Propriedades dos logaritmos naturais da fórmula. Propriedades dos logaritmos e exemplos de suas soluções

A função LN no Excel foi projetada para calcular Logaritmo natural números e retorna o valor numérico correspondente. O logaritmo natural é a base e logaritmo (um número de Euler de aproximadamente 2,718).

A função LOG no Excel é usada para calcular o logaritmo de um número, enquanto a base do logaritmo pode ser especificada explicitamente como o segundo argumento dessa função.

A função LOG10 no Excel foi projetada para calcular o logaritmo de um número com base 10 (logaritmo decimal).

Exemplos de uso das funções LN, LOG e LOG10 no Excel

Arqueólogos encontraram restos de um animal antigo. Para determinar sua idade, decidiu-se usar o método de análise de radiocarbono. Como resultado das medições, descobriu-se que o conteúdo do isótopo radioativo C 14 era de 17% da quantidade que geralmente é encontrada em organismos vivos. Calcule a idade dos restos mortais se a meia-vida do isótopo do carbono 14 for de 5.760 anos.

Visualização da tabela original:

Usamos a seguinte fórmula para resolver:

Esta fórmula foi obtida com base na fórmula x=t*(lgB-lgq)/lgp, onde:

• q é a quantidade de isótopo de carbono no momento inicial (no momento da morte do animal), expressa em unidade (ou 100%);
• B é a quantidade do isótopo no momento da análise dos restos;
• t é a meia-vida do isótopo;
• p é um valor numérico que indica quantas vezes a quantidade de uma substância (isótopo de carbono) muda durante um período de tempo t.

Como resultado dos cálculos, obtemos:

Os restos encontrados têm quase 15 mil anos.



Calculadora de depósitos com juros compostos no Excel

Um cliente do banco fez um depósito no valor de 50.000 rublos com uma taxa de juros de 14,5% (juros compostos). Determine quanto tempo levará para dobrar o valor investido?

Fato interessante! Para resolver rapidamente esse problema, você pode usar o método empírico de aproximar o prazo (em anos) para dobrar os investimentos investidos a juros compostos. A chamada regra 72 (ou 70 ou regra 69). Para fazer isso, você precisa usar uma fórmula simples - o número 72 dividido por taxa de juro: 72/14,5 = 4,9655 anos. Principal desvantagem a regra do número "mágico" 72 está no erro. Quanto maior a taxa de juros, maior o erro na regra 72. Por exemplo, com uma taxa de juros de 100% ao ano, o erro em anos chega a 0,72 (e em percentual chega a 28%!).

Para calcular com precisão o momento de dobrar os investimentos, usaremos a função LOG. Por um lado, vamos verificar o erro da regra 72 a uma taxa de juros de 14,5% ao ano.

Visualização da tabela original:

Para calcular o valor futuro de um investimento a uma taxa de juros conhecida, você pode usar a seguinte fórmula: S=A(100%+n%) t , onde:

• S é o valor esperado ao final do prazo;
• A é o valor do depósito;
• n - taxa de juros;
• t é o prazo de manutenção dos fundos de depósito no banco.

Para este exemplo, esta fórmula pode ser escrita como 100000=50000*(100%+14,5%) t ou 2=(100%+14,5%) t . Então, para encontrar t, você pode reescrever a equação como t=log (114,5%) 2 ou t=log 1,1452 .

Para encontrar o valor de t, escrevemos a seguinte fórmula para juros compostos sobre um depósito no Excel:

LOG(B4/B2;1+B3)

Descrição dos argumentos:

• B4/B2 - a proporção dos valores esperados e iniciais, que é um indicador do logaritmo;
• 1+B3 - ganho de juros (base do logaritmo).

Como resultado dos cálculos, obtemos:

O depósito dobrará após pouco mais de 5 anos. Para definição exata anos e meses, usamos a fórmula:

A função SELECT descarta tudo após o ponto decimal em um número fracionário, semelhante à função INTEGER. A diferença entre as funções SELECT e WHOLE está apenas nos cálculos com números fracionários negativos. Além disso, OTBR possui um segundo argumento onde você pode especificar o número de casas decimais a serem deixadas. Poeta em este caso você pode usar qualquer uma dessas duas funções à escolha do usuário.

Aconteceu 5 anos e 1 mês e 12 dias. Agora vamos comparar os resultados exatos com a regra de 72 e determinar a quantidade de erro. Para este exemplo, a fórmula é:

Temos que multiplicar o valor da célula B3 por 100, pois seu valor atual é 0,145, que é exibido como uma porcentagem. Como resultado:

Depois copiamos a fórmula da célula B6 para a célula B8, e na célula B9:

Vamos calcular os termos de erro:

Em seguida, na célula B10, copie novamente a fórmula da célula B6. Como resultado, obtemos a diferença:

E, finalmente, vamos calcular a diferença percentual para verificar como o tamanho do desvio muda e o quão significativamente o aumento da taxa de juros afeta o nível de discrepância entre a regra 72 e o fato:

Agora, para visualizar a dependência proporcional do aumento do erro e do aumento do nível da taxa de juros, vamos aumentar a taxa de juros para 100% ao ano:

À primeira vista, a diferença de erro não é significativa em comparação com 14,5% ao ano - apenas cerca de 2 meses e 100% ao ano - em 3 meses. Mas a parcela de erro no período de retorno é superior a ¼, ou melhor, 28%.

Vamos fazer um gráfico simples para análise visual de como a dependência da variação da taxa de juros e a porcentagem do erro da regra 72 se correlaciona com o fato:

Quanto maior a taxa de juros, pior funciona a regra 72. Como resultado, podemos tirar a seguinte conclusão: até 32,2% ao ano, você pode usar a regra 72 com segurança. Ele servirá se for preciso, mas cálculos complexos sobre o período de retorno dos investimentos em 2 vezes não são necessários.

Calculadora de juros compostos de investimento com capitalização no Excel

Foi oferecido ao cliente do banco a realização de um depósito com aumento contínuo do valor total (capitalização com juros compostos). A taxa de juros é de 13% ao ano. Determine quanto tempo levará para triplicar o valor inicial (250.000 rublos). De quanto a taxa de juros deve ser aumentada para reduzir pela metade o tempo de espera?

Nota: como estamos em este exemplo triplicamos o valor dos investimentos, então a regra 72 não funciona aqui.

Visualização da tabela de dados original:

O crescimento contínuo pode ser descrito pela fórmula ln(N)=p*t, onde:

• N é a relação entre o valor final do depósito e o inicial;
• p é a taxa de juros;
• t é o número de anos que se passaram desde que o depósito foi feito.

Então t=ln(N)/p. Com base nessa igualdade, escrevemos a fórmula no Excel:

Descrição dos argumentos:

• B3/B2 - a relação entre os valores final e inicial do depósito;
• B4 - taxa de juros.

Levará quase 8,5 anos para triplicar o valor do depósito inicial. Para calcular a tarifa que reduzirá o tempo de espera pela metade, utilizamos a fórmula:

LN(B3/B2)/(0,5*B5)

Resultado:

Ou seja, é preciso dobrar a taxa de juros inicial.

Recursos de uso das funções LN, LOG e LOG10 no Excel

A função LN tem a seguinte sintaxe:

LN(número)

• number é o único argumento obrigatório que aceita números reais de um intervalo de valores positivos.

Notas:

1. A função LN é inversa função EXP. O último retorna o valor obtido elevando o número e à potência especificada. A função LN especifica a potência à qual o número e (base) deve ser elevado para obter o expoente do logaritmo (o argumento do número).
2. Se o argumento de número for um número na faixa de valores negativos ou zero, o resultado da função LN é o código de erro #NUM!.

A sintaxe da função LOG é a seguinte:

LOG(número ;[base])

Descrição dos argumentos:

• número - argumento obrigatório que caracteriza o valor numérico do expoente do logaritmo, ou seja, o número obtido ao elevar a base do logaritmo a uma determinada potência, que será calculada pela função LOG;
• [base] é um argumento opcional que caracteriza o valor numérico da base do logaritmo. Se o argumento não for especificado explicitamente, o logaritmo será considerado decimal (ou seja, a base é 10).

Notas:

1. Embora o resultado da função LOG possa ser um número negativo (por exemplo, a função =LOG(2;0,25) retornará -0,5), os argumentos dessa função devem ser retirados do intervalo de valores positivos. Se pelo menos um dos argumentos for um número negativo, função LOG retornará o código de erro #NUM!.
2. Se 1 for passado como argumento [base], a função LOG retornará o código de erro #DIV/0!, pois o resultado da elevação de 1 a qualquer potência será sempre o mesmo e igual a 1.

A função LOG10 tem a seguinte notação de sintaxe:

LOG10(número)

• number é o único e obrigatório argumento, cujo significado é idêntico ao argumento de mesmo nome das funções LN e LOG.

Nota: Se um número negativo ou 0 for passado como argumento de número, a função LOG10 retornará o código de erro #NUM!.

O logaritmo do número b na base a é o expoente ao qual você precisa elevar o número a para obter o número b.

Se então .

O logaritmo é extremamente quantidade matemática importante, uma vez que o cálculo logarítmico permite não só resolver equações exponenciais, mas também operar com indicadores, diferenciar funções exponenciais e logarítmicas, integrá-las e levar a uma forma mais aceitável de ser calculada.

Em contato com

Todas as propriedades dos logaritmos estão diretamente relacionadas às propriedades funções exponenciais. Por exemplo, o fato de significa que:

Deve-se notar que, ao resolver problemas específicos, as propriedades dos logaritmos podem ser mais importantes e úteis do que as regras para trabalhar com potências.

Aqui estão algumas identidades:

Aqui estão as principais expressões algébricas:

;

.

Atenção! só pode existir para x>0, x≠1, y>0.

Vamos tentar entender a questão do que são logaritmos naturais. Interesse separado em matemática representam dois tipos- o primeiro tem o número "10" na base, e é chamado de "logaritmo decimal". O segundo é chamado natural. A base do logaritmo natural é o número e. É sobre ele que falaremos em detalhes neste artigo.

Designações:

• lg x - decimal;
• ln x - natural.

Usando a identidade, podemos ver que ln e = 1, assim como lg 10=1.

gráfico de log natural

Construímos um gráfico do logaritmo natural na forma clássica padrão por pontos. Se desejar, você pode verificar se estamos construindo uma função corretamente examinando a função. No entanto, faz sentido aprender a construí-lo "manualmente" para saber como calcular corretamente o logaritmo.

Função: y = log x. Vamos escrever uma tabela de pontos pelos quais o gráfico passará:

Vamos explicar porque escolhemos tais valores do argumento x. É tudo uma questão de identidade: Para um logaritmo natural, essa identidade ficará assim:

Por conveniência, podemos tomar cinco pontos de referência:

;

;

.

;

.

Assim, contar logaritmos naturais é uma tarefa bastante simples, além disso, simplifica o cálculo de operações com potências, transformando-as em multiplicação normal.

Tendo construído um gráfico por pontos, obtemos um gráfico aproximado:

O domínio do logaritmo natural (ou seja, todos os valores válidos do argumento X) são todos os números maiores que zero.

Atenção! O domínio de definição do logaritmo natural inclui apenas números positivos! O escopo não inclui x=0. Isso é impossível com base nas condições de existência do logaritmo.

O intervalo de valores (ou seja, todos os valores válidos da função y = ln x) são todos os números no intervalo.

limite de log natural

Estudando o gráfico, surge a pergunta - como a função se comporta quando y<0.

Obviamente, o gráfico da função tende a cruzar o eixo y, mas não poderá fazer isso, pois o logaritmo natural de x<0 не существует.

limite natural registro pode ser escrito assim:

Fórmula para mudar a base de um logaritmo

Lidar com um logaritmo natural é muito mais fácil do que lidar com um logaritmo que tem uma base arbitrária. É por isso que tentaremos aprender como reduzir qualquer logaritmo a um natural, ou expressá-lo em uma base arbitrária por meio de logaritmos naturais.

Vamos começar com a identidade logarítmica:

Então qualquer número ou variável y pode ser representado como:

onde x é qualquer número (positivo de acordo com as propriedades do logaritmo).

Esta expressão pode ser logaritmizada em ambos os lados. Vamos fazer isso com uma base arbitrária z:

Vamos usar a propriedade (só que ao invés de "with" temos uma expressão):

A partir daqui, obtemos a fórmula universal:

.

Em particular, se z=e, então:

.

Conseguimos representar o logaritmo para uma base arbitrária através da razão de dois logaritmos naturais.

Nós resolvemos problemas

Para navegar melhor em logaritmos naturais, considere exemplos de vários problemas.

Tarefa 1. É necessário resolver a equação ln x = 3.

Solução: Usando a definição do logaritmo: se , então , obtemos:

Tarefa 2. Resolva a equação (5 + 3 * ln (x - 3)) = 3.

Solução: Usando a definição do logaritmo: se , então , obtemos:

.

Mais uma vez, aplicamos a definição do logaritmo:

.

Por isso:

.

Você pode calcular a resposta aproximadamente ou pode deixá-la neste formulário.

Tarefa 3. Resolva a equação.

Solução: Vamos fazer uma substituição: t = ln x. Então a equação terá a seguinte forma:

.

Temos uma equação quadrática. Vamos encontrar seu discriminante:

Primeira raiz da equação:

.

Segunda raiz da equação:

.

Lembrando que fizemos a substituição t = ln x, obtemos:

Em estatística e teoria da probabilidade, quantidades logarítmicas são muito comuns. Isso não é surpreendente, porque o número e - geralmente reflete a taxa de crescimento de valores exponenciais.

Em ciência da computação, programação e teoria da computação, logaritmos são bastante comuns, por exemplo, para armazenar N bits na memória.

Nas teorias de fractais e dimensões, os logaritmos são constantemente usados, pois as dimensões dos fractais são determinadas apenas com a ajuda deles.

Na mecânica e na física não há nenhuma seção onde os logaritmos não foram usados. A distribuição barométrica, todos os princípios da termodinâmica estatística, a equação de Tsiolkovsky e assim por diante são processos que só podem ser descritos matematicamente usando logaritmos.

Em química, o logaritmo é usado nas equações de Nernst, descrições de processos redox.

Surpreendentemente, até na música, para descobrir o número de partes de uma oitava, usam-se logaritmos.

Função de logaritmo natural y=ln x suas propriedades

Prova da principal propriedade do logaritmo natural

Aula e apresentação sobre os temas: "Logaritmos naturais. Base de um logaritmo natural. Logaritmo de um número natural"

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O que é logaritmo natural

Pessoal, na última aula aprendemos um novo número especial - E. Hoje vamos continuar trabalhando com esse número.
Estudamos logaritmos e sabemos que a base do logaritmo pode ser um conjunto de números maiores que 0. Hoje também consideraremos o logaritmo, que é baseado no número e. Tal logaritmo é geralmente chamado de logaritmo natural . Tem sua própria notação: $\ln(n)$ é o logaritmo natural. Esta notação é equivalente a: $\log_e(n)=\ln(n)$.
As funções exponenciais e logarítmicas são inversas, então o logaritmo natural é a inversa da função: $y=e^x$.
As funções inversas são simétricas em relação à reta $y=x$.
Vamos plotar o logaritmo natural plotando a função exponencial em relação à reta $y=x$.

Vale notar que a inclinação da tangente ao gráfico da função $y=e^x$ no ponto (0;1) é de 45°. Então a inclinação da tangente ao gráfico do logaritmo natural no ponto (1; 0) também será igual a 45°. Ambas as tangentes serão paralelas à linha $y=x$. Vamos esboçar as tangentes:

Propriedades da função $y=\ln(x)$

1. $D(f)=(0;+∞)$.
2. Não é par nem ímpar.
3. Aumenta em todo o domínio de definição.
4. Não limitado de cima, não limitado de baixo.
5. Não existe valor máximo, não existe valor mínimo.
6. Contínuo.
7. $E(f)=(-∞; +∞)$.
8. Convexo para cima.
9. Diferenciável em todos os lugares.

No curso da matemática superior é provado que a derivada de uma função inversa é o recíproco da derivada da função dada.
Não faz muito sentido nos aprofundarmos na prova, vamos apenas escrever a fórmula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Exemplo.
Calcule o valor da derivada da função: $y=\ln(2x-7)$ no ponto $x=4$.
Solução.
Em geral, nossa função é representada pela função $y=f(kx+m)$, podemos calcular as derivadas de tais funções.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Vamos calcular o valor da derivada no ponto requerido: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Resposta: 2.

Exemplo.
Desenhe uma tangente ao gráfico da função $y=ln(x)$ no ponto $x=e$.
Solução.
A equação da tangente ao gráfico da função, no ponto $x=a$, lembramos bem.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Vamos calcular sequencialmente os valores necessários.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
A equação da tangente no ponto $x=e$ é a função $y=\frac(x)(e)$.
Vamos plotar o logaritmo natural e a tangente.

Exemplo.
Investigue a função para monotonicidade e extrema: $y=x^6-6*ln(x)$.
Solução.
Domínio da função $D(y)=(0;+∞)$.
Encontre a derivada da função dada:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
A derivada existe para todo x do domínio de definição, então não há pontos críticos. Vamos encontrar pontos estacionários:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
O ponto $х=-1$ não pertence ao domínio de definição. Então temos um ponto estacionário $х=1$. Encontre os intervalos de aumento e diminuição:

O ponto $x=1$ é o ponto mínimo, então $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Resposta: A função diminui no segmento (0;1), a função aumenta no raio $ (\displaystyle ). A simplicidade desta definição, que é consistente com muitas outras fórmulas que usam este logaritmo, explica a origem do nome "natural".

Se considerarmos o logaritmo natural como uma função real de uma variável real, então é a função inversa da função exponencial, que leva às identidades:

e log ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log ⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Como todos os logaritmos, o logaritmo natural mapeia a multiplicação para a adição:

ln ⁡ x y = ln ⁡ x + ln ⁡ y . (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)

Pode ser, por exemplo, uma calculadora do conjunto básico de programas do sistema operacional Windows. O link para iniciá-lo está oculto no menu principal do sistema operacional - abra-o clicando no botão "Iniciar", abra a seção "Programas", vá para a subseção "Acessórios" e depois para "Utilitários" seção e, finalmente, clique no item "Calculadora". Você pode usar o teclado e a caixa de diálogo de inicialização do programa em vez do mouse e navegar pelo menu - pressione a combinação de teclas WIN + R, digite calc (este é o nome do arquivo executável da calculadora) e pressione a tecla Enter.

Mude a interface da calculadora para o modo avançado, permitindo que você. Por padrão, ele abre no formato "normal" e você precisa de "engenharia" ou "" (dependendo da versão do sistema operacional que você está usando). Expanda a seção "Exibir" no menu e selecione a linha apropriada.

Insira o argumento cujo valor natural deve ser calculado. Isso pode ser feito tanto no teclado quanto clicando nos botões correspondentes na interface da calculadora na tela.

Clique no botão chamado ln - o programa calculará o logaritmo para a base e e exibirá o resultado.

Use uma das calculadoras como alternativa para calcular o valor do logaritmo natural. Por exemplo, aquele localizado em http://calc.org.ua. Sua interface é extremamente simples - há um único campo de entrada onde você precisa digitar o valor do número, cujo logaritmo deseja calcular. Entre os botões, localize e clique naquele que diz ln. O script desta calculadora não requer o envio de dados para o servidor e uma resposta, então você receberá o resultado do cálculo quase instantaneamente. A única característica que deve ser levada em consideração é que o separador entre as partes fracionária e inteira do número digitado deve ser um ponto aqui, e não .

O termo " logaritmo" veio de duas palavras gregas, uma das quais significa "número" e a outra - "relação". Eles denotam a operação matemática de calcular uma variável (expoente), à ​​qual um valor constante (base) deve ser elevado para obter o número indicado sob o sinal logaritmo A. Se a base for igual a uma constante matemática, chamada de número "e", então logaritmo chamados de "naturais".

você vai precisar

• Acesso à Internet, Microsoft Office Excel ou calculadora.

Instrução

Use as muitas calculadoras apresentadas na Internet - esta é, talvez, uma maneira fácil de calcular a natural. Você não precisará procurar o serviço apropriado, pois muitos mecanismos de pesquisa possuem calculadoras embutidas que são bastante adequadas para trabalhar com logaritmo ami. Por exemplo, vá para a página inicial do maior mecanismo de pesquisa online - o Google. Nenhum botão para inserir valores e selecionar funções é necessário aqui, basta digitar a ação matemática desejada no campo de entrada da consulta. Digamos que para calcular logaritmo e os números 457 na base "e" digite ln 457 - isso será suficiente para o Google exibir com precisão de oito casas decimais (6,12468339) mesmo sem pressionar o botão para enviar uma solicitação ao servidor.

Use a função interna apropriada se precisar calcular o valor de um natural logaritmo mas ocorre ao trabalhar com dados no popular editor de planilhas Microsoft Office Excel. Esta função é chamada aqui usando a notação convencional como logaritmo e em maiúsculas - LN. Selecione a célula na qual o resultado do cálculo deve ser exibido e insira um sinal de igual - é assim que as entradas nas células contidas na subseção "Padrão" da seção "Todos os programas" do menu principal devem começar nesta tabela editor. Mude a calculadora para um modo mais funcional pressionando o atalho de teclado Alt + 2. Em seguida, insira o valor, natural logaritmo que você deseja calcular e clique no botão na interface do programa, marcado com os símbolos ln. O aplicativo realizará o cálculo e exibirá o resultado.

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