rumah › Sistem pendingin › Penunjukan dalam perkembangan aritmatika. Aljabar: Perkembangan Aritmatika dan Geometrik

Penunjukan dalam perkembangan aritmatika. Aljabar: Perkembangan Aritmatika dan Geometrik

Informasi teoretis

Informasi teoretis

	Kemajuan aritmatika	Kemajuan geometris
Definisi	Kemajuan aritmatika sebuah urutan disebut, yang setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan anggota sebelumnya, ditambah dengan angka yang sama D (D- perbedaan perkembangan)	perkembangan geometris b n urutan bilangan bukan nol disebut, yang setiap sukunya, mulai dari yang kedua, sama dengan suku sebelumnya dikalikan dengan bilangan yang sama Q (Q- penyebut perkembangan)
Formula berulang	Untuk alam apapun N an + 1 = an + d	Untuk alam apapun N b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
rumus suku ke-n	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
properti karakteristik
Jumlah n suku pertama

Contoh tugas dengan komentar

Latihan 1

DI DALAM perkembangan aritmatika (sebuah) sebuah 1 = -6, sebuah 2

Menurut rumus suku ke-n:

sebuah 22 = sebuah 1+ d (22 - 1) = sebuah 1+ 21h

Dengan syarat:

sebuah 1= -6, jadi sebuah 22= -6 + 21d.

Penting untuk menemukan perbedaan progresi:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

sebuah 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Menjawab : sebuah 22 = -48.

Tugas 2

Temukan suku kelima dari deret geometri: -3; 6;....

Cara pertama (menggunakan rumus n-suku)

Menurut rumus anggota ke-n dari deret geometri:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Karena b 1 = -3,

Cara ke-2 (menggunakan rumus rekursif)

Karena penyebut dari barisan tersebut adalah -2 (q = -2), maka:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Menjawab : b 5 = -48.

Tugas 3

Dalam deret aritmetika ( n) 74 = 34; 76= 156. Temukan suku ketujuh puluh lima dari barisan ini.

Untuk deret aritmatika, sifat karakteristik memiliki bentuk .

Karena itu:

Gantikan data dalam rumus:

Jawaban: 95.

Tugas 4

Dalam deret aritmetika ( sebuah n) sebuah n= 3n - 4. Temukan jumlah tujuh belas suku pertama.

Untuk mencari jumlah n suku pertama deret aritmatika, digunakan dua rumus:

Masuk yang mana kasus ini lebih nyaman digunakan?

Dengan syarat, rumus anggota ke-n dari deret awal diketahui ( sebuah) sebuah= 3n - 4. Bisa langsung ditemukan dan sebuah 1, Dan 16 tanpa menemukan d . Oleh karena itu, kami menggunakan rumus pertama.

Jawaban: 368.

Tugas 5

Dalam perkembangan aritmatika sebuah) sebuah 1 = -6; sebuah 2= -8. Temukan suku kedua puluh dua dari perkembangan tersebut.

Menurut rumus suku ke-n:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = sebuah 1+ 21h.

Dengan syarat, jika sebuah 1= -6, lalu sebuah 22= -6 + 21d. Penting untuk menemukan perbedaan progresi:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

sebuah 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Menjawab : sebuah 22 = -48.

Tugas 6

Beberapa suku berurutan dari deret geometri dicatat:

Temukan suku perkembangannya, dilambangkan dengan huruf x .

Saat memecahkan, kami menggunakan rumus untuk suku ke-n b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 untuk deret geometri. Anggota pertama dari perkembangan. Untuk menemukan penyebut dari barisan q, Anda perlu mengambil salah satu suku dari barisan ini dan membaginya dengan yang sebelumnya. Dalam contoh kami, Anda dapat mengambil dan membagi dengan. Kita mendapatkan q \u003d 3. Alih-alih n, kita mengganti 3 ke dalam rumus, karena kita perlu mencari suku ketiga dari barisan geometri tertentu.

Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus, kita mendapatkan:

Menjawab : .

Tugas 7

Dari deret aritmetika yang diberikan oleh rumus suku ke-n, pilih salah satu yang kondisinya terpenuhi sebuah 27 > 9:

Karena syarat yang ditentukan harus dipenuhi untuk suku ke-27 dari barisan tersebut, kita mengganti 27 sebagai pengganti n pada masing-masing dari empat barisan tersebut. Dalam perkembangan ke-4 kita mendapatkan:

Jawaban: 4.

Tugas 8

Dalam perkembangan aritmatika sebuah 1= 3, d = -1,5. Menentukan nilai tertinggi n , yang ketidaksetaraannya sebuah > -6.

Masalah perkembangan aritmatika telah ada sejak zaman kuno. Mereka muncul dan menuntut solusi, karena mereka memiliki kebutuhan praktis.

Jadi, di salah satu papirus mesir kuno, yang memiliki muatan matematika - papirus Rhind (abad XIX SM) - berisi tugas berikut: membagi sepuluh ukuran roti menjadi sepuluh orang, dengan syarat selisih masing-masing adalah seperdelapan ukuran.

Dan dalam karya matematika orang Yunani kuno terdapat teorema elegan yang terkait dengan perkembangan aritmatika. Jadi, Hypsicles of Alexandria (abad ke-2, yang menyusun banyak masalah menarik dan menambahkan buku keempat belas ke "Elemen" Euclid, merumuskan gagasan: "Dalam perkembangan aritmatika dengan jumlah anggota genap, jumlah anggota babak ke-2 lebih dari jumlah anggota ke-1 di kuadrat 1/2 dari jumlah anggota.

Urutan an dilambangkan. Nomor urutan disebut anggotanya dan biasanya dilambangkan dengan huruf dengan indeks yang menunjukkan nomor urut anggota ini (a1, a2, a3 ... baca: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" dan sebagainya).

Urutannya bisa tak terbatas atau terbatas.

Apa itu barisan aritmatika? Ini dipahami sebagai diperoleh dengan menjumlahkan suku sebelumnya (n) dengan angka yang sama d, yang merupakan selisih dari deretnya.

Jika d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, maka perkembangan seperti itu dianggap meningkat.

Suatu deret aritmetika dikatakan berhingga jika hanya beberapa suku pertamanya saja yang diperhitungkan. Dengan jumlah anggota yang sangat banyak, ini sudah kemajuan tak terbatas.

Setiap perkembangan aritmatika diberikan oleh rumus berikut:

an =kn+b, sedangkan b dan k adalah bilangan.

Pernyataan kebalikannya benar-benar benar: jika barisan diberikan dengan rumus yang sama, maka ini adalah barisan aritmatika, yang memiliki sifat:

Setiap anggota deret adalah rata-rata aritmetika dari anggota sebelumnya dan anggota berikutnya.
Kebalikannya: jika, mulai dari suku ke-2, setiap suku adalah rata-rata aritmetika suku sebelumnya dan suku berikutnya, yaitu jika syarat terpenuhi, maka barisan yang diberikan merupakan deret aritmetika. Kesetaraan ini sekaligus merupakan tanda perkembangan, sehingga biasanya disebut sifat karakteristik perkembangan.
Dengan cara yang sama, teorema yang mencerminkan sifat ini benar: suatu barisan adalah deret aritmetika hanya jika persamaan ini benar untuk salah satu anggota barisan, mulai dari yang ke-2.

Sifat karakteristik dari empat bilangan deret aritmatika dapat dinyatakan dengan rumus an + am = ak + al jika n + m = k + l (m, n, k adalah bilangan deret).

Dalam deret aritmatika, setiap suku yang diperlukan (Nth) dapat ditemukan dengan menerapkan rumus berikut:

Contoh: suku pertama (a1) pada deret aritmatika diberikan dan sama dengan tiga, dan selisih (d) sama dengan empat. Anda perlu mencari suku keempat puluh lima dari barisan ini. a45 = 1+4(45-1)=177

Rumus an = ak + d(n - k) memungkinkan kita untuk menentukan suku ke-n perkembangan aritmatika melalui salah satu suku ke-knya, asalkan diketahui.

Jumlah anggota barisan aritmatika (dengan asumsi anggota ke-1 n dari barisan akhir) dihitung sebagai berikut:

Sn = (a1+an) n/2.

Jika suku pertama juga diketahui, maka rumus lain cocok untuk perhitungan:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Jumlah deret aritmetika yang memuat n suku dihitung sebagai berikut:

Pilihan rumus perhitungan tergantung pada kondisi tugas dan data awal.

Deret alami bilangan apa saja seperti 1,2,3,...,n,...- contoh paling sederhana perkembangan aritmatika.

Selain barisan aritmatika, ada juga barisan geometri yang memiliki sifat dan ciri tersendiri.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Tujuan Pelajaran:

perluasan dan pendalaman ide siswa tentang tugas yang diselesaikan dengan menggunakan deret aritmatika; pengorganisasian aktivitas pencarian siswa saat menurunkan rumus jumlah n anggota pertama dari barisan aritmatika;
pengembangan keterampilan untuk memperoleh pengetahuan baru secara mandiri, menggunakan pengetahuan yang sudah diperoleh untuk mencapai tugas;
perkembangan keinginan dan kebutuhan untuk menggeneralisasi fakta yang diperoleh, perkembangan kemandirian.

Tugas:

menggeneralisasi dan mensistematisasikan pengetahuan yang ada pada topik "Perkembangan aritmatika";
mendapatkan rumus untuk menghitung jumlah dari n anggota pertama dari deret aritmatika;
mengajarkan bagaimana menerapkan rumus yang diperoleh dalam memecahkan berbagai masalah;
menarik perhatian siswa pada prosedur untuk menemukan nilai ekspresi numerik.

Peralatan:

kartu dengan tugas untuk bekerja dalam kelompok dan berpasangan;
kertas evaluasi;
presentasi"Perkembangan Aritmatika".

I. Aktualisasi pengetahuan dasar.

1. Pekerjaan mandiri berpasangan.

opsi pertama:

Tentukan deret aritmatika. Tuliskan rumus rekursif yang mendefinisikan deret aritmatika. Berikan contoh deret aritmatika dan tunjukkan perbedaannya.

opsi ke-2:

Tuliskan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika. Temukan suku ke-100 dari barisan aritmatika ( sebuah}: 2, 5, 8 …
Pada saat ini, dua siswa sisi sebaliknya dewan menyiapkan jawaban untuk pertanyaan yang sama.
Siswa mengevaluasi pekerjaan pasangannya dengan membandingkannya dengan papan tulis. (Leaflet dengan jawaban diserahkan).

2. Momen permainan.

Latihan 1.

Guru. Saya menyusun beberapa perkembangan aritmatika. Ajukan saya hanya dua pertanyaan sehingga setelah jawaban Anda dapat dengan cepat menyebutkan anggota ke-7 dari perkembangan ini. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pertanyaan dari siswa.

Berapakah suku keenam dari barisan tersebut dan apa bedanya?
Berapakah suku kedelapan dari barisan itu dan berapa bedanya?

Jika tidak ada pertanyaan lagi, maka guru dapat merangsangnya - “larangan” pada d (perbedaan), yaitu tidak boleh menanyakan apa perbedaannya. Anda dapat mengajukan pertanyaan: berapa suku ke-6 dari barisan tersebut dan berapa suku ke-8 dari barisan tersebut?

Tugas 2.

Ada 20 angka yang tertulis di papan tulis: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Guru berdiri dengan punggung menghadap papan tulis. Siswa menyebutkan nomor dari nomor tersebut, dan guru langsung memanggil nomor itu sendiri. Jelaskan bagaimana saya bisa melakukannya?

Guru mengingat rumus suku ke-n a n \u003d 3n - 2 dan, mengganti nilai n yang diberikan, menemukan nilai yang sesuai sebuah .

II. Pernyataan tugas pendidikan.

Saya mengusulkan untuk memecahkan masalah lama yang berasal dari milenium ke-2 SM, yang ditemukan dalam papirus Mesir.

Tugas:“Biarlah dikatakan kepadamu: bagilah 10 takar jelai kepada 10 orang, selisih setiap orang dengan tetangganya adalah 1/8 takaran.”

Bagaimana masalah ini berhubungan dengan topik perkembangan aritmatika? (Setiap orang berikutnya mendapat 1/8 takaran lebih banyak, jadi selisihnya adalah d=1/8, 10 orang, jadi n=10.)
Menurutmu apa arti angka 10? (Jumlah semua anggota perkembangan.)
Apa lagi yang perlu Anda ketahui agar mudah dan sederhana membagi jelai sesuai dengan kondisi masalahnya? (Suku pertama dari perkembangan.)

Tujuan pelajaran- memperoleh ketergantungan jumlah suku-suku perkembangan pada bilangan mereka, suku pertama dan selisihnya, dan memeriksa apakah soal diselesaikan dengan benar di zaman kuno.

Sebelum menurunkan rumusnya, mari kita lihat bagaimana orang Mesir kuno memecahkan masalah tersebut.

Dan mereka memecahkannya seperti ini:

1) 10 takaran: 10 = 1 takaran - bagian rata-rata;
2) 1 takaran ∙ = 2 takaran - digandakan rata-rata membagikan.
dua kali lipat rata-rata bagiannya adalah jumlah bagian orang ke-5 dan ke-6.
3) 2 takaran - 1/8 takaran = 1 7/8 takaran - dua kali bagian orang kelima.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - bagian kelima; dan seterusnya, Anda dapat menemukan bagian dari setiap orang sebelumnya dan selanjutnya.

Kami mendapatkan urutannya:

AKU AKU AKU. Solusi tugas.

1. Bekerja dalam kelompok

kelompok 1: Temukan jumlah 20 bilangan asli berurutan: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Secara umum

kelompok II: Temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 100 (Legenda Little Gauss).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Kesimpulan:

kelompok III: Temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 21.

Solusi: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Kesimpulan:

kelompok IV: Temukan jumlah bilangan asli dari 1 hingga 101.

Kesimpulan:

Metode pemecahan masalah yang dipertimbangkan ini disebut "metode Gauss".

2. Setiap kelompok mempresentasikan pemecahan masalah di papan tulis.

3. Generalisasi solusi yang diusulkan untuk perkembangan aritmatika arbitrer:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, n-2 , n-1 , n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Kami menemukan jumlah ini dengan alasan serupa:

4. Sudahkah kita menyelesaikan tugas?(Ya.)

IV. Pemahaman utama dan penerapan rumus yang diperoleh dalam memecahkan masalah.

1. Memeriksa solusi dari masalah lama dengan rumus.

2. Penerapan rumus dalam menyelesaikan berbagai masalah.

3. Latihan pembentukan kemampuan mengaplikasikan rumus dalam menyelesaikan soal.

A) Nomor 613

Diberikan :( dan N) - perkembangan aritmatika;

(n): 1, 2, 3, ..., 1500

Menemukan: S 1500

Larutan: , dan 1 = 1, dan 1500 = 1500,

B) Diberikan: ( dan N) - perkembangan aritmatika;
(dan n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Menemukan: N
Larutan:

V. Pekerjaan mandiri dengan verifikasi timbal balik.

Denis pergi bekerja sebagai kurir. Di bulan pertama, gajinya 200 rubel, di setiap bulan berikutnya naik 30 rubel. Berapa penghasilannya dalam setahun?

Diberikan :( dan N) - perkembangan aritmatika;
a 1 = 200, d=30, n=12
Menemukan: S 12
Larutan:

Menjawab: Denis menerima 4380 rubel untuk tahun ini.

VI. Instruksi pekerjaan rumah.

p.4.3 - pelajari derivasi rumus.
№№ 585, 623 .
Buatlah soal yang akan diselesaikan dengan menggunakan rumus jumlah n suku pertama barisan aritmetika.

VII. Menyimpulkan pelajaran.

1. Lembar skor

2. Lanjutkan kalimatnya

Hari ini di kelas saya belajar...
Formula yang dipelajari...
Aku percaya itu …

3. Dapatkah kamu menemukan jumlah bilangan dari 1 sampai 500? Metode apa yang akan Anda gunakan untuk menyelesaikan masalah ini?

Bibliografi.

1. Aljabar, kelas 9. Buku teks untuk institusi pendidikan. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskow: Pencerahan, 2009.

Ya, ya: perkembangan aritmatika bukan mainan untukmu :)

Nah, teman-teman, jika Anda membaca teks ini, bukti tutup internal memberi tahu saya bahwa Anda masih belum tahu apa itu deret aritmatika, tetapi Anda benar-benar (tidak, seperti ini: SOOOOO!) ingin tahu. Oleh karena itu, saya tidak akan menyiksa Anda dengan perkenalan yang panjang dan akan segera turun ke bisnis.

Untuk memulai, beberapa contoh. Pertimbangkan beberapa set angka:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Apa kesamaan semua set ini? Sekilas, tidak ada apa-apa. Tapi sebenarnya ada sesuatu. Yaitu: setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan nomor yang sama.

Nilai sendiri. Set pertama hanyalah angka berurutan, masing-masing lebih banyak dari yang sebelumnya. Dalam kasus kedua, selisih angka yang berdekatan sudah sama dengan lima, tetapi selisih ini tetap konstan. Dalam kasus ketiga, ada akar secara umum. Namun, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, sementara $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, mis. dalam hal ini setiap elemen berikutnya hanya bertambah $\sqrt(2)$ (dan jangan takut bahwa angka ini tidak rasional).

Jadi: semua deret seperti itu disebut deret aritmatika. Mari kita berikan definisi yang ketat:

Definisi. Urutan angka di mana setiap berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan jumlah yang persis sama disebut perkembangan aritmatika. Jumlah perbedaan angka disebut perbedaan perkembangan dan paling sering dilambangkan dengan huruf $d$.

Notasi: $\left(((a)_(n)) \right)$ adalah progresi itu sendiri, $d$ adalah selisihnya.

Dan hanya beberapa komentar penting. Pertama, perkembangan dianggap hanya tertib urutan angka: mereka diizinkan untuk dibaca secara ketat sesuai urutan penulisannya - dan tidak ada yang lain. Anda tidak dapat mengatur ulang atau menukar nomor.

Kedua, barisan itu sendiri bisa terbatas atau tidak terbatas. Misalnya, himpunan (1; 2; 3) jelas merupakan deret aritmetika berhingga. Tetapi jika Anda menulis sesuatu seperti (1; 2; 3; 4; ...) - ini sudah merupakan perkembangan yang tak terbatas. Elipsis setelah empat, seolah-olah, mengisyaratkan bahwa cukup banyak angka yang melangkah lebih jauh. Banyak sekali, misalnya. :)

Saya juga ingin mencatat bahwa perkembangan meningkat dan menurun. Kami telah melihat yang meningkat - set yang sama (1; 2; 3; 4; ...). Berikut adalah contoh penurunan progresi:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

Oke oke: contoh terakhir mungkin tampak terlalu rumit. Tapi sisanya, saya pikir, Anda mengerti. Oleh karena itu, kami memperkenalkan definisi baru:

Definisi. Suatu barisan aritmetika disebut :

meningkat jika setiap elemen berikutnya lebih besar dari yang sebelumnya;

menurun, jika sebaliknya, setiap elemen berikutnya lebih kecil dari elemen sebelumnya.

Selain itu, ada yang disebut urutan "stasioner" - urutan tersebut terdiri dari angka berulang yang sama. Misalnya, (3; 3; 3; ...).

Hanya satu pertanyaan yang tersisa: bagaimana membedakan perkembangan yang meningkat dari yang menurun? Untungnya, semua yang ada di sini hanya bergantung pada tanda angka $d$, mis. perbedaan perkembangan:

Jika $d \gt 0$, maka perkembangannya meningkat;
Jika $d \lt 0$, maka perkembangannya jelas menurun;
Terakhir, ada kasus $d=0$ — dalam hal ini seluruh perkembangan direduksi menjadi urutan stasioner dari angka identik: (1; 1; 1; 1; ...), dll.

Coba kita hitung selisih $d$ untuk ketiga progresi penurunan di atas. Untuk melakukan ini, cukup mengambil dua elemen yang berdekatan (misalnya, yang pertama dan kedua) dan kurangi dari angka di sebelah kanan, angka di sebelah kiri. Ini akan terlihat seperti ini:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Seperti yang Anda lihat, dalam ketiga kasus perbedaannya ternyata negatif. Dan sekarang setelah kita sedikit banyak mengetahui definisinya, saatnya untuk mencari tahu bagaimana progresi dijelaskan dan properti apa yang mereka miliki.

Anggota perkembangan dan formula berulang

Karena elemen deret kita tidak dapat dipertukarkan, mereka dapat diberi nomor:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \Kanan$\]

Elemen individu dari himpunan ini disebut anggota perkembangan. Mereka ditunjukkan dengan bantuan nomor: anggota pertama, anggota kedua, dan seterusnya.

Selain itu, seperti yang telah kita ketahui, anggota deret yang bertetangga dihubungkan dengan rumus:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Panah Kanan ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Singkatnya, untuk mencari suku ke-$n$ dari barisan, Anda perlu mengetahui suku ke-$n-1$ dan selisihnya $d$. Rumus seperti itu disebut berulang, karena dengan bantuannya Anda dapat menemukan nomor apa pun, hanya mengetahui yang sebelumnya (dan sebenarnya semua yang sebelumnya). Ini sangat merepotkan, jadi ada rumus yang lebih rumit yang mengurangi perhitungan apa pun menjadi suku pertama dan selisihnya:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d\]

Anda mungkin pernah menemukan rumus ini sebelumnya. Mereka suka memberikannya di semua jenis buku referensi dan reshebnik. Dan dalam buku pelajaran matematika mana pun yang masuk akal, ini adalah salah satu yang pertama.

Namun, saya sarankan Anda berlatih sedikit.

Tugas nomor 1. Tuliskan tiga suku pertama dari barisan aritmetika $\left(((a)_(n)) \right)$ jika $((a)_(1))=8,d=-5$.

Larutan. Jadi, kita tahu suku pertama $((a)_(1))=8$ dan perbedaan perkembangannya $d=-5$. Mari gunakan rumus yang baru saja diberikan dan gantikan $n=1$, $n=2$ dan $n=3$:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\kiri(1-1 \kanan)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\kiri(2-1 \kanan)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\kiri(3-1 \kanan)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Jawaban: (8; 3; -2)

Itu saja! Perhatikan bahwa perkembangan kita menurun.

Tentu saja, $n=1$ tidak dapat diganti - kita sudah mengetahui suku pertamanya. Namun, dengan mengganti unit, kami memastikan bahwa bahkan untuk suku pertama rumus kami berfungsi. Dalam kasus lain, semuanya bermuara pada aritmatika dangkal.

Tugas nomor 2. Tuliskan tiga suku pertama barisan aritmetika jika suku ketujuh adalah −40 dan suku ketujuh belas adalah −50.

Larutan. Kami menulis kondisi masalah dalam istilah biasa:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(sejajarkan) \kanan.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \Kanan.\]

Saya memasang tanda sistem karena persyaratan ini harus dipenuhi secara bersamaan. Dan sekarang kami perhatikan bahwa jika kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua (kami berhak melakukan ini, karena kami memiliki sistem), kami mendapatkan ini:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))+16d-\kiri(((a)_(1))+6d \kanan)=-50-\kiri(-40 \kanan); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Begitu saja, kami menemukan perbedaan perkembangan! Tetap mengganti nomor yang ditemukan di salah satu persamaan sistem. Misalnya, pada yang pertama:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \akhir(matriks)\]

Sekarang, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, tinggal mencari suku kedua dan ketiga:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Siap! Masalah terpecahkan.

Jawaban: (-34; -35; -36)

Perhatikan sifat menarik dari perkembangan yang kita temukan: jika kita mengambil suku $n$th dan $m$th dan mengurangkannya satu sama lain, kita mendapatkan perbedaan dari perkembangan dikalikan dengan angka $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \kiri(n-m \kanan)\]

Sederhana tapi sangat properti yang berguna, yang pasti perlu Anda ketahui - dengan bantuannya Anda dapat secara signifikan mempercepat penyelesaian banyak masalah secara bertahap. Berikut adalah contoh utama dari ini:

Tugas nomor 3. Suku kelima barisan aritmetika tersebut adalah 8,4, dan suku kesepuluhnya adalah 14,4. Temukan suku kelima belas dari perkembangan ini.

Larutan. Karena $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, dan kita perlu menemukan $((a)_(15))$, kita perhatikan hal berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Tetapi dengan kondisi $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, jadi $5d=6$, dari mana kita memiliki:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Jawaban: 20.4

Itu saja! Kami tidak perlu menyusun sistem persamaan apa pun dan menghitung suku pertama dan selisihnya - semuanya diputuskan hanya dalam beberapa baris.

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis masalah lain - pencarian anggota perkembangan yang negatif dan positif. Bukan rahasia lagi bahwa jika perkembangannya meningkat, sedangkan suku pertamanya negatif, maka cepat atau lambat suku positif akan muncul di dalamnya. Begitu pula sebaliknya: istilah perkembangan yang menurun cepat atau lambat akan menjadi negatif.

Pada saat yang sama, jauh dari selalu mungkin untuk menemukan momen ini "di dahi", secara berurutan memilah-milah elemen. Seringkali, masalah dirancang sedemikian rupa sehingga tanpa mengetahui rumusnya, perhitungan akan memakan waktu beberapa lembar - kami hanya akan tertidur sampai kami menemukan jawabannya. Oleh karena itu, kami akan mencoba menyelesaikan masalah ini dengan cara yang lebih cepat.

Tugas nomor 4. Berapa banyak suku negatif dalam deret aritmetika -38,5; -35,8; …?

Larutan. Jadi, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, dari situ kita langsung cari perbedaannya:

Perhatikan bahwa perbedaannya positif, sehingga perkembangannya meningkat. Suku pertamanya negatif, jadi memang suatu saat kita akan tersandung pada bilangan positif. Satu-satunya pertanyaan adalah kapan ini akan terjadi.

Mari kita coba mencari tahu: berapa lama (yaitu, sampai bilangan asli $n$) kenegatifan dari suku-suku tersebut dipertahankan:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Panah Kanan ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \kiri| \cdot 10 \kanan. \\ & -385+27\cdot \kiri(n-1\kanan) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Panah kanan ((n)_(\max ))=15. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Baris terakhir membutuhkan klarifikasi. Jadi kita tahu bahwa $n \lt 15\frac(7)(27)$. Di sisi lain, hanya nilai bilangan bulat dari angka yang cocok untuk kita (selain itu: $n\in \mathbb(N)$), jadi angka terbesar yang diperbolehkan adalah $n=15$, dan tidak ada kasus 16.

Tugas nomor 5. Dalam perkembangan aritmatika $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Temukan jumlah suku positif pertama dari perkembangan ini.

Ini akan menjadi masalah yang persis sama dengan yang sebelumnya, tetapi kami tidak tahu $((a)_(1))$. Tetapi istilah tetangga diketahui: $((a)_(5))$ dan $((a)_(6))$, jadi kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:

Selain itu, mari kita coba ungkapkan suku kelima dengan suku pertama dan selisihnya menggunakan rumus standar:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\kiri(n-1 \kanan)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Sekarang kita lanjutkan dengan analogi dengan masalah sebelumnya. Kami mencari tahu pada titik mana angka positif urutan kami akan muncul:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))=-162+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Panah Kanan ((n)_(\min ))=56. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Solusi bilangan bulat minimum dari pertidaksamaan ini adalah angka 56.

Harap dicatat: di penugasan terakhir semuanya bermuara pada ketidaksetaraan yang ketat, jadi opsi$n=55$ tidak cocok untuk kita.

Sekarang setelah kita mempelajari cara memecahkan masalah sederhana, mari beralih ke masalah yang lebih kompleks. Tapi pertama-tama, mari pelajari properti lain yang sangat berguna dari perkembangan aritmatika, yang akan menghemat banyak waktu dan sel yang tidak sama di masa mendatang. :)

Rata-rata aritmatika dan indentasi yang sama

Pertimbangkan beberapa suku berurutan dari deret aritmatika yang meningkat $\left(((a)_(n)) \right)$. Mari kita coba menandainya pada garis bilangan:

Anggota perkembangan aritmatika pada garis bilangan

Saya secara khusus mencatat anggota sewenang-wenang $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, dan tidak ada $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ dll. Karena aturan, yang akan saya beri tahu sekarang, berfungsi sama untuk "segmen" apa pun.

Dan aturannya sangat sederhana. Mari kita ingat rumus rekursif dan tuliskan untuk semua anggota yang ditandai:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \akhir(sejajarkan)\]

Namun, persamaan ini dapat ditulis ulang secara berbeda:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \akhir(sejajarkan)\]

Nah, jadi apa? Tetapi fakta bahwa istilah $((a)_(n-1))$ dan $((a)_(n+1))$ terletak pada jarak yang sama dari $((a)_(n)) $ . Dan jarak ini sama dengan $d$. Hal yang sama dapat dikatakan tentang istilah $((a)_(n-2))$ dan $((a)_(n+2))$ - mereka juga dihapus dari $((a)_(n) )$ dengan jarak yang sama sama dengan $2d$. Anda dapat melanjutkan tanpa batas waktu, tetapi gambar tersebut menggambarkan artinya dengan baik

Anggota deret terletak pada jarak yang sama dari pusat

Apa artinya ini untuk kita? Ini berarti Anda dapat menemukan $((a)_(n))$ jika nomor tetangga diketahui:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Kami telah menyimpulkan pernyataan yang luar biasa: setiap anggota deret aritmatika sama dengan rata-rata aritmatika anggota tetangga! Selain itu, kita dapat menyimpang dari $((a)_(n))$ kita ke kiri dan ke kanan bukan dengan satu langkah, tetapi dengan $k$ langkah — dan tetap saja rumusnya akan benar:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Itu. kita dapat dengan mudah menemukan beberapa $((a)_(150))$ jika kita tahu $((a)_(100))$ dan $((a)_(200))$, karena $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Sekilas, fakta ini mungkin tampak tidak memberi kita sesuatu yang berguna. Namun, dalam praktiknya, banyak tugas yang "dipertajam" secara khusus untuk penggunaan rata-rata aritmatika. Lihatlah:

Tugas nomor 6. Temukan semua nilai $x$ sehingga angka $-6((x)^(2))$, $x+1$ dan $14+4((x)^(2))$ adalah anggota berturut-turut dari deret aritmatika (dalam urutan tertentu).

Larutan. Karena angka-angka ini adalah anggota dari suatu perkembangan, kondisi rata-rata aritmatika dipenuhi untuk mereka: elemen pusat $x+1$ dapat dinyatakan dalam bentuk elemen tetangga:

\[\begin(sejajarkan) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Ternyata klasik persamaan kuadrat. Akarnya: $x=2$ dan $x=-3$ adalah jawabannya.

Jawaban: -3; 2.

Tugas nomor 7. Temukan nilai $$ sehingga angka $-1;4-3;(()^(2))+1$ membentuk deret aritmatika (dalam urutan itu).

Larutan. Sekali lagi, kita menyatakan suku tengah dalam bentuk rata-rata aritmetika dari suku-suku tetangga:

\[\begin(sejajarkan) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\kanan.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Persamaan kuadrat lainnya. Dan lagi dua akar: $x=6$ dan $x=1$.

Jawaban 1; 6.

Jika dalam proses memecahkan masalah Anda mendapatkan beberapa angka brutal, atau Anda tidak sepenuhnya yakin dengan kebenaran jawaban yang ditemukan, maka ada trik luar biasa yang memungkinkan Anda untuk memeriksa: apakah kami menyelesaikan masalah dengan benar?

Katakanlah di soal 6 kita mendapat jawaban -3 dan 2. Bagaimana kita bisa mengecek apakah jawaban ini benar? Mari kita sambungkan ke kondisi asli dan lihat apa yang terjadi. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa kami memiliki tiga angka ($-6(()^(2))$, $+1$ dan $14+4(()^(2))$), yang seharusnya membentuk perkembangan aritmatika. Pengganti $x=-3$:

\[\begin(sejajarkan) & x=-3\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(sejajarkan)\]

Kami mendapat angka -54; −2; 50 yang berbeda dengan 52 tidak diragukan lagi merupakan deret aritmatika. Hal yang sama terjadi untuk $x=2$:

\[\begin(sejajarkan) & x=2\Panah Kanan \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(sejajarkan)\]

Lagi-lagi perkembangan, tetapi dengan selisih 27. Dengan demikian, soal diselesaikan dengan benar. Mereka yang ingin dapat memeriksa tugas kedua sendiri, tetapi saya akan langsung mengatakan: semuanya juga benar di sana.

Secara umum, saat menyelesaikan tugas terakhir, kami menemukan tugas lain fakta yang menarik, yang juga perlu diingat:

Jika tiga angka sedemikian rupa sehingga yang kedua adalah rata-rata dari yang pertama dan terakhir, maka angka-angka ini membentuk deret aritmatika.

Kedepannya, memahami pernyataan ini akan memungkinkan kita untuk secara harfiah “membangun” perkembangan yang diperlukan berdasarkan kondisi masalah. Namun sebelum kita terlibat dalam "konstruksi" seperti itu, kita harus memperhatikan satu fakta lagi, yang langsung mengikuti dari apa yang telah kita bahas.

Pengelompokan dan penjumlahan elemen

Mari kita kembali ke garis bilangan lagi. Kami mencatat ada beberapa anggota perkembangan, di antaranya, mungkin. bernilai banyak anggota lainnya:

6 elemen ditandai pada garis bilangan

Mari kita coba ungkapkan "ekor kiri" dalam bentuk $((a)_(n))$ dan $d$, dan "ekor kanan" dalam bentuk $((a)_(k))$ dan $ d$. Ini sangat sederhana:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Sekarang perhatikan bahwa jumlah berikut sama:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(sejajarkan)\]

Sederhananya, jika kita mempertimbangkan sebagai permulaan dua elemen perkembangan, yang totalnya sama dengan sejumlah $S$, dan kemudian kita mulai melangkah dari elemen-elemen ini ke arah yang berlawanan (menuju satu sama lain atau sebaliknya untuk menjauh), Kemudian jumlah elemen yang akan kita temukan juga akan sama$S$. Ini paling baik direpresentasikan secara grafis:

Indentasi yang sama memberikan jumlah yang sama

Memahami fakta ini akan memungkinkan kita untuk memecahkan masalah secara lebih fundamental level tinggi kompleksitas daripada yang dibahas di atas. Misalnya, ini:

Tugas nomor 8. Tentukan selisih barisan aritmetika yang suku pertamanya 66, dan hasil kali suku kedua dan kedua belas adalah kemungkinan terkecil.

Larutan. Mari tulis semua yang kita ketahui:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(sejajarkan)\]

Jadi, kita tidak tahu perbedaan perkembangannya $d$. Sebenarnya, seluruh solusi akan dibangun di sekitar perbedaan, karena produk $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ dapat ditulis ulang sebagai berikut:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\kiri(66+d \kanan)\cdot \kiri(66+11d \kanan)= \\ & =11 \cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan). \end(sejajarkan)\]

Bagi mereka yang berada di dalam tangki: Saya mengambil faktor persekutuan 11 dari braket kedua. Jadi, hasil kali yang diinginkan adalah fungsi kuadrat sehubungan dengan variabel $d$. Oleh karena itu, pertimbangkan fungsi $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - grafiknya akan menjadi parabola dengan cabang ke atas, karena jika kita membuka tanda kurung, kita mendapatkan:

\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d \kanan)=11\kiri(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \kanan)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Seperti yang Anda lihat, koefisien pada suku tertinggi adalah 11 - ini nomor positif, jadi kita benar-benar berhadapan dengan parabola dengan cabang ke atas:

grafik fungsi kuadrat - parabola
Harap dicatat: parabola ini mengambil nilai minimum di puncaknya dengan absis $((d)_(0))$. Tentu saja, kita dapat menghitung absis ini sesuai dengan skema standar (ada rumus $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), tetapi akan jauh lebih masuk akal untuk perhatikan bahwa simpul yang diinginkan terletak pada simetri sumbu parabola, sehingga titik $((d)_(0))$ berjarak sama dari akar persamaan $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(sejajarkan) & f\kiri(d\kanan)=0; \\ & 11\cdot \kiri(d+66 \kanan)\cdot \kiri(d+6 \kanan)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Itu sebabnya saya tidak terburu-buru membuka tanda kurung: dalam bentuk aslinya, akarnya sangat, sangat mudah ditemukan. Oleh karena itu, absisnya sama dengan rata-rata aritmatika dari angka −66 dan −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Apa yang memberi kita nomor yang ditemukan? Dengan itu, produk yang dibutuhkan diambil nilai terkecil(Ngomong-ngomong, kami tidak menghitung $((y)_(\min ))$ - kami tidak diharuskan melakukan ini). Pada saat yang sama, angka ini merupakan selisih dari perkembangan awal, yaitu. kami menemukan jawabannya. :)

Jawaban: -36

Tugas nomor 9. Sisipkan tiga angka di antara angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac(1)(6)$ sehingga bersama-sama dengan angka yang diberikan membentuk deret aritmatika.

Larutan. Padahal, kita perlu membuat urutan lima angka, dengan yang pertama dan nomor terakhir sudah diketahui. Nyatakan angka yang hilang dengan variabel $x$, $y$ dan $z$:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \kanan\ )\]

Perhatikan bahwa angka $y$ adalah "tengah" dari deret kita - berjarak sama dari angka $x$ dan $z$, dan dari angka $-\frac(1)(2)$ dan $-\frac (1)( 6)$. Dan jika dari angka $x$ dan $z$ kita masuk saat ini kita tidak bisa mendapatkan $y$, maka situasinya berbeda dengan akhir perkembangan. Ingat rata-rata aritmatika:

Sekarang, mengetahui $y$, kita akan menemukan angka yang tersisa. Perhatikan bahwa $x$ terletak di antara $-\frac(1)(2)$ dan $y=-\frac(1)(3)$ baru saja ditemukan. Itu sebabnya

Dengan alasan yang sama, kami menemukan nomor yang tersisa:

Siap! Kami menemukan ketiga nomor tersebut. Mari kita tuliskan dalam jawaban sesuai urutan yang harus disisipkan di antara angka aslinya.

Jawaban: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tugas nomor 10. Di antara angka 2 dan 42, sisipkan beberapa angka yang bersama dengan angka yang diberikan membentuk deret aritmatika, jika diketahui jumlah angka pertama, kedua, dan terakhir dari angka yang disisipkan adalah 56.

Larutan. Tugas yang bahkan lebih sulit, yang, bagaimanapun, diselesaikan dengan cara yang sama seperti yang sebelumnya - melalui rata-rata aritmatika. Masalahnya adalah kita tidak tahu persis berapa banyak angka yang harus dimasukkan. Oleh karena itu, untuk kepastian, kami berasumsi bahwa setelah memasukkan akan ada tepat $n$ angka, dan yang pertama adalah 2, dan yang terakhir adalah 42. Dalam hal ini, perkembangan aritmatika yang diinginkan dapat direpresentasikan sebagai:

\[\kiri(((a)_(n)) \kanan)=\kiri$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \kanan$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Perhatikan, bagaimanapun, bahwa angka $((a)_(2))$ dan $((a)_(n-1))$ diperoleh dari angka 2 dan 42 yang berdiri di tepi dengan satu langkah menuju satu sama lain , yaitu . ke tengah urutan. Dan ini artinya

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Tapi kemudian ungkapan di atas dapat ditulis ulang seperti ini:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \kiri(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \kanan)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Mengetahui $((a)_(3))$ dan $((a)_(1))$, kita dapat dengan mudah menemukan perbedaan perkembangannya:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\kiri(3-1 \kanan)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Panah kanan d=5. \\ \akhir(sejajarkan)\]

Tetap hanya untuk menemukan anggota yang tersisa:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \akhir(sejajarkan)\]

Jadi, pada langkah ke-9 kita akan sampai di ujung kiri urutan - angka 42. Secara total, hanya 7 angka yang harus dimasukkan: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Jawaban: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tugas teks dengan perkembangan

Sebagai kesimpulan, saya ingin mempertimbangkan beberapa masalah yang relatif sederhana. Nah, sesederhana itu: bagi sebagian besar siswa yang belajar matematika di sekolah dan belum membaca apa yang tertulis di atas, tugas ini mungkin tampak seperti isyarat. Namun demikian, justru tugas-tugas seperti itulah yang muncul di OGE dan USE dalam matematika, jadi saya menyarankan agar Anda membiasakan diri dengannya.

Tugas nomor 11. Tim memproduksi 62 bagian pada bulan Januari, dan setiap bulan berikutnya mereka menghasilkan 14 bagian lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa bagian yang diproduksi brigade pada bulan November?

Larutan. Jelas, jumlah bagian, dicat per bulan, akan menjadi perkembangan aritmatika yang meningkat. Dan:

\[\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 14. \\ \akhir(sejajarkan)\]

November adalah bulan ke-11 dalam setahun, jadi kita perlu mencari $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Oleh karena itu, 202 suku cadang akan diproduksi pada bulan November.

Tugas nomor 12. Bengkel penjilidan buku pada bulan Januari menjilid 216 buku, dan pada bulan berikutnya menjilid 4 buku lebih banyak dari bulan sebelumnya. Berapa banyak buku yang dijilid lokakarya pada bulan Desember?

Larutan. Semua sama:

$\begin(sejajarkan) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\kiri(n-1 \kanan)\cdot 4. \\ \end(sejajarkan)$

Desember adalah bulan ke-12 terakhir dalam setahun, jadi kami mencari $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Inilah jawabannya - 260 buku akan dijilid pada bulan Desember.

Nah, jika Anda telah membaca sejauh ini, saya segera mengucapkan selamat kepada Anda: Anda telah berhasil menyelesaikan "kursus petarung muda" dalam deret aritmatika. Anda dapat dengan aman pergi ke pelajaran berikutnya, di mana kita akan mempelajari rumus penjumlahan perkembangan, serta konsekuensi penting dan sangat berguna darinya.

Atau aritmatika - ini adalah jenis urutan numerik terurut, yang sifat-sifatnya dipelajari dalam kursus aljabar sekolah. Artikel ini membahas secara rinci pertanyaan tentang bagaimana menemukan jumlah deret aritmatika.

Apa perkembangan ini?

Sebelum melanjutkan ke pertimbangan pertanyaan (bagaimana menemukan jumlah deret aritmatika), ada baiknya memahami apa yang akan dibahas.

Urutan bilangan real apa pun yang diperoleh dengan menambahkan (mengurangi) beberapa nilai dari setiap bilangan sebelumnya disebut perkembangan aljabar (aritmatika). Definisi ini, diterjemahkan ke dalam bahasa matematika, berbentuk:

Di sini i adalah bilangan urut dari elemen deret a i . Dengan demikian, hanya dengan mengetahui satu nomor awal, Anda dapat dengan mudah memulihkan seluruh rangkaian. Parameter d dalam rumus disebut perbedaan perkembangan.

Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa persamaan berikut berlaku untuk deret angka yang ditinjau:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

Yaitu, untuk mencari nilai elemen ke-n secara berurutan, tambahkan selisih d ke elemen pertama a sebanyak 1 n-1 kali.

Apa jumlah dari perkembangan aritmatika: formula

Sebelum memberikan rumus untuk jumlah yang ditunjukkan, ada baiknya mempertimbangkan yang sederhana kasus spesial. Mengingat perkembangan bilangan asli dari 1 hingga 10, Anda perlu mencari jumlahnya. Karena ada beberapa suku dalam deret (10), masalah ini dapat diselesaikan secara langsung, yaitu menjumlahkan semua elemen secara berurutan.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Perlu dipertimbangkan satu hal yang menarik: karena setiap suku berbeda dari suku berikutnya dengan nilai yang sama d \u003d 1, maka penjumlahan berpasangan dari yang pertama dengan yang kesepuluh, yang kedua dengan yang kesembilan, dan seterusnya akan memberikan hasil yang sama . Benar-benar:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Seperti yang Anda lihat, hanya ada 5 dari jumlah ini, tepatnya dua kali lebih sedikit dari jumlah elemen dalam deret. Kemudian mengalikan jumlah penjumlahan (5) dengan hasil dari setiap penjumlahan (11), Anda akan mendapatkan hasil yang diperoleh pada contoh pertama.

Jika kami menggeneralisasi argumen ini, kami dapat menulis ekspresi berikut:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ungkapan ini menunjukkan bahwa sama sekali tidak perlu menjumlahkan semua elemen dalam satu baris, cukup mengetahui nilai yang pertama a 1 dan yang terakhir a n , dan juga jumlah total syarat n.

Dipercayai bahwa Gauss pertama kali memikirkan persamaan ini ketika dia mencari solusi untuk masalah yang ditetapkan oleh guru sekolahnya: menjumlahkan 100 bilangan bulat pertama.

Jumlah elemen dari m ke n: rumus

Rumus yang diberikan di paragraf sebelumnya menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan jumlah deret aritmatika (dari elemen pertama), tetapi seringkali dalam tugas perlu menjumlahkan deret angka di tengah deret. Bagaimana cara melakukannya?

Cara termudah untuk menjawab pertanyaan ini adalah dengan mempertimbangkan contoh berikut: misalkan perlu mencari jumlah suku dari m ke n. Untuk mengatasi masalah tersebut, segmen tertentu dari m ke n dari perkembangan harus direpresentasikan sebagai deret bilangan baru. Sedemikian representasi m-th istilah a m akan menjadi yang pertama, dan a n akan diberi nomor n-(m-1). Dalam hal ini, menerapkan rumus standar untuk jumlah tersebut, ekspresi berikut akan diperoleh:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Contoh penggunaan rumus

Mengetahui cara menemukan jumlah deret aritmatika, ada baiknya mempertimbangkan contoh sederhana penggunaan rumus di atas.

Di bawah ini diberikan urutan numerik, Anda harus mencari jumlah anggotanya, mulai dari tanggal 5 dan diakhiri dengan tanggal 12:

Angka-angka yang diberikan menunjukkan bahwa selisih d sama dengan 3. Dengan menggunakan ekspresi untuk elemen ke-n, Anda dapat menemukan nilai anggota perkembangan ke-5 dan ke-12. Ternyata:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Mengetahui nilai-nilai angka di ujung deret aljabar yang dipertimbangkan, serta mengetahui angka mana dalam deret yang ditempati, Anda dapat menggunakan rumus penjumlahan yang diperoleh di paragraf sebelumnya. Mendapatkan:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Perlu dicatat bahwa nilai ini dapat diperoleh secara berbeda: pertama, temukan jumlah dari 12 elemen pertama menggunakan rumus standar, lalu hitung jumlah dari 4 elemen pertama menggunakan rumus yang sama, lalu kurangi jumlah pertama dengan yang kedua .

Populer dalam kategori: