on bira bilo koja od njih s istom vjerojatnošću.

Trag

Pokušajte razmotriti ljude koji su odabrali različita vrata u istom slučaju (odnosno kada je nagrada, na primjer, iza vrata broj 1). Tko će imati koristi od promjene izbora, a tko ne?

Riješenje

Kao što je predloženo u opisu alata, razmislite o osobama koje su donijele različite odluke. Pretpostavimo da je nagrada iza vrata #1, a iza vrata #2 i #3 su koze. Pretpostavimo da imamo šest ljudi, a svaka su vrata izabrala dva čovjeka i iz svakog para jedan je naknadno promijenio odluku, a drugi nije.

Napominjemo da će Domaćin koji odabere vrata br. 1 otvoriti jedna od dvoja vrata po svom ukusu, dok će, bez obzira na to, auto dobiti onaj koji ne promijeni svoj izbor, već onaj koji je promijenio početni izbor ostat će bez Nagrade. Sada pogledajmo one koji su odabrali vrata #2 i #3. Budući da se iza vrata br. 1 nalazi auto, domaćin ga ne može otvoriti, što mu ne ostavlja izbora - otvara im vrata br. 3, odnosno 2. Pritom će onaj tko je promijenio odluku u svakom paru rezultatski odabrati nagradu, a onaj tko nije promijenio ostat će bez ičega. Tako će od troje ljudi koji se predomisle dvoje dobiti nagradu, a jedan će dobiti kozu, dok će od troje koji su ostavili nepromijenjeni svoj prvobitni izbor samo jedan dobiti nagradu.

Treba imati na umu da bi se automobil nalazio iza vrata #2 ili #3, rezultat bi bio isti, samo bi se određeni pobjednici promijenili. Dakle, pod pretpostavkom da su inicijalno sva vrata odabrana s jednakom vjerojatnošću, dobivamo da oni koji promijene svoj izbor dvostruko češće osvajaju nagradu, odnosno da je vjerojatnost dobitka u ovom slučaju veća.

Pogledajmo ovaj problem sa stajališta matematičke teorije vjerojatnosti. Pretpostavit ćemo da je vjerojatnost početnog odabira svake od vrata ista, kao i vjerojatnost da se nalazi iza svakih od vrata automobila. Osim toga, korisno je napomenuti da Vođa, kada može otvoriti dvoja vrata, bira svaka od njih s jednakom vjerojatnošću. Tada se ispostavlja da je nakon prve odluke vjerojatnost da je nagrada iza odabranih vrata 1/3, dok je vjerojatnost da je iza jednih od druga dva vrata 2/3. Istodobno, nakon što Domaćin otvori jedna od dvoja "neodabrana" vrata, cjelokupna vjerojatnost od 2/3 pada na samo jedna od preostalih vrata, čime se stvara osnova za promjenu odluke, što će povećati vjerojatnost dobitka. za 2 puta. Što to, naravno, ni na koji način ne jamči u jednom konkretnom slučaju, ali će dovesti do uspješnijih rezultata u slučaju opetovanog ponavljanja eksperimenta.

Pogovor

Monty Hallov problem nije prva poznata formulacija ovog problema. Konkretno, Martin Gardner je 1959. godine u Scientific Americanu objavio sličan problem “o tri zatvorenika” (Three Prisoners problem) sa sljedećom formulacijom: “Od tri zatvorenika, jednog treba pomilovati, a dvojicu pogubiti. Zatvorenik A nagovara čuvara da mu kaže ime onog od ostale dvojice koji će biti pogubljeni (ili ako obojica budu pogubljeni), nakon čega, dobivši ime B, smatra da je vjerojatnost vlastitog spasa postala manja. 1/3, ali 1/2. Istodobno, zatvorenik C tvrdi da je vjerojatnost njegovog bijega postala 2/3, dok se za A ništa nije promijenilo. Koji je pravi?"

Međutim, Gardner nije bio prvi, budući da je davne 1889. godine, u svome Računu vjerojatnosti, francuski matematičar Joseph Bertrand (ne brkati s Englezom Bertrandom Russellom!) ponudio sličan problem (vidi paradoks Bertrandove kutije): “Postoje tri kutije, od kojih svaka sadrži po dva novčića: dva zlatna u prvoj, dva srebrna u drugoj i dva različita u trećoj.

Ako razumijete rješenja sva tri problema, lako je uočiti sličnost njihovih ideja; matematički, sve njih objedinjuje pojam uvjetne vjerojatnosti, odnosno vjerojatnosti događaja A, ako se zna da se događaj B dogodio. Najjednostavniji primjer: vjerojatnost da je obična kocka bačena je 1/6; međutim, ako se zna da je bačeni broj neparan, tada je vjerojatnost da je jedan već 1/3. Problem Monty Halla, kao i druga dva navedena problema, pokazuje da se s uvjetnim vjerojatnostima mora postupati pažljivo.

Ti se problemi također često nazivaju paradoksima: paradoks Montyja Halla, paradoks Bertrandove kutije (potonji se ne smije brkati s pravim Bertrandovim paradoksom danim u istoj knjizi, koji je dokazao dvosmislenost koncepta vjerojatnosti koji je postojao u to vrijeme) - koji implicira neku proturječnost (na primjer, u "Paradoksu lažljivca" izraz "ova izjava je lažna" proturječi zakonu isključene sredine). U ovaj slučaj, međutim, nema proturječja sa strogim izjavama. Međutim, postoji jasna kontradikcija s javno mišljenje” ili jednostavno “očito rješenje” problema. Doista, većina ljudi, gledajući problem, vjeruje da nakon otvaranja jednih vrata, vjerojatnost pronalaska nagrade iza bilo kojeg od dvoje preostalih zatvorenih je 1/2. Čineći to, oni tvrde da nema razlike hoće li se složiti ili ne složiti da se predomisli. Štoviše, mnogim ljudima je teško razumjeti odgovor osim ovog, čak i nakon što im se kaže detaljno rješenje.

Monty Hallov odgovor Steveu Selwynu

g. Steve Selvin,
docent biostatistike,
Kalifornijsko sveučilište, Berkeley.

Dragi Steve,

Hvala što ste mi poslali problem iz American Statistical-a.

Iako nisam studirao statistiku na sveučilištu, znam da brojke uvijek mogu iskoristiti u svoju korist ako želim njima manipulirati. Vaše obrazloženje ne uzima u obzir jednu bitnu okolnost: nakon što je prva kućica prazna, sudionik više ne može promijeniti svoj izbor. Dakle, vjerojatnosti ostaju iste: jedan prema tri, zar ne? I, naravno, nakon što se jedna od kutija isprazni, šanse ne postaju 50/50, već ostaju iste - jedna od tri. Sudioniku se samo čini da rješavanjem jedne kutije dobiva više šanse. Nikako. Dva prema jedan protiv njega, kako je bilo, tako i ostalo. A ako iznenada dođete na moju emisiju, pravila će za vas ostati ista: nema kutija za presvlačenje nakon odabira.

Zamislite da ste postali sudionik igre u kojoj morate izabrati jedna od troja vrata. Iza jednih vrata je auto, iza druga dvoja vrata su koze. Odaberete jedna od vrata, npr. broj 1, nakon toga domaćin, koji zna gdje su kola, a gdje su koze, otvori jedna od preostalih vrata, npr. broj 3, iza kojih je koza. Nakon toga vas pita želite li promijeniti izbor i odabrati vrata broj 2. Hoće li vam se povećati šanse za osvajanje automobila ako prihvatite ponudu domaćina i promijenite izbor?

Riješenje. Odmah napomenimo da ovaj problem ne sadrži nikakav paradoks. redovni zadatak ( Prva razina) na Bayesovu formulu, koja proizlazi iz definicije uvjetne vjerojatnosti.

Bayesova formula

Označite s A događaj - osvojili ste auto.

Postavili smo dvije hipoteze: H 1 - ne mijenjate vrata i H 2 - mijenjate vrata.

P(H 1)= 1/3 - a priori (a priori - znači prije eksperimenta, domaćin još nije otvorio vrata) vjerojatnost hipoteze da mijenjate vrata.

P H1 (A) - uvjetna vjerojatnost da ćete pogoditi vrata iza kojih se automobil nalazi, ako se dogodila prva hipoteza H 1

P H2 (A) - uvjetna vjerojatnost da pogodite vrata iza kojih se automobil nalazi, ako se dogodila druga hipoteza H 2

Nađite vjerojatnost događaja A ako se dogodila hipoteza H 1 (vjerojatnost da ste osvojili auto ako niste promijenili vrata):

Odredite vjerojatnost događaja A ako se dogodila hipoteza H 2 (vjerojatnost da ste osvojili auto ako ste promijenili vrata):

Dakle, sudionik treba promijeniti svoj početni izbor - u ovom slučaju, vjerojatnost njegovog dobitka bit će jednaka 2 ⁄ 3 .

Statistička potvrda Monty Hallovog paradoksa

Ovdje: "strategija 1" - ne mijenjajte izbor, "strategija 2" - promijenite izbor. Teoretski, za slučaj s 3 vrata, distribucija vjerojatnosti je 33.(3)% i 66.(6)%. Numeričke simulacije trebale bi dati slične rezultate.

Teorija vjerojatnosti je grana matematike koja je spremna zbuniti i same matematičare. Za razliku od ostalih, egzaktnih i nepokolebljivih dogmi ove znanosti, ovo područje vrvi neobičnostima i netočnostima. Nedavno je u ovaj odjeljak, da tako kažemo, dodan novi odlomak – paradoks Montyja Halla. To je, općenito, zadatak, ali se rješava na potpuno drugačiji način od uobičajenih školskih ili fakultetskih.

Priča o podrijetlu

Ljudi razbijaju glavu nad Monty Hallovim paradoksom još od daleke 1975. godine. Ali vrijedi početi 1963. Tada se na ekranima pojavila TV emisija pod nazivom Let's make a deal, što u prijevodu znači "Dogovorimo se". Voditelj joj je bio nitko drugi do Monty Hall, koji je gledateljima bacao ponekad nerješive zagonetke. Jedan od najupečatljivijih postao je onaj koji je predstavio 1975. Problem je postao dio matematičke teorije vjerojatnosti i paradoksi koji se uklapaju u njezin okvir. Također je vrijedno napomenuti da ovaj fenomen bio je povod žestokim raspravama i oštrim kritikama znanstvenika. Paradoks Montyja Halla objavljen je u časopisu Parade 1990., a od tada se o njemu još više raspravlja i sporno pitanje sva vremena i narode. Pa, sada se izravno okrećemo njegovoj formulaciji i tumačenju.

Iskaz problema

Brojna su tumačenja ovog paradoksa, no mi smo vam odlučili predstaviti ono klasično, koje je prikazano u samom programu. Dakle, pred vama su troja vrata. Iza jednog od njih auto, iza druge dvije po jedna koza. Domaćin vas pozove da odaberete jedna od vrata, a recimo da se zaustavite na broju 1. Zasad ne znate što je iza ovih prvih vrata, jer vam otvaraju treća i pokazuju da je koza. iza toga. Dakle, još niste izgubili, jer niste odabrali vrata koja skrivaju gubitničku opciju. Stoga se povećavaju vaše šanse da dobijete automobil.

Ali tada vam domaćin predlaže da se predomislite. Pred vama su već dvoja vrata, iza jednih koza, iza drugih žuđena nagrada. Upravo je to srž problema. Čini se da koja god od dvoja vrata odaberete, šanse su 50/50. No zapravo, ako se predomislite, vjerojatnost da ćete pobijediti postat će veća. Kako to?

Prvi izbor koji napravite u ovoj igri je nasumičan. Ne možete ni izdaleka pogoditi iza kojih se od troja vrata skriva nagrada, pa nasumično pokazujete na prva koja naiđu. Vođa pak zna gdje je što. Ima vrata s nagradom, vrata na koja ste mu pokazali i treća bez nagrade, koja vam otvara kao prvi trag. Drugi nagovještaj leži u samom njegovom prijedlogu da promijeni izbor.

Sada više nećete nasumično birati jedno od tri, a možete se i predomisliti kako biste dobili željenu nagradu. Upravo prijedlog domaćina daje osobi uvjerenje da se automobil doista ne nalazi iza vrata koja je on izabrao, već iza drugih. To je cijela bit paradoksa, jer, zapravo, još uvijek morate birati (iako između dva, a ne između tri) nasumično, ali šanse za pobjedu se povećavaju. Prema statistici, od 30 igrača koji su se predomislili, kola je dobilo 18. A to je 60%. A od istih 30 ljudi koji nisu promijenili odluku - samo 11, odnosno 36%.

Tumačenje u brojkama

Recimo sada više o Monty Hallovom paradoksu precizna definicija. Igračev prvi izbor dijeli vrata u dvije grupe. Vjerojatnost da se nagrada nalazi iza vrata koja ste odabrali je 1/3, a iza vrata koja su ostala 2/3. Domaćin tada otvara jedna od vrata druge grupe. Tako on svu preostalu vjerojatnost, 2/3, prebaci na jedna vrata koja niste odabrali i koja on nije otvorio. Logično je da će nakon takvih izračuna biti isplativije promijeniti mišljenje. Ali u isto vrijeme, važno je zapamtiti da još uvijek postoji mogućnost gubitka. Ponekad su prezentatori lukavi, jer u početku možete gurati na ispravna, nagrađena vrata, a zatim ih dobrovoljno odbiti.

Svi smo navikli da matematika, kao egzaktna znanost, ide ruku pod ruku sa zdravim razumom. Ovdje posao rade brojevi, a ne riječi, točne formule, ne nejasne misli, koordinate, ne relativni podaci. Ali ona novi odjeljak nazvana teorija vjerojatnosti raznijela je cijeli poznati obrazac. Zadaci u ovom području, čini nam se, ne uklapaju se u okvire zdravog razuma i potpuno su u suprotnosti sa svim formulama i izračunima. U nastavku predlažemo da se upoznate s drugim paradoksima teorije vjerojatnosti koji imaju nešto zajedničko s gore opisanim.

Paradoks dječaka i djevojčice

Zadatak je na prvi pogled apsurdan, ali striktno slijedi matematičku formulu i ima dva rješenja. Dakle, neki čovjek ima dvoje djece. Jedan od njih mora biti dječak. Kolika je vjerojatnost da je drugi dječak?

Opcija 1. Razmatramo sve kombinacije dvoje djece u obitelji:

Djevojčica/djevojčica.
Cura dečko.
Dečko cura.
Dječak/dječak.

Prva kombinacija nam očito ne odgovara, stoga na temelju posljednje tri dobivamo 1/3 vjerojatnosti da će drugo dijete biti mali čovjek.

opcija 2. Zamislimo li takav slučaj u praksi, odbacujući razlomke i formule, tada, na temelju činjenice da na Zemlji postoje samo dva spola, vjerojatnost da će drugo dijete biti dječak iznosi 1/2.

Ovo iskustvo nam pokazuje koliko se famozno može manipulirati statistikom. Dakle, "uspavana ljepotica" dobiva injekciju tableta za spavanje i baca novčić. Ako se pojavi glava, ona se budi i eksperiment završava. Ako repovi ispadnu, onda je probude, odmah daju drugu injekciju, a ona zaboravi da se probudila, a nakon toga se opet probude tek drugi dan. Nakon potpunog buđenja, "ljepotica" ne zna kojeg je dana otvorila oči, niti kolika je vjerojatnost da je novčić pao rep. Prema prvom rješenju, vjerojatnost dobivanja repova (ili glava) je 1/2. Bit druge opcije je da ako se eksperiment provede 1000 puta, tada će se u slučaju orla "ljepotica" probuditi 500 puta, a s rijetkim - 1000. Sada je vjerojatnost dobivanja repova 2/3.

Monty Hallov paradoks je jedan od poznatih problema teorije vjerojatnosti, čije je rješenje, na prvi pogled, u suprotnosti sa zdravim razumom. Problem je formuliran kao opis hipotetske igre temeljene na američkoj TV emisiji Let's Make A Deal i nazvan je po voditelju ove emisije. Najčešća formulacija ovog problema, objavljena 1990. u časopisu Parade, je sljedeća:

Iako je ovakva formulacija problema najpoznatija, donekle je problematična jer neke bitne uvjete problema ostavlja nedefiniranima. Slijedi potpunija izjava.

Prilikom rješavanja ovog problema obično rezoniraju ovako: nakon što je domaćin otvorio vrata iza kojih se nalazi koza, auto može biti samo iza jednih od dvoja preostala vrata. Budući da igrač ne može dobiti nikakvu dodatnu informaciju o tome iza kojih se vrata automobil nalazi, vjerojatnost pronalaska automobila iza svakih vrata je ista, a promjena početnog odabira vrata ne daje igraču nikakvu prednost. Međutim, ovo razmišljanje je netočno. Ako domaćin uvijek zna iza kojih se vrata nalazi, uvijek otvara preostala vrata koja sadrže kozu i uvijek traži od igrača da promijeni svoj izbor, tada je vjerojatnost da je automobil iza vrata koje je odabrao igrač 1/3, a , prema tome, vjerojatnost da je automobil iza preostalih vrata je 2/3. Dakle, promjena početnog izbora udvostručuje šanse igrača da osvoji automobil. Ovaj zaključak je u suprotnosti s intuitivnom percepcijom situacije kod većine ljudi, zbog čega se opisani problem naziva Monty Hallovim paradoksom.

usmena odluka

Točan odgovor na ovaj problem je sljedeći: da, šanse za osvajanje auta su udvostručene ako igrač posluša savjet domaćina i promijeni svoj početni izbor.

Najjednostavnije objašnjenje za ovaj odgovor je sljedeće. Kako bi osvojio automobil bez promjene izbora, igrač mora odmah pogoditi vrata iza kojih automobil stoji. Vjerojatnost za to je 1/3. Ako igrač prvo udari u vrata s kozom iza njih (a vjerojatnost tog događaja je 2/3, budući da postoje dvije koze i samo jedan automobil), tada sigurno može osvojiti automobil ako se predomisli, budući da je automobil i ostane jedna koza, a domaćin je već otvorio vrata s kozom.

Dakle, bez promjene izbora igrač ostaje pri svojoj početnoj vjerojatnosti dobitka 1/3, a kod promjene početnog izbora igrač okreće u svoju korist dvostruku preostalu vjerojatnost koju nije točno pogodio na početku.

Također, intuitivno objašnjenje može se dati zamjenom ta dva događaja. Prvi događaj je odluka igrača da promijeni vrata, drugi događaj je otvaranje dodatnih vrata. To je prihvatljivo jer otvaranje dodatnih vrata ne daje igraču ništa nove informacije(dokument vidi u ovom članku).

Tada se problem može svesti na sljedeću formulaciju. U prvom trenutku igrač dijeli vrata u dvije grupe: u prvoj grupi su jedna vrata (ona koja je on odabrao), u drugoj grupi su preostala dvoja vrata. U sljedećem trenutku igrač bira između grupa. Očito je da je za prvu skupinu vjerojatnost dobitka 1/3, za drugu skupinu 2/3. Igrač bira drugu grupu. U drugoj skupini može otvoriti oba vrata. Jednu otvara domaćin, a drugu sam igrač.

Pokušajmo dati "najrazumljivije" objašnjenje. Preformulirajte problem: Pošteni domaćin najavi igraču da se iza jednih od troja vrata nalazi auto i pozove ga da prvo pokaže na jedna od vrata, a zatim odabere jednu od dvije akcije: otvori navedena vrata (u staroj formulaciji, ovo se zove "ne mijenjaj svoj izbor ") ili otvorite druga dva (u staroj formulaciji, ovo bi bilo samo "promijenite izbor". Razmislite, ovo je ključ razumijevanja!). Jasno je da će igrač izabrati drugu od dvije akcije, budući da je vjerojatnost dobivanja automobila u ovom slučaju dvostruko veća. I sitnica da je vođa “pokazao kozu” i prije odabira radnje ne pomaže i ne ometa izbor, jer iza jednih od dvoja vrata uvijek stoji koza i vođa će je svakako pokazati na bilo kojem hodu. igre, pa igrač može na ovu kozu i ne gledati. Posao igrača, ako je odabrao drugu radnju, je reći "hvala" domaćinu što ga je poštedio muke da sam otvori jedna od dvoja vrata, a otvori druga. Pa, ili još lakše. Zamislimo ovu situaciju iz kuta domaćina koji sličan postupak radi s desecima igrača. Budući da savršeno dobro zna što je iza vrata, tada u prosjeku u dva od tri slučaja unaprijed vidi da je igrač odabrao "kriva" vrata. Stoga za njega definitivno nema paradoksa da je ispravna strategija promijeniti izbor nakon otvaranja prvih vrata: uostalom, tada će u ista dva od tri slučaja igrač otići iz studija za novi auto.

Za kraj, "najnaivniji" dokaz. Onaj koji stoji iza svog izbora neka se zove "Tvrdoglav", a onaj koji slijedi upute vođe neka se zove "Pažljiv". Zatim pobjeđuje Tvrdoglavi ako je prvo pogodio auto (1/3), a Pažljivi - ako je prvi promašio i pogodio jarca (2/3). Uostalom, samo u ovom slučaju će onda pokazati na vrata s automobilom.

Ključevi za razumijevanje

Unatoč jednostavnosti objašnjenja ovog fenomena, mnogi ljudi intuitivno vjeruju da se vjerojatnost dobitka ne mijenja kada igrač promijeni svoj izbor. Obično je nemogućnost promjene vjerojatnosti dobitka motivirana činjenicom da pri izračunavanju vjerojatnosti događaji koji su se dogodili u prošlosti nisu važni, kao što se događa, na primjer, pri bacanju novčića - vjerojatnost dobivanja glave ili repa je važna. ne ovisi o tome koliko su puta ranije ispale glave ili repovi. Stoga mnogi vjeruju da u trenutku kada igrač izabere jedna od dvoja vrata, više nije važno što je u prošlosti postojao izbor jednih vrata od troja, a vjerojatnost osvajanja auta je ista pri promjeni izbora , i ostavljajući izvorni izbor.

Međutim, dok su takva razmatranja istinita u slučaju bacanja novčića, nisu istinita za sve igre. U tom slučaju, otvaranje vrata od strane majstora treba zanemariti. Igrač u biti bira između jednih vrata koja su prva odabrali i druga dva - otvaranje jednih služi samo za ometanje igrača. Zna se da je jedan auto i dvije koze. Igračev početni odabir jednih vrata dijeli moguće ishode igre u dvije skupine: ili je automobil iza vrata koje je odabrao igrač (vjerojatnost za to je 1/3), ili iza jednog od druga dva (vjerojatnost od ovoga je 2/3). Pritom je već poznato da se u svakom slučaju iza jednih od dvoja preostala vrata nalazi koza, a otvaranjem tih vrata voditelj ne daje igraču nikakve dodatne informacije o tome što se nalazi iza vrata koje je izabrao igrač. Dakle, otvaranje vrata s kozom od strane vođe ne mijenja vjerojatnost (2/3) da je automobil iza jednih od preostalih vrata. A otkad već otvorena vrata igrač ne bira, tada je sva ta vjerojatnost koncentrirana u slučaju da je automobil iza preostalih zatvorenih vrata.

Intuitivnije razmišljanje: Neka igrač djeluje prema strategiji "promijeni izbor". Tada će izgubiti samo ako u početku odabere auto. A vjerojatnost za to je jedna trećina. Stoga je vjerojatnost dobitka: 1-1/3=2/3. Ako se igrač ponaša prema strategiji "ne mijenjaj izbor", tada će pobijediti ako i samo ako je inicijalno odabrao automobil. A vjerojatnost za to je jedna trećina.

Zamislimo ovu situaciju iz kuta domaćina koji sličan postupak radi s desecima igrača. Budući da savršeno dobro zna što je iza vrata, tada u prosjeku u dva od tri slučaja unaprijed vidi da je igrač odabrao "kriva" vrata. Stoga za njega definitivno nema paradoksa da je ispravna strategija promijeniti izbor nakon otvaranja prvih vrata: nakon svega, u ista dva slučaja od tri, igrač će napustiti studio u novom automobilu.

Drugi čest razlog teškoća u razumijevanju rješenja ovog problema je taj što ljudi često zamišljaju malo drugačiju igru – gdje se unaprijed ne zna hoće li domaćin otvoriti vrata s kozom i predložiti igraču da promijeni izbor. U ovom slučaju igrač ne poznaje taktiku domaćina (odnosno, u biti ne poznaje sva pravila igre) i ne može napraviti optimalan izbor. Na primjer, ako će voditelj ponuditi promjenu opcije samo ako je igrač prvotno odabrao vrata s automobilom, tada očito igrač uvijek treba ostaviti izvornu odluku nepromijenjenom. Zato je važno imati na umu točnu formulaciju problema Monty Halla. (s ovom opcijom, lider s različitim strategijama može postići bilo koju vjerojatnost između vrata, u općem (prosječnom) slučaju to će biti 1/2 puta 1/2).

Povećanje broja vrata

Kako bismo lakše razumjeli bit onoga što se događa, možemo razmotriti slučaj kada igrač ispred sebe ne vidi troja vrata, već, na primjer, stotinu. U isto vrijeme, iza jednih vrata je auto, a iza ostalih 99 koza. Igrač bira jedna od vrata, dok će u 99% slučajeva izabrati vrata s kozom, a šanse da odmah odabere vrata s automobilom vrlo su male – iznose 1%. Nakon toga domaćin otvara 98 vrata s kozama i traži od igrača da izabere preostala vrata. U ovom slučaju, u 99% slučajeva, automobil će biti iza ovih preostalih vrata, jer su šanse da je igrač odmah izabrao prava vrata vrlo male. Jasno je da bi u ovoj situaciji igrač koji racionalno razmišlja uvijek trebao prihvatiti prijedlog lidera.

Kada se razmatra povećani broj vrata, često se postavlja pitanje: ako u izvornom problemu vođa otvori jedna od tri vrata (tj. 1/3 ukupno vrata), zašto bismo pretpostavili da će u slučaju 100 vrata domaćin kozama otvoriti 98 vrata, a ne 33? Ovo je razmatranje obično jedan od značajnih razloga zašto je paradoks Montyja Halla u sukobu s intuitivnom percepcijom situacije. Pretpostavka da će otvaranje 98 vrata biti ispravno jer bitan uvjet Zadatak je imati samo jedan alternativni izbor za igrača, koji nudi moderator. Dakle, da bi zadaci bili slični, u slučaju 4 vrata vođa mora otvoriti 2 vrata, u slučaju 5 vrata - 3 i tako dalje, tako da uvijek postoje još jedna neotvorena vrata osim onih koju je igrač prvotno odabrao. Ako voditelj otvori manje vrata, zadatak više neće biti sličan izvornom Monty Hallovom zadatku.

Treba napomenuti da u slučaju mnogo vrata, čak i ako domaćin ne ostavi zatvorena jedna vrata, već nekoliko, i ponudi igraču da odabere jedno od njih, tada kada promijeni početni izbor, šanse igrača da osvoji automobil će biti veće i dalje raste, iako ne tako značajno. Na primjer, razmotrite situaciju u kojoj igrač odabere jedna vrata od stotinu, a zatim voditelj otvori samo jedna od preostalih vrata, pozivajući igrača da promijeni svoj izbor. U isto vrijeme, šanse da je automobil iza vrata koje je igrač izvorno odabrao ostaju iste - 1/100, a za preostala vrata šanse se mijenjaju: ukupna vjerojatnost da je automobil iza jednih od preostalih vrata ( 99/100) sada nije raspoređen na 99 vrata, već na 98. Stoga vjerojatnost pronalaska automobila iza svakih od ovih vrata neće biti 1/100, već 99/9800. Povećanje vjerojatnosti bit će približno 0,01%.

stablo odlučivanja

Drvo moguća rješenja igrača i domaćina, pokazujući vjerojatnost svakog ishoda

Formalnije, scenarij igre može se opisati pomoću stabla odlučivanja.

U prva dva slučaja, kada je igrač prvi odabrao vrata iza kojih se nalazi koza, promjena izbora rezultira dobitkom. U zadnja dva slučaja, kada je igrač prvi put izabrao vrata s automobilom, promjena izbora rezultira gubitkom.

Ukupna vjerojatnost da će promjena izbora dovesti do pobjede jednaka je zbroju vjerojatnosti prva dva ishoda, tj.

Sukladno tome, vjerojatnost da će odbijanje promjene izbora dovesti do pobjede jednaka je

Provođenje sličnog eksperimenta

Postoji jednostavan način da se uvjerite da promjena izvornog izbora rezultira pobjedom u prosjeku dva od tri puta. Da biste to učinili, možete simulirati igru opisanu u Monty Hall problemu koristeći kartanje. Jedna osoba (distribucija karata) igra ulogu vodećeg Monty Halla, a druga - ulogu igrača. Za igru se uzimaju tri karte, od kojih jedna prikazuje vrata s kolima (npr. pik as), a druge dvije identične (npr. dvije crvene dvojke) su vrata s jarcima.

Domaćin postavlja tri karte licem prema dolje, pozivajući igrača da uzme jednu od karata. Nakon što igrač odabere kartu, vođa gleda dvije preostale karte i otkriva crvenu dvojku. Nakon toga otvaraju se karte koje je ostavio igrač i voditelj, a ako je karta koju je igrač izabrao as pik, tada se bilježi bod u korist opcije kada igrač ne mijenja svoj izbor, a ako igrač ima crvenu dvojku, a vodeći ima asa pik, tada se bod boduje u korist opcije kada igrač promijeni izbor. Ako igramo mnogo takvih rundi igre, tada omjer između bodova u korist dviju opcija prilično dobro odražava omjer vjerojatnosti tih opcija. U ovom slučaju ispada da je broj bodova u korist promjene početnog izbora približno dvostruko veći.

Takav eksperiment ne samo da osigurava dvostruko veću vjerojatnost dobitka pri promjeni izbora, već i dobro ilustrira zašto se to događa. U trenutku kada je igrač izabrao kartu za sebe, već je određeno je li as pik u njegovoj ruci ili ne. Daljnje otvaranje jedne od karata od strane vođe ne mijenja situaciju - igrač već drži kartu u ruci i ona ostaje tu bez obzira na radnje vođe. Vjerojatnost da igrač odabere asa pik tri karte je očito 1/3, pa je stoga vjerojatnost da ga ne odaberete (i tada igrač pobjeđuje ako promijeni izvorni izbor) 2/3.

Spomenuti

U filmu Dvadeset jedan, učiteljica, Miki Rosa, izaziva glavnog lika, Bena, da riješi zagonetku: iza troja vrata su dva skutera i jedan auto; morate pogoditi vrata da biste osvojili auto. Nakon prvog izbora, Miki nudi promjenu izbora. Ben se slaže i matematički obrazlaže svoju odluku. Tako nehotice prolazi test za Mikijev tim.

U romanu Sergeja Lukjanenka "Nedotepa" glavni likovi ovom tehnikom osvajaju kočiju i mogućnost da nastave putovanje.

U televizijskoj seriji 4isla (13. epizoda prve sezone "Man Hunt"), jedan od glavnih likova, Charlie Epps, u popularnom predavanju o matematici, objašnjava Monty Hallov paradoks, jasno ga ilustrirajući pomoću ploča za označavanje, na poleđine koje su naslikane koze i auto. Charlie ipak pronalazi auto promjenom odabira. Međutim, treba napomenuti da on izvodi samo jedan eksperiment, dok je korist od strategije prijelaza statistička, te treba provesti niz eksperimenata da bi se ispravno ilustrirao.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

Popularno u kategoriji: