A área de um trapézio com o seno do ângulo. Como encontrar a área de um trapézio isósceles

E . Agora podemos começar a considerar a questão de como encontrar a área de um trapézio. Essa tarefa na vida cotidiana ocorre muito raramente, mas às vezes é necessário, por exemplo, encontrar a área de uma sala em forma de trapézio, cada vez mais utilizada na construção de apartamentos modernos, ou em projetos de design de renovação.

trapézio é figura geométrica, formado por quatro segmentos que se cruzam, dois dos quais são paralelos entre si e são chamados de bases de um trapézio. Os outros dois segmentos são chamados de lados do trapézio. Além disso, precisaremos de outra definição mais adiante. Esta é a linha média do trapézio, que é um segmento que liga os pontos médios dos lados e a altura do trapézio, que é igual à distância entre as bases.
Como os triângulos, um trapézio tem tipos particulares na forma de um trapézio isósceles (isosceles), no qual os comprimentos dos lados são iguais e um trapézio retangular, no qual um dos lados forma um ângulo reto com as bases.

Os trapézios têm algumas propriedades interessantes:

1. A linha média de um trapézio é metade da soma das bases e paralela a elas.
   
2. Os trapézios isósceles têm lados e ângulos iguais que formam com as bases.
   
3. Os pontos médios das diagonais de um trapézio e o ponto de interseção de suas diagonais estão na mesma linha reta.
   
4. Se a soma dos lados de um trapézio é igual à soma das bases, então um círculo pode ser inscrito nele
   
5. Se a soma dos ângulos formados pelos lados de um trapézio em qualquer uma de suas bases for 90, então o comprimento do segmento que liga os pontos médios das bases é igual à sua meia diferença.
   
6. Um trapézio isósceles pode ser descrito por um círculo. E vice versa. Se um trapézio está inscrito em um círculo, então ele é isósceles.
   
7. Um segmento que passa pelos pontos médios das bases trapézio isósceles será perpendicular às suas bases e representa o eixo de simetria.
   

Como encontrar a área de um trapézio.

A área de um trapézio será metade da soma de suas bases multiplicada por sua altura. Na forma de uma fórmula, isso é escrito como uma expressão:

onde S é a área do trapézio, a,b é o comprimento de cada uma das bases do trapézio, h é a altura do trapézio.

Você pode entender e lembrar esta fórmula da seguinte maneira. Como segue da figura abaixo, um trapézio usando a linha média pode ser convertido em um retângulo, cujo comprimento será igual à metade da soma das bases.

Você também pode decompor qualquer trapézio em mais figuras simples: um retângulo e um ou dois triângulos e, se for mais fácil para você, encontre a área do trapézio como a soma das áreas de suas figuras constituintes.

tem mais um fórmula simples para calcular sua área. Segundo ele, a área do trapézio é igual ao produto de sua linha média pela altura do trapézio e é escrita como: S \u003d m * h, onde S é a área, m é o comprimento do a linha média, h é a altura do trapézio. Esta fórmula é mais adequada para problemas matemáticos do que para problemas do dia a dia, pois em condições reais você não saberá o comprimento da linha intermediária sem cálculos preliminares. E você só saberá os comprimentos das bases e dos lados.

Nesse caso, a área do trapézio pode ser encontrada pela fórmula:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

onde S é a área, a,b são as bases, c,d são os lados do trapézio.

Existem várias outras maneiras de encontrar a área de um trapézio. Mas eles são tão inconvenientes quanto a última fórmula, o que significa que não faz sentido insistir neles. Portanto, recomendamos que você use a primeira fórmula do artigo e deseja obter sempre resultados precisos.

Antes de encontrar a área de um trapézio, é necessário determinar os elementos conhecidos do trapézio. Um trapézio é um objeto geométrico, a saber: um quadrilátero que possui dois lados paralelos (duas bases). Os outros dois lados são laterais. Se esses dois lados do quadrilátero também forem paralelos, não será mais um trapézio, mas um paralelogramo. Se pelo menos um ângulo de um trapézio for de 90 graus, esse trapézio é chamado de trapézio de ângulo reto. Como encontrar a área de um trapézio retangular, consideraremos mais adiante. Existe também um trapézio isósceles, cujo nome fala por si: os lados desse trapézio são iguais. A distância entre as bases de um trapézio é chamada de altura, a altura é muito usada para encontrar a área. A linha média de um trapézio é um segmento que conecta os pontos médios dos lados.

Fórmulas básicas para encontrar a área de um trapézio

• S=h*(a+b)/2
  Onde h é a altura do trapézio, a,b são as bases. A fórmula mais usada para encontrar a área de um trapézio é metade da soma das bases multiplicada pela altura.
• S=m*h
  Onde m é a linha média do trapézio, h é a altura. A área de um trapézio também é igual ao produto da linha média do trapézio e sua altura.
• S=1/2*d1*d2*sin(d1^d2)
  Onde d1, d2 são as diagonais do trapézio, sin(d1^d2) é o seno do ângulo entre as diagonais do trapézio.

Existem também várias fórmulas derivadas das principais, bem como uma fórmula para calcular a área de um trapézio quando todos os seus lados são conhecidos. No entanto, esta fórmula é bastante incômoda e raramente é usada, porque, conhecendo todos os lados de um trapézio, você pode simplesmente determinar a altura ou sua linha média. Você também pode inscrever um círculo em um trapézio isósceles. Nesse caso, a área do trapézio será calculada pela fórmula: 8 * raio do círculo ao quadrado.

Como encontrar a área de um trapézio retangular

Como mencionado anteriormente, um trapézio é chamado de retangular se tiver pelo menos um ângulo reto. Encontrar a área desse trapézio é muito fácil. Basicamente, para encontrar a área de um trapézio retangular, são usadas as mesmas fórmulas de um trapézio comum. Porém, vale lembrar que um dos lados desse trapézio será a altura. Além disso, muitas vezes a solução de problemas de encontrar a área de um trapézio retangular é reduzida a encontrar a área de um retângulo e um triângulo formado pela altura rebaixada. Essas tarefas são bastante simples.

Instrução

Para tornar ambos os métodos mais compreensíveis, alguns exemplos podem ser dados.

Exemplo 1: o comprimento da linha média de um trapézio é de 10 cm, sua área é de 100 cm². Para encontrar a altura deste trapézio, você precisa fazer:

h = 100/10 = 10 cm

Resposta: a altura deste trapézio é 10 cm

Exemplo 2: a área de um trapézio é 100 cm², os comprimentos das bases são 8 cm e 12 cm. Para encontrar a altura desse trapézio, você precisa realizar a ação:

h \u003d (2 * 100) / (8 + 12) \u003d 200/20 \u003d 10 cm

Resposta: a altura deste trapézio é 20 cm

observação

Existem vários tipos de trapézios:
Um trapézio isósceles é um trapézio no qual os lados são iguais entre si.
Um trapézio reto é um trapézio com um de seus ângulos internos igual a 90 graus.
Vale a pena notar que em um trapézio retangular, a altura coincide com o comprimento do lado em ângulo reto.
Um círculo pode ser descrito em torno de um trapézio, ou pode ser inscrito dentro de uma determinada figura. Um círculo só pode ser inscrito se a soma de suas bases for igual à soma de seus lados opostos. Um círculo só pode ser descrito em torno de um trapézio isósceles.

Conselho util

Um paralelogramo é um caso especial de trapézio, porque a definição de trapézio não contradiz a definição de paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos entre si. Na definição de trapézio, estamos falando apenas de um par de seus lados. Portanto, todo paralelogramo também é um trapézio. O inverso não é verdadeiro.

Fontes:

• como encontrar a área de uma fórmula de trapézio

Dica 2: Como encontrar a altura de um trapézio se você conhece a área

Um trapézio é um quadrilátero no qual dois de seus quatro lados são paralelos entre si. Os lados paralelos são as bases deste, os outros dois são os lados do dado trapézio. Encontrar altura trapézio se for conhecido quadrado, será muito fácil.

Instrução

Precisamos descobrir como calcular quadrado inicial trapézio. Para isso, várias fórmulas, dependendo dos dados iniciais: S = ((a + b) * h) / 2, onde a e b são bases trapézio, e h é a sua altura (Height trapézio- uma perpendicular caída de uma base trapézio para outro);
S = m*h, onde m é uma linha trapézio(Linha do meio - segmento, bases trapézio e conectando os pontos médios de seus lados).

Para tornar mais claro, tais tarefas podem ser consideradas: Exemplo 1: Um trapézio é dado, no qual quadrado 68 cm², cuja linha média é de 8 cm, você precisa encontrar altura dado trapézio. Para resolver este problema, você precisa usar a fórmula derivada anteriormente:
h \u003d 68/8 \u003d 8,5 cm Resposta: a altura disso trapézioé 8,5 cm Exemplo 2: Seja y trapézio quadradoé igual a 120 cm², os comprimentos das bases deste trapézio 8 cm e 12 cm respectivamente, você precisa encontrar altura esse trapézio. Para fazer isso, aplique uma das fórmulas derivadas:
h \u003d (2 * 120) / (8 + 12) \u003d 240/20 \u003d 12 cm Resposta: a altura do dado trapézio igual a 12 cm

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observação

Qualquer trapézio tem várias propriedades:

A linha mediana de um trapézio é metade da soma de suas bases;

O segmento que liga as diagonais de um trapézio é igual à metade da diferença de suas bases;

Se uma linha reta for traçada pelos pontos médios das bases, ela cruzará o ponto de interseção das diagonais do trapézio;

Um círculo pode ser inscrito em um trapézio se a soma das bases desse trapézio for igual à soma de seus lados.

Use essas propriedades ao resolver problemas.

Dica 3: Como encontrar a área de um trapézio se as bases são conhecidas

Por definição geométrica, um trapézio é um quadrilátero com apenas um par de lados paralelos. Esses lados são dela motivos. Distância entre motivos chamado altura trapézio. Encontrar quadrado trapézio pode ser feito usando fórmulas geométricas.

Instrução

Meça as bases e trapézio ABSD. Geralmente eles são dados como tarefas. Deixe entrar este exemplo base do problema AD (a) trapézio será igual a 10 cm, base BC (b) - 6 cm, altura trapézio BK (h) - 8 cm. Aplique geometria para encontrar a área trapézio, se os comprimentos de suas bases e alturas forem conhecidos - S= 1/2 (a+b)*h, onde: - a - o valor da base AD trapézio ABCD, - b - o valor da base BC, - h - o valor da altura BK.

A seção contém problemas de geometria (planimetria de seção) sobre trapézios. Se você não encontrou uma solução para o problema - escreva sobre isso no fórum. O curso será atualizado com certeza.

Trapézio. Definição, fórmulas e propriedades

Um trapézio (do outro grego τραπέζιον - "mesa"; τράπεζα - "mesa, comida") é um quadrilátero com exatamente um par de lados opostos paralelos.

Um trapézio é um quadrilátero com dois lados opostos paralelos.

Observação. Nesse caso, o paralelogramo é um caso especial de trapézio.

Os lados opostos paralelos são chamados de bases do trapézio, e os outros dois são chamados de lados.

Os trapézios são:

- versátil ;

- isósceles;

- retangular

.
vermelho e flores marrons os lados laterais são indicados, verde e azul são as bases do trapézio.

A - trapézio isósceles (isosceles, isosceles)
B - trapézio retangular
C - trapézio versátil

Um trapézio versátil tem todos os lados de comprimentos diferentes e as bases são paralelas.

Os lados são iguais e as bases são paralelas.

Eles são paralelos na base, um lado é perpendicular às bases e o segundo lado é inclinado em direção às bases.

Propriedades do trapézio

• Linha mediana do trapézio paralelo às bases e igual à metade de sua soma
• Um segmento de linha conectando os pontos médios das diagonais, é igual à metade da diferença das bases e fica na linha média. seu comprimento
• Linhas paralelas que cruzam os lados de qualquer ângulo do trapézio cortam segmentos proporcionais dos lados do ângulo (veja o teorema de Tales)
• Ponto de intersecção das diagonais de um trapézio, o ponto de interseção das extensões de seus lados laterais e os pontos médios das bases estão em uma linha reta (veja também as propriedades de um quadrilátero)
• Triângulos em bases trapézios cujos vértices são o ponto de interseção de suas diagonais são semelhantes. A razão entre as áreas de tais triângulos é igual ao quadrado da razão entre as bases do trapézio
• Triângulos nas laterais trapézios cujos vértices são o ponto de interseção de suas diagonais são iguais em área (igual em área)
• em um trapézio você pode inscrever um círculo se a soma dos comprimentos das bases de um trapézio é igual à soma dos comprimentos de seus lados. A linha mediana neste caso é igual à soma dos lados dividida por 2 (já que a linha mediana do trapézio é igual a metade da soma das bases)
• Um segmento paralelo às bases e passando pelo ponto de interseção das diagonais, é dividido por esta ao meio e é igual a duas vezes o produto das bases dividido por sua soma 2ab / (a ​​+ b) (fórmula de Burakov)

Ângulos do trapézio

Ângulos do trapézio são afiados, retos e contundentes.
Existem apenas dois ângulos retos.

Um trapézio retangular tem dois ângulos retos, e os outros dois são agudos e contundentes. Outros tipos de trapézios têm: dois cantos afiados e dois mudos.

Os ângulos obtusos de um trapézio pertencem ao menor ao longo do comprimento da base, e afiado - mais base.

Qualquer trapézio pode ser considerado como um triângulo truncado, cuja linha de seção é paralela à base do triângulo.
Importante. Por favor, note que desta forma (por construção adicional de um trapézio para um triângulo) alguns problemas sobre um trapézio podem ser resolvidos e alguns teoremas podem ser provados.

Como encontrar os lados e as diagonais de um trapézio

Encontrar os lados e as diagonais de um trapézio é feito usando as fórmulas fornecidas abaixo:

Nessas fórmulas, a notação é usada, como na figura.

a - a menor das bases do trapézio
b - a maior das bases do trapézio
c,d - lados
h 1 h 2 - diagonais

A soma dos quadrados das diagonais de um trapézio é igual a duas vezes o produto das bases do trapézio mais a soma dos quadrados dos lados (Fórmula 2)

Trapézioé chamado de quadrilátero só dois lados são paralelos entre si.

Eles são chamados de bases da figura, o resto - os lados. Um paralelogramo é considerado um caso especial de uma figura. Há também um trapézio curvilíneo, que inclui um gráfico de função. As fórmulas para a área de um trapézio incluem quase todos os seus elementos, e a melhor solução é selecionada dependendo dos valores fornecidos.
As funções principais no trapézio são atribuídas à altura e à linha média. linha do meio- esta é uma linha que liga os pontos médios dos lados. Altura trapézio é mantido em ângulos retos de canto superior para a base.
A área de um trapézio pela altura é igual ao produto da metade da soma dos comprimentos das bases multiplicado pela altura:

Se a linha mediana for conhecida de acordo com as condições, essa fórmula é bastante simplificada, pois é igual à metade da soma dos comprimentos das bases:

Se, de acordo com as condições, os comprimentos de todos os lados forem dados, podemos considerar um exemplo de cálculo da área de um trapézio por meio desses dados:

Suponha que um trapézio seja dado com bases a = 3 cm, b = 7 cm e lados c = 5 cm, d = 4 cm. Encontre a área da figura:

Área de um trapézio isósceles

Um caso separado é um isósceles ou, como também é chamado, um trapézio isósceles.
Um caso especial também é encontrar a área de um trapézio isósceles (isosceles). Fórmula derivada jeitos diferentes- pelas diagonais, pelos ângulos adjacentes à base e pelo raio do círculo inscrito.
Se o comprimento das diagonais for especificado pelas condições e o ângulo entre elas for conhecido, você pode usar a seguinte fórmula:

Lembre-se que as diagonais de um trapézio isósceles são iguais!

Ou seja, conhecendo uma de suas bases, lado e ângulo, você pode facilmente calcular a área.

Área de um trapézio curvilíneo

Um caso separado é trapézio curvilíneo. Ele está localizado no eixo de coordenadas e é limitado a um gráfico de uma função positiva contínua.

Sua base está localizada no eixo X e é limitada a dois pontos:
As integrais ajudam a calcular a área de um trapézio curvilíneo.
A fórmula é escrita assim:

Considere um exemplo de cálculo da área de um trapézio curvilíneo. A fórmula requer certo conhecimento para trabalhar com integrais definidas. Primeiro, vamos analisar o valor da integral definida:

Aqui F(a) é o valor da função antiderivada f(x) no ponto a , F(b) é o valor da mesma função f(x) no ponto b .

Agora vamos resolver o problema. A figura mostra um trapézio curvilíneo, função limitada. Função
Precisamos encontrar a área da figura selecionada, que é um trapézio curvilíneo limitado no topo por um gráfico, à direita é uma linha reta x = (-8), à esquerda é uma linha reta x = (- 10) e o eixo OX está abaixo.
Vamos calcular a área desta figura usando a fórmula:

Nos é dada uma função pelas condições do problema. Com ela, encontraremos os valores da antiderivada em cada um de nossos pontos:


Agora
Responder: a área de um dado trapézio curvilíneo é 4.

Não há nada difícil em calcular esse valor. Apenas o máximo cuidado nos cálculos é importante.