연립방정식의 Xy 해. 선형 방정식 시스템

방정식 시스템은 경제 산업에서 다양한 프로세스의 수학적 모델링에 널리 사용됩니다. 예를 들어 관리 및 생산 계획의 문제를 해결할 때 물류 경로 ( 운송 작업) 또는 장비 배치.

방정식 시스템은 인구 크기를 찾는 문제를 해결할 때 수학 분야뿐만 아니라 물리학, 화학 및 생물학에서도 사용됩니다.

선형 방정식 시스템은 공통 솔루션을 찾는 데 필요한 여러 변수가 있는 둘 이상의 방정식에 대한 용어입니다. 모든 방정식이 진정한 평등이 되거나 그 수열이 존재하지 않는다는 것을 증명하는 일련의 숫자.

일차 방정식

ax+by=c 형식의 방정식을 선형 방정식이라고 합니다. 지정 x, y는 값을 찾아야 하는 미지수이고, b, a는 변수의 계수이고, c는 방정식의 자유항입니다.
그래프를 플로팅하여 방정식을 풀면 직선처럼 보일 것이며 모든 점은 다항식의 해입니다.

선형 방정식 시스템의 유형

가장 간단한 것은 두 개의 변수 X와 Y가 있는 선형 방정식 시스템의 예입니다.

F1(x, y) = 0 및 F2(x, y) = 0, 여기서 F1,2는 함수이고 (x, y)는 함수 변수입니다.

연립방정식 풀기 - 그것은 시스템이 진정한 평등이 되는 그러한 값(x, y)을 찾거나 x와 y의 적절한 값이 없다는 것을 확립하는 것을 의미합니다.

점 좌표로 작성된 한 쌍의 값(x, y)을 선형 방정식 시스템의 솔루션이라고 합니다.

시스템에 하나의 공통 솔루션이 있거나 솔루션이 없는 경우 등가 시스템이라고 합니다.

선형 방정식의 균질 시스템은 우변이 0인 시스템입니다. "등호" 뒤에 오른쪽 부분이 값을 가지거나 함수로 표현된다면, 그러한 시스템은 동질적이지 않습니다.

변수의 수는 2개보다 훨씬 더 많을 수 있습니다. 그러면 3개 이상의 변수가 있는 선형 방정식 시스템의 예에 대해 이야기해야 합니다.

시스템에 직면한 학생들은 방정식의 수가 반드시 미지의 수와 일치해야 한다고 가정하지만 그렇지 않습니다. 시스템의 방정식 수는 변수에 의존하지 않으며 임의로 많은 수의 방정식이 있을 수 있습니다.

방정식 시스템을 풀기 위한 간단하고 복잡한 방법

이러한 시스템을 풀기 위한 일반적인 분석 방법은 없으며 모든 방법은 수치 솔루션을 기반으로 합니다. 학교 수학 과정에서는 순열, 대수 덧셈, 대입, 그래픽 및 행렬 방법, 가우스 방법에 의한 솔루션 등의 방법을 자세히 설명합니다.

해결 방법 교육의 주요 작업은 시스템을 올바르게 분석하고 각 예제에 대한 최적의 솔루션 알고리즘을 찾는 방법을 가르치는 것입니다. 가장 중요한 것은 각 방법에 대한 규칙 및 동작 체계를 암기하는 것이 아니라 특정 방법을 적용하는 원리를 이해하는 것입니다.

프로그램 7 클래스의 선형 방정식 시스템의 예 풀이 중고등 학교아주 간단하고 자세하게 설명되어 있습니다. 어느 수학 교과서에서나 이 부분에 충분히 주의를 기울인다. Gauss 및 Cramer 방법에 의한 선형 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션은 고등 교육 기관의 첫 번째 과정에서 자세히 연구됩니다.

대체 방법에 의한 시스템 솔루션

대체 방법의 동작은 한 변수의 값을 두 번째 변수로 표현하는 데 목적이 있습니다. 식은 나머지 방정식에 대입된 다음 단일 변수 형태로 축소됩니다. 시스템의 미지의 수에 따라 작업이 반복됩니다.

대체 방법으로 7 클래스의 선형 방정식 시스템의 예를 들어 보겠습니다.

예제에서 알 수 있듯이 변수 x는 F(X) = 7 + Y로 표현되었다. 그 결과 X를 시스템의 2차 방정식에 대입하여 2차 방정식에서 하나의 변수 Y를 얻을 수 있었다. . 해결책 이 예어려움을 일으키지 않으며 Y 값을 얻을 수 있습니다. 마지막 단계이것은 수신된 값의 테스트입니다.

대입을 통해 선형 방정식 시스템의 예를 푸는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 방정식은 복잡할 수 있으며 두 번째 미지의 관점에서 변수를 표현하는 것은 추가 계산을 하기에는 너무 번거로울 것입니다. 시스템에 3개 이상의 미지수가 있는 경우 대체 솔루션도 비실용적입니다.

선형 불균일 방정식 시스템의 예에 대한 솔루션:

대수적 덧셈을 이용한 해법

덧셈법, 항별 덧셈, 방정식의 곱셈으로 계의 해를 찾을 때 다양한 숫자. 수학 연산의 궁극적인 목표는 변수가 하나인 방정식입니다.

애플리케이션용 이 방법연습과 관찰이 필요합니다. 변수의 수가 3개 이상인 덧셈법을 사용하여 선형 연립방정식을 푸는 것은 쉽지 않습니다. 대수적 덧셈은 방정식에 분수와 소수가 포함될 때 유용합니다.

솔루션 작업 알고리즘:

1. 방정식의 양쪽에 숫자를 곱하십시오. 산술 연산 결과 변수의 계수 중 하나가 1이 되어야 합니다.
2. 용어별로 결과 표현식 용어를 추가하고 미지수 중 하나를 찾으십시오.
3. 결과 값을 시스템의 2차 방정식에 대입하여 나머지 변수를 찾습니다.

새로운 변수를 도입하여 해결 방법

시스템이 2개 이하의 방정식에 대한 솔루션을 찾아야 하는 경우 새 변수를 도입할 수 있으며 미지의 수도 2개를 초과해서는 안 됩니다.

이 방법은 새 변수를 도입하여 방정식 중 하나를 단순화하는 데 사용됩니다. 입력된 미지수에 대해 새로운 방정식을 풀고 결과 값을 사용하여 원래 변수를 결정합니다.

새로운 변수 t를 도입함으로써 시스템의 1차 방정식을 표준 제곱 삼항식으로 줄일 수 있음을 예제에서 알 수 있습니다. 판별식을 찾아 다항식을 풀 수 있습니다.

잘 알려진 공식을 사용하여 판별 값을 찾아야 합니다. D = b2 - 4*a*c, 여기서 D는 원하는 판별, b, a, c는 다항식의 승수입니다. 주어진 예에서 a=1, b=16, c=39이므로 D=100입니다. 판별식이 0보다 크면 두 가지 솔루션이 있습니다. t = -b±√D / 2*a, 판별식이 0보다 작으면 솔루션은 하나뿐입니다: x= -b / 2*a.

결과 시스템에 대한 솔루션은 추가 방법으로 찾을 수 있습니다.

시스템 해결을 위한 시각적 방법

방정식이 3개인 시스템에 적합합니다. 시스템에 포함된 각 방정식의 그래프를 좌표축에 그리는 방식이다. 곡선의 교차점 좌표는 시스템의 일반적인 솔루션이 됩니다.

그래픽 방법에는 여러 가지 뉘앙스가 있습니다. 선형 방정식 시스템을 시각적으로 해결하는 몇 가지 예를 고려하십시오.

예에서 볼 수 있듯이 각 라인에 대해 두 개의 점이 구성되었으며 변수 x의 값은 0과 3으로 임의로 선택되었습니다. x 값을 기준으로 y 값을 찾았습니다. 3과 0. 좌표가 (0, 3)과 (3, 0)인 점을 그래프에 표시하고 선으로 연결하였다.

두 번째 방정식에 대해 단계를 반복해야 합니다. 선의 교차점은 시스템의 솔루션입니다.

다음 예에서는 선형 방정식 시스템(0.5x-y+2=0 및 0.5x-y-1=0)에 대한 그래픽 솔루션을 찾아야 합니다.

예제에서 볼 수 있듯이 그래프가 평행하고 전체 길이를 따라 교차하지 않기 때문에 시스템에는 솔루션이 없습니다.

예제 2와 3의 시스템은 유사하지만 구성할 때 솔루션이 다르다는 것이 명백해집니다. 시스템에 솔루션이 있는지 여부를 항상 말할 수 있는 것은 아니며 그래프를 작성하는 것이 항상 필요하다는 점을 기억해야 합니다.

매트릭스와 그 종류

매트릭스는 다음 용도로 사용됩니다. 약어선형 방정식 시스템. 행렬은 숫자로 채워진 특별한 유형의 테이블입니다. n*m에는 n - 행과 m - 열이 있습니다.

열과 행의 수가 같을 때 행렬은 정사각형입니다. 행렬-벡터는 무한히 가능한 행 수를 가진 단일 열 행렬입니다. 대각선 중 하나를 따라 단위가 있고 다른 요소가 0인 행렬을 항등이라고 합니다.

역행렬은 원래의 1이 단위 1이 되는 것을 곱하면 원래의 정사각형에 대해서만 존재하는 행렬입니다.

방정식 시스템을 행렬로 변환하는 규칙

방정식 시스템과 관련하여 방정식의 계수 및 자유 구성원은 행렬의 숫자로 작성되며 하나의 방정식은 행렬의 한 행입니다.

행의 적어도 하나의 요소가 0이 아닌 경우 행렬 행을 0이 아닌 행이라고 합니다. 따라서 방정식에서 변수의 수가 다른 경우 누락된 미지수 대신 0을 입력해야 합니다.

행렬의 열은 변수와 정확히 일치해야 합니다. 이것은 변수 x의 계수가 하나의 열에만 기록될 수 있음을 의미합니다. 예를 들어 첫 번째는 알 수 없는 y의 계수입니다.

행렬을 곱할 때 모든 행렬 요소에 숫자가 연속적으로 곱해집니다.

역행렬을 찾기 위한 옵션

역행렬을 찾는 공식은 매우 간단합니다: K -1 = 1 / |K|, 여기서 K -1은 역행렬이고 |K| - 행렬 결정자. |케이| 0이 아니어야 합니다. 그러면 시스템에 솔루션이 있습니다.

행렬식은 2x2 행렬에 대해 쉽게 계산되며 요소를 서로 대각선으로 곱하기만 하면 됩니다. "three by three" 옵션의 경우 공식 |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c가 있습니다. 3 + a 3b 2c 1 . 수식을 사용하거나 요소의 열과 행 번호가 제품에서 반복되지 않도록 각 행과 각 열에서 하나의 요소를 가져와야 함을 기억할 수 있습니다.

매트릭스 방법에 의한 선형 방정식 시스템의 예 솔루션

해를 구하는 행렬 방법을 사용하면 많은 수의 변수와 방정식이 있는 시스템을 풀 때 번거로운 항목을 줄일 수 있습니다.

이 예에서 a nm은 방정식의 계수이고 행렬은 벡터 x n은 변수이고 b n은 자유 항입니다.

가우스 방법에 의한 시스템 솔루션

고등 수학에서는 가우스 방법을 크래머 방법과 함께 연구하는데, 시스템에 대한 해를 찾는 과정을 가우스-크래머 해결 방법이라고 합니다. 이러한 방법은 찾는 데 사용됩니다. 시스템 변수선형 방정식이 많습니다.

가우스 방법은 대체 및 대수적 덧셈 솔루션과 매우 유사하지만 더 체계적입니다. 학교 과정에서 가우시안 솔루션은 3 및 4 방정식의 시스템에 사용됩니다. 이 방법의 목적은 시스템을 역 사다리꼴 형태로 만드는 것입니다. 대수 변환 및 대체를 통해 한 변수의 값이 시스템 방정식 중 하나에서 발견됩니다. 두 번째 등식은 미지수가 2개, 변수가 각각 3개와 4개인 식입니다.

시스템을 설명된 형식으로 가져온 후 추가 솔루션은 알려진 변수를 시스템 방정식으로 순차적으로 대체하는 것으로 축소됩니다.

안에 학교 교과서등급 7의 경우 Gauss 방법에 의한 솔루션의 예는 다음과 같이 설명됩니다.

예에서 볼 수 있듯이 단계 (3)에서 두 개의 방정식 3x 3 -2x 4 =11 및 3x 3 +2x 4 =7을 얻었습니다. 방정식의 해를 통해 변수 x n 중 하나를 찾을 수 있습니다.

본문에 언급된 정리 5는 시스템의 방정식 중 하나를 동등한 것으로 대체하면 결과 시스템도 원래 시스템과 동일하다고 명시되어 있습니다.

가우스 방법은 학생들이 이해하기 어렵습니다. 고등학교, 그러나 가장 흥미로운 방법수학 및 물리 수업에서 고급 학습 프로그램에 등록한 어린이의 독창성을 개발합니다.

계산을 쉽게 기록하려면 다음을 수행하는 것이 일반적입니다.

방정식 계수와 자유 항은 행렬의 형태로 작성되며, 여기서 행렬의 각 행은 시스템의 방정식 중 하나에 해당합니다. 방정식의 좌변을 우변에서 분리합니다. 로마 숫자는 시스템의 방정식 수를 나타냅니다.

먼저 작업할 매트릭스를 기록한 다음 행 중 하나로 수행되는 모든 작업을 기록합니다. 결과 행렬은 "화살표" 기호 뒤에 작성되며 결과가 나올 때까지 필요한 대수 연산을 계속 수행합니다.

결과적으로 대각선 중 하나가 1이고 다른 모든 계수가 0 인 행렬, 즉 행렬이 단일 형식으로 축소되는 행렬을 얻어야합니다. 방정식의 양변의 숫자로 계산하는 것을 잊지 말아야 합니다.

이 표기법은 번거롭지 않으며 수많은 알려지지 않은 항목을 나열하여 산만해지지 않도록 합니다.

해결 방법을 자유롭게 적용하려면 주의와 어느 정도의 경험이 필요합니다. 모든 방법이 적용되는 것은 아닙니다. 해결책을 찾는 어떤 방법은 인간 활동의 특정 영역에서 더 선호되는 반면, 다른 방법은 학습 목적으로 존재합니다.

1. 대체 방법: 시스템의 모든 방정식에서 미지수를 다른 것으로 표현하고 시스템의 두 번째 방정식으로 대체합니다.

일.연립방정식 풀기:

해결책.시스템의 첫 번째 방정식에서 우리는 다음을 표현합니다. ~에~을 통해 엑스시스템의 두 번째 방정식에 대입하십시오. 시스템을 잡자 원본과 동일합니다.

이러한 용어를 가져온 후 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다.

두 번째 방정식에서 다음을 찾습니다. 이 값을 방정식에 대입 ~에 = 2 - 2엑스, 우리는 얻는다 ~에= 3. 따라서 이 시스템의 솔루션은 한 쌍의 숫자 입니다.

2. 대수적 덧셈 방법: 두 개의 방정식을 더하여 하나의 변수를 갖는 방정식을 얻습니다.

일.시스템 방정식을 풉니다.

해결책.두 번째 방정식의 양변에 2를 곱하면 시스템을 얻습니다. 원본과 동일합니다. 이 시스템의 두 방정식을 추가하면 시스템에 도달합니다.

유사한 용어를 줄인 후 이 시스템은 다음과 같은 형식을 취합니다. 두 번째 방정식에서 우리는 . 이 값을 방정식 3에 대입 엑스 + 4~에= 5, 우리는 얻는다 , 어디 . 따라서 이 시스템의 솔루션은 한 쌍의 숫자 입니다.

3. 새로운 변수를 도입하는 방법: 우리는 시스템에서 반복되는 표현을 찾고 있으며, 이를 새로운 변수로 표시하여 시스템의 형태를 단순화합니다.

일.연립방정식 풀기:

해결책.이 시스템을 다르게 작성해 보겠습니다.

허락하다 엑스 + 와이 = 유, 후 = V.그런 다음 시스템을 얻습니다.

대입법으로 풀어보자. 시스템의 첫 번째 방정식에서 우리는 다음을 표현합니다. 유~을 통해 V시스템의 두 번째 방정식에 대입하십시오. 시스템을 잡자 저것들.

우리가 찾은 시스템의 두 번째 방정식에서 V 1 = 2, V 2 = 3.

이 값을 방정식에 대입 유 = 5 - V, 우리는 얻는다 유 1 = 3,
유 2 = 2. 그러면 두 개의 시스템이 있습니다.

첫 번째 시스템을 풀면 두 쌍의 숫자 (1; 2), (2; 1)을 얻습니다. 두 번째 시스템에는 솔루션이 없습니다.

독립 작업을 위한 연습

1. 대입법을 사용하여 연립방정식을 풉니다.

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지침

추가 방법.
서로 아래에 두 개를 엄격하게 작성해야 합니다.

549+45y+4y=-7, 45y+4y=549-7, 49y=542, y=542:49, y≈11.
임의로 선택한 (시스템에서) 방정식에 이미 찾은 "게임" 대신 숫자 11을 삽입하고 두 번째 미지수를 계산합니다.

X=61+5*11, x=61+55, x=116.
이 연립방정식의 답은 x=116, y=11입니다.

그래픽 방식.
그것은 방정식 시스템에서 선이 수학적으로 쓰여지는 점의 좌표를 실제로 찾는 것으로 구성됩니다. 동일한 좌표계에서 두 선의 그래프를 개별적으로 그려야 합니다. 일반 보기: - y \u003d kx + b. 직선을 그리려면 두 점의 좌표를 찾는 것으로 충분하며 x는 임의로 선택됩니다.
시스템을 제공하자: 2x - y \u003d 4

Y \u003d -3x + 1.
직선은 첫 번째에 따라 작성되며 편의를 위해 y \u003d 2x-4로 작성해야 합니다. x에 대한 (더 쉬운) 값을 찾아 방정식에 대입하고 해결하고 y를 찾으십시오. 직선이 만들어지는 두 점이 얻어집니다. (그림 참조)
x 0 1

y -4 -2
직선은 두 번째 방정식 y \u003d -3x + 1에 따라 구성됩니다.
또한 라인을 구축합니다. (그림 참조)

1-5
그래프에서 두 개의 구성된 선의 교차점 좌표를 찾으십시오 (선이 교차하지 않으면 방정식 시스템에 없습니다).

관련 동영상

유용한 조언

같은 연립방정식이 3개로 풀린다면 다른 방법들, 대답은 동일합니다(솔루션이 올바른 경우).

출처:

• 대수 8학년
• 온라인에서 두 개의 미지수로 방정식 풀기
• 두 개의 선형 방정식 풀이 시스템의 예

체계 방정식각각 특정 수의 변수를 포함하는 수학적 레코드 모음입니다. 이를 해결하는 방법에는 여러 가지가 있습니다.

필요할 것이예요

• -자 및 연필;
• -계산자.

지침

a1x + b1y = c1 및 a2x + b2y = c2 형식의 선형 방정식으로 구성된 시스템 해결 순서를 고려하십시오. 여기서 x와 y는 알 수 없는 변수이고 b,c는 자유 멤버입니다. 이 방법을 적용할 때 각 시스템은 각 방정식에 해당하는 점의 좌표입니다. 첫째, 각각의 경우에 하나의 변수를 다른 변수로 표현하십시오. 그런 다음 x 변수를 임의 개수의 값으로 설정합니다. 2개면 충분합니다. 방정식에 연결하고 y를 찾으십시오. 좌표계를 만들고 그 위에 얻은 점을 표시하고 직선을 그립니다. 시스템의 다른 부분에 대해서도 유사한 계산을 수행해야 합니다.

시스템에는 유일한 결정, 구성된 선이 교차하고 하나인 경우 공통점. 서로 평행하면 일관성이 없습니다. 그리고 선이 서로 병합되면 무한히 많은 솔루션이 있습니다.

이 방법은 매우 명확한 것으로 간주됩니다. 주요 단점은 계산된 미지수가 근사값을 갖는다는 것입니다. 보다 정확한 결과는 소위 대수적 방법에 의해 제공됩니다.

방정식 시스템에 대한 모든 솔루션은 확인할 가치가 있습니다. 이렇게하려면 변수 대신 얻은 값을 대체하십시오. 여러 가지 방법으로 솔루션을 찾을 수도 있습니다. 시스템의 솔루션이 올바르다면 모든 사람이 같은 결과를 얻어야 합니다.

종종 용어 중 하나를 알 수 없는 방정식이 있습니다. 방정식을 풀려면 이 숫자를 사용하여 일련의 특정 작업을 기억하고 수행해야 합니다.

필요할 것이예요

• - 종이;
• - 펜 또는 연필.

지침

당신 앞에 8마리의 토끼가 있고 5개의 당근만 있다고 상상해보세요. 각 토끼가 당근을 받을 수 있도록 당근을 더 사야 한다고 생각하세요.

이 문제를 방정식의 형태로 표현해 봅시다: 5 + x = 8. x를 숫자 3으로 대체합시다. 실제로 5 + 3 = 8입니다.

x에 숫자를 대입하면 8에서 5를 빼는 것과 같은 연산을 수행한 것입니다. 따라서 찾기 위해 알려지지 않은항, 합계에서 알려진 항을 뺍니다.

토끼 20마리와 당근 5개만 있다고 가정해 봅시다. 작곡하자 . 방정식은 포함 된 문자의 특정 값에 대해서만 유지되는 평등입니다. 찾으려는 값의 문자가 호출됩니다. 미지수가 하나인 방정식을 작성하고 이를 x라고 합니다. 토끼에 대한 우리의 문제를 풀 때, 다음 방정식이 얻어집니다: 5 + x = 20.

20과 5의 차이를 찾아봅시다. 뺄셈을 할 때 빼는 숫자가 줄어듭니다. 빼는 숫자를 이라고 하고 최종 결과를 차이라고 합니다. 그래서, x = 20 - 5; x = 15. 토끼를 위해 당근 15개를 사야 합니다.

확인하세요: 5 + 15 = 20. 등식이 맞습니다. 물론 언제 우리 대화하는 중이 야이러한 간단한 것들은 점검할 필요가 없습니다. 그러나 3자리, 4자리 등의 방정식에 관해서는 작업 결과를 절대적으로 확신할 수 있도록 확인하는 것이 필수적입니다.

관련 동영상

유용한 조언

알 수 없는 피감수를 찾으려면 차이에 감수를 더해야 합니다.

미지수를 구하려면 피감수에서 차를 빼야 합니다.

팁 4: 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템을 푸는 방법

3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템은 충분한 수의 방정식에도 불구하고 해를 갖지 못할 수 있습니다. 대체 방법이나 Cramer 방법을 사용하여 해결을 시도할 수 있습니다. Cramer의 방법은 시스템을 푸는 것 외에도 미지의 값을 찾기 전에 시스템이 풀 수 있는지 여부를 평가할 수 있습니다.

지침

대체 방법은 미지수 1개에서 다른 2개를 순차적으로 입력하고 얻은 결과를 시스템의 방정식에 대입하는 방식입니다. 세 방정식의 시스템이 다음과 같이 주어진다고 하자. 일반적인 견해:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - 첫 번째 방정식에서 x를 표현하고 두 번째 및 세 번째 방정식에 대입하고 두 번째 방정식에서 y를 표현하고 세 번째 방정식에 대입합니다. 시스템 방정식의 계수를 통해 z에 대한 선형 표현을 얻을 수 있습니다. 이제 "뒤로" 이동: z를 두 번째 방정식에 연결하고 y를 찾은 다음 z와 y를 첫 번째 방정식에 연결하고 x를 찾습니다. 프로세스는 일반적으로 z를 찾을 때까지 그림에 표시됩니다. 또한 일반적인 형식의 레코드는 너무 번거로울 것입니다. 실제로 대체하면 세 가지 미지수를 모두 쉽게 찾을 수 있습니다.

Cramer의 방법은 시스템의 행렬을 컴파일하고 이 행렬의 행렬식과 세 개의 추가 행렬을 계산하는 것으로 구성됩니다. 시스템의 행렬은 방정식의 미지 항에 있는 계수로 구성됩니다. 방정식의 오른쪽에 있는 숫자를 포함하는 열, 오른쪽의 열. 시스템에서는 사용하지 않지만 시스템을 풀 때 사용합니다.

관련 동영상

메모

시스템의 모든 방정식은 다른 방정식과 독립적인 추가 정보를 제공해야 합니다. 그렇지 않으면 시스템이 미달 결정되고 명확한 솔루션을 찾을 수 없습니다.

유용한 조언

연립방정식을 푼 후 찾은 값을 원래의 연립방정식에 대입하여 모든 방정식을 만족하는지 확인한다.

저절로 방정식셋으로 알려지지 않은솔루션이 많기 때문에 대부분 두 가지 방정식 또는 조건으로 보완됩니다. 초기 데이터가 무엇인지에 따라 결정 과정이 크게 달라집니다.

필요할 것이예요

• - 3개의 미지수가 있는 3개의 방정식 시스템.

지침

3개 시스템 중 2개 시스템에 3개 미지수 중 2개만 있는 경우 일부 변수를 다른 시스템으로 표현하고 방정식셋으로 알려지지 않은. 이것으로 당신의 목표는 그것을 정상으로 바꾸는 것입니다 방정식미지와 함께. 이것이 이면 추가 솔루션은 매우 간단합니다. 찾은 값을 다른 방정식으로 대체하고 다른 모든 미지수를 찾으십시오.

일부 방정식 시스템은 한 방정식에서 다른 방정식으로 뺄 수 있습니다. 두 개의 미지수가 한 번에 줄어들도록 by 또는 변수 중 하나를 곱하는 것이 가능한지 확인하십시오. 그러한 기회가 있다면 그것을 사용하십시오. 아마도 후속 결정은 어렵지 않을 것입니다. 숫자를 곱할 때 좌변과 우변을 모두 곱해야 한다는 점을 잊지 마십시오. 마찬가지로 방정식을 뺄 때 우변도 빼야 한다는 점을 기억하십시오.

만약에 이전 방법도움이 되지 않았습니다. 3개의 방정식을 푸는 일반적인 방법을 사용하십시오. 알려지지 않은. 이렇게하려면 a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3 형식으로 방정식을 다시 작성하십시오. 이제 x에서 계수 행렬(A), 미지 행렬(X) 및 자유 행렬(B)을 만듭니다. 계수 행렬에 미지수 행렬을 곱하면 행렬, 자유 멤버 행렬, 즉 A * X \u003d B를 얻을 수 있습니다.

를 찾은 후 행렬 A의 거듭제곱(-1)을 찾습니다. 0이 아니어야 합니다. 그런 다음 결과 행렬에 행렬 B를 곱하면 결과적으로 모든 값을 나타내는 원하는 행렬 X를 얻을 수 있습니다.

또한 Cramer 방법을 사용하여 세 방정식의 시스템에 대한 솔루션을 찾을 수 있습니다. 이렇게 하려면 시스템의 행렬에 해당하는 3차 결정자 ∆를 찾으십시오. 그런 다음 해당 열의 값 대신 자유 항의 값을 대체하여 세 개의 결정 요인 Δ1, Δ2 및 Δ3을 연속적으로 찾습니다. 이제 x를 찾습니다: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

출처:

• 미지수가 3개인 방정식의 해

방정식 시스템을 풀기 시작하면서 이 방정식이 무엇인지 알아내십시오. 선형 방정식을 푸는 방법은 잘 연구되어 있습니다. 비선형 방정식은 대부분 해결되지 않습니다. 특별한 경우는 하나 뿐이며 각 사례는 실질적으로 개별적입니다. 따라서 해결 방법에 대한 연구는 선형 방정식으로 시작해야 합니다. 이러한 방정식은 순전히 알고리즘으로도 풀 수 있습니다.

발견된 미지수의 분모는 정확히 동일합니다. 예, 분자는 구성의 일부 패턴을 볼 수 있습니다. 연립방정식의 차원이 2보다 큰 경우 소거 방법은 매우 번거로운 계산으로 이어집니다. 이를 방지하기 위해 순전히 알고리즘 솔루션이 개발되었습니다. 가장 간단한 것은 Cramer의 알고리즘(Cramer의 공식)입니다. 당신이 알아야 할 일반 시스템 n 방정식의 방정식.

n개의 미지수가 있는 n개의 선형 대수 방정식 시스템은 다음과 같은 형식을 갖습니다(그림 1a 참조). 그것에서, aij는 시스템의 계수이고,
хj – 미지수, bi – 자유 구성원(i=1, 2, ... , n; j=1, 2, ... , n). 이러한 시스템은 행렬 형식 AX=B로 간단하게 작성할 수 있습니다. 여기서 A는 시스템의 계수 행렬, X는 미지수의 열 행렬, B는 자유 항의 열 행렬입니다(그림 1b 참조). Cramer의 방법에 따르면 각각의 미지수 xi =∆i/∆ (i=1,2…,n)입니다. 계수 행렬의 행렬식 ∆를 주 행렬식이라고 하고 ∆i를 보조 행렬이라고 합니다. 알 수 없는 각 항목에 대해 주 결정자의 i번째 열을 자유 구성원 열로 대체하여 보조 결정자를 찾습니다. 2차 및 3차 시스템의 경우에 대한 Cramer의 방법은 그림 1에 자세히 나와 있습니다. 2.

시스템은 각각 두 개 이상의 미지수를 갖는 두 개 이상의 등식의 합집합입니다. 프레임워크에서 사용되는 선형 방정식 시스템을 푸는 두 가지 주요 방법이 있습니다. 학교 커리큘럼. 그 중 하나는 메서드라고 하고 다른 하나는 추가 메서드입니다.

2방정식의 표준형

~에 표준 양식첫 번째 방정식은 a1*x+b1*y=c1이고, 두 번째 방정식은 a2*x+b2*y=c2입니다. 예를 들어, 주어진 a1, a2, b1, b2, c1, c2 모두에서 시스템의 두 부분의 경우 특정 방정식으로 표시되는 일부 수치 계수입니다. 차례로 x와 y는 값을 결정해야 하는 미지수입니다. 원하는 값은 두 방정식을 동시에 진정한 평등으로 바꿉니다.

추가 방법에 의한 시스템 솔루션

시스템을 해결하기 위해, 즉 x와 y를 진정한 평등으로 바꿀 값을 찾으려면 몇 가지 간단한 단계를 수행해야 합니다. 이들 중 첫 번째는 두 방정식에서 변수 x 또는 y에 대한 수치 계수가 절대값에서 일치하지만 부호에서 다른 방식으로 방정식을 변환하는 것입니다.

예를 들어 두 개의 방정식으로 구성된 시스템이 있다고 가정합니다. 첫 번째는 2x+4y=8 형식이고 두 번째는 6x+2y=6 형식입니다. 작업을 완료하기 위한 옵션 중 하나는 두 번째 방정식에 인수 -2를 곱하여 -12x-4y=-12 형식이 되도록 하는 것입니다. 계수의 올바른 선택은 미지수를 찾는 절차의 전체 추가 과정을 결정하기 때문에 추가 방법으로 시스템을 해결하는 과정에서 핵심 작업 중 하나입니다.

이제 시스템의 두 방정식을 추가해야 합니다. 분명히, 값은 같지만 부호 계수가 반대인 변수의 상호 소멸은 -10x=-4 형식으로 이어집니다. 그 후, x=0.4를 명확하게 따르는 이 간단한 방정식을 풀어야 합니다.

솔루션 프로세스의 마지막 단계는 변수 중 하나에서 찾은 값을 시스템에서 사용할 수 있는 초기 등식으로 대체하는 것입니다. 예를 들어 x=0.4를 첫 번째 방정식에 대입하면 y=1.8에서 2*0.4+4y=8이라는 표현식을 얻을 수 있습니다. 따라서 x=0.4 및 y=1.8은 예제에 표시된 시스템의 근입니다.

근을 제대로 찾았는지 확인하려면 찾은 값을 시스템의 두 번째 방정식에 대입하여 확인하는 것이 좋습니다. 예를 들어, 이 경우 0.4*6+1.8*2=6 형식의 등식을 얻습니다. 이는 정확합니다.

관련 동영상

두 가지 유형의 방정식 풀이 시스템을 분석합니다.

1. 대체 방법에 의한 시스템의 솔루션.
2. 계 방정식의 항별 덧셈(뺄셈)에 의한 계의 해법.

연립방정식을 풀기 위해 대체 방법간단한 알고리즘을 따라야 합니다.
1. 우리는 표현합니다. 모든 방정식에서 하나의 변수를 표현합니다.
2. 대체. 표현된 변수 대신 다른 방정식으로 대입하여 결과 값을 얻습니다.
3. 하나의 변수로 결과 방정식을 풉니다. 우리는 시스템에 대한 해결책을 찾습니다.

해결하다 용어별 덧셈(뺄셈)에 의한 시스템필요하다:
1. 동일한 계수를 만들 변수를 선택합니다.
2. 방정식을 더하거나 뺍니다. 결과적으로 하나의 변수가 있는 방정식을 얻습니다.
3. 결과 선형 방정식을 풉니다. 우리는 시스템에 대한 해결책을 찾습니다.

시스템의 솔루션은 함수 그래프의 교차점입니다.

예제를 사용하여 시스템 솔루션을 자세히 살펴보겠습니다.

예 #1:

대입법으로 풀자

대입법으로 연립방정식 풀기

2x+5y=1 (1 등식)
x-10y=3 (2차 방정식)

1. 익스프레스
두 번째 방정식에서 계수가 1인 변수 x가 있음을 알 수 있으므로 두 번째 방정식에서 변수 x를 표현하는 것이 가장 쉽다는 것을 알 수 있습니다.
x=3+10년

2. 표현 후 첫 번째 식에 변수 x 대신 3 + 10y를 대입한다.
2(3+10년)+5년=1

3. 하나의 변수로 결과 방정식을 풉니다.
2(3+10y)+5y=1 (괄호 열기)
6+20년+5년=1
25년=1-6
25년=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0.2

방정식 시스템의 솔루션은 그래프의 교차점이므로 교차점이 x와 y로 구성되어 있으므로 x와 y를 찾아야합니다. 우리가 표현한 첫 번째 단락에서 y를 대체하여 x를 찾으십시오.
x=3+10년
x=3+10*(-0.2)=1

처음에는 점을 쓰고 변수 x를 쓰고 두 번째로 변수 y를 쓰는 것이 일반적입니다.
답변: (1; -0.2)

예 #2:

항별 덧셈(뺄셈)으로 풀어봅시다.

덧셈법으로 연립방정식 풀기

3x-2y=1(1 방정식)
2x-3y=-10 (2차 방정식)

1. 변수를 선택합니다. x를 선택한다고 가정해 보겠습니다. 첫 번째 방정식에서 변수 x의 계수는 3이고 두 번째 -2입니다. 계수를 동일하게 만들어야하므로 방정식을 곱하거나 숫자로 나눌 권리가 있습니다. 첫 번째 방정식에 2를 곱하고 두 번째 방정식에 3을 곱하여 총 계수 6을 얻습니다.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9년=-30

2. 첫 번째 방정식에서 두 번째 방정식을 빼 변수 x를 제거하고 선형 방정식을 풉니다.
__6x-4y=2

5년=32 | :5
y=6.4

3. x를 찾습니다. 우리는 방정식 중 하나에서 찾은 y를 대체합니다. 첫 번째 방정식에서 말해 봅시다.
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12.8
3x=13.8 |:3
x=4.6

교차점은 x=4.6이 됩니다. y=6.4
답변: (4.6; 6.4)

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