การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม งานวิจัยในหัวข้อ "วิธีการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม"

งานมักจะเป็นดังนี้: "สร้างมุมมองที่เป็นธรรมชาติของส่วนตัวเลข". แน่นอน เราตัดสินใจที่จะไม่ทิ้งคำถามนี้ไว้และพยายามอธิบายถึงวิธีการสร้างส่วนเฉียง (หากเป็นไปได้)

เพื่ออธิบายวิธีการสร้างส่วนเฉียง ผมจะยกตัวอย่างบางส่วน แน่นอนฉันจะเริ่มต้นด้วยระดับประถมศึกษาค่อยๆเพิ่มความซับซ้อนของตัวอย่าง ฉันหวังว่าหลังจากวิเคราะห์ตัวอย่างภาพวาดส่วนเหล่านี้แล้ว คุณจะเข้าใจวิธีการทำสิ่งนี้และจะสามารถทำงานการเรียนรู้ให้สำเร็จได้ด้วยตัวคุณเอง

พิจารณา "อิฐ" ที่มีขนาด 40x60x80 มม. โดยระนาบเอียงโดยพลการ ระนาบการตัดจะตัดตามจุด 1-2-3-4 ฉันคิดว่าทุกอย่างชัดเจนที่นี่

เรามาเริ่มกันที่การสร้างรูปทรงตามธรรมชาติของส่วนตัดขวาง
1. ก่อนอื่นมาวาดแกนของส่วน ควรวาดแกนขนานกับระนาบส่วน - ขนานกับเส้นที่ระนาบฉายในมุมมองหลัก - โดยปกติจะอยู่ในมุมมองหลักที่มีการตั้งค่างานไว้ การก่อสร้างส่วนเฉียง(ต่อไป ผมจะกล่าวถึงมุมมองหลักเสมอ โดยคำนึงว่าสิ่งนี้มักจะเกิดขึ้นในแบบฝึกหัดเสมอ)
2. บนแกน เรากันความยาวของส่วนไว้ ในภาพวาดของฉัน กำหนดเป็น L ขนาด L กำหนดในมุมมองหลักและเท่ากับระยะทางจากจุดที่ส่วนเข้าสู่ส่วนไปยังจุดที่ส่วนออก
3. จากผลลัพธ์สองจุดบนแกนที่ตั้งฉากกับมัน เรากำหนดความกว้างของส่วนที่จุดเหล่านี้ไว้ ความกว้างของส่วน ณ จุดที่เข้าสู่ส่วนและที่จุดออกจากส่วนสามารถกำหนดได้ในมุมมองด้านบน ใน กรณีนี้ทั้งส่วนที่ 1-4 และ 2-3 เท่ากับ 60 มม. ดังที่คุณเห็นจากภาพด้านบน ขอบของส่วนนั้นเป็นเส้นตรง ดังนั้นเราจึงเชื่อมต่อส่วนที่เป็นผลลัพธ์ทั้งสองเข้าด้วยกัน จะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้า 1-2-3-4 นี่คือ - มุมมองธรรมชาติของรูปร่างของส่วนอิฐของเราที่มีระนาบเอียง

ตอนนี้มาทำให้รายละเอียดของเราซับซ้อนขึ้น วางอิฐบนฐาน 120x80x20 มม. แล้วเพิ่มตัวเสริมความแข็งแกร่งให้กับรูป วาดระนาบการตัดเพื่อให้ผ่านองค์ประกอบทั้งสี่ของร่าง (ผ่านฐานอิฐและตัวทำให้แข็งสองตัว) ในภาพด้านล่าง คุณจะเห็นสามมุมมองและภาพที่เหมือนจริงของส่วนนี้

มาลองสร้างมุมมองที่เป็นธรรมชาติของส่วนที่เอียงนี้กัน เรามาเริ่มกันอีกครั้งกับแกนของส่วน: วาดให้ขนานกับระนาบของส่วนที่ระบุในมุมมองหลัก เรากำหนดความยาวของส่วนไว้ เท่ากับ A-E. จุด A คือจุดเริ่มต้นของส่วนเข้าสู่ส่วน และในกรณีพิเศษ จุดเริ่มต้นของส่วนเข้าสู่ฐาน จุดออกจากฐานคือจุด B ลองทำเครื่องหมายจุด B บนแกนของส่วน ในทำนองเดียวกันเราทำเครื่องหมายจุดเข้า-ออกที่ขอบถึง "อิฐ" และที่ขอบที่สอง จากจุด A และ B ที่ตั้งฉากกับแกน เราจัดส่วนที่เท่ากับความกว้างของฐาน (ที่แต่ละด้านของแกน 40 เพียง 80 มม.) เชื่อมต่อ จุดที่รุนแรง- เราได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งเป็นมุมมองธรรมชาติของส่วนฐานของส่วน

ตอนนี้ได้เวลาสร้างชิ้นส่วนซึ่งเป็นส่วนของขอบของชิ้นส่วน จากจุด B และ C เราตั้งฉากกัน 5 มม. ในแต่ละทิศทาง - เราจะได้ส่วน 10 มม. เชื่อมต่อจุดสุดยอดและรับส่วนตัดขวางของซี่โครง

จากจุด C และ D เราจัดส่วนตั้งฉากเท่ากับความกว้างของ "อิฐ" ซึ่งคล้ายกับตัวอย่างแรกของบทเรียนนี้อย่างสมบูรณ์

เมื่อแยกเส้นตั้งฉากออกจากจุด D และ E ให้เท่ากับความกว้างของขอบที่สองและเชื่อมต่อกับจุดสุดขั้ว เราได้รับมุมมองที่เป็นธรรมชาติของส่วนนั้น

มันยังคงลบจัมเปอร์ระหว่างองค์ประกอบแต่ละส่วนของส่วนที่เป็นผลลัพธ์และใช้การฟักไข่ คุณควรได้รับสิ่งนี้:

หากเราแบ่งตัวเลขตามส่วนที่กำหนดเราจะเห็นมุมมองต่อไปนี้:

ฉันหวังว่าคุณจะไม่ถูกข่มขู่โดยย่อหน้าที่น่าเบื่อของคำอธิบายของอัลกอริทึม หากอ่านทั้งหมดข้างต้นแล้วยังไม่เข้าใจ วิธีการวาดส่วนตัดขวางฉันขอแนะนำให้คุณหยิบกระดาษและดินสอไว้ในมือแล้วลองทำตามขั้นตอนทั้งหมดหลังจากฉัน - สิ่งนี้จะช่วยให้คุณเรียนรู้เนื้อหาได้เกือบ 100%

เมื่อฉันสัญญาว่าจะดำเนินการต่อในบทความนี้ ในที่สุดฉันพร้อมที่จะนำเสนอการสร้างส่วนเอียงของชิ้นส่วนทีละขั้นตอนใกล้กับระดับการบ้าน ยิ่งกว่านั้น ส่วนเอียงถูกกำหนดไว้ในมุมมองที่สาม (ส่วนเอียงถูกกำหนดไว้ในมุมมองด้านซ้าย)

หรือจดหมายเลขโทรศัพท์ของเราและบอกเพื่อนของคุณเกี่ยวกับเรา - บางคนอาจกำลังมองหาวิธีการวาดรูป

หรือสร้างบันทึกเกี่ยวกับบทเรียนของเราบนเพจหรือบล็อกของคุณ - และคนอื่นจะสามารถควบคุมการวาดภาพได้

ใช่ ทุกอย่างเรียบร้อยดี แต่ฉันต้องการดูว่าสิ่งเดียวกันทำในส่วนที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น ลบมุมและรูรูปทรงกรวย เป็นต้น

ขอบคุณ แต่ตัวทำให้แข็งไม่ได้ฟักออกจากบาดแผลเหรอ?
อย่างแน่นอน. พวกเขาคือผู้ที่ไม่ฟักไข่ เพราะพวกเขาเป็น กฎทั่วไปทำการตัด อย่างไรก็ตาม พวกมันมักจะถูกฟักออกมาเมื่อมีการตัดเส้นโครงแบบแอกโซโนเมตริก เช่น ไอโซเมตริก ไดเมทรี เป็นต้น เมื่อทำส่วนเอียง พื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับตัวทำให้แข็งจะถูกแรเงาด้วย

ขอบคุณ เข้าถึงได้มาก คุณช่วยบอกฉันว่าส่วนเฉียงสามารถทำได้ในมุมมองด้านบนหรือในมุมมองด้านซ้าย ถ้าทำได้ ฉันต้องการดูตัวอย่างที่ง่ายที่สุด ได้โปรด

เป็นไปได้ที่จะทำการตัดดังกล่าว แต่น่าเสียดายที่ฉันไม่มีตัวอย่างอยู่ในมือตอนนี้ และยังมีอีกอันหนึ่ง จุดที่น่าสนใจ: ในอีกด้านหนึ่งไม่มีอะไรใหม่ แต่ในทางปฏิบัติแล้วการวาดส่วนดังกล่าวนั้นยากกว่ามาก ด้วยเหตุผลบางอย่าง ทุกอย่างเริ่มสับสนในหัว และนักเรียนส่วนใหญ่มีปัญหา แต่อย่ายอมแพ้!

ใช่ทุกอย่างเรียบร้อยดี แต่ฉันต้องการดูว่าสิ่งเดียวกันเสร็จสิ้นอย่างไร แต่มีรู (ผ่านและไม่ผ่าน) มิฉะนั้นพวกเขาจะไม่กลายเป็นวงรีในหัวของฉัน

ช่วยฉันด้วยปัญหาที่ซับซ้อน

น่าเสียดายที่คุณเขียนที่นี่ เราจะเขียนจดหมาย - บางทีเราอาจจะมีเวลาคุยกันทุกเรื่อง

คุณอธิบายได้ดี จะเป็นอย่างไรถ้าด้านใดด้านหนึ่งของชิ้นส่วนเป็นรูปครึ่งวงกลม นอกจากนี้ยังมีรูในส่วน

Ilya ใช้บทเรียนจากหัวข้อเกี่ยวกับเรขาคณิตเชิงพรรณนา "ส่วนของทรงกระบอกโดยระนาบเอียง" คุณสามารถคิดได้ว่าจะทำอย่างไรกับรู (อันที่จริงก็เป็นทรงกระบอกด้วย) และด้านครึ่งวงกลม

ฉันขอบคุณผู้เขียนบทความสั้น ๆ และเข้าใจได้ เมื่อประมาณ 20 ปีที่แล้วฉันแทะหินแกรนิตของวิทยาศาสตร์ตอนนี้ฉันช่วยลูกชายของฉัน ฉันลืมไปมาก แต่บทความของคุณกลับมีความเข้าใจพื้นฐานของหัวข้อ ฉันจะจัดการกับส่วนเอียงของทรงกระบอก)

เพิ่มความคิดเห็นของคุณ

สัจพจน์ของ planimetry:

ในตำราต่างๆ คุณสมบัติของเส้นและระนาบสามารถนำเสนอในรูปแบบต่างๆ ในรูปแบบของสัจพจน์ ผลที่ตามมา ทฤษฎีบท บทแทรก ฯลฯ พิจารณาตำราเรียน Pogorelov A.V.

เส้นตรงแบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่ง

0

จากเส้นแบ่งครึ่งใด ๆ ไปจนถึงครึ่งระนาบหนึ่ง ๆ เราสามารถกำหนดมุมด้วยค่าที่กำหนดได้ การวัดระดับ, ต่ำกว่า 180 0 และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

ไม่ว่าจะเป็นรูปสามเหลี่ยมอะไรก็ตาม จะมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ณ ตำแหน่งที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับครึ่งเส้นที่กำหนด

ผ่านจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด สามารถลากได้สูงสุดหนึ่งเส้นในระนาบที่ขนานกับเส้นที่กำหนด

สัจพจน์ของ stereometry:

ไม่ว่าจะเป็นระนาบใดก็ตาม ก็มีจุดที่เป็นของระนาบนี้ และจุดที่ไม่ได้อยู่ในระนาบนี้ และจุดที่ไม่ได้เป็นของระนาบนี้

หากระนาบที่แตกต่างกันสองระนาบมีจุดร่วมกัน ระนาบทั้งสองจะตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้

หากเส้นที่แตกต่างกันสองเส้นมีจุดร่วมกัน ก็สามารถวาดระนาบผ่านเส้นเหล่านั้นได้ และยิ่งกว่านั้น มีเพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ไม่ว่าเส้นนั้นจะมีจุดที่เป็นของเส้นนี้และจุดที่ไม่อยู่ในเส้นนี้ก็ตาม

คุณสามารถลากเส้นผ่านจุดสองจุดใดก็ได้ และมีเพียงจุดเดียวเท่านั้น

จากจุดสามจุดบนเส้นตรง มีเพียงจุดเดียวที่อยู่ระหว่างอีกสองจุด

แต่ละส่วนมีความยาวมากกว่าศูนย์ ความยาวของส่วนจะเท่ากับผลรวมของความยาวของส่วนที่หารด้วยจุดใดๆ

เส้นตรงที่เป็นของระนาบจะแบ่งระนาบนี้ออกเป็นสองระนาบครึ่ง

แต่ละมุมมีการวัดระดับที่แน่นอนมากกว่าศูนย์ มุมตรงคือ 180 0 . การวัดระดับของมุมจะเท่ากับผลรวมของการวัดระดับของมุมซึ่งหารด้วยรังสีที่ผ่านระหว่างด้านต่างๆ

ในครึ่งเส้นใดก็ได้จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถเลื่อนส่วนของความยาวที่กำหนดออกและเหลือเพียงส่วนเดียว

จากเส้นแบ่งครึ่งบนระนาบที่บรรจุมุมที่มีการวัดองศาที่กำหนดน้อยกว่า 180 สามารถลงจุดในระนาบครึ่งที่กำหนดได้ 0 และมีเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

ไม่ว่าจะเป็นรูปสามเหลี่ยมอะไรก็ตาม จะมีรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากันในระนาบที่กำหนด ณ ตำแหน่งที่กำหนดซึ่งสัมพันธ์กับครึ่งเส้นที่กำหนดในระนาบนั้น

ในระนาบ ผ่านจุดที่กำหนดซึ่งไม่ได้อยู่บนเส้นที่กำหนด สามารถวาดได้สูงสุดหนึ่งเส้นขนานกับเส้นที่กำหนด

ภาพตัดขวาง

ในอวกาศ รูปทรงสองหน้าสำหรับกรณีของเรา ระนาบและรูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถมีการจัดเรียงร่วมกันดังต่อไปนี้: ไม่ตัดกัน ตัดกันที่จุด ตัดกันเป็นเส้นตรง และระนาบตัดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมตามด้านใน (รูปที่ 1) และในขณะเดียวกันก็สร้างตัวเลขต่อไปนี้:

ก) ตัวเลขว่าง (อย่าตัดกัน)

ข) จุด

ค) ตัด

ง) รูปหลายเหลี่ยม

หากมีรูปหลายเหลี่ยมที่จุดตัดของรูปทรงหลายเหลี่ยมกับระนาบ แสดงว่าเป็นรูปหลายเหลี่ยมนี้เรียกว่าส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีระนาบ .

รูปที่ 1

คำนิยาม. ภาพตัดขวาง ร่างกายเชิงพื้นที่ (ตัวอย่างเช่น รูปทรงหลายเหลี่ยม) เป็นตัวเลขที่ได้มาจากจุดตัดของร่างกายกับระนาบ

ระนาบการตัด รูปทรงหลายเหลี่ยม เรียกระนาบใดก็ได้ซึ่งทั้งสองด้านมีจุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด

เราจะพิจารณาเฉพาะกรณีที่ระนาบตัดกับรูปทรงหลายเหลี่ยมภายในเท่านั้น ในกรณีนี้ จุดตัดของระนาบนี้กับแต่ละหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมจะเป็นส่วนที่แน่นอน

ถ้าระนาบตัดกันเป็นเส้นตรง จะเรียกว่า เส้นตรงจากระนาบหนึ่งไปยังอีกระนาบหนึ่ง

ในกรณีทั่วไป ระนาบตัดของรูปทรงหลายเหลี่ยมตัดระนาบของแต่ละหน้าของมัน (เช่นเดียวกับระนาบตัดอื่นๆ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้) นอกจากนี้ยังตัดเส้นแต่ละเส้นที่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมอยู่

เส้นที่ระนาบตัดตัดระนาบของหน้าใด ๆ ของรูปทรงหลายหน้าเรียกว่าตามระนาบการตัด บนระนาบของหน้านี้ และจุดที่ระนาบตัดตัดเส้นที่มีขอบใดๆ ของรูปทรงหลายหน้าเรียกว่าตามระนาบการตัด บนเส้นตรงนี้ จุดนี้ยังเป็นร่องรอยของเส้นตรงบนระนาบการตัด หากระนาบการตัดตัดกับใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยตรง เราสามารถพูดถึงร่องรอยของระนาบการตัดบนใบหน้าได้ และในทำนองเดียวกันร่องรอยของระนาบการตัดบนขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม นั่นคือร่องรอยของขอบบนระนาบการตัด

เนื่องจากเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดสองจุดโดยเฉพาะ เพื่อค้นหาร่องรอยของระนาบรอยตัดบนระนาบอื่น และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง บนระนาบของหน้ารูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ การสร้างจุดร่วมสองจุดของระนาบก็เพียงพอแล้ว

ในการสร้างร่องรอยของระนาบตัดเช่นเดียวกับการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยระนาบนี้ ไม่เพียงแต่รูปทรงหลายเหลี่ยมเท่านั้น แต่ยังต้องระบุระนาบตัดด้วย และการสร้างระนาบส่วนจะเกิดขึ้นขึ้นอยู่กับการกำหนดระนาบนี้ วิธีหลักในการกำหนดระนาบ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งระนาบการตัด มีดังนี้:

สามจุดไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

เส้นตรงและจุดที่ไม่ได้อยู่บนนั้น

เส้นขนานสองเส้น

เส้นตัดกันสองเส้น

จุดและเส้นตัดกันสองเส้น

มีวิธีอื่นในการกำหนดระนาบการตัด

ดังนั้นวิธีการทั้งหมดในการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถแบ่งออกเป็นวิธีการต่างๆ

วิธีการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม

วิธีการของส่วนรูปทรงหลายเหลี่ยมใน stereometry ใช้ในปัญหาการก่อสร้าง ขึ้นอยู่กับความสามารถในการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมและกำหนดประเภทของส่วน

มีสามวิธีหลักในการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

วิธีการจริง:

วิธีการติดตาม

วิธีการรวม

วิธีการประสานงาน

บันทึก วิธีการติดตามและวิธีการของส่วนเสริมนั้นมีหลากหลายวิธีจริงสำหรับการสร้างส่วน

นอกจากนี้ เรายังสามารถแยกแยะวิธีการต่อไปนี้สำหรับการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยระนาบผ่านจุดที่กำหนดขนานกับระนาบที่กำหนด

การสร้างส่วนที่ผ่านเส้นที่กำหนดขนานกับอีกเส้นหนึ่ง

การสร้างส่วนที่ผ่านจุดที่กำหนดขนานกับเส้นเอียงสองเส้นที่กำหนด

การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยระนาบที่ผ่านเส้นที่กำหนดซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด

การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยระนาบผ่านจุดที่กำหนดให้ตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนด

การดำเนินการหลักที่ประกอบกันเป็นวิธีการสร้างส่วนต่าง ๆ ได้แก่ การหาจุดตัดของเส้นตรงกับระนาบ การสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ การสร้างเส้นตรงขนานกับระนาบที่ตั้งฉากกับระนาบ ในการสร้างเส้นตรงของจุดตัดกันของระนาบสองระนาบ โดยปกติจะพบจุดสองจุดและลากเส้นตรงผ่านระนาบนั้น ในการสร้างจุดตัดของเส้นตรงและระนาบ ให้หาเส้นในระนาบที่ตัดกับระนาบที่กำหนด จากนั้นจะได้จุดที่ต้องการที่จุดตัดของเส้นที่พบกับจุดที่กำหนด

พิจารณาแยกรายการโดยเราวิธีการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

วิธีการติดตาม

วิธีการติดตาม ขึ้นอยู่กับ (ดำเนินการ) บนสัจพจน์ของ stereometry สาระสำคัญของวิธีการคือการสร้างเส้นเสริมซึ่งเป็นภาพของเส้นตัดกันของระนาบการตัดกับระนาบของใบหน้าใด ๆ ของรูป วิธีที่สะดวกที่สุดในการสร้างภาพของเส้นตัดกันของระนาบการตัดกับระนาบของฐานล่าง เส้นนี้เรียกว่าร่องรอยหลักของระนาบการตัด . เมื่อใช้รอยเส้น คุณสามารถสร้างภาพจุดต่างๆ ของระนาบการตัดที่ขอบด้านข้างหรือใบหน้าของภาพได้อย่างง่ายดาย การเชื่อมต่อภาพของจุดเหล่านี้อย่างสม่ำเสมอทำให้เราได้ภาพของส่วนที่ต้องการ

บันทึก เมื่อสร้างรอยเส้นหลักของระนาบรอยตัด จะใช้ข้อความต่อไปนี้

หากคะแนนเป็นของระนาบตัดและไม่อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว และการฉายภาพ (กลางหรือขนาน) บนระนาบที่เลือกเป็นเส้นหลักจะเป็นคะแนนตามลำดับ จากนั้นจุดตัดของเส้นที่สอดคล้องกันนั่นคือจุดและอยู่บนเส้นเดียวกัน (รูปที่ 1, a, b)

รูปที่ 1.a รูปที่ 1.b

เส้นนี้เป็นร่องรอยหลักของระนาบการตัด เนื่องจากจุดต่างๆ อยู่บนร่องรอยหลัก จึงเพียงพอแล้วที่จะหาจุดสองจุดจากสามจุดนี้เพื่อสร้าง

วิธีการของส่วนเสริม

วิธีการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้เป็นสากลเพียงพอ ในกรณีที่ร่องรอยที่ต้องการ (หรือร่องรอย) ของระนาบการตัดอยู่นอกภาพวาด วิธีนี้ยังมีข้อดีบางประการ ในขณะเดียวกันควรระลึกไว้เสมอว่าการก่อสร้างที่ดำเนินการโดยใช้วิธีนี้มักจะกลายเป็น "แออัด" อย่างไรก็ตามในบางกรณีวิธีการของส่วนเสริมนั้นมีเหตุผลมากที่สุด

วิธีการรวม

สาระสำคัญของวิธีการรวมกันสำหรับการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมคือการประยุกต์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความขนานของเส้นและระนาบในอวกาศร่วมกับวิธีการเชิงสัจพจน์

วิธีการประสานงานในการสร้างส่วนต่างๆ

สาระสำคัญของวิธีพิกัดคือการคำนวณพิกัดของจุดตัดกันของขอบหรือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีระนาบเซแคนต์ ซึ่งกำหนดโดยสมการของระนาบ สมการของระนาบส่วนคำนวณตามเงื่อนไขของปัญหา

บันทึก วิธีการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนี้เป็นที่ยอมรับสำหรับคอมพิวเตอร์ เนื่องจากมีความเกี่ยวข้องกับการคำนวณจำนวนมาก ดังนั้นจึงแนะนำให้ใช้วิธีนี้กับคอมพิวเตอร์

งานหลักของเราคือสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีระนาบ เช่น ในการสร้างจุดตัดของสองเซตนี้

การสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ก่อนอื่น เราทราบว่าส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมแบนนูน ซึ่งจุดยอดในกรณีทั่วไปคือจุดตัดของระนาบตัดกับขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมและด้านข้างที่มีใบหน้าของมัน

ตัวอย่างการสร้างส่วน:

มีหลายวิธีในการกำหนดส่วน วิธีที่พบมากที่สุดคือวิธีการระบุระนาบการตัดด้วยจุดสามจุดที่ไม่ได้อยู่บนเส้นตรงเส้นเดียว

ตัวอย่างที่ 1 สำหรับกล่อง ABCDA 1 ข 1 ค 1 ง 1 . สร้างส่วนที่ผ่านจุด M, N, L.

สารละลาย:

เชื่อมต่อจุด M และ L ที่อยู่ในระนาบ AA 1 ง 1 ง.

ตัดเส้น ML (เป็นของส่วน) ด้วยขอบ A 1 ง 1 1 ง 1 ง. รับคะแนน X 1 .

จุด X1 อยู่บนขอบ A 1 ง 1 และด้วยเหตุนี้ระนาบ A 1 ข 1 ค 1 ง 1 เชื่อมต่อกับจุด N ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน

เอ็กซ์ 1 N ตัดกับขอบ A 1 ข 1 ที่จุด K

เชื่อมต่อจุด K และ M ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน AA 1 ข 1 ข.

ค้นหาเส้นตัดกันของระนาบส่วนด้วยระนาบ DD 1 ค 1 ค:

ตัดเส้น ML (เป็นของส่วน) ด้วยขอบ DD 1 พวกมันอยู่ในระนาบเดียวกัน AA 1 ง 1 D รับจุด X 2 .

ให้เราตัดเส้น KN (เป็นของส่วน) ด้วยขอบ D 1 ค 1 อยู่ในระนาบเดียวกัน ก 1 ข 1 ค 1 ง 1 เราได้จุด X3;

จุด X2 และ X3 อยู่ในระนาบ DD 1 ค 1 ค. ลากเส้น X 2 เอ็กซ์ 3 ซึ่งตัดกับขอบ C 1 C ที่จุด T และขอบ DC ที่จุด P ลองเชื่อมต่อจุด L และ P ซึ่งอยู่ในระนาบ ABCD

ดังนั้นปัญหาจะได้รับการแก้ไขหากพบส่วนทั้งหมดที่ระนาบตัดกับใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เราทำ MKNTPL - ส่วนที่ต้องการ

บันทึก. งานเดียวกันสำหรับการสร้างส่วนสามารถแก้ไขได้โดยใช้คุณสมบัติของระนาบคู่ขนาน

จากข้างต้น เราสามารถเขียนอัลกอริทึม (กฎ) สำหรับการแก้ปัญหาประเภทนี้ได้

กฎสำหรับการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยม:

1. เราวาดเส้นตรงผ่านจุดที่อยู่ในระนาบเดียวกัน

   เรากำลังมองหาจุดตัดตรงของระนาบส่วนกับใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมสำหรับสิ่งนี้:

ตัวอย่างที่ 2 งแอล, ม

เราแก้ไขด้วยวิธีจริง:

วาดระนาบเสริมดี.เค.เอ็มซึ่งตัดขอบ AB และ BC ที่จุด E และฉ(แนวทางการแก้ปัญหาอยู่ในรูปที่ 2) มาสร้าง "ร่องรอย" ของ CM ของระนาบส่วนบนระนาบเสริมนี้ หาจุดตัดของ CM และ Eฉ- จุด P จุด P เช่นเดียวกับแอลอยู่ในระนาบ ABC และเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นตรงที่ระนาบส่วนตัดกับระนาบ ABC ("ร่องรอย" ของส่วนในระนาบ ABC)

ตัวอย่างที่ 3 บนขอบ AB และ AD ของพีระมิด MABCD เรากำหนดจุด P และ Q ตามลำดับ ซึ่งเป็นจุดกึ่งกลางของขอบเหล่านี้ และบนขอบ MC เรากำหนดจุด R มาสร้างส่วนของพีระมิดโดยระนาบที่ผ่าน ผ่านจุด P, Q และ R

การแก้ปัญหาจะดำเนินการโดยวิธีการรวมกัน:

1). เป็นที่ชัดเจนว่าร่องรอยหลักของระนาบ PQR คือเส้น PQ

2). ค้นหาจุด K ที่ระนาบ MAC ตัดกับเส้น PQ จุด K และ R เป็นของทั้งระนาบ PQR และระนาบ MAC ดังนั้นโดยการวาดเส้นตรง KR เราจึงได้เส้นตัดของระนาบเหล่านี้

3). หาจุด N=AC BD ลากเส้น MN แล้วหาจุด F=KR MN

4). จุด F คือ จุดร่วมระนาบ PQR และ MDB นั่นคือระนาบเหล่านี้ตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด F ในขณะเดียวกัน เนื่องจาก PQ เป็นเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ABD ดังนั้น PQ จึงขนานกับ BD นั่นคือเส้น PQ ก็เช่นกัน ขนานกับระนาบ MDB จากนั้นระนาบ PQR ที่ผ่านเส้น PQ ตัดระนาบ MDB ตามแนวขนานกับเส้น PQ นั่นคือขนานกับเส้น BD ดังนั้นในระนาบ MDB ผ่านจุด F เราลากเส้นขนานกับเส้น BD

5). โครงสร้างเพิ่มเติมมีความชัดเจนจากรูป เป็นผลให้เราได้รับรูปหลายเหลี่ยม PQD"RB" - ส่วนที่จำเป็น

พิจารณาส่วนต่างๆ ของปริซึม เพื่อความเรียบง่าย นั่นคือความสะดวกในการคิดเชิงตรรกะ ให้พิจารณาส่วนต่างๆ ของลูกบาศก์ (รูปที่ 3.a):

ข้าว. 3.ก

ส่วนของปริซึมโดยระนาบขนานกับขอบด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ส่วนในแนวทแยงคือสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 4)

เดฟ ส่วนในแนวทแยง ปริซึมคือส่วนของระนาบที่ผ่านขอบด้านสองด้านซึ่งไม่ได้อยู่ในหน้าเดียวกัน

รูปหลายเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนทแยงมุมของปริซึมเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน คำถามเกี่ยวกับจำนวนส่วนทแยงมุมน- ปริซึมเชิงมุมนั้นยากกว่าคำถามเกี่ยวกับจำนวนเส้นทแยงมุม จะมีส่วนมากที่สุดเท่าที่มีเส้นทแยงมุมที่ฐาน เรารู้ว่าปริซึมนูนมีรูปหลายเหลี่ยมนูนที่ฐานของมัน ในขณะที่ปริซึมนูนน-gon ของเส้นทแยงมุม ดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่ามีเส้นทแยงมุมครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุม

บันทึก: เมื่อสร้างส่วนของเส้นขนานในรูป ควรคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าถ้าระนาบตัดตัดกับสองหน้าตรงข้ามตามบางส่วน ส่วนเหล่านี้จะขนานกัน "ตามคุณสมบัติของเส้นขนาน นั่นคือ ใบหน้าตรงข้ามของขนานจะขนานกันและเท่ากัน

เราให้คำตอบสำหรับคำถามที่พบบ่อย:

รูปหลายเหลี่ยมอะไรที่ได้มาจากระนาบในส่วนของลูกบาศก์?

"สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม ห้าเหลี่ยม หกเหลี่ยม".

ภาพตัดขวางของลูกบาศก์สามารถสร้างรูปห้าเหลี่ยมได้หรือไม่? และแปดเหลี่ยม?

"ไม่ได้".

3) คำถามเกิดขึ้น จำนวนด้านที่ใหญ่ที่สุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ได้จากส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีระนาบคือเท่าใด

จำนวนที่ใหญ่ที่สุดด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่ได้รับในส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยระนาบเท่ากับจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม .

ตัวอย่างที่ 3 สร้างส่วนของปริซึม ก 1 ข 1 ค 1 ง 1 ABCD โดยระนาบผ่านสามจุด M, N, K

พิจารณากรณีตำแหน่งของจุด M, N, K บนพื้นผิวปริซึม (รูปที่ 5)

พิจารณากรณี: ในกรณีนี้จะเห็นได้ชัดว่า M1 = B1

อาคาร:

ตัวอย่างที่ 4 สร้างส่วนของ ABCDA แบบขนาน 1 ข 1 ค 1 ง 1 ระนาบที่ผ่านจุด M, N, P (จุดต่างๆ ระบุไว้ในภาพวาด (รูปที่ 6))

สารละลาย:

ข้าว. 6

จุด N และ P อยู่ในระนาบของส่วนและในระนาบของฐานล่างของขนาน ลองสร้างเส้นผ่านจุดเหล่านี้ เส้นนี้เป็นร่องรอยของระนาบตัดบนระนาบของฐานขนาน

ให้เราดำเนินการต่อในบรรทัดที่ด้าน AB ของเส้นขนานอยู่ เส้น AB และ NP ตัดกันที่จุด S จุดนี้เป็นของระนาบส่วน

เนื่องจากจุด M อยู่ในระนาบส่วนและตัดกับเส้น AA 1 เมื่อถึงจุดหนึ่ง x

จุด X และ N อยู่ในระนาบเดียวกันของใบหน้า AA 1 ง 1 D เชื่อมต่อและรับสาย XN

เนื่องจากระนาบของใบหน้าขนานกันจึงเป็นไปได้ที่จะวาดเส้นตรงผ่านจุด M ในหน้า A 1 ข 1 ค 1 ง 1 ขนานกับเส้น NP เส้นนี้จะตัดกับด้าน B 1 กับ 1 ที่จุด Y

ในทำนองเดียวกัน เราวาดเส้น YZ ขนานกับเส้น XN เราเชื่อมต่อ Z กับ P และรับส่วนที่ต้องการ - MYZPNX

ส่วนของพีระมิดโดยระนาบผ่านยอดเป็นรูปสามเหลี่ยม โดยเฉพาะส่วนที่เป็นเส้นทแยงมุมเป็นรูปสามเหลี่ยม เหล่านี้คือส่วนโดยระนาบที่ผ่านขอบด้านข้างของปิรามิดสองด้านที่ไม่ติดกัน

ตัวอย่างที่ 4 สร้างปิรามิด ABCงเครื่องบินผ่านจุด Kแอล, ม.

สารละลาย:

1. วาดระนาบเสริมอีกอันดี.ซี.เคและสร้างจุดตัด BแอลและงK - จุด E จุดนี้เป็นของระนาบเสริมทั้งสอง (รูปที่ 7, b);

   หาจุดตัดของส่วนต่างๆแอล.เอ็มและ EC (ส่วนเหล่านี้อยู่ในระนาบบีแอลซี, รูปที่ 7, c) - จุดฉ. จุดฉอยู่ในระนาบของส่วนและในระนาบดี.ซี.เค;

   ลองวาดเส้นตรงเค.เอฟและหาจุดตัดของเส้นตรงนี้ด้วยกระแสตรง- จุดเอ็น(จุดเอ็นเป็นของส่วน). รูปสี่เหลี่ยมเคแอลเอ็นเอ็ม- ส่วนที่ต้องการ

ลองแก้ตัวอย่างเดียวกันให้แตกต่าง .

สมมติว่าสำหรับจุด Kแอล, และ M ส่วนเคแอลเอ็นเอ็ม(รูปที่ 7) แสดงโดยฉจุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมเคแอลเอ็นเอ็ม. ลองวาดเส้นตรงดี.เอฟ.และแสดงโดยฉ 1 จุดตัดกับหน้า ABC จุดฉ 1 ตรงกับจุดตัดของเส้น AM และ SK (ฉ 1 ในเวลาเดียวกันเป็นของเครื่องบิน AMงและงวท). จุดฉ 1 ง่ายต่อการสร้าง ต่อไปเราจะสร้างจุดฉเป็นจุดตัดดี.เอฟ. 1 และแอล.เอ็ม. ต่อไปเราจะพบจุดเอ็น.

วิธีการพิจารณาเรียกว่าวิธีการออกแบบภายใน . (สำหรับกรณีของเรา เรากำลังพูดถึงเกี่ยวกับการออกแบบส่วนกลาง รูปสี่เหลี่ยมเคISA คือการฉายภาพของรูปสี่เหลี่ยมสจลจากจุดหนึ่งง. ในกรณีนี้คือจุดตัดของเส้นทแยงมุมสจล- จุดฉ- ไปที่จุดตัดของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมเคISA - จุดฉ 1 .

พื้นที่หน้าตัดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

ปัญหาในการคำนวณพื้นที่หน้าตัดของรูปทรงหลายเหลี่ยมมักจะแก้ไขได้ในหลายขั้นตอน หากปัญหาระบุว่าส่วนถูกสร้างขึ้น (หรือว่าระนาบการตัดถูกวาด ฯลฯ ) ดังนั้นในขั้นตอนแรกของการแก้ปัญหาจะพบรูปร่างของตัวเลขที่ได้รับในส่วน

จะต้องทำเพื่อเลือกสูตรที่เหมาะสมสำหรับการคำนวณพื้นที่หน้าตัด หลังจากมีการชี้แจงรูปแบบของตัวเลขที่ได้รับในส่วนนี้และเลือกสูตรสำหรับการคำนวณพื้นที่ของตัวเลขนี้แล้วพวกเขาจะดำเนินการโดยตรงกับงานคำนวณ

ในบางกรณี มันอาจจะง่ายกว่าหากไม่ได้ค้นหารูปแบบของตัวเลขที่ได้รับในส่วนนี้ เราจะดำเนินการคำนวณพื้นที่ทันทีโดยใช้สูตรที่ต่อจากทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับพื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยม: พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของรูปหลายเหลี่ยมบนระนาบเท่ากับผลคูณของพื้นที่และโคไซน์ของมุมระหว่างระนาบของรูปหลายเหลี่ยมและระนาบการฉาย: .

สูตรที่ถูกต้องสำหรับการคำนวณพื้นที่หน้าตัดคือ: พื้นที่ของการฉายภาพมุมฉากของภาพที่ได้รับในส่วนคือที่ไหนและคือมุมระหว่างระนาบตัดกับระนาบที่ฉายภาพ ด้วยวิธีนี้จำเป็นต้องสร้างการฉายภาพมุมฉากของตัวเลขที่ได้รับในส่วนและคำนวณ

หากเงื่อนไขของปัญหาระบุว่าจำเป็นต้องสร้างส่วนและควรหาพื้นที่ของส่วนที่ได้รับจากนั้นในขั้นตอนแรกก็มีเหตุผลที่จะสร้างส่วนที่กำหนดจากนั้นกำหนดรูปร่างของ ตัวเลขที่ได้รับในส่วน ฯลฯ

เราทราบข้อเท็จจริงต่อไปนี้: เนื่องจากส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนถูกสร้างขึ้น รูปหลายเหลี่ยมของส่วนจะเป็นส่วนนูนด้วย ดังนั้นจึงสามารถหาพื้นที่ของมันได้โดยการแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ พื้นที่ส่วนจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของ สามเหลี่ยมที่มันประกอบขึ้น

ภารกิจที่ 1

– ถูกต้อง พีระมิดสามเหลี่ยมที่มีด้านฐานเท่ากันและเท่ากับความสูง สร้างส่วนของพีระมิดโดยให้ระนาบผ่านจุดต่างๆ โดยที่จุดกึ่งกลางของด้านนั้นอยู่ตรงไหน แล้วหาพื้นที่ของมัน (รูปที่ 8)

สารละลาย.

หน้าตัดของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยม ลองหาพื้นที่ของมันกัน

เนื่องจากฐานของพีระมิดเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า และจุดคือจุดกึ่งกลางของด้าน ดังนั้นมันจึงเป็นความสูง และจากนั้น .

พื้นที่ของสามเหลี่ยมสามารถพบได้:

ภารกิจที่ 2

ซี่โครงข้างของปริซึมปกติเท่ากับด้านฐาน สร้างส่วนของปริซึมโดยระนาบที่ผ่านจุดกตั้งฉากกับเส้น หากคุณพบพื้นที่ของส่วนผลลัพธ์ของปริซึม

สารละลาย.

มาสร้างส่วนที่กำหนดให้กัน ให้เราพิจารณาจากการพิจารณาทางเรขาคณิตเท่านั้น เช่น ดังต่อไปนี้

ในระนาบที่ผ่านเส้นที่กำหนดและจุดที่กำหนด เราลากเส้นผ่านจุดนี้ในแนวตั้งฉากกับเส้น (รูปที่ 9) ขอให้เราใช้ความจริงที่ว่าในรูปสามเหลี่ยมเพื่อจุดประสงค์นี้ นั่นคือค่ามัธยฐานของมันคือความสูงของสามเหลี่ยมนี้ด้วย จึงเป็นเส้นตรง

ผ่านจุดที่เราวาดอีกเส้นตั้งฉากกับเส้น ให้เราวาดมันในระนาบที่ผ่านเส้นตรง ชัดเจนว่าเส้นนี้เป็นเส้น

ดังนั้นจึงมีการสร้างเส้นตัดกันสองเส้นที่ตั้งฉากกับเส้น เส้นเหล่านี้กำหนดระนาบที่ผ่านจุดที่ตั้งฉากกับเส้น นั่นคือ ระนาบตัดฉาก

เราสร้างส่วนของปริซึมบนระนาบนี้ โปรดทราบว่าเนื่องจากเส้นขนานกับระนาบ จากนั้นระนาบที่ผ่านเส้นตัดระนาบตามเส้นที่ขนานกับเส้น นั่นคือเส้น ลากเส้นตรงผ่านจุดและเชื่อมต่อจุดผลลัพธ์ด้วยจุด

ส่วนที่กำหนดรูปสี่เหลี่ยม มากำหนดพื้นที่กัน

เป็นที่ชัดเจนว่ารูปสี่เหลี่ยมเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า นั่นคือ พื้นที่ของมัน

ข้าว. 9

การก่อสร้างส่วนและส่วนในการวาด

การวาดชิ้นส่วนนั้นเกิดจากการเพิ่มเส้นโครง การตัด และส่วนต่างๆ ที่จำเป็นตามลำดับ ในขั้นต้น มุมมองแบบกำหนดเองจะถูกสร้างขึ้นด้วยโมเดลที่ผู้ใช้ระบุ และการวางแนวโมเดลจะถูกตั้งค่าให้เหมาะกับมุมมองหลักมากที่สุด นอกจากนี้ยังมีการสร้างการตัดและส่วนที่จำเป็นสำหรับประเภทนี้และประเภทต่อไปนี้

มุมมองหลัก (มุมมองด้านหน้า) ถูกเลือกในลักษณะที่ให้แนวคิดที่สมบูรณ์ที่สุดเกี่ยวกับรูปร่างและขนาดของชิ้นส่วน

ส่วนในภาพวาด

ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของระนาบการตัด ประเภทของการตัดต่อไปนี้จะแตกต่างกัน:

A) แนวนอน ถ้าระนาบการตัดขนานกับระนาบการฉายในแนวนอน

B) แนวตั้ง ถ้าระนาบตัดตั้งฉากกับระนาบการฉายในแนวนอน

C) เอียง - ระนาบการตัดเอียงไปที่ระนาบการฉาย

ส่วนแนวตั้งแบ่งออกเป็น:

· หน้าผาก - ระนาบการตัดขนานกับระนาบการฉายภาพด้านหน้า

· โปรไฟล์ - ระนาบการตัดขนานกับระนาบการฉายภาพ
ขึ้นอยู่กับจำนวนของระนาบการตัด การตัดคือ:

· ง่าย - ด้วยระนาบการตัดเดียว (รูปที่ 107)

· ซับซ้อน - มีระนาบการตัดสองอันขึ้นไป (รูปที่ 108)
มาตรฐานมีไว้สำหรับการตัดที่ซับซ้อนประเภทต่อไปนี้:

· ก้าวเมื่อระนาบตัดขวางขนานกัน (รูปที่ 108 ก) และเส้นหัก - ระนาบตัดขวางตัดกัน (รูปที่ 108 ข)

รูปที่ 107 ตัดง่ายๆ

ก) ข)

รูปที่ 108 การตัดที่ซับซ้อน

การกำหนดการตัด

ในกรณีที่ในส่วนที่เรียบง่ายระนาบตัดตรงกับระนาบสมมาตรของวัตถุส่วนนั้นจะไม่ถูกระบุ (รูปที่ 107) ในกรณีอื่นๆ ทั้งหมด ส่วนต่างๆ จะถูกระบุด้วยอักษรตัวใหญ่ของตัวอักษรรัสเซีย โดยเริ่มจากตัวอักษร A เช่น A-A

ตำแหน่งของระนาบการตัดในภาพวาดระบุโดยเส้นส่วน - เส้นเปิดที่หนาขึ้น ด้วยการตัดที่ซับซ้อน จังหวะจะดำเนินการที่ส่วนโค้งงอของเส้นส่วน ควรวางลูกศรระบุทิศทางการมองในจังหวะเริ่มต้นและจังหวะสุดท้าย ลูกศรควรอยู่ห่างจากปลายด้านนอกของจังหวะ 2-3 มม. ที่ด้านนอกของลูกศรแต่ละตัวที่ระบุทิศทางของมุมมอง จะใช้อักษรตัวพิมพ์ใหญ่เดียวกัน

ปุ่มเดียวกันนี้ใช้เพื่อกำหนดการตัดและส่วนต่างๆ ในระบบ KOMPAS บรรทัดส่วนที่อยู่ในหน้าคำอธิบายแผนภูมิ (รูปที่ 109)

รูปที่ 109 ปุ่มเส้นแบ่งส่วน

การเชื่อมต่อครึ่งมุมมองกับครึ่งส่วน

หากมุมมองและส่วนเป็นรูปสมมาตร (รูปที่ 110) คุณสามารถเชื่อมต่อครึ่งหนึ่งของมุมมองและครึ่งหนึ่งของส่วน โดยคั่นด้วยเส้นประเส้นประซึ่งเป็นแกนของสมมาตร โดยปกติแล้ว ส่วนหนึ่งของส่วนจะถูกวางไว้ทางขวาของแกนสมมาตร ซึ่งแยกส่วนของมุมมองออกจากส่วนของส่วน หรือใต้แกนสมมาตร เส้นชั้นความสูงที่ซ่อนอยู่ในส่วนที่เชื่อมต่อกันของมุมมองและส่วนต่างๆ มักจะไม่แสดง หากเส้นแนวแกนที่แยกมุมมองและส่วนนั้นตรงกับเส้นโครงของเส้นบางเส้น เช่น ขอบของรูปทรงเหลี่ยมเพชรพลอย มุมมองและส่วนนั้นจะถูกคั่นด้วยเส้นหยักทึบที่ลากไปทางซ้ายของแกนสมมาตร ถ้า ขอบจะอยู่บนพื้นผิวด้านใน หรือทางด้านขวาหากขอบอยู่ด้านนอก

ข้าว. 110 การเชื่อมต่อส่วนของมุมมองและส่วน

การตัดอาคาร

เราจะศึกษาการสร้างส่วนต่าง ๆ ในระบบ KOMPAS โดยใช้ตัวอย่างการสร้างรูปวาดของปริซึม ซึ่งเป็นงานที่แสดงในรูปที่ 111

ลำดับการวาดมีดังนี้:

1. โดย ขนาดที่กำหนดมาสร้างแบบจำลองทึบของปริซึมกัน (รูปที่ 109 ข) มาบันทึกโมเดลในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์ในไฟล์ชื่อ "Prism"

รูปที่ 112 แผงเส้น

3. การสร้างส่วนโปรไฟล์ (รูปที่ 113) ขีดเส้น ส่วน ก-อในมุมมองหลักโดยใช้ปุ่มเส้นตัด

รูปที่ 113 การสร้างส่วนโปรไฟล์

ทิศทางของมุมมองและข้อความของการกำหนดสามารถเลือกได้บนแผงควบคุมด้วยคำสั่งที่ด้านล่างของหน้าจอ (รูปที่ 114) การสร้างเส้นส่วนเสร็จสมบูรณ์โดยการกดปุ่มสร้างวัตถุ

รูปที่ 114 แผงควบคุมสำหรับคำสั่งในการสร้างการตัดและส่วนต่างๆ

4. บนแผงมุมมองเชื่อมโยง (รูปที่ 115) เลือกปุ่มเส้นตัด จากนั้นระบุเส้นตัดที่มีกับดักที่ปรากฏบนหน้าจอ หากทำทุกอย่างถูกต้อง (ต้องวาดเส้นตัดในมุมมองแอ็คทีฟ) เส้นตัดจะเปลี่ยนเป็นสีแดง หลังจากระบุเส้นตัด A-A แล้ว ภาพหลอนจะปรากฏบนหน้าจอในรูปแบบของสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยรวม

รูปที่ 115 แผงมุมมองที่เกี่ยวข้อง

ด้วยความช่วยเหลือของสวิตช์ Cut/section บนแถบคุณสมบัติ เลือกประเภทภาพ - ตัด (รูปที่ 116) และขนาดของการตัดที่แสดง

รูปที่ 116 แผงควบคุมสำหรับคำสั่งในการสร้างการตัดและส่วนต่างๆ

ส่วนโปรไฟล์จะถูกสร้างขึ้นโดยอัตโนมัติในการเชื่อมต่อการฉายภาพและด้วยสัญลักษณ์มาตรฐาน หากจำเป็น สามารถปิดการเชื่อมต่อการฉายภาพได้ด้วยสวิตช์ การเชื่อมต่อการฉายภาพ (รูปที่ 116)ในการตั้งค่าพารามิเตอร์การฟักที่จะใช้ในส่วนที่สร้างขึ้น (ส่วน) ให้ใช้ตัวควบคุมบนแท็บการฟักไข่

รูปที่ 117 การสร้างส่วนแนวนอน B-B และส่วน C-C

หากระนาบการตัดที่เลือกเมื่อสร้างการตัดนั้นตรงกับระนาบสมมาตรของชิ้นส่วน แสดงว่าไม่ได้ระบุการตัดดังกล่าวตามมาตรฐาน แต่ถ้าคุณเพียงแค่ลบการกำหนดส่วน เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่ามุมมองและส่วนในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์เชื่อมต่อกัน ส่วนทั้งหมดจะถูกลบ ดังนั้น ในการลบการกำหนด คุณต้องทำลายการเชื่อมต่อระหว่างมุมมองและส่วนก่อน ในการทำเช่นนี้ ให้คลิกปุ่มซ้ายของเมาส์เพื่อเลือกส่วน จากนั้นคลิกปุ่มเมาส์ขวาเพื่อเปิดเมนูบริบทซึ่งเลือกรายการมุมมองทำลาย (รูปที่ 97) ตอนนี้สามารถลบสัญลักษณ์ส่วนได้แล้ว

5. ในการสร้างส่วนแนวนอน ให้วาดเส้นส่วน B-B ผ่านระนาบล่างของรูในมุมมองด้านหน้า มุมมองด้านหน้าจะต้องถูกทำให้เป็นปัจจุบันโดยการคลิกสองครั้งที่ปุ่มซ้ายของเมาส์ จากนั้นสร้างส่วนแนวนอน (รูปที่ 117)

6. เมื่อสร้างส่วนหน้า ส่วนหนึ่งของมุมมองและส่วนหนึ่งของส่วนจะเข้ากันได้เนื่องจาก พวกมันเป็นตัวเลขที่สมมาตร ขอบด้านนอกของปริซึมถูกฉายลงบนเส้นแบ่งระหว่างมุมมองและการตัด เราจึงกำหนด มุมมองและส่วนของเส้นหยักบางทึบที่ลากไปทางขวาของแกนสมมาตรเนื่องจาก ซี่โครงด้านนอก ปุ่มนี้ใช้สำหรับวาดเส้นหยักเส้นโค้งเบซิเยร์ที่อยู่บนแผงเรขาคณิตที่วาดด้วยลักษณะเส้น For clipping (รูปที่ 118) ระบุจุดที่โค้ง Bezier ควรผ่านตามลำดับ เพื่อเสร็จสิ้นการดำเนินการคำสั่ง คลิกปุ่มสร้างวัตถุ

รูปที่ 118 การเลือกรูปแบบเส้นแบ่ง

การแบ่งส่วน

ส่วนคือภาพของวัตถุที่ได้จากการผ่าวัตถุด้วยระนาบทางจิตใจ ส่วนนี้จะแสดงเฉพาะสิ่งที่อยู่ในระนาบการตัดเท่านั้น

ตำแหน่งของระนาบการตัดซึ่งส่วนถูกสร้างขึ้นจะถูกระบุไว้ในภาพวาดโดยเส้นส่วน เช่นเดียวกับส่วนต่างๆ

ส่วนต่าง ๆ ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในภาพวาดแบ่งออกเป็นแบบขยายและซ้อนทับ ส่วนที่ถูกลบออกมักจะอยู่ในช่องว่างของรูปวาดและแสดงโดยเส้นหลัก ส่วนที่ซ้อนทับจะวางโดยตรงบนภาพของวัตถุและร่างด้วยเส้นบางๆ (รูปที่ 119)

รูปที่ 119 การสร้างส่วนต่างๆ

พิจารณาลำดับของการสร้างรูปวาดของปริซึมโดยมีส่วนเอียงที่ขยายออก ส่วน B-B(รูปที่ 117)

1. ทำให้มุมมองด้านหน้าใช้งานได้โดยดับเบิลคลิกที่ปุ่มซ้ายของเมาส์บนมุมมองและวาดเส้นส่วนด้วยปุ่ม เส้นตัด . เลือกข้อความของคำจารึก В-В

2. ใช้ปุ่มตัดเส้นที่อยู่บนแผงมุมมองเชื่อมโยง (รูปที่ 115) ซึ่งปรากฏเป็นกับดัก เพื่อระบุเส้นตัด เครื่องบิน B-B. ใช้สวิตช์ Cut/section บนแถบคุณสมบัติ เลือกประเภทรูปภาพ - ส่วน (รูปที่ 116) ขนาดของส่วนที่แสดงจะถูกเลือกจากหน้าต่างมาตราส่วน

ส่วนที่สร้างขึ้นอยู่ในความสัมพันธ์ของการฉายภาพ ซึ่งจำกัดการเคลื่อนไหวในภาพวาด แต่สามารถปิดความสัมพันธ์การฉายภาพได้โดยใช้ปุ่ม การเชื่อมต่อการฉายภาพ

เมื่อวาดเสร็จแล้วให้วาด เส้นกึ่งกลางหากจำเป็น ให้ป้อนขนาด

งานสำหรับการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมใช้เวลา สถานที่สำคัญเป็นหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนสำหรับมัธยมศึกษาตอนปลายและสำหรับการสอบในระดับต่างๆ การแก้ปัญหาประเภทนี้มีส่วนช่วยในการดูดซึมสัจพจน์ของ stereometry การจัดระบบความรู้และทักษะการพัฒนา การเป็นตัวแทนเชิงพื้นที่และทักษะการสร้างสรรค์ ความยากลำบากที่เกิดขึ้นในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับการสร้างส่วนต่าง ๆ เป็นที่รู้จักกันดี

จาก เด็กปฐมวัยเราต้องเผชิญกับบาดแผล เราตัดขนมปังไส้กรอกและผลิตภัณฑ์อื่น ๆ ตัดไม้หรือดินสอด้วยมีด ระนาบการตัดในทุกกรณีคือระนาบของมีด ส่วน (ส่วนของชิ้น) แตกต่างกัน

ส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนซึ่งโดยทั่วไปแล้วจุดยอดเป็นจุดตัดของระนาบตัดกับขอบของรูปหลายเหลี่ยมและด้านข้างเป็นเส้นตัดของระนาบตัดด้วย ใบหน้า

ในการสร้างเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบ มันก็เพียงพอแล้วที่จะหาจุดร่วมสองระนาบเหล่านี้และลากเส้นผ่านระนาบนั้น ขึ้นอยู่กับข้อความต่อไปนี้:

1. ถ้าจุดสองจุดของเส้นตรงอยู่ในระนาบ เส้นทั้งหมดนั้นเป็นของระนาบนี้

2. ถ้าระนาบที่แตกต่างกันสองระนาบมีจุดร่วมกัน ระนาบทั้งสองจะตัดกันเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดนี้

ดังที่ฉันได้กล่าวไปแล้วการสร้างส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถดำเนินการได้บนพื้นฐานของสัจพจน์ของ stereometry และทฤษฎีบทเกี่ยวกับความขนานของเส้นและระนาบ ในเวลาเดียวกัน มีวิธีการบางอย่างในการสร้างส่วนระนาบของรูปทรงหลายเหลี่ยม สามวิธีต่อไปนี้มีประสิทธิภาพมากที่สุด:

วิธีการติดตาม

วิธีการออกแบบภายใน

วิธีการรวม

ในการศึกษารูปทรงเรขาคณิตและโดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนของการพิจารณาภาพ รูปทรงเรขาคณิตรูปภาพรูปทรงเรขาคณิตช่วยในการนำเสนอด้วยคอมพิวเตอร์ ด้วยความช่วยเหลือของคอมพิวเตอร์ บทเรียนเรขาคณิตจำนวนมากกลายเป็นภาพและไดนามิกมากขึ้น สัจพจน์ ทฤษฎีบท การพิสูจน์ งานสำหรับการก่อสร้าง งานสำหรับการสร้างส่วนต่างๆ สามารถมาพร้อมกับการสร้างต่อเนื่องกันบนหน้าจอมอนิเตอร์ ภาพวาดที่สร้างจากคอมพิวเตอร์สามารถบันทึกและวางลงในเอกสารอื่นได้

ฉันต้องการแสดงสไลด์สองสามสไลด์ในหัวข้อ: "การสร้างส่วนต่างๆใน ร่างกายทางเรขาคณิต»

ในการสร้างจุดตัดของเส้นตรงและระนาบ ให้หาเส้นในระนาบที่ตัดกับเส้นที่กำหนด จากนั้นจุดที่ต้องการคือจุดตัดของเส้นที่พบกับเส้นที่กำหนด มาดูกันในสไลด์ถัดไป

ภารกิจที่ 1

จุด M และ N สองจุดถูกทำเครื่องหมายไว้ที่ขอบของ DABC จัตุรมุข M GAD, N b DC เลือกจุดตัดของเส้น MN กับระนาบของฐาน

วิธีแก้ปัญหา: เพื่อหาจุดตัดของเส้น MN กับระนาบ

ฐานเราจะดำเนินการต่อ AC และส่วน MN ให้เราทำเครื่องหมายจุดตัดของเส้นเหล่านี้ผ่าน X จุด X เป็นของเส้น MN และใบหน้า AC และ AC อยู่ในระนาบของฐาน ซึ่งหมายความว่าจุด X อยู่ในระนาบของฐานด้วย . ดังนั้น จุด X คือจุดตัดของเส้น MN กับระนาบของฐาน

ลองพิจารณาปัญหาที่สอง ทำให้มันซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย

ภารกิจที่ 2

กำหนด DABC จัตุรมุขของจุด M และ N โดยที่ M € DA, NC (DBC) ค้นหาจุดตัดของเส้น MN กับระนาบ ABC .

วิธีแก้ไข: จุดตัดของเส้น MN กับระนาบ ABC จะต้องอยู่ในระนาบที่มีเส้น MN และในระนาบของฐาน เราดำเนินการส่วน DN ต่อไปยังจุดตัดกับขอบ DC เราทำเครื่องหมายจุดตัดผ่าน E เราต่อสาย AE และ MN ไปยังจุดตัดกัน หมายเหตุ X จุด X เป็นของ MN ดังนั้นจึงอยู่บนระนาบที่มีเส้น MN และ X เป็นของ AE และ AE อยู่บนระนาบ ABC ดังนั้น X จึงอยู่ในระนาบ ABC ด้วย ดังนั้น X คือจุดตัดของเส้น MN กับระนาบ ABC

มาทำให้งานซับซ้อนขึ้น พิจารณาส่วนของรูปทรงเรขาคณิตโดยระนาบผ่านจุดที่กำหนดสามจุด

ภารกิจที่ 3

จุด M, N และ P ถูกทำเครื่องหมายไว้ที่ขอบ AC, AD และ DB ของ DABC ทรงจัตุรมุข สร้างส่วนของจัตุรมุขด้วยระนาบ MNP

วิธีแก้ปัญหา: สร้างเส้นตรงที่ระนาบ MNP ตัดระนาบใบหน้า ABC จุด M เป็นจุดร่วมของระนาบเหล่านี้ เพื่อสร้างจุดร่วมอื่น เราดำเนินการต่อในส่วน AB และ NP เราทำเครื่องหมายจุดตัดผ่าน X ซึ่งจะเป็นจุดร่วมที่สองของระนาบ MNP และ ABC ระนาบเหล่านี้ตัดกันตามเส้นตรง MX MX ตัดขอบ BC ที่จุด E เนื่องจาก E อยู่บน MX และ MX เป็นเส้นของระนาบ MNP ดังนั้น PE จึงเป็นของ MNP MNPE รูปสี่เหลี่ยมเป็นส่วนที่จำเป็น

ภารกิจที่ 4

เราสร้างส่วนของปริซึมตรง ABCA1B1C1 โดยระนาบที่ผ่านจุด P , ถาม,R โดยที่ R เป็นของ ( เอ.เอ 1ค 1ค), รเป็นของ ใน 1ซี 1,

Q เป็นของ AB

สารละลาย:ทั้งสาม จุด P,Q,Rอยู่ในหน้าต่างๆ กัน เราจึงยังไม่สามารถสร้างเส้นตัดของระนาบตัดกับหน้าใดๆ ของปริซึมได้ หาจุดตัดของ PR กับ ABC กัน ให้เราหาเส้นโครงของจุด P และ R บนระนาบฐาน PP1 ซึ่งตั้งฉากกับ BC และ RR1 ตั้งฉากกับ AC เส้น P1R1 ตัดกับเส้น PR ที่จุด X X คือจุดตัดของเส้น PR กับระนาบ ABC มันอยู่ในระนาบ K ที่ต้องการและในระนาบของฐาน เช่นจุด Q XQ เป็นเส้นตรงที่ตัด K กับระนาบของฐาน XQ ตัด AC ที่จุด K ดังนั้น KQ คือส่วนของจุดตัดของระนาบ X กับหน้า ABC K และ R อยู่ในระนาบ X และในระนาบของใบหน้า AA1C1C ลากเส้น KR และทำเครื่องหมายจุดตัดกับ A1Q E. KE คือเส้นตัดของระนาบ X ด้วยใบหน้านี้ ค้นหาเส้นตัดของระนาบ X กับระนาบของใบหน้า BB1A1A KE ตัดกับ A1A ที่จุด Y เส้น QY คือเส้นตัดของระนาบตัดกับระนาบ AA1B1B FPEKQ - ส่วนที่ต้องการ

ตามกฎแล้วงานสำหรับการสร้างส่วนของคิวบ์โดยระนาบนั้นง่ายกว่างานสำหรับส่วนของปิรามิด

เราสามารถลากเส้นผ่านจุดสองจุดได้หากพวกมันอยู่ในระนาบเดียวกัน เมื่อสร้างส่วนต่างๆ ของลูกบาศก์ อีกหนึ่งตัวเลือกสำหรับการสร้างร่องรอยของระนาบการตัดสามารถทำได้ เนื่องจากระนาบที่สามตัดระนาบขนานสองระนาบตามเส้นตรงขนาน ดังนั้นหากมีการสร้างเส้นตรงในหน้าใดหน้าหนึ่งแล้ว และมีจุดผ่านในส่วนนั้นอีกจุดหนึ่ง เราก็สามารถวาดเส้นตรงผ่านได้ จุดนี้ขนานกับจุดที่กำหนดให้

พิจารณาเกี่ยวกับ ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมวิธีสร้างส่วนต่างๆ ของลูกบาศก์ด้วยระนาบ

1) สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยระนาบผ่านจุด A, C และ M

ปัญหาประเภทนี้เป็นปัญหาที่ง่ายที่สุดในการสร้างส่วนต่างๆ ของลูกบาศก์ เนื่องจากจุด A และ C อยู่ในระนาบเดียวกัน (ABC) เราจึงสามารถลากเส้นผ่านจุดเหล่านั้นได้ ร่องรอยของมันคือส่วน AC มองไม่เห็นดังนั้นเราจึงพรรณนา AC ด้วยจังหวะ ในทำนองเดียวกัน เราเชื่อมต่อจุด M และ C ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน (CDD1) และจุด A และ M ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน (ADD1) สามเหลี่ยม ACM เป็นส่วนที่จำเป็น

2) สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยระนาบผ่านจุด M, N, P

ที่นี่ เฉพาะจุด M และ N เท่านั้นที่อยู่ในระนาบเดียวกัน (ADD1) ดังนั้นเราจึงลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านั้นและรับร่องรอย MN (มองไม่เห็น) เนื่องจากด้านตรงข้ามของลูกบาศก์อยู่ในระนาบขนาน ระนาบการตัดจึงตัดระนาบขนาน (ADD1) และ (BCC1) ตามเส้นขนาน เราได้สร้างเส้นขนานเส้นหนึ่งแล้ว - นี่คือ MN

ผ่านจุด P เราลากเส้นขนานกับ MN มันตัดขอบ BB1 ที่จุด S. PS คือร่องรอยของระนาบตัดขวางในใบหน้า (BCC1).

เราวาดเส้นตรงผ่านจุด M และ S ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน (ABB1) มีการติดตาม MS (มองเห็นได้)

ระนาบ (ABB1) และ (CDD1) ขนานกัน มีเส้น MS อยู่แล้วในระนาบ (ABB1) ดังนั้นผ่านจุด N ในระนาบ (CDD1) เราจึงลากเส้นขนานกับ MS เส้นนี้ตัดขอบ D1C1 ที่จุด L ร่องรอยของมันคือ NL (มองไม่เห็น) จุด P และ L อยู่ในระนาบเดียวกัน (A1B1C1) ดังนั้นเราจึงลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านี้

MNLPS รูปห้าเหลี่ยมเป็นส่วนบังคับ

3) สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยระนาบผ่านจุด M, N, P

จุด M และ N อยู่ในระนาบเดียวกัน (BCC1) ดังนั้นจึงสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านี้ได้ เราได้รับการติดตาม MN (มองเห็นได้) ระนาบ (BCC1) ขนานกับระนาบ (ADD1) ดังนั้นผ่านจุด P ที่อยู่ใน (ADD1) เราจึงลากเส้นขนานกับ MN มันตัดขอบ AD ที่จุด E เราได้เส้น PE (มองไม่เห็น)

ไม่มีจุดที่อยู่ในระนาบเดียวกัน หรือเส้นตรงและจุดในระนาบที่ขนานกันอีกแล้ว ดังนั้นหนึ่งในบรรทัดที่มีอยู่แล้วจะต้องดำเนินการต่อเพื่อให้ได้จุดเพิ่มเติม

หากเราไปต่อที่เส้น MN เนื่องจากมันอยู่ในระนาบ (BCC1) เราต้องมองหาจุดตัดของ MN ด้วยเส้นใดเส้นหนึ่งของระนาบนี้ มีจุดตัดกับ CC1 และ B1C1 อยู่แล้ว - นี่คือ M และ N เส้น BC และ BB1 ยังคงอยู่ เราเดินทางต่อ BC และ MN ไปยังจุดตัดที่จุด K จุด K อยู่บนเส้น BC ซึ่งหมายความว่าเป็นของระนาบ (ABC) ดังนั้นเราจึงลากเส้นผ่านจุด E ที่อยู่ในระนาบนี้ได้ ตัดขอบซีดีที่จุด H EH คือรอยของมัน (มองไม่เห็น) เนื่องจาก H และ N อยู่ในระนาบเดียวกัน (CDD1) จึงสามารถลากเส้นตรงผ่านพวกมันได้ เราได้รับร่องรอย HN (ล่องหน)

ระนาบ (ABC) และ (A1B1C1) ขนานกัน เส้นหนึ่งมีเส้น EH อีกเส้นมีจุด M เราสามารถลากเส้นผ่าน M ขนานกับ EH เราได้รับการติดตาม MF (มองเห็นได้) เราวาดเส้นตรงผ่านจุด M และ F

รูปหกเหลี่ยม MNHEPF เป็นส่วนที่จำเป็น

ถ้าเราต่อเส้น MN ไปที่จุดตัดกับอีกเส้นในระนาบ (BCC1) กับ BB1 เราจะได้จุด G ที่เป็นของระนาบ (ABB1) ซึ่งหมายความว่าผ่าน G และ P เป็นไปได้ที่จะวาดเส้นที่มีร่องรอยเป็น PF นอกจากนี้ เราวาดเส้นตรงผ่านจุดที่อยู่ในระนาบคู่ขนาน และเราก็ได้ผลลัพธ์เดียวกัน

การทำงานกับ PE แบบเส้นตรงทำให้ MNHEPF มีภาคตัดขวางเหมือนกัน

4) สร้างส่วนของลูกบาศก์โดยระนาบที่ผ่านจุด M, N, P

เราสามารถวาดเส้นตรงผ่านจุด M และ N ที่อยู่ในระนาบเดียวกัน (A1B1C1) รอยเท้าของเธอคือ MN (มองเห็นได้) ไม่มีจุดที่อยู่ในระนาบเดียวกันหรือในระนาบคู่ขนานอีกต่อไป

เราดำเนินการต่อสาย MN มันอยู่ในระนาบ (A1B1C1) ดังนั้นจึงสามารถตัดกับเส้นใดเส้นหนึ่งในระนาบนี้เท่านั้น มีจุดตัดกับ A1D1 และ C1D1 แล้ว - N และ M อีกสองเส้นของระนาบนี้คือ A1B1 และ B1C1 จุดตัดของ A1B1 และ MN คือ S เนื่องจากอยู่บนเส้น A1B1 จึงเป็นของระนาบ (ABB1) ซึ่งหมายความว่าสามารถลากเส้นผ่านจุด P ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันได้ เส้น PS ตัดกับขอบ AA1 ที่จุด E. PE คือร่องรอยของมัน (มองเห็นได้) ผ่านจุด N และ E ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน (ADD1) คุณสามารถวาดเส้นตรงได้ซึ่งร่องรอยคือ NE (มองไม่เห็น) มีเส้น NE ในระนาบ (ADD1) และจุด P ในระนาบขนานกัน (BCC1) ผ่านจุด P เราสามารถลากเส้น PL ขนานกับ NE ตัดขอบ CC1 ที่จุด L PL คือร่องรอยของเส้นนี้ (มองเห็นได้) จุด M และ L อยู่ในระนาบเดียวกัน (CDD1) ซึ่งหมายความว่าสามารถลากเส้นตรงผ่านจุดเหล่านี้ได้ รอยเท้าของเธอคือ ML (ล่องหน) รูปห้าเหลี่ยม MLPEN เป็นส่วนที่บังคับ

เป็นไปได้ที่จะดำเนินการต่อสาย NM ทั้งสองทิศทางและมองหาจุดตัดกันไม่เพียง แต่กับสาย A1B1 เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสาย B1C1 ซึ่งอยู่ในระนาบ (A1B1C1) ด้วย ในกรณีนี้ เราวาดเส้นตรงสองเส้นผ่านจุด P พร้อมกัน เส้นหนึ่งในระนาบ (ABB1) ผ่านจุด P และ S และเส้นที่สองในระนาบ (BCC1) ผ่านจุด P และ R หลังจากนั้น มันยังคงเชื่อมต่อจุดที่อยู่ในระนาบเดียวกัน: M c L, E - กับ N