Hem › Diverse › Fraktala element. Rymdforskningslaboratoriet

Fraktala element. Rymdforskningslaboratoriet

Begreppen fraktal och fraktal geometri, som dök upp i slutet av 70-talet, har blivit fast etablerade i matematikers och programmerares vardag sedan mitten av 80-talet. Ordet fraktal kommer från latinets fractus och betyder i översättning bestående av fragment. Det föreslogs av Benoit Mandelbrot 1975 att hänvisa till de oregelbundna men självliknande strukturer som han studerade. Födelsen av fraktal geometri förknippas vanligtvis med publiceringen av Mandelbrots bok `The Fractal Geometry of Nature' 1977. Hans verk använde de vetenskapliga resultaten från andra vetenskapsmän som arbetade under perioden 1875-1925 inom samma område (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Men bara i vår tid var det möjligt att kombinera deras verk till ett enda system.
Rollen för fraktaler i datorgrafik idag är ganska stor. De kommer till undsättning till exempel när det krävs, med hjälp av flera koefficienter, att definiera linjer och ytor med en mycket komplex form. Ur datorgrafiks synvinkel är fraktalgeometri oumbärlig för genereringen av konstgjorda moln, berg och havsytan. faktiskt hittat lungväg representationer av komplexa icke-euklidiska föremål, vars bilder är mycket lika naturliga.
En av fraktalernas huvudsakliga egenskaper är självlikhet. I själva enkelt fall en liten del av fraktalen innehåller information om hela fraktalen. Definitionen av en fraktal som ges av Mandelbrot är följande: "En fraktal är en struktur som består av delar som i någon mening liknar helheten."

Existerar stort antal matematiska objekt som kallas fraktaler (Sierpinski-triangeln, Koch-snöflingan, Peano-kurvan, Mandelbrot-uppsättningen och Lorentz-attraktorer). Fraktaler beskriver med stor noggrannhet många fysiska fenomen och formationer av den verkliga världen: berg, moln, turbulenta (virvel)strömmar, rötter, grenar och löv på träd, blodkärl, vilket är långt ifrån att motsvara enkla geometriska former. För första gången talade Benoit Mandelbrot om vår världs fraktala natur i sitt säregna verk "The Fractal Geometry of Nature".
Termen fraktal introducerades av Benoit Mandelbrot 1977 i hans grundläggande verk "Fractals, Form, Chaos and Dimension". Enligt Mandelbrot kommer ordet fraktal från de latinska orden fractus - bråktal och frangere - att bryta, vilket speglar fraktalens väsen som en "trasig", oregelbunden mängd.

Klassificering av fraktaler.

För att representera hela mängden fraktaler är det bekvämt att tillgripa deras allmänt accepterade klassificering. Det finns tre klasser av fraktaler.

1. Geometriska fraktaler.

Fraktaler av denna klass är de mest uppenbara. I det tvådimensionella fallet erhålls de med hjälp av en polylinje (eller yta i det tredimensionella fallet) som kallas en generator. I ett steg av algoritmen ersätts vart och ett av segmenten som utgör den streckade linjen av en streckad linjegenerator i lämplig skala. Som ett resultat av den ändlösa upprepningen av denna procedur erhålls en geometrisk fraktal.

Tänk till exempel ett av sådana fraktala objekt - Koch triadiska kurvan.

Konstruktion av den triadiska Koch-kurvan.

Ta ett rakt linjesegment med längd 1. Låt oss kalla det utsäde. Låt oss dela upp fröet i tre lika delar med längden 1/3, kassera mittdelen och ersätta den med en bruten linje med två länkar med längden 1/3.

Vi får en bruten linje, bestående av 4 länkar med en total längd av 4/3, - den s.k. första generationens.

För att gå vidare till nästa generation av Koch-kurvan är det nödvändigt att kassera och byta ut den mellersta delen av varje länk. Följaktligen kommer längden på den andra generationen att vara 16/9, den tredje - 64/27. om du fortsätter denna process i det oändliga, kommer resultatet att bli en triadisk Koch-kurva.

Låt oss nu betrakta den heliga triadiska Koch-kurvan och ta reda på varför fraktaler kallades "monster".

För det första har denna kurva ingen längd - som vi har sett, med antalet generationer tenderar dess längd till oändlighet.

För det andra är det omöjligt att konstruera en tangent till denna kurva - var och en av dess punkter är en böjningspunkt där derivatan inte finns - denna kurva är inte jämn.

Längd och jämnhet är de grundläggande egenskaperna hos kurvor, som studeras både av euklidisk geometri och av Lobachevskys och Riemanns geometri. Till den triadiska Koch-kurvan traditionella metoder geometrisk analys visade sig vara otillämplig, så Koch-kurvan visade sig vara ett monster - ett "monster" bland de släta invånarna i traditionella geometrier.

Konstruktion av "draken" Harter-Hateway.

För att få ett annat fraktalobjekt måste du ändra konstruktionsreglerna. Låt det genererande elementet vara två lika stora segment sammankopplade i räta vinklar. I nollgenerationen ersätter vi enhetssegmentet med detta genererande element så att vinkeln blir överst. Vi kan säga att med ett sådant byte sker en förskjutning i mitten av länken. När man bygger nästa generationer regeln är uppfylld: den allra första länken till vänster ersätts av ett genererande element så att mitten av länken förskjuts till vänster om rörelseriktningen, och vid byte av nästa länkar, riktningarna för förskjutning av mittpunkterna av segmenten måste alternera. Figuren visar de första generationerna och den 11:e generationen av kurvan byggd enligt principen som beskrivs ovan. Kurvan med n som tenderar mot oändligheten kallas Harter-Hateway-draken.
I datorgrafik är användningen av geometriska fraktaler nödvändig för att få bilder av träd och buskar. Tvådimensionella geometriska fraktaler används för att skapa tredimensionella texturer (mönster på ytan av ett objekt).

2. Algebraiska fraktaler

Detta är den största gruppen fraktaler. De erhålls med hjälp av icke-linjära processer i n-dimensionella rum. Tvådimensionella processer är de mest studerade. Genom att tolka en icke-linjär iterativ process som ett diskret dynamiskt system, kan man använda terminologin för teorin om dessa system: fasporträtt, steady state-process, attraktion, etc.
Det är känt att olinjära dynamiska system har flera stabila tillstånd. Tillståndet i vilket det dynamiska systemet befinner sig efter ett visst antal iterationer beror på dess initiala tillstånd. Därför har varje stabilt tillstånd (eller, som de säger, en attraktion) ett visst område med initiala tillstånd, från vilket systemet nödvändigtvis kommer att falla in i de övervägda sluttillstånden. Således är systemets fasutrymme uppdelat i attraktionsområden för attraktionsanordningar. Om fasutrymmet är tvådimensionellt kan man genom att färga attraktionsområdena med olika färger få ett färgfasporträtt av detta system (iterativ process). Genom att ändra färgvalsalgoritmen kan du få komplexa fraktala mönster med snygga flerfärgsmönster. En överraskning för matematiker var förmågan att skapa mycket komplexa icke-triviala strukturer med hjälp av primitiva algoritmer.

Mandelbrot-setet.

Som ett exempel, betrakta Mandelbrot-uppsättningen. Algoritmen för dess konstruktion är ganska enkel och bygger på ett enkelt iterativt uttryck: Z = Z[i] * Z[i] + C, Var Zi Och Cär komplexa variabler. Iterationer utförs för varje startpunkt från ett rektangulärt eller kvadratiskt område - en delmängd av det komplexa planet. Den iterativa processen fortsätter tills Z[i] kommer inte att gå utanför cirkeln med radie 2, vars centrum ligger i punkten (0,0), (detta betyder att det dynamiska systemets attraktion är i oändligheten), eller efter ett tillräckligt stort antal iterationer (till exempel , 200-500) Z[i] konvergerar till någon punkt på cirkeln. Beroende på antalet iterationer under vilka Z[i] stannade inom cirkeln, kan du ställa in färgen på punkten C(Om Z[i] förblir inuti cirkeln under ett tillräckligt stort antal iterationer, upprepningsprocessen stoppas och denna rasterpunkt målas svart).

3. Stokastiska fraktaler

En annan välkänd klass av fraktaler är stokastiska fraktaler, som erhålls om någon av dess parametrar ändras slumpmässigt i en iterativ process. Detta resulterar i objekt som är mycket lika naturliga - asymmetriska träd, indragna kustlinjer, etc. Tvådimensionella stokastiska fraktaler används för att modellera terrängen och havsytan.
Det finns andra klassificeringar av fraktaler, till exempel uppdelningen av fraktaler i deterministiska (algebraiska och geometriska) och icke-deterministiska (stokastiska).

Om användningen av fraktaler

Först och främst är fraktaler ett område av fantastisk matematisk konst, när med hjälp av de enklaste formlerna och algoritmerna erhålls bilder av extraordinär skönhet och komplexitet! I konturerna av de konstruerade bilderna gissar man ofta löv, träd och blommor.

Några av de mest kraftfulla tillämpningarna av fraktaler ligger i Datorgrafik. För det första är det fraktal komprimering av bilder, och för det andra, konstruktion av landskap, träd, växter och generering av fraktalstrukturer. Modern fysik och mekanik har precis börjat studera fraktala objekts beteende. Och, naturligtvis, fraktaler tillämpas direkt i matematiken själv.
Fördelarna med fraktala bildkomprimeringsalgoritmer är den mycket lilla storleken på den packade filen och den korta bildåterställningstiden. Fraktalt packade bilder kan skalas utan uppkomsten av pixelering. Men kompressionsprocessen tar lång tid och varar ibland i timmar. Den förlustiga fraktala packningsalgoritmen låter dig ställa in komprimeringsnivån, liknande jpeg-formatet. Algoritmen är baserad på sökningen efter stora bitar av bilden som liknar vissa små bitar. Och bara vilken bit som liknar vilken skrivs till utdatafilen. Vid komprimering används vanligtvis ett fyrkantigt rutnät (bitar är kvadrater), vilket leder till en liten vinkling vid återställning av bilden, ett hexagonalt rutnät är fritt från en sådan nackdel.
Iterated har utvecklat ett nytt bildformat, "Sting", som kombinerar fraktal och "wave" (som jpeg) förlustfri komprimering. Det nya formatet låter dig skapa bilder med möjlighet till efterföljande högkvalitativ skalning, och volymen av grafiska filer är 15-20% av volymen av okomprimerade bilder.
Fraktalers tendens att se ut som berg, blommor och träd utnyttjas av vissa grafiska redaktörer, som fraktala moln från 3D-studio MAX, fraktala berg i World Builder. Fraktalträd, berg och hela landskap ges enkla formler, är lätta att programmera och delas inte upp i separata trianglar och kuber när man närmar sig dem.
Du kan inte ignorera användningen av fraktaler i själva matematiken. I mängdteorin bevisar Cantor-mängden existensen av perfekta ingenstans täta mängder; i måttteorin är den självaffinerade "Cantor ladder"-funktionen ett bra exempel på en singular måttfördelningsfunktion.
Inom mekanik och fysik används fraktaler pga unik egendom upprepa konturerna av många naturföremål. Med fraktaler kan du approximera träd, bergsytor och sprickor med högre noggrannhet än approximationer med linjesegment eller polygoner (med samma mängd lagrad data). Fraktalmodeller, liksom naturliga föremål, har "grovhet", och denna egenskap bevaras vid en godtyckligt stor ökning av modellen. Närvaron av ett enhetligt mått på fraktaler gör det möjligt att tillämpa integration, potentialteori, för att använda dem istället för standardobjekt i de ekvationer som redan studerats.
Med fraktalmetoden upphör kaos att vara blå oordning och får en fin struktur. Fraktalvetenskap är fortfarande mycket ung och har en stor framtid framför sig. Skönheten med fraktaler är långt ifrån uttömd och kommer fortfarande att ge oss många mästerverk - de som gläder ögat och de som ger sann njutning till sinnet.

Om att bygga fraktaler

Metod för successiva approximationer

När man tittar på den här bilden är det inte svårt att förstå hur en självlik fraktal (i det här fallet Sierpinski-pyramiden) kan byggas. Vi måste ta en vanlig pyramid (tetraeder), sedan skära ut dess mitt (oktaeder), vilket resulterar i att vi får fyra små pyramider. Med var och en av dem utför vi samma operation, och så vidare. Detta är en något naiv, men illustrativ förklaring.

Låt oss överväga essensen av metoden mer strikt. Låt det finnas något IFS-system, d.v.s. kontraktionskartläggningssystem S=(S 1 ,...,S m ) Si:R n ->R n (till exempel för vår pyramid ser mappningarna ut som Si (x)=1/2*x+o i, där o i är tetraederns hörn, i=1,..,4). Sedan väljer vi någon kompakt uppsättning A 1 i R n (i vårt fall väljer vi en tetraeder). Och vi bestämmer genom induktion sekvensen av mängder A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Det är känt att uppsättningarna Ak med ökande k approximerar den erforderliga attraktionsanordningen för systemet S.

Observera att var och en av dessa iterationer är en attraktion återkommande system av itererade funktioner(Engelsk term DigraphIFS, RIFS och även Grafstyrt IFS) och därför är de lätta att bygga med vårt program.

Konstruktion genom poäng eller probabilistisk metod

Detta är den enklaste metoden att implementera på en dator. För enkelhetens skull, överväg fallet med en platt självkänslig uppsättning. Så låt (S

) är något system av affina sammandragningar. Kartläggningar S

representeras som: S

Fast matris av storlek 2x2 och o

Tvådimensionell vektorkolumn.

Låt oss ta en fast punkt för den första mappningen S 1 som utgångspunkt:
x:=o1;
Här använder vi det faktum att alla fasta kontraktionspunkter S 1 ,..,S m tillhör fraktalen. En godtycklig punkt kan väljas som utgångspunkt och sekvensen av punkter som genereras av den kommer att krympa till en fraktal, men då kommer några extra punkter att dyka upp på skärmen.
Notera den aktuella punkten x=(x 1 ,x 2) på skärmen:
putpixel(x1,x2,15);
Vi väljer slumpmässigt ett tal j från 1 till m och räknar om koordinaterna för punkten x:
j:=Slumpmässig(m)+1;
x:=Sj (x);
Vi går till steg 2, eller, om vi har gjort ett tillräckligt stort antal iterationer, så slutar vi.

Notera. Om kompressionskoefficienterna för mappningarna Si är olika, kommer fraktalen att fyllas med punkter ojämnt. Om mappningarna Si är likheter kan detta undvikas genom att något komplicera algoritmen. För att göra detta, i det tredje steget av algoritmen, måste talet j från 1 till m väljas med sannolikheterna p 1 =r 1 s ,.., p m =r m s , där r i betecknar kontraktionskoefficienterna för mappningarna Si , och talet s (kallad likhetsdimension) hittas från ekvationen r 1 s +...+r m s =1. Lösningen av denna ekvation kan hittas till exempel med Newtons metod.

Om fraktaler och deras algoritmer

Fractal kommer från det latinska adjektivet "fractus", och betyder i översättning bestående av fragment, och det motsvarande latinska verbet "frangere" betyder att bryta, det vill säga att skapa oregelbundna fragment. Begreppen fraktal och fraktal geometri, som dök upp i slutet av 70-talet, har blivit fast etablerade i matematikers och programmerares vardag sedan mitten av 80-talet. Termen föreslogs av Benoit Mandelbrot 1975 för att referera till de oregelbundna men självliknande strukturer som han studerade. Födelsen av fraktal geometri förknippas vanligtvis med publiceringen 1977 av Mandelbrots bok "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature". Hans verk använde de vetenskapliga resultaten från andra vetenskapsmän som arbetade under perioden 1875-1925 inom samma område (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Justeringar

Låt mig göra några justeringar av de algoritmer som föreslås i boken av H.-O. Paytgen och P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, enbart för att utrota stavfel och göra det lättare att förstå processerna, eftersom efter att ha studerat dem förblev mycket ett mysterium för mig. Tyvärr leder dessa "förståeliga" och "enkla" algoritmer en rockig livsstil.

Konstruktionen av fraktaler är baserad på en viss olinjär funktion av en komplex process med återkoppling z \u003d z 2 + c eftersom z och c är komplexa tal, sedan z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, är det nödvändigt att bryta ner det i x och y för att gå till mer realistiskt för vanlig man plan:

x(k+1)=x(k)2-y(k)2+p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Planet som består av alla par (x, y) kan betraktas som med fasta värden p och q, såväl som för dynamiska sådana. I det första fallet, sortera genom alla punkter (x, y) i planet enligt lagen och färga dem beroende på antalet repetitioner av funktionen som krävs för att lämna den iterativa processen eller inte färga (svart) när det tillåtna maximala antalet repetitioner ökar, får vi visningen av Julia-setet. Om vi tvärtom bestämmer det initiala värdeparet (x, y) och spårar dess koloristiska öde med dynamiskt föränderliga värden för parametrarna p och q, får vi bilder som kallas Mandelbrot-uppsättningar.

På frågan om fraktalfärgningsalgoritmer.

Vanligtvis representeras uppsättningens kropp som ett svart fält, även om det är uppenbart att den svarta färgen kan ersättas av någon annan, men detta är också ett ointressant resultat. Att få en bild av en uppsättning målad i alla färger är en uppgift som inte kan lösas med cykliska operationer, eftersom antalet iterationer som bildar uppsättningens kropp är lika med det maximala möjliga och alltid detsamma. Färglägg setet olika färger kanske genom att använda resultatet av att kontrollera utgångsvillkoret från slingan (z_magnitude) som färgnummer, eller liknande det, men med andra matematiska operationer.

Tillämpning av "fraktalmikroskopet"

att påvisa gränsfenomen.

Attraktioner är de centra som leder kampen om dominans på planet. Mellan lockarna finns en kant som representerar ett virvlande mönster. Genom att öka omfattningen av hänsyn inom uppsättningens gränser kan man få icke-triviala mönster som speglar tillståndet av deterministiskt kaos - ett vanligt fenomen i den naturliga världen.

De objekt som studeras av geografer bildar ett system med mycket komplext organiserade gränser, i samband med vilket deras genomförande blir en svår praktisk uppgift. Naturliga komplex har kärnor av typiska egenskaper som fungerar som attraktionskrafter som förlorar sin makt att påverka territoriet när det flyttar bort.

Med hjälp av ett fraktalt mikroskop för Mandelbrot- och Julia-uppsättningarna kan man bilda sig en uppfattning om gränsprocesser och fenomen som är lika komplexa oavsett omfattningen av hänsyn och på så sätt förbereda en specialists uppfattning för ett möte med ett dynamiskt och till synes kaotiskt i rum och tid naturliga objekt, för att förstå fraktal geometri natur. Mångfärgade färger och fraktalmusik kommer definitivt att lämna ett djupt märke i elevernas sinnen.

Tusentals publikationer och enorma internetresurser ägnas åt fraktaler, men för många specialister långt från datavetenskap verkar denna term helt ny. Fraktaler, som föremål av intresse för specialister inom olika kunskapsområden, bör få sin rätta plats inom datavetenskapens kurs.

Exempel

SIERPINSKI GRID

Detta är en av fraktalerna som Mandelbrot experimenterade med när han utvecklade begreppen fraktala dimensioner och iterationer. Trianglar som bildas genom att sammanfoga mittpunkterna i den större triangeln skärs från huvudtriangeln för att bilda en triangel med fler hål. I det här fallet är initiatorn en stor triangel och mallen är en operation för att skära trianglar som liknar den större. Du kan också få en 3D-version av en triangel genom att använda en vanlig tetraeder och skära ut mindre tetraeder. Dimensionen för en sådan fraktal är ln3/ln2 = 1,584962501.

För att uppnå Sierpinski matta, ta en fyrkant, dela den i nio rutor och skär ut den mittersta. Vi kommer att göra samma sak med resten, mindre rutor. I slutändan bildas ett platt fraktalt rutnät, som inte har något område, men med oändliga anslutningar. I sin rumsliga form förvandlas Sierpinski-svampen till ett system av genomgående former, där varje genomgående element ständigt ersätts av sitt eget slag. Denna struktur är mycket lik en sektion av benvävnad. En dag kommer sådana återkommande strukturer att bli en del av byggnadsstrukturer. Deras statik och dynamik, anser Mandelbrot, förtjänar närmare studier.

KOCH-KURVA

Koch-kurvan är en av de mest typiska deterministiska fraktalerna. Den uppfanns på 1800-talet av en tysk matematiker vid namn Helge von Koch, som, när han studerade Georg Kontors och Karl Weierstraßes arbete, stötte på beskrivningar av några konstiga kurvor med ovanligt beteende. Initiativtagare - direktlinje. Generatorn är en liksidig triangel, vars sidor är lika med en tredjedel av längden på det större segmentet. Dessa trianglar läggs till i mitten av varje segment om och om igen. I sin forskning experimenterade Mandelbrot mycket med Koch-kurvor och fick fram figurer som Koch-öarna, Koch-kors, Koch-snöflingor och till och med tredimensionella representationer av Koch-kurvan genom att använda en tetraeder och lägga till mindre tetraedrar till var och en av dess ansikten. Koch-kurvan har dimensionen ln4/ln3 = 1,261859507.

Fraktal Mandelbrot

Det här är INTE Mandelbrot-setet som du ser ganska ofta. Mandelbrot-uppsättningen är baserad på icke-linjära ekvationer och är en komplex fraktal. Detta är också en variant av Koch-kurvan, trots att detta objekt inte ser ut som det. Initiatorn och generatorn skiljer sig också från de som används för att skapa fraktaler baserade på principen om Koch-kurvan, men idén förblir densamma. Istället för att fästa liksidiga trianglar till ett kurvsegment fästs kvadrater till en kvadrat. På grund av det faktum att denna fraktal upptar exakt hälften av det tilldelade utrymmet vid varje iteration, har den en enkel fraktal dimension på 3/2 = 1,5.

DARERS PENTAGON

En fraktal ser ut som ett gäng pentagoner som kläms ihop. Faktum är att den bildas genom att använda en femhörning som initiator och likbenta trianglar, där förhållandet mellan den största sidan och den minsta är exakt lika med det så kallade gyllene snittet (1,618033989 eller 1/(2cos72)) som generator . Dessa trianglar skärs från mitten av varje femhörning, vilket resulterar i en form som ser ut som 5 små femhörningar limmade på en stor.

En variant av denna fraktal kan erhållas genom att använda en hexagon som initiator. Denna fraktal kallas Davidsstjärnan och är ganska lik den hexagonala versionen av Kochs snöflinga. Den fraktala dimensionen av Darer femhörningen är ln6/ln(1+g), där g är förhållandet mellan längden på den större sidan av triangeln och längden på den mindre sidan. I det här fallet är g det gyllene snittet, så fraktaldimensionen är ungefär 1,86171596. Davidsstjärnans fraktala dimension är ln6/ln3 eller 1,630929754.

Komplexa fraktaler

Faktum är att om du zoomar in på ett litet område av en komplex fraktal och sedan gör samma sak på ett litet område av det området, kommer de två förstoringarna att skilja sig betydligt från varandra. De två bilderna kommer att vara väldigt lika i detalj, men de kommer inte att vara helt identiska.

Fig 1. Approximation av Mandelbrot-uppsättningen

Jämför till exempel bilderna av Mandelbrot-setet som visas här, varav en erhölls genom att öka en del av den andra. Som du kan se är de absolut inte identiska, även om vi på båda ser en svart cirkel, från vilken flammande tentakler går i olika riktningar. Dessa element upprepas på obestämd tid i Mandelbrot-uppsättningen i minskande proportion.

Deterministiska fraktaler är linjära, medan komplexa fraktaler inte är det. Eftersom dessa fraktaler är icke-linjära genereras de av vad Mandelbrot kallade icke-linjära algebraiska ekvationer. Bra exempelär processen Zn+1=ZnІ + C, vilket är ekvationen som används för att konstruera Mandelbrot- och Julia-mängden av andra graden. Att lösa dessa matematiska ekvationer involverar komplexa och imaginära tal. När ekvationen tolkas grafiskt i det komplexa planet blir resultatet en märklig figur där raka linjer förvandlas till kurvor, självlikhetseffekter uppträder på olika skalnivåer, dock inte utan deformationer. Samtidigt är hela bilden oförutsägbar och väldigt kaotisk.

Som du kan se genom att titta på bilderna är komplexa fraktaler verkligen mycket komplexa och omöjliga att skapa utan hjälp av en dator. För att få färgglada resultat måste den här datorn ha en kraftfull matematisk coprocessor och en högupplöst bildskärm. Till skillnad från deterministiska fraktaler beräknas inte komplexa fraktaler i 5-10 iterationer. Nästan varje prick på datorskärmen är som en separat fraktal. Under matematisk bearbetning behandlas varje punkt som ett separat mönster. Varje poäng motsvarar ett visst värde. Ekvationen är inbyggd för varje punkt och utförs till exempel 1000 iterationer. För att få en relativt oförvrängd bild inom ett tidsintervall som är acceptabelt för hemdatorer är det möjligt att utföra 250 iterationer för en punkt.

De flesta av fraktalerna vi ser idag är vackert färgade. Kanske blev fraktalbilderna så stora estetiskt värde just på grund av deras färgscheman. Efter att ekvationen har beräknats analyserar datorn resultaten. Om resultaten förblir stabila, eller fluktuerar kring ett visst värde, blir pricken vanligtvis svart. Om värdet vid ett eller annat steg tenderar att vara oändligt, målas spetsen i en annan färg, kanske blå eller röd. Under denna process tilldelar datorn färger till alla rörelsehastigheter.

Vanligtvis målas snabbrörliga prickar röda, medan långsammare är gula och så vidare. mörka prickarär förmodligen de mest stabila.

Komplexa fraktaler skiljer sig från deterministiska fraktaler genom att de är oändligt komplexa, men ändå kan genereras med en mycket enkel formel. Deterministiska fraktaler behöver inte formler eller ekvationer. Ta bara lite ritpapper så kan du bygga en Sierpinski-sikt upp till 3 eller 4 iterationer utan svårighet. Försök att göra det med massor av Julia! Det är lättare att mäta längden på Englands kustlinje!

MANDERBROT SET

Fig 2. Mandelbrot set

Mandelbrot- och Julia-uppsättningarna är förmodligen de två vanligaste bland komplexa fraktaler. De finns i många vetenskapliga tidskrifter, bokomslag, vykort och datorskärmsläckare. Mandelbrot-uppsättningen, som byggdes av Benoit Mandelbrot, är förmodligen den första association som människor har när de hör ordet fraktal. Denna fraktal, som liknar ett kort med glödande träd och cirkelområden fästa vid den, genereras av den enkla formeln Zn+1=Zna+C, där Z och C är komplexa tal och a är ett positivt tal.

Den vanligaste mandelbrotmängden är 2:a gradens Mandelbrotmängd, dvs a=2. Det faktum att Mandelbrot-mängden inte bara är Zn+1=ZnІ+C, utan en fraktal vars exponent i formeln kan vara vilket positivt tal som helst, vilseledde många. På den här sidan ser du ett exempel på Mandelbrot-uppsättningen för olika värden av exponenten a.
Figur 3. Uppkomsten av bubblor vid a=3,5

Processen Z=Z*tg(Z+C) är också populär. Tack vare inkluderingen av tangentfunktionen erhålls Mandelbrot-uppsättningen, omgiven av ett område som liknar ett äpple. Vid användning av cosinusfunktionen erhålls luftbubblor. Kort sagt, det finns ett oändligt antal sätt att justera Mandelbrot-setet för att producera olika vackra bilder.

FLERA JULIA

Överraskande nog är Julia-uppsättningarna bildade enligt samma formel som Mandelbrot-uppsättningen. Julia-uppsättningen uppfanns av den franske matematikern Gaston Julia, efter vilken uppsättningen fick sitt namn. Den första frågan som uppstår efter en visuell bekantskap med Mandelbrot- och Julia-uppsättningarna är "om båda fraktalerna genereras av samma formel, varför är de så olika?" Titta först på bilderna på Julia-setet. Konstigt nog finns det olika typer av Julia-set. När du ritar en fraktal med olika startpunkter (för att starta iterationsprocessen), olika bilder. Detta gäller bara för Julia-setet.

Fig 4. Julia set

Även om det inte kan ses på bilden, är en Mandelbrot fraktal faktiskt ett gäng Julia fraktaler kopplade ihop. Varje punkt (eller koordinat) i Mandelbrot-uppsättningen motsvarar en Julia-fractal. Julia-uppsättningar kan genereras med dessa punkter som initiala värden i ekvationen Z=ZI+C. Men detta betyder inte att om du väljer en punkt på Mandelbrot-fraktalen och ökar den, kan du få en Julia-fraktal. Dessa två punkter är identiska, men bara i matematisk mening. Om vi tar denna punkt och beräknar den enligt denna formel, kan vi få Julia-fraktalen som motsvarar en viss punkt i Mandelbrot-fraktalen.

För att representera hela mängden fraktaler är det bekvämt att tillgripa deras allmänt accepterade klassificering.

2.1 Geometriska fraktaler

Fraktaler av denna klass är de mest uppenbara. I det tvådimensionella fallet erhålls de med hjälp av någon polylinje (eller yta i det tredimensionella fallet) som kallas generator. I ett steg av algoritmen ersätts vart och ett av segmenten som utgör den streckade linjen med en bruten linjegenerator, i lämplig skala. Som ett resultat av den ändlösa upprepningen av denna procedur erhålls en geometrisk fraktal.

Fig 1. Konstruktion av den triadiska Koch-kurvan.

Betrakta ett av dessa fraktala objekt - den triadiska Koch-kurvan. Konstruktionen av kurvan börjar med ett segment av enhetslängd (fig. 1) - detta är den 0:e generationen av Koch-kurvan. Vidare ersätts varje länk (ett segment i nollgenerationen) av generatris, indikerad i fig. 1 till och med n=1. Som ett resultat av en sådan ersättning erhålls nästa generation av Koch-kurvan. I 1:a generationen är detta en kurva av fyra raka länkar, var och en med en längd på 1/3 . För att erhålla den 3:e generationen utförs samma åtgärder - varje länk ersätts av ett reducerat formelement. Så för att erhålla varje efterföljande generation måste alla länkar från den föregående generationen ersättas med ett reducerat formelement. Kurva n generationen för alla ändliga n kallad prefraktal. Figur 1 visar fem generationer av kurvan. På n Med en tendens till oändligheten blir Koch-kurvan ett fraktalt objekt.

Figur 2. Konstruktion av "draken" av Harter-Hateway.

För att få ett annat fraktalobjekt måste du ändra konstruktionsreglerna. Låt det genererande elementet vara två lika stora segment sammankopplade i räta vinklar. I nollgenerationen ersätter vi enhetssegmentet med detta genererande element så att vinkeln blir överst. Vi kan säga att med ett sådant byte sker en förskjutning i mitten av länken. När man konstruerar nästa generationer uppfylls regeln: den allra första länken till vänster ersätts av ett genererande element så att mitten av länken förskjuts till vänster om rörelseriktningen, och när man byter ut nästa länkar, riktningarna för förskjutning av segmentens mittpunkter måste alternera. Figur 2 visar de första generationerna och den 11:e generationen av kurvan konstruerad enligt principen som beskrivs ovan. Begränsande fraktalkurva (kl n tenderar till oändligheten) kallas Harter-Hateway drake .

I datorgrafik är användningen av geometriska fraktaler nödvändig för att få bilder av träd, buskar och kustlinjen. Tvådimensionella geometriska fraktaler används för att skapa volymetriska texturer (mönster på ytan av ett objekt).

2.2 Algebraiska fraktaler

Detta är den största gruppen fraktaler. De erhålls med hjälp av icke-linjära processer i n-dimensionella utrymmen. Tvådimensionella processer är de mest studerade. Genom att tolka en icke-linjär iterativ process som ett diskret dynamiskt system kan man använda terminologin för teorin om dessa system: fasporträtt, stabilt läge, attraktion etc.

Det är känt att olinjära dynamiska system har flera stabila tillstånd. Tillståndet i vilket det dynamiska systemet befinner sig efter ett visst antal iterationer beror på dess initiala tillstånd. Därför har varje stabilt tillstånd (eller, som de säger, en attraktion) ett visst område med initiala tillstånd, från vilket systemet nödvändigtvis kommer att falla in i de övervägda sluttillstånden. Således är systemets fasutrymme uppdelat i attraktionsområden attraktionskrafter. Om fasutrymmet är tvådimensionellt kan man erhålla genom att färga attraktionsområdena med olika färger färgfas porträtt detta system (iterativ process). Genom att ändra färgvalsalgoritmen kan du få komplexa fraktala mönster med snygga flerfärgsmönster. En överraskning för matematiker var förmågan att skapa mycket komplexa icke-triviala strukturer med hjälp av primitiva algoritmer.

Fig 3. Mandelbrot set.

Som ett exempel, betrakta Mandelbrot-uppsättningen (se Fig.3 och Fig.4). Algoritmen för dess konstruktion är ganska enkel och bygger på ett enkelt iterativt uttryck:

Z = Z[i] * Z[i] + C,

Var Z jag och Cär komplexa variabler. Iterationer utförs för varje startpunkt C rektangulärt eller kvadratiskt område - en delmängd av det komplexa planet. Den iterativa processen fortsätter tills Z[i] kommer inte att gå utanför cirkeln med radie 2, vars centrum ligger i punkten (0,0), (detta betyder att det dynamiska systemets atttraktor är i oändligheten), eller efter ett tillräckligt stort antal iterationer (till exempel 200-500) Z[i] konvergerar till någon punkt på cirkeln. Beroende på antalet iterationer under vilka Z[i] förblev inuti cirkeln kan du ställa in färgen på punkten C(Om Z[i] stannar inuti cirkeln under ett tillräckligt stort antal iterationer, iterationsprocessen stoppas och denna rasterpunkt målas svart).

Figur 4. En del av gränsen till Mandelbrot-uppsättningen, förstorad 200 gånger.

Ovanstående algoritm ger en approximation till den så kallade Mandelbrot-uppsättningen. Mandelbrot-setet innehåller punkter som under ändlös antalet iterationer går inte till oändlighet (punkter är svarta). Punkter som hör till mängdens gräns (det är här komplexa strukturer uppstår) går till oändligheten i ett ändligt antal iterationer, och punkter som ligger utanför mängden går till oändlighet efter flera iterationer (vit bakgrund).

2.3 Stokastiska fraktaler

Det finns andra klassificeringar av fraktaler, till exempel uppdelningen av fraktaler i deterministiska (algebraiska och geometriska) och icke-deterministiska (stokastiska).

fraktal

Fraktal (lat. fraktus- krossad, bruten, bruten) - en geometrisk figur som har egenskapen att vara självlikhet, det vill säga den är sammansatt av flera delar som var och en liknar hela figuren som helhet. I matematik förstås fraktaler som uppsättningar av punkter i det euklidiska rummet som har en bråkdelsmetrisk dimension (i betydelsen Minkowski eller Hausdorff), eller en annan metrisk dimension än topologisk. Fractasm är en oberoende exakt vetenskap för att studera och sammanställa fraktaler.

Med andra ord, fraktaler är geometriska objekt med en bråkdimension. Till exempel är dimensionen på en linje 1, en area är 2, en volym är 3. För en fraktal kan dimensionsvärdet vara mellan 1 och 2 eller mellan 2 och 3. Till exempel fraktaldimensionen för ett skrynkligt papper bollen är cirka 2,5. I matematik finns det en speciell komplex formel för att beräkna fraktalernas dimension. Trakealrörens förgreningar, löven på träden, venerna i armen, floden är fraktaler. Enkelt uttryckt är en fraktal en geometrisk figur, av vilken en viss del upprepas om och om igen, ändras i storlek - detta är principen om självlikhet. Fraktaler liknar sig själva, de liknar sig själva på alla nivåer (dvs i vilken skala som helst). Det finns många olika typer av fraktaler. I princip kan man hävda att allt som finns i den verkliga världen är en fraktal, oavsett om det är ett moln eller en syremolekyl.

Ordet "kaos" antyder något oförutsägbart, men i själva verket är kaos ganska ordnat och lyder vissa lagar. Syftet med att studera kaos och fraktaler är att förutsäga mönster som vid en första anblick kan verka oförutsägbara och helt kaotiska.

Pionjären inom detta kunskapsområde var den fransk-amerikanske matematikern, professor Benoit B. Mandelbrot. I mitten av 1960-talet utvecklade han fraktal geometri, vars syfte var att analysera trasiga, skrynkliga och luddiga former. Mandelbrot-uppsättningen (visas i figuren) är den första associationen som en person har när han hör ordet "fractal". Mandelbrot bestämde förresten att den fraktala dimensionen av Englands kustlinje är 1,25.

Fraktaler används alltmer inom vetenskapen. De beskriver verkliga världenännu bättre än traditionell fysik eller matematik. Brownsk rörelse är till exempel den slumpmässiga och kaotiska rörelsen av dammpartiklar suspenderade i vatten. Denna typ av rörelse är kanske den mest praktiska aspekten av fraktal geometri. Slumpmässig Brownsk rörelse har ett frekvenssvar som kan användas för att förutsäga fenomen som involverar stora mängder data och statistik. Till exempel förutspådde Mandelbrot förändringar i priset på ull med hjälp av Brownsk rörelse.

Ordet "fraktal" kan användas inte bara som en matematisk term. En fraktal i pressen och populärvetenskaplig litteratur kan kallas figurer som har någon av följande egenskaper:

Den har en icke-trivial struktur på alla skalor. Detta är skillnaden från vanliga figurer (som en cirkel, en ellips, en graf av en jämn funktion): om vi betraktar ett litet fragment av en vanlig figur i en mycket stor skala, kommer det att se ut som ett fragment av en rät linje . För en fraktal leder inte inzoomning till en förenkling av strukturen, på alla skalor kommer vi att se en lika komplex bild.

Det är sig självlikt eller ungefär sig självlikt.

Den har en metrisk bråkdimension eller en metrisk dimension som är överlägsen den topologiska.

Den mest användbara användningen av fraktaler i datoranvändning är fraktaldatakomprimering. Samtidigt komprimeras bilder mycket bättre än vad det görs med konventionella metoder - upp till 600:1. En annan fördel med fraktal komprimering är att när du zoomar in så finns det ingen pixeleringseffekt som drastiskt försämrar bilden. Dessutom ser en fraktalt komprimerad bild efter förstoring ofta ännu bättre ut än tidigare. Datavetare vet också att fraktaler av oändlig komplexitet och skönhet kan genereras med enkla formler. Filmindustrin använder i stor utsträckning fraktal grafikteknik för att skapa realistiska landskapselement (moln, stenar och skuggor).

Studiet av turbulens i flöden anpassar sig mycket väl till fraktaler. Detta möjliggör en bättre förståelse av dynamiken i komplexa flöden. Lågor kan också modelleras med fraktaler. Porösa material är väl representerade i fraktal form på grund av att de har en mycket komplex geometri. För att överföra data över avstånd används fraktalformade antenner, vilket kraftigt minskar deras storlek och vikt. Fraktaler används för att beskriva krökningen av ytor. En ojämn yta kännetecknas av en kombination av två olika fraktaler.

Många föremål i naturen har fraktala egenskaper, såsom kuster, moln, trädkronor, snöflingor, cirkulationssystemet och alveolsystemet hos människor eller djur.

Fraktaler, särskilt på planet, är populära för sin kombination av skönhet och enkel konstruktion med en dator.

De första exemplen på självliknande uppsättningar med ovanliga egenskaper dök upp på 1800-talet (till exempel Bolzano-funktionen, Weierstrass-funktionen, Cantor-uppsättningen). Termen "fractal" introducerades av Benoit Mandelbrot 1975 och fick stor popularitet med släppet av hans bok "The Fractal Geometry of Nature" 1977.

Figuren till vänster visar en Darer Pentagon-fraktal som ett enkelt exempel, som ser ut som ett gäng pentagoner sammanpressade. Faktum är att den bildas genom att använda en femhörning som initiator och likbenta trianglar, där förhållandet mellan den största sidan och den minsta är exakt lika med det så kallade gyllene snittet (1,618033989 eller 1/(2cos72°)) som generator. Dessa trianglar skärs från mitten av varje femhörning, vilket resulterar i en form som ser ut som 5 små femhörningar limmade på en stor.

Kaosteorin säger att komplexa olinjära system är ärftligt oförutsägbara, men den hävdar samtidigt att sättet att uttrycka sådana oförutsägbara system visar sig vara sant inte i exakta likheter, utan i representationer av systemets beteende - i grafer över konstiga attraherande som ser ut som fraktaler. Således visar sig kaosteori, som av många betraktas som oförutsägbarhet, vara vetenskapen om förutsägbarhet även i de mest instabila systemen. Läran om dynamiska system visar att enkla ekvationer kan generera ett sådant kaotiskt beteende där systemet aldrig återgår till ett stabilt tillstånd och ingen regelbundenhet uppträder samtidigt. Ofta beter sig sådana system helt normalt upp till ett visst värde av en nyckelparameter, för att sedan uppleva en övergång där det finns två möjligheter för vidareutveckling, sedan fyra, och slutligen en kaotisk uppsättning möjligheter.

Schema av processer som förekommer i tekniska objekt har en tydligt definierad fraktal struktur. Strukturen för det minsta tekniska systemet (TS) innebär flödet inom TS av två typer av processer - de viktigaste och stödjande, och denna uppdelning är villkorad och relativ. Vilken som helst process kan vara den huvudsakliga i förhållande till de stödjande processerna, och vilken som helst av de stödjande processerna kan betraktas som den huvudsakliga i förhållande till "deras" stödjande processer. Cirklarna i diagrammet indikerar de fysiska effekterna som säkerställer flödet av dessa processer, för vilka det inte är nödvändigt att speciellt skapa "egen" TS. Dessa processer är resultatet av interaktionen mellan ämnen, fält, ämnen och fält. För att vara exakt är den fysiska effekten ett fordon, vars princip vi inte kan påverka, och vi vill inte eller har ingen möjlighet att blanda oss i dess struktur.

Flödet av huvudprocessen som visas i diagrammet säkerställs genom att det finns tre stödjande processer som är de viktigaste för TS som genererar dem. För rättvisans skull noterar vi att för funktionen av även en minimal TS är tre processer uppenbarligen inte tillräckligt, d.v.s. schemat är väldigt, väldigt överdrivet.

Allt är inte så enkelt som visas i diagrammet. Användbar ( nödvändigt för en person) processen kan inte utföras med 100 % effektivitet. Den förbrukade energin läggs på att skapa skadliga processer - uppvärmning, vibrationer etc. Som ett resultat, parallellt med den fördelaktiga processen, uppstår skadliga sådana. Det är inte alltid möjligt att ersätta en "dålig" process med en "bra", så nya processer måste organiseras för att kompensera för de konsekvenser som är skadliga för systemet. Ett typiskt exempel är behovet av att bekämpa friktion, vilket tvingar en att organisera geniala smörjsystem, använda dyra antifriktionsmaterial eller lägga tid på att smörja komponenter och delar eller periodiskt byta ut dem.

I samband med förekomsten av det oundvikliga inflytandet av en föränderlig miljö kan en användbar process behöva kontrolleras. Hantering kan utföras både med hjälp av automatiska enheter och direkt av en person. Processdiagrammet är egentligen en uppsättning specialkommandon, d.v.s. algoritm. Kärnan (beskrivningen) av varje kommando är en kombination av en enda användbar process, medföljande skadliga processer och en uppsättning nödvändiga kontrollprocesser. I en sådan algoritm är uppsättningen av stödjande processer en vanlig subrutin - och här hittar vi också en fraktal. Metoden av R. Koller, skapad för ett kvarts sekel sedan, gör det möjligt att skapa system med en ganska begränsad uppsättning av endast 12 par funktioner (processer).

Självliknande uppsättningar med ovanliga egenskaper i matematik

Börjar med sent XIXårhundradet, inom matematiken finns det exempel på självliknande föremål med patologiska egenskaper ur klassisk analyss synvinkel. Dessa inkluderar följande:

Cantor-setet är en ingenstans tät oräknelig perfekt uppsättning. Genom att modifiera proceduren kan man också få en ingenstans tät uppsättning av positiv längd.

Sierpinski-triangeln ("bordsduk") och Sierpinski-mattan är analoger till Cantor-uppsättningen på planet.

Mengers svamp - en analog av Cantor i tredimensionellt utrymme;

exempel av Weierstrass och van der Waerden på en ingenstans differentierbar kontinuerlig funktion.

Koch-kurva - en icke-självkorsande kontinuerlig kurva av oändlig längd som inte har en tangent vid någon punkt;

Peano-kurvan är en kontinuerlig kurva som går genom alla punkter i en kvadrat.

banan för en Brownsk partikel är inte heller någonstans differentierbar med sannolikhet 1. Dess Hausdorff-dimension är två

Rekursiv procedur för att erhålla fraktala kurvor

Konstruktion av Koch-kurvan

Det finns en enkel rekursiv procedur för att erhålla fraktala kurvor i ett plan. Vi definierar en godtycklig streckad linje med ett ändligt antal länkar, kallad en generator. Därefter ersätter vi varje segment i det med en generator (mer exakt, en bruten linje som liknar en generator). I den resulterande brutna linjen ersätter vi igen varje segment med en generator. Fortsätter vi till oändligheten, i gränsen får vi en fraktalkurva. Bilden till höger visar de fyra första stegen i denna procedur för Koch-kurvan.

Exempel på sådana kurvor är:

Dragon Curve,

Koch kurva (Koch snöflinga),

Avgiftskurva,

minkowski kurva,

Hilbert Curve,

Trasig (kurv) drake (Fractal Harter-Hateway),

Peano kurva.

Med en liknande procedur erhålls ett Pythagoras träd.

Fraktaler som fasta punkter för sammandragningsmappningar

Egenskapen för självlikhet kan uttryckas matematiskt rigoröst enligt följande. Låta vara sammandragningskartor över planet. Betrakta följande mappning på uppsättningen av alla kompakta (slutna och avgränsade) delmängder av planet:

Det kan visas att kartläggningen är en sammandragningsmappning på uppsättningen kompakta uppsättningar med Hausdorff-metriken. Därför, enligt Banachs teorem, har denna kartläggning en unik fixpunkt. Denna fasta punkt kommer att vara vår fraktal.

Den rekursiva proceduren för att erhålla fraktala kurvor som beskrivs ovan är ett specialfall av denna konstruktion. I den är alla mappningar likhetskartläggningar, och är antalet generatorlänkar.

För Sierpinski-triangeln och kartläggningen är , , homoteter med centra vid hörn av en vanlig triangel och koefficient 1/2. Det är lätt att se att Sierpinski-triangeln förvandlas till sig själv under kartläggningen.

I det fall då mappningarna är likhetstransformationer med koefficienter, kan fraktalens dimension (under vissa ytterligare tekniska förhållanden) beräknas som en lösning på ekvationen. Så, för Sierpinski-triangeln får vi .

Enligt samma Banach-sats, med utgångspunkt från vilken kompakt mängd som helst och applicera iterationer av kartan på den, får vi en sekvens av kompakta mängder som konvergerar (i betydelsen av Hausdorff-metriken) till vår fraktal.

Fraktaler i komplex dynamik

Julia set

En annan uppsättning av Julia

Fraktaler uppstår naturligt i studiet av icke-linjära dynamiska system. Det mest studerade fallet är när det dynamiska systemet definieras av iterationer av ett polynom eller en holomorf funktion av en komplex variabel på planet. De första studierna på detta område går tillbaka till början av 1900-talet och förknippas med namnen Fatou och Julia.

Låta F(z) - polynom, z 0 är ett komplext tal. Tänk på följande sekvens: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Vi är intresserade av beteendet för denna sekvens som vi brukar n till oändligheten. Denna sekvens kan:

sträva efter oändligheten

sträva efter det ultimata

uppvisa cykliskt beteende i gränsen, till exempel: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

att bete sig kaotiskt, det vill säga att inte visa någon av de tre nämnda typerna av beteende.

Uppsättningar av värden z 0 , för vilken sekvensen uppvisar en specifik typ av beteende, såväl som uppsättningar av bifurkationspunkter mellan olika typer, har ofta fraktala egenskaper.

Julia-uppsättningen är alltså uppsättningen av bifurkationspunkter för polynomet F(z)=z 2 +c(eller annan liknande funktion), det vill säga dessa värden z 0 , för vilken sekvensens beteende ( z n) kan förändras dramatiskt med godtyckligt små ändringar z 0 .

Ett annat alternativ för att erhålla fraktalmängder är att införa en parameter i polynomet F(z) och med tanke på uppsättningen av de parametervärden för vilka sekvensen ( z n) visar ett visst beteende för en fast z 0 . Således är Mandelbrot-uppsättningen uppsättningen av alla för vilka ( z n) För F(z)=z 2 +c Och z 0 går inte till oändlighet.

Annan berömt exempel av detta slag är Newtons pooler.

Det är populärt att skapa vackra grafiska bilder baserade på komplex dynamik genom att färglägga planpunkter beroende på beteendet hos motsvarande dynamiska system. Till exempel, för att komplettera Mandelbrot-setet, kan du färglägga punkterna beroende på ansträngningshastigheten ( z n) till oändlighet (definieras, säg, som det minsta talet n, där | z n| överstiger ett fast stort värde A.

Biomorfer är fraktaler byggda på grundval av komplex dynamik och liknar levande organismer.

Stokastiska fraktaler

Randomiserad fraktal baserad på Julia-uppsättningen

Naturföremål har ofta en fraktal form. För deras modellering kan stokastiska (slumpmässiga) fraktaler användas. Exempel på stokastiska fraktaler:

bana för Brownsk rörelse på planet och i rymden;

gränsen för banan för Brownsk rörelse på planet. 2001 bevisade Lawler, Schramm och Werner Mandelbrots gissning att dess dimension är 4/3.

Schramm-Löwner-evolutioner är konformt invarianta fraktala kurvor som uppstår i kritiska tvådimensionella modeller av statistisk mekanik, till exempel i Ising-modellen och perkolation.

olika typer av randomiserade fraktaler, det vill säga fraktaler som erhålls med hjälp av en rekursiv procedur, där en slumpmässig parameter införs vid varje steg. Plasma är ett exempel på användningen av en sådan fraktal i datorgrafik.

I naturen

Framifrån av luftstrupen och bronkerna

bronkialträd

nätverk av blodkärl

Ansökan

Naturvetenskap

Inom fysiken uppstår fraktaler naturligt vid modellering av icke-linjära processer, såsom turbulent vätskeflöde, komplexa diffusions-adsorptionsprocesser, flammor, moln etc. Fraktaler används vid modellering av porösa material, till exempel inom petrokemi. Inom biologin används de för att modellera populationer och för att beskriva system av inre organ (system av blodkärl).

Radioteknik

fraktala antenner

Användningen av fraktal geometri i designen av antennenheter tillämpades först av den amerikanske ingenjören Nathan Cohen, som då bodde i centrala Boston, där det var förbjudet att installera externa antenner på byggnader. Nathan klippte ut en figur i form av en Koch-kurva från aluminiumfolie och klistrade in den på ett pappersark och fäste den sedan på mottagaren. Cohen grundade sitt eget företag och lanserade deras serieproduktion.

Datavetenskap

Bildkomprimering

Huvudartikel: Fraktal kompressionsalgoritm

fraktal träd

Det finns bildkomprimeringsalgoritmer som använder fraktaler. De bygger på tanken att du istället för själva bilden kan lagra en sammandragningskarta för vilken den här bilden (eller någon i närheten av den) är en fast punkt. En av varianterna av denna algoritm användes [ källa ospecificerad 895 dagar] av Microsoft när de publicerade sitt uppslagsverk, men dessa algoritmer användes inte i stor utsträckning.

Datorgrafik

Ännu ett fraktalträd

Fraktaler används ofta i datorgrafik för att bygga bilder av naturliga föremål som träd, buskar, bergslandskap, havsytor och så vidare. Det finns många program som används för att generera fraktala bilder, se Fractal Generator (program).

decentraliserade nätverk

Netsukukus IP-adresstilldelningssystem använder principen om fraktal informationskomprimering för att kompakt lagra information om nätverksnoder. Varje nod på Netsukuku-nätverket lagrar endast 4 KB information om status för angränsande noder, medan varje ny nod ansluter till det allmänna nätverket utan behov av central reglering av distributionen av IP-adresser, vilket till exempel är typiskt för Internet. Således garanterar principen om fraktal informationskomprimering en helt decentraliserad och därför den mest stabila driften av hela nätverket.

Fraktaler har varit kända i nästan ett sekel, är väl studerade och har många tillämpningar i livet. Detta fenomen är baserat på en mycket enkel idé: ett oändligt antal figurer i skönhet och variation kan erhållas från relativt enkla strukturer med bara två operationer - kopiering och skalning.

Detta begrepp har ingen strikt definition. Därför är ordet "fraktal" inte en matematisk term. Det brukar kallas geometrisk figur, som uppfyller en eller flera av följande egenskaper:

har en komplex struktur vid vilken förstoring som helst;
är (ungefärligt) sig själv lik;
har en fraktionerad Hausdorff (fraktal) dimension , som är större än den topologiska;
kan byggas genom rekursiva procedurer.

Vid sekelskiftet 1800- och 1900-talet var studiet av fraktaler mer episodiskt än systematiskt, eftersom tidigare matematiker främst studerade "bra" föremål som kunde studeras med hjälp av vanliga metoder och teorier. 1872 konstruerade den tyske matematikern Karl Weierstrass ett exempel på en kontinuerlig funktion som inte går att särskilja någonstans. Men dess konstruktion var helt abstrakt och svår att förstå. Därför kom svensken Helge von Koch 1904 på en kontinuerlig kurva som inte har någon tangent någonstans, och den är ganska enkel att rita. Det visade sig att det har egenskaperna hos en fraktal. En variant av denna kurva kallas Koch-snöflingan.

Idéerna om figurernas självlikhet plockades upp av fransmannen Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbrots framtida mentor. 1938 publicerades hans artikel "Plane och rumsliga kurvor och ytor som består av delar som liknar helheten", där en annan fraktal beskrivs - Lévy C-kurvan. Alla ovanstående fraktaler kan villkorligt hänföras till en klass av konstruktiva (geometriska) fraktaler.

En annan klass är dynamiska (algebraiska) fraktaler, som inkluderar Mandelbrot-mängden. De första studierna i denna riktning går tillbaka till början av 1900-talet och förknippas med namnen på de franska matematikerna Gaston Julia och Pierre Fatou. År 1918 publicerades nästan tvåhundra sidor av Julias arbete, ägnat åt iterationer av komplexa rationella funktioner, där Julia-uppsättningar beskrivs - en hel familj av fraktaler som är nära besläktade med Mandelbrot-uppsättningen. Detta verk belönades med den franska akademins pris, men det innehöll inte en enda illustration, så det var omöjligt att uppskatta skönheten i de upptäckta föremålen. Trots att detta arbete gjorde Julia känd bland dåtidens matematiker, glömdes det snabbt bort.

Bara ett halvt sekel senare, med tillkomsten av datorer, vände uppmärksamheten mot Julias och Fatous arbete: det var de som gjorde rikedomen och skönheten i fraktalvärlden synlig. Trots allt kunde Fatou aldrig titta på bilderna som vi nu känner som bilder av Mandelbrot-uppsättningen, eftersom det nödvändiga antalet beräkningar inte kan göras manuellt. Den första som använde en dator för detta var Benoit Mandelbrot.

1982 utkom Mandelbrots bok "The Fractal Geometry of Nature", där författaren samlade och systematiserade nästan all information om fraktaler som fanns tillgänglig på den tiden och presenterade den på ett enkelt och lättillgängligt sätt. Mandelbrot lade huvudvikten i sin presentation inte på tunga formler och matematiska konstruktioner, utan på läsarnas geometriska intuition. Tack vare datorgenererade illustrationer och historiska berättelser, med vilka författaren skickligt spädde ut den vetenskapliga komponenten i monografin, blev boken en bästsäljare, och fraktalerna blev kända för allmänheten. Deras framgång bland icke-matematiker beror till stor del på det faktum att man med hjälp av mycket enkla konstruktioner och formler som även en gymnasieelev kan förstå, erhålls bilder av fantastisk komplexitet och skönhet. När persondatorer blev tillräckligt kraftfulla dök till och med en hel trend inom konst upp - fraktalmålning, och nästan vilken datorägare som helst kunde göra det. Nu på Internet kan du enkelt hitta många webbplatser dedikerade till detta ämne.

Redaktörerna för NNN råkade råka över en mycket intressant material, presenterad i bloggen för användaren xtsarx, tillägnad teorins delar fraktaler och dess praktiska tillämpning. Som bekant spelar teorin om fraktaler en viktig roll i nanosystemens fysik och kemi. Efter att ha gjort vårt bidrag till detta gedigna material, presenterat på ett språk som är tillgängligt för ett brett spektrum av läsare och med stöd av en riklig mängd grafiskt och till och med videomaterial, presenterar vi det för er uppmärksamhet. Vi hoppas att NNN:s läsare kommer att finna detta material intressant.

Naturen är så mystisk att ju mer du studerar den, desto fler frågor uppstår... Nattblixtar - blå "strömmar" av grenutsläpp, frostiga mönster på fönstret, snöflingor, berg, moln, trädbark - allt detta går utöver det vanliga Euklidisk geometri. Vi kan inte beskriva stenen eller öns gränser med linjer, cirklar och trianglar. Och här kommer vi till undsättning fraktaler. Vad är dessa bekanta främlingar?

"Under ett mikroskop upptäckte han det på en loppa
Den bitande loppan lever på en loppa;
På den loppan sitter en liten loppa,
Sticker argt en tand i en loppa
Loppor och så i oändligheten. D. Swift.

Lite historia

Första idéerna fraktal geometri uppstod på 1800-talet. Kantor, med en enkel rekursiv (upprepad) procedur, förvandlade linjen till en uppsättning osammanhängande punkter (det så kallade Cantor Dust). Han tog linjen och tog bort den centrala tredjedelen och upprepade sedan samma sak med de återstående segmenten.

Ris. 1. Peanokurva 1,2–5 iterationer.

Peano målad speciell sort rader. Peano gjorde följande: Vid det första steget tog han en rak linje och ersatte den med 9 segment 3 gånger kortare än längden på den ursprungliga linjen. Sedan gjorde han samma sak med varje segment av den resulterande linjen. Och så vidare i det oändliga. Dess unika ligger i det faktum att den fyller hela planet. Det är bevisat att för varje punkt i planet kan man hitta en punkt som hör till Peano-linjen. Peanos kurva och Cantors damm gick bortom vanliga geometriska föremål. De var inte tydligt dimensionerade.. Cantors stoft konstruerades till synes utifrån en endimensionell rät linje, men bestod av punkter (dimension 0). Och Peano-kurvan byggdes på basis av en endimensionell linje, och resultatet blev ett plan. Inom många andra vetenskapsområden dök det upp problem som ledde till konstiga resultat, som de som beskrivits ovan (Brownian motion, aktiekurser). Var och en av oss kan göra den här proceduren ...

Fractals far

Fram till 1900-talet fanns det en ansamling av data om sådana konstiga föremål, utan något försök att systematisera dem. Så var det tills de tog Benoit Mandelbrot – fadern till modern fraktalgeometri och ordet fraktal.

Ris. 2. Benoit Mandelbrot.

När han arbetade på IBM som matematisk analytiker studerade han brus i elektroniska kretsar som inte kunde beskrivas med statistik. Genom att gradvis jämföra fakta kom han till upptäckten av en ny riktning inom matematiken - fraktal geometri.

Termen "fractal" introducerades av B. Mandelbrot 1975. Enligt Mandelbrot, fraktal(från latinets "fractus" - bråk, bruten, bruten) kallas en struktur som består av delar som en helhet. Egenskapen för självlikhet skiljer skarpt fraktaler från föremål med klassisk geometri. Termin självlikhet betyder närvaron av en fin, repeterande struktur, både på objektets minsta skalor och på en makroskala.

Ris. 3. Till definitionen av begreppet "fraktal".

Exempel på självlikhet är: Koch, Levy, Minkowski kurvor, Sierpinski triangel, Menger svamp, Pythagoras träd, etc.

Ur en matematisk synvinkel, fraktalär för det första, uppsättning med bråkdimension (mellanliggande, "inte heltal"). Medan en jämn euklidisk linje fyller exakt ett endimensionellt utrymme, går en fraktalkurva bortom ettdimensionellt utrymme, tränger in utanför gränserna till tvådimensionellt utrymme. Således kommer den fraktala dimensionen av Koch-kurvan att vara mellan 1 och 2. Detta, För det första betyder det att ett fraktalt föremål inte kan mäta dess längd exakt! Av dessa geometriska fraktaler är den första mycket intressant och ganska känd - Koch snöflinga.

Ris. 4. Till definitionen av begreppet "fraktal".

Den är byggd på basen liksidig triangel. Varje rad ersätts av 4 rader vardera 1/3 av den ursprungliga längden. Med varje iteration ökar alltså kurvans längd med en tredjedel. Och om vi gör ett oändligt antal iterationer får vi en fraktal - en Koch-snöflinga med oändlig längd. Det visar sig att vår oändliga kurva täcker ett begränsat område. Försök att göra detsamma med metoder och figurer från euklidisk geometri.
Mått på en Koch snöflinga(när en snöflinga ökar med 3 gånger ökar dess längd med 4 gånger) D=log(4)/log(3)=1,2619.

Om fraktalen

Fraktaler hittar fler och fler tillämpningar inom vetenskap och teknik. Den främsta anledningen till detta är att de beskriver den verkliga världen ibland ännu bättre än traditionell fysik eller matematik. Du kan oändligt ge exempel på fraktala föremål i naturen - dessa är moln och snöflingor och berg och en blixt och slutligen blomkål. En fraktal som ett naturligt objekt är en evig kontinuerlig rörelse, en nybildning och utveckling.

Ris. 5. Fraktaler i ekonomi.

Förutom, fraktaler hittar tillämpning i decentraliserade datornätverk Och "fraktalantenner" . Mycket intressant och lovande för modellering av olika stokastiska (icke-deterministiska) "slumpmässiga" processer är de så kallade "brownska fraktalerna". När det gäller nanoteknik spelar fraktaler också en viktig roll. , eftersom, på grund av deras hierarkiska självorganisering, många nanosystem har en icke-heltalsdimension, det vill säga de är fraktaler till sin geometriska, fysikalisk-kemiska eller funktionella natur. Till exempel, ett slående exempel på kemiska fraktala system är molekylerna av "dendrimerer" . Dessutom är fraktalitetsprincipen (självliknande, skalande struktur) en återspegling av systemets hierarkiska struktur och är därför mer generell och universell än standardmetoder för att beskriva nanosystemens struktur och egenskaper.

Ris. 6. Molekyler av "dendrimerer".

Ris. 7. Grafisk modell för kommunikation i arkitektur- och byggprocessen. Den första nivån av interaktion ur mikroprocessernas synvinkel.

Ris. 8. Grafisk modell för kommunikation i arkitektur- och byggprocessen. Den andra nivån av interaktion från positionerna för makroprocesser (ett fragment av modellen).

Ris. 9. Grafisk modell för kommunikation i arkitektur- och byggprocessen. Den andra nivån av interaktion från makroprocessers synvinkel (hela modellen)