Dom › električna oprema › Pred vama su troja vrata. Monty Hallov paradoks – objašnjenje povećanja vjerojatnosti izbora

Pred vama su troja vrata. Monty Hallov paradoks – objašnjenje povećanja vjerojatnosti izbora

O lutriji

Ova igra odavno je stekla masovni karakter i postala je sastavni dio modernog života. I premda lutrija sve više širi svoje mogućnosti, mnogi je ljudi još uvijek vide samo kao način bogaćenja. Neka i nije besplatno i nije pouzdano. S druge strane, kako je primijetio jedan od junaka Jacka Londona, u Kockanje ne može se ne računati s činjenicama - ljudi ponekad imaju sreće.

Matematika slučaja. Povijest teorije vjerojatnosti

Aleksandar Bufetov

Transkript i video zapis predavanja dr. fizikalno-matematičkih znanosti, voditelj istraživač Matematički institut Steklov, vodeći znanstveni suradnik, IPTP RAS, profesor, Matematički fakultet, Visoka ekonomska škola, direktor istraživanja Nacionalni centar znanstveno istraživanje u Francuskoj (CNRS) Aleksandra Bufetova, održao u sklopu ciklusa javnih predavanja Polit.ru 6. veljače 2014.

Iluzija pravilnosti: zašto se slučajnost čini neprirodnom

Naše ideje o slučajnom, pravilnom i nemogućem često se razlikuju od podataka statistike i teorije vjerojatnosti. U "Nesavršenoj šansi. Kako slučajnost upravlja našim životima” Američki fizičar i popularizator znanosti Leonard Mlodinov govori o tome zašto nasumični algoritmi izgledaju tako čudno, u čemu je kvaka “nasumičnog” premetanja pjesama na iPodu i što određuje uspjeh burzovnog analitičara. Teorije i prakse objavljuju ulomak iz knjige.

Determinizam

Determinizam je opći znanstveni pojam i filozofija o uzročnosti, uzorcima, genetskoj povezanosti, interakciji i uvjetovanosti svih pojava i procesa koji se događaju u svijetu.

Bog je statistika

Deborah Nolan, profesorica statistike na kalifornijskom sveučilištu Berkeley, od svojih studenata traži na prvi pogled vrlo čudan zadatak. Prva skupina mora baciti novčić sto puta i zapisati rezultat: glava ili rep. Druga mora zamisliti da baca novčić - i također napraviti popis od stotina "imaginarnih" rezultata.

Što je determinizam

Ako su poznati početni uvjeti sustava, moguće je, koristeći se zakonima prirode, predvidjeti njegovo konačno stanje.

Problem izbirljive mladenke

Husejn-Zade S. M.

Zenonov paradoks

Je li moguće doći s jedne točke u svemiru na drugu? Starogrčki filozof Zenon iz Eleje smatrao je da se pokret uopće ne može izvesti, ali kako je to argumentirao? Colm Keller govori o tome kako riješiti poznati Zenonov paradoks.

Paradoksi beskonačnih skupova

Zamislite hotel s beskonačnim brojem soba. Stiže autobus s beskonačnim brojem budućih gostiju. No smjestiti ih sve nije tako jednostavno. Ovo je beskrajna gnjavaža, a gosti su beskrajno umorni. A ako se ne uspijete nositi sa zadatkom, tada možete izgubiti beskonačnu količinu novca! Što uraditi?

Ovisnost visine djeteta o visini roditelja

Mladi roditelji, naravno, žele znati koliko će njihovo dijete biti visoko kao odrasla osoba. Matematička statistika može ponuditi jednostavan linearni odnos za grubu procjenu visine djece, samo na temelju visine oca i majke, a također ukazuje na točnost takve procjene.

Monty Hallov paradoks vjerojatno je najpoznatiji paradoks u teoriji vjerojatnosti. Postoje mnoge njegove varijacije, na primjer, paradoks trojice zatvorenika. I postoje mnoga tumačenja i objašnjenja ovog paradoksa. Ali ovdje bih želio dati ne samo formalno objašnjenje, već i pokazati "fizičku" osnovu onoga što se događa u paradoksu Montyja Halla i njemu sličnih.

Klasična formulacija je:

“Ti si u igri. Pred vama su troja vrata. Jedan od njih ima nagradu. Domaćin vas poziva da pokušate pogoditi gdje je nagrada. Pokažete na jedna od vrata (nasumično).

Formulacija Monty Hallovog paradoksa

Domaćin zna gdje je zapravo nagrada. On, doduše, ne otvara ona vrata na koja si pokazao. Ali vam otvara još jedna od preostalih vrata iza kojih nema nagrade. Pitanje je treba li promijeniti svoj izbor ili ostati pri istoj odluci?

Ispada da će vam se šanse za pobjedu povećati ako samo promijenite svoj izbor!

Paradoksalnost situacije je očita. Čini se da je sve što se događa slučajno. Nije važno hoćete li se predomisliti ili ne. Ali nije.

"Fizičko" objašnjenje prirode ovog paradoksa

Nemojmo za početak ulaziti u matematičke suptilnosti, nego jednostavno sagledajmo situaciju bez predrasuda.

U ovoj igri samo vi radite prvi slučajni odabir. Domaćin vam tada kaže Dodatne informacije , što vam omogućuje da povećate svoje šanse za dobitak.

Kako vam voditelj daje dodatne informacije? Jako jednostavno. Imajte na umu da se otvara ne bilo kakav vrata.

Hajdemo, jednostavnosti radi (iako u tome ima elementa lukavstva), razmotrimo vjerojatniju situaciju: pokazali ste na vrata koja nemaju nagradu. Zatim, iza jednih od preostalih vrata, nagrada Tamo je. Odnosno, vođa nema izbora. Otvara vrlo specifična vrata. (Pokazali ste na jedno, iza drugog je nagrada, ostala su samo jedna vrata koja domaćin može otvoriti.)

Upravo u ovom trenutku smislenog izbora on vam daje informacije koje možete koristiti.

U ovaj slučaj, korištenje informacija je da promijenite odluku.

Usput, i tvoj drugi izbor je također nije slučajno(ili bolje rečeno, ne tako nasumično kao prvi izbor). Uostalom, birate između zatvorenih vrata, a jedna su već otvorena i to nije proizvoljno.

Zapravo, već nakon ovih argumenata možda ćete imati osjećaj da je bolje da se predomislite. Stvarno je. Pokažimo to formalnije.

Formalnije objašnjenje Monty Hallovog paradoksa

Zapravo, vaš prvi, nasumični izbor dijeli sva vrata u dvije grupe. Iza vrata koja ste odabrali nalazi se dobitak s vjerojatnošću 1/3, iza ostala dva - s vjerojatnošću 2/3. Sada domaćin čini promjenu: otvara jedna vrata u drugoj grupi. I sada se cijela vjerojatnost od 2/3 odnosi samo na zatvorena vrata u skupini od dvoja vrata.

Jasno je da vam je sada isplativije promijeniti mišljenje.

Iako, naravno, još uvijek imate šanse izgubiti.

Međutim, promjena odabira povećava vaše šanse za pobjedu.

Paradoks Montyja Halla

Monty Hallov paradoks je probabilistički problem, čije je rješenje (prema nekima) u suprotnosti sa zdravim razumom. Formulacija zadatka:

Zamislite da ste postali sudionik igre u kojoj morate izabrati jedna od troja vrata. Iza jednih vrata je auto, iza druga dvoja vrata su koze.
Odaberete jedna od vrata, npr. broj 1, nakon toga domaćin, koji zna gdje su kola, a gdje su koze, otvori jedna od preostalih vrata, npr. broj 3, iza kojih je koza.

Paradoks Montyja Halla. Najnetočnija matematika ikada

Nakon toga vas pita želite li promijeniti izbor i odabrati vrata broj 2.
Hoće li vam se šanse za osvajanje automobila povećati ako prihvatite ponudu domaćina i promijenite izbor?

Pri rješavanju problema često se pogrešno pretpostavlja da su dva izbora neovisna i stoga se vjerojatnost neće promijeniti kada se izbor promijeni. Zapravo, to nije slučaj, kao što možete vidjeti ako se prisjetite Bayesove formule ili pogledate rezultate simulacije u nastavku:

Ovdje: "strategija 1" - ne mijenjajte izbor, "strategija 2" - promijenite izbor. Teoretski, za slučaj s 3 vrata, distribucija vjerojatnosti je 33.(3)% i 66.(6)%. Numeričke simulacije trebale bi dati slične rezultate.

Linkovi

Paradoks Montyja Halla- zadatak iz dijela teorije vjerojatnosti, u čijem rješavanju postoji kontradikcija zdravom razumu.

Podrijetlo[uredi | uredi wiki tekst]

Krajem 1963. emitiran novi talk show pod nazivom "Let's Make A Deal" ("Hajde da se dogovorimo"). Prema scenariju kviza, gledatelji iz publike dobivali su nagrade za točne odgovore, a imali su ih priliku umnožiti novim okladama, ali riskirajući svoje postojeće dobitke. Osnivači emisije bili su Stefan Hatosu i Monty Hall, od kojih je potonji postao njezin dugogodišnji stalni voditelj.

Jedan od zadataka sudionika bilo je i izvlačenje glavne nagrade koja se nalazila iza jednih od troja vrata. Za preostala dva postojale su poticajne nagrade, redoslijed voditelja znao je njihov redoslijed. Natjecatelj je morao odrediti pobjednička vrata ulažući sve svoje dobitke iz showa.

Kada je pogađač odredio broj, domaćin je otvorio jedna od preostalih vrata iza kojih se nalazila poticajna nagrada i ponudio igraču da promijeni prvotno odabrana vrata.

Formulacije[uredi | uredi wiki tekst]

Kao specifičan problem, paradoks je prvi postavio Steve Selvin 1975. godine, koji je časopisu The American Statistician i voditelju Montyju Hallu postavio pitanje: Hoće li se promijeniti izgledi natjecatelja za osvajanje glavne nagrade ako će se nakon otvaranja vrata s poticajem promijeniti njegov izbor? Nakon ovog incidenta pojavio se koncept "Monty Hall Paradoxa".

Godine 1990. najčešća verzija paradoksa objavljena je u časopisu Parade (Magazin "Parada") s primjerom:

“Zamislite sebe na TV igrici u kojoj morate dati prednost jednim od troja vrata: iza dvoja koze, a iza trećih auto. Kada odaberete, pretpostavivši, na primjer, da su pobjednička vrata broj jedan, domaćin otvara jedna od preostala dvoja vrata, na primjer, broj tri, iza kojih je koza. Imate li onda priliku promijeniti svoj odabir na druga vrata? Možete li povećati svoje šanse za osvajanje automobila mijenjanjem izbora s vrata broj jedan na vrata broj dva?"

Ova formulacija je pojednostavljena verzija, jer ostaje faktor utjecaja domaćina, koji točno zna gdje je auto i zainteresiran je da izgubi sudionika.

Da bi problem postao čisto matematički, potrebno je eliminirati ljudski faktor uvođenjem otvaranja vrata uz poticajnu nagradu i mogućnost promjene početnog izbora kao sastavni uvjet.

Rješenje[uredi | uredi wiki tekst]

Uspoređujući koeficijente na prvi pogled, promjena broja vrata neće dati nikakvu prednost, jer. sve tri opcije imaju 1/3 šanse za pobjedu (cca. 33,33% na svaka od troja vrata). U isto vrijeme, otvaranje jednih vrata neće utjecati na šanse preostala dva, čije će šanse postati 1/2 prema 1/2 (50% za svaka od dvoja preostala vrata). Ova se prosudba temelji na pretpostavci da su izbor vrata od strane igrača i izbor vrata od strane domaćina dva neovisna događaja koji ne utječu jedan na drugog. Zapravo, potrebno je sagledati cijeli slijed događaja u cjelini. Sukladno teoriji vjerojatnosti, šanse prvih izabranih vrata od početka do kraja igre su nepromjenjivo 1/3 (cca. 33,33%), a dvoja preostala vrata imaju ukupno 1/3 + 1. /3 = 2/3 (cca. 66,66%). Kada se otvore jedna od dvoja preostala vrata, njihove šanse postaju 0% (iza njih je skrivena poticajna nagrada), a kao rezultat toga, šanse za zatvorena neodabrana vrata bit će 66,66%, tj. duplo više od originalnog.

Radi lakšeg razumijevanja rezultata izbora, možemo razmotriti alternativnu situaciju u kojoj će broj opcija biti veći, na primjer tisuću. Vjerojatnost odabira dobitne opcije bit će 1/1000 (0,1%). Pod uvjetom da se naknadno otvori devetsto devedeset i osam pogrešnih vrata od preostalih devetsto devedeset i devet opcija, postaje očito da je vjerojatnost da jedna preostala vrata od devetsto devedeset i devet nisu odabrana veća od one za samo jedan izabran na početku.

Spominjanja[uredi | uredi wiki tekst]

Paradoks Monty Halla možete sresti u "Dvadeset jedan" (film Roberta Luketicha), "Kluttyop" (roman Sergeja Lukjanenka), TV seriji "4isla" (TV serija), "Misteriozno noćno ubojstvo Pas" (romani Marka Haddona), "XKCD" (strip), Razotkrivači mitova (TV emisija).

Vidi također[uredi | uredi wiki tekst]

Na slici je proces odabira između dvoje zatvorenih vrata od troje prvobitno predloženih

Primjeri rješenja zadataka iz kombinatorike

Kombinatorika je znanost s kojom se svatko susreće Svakidašnjica: na koliko načina odabrati 3 polaznika koji će čistiti razred ili na koliko načina sastaviti riječ od zadanih slova.

Općenito, kombinatorika vam omogućuje da izračunate koliko se različitih kombinacija, prema određenim uvjetima, može napraviti od zadanih objekata (istih ili različitih).

Kao znanost, kombinatorika je nastala još u 16. stoljeću, a sada je proučava svaki student (a često i školarac). Počinju učiti s konceptima permutacija, postavljanja, kombinacija (sa ili bez ponavljanja), probleme o tim temama pronaći ćete u nastavku. Najpoznatija pravila kombinatorike su pravila zbroja i umnoška, koja se najčešće koriste u tipičnim kombinatoričkim problemima.

U nastavku ćete naći nekoliko primjera zadataka s rješenjima za kombinatorne pojmove i pravila koja će vam pomoći u rješavanju tipičnih zadataka. Ako ima poteškoća sa zadacima, naručite kombinatoriku.

Zadaci iz kombinatorike s rješenjima online

Zadatak 1. Mama ima 2 jabuke i 3 kruške. Svaki dan, 5 dana zaredom, daje po jedno voće. Na koliko načina se to može učiniti?

Rješenje zadatka iz kombinatorike 1 (pdf, 35 Kb)

Zadatak 2. Poduzeće može osigurati posao u jednoj specijalnosti za 4 žene, u drugoj - za 6 muškaraca, u trećoj - za 3 zaposlenika, bez obzira na spol. Na koliko se načina mogu popuniti upražnjena mjesta ako se prijavi 14 kandidata: 6 žena i 8 muškaraca?

Rješenje zadatka iz kombinatorike 2 (pdf, 39 Kb)

Zadatak 3. U putničkom vlaku ima 9 vagona. Na koliko se načina mogu 4 osobe smjestiti u vlak, pod uvjetom da svi putuju u različitim vagonima?

Rješenje zadatka iz kombinatorike 3 (pdf, 33 Kb)

Zadatak 4. U grupi ima 9 ljudi. Koliko se različitih podskupina može formirati, pod uvjetom da podskupina uključuje najmanje 2 osobe?

Rješenje zadatka iz kombinatorike 4 (pdf, 34 Kb)

Zadatak 5. Grupu od 20 učenika treba podijeliti u 3 tima, pri čemu u prvom timu treba biti 3 osobe, u drugom 5 i u trećem 12. Na koliko načina se to može učiniti.

Rješenje zadatka iz kombinatorike 5 (pdf, 37 Kb)

Zadatak 6. Za sudjelovanje u ekipi trener odabire 5 dječaka od 10. Na koliko načina može sastaviti momčad ako u momčad moraju biti uključena 2 određena dječaka?

Kombinatorski problem s rješenjem 6 (pdf, 33 Kb)

Zadatak 7. Na šahovskom turniru sudjelovalo je 15 šahista, a svaki je sa svakim odigrao samo po jednu partiju. Koliko je utakmica odigrano na ovom turniru?

Kombinatorski problem s rješenjem 7 (pdf, 37 Kb)

Zadatak 8. Koliko se različitih razlomaka može sastaviti od brojeva 3, 5, 7, 11, 13, 17 tako da svaki razlomak sadrži 2 razni brojevi? Koliko će od njih biti pravi razlomci?

Kombinatorski problem s rješenjem 8 (pdf, 32 Kb)

Zadatak 9. Koliko se riječi može dobiti preslagivanjem slova u riječi Horus i Institut?

Kombinatorski problem s rješenjem 9 (pdf, 32 Kb)

Zadatak 10. Koji su brojevi od 1 do 1.000.000 veći: oni u kojima se jedinica pojavljuje ili oni u kojima se ne pojavljuje?

Kombinatorski problem s rješenjem 10 (pdf, 39 Kb)

Gotovi primjeri

Trebate riješene probleme iz kombinatorike? Pronađite u vodiču:

Ostala rješenja problema iz teorije vjerojatnosti

Zamislite da vam određeni bankar ponudi da odaberete jednu od tri zatvorene kutije. U jednom od njih 50 centi, u drugom - jedan dolar, u trećem - 10 tisuća dolara. Koju god odaberete, dobit ćete je kao nagradu.

Vi birate nasumično, recite polje broj 1. A onda bankar (koji, naravno, zna gdje se što nalazi) pred vašim očima otvara kutiju s jednim dolarom (recimo da je ovo br. 2), nakon čega vam nudi da promijenite prvobitno odabranu kutiju br. 1 u kutiju br. 3.

Trebate li se predomisliti? Hoće li vam to povećati šanse da dobijete 10 tisuća?

To je paradoks Montyja Halla – problem teorije vjerojatnosti, čije rješenje, na prvi pogled, proturječi zdravom razumu. Ljudi se češkaju o ovom problemu od 1975. godine.

Paradoks je dobio ime po voditeljici popularne američke TV emisije Hajde da se dogovorimo. Ova TV emisija imala je slična pravila, samo što su sudionici birali vrata od kojih su dvoja bila koze, a treća Cadillac.

Većina igrača smatrala je da su šanse za dobivanje bile 50-50, nakon što su bila dvoja zatvorena vrata i iza jednih je bio Cadillac. Očito, kada domaćin otvori jedna vrata i pozove vas da se predomislite, počinje Nova igra. Predomislili se ili ne, šanse će vam i dalje biti 50 posto. Upravo tako?

Ispostavilo se da nije. Zapravo, promjenom mišljenja udvostručujete svoje šanse za uspjeh. Zašto?

Najjednostavnije objašnjenje za ovaj odgovor je sljedeće. Kako bi osvojio automobil bez promjene izbora, igrač mora odmah pogoditi vrata iza kojih automobil stoji. Vjerojatnost za to je 1/3. Ako igrač prvo udari u vrata s kozom iza njih (a vjerojatnost tog događaja je 2/3, budući da postoje dvije koze i samo jedan automobil), tada sigurno može osvojiti automobil ako se predomisli, budući da je automobil i ostane jedna koza, a domaćin je već otvorio vrata s kozom.

Dakle, bez promjene izbora igrač ostaje pri svojoj početnoj vjerojatnosti dobitka 1/3, a kod promjene početnog izbora igrač okreće u svoju korist dvostruku preostalu vjerojatnost koju nije točno pogodio na početku.

Također, intuitivno objašnjenje može se dati zamjenom ta dva događaja. Prvi događaj je odluka igrača da promijeni vrata, drugi događaj je otvaranje dodatnih vrata. To je prihvatljivo jer otvaranje dodatnih vrata ne daje igraču ništa nove informacije(dokument vidi u ovom članku). Tada se problem može svesti na sljedeću formulaciju. U prvom trenutku igrač dijeli vrata u dvije grupe: u prvoj grupi su jedna vrata (ona koja je on odabrao), u drugoj grupi su preostala dvoja vrata. U sljedećem trenutku igrač bira između grupa. Očito je da je za prvu skupinu vjerojatnost dobitka 1/3, za drugu skupinu 2/3. Igrač bira drugu grupu. U drugoj skupini može otvoriti oba vrata. Jednu otvara domaćin, a drugu sam igrač.

Pokušajmo dati "najrazumljivije" objašnjenje. Preformulirajte problem: Pošteni domaćin najavi igraču da se iza jednih od troja vrata nalazi automobil i predlaže mu da prvo pokaže na jedna od vrata, a zatim odabere jednu od dvije radnje: otvori navedena vrata (u stara formulacija, ovo se zove “ne mijenjaj svoj izbor”) ili otvorite druga dva (u staroj formulaciji, ovo bi bilo samo “promijenite izbor”. Razmislite o tome, ovo je ključ razumijevanja!). Jasno je da će igrač izabrati drugu od dvije akcije, budući da je vjerojatnost dobivanja automobila u ovom slučaju dvostruko veća. I sitnica da je domaćin i prije odabira radnje “pokazao kozu” ne pomaže i ne ometa izbor, jer iza jednih od dvoja vrata uvijek stoji koza i domaćin će je svakako pokazati u svakom trenutku. tijekom igre, tako da igrač može na ovu kozu i ne gledati. Posao igrača, ako je odabrao drugu akciju, je reći "hvala" domaćinu što ga je poštedio muke da sam otvori jedna od dvoja vrata, a otvori druga. Pa, ili još lakše. Zamislimo ovu situaciju iz kuta domaćina koji sličan postupak radi s desecima igrača. Budući da savršeno dobro zna što je iza vrata, tada u prosjeku u dva od tri slučaja unaprijed vidi da je igrač odabrao "kriva" vrata. Stoga za njega definitivno nema paradoksa da je ispravna strategija promijeniti izbor nakon otvaranja prvih vrata: nakon svega, u ista dva slučaja od tri, igrač će napustiti studio u novom automobilu.

Za kraj, "najnaivniji" dokaz. Onaj koji stoji iza svog izbora neka se zove "Tvrdoglav", a onaj koji slijedi upute vođe neka se zove "Pažljiv". Zatim pobjeđuje Tvrdoglavi ako je prvo pogodio auto (1/3), a Pažljivi - ako je prvi promašio i pogodio jarca (2/3). Uostalom, samo u ovom slučaju će onda pokazati na vrata s automobilom.

Monty Hall, producent i voditelj emisije Napravimo dogovor od 1963. do 1991. godine.

Godine 1990. ovaj problem i njegovo rješenje objavljeni su u američkom časopisu Parade. Publikacija je izazvala niz ogorčenih recenzija čitatelja, od kojih su mnogi imali znanstvene titule.

Glavna zamjerka bila je da nisu specificirani svi uvjeti problema, a svaka nijansa mogla je utjecati na rezultat. Na primjer, domaćin može ponuditi promjenu odluke samo ako je igrač odabrao automobil na prvom potezu. Očito će promjena početnog izbora u takvoj situaciji dovesti do zajamčenog gubitka.

Međutim, u cijelom postojanju Monty Hall TV showa, ljudi koji su se predomislili pobjeđivali su dvostruko češće:

Od 30 igrača koji su se predomislili, Cadillac je osvojio 18 - tj. 60%

Od 30 igrača koji su ostali na izboru, Cadillac je osvojio 11 - odnosno otprilike 36%

Dakle, obrazloženja iznesena u odluci, koliko god se činila nelogičnima, praksa potvrđuje.

Povećanje broja vrata

Kako bismo lakše razumjeli bit onoga što se događa, možemo razmotriti slučaj kada igrač ispred sebe ne vidi troja vrata, već, na primjer, stotinu. U isto vrijeme, iza jednih vrata je auto, a iza ostalih 99 koza. Igrač bira jedna od vrata, dok će u 99% slučajeva izabrati vrata s kozom, a šanse da odmah odabere vrata s automobilom vrlo su male – iznose 1%. Nakon toga domaćin otvara 98 vrata s kozama i traži od igrača da izabere preostala vrata. U ovom slučaju, u 99% slučajeva, automobil će biti iza ovih preostalih vrata, jer su šanse da je igrač odmah izabrao prava vrata vrlo male. Jasno je da bi u ovoj situaciji igrač koji racionalno razmišlja uvijek trebao prihvatiti prijedlog lidera.

Kada se razmatra povećani broj vrata, često se postavlja pitanje: ako u izvornom problemu vođa otvori jedna od tri vrata (tj. 1/3 ukupno vrata), zašto bismo pretpostavili da će u slučaju 100 vrata domaćin kozama otvoriti 98 vrata, a ne 33? Ovo je razmatranje obično jedan od značajnih razloga zašto je paradoks Montyja Halla u sukobu s intuitivnom percepcijom situacije. Pretpostavka da će otvaranje 98 vrata biti ispravno jer bitan uvjet Zadatak je imati samo jedan alternativni izbor za igrača, koji nudi moderator. Dakle, da bi zadaci bili slični, u slučaju 4 vrata vođa mora otvoriti 2 vrata, u slučaju 5 vrata - 3 i tako dalje, tako da uvijek postoje još jedna neotvorena vrata osim onih koju je igrač prvotno odabrao. Ako voditelj otvori manje vrata, zadatak više neće biti sličan izvornom Monty Hallovom zadatku.

Treba napomenuti da u slučaju mnogo vrata, čak i ako domaćin ne ostavi zatvorena jedna vrata, već nekoliko, i ponudi igraču da odabere jedno od njih, tada kada promijeni početni izbor, šanse igrača da osvoji automobil će biti veće i dalje raste, iako ne tako značajno. Na primjer, razmotrite situaciju u kojoj igrač odabere jedna vrata od stotinu, a zatim voditelj otvori samo jedna od preostalih vrata, pozivajući igrača da promijeni svoj izbor. U isto vrijeme, šanse da je automobil iza vrata koje je igrač izvorno odabrao ostaju iste - 1/100, a za preostala vrata šanse se mijenjaju: ukupna vjerojatnost da je automobil iza jednih od preostalih vrata ( 99/100) sada nije raspoređen na 99 vrata, već na 98. Stoga vjerojatnost pronalaska automobila iza svakih od ovih vrata neće biti 1/100, već 99/9800. Povećanje vjerojatnosti bit će približno 1%.

Drvo moguća rješenja igrača i domaćina, pokazujući vjerojatnost svakog ishoda. Formalnije, scenarij igre može se opisati pomoću stabla odlučivanja. U prva dva slučaja, kada je igrač prvi odabrao vrata iza kojih se nalazi koza, promjena izbora rezultira dobitkom. U zadnja dva slučaja, kada je igrač prvi put izabrao vrata s automobilom, promjena izbora rezultira gubitkom.

Ako i dalje ne razumiješ, pljuni na formule i samoprovjeri sve statistički. Još jedno moguće objašnjenje:

Igrač čija bi strategija bila svaki put mijenjati odabrana vrata izgubio bi samo ako inicijalno odabere vrata iza kojih se automobil nalazi.
Budući da je šansa da se izabere automobil u prvom pokušaju jedan prema tri (ili 33%), šansa da se ne izabere automobil ako igrač promijeni svoj izbor također je jedan prema tri (ili 33%).
To znači da će igrač koji je koristio strategiju za promjenu vrata pobijediti s vjerojatnošću od 66% ili dva do tri.
To će udvostručiti šanse za pobjedu igrača čija strategija nije da svaki put mijenja svoj izbor.

Još uvijek ne vjerujete? Recimo da odaberete vrata broj 1. Ovdje su svi moguće opciješto bi se moglo dogoditi u ovom slučaju.

"Postoje tri vrste laži: laži, očita laž i statistike. Ovaj izraz, koji je Mark Twain pripisao britanskom premijeru Benjaminu Disraeliju, dobro odražava stav većine prema matematičkim zakonima. Doista, teorija vjerojatnosti ponekad baca nevjerojatne činjenice, u koje je na prvi pogled teško povjerovati – a koje, ipak, potvrđuje znanost. “Teorije i prakse” prisjetile su se najpoznatijih paradoksa.

Monty Hall problem

Upravo je taj zadatak lukavi profesor MIT-a ponudio studentima u filmu Dvadeset i jedan. Davanje pravog odgovora glavni lik pridružuje se timu briljantnih mladih matematičara koji pobjeđuju kasina u Las Vegasu.

Klasična formulacija glasi ovako: “Recimo da je određenom igraču ponuđeno sudjelovanje u poznatoj američkoj TV emisiji Let’s Make A Deal koju vodi Monty Hall, a on treba izabrati jedna od troja vrata. Iza dvoja vrata su koze, iza jednih je glavna nagrada, auto, voditelj zna gdje su nagrade. Nakon što igrač odabere, voditelj otvara jedna od preostalih vrata, iza kojih se nalazi koza, i poziva igrača da se predomisli. Treba li igrač pristati ili je bolje zadržati svoj izvorni izbor?”

Evo tipičnog rezoniranja: nakon što je domaćin otvorio jedna od vrata i pokazao kozu, igrač mora izabrati između dvoja vrata. Auto je iza jednog od njih, pa je vjerojatnost da ga pogodite ½. Dakle, nema razlike - promijeniti svoj izbor ili ne. Pa ipak, teorija vjerojatnosti kaže da možete povećati svoje šanse za dobitak promjenom odluke. Pogledajmo zašto je to tako.

Da bismo to učinili, vratimo se korak unatrag. U trenutku kada smo napravili naš prvi izbor, vrata smo podijelili na dva dijela: jedan koji smo odabrali i druga dva. Očito, vjerojatnost da se automobil krije iza "naših" vrata je ⅓ - odnosno, automobil se nalazi iza jednih od dvoja preostala vrata s vjerojatnošću ⅔. Kada voditelj pokaže da se iza jednih od ovih vrata nalazi koza, ispada da tih ⅔ šanse padaju na druga vrata. I to smanjuje izbor igrača na dvoja vrata, iza kojih je jedan (početno odabran) automobil s vjerojatnošću od ⅓, a iza drugih s vjerojatnošću od ⅔. Izbor postaje očit. Što, naravno, ne poništava činjenicu da je od samog početka igrač mogao izabrati vrata s automobilom.

Zadatak trojice zatvorenika

Paradoks tri zatvorenika sličan je problemu Montyja Halla, iako se radnja odvija u dramatičnijim okruženjima. Tri zatvorenika (A, B i C) osuđena su na smrt i smještena u samicu. Guverner nasumično odabire jednog od njih i daje mu pomilovanje. Upravitelj zna tko je od njih trojice pomilovan, ali mu je rečeno da to drži u tajnosti. Zatvorenik A traži od čuvara da mu kaže ime drugog zatvorenika (osim njega) koji će sigurno biti pogubljen: "ako B bude pomilovan, reci mi da će C biti pogubljen. Ako C bude pomilovan, reci mi da će B biti pogubljen Ako su oboje pogubljeni, ali imam milosti, bacite novčić i izgovorite bilo koje od ova dva imena. Upravitelj kaže da će zatvorenik B biti pogubljen. Treba li zatvorenik A biti sretan?

Čini se, da. Uostalom, prije primitka ove informacije, vjerojatnost smrti zatvorenika A bila je ⅔, a sada on zna da će jedan od ostala dva zatvorenika biti pogubljen, što znači da je vjerojatnost njegovog pogubljenja smanjena na ½. No zapravo, zatvorenik A nije saznao ništa novo: ako ne bude pomilovan, reći će mu se ime drugog zatvorenika, a on je već znao da će jedan od dvojice preostalih biti pogubljen. Ako je imao sreće, pa je ovrha otkazana, čut će slučajno ime B ili C. Dakle, njegove šanse za spas nisu se nimalo promijenile.

Sada zamislite da jedan od preostalih zatvorenika sazna za pitanje zatvorenika A i dobiveni odgovor. To će promijeniti njegove ideje o vjerojatnosti pomilovanja.

Ako zatvorenik B čuje razgovor, znat će da će sigurno biti pogubljen. A ako je zatvorenik B, tada će vjerojatnost njegovog pomilovanja biti ⅔. Zašto se to dogodilo? Zatvorenik A nije primio nikakve informacije i njegove šanse da bude pomilovan još uvijek su ⅓. Zatvorenik B sigurno neće biti pomilovan, a šanse su mu ravne nuli. To znači da je vjerojatnost da će treći zatvorenik biti pušten ⅔.

Paradoks dviju omotnica

Ovaj paradoks postao je poznat zahvaljujući matematičaru Martinu Gardneru, a formuliran je na sljedeći način: “Pretpostavimo da su vama i prijatelju ponuđene dvije omotnice, od kojih jedna sadrži određenu količinu novca X, a druga sadrži dvostruko veći iznos. Samostalno otvarate kuverte, brojite novac, nakon čega ih možete zamijeniti. Kuverte su iste, tako da postoji ½ šanse da dobijete kuvertu s manjim iznosom. Recimo da ste otvorili kovertu i u njoj pronašli 10 dolara. Stoga je jednako vjerojatno da će kuverta vašeg prijatelja sadržavati 5 ili 20 dolara. Ako se odlučite za razmjenu, tada možete izračunati matematičko očekivanje konačnog iznosa – odnosno njegovu prosječnu vrijednost. To je 1/2x5$+1/2x20=12,5$. Dakle, razmjena je korisna za vas. I najvjerojatnije će se vaš prijatelj svađati na potpuno isti način. Ali očito je da razmjena ne može biti korisna za oboje. Što je greška?

Paradoks je da dok ne otvorite svoju omotnicu, vjerojatnosti se ponašaju pošteno: zapravo imate 50 posto šanse pronaći X u svojoj omotnici i 50 posto šanse pronaći 2X u svojoj omotnici. A zdrav razum nalaže da podatak o iznosu koji imate ne može utjecati na sadržaj druge koverte.

No, čim otvorite omotnicu, situacija se dramatično mijenja (ovaj paradoks je donekle sličan priči sa Schrödingerovom mačkom, gdje sama prisutnost promatrača utječe na stanje stvari). Činjenica je da, kako bi se ispunili uvjeti paradoksa, vjerojatnost da ćete u drugoj koverti pronaći veći ili manji iznos od vašeg mora biti ista. Ali tada je svaka vrijednost ovog zbroja od nule do beskonačnosti jednako vjerojatna. A ako postoji jednako vjerojatan broj mogućnosti, one se zbrajaju do beskonačnosti. A ovo je nemoguće.

Radi jasnoće, možete zamisliti da ste pronašli jedan cent u svojoj omotnici. Očito, druga kuverta ne može sadržavati pola iznosa.

Zanimljivo je da se rasprave o razrješenju paradoksa nastavljaju i danas. Istodobno se pokušava paradoks objasniti iznutra i razviti najbolja strategija ponašanja u takvoj situaciji. Konkretno, profesor Thomas Cover predložio je originalan pristup oblikovanju strategije - promijeniti ili ne promijeniti omotnicu, vođen nekim intuitivnim očekivanjem. Recimo, ako otvorite kovertu i u njoj nađete 10 dolara - mali iznos prema vašim procjenama - vrijedi je razmijeniti. A ako omotnica sadrži, recimo, 1000 dolara, što premašuje vaša najluđa očekivanja, onda nema potrebe za mijenjanjem. Ova intuitivna strategija, ako vam se redovito nudi da odaberete dvije koverte, daje vam mogućnost povećanja ukupnih dobitaka više od strategije stalnog mijenjanja koverti.

Paradoks dječaka i djevojčice

Ovaj paradoks također je predložio Martin Gardner i formuliran je na sljedeći način: “Gospodin Smith ima dvoje djece. Najmanje jedno dijete je dječak. Kolika je vjerojatnost da je i drugi dječak?

Čini se da je zadatak jednostavan. Međutim, ako počnete shvaćati, otkriva se zanimljiva okolnost: točan odgovor će se razlikovati ovisno o tome kako izračunavamo vjerojatnost spola drugog djeteta.

opcija 1

Razmotrite sve moguće kombinacije u obiteljima s dvoje djece:

Djevojčica/Djevojčica

Cura dečko

Dečko cura

Dječak/Dječak

Opcija djevojka/djevojka nam ne odgovara prema uvjetima problema. Dakle, za obitelj gospodina Smitha postoje tri jednako vjerojatne opcije – što znači da je vjerojatnost da će i drugo dijete biti dječak ⅓. To je bio odgovor koji je u početku dao sam Gardner.

opcija 2

Zamislimo da gospodina Smitha sretnemo na ulici dok šeta sa svojim sinom. Kolika je vjerojatnost da i drugo dijete bude dječak? Budući da je spol drugog djeteta neovisan o spolu prvog, očigledan (i točan) odgovor je ½.

Zašto se to događa, jer se, čini se, ništa nije promijenilo?

Sve ovisi o tome kako pristupimo pitanju izračuna vjerojatnosti. U prvom slučaju razmotrili smo sve moguće varijante obitelji Smith. U drugom - smatrali smo sve obitelji koje potpadaju pod obvezni uvjet "mora biti jedan dječak". Izračun vjerojatnosti spola drugog djeteta proveden je s tim uvjetom (u teoriji vjerojatnosti to se zove "uvjetna vjerojatnost"), što je dovelo do rezultata različitog od prvog.

U prosincu 1963. na američkom TV kanalu NBC prvi put objavljen program Napravimo dogovor("Hajde da se dogovorimo!"), u kojoj su se sudionici odabrani iz publike u studiju cjenkali međusobno i s voditeljem, igrali male igrice ili samo pogodite odgovor na pitanje. Na kraju emitiranja sudionici su mogli odigrati “dogovor dana”. Ispred njih su bila troja vrata za koja se znalo da je iza jednih glavna nagrada (primjerice automobil), a iza druga dvoja manje vrijedni ili potpuno apsurdni darovi (primjerice žive koze) . Nakon što je igrač napravio svoj izbor, Monty Hall, voditelj programa, otvorio je jedna od dvoja preostala vrata, pokazujući da iza njih nema nagrade i dopustivši sudioniku da bude sretan što ima priliku pobijediti.

Godine 1975., UCLA znanstvenik Steve Selvin upitao je što bi se dogodilo da se u tom trenutku, nakon otvaranja vrata bez nagrade, od sudionika zatraži da promijeni svoj izbor. Hoće li se u ovom slučaju promijeniti šanse igrača da dobije nagradu i ako je tako, u kojem smjeru? Predao je relevantno pitanje kao broj časopisu Američki statističar("The American Statistician"), a također i samom Montyju Hallu, koji mu je dao prilično čudan odgovor. Usprkos ovom odgovoru (ili možda baš zbog njega), problem je postao popularan pod imenom "Monty Hall problem".

Zadatak

Završili ste u showu Monty Halla kao sudionik - au posljednjem vam je trenutku, otvarajući vrata s kozom, voditelj predložio da promijenite izbor. Hoće li vaša odluka - složiti se ili ne - utjecati na vjerojatnost pobjede?

Trag

Pokušajte razmotriti ljude koji su odabrali različita vrata u istom slučaju (odnosno kada je nagrada, na primjer, iza vrata broj 1). Tko će imati koristi od promjene izbora, a tko ne?

Riješenje

Kao što je predloženo u opisu alata, razmislite o osobama koje su donijele različite odluke. Pretpostavimo da je nagrada iza vrata #1, a iza vrata #2 i #3 su koze. Pretpostavimo da imamo šest ljudi, a svaka su vrata izabrala dva čovjeka i iz svakog para jedan je naknadno promijenio odluku, a drugi nije.

Napominjemo da će Domaćin koji odabere vrata br. 1 otvoriti jedna od dvoja vrata po svom ukusu, dok će, bez obzira na to, auto dobiti onaj koji ne promijeni svoj izbor, već onaj koji je promijenio početni izbor ostat će bez Nagrade. Sada pogledajmo one koji su odabrali vrata #2 i #3. Budući da se iza vrata br. 1 nalazi auto, domaćin ga ne može otvoriti, što mu ne ostavlja izbora - otvara im vrata br. 3, odnosno 2. Pritom će onaj tko je promijenio odluku u svakom paru rezultatski odabrati nagradu, a onaj tko nije promijenio ostat će bez ičega. Tako će od troje ljudi koji se predomisle dvoje dobiti nagradu, a jedan će dobiti kozu, dok će od troje koji su ostavili nepromijenjeni svoj prvobitni izbor samo jedan dobiti nagradu.

Treba imati na umu da bi se automobil nalazio iza vrata #2 ili #3, rezultat bi bio isti, samo bi se određeni pobjednici promijenili. Dakle, pod pretpostavkom da su inicijalno sva vrata odabrana s jednakom vjerojatnošću, dobivamo da oni koji promijene svoj izbor dvostruko češće osvajaju nagradu, odnosno da je vjerojatnost dobitka u ovom slučaju veća.

Pogledajmo ovaj problem sa stajališta matematičke teorije vjerojatnosti. Pretpostavit ćemo da je vjerojatnost početnog odabira svake od vrata ista, kao i vjerojatnost da se nalazi iza svakih od vrata automobila. Osim toga, korisno je napomenuti da Vođa, kada može otvoriti dvoja vrata, bira svaka od njih s jednakom vjerojatnošću. Tada se ispostavlja da je nakon prve odluke vjerojatnost da je nagrada iza odabranih vrata 1/3, dok je vjerojatnost da je iza jednih od druga dva vrata 2/3. Istodobno, nakon što Domaćin otvori jedna od dvoja "neodabrana" vrata, cjelokupna vjerojatnost od 2/3 pada na samo jedna od preostalih vrata, čime se stvara osnova za promjenu odluke, što će povećati vjerojatnost dobitka. za 2 puta. Što to, naravno, ni na koji način ne jamči u jednom konkretnom slučaju, ali će dovesti do uspješnijih rezultata u slučaju opetovanog ponavljanja eksperimenta.

Pogovor

Monty Hallov problem nije prva poznata formulacija ovog problema. Konkretno, 1959. Martin Gardner objavio je u časopisu Scientific American sličan problem “o tri zatvorenika” (Three Prisoners problem) sa sljedećom formulacijom: “ Od trojice zarobljenika, jednog treba pomilovati, a dvojicu pogubiti. Zatvorenik A nagovara čuvara da mu kaže ime onog od ostale dvojice koji će biti pogubljeni (ili ako obojica budu pogubljeni), nakon čega, dobivši ime B, smatra da je vjerojatnost vlastitog spasa postala manja. 1/3, ali 1/2. Istodobno, zatvorenik C tvrdi da je vjerojatnost njegovog bijega postala 2/3, dok se za A ništa nije promijenilo. Tko je od njih u pravu?»

Međutim, Gardner nije bio prvi, budući da je davne 1889. godine, u svome Računu vjerojatnosti, francuski matematičar Joseph Bertrand (ne brkati s Englezom Bertrandom Russellom!) ponudio sličan problem (vidi paradoks Bertrandove kutije): “ Postoje tri kutije od kojih svaka sadrži po dva novčića: dva zlatna u prvoj, dva srebrna u drugoj i dva različita u trećoj. Iz nasumično odabrane kutije nasumce je izvučen novčić za koji se pokazalo da je zlatan. Kolika je vjerojatnost da je preostali novčić u kutiji zlatan?»

Ako razumijete rješenja sva tri problema, lako je uočiti sličnost njihovih ideja; matematički, sve njih objedinjuje pojam uvjetne vjerojatnosti, odnosno vjerojatnosti događaja A, ako se zna da se događaj B dogodio. Najjednostavniji primjer: vjerojatnost da je obična kocka bačena je 1/6; međutim, ako se zna da je bačeni broj neparan, tada je vjerojatnost da je jedan već 1/3. Problem Monty Halla, kao i druga dva navedena problema, pokazuje da se s uvjetnim vjerojatnostima mora postupati pažljivo.

Ti se problemi također često nazivaju paradoksima: paradoks Montyja Halla, paradoks Bertrandove kutije (potonji se ne smije brkati s pravim Bertrandovim paradoksom danim u istoj knjizi, koji je dokazao dvosmislenost koncepta vjerojatnosti koji je postojao u to vrijeme) - koji implicira neku proturječnost (na primjer, u "Paradoksu lažljivca" izraz "ova izjava je lažna" proturječi zakonu isključene sredine). U ovom slučaju, međutim, nema proturječja sa rigoroznim tvrdnjama. Međutim, postoji jasna kontradikcija s javno mišljenje” ili jednostavno “očito rješenje” problema. Doista, većina ljudi, gledajući problem, vjeruje da nakon otvaranja jednih vrata, vjerojatnost pronalaska nagrade iza bilo kojeg od dvoje preostalih zatvorenih je 1/2. Čineći to, oni tvrde da nema razlike hoće li se složiti ili ne složiti da se predomisli. Štoviše, mnogim ljudima je teško razumjeti odgovor osim ovog, čak i nakon što im se kaže detaljno rješenje.

U prosincu 1963. američki televizijski kanal NBC prvi je put emitirao emisiju Let's Make a Deal ("Dogovorimo se!"), U kojoj su se sudionici, odabrani iz publike u studiju, cjenkali međusobno i s voditeljem, igrali male igre ili jednostavno pogodili odgovor na pitanje. Na kraju emitiranja sudionici su mogli odigrati “dogovor dana”. Ispred njih su bila troja vrata za koja se znalo da je iza jednih glavna nagrada (primjerice automobil), a iza druga dvoja manje vrijedni ili potpuno apsurdni darovi (primjerice žive koze) . Nakon što je igrač napravio svoj izbor, Monty Hall, voditelj programa, otvorio je jedna od dvoja preostala vrata, pokazujući da iza njih nema nagrade i dopustivši sudioniku da bude sretan što ima priliku pobijediti.

Godine 1975., UCLA znanstvenik Steve Selvin upitao je što bi se dogodilo da se u tom trenutku, nakon otvaranja vrata bez nagrade, od sudionika zatraži da promijeni svoj izbor. Hoće li se u ovom slučaju promijeniti šanse igrača da dobije nagradu i ako je tako, u kojem smjeru? Odgovarajuće pitanje u obliku problema poslao je časopisu The American Statistician ("American Statistician"), kao i samom Montyju Hallu, koji je na njega dao prilično zanimljiv odgovor. Usprkos ovom odgovoru (ili možda baš zbog njega), problem je postao popularan pod imenom "Monty Hall problem".

Najčešća formulacija ovog problema, objavljena 1990. u časopisu Parade, je sljedeća:

“Zamislite da ste postali sudionik igre u kojoj morate izabrati jedna od troja vrata. Iza jednih vrata je auto, iza druga dvoja vrata su koze. Odaberete jedna od vrata, npr. broj 1, nakon toga domaćin, koji zna gdje su kola, a gdje su koze, otvori jedna od preostalih vrata, npr. broj 3, iza kojih je koza. Nakon toga vas pita želite li promijeniti izbor i odabrati vrata broj 2. Hoće li vam se povećati šanse za osvajanje automobila ako prihvatite ponudu domaćina i promijenite izbor?

Nakon objave odmah je postalo jasno da je problem pogrešno formuliran: nisu navedeni svi uvjeti. Na primjer, voditelj može slijediti strategiju "paklenog Montyja": ponuditi promjenu izbora ako i samo ako je igrač odabrao automobil u prvom potezu. Očito će promjena početnog izbora dovesti do zajamčenog gubitka u takvoj situaciji.

Najpopularniji je problem s dodatnim uvjetom - sudionik igre unaprijed zna sljedeća pravila:

automobil će jednako vjerojatno biti smješten iza bilo kojih od 3 vrata;
u svakom slučaju domaćin je dužan otvoriti vrata s kozom (ali ne onom koju je igrač izabrao) i ponuditi igraču da promijeni izbor;
ako vođa ima izbor koja će od dvoja vrata otvoriti, on bira bilo koja od njih s istom vjerojatnošću.

Trag

Pokušajte razmotriti ljude koji su odabrali različita vrata u istom slučaju (odnosno kada je nagrada, na primjer, iza vrata broj 1). Tko će imati koristi od promjene izbora, a tko ne?

Riješenje

Pogovor

Monty Hallov problem nije prva poznata formulacija ovog problema. Konkretno, Martin Gardner je 1959. godine u Scientific Americanu objavio sličan problem “o tri zatvorenika” (Three Prisoners problem) sa sljedećom formulacijom: “Od tri zatvorenika, jednog treba pomilovati, a dvojicu pogubiti. Zatvorenik A nagovara čuvara da mu kaže ime onog od ostale dvojice koji će biti pogubljeni (ili ako obojica budu pogubljeni), nakon čega, dobivši ime B, smatra da je vjerojatnost vlastitog spasa postala manja. 1/3, ali 1/2. Istodobno, zatvorenik C tvrdi da je vjerojatnost njegovog bijega postala 2/3, dok se za A ništa nije promijenilo. Koji je pravi?"

Međutim, Gardner nije bio prvi, budući da je davne 1889. godine, u svome Računu vjerojatnosti, francuski matematičar Joseph Bertrand (ne brkati s Englezom Bertrandom Russellom!) ponudio sličan problem (vidi paradoks Bertrandove kutije): “Postoje tri kutije, od kojih svaka sadrži po dva novčića: dva zlatna u prvoj, dva srebrna u drugoj i dva različita u trećoj.

Ako razumijete rješenja sva tri problema, lako je uočiti sličnost njihovih ideja; matematički, sve njih objedinjuje pojam uvjetne vjerojatnosti, odnosno vjerojatnosti događaja A, ako se zna da se događaj B dogodio. Najjednostavniji primjer: vjerojatnost da je jedinica ispala na običnoj kocki je 1/6; međutim, ako se zna da je bačeni broj neparan, tada je vjerojatnost da je jedan već 1/3. Problem Monty Halla, kao i druga dva navedena problema, pokazuje da se s uvjetnim vjerojatnostima mora postupati pažljivo.

Ti se problemi također često nazivaju paradoksima: paradoks Montyja Halla, paradoks Bertrandove kutije (potonji se ne smije brkati s pravim Bertrandovim paradoksom danim u istoj knjizi, koji je dokazao dvosmislenost koncepta vjerojatnosti koji je postojao u to vrijeme) - koji implicira neku proturječnost (na primjer, u "Paradoksu lažljivca" izraz "ova izjava je lažna" proturječi zakonu isključene sredine). U ovom slučaju, međutim, nema proturječja sa rigoroznim tvrdnjama. Ali postoji jasna kontradikcija s "javnim mišljenjem" ili jednostavno "očitim rješenjem" problema. Doista, većina ljudi, gledajući problem, vjeruje da nakon otvaranja jednih vrata, vjerojatnost pronalaska nagrade iza bilo kojeg od dvoje preostalih zatvorenih je 1/2. Čineći to, oni tvrde da nema razlike hoće li se složiti ili ne složiti da se predomisli. Štoviše, mnogim ljudima je teško razumjeti odgovor osim ovog, čak i nakon što im se kaže detaljno rješenje.

Monty Hallov odgovor Steveu Selwynu

g. Steve Selvin,
docent biostatistike,
Kalifornijsko sveučilište, Berkeley.

Dragi Steve,

Hvala što ste mi poslali problem iz American Statistical-a.

Iako nisam studirao statistiku na sveučilištu, znam da brojke uvijek mogu iskoristiti u svoju korist ako želim njima manipulirati. Vaše obrazloženje ne uzima u obzir jednu bitnu okolnost: nakon što je prva kućica prazna, sudionik više ne može promijeniti svoj izbor. Dakle, vjerojatnosti ostaju iste: jedan prema tri, zar ne? I, naravno, nakon što se jedna od kutija isprazni, šanse ne postaju 50/50, već ostaju iste - jedna od tri. Sudioniku se samo čini da rješavanjem jedne kutije dobiva više šanse. Nikako. Dva prema jedan protiv njega, kako je bilo, tako i ostalo. A ako iznenada dođete na moju emisiju, pravila će za vas ostati ista: nema kutija za presvlačenje nakon odabira.

Popularno u kategoriji: