ลอการิทึมเป็นคำอธิบายง่ายๆ สูตรบันทึก

ลอการิทึมคืออะไร?

ความสนใจ!
มีเพิ่มเติม
เนื้อหาในภาคพิเศษ 555
สำหรับผู้ที่ "ไม่มาก ... "
และสำหรับผู้ที่ "มาก...")

ลอการิทึมคืออะไร? จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร? คำถามเหล่านี้สร้างความสับสนให้กับบัณฑิตจำนวนมาก ตามเนื้อผ้า หัวข้อลอการิทึมถือว่าซับซ้อน เข้าใจยาก และน่ากลัว โดยเฉพาะอย่างยิ่ง - สมการกับลอการิทึม

สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงอย่างแน่นอน อย่างแน่นอน! ไม่เชื่อ? ดี. ตอนนี้ ประมาณ 10 - 20 นาที คุณ:

1. ทำความเข้าใจ ลอการิทึมคืออะไร.

2. เรียนรู้การแก้ปัญหาทั้งชั้นเรียน สมการเลขชี้กำลัง. แม้ว่าคุณจะไม่เคยได้ยินพวกเขา

3. เรียนรู้การคำนวณลอการิทึมอย่างง่าย

ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับสิ่งนี้ คุณจะต้องรู้ตารางการคูณเท่านั้น และวิธีเพิ่มจำนวนเป็นเลขยกกำลัง ...

ฉันรู้สึกว่าคุณสงสัย ... เอาล่ะรักษาเวลา! ไป!

ขั้นแรก แก้สมการต่อไปนี้ในใจของคุณ:

ถ้าคุณชอบเว็บไซต์นี้...

อย่างไรก็ตาม ฉันมีไซต์ที่น่าสนใจอีกสองสามไซต์สำหรับคุณ)

คุณสามารถฝึกฝนการแก้ตัวอย่างและค้นหาระดับของคุณ การทดสอบด้วยการตรวจสอบทันที เรียนรู้ - ด้วยความสนใจ!)

คุณสามารถทำความคุ้นเคยกับฟังก์ชันและอนุพันธ์

คำแนะนำ

เขียนนิพจน์ลอการิทึมที่กำหนด หากนิพจน์ใช้ลอการิทึมของ 10 สัญกรณ์จะถูกทำให้สั้นลงและมีลักษณะดังนี้: lg b เป็นลอการิทึมทศนิยม ถ้าลอการิทึมมีเลข e เป็นฐาน นิพจน์จะถูกเขียน: ln b คือลอการิทึมธรรมชาติ เป็นที่เข้าใจกันว่าผลลัพธ์ของ any คือพลังที่ต้องยกเลขฐานเพื่อให้ได้เลข b

เมื่อหาผลรวมของสองฟังก์ชัน คุณเพียงแค่ต้องแยกความแตกต่างทีละฟังก์ชัน และเพิ่มผลลัพธ์: (u+v)" = u"+v";

เมื่อหาอนุพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชัน จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันแรกด้วยฟังก์ชันที่สอง และเพิ่มอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่สอง คูณด้วยฟังก์ชันแรก: (u*v)" = u"* v+v"*u;

ในการหาอนุพันธ์ของผลหารของสองฟังก์ชัน จำเป็นต้องนำผลคูณของอนุพันธ์ของเงินปันผลคูณด้วยฟังก์ชันตัวหาร นำผลคูณของอนุพันธ์ของตัวหารคูณด้วยฟังก์ชันตัวหาร แล้วหาร ทั้งหมดนี้โดยฟังก์ชันตัวหารกำลังสอง (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

หากได้รับฟังก์ชันที่ซับซ้อน ก็จำเป็นต้องคูณอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในและอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอก ให้ y=u(v(x)) จากนั้น y"(x)=y"(u)*v"(x)

เมื่อใช้ข้อมูลข้างต้น คุณสามารถแยกความแตกต่างของฟังก์ชันได้เกือบทุกชนิด ลองดูตัวอย่างบางส่วน:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
นอกจากนี้ยังมีงานสำหรับการคำนวณอนุพันธ์ที่จุด ให้ฟังก์ชัน y=e^(x^2+6x+5) คุณต้องหาค่าของฟังก์ชันที่จุด x=1
1) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) คำนวณค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด y"(1)=8*e^0=8

วิดีโอที่เกี่ยวข้อง

คำแนะนำที่เป็นประโยชน์

เรียนรู้ตารางอนุพันธ์เบื้องต้น สิ่งนี้จะช่วยประหยัดเวลาได้มาก

แหล่งที่มา:

• อนุพันธ์คงที่

แล้วสมการอตรรกยะกับสมการอตรรกยะต่างกันอย่างไร? ถ้าตัวแปรที่ไม่รู้จักอยู่ใต้เครื่องหมายกรณฑ์ สมการนั้นจะถือว่าไม่มีเหตุผล

คำแนะนำ

วิธีหลักในการแก้สมการดังกล่าวคือวิธีการยกทั้งสองข้าง สมการเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างไรก็ตาม. นี่เป็นเรื่องธรรมชาติ ขั้นตอนแรกคือการกำจัดสัญญาณ ในทางเทคนิควิธีนี้ไม่ใช่เรื่องยาก แต่บางครั้งอาจทำให้เกิดปัญหาได้ ตัวอย่างเช่น สมการ v(2x-5)=v(4x-7) เมื่อยกกำลังสองทั้งสองข้าง คุณจะได้ 2x-5=4x-7 สมการดังกล่าวแก้ได้ไม่ยาก x=1. แต่จะไม่ได้รับหมายเลข 1 สมการ. ทำไม แทนหน่วยในสมการแทนค่า x และด้านขวาและด้านซ้ายจะมีนิพจน์ที่ไม่สมเหตุสมผล นั่นคือ ค่าดังกล่าวไม่ถูกต้องสำหรับรากที่สอง ดังนั้น 1 จึงเป็นรากภายนอก ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีราก

ดังนั้น สมการอตรรกยะจึงถูกแก้โดยใช้วิธีการยกกำลังสองส่วน และเมื่อแก้สมการได้แล้วจำเป็นต้องตัดรากที่ไม่เกี่ยวข้องออก ในการทำเช่นนี้ ให้แทนที่รากที่พบในสมการเดิม

พิจารณาอีกข้อหนึ่ง
2x+vx-3=0
แน่นอนสมการนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้สมการเดียวกันกับสมการก่อนหน้า ทรานสเฟอร์ คอมพาวด์ สมการที่ไม่มีเครื่องหมายกรณฑ์ ไปทางขวา แล้วใช้วิธียกกำลังสอง แก้สมการเหตุผลที่เป็นผลลัพธ์และราก แต่อีกอันที่สง่างามกว่า ป้อนตัวแปรใหม่ vx=วาย ดังนั้น คุณจะได้สมการเช่น 2y2+y-3=0 ก็คือ ตามปกติ สมการกำลังสอง. ค้นหารากของมัน y1=1 และ y2=-3/2 ถัดไปแก้สอง สมการ vx=1; vx \u003d -3/2 สมการที่สองไม่มีราก จากสมการแรกเราพบว่า x=1 อย่าลืมเกี่ยวกับความจำเป็นในการตรวจสอบราก

การแก้ตัวตนนั้นค่อนข้างง่าย สิ่งนี้ต้องการการเปลี่ยนแปลงที่เหมือนกันจนกว่าจะบรรลุเป้าหมาย ด้วยความช่วยเหลือของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ง่ายที่สุด งานจะได้รับการแก้ไข

คุณจะต้องการ

• - กระดาษ;
• - ปากกา.

คำแนะนำ

การแปลงที่ง่ายที่สุดคือการคูณแบบย่อด้วยพีชคณิต (เช่น กำลังสองของผลรวม (ผลต่าง) ผลต่างกำลังสอง ผลรวม (ผลต่าง) ลูกบาศก์ของผลรวม (ผลต่าง)) นอกจากนี้ยังมีสูตรตรีโกณมิติมากมายที่มีเอกลักษณ์เหมือนกัน

อันที่จริง กำลังสองของผลบวกของพจน์สองเท่ากับกำลังสองของพจน์แรกบวกสองเท่าของผลคูณของพจน์แรกและพจน์ที่สอง บวกกำลังสองของพจน์ที่สอง นั่นคือ (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2

ลดความซับซ้อนทั้งสอง

หลักการทั่วไปของการแก้ปัญหา

ทำซ้ำจากตำราการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์หรือคณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งเป็นอินทิกรัลที่แน่นอน อย่างที่คุณทราบวิธีแก้ปัญหา อินทิกรัลแน่นอนมีฟังก์ชันที่อนุพันธ์จะให้อินทิกรัล ฟังก์ชั่นนี้เรียกว่าดึกดำบรรพ์ ตามหลักการนี้ ปริพันธ์พื้นฐานจะถูกสร้างขึ้น
กำหนดโดยรูปแบบของอินทิกรัลว่าอินทิกรัลของตารางตัวไหนพอดี กรณีนี้. ไม่สามารถระบุได้ทันที บ่อยครั้งที่รูปแบบตารางจะสังเกตเห็นได้ก็ต่อเมื่อมีการแปลงหลายครั้งเพื่อทำให้อินทิกรัลง่ายขึ้น

วิธีการแทนตัวแปร

ถ้าอินทิกรัลเป็น ฟังก์ชันตรีโกณมิติซึ่งมีอาร์กิวเมนต์เป็นพหุนาม จากนั้นลองใช้วิธีการแทนค่าตัวแปร ในการทำเช่นนี้ ให้แทนที่พหุนามในอาร์กิวเมนต์ของอินทิกรันด์ด้วยตัวแปรใหม่ ตามอัตราส่วนระหว่างตัวแปรใหม่และเก่า กำหนดขีดจำกัดใหม่ของการรวม โดยการสร้างความแตกต่างของนิพจน์นี้ ให้ค้นหาความแตกต่างใหม่ใน ดังนั้น คุณจะได้รูปแบบใหม่ของอินทิกรัลแบบเก่า แบบใกล้เคียง หรือแม้แต่แบบตารางใดๆ

คำตอบของปริพันธ์ชนิดที่สอง

ถ้าอินทิกรัลเป็นอินทิกรัลประเภทที่สอง ซึ่งเป็นรูปแบบเวกเตอร์ของอินทิกรัล คุณจะต้องใช้กฎสำหรับการย้ายจากอินทิกรัลเหล่านี้ไปเป็นสเกลาร์ กฎข้อหนึ่งคืออัตราส่วน Ostrogradsky-Gauss กฎนี้ทำให้สามารถส่งผ่านจากการไหลของโรเตอร์ของฟังก์ชันเวกเตอร์บางตัวไปยังอินทิกรัลสามส่วนเหนือความแตกต่างของสนามเวกเตอร์ที่กำหนดได้

การทดแทนขีดจำกัดของการรวม

หลังจากพบแอนติเดริเวทีฟแล้ว จำเป็นต้องแทนที่ขีดจำกัดของการรวมเข้าด้วยกัน ขั้นแรก ให้แทนค่าของขีดจำกัดบนลงในนิพจน์สำหรับแอนติเดริเวทีฟ คุณจะได้รับจำนวนหนึ่ง ถัดไป ให้ลบจำนวนอื่นออกจากจำนวนผลลัพธ์ ซึ่งเป็นค่าจำกัดล่างที่เป็นผลลัพธ์ของแอนติเดริเวทีฟ หากหนึ่งในลิมิตอินทิเกรตมีค่าเป็นอนันต์ เมื่อแทนที่มันในฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ จำเป็นต้องไปที่ลิมิตและค้นหาสิ่งที่นิพจน์มีแนวโน้ม
ถ้าอินทิกรัลเป็นแบบสองมิติหรือสามมิติ คุณจะต้องแสดงขีดจำกัดทางเรขาคณิตของการอินทิกรัลเพื่อที่จะเข้าใจวิธีการคำนวณอินทิกรัล ในกรณีของอินทิกรัลสามมิติ ลิมิตของการอินทิเกรตอาจเป็นระนาบทั้งหมดที่จำกัดปริมาณที่จะอินทิเกรต

อย่างที่คุณทราบ เมื่อนำนิพจน์ยกกำลังมาคูณกัน เลขยกกำลังจะรวมกันเสมอ (a b * a c = a b + c) กฎทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับมาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วิระเสนได้สร้างตารางตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ที่ทำหน้าที่ค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างของการใช้ฟังก์ชันนี้พบได้เกือบทุกที่ที่ต้องการลดความซับซ้อนของการคูณที่ยุ่งยากให้เป็นการบวกอย่างง่าย หากคุณใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านบทความนี้ เราจะอธิบายให้คุณทราบว่าลอการิทึมคืออะไรและจะใช้งานอย่างไร ภาษาที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้

ความหมายในคณิตศาสตร์

ลอการิทึมเป็นนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือ ลอการิทึมของจำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นลบ (นั่นคือค่าบวกใดๆ) "b" ตามฐาน "a" ถือเป็นกำลังของ "c " ซึ่งจำเป็นต้องเพิ่มฐาน "a" เพื่อให้ได้ค่า "b" ในท้ายที่สุด ลองวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่ามีนิพจน์ล็อก 2 8. จะหาคำตอบได้อย่างไร? มันง่ายมาก คุณต้องหาระดับที่ตั้งแต่ 2 ถึงระดับที่กำหนด คุณจะได้ 8 หลังจากคำนวณในใจแล้ว เราก็ได้เลข 3! และถูกต้อง เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้เลข 8 ในคำตอบ

ความหลากหลายของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคน หัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่ในความเป็นจริง ลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎบางอย่าง มีสาม บางประเภทนิพจน์ลอการิทึม:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
2. ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
3. ลอการิทึมของจำนวน b ใด ๆ กับฐาน a>1

แต่ละข้อได้รับการแก้ไขด้วยวิธีมาตรฐาน รวมถึงการทำให้ง่าย การลดลง และการลดลงของลอการิทึมหนึ่งรายการในภายหลังโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องเราควรจดจำคุณสมบัติและลำดับของการกระทำในการตัดสินใจ

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายข้อที่ยอมรับได้ว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเหล่านี้ไม่ได้อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น เป็นไปไม่ได้ที่จะหารตัวเลขด้วยศูนย์ และเป็นไปไม่ได้ที่จะแยกรากของระดับเลขคู่ออกจากจำนวนลบ ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเอง ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้วิธีการทำงานได้อย่างง่ายดาย แม้จะมีนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและกว้างขวาง:

• ฐาน "a" จะต้องมากกว่าศูนย์เสมอและในเวลาเดียวกันต้องไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้นนิพจน์จะสูญเสียความหมายเนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใด ๆ จะเท่ากับค่าของมันเสมอ
• ถ้า a > 0 แล้ว a b > 0 แสดงว่า "c" ต้องมากกว่าศูนย์

จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร?

ตัวอย่างเช่น งานได้รับมอบหมายให้หาคำตอบของสมการ 10 x \u003d 100 มันง่ายมาก คุณต้องเลือกกำลังดังกล่าวโดยเพิ่มจำนวนสิบที่เราได้ 100 แน่นอนว่านี่คือ 10 2 \u003d 100.

ทีนี้ลองแสดงนิพจน์นี้เป็นลอการิทึม เราได้รับล็อก 10 100 = 2 เมื่อแก้ลอการิทึม การดำเนินการทั้งหมดจะบรรจบกันเพื่อหาระดับที่ต้องป้อนฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

ในการระบุค่าขององศาที่ไม่รู้จักอย่างแม่นยำ คุณต้องเรียนรู้วิธีการทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่า:

อย่างที่คุณเห็น เลขชี้กำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสัญชาตญาณหากคุณมีความคิดเชิงเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับสูตรคูณ อย่างไรก็ตามสำหรับ ค่ามากคุณต้องมีตารางองศา สามารถใช้ได้แม้กระทั่งผู้ที่ไม่เข้าใจอะไรเลยในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คอลัมน์ด้านซ้ายประกอบด้วยตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดของตัวเลขคือค่าของเลขยกกำลัง c ซึ่งตัวเลข a จะถูกยกขึ้น ที่จุดตัดในเซลล์จะมีการกำหนดค่าของตัวเลขซึ่งเป็นคำตอบ (a c =b) ตัวอย่างเช่น เซลล์แรกสุดที่มีเลข 10 และยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุที่จุดตัดของสองเซลล์ ทุกอย่างเรียบง่ายและง่ายดายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ จึงสามารถเขียนเป็นสมการลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น สามารถเขียน 3 4 =81 เป็นลอการิทึมของ 81 ถึงฐาน 3 ซึ่งเป็นสี่ (บันทึก 3 81 = 4) สำหรับพลังลบ กฎจะเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนเป็นลอการิทึม เราจะได้ล็อก 2 (1/32) = -5 หนึ่งในส่วนที่น่าสนใจที่สุดของคณิตศาสตร์คือหัวข้อของ "ลอการิทึม" เราจะพิจารณาตัวอย่างและคำตอบของสมการที่ลดลงเล็กน้อยทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของสมการ ทีนี้มาดูว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกมันออกจากสมการได้อย่างไร

มีการแสดงออกของแบบฟอร์มต่อไปนี้: บันทึก 2 (x-1) > 3 - มันคือ อสมการลอการิทึมเนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม และในนิพจน์จะเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการในฐานสองนั้นมากกว่าเลขสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมและอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (เช่น ลอการิทึมของ 2 x = √9) หมายถึงค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าหรือมากกว่านั้นในคำตอบ ในขณะที่เมื่อแก้อสมการ ทั้งช่วงของ ค่าที่ยอมรับได้และจุดที่ทำลายฟังก์ชันนี้ ผลที่ตามมา คำตอบจึงไม่ใช่ชุดของตัวเลขเดี่ยวๆ อย่างในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดของตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ไขงานดั้งเดิมในการค้นหาค่าของลอการิทึม คุณสมบัติอาจไม่เป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ ก่อนอื่นจำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึม เราจะทำความคุ้นเคยกับตัวอย่างสมการในภายหลัง ขั้นแรกให้วิเคราะห์แต่ละคุณสมบัติโดยละเอียด

1. ข้อมูลประจำตัวพื้นฐานมีลักษณะดังนี้: a logaB = B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับ 1 และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้ ข้อกำหนดเบื้องต้นคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ก≠1 คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา ให้ล็อก a s 1 = f 1 และล็อก a s 2 = f 2 แล้ว a f1 = s 1 , a f2 = s 2 เราได้ว่า s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติระดับ ) และนิยามเพิ่มเติม: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งจะต้องพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรใช้รูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b

สูตรนี้เรียกว่า "คุณสมบัติของดีกรีของลอการิทึม" มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาธรรมดา และไม่น่าแปลกใจเพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดวางอยู่บนสมมุติฐานปกติ มาดูหลักฐานกันเลย

ให้บันทึก a b \u003d t ปรากฎว่า a t \u003d b หากคุณยกกำลังทั้งสองส่วน m: a tn = b n ;

แต่เนื่องจาก a tn = (a q) nt/q = b n ดังนั้น log a q b n = (n*t)/t จากนั้น log a q b n = n/q log a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาและอสมการ

ประเภทของปัญหาลอการิทึมที่พบบ่อยที่สุดคือตัวอย่างสมการและอสมการ พบได้ในหนังสือปัญหาเกือบทั้งหมดและยังรวมอยู่ในส่วนบังคับของการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ ในการเข้ามหาวิทยาลัยหรือสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่ไม่มีแผนหรือรูปแบบเดียวสำหรับการแก้และกำหนดค่าที่ไม่รู้จักของลอการิทึม อย่างไรก็ตาม กฎบางอย่างสามารถใช้กับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมแต่ละรายการได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์สามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือลดลงเป็น ปริทัศน์. ลดความซับซ้อนยาว นิพจน์ลอการิทึมคุณทำได้ หากคุณใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขากันเร็ว ๆ นี้

เมื่อแก้สมการลอการิทึม จำเป็นต้องพิจารณาว่าเรามีลอการิทึมชนิดใดอยู่ข้างหน้า ตัวอย่างของนิพจน์อาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 วิธีแก้ปัญหาของพวกเขาคือความจริงที่ว่าคุณต้องกำหนดระดับที่ฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1,026 ตามลำดับ สำหรับแนวทางแก้ไข ลอการิทึมธรรมชาติต้องใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกเขา ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

มาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถใช้ในงานที่จำเป็นต้องขยาย ความสำคัญอย่างยิ่งจำนวน b เป็นตัวประกอบที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 4 + บันทึก 2 128 = บันทึก 2 (4*128) = บันทึก 2 512 คำตอบคือ 9
2. บันทึก 4 8 = บันทึก 2 2 2 3 = 3/2 บันทึก 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็นโดยใช้คุณสมบัติที่สี่ของระดับของลอการิทึมเราสามารถแก้ไขนิพจน์ที่ซับซ้อนและแก้ไม่ได้ได้ในแวบแรก จำเป็นต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วนำค่าเลขยกกำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

งานจากการสอบ

ลอการิทึมมักพบในการสอบเข้า โดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมจำนวนมากในการสอบ Unified State (การสอบของรัฐสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนทั้งหมด) โดยปกติงานเหล่านี้ไม่ได้มีอยู่เฉพาะในส่วน A (ที่ง่ายที่สุด ส่วนการทดสอบการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C (งานที่ยากและใหญ่โตที่สุด) การสอบแสดงถึงความรู้ที่ถูกต้องและสมบูรณ์แบบในหัวข้อ "ลอการิทึมธรรมชาติ"

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหานำมาจากทางการ ใช้ตัวเลือก. มาดูกันว่างานดังกล่าวได้รับการแก้ไขอย่างไร

รับบันทึก 2 (2x-1) = 4 วิธีแก้ปัญหา:
ลองเขียนนิพจน์ใหม่โดยทำให้มันง่ายขึ้นเล็กน้อย log 2 (2x-1) = 2 2 , โดยนิยามของลอการิทึมเราจะได้ว่า 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5

• ลอการิทึมทั้งหมดจะลดขนาดลงเป็นฐานเดียวกันได้ดีที่สุด เพื่อไม่ให้คำตอบยุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมจะถูกระบุว่าเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อนำเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังของนิพจน์ซึ่งอยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมและเป็นฐานออก นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมจะต้องเป็นค่าบวก

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

มาอธิบายให้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น \(\log_(2)(8)\) ต้องยกกำลัง \(2\) เป็นถึงจะได้ \(8\) จากนี้ จะเห็นได้ชัดว่า \(\log_(2)(8)=3\)

ตัวอย่าง:		\(\log_(5)(25)=2\)		เพราะ \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		เพราะ \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		เพราะ \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

อาร์กิวเมนต์และฐานของลอการิทึม

ลอการิทึมใดๆ มี "กายวิภาค" ดังต่อไปนี้:

อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมมักจะเขียนที่ระดับของมัน และฐานจะถูกเขียนด้วยตัวห้อยใกล้กับเครื่องหมายของลอการิทึม และรายการนี้อ่านได้ดังนี้: "ลอการิทึมของยี่สิบห้ายกฐานห้า"

วิธีการคำนวณลอการิทึม?

ในการคำนวณลอการิทึม คุณต้องตอบคำถาม: ควรยกฐานในระดับใดเพื่อรับอาร์กิวเมนต์

ตัวอย่างเช่นคำนวณลอการิทึม: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

ก) ต้องยกกำลังอะไร \(4\) จึงจะได้ \(16\)? เห็นได้ชัดว่าเป็นครั้งที่สอง นั่นเป็นเหตุผล:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) ต้องยกกำลังอะไร \(\sqrt(5)\) จึงจะได้ \(1\) และค่าใดที่ทำให้จำนวนใด ๆ เป็นหน่วย? ศูนย์แน่นอน!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

ง) ต้องยกกำลังอะไร \(\sqrt(7)\) จึงจะได้ \(\sqrt(7)\) ในครั้งแรก - ตัวเลขใด ๆ ในระดับแรกจะเท่ากับตัวมันเอง

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) ต้องยกกำลังอะไร \(3\) จึงจะได้ \(\sqrt(3)\) จากที่เราทราบว่าเป็นกำลังเศษส่วน ดังนั้นรากที่สองจึงเป็นกำลังของ \(\frac(1)(2)\)

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

ตัวอย่าง : คำนวณลอการิทึม \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

สารละลาย :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		เราต้องหาค่าของลอการิทึมโดยให้แสดงเป็น x ตอนนี้ ลองใช้นิยามของลอการิทึม: \(\log_(a)(c)=b\) \(\ลูกศรซ้ายขวา\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		ลิงค์ใด \(4\sqrt(2)\) และ \(8\) สอง เนื่องจากตัวเลขทั้งสองสามารถแทนด้วยสอง: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		ทางด้านซ้าย เราใช้คุณสมบัติดีกรี: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) และ \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdotn)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		ฐานเท่ากัน เราดำเนินการเพื่อความเท่าเทียมกันของตัวบ่งชี้
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย \(\frac(2)(5)\)
		รูตที่ได้คือค่าของลอการิทึม

คำตอบ : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

ทำไมลอการิทึมจึงถูกประดิษฐ์ขึ้น?

เพื่อให้เข้าใจตรงกัน ลองแก้สมการ: \(3^(x)=9\) เพียงจับคู่ \(x\) เพื่อให้ความเท่าเทียมกันทำงาน แน่นอน \(x=2\)

ตอนนี้แก้สมการ: \(3^(x)=8\) x เท่ากับอะไร นั่นคือประเด็น

คนที่ฉลาดที่สุดจะพูดว่า: "X น้อยกว่าสองเล็กน้อย" ตัวเลขนี้เขียนอย่างไร? เพื่อตอบคำถามนี้ พวกเขาคิดลอการิทึมขึ้นมา ขอบคุณเขา คำตอบที่นี่สามารถเขียนเป็น \(x=\log_(3)(8)\)

ฉันต้องการเน้นว่า \(\log_(3)(8)\) เช่นเดียวกับ ลอการิทึมใดๆ เป็นเพียงตัวเลข. ใช่มันดูผิดปกติ แต่มันสั้น เพราะถ้าเราต้องการเขียนเป็นทศนิยม ก็จะได้แบบนี้ \(1.892789260714.....\)

ตัวอย่าง : แก้สมการ \(4^(5x-4)=10\)

สารละลาย :

\(4^(5x-4)=10\)		ไม่สามารถลด \(4^(5x-4)\) และ \(10\) ให้เหลือฐานเดียวกันได้ ดังนั้นที่นี่คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีลอการิทึม ลองใช้คำจำกัดความของลอการิทึม: \(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		พลิกสมการโดยให้ x อยู่ทางซ้าย
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		ก่อนเรา. เลื่อน \(4\) ไปทางขวา และอย่ากลัวลอการิทึม ปฏิบัติเหมือนตัวเลขปกติ
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		หารสมการด้วย 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		นี่คือรากของเรา ใช่มันดูผิดปกติ แต่ไม่ได้เลือกคำตอบ

คำตอบ : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

ทศนิยมและลอการิทึมธรรมชาติ

ตามที่ระบุไว้ในคำจำกัดความของลอการิทึม ฐานของมันสามารถเป็นอะไรก็ได้ จำนวนบวกยกเว้นหน่วย \((a>0, a\neq1)\) และในบรรดาฐานที่เป็นไปได้ทั้งหมด มีสองฐานที่เกิดขึ้นบ่อยครั้งจนมีการคิดค้นสัญกรณ์แบบสั้นพิเศษสำหรับลอการิทึมร่วมกับฐานเหล่านั้น:

ลอการิทึมธรรมชาติ: ลอการิทึมที่มีฐานเป็นเลขออยเลอร์ \(e\) (เท่ากับประมาณ \(2.7182818…\)) และลอการิทึมเขียนเป็น \(\ln(a)\)

นั่นคือ, \(\ln(a)\) เหมือนกับ \(\log_(e)(a)\)

ลอการิทึมทศนิยม: ลอการิทึมที่มีฐานเป็น 10 เขียนเป็น \(\lg(a)\)

นั่นคือ, \(\lg(a)\) เหมือนกับ \(\log_(10)(a)\)โดยที่ \(a\) คือจำนวนจำนวนหนึ่ง

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

ลอการิทึมมีคุณสมบัติมากมาย หนึ่งในนั้นเรียกว่า "หลัก เอกลักษณ์ลอการิทึม' และมีลักษณะดังนี้:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

คุณสมบัตินี้เป็นไปตามคำนิยามโดยตรง มาดูกันว่าสูตรนี้มีความเป็นมาอย่างไร

มาจำกัน บันทึกย่อคำจำกัดความลอการิทึม:

ถ้า \(a^(b)=c\) ดังนั้น \(\log_(a)(c)=b\)

นั่นคือ \(b\) เหมือนกับ \(\log_(a)(c)\) จากนั้นเราสามารถเขียน \(\log_(a)(c)\) แทน \(b\) ในสูตร \(a^(b)=c\) ปรากฎว่า \(a^(\log_(a)(c))=c\) - เอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก

คุณสามารถค้นหาคุณสมบัติที่เหลือของลอการิทึมได้ ด้วยความช่วยเหลือ คุณสามารถลดความซับซ้อนและคำนวณค่าของนิพจน์ด้วยลอการิทึมซึ่งยากต่อการคำนวณโดยตรง

ตัวอย่าง : ค้นหาค่าของนิพจน์ \(36^(\log_(6)(5))\)

สารละลาย :

คำตอบ : \(25\)

จะเขียนตัวเลขเป็นลอการิทึมได้อย่างไร?

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ลอการิทึมใดๆ เป็นเพียงตัวเลข บทสนทนายังเป็นจริง: ตัวเลขใดๆ สามารถเขียนเป็นลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น เรารู้ว่า \(\log_(2)(4)\) เท่ากับสอง จากนั้นคุณสามารถเขียน \(\log_(2)(4)\) แทนสอง

แต่ \(\log_(3)(9)\) ก็เท่ากับ \(2\) ดังนั้นคุณจึงสามารถเขียน \(2=\log_(3)(9)\) ได้เช่นกัน ในทำนองเดียวกันกับ \(\log_(5)(25)\) และด้วย \(\log_(9)(81)\) ฯลฯ นั่นคือปรากฎว่า

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

ดังนั้น หากเราต้องการ เราสามารถเขียนทั้งสองเป็นลอการิทึมที่มีฐานใดก็ได้ (แม้ในสมการ แม้แต่ในนิพจน์ หรือในอสมการ) เราก็แค่เขียนฐานกำลังสองเป็นอาร์กิวเมนต์

มันเหมือนกันกับสามเท่า - สามารถเขียนเป็น \(\log_(2)(8)\) หรือเป็น \(\log_(3)(27)\) หรือเป็น \(\log_(4)( 64) \) ... ที่นี่เราเขียนฐานในคิวบ์เป็นอาร์กิวเมนต์:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

และด้วยสี่:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

และด้วยลบหนึ่ง:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

และหนึ่งในสาม:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

จำนวนใดๆ \(a\) สามารถแสดงเป็นลอการิทึมที่มีฐาน \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

ตัวอย่าง : ค้นหาค่าของนิพจน์ \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

สารละลาย :

คำตอบ : \(1\)

ด้วยการพัฒนาของสังคม ความซับซ้อนของการผลิต คณิตศาสตร์ก็พัฒนาขึ้นเช่นกัน การเคลื่อนไหวจากง่ายไปซับซ้อน จากวิธีการบัญชีปกติของการบวกและการลบ ด้วยการทำซ้ำซ้ำๆ พวกเขาได้แนวคิดของการคูณและการหาร การลดลงของการดำเนินการซ้ำทวีคูณกลายเป็นแนวคิดของการยกกำลัง ตารางแรกของการพึ่งพาอาศัยกันของตัวเลขบนฐานและจำนวนของการยกกำลังถูกรวบรวมในศตวรรษที่ 8 โดย Varasena นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย คุณสามารถนับเวลาที่เกิดขึ้นของลอการิทึมได้

โครงร่างประวัติศาสตร์

การฟื้นฟูของยุโรปในศตวรรษที่ 16 ยังกระตุ้นการพัฒนากลไก ต ต้องใช้การคำนวณจำนวนมากที่เกี่ยวข้องกับการคูณและการหารของตัวเลขหลายหลัก โต๊ะโบราณให้บริการที่ดีเยี่ยม พวกเขาทำให้สามารถแทนที่การดำเนินการที่ซับซ้อนด้วยการดำเนินการที่ง่ายกว่า - การบวกและการลบ ความก้าวหน้าครั้งใหญ่คืองานของนักคณิตศาสตร์ Michael Stiefel ซึ่งตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1544 ซึ่งเขาได้ตระหนักถึงแนวคิดของนักคณิตศาสตร์หลายคน สิ่งนี้ทำให้สามารถใช้ตารางได้ไม่เพียง แต่สำหรับองศาในรูปของจำนวนเฉพาะเท่านั้น แต่ยังรวมถึงตารางที่มีเหตุผลตามอำเภอใจด้วย

ในปี ค.ศ. 1614 จอห์น เนเปียร์ ชาวสกอต ซึ่งพัฒนาแนวคิดเหล่านี้ ได้แนะนำคำศัพท์ใหม่ "ลอการิทึมของจำนวน" เป็นครั้งแรก มีการรวบรวมตารางที่ซับซ้อนใหม่สำหรับการคำนวณลอการิทึมของไซน์และโคไซน์ รวมทั้งแทนเจนต์ สิ่งนี้ทำให้งานของนักดาราศาสตร์ลดลงอย่างมาก

ตารางใหม่เริ่มปรากฏขึ้นซึ่งนักวิทยาศาสตร์ใช้ได้สำเร็จ สามศตวรรษ. ก่อนหน้านี้ใช้เวลานานมาก การดำเนินการใหม่ในพีชคณิตได้รับรูปแบบสำเร็จรูป ลอการิทึมถูกกำหนดและศึกษาคุณสมบัติของมัน

เฉพาะในศตวรรษที่ 20 เมื่อมีการกำเนิดของเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ มนุษย์ได้ละทิ้งโต๊ะโบราณที่ประสบความสำเร็จตลอดศตวรรษที่ 13

วันนี้เราเรียกลอการิทึมของ b ฐานของจำนวน x ซึ่งเป็นกำลังของ a เพื่อให้ได้เลข b ซึ่งเขียนเป็นสูตร: x = log a(b)

ตัวอย่างเช่น ล็อก 3(9) จะเท่ากับ 2 ซึ่งจะเห็นได้ชัดถ้าคุณทำตามคำจำกัดความ ถ้าเรายก 3 ยกกำลัง 2 เราจะได้ 9

ดังนั้น คำจำกัดความที่กำหนดขึ้นจึงมีข้อจำกัดเพียงข้อเดียว คือ ตัวเลข a และ b จะต้องเป็นจำนวนจริง

ความหลากหลายของลอการิทึม

นิยามดั้งเดิมเรียกว่าลอการิทึมจริง และเป็นคำตอบของสมการ a x = b ตัวเลือก a = 1 เป็นเส้นเขตแดนและไม่น่าสนใจ หมายเหตุ: 1 ยกกำลังใดๆ ก็ได้ 1

ค่าที่แท้จริงของลอการิทึมกำหนดเฉพาะในกรณีที่ฐานและอาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่า 0 และฐานต้องไม่เท่ากับ 1

สถานที่พิเศษในสาขาคณิตศาสตร์เล่นลอการิทึมซึ่งจะตั้งชื่อตามค่าของฐาน:

กฎและข้อจำกัด

คุณสมบัติพื้นฐานของลอการิทึมคือกฎ: ลอการิทึมของผลคูณเท่ากับผลรวมลอการิทึม บันทึก abp = บันทึก a(b) + บันทึก a(p)

ตัวแปรของคำสั่งนี้จะเป็น: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p) ฟังก์ชันผลหารเท่ากับผลต่างของฟังก์ชัน

กฎสองข้อก่อนหน้านี้เห็นได้ง่ายว่า: log a(b p) = p * log a(b).

คุณสมบัติอื่นๆ ได้แก่:

ความคิดเห็น อย่าทำผิดพลาดทั่วไป - ลอการิทึมของผลรวมไม่เท่ากับผลรวมของลอการิทึม

เป็นเวลาหลายศตวรรษที่การค้นหาลอการิทึมเป็นงานที่ค่อนข้างใช้เวลา นักคณิตศาสตร์ใช้สูตรที่รู้จักกันดีของทฤษฎีลอการิทึมของการขยายตัวเป็นพหุนาม:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n) โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติที่มากกว่า 1 ซึ่งกำหนดความแม่นยำของการคำนวณ

ลอการิทึมที่มีฐานอื่นคำนวณโดยใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่งและคุณสมบัติของลอการิทึมของผลคูณ

เนื่องจากวิธีนี้ลำบากมากและ เมื่อแก้ปัญหาในทางปฏิบัติยากที่จะนำไปใช้ พวกเขาใช้ตารางลอการิทึมที่คอมไพล์ไว้ล่วงหน้า ซึ่งช่วยเร่งงานทั้งหมดอย่างมาก

ในบางกรณีมีการใช้กราฟลอการิทึมที่รวบรวมเป็นพิเศษซึ่งให้ความแม่นยำน้อยกว่า แต่เร่งการค้นหาค่าที่ต้องการให้เร็วขึ้นอย่างมาก เส้นโค้งของฟังก์ชัน y = log a(x) สร้างขึ้นจากหลายจุด อนุญาตให้ใช้ไม้บรรทัดทั่วไปเพื่อค้นหาค่าของฟังก์ชันที่จุดอื่นๆ วิศวกร เวลานานเพื่อจุดประสงค์เหล่านี้จึงใช้กระดาษกราฟที่เรียกว่า

ในศตวรรษที่ 17 เงื่อนไขการคำนวณแบบอะนาล็อกเสริมปรากฏขึ้นเป็นครั้งแรก ศตวรรษที่สิบเก้าได้รับรูปลักษณ์ที่สมบูรณ์ อุปกรณ์ที่ประสบความสำเร็จมากที่สุดเรียกว่ากฎสไลด์ แม้จะมีความเรียบง่ายของอุปกรณ์ แต่รูปลักษณ์ของมันช่วยเร่งกระบวนการคำนวณทางวิศวกรรมทั้งหมดได้อย่างมีนัยสำคัญ และเป็นการยากที่จะประเมินค่าสูงไป ปัจจุบันมีเพียงไม่กี่คนที่คุ้นเคยกับอุปกรณ์นี้

การกำเนิดของเครื่องคิดเลขและคอมพิวเตอร์ทำให้การใช้อุปกรณ์อื่นใดหมดประโยชน์

สมการและอสมการ

สูตรต่อไปนี้ใช้เพื่อแก้สมการและอสมการต่างๆ โดยใช้ลอการิทึม:

• การเปลี่ยนจากฐานหนึ่งไปอีกฐานหนึ่ง: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• อันเป็นผลมาจากเวอร์ชันก่อนหน้า: บันทึก a(b) = 1 / บันทึก b(a)

ในการแก้อสมการ การรู้:

• ค่าของลอการิทึมจะเป็นค่าบวกก็ต่อเมื่อทั้งฐานและอาร์กิวเมนต์มีค่ามากกว่าหรือน้อยกว่าหนึ่ง ถ้าเงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งข้อถูกละเมิด ค่าของลอการิทึมจะเป็นค่าลบ
• ถ้าใช้ฟังก์ชันลอการิทึมกับด้านขวาและซ้ายของอสมการ และฐานของลอการิทึมมีค่ามากกว่า 1 เครื่องหมายของอสมการจะยังคงอยู่ มิฉะนั้นจะเปลี่ยนไป

ตัวอย่างงาน

พิจารณาตัวเลือกต่างๆ สำหรับการใช้ลอการิทึมและคุณสมบัติของมัน ตัวอย่างที่มีการแก้สมการ:

พิจารณาตัวเลือกในการวางลอการิทึมในระดับ:

• ภารกิจที่ 3 คำนวณ 25^log 5(3) วิธีแก้ไข: ในเงื่อนไขของปัญหา สัญกรณ์จะคล้ายกับต่อไปนี้ (5^2)^log5(3) หรือ 5^(2 * log 5(3)) ลองเขียนให้ต่างออกไป: 5^log 5(3*2) หรือกำลังสองของตัวเลขที่เป็นอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันสามารถเขียนเป็นกำลังสองของฟังก์ชันได้ (5^log 5(3))^2 การใช้คุณสมบัติของลอการิทึม นิพจน์นี้คือ 3^2 คำตอบ: จากการคำนวณเราได้ 9

ใช้งานได้จริง

การเป็นเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ล้วน ๆ ดูเหมือนจะห่างไกลจาก ชีวิตจริงทันใดนั้นลอการิทึมก็มีความสำคัญอย่างยิ่งในการอธิบายวัตถุ โลกแห่งความจริง. เป็นการยากที่จะหาวิทยาศาสตร์ที่ไม่ได้ใช้งาน สิ่งนี้ใช้อย่างเต็มที่ไม่เพียง แต่กับธรรมชาติเท่านั้น แต่ยังรวมถึงสาขาความรู้ด้านมนุษยศาสตร์ด้วย

การพึ่งพาลอการิทึม

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการพึ่งพาตัวเลข:

กลศาสตร์และฟิสิกส์

ในอดีตกลศาสตร์และฟิสิกส์มีการพัฒนาโดยใช้ วิธีการทางคณิตศาสตร์การวิจัยและในขณะเดียวกันก็เป็นแรงจูงใจในการพัฒนาคณิตศาสตร์รวมถึงลอการิทึม ทฤษฎีกฎฟิสิกส์ส่วนใหญ่เขียนด้วยภาษาคณิตศาสตร์ เรายกตัวอย่างเพียงสองตัวอย่างในการอธิบายกฎทางกายภาพโดยใช้ลอการิทึม

เป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาการคำนวณปริมาณที่ซับซ้อนเช่นความเร็วของจรวดโดยใช้สูตร Tsiolkovsky ซึ่งวางรากฐานสำหรับทฤษฎีการสำรวจอวกาศ:

V = I * ln(M1/M2) โดยที่

• V คือความเร็วสุดท้ายของเครื่องบิน
• I คือแรงกระตุ้นเฉพาะของเครื่องยนต์
• M 1 คือมวลตั้งต้นของจรวด
• M 2 - มวลสุดท้าย

อีกตัวอย่างที่สำคัญ- นี่คือการใช้ในสูตรของนักวิทยาศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่อีกคนหนึ่ง Max Planck ซึ่งทำหน้าที่ประเมินสภาวะสมดุลในอุณหพลศาสตร์

S = k * ln (Ω) โดยที่

• S เป็นคุณสมบัติทางอุณหพลศาสตร์
• k คือค่าคงที่ของ Boltzmann
• Ω คือน้ำหนักทางสถิติของสถานะต่างๆ

เคมี

สิ่งที่เห็นได้ชัดน้อยกว่าคือการใช้สูตรทางเคมีที่มีอัตราส่วนของลอการิทึม นี่เป็นเพียงสองตัวอย่าง:

• สมการ Nernst เงื่อนไขของศักย์รีดอกซ์ของตัวกลางที่สัมพันธ์กับกิจกรรมของสารและค่าคงที่สมดุล
• การคำนวณค่าคงที่เช่นดัชนี autoprolysis และความเป็นกรดของสารละลายยังไม่สมบูรณ์หากไม่มีฟังก์ชันของเรา

จิตวิทยาและชีววิทยา

และไม่สามารถเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์ว่าจิตวิทยาเกี่ยวข้องกับเรื่องนี้อย่างไร ปรากฎว่าความแข็งแรงของความรู้สึกได้รับการอธิบายอย่างดีโดยฟังก์ชันนี้เป็นอัตราส่วนผกผันของค่าความเข้มของการกระตุ้นต่อค่าความเข้มที่ต่ำกว่า

หลังจากตัวอย่างข้างต้น จึงไม่น่าแปลกใจอีกต่อไปที่ธีมของลอการิทึมยังใช้กันอย่างแพร่หลายในวิชาชีววิทยาอีกด้วย สามารถเขียนปริมาตรทั้งหมดเกี่ยวกับรูปแบบทางชีวภาพที่สอดคล้องกับเกลียวลอการิทึม

พื้นที่อื่นๆ

ดูเหมือนว่าการดำรงอยู่ของโลกจะเป็นไปไม่ได้หากปราศจากความเกี่ยวข้องกับหน้าที่นี้ และควบคุมกฎหมายทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อกฎของธรรมชาติเชื่อมโยงกับ ความก้าวหน้าทางเรขาคณิต. ควรอ้างอิงถึงเว็บไซต์ MatProfi และมีตัวอย่างมากมายในกิจกรรมต่อไปนี้:

รายการอาจไม่มีที่สิ้นสุด เมื่อเข้าใจกฎพื้นฐานของฟังก์ชันนี้แล้ว คุณสามารถเข้าสู่โลกแห่งภูมิปัญญาอันไร้ขอบเขต