Hvordan løse derivater. Derivert av en funksjon
Avledet beregning- en av de viktigste operasjonene i differensialregning. Nedenfor er en tabell for å finne deriverte av enkle funksjoner. For mer komplekse differensieringsregler, se andre leksjoner:- Tabell over deriverte av eksponentielle og logaritmiske funksjoner
Derivater av enkle funksjoner
1. Den deriverte av et tall er nullс´ = 0
Eksempel:
5' = 0
Forklaring:
Den deriverte viser hastigheten med hvilken verdien av en funksjon endres når argumentet endres. Siden tallet ikke endres på noen måte under noen forhold, er endringshastigheten alltid null.
2. Derivat av en variabel lik en
x´ = 1
Forklaring:
Med hver økning av argumentet (x) med én, øker verdien av funksjonen (resultatet av beregningen) med samme beløp. Dermed er endringshastigheten i verdien av funksjonen y = x nøyaktig lik endringshastigheten i verdien av argumentet.
3. Den deriverte av en variabel og en faktor er lik denne faktoren
сx´ = с
Eksempel:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Forklaring:
I i dette tilfellet, hver gang funksjonsargumentet endres ( X) verdien (y) øker i Med en gang. Dermed er endringshastigheten til funksjonsverdien i forhold til endringshastigheten til argumentet nøyaktig lik verdien Med.
Hvorfra følger det
(cx + b)" = c
det vil si differensialen lineær funksjon y=kx+b er lik skråningen helningen til den rette linjen (k).
4. Modulo-deriverte av en variabel lik kvotienten til denne variabelen til dens modul
|x|"= x / |x| forutsatt at x ≠ 0
Forklaring:
Siden den deriverte av en variabel (se formel 2) er lik én, skiller den deriverte av modulen seg bare ved at verdien av endringshastigheten til funksjonen endres til det motsatte når du krysser opprinnelsespunktet (prøv å tegne en graf av funksjonen y = |x| og se selv. Dette er nøyaktig hvilken verdi og returnerer uttrykket x / |x|. Når x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - en. Det vil si at for negative verdier av variabelen x, med hver økning i argumentet, reduseres verdien av funksjonen med nøyaktig samme verdi, og for positive verdier, tvert imot, øker den, men med nøyaktig samme verdi .
5. Derivert av en variabel til en potens lik produktet av et tall av denne potensen og en variabel til potensen redusert med én
(x c)"= cx c-1, forutsatt at x c og cx c-1 er definert og c ≠ 0
Eksempel:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
For å huske formelen:
Flytt graden av variabelen ned som en faktor, og reduser deretter selve graden med én. For eksempel, for x 2 - var de to foran x, og så ga den reduserte kraften (2-1 = 1) oss ganske enkelt 2x. Det samme skjedde for x 3 - vi "flytter ned" trippelen, reduserer den med en og i stedet for en terning har vi en firkant, det vil si 3x 2. Litt "uvitenskapelig" men veldig lett å huske.
6.Derivat av en brøk 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Eksempel:
Siden en brøk kan representeres som å heve til en negativ potens
(1/x)" = (x -1)", så kan du bruke formelen fra regel 5 i tabellen med derivater
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. Derivat av en brøk med en variabel av vilkårlig grad i nevneren
(1 / x c)" = - c / x c+1
Eksempel:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. Derivat av roten(derivert av variabel under kvadratrot)
(√x)" = 1 / (2√x) eller 1/2 x -1/2
Eksempel:
(√x)" = (x 1/2)" betyr at du kan bruke formelen fra regel 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)
9. Derivert av en variabel under roten av en vilkårlig grad
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)
På hvilken vi undersøkte de enkleste derivatene, og ble også kjent med reglene for differensiering og noen tekniske teknikker for å finne derivater. Derfor, hvis du ikke er veldig god med avledede funksjoner eller noen punkter i denne artikkelen ikke er helt klare, så les først leksjonen ovenfor. Vær så snill å kom i seriøs stemning - materialet er ikke enkelt, men jeg vil likevel prøve å presentere det enkelt og tydelig.
I praksis må du forholde deg til den deriverte av en kompleks funksjon veldig ofte, jeg vil til og med si, nesten alltid, når du får oppgaver med å finne deriverte.
Vi ser på tabellen ved regelen (nr. 5) for å differensiere en kompleks funksjon:
La oss finne ut av det. Først av alt, la oss ta hensyn til oppføringen. Her har vi to funksjoner - og , og funksjonen er billedlig talt nestet i funksjonen . En funksjon av denne typen (når en funksjon er nestet i en annen) kalles en kompleks funksjon.
Jeg vil kalle funksjonen ekstern funksjon, og funksjonen – intern (eller nestet) funksjon.
! Disse definisjonene er ikke teoretiske og skal ikke fremkomme i den endelige utformingen av oppgavene. Jeg bruker uformelle uttrykk "ekstern funksjon", "intern" funksjon kun for å gjøre det lettere for deg å forstå stoffet.
For å avklare situasjonen, vurder:
Eksempel 1
Finn den deriverte av en funksjon
Under sinusen har vi ikke bare bokstaven "X", men et helt uttrykk, så det vil ikke fungere å finne den deriverte med en gang fra tabellen. Vi legger også merke til at det er umulig å bruke de fire første reglene her, det ser ut til å være en forskjell, men faktum er at sinusen ikke kan "reves i stykker":
I i dette eksemplet Det er allerede intuitivt klart fra mine forklaringer at en funksjon er en kompleks funksjon, og polynomet er en intern funksjon (embedding), og en ekstern funksjon.
Første skritt det du må gjøre når du finner den deriverte av en kompleks funksjon er å forstå hvilken funksjon som er intern og hvilken som er ekstern.
Når enkle eksempler Det virker klart at et polynom er innebygd under sinusen. Men hva om alt ikke er åpenbart? Hvordan bestemme nøyaktig hvilken funksjon som er ekstern og hvilken som er intern? For å gjøre dette foreslår jeg å bruke følgende teknikk, som kan gjøres mentalt eller i et utkast.
La oss forestille oss at vi må beregne verdien av uttrykket på en kalkulator (i stedet for en kan det være et hvilket som helst tall).
Hva skal vi beregne først? Først av alt du må utføre følgende handling: , derfor vil polynomet være en intern funksjon: 
for det andre må finnes, så sinus – vil være en ekstern funksjon: 
Etter vi UTSOLGT med interne og eksterne funksjoner er det på tide å bruke regelen om differensiering av komplekse funksjoner 
.
La oss begynne å bestemme oss. Fra leksjonen Hvordan finne den deriverte? vi husker at utformingen av en løsning til en hvilken som helst derivat alltid begynner slik - vi omslutter uttrykket i parentes og setter et strøk øverst til høyre:
Først vi finner den deriverte av den ytre funksjonen (sinus), ser på tabellen over avledede av elementære funksjoner og legger merke til at . Alle tabellformler kan også brukes hvis "x" erstattes med et komplekst uttrykk, i dette tilfellet:
Vær oppmerksom på at den indre funksjonen har ikke endret seg, vi rører den ikke.
Vel, det er ganske åpenbart det
Resultatet av å bruke formelen 
i sin endelige form ser det slik ut:
Konstantfaktoren plasseres vanligvis i begynnelsen av uttrykket:
Hvis det er noen misforståelser, skriv ned løsningen på papir og les forklaringene på nytt.
Eksempel 2
Finn den deriverte av en funksjon
Eksempel 3
Finn den deriverte av en funksjon
Som alltid skriver vi ned: 
La oss finne ut hvor vi har en ekstern funksjon og hvor vi har en intern. For å gjøre dette prøver vi (mentalt eller i et utkast) å beregne verdien av uttrykket ved . Hva bør du gjøre først? Først av alt må du beregne hva basen er lik: derfor er polynomet den interne funksjonen: 
Og først da utføres eksponentieringen, derfor er potensfunksjonen en ekstern funksjon: 
I henhold til formelen 
, først må du finne den deriverte av den eksterne funksjonen, i dette tilfellet graden. Vi ser etter den nødvendige formelen i tabellen: . Vi gjentar igjen: enhver tabellformel er gyldig ikke bare for "X", men også for et komplekst uttrykk. Dermed resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon 
neste:
Jeg understreker igjen at når vi tar den deriverte av den eksterne funksjonen, endres ikke vår interne funksjon: 
Nå gjenstår det bare å finne en veldig enkel avledning av den interne funksjonen og justere resultatet litt:
Eksempel 4
Finn den deriverte av en funksjon
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).
For å konsolidere din forståelse av den deriverte av en kompleks funksjon, vil jeg gi et eksempel uten kommentarer, prøve å finne ut av det på egen hånd, begrunne hvor den eksterne og hvor den interne funksjonen er, hvorfor oppgavene løses på denne måten?
Eksempel 5
a) Finn den deriverte av funksjonen
b) Finn den deriverte av funksjonen
Eksempel 6
Finn den deriverte av en funksjon 
Her har vi en rot, og for å skille roten må den representeres som en kraft. Derfor bringer vi først funksjonen til den formen som passer for differensiering:
Ved å analysere funksjonen kommer vi til at summen av de tre leddene er en intern funksjon, og å heve til en potens er en ekstern funksjon. Vi bruker regelen om differensiering av komplekse funksjoner 
:
Vi representerer igjen graden som en radikal (rot), og for den deriverte av den interne funksjonen bruker vi en enkel regel for å differensiere summen:
Klar. Du kan også redusere uttrykket til en fellesnevner i parentes og skrive alt ned som én brøk. Det er selvfølgelig vakkert, men når du får tungvinte lange derivater, er det bedre å ikke gjøre dette (det er lett å bli forvirret, gjøre en unødvendig feil, og det vil være upraktisk for læreren å sjekke).
Eksempel 7
Finn den deriverte av en funksjon
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).
Det er interessant å merke seg at noen ganger i stedet for regelen for å differensiere en kompleks funksjon, kan du bruke regelen for å differensiere en kvotient 
, men en slik løsning vil se ut som en uvanlig perversjon. Her er et typisk eksempel:
Eksempel 8
Finn den deriverte av en funksjon
Her kan du bruke regelen om differensiering av kvotienten 
, men det er mye mer lønnsomt å finne den deriverte gjennom regelen for differensiering av en kompleks funksjon:
Vi forbereder funksjonen for differensiering - vi flytter minus ut av det deriverte tegnet, og hever cosinus til telleren:
Cosinus er en intern funksjon, eksponentiering er en ekstern funksjon.
La oss bruke vår regel 
:
Vi finner den deriverte av den interne funksjonen og tilbakestiller cosinus:
Klar. I det betraktede eksemplet er det viktig å ikke bli forvirret i skiltene. Forresten, prøv å løse det ved å bruke regelen 
, må svarene samsvare.
Eksempel 9
Finn den deriverte av en funksjon
Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd (svar på slutten av leksjonen).
Så langt har vi sett på tilfeller der vi kun hadde én hekking i en kompleks funksjon. I praktiske oppgaver kan du ofte finne derivater, der, som hekkende dukker, den ene inne i den andre, 3 eller til og med 4-5 funksjoner er nestet på en gang.
Eksempel 10
Finn den deriverte av en funksjon
La oss forstå vedleggene til denne funksjonen. La oss prøve å beregne uttrykket ved å bruke den eksperimentelle verdien. Hvordan vil vi regne med en kalkulator?
Først må du finne , som betyr at arcsine er den dypeste innebyggingen:
Denne arcsinen til en skal da kvadratisk:
Og til slutt hever vi syv til en makt: 
Det vil si at vi i dette eksemplet har tre forskjellige funksjoner og to innbygginger, mens den innerste funksjonen er arcsinus, og den ytterste funksjonen er eksponentialfunksjonen.
La oss begynne å bestemme oss
I følge regelen 
Først må du ta den deriverte av den ytre funksjonen. Vi ser på tabellen med deriverte og finner den deriverte av eksponentialfunksjonen: Den eneste forskjellen er at i stedet for "x" har vi et komplekst uttrykk, som ikke negerer gyldigheten til denne formelen. Så resultatet av å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon 
neste.
Bevis og utledning av formlene for den deriverte av eksponentialen (e til x-potensen) og eksponentialfunksjonen (a til x-potensen). Eksempler på beregning av derivater av e^2x, e^3x og e^nx. Formler for derivater av høyere orden.
Den deriverte av en eksponent er lik eksponenten selv (den deriverte av e til x-potensen er lik e til x-potensen):
(1)
(e x )′ = e x.
Den deriverte av en eksponentiell funksjon med basis av grad a er lik funksjonen selv multiplisert med naturlig logaritme fra en:
(2)
.
Avledning av formelen for den deriverte av eksponentialen, e til x potens
En eksponentiell er en eksponentiell funksjon hvis grunntall er lik tallet e, som er følgende grense:
.
Her kan det enten være et naturlig tall eller et reelt tall. Deretter utleder vi formel (1) for den deriverte av eksponentialen.
Avledning av eksponentiell derivatformel
Tenk på eksponentialen, e til x-potensen:
y = e x .
Denne funksjonen er definert for alle. La oss finne dens deriverte med hensyn til variabelen x. Per definisjon er derivatet følgende grense:
(3)
.
La oss transformere dette uttrykket for å redusere det til kjente matematiske egenskaper og regler. For å gjøre dette trenger vi følgende fakta:
EN) Eksponentegenskap:
(4)
;
B) Egenskapen til logaritmen:
(5)
;
I) Kontinuitet til logaritmen og egenskapen til grenser for en kontinuerlig funksjon:
(6)
.
Her er en funksjon som har en grense og denne grensen er positiv.
G) Betydningen av den andre bemerkelsesverdige grensen:
(7)
.
La oss bruke disse fakta til vår grense (3). Vi bruker eiendom (4):
;
.
La oss gjøre en erstatning. Deretter ; .
På grunn av kontinuiteten til eksponentialen,
.
Derfor, når , . Som et resultat får vi:
.
La oss gjøre en erstatning. Deretter . På , . Og vi har:
.
La oss bruke logaritme-egenskapen (5):
. Deretter
.
La oss bruke eiendom (6). Siden det er en positiv grense og logaritmen er kontinuerlig, så:
.
Her brukte vi også den andre bemerkelsesverdige grensen (7). Deretter
.
Dermed fikk vi formel (1) for den deriverte av eksponentialen.
Derivasjon av formelen for den deriverte av en eksponentiell funksjon
Nå utleder vi formel (2) for den deriverte av eksponentialfunksjonen med en base av grad a. Vi tror det og . Deretter eksponentiell funksjon
(8)
Definert for alle.
La oss transformere formel (8). Til dette vil vi bruke egenskapene til eksponentialfunksjonen og logaritme.
;
.
Så vi transformerte formel (8) til følgende form:
.
Høyere ordens deriverte av e i x-potensen
La oss nå finne derivater av høyere ordener. La oss først se på eksponenten:
(14)
.
(1)
.
Vi ser at den deriverte av funksjon (14) er lik funksjon (14) i seg selv. Ved å differensiere (1), får vi derivater av andre og tredje orden:
;
.
Dette viser at den n-te ordens deriverte også er lik den opprinnelige funksjonen:
.
Høyere ordens deriverte av eksponentialfunksjonen
La oss nå vurdere eksponentiell funksjon med kraftbase a:
.
Vi fant dens førsteordens derivat:
(15)
.
Ved å differensiere (15), får vi derivater av andre og tredje orden:
;
.
Vi ser at hver differensiering fører til multiplikasjon av den opprinnelige funksjonen med . Derfor har den n-te ordens deriverte følgende form:
.
Etter foreløpig artilleriforberedelse vil eksempler med 3-4-5 hekker av funksjoner være mindre skumle. De følgende to eksemplene kan virke kompliserte for noen, men hvis du forstår dem (noen vil lide), vil nesten alt annet i differensialregning virke som en barnespøk.
Eksempel 2
Finn den deriverte av en funksjon
Som allerede nevnt, når du finner derivatet av en kompleks funksjon, er det først og fremst nødvendig Ikke sant FORSTÅ investeringene dine. I tilfeller der det er tvil minner jeg deg på nyttig triks: vi tar for eksempel den eksperimentelle betydningen av "x", og prøver (mentalt eller i et utkast) å erstatte denne betydningen med det "forferdelige uttrykket".
1) Først må vi beregne uttrykket, som betyr at summen er den dypeste innebyggingen.
2) Deretter må du beregne logaritmen:
4) Deretter kuber cosinus:
5) På det femte trinnet er forskjellen:
6) Og til slutt, den ytterste funksjonen er kvadratroten: 
Formel for å differensiere en kompleks funksjon 
brukes i omvendt rekkefølge, fra den ytterste funksjonen til den innerste. Vi bestemmer:
Det virker uten feil:
1) Ta den deriverte av kvadratrot.
2) Ta den deriverte av differansen ved å bruke regelen 
3) Den deriverte av en trippel er null. I andre ledd tar vi den deriverte av graden (kuben).
4) Ta derivatet av cosinus.
6) Og til slutt tar vi derivatet av den dypeste innebyggingen.
Det kan virke for vanskelig, men dette er ikke det mest brutale eksemplet. Ta for eksempel Kuznetsovs samling, og du vil sette pris på all skjønnheten og enkelheten til det analyserte derivatet. Jeg la merke til at de liker å gi en lignende ting i en eksamen for å sjekke om en student forstår hvordan man finner den deriverte av en kompleks funksjon eller ikke forstår.
Følgende eksempel er for deg å løse på egen hånd.
Eksempel 3
Finn den deriverte av en funksjon
Hint: Først bruker vi linearitetsreglene og produktdifferensieringsregelen
Full løsning og svar på slutten av timen.
Det er på tide å gå videre til noe mindre og finere.
Det er ikke uvanlig at et eksempel viser produktet av ikke to, men tre funksjoner. Hvordan finne den deriverte av produkter av tre multiplikatorer?
Eksempel 4
Finn den deriverte av en funksjon 
Først ser vi, er det mulig å gjøre produktet av tre funksjoner til produktet av to funksjoner? For eksempel, hvis vi hadde to polynomer i produktet, så kunne vi åpne parentesene. Men i eksemplet under vurdering er alle funksjonene forskjellige: grad, eksponent og logaritme.
I slike tilfeller er det nødvendig sekvensielt bruke produktdifferensieringsregelen 
to ganger
Trikset er at vi med «y» betegner produktet av to funksjoner: , og med «ve» betegner vi logaritmen: . Hvorfor kan dette gjøres? Er det virkelig 
- dette er ikke et produkt av to faktorer og regelen fungerer ikke?! Det er ikke noe komplisert:
Nå gjenstår det å bruke regelen en gang til til brakett:
Du kan også bli vridd og sette noe ut av parentes, men i dette tilfellet er det bedre å la svaret nøyaktig i dette skjemaet - det vil være lettere å sjekke.
Det betraktede eksemplet kan løses på den andre måten:
Begge løsningene er helt like.
Eksempel 5
Finn den deriverte av en funksjon
Dette er et eksempel på en uavhengig løsning; i prøven løses den ved hjelp av den første metoden.
La oss se på lignende eksempler med brøker.
Eksempel 6
Finn den deriverte av en funksjon 
Det er flere måter du kan gå her:
Eller slik:
Men løsningen vil skrives mer kompakt hvis vi først bruker regelen om differensiering av kvotienten 
, tar for hele telleren:
I prinsippet er eksemplet løst, og hvis det blir stående som det er, vil det ikke være en feil. Men hvis du har tid, er det alltid lurt å sjekke et utkast for å se om svaret kan forenkles?
La oss redusere uttrykket av telleren til en fellesnevner og bli kvitt den tre-etasjes strukturen til brøken:
Ulempen med ytterligere forenklinger er at det er en risiko for å gjøre feil ikke når man finner den deriverte, men under banale skoletransformasjoner. På den annen side avviser lærere ofte oppgaven og ber om å "minne det på det" avledet.
Et enklere eksempel å løse på egen hånd:
Eksempel 7
Finn den deriverte av en funksjon
Vi fortsetter å mestre metodene for å finne den deriverte, og nå vil vi vurdere et typisk tilfelle når den "forferdelige" logaritmen foreslås for differensiering
Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering.
Som et resultat av å løse problemer med å finne deriverte av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene ved å definere den deriverte som grensen for forholdet mellom økningen og økningen av argumentet, dukket det opp en tabell med deriverte og nøyaktig definerte regler for differensiering . De første som arbeidet med å finne derivater var Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Derfor, i vår tid, for å finne den deriverte av en funksjon, trenger du ikke å beregne den ovennevnte grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, men du trenger bare å bruke tabellen med derivater og differensieringsreglene. Følgende algoritme er egnet for å finne den deriverte.
For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under primtegnet bryte ned enkle funksjoner i komponenter og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Deretter finner vi derivatene av elementære funksjoner i tabellen over derivater, og formlene for derivatene til produktet, sum og kvotient - i differensieringsreglene. Den deriverte tabellen og differensieringsreglene er gitt etter de to første eksemplene.
Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Fra differensieringsreglene finner vi ut at den deriverte av en sum av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.
Fra tabellen over deriverte finner vi ut at den deriverte av "x" er lik en, og den deriverte av sinus er lik cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:
Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi differensierer som en derivert av en sum der det andre leddet har en konstant faktor; det kan tas ut av tegnet til den deriverte:
Hvis det likevel dukker opp spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de vanligvis ryddet opp etter å ha satt seg inn i tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi går videre til dem akkurat nå.
Tabell over deriverte av enkle funksjoner
| 1. Derivert av en konstant (tall). Et hvilket som helst tall (1, 2, 5, 200...) som er i funksjonsuttrykket. Alltid lik null. Dette er veldig viktig å huske, da det kreves veldig ofte | |
| 2. Derivert av den uavhengige variabelen. Oftest "X". Alltid lik en. Dette er også viktig å huske lenge | |
| 3. Avledet av grad. Når du løser problemer, må du konvertere ikke-kvadratrøtter til potenser. | |
| 4. Derivert av en variabel i potensen -1 | |
| 5. Avledet av kvadratrot | |
| 6. Derivert av sinus | |
| 7. Derivat av cosinus |  |
| 8. Derivert av tangent |  |
| 9. Derivat av cotangens |  |
| 10. Derivat av arcsine |  |
| 11. Derivat av arc cosinus |  |
| 12. Derivat av arctangens |  |
| 13. Derivat av lysbue cotangens |  |
| 14. Derivert av den naturlige logaritmen | |
| 15. Derivert av en logaritmisk funksjon |  |
| 16. Derivert av eksponenten | |
| 17. Derivert av en eksponentiell funksjon |
Regler for differensiering
| 1. Derivert av en sum eller differanse |  |
| 2. Derivat av produktet |  |
| 2a. Derivert av et uttrykk multiplisert med en konstant faktor | |
| 3. Derivat av kvotienten |  |
| 4. Derivat av en kompleks funksjon |  |
Regel 1.Hvis funksjonene
er differensierbare på et tidspunkt, så er funksjonene differensierbare på samme punkt
og
de. den deriverte av en algebraisk sum av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene.
Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med et konstant ledd, er deres deriverte like, dvs.
Regel 2.Hvis funksjonene
er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres differensierbart på samme punkt
og
de. Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.
Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:
Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver faktor og alle de andre.
For eksempel, for tre multiplikatorer:
Regel 3.Hvis funksjonene
differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbaru/v , og
de. den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren.
Hvor du kan se etter ting på andre sider
Når man finner den deriverte av et produkt og kvotienten i reelle problemer Det er alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig, så det er flere eksempler på disse derivatene i artikkelen"Derivat av produktet og kvotient av funksjoner".
Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i en sum og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dets deriverte lik null, og når det gjelder en konstant faktor, er det tatt ut av tegnet til de deriverte. Dette er en typisk feil som oppstår på det første stadiet studere derivater, men ettersom de løser flere en- og todelte eksempler, gjør ikke den gjennomsnittlige eleven lenger denne feilen.
Og hvis du, når du differensierer et produkt eller kvotient, har et begrep u"v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (dette tilfellet er diskutert i eksempel 10).
Annen vanlig feil- mekanisk løsning av den deriverte av en kompleks funksjon som en derivert av en enkel funksjon. Derfor avledet av en kompleks funksjon en egen artikkel er viet. Men først skal vi lære å finne deriverte av enkle funksjoner.
Underveis kan du ikke gjøre uten å transformere uttrykk. For å gjøre dette må du kanskje åpne manualen i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Operasjoner med brøker .
Hvis du leter etter løsninger på deriverte av brøker med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som 
, følg deretter leksjonen "Derivert av summer av brøker med potenser og røtter."
Hvis du har en oppgave som 
, så vil du ta leksjonen "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner".
Steg-for-trinn eksempler - hvordan finne den deriverte
Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi definerer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder ett av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene med den deriverte av den andre:
Deretter bruker vi regelen for differensiering av summen: den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle har det andre leddet et minustegn i hver sum. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "X" blir til en, og minus 5 blir til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende avledede verdier:
Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:
Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere kvotienten: den deriverte av kvotienten til to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene til nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:
Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:
Hvis du leter etter løsninger på problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og potenser, som f.eks. 
, så velkommen til timen "Derivat av summer av brøker med potenser og røtter" .
Hvis du trenger å lære mer om derivatene av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut , så en leksjon for deg "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner" .
Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, hvor en av faktorene er kvadratroten av den uavhengige variabelen, den deriverte vi gjorde oss kjent med i tabellen over deriverte. Ved å bruke regelen for å skille produktet og tabellverdien til den deriverte av kvadratroten, får vi:
Eksempel 6. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. I denne funksjonen ser vi en kvotient hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. Ved å bruke regelen for differensiering av kvotienter, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og den tabulerte verdien av den deriverte av kvadratroten, får vi:
For å bli kvitt en brøk i telleren, multipliser telleren og nevneren med .
