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세그먼트에서 함수의 가장 작은 값과 가장 큰 값. 함수의 가장 큰 값을 찾는 방법

기능하자 y=에프(엑스)세그먼트에서 연속 [ 가, 나]. 알려진 바와 같이 이 세그먼트의 이러한 기능은 최대값과 최소값에 도달합니다. 함수는 세그먼트의 내부 지점에서 이러한 값을 취할 수 있습니다. [ 가, 나] 또는 세그먼트의 경계에 있습니다.

간격에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으려면 [ 가, 나] 필요한:

1) 간격( 가, 나);

2) 발견된 임계점에서 함수 값을 계산합니다.

3) 세그먼트의 끝에서 함수 값을 계산합니다. 엑스=ㅏ및 x = 비;

4) 함수의 계산된 모든 값에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다.

예.함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값 찾기

세그먼트에.

중요 포인트 찾기:

이 점은 세그먼트 내부에 있습니다. 와이(1) = ‒ 3; 와이(2) = ‒ 4; 와이(0) = ‒ 8; 와이(3) = 1;

그 시점에 엑스= 3 그리고 그 지점에서 엑스= 0.

볼록성과 변곡점에 대한 함수 조사.

기능 와이 = 에프 (엑스) ~라고 불리는 볼록사이 (ㅏ, 비) , 그래프가 이 간격의 임의의 지점에서 그려진 접선 아래에 있고 호출되는 경우 아래로 볼록(오목)그래프가 탄젠트 위에 있는 경우.

볼록이 오목으로 대체되거나 그 반대가 되는 전환 지점을 호출합니다. 변곡점.

볼록성과 변곡점을 연구하기 위한 알고리즘:

1. 2종의 임계점, 즉 2차 도함수가 0이거나 존재하지 않는 점을 찾습니다.

2. 수직선에 임계점을 놓고 간격을 두십시오. 각 구간에서 2차 도함수의 부호를 찾습니다. 이면 함수는 위쪽으로 볼록하고, 만약 이면 함수는 아래쪽으로 볼록합니다.

3. 제2종 임계점을 지날 때 부호가 바뀌고 이때 이차 도함수가 0이면 이 점이 변곡점의 가로 좌표입니다. 좌표를 찾으십시오.

함수 그래프의 점근선. 점근선에 대한 함수 조사.

정의.함수 그래프의 점근선은 다음과 같습니다. 똑바로, 그래프의 임의의 점에서 이 선까지의 거리가 원점에서 그래프 점을 무제한 제거하면 0이 되는 경향이 있는 속성이 있습니다.

세 가지 유형의 점근선이 있습니다: 수직, 수평 및 경사.

정의.직접 전화 수직 점근선함수 그래프 와이 = 에프(엑스), 이 지점에서 함수의 단측 극한 중 적어도 하나가 무한대와 같으면, 즉

여기서 는 함수의 불연속점, 즉 정의 영역에 속하지 않습니다.

예.

디( 와이) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

엑스= 2 - 중단점.

정의.똑바로 y=ㅏ~라고 불리는 수평 점근선함수 그래프 와이 = 에프(엑스)에서 , 만약

예.

엑스
와이

정의.똑바로 y=케이엑스 +비 (케이≠ 0)이라고 부른다 비스듬한 점근선함수 그래프 와이 = 에프(엑스)어디에

함수 및 플로팅 연구를 위한 일반적인 체계.

기능 연구 알고리즘와이 = 에프(엑스) :

1. 함수의 도메인 찾기 디 (와이).

2. 그래프와 좌표축의 교차점을 찾습니다(가능한 경우). 엑스= 0에서 와이 = 0).

3. 짝수 함수와 홀수 함수를 조사합니다( 와이 (‒ 엑스) = 와이 (엑스) ‒ 동등; 와이(‒ 엑스) = ‒ 와이 (엑스) ‒ 이상한).

4. 함수 그래프의 점근선을 찾으십시오.

5. 함수의 단조성 구간을 찾습니다.

6. 함수의 극값을 찾습니다.

7. 볼록(concavity)의 간격과 함수 그래프의 변곡점을 구한다.

8. 수행한 연구를 바탕으로 함수의 그래프를 구성한다.

예.함수를 조사하고 그래프를 플로팅합니다.

1) 디 (와이) =

엑스= 4 - 중단점.

2) 언제 엑스 = 0,

(0; – 5) – 교차점 어이.

~에 와이 = 0,

3) 와이(‒ 엑스)= 기능 일반적인 견해(짝수도 홀수도 아님).

4) 점근선을 조사합니다.

a) 수직

b) 수평

c) 비스듬한 점근선을 찾으십시오.

‒비스듬한 점근선 방정식

5) 이 방정식에서 함수의 단조 구간을 찾을 필요는 없습니다.

이러한 임계점은 (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) 및 (10; +∞) 구간에서 함수의 전체 영역을 분할합니다. 얻어진 결과를 다음 표와 같이 제시하는 것이 편리하다.

종종 물리학과 수학에서 다음을 찾아야 합니다. 가장 작은 값기능. 이를 수행하는 방법을 알려 드리겠습니다.

함수의 가장 작은 값을 찾는 방법: 명령어

주어진 간격에서 연속 함수의 가장 작은 값을 계산하려면 다음 알고리즘을 따라야 합니다.
함수의 미분을 찾으십시오.
주어진 세그먼트에서 도함수가 0이 되는 지점과 모든 임계점을 찾습니다. 그런 다음이 지점에서 함수 값을 찾으십시오. 즉, x가 0 인 방정식을 푸십시오. 가장 작은 값을 찾으십시오.
함수가 끝점에서 갖는 값을 찾으십시오. 이 지점에서 함수의 가장 작은 값을 결정합니다.
수신된 데이터를 가장 작은 값과 비교합니다. 받은 숫자 중 작은 것이 함수의 가장 작은 값이 됩니다.

세그먼트의 함수에 가장 작은 포인트가 없는 경우 이는 이 세그먼트에서 함수가 증가하거나 감소함을 의미합니다. 따라서 함수의 유한 세그먼트에서 가장 작은 값을 계산해야 합니다.

다른 모든 경우에는 지정된 알고리즘에 따라 함수 값이 계산됩니다. 알고리즘의 각 단계에서 간단한 문제를 해결해야 합니다. 일차 방정식하나의 뿌리로. 실수를 피하기 위해 그림을 사용하여 방정식을 풉니다.

반 열린 세그먼트에서 함수의 가장 작은 값을 찾는 방법은 무엇입니까? 반쯤 열려 있거나 오픈 기간함수에서 가장 작은 값은 다음과 같이 찾아야 합니다. 함수 값의 끝점에서 함수의 단측 극한을 계산합니다. 즉, 경향점이 a+0과 b+0 값으로 주어지는 방정식을 풉니다. 여기서 a와 b는 임계점의 이름입니다.

이제 함수의 가장 작은 값을 찾는 방법을 알았습니다. 가장 중요한 것은 모든 계산을 정확하고 정확하며 오류 없이 수행하는 것입니다.

그리고 그것을 해결하려면 주제에 대한 최소한의 지식이 필요합니다. 다음 학년도가 끝나고 모두가 휴가를 가고 싶어하며이 순간을 더 가깝게 만들기 위해 즉시 사업에 착수합니다.

지역부터 시작합시다. 조건에서 언급된 지역은 제한된 닫은 평면의 점 집합입니다. 예를 들어, ENTIRE 삼각형을 포함하여 삼각형으로 경계가 지정된 일련의 점 (만약 국경최소 한 지점을 "돌려내면" 영역이 더 이상 닫히지 않습니다.). 실제로 직사각형, 원형 및 약간 더 많은 영역도 있습니다. 복잡한 모양. 수학적 분석 이론에서는 엄격한 정의가 제공된다는 점에 유의해야 합니다. 제한, 격리, 경계 등, 하지만 모든 사람이 직관적인 수준에서 이러한 개념을 알고 있다고 생각하며 지금은 더 이상 필요하지 않습니다.

평평한 영역은 문자로 표준으로 표시되며 일반적으로 여러 방정식으로 분석적으로 제공됩니다. (반드시 선형은 아님); 덜 자주 불평등. 전형적인 언어 회전율: "라인으로 제한된 폐쇄 영역".

고려중인 작업의 필수적인 부분은 도면의 영역 구성입니다. 그것을하는 방법? 나열된 모든 선을 그릴 필요가 있습니다(에서 이 경우 3 똑바로) 무슨 일이 있었는지 분석합니다. 원하는 영역은 일반적으로 가볍게 부화되고 테두리는 굵은 선으로 강조 표시됩니다.

동일한 영역을 설정할 수 있습니다. 선형 불평등: 어떤 이유로 열거 목록으로 더 자주 작성되며 체계.
경계는 지역에 속하므로 모든 불평등은 물론 엄격하지 않은.

그리고 이제 문제의 핵심입니다. 축이 좌표 원점에서 직선으로 이동한다고 상상해보십시오. 함수를 고려하십시오. 마디 없는 각지역 점. 이 함수의 그래프는 표면, 작은 행복은 오늘날의 문제를 해결하기 위해 이 표면이 어떻게 생겼는지 전혀 알 필요가 없다는 것입니다. 평면 위, 아래, 교차 위치에 있을 수 있습니다. 이 모든 것이 중요하지 않습니다. 그리고 다음 사항이 중요합니다. Weierstrass 정리, 마디 없는 V 제한된 폐쇄영역, 기능은 최대에 도달 ("가장 높은")그리고 최소한 ("가장 낮은")찾을 값. 이 값은 달성됩니다 또는 V 고정점, 지역에 속하는디 , 또는이 영역의 경계에 있는 지점에서. 다음은 간단하고 투명한 솔루션 알고리즘입니다.

예 1

제한된 폐쇄구역

해결책: 우선 도면에 영역을 그려야 합니다. 안타깝게도 이 문제에 대한 대화식 모델을 만드는 것은 기술적으로 어렵기 때문에 연구 중에 발견된 모든 "의심스러운" 지점을 보여주는 최종 그림을 즉시 제공하겠습니다. 일반적으로 그것들은 발견되는 대로 차례로 내려놓습니다:

서문에 따라 결정은 편리하게 두 가지로 나눌 수 있습니다.

I) 고정점을 찾아봅시다. 이것은 수업에서 반복적으로 수행한 표준 작업입니다. 여러 변수의 극값에 대해:

고정점을 찾았습니다. 속한다지역: (도면에 표시), 이는 주어진 지점에서 함수의 값을 계산해야 함을 의미합니다.

- 기사에서와 같이 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값, 중요한 결과를 굵게 표시하겠습니다. 공책에서는 연필로 동그라미를 치는 것이 편리합니다.

우리의 두 번째 행복에 주목 - 확인의 의미가 없습니다 극한의 충분조건. 왜? 예를 들어 기능이 도달하는 지점에서 지역 최소값, 이것은 결과 값이 최소지역 전체 (수업 시작 부분 참조 무조건적인 극단에 대해) .

고정점이 해당 영역에 속하지 않으면 어떻게 됩니까? 거의 아무것도! 이 점에 유의하고 다음 단락으로 이동해야 합니다.

II) 우리는 지역의 경계를 조사합니다.

테두리는 삼각형의 변으로 구성되어 있으므로 연구를 3개의 하위 단락으로 나누는 것이 편리합니다. 그러나 어쨌든하지 않는 것이 좋습니다. 내 관점에서 처음에는 좌표축에 평행한 세그먼트를 고려하는 것이 더 유리하며 무엇보다도 축 자체에 있는 세그먼트를 고려하는 것이 더 유리합니다. 행동의 전체 순서와 논리를 파악하려면 "한숨에"결말을 연구하십시오.

1) 삼각형의 아래쪽을 다루겠습니다. 이를 위해 다음 함수로 직접 대체합니다.

또는 다음과 같이 할 수 있습니다.

기하학적으로 이것은 좌표평면이 (또한 방정식에 의해 제공됨)에서 "잘라내기" 표면"공간"포물선, 그 상단은 즉시 의심됩니다. 알아 보자 그녀는 어디 있습니까:

- 결과 값이 해당 영역에서 "적중"되며 해당 지점에서 그럴 수 있습니다. (도면에 표시)함수는 전체 영역에서 가장 큰 값 또는 가장 작은 값에 도달합니다. 어쨌든 계산을 해봅시다.

다른 "후보"는 물론 세그먼트의 끝입니다. 포인트에서 함수 값 계산 (도면에 표시):

그런데 여기에서 "제거된" 버전에 대한 구두 미니 점검을 수행할 수 있습니다.

2) 삼각형의 우변을 연구하기 위해 이를 함수로 대체하고 "거기에 물건을 정리합니다":

여기에서 이미 처리된 세그먼트의 끝을 "울리는" 대략적인 확인을 즉시 수행합니다.
, 엄청난.

기하학적 상황은 이전 포인트와 관련이 있습니다.

- 결과 값도 "관심 범위에 들어갔습니다". 즉, 나타난 지점에서 함수가 무엇인지 계산해야 합니다.

세그먼트의 두 번째 끝을 살펴보겠습니다.

기능 사용 , 점검 해보자:

3) 나머지 면을 탐색하는 방법은 누구나 알고 있을 것입니다. 함수로 대체하고 단순화를 수행합니다.

줄 끝 이미 조사되었지만 초안에서 함수를 올바르게 찾았는지 여전히 확인합니다. :
– 첫 번째 하위 단락의 결과와 일치;
– 두 번째 하위 단락의 결과와 일치합니다.

세그먼트 내부에 흥미로운 것이 있는지 확인해야 합니다.

- 있다! 방정식에 직선을 대입하면 이 "흥미로움"의 세로 좌표를 얻습니다.

도면에 점을 표시하고 함수의 해당 값을 찾습니다.

"예산"버전에 따라 계산을 제어합시다 :
, 주문하다.

그리고 마지막 단계: 모든 "뚱뚱한" 숫자를 주의 깊게 살펴보십시오. 초보자라도 단일 목록을 만드는 것이 좋습니다.

가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택합니다. 답변문제를 찾는 스타일로 쓰기 세그먼트에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값:

만일을 대비하여 결과의 기하학적 의미에 대해 다시 한 번 언급하겠습니다.
- 여기가 가장 고점해당 지역의 표면 ;
- 여기가 해당 지역의 지표면에서 가장 낮은 지점입니다.

분석된 문제에서 7개의 "의심스러운" 지점을 찾았지만 그 수는 작업마다 다릅니다. 삼각형 영역의 경우 최소 "탐색 세트"는 3개의 점으로 구성됩니다. 이것은 예를 들어 함수가 다음을 설정할 때 발생합니다. 비행기-정지점이없고 함수가 삼각형 꼭지점에서만 최대 / 최소값에 도달 할 수 있다는 것이 분명합니다. 그러나 그러한 예는 한 번, 두 번 없습니다. 일반적으로 어떤 종류의 문제를 처리해야 합니다. 2차 표면.

이러한 작업을 조금 해결하면 삼각형이 머리를 돌릴 수 있으므로 사각형으로 만드는 특이한 예를 준비했습니다 :))

예 2

함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값 찾기 선으로 둘러싸인 폐쇄된 공간에서

예 3

제한된 닫힌 영역에서 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾습니다.

계산 오류를 거의 완전히 피할 수 있는 중간 검사 체인뿐만 아니라 영역 경계를 탐색하는 합리적인 순서와 기술에 특별한 주의를 기울이십시오. 일반적으로 원하는대로 해결할 수 있지만 예를 들어 동일한 예 2와 같은 일부 문제에서는 삶을 상당히 복잡하게 만들 기회가 있습니다. 샘플 샘플수업이 끝나면 과제를 마무리합니다.

우리는 솔루션 알고리즘을 체계화합니다. 그렇지 않으면 거미의 부지런함으로 첫 번째 예의 긴 주석 스레드에서 어떻게 든 길을 잃었습니다.

- 첫 번째 단계에서 영역을 만들고 음영 처리하는 것이 바람직하며 테두리를 굵은 선으로 강조 표시합니다. 해결하는 동안 도면에 배치해야 하는 점이 나타납니다.

– 고정점을 찾아 함수의 값을 계산합니다. 그들에서만, 영역에 속하는 . 얻은 값은 텍스트에서 강조 표시됩니다(예: 연필로 동그라미 표시). 정지 지점이 영역에 속하지 않는 경우 이 사실을 아이콘이나 구두로 표시합니다. 고정 점이 전혀 없으면 부재라는 서면 결론을 내립니다. 어쨌든 이 항목은 건너뛸 수 없습니다!

– 국경 지역 탐험. 첫째, 좌표축과 평행한 직선을 다루는 것이 유리하다. (있는 경우). "의심스러운" 지점에서 계산된 함수 값도 강조 표시됩니다. 위의 솔루션 기술에 대해 많이 언급되었으며 아래에서 다른 내용이 언급될 것입니다. 읽고, 다시 읽고, 탐구하십시오!

- 선택한 숫자에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 선택하고 답을 제공하십시오. 때로는 함수가 한 번에 여러 지점에서 이러한 값에 도달하는 경우가 있습니다. 이 경우 이러한 모든 지점이 답변에 반영되어야 합니다. 예를 들어, 이것이 가장 작은 값이라는 것이 밝혀졌습니다. 그럼 우리는 그것을 씁니다

마지막 예는 실제로 유용한 다른 유용한 아이디어에 전념합니다.

예 4

닫힌 영역에서 함수의 최대값과 최소값 찾기 .

나는 면적이 이중 부등식으로 주어진 저자의 공식을 유지했습니다. 이 조건은 동등한 시스템 또는 이 문제에 대한 보다 전통적인 형식으로 작성할 수 있습니다.

나는 당신에게 상기시켜줍니다 비선형에서 불평등이 발생했으며 항목의 기하학적 의미를 이해하지 못하는 경우 지체하지 말고 지금 상황을 명확히 하십시오 ;-)

해결책, 항상 그렇듯이 일종의 "단독"인 지역 건설로 시작됩니다.

흠, 때로는 과학의 화강암뿐만 아니라 ....

I) 고정점 찾기:

바보의 꿈 시스템 :)

고정점은 영역에 속하며, 즉 경계에 있습니다.

그래서 그것은 아무것도 아닙니다 ... 재미있는 수업이 진행되었습니다-바로 차를 마시는 것이 의미합니다 =)

II) 우리는 지역의 경계를 조사합니다. 더 이상 고민하지 않고 x축부터 시작하겠습니다.

1) 그렇다면

포물선의 상단이 어디에 있는지 찾으십시오.
-그런 순간을 감사하십시오-모든 것이 이미 명확한 지점까지 "히트"하십시오. 그러나 다음을 확인하는 것을 잊지 마십시오.

세그먼트 끝에서 함수 값을 계산해 봅시다.

2) 우리는 "한 번에" "단독"의 아래쪽 부분을 다룰 것입니다. 복잡한 기능없이 기능으로 대체하고 세그먼트에만 관심을 가질 것입니다.

제어:

이제 이것은 널링 트랙에서 단조로운 주행에 이미 약간의 부흥을 가져오고 있습니다. 중요한 포인트를 찾아봅시다:

우리는 결정한다 이차 방정식이거 기억나? ... 그러나 물론 기억하십시오. 그렇지 않으면이 줄을 읽지 않았을 것입니다 =) 이전의 두 예제에서 소수점 이하 계산이 편리했다면 (그런데 드문 경우입니다) 여기서 우리는 보통의 일반 분수. "x" 근을 찾고 방정식을 사용하여 "후보" 지점의 해당 "게임" 좌표를 결정합니다.

찾은 지점에서 함수 값을 계산해 봅시다.

기능을 직접 확인하십시오.

이제 우리는 원 트로피를 신중하게 연구하고 기록합니다. 답변:

여기에 "후보자"가 있으므로 "후보자"입니다!

독립 실행형 솔루션의 경우:

실시예 5

함수의 최소값과 최대값 찾기 폐쇄된 공간에서

중괄호가 있는 항목은 다음과 같이 읽습니다. "a set of points such that".

때때로 그러한 예에서 그들은 사용합니다 라그랑주 승수 방법, 그러나 그것을 사용할 실제 필요성은 발생하지 않을 것입니다. 예를 들어, 동일한 영역 "de"를 가진 함수가 주어지면, 그 함수로 대체한 후 - 어려움이 없는 미분으로; 또한 위쪽 반원과 아래쪽 반원을 별도로 고려할 필요 없이 모든 것이 "한 줄"(기호 포함)에 그려집니다. 그러나 물론 더 많은 것이 있습니다 어려운 경우, 여기서 라그랑주 함수가 없는 경우 (여기서 예를 들어 는 동일한 원 방정식입니다.)지내기가 어렵습니다-좋은 휴식없이 지내는 것이 얼마나 힘든 일입니까!

최선을 다해 세션을 통과하고 다음 시즌에 곧 뵙겠습니다!

솔루션 및 답변:

예 2: 해결책: 도면에 영역을 그립니다.

함수의 극값이란 무엇이며 극값의 필요조건은 무엇입니까?

함수의 극한값은 함수의 최대값과 최소값입니다.

함수의 최대값과 최소값(극값)에 필요한 조건은 다음과 같습니다. 함수 f(x)가 점 x = a에서 극값을 갖는 경우 이 점에서 도함수는 0이거나 무한대이거나 존재하지 않습니다.

이 조건은 필요하지만 충분하지는 않습니다. 점 x = a에서의 도함수는 사라지거나, 무한대로 가거나, 이 점에서 극값을 갖는 함수 없이 존재하지 않을 수 있습니다.

함수의 극한값(최대 또는 최소)에 대한 충분 조건은 무엇입니까?

첫 번째 조건:

점 x = a에 충분히 근접한 경우 미분 f?(x)가 a의 왼쪽에서 양수이고 a의 오른쪽에서 음수이면 점 x = a 자체에서 함수 f(x)는 다음을 갖습니다. 최고

점 x = a에 충분히 근접한 경우 미분 f(x)가 a의 왼쪽에서 음수이고 a의 오른쪽에서 양수이면 점 x = a 자체에서 함수 f(x)는 다음을 갖습니다. 최저한의함수 f(x)가 여기서 연속인 경우.

대신 함수의 극한값에 대해 두 번째 충분 조건을 사용할 수 있습니다.

점 x =에서 1차 도함수 f?(x)가 사라진다고 하자. 2차 도함수 f??(а)가 음수이면 함수 f(x)는 점 x = a에서 최대값을 갖고, 양수이면 최소값을 갖습니다.

함수의 임계점은 무엇이며 어떻게 찾을 수 있습니까?

이것은 함수가 극값(즉, 최대값 또는 최소값)을 갖는 함수 인수의 값입니다. 그것을 찾으려면 필요합니다 미분을 찾으십시오함수 f?(x) 그리고 그것을 0과 같게 하면, 방정식을 풀다 f?(x) = 0. 이 방정식의 근과 이 함수의 도함수가 존재하지 않는 지점은 임계점, 즉 극한값이 있을 수 있는 인수의 값입니다. . 그들은 쉽게 식별할 수 있습니다 미분 그래프: 함수의 그래프가 가로축(Ox 축)과 교차하는 인수의 값과 그래프가 중단되는 인수의 값에 관심이 있습니다.

예를 들어 찾아보자 포물선의 극한.

함수 y(x) = 3x2 + 2x - 50.

함수 도함수: y?(x) = 6x + 2

우리는 방정식을 풉니다: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

이 경우 임계점은 x0=-1/3입니다. 함수가 가지고 있는 인수의 이 값에 대한 것입니다. 극단. 그것을 얻기 위해 찾다, "x" 대신 함수에 대한 표현식에서 찾은 숫자를 대체합니다.

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

함수의 최대값과 최소값을 결정하는 방법, 즉 가장 큰 값과 가장 작은 값은?

임계점 x0을 지날 때 도함수의 부호가 "플러스"에서 "마이너스"로 바뀌면 x0는 최대 포인트; 도함수의 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌면 x0은 최소 포인트; 부호가 변경되지 않으면 x0 지점에 최대값도 최소값도 없습니다.

고려된 예의 경우:

우리는 왼쪽에 있는 인수의 임의의 값을 취합니다. 임계점: x = -1

x = -1일 때 미분의 값은 y?(-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4(즉, 빼기 부호)가 됩니다.

이제 우리는 임계점의 오른쪽에 있는 인수의 임의의 값을 취합니다: x = 1

x = 1인 경우 미분 값은 y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8(즉, 더하기 기호)이 됩니다.

보시다시피 임계점을 지날 때 미분의 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌었습니다. 이것은 x0의 임계값에서 최소점이 있음을 의미합니다.

함수의 최대값과 최소값 간격에(세그먼트에서) 모든 임계점이 지정된 간격 내에 있지 않을 수 있다는 사실만 고려하여 동일한 절차로 찾습니다. 간격 밖에 있는 임계점은 고려 대상에서 제외해야 합니다. 간격 내에 임계점이 하나만 있는 경우 최대값 또는 최소값을 갖습니다. 이 경우 함수의 가장 큰 값과 가장 작은 값을 결정하기 위해 간격 끝에서 함수 값도 고려합니다.

예를 들어 함수의 최대값과 최소값을 찾아보자

y (x) \u003d 3 sin (x)-0.5x

간격으로:

따라서 함수의 도함수는

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

우리는 방정식 3cos(x) - 0.5 = 0을 풉니다.

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

간격 [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667)-2π * 2 \u003d -11.163 (간격에 포함되지 않음)

x \u003d -arccos (0.16667)-2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667)-2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (간격에 포함되지 않음)

인수의 임계 값에서 함수 값을 찾습니다.

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

구간 [-9; 9] 최고 가치이 함수는 x = -4.88에 있습니다.

x = -4.88, y = 5.398,

그리고 가장 작은 - x = 4.88에서:

x = 4.88, y = -5.398.

간격 [-6; -3] 임계점이 하나뿐입니다: x = -4.88. x = -4.88에서 함수 값은 y = 5.398입니다.

간격의 끝에서 함수 값을 찾습니다.

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

간격 [-6; -3] 우리는 함수의 가장 큰 값을 가지고 있습니다

y = 5.398, x = -4.88

가장 작은 값은

x = -3에서 y = 1.077

함수 그래프의 변곡점을 찾고 볼록면과 오목면을 결정하는 방법은 무엇입니까?

y \u003d f (x) 선의 모든 변곡점을 찾으려면 2 차 도함수를 찾고 0과 동일시하고 (방정식 풀기) 2 차 도함수가 0 인 x의 모든 값을 테스트해야합니다 , 무한 또는 존재하지 않습니다. 이러한 값 중 하나를 통과할 때 2차 도함수의 부호가 변경되면 함수의 그래프는 이 지점에서 굴곡이 있습니다. 변하지 않으면 변곡점이 없습니다.

방정식 f ? (x) = 0, 함수의 불연속점과 2차 도함수는 함수의 영역을 여러 간격으로 나눕니다. 각 간격에서의 볼록성은 2차 미분의 부호에 의해 결정됩니다. 연구 중인 구간의 한 지점에서 2차 도함수가 양수이면 선 y = f(x)는 여기서 위쪽으로 오목하고 음수이면 아래쪽으로 오목합니다.

두 변수의 함수의 극한값을 찾는 방법은 무엇입니까?

할당 영역에서 미분 가능한 함수 f(x, y)의 극한값을 찾으려면 다음이 필요합니다.

1) 임계점을 찾고 이를 위해 연립방정식을 푼다.

에프엑스? (x,y) = 0, fy? (x,y) = 0

2) 각 임계점 P0(a;b)에 대해 차이의 부호가 변하지 않는지 조사합니다.

P0에 충분히 가까운 모든 점(x; y)에 대해. 차이가 양의 부호를 유지하면 점 P0에서 최소값이 되고 음수이면 최대값이 됩니다. 차이가 부호를 유지하지 않으면 점 Р0에 극한값이 없습니다.

유사하게 함수의 극한값은 더 많은 수의 인수에 대해 결정됩니다.

함수의 극값이란 무엇이며 극값의 필요조건은 무엇입니까?

함수의 극한값은 함수의 최대값과 최소값입니다.

함수의 극한값(최대 또는 최소)에 대한 충분 조건은 무엇입니까?

첫 번째 조건:

점 x = a에 충분히 근접한 경우 미분 f?(x)가 a의 왼쪽에서 양수이고 a의 오른쪽에서 음수이면 점 x = a 자체에서 함수 f(x)는 다음을 갖습니다. 최고

대신 함수의 극한값에 대해 두 번째 충분 조건을 사용할 수 있습니다.

점 x =에서 1차 도함수 f?(x)가 사라진다고 하자. 2차 도함수 f??(а)가 음수이면 함수 f(x)는 점 x = a에서 최대값을 갖고, 양수이면 최소값을 갖습니다.

함수의 임계점은 무엇이며 어떻게 찾을 수 있습니까?

예를 들어 찾아보자 포물선의 극한.

함수 y(x) = 3x2 + 2x - 50.

함수 도함수: y?(x) = 6x + 2

우리는 방정식을 풉니다: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

함수의 최대값과 최소값을 결정하는 방법, 즉 가장 큰 값과 가장 작은 값은?

고려된 예의 경우:

임계점의 왼쪽에 있는 인수의 임의 값을 취합니다: x = -1

x = -1일 때 미분의 값은 y?(-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4(즉, 빼기 부호)가 됩니다.

이제 우리는 임계점의 오른쪽에 있는 인수의 임의의 값을 취합니다: x = 1

x = 1인 경우 미분 값은 y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8(즉, 더하기 기호)이 됩니다.

보시다시피 임계점을 지날 때 미분의 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌었습니다. 이것은 x0의 임계값에서 최소점이 있음을 의미합니다.

예를 들어 함수의 최대값과 최소값을 찾아보자

y (x) \u003d 3 sin (x)-0.5x

간격으로:

따라서 함수의 도함수는

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

우리는 방정식 3cos(x) - 0.5 = 0을 풉니다.

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± arccos (0.16667) + 2πk.

간격 [-9; 9]:

x \u003d arccos (0.16667)-2π * 2 \u003d -11.163 (간격에 포함되지 않음)

x \u003d -arccos (0.16667)-2π * 1 \u003d -7.687

x \u003d arccos (0.16667)-2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

x \u003d arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (간격에 포함되지 않음)

인수의 임계 값에서 함수 값을 찾습니다.

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

구간 [-9; 9] 함수는 x = -4.88에서 가장 큰 값을 갖습니다.

x = -4.88, y = 5.398,

그리고 가장 작은 - x = 4.88에서:

x = 4.88, y = -5.398.

간격 [-6; -3] 임계점이 하나뿐입니다: x = -4.88. x = -4.88에서 함수 값은 y = 5.398입니다.

간격의 끝에서 함수 값을 찾습니다.

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

간격 [-6; -3] 우리는 함수의 가장 큰 값을 가지고 있습니다

y = 5.398, x = -4.88

가장 작은 값은

x = -3에서 y = 1.077

함수 그래프의 변곡점을 찾고 볼록면과 오목면을 결정하는 방법은 무엇입니까?

두 변수의 함수의 극한값을 찾는 방법은 무엇입니까?

할당 영역에서 미분 가능한 함수 f(x, y)의 극한값을 찾으려면 다음이 필요합니다.

1) 임계점을 찾고 이를 위해 연립방정식을 푼다.

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2) 각 임계점 P0(a;b)에 대해 차이의 부호가 변하지 않는지 조사합니다.

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