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산술 진행의 지정. 대수학: 산술 및 기하 진행

이론적 정보

이론적 정보

	산술 진행	기하학적 진행
정의	산술 진행 엔두 번째부터 시작하여 각 구성원이 이전 구성원과 같고 같은 번호로 추가되는 시퀀스가 호출됩니다. 디 (디- 진행차이)	기하 진행 비앤 0이 아닌 일련의 숫자가 호출되며, 두 번째부터 시작하여 각 용어는 이전 용어에 같은 숫자를 곱한 것과 같습니다. 큐 (큐- 진행의 분모)
반복되는 공식	어떤 자연 N n + 1 = n + d	어떤 자연 N bn + 1 = bn ∙ q, bn ≠ 0
n번째 항 공식	n = 1 + d (n-1)	b n \u003d b 1 ∙ q n-1, b n ≠ 0
특성
처음 n항의 합

댓글이 있는 작업의 예

연습 1

안에 산술 진행 (엔) 1 = -6, 2

n번째 항의 공식에 따르면:

22 = 1+d(22 - 1) = 1+ 21일

조건별:

1= -6이므로 22= -6 + 21d.

진행의 차이를 찾는 것이 필요합니다.

d= 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

답변 : 22 = -48.

작업 2

기하 수열의 다섯 번째 항 찾기: -3; 6;....

첫 번째 방법(n항 공식 사용)

기하 수열의 n번째 멤버의 공식에 따르면:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5-1 = b1 ∙ q4.

왜냐하면 b1 = -3,

두 번째 방법(재귀 수식 사용)

수열의 분모가 -2(q = -2)이므로 다음과 같습니다.

나 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

나 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

나 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

답변 : 나 5 = -48.

작업 3

산술 진행에서 ( 엔) 74 = 34; 76= 156. 이 수열의 75번째 항을 찾으십시오.

산술 진행의 경우 특성 속성의 형식은 다음과 같습니다. .

그러므로:

수식에서 데이터를 대체합니다.

답: 95.

작업 4

산술 진행에서 ( 안 ) 안= 3n - 4. 처음 17항의 합을 구합니다.

산술 진행의 처음 n 항의 합을 찾기 위해 두 가지 공식이 사용됩니다.

어느 것 이 경우사용하기 더 편리?

조건에 따라 원래 진행의 n번째 멤버의 공식을 알 수 있습니다( 엔) 엔= 3n - 4. 즉시 찾을 수 있으며 1, 그리고 16 d 를 찾지 않고 . 따라서 첫 번째 공식을 사용합니다.

답: 368.

작업 5

산술 진행에서 엔) 1 = -6; 2= -8. 진행의 20초 항을 찾으십시오.

n번째 항의 공식에 따르면:

22 = 1 + d (22 – 1) = 1+ 21d.

조건으로 하면 1= -6이면 22= -6 + 21d. 진행의 차이를 찾는 것이 필요합니다.

d= 2 – 1 = -8 – (-6) = -2

22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

답변 : 22 = -48.

작업 6

기하학적 수열의 여러 연속 용어가 기록됩니다.

문자 x 로 표시되는 진행 기간을 찾습니다.

풀 때 n번째 항에 대한 공식을 사용합니다. bn \u003d b1 ∙ qn-1기하학적 진행을 위해. 진행의 첫 번째 멤버. 수열 q의 분모를 찾으려면 수열의 이러한 항 중 하나를 취하여 이전 항으로 나누어야 합니다. 이 예에서는 취하고 나눌 수 있습니다. 우리는 q \u003d 3을 얻습니다. 주어진 기하 수열의 세 번째 항을 찾아야하기 때문에 n 대신 공식에서 3을 대체합니다.

찾은 값을 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.

답변 : .

작업 7

n번째 항의 공식에 의해 주어진 산술 수열에서 조건을 만족하는 것을 선택하십시오. 27 > 9:

수열의 27번째 항은 지정된 조건을 만족해야 하므로 4개의 수열 각각에 n 대신 27을 대입합니다. 4번째 진행에서 다음을 얻습니다.

답변: 4.

작업 8

산술 진행에서 1= 3, d = -1.5. 지정 최고 가치 n , 이에 대한 부등식 엔 > -6.

산술 진행 문제는 고대부터 존재해 왔습니다. 그들은 실질적인 필요가 있었기 때문에 나타나 해결책을 요구했습니다.

그래서 파피루스 중 하나에서 고대 이집트, 수학적 내용이 있는 Rhind 파피루스(기원전 19세기)에는 다음과 같은 작업이 포함되어 있습니다.

그리고 고대 그리스인의 수학적 작업에는 산술 진행과 관련된 우아한 정리가 있습니다. 그래서 많은 흥미로운 문제를 수집하고 유클리드의 "원소"에 14번째 책을 추가한 알렉산드리아의 Hypsicles(2세기)는 다음과 같은 아이디어를 정식화했습니다. 금액보다 더회원 수의 1/2의 정사각형에 1 위 회원.

시퀀스 an이 표시됩니다. 시퀀스의 번호는 멤버라고 하며 일반적으로 이 멤버의 일련 번호를 나타내는 인덱스가 있는 문자로 표시됩니다(a1, a2, a3 ... 읽기: "a 1st", "a 2nd", "a 3rd" 등).

시퀀스는 무한하거나 유한할 수 있습니다.

산술 진행이란 무엇입니까? 앞항(n)에 수열의 차이인 같은 수 d를 더한 것으로 이해된다.

만약 d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0이면 이러한 진행이 증가하는 것으로 간주됩니다.

산술 수열은 첫 번째 용어 중 몇 개만 고려되는 경우 유한하다고 합니다. 회원 수가 매우 많기 때문에 이미 무한 진행.

모든 산술 진행은 다음 공식으로 제공됩니다.

an =kn+b, b와 k는 숫자입니다.

그 반대의 진술은 절대적으로 사실입니다. 시퀀스가 유사한 공식으로 주어지면 이것은 정확히 다음과 같은 속성을 갖는 산술 수열입니다.

진행의 각 구성원은 이전 구성원과 다음 구성원의 산술 평균입니다.
반대: 두 번째부터 시작하여 각 항이 이전 항과 다음 항의 산술 평균인 경우, 즉 조건이 충족되면 주어진 시퀀스는 산술 수열입니다. 이 평등은 동시에 진행의 표시이므로 일반적으로 진행의 특징적인 속성이라고합니다.
같은 방식으로, 이 속성을 반영하는 정리는 참입니다. 수열은 두 번째부터 시작하여 수열의 구성원 중 하나에 대해 이 동등성이 참인 경우에만 산술 수열입니다.

산술 수열의 임의의 네 수에 대한 특성 속성은 n + m = k + l(m, n, k는 수열의 수임)인 경우 an + am = ak + al 공식으로 표현할 수 있습니다.

산술 진행에서 필요한 (N번째) 항은 다음 공식을 적용하여 찾을 수 있습니다.

예를 들어, 산술 수열의 첫 번째 항(a1)이 주어지고 3이고 차이(d)는 4입니다. 이 진행의 45번째 항을 찾아야 합니다. a45 = 1+4(45-1)=177

공식 an = ak + d(n - k)를 사용하면 다음을 결정할 수 있습니다. n번째 항알려진 경우 k 번째 항을 통한 산술 진행.

산술 진행의 구성원 합계(최종 진행의 첫 번째 n 구성원으로 가정)는 다음과 같이 계산됩니다.

Sn = (a1+an) n/2.

첫 번째 용어도 알고 있으면 계산에 편리한 다른 공식이 있습니다.

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n 항을 포함하는 산술 수열의 합은 다음과 같이 계산됩니다.

계산 공식의 선택은 작업 조건 및 초기 데이터에 따라 다릅니다.

1,2,3,...,n,...-와 같은 모든 숫자의 자연수 가장 간단한 예산술 진행.

산술 진행 외에도 자체 속성과 특성을 가진 기하학적 진행도 있습니다.

수업 유형:새로운 자료 학습.

수업 목표:

산술 진행을 사용하여 해결된 과제에 대한 학생들의 생각의 확장 및 심화; 산술 진행의 처음 n 구성원의 합에 대한 공식을 유도할 때 학생들의 검색 활동 구성
새로운 지식을 독립적으로 습득하는 기술 개발, 이미 습득한 지식을 사용하여 과제를 달성합니다.
얻은 사실을 일반화하려는 욕구와 필요성의 발달, 독립성의 발달.

작업:

"산술 진행" 주제에 대한 기존 지식을 일반화하고 체계화합니다.
산술 수열의 처음 n개 요소의 합을 계산하기 위한 공식을 유도합니다.
다양한 문제를 해결하는 데 얻은 공식을 적용하는 방법을 가르칩니다.
수식의 값을 찾는 절차에 학생들의 관심을 끕니다.

장비:

그룹 및 쌍 작업을 위한 작업 카드;
평가지;
프레젠테이션"산술 진행".

I. 기본 지식의 실현.

1. 독립적 인 일파리에서.

첫 번째 옵션:

산술 진행을 정의합니다. 산술 수열을 정의하는 재귀 공식을 작성하십시오. 산술 진행의 예를 제시하고 그 차이를 표시하십시오.

두 번째 옵션:

산술 진행의 n번째 항에 대한 공식을 적으십시오. 산술 진행의 100번째 항 찾기( 엔}: 2, 5, 8 …
이때 학생 2명 반대쪽보드는 동일한 질문에 대한 답변을 준비합니다.
학생들은 칠판과 비교하여 파트너의 작업을 평가합니다. (답변이 담긴 전단지가 전달됩니다).

2. 게임 순간.

연습 1.

선생님.나는 몇 가지 산술 진행을 생각했습니다. 답변 후이 진행의 7 번째 멤버를 신속하게 지명 할 수 있도록 두 가지 질문 만하십시오. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

학생들의 질문.

진행의 여섯 번째 기간은 무엇이며 차이점은 무엇입니까?
진행의 여덟 번째 용어는 무엇이며 차이점은 무엇입니까?

더 이상 질문이 없으면 교사는 d (차이)에 대한 "금지", 즉 차이점이 무엇인지 물어볼 수 없도록 자극 할 수 있습니다. 다음과 같은 질문을 할 수 있습니다. 진행의 6번째 항은 무엇이며 진행의 8번째 항은 무엇입니까?

작업 2.

칠판에는 20개의 숫자가 쓰여 있습니다. 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

선생님은 칠판에 등을 대고 서 있습니다. 학생들은 숫자의 숫자를 말하고 교사는 즉시 숫자 자체를 호출합니다. 어떻게 할 수 있는지 설명해 주시겠습니까?

교사는 n번째 용어의 공식을 기억합니다. n \u003d 3n-2주어진 n 값을 대입하여 해당 값을 찾습니다. 엔.

II. 교육 과제 진술.

나는 이집트 파피루스에서 발견된 기원전 2천년으로 거슬러 올라가는 오래된 문제를 해결할 것을 제안합니다.

일:“너희에게 이르되 보리 열 석을 열 사람에게 나누라 각 사람과 이웃의 차이는 그 8분의 1이니라”

이 문제는 산술 진행이라는 주제와 어떤 관련이 있습니까? (다음 사람은 측정값의 1/8을 더 가져가므로 차이는 d=1/8, 10명이므로 n=10입니다.)
숫자 10이 무엇을 의미한다고 생각하세요? (진행 중인 모든 구성원의 합입니다.)
문제의 상태에 따라 보리를 쉽고 간단하게 나누기 위해 또 무엇을 알아야 할까요? (진행의 첫 번째 용어.)

수업 목표- 수, 첫 번째 항 및 차이에 대한 진행 항의 합의 종속성을 얻고 고대에 문제가 올바르게 해결되었는지 확인합니다.

공식을 도출하기 전에 고대 이집트인들이 이 문제를 어떻게 해결했는지 살펴보겠습니다.

그리고 그들은 다음과 같이 해결했습니다.

1) 10개 측정값: 10 = 1개 측정값 - 평균 점유율;
2) 1소절 ∙ = 2소절 - 2배 평균공유하다.
두 배가 평균몫은 5번째와 6번째 사람의 몫의 합입니다.
3) 2마디 - 1/8마디 = 1 7/8마디 - 5번째 사람의 몫의 2배.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - 다섯 번째의 몫; 등등, 이전 및 이후 사람의 몫을 찾을 수 있습니다.

우리는 다음 순서를 얻습니다.

III. 작업의 솔루션입니다.

1. 그룹 작업

첫 번째 그룹:연속된 20개의 자연수의 합을 구합니다. 에스 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

일반적으로

II 그룹: 1에서 100까지의 자연수의 합을 구합니다(작은 가우스의 전설).

에스 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

결론:

III 그룹: 1부터 21까지의 자연수의 합을 구합니다.

솔루션: 1+21=2+20=3+19=4+18…

결론:

IV 그룹: 1부터 101까지 자연수의 합을 구합니다.

결론:

고려된 문제를 해결하는 이 방법을 "가우스 방법"이라고 합니다.

2. 각 그룹은 칠판에 문제에 대한 해결책을 제시합니다.

3. 임의 산술 진행에 대해 제안된 솔루션의 일반화:

1 , 2 , 3 ,… , n-2 , n-1 , n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

우리는 유사하게 주장하여 이 합계를 찾습니다.

4. 과제를 해결했습니까?(예.)

IV. 문제 해결에서 얻은 공식의 기본 이해 및 적용.

1. 공식으로 오래된 문제의 해결책을 확인합니다.

2. 다양한 문제 해결에 공식 적용.

3. 문제 해결에 공식을 적용하는 능력 형성을 위한 연습.

가) 613호

주어진 :( n) -산술 진행;

(n): 1, 2, 3, ..., 1500

찾다: 에스 1500

해결책: , 1 = 1, 1500 = 1500,

B) 주어진: ( n) -산술 진행;
(및 n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

찾다: N
해결책:

V. 상호 검증을 통한 독립적인 작업.

Denis는 택배로 일하러갔습니다. 첫 달에 그의 급여는 200 루블이었고 다음 달에는 30 루블 씩 증가했습니다. 그는 1년에 얼마를 벌었습니까?

주어진 :( n) -산술 진행;
1 = 200, d=30, n=12
찾다: 에스 12
해결책:

대답: Denis는 올해 4380 루블을 받았습니다.

VI. 숙제 지시.

4.3페이지 - 공식의 유도를 배웁니다.
№№ 585, 623 .
산술 수열의 처음 n 항의 합에 대한 공식을 사용하여 풀 수 있는 문제를 작성하십시오.

VII. 수업을 요약합니다.

1. 성적표

2. 문장 계속하기

오늘 수업시간에 배운...
배운 공식...
나는 …

3. 1부터 500까지의 합을 구하실 수 있나요? 이 문제를 해결하기 위해 어떤 방법을 사용할 것인가?

서지.

1. 대수학, 9학년. 교육 기관용 교과서. 에드. G.V. Dorofeeva.모스크바: 깨달음, 2009.

예, 예: 산술 진행은 당신을 위한 장난감이 아닙니다 :)

음, 친구들이여, 만약 당신이 이 텍스트를 읽고 있다면, 내부 캡 증거는 당신이 여전히 산술 진행이 무엇인지 모른다고 말하지만 당신은 정말로 (아니요, 이렇게: SOOOOO!) 알고 싶어합니다. 그러므로 나는 긴 소개로 당신을 괴롭히지 않고 즉시 사업을 시작할 것입니다.

시작하려면 몇 가지 예가 있습니다. 여러 세트의 숫자를 고려하십시오.

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

이 모든 세트의 공통점은 무엇입니까? 언뜻보기에 아무것도 없습니다. 그러나 실제로 뭔가가 있습니다. 즉: 각각의 다음 요소는 이전 요소와 동일한 숫자로 다릅니다..

스스로 판단하십시오. 첫 번째 세트는 각각 이전 세트보다 하나 더 많은 연속된 숫자입니다. 두 번째 경우에는 인접한 숫자의 차이가 이미 5이지만 이 차이는 여전히 일정합니다. 세 번째 경우에는 일반적으로 뿌리가 있습니다. 그러나 $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$인 반면 $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, 즉 이 경우 각각의 다음 요소는 단순히 $\sqrt(2)$만큼 증가합니다(그리고 이 숫자가 비합리적이라고 겁내지 마십시오).

따라서 이러한 모든 시퀀스를 산술 진행이라고 합니다. 엄격한 정의를 내리자:

정의. 각 다음 숫자가 이전 숫자와 정확히 같은 양만큼 다른 일련의 숫자를 산술 수열이라고 합니다. 숫자가 다른 바로 그 양을 진행 차이라고 하며 문자 $d$로 가장 자주 표시됩니다.

표기법: $\left(((a)_(n)) \right)$는 진행 그 자체이고 $d$는 차이입니다.

그리고 몇 가지 중요한 발언입니다. 첫째, 진행만 고려됩니다. 질서 있는일련의 숫자: 쓰여진 순서대로 엄격하게 읽을 수 있으며 다른 어떤 것도 허용되지 않습니다. 번호를 재정렬하거나 바꿀 수 없습니다.

둘째, 시퀀스 자체는 유한하거나 무한할 수 있습니다. 예를 들어 집합 (1; 2; 3)은 분명히 유한한 산술 수열입니다. 그러나 (1; 2; 3; 4; ...)와 같이 쓰면 이미 무한 진행입니다. 4 뒤에 오는 말줄임표는 꽤 많은 숫자가 더 나아가고 있음을 암시합니다. 예를 들어 무한히 많습니다. :)

또한 진행이 증가하고 감소하고 있음에 주목하고 싶습니다. 우리는 이미 증가하는 것을 보았습니다-동일한 세트 (1; 2; 3; 4; ...). 진행이 감소하는 예는 다음과 같습니다.

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

그래 그래: 마지막 예지나치게 복잡해 보일 수 있습니다. 하지만 나머지는 이해하실 것 같습니다. 따라서 새로운 정의를 소개합니다.

정의. 산술 진행을 다음과 같이 부릅니다.

각 다음 요소가 이전 요소보다 크면 증가합니다.

반대로 각 후속 요소가 이전 요소보다 작은 경우 감소합니다.

또한 소위 "정지" 시퀀스가 있습니다. 동일한 반복 번호로 구성됩니다. 예를 들어, (3; 3; 3; ...).

한 가지 질문만 남습니다. 증가하는 진행과 감소하는 진행을 구별하는 방법은 무엇입니까? 다행히도 여기서 모든 것은 숫자 $d$의 부호에만 의존합니다. 진행 차이:

$d \gt 0$이면 진행률이 증가합니다.
$d \lt 0$이면 진행이 분명히 감소합니다.
마지막으로 $d=0$의 경우가 있습니다. 이 경우 전체 진행이 (1; 1; 1; 1; ...) 등의 동일한 숫자의 고정 시퀀스로 축소됩니다.

위의 세 가지 감소 진행에 대한 차이 $d$를 계산해 봅시다. 이렇게하려면 인접한 두 요소 (예 : 첫 번째와 두 번째)를 가져 와서 오른쪽 숫자에서 왼쪽 숫자를 빼면 충분합니다. 다음과 같이 표시됩니다.

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

보시다시피 세 가지 경우 모두 그 차이는 실제로 음수였습니다. 이제 우리는 정의를 어느 정도 파악했으므로 진행이 어떻게 설명되고 어떤 속성이 있는지 알아낼 시간입니다.

진행 및 반복 공식의 구성원

시퀀스의 요소는 교환할 수 없으므로 번호를 매길 수 있습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \오른쪽$\]

이 세트의 개별 요소를 진행의 구성원이라고 합니다. 이러한 방식으로 첫 번째 멤버, 두 번째 멤버 등의 숫자를 사용하여 표시됩니다.

또한 이미 알고 있듯이 진행의 이웃 구성원은 다음 공식으로 관련됩니다.

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\오른쪽 화살표 ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

간단히 말해서 진행의 $n$번째 항을 찾으려면 $n-1$번째 항과 차이 $d$를 알아야 합니다. 이러한 공식을 반복이라고합니다. 도움을 받으면 이전 숫자 만 알고 (사실 이전의 모든 숫자) 숫자를 찾을 수 있기 때문입니다. 이것은 매우 불편하므로 모든 계산을 첫 항과 차이로 줄이는 더 까다로운 공식이 있습니다.

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

이 공식을 전에 본 적이 있을 것입니다. 그들은 모든 종류의 참고 서적과 reshebniks에서 그것을 제공하는 것을 좋아합니다. 그리고 합리적인 수학 교과서에서 그것은 첫 번째 것 중 하나입니다.

그러나 조금 연습하는 것이 좋습니다.

작업 번호 1. $((a)_(1))=8,d=-5$인 경우 산술 진행 $\left(((a)_(n)) \right)$의 처음 세 항을 적으십시오.

해결책. 따라서 우리는 첫 항 $((a)_(1))=8$과 진행 차이 $d=-5$를 압니다. 방금 주어진 공식을 사용하여 $n=1$, $n=2$ 및 $n=3$를 대체해 보겠습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 삼; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \종료(정렬)\]

답: (8; 3; -2)

그게 다야! 진행률이 감소하고 있습니다.

물론, $n=1$은 대체될 수 없습니다. 우리는 이미 첫 항을 알고 있습니다. 그러나 단위를 대체함으로써 우리는 첫 항에 대해서도 공식이 작동하는지 확인했습니다. 다른 경우에는 모든 것이 진부한 산술로 귀결되었습니다.

작업 번호 2. 7번째 항이 -40이고 17번째 항이 -50인 경우 산술 진행의 처음 세 항을 적으십시오.

해결책. 일반적인 용어로 문제의 조건을 작성합니다.

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \끝(정렬) \오른쪽.\]

\[\left\( \begin(정렬) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(정렬) \오른쪽.\]

이러한 요구 사항이 동시에 충족되어야 하기 때문에 시스템의 기호를 넣었습니다. 그리고 이제 우리는 두 번째 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼면(우리는 시스템이 있기 때문에 이것을 할 권리가 있습니다) 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \종료(정렬)\]

그렇게 진행 차이를 찾았습니다! 시스템의 방정식에서 찾은 숫자를 대체하는 것이 남아 있습니다. 예를 들어, 첫 번째:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \끝(행렬)\]

이제 첫 번째 용어와 차이점을 알고 있으므로 두 번째 및 세 번째 용어를 찾는 것이 남아 있습니다.

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \종료(정렬)\]

준비가 된! 문제 해결됨.

답: (-34; -35; -36)

우리가 발견한 수열의 흥미로운 속성에 주목하십시오. $n$번째 및 $m$번째 항을 취하여 서로 빼면 수 $n-m$을 곱한 수열의 차이를 얻습니다.

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

간단하지만 아주 유용한 재산, 확실히 알아야 할 사항-도움을 받으면 진행 과정에서 많은 문제의 해결 속도를 크게 높일 수 있습니다. 다음은 이에 대한 대표적인 예입니다.

작업 번호 3. 산술 진행의 다섯 번째 항은 8.4이고 열 번째 항은 14.4입니다. 이 수열의 15번째 항을 찾으십시오.

해결책. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$이고 $((a)_(15))$를 찾아야 하므로 다음 사항에 유의하십시오.

\[\begin(정렬) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \종료(정렬)\]

그러나 $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$ 조건에 따라 $5d=6$, 여기서 우리는 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \종료(정렬)\]

답: 20.4

그게 다야! 방정식 시스템을 구성하고 첫 번째 항과 차이를 계산할 필요가 없었습니다. 모든 것이 단 몇 줄로 결정되었습니다.

이제 또 다른 유형의 문제인 진행의 부정적인 구성원과 긍정적인 구성원을 찾는 문제를 살펴보겠습니다. 진행이 증가하면 첫 번째 용어가 부정적이지만 조만간 긍정적 용어가 나타날 것이라는 것은 비밀이 아닙니다. 반대의 경우도 마찬가지입니다. 진행이 감소하는 조건은 조만간 음수가 됩니다.

동시에 요소를 순차적으로 정렬하여 "이마에서"이 순간을 찾는 것이 항상 가능한 것은 아닙니다. 종종 문제는 공식을 모르면 계산에 여러 장이 걸리는 방식으로 설계됩니다. 답을 찾을 때까지 잠이 들었습니다. 따라서 우리는 이러한 문제를 더 빠른 방법으로 해결하려고 노력할 것입니다.

작업 번호 4. 산술 진행 -38.5에서 몇 개의 음수 항; -35.8; ...?

해결책. 따라서 $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, 여기서 즉시 차이점을 찾습니다.

차이가 양수이므로 진행률이 증가하고 있습니다. 첫 번째 용어는 음수이므로 실제로 어느 시점에서 우리는 양수를 우연히 발견하게 될 것입니다. 유일한 질문은 이것이 언제 일어날 것인가입니다.

알아보자: 용어의 부정성이 보존되는 기간(즉, 자연수 $n$까지):

\[\begin(정렬) & ((a)_(n)) \lt 0\오른쪽 화살표 ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\오른쪽 화살표 ((n)_(\max ))=15. \\ \종료(정렬)\]

마지막 줄은 설명이 필요합니다. 그래서 우리는 $n \lt 15\frac(7)(27)$를 압니다. 반면에 숫자의 정수 값만 적합하므로(추가: $n\in \mathbb(N)$) 허용 가능한 최대 숫자는 정확히 $n=15$이고 어떤 경우에도 16이 아닙니다.

작업 번호 5. 산술 진행에서 $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. 이 진행의 첫 번째 양수 항의 수를 찾으십시오.

이것은 이전 문제와 정확히 같은 문제이지만 우리는 $((a)_(1))$를 모릅니다. 그러나 이웃 항은 $((a)_(5))$ 및 $((a)_(6))$이므로 진행 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.

또한 표준 공식을 사용하여 첫 번째와 차이로 다섯 번째 항을 표현해 봅시다.

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \종료(정렬)\]

이제 우리는 이전 문제와 유추하여 진행합니다. 시퀀스의 어느 지점에 양수가 나타날지 알아냅니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\오른쪽 화살표 ((n)_(\min ))=56. \\ \종료(정렬)\]

이 부등식의 최소 정수 솔루션은 숫자 56입니다.

참고: 마지막 과제모든 것이 엄격한 불평등으로 귀결되었으므로 $n=55$ 옵션은 우리에게 적합하지 않습니다.

간단한 문제를 해결하는 방법을 배웠으니 이제 더 복잡한 문제로 넘어갑시다. 하지만 먼저, 산술 진행의 또 다른 매우 유용한 속성을 배워 봅시다. 이것은 미래에 많은 시간과 불평등한 셀을 절약해 줄 것입니다. :)

산술 평균 및 등호 들여쓰기

증가하는 산술 진행 $\left(((a)_(n)) \right)$의 여러 연속 항을 고려하십시오. 수직선에 표시해 봅시다.

수직선의 산술 진행 멤버

나는 임의의 멤버 $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ 를 특별히 언급했으며 $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ 등 내가 지금 말할 규칙은 모든 "세그먼트"에 대해 동일하게 작동하기 때문입니다.

그리고 규칙은 매우 간단합니다. 재귀 공식을 기억하고 표시된 모든 멤버에 대해 적어 봅시다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \종료(정렬)\]

그러나 이러한 등식은 다르게 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \종료(정렬)\]

글쎄요? 그러나 $((a)_(n-1))$ 및 $((a)_(n+1))$ 항이 $((a)_(n)) $ . 그리고 이 거리는 $d$와 같습니다. $((a)_(n-2))$ 및 $((a)_(n+2))$ 용어에 대해서도 마찬가지입니다. $((a)_(n) )$ $2d$와 동일한 거리만큼. 무한정 계속해도 되지만 사진으로 그 의미를 잘 알 수 있습니다

진행 멤버는 중앙에서 같은 거리에 있습니다.

이것은 우리에게 무엇을 의미합니까? 즉, 이웃 숫자를 알고 있으면 $((a)_(n))$를 찾을 수 있습니다.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

우리는 멋진 진술을 추론했습니다: 산술 진행의 각 구성원은 이웃 구성원의 산술 평균과 같습니다! 또한 $((a)_(n))$에서 왼쪽과 오른쪽으로 한 단계가 아니라 $k$ 단계로 벗어날 수 있으며 여전히 공식은 정확합니다.

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

저것들. $((a)_(100))$ 및 $((a)_(200))$를 알고 있으면 $((a)_(150))$를 쉽게 찾을 수 있습니다. (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. 언뜻 보기에 이 사실이 우리에게 유용한 정보를 제공하지 않는 것처럼 보일 수 있습니다. 그러나 실제로는 산술 평균을 사용하기 위해 많은 작업이 특별히 "날카롭게" 되어 있습니다. 구경하다:

작업 번호 6. 숫자 $-6((x)^(2))$, $x+1$ 및 $14+4((x)^(2))$가 연속적인 구성원이 되도록 $x$의 모든 값을 찾습니다. 산술 진행(지정된 순서대로).

해결책. 이러한 숫자는 진행의 구성원이므로 산술 평균 조건이 충족됩니다. 중앙 요소 $x+1$는 이웃 요소로 표현할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \종료(정렬)\]

클래식하게 나왔네요 이차 방정식. 그 뿌리: $x=2$ 및 $x=-3$가 답입니다.

답변: -3; 2.

작업 번호 7. 숫자 $-1;4-3;(()^(2))+1$이 (순서대로) 산술 수열을 형성하도록 $$의 값을 찾습니다.

해결책. 다시, 중간 항을 인접 항의 산술 평균으로 표현합니다.

\[\begin(정렬) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2\right.; \\ & 8x-6=((엑스)^(2))+엑스; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \종료(정렬)\]

또 다른 이차 방정식. 그리고 다시 두 근: $x=6$ 및 $x=1$.

답변: 1; 6.

문제를 해결하는 과정에서 잔인한 숫자를 얻거나 찾은 답변의 정확성을 완전히 확신하지 못하는 경우 다음을 확인할 수 있는 멋진 트릭이 있습니다. 문제를 올바르게 해결했습니까?

문제 6에서 -3과 2의 답을 얻었다고 가정해 봅시다. 이 답이 맞는지 어떻게 확인할 수 있습니까? 그것들을 원래 조건에 연결하고 무슨 일이 일어나는지 봅시다. 산술 수열을 형성해야 하는 세 개의 숫자($-6(()^(2))$, $+1$ 및 $14+4(()^(2))$)가 있음을 상기시켜 드리겠습니다. 대체 $x=-3$:

\[\begin(정렬) & x=-3\오른쪽 화살표 \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \끝(정렬)\]

우리는 숫자 -54를 얻었습니다. -2; 52만큼 다른 50은 의심할 여지 없이 산술 수열입니다. $x=2$에 대해서도 마찬가지입니다.

\[\begin(정렬) & x=2\오른쪽 화살표 \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \끝(정렬)\]

다시 진행이지만 차이는 27입니다. 따라서 문제는 올바르게 해결됩니다. 원하는 사람은 두 번째 작업을 스스로 확인할 수 있지만 즉시 말할 것입니다. 모든 것이 정확합니다.

일반적으로 마지막 작업을 해결하는 동안 다른 작업을 우연히 발견했습니다. 흥미로운 사실, 또한 기억해야 할 사항:

세 개의 숫자가 두 번째가 첫 번째와 마지막의 평균인 경우 이 숫자는 산술 수열을 형성합니다.

앞으로 이 문장을 이해하면 문자 그대로 문제의 조건에 따라 필요한 진행을 "구성"할 수 있습니다. 그러나 우리가 그러한 "건설"에 참여하기 전에 이미 고려한 것에서 직접적으로 뒤따르는 또 하나의 사실에 주의를 기울여야 합니다.

요소의 그룹화 및 합계

다시 수직선으로 돌아가 봅시다. 우리는 아마도 그 사이에 진행의 여러 구성원이 있음을 주목합니다. 다른 많은 회원들에게 가치가 있습니다.

수직선에 표시된 6개 요소

$((a)_(n))$ 및 $d$로 "왼쪽 꼬리"를 표현하고 $((a)_(k))$ 및 $로 "오른쪽 꼬리"를 표현해 봅시다. d$. 매우 간단합니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \종료(정렬)\]

이제 다음 합계는 동일합니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= 에스; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= 에스. \끝(정렬)\]

간단히 말해서, 진행의 두 요소를 시작으로 간주하면 총 $S$와 같은 수와 같으며 이러한 요소에서 반대 방향으로(서로를 향하거나 반대 방향으로 이동) 단계를 시작합니다. 그 다음에 우리가 우연히 발견하게 될 요소의 합도 같을 것입니다$S$. 이는 그래픽으로 가장 잘 표현할 수 있습니다.

동일한 들여쓰기는 동일한 합계를 제공합니다.

이해 이 사실더 근본적으로 문제를 해결할 수 있습니다. 높은 레벨위에서 설명한 것보다 복잡합니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

작업 번호 8. 첫 번째 항이 66이고 두 번째 항과 열두 번째 항의 곱이 가능한 가장 작은 산술 수열의 차이를 결정합니다.

해결책. 우리가 아는 모든 것을 적어 봅시다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \끝(정렬)\]

따라서 진행 $d$의 차이를 알 수 없습니다. 실제로 $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ 제품을 다음과 같이 다시 작성할 수 있으므로 전체 솔루션은 차이점을 중심으로 구축됩니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \끝(정렬)\]

탱크에 있는 사람들을 위해: 나는 두 번째 괄호에서 공통 인수 11을 취했습니다. 따라서 원하는 곱은 변수 $d$에 대한 2차 함수입니다. 따라서 $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ 함수를 고려하십시오. 괄호를 열면 다음을 얻습니다.

\[\begin(정렬) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(정렬)\]

보시다시피 가장 높은 항의 계수는 11입니다. 정수, 그래서 우리는 실제로 분기가 있는 포물선을 다루고 있습니다.

이차 함수의 그래프 - 포물선
참고: 이 포물선은 가로 좌표 $((d)_(0))$가 있는 정점에서 최소값을 취합니다. 물론 표준 체계(공식 $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$)에 따라 이 가로 좌표를 계산할 수 있지만 원하는 정점은 포물선의 축 대칭에 있으므로 점 $((d)_(0))$은 방정식 $f\left(d \right)=0$의 근에서 등거리에 있습니다.

\[\begin(정렬) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \종료(정렬)\]

그렇기 때문에 괄호를 여는 데 서두르지 않았습니다. 원래 형태에서는 뿌리를 찾기가 매우 쉬웠습니다. 따라서 가로 좌표는 숫자 -66 및 -6의 산술 평균과 같습니다.

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

발견된 숫자는 무엇입니까? 그것으로 필요한 제품이 걸립니다 가장 작은 값(그런데, 우리는 $((y)_(\min ))$를 계산하지 않았습니다 - 우리는 이것을 할 필요가 없습니다. 동시에 이 숫자는 초기 진행의 차이입니다. 답을 찾았습니다. :)

답변: -36

작업 번호 9. 숫자 $-\frac(1)(2)$와 $-\frac(1)(6)$ 사이에 세 개의 숫자를 삽입하여 주어진 숫자와 함께 산술 수열을 형성합니다.

해결책. 사실, 우리는 다섯 개의 숫자 시퀀스를 만들어야 합니다. 마지막 번호이미 알려져 있습니다. 변수 $x$, $y$ 및 $z$로 누락된 숫자를 나타냅니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

숫자 $y$는 시퀀스의 "중간"입니다. 숫자 $x$ 및 $z$와 숫자 $-\frac(1)(2)$ 및 $-\frac에서 등거리에 있습니다. (1)( 6)$. 그리고 숫자 $x$ 및 $z$에서 우리가 있는 경우 이 순간우리는 $y$를 얻을 수 없습니다. 그러면 진행이 끝날 때 상황이 달라집니다. 산술 평균을 기억하십시오.

이제 $y$를 알면 나머지 숫자를 찾을 수 있습니다. $x$는 방금 찾은 $-\frac(1)(2)$와 $y=-\frac(1)(3)$ 사이에 있습니다. 그래서

비슷하게 주장하면 나머지 숫자를 찾습니다.

준비가 된! 세 개의 숫자를 모두 찾았습니다. 원래 숫자 사이에 삽입해야 하는 순서대로 답에 적어 봅시다.

답: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

작업 번호 10. 숫자 2와 42 사이에 삽입된 숫자의 첫 번째, 두 번째, 마지막의 합이 56인 경우 주어진 숫자와 함께 등차수열을 이루는 여러 개의 숫자를 삽입합니다.

해결책. 그러나 산술 평균을 통해 이전 작업과 동일한 방식으로 해결되는 훨씬 더 어려운 작업입니다. 문제는 정확히 몇 개의 숫자를 삽입해야 하는지 모른다는 것입니다. 따라서 명확성을 위해 삽입 후 정확히 $n$개의 숫자가 있고 첫 번째 숫자는 2이고 마지막 숫자는 42라고 가정합니다. 이 경우 원하는 산술 수열은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left$ 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \오른쪽$\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

그러나 숫자 $((a)_(2))$ 및 $((a)_(n-1))$는 가장자리에 서있는 숫자 2와 42에서 서로를 향해 한 걸음씩 얻어집니다. , 즉 . 시퀀스의 중심으로. 그리고 이것은 다음을 의미합니다.

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

그러나 위 식은 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \종료(정렬)\]

$((a)_(3))$ 및 $((a)_(1))$를 알면 진행 차이를 쉽게 찾을 수 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\오른쪽 화살표 d=5. \\ \종료(정렬)\]

나머지 구성원을 찾는 것만 남아 있습니다.

\[\begin(정렬) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \종료(정렬)\]

따라서 이미 9번째 단계에서 시퀀스의 왼쪽 끝인 숫자 42에 도달하게 됩니다. 총 7개의 숫자만 삽입해야 했습니다: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

답변: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

진행이 있는 텍스트 작업

결론적으로 비교적 간단한 몇 가지 문제를 고려하고 싶습니다. 음, 간단합니다. 학교에서 수학을 공부하고 위에 쓰여진 내용을 읽지 않은 대부분의 학생들에게 이러한 작업은 제스처처럼 보일 수 있습니다. 그럼에도 불구하고 수학에서 OGE와 USE에서 만나는 것은 바로 그러한 작업이므로 숙지하는 것이 좋습니다.

작업 번호 11. 이 팀은 1월에 62개의 부품을 생산했고, 다음 달에는 이전보다 14개의 부품을 더 생산했습니다. 여단은 11월에 얼마나 많은 부품을 생산했습니까?

해결책. 분명히, 월별로 도색되는 부품의 수는 증가하는 산술 수열이 될 것입니다. 그리고:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

11월은 11번째 달이므로 $((a)_(11))$를 찾아야 합니다.

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

따라서 11월에는 202개의 부품이 생산될 예정입니다.

작업 번호 12. 제본공방은 1월에 216권을 제본했고 매달 전월보다 4권씩 제본했다. 12월 워크숍에서 제본한 책은 몇 권입니까?

해결책. 모두 같은:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(정렬)$

12월은 한 해의 마지막 12번째 달이므로 $((a)_(12))$를 찾습니다.

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

이것이 답입니다. 12월에 260권이 제본됩니다.

자, 여기까지 읽으셨다면 서둘러 축하드립니다. 산술 진행에서 "젊은 파이터 코스"를 성공적으로 완료했습니다. 안심하고 가실 수 있습니다 다음 수업, 여기서 우리는 진행 합계 공식과 그것의 중요하고 매우 유용한 결과를 연구할 것입니다.

또는 산술 - 이것은 순서가 지정된 숫자 시퀀스 유형이며 그 속성은 학교 대수 과정에서 연구됩니다. 이 문서에서는 산술 진행의 합을 찾는 방법에 대해 자세히 설명합니다.

이 진행은 무엇입니까?

질문을 고려하기 전에(산술 진행의 합을 찾는 방법) 토론할 내용을 이해하는 것이 좋습니다.

각 이전 숫자에서 일부 값을 더(빼기)하여 얻은 일련의 실수를 대수(산술) 수열이라고 합니다. 수학 언어로 번역된 이 정의는 다음과 같은 형식을 취합니다.

여기서 i는 시리즈 a i 의 요소의 서수입니다. 따라서 초기 번호 하나만 알면 전체 시리즈를 쉽게 복원할 수 있습니다. 수식의 매개변수 d를 진행 차이라고 합니다.

고려 중인 일련의 숫자에 대해 다음과 같은 등식이 성립함을 쉽게 알 수 있습니다.

n \u003d a 1 + d * (n-1).

즉, n번째 요소의 값을 순서대로 찾으려면 첫 번째 요소 a 1에 n-1번 차이 d를 더합니다.

산술 진행의 합은 무엇입니까: 공식

표시된 금액에 대한 공식을 제공하기 전에 간단한 것을 고려해 볼 가치가 있습니다. 특별한 경우. 1에서 10까지의 자연수의 수열이 주어지면 그 합을 찾아야 합니다. 수열(10)에 항이 적기 때문에 문제를 정면으로 풀 수 있습니다. 즉, 모든 요소를 순서대로 합산하는 것입니다.

에스 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

한 가지 흥미로운 점을 고려해 볼 가치가 있습니다. 각 용어는 동일한 값 d \u003d 1만큼 다음 용어와 다르기 때문에 첫 번째와 10, 두 번째와 9 등의 쌍별 합계는 동일한 결과를 제공합니다 . 정말:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

보시다시피 이러한 합계는 5개뿐입니다. 즉, 계열의 요소 수보다 정확히 2배 적습니다. 그런 다음 합의 수(5)에 각 합의 결과(11)를 곱하면 첫 번째 예에서 얻은 결과를 얻을 수 있습니다.

이러한 주장을 일반화하면 다음 식을 작성할 수 있습니다.

S n \u003d n * (a 1 + an) / 2.

이 표현식은 행의 모든 요소를 합할 필요가 전혀 없음을 보여줍니다. 첫 번째 a 1 및 마지막 an 값을 아는 것으로 충분하며 또한 총 수용어 n.

가우스는 학교 선생님이 정한 문제, 즉 처음 100개의 정수를 합산하는 문제에 대한 해결책을 찾고 있을 때 이 평등에 대해 처음 생각했다고 믿어집니다.

m에서 n까지 요소의 합: 공식

이전 단락에 주어진 공식은 (첫 번째 요소의) 산술 수열의 합을 찾는 방법에 대한 질문에 답하지만 종종 작업에서 진행 중간에 일련의 숫자를 합산해야 합니다. 그것을하는 방법?

이 질문에 대답하는 가장 쉬운 방법은 다음 예를 고려하는 것입니다. 이 문제를 해결하려면 진행의 m에서 n까지 주어진 세그먼트를 새로운 숫자 시리즈로 표현해야 합니다. 등의 m번째 표현용어 a m이 첫 번째이고 n은 n-(m-1)로 번호가 매겨집니다. 이 경우 합계에 표준 공식을 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

S m n \u003d (n - m + 1) * (am + an) / 2.

수식 사용 예

산술 진행의 합을 찾는 방법을 알면 위 공식을 사용하는 간단한 예를 고려해 볼 가치가 있습니다.

아래 주어진 숫자 순서, 5일부터 시작하여 12일까지 멤버의 합계를 찾아야 합니다.

주어진 숫자는 차이 d가 3과 같음을 나타냅니다. n번째 요소에 대한 표현식을 사용하여 진행의 5번째 및 12번째 구성원의 값을 찾을 수 있습니다. 그것은 밝혀:

5 \u003d 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
12 \u003d 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

고려중인 대수 진행의 끝에서 숫자의 값을 알고 그들이 차지하는 시리즈의 숫자를 알고 있으면 이전 단락에서 얻은 합계에 대한 공식을 사용할 수 있습니다. 얻다:

S 5 · 12 \u003d (12-5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

이 값을 다르게 얻을 수 있다는 점은 주목할 가치가 있습니다. 먼저 표준 공식을 사용하여 처음 12개 요소의 합을 찾은 다음 동일한 공식을 사용하여 처음 4개 요소의 합을 계산한 다음 첫 번째 합계에서 두 번째 요소를 뺍니다. .