Türevler nasıl çözülür? fonksiyon türevi
türev hesaplama en önemli operasyonlardan biri diferansiyel hesap. Aşağıda basit fonksiyonların türevlerini bulmak için bir tablo bulunmaktadır. Daha karmaşık türev kuralları için diğer derslere bakın:- Üstel ve logaritmik fonksiyonların türev tablosu
Basit fonksiyonların türevleri
1. Bir sayının türevi sıfırdırс´ = 0
Örnek:
5' = 0
Açıklama:
Türev, argüman değiştiğinde fonksiyonun değerinin değişme oranını gösterir. Sayı hiçbir koşulda hiçbir şekilde değişmediği için değişim oranı her zaman sıfırdır.
2. Bir değişkenin türevi bire eşit
x' = 1
Açıklama:
Bağımsız değişkenin (x) her bir artışında, fonksiyonun değeri (hesaplama sonucu) aynı miktarda artar. Böylece, y = x fonksiyonunun değerinin değişim oranı, bağımsız değişkenin değerinin değişim oranına tam olarak eşittir.
3. Bir değişkenin ve bir faktörün türevi bu faktöre eşittir
сx´ = с
Örnek:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Açıklama:
İÇİNDE bu durum, işlev bağımsız değişkeni her değiştiğinde ( X) değeri (y) büyür İle bir kere. Böylece, fonksiyonun değerinin argümanın değişim oranına göre değişim oranı, değere tam olarak eşittir. İle.
Bunu nereden takip ediyor
(cx + b)" = c
yani diferansiyel doğrusal fonksiyon y=kx+b açısal katsayı düz çizginin eğimi (k).
4. Bir değişkenin modulo türevi bu değişkenin modülüne olan bölümüne eşittir
|x|"= x / |x| x ≠ 0 olması koşuluyla
Açıklama:
Değişkenin türevi (bkz. formül 2) bire eşit olduğu için, modülün türevi yalnızca işlevin değişim oranının değerinin başlangıç noktasını geçerken tersine değişmesi bakımından farklılık gösterir (bir grafik çizmeye çalışın) fonksiyonunun y = |x| ve kendiniz görün.Bu tam olarak bir değerdir ve x / |x|< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - bir. Yani, x değişkeninin negatif değerlerinde, argümandaki değişiklikteki her artışla, fonksiyonun değeri tam olarak aynı değerde azalır ve pozitif değerlerde ise tam tersine artar, ancak tam olarak aynı değer
5. Bir değişkenin güç türevi bu kuvvetin sayısının ve kuvvetteki değişkenin çarpımına eşittir, bir azaltılır
(x c)"= cx c-1, x c ve cx c-1 tanımlanmış ve c ≠ 0 olması koşuluyla
Örnek:
(x 2)" = 2x
(x3)" = 3x2
Formülü ezberlemek için:
"Aşağı" değişkeninin üssünü çarpan olarak alın ve ardından üssün kendisini bir azaltın. Örneğin, x 2 için - iki, x'in önündeydi ve sonra azaltılmış güç (2-1 = 1) bize 2x verdi. Aynı şey x 3 için de oldu - üçü "indiriyoruz", bir azaltıyoruz ve küp yerine bir karemiz var, yani 3x 2. Biraz "bilim dışı" ama hatırlaması çok kolay.
6.kesir türevi 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Örnek:
Bir kesir, negatif bir güce yükseltme olarak temsil edilebildiğinden
(1/x)" = (x -1)" , o zaman türev tablosunun 5. kuralındaki formülü uygulayabilirsiniz.
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2
7. kesir türevi keyfi bir derece değişkeni ile paydada
(1/x c)" = - c / x c+1
Örnek:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3
8. kök türevi(karekök altındaki değişkenin türevi)
(√x)" = 1 / (2√x) veya 1/2 x -1/2
Örnek:
(√x)" = (x 1/2)" böylece 5. kuraldaki formülü uygulayabilirsiniz
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)
9. Keyfi bir derecenin kökü altındaki bir değişkenin türevi
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)
En basit türevleri analiz ettiğimiz ve ayrıca türev alma kurallarını ve türev bulma tekniklerini öğrendik. Bu nedenle, fonksiyonların türevlerinde pek iyi değilseniz veya bu makalenin bazı noktaları tam olarak açık değilse, o zaman önce yukarıdaki dersi okuyun. Lütfen ciddi bir ruh haline uyum sağlayın - materyal kolay değil, ancak yine de onu basit ve net bir şekilde sunmaya çalışacağım.
Uygulamada, karmaşık bir fonksiyonun türeviyle çok sık uğraşmanız gerekir, hatta neredeyse her zaman diyebilirim, size türev bulma görevi verildiğinde.
Karmaşık bir işlevi türevlendirmek için tablodaki kurala (No. 5) bakıyoruz:
Anlıyoruz. Her şeyden önce, notasyona bir göz atalım. Burada iki işlevimiz var - ve ve mecazi anlamda işlev, işlev içinde iç içedir. Bu tür bir işleve (bir işlev diğerinin içinde iç içe geçtiğinde) karmaşık işlev denir.
işlevi arayacağım harici fonksiyon ve işlev – iç (veya iç içe) işlev.
! Bu tanımlar teorik değildir ve ödevlerin nihai tasarımında yer almamalıdır. Gayri resmi ifadeleri "dış işlev", "iç" işlev yalnızca materyali anlamanızı kolaylaştırmak için kullanıyorum.
Durumu açıklığa kavuşturmak için şunları göz önünde bulundurun:
örnek 1
Bir fonksiyonun türevini bulun
Sinüsün altında, sadece "x" harfine değil, tüm ifadeye sahibiz, bu nedenle türevi hemen tablodan bulmak işe yaramayacaktır. Burada ilk dört kuralı uygulamanın imkansız olduğunu da fark ediyoruz, bir fark var gibi görünüyor ama gerçek şu ki sinüsü “parçalamak” imkansız:
İÇİNDE bu örnek zaten açıklamalarımdan, bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyon olduğu ve polinomun bir iç fonksiyon (gömme) ve bir dış fonksiyon olduğu sezgisel olarak açıktır.
İlk adım karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken yapılması gereken, hangi işlevin dahili ve hangisinin harici olduğunu anlamak.
Ne zaman basit örnekler sinüsün altında bir polinomun yuvalandığı açık görünüyor. Ama ya açık değilse? Tam olarak hangi işlevin harici ve hangisinin dahili olduğunu nasıl belirleyebilirim? Bunu yapmak için, zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde gerçekleştirilebilen aşağıdaki tekniği kullanmayı öneriyorum.
Bir hesap makinesi ile ifadenin değerini hesaplamamız gerektiğini düşünelim (bir yerine herhangi bir sayı olabilir).
Önce neyi hesaplıyoruz? Öncelikleşu eylemi gerçekleştirmeniz gerekecek: , yani polinom dahili bir fonksiyon olacaktır: 
ikincisi bulmanız gerekecek, yani sinüs - harici bir işlev olacaktır: 
bizden sonra ANLAMAK iç ve dış fonksiyonlarla, bileşik fonksiyon türev kuralını uygulama zamanı 
.
Karar vermeye başlıyoruz. dersten Türevi nasıl bulunur? herhangi bir türevin çözümünün tasarımının her zaman böyle başladığını hatırlıyoruz - ifadeyi parantez içine alıyoruz ve sağ üst köşeye bir çizgi koyuyoruz:
Başta dış fonksiyonun (sinüs) türevini buluruz, temel fonksiyonların türev tablosuna bakarız ve . "x" karmaşık bir ifadeyle değiştirilse bile tüm tablo formülleri uygulanabilir, bu durumda:
İç işlevin değişmedi, dokunmuyoruz.
Pekala, şu çok açık ki
Formülü uygulamanın sonucu 
temiz şuna benzer:
Sabit çarpan genellikle ifadenin başına yerleştirilir:
Herhangi bir yanlış anlama varsa, kararı bir kağıda yazın ve açıklamaları tekrar okuyun.
Örnek 2
Bir fonksiyonun türevini bulun
Örnek 3
Bir fonksiyonun türevini bulun
Her zamanki gibi yazıyoruz: 
Nerede harici bir işleve sahip olduğumuzu ve dahili olanın nerede olduğunu anlıyoruz. Bunu yapmak için, ifadesinin değerini (zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde) hesaplamaya çalışıyoruz. İlk önce ne yapılması gerekiyor? Her şeyden önce, tabanın neye eşit olduğunu hesaplamanız gerekir: bu, polinomun dahili fonksiyon olduğu anlamına gelir: 
Ve ancak o zaman üs alma gerçekleştirilir, bu nedenle güç işlevi harici bir işlevdir: 
formüle göre 
, önce dış fonksiyonun türevini, bu durumda dereceyi bulmanız gerekir. Tabloda istenen formülü arıyoruz:. Tekrar ediyoruz: herhangi bir tablo formülü yalnızca "x" için değil, aynı zamanda karmaşık bir ifade için de geçerlidir. Böylece, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uygulamanın sonucu 
Sonraki:
Dış fonksiyonun türevini aldığımızda iç fonksiyonun değişmediğini tekrar vurguluyorum: 
Şimdi geriye iç fonksiyonun çok basit bir türevini bulmak ve sonucu biraz "taramak" kalıyor:
Örnek 4
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, kendi kendine çözmeye bir örnektir (cevap dersin sonunda verilir).
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin anlaşılmasını pekiştirmek için yorumsuz bir örnek vereceğim, kendi başınıza anlamaya çalışacağım, sebep, dış fonksiyon nerede ve iç fonksiyon nerede, görevler neden bu şekilde çözülüyor?
Örnek 5
a) Bir fonksiyonun türevini bulun
b) Fonksiyonun türevini bulun
Örnek 6
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Burada bir kökümüz var ve kökü ayırt edebilmek için derece olarak temsil edilmesi gerekiyor. Böylece, önce işlevi farklılaşma için uygun forma getiriyoruz:
Fonksiyonu inceleyerek, üç terimin toplamının dahili bir fonksiyon olduğu ve üs almanın harici bir fonksiyon olduğu sonucuna varıyoruz. Karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uyguluyoruz 
:
Derece yine bir radikal (kök) olarak temsil edilir ve iç fonksiyonun türevi için, toplamın türevini almak için basit bir kural uygularız:
Hazır. Ayrıca ifadeyi parantez içinde ortak bir paydaya getirebilir ve her şeyi bir kesir olarak yazabilirsiniz. Elbette güzel, ancak hantal uzun türevler elde edildiğinde, bunu yapmamak daha iyidir (kafanın karışması kolaydır, gereksiz bir hata yapılır ve öğretmenin kontrol etmesi sakıncalı olacaktır).
Örnek 7
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, kendi kendine çözmeye bir örnektir (cevap dersin sonunda verilir).
Bazen, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralı yerine, bir bölümün türevini alma kuralının kullanılabileceğini not etmek ilginçtir. 
, ancak böyle bir çözüm, alışılmadık bir sapkınlık gibi görünecektir. İşte tipik bir örnek:
Örnek 8
Bir fonksiyonun türevini bulun
Burada bölümün farklılaşma kuralını kullanabilirsiniz. 
, ancak türevi karmaşık bir fonksiyonun türev kuralı aracılığıyla bulmak çok daha karlı:
Fonksiyonu türev için hazırlıyoruz - türevin eksi işaretini çıkarıyoruz ve kosinüsü paya yükseltiyoruz:
Kosinüs dahili bir fonksiyondur, üs harici bir fonksiyondur.
kuralımızı kullanalım 
:
İç fonksiyonun türevini buluyoruz, kosinüsü sıfırlıyoruz:
Hazır. Ele alınan örnekte, işaretlerde kafa karıştırmamak önemlidir. Bu arada kuralla çözmeye çalış 
, cevaplar eşleşmelidir.
Örnek 9
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, kendi kendine çözmeye bir örnektir (cevap dersin sonunda verilir).
Şimdiye kadar, karmaşık bir fonksiyonda yalnızca bir yuvalamanın olduğu durumları ele aldık. Pratik görevlerde, iç içe geçmiş oyuncak bebekler gibi, 3 hatta 4-5 işlevin aynı anda iç içe geçtiği türevleri sıklıkla bulabilirsiniz.
Örnek 10
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu işlevin eklerini anlıyoruz. Deneysel değeri kullanarak ifadeyi değerlendirmeye çalışıyoruz. Bir hesap makinesine nasıl güveneceğiz?
İlk önce bulmanız gerekir, bu da yayın en derin yuvalama olduğu anlamına gelir:
Bu birlik arksinin karesi alınmalıdır:
Ve son olarak, yedinin kuvvetini yükseltiyoruz: 
Yani, bu örnekte üç farklı fonksiyonumuz ve iki yuvamız varken, en içteki fonksiyon yay ve en dıştaki fonksiyon üstel fonksiyondur.
karar vermeye başlıyoruz
kurala göre 
önce dış fonksiyonun türevini almalısın. Türevler tablosuna bakarız ve üstel fonksiyonun türevini buluruz: Tek fark, "x" yerine bu formülün geçerliliğini ortadan kaldırmayan karmaşık bir ifadeye sahip olmamızdır. Dolayısıyla, karmaşık bir fonksiyonun farklılaşma kuralını uygulamanın sonucu 
Sonraki.
Üstel (e üzeri x) ve üstel fonksiyonun (a üzeri x) türevi için formüllerin ispatı ve türetilmesi. e^2x, e^3x ve e^nx'in türevlerini hesaplama örnekleri. Yüksek dereceden türevler için formüller.
Üssün türevi üstelin kendisine eşittir (e üzeri x'in türevi eşittir e üzeri x'in):
(1)
(e x )' = e x.
Tabanı a olan üstel bir fonksiyonun türevi, fonksiyonun kendisine eşittir, ile çarpılır doğal logaritma bir:
(2)
.
Üssü e üzeri x'in türevi için formülün türetilmesi
Üs, üs tabanı aşağıdaki sınır olan e sayısına eşit olan üstel bir fonksiyondur:
.
Burada doğal veya gerçek bir sayı olabilir. Daha sonra, üssün türevi için formül (1)'i türetiyoruz.
Üslü sayının türevi için formülün türetilmesi
e üssü x'in üssünü ele alalım:
y = e x .
Bu işlev, tümü için tanımlanmıştır. x'e göre türevini bulalım. Tanım olarak, türev aşağıdaki limittir:
(3)
.
Bu ifadeyi bilinen matematiksel özelliklere ve kurallara indirgemek için dönüştürelim. Bunun için aşağıdaki gerçeklere ihtiyacımız var:
A)Üs özelliği:
(4)
;
B) Logaritma özelliği:
(5)
;
İÇİNDE) Sürekli bir fonksiyon için logaritmanın sürekliliği ve limitlerin özelliği:
(6)
.
Burada, bir limiti olan ve bu limit pozitif olan bir fonksiyon var.
G)İkinci harika sınırın anlamı:
(7)
.
Bu gerçekleri limitimize uyguluyoruz (3). Özelliği (4) kullanıyoruz:
;
.
Bir değişiklik yapalım. Daha sonra ; .
Üs sürekliliğinden dolayı,
.
Bu nedenle, , . Sonuç olarak, şunu elde ederiz:
.
Bir değişiklik yapalım. Daha sonra . , . Ve bizde:
.
Logaritmanın (5) özelliğini uyguluyoruz:
. Daha sonra
.
(6) özelliğini uygulayalım. Pozitif bir limit olduğundan ve logaritma sürekli olduğundan, o zaman:
.
Burada da ikinci dikkate değer limiti (7) kullandık. Daha sonra
.
Böylece, üssün türevi için formül (1)'i elde etmiş oluyoruz.
Üstel fonksiyonun türevi için formülün türetilmesi
Şimdi üstel fonksiyonun a derecesi tabanlı türevi için formül (2)'yi türetiyoruz. Buna inanıyoruz ve . O zaman üstel fonksiyon
(8)
Herkes için tanımlanmış.
Formül (8)'i dönüştürelim. Bunun için kullanıyoruz üstel fonksiyonun özellikleri ve logaritma.
;
.
Böylece, formülü (8) aşağıdaki forma dönüştürdük:
.
e üzeri x'in yüksek dereceli türevleri
Şimdi yüksek mertebeden türevleri bulalım. Önce üsse bakalım:
(14)
.
(1)
.
(14) fonksiyonunun türevinin (14) fonksiyonunun kendisine eşit olduğunu görüyoruz. (1)'i farklılaştırarak, ikinci ve üçüncü dereceden türevler elde ederiz:
;
.
Bu, n'inci dereceden türevinin de orijinal fonksiyona eşit olduğunu gösterir:
.
Üstel fonksiyonun daha yüksek mertebeden türevleri
Şimdi düşünün üstel fonksiyon a taban derecesi ile:
.
Birinci dereceden türevini bulduk:
(15)
.
(15)'i farklılaştırarak, ikinci ve üçüncü dereceden türevler elde ederiz:
;
.
Her farklılaşmanın, orijinal fonksiyonun ile çarpılmasına yol açtığını görüyoruz. Bu nedenle, n'inci türev aşağıdaki forma sahiptir:
.
Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 işlev ekli örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazılarına karmaşık gelebilir, ancak anlaşılırsa (birisi acı çeker), o zaman diferansiyel hesabındaki hemen hemen her şey bir çocuk şakası gibi görünecektir.
Örnek 2
Bir fonksiyonun türevini bulun
Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken her şeyden önce gereklidir. Sağ YATIRIMLARI ANLAYIN. Şüpheli durumlarda hatırlatırım faydalı teknik: örneğin "x" deneysel değerini alırız ve (zihinsel olarak veya bir taslak üzerinde) bu değeri "korkunç ifade" ile değiştirmeye çalışırız.
1) İlk önce ifadeyi hesaplamamız gerekiyor, bu yüzden toplam en derin yuvalamadır.
2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:
4) Ardından kosinüsün küpünü alın:
5) Beşinci adımda fark:
6) Ve son olarak, en dıştaki fonksiyon kareköktür: 
Karmaşık Fonksiyon Farklılaşma Formülü 
en dıştaki fonksiyondan en içteki fonksiyona doğru ters sırada uygulanır. karar veriyoruz:
Hatasız görünüyor:
1) Türevini alıyoruz kare kök.
2) Farkın türevini kuralı kullanarak alıyoruz 
3) Üçlünün türevi sıfıra eşittir. İkinci terimde derecenin (küp) türevini alıyoruz.
4) Kosinüsün türevini alıyoruz.
6) Ve son olarak en derin yuvalamanın türevini alıyoruz.
Çok zor görünebilir, ancak bu en acımasız örnek değil. Örneğin, Kuznetsov'un koleksiyonunu alın ve analiz edilen türevin tüm çekiciliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.
Aşağıdaki örnek, bağımsız bir çözüm içindir.
Örnek 3
Bir fonksiyonun türevini bulun
İpucu: Önce doğrusallık kurallarını ve çarpımın farklılaşma kuralını uyguluyoruz.
Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Daha kompakt ve güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Bir örnekte iki değil, üç fonksiyonun çarpımının verildiği bir durum için alışılmadık bir durum değildir. türevi nasıl bulunur üçlü ürünlerçarpanlar?
Örnek 4
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Önce bakıyoruz ama üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmek mümkün mü? Örneğin çarpımda iki polinomumuz olsaydı parantezleri açabilirdik. Ancak bu örnekte tüm işlevler farklıdır: derece, üs ve logaritma.
Bu gibi durumlarda gerekli art ardaürün farklılaştırma kuralını uygula 
iki kere
İşin püf noktası, "y" için iki işlevin ürününü belirtmemizdir: ve "ve" için - logaritma:. Bu neden yapılabilir? bu mu 
- bu iki faktörün ürünü değil ve kural çalışmıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:
Şimdi kuralı ikinci kez uygulamak kalıyor parantez içine almak:
Yine de saptırabilir ve köşeli parantezlerden bir şey çıkarabilirsiniz, ancak bu durumda cevabı bu formda bırakmak daha iyidir - kontrol etmesi daha kolay olacaktır.
Yukarıdaki örnek ikinci şekilde çözülebilir:
Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.
Örnek 5
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, bağımsız bir çözüm için bir örnektir, örnekte ilk şekilde çözülür.
Kesirler ile benzer örnekleri düşünün.
Örnek 6
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Burada birkaç yoldan gidebilirsiniz:
Veya bunun gibi:
Ancak, her şeyden önce, bölümün farklılaşma kuralını kullanırsak, çözüm daha kompakt bir şekilde yazılabilir. 
, payın tamamını alarak:
Prensip olarak örnek çözülür ve bu şekilde bırakılırsa hata olmaz. Ancak zamanınız varsa, taslağı kontrol etmeniz her zaman tavsiye edilir, ancak cevabı basitleştirmek mümkün mü?
Payın ifadesini ortak bir paydaya getiriyoruz ve üç katlı kesirden kurtuluyoruz.:
Ek basitleştirmelerin dezavantajı, bir türev bulurken değil, banal okul dönüşümleri yaparken hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan, öğretmenler genellikle görevi reddeder ve türevini "akla getirmeyi" ister.
Kendin yap çözümü için daha basit bir örnek:
Örnek 7
Bir fonksiyonun türevini bulun
Türevi bulma tekniklerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi farklılaşma için "korkunç" bir logaritma önerildiğinde tipik bir durumu ele alacağız.
Türev bulma işlemine diferansiyel denir.
En basit (ve çok basit olmayan) fonksiyonların türevlerini bulma problemlerinin, türevi artışın argümanın artışına oranının sınırı olarak tanımlayarak çözmenin bir sonucu olarak, bir türev tablosu ve kesin olarak tanımlanmış türev kuralları ortaya çıktı. . Isaac Newton (1643-1727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) türev bulma alanında ilk çalışan kişilerdi.
Bu nedenle, zamanımızda herhangi bir fonksiyonun türevini bulmak için, fonksiyonun artışının argümanın artışına oranının yukarıda belirtilen limitini hesaplamak gerekli değildir, sadece tabloyu kullanmak yeterlidir. türevler ve türev alma kuralları. Aşağıdaki algoritma türevi bulmak için uygundur.
Türevi bulmak için, kontur işaretinin altında bir ifadeye ihtiyacınız var basit işlevleri parçala ve hangi eylemlerin belirlendiğini (çarpım, toplam, bölüm) bu işlevler ilişkilidir. Ayrıca, temel fonksiyonların türevlerini türevler tablosunda ve çarpım, toplam ve bölümün türevleri için formülleri - farklılaşma kurallarında buluyoruz. İlk iki örnekten sonra türev tablosu ve türev kuralları verilmiştir.
örnek 1 Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Farklılaşma kurallarından, fonksiyonların toplamının türevinin, fonksiyonların türevlerinin toplamı olduğunu öğreniyoruz, yani.
Türev tablosundan, "X" in türevinin bire eşit olduğunu ve sinüsün türevinin kosinüs olduğunu öğreniyoruz. Bu değerleri türevlerin toplamında yerine koyuyoruz ve problemin koşulunun gerektirdiği türevi buluyoruz:
Örnek 2 Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Sabit bir faktöre sahip ikinci terimin türevin işaretinden çıkarılabileceği toplamın bir türevi olarak farklılaştırın:
Hala bir şeyin nereden geldiğine dair sorular varsa, bunlar kural olarak türev tablosunu ve en basit türev kurallarını okuduktan sonra netleşir. Hemen onlara gidiyoruz.
Basit fonksiyonların türev tablosu
| 1. Bir sabitin (sayı) türevi. Fonksiyon ifadesinde bulunan herhangi bir sayı (1, 2, 5, 200...). Her zaman sıfır. Çok sık gerekli olduğu için bunu hatırlamak çok önemlidir. | |
| 2. Bağımsız değişkenin türevi. Çoğu zaman "x". Her zaman bire eşittir. Bu da hatırlamak önemlidir | |
| 3. Derecenin türevi. Problemleri çözerken, karekök olmayanları bir kuvvete dönüştürmeniz gerekir. | |
| 4. Bir değişkenin -1'in kuvvetine göre türevi | |
| 5. Karekökün türevi | |
| 6. Sinüs türevi | |
| 7. Kosinüs türevi |  |
| 8. Teğet türevi |  |
| 9. Kotanjantın türevi |  |
| 10. Arksinüsün türevi |  |
| 11. Ark kosinüsünün türevi |  |
| 12. Ark teğetinin türevi |  |
| 13. Ters tanjantın türevi |  |
| 14. Doğal logaritmanın türevi | |
| 15. Logaritmik bir fonksiyonun türevi |  |
| 16. Üslü sayının türevi | |
| 17. Üstel fonksiyonun türevi |
Farklılaşma kuralları
| 1. Toplam veya farkın türevi |  |
| 2. Bir ürünün türevi |  |
| 2a. Sabit bir faktörle çarpılan bir ifadenin türevi | |
| 3. Bölümün türevi |  |
| 4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi |  |
Kural 1eğer fonksiyonlar
bir noktada türevlenebilir, sonra aynı noktada fonksiyonlar
Ve
onlar. fonksiyonların cebirsel toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir.
Sonuçlar. İki türevlenebilir fonksiyon bir sabitle farklılık gösteriyorsa, türevleri, yani
Kural 2eğer fonksiyonlar
bir noktada türevlenebilirlerse, çarpımları da aynı noktada türevlenebilir olur.
Ve
onlar. iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin ve diğerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.
Sonuç 1. Sabit çarpan, türevin işaretinden çıkarılabilir:
Sonuç 2. Çeşitli türevlenebilir fonksiyonların çarpımının türevi, faktörlerin her birinin ve diğerlerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir.
Örneğin, üç çarpan için:
Kural 3eğer fonksiyonlar
bir noktada türevlenebilir Ve , o zaman bu noktada bölümleri de türevlenebilir.u/v ve
onlar. iki fonksiyonun bir bölümünün türevi, payı paydanın ve payın türevi ile payın çarpımı arasındaki fark olan ve paydası önceki payın karesi olan bir kesre eşittir .
Diğer sayfalarda nereye bakmalı?
Çarpımın türevini ve içindeki bölümü bulurken gerçek görevler her zaman birkaç türev kuralının aynı anda uygulanması gerekir, bu nedenle bu türevlerle ilgili daha fazla örnek makalede yer almaktadır."Bir çarpım ve bölümün türevi".
Yorum. Bir sabiti (yani bir sayıyı) toplamdaki bir terim ve sabit bir çarpan olarak karıştırmamalısınız! Bir terim olması durumunda türevi sıfıra eşittir ve sabit bir çarpan olması durumunda türevlerin işaretinden çıkarılır. Bu, meydana gelen tipik bir hatadır. İlk aşama türevleri öğreniyor, ancak birkaç bir-iki bileşenli örneği çözdükçe, ortalama bir öğrenci artık bu hatayı yapmıyor.
Ve eğer bir çarpımı veya bölümü farklılaştırırken, bir teriminiz varsa sen"v, hangisinde sen- bir sayı, örneğin 2 veya 5, yani bir sabit, o zaman bu sayının türevi sıfıra eşit olacaktır ve bu nedenle tüm terim sıfıra eşit olacaktır (böyle bir durum örnek 10'da analiz edilmiştir) .
Diğer yaygın hata- karmaşık bir fonksiyonun türevinin basit bir fonksiyonun türevi olarak mekanik çözümü. Bu yüzden karmaşık bir fonksiyonun türevi ayrı bir makaleye ayrılmıştır. Ama önce basit fonksiyonların türevlerini bulmayı öğreneceğiz.
Yol boyunca ifade dönüşümleri olmadan yapamazsınız. Bunu yapmak için, yeni Windows kılavuzlarında açmanız gerekebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirli işlemler .
Kuvvetli ve köklü türevlere çözüm arıyorsanız, yani fonksiyon göründüğünde 
, ardından "Küslü ve köklü kesirlerin toplamının türevi" dersini izleyin.
gibi bir göreviniz varsa 
, o zaman "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" dersindesiniz.
Adım adım örnekler - türev nasıl bulunur
Örnek 3 Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Fonksiyon ifadesinin bölümlerini belirliyoruz: ifadenin tamamı ürünü temsil ediyor ve çarpanları, terimlerinden birinin sabit bir faktör içerdiği toplamlardır. Çarpım farklılaştırma kuralını uyguluyoruz: iki fonksiyonun çarpımının türevi, bu fonksiyonların her birinin ve diğerinin türevinin çarpımlarının toplamına eşittir:
Daha sonra, toplamın farklılaşma kuralını uyguluyoruz: cebirsel fonksiyonlar toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin cebirsel toplamına eşittir. Bizim durumumuzda, her toplamda, eksi işaretli ikinci terim. Her toplamda, türevi bire eşit olan bağımsız bir değişken ve türevi sıfıra eşit olan bir sabit (sayı) görüyoruz. Böylece, "x" bire, eksi 5 - sıfıra dönüşür. İkinci ifadede "x" 2 ile çarpıldığı için "x"in türevi ile aynı birimle ikiyi çarpıyoruz. Aşağıdaki türev değerlerini elde ederiz:
Bulunan türevleri ürünlerin toplamında yerine koyarız ve problemin koşulunun gerektirdiği tüm fonksiyonun türevini elde ederiz:
Örnek 4 Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bölümün türevini bulmamız isteniyor. Bir bölümü farklılaştırmak için formülü uyguluyoruz: iki fonksiyonun bir bölümünün türevi, payı paydanın çarpımı ile payın ve payın türevi ile paydanın türevi arasındaki fark olan bir kesre eşittir ve payda, önceki payın karesidir. Biz:
Örnek 2'de paydaki çarpanların türevini zaten bulmuştuk. Mevcut örnekte paydaki ikinci çarpan olan çarpımın eksi işaretiyle alındığını da unutmayalım:
Bir fonksiyonun türevini bulmanız gereken, sürekli bir kök ve derece yığınının olduğu bu tür problemlere çözüm arıyorsanız, örneğin, 
o zaman sınıfa hoşgeldin "Küslü ve köklü kesirler toplamının türevi" .
Sinüs, kosinüs, teğet ve diğerlerinin türevleri hakkında daha fazla şey öğrenmeniz gerekiyorsa trigonometrik fonksiyonlar, yani, işlev şuna benzediğinde , o zaman dersin var "Basit trigonometrik fonksiyonların türevleri" .
Örnek 5 Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bu fonksiyonda, çarpanlarından biri bağımsız değişkenin karekökü olan ve türevini türev tablosundan öğrendiğimiz bir çarpım görüyoruz. Çarpım farklılaştırma kuralına ve karekökün türevinin tablo değerine göre şunu elde ederiz:
Örnek 6 Bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm. Bu fonksiyonda, böleni bağımsız değişkenin karekökü olan bölümü görüyoruz. Örnek 4'te tekrarladığımız ve uyguladığımız bölümün türev kuralına ve karekökün türevinin tablosal değerine göre şunu elde ederiz:
Paydaki kesri ortadan kaldırmak için pay ve paydayı ile çarpın.
