Como encontrar a área de um trapézio se. Como encontrar a área de um trapézio isósceles

E . Agora podemos começar a considerar a questão de como encontrar a área de um trapézio. Essa tarefa na vida cotidiana ocorre muito raramente, mas às vezes é necessário, por exemplo, encontrar a área de uma sala em forma de trapézio, cada vez mais utilizada na construção de apartamentos modernos, ou em projetos de design de renovação.

trapézio é figura geométrica, formado por quatro segmentos que se cruzam, dois dos quais são paralelos entre si e são chamados de bases de um trapézio. Os outros dois segmentos são chamados de lados do trapézio. Além disso, precisaremos de outra definição mais adiante. Esta é a linha média do trapézio, que é um segmento que liga os pontos médios dos lados e a altura do trapézio, que é igual à distância entre as bases.
Como os triângulos, um trapézio tem tipos particulares na forma de um trapézio isósceles (isosceles), no qual os comprimentos dos lados são iguais e um trapézio retangular, no qual um dos lados forma um ângulo reto com as bases.

Os trapézios têm algumas propriedades interessantes:

1. A linha média de um trapézio é metade da soma das bases e paralela a elas.
   
2. Os trapézios isósceles têm lados e ângulos iguais que formam com as bases.
   
3. Os pontos médios das diagonais de um trapézio e o ponto de interseção de suas diagonais estão na mesma linha reta.
   
4. Se a soma dos lados de um trapézio é igual à soma das bases, então um círculo pode ser inscrito nele
   
5. Se a soma dos ângulos formados pelos lados de um trapézio em qualquer uma de suas bases for 90, então o comprimento do segmento que liga os pontos médios das bases é igual à sua meia diferença.
   
6. Um trapézio isósceles pode ser descrito por um círculo. E vice versa. Se um trapézio está inscrito em um círculo, então ele é isósceles.
   
7. Um segmento que passa pelos pontos médios das bases trapézio isósceles será perpendicular às suas bases e representa o eixo de simetria.
   

Como encontrar a área de um trapézio.

A área de um trapézio será metade da soma de suas bases multiplicada por sua altura. Na forma de uma fórmula, isso é escrito como uma expressão:

onde S é a área do trapézio, a,b é o comprimento de cada uma das bases do trapézio, h é a altura do trapézio.

Você pode entender e lembrar esta fórmula da seguinte maneira. Como segue da figura abaixo, um trapézio usando a linha média pode ser convertido em um retângulo, cujo comprimento será igual à metade da soma das bases.

Você também pode decompor qualquer trapézio em mais figuras simples: um retângulo e um ou dois triângulos e, se for mais fácil para você, encontre a área do trapézio como a soma das áreas de suas figuras constituintes.

tem mais um fórmula simples para calcular sua área. Segundo ele, a área do trapézio é igual ao produto de sua linha média pela altura do trapézio e é escrita como: S \u003d m * h, onde S é a área, m é o comprimento do a linha média, h é a altura do trapézio. Esta fórmula é mais adequada para problemas matemáticos do que para problemas do dia a dia, pois em condições reais você não saberá o comprimento da linha intermediária sem cálculos preliminares. E você só saberá os comprimentos das bases e dos lados.

Nesse caso, a área do trapézio pode ser encontrada pela fórmula:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

onde S é a área, a,b são as bases, c,d são os lados do trapézio.

Existem várias outras maneiras de encontrar a área de um trapézio. Mas eles são tão inconvenientes quanto a última fórmula, o que significa que não faz sentido insistir neles. Portanto, recomendamos que você use a primeira fórmula do artigo e deseja obter sempre resultados precisos.

Na matemática, vários tipos de quadriláteros são conhecidos: quadrado, retângulo, losango, paralelogramo. Entre eles está um trapézio - uma espécie de quadrilátero convexo, no qual dois lados são paralelos e os outros dois não. Os lados opostos paralelos são chamados de bases, e os outros dois são chamados de lados do trapézio. O segmento que conecta os pontos médios dos lados é chamado de linha média. Existem vários tipos de trapézios: isósceles, retangulares, curvilíneos. Para cada tipo de trapézio, existem fórmulas para encontrar a área.

área do trapézio

Para encontrar a área de um trapézio, você precisa saber o comprimento de suas bases e sua altura. A altura de um trapézio é um segmento perpendicular às bases. Seja a base superior a, a base inferior seja b e a altura seja h. Então você pode calcular a área S pela fórmula:

S = ½ * (a + b) * h

aqueles. pegue metade da soma das bases multiplicada pela altura.

Você também pode calcular a área de um trapézio se souber o valor da altura e da linha média. Vamos denotar a linha do meio - m. Então

Vamos resolver o problema mais complicado: sabemos os comprimentos dos quatro lados do trapézio - a, b, c, d. Então a área é encontrada pela fórmula:

Se os comprimentos das diagonais e o ângulo entre eles são conhecidos, então a área é procurada da seguinte forma:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

onde d com índices 1 e 2 são diagonais. Nesta fórmula, o seno do ângulo é dado no cálculo.

Com comprimentos de base conhecidos a e b e dois ângulos na base inferior, a área é calculada da seguinte forma:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Área de um trapézio isósceles

Um trapézio isósceles é caso especial trapézio. Sua diferença é que tal trapézio é um quadrilátero convexo com um eixo de simetria passando pelos pontos médios de dois lados opostos. Seus lados são iguais.

Existem várias maneiras de encontrar a área de um trapézio isósceles.

• Através dos comprimentos de três lados. Nesse caso, os comprimentos dos lados serão iguais, portanto são indicados por um valor - c, a e b - os comprimentos das bases:

• Se o comprimento da base superior, lado lateral e o ângulo na base inferior são conhecidos, então a área é calculada da seguinte forma:

S = c * sen α * (a + c * cos α)

onde a é a base superior, c é o lado.

• Se em vez da base superior for conhecido o comprimento da base inferior - b, a área é calculada pela fórmula:

S = c * sen α * (b - c * cos α)

• Se quando duas bases e o ângulo na base inferior são conhecidos, a área é calculada usando a tangente do ângulo:

S = ½ * (b2 - a2) * tg α

• Além disso, a área é calculada através das diagonais e do ângulo entre elas. Nesse caso, as diagonais são iguais em comprimento, então cada uma é denotada pela letra d sem índices:

S = ½ * d2 * sinα

• Calcule a área do trapézio, conhecendo o comprimento do lado lateral, a linha média e o ângulo na base inferior.

Deixe o lado - c, a linha do meio - m, o canto - a, então:

S = m * c * sinα

Às vezes, um círculo pode ser inscrito em um trapézio equilátero, cujo raio será - r.

Sabe-se que um círculo pode ser inscrito em qualquer trapézio se a soma dos comprimentos das bases for igual à soma dos comprimentos de seus lados. Então a área é encontrada através do raio do círculo inscrito e do ângulo na base inferior:

S = 4r2 / sinα

O mesmo cálculo é feito através do diâmetro D do círculo inscrito (aliás, coincide com a altura do trapézio):

Conhecendo as bases e o ângulo, a área de um trapézio isósceles é calculada da seguinte forma:

S = a*b/sinα

(esta e as fórmulas subsequentes são válidas apenas para trapézios com um círculo inscrito).

Através das bases e do raio do círculo, a área é procurada da seguinte forma:

Se apenas as bases forem conhecidas, a área é calculada de acordo com a fórmula:

Através das bases e da linha lateral, a área de um trapézio com um círculo inscrito e através das bases e da linha média - m é calculada da seguinte forma:

Área de um trapézio retangular

Um trapézio é chamado retangular, em que um dos lados é perpendicular às bases. Nesse caso, o comprimento do lado coincide com a altura do trapézio.

Um trapézio retangular é um quadrado e um triângulo. Depois de encontrar a área de cada uma das figuras, some os resultados e obtenha a área total da figura.

Além disso, as fórmulas gerais para calcular a área de um trapézio são adequadas para calcular a área de um trapézio retangular.

• Se os comprimentos das bases e a altura (ou lado perpendicular) são conhecidos, então a área é calculada pela fórmula:

S = (a + b) * h / 2

Como h (altura) pode ser o lado com. Então a fórmula fica assim:

S = (a + b) * c/2

• Outra maneira de calcular a área é multiplicar o comprimento da linha média pela altura:

ou pelo comprimento do lado perpendicular lateral:

• O próximo método de cálculo é através da metade do produto das diagonais e do seno do ângulo entre elas:

S = ½ * d1 * d2 * sinα

Se as diagonais são perpendiculares, a fórmula simplifica para:

S = ½ * d1 * d2

• Outra forma de calcular é através do semiperímetro (a soma dos comprimentos de dois lados opostos) e do raio do círculo inscrito.

Esta fórmula é válida para bases. Se tomarmos os comprimentos dos lados, um deles será igual a duas vezes o raio. A fórmula ficará assim:

S = (2r + c) * r

• Se um círculo está inscrito em um trapézio, a área é calculada da mesma maneira:

onde m é o comprimento da linha média.

Área de um trapézio curvilíneo

Um trapézio curvilíneo é uma figura plana delimitada pelo gráfico de uma função contínua não negativa y = f(x) definida no segmento , no eixo x e nas linhas retas x = a, x = b. De fato, dois de seus lados são paralelos entre si (bases), o terceiro lado é perpendicular às bases e o quarto é uma curva correspondente ao gráfico da função.

A área de um trapézio curvilíneo é procurada através da integral usando a fórmula de Newton-Leibniz:

Como as áreas são calculadas vários tipos trapézio. Mas, além das propriedades dos lados, os trapézios têm as mesmas propriedades dos ângulos. Como todos os quadriláteros existentes, a soma dos ângulos internos de um trapézio é 360 graus. E a soma dos ângulos adjacentes ao lado é 180 graus.

A área do trapézio. Saudações! Nesta publicação, consideraremos esta fórmula. Por que é assim e como você pode entendê-lo? Se houver um entendimento, então você não precisa aprendê-lo. Se você quiser apenas ver esta fórmula e o que é urgente, pode rolar a página imediatamente))

Agora em detalhes e em ordem.

Um trapézio é um quadrilátero, dois lados deste quadrilátero são paralelos, os outros dois não são. As que não são paralelas são as bases do trapézio. Os outros dois são chamados de lados.

Se os lados são iguais, então o trapézio é chamado de isósceles. Se um dos lados é perpendicular às bases, esse trapézio é chamado de retangular.

Na forma clássica, o trapézio é representado da seguinte maneira - a base maior fica na parte inferior, respectivamente, a menor fica na parte superior. Mas ninguém proíbe retratá-lo e vice-versa. Aqui estão os esboços:

O próximo conceito importante.

A linha mediana de um trapézio é um segmento que liga os pontos médios dos lados. A linha mediana é paralela às bases do trapézio e é igual à sua meia-soma.

Agora vamos nos aprofundar. Por que exatamente?

Considere um trapézio com bases a e b e com a linha do meio eu, e execute algumas construções adicionais: desenhe linhas retas pelas bases e perpendiculares pelas extremidades da linha média até que se cruzem com as bases:

*As designações de letras de vértices e outros pontos não são inseridas intencionalmente para evitar designações desnecessárias.

Veja, os triângulos 1 e 2 são iguais de acordo com o segundo sinal de igualdade dos triângulos, os triângulos 3 e 4 são iguais. Da igualdade dos triângulos segue-se a igualdade dos elementos, ou seja, as pernas (são indicadas respectivamente em azul e vermelho).

Agora atenção! Se “cortarmos” mentalmente os segmentos azul e vermelho da base inferior, teremos um segmento (este é o lado do retângulo) igual à linha média. Além disso, se "colarmos" os segmentos azuis e vermelhos cortados na base superior do trapézio, também obteremos um segmento (este também é o lado do retângulo) igual à linha média do trapézio.

Entendi? Acontece que a soma das bases será igual às duas medianas do trapézio:

Veja outra explicação

Vamos fazer o seguinte - construir uma reta passando pela base inferior do trapézio e uma reta que passará pelos pontos A e B:

Obtemos os triângulos 1 e 2, eles são iguais em ângulos laterais e adjacentes (o segundo sinal de igualdade dos triângulos). Isso significa que o segmento resultante (no esboço está marcado em azul) é igual à base superior do trapézio.

Agora considere um triângulo:

*A linha média deste trapézio e a linha média do triângulo coincidem.

Sabe-se que o triângulo é igual à metade da base paralela a ele, ou seja:

Ok, entendi. Agora sobre a área do trapézio.

Fórmula da área do trapézio:

Dizem: a área de um trapézio é igual ao produto da metade da soma de suas bases e altura.

Ou seja, verifica-se que é igual ao produto da linha média pela altura:

Você provavelmente já percebeu que isso é óbvio. Geometricamente, isso pode ser expresso da seguinte forma: se cortarmos mentalmente os triângulos 2 e 4 do trapézio e os colocarmos nos triângulos 1 e 3, respectivamente:

Então obtemos um retângulo de área igual à área do nosso trapézio. A área desse retângulo será igual ao produto da linha média pela altura, ou seja, podemos escrever:

Mas o ponto aqui não é escrever, é claro, mas entender.

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Isso é tudo. Boa sorte para você!

Atenciosamente, Alexandre.

A seção contém problemas de geometria (planimetria de seção) sobre trapézios. Se você não encontrou uma solução para o problema - escreva sobre isso no fórum. O curso será atualizado com certeza.

Trapézio. Definição, fórmulas e propriedades

Um trapézio (do outro grego τραπέζιον - "mesa"; τράπεζα - "mesa, comida") é um quadrilátero com exatamente um par de lados opostos paralelos.

Um trapézio é um quadrilátero com dois lados opostos paralelos.

Observação. Nesse caso, o paralelogramo é um caso especial de trapézio.

Os lados opostos paralelos são chamados de bases do trapézio, e os outros dois são chamados de lados.

Os trapézios são:

- versátil ;

- isósceles;

- retangular

.
vermelho e flores marrons os lados laterais são indicados, verde e azul são as bases do trapézio.

A - trapézio isósceles (isosceles, isósceles)
B - trapézio retangular
C - trapézio versátil

Um trapézio versátil tem todos os lados de comprimentos diferentes e as bases são paralelas.

Os lados são iguais e as bases são paralelas.

Eles são paralelos na base, um lado é perpendicular às bases e o segundo lado é inclinado em direção às bases.

Propriedades do trapézio

• Linha mediana do trapézio paralelo às bases e igual à metade de sua soma
• Um segmento de linha conectando os pontos médios das diagonais, é igual à metade da diferença das bases e fica na linha média. seu comprimento
• Linhas paralelas que cruzam os lados de qualquer ângulo do trapézio cortam segmentos proporcionais dos lados do ângulo (veja o teorema de Tales)
• Ponto de intersecção das diagonais de um trapézio, o ponto de interseção das extensões de seus lados laterais e os pontos médios das bases estão em uma linha reta (veja também as propriedades de um quadrilátero)
• Triângulos em bases trapézios cujos vértices são o ponto de interseção de suas diagonais são semelhantes. A razão entre as áreas de tais triângulos é igual ao quadrado da razão entre as bases do trapézio
• Triângulos nas laterais trapézios cujos vértices são o ponto de interseção de suas diagonais são iguais em área (igual em área)
• em um trapézio você pode inscrever um círculo se a soma dos comprimentos das bases de um trapézio é igual à soma dos comprimentos de seus lados. A linha mediana neste caso é igual à soma dos lados dividida por 2 (já que a linha mediana do trapézio é igual a metade da soma das bases)
• Um segmento paralelo às bases e passando pelo ponto de interseção das diagonais, é dividido por esta ao meio e é igual a duas vezes o produto das bases dividido por sua soma 2ab / (a ​​+ b) (fórmula de Burakov)

Ângulos do trapézio

Ângulos do trapézio são afiados, retos e contundentes.
Existem apenas dois ângulos retos.

Um trapézio retangular tem dois ângulos retos, e os outros dois são agudos e contundentes. Outros tipos de trapézios têm: dois cantos afiados e dois mudos.

Os ângulos obtusos de um trapézio pertencem ao menor ao longo do comprimento da base, e afiado - mais base.

Qualquer trapézio pode ser considerado como um triângulo truncado, cuja linha de seção é paralela à base do triângulo.
Importante. Por favor, note que desta forma (por construção adicional de um trapézio para um triângulo) alguns problemas sobre um trapézio podem ser resolvidos e alguns teoremas podem ser provados.

Como encontrar os lados e as diagonais de um trapézio

Encontrar os lados e as diagonais de um trapézio é feito usando as fórmulas fornecidas abaixo:

Nessas fórmulas, a notação é usada, como na figura.

a - a menor das bases do trapézio
b - a maior das bases do trapézio
c,d - lados
h 1 h 2 - diagonais

A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é igual a duas vezes o produto das bases do trapézio mais a soma dos quadrados dos lados (Fórmula 2)

Trapézioé chamado de quadrilátero só dois lados são paralelos entre si.

Eles são chamados de bases da figura, o resto - os lados. Um paralelogramo é considerado um caso especial de uma figura. Há também um trapézio curvilíneo, que inclui um gráfico de função. As fórmulas para a área de um trapézio incluem quase todos os seus elementos, e a melhor solução é selecionada dependendo dos valores fornecidos.
As principais funções no trapézio são atribuídas à altura e à linha média. linha do meio- esta é uma linha que liga os pontos médios dos lados. Altura trapézio é mantido em ângulos retos de canto superior para a base.
A área de um trapézio pela altura é igual ao produto da metade da soma dos comprimentos das bases, multiplicado pela altura:

Se a linha mediana for conhecida de acordo com as condições, essa fórmula é bastante simplificada, pois é igual à metade da soma dos comprimentos das bases:

Se, de acordo com as condições, os comprimentos de todos os lados forem dados, podemos considerar um exemplo de cálculo da área de um trapézio por meio desses dados:

Suponha que um trapézio seja dado com bases a = 3 cm, b = 7 cm e lados c = 5 cm, d = 4 cm. Encontre a área da figura:

Área de um trapézio isósceles

Um caso separado é um isósceles ou, como também é chamado, um trapézio isósceles.
Um caso especial também é encontrar a área de um trapézio isósceles (isosceles). Fórmula derivada jeitos diferentes- pelas diagonais, pelos ângulos adjacentes à base e pelo raio do círculo inscrito.
Se o comprimento das diagonais for especificado pelas condições e o ângulo entre elas for conhecido, você pode usar a seguinte fórmula:

Lembre-se que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais!

Ou seja, conhecendo uma de suas bases, lado e ângulo, você pode facilmente calcular a área.

Área de um trapézio curvilíneo

Um caso separado é trapézio curvilíneo. Ele está localizado no eixo de coordenadas e é limitado a um gráfico de uma função positiva contínua.

Sua base está localizada no eixo X e é limitada a dois pontos:
As integrais ajudam a calcular a área de um trapézio curvilíneo.
A fórmula é escrita assim:

Considere um exemplo de cálculo da área de um trapézio curvilíneo. A fórmula requer certo conhecimento para trabalhar com integrais definidas. Primeiro, vamos analisar o valor da integral definida:

Aqui F(a) é o valor da função antiderivada f(x) no ponto a , F(b) é o valor da mesma função f(x) no ponto b .

Agora vamos resolver o problema. A figura mostra um trapézio curvilíneo, função limitada. Função
Precisamos encontrar a área da figura selecionada, que é um trapézio curvilíneo limitado no topo por um gráfico, à direita é uma linha reta x = (-8), à esquerda é uma linha reta x = (- 10) e o eixo OX está abaixo.
Vamos calcular a área desta figura usando a fórmula:

Nos é dada uma função pelas condições do problema. Com ela, encontraremos os valores da antiderivada em cada um de nossos pontos:


Agora
Responder: a área de um dado trapézio curvilíneo é 4.

Não há nada difícil em calcular esse valor. Apenas o máximo cuidado nos cálculos é importante.