namai › Transmisija (greičių dėžė) › Monty Hall paradokso paaiškinimas. „Monty Hall Paradox“ yra loginis galvosūkis, skirtas ne silpnaširdžiams.

Monty Hall paradokso paaiškinimas. „Monty Hall Paradox“ yra loginis galvosūkis, skirtas ne silpnaširdžiams.

Sutikau ją, vadinamą Monty Hall paradoksu, ir oho išsprendė kitaip, būtent: įrodė, kad tai pseudoparadoksas.

Draugai, man bus malonu išgirsti kritiką dėl šio paradokso paneigimo (pseudoparadokso, jei aš teisus). Ir tada savo akimis pamatysiu, kad mano logika šlubuoja, nustosiu galvoti apie save kaip apie mąstytoją ir pagalvosiu apie veiklos rūšies keitimą į lyriškesnę: o). Taigi, štai užduoties turinys. Siūlomas sprendimas ir mano atsikirtimas pateikiami žemiau.

Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame esate priešais trejas duris, dalyviu. Už vienų durų šeimininkas, žinomas kaip sąžiningas, pastatė automobilį, o už kitų dviejų – ožką. Neturite informacijos apie tai, kas yra už kokių durų.

Vedėjas jums sako: „Pirmiausia turite pasirinkti vieną iš durų. Po to atidarysiu vienas iš likusių durų, už kurių – ožka. Tuomet siūlysiu pakeisti pirminį pasirinkimą ir pasirinkti likusias uždarytas duris, o ne tas, kurias pasirinkote pradžioje. Galite vadovautis mano patarimu ir pasirinkti kitas duris arba patvirtinti savo pirminį pasirinkimą. Po to aš atidarysiu tavo pasirinktas duris ir tu laimėsi tai, kas yra už tų durų“.

Jūs pasirenkate duris Nr. 3. Vedėjas atidaro duris Nr. 1 ir parodo, kad už jų yra ožka. Tada šeimininkas paprašo pasirinkti durų numerį 2.

Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei vadovausitės jo patarimais?
Monty Hall paradoksas – viena iš gerai žinomų tikimybių teorijos problemų, kurios sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui.
Spręsdami šią problemą jie dažniausiai samprotauja maždaug taip: šeimininkui atidarius duris, už kurių yra ožka, automobilis gali būti tik už vienų iš dviejų likusių durų. Kadangi žaidėjas negali gauti jokių Papildoma informacija apie tai, už kurių durų yra automobilis, tada tikimybė rasti automobilį už kiekvienų durų yra vienoda, o pradinio durų pasirinkimo pakeitimas žaidėjui nesuteikia jokio pranašumo. Tačiau toks samprotavimas yra neteisingas.
Jei šeimininkas visada žino, kokios durys yra už nugaros, visada atidaro likusias duris, kuriose yra ožka, ir visada ragina žaidėją pakeisti savo pasirinkimą, tada tikimybė, kad automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų, yra 1/3, ir , atitinkamai tikimybė, kad automobilis yra už likusių durų, yra 2/3. Taigi pakeitus pradinį pasirinkimą padvigubėja žaidėjo šansai laimėti automobilį. Ši išvada prieštarauja daugumos žmonių intuityviam situacijos suvokimui, todėl aprašyta problema vadinama Monty Hall paradoksu.

Man atrodo, kad šansai nepasikeis; paradokso nera.

Ir štai kodėl: pirmųjų ir antrųjų durų pasirinkimas yra nepriklausomasįvykius. Tai panašu į monetos metimą 2 kartus: tai, kas iškrenta antrą kartą, niekaip nepriklauso nuo to, kas iškrito 1 kartą.

Taigi čia: atidaręs duris su ožiu, žaidėjas atsiduria nauja situacija kai jis turi 2 duris ir tikimybė pasirinkti automobilį ar ožką yra 1/2.

Dar kartą: atidarius vienas duris iš trijų, tikimybė, kad automobilis yra už likusių durų, nelygu 2/3, nes 2/3 yra tikimybė, kad automobilis yra už bet kokių 2 durų. Neteisinga šią tikimybę priskirti neatidarytoms durims ir atidarytoms. Prieš durų atsidarymas buvo toks tikimybių derinimas, bet po to atidarius vienas duris, visos šios tikimybės tampa tuščia, nes situacija pasikeitė, todėl reikalingas naujas tikimybių skaičiavimas, kuris paprasti žmonės teisingai atlikta, atsakant, kad nuo pasirinkimo pakeitimo niekas nepasikeis.

Papildymas: 1) motyvuojant, kad:

a) tikimybė rasti automobilį už pasirinktų durų yra 1/3,

b) tikimybę, kad automobilis yra už kitų dviejų nepasirinktų durų, 2/3,

c) nes šeimininkas atidarė duris su ožka, tada tikimybė 2/3 atitenka vienoms nepasirinktoms (ir neatidarytoms) durims,

ir todėl reikia pakeisti pasirinkimą į kitas duris, kad tikimybė nuo 1/3 taptų 2/3, ne tiesa, bet klaidinga, būtent: "c" pastraipoje, nes iš pradžių tikimybė 2/3 taikoma bet kurioms dvejoms durims, įskaitant 2 liekančias neatidarytas, o kadangi buvo atidarytos vienos durys, tai ši tikimybė bus padalinta po lygiai tarp 2 neatidarytų, t.y. tikimybė bus lygi, o pasirinkus kitas duris jos nepadidins.

2) skaičiuojamos sąlyginės tikimybės, jei atsitiktinių įvykių yra 2 ir daugiau, o tikimybė skaičiuojama kiekvienam įvykiui atskirai ir tik tada skaičiuojama 2 ir daugiau įvykių bendro pasireiškimo tikimybė. Čia iš pradžių tikimybė atspėti buvo 1/3, tačiau norint apskaičiuoti tikimybę, kad automobilis yra ne už pasirinktų durų, o už kitų, kurios neatidaromos, nereikia skaičiuoti sąlyginę tikimybę, bet reikia apskaičiuoti paprastą tikimybę, kuri yra 1 iš 2, tuos. 1/2.

3) Taigi tai ne paradoksas, o klaida! (2009 11 19)

2 priedas: Vakar aš sugalvojau paprasčiausią paaiškinimą perrinkimo strategija vis dar yra naudingesnė(paradoksas tiesa!): su pirmu pasirinkimu 2 kartus didesnė tikimybė patekti į ožką nei į mašiną, nes ožkos yra dvi, todėl antruoju pasirinkimu reikia pakeisti pasirinkimą. Tai taip aišku :o)

Arba kitaip: reikia ne ženklinti automobilyje, o atmesti ožius, o tam padeda net vedėjas, atidarydamas ožką. O žaidimo pradžioje su 2 iš 3 tikimybe žaidėjui taip pat pasiseks, todėl, atmetus ožius, reikia pakeisti pasirinkimą. Ir tai staiga tapo labai akivaizdu :o)

Taigi viskas, ką iki šiol rašiau, buvo pseudoneigimas. Na, o štai dar viena iliustracija, kad reikia būti kuklesniam, gerbti kažkieno požiūrį ir nepasitikėti savo logikos patikinimais, kad jos sprendimai yra krištoliniai logiški.

1963 m. gruodį Amerikos televizijos kanalas NBC pirmą kartą transliavo programą „Sudaryk sandorį“ („Leisk susitarti!“), kurioje grojo dalyviai, atrinkti iš studijos publikos, derėjosi tarpusavyje ir su vedėju. maži žaidimai arba tiesiog atspėkite atsakymą į klausimą. Transliacijos pabaigoje dalyviai galėjo žaisti „dienos sandorį“. Prieš jas buvo trejos durys, apie kurias buvo žinoma, kad už vienų – Didysis prizas (pvz., automobilis), o už kitų – mažiau vertingos arba visiškai absurdiškos dovanos (pavyzdžiui, gyvos ožkos) . Žaidėjui apsisprendus, programos vedėjas Monty Hall atidarė vienas iš dviejų likusių durų, parodydamas, kad po jo nėra Prizo ir leisdamas dalyviui pasidžiaugti, kad turi galimybę laimėti.

1975 m. UCLA mokslininkas Steve'as Selvinas paklausė, kas nutiktų, jei tuo metu, atidarius duris be Prizo, dalyvio būtų paprašyta pakeisti savo pasirinkimą. Ar tokiu atveju pasikeis žaidėjo galimybės gauti Prizą ir jei taip, kokia kryptimi? Atitinkamą klausimą problemos forma jis nusiuntė „The American Statistician“ („American Statistician“), taip pat pačiam Monty Hallui, kuris į jį gana kurioziškai atsakė. Nepaisant šio atsakymo (o gal dėl jo), problema išpopuliarėjo pavadinimu „Monty Hall problema“.

Dažniausia šios problemos formuluotė, paskelbta 1990 m. Parade Magazine, yra tokia:

„Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš jų, dalyviu trejos durys. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po to šeimininkas, žinantis, kur yra mašina ir kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numerio 3, už kurių yra ožka. Po to jis klausia, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2. Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite šeimininko pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?

Po publikacijos iš karto paaiškėjo, kad problema suformuluota neteisingai: surašytos ne visos sąlygos. Pavyzdžiui, vedėjas gali laikytis „pragariškos Monty“ strategijos: pasiūlyti pakeisti pasirinkimą tada ir tik tada, kai žaidėjas pirmuoju ėjimu pasirinko automobilį. Akivaizdu, kad pakeitus pradinį pasirinkimą tokioje situacijoje bus garantuotas nuostolis.

Populiariausia yra problema su papildoma sąlyga – žaidimo dalyvis iš anksto žino šias taisykles:

tikėtina, kad automobilis bus pastatytas už bet kurių iš 3 durų;
bet kuriuo atveju šeimininkas privalo atidaryti duris su ožiu (bet ne ta, kurią žaidėjas pasirinko) ir pasiūlyti žaidėjui pakeisti pasirinkimą;
jei vadovas gali pasirinkti, kurias iš dviejų durų atidaryti, jis pasirenka bet kurią iš jų su tokia pačia tikimybe.

Užuomina

Pabandykite atsižvelgti į žmones, kurie tuo pačiu atveju pasirinko skirtingas duris (tai yra, kai prizas yra, pavyzdžiui, už durų numeris 1). Kam bus naudinga pakeisti savo pasirinkimą, o kam – ne?

Sprendimas

Kaip siūloma patarime, apsvarstykite žmones, kurie pasirinko kitaip. Tarkime, kad prizas yra už durų #1, o už durų #2 ir #3 yra ožkos. Tarkime, kad turime šešis žmones, o kiekvienas duris pasirinko du žmonės, ir iš kiekvienos poros vienos vėliau pakeitė sprendimą, o kitos – ne.

Atkreipkite dėmesį, kad Šeimininkas, pasirinkęs duris Nr. 1, savo skoniui atvers vienas iš dviejų durų, tuo tarpu, nepaisant to, Automobilį gaus tas, kuris nepakeis savo pasirinkimo, o tas, kuris pakeitė pradinį pasirinkimą. liks be Prizo. Dabar pažvelkime į tuos, kurie pasirinko duris #2 ir #3. Kadangi už durų Nr.1 yra Automobilis, Šeimininkas negali jų atidaryti, todėl jam nelieka pasirinkimo – jis joms atidaro atitinkamai duris Nr.3 ir Nr.2. Tuo pačiu metu kiekvienoje poroje sprendimą pakeitęs asmuo išrinks Prizą, o nepakeitęs liks be nieko. Taigi, iš trijų apsigalvojusių, Prizą gaus du, o ožką – vienam, o iš trijų, palikusių nepakeistą pirminį pasirinkimą, Prizą gaus tik vienas.

Pažymėtina, kad jei Automobilis būtų už durų #2 arba #3, rezultatas būtų toks pat, keistųsi tik konkretūs laimėtojai. Taigi, darant prielaidą, kad iš pradžių kiekvienos durys pasirenkamos vienoda tikimybe, gauname, kad tie, kurie keičia savo pasirinkimą, Prizą laimi dvigubai dažniau, tai yra, tikimybė laimėti šiuo atveju yra didesnė.

Pažvelkime į šią problemą matematinės tikimybių teorijos požiūriu. Darysime prielaidą, kad kiekvienos iš durų pirminio pasirinkimo tikimybė yra vienoda, taip pat tikimybė būti už kiekvienų Automobilio durų. Be to, pravartu daryti išlygą, kad Lyderis, kai gali atidaryti dvejas duris, kiekvieną iš jų pasirenka vienoda tikimybe. Tada paaiškėja, kad po pirmojo sprendimo tikimybė, kad Prizas yra už pasirinktų durų, yra 1/3, o tikimybė, kad jis yra už vienų iš kitų dviejų durų, yra 2/3. Tuo pačiu metu, šeimininkui atidarius vienas iš dviejų „nepasirinktų“ durų, visa tikimybė 2/3 tenka tik vienoms iš likusių durų, taip sukuriant pagrindą pakeisti sprendimą, o tai padidins laimėjimo tikimybę. 2 kartus. Kas, žinoma, jokiu būdu to negarantuoja vienu konkrečiu atveju, bet leis pasiekti sėkmingesnių rezultatų pakartotinio eksperimento kartojimo atveju.

Pokalbis

Monty Hall problema nėra pirmoji žinoma šios problemos formuluotė. Konkrečiai, 1959 m. Martinas Gardneris žurnale „Scientific American“ paskelbė panašią problemą „apie tris kalinius“ (Trijų kalinių problema) su tokia formuluote: „Iš trijų kalinių vienam turėtų būti atleista, o dviem – mirties bausmė. Kalinys A įtikina sargybinį pasakyti jam vieno iš kitų dviejų, kuriam bus įvykdyta mirties bausmė (jei abu bus įvykdyti mirties bausmė), vardą, po kurio, gavęs vardą B, mano, kad jo paties išsigelbėjimo tikimybė nepasidarė. 1/3, bet 1/2. Tuo pačiu metu kalinys C tvirtina, kad jo pabėgimo tikimybė tapo 2/3, o A niekas nepasikeitė. Kuris teisus?"

Tačiau Gardneris nebuvo pirmasis, nes dar 1889 m. savo Tikimybių skaičiavime prancūzų matematikas Josephas Bertranas (nepainioti su anglu Bertrandu Russellu!) siūlo panašią problemą (žr. Bertrand'o langelio paradoksą): „Yra trys dėžutės, kurių kiekvienoje yra po dvi monetas: pirmoje – dvi auksinės, antrojoje – dvi sidabrinės, trečioje – dvi skirtingos.

Jei supranti visų trijų problemų sprendimus, nesunku pastebėti jų idėjų panašumą; matematiškai juos visus vienija sąlyginės tikimybės sąvoka, tai yra įvykio A tikimybė, jei žinoma, kad įvykis B įvyko. Paprasčiausias pavyzdys: tikimybė, kad įprastas kauliukas metė vieną, yra 1/6; tačiau jei žinoma, kad susuktas skaičius yra nelyginis, tada tikimybė, kad jis yra vienas, jau yra 1/3. Monty Hall problema, kaip ir kitos dvi minėtos problemos, rodo, kad su sąlyginėmis tikimybėmis reikia elgtis atsargiai.

Šios problemos dar dažnai vadinamos paradoksais: Monty Hallo paradoksu, Bertrano dėžės paradoksu (pastarojo nereikėtų painioti su tikruoju toje pačioje knygoje pateiktu Bertrando paradoksu, kuris įrodė tuo metu egzistavusios tikimybės sampratos dviprasmiškumą) – kuri. reiškia tam tikrą prieštaravimą (pavyzdžiui, „Melagio paradokso“ frazė „šis teiginys yra klaidingas“ prieštarauja pašalinto vidurio dėsniui). IN Ši byla tačiau griežtiems teiginiams neprieštarauja. Tačiau yra aiškus prieštaravimas vieša nuomonė“ arba tiesiog „akivaizdus problemos sprendimas“. Iš tiesų, dauguma žmonių, žiūrėdami į problemą, mano, kad atidarius vieną iš durų, tikimybė rasti Prizą už bet kurių iš dviejų likusių uždarų yra 1/2. Taip elgdamiesi jie tvirtina, kad nėra jokio skirtumo, ar jie sutinka, ar nesutinka, kad pakeistų savo nuomonę. Be to, daugeliui žmonių sunku suprasti kitokį nei šis atsakymą, net ir jiems pasakius išsamų sprendimą.

Monty Hall atsakymas Steve'ui Selwynui

Ponas Steve'as Selvinas,
biostatistikos docentas,
Kalifornijos universitetas, Berklis.

Gerbiamas Steve,

Dėkojame, kad atsiuntėte man problemą iš Amerikos statistikos.

Nors universitete statistikos nestudijavau, žinau, kad skaičiais visada galiu pasinaudoti, jei noriu jais manipuliuoti. Jūsų samprotavime neatsižvelgiama į vieną esminę aplinkybę: po to, kai pirmasis langelis yra tuščias, dalyvis nebegali pakeisti savo pasirinkimo. Taigi tikimybė išlieka ta pati: viena iš trijų, tiesa? Ir, žinoma, vienai iš dėžių ištuštėjus, šansai netampa 50/50, o išlieka tokie patys – vienas iš trijų. Tik dalyviui atrodo, kad atsikratęs vienos dėžės jis gauna daugiau šansų. Visai ne. Du prieš vieną prieš jį, kaip buvo, ir lieka. O jei staiga ateisi į mano laidą, taisyklės tau išliks tos pačios: po atrankos jokių keitimo langelių.

Įsivaizduokite, kad tapote žaidimo, kuriame turite pasirinkti vieną iš trijų durų, dalyviu. Už vienų durų – automobilis, už kitų dviejų – ožkos. Pasirenkate vienas iš durų, pavyzdžiui, numeris 1, po to šeimininkas, žinantis, kur yra mašina ir kur yra ožkos, atidaro vienas iš likusių durų, pavyzdžiui, numerio 3, už kurių yra ožka. Po to jis klausia, ar norėtumėte pakeisti savo pasirinkimą ir pasirinkti durų numerį 2. Ar jūsų šansai laimėti automobilį padidės, jei priimsite šeimininko pasiūlymą ir pakeisite pasirinkimą?

Sprendimas. Iš karto atkreipkime dėmesį, kad ši problema neturi jokio paradokso. eilinė užduotis ( Pirmas lygis) į Bayes formulę, kuri išplaukia iš sąlyginės tikimybės apibrėžimo.

Bayes formulė

Žymėkite A, įvykis – laimėjote automobilį.

Mes iškeliame dvi hipotezes: H 1 - nekeisite durų, o H 2 - pakeisite duris.

P(H 1)= 1/3 – a priori (a priori – tai reiškia prieš eksperimentą šeimininkas dar neatidarė durų) hipotezės, kad keičiate duris, tikimybė.

P H1 (A) - sąlyginė tikimybė, kad atspėsite duris, už kurių yra automobilis, jei įvyko pirmoji hipotezė H 1

P H2 (A) - sąlyginė tikimybė, kad atspėsite duris, už kurių yra automobilis, jei įvyko antroji hipotezė H 2

Raskite įvykio A tikimybę, jei įvyko hipotezė H 1 (tikimybė, kad laimėjote automobilį, jei nepakeitėte durų):

Raskite įvykio A tikimybę, jei įvyko hipotezė H 2 (tikimybė, kad laimėjote automobilį, jei pakeitėte duris):

Taigi dalyvis turėtų pakeisti savo pradinį pasirinkimą – tokiu atveju jo laimėjimo tikimybė bus lygi 2 ⁄ 3 .

Statistinis Monty Hall paradokso patikrinimas

Čia: „strategija 1“ – nekeisk pasirinkimo, „strategija 2“ – pakeisk pasirinkimą. Teoriškai 3 durų atveju tikimybės skirstinys yra 33.(3)% ir 66.(6)%. Skaitmeninis modeliavimas turėtų duoti panašius rezultatus.

Tikimybių teorija – matematikos šaka, pasirengusi suklaidinti pačius matematikus. Kitaip nei kitos, tikslios ir nepajudinamos šio mokslo dogmos, ši sritis kupina keistenybių ir netikslumų. Neseniai ši dalis, galima sakyti, buvo papildyta nauja pastraipa – Monty Hall paradoksas. Tai apskritai yra užduotis, tačiau ji sprendžiama visiškai kitaip nei įprastos mokyklos ar universiteto.

Kilmės istorija

Žmonės sukasi mintis dėl Monty Hall paradokso nuo tolimų 1975 m. Tačiau verta pradėti nuo 1963 m. Būtent tada ekranuose pasirodė televizijos laida „Sudaryk sandorį“, kuri verčiama kaip „Sudaryk sandorį“. Jos vedėjas buvo ne kas kitas, o Monty Hall, kuris mėtė žiūrovus kartais neišsprendžiamų galvosūkių. Viena ryškiausių tapo jo pateikta 1975 m. Problema tapo matematinės tikimybių teorijos ir paradoksų, kurie telpa į jos rėmus, dalimi. Taip pat verta paminėti, kad šis reiškinys buvo stiprių diskusijų ir griežtos mokslininkų kritikos priežastis. „Monty Hall“ paradoksas buvo paskelbtas žurnale „Parade“ 1990 m. ir nuo to laiko buvo dar labiau aptariamas ir prieštaringas klausimas visi laikai ir tautos. Na, dabar mes kreipiamės tiesiai į jo formulavimą ir aiškinimą.

Problemos pareiškimas

Yra daugybė šio paradokso interpretacijų, tačiau nusprendėme jums pristatyti klasikinį, kuris buvo parodytas pačioje programoje. Taigi prieš jus yra trys durys. Už vieno iš jų – automobilis, už kitų dviejų – po vieną ožką. Šeimininkas kviečia pasirinkti vienas iš durų ir, tarkime, sustokite ties skaičiumi 1. Kol kas nežinai, kas yra už šių pirmųjų durų, nes atidaro jums trečiąsias ir parodo, kad yra ožka. už jo. Todėl dar nepralaimėjote, nes nepasirinkote tų durų, kurios slepia pralaimėjimo variantą. Todėl jūsų šansai įsigyti automobilį padidėja.

Bet tada šeimininkas siūlo persigalvoti. Prieš tave jau dvejos durys, už vienų – ožka, už kitų – trokštamas prizas. Tai kaip tik ir yra problemos esmė. Atrodo, kad kurias iš dviejų durų pasirinksite, tikimybė yra 50/50. Tačiau iš tikrųjų, jei persigalvosite, tikimybė, kad laimėsite, padidės. Kaip tai?

Pirmas pasirinkimas šiame žaidime yra atsitiktinis. Net iš tolo negalite atspėti, už kurių iš trijų durų paslėptas prizas, todėl atsitiktinai rodote pirmąsias, kurios pasitaiko. Vadovas savo ruožtu žino, kur viskas yra. Jis turi duris su prizu, duris, į kurias nurodėte, ir trečias be prizo, kurias jis jums atidaro kaip pirmą užuominą. Antroji užuomina slypi pačiame jo pasiūlyme pakeisti pasirinkimą.

Dabar nebesirinksite vieno iš trijų atsitiktinai ir netgi galite apsigalvoti, kad gautumėte norimą prizą. Būtent šeimininko pasiūlymas suteikia žmogui tikėjimo, kad automobilis tikrai ne už jo pasirinktų durų, o už kitų. Tai yra visa paradokso esmė, nes iš tikrųjų vis tiek turite pasirinkti (nors iš dviejų, o ne iš trijų) atsitiktinai, tačiau tikimybė laimėti didėja. Pagal statistiką, iš 30 persigalvojusių žaidėjų automobilį laimėjo 18. Ir tai yra 60 proc. O iš tų pačių 30 sprendimo nepakeitusių žmonių – tik 11, tai yra 36 proc.

Aiškinimas skaičiais

Dabar suteikime Monty Hall paradoksui daugiau tikslus apibrėžimas. Pirmasis žaidėjo pasirinkimas padalija duris į dvi grupes. Tikimybė, kad prizas bus už jūsų pasirinktų durų, yra 1/3, o už likusių durų – 2/3. Tada šeimininkas atidaro vienas iš antrosios grupės durų. Taigi, jis visą likusią tikimybę, 2/3, perkelia į vienas duris, kurių nepasirinkote ir kurių jis neatidarė. Logiška, kad po tokių skaičiavimų apsigalvoti bus pelningiau. Tačiau tuo pat metu svarbu atsiminti, kad vis tiek yra galimybė pralaimėti. Kartais vedėjai yra gudrūs, nes iš pradžių galite įsprausti į tinkamas, prizines duris, o paskui savo noru jų atsisakyti.

Visi esame įpratę, kad matematika, kaip tikslusis mokslas, eina koja kojon su sveiku protu. Čia darbą atlieka skaičiai, o ne žodžiai, tikslios formulės, ne miglotos mintys, koordinatės, ne santykiniai duomenys. Bet ji naujas skyrius vadinama tikimybių teorija, susprogdino visą pažįstamą modelį. Šios srities užduotys, mums atrodo, netelpa į sveiko proto rėmus ir visiškai prieštarauja visoms formulėms ir skaičiavimams. Žemiau siūlome susipažinti su kitais tikimybių teorijos paradoksais, kurie turi kažką bendro su aukščiau aprašytu.

Berniuko ir mergaitės paradoksas

Užduotis, iš pirmo žvilgsnio, absurdiška, tačiau ji griežtai paklūsta matematinei formulei ir turi du sprendimus. Taigi, tam tikras vyras turi du vaikus. Vienas iš jų turi būti berniukas. Kokia tikimybė, kad antrasis yra berniukas?

1 variantas. Mes laikome visus dviejų vaikų derinius šeimoje:

Mergina/mergina.
Mergina berniukas.
Berniukas/Mergaitė.
Berniukas/berniukas.

Pirmas derinys mums akivaizdžiai netinka, todėl pagal paskutinius tris gauname 1/3 tikimybę, kad antras vaikas bus mažas vyras.

2 variantas. Jeigu įsivaizduotume tokį atvejį praktiškai, atmetę trupmenas ir formules, tai, remiantis tuo, kad Žemėje yra tik dvi lytys, tikimybė, kad antras vaikas bus berniukas, yra 1/2.

Ši patirtis parodo, kaip puikiai galima manipuliuoti statistika. Taigi, „miegančiajai gražuolei“ suleidžiama migdomųjų vaistų ir įmetama moneta. Jei kyla galvos, ji pažadinama ir eksperimentas baigiasi. Jei uodegos iškrenta, tada jos pažadina, iškart padaro antrą injekciją, o ji pamiršta, kad pabudo, o po to vėl pabunda tik antrą dieną. Visiškai pabudusi „gražuolė“ nežino, kurią dieną atsimerkė, ar kokia tikimybė, kad moneta nukrito. Pagal pirmąjį sprendimą tikimybė gauti uodegas (arba galvas) yra 1/2. Antrojo varianto esmė yra ta, kad jei eksperimentas bus atliktas 1000 kartų, tai erelio atveju "gražuolė" bus pažadinta 500 kartų, o su retu - 1000. Dabar tikimybė gauti uodegas yra 2/3.

Monty Hall paradoksas – viena iš gerai žinomų tikimybių teorijos problemų, kurios sprendimas iš pirmo žvilgsnio prieštarauja sveikam protui. Problema suformuluota kaip hipotetinio žaidimo aprašymas pagal amerikiečių televizijos laidą „Leisk sudaryti sandorį“ ir pavadintas šios laidos vedėjo vardu. Dažniausia šios problemos formuluotė, paskelbta 1990 m. Parade Magazine, yra tokia:

Nors ši problemos formuluotė yra geriausiai žinoma, ji yra šiek tiek problemiška, nes palieka neapibrėžtas kai kurias svarbias problemos sąlygas. Toliau pateikiamas išsamesnis pareiškimas.

Spręsdami šią problemą jie dažniausiai samprotauja maždaug taip: šeimininkui atidarius duris, už kurių yra ožka, automobilis gali būti tik už vienų iš dviejų likusių durų. Kadangi žaidėjas negali gauti jokios papildomos informacijos apie tai, už kurių durų yra automobilis, tikimybė rasti automobilį už kiekvienų durų yra vienoda, o pradinio durų pasirinkimo pakeitimas žaidėjui nesuteikia jokio pranašumo. Tačiau toks samprotavimas yra neteisingas. Jei šeimininkas visada žino, kokios durys yra už nugaros, visada atidaro likusias duris, kuriose yra ožka, ir visada ragina žaidėją pakeisti savo pasirinkimą, tada tikimybė, kad automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų, yra 1/3, ir , atitinkamai tikimybė, kad automobilis yra už likusių durų, yra 2/3. Taigi pakeitus pradinį pasirinkimą padvigubėja žaidėjo šansai laimėti automobilį. Ši išvada prieštarauja daugumos žmonių intuityviam situacijos suvokimui, todėl aprašyta problema vadinama Monty Hall paradoksu.

žodinis sprendimas

Teisingas atsakymas į šią problemą yra toks: taip, tikimybė laimėti automobilį padvigubėja, jei žaidėjas vadovaujasi šeimininko patarimu ir pakeičia pradinį pasirinkimą.

Paprasčiausias šio atsakymo paaiškinimas yra toks. Norėdamas laimėti automobilį nepakeitęs pasirinkimo, žaidėjas turi iš karto atspėti duris, už kurių stovi automobilis. To tikimybė yra 1/3. Jei žaidėjas iš pradžių atsitrenks į duris su ožiu už jo (o šio įvykio tikimybė yra 2/3, nes yra dvi ožkos ir tik vienas automobilis), tada jis tikrai gali laimėti automobilį persigalvojęs, nes automobilis ir liko vienas ožys, o šeimininkas jau atidarė duris su ožiu.

Taigi, nekeisdamas pasirinkimo, žaidėjas lieka su savo pradine tikimybe laimėti 1/3, o keičiant pradinį pasirinkimą žaidėjas savo naudai paverčia dvigubai likusią tikimybę, kad pradžioje neatspėjo teisingai.

Be to, intuityvus paaiškinimas gali būti pateiktas sukeitus du įvykius. Pirmasis įvykis yra žaidėjo sprendimas pakeisti duris, antrasis įvykis yra papildomų durų atidarymas. Tai priimtina, nes atidarius papildomas duris žaidėjas nieko neduoda nauja informacija(dokumentą rasite šiame straipsnyje).

Tada problemą galima sumažinti iki tokios formuluotės. Pirmuoju momentu žaidėjas padalija duris į dvi grupes: pirmoje grupėje yra vienos durys (tokias, kurias jis pasirinko), antroje – dvi likusios durys. Kitą akimirką žaidėjas pasirenka tarp grupių. Akivaizdu, kad pirmajai grupei tikimybė laimėti yra 1/3, antrajai – 2/3. Žaidėjas pasirenka antrąją grupę. Antroje grupėje jis gali atidaryti abi duris. Vieną atidaro šeimininkas, o antrąją – pats žaidėjas.

Pabandykime pateikti „labiausiai suprantamą“ paaiškinimą. Performuluokite problemą: Sąžiningas šeimininkas praneša žaidėjui, kad už vienų iš trijų durų yra automobilis, ir pakviečia jį pirmiausia parodyti vieną iš durų, o tada pasirinkti vieną iš dviejų veiksmų: atidaryti nurodytas duris ( seną formuluotę, tai vadinama "nekeisk savo pasirinkimo") arba atidarykite kitus du (senoje formuluotėje tai būtų tik "pakeiskite pasirinkimą". Pagalvokite, tai yra raktas į supratimą!). Akivaizdu, kad žaidėjas pasirinks antrąjį iš dviejų veiksmų, nes tikimybė gauti automobilį šiuo atveju yra dvigubai didesnė. O ta smulkmena, kad vadovas dar prieš pasirinkdamas veiksmą „parodė ožką“, nepadeda ir netrukdo rinktis, nes už vienų iš dviejų durų visada yra ožka ir vadovas ją būtinai parodys bet kuriame kurse. žaidimo, todėl žaidėjas gali ant šio ožio ir nežiūrėti. Žaidėjo reikalas, jei jis pasirinko antrąjį veiksmą, yra pasakyti „ačiū“ šeimininkui už tai, kad jis išgelbėjo nuo vargo pačiam atidaryti vienas iš dviejų durų, o atidaryti kitas. Na, arba dar lengviau. Įsivaizduokime šią situaciją iš šeimininko, kuris panašią procedūrą atlieka su dešimtimis žaidėjų, požiūriu. Kadangi jis puikiai žino, kas yra už durų, tai vidutiniškai dviem atvejais iš trijų iš anksto mato, kad žaidėjas pasirinko „ne tas“ duris. Todėl jam tikrai nėra paradokso, kad teisinga strategija yra pakeisti pasirinkimą atidarius pirmąsias duris: juk tada tais pačiais dviem atvejais iš trijų žaidėjas paliks studiją. naujas automobilis.

Pagaliau pats „naiviausias“ įrodymas. Tas, kuris laikosi savo pasirinkimo, tebūna vadinamas „Užsispyrusiu“, o tas, kuris vykdo vadovo nurodymus, – „Dėmesingu“. Tada Laimi Užsispyrėlis, jei iš pradžių atspėjo automobilį (1/3), o Dėmesingas – jei pirmas nepataikė ir atsitrenkė į ožką (2/3). Juk tik tokiu atveju jis paskui su mašina parodys į duris.

Raktai į supratimą

Nepaisant šio reiškinio paaiškinimo paprastumo, daugelis žmonių intuityviai tiki, kad tikimybė laimėti nepasikeičia žaidėjui pakeitus savo pasirinkimą. Paprastai neįmanoma pakeisti laimėjimo tikimybės motyvuojama tuo, kad skaičiuojant tikimybę, praeityje įvykę įvykiai neturi reikšmės, kaip atsitinka, pavyzdžiui, metant monetą – tikimybė gauti galvų ar uodegų nepriklauso nuo to, kiek kartų anksčiau iškrito galvos ar uodegos. Todėl daugelis mano, kad šiuo metu žaidėjas renkasi vienas duris iš dviejų, nebesvarbu, kad anksčiau buvo galima rinktis vienas duris iš trijų, o keičiant pasirinkimą tikimybė laimėti automobilį yra tokia pati. , ir paliekant pirminį pasirinkimą.

Tačiau, nors tokie svarstymai yra teisingi monetos metimo atveju, jie galioja ne visiems žaidimams. Tokiu atveju reikia ignoruoti kapitono durų atidarymą. Žaidėjas iš esmės pasirenka vienas duris, kurias pasirinko pirmiausia, ir kitas dvi – atidarius vieną iš jų, žaidėjas tik atitraukia dėmesį. Yra žinoma, kad yra vienas automobilis ir dvi ožkos. Žaidėjui pradinis vienos iš durų pasirinkimas galimus žaidimo rezultatus suskirsto į dvi grupes: arba automobilis yra už žaidėjo pasirinktų durų (tikimybė, kad tai yra 1/3), arba už vienos iš kitų dviejų (tikimybė). iš to yra 2/3). Tuo pačiu jau žinoma, kad už vienų iš dviejų likusių durų bet kokiu atveju yra ožka, o atidaręs šias duris šeimininkas nesuteikia žaidėjui jokios papildomos informacijos apie tai, kas yra už durų, kurias pasirinko žaidėjas. Taigi, vadovui atidarius duris su ožiu, tikimybė (2/3), kad automobilis yra už vienų iš likusių durų, nepasikeičia. Ir nuo tada jau atidarytos durysžaidėjas nesirenka, tada visa ši tikimybė susikoncentruoja tuo atveju, jei automobilis yra už likusių uždarų durų.

Intuityvesnis samprotavimas: leiskite žaidėjui veikti pagal „pakeitimo pasirinkimo“ strategiją. Tada jis pralaimės tik tuomet, jei iš pradžių rinksis automobilį. Ir to tikimybė yra trečdalis. Todėl tikimybė laimėti: 1-1/3=2/3. Jei žaidėjas elgsis pagal „nekeisk pasirinkimo“ strategiją, jis laimės tada ir tik tada, kai iš pradžių pasirinks automobilį. Ir to tikimybė yra trečdalis.

Įsivaizduokime šią situaciją iš šeimininko, kuris panašią procedūrą atlieka su dešimtimis žaidėjų, požiūriu. Kadangi jis puikiai žino, kas yra už durų, tai vidutiniškai dviem atvejais iš trijų iš anksto mato, kad žaidėjas pasirinko „ne tas“ duris. Todėl jam tikrai nėra paradokso, kad teisinga strategija yra pakeisti pasirinkimą atidarius pirmąsias duris: juk tais pačiais dviem atvejais iš trijų žaidėjas iš studijos išvažiuos nauju automobiliu.

Kita dažna priežastis, kodėl sunku suprasti šios problemos sprendimą, yra ta, kad dažnai žmonės įsivaizduoja kiek kitokį žaidimą – kai iš anksto nežinoma, ar šeimininkas atidarys duris su ožiu ir pasiūlys žaidėjui pakeisti savo pasirinkimą. Tokiu atveju žaidėjas nežino šeimininko taktikos (tai yra iš esmės nežino visų žaidimo taisyklių) ir negali padaryti optimalus pasirinkimas. Pavyzdžiui, jei tarpininkas pasiūlys pakeisti pasirinkimą tik tuo atveju, jei žaidėjas iš pradžių pasirinko duris kartu su automobiliu, tada akivaizdu, kad žaidėjas visada turėtų palikti pirminį sprendimą nepakeistą. Štai kodėl svarbu nepamiršti tikslios Monty Hall problemos formuluotės. (su šiuo variantu skirtingų strategijų lyderis gali pasiekti bet kokią tikimybę tarp durų, bendru (vidutiniu) atveju tai bus 1/2 x 1/2).

Padidinti durų skaičių

Kad būtų lengviau suprasti to, kas vyksta, galime apsvarstyti atvejį, kai žaidėjas priešais save mato ne trejas duris, o, pavyzdžiui, šimtą. Tuo pačiu metu už vienų durų stovi automobilis, o už kitų – ožkos 99. Žaidėjas pasirenka vienas iš durų, tuo tarpu 99% atvejų jis rinksis duris su ožka, o tikimybė iš karto pasirinkti duris su automobiliu yra labai maža - jie yra 1%. Po to šeimininkas atidaro 98 duris su ožkomis ir paprašo žaidėjo pasirinkti likusias duris. Tokiu atveju 99% atvejų automobilis bus už šių likusių durų, nes tikimybė, kad žaidėjas iš karto pasirinko tinkamas duris, yra labai maža. Akivaizdu, kad šioje situacijoje racionaliai mąstantis žaidėjas visada turėtų priimti lyderio pasiūlymą.

Svarstant apie padidintą durų skaičių, dažnai kyla klausimas: jei pirminėje problemoje vadovas atidaro vienas duris iš trijų (ty 1/3 viso durys), kodėl turėtume manyti, kad 100 durų atveju šeimininkas atidarys 98 duris su ožkomis, o ne 33? Šis svarstymas dažniausiai yra viena iš reikšmingų priežasčių, kodėl Monty Hall paradoksas prieštarauja intuityviam situacijos suvokimui. Darant prielaidą, kad 98 durų atidarymas bus teisingas, nes esminė sąlyga Užduotis – žaidėjui turėti tik vieną alternatyvų pasirinkimą, kurį siūlo moderatorius. Todėl, kad užduotys būtų panašios, 4 durų atveju vadovas turi atidaryti 2 duris, 5 durų atveju - 3 ir t. kurį žaidėjas iš pradžių pasirinko. Jei vedėjas atidarys mažiau durų, užduotis nebebus panaši į pradinę Monty Hall užduotį.

Pažymėtina, kad esant daugybei durų, net jei šeimininkas palieka uždarytas ne vienas duris, o kelias ir siūlo žaidėjui pasirinkti vieną iš jų, tuomet keičiant pradinį pasirinkimą, žaidėjo šansai laimėti automobilį sumažės. vis dar didėja, nors ir ne taip smarkiai. Pavyzdžiui, apsvarstykite situaciją, kai žaidėjas pasirenka vienas duris iš šimto, o tada vedėjas atidaro tik vienas iš likusių durų, kviesdamas žaidėją pakeisti savo pasirinkimą. Tuo pačiu tikimybė, kad automobilis yra už žaidėjo iš pradžių pasirinktų durų, išlieka ta pati - 1/100, o likusių durų tikimybė pasikeičia: bendra tikimybė, kad automobilis yra už vienų iš likusių durų ( 99/100) dabar platinamas ne ant 99 durų, o 98. Todėl tikimybė rasti automobilį už kiekvienos iš šių durų bus ne 1/100, o 99/9800. Tikimybės padidėjimas bus maždaug 0,01%.

sprendimų medis

Medis galimi sprendimaižaidėjas ir šeimininkas, parodydami kiekvieno rezultato tikimybę

Formaliau žaidimo scenarijų galima apibūdinti naudojant sprendimų medį.

Pirmaisiais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris, už kurių yra ožka, pasirinkimo pakeitimas lemia laimėjimą. Paskutiniais dviem atvejais, kai žaidėjas pirmą kartą pasirinko duris kartu su automobiliu, pasirinkimo pakeitimas lemia pralaimėjimą.

Bendra tikimybė, kad pasirinkimo pasikeitimas lems laimėjimą, yra lygi pirmųjų dviejų baigčių tikimybių sumai, ty

Atitinkamai, tikimybė, kad atsisakymas pakeisti pasirinkimą lems laimėjimą, yra lygi

Panašaus eksperimento atlikimas

Yra paprastas būdas įsitikinti, kad pakeitus pradinį pasirinkimą vidutiniškai laimima du kartus iš trijų. Norėdami tai padaryti, galite imituoti žaidimą, aprašytą „Monty Hall“ užduotyje Žaidžiu kortomis. Vienas asmuo (dalinantis korteles) atlieka vadovaujančio Monty Hall vaidmenį, o antrasis - žaidėjo vaidmenį. Žaidimui paimamos trys kortos, iš kurių vienoje pavaizduotos durys su automobiliu (pavyzdžiui, pikų tūzas), o kitos dvi identiškos (pvz., dvi raudonos dvikovos) yra durys su ožkomis.

Šeimininkas išdėlioja tris kortas užverstas, pakviesdamas žaidėją paimti vieną iš kortų. Po to, kai žaidėjas pasirenka kortelę, lyderis žiūri į dvi likusias kortas ir atskleidžia raudoną dvikovą. Po to atplėšiamos žaidėjo ir lyderio paliktos kortos, o jei žaidėjo pasirinkta korta yra pikų tūzas, tada taškas įrašomas varianto naudai, kai žaidėjas nekeičia savo pasirinkimo, o jei žaidėjas turi raudoną dvikovą, o lyderis – pikų tūzą, tada taškas renkamas pasirinkimo naudai, kai žaidėjas pakeičia savo pasirinkimą. Jei žaidžiame daug tokių žaidimo raundų, tai taškų santykis abiejų variantų naudai gana gerai atspindi šių variantų tikimybių santykį. Tokiu atveju paaiškėja, kad taškų skaičius už pradinio pasirinkimo pakeitimą yra maždaug dvigubai didesnis.

Toks eksperimentas ne tik įsitikina, kad pakeitus pasirinkimą tikimybė laimėti yra dvigubai didesnė, bet ir gerai iliustruoja, kodėl taip nutinka. Tuo momentu, kai žaidėjas išsirenka sau kortą, jau nustatoma, ar kasų tūzas yra jo rankoje, ar ne. Tolesnis lyderio vienos iš kortų atplėšimas situacijos nekeičia – žaidėjas kortą jau laiko rankoje, ir ji ten lieka nepriklausomai nuo lyderio veiksmų. Tikimybė, kad žaidėjas pasirinks pikų tūzą trys kortos akivaizdžiai yra 1/3, taigi tikimybė jo nepasirinkti (o tada žaidėjas laimi, jei pakeis pradinį pasirinkimą) yra 2/3.

Paminėti

Filme „Dvidešimt vienas“ mokytoja Miki Rosa pasiūlo pagrindiniam veikėjui Benui išspręsti galvosūkį: už trijų durų stovi du motoroleriai ir vienas automobilis. Norėdami laimėti automobilį, turite atspėti duris. Po pirmojo pasirinkimo Miki siūlo pakeisti pasirinkimą. Benas sutinka ir matematiškai pagrindžia savo sprendimą. Taigi jis nevalingai išlaiko testą Mikio komandai.

Sergejaus Lukjanenkos romane „Nedotepa“ pagrindiniai veikėjai, naudodami šią techniką, laimi vežimą ir galimybę tęsti kelionę.

Televizijos seriale „4isla“ (1 sezono „Žmogaus medžioklė“ 13 serija) vienas iš pagrindinių veikėjų Charlie Eppsas populiarioje matematikos paskaitoje paaiškina Monty Hall paradoksą, aiškiai iliustruodamas jį žymeklių lentomis. atvirkštinės pusės kurios yra dažytos ožkos ir automobilis. Čarlis automobilį suranda pakeisdamas pasirinkimą. Tačiau reikia pažymėti, kad jis vykdo tik vieną eksperimentą, o valiutos keitimo strategijos nauda yra statistinė, o norint teisingai iliustruoti, reikia atlikti keletą eksperimentų.

http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/36146

Populiarus kategorijoje: