rumah › Uji Kecelakaan Otomatis › Nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada suatu segmen. Cara mencari nilai terbesar dari suatu fungsi

Nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi pada suatu segmen. Cara mencari nilai terbesar dari suatu fungsi

Biar fungsi y=F(X) kontinu pada segmen [ a, b]. Seperti diketahui, fungsi seperti itu mencapai nilai maksimum dan minimumnya pada interval ini. Fungsi dapat mengambil nilai-nilai ini baik di titik interior segmen [ a, b], atau di batas segmen.

Untuk mencari nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada interval [ a, b] diperlukan:

1) temukan titik kritis dari fungsi dalam interval ( a, b);

2) menghitung nilai fungsi pada titik kritis yang ditemukan;

3) hitung nilai fungsi di ujung segmen, yaitu untuk X=A dan x = B;

4) dari semua nilai fungsi yang dihitung, pilih yang terbesar dan terkecil.

Contoh. Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi

pada segmen.

Menemukan titik kritis:

Titik-titik ini terletak di dalam segmen; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

pada intinya X= 3 dan di titik X= 0.

Investigasi fungsi untuk konveksitas dan titik belok.

Fungsi y = F (X) ditelepon cembung diantara (A, B) , jika grafiknya terletak di bawah garis singgung yang ditarik pada sembarang titik dalam interval ini, dan disebut cembung ke bawah (cekung) jika grafiknya terletak di atas garis singgung.

Titik pada transisi di mana kecembungan digantikan oleh kecekungan atau sebaliknya disebut titik belok.

Algoritma untuk mempelajari konveksitas dan titik belok:

1. Temukan titik kritis jenis kedua, yaitu titik di mana turunan kedua sama dengan nol atau tidak ada.

2. Letakkan titik-titik kritis pada garis bilangan, pisahkan menjadi beberapa interval. Temukan tanda turunan kedua pada setiap interval; jika , maka fungsinya cembung ke atas, jika, maka fungsinya cembung ke bawah.

3. Jika ketika melewati titik kritis jenis kedua, ia berubah tanda dan pada titik ini turunan kedua sama dengan nol, maka titik ini adalah absis dari titik belok. Temukan ordinatnya.

Asimtot grafik fungsi. Menyelidiki suatu fungsi menjadi asimtot.

Definisi. Asimtot dari grafik suatu fungsi disebut lurus, yang memiliki sifat bahwa jarak dari titik mana pun pada grafik ke garis ini cenderung nol dengan penghapusan titik grafik yang tidak terbatas dari titik asal.

Ada tiga jenis asimtot: vertikal, horizontal dan miring.

Definisi. Langsung dipanggil asimtot vertikal grafik fungsi y = f(x), jika setidaknya salah satu limit fungsi pada titik ini sama dengan tak terhingga, yaitu

di mana titik diskontinuitas dari fungsi tersebut, yaitu tidak termasuk dalam domain definisi.

Contoh.

D( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 - titik puncak.

Definisi. Lurus y=A ditelepon asimtot horisontal grafik fungsi y = f(x) di , jika

Contoh.

X
y

Definisi. Lurus y=kx +B (k≠ 0) disebut asimtot miring grafik fungsi y = f(x) dimana

Skema umum untuk studi fungsi dan plotting.

Algoritma penelitian fungsiy = f(x) :

1. Temukan domain dari fungsi tersebut D (y).

2. Temukan (jika mungkin) titik potong grafik dengan sumbu koordinat (dengan X= 0 dan pada y = 0).

3. Menyelidiki fungsi genap dan ganjil ( y (‒ X) = y (X) ‒ keseimbangan; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ aneh).

4. Temukan asimtot dari grafik fungsi tersebut.

5. Temukan interval kemonotonan fungsi.

6. Temukan ekstrem dari fungsi tersebut.

7. Temukan interval kecembungan (cekung) dan titik belok dari grafik fungsi tersebut.

8. Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, buatlah grafik fungsi tersebut.

Contoh. Selidiki fungsi dan plot grafiknya.

1) D (y) =

X= 4 - titik puncak.

2) Kapan X = 0,

(0; – 5) – titik potong dengan oy.

Pada y = 0,

3) y(‒ X)= fungsi pandangan umum(tidak genap dan tidak ganjil).

4) Kami menyelidiki asimtot.

a) vertikal

b) mendatar

c) temukan asimtot miring di mana

‒persamaan asimtot miring

5) Dalam persamaan ini, tidak diperlukan untuk menemukan interval fungsi yang monoton.

Titik kritis ini mempartisi seluruh domain fungsi pada interval (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) dan (10; +∞). Lebih mudah untuk menyajikan hasil yang diperoleh dalam bentuk tabel berikut.

Seringkali dalam fisika dan matematika diperlukan untuk menemukannya nilai terkecil fungsi. Bagaimana melakukan ini, sekarang kami akan memberi tahu.

Cara menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi: instruksi

Untuk menghitung nilai terkecil dari fungsi kontinu pada interval tertentu, Anda harus mengikuti algoritme ini:
Temukan turunan dari suatu fungsi.
Temukan pada segmen tertentu titik-titik di mana turunannya sama dengan nol, serta semua titik kritis. Kemudian cari tahu nilai fungsi pada titik-titik tersebut, yaitu selesaikan persamaan dimana x sama dengan nol. Cari tahu nilai mana yang terkecil.
Cari tahu berapa nilai fungsi pada titik akhir. Tentukan nilai terkecil dari fungsi di titik-titik ini.
Bandingkan data yang diterima dengan nilai terkecil. Semakin kecil angka yang diterima akan menjadi nilai fungsi terkecil.

Perhatikan bahwa jika suatu fungsi pada suatu segmen tidak memiliki titik terkecil, ini berarti fungsi tersebut bertambah atau berkurang pada segmen tersebut. Oleh karena itu, nilai terkecil harus dihitung pada segmen fungsi yang terbatas.

Dalam semua kasus lainnya, nilai fungsi dihitung sesuai dengan algoritme yang ditentukan. Di setiap langkah algoritme, Anda harus menyelesaikan yang sederhana persamaan linier dengan satu akar. Selesaikan persamaan menggunakan gambar untuk menghindari kesalahan.

Bagaimana menemukan nilai terkecil dari suatu fungsi pada segmen setengah terbuka? Pada setengah terbuka atau periode terbuka fungsi, nilai terkecil harus ditemukan sebagai berikut. Di titik akhir nilai fungsi, hitung limit fungsi satu sisi. Dengan kata lain, selesaikan persamaan di mana titik tendensi diberikan oleh nilai a+0 dan b+0, di mana a dan b adalah nama titik kritis.

Sekarang Anda tahu cara mencari nilai terkecil dari suatu fungsi. Yang utama adalah melakukan semua perhitungan dengan benar, akurat dan tanpa kesalahan.

Dan untuk mengatasinya, Anda membutuhkan pengetahuan minimal tentang topik tersebut. Tahun ajaran berikutnya akan berakhir, semua orang ingin pergi berlibur, dan untuk mendekatkan momen ini, saya segera turun ke bisnis:

Mari kita mulai dengan daerah. Luas yang dimaksud pada kondisi tersebut adalah terbatas tertutup kumpulan titik-titik pada bidang. Misalnya himpunan titik-titik yang dibatasi oleh segitiga, termasuk segitiga SELURUH (jika dari perbatasan“Poke out” minimal satu titik, maka area tersebut tidak akan tertutup lagi). Dalam prakteknya, ada juga bidang persegi panjang, bulat dan sedikit lebih bentuk kompleks. Perlu dicatat bahwa dalam teori analisis matematika, definisi yang ketat diberikan keterbatasan, isolasi, batasan, dll., tetapi saya pikir semua orang mengetahui konsep ini pada tingkat intuitif, dan sekarang tidak diperlukan lebih banyak lagi.

Area datar secara standar dilambangkan dengan huruf , dan, sebagai aturan, diberikan secara analitik - dengan beberapa persamaan (tidak harus linier); ketidaksetaraan lebih jarang. Pergantian verbal yang khas: "area tertutup dibatasi oleh garis".

Bagian integral dari tugas yang dipertimbangkan adalah pembangunan area pada gambar. Bagaimana cara melakukannya? Penting untuk menggambar semua garis yang terdaftar (dalam kasus ini 3 lurus) dan menganalisis apa yang terjadi. Area yang diinginkan biasanya diberi garis tipis, dan batasnya disorot dengan garis tebal:

Area yang sama dapat diatur ketidaksamaan linier: , yang karena alasan tertentu lebih sering ditulis sebagai daftar pencacahan, dan bukan sistem.
Karena batasnya milik daerah, maka semua ketidaksetaraan, tentu saja, tidak ketat.

Dan sekarang inti masalahnya. Bayangkan sumbu lurus ke arah Anda dari asal koordinat. Pertimbangkan fungsi itu kontinu di setiap titik daerah. Grafik fungsi tersebut adalah permukaan, dan kebahagiaan kecilnya adalah untuk menyelesaikan masalah hari ini, kita tidak perlu tahu seperti apa permukaan ini sama sekali. Itu bisa terletak di atas, di bawah, melintasi pesawat - semua ini tidak penting. Dan yang berikut ini penting: menurut teorema Weierstrass, kontinu V tertutup terbatas luas, fungsinya mencapai maksimum (dari "tertinggi") dan paling tidak (dari "terendah") nilai-nilai yang akan ditemukan. Nilai-nilai ini tercapai atau V titik stasioner, milik daerahD , atau pada titik-titik yang terletak di batas wilayah ini. Dari mana mengikuti algoritma solusi sederhana dan transparan:

Contoh 1

Terbatas daerah tertutup

Larutan: Pertama-tama, Anda perlu menggambarkan area pada gambar. Sayangnya, secara teknis sulit bagi saya untuk membuat model interaktif dari masalah tersebut, oleh karena itu saya akan segera memberikan ilustrasi terakhir, yang menunjukkan semua poin "mencurigakan" yang ditemukan selama penelitian. Biasanya mereka diletakkan satu demi satu saat ditemukan:

Berdasarkan pembukaan, keputusan dapat dengan mudah dibagi menjadi dua poin:

I) Ayo cari titik stasioner. Ini adalah tindakan standar yang telah kami lakukan berulang kali dalam pelajaran. tentang ekstrim dari beberapa variabel:

Menemukan titik stasioner milik daerah: (beri tanda pada gambar), yang berarti kita harus menghitung nilai fungsi pada titik tertentu:

- seperti dalam artikel Nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi pada suatu segmen, saya akan menyoroti hasil penting dalam huruf tebal. Di buku catatan, akan lebih mudah untuk melingkari mereka dengan pensil.

Perhatikan kebahagiaan kedua kita - tidak ada gunanya memeriksa kondisi yang cukup untuk ekstrem. Mengapa? Bahkan jika pada titik fungsinya mencapai, misalnya, minimum lokal, maka ini TIDAK BERARTI bahwa nilai yang dihasilkan adalah minimal di seluruh wilayah (lihat awal pelajaran tentang ekstrem tanpa syarat) .

Bagaimana jika titik stasioner BUKAN milik daerah? Hampir tidak ada! Perlu dicatat bahwa dan pergi ke paragraf berikutnya.

II) Kami menyelidiki perbatasan wilayah.

Karena batas terdiri dari sisi-sisi segitiga, akan lebih mudah untuk membagi studi menjadi 3 sub-paragraf. Tetapi lebih baik tidak melakukannya. Dari sudut pandang saya, pada awalnya lebih menguntungkan untuk mempertimbangkan segmen yang sejajar dengan sumbu koordinat, dan pertama-tama, segmen yang terletak pada sumbu itu sendiri. Untuk menangkap seluruh urutan dan logika tindakan, cobalah mempelajari akhiran "dalam satu tarikan napas":

1) Mari kita berurusan dengan sisi bawah segitiga. Untuk melakukan ini, kami mengganti langsung ke fungsi:

Atau, Anda dapat melakukannya seperti ini:

Secara geometris, ini berarti bidang koordinat (yang juga diberikan oleh persamaan)"memotong" dari permukaan parabola "spasial", yang bagian atasnya langsung dicurigai. Ayo cari tahu dimana dia:

- nilai yang dihasilkan "menabrak" di area tersebut, dan mungkin juga pada intinya (beri tanda pada gambar) fungsi mencapai nilai terbesar atau terkecil di seluruh area. Bagaimanapun, mari kita lakukan perhitungan:

"Kandidat" lainnya, tentu saja, adalah akhir dari segmen tersebut. Hitung nilai fungsi pada titik-titik (beri tanda pada gambar):

Di sini, omong-omong, Anda dapat melakukan pemeriksaan mini lisan pada versi "dipreteli":

2) Untuk mempelajari sisi kanan segitiga, kita mensubstitusikannya ke dalam fungsi dan “menertibkan di sana”:

Di sini kami segera melakukan pemeriksaan kasar, "membunyikan" ujung segmen yang sudah diproses:
, Besar.

Situasi geometris terkait dengan poin sebelumnya:

- nilai yang dihasilkan juga "memasuki ruang lingkup kepentingan kita", yang berarti bahwa kita perlu menghitung fungsi yang sama pada titik yang muncul:

Mari kita periksa ujung segmen yang kedua:

Menggunakan fungsi , mari kita periksa:

3) Semua orang mungkin tahu bagaimana menjelajahi sisi yang tersisa. Kami mengganti ke dalam fungsi dan melakukan penyederhanaan:

Garis berakhir sudah diselidiki, tapi di draf kita masih cek apakah kita menemukan fungsinya dengan benar :
- bertepatan dengan hasil sub-paragraf pertama;
- bertepatan dengan hasil sub-paragraf ke-2.

Tetap mencari tahu apakah ada sesuatu yang menarik di dalam segmen tersebut :

- Ada! Mengganti garis lurus ke dalam persamaan, kita mendapatkan ordinat dari "ketertarikan" ini:

Kami menandai titik pada gambar dan menemukan nilai fungsi yang sesuai:

Mari kendalikan kalkulasi menurut versi "anggaran". :
, memesan.

Dan langkah terakhir: HATI-HATI melihat semua angka "gemuk", saya sarankan bahkan pemula untuk membuat satu daftar:

dari mana kita memilih nilai terbesar dan terkecil. Menjawab menulis dalam gaya masalah menemukan nilai terbesar dan terkecil dari fungsi pada interval:

Untuk jaga-jaga, saya akan sekali lagi mengomentari arti geometris dari hasil:
- ini yang paling banyak titik tinggi permukaan di daerah;
- inilah titik terendah dari permukaan di area tersebut.

Dalam masalah yang dianalisis, kami menemukan 7 poin "mencurigakan", tetapi jumlahnya bervariasi dari satu tugas ke tugas lainnya. Untuk wilayah segitiga, "set eksplorasi" minimum terdiri dari tiga titik. Ini terjadi ketika fungsi, misalnya, disetel pesawat- cukup jelas bahwa tidak ada titik stasioner, dan fungsinya hanya dapat mencapai nilai maksimum / minimum di simpul segitiga. Tetapi tidak ada contoh seperti itu sekali, dua kali - biasanya Anda harus berurusan dengan semacam itu permukaan orde ke-2.

Jika Anda menyelesaikan tugas seperti itu sedikit, maka segitiga dapat membuat kepala Anda berputar, dan oleh karena itu saya telah menyiapkan contoh yang tidak biasa untuk Anda buat persegi :))

Contoh 2

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi dalam ruang tertutup yang dibatasi oleh garis

Contoh 3

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di area tertutup yang dibatasi.

Berikan perhatian khusus pada urutan rasional dan teknik menjelajahi batas area, serta rantai pemeriksaan perantara, yang hampir sepenuhnya menghindari kesalahan komputasi. Secara umum, Anda dapat menyelesaikannya sesuka Anda, tetapi dalam beberapa masalah, misalnya, di Contoh 2 yang sama, ada setiap peluang untuk memperumit hidup Anda secara signifikan. Sampel Sampel menyelesaikan tugas di akhir pelajaran.

Kami mensistematisasikan algoritme solusi, jika tidak, dengan ketekunan laba-laba saya, entah bagaimana ia tersesat dalam rangkaian komentar panjang dari contoh pertama:

- Pada langkah pertama, kami membangun sebuah area, diinginkan untuk menaunginya, dan menyorot perbatasan dengan garis tebal. Selama penyelesaian, akan muncul titik-titik yang perlu diletakkan pada gambar.

– Temukan titik stasioner dan hitung nilai fungsinya hanya pada mereka, yang termasuk daerah . Nilai yang diperoleh disorot dalam teks (misalnya, dilingkari dengan pensil). Jika titik stasioner BUKAN milik area tersebut, maka kami menandai fakta ini dengan ikon atau secara verbal. Jika tidak ada titik stasioner sama sekali, maka kami menarik kesimpulan tertulis bahwa titik tersebut tidak ada. Bagaimanapun, item ini tidak dapat dilewati!

– Menjelajahi daerah perbatasan. Pertama, menguntungkan untuk berurusan dengan garis lurus yang sejajar dengan sumbu koordinat (jika ada). Nilai fungsi yang dihitung pada titik "mencurigakan" juga disorot. Banyak yang telah dikatakan tentang teknik solusi di atas dan hal lain akan dikatakan di bawah - baca, baca ulang, selidiki!

- Dari angka yang dipilih, pilih nilai terbesar dan terkecil dan berikan jawaban. Terkadang fungsi mencapai nilai tersebut di beberapa titik sekaligus - dalam hal ini, semua poin ini harus tercermin dalam jawabannya. Mari, misalnya, dan ternyata ini adalah nilai terkecil. Lalu kita menulis itu

Contoh terakhir dikhususkan untuk ide berguna lainnya yang akan berguna dalam praktik:

Contoh 4

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi di area tertutup .

Saya menyimpan formulasi penulis, di mana luasnya diberikan sebagai pertidaksamaan ganda. Kondisi ini dapat ditulis dalam sistem yang setara atau dalam bentuk yang lebih tradisional untuk soal ini:

Saya mengingatkan Anda bahwa dengan non-linier kami menemukan ketidaksetaraan pada , dan jika Anda tidak memahami arti geometris dari entri tersebut, mohon jangan tunda dan klarifikasi situasinya sekarang ;-)

Larutan, seperti biasa, dimulai dengan pembangunan area, yang merupakan semacam "sol":

Hmm, terkadang Anda harus menggerogoti tidak hanya granit sains ....

I) Temukan titik stasioner:

Sistem mimpi idiot :)

Titik stasioner milik wilayah, yaitu terletak pada batasnya.

Jadi, bukan apa-apa ... pelajaran yang menyenangkan pergi - itulah artinya minum teh yang benar =)

II) Kami menyelidiki perbatasan wilayah. Tanpa basa-basi lagi, mari kita mulai dengan sumbu x:

1) Jika , maka

Temukan di mana bagian atas parabola berada:
- Hargai momen seperti itu - "pukul" langsung ke titik, dari mana semuanya sudah jelas. Tapi jangan lupa untuk memeriksa:

Mari kita hitung nilai fungsi di ujung segmen:

2) Kami akan menangani bagian bawah "sol" "dalam satu duduk" - tanpa kerumitan apa pun kami menggantinya ke dalam fungsi, terlebih lagi, kami hanya akan tertarik pada segmennya:

Kontrol:

Sekarang ini sudah menghidupkan kembali perjalanan monoton di trek knurled. Mari kita temukan titik-titik kritisnya:

Kami memutuskan persamaan kuadrat apakah kamu ingat yang ini? ... Namun, ingat, tentu saja, jika tidak, Anda tidak akan membaca baris ini =) Jika dalam dua contoh sebelumnya perhitungan dalam pecahan desimal nyaman (yang jarang terjadi), maka di sini kita menunggu biasa pecahan biasa. Kami menemukan akar "x" dan, menggunakan persamaan, menentukan koordinat "permainan" yang sesuai dari titik "kandidat":

Mari menghitung nilai fungsi pada titik yang ditemukan:

Periksa sendiri fungsinya.

Sekarang kami dengan hati-hati mempelajari piala yang dimenangkan dan menuliskannya menjawab:

Inilah "kandidat", jadi "kandidat"!

Untuk solusi mandiri:

Contoh 5

Temukan nilai terkecil dan terbesar dari suatu fungsi di area tertutup

Entri dengan kurung kurawal berbunyi seperti ini: "sekumpulan poin seperti itu".

Terkadang dalam contoh seperti itu mereka menggunakan metode pengali Lagrange, tetapi kebutuhan nyata untuk menggunakannya sepertinya tidak akan muncul. Jadi, misalnya, jika diberikan fungsi dengan luas yang sama "de", maka setelah substitusi ke dalamnya - dengan turunan tanpa kesulitan; apalagi, semuanya disusun dalam "satu baris" (dengan tanda) tanpa perlu mempertimbangkan setengah lingkaran atas dan bawah secara terpisah. Tapi, tentu saja, masih ada lagi kasus yang sulit, di mana tanpa fungsi Lagrange (di mana , misalnya, adalah persamaan lingkaran yang sama) sulit untuk bertahan - betapa sulitnya bertahan tanpa istirahat yang baik!

Semua yang terbaik untuk melewati sesi ini dan sampai jumpa musim depan!

Solusi dan jawaban:

Contoh 2: Larutan: menggambar area pada gambar:

Apa yang dimaksud dengan ekstrem dari suatu fungsi dan apa syarat yang diperlukan untuk suatu ekstrem?

Ekstrem dari suatu fungsi adalah maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.

Kondisi yang diperlukan untuk fungsi maksimum dan minimum (ekstrem) adalah sebagai berikut: jika fungsi f(x) memiliki ekstrem di titik x = a, maka pada titik ini turunannya adalah nol, atau tak terhingga, atau tidak tidak ada.

Kondisi ini diperlukan, tetapi tidak cukup. Turunan pada titik x = a dapat menghilang, menuju tak terhingga, atau tidak ada tanpa fungsi yang memiliki ekstrem pada titik ini.

Apa kondisi yang cukup untuk fungsi ekstrem (maksimum atau minimum)?

Kondisi pertama:

Jika, cukup dekat dengan titik x = a, turunan f?(x) positif di sebelah kiri a dan negatif di sebelah kanan a, maka di titik x = a itu sendiri, fungsi f(x) memiliki maksimum

Jika, pada jarak yang cukup dekat dengan titik x = a, turunan f?(x) negatif di sebelah kiri a dan positif di sebelah kanan a, maka di titik x = a itu sendiri, fungsi f(x) memiliki minimum asalkan fungsi f(x) kontinu di sini.

Sebagai gantinya, Anda dapat menggunakan kondisi cukup kedua untuk fungsi ekstrem:

Misalkan di titik x = dan turunan pertama f?(x) hilang; jika turunan kedua f??(а) negatif, maka fungsi f(x) memiliki maksimum di titik x = a, jika positif, maka minimum.

Apa titik kritis suatu fungsi dan bagaimana menemukannya?

Ini adalah nilai argumen fungsi di mana fungsi tersebut memiliki ekstrem (yaitu maksimum atau minimum). Untuk menemukannya, Anda perlu menemukan turunannya fungsi f?(x) dan, menyamakannya dengan nol, memecahkan persamaan f?(x) = 0. Akar dari persamaan ini, serta titik-titik di mana turunan dari fungsi ini tidak ada, adalah titik kritis, yaitu nilai argumen di mana mungkin ada ekstrem . Mereka dapat dengan mudah diidentifikasi dengan melihat grafik turunan: kami tertarik pada nilai-nilai argumen di mana grafik fungsi memotong sumbu absis (sumbu lembu) dan nilai-nilai di mana grafik mengalami kerusakan.

Misalnya, mari kita temukan ujung parabola.

Fungsi y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Turunan fungsi: y?(x) = 6x + 2

Kami memecahkan persamaan: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

Dalam hal ini, titik kritisnya adalah x0=-1/3. Untuk nilai argumen inilah yang dimiliki fungsi ekstrem. Untuk mendapatkan menemukan, kami mengganti nomor yang ditemukan dalam ekspresi untuk fungsi alih-alih "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Cara menentukan maksimum dan minimum suatu fungsi, mis. nilai terbesar dan terkecilnya?

Jika tanda turunannya berubah dari “plus” menjadi “minus” ketika melewati titik kritis x0, maka x0 adalah titik maksimum; jika tanda turunannya berubah dari minus menjadi plus, maka x0 adalah titik minimal; jika tandanya tidak berubah, maka pada titik x0 tidak ada maksimum maupun minimum.

Untuk contoh yang dipertimbangkan:

Kami mengambil nilai arbitrer dari argumen di sebelah kiri titik kritis: x = -1

Ketika x = -1, nilai turunannya adalah y?(-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (yaitu tanda minus).

Sekarang kita ambil sembarang nilai argumen di sebelah kanan titik kritis: x = 1

Untuk x = 1, nilai turunannya adalah y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (yaitu tanda tambah).

Seperti yang Anda lihat, saat melewati titik kritis, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus. Ini berarti bahwa pada nilai kritis x0 kita memiliki titik minimum.

Nilai fungsi terbesar dan terkecil pada selang waktu(pada segmen) ditemukan dengan prosedur yang sama, hanya dengan mempertimbangkan fakta bahwa, mungkin, tidak semua titik kritis akan berada dalam interval yang ditentukan. Titik-titik kritis yang berada di luar interval harus dikeluarkan dari pertimbangan. Jika hanya ada satu titik kritis di dalam interval, itu akan memiliki maksimum atau minimum. Dalam hal ini, untuk menentukan nilai fungsi terbesar dan terkecil, kami juga memperhitungkan nilai fungsi di ujung interval.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai fungsi terbesar dan terkecil

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

pada interval:

Jadi turunan dari fungsi tersebut adalah

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Kita selesaikan persamaan 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kami menemukan titik kritis pada interval [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (tidak termasuk dalam interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (tidak termasuk dalam interval)

Kami menemukan nilai fungsi pada nilai kritis argumen:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Terlihat bahwa pada interval [-9; 9] nilai tertinggi fungsi memiliki di x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

dan yang terkecil - pada x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Pada interval [-6; -3] kita hanya memiliki satu titik kritis: x = -4,88. Nilai fungsi pada x = -4,88 adalah y = 5,398.

Kami menemukan nilai fungsi di ujung interval:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Pada interval [-6; -3] kami memiliki nilai fungsi terbesar

y = 5,398 pada x = -4,88

nilai terkecil adalah

y = 1,077 pada x = -3

Bagaimana menemukan titik belok dari grafik fungsi dan menentukan sisi cembung dan cekung?

Untuk menemukan semua titik belok dari garis y \u003d f (x), Anda perlu menemukan turunan kedua, menyamakannya dengan nol (menyelesaikan persamaan) dan menguji semua nilai x yang turunan keduanya nol , tak terhingga atau tidak ada. Jika, ketika melewati salah satu dari nilai-nilai ini, turunan kedua berubah tandanya, maka grafik fungsinya memiliki infleksi pada titik ini. Jika tidak berubah, maka tidak ada infleksi.

Akar persamaan f ? (x) = 0, serta kemungkinan titik diskontinuitas fungsi dan turunan kedua, membagi domain fungsi menjadi beberapa interval. Kecembungan pada setiap intervalnya ditentukan oleh tanda turunan kedua. Jika turunan kedua pada suatu titik pada interval yang diteliti adalah positif, maka garis y = f(x) cekung ke atas di sini, dan jika negatif, maka ke bawah.

Bagaimana menemukan ekstrem dari fungsi dua variabel?

Untuk menemukan ekstrem dari fungsi f(x, y), yang dapat dibedakan di area penugasannya, Anda memerlukan:

1) temukan titik kritis, dan untuk ini, selesaikan sistem persamaan

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) untuk setiap titik kritis P0(a;b), selidiki apakah tanda perbedaan tetap tidak berubah

untuk semua titik (x;y) cukup dekat dengan P0. Jika selisihnya tetap bertanda positif, maka pada titik P0 kita memiliki minimal, jika negatif, maka maksimal. Jika selisihnya tidak mempertahankan tandanya, maka tidak ada ekstrem di titik Р0.

Demikian pula, ekstrem dari fungsi ditentukan untuk sejumlah besar argumen.

Apa yang dimaksud dengan ekstrem dari suatu fungsi dan apa syarat yang diperlukan untuk suatu ekstrem?

Ekstrem dari suatu fungsi adalah maksimum dan minimum dari fungsi tersebut.

Kondisi ini diperlukan, tetapi tidak cukup. Turunan pada titik x = a dapat menghilang, menuju tak terhingga, atau tidak ada tanpa fungsi yang memiliki ekstrem pada titik ini.

Apa kondisi yang cukup untuk fungsi ekstrem (maksimum atau minimum)?

Kondisi pertama:

Jika, cukup dekat dengan titik x = a, turunan f?(x) positif di sebelah kiri a dan negatif di sebelah kanan a, maka di titik x = a itu sendiri, fungsi f(x) memiliki maksimum

Sebagai gantinya, Anda dapat menggunakan kondisi cukup kedua untuk fungsi ekstrem:

Misalkan di titik x = dan turunan pertama f?(x) hilang; jika turunan kedua f??(а) negatif, maka fungsi f(x) memiliki maksimum di titik x = a, jika positif, maka minimum.

Apa titik kritis suatu fungsi dan bagaimana menemukannya?

Misalnya, mari kita temukan ujung parabola.

Fungsi y(x) = 3x2 + 2x - 50.

Turunan fungsi: y?(x) = 6x + 2

Kami memecahkan persamaan: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50,333.

Cara menentukan maksimum dan minimum suatu fungsi, mis. nilai terbesar dan terkecilnya?

Untuk contoh yang dipertimbangkan:

Kami mengambil nilai arbitrer argumen di sebelah kiri titik kritis: x = -1

Ketika x = -1, nilai turunannya adalah y?(-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (yaitu tanda minus).

Sekarang kita ambil sembarang nilai argumen di sebelah kanan titik kritis: x = 1

Untuk x = 1, nilai turunannya adalah y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (yaitu tanda tambah).

Seperti yang Anda lihat, saat melewati titik kritis, turunannya berubah tanda dari minus menjadi plus. Ini berarti bahwa pada nilai kritis x0 kita memiliki titik minimum.

Sebagai contoh, mari kita cari nilai fungsi terbesar dan terkecil

y (x) \u003d 3 sin (x) - 0,5x

pada interval:

Jadi turunan dari fungsi tersebut adalah

y?(x) = 3cos(x) - 0,5

Kita selesaikan persamaan 3cos(x) - 0,5 = 0

cos(x) = 0,5/3 = 0,16667

x \u003d ± arccos (0,16667) + 2πk.

Kami menemukan titik kritis pada interval [-9; 9]:

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 2 \u003d -11,163 (tidak termasuk dalam interval)

x \u003d -arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -7,687

x \u003d arccos (0,16667) - 2π * 1 \u003d -4,88

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d -1,403

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 0 \u003d 1,403

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 4,88

x \u003d arccos (0,16667) + 2π * 1 \u003d 7,687

x \u003d -arccos (0,16667) + 2π * 2 \u003d 11,163 (tidak termasuk dalam interval)

Kami menemukan nilai fungsi pada nilai kritis argumen:

y(-7,687) = 3cos(-7,687) - 0,5 = 0,885

y(-4,88) = 3cos(-4,88) - 0,5 = 5,398

y(-1,403) = 3cos(-1,403) - 0,5 = -2,256

y(1,403) = 3cos(1,403) - 0,5 = 2,256

y(4,88) = 3cos(4,88) - 0,5 = -5,398

y(7,687) = 3cos(7,687) - 0,5 = -0,885

Terlihat bahwa pada interval [-9; 9] fungsi tersebut memiliki nilai terbesar pada x = -4,88:

x = -4,88, y = 5,398,

dan yang terkecil - pada x = 4,88:

x = 4,88, y = -5,398.

Pada interval [-6; -3] kita hanya memiliki satu titik kritis: x = -4,88. Nilai fungsi pada x = -4,88 adalah y = 5,398.

Kami menemukan nilai fungsi di ujung interval:

y(-6) = 3cos(-6) - 0,5 = 3,838

y(-3) = 3cos(-3) - 0,5 = 1,077

Pada interval [-6; -3] kami memiliki nilai fungsi terbesar

y = 5,398 pada x = -4,88

nilai terkecil adalah

y = 1,077 pada x = -3

Bagaimana menemukan titik belok dari grafik fungsi dan menentukan sisi cembung dan cekung?

Bagaimana menemukan ekstrem dari fungsi dua variabel?

Untuk menemukan ekstrem dari fungsi f(x, y), yang dapat dibedakan di area penugasannya, Anda memerlukan:

1) temukan titik kritis, dan untuk ini, selesaikan sistem persamaan

fx? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) untuk setiap titik kritis P0(a;b), selidiki apakah tanda perbedaan tetap tidak berubah

Demikian pula, ekstrem dari fungsi ditentukan untuk sejumlah besar argumen.

Tentang apa Shrek Forever After?
Kartun: Shrek Forever After Tahun rilis: 2010 Premiere (Rusia): 20 Mei 2010 Negara: AS Sutradara: Michael Pitchel Naskah: Josh Klausner, Darren Lemke Genre: komedi keluarga, fantasi, petualangan Situs web resmi: www.shrekforeverafter.com plot bagal

Bisakah saya menyumbangkan darah selama menstruasi?
Dokter tidak menganjurkan mendonorkan darah saat haid, karena. kehilangan darah, meskipun tidak dalam jumlah yang signifikan, penuh dengan penurunan kadar hemoglobin dan penurunan kesejahteraan wanita. Selama prosedur donor darah, situasi kesehatan dapat memburuk hingga ditemukannya perdarahan. Oleh karena itu, wanita sebaiknya menahan diri untuk tidak mendonor darah saat menstruasi. Dan sudah pada hari ke 5 setelah mereka selesai

Berapa kkal / jam yang dikonsumsi saat mencuci lantai
Jenis aktivitas fisik Konsumsi energi, kkal/jam Memasak 80 Berpakaian 30 Mengemudi 50 Membersihkan debu 80 Makan 30 Berkebun 135 Menyetrika 45 Merapikan tempat tidur 130 Berbelanja 80 Pekerjaan menetap 75 Memotong kayu 300 Mencuci lantai 130 Seks 100-150 Tarian aerobik intensitas rendah

Apa arti kata "nakal"?
Penjahat adalah pencuri yang terlibat dalam pencurian kecil-kecilan, atau orang nakal yang cenderung melakukan trik curang. Konfirmasi definisi ini terkandung dalam kamus etimologis Krylov, yang menurutnya kata "penipu" dibentuk dari kata "penipu" (pencuri, penipu), mirip dengan kata kerja &la

Apa nama cerita Strugatsky bersaudara yang terakhir diterbitkan
Sedikit cerita Arkady dan Boris Strugatsky "On the issue of cyclotation" pertama kali diterbitkan pada April 2008 dalam antologi fiksi ilmiah "Noon. XXI Century" (tambahan majalah "Vokrug sveta", diterbitkan di bawah redaksi Boris Strugatsky). Publikasi tersebut didedikasikan untuk peringatan 75 tahun Boris Strugatsky.

Di mana saya bisa membaca cerita para peserta program Work And Travel USA
Work and Travel USA (bekerja dan bepergian di AS) adalah program pertukaran pelajar yang populer di mana Anda dapat menghabiskan musim panas di Amerika, bekerja secara legal di sektor jasa dan bepergian. Program History of the Work & Travel adalah bagian dari program Pertukaran Budaya Pro dari pertukaran antar pemerintah

Telinga. Referensi kuliner dan sejarah Selama lebih dari dua setengah abad, kata "ukha" telah digunakan untuk menyebut sup atau rebusan ikan segar. Namun ada kalanya kata ini diartikan lebih luas. Mereka melambangkan sup - tidak hanya ikan, tetapi juga daging, kacang polong, dan bahkan manis. Jadi dalam dokumen sejarah - "

Portal informasi dan perekrutan Superjob.ru - portal perekrutan Superjob.ru bekerja pasar Rusia rekrutmen online sejak tahun 2000 dan merupakan pemimpin di antara sumber daya yang menawarkan pencarian kerja dan penempatan staf. Lebih dari 80.000 resume spesialis dan lebih dari 10.000 lowongan ditambahkan ke database situs setiap hari.

Apa itu motivasi
Definisi motivasi Motivasi (dari lat. moveo - I move) - dorongan untuk bertindak; proses dinamis dari rencana fisiologis dan psikologis yang mengontrol perilaku manusia, menentukan arah, organisasi, aktivitas, dan stabilitasnya; kemampuan manusia untuk memenuhi kebutuhannya melalui kerja. Motivasi

Siapa Bob Dylan
Bob Dylan (eng. Bob Dylan, nama asli - Robert Allen Zimmerman eng. Robert Allen Zimmerman; lahir 24 Mei 1941) adalah seorang penulis lagu Amerika yang - menurut jajak pendapat oleh majalah Rolling Stone - adalah yang kedua (

Cara mengangkut tanaman dalam ruangan
Setelah pembelian tanaman dalam ruangan, tukang kebun dihadapkan pada tugas mengirimkan bunga eksotis yang dibeli tanpa cedera. Mengetahui aturan dasar untuk mengemas dan mengangkut tanaman dalam ruangan akan membantu mengatasi masalah ini. Tanaman harus dikemas untuk diangkut atau diangkut. Tidak peduli seberapa pendek jarak yang dibawa tanaman, mereka dapat rusak, mengering, dan di musim dingin & m

Populer dalam kategori: