Ev › Şanzıman (şanzıman) › İmkansız Penrose üçgeni. Penrose üçgeni

İmkansız Penrose üçgeni. Penrose üçgeni

BugünÇizimler, şablonlar ve optik illüzyon desenleri yayınlayacağım "Kes" adında yeni bir bölüm açıyorum. Bugün yapacağız imkansız üçgen kağıttan. İmkansız bir üçgen oluşturamayacağımız için belli bir açıdan bakacağımız bir model oluşturacağız.

İndirin ve yazdırın
Resimdeki talimatları izleyin

İmkansız bir üçgen nasıl doğru bir şekilde değerlendirilebilir?

Yani yanılsama bir küpün belirsiz bir çizimine dayandığından izometrik projeksiyon. Daha sonra bu yönelimde bakana en yakın açılar ile bakana en uzak açılar çakışacaktır. Bu, küpün en yakın kenarından ve iki alt kenarından aşağıya doğru geçtiğimizde, eski haline döndüğümüz anlamına gelir. başlangıç noktası, yolun aslında uzak köşede bittiği yer.

Bu imkansız Penrose üçgeni

Böyle bir alanda Resimsel sanat insan derisini boyamak gibi, son trend bugün optik illüzyon figürleri var, özellikle imkansız olarak da adlandırılan Penrose üçgeni veya kabile. Bu form ilk olarak İsveçli ressam Oscar Reutersvard tarafından keşfedildi veya icat edildi ve onu 1935'in başında dünyaya bir dizi küp şeklinde sundu. Daha sonra, yüzyılın 80'lerinde, kabile çizimi ortaya çıktı. İsveç'te basılmıştır posta pulu.

Ancak optik yanılsama kategorisine ait olan imkansız Penrose üçgeni görüntüsü, 1958 yılında İngiliz matematikçi Roger Penrose'un British Journal of Psychology'de imkansız rakamlarla ilgili yayınının yayınlanmasının ardından yaygın olarak tanındı. Bu yazıdan ilham alarak ünlü ressam Hollandalı Maurits Escher, 1961 yılında en popüler eserlerinden biri olan “Şelale”yi yarattı.

Göz aldanması

Resimdeki optik yanılsamalar, sanatçının bir düzlem üzerindeki çizgilerin belirli bir düzenlemesiyle yarattığı gerçek bir resmin algılanmasının görsel bir yanılsamasıdır. Bu durumda izleyici, örneğin gestalt terapisi gibi psikolojinin alt alanlarının çalışma konusu olan şeklin açılarının boyutunu veya kenarlarının uzunluğunu yanlış tahmin eder. Escher'in yanı sıra başka bir kişi daha optik illüzyonlar yaratmakla ilgileniyordu Büyük sanatçı- Dünya çapında ünlü El Salvador Dali. Tutkunun çarpıcı bir örneği, örneğin “Fillere Yansıyan Kuğular” tablosudur.

Yukarıda bahsedilen üçgen aynı zamanda optik yanılsamalara, daha doğrusu bunların adı verilen kısmına da atıfta bulunur. imkansız rakamlar. Öyle bir forma bakıldığında ortaya çıkan duygu nedeniyle bu şekilde adlandırılıyorlar. gerçek dünya Bu kesinlikle imkansızdır.

İllüzyonların uygulanması

Eşsiz şekilleri nedeniyle yanıltıcı nesneler nesne görevi görür yakın ilgi sadece sanatçılar ve dövme sanatçıları değil - kendi elleriyle veya profesyonellerin yardımıyla yapılan bir üçgen de şirket logosu görevi görebilir. Hayali şekillerin bu şekilde kullanılmasının harika örnekleri arasında, imkansız bir küp olan psikedelik halk grubu Conundum in Deed'in logosu veya klasik bir Penrose üçgeni görüntüsü olan çip üreticisi Digilent Inc'in markası yer alır.

Profesyonellere başvurmadan kendi logonuzu kendiniz yapabilirsiniz. Bunu yapmak için, kağıt üzerinde veya tablet üzerinde basit bir çizim yapabileceğiniz veya yapabileceğiniz talimatları takip etmeniz yeterlidir. üç boyutlu şekil. Mağazanız için tabela veya dış mekan reklamı olarak yerleştirilebilir.

Kendin nasıl yapılır

Adobe Illustrator'ı kullanarak bir kabilenin nasıl çizileceğine ilişkin adım adım talimatlar:

Öncelikle Dikdörtgen aracını kullanarak 3 kare yapmanız gerekir. Bunu yapmak için öncelikle Görünüm menüsüne gitmeniz ve Akıllı Kılavuzları etkinleştirmeniz gerekir.
Şimdi her şeyi seçip Nesne menüsüne gitmeniz, ardından Dönüştür'e gitmeniz ve Her birini Dönüştür'ü açmanız gerekir; burada Ölçek penceresinde Dikey Ölçek = %86,6 değerini girmeniz ve Tamam'a tıklamanız gerekir.
Şimdi her yüzün kendi dönüş açısını ayarlamanız gerekiyor ve bunu yapmak için Pencere'ye gidip Dönüştür'ü açın. Burada, önce eğim (Kesme) değerini ve ardından dönüş (Döndürme) değerini girin: küpün üst yüzeyi Kesme +30°, Döndürme -30°'dir; sağ yüzey - Kesme +30°, Döndürme +30°; sol yüzey - Kesme -30°, Döndürme -30°.
Artık Akıllı Kılavuz çizgilerini kullanarak küpün tüm parçalarını birbirine sabitlemeniz gerekiyor: bunu yapmak için fareyi kenarlardan birinin köşesine takmalı ve hizalayarak diğerine çekmelisiniz.
Bu aşamada küpü 30° döndürmeniz gerekiyor: Bunu yapmak için Nesne'ye gidin, Dönüştür ve Döndür'ü seçin, buraya 30° açı değerini girin ve Tamam'a tıklayın.
Tribar elde etmek için 6 küp gerekecek olduğundan küpü seçip Alt ve Shift tuşlarına basarak seçilen nesneyi fare ile yan tarafa sürükleyip yatay yönde uzatmalısınız. Seçimi kaldırmadan CMD + D'ye 6 kez basın, 6 küp elde ediyoruz.
Seçimi son küpte bırakarak Enter tuşuna basın ve Taşı penceresinde açı değerini 240° olarak değiştirin ve ardından Kopyala tuşuna basın. Daha sonra 6 kopya elde edene kadar CMD + D tuşlarına tekrar basın.
Şimdi her şeyi tekrarlayın: Tekrar Enter'a basın, son küpü seçin, açıyı yalnızca 120°'ye ayarlayın ve yalnızca 5 kopya yapın.
Seçim Aracını kullanarak şeklin üst yüzeyini seçmeniz (daha net hale getirmek için yeniden renklendirebilirsiniz), Nesne - Düzenle - En arkaya gönder menüsünü açmanız gerekir. Şimdi üstteki küpün boyalı yüzeyini seçin, Nesne – Yerleştir – Öne Getir seçeneğine gidin.

Penrose yanılsaması tamamlandı. Bunu sosyal medya sayfanızda veya blogunuzda yayınlayabilir veya iş için kullanabilirsiniz.

gözetmen

matematik öğretmeni

1.Giriş………………………………………………….……3

2. Tarihsel arka plan……………………………………..…4

3. Ana bölüm…………………………………………………………….7

4. Penrose üçgeninin imkansızlığının kanıtı......9

5. Sonuçlar……………………………………………………………..…………11

6. Edebiyat……………………………………………….…… 12

Uygunluk: Matematik başlangıçtan günümüze kadar çalışılan bir konudur. mezuniyet sınıfı. Birçok öğrenci bunu zor, ilgi çekici ve gereksiz buluyor. Ancak ders kitabının sayfalarının ötesine bakarsanız, ek literatürü, matematiksel safsataları ve paradoksları okursanız, matematik fikriniz değişecek ve okul matematik dersinde çalışılandan daha fazlasını çalışma arzunuz olacaktır.

Çalışmanın amacı:

imkansız figürlerin varlığının ufukları genişlettiğini, mekansal hayal gücünü geliştirdiğini ve sadece matematikçiler tarafından değil sanatçılar tarafından da kullanıldığını gösteriyor.

Görevler :

1. Bu konuyla ilgili literatürü inceleyin.

2. İmkansız şekilleri düşünün, imkansız bir üçgenin modelini yapın, düzlemde imkansız bir üçgenin olmadığını kanıtlayın.

3. İmkansız bir üçgenin gelişimini yapın.

4. İmkansız üçgenin görsel sanatlarda kullanımına ilişkin örnekleri düşünün.

giriiş

Tarihsel olarak matematik, görsel sanatlarda, özellikle de üç boyutlu bir sahnenin düz bir tuval veya kağıt parçası üzerinde gerçekçi bir şekilde tasvir edilmesini içeren perspektif resimde önemli bir rol oynamıştır. Modern görüşlere göre matematik ve sanat birbirinden çok uzak disiplinler, birincisi analitik, ikincisi duygusal. Matematik çoğu işte belirgin bir rol oynamaz çağdaş sanat ve aslında pek çok sanatçı perspektifi nadiren veya hiç kullanmaz. Ancak matematiğe odaklanan birçok sanatçı var. Görsel sanatların pek çok önemli ismi bu kişilerin önünü açtı.

Aslında kullanımla ilgili herhangi bir kural veya kısıtlama yoktur. Çeşitli konular imkansız şekiller, Möbius şeritleri, distorsiyon veya olağandışı perspektif sistemleri ve fraktallar gibi matematiksel sanatta.

İmkansız rakamların tarihi

İmkansız rakamlar, düzensiz bir kompleks içinde birbirine bağlanan düzenli parçalardan oluşan belirli bir tür matematiksel paradokstur. "İmkansız nesneler" teriminin bir tanımını formüle etmeye çalışsaydık, muhtemelen şuna benzer bir şey olurdu: imkansız bir biçimde bir araya getirilmiş fiziksel olarak mümkün figürler. Ama onlara bakmak, tanımlar yapmak çok daha keyifli.

Mekan kurgusunda hatalarla bin yıl önce bile sanatçılar tarafından karşılaşılmıştı. Ancak 1934'te resim yapan İsveçli sanatçı Oscar Reutersvärd'ın, imkansız nesneleri inşa eden ve analiz eden ilk kişi olduğu kabul ediliyor. dokuz küpten oluşan ilk imkansız üçgen.

Reutersvaerd üçgeni

Reuters'ten bağımsız olarak İngiliz matematikçi ve fizikçi Roger Penrose imkansız üçgeni yeniden keşfeder ve 1958'de bir İngiliz psikoloji dergisinde onun görüntüsünü yayınlar. İllüzyon “yanlış perspektif” kullanıyor. Bazen bu perspektife Çince denir, çünkü çizimin derinliği "belirsiz" olduğunda benzer bir çizim yöntemi Çinli sanatçıların eserlerinde sıklıkla bulunur.

Escher Şelalesi

1961'de İmkansız Penrose üçgeninden ilham alan Hollandalı M. Escher, ünlü taşbaskı “Şelale”yi yaratıyor. Resimdeki su sonsuz bir şekilde akıyor, su çarkından sonra daha da ileri giderek başlangıç noktasına geri dönüyor. Aslında bu bir sürekli hareket makinesinin görüntüsüdür, ancak bu yapıyı gerçekten inşa etmeye yönelik herhangi bir girişim başarısızlığa mahkumdur.

İmkansız rakamların bir başka örneği, Moskova metrosunun alışılmadık bir diyagramını gösteren “Moskova” çiziminde sunulmaktadır. İlk başta görüntüyü bir bütün olarak algılıyoruz, ancak tek tek çizgileri bakışlarımızla takip ettiğimizde onların varlığının imkansızlığına ikna oluyoruz.

« Moskova", grafikler (mürekkep, kalem), 50x70 cm, 2003.

“Üç Salyangoz” çizimi, ikinci ünlü imkansız figür olan imkansız küp (kutu) geleneğini sürdürüyor.

"Üç Salyangoz" İmkansız Küp

Tamamen ciddi olmayan “IQ” (zeka bölümü) çiziminde de çeşitli nesnelerin bir kombinasyonu bulunabilir. İlginçtir ki, bazı insanlar zihinleri düz resimleri üç boyutlu nesnelerle özdeşleştiremediği için imkansız nesneleri algılamazlar.

Donald Simanek, görsel paradoksları anlamanın bu tür bir yaklaşımın ayırt edici özelliklerinden biri olduğunu öne sürdü. yaratıcı potansiyel En iyi matematikçiler, bilim adamları ve sanatçılar tarafından sahip olunan. Paradoksal nesnelerle yapılan pek çok çalışma “entelektüel matematik oyunları” olarak sınıflandırılabilir. Modern bilim dünyanın 7 boyutlu veya 26 boyutlu bir modelinden bahsediyor. Böyle bir dünya ancak matematiksel formüller kullanılarak modellenebilir; insanlar bunu hayal bile edemezler. İmkansız rakamların işe yaradığı yer burasıdır.

Üçüncü popüler imkansız figür ise Penrose'un yarattığı inanılmaz merdivendir. Onun boyunca sürekli olarak yükselecek (saat yönünün tersine) veya alçalacaksınız (saat yönünde). Penrose modeli temeli oluşturdu Ünlü resim M. Escher "Yukarı ve Aşağı" İnanılmaz Penrose Merdiveni

İmkansız üç uçlu mızrak

"Şeytan Çatalı"

Uygulanamayan başka bir nesne grubu daha var. Klasik figür imkansız üç çatallı mızrak veya "şeytanın çatalıdır". Resmi dikkatlice incelerseniz, üç dişin tek bir tabanda yavaş yavaş ikiye dönüştüğünü ve bunun da çatışmaya yol açtığını fark edeceksiniz. Üstteki ve alttaki diş sayısını karşılaştırıyoruz ve nesnenin imkansız olduğu sonucuna varıyoruz. Üç mızrağın üst kısmını elimizle kapatırsak tamamen göreceğiz Gerçek resim- üç yuvarlak diş. Trident'in alt kısmını kapatırsak, gerçek resmi de göreceğiz - iki dikdörtgen diş. Ancak şeklin tamamını bir bütün olarak ele alırsak, üç yuvarlak dişin yavaş yavaş iki dikdörtgen dişe dönüştüğü ortaya çıkıyor.

Böylece ön ve arka kısımların görülebildiği görülmektedir. arka plan bu resim çatışmasının. Yani başlangıçta olan şey ön plan geriye gider ve arka (orta diş) öne çıkar. Ön plan ve arka plandaki değişime ek olarak, bu çizimde başka bir etki daha var - üç çatallı mızrağın üst kısmının düz kenarları altta yuvarlak hale geliyor.

Ana bölüm.

Üçgen- 3 bitişik parçadan oluşan ve bu parçaların kabul edilemez bağlantıları nedeniyle matematiksel olarak imkansız bir yapı yanılsaması yaratan bir şekil. Bu üç kirişli yapıya farklı adlar da verilmektedir. kare Penroseler

Bu yanılsamanın ardındaki grafik prensip, formülasyonunu bir psikolog ve fizikçi olan oğlu Roger'a borçludur. Penruzov meydanı 3 bardan oluşuyor kare kesit, karşılıklı olarak 3 dik yönde bulunur; her biri diğerine dik açılarla bağlanıyor, bunların hepsi üç boyutlu uzaya yerleştirilmiş. Penrose meydanının bu izometrik izdüşümünün nasıl çizileceğine dair basit bir tarif:

· Eşkenar üçgenin köşelerini, kenarlara paralel çizgiler boyunca kesin;

· Kesilmiş üçgenin içindeki kenarlara paralellikler çizin;

· Köşeleri tekrar kesin;

· İçeriye tekrar paralellikler çizin;

· Köşelerden birinde olası iki küpten herhangi birinin bulunduğunu hayal edin;

· L şeklinde bir “şey” ile devam edin;

· Bu tasarımı bir daire şeklinde çalıştırın.

· Farklı bir küp seçseydik kare ters yönde “bükülmüş” olurdu .

İmkansız bir üçgenin gelişimi.

Bükülme çizgisi

Kesim çizgisi

İmkansız bir üçgen oluşturmak için hangi unsurlar kullanılır? Daha doğrusu, bize hangi unsurlardan oluşuyor gibi görünüyor (tam olarak öyle görünüyor!)? Tasarım, iki özdeş dikdörtgen çubuğun dik açılarla bağlanmasıyla elde edilen dikdörtgen bir köşeye dayanmaktadır. Bu tür üç köşeye ve dolayısıyla altı adet çubuk gereklidir. Bu köşelerin kapalı bir zincir oluşturması için görsel olarak birbirine belirli bir şekilde “bağlanması” gerekir. Olan şey imkânsız bir üçgendir.

İlk köşeyi yatay düzleme yerleştirin. Kenarlarından birini yukarı doğru yönlendirerek ona ikinci bir köşe ekleyeceğiz. Son olarak bu ikinci köşeye, kenarı orijinal yatay düzleme paralel olacak şekilde üçüncü bir köşe ekliyoruz. Bu durumda birinci ve üçüncü köşelerin iki kenarı paralel olacak ve farklı yönlere yönlendirilecektir.

Şimdi şekle sabunlu bir şekilde bakmaya çalışalım. farklı noktalar boşluk (veya gerçek bir tel modeli yapın). Bir noktadan, diğerinden, üçüncüden nasıl göründüğünü hayal edin... Gözlem noktası değiştiğinde (ya da - ki bu aynı şeydir - yapı uzayda döndürüldüğünde), iki "uç" gibi görünecek. köşelerimizin kenarları birbirine göre hareket ediyor. Bağlanacakları konumu seçmek zor değil (tabii ki yakın köşe bize uzun olandan daha kalın görünecektir).

Ancak kaburgalar arasındaki mesafe, köşelerden yapımıza baktığımız noktaya olan mesafeden çok daha az olursa, o zaman her iki kaburga da bizim için aynı kalınlığa sahip olacak ve bu iki kaburganın aslında bir devamı olduğu fikri ortaya çıkacaktır. Birbirlerinin.

Bu arada yapının aynadaki görüntüsüne aynı anda bakarsak orada kapalı bir devre görmeyeceğiz.

Ve seçilen gözlem noktasından, gerçekleşen mucizeyi kendi gözlerimizle görüyoruz: Üç köşeden oluşan kapalı bir zincir var. Sadece gözlem noktanızı değiştirmeyin ki, bu yanılsama (aslında bu bir yanılsamadır!) çökmesin. Artık görebileceğiniz bir nesneyi çizebilir veya bulunan noktaya bir kamera merceği yerleştirerek imkansız bir nesnenin fotoğrafını çekebilirsiniz.

Bu olguyla ilk ilgilenenler Penrose'lardı. Üç boyutlu uzayı ve üç boyutlu nesneleri iki boyutlu bir düzleme (yani tasarıma) haritalarken ortaya çıkan olasılıklardan yararlandılar ve tasarımın bazı belirsizliklerine dikkat çektiler - üç köşeli açık bir yapı, üç boyutlu olabilir. kapalı devre olarak algılanıyor.

Daha önce de belirtildiği gibi, telden kolaylıkla basit bir model yapılabilir ve bu, prensipte gözlemlenen etkiyi açıklar. Düz bir tel parçası alın ve onu üç eşit parçaya bölün. Daha sonra dış kısımları orta kısım ile dik açı oluşturacak şekilde bükün ve birbirlerine göre 900 derece döndürün. Şimdi bu figürü çevirin ve tek gözünüzle izleyin. Bir noktada kapalı bir tel parçasından oluşmuş gibi görünecek. Masa lambasını açarak masanın üzerine düşen gölgeyi gözlemleyebilirsiniz, bu gölge aynı zamanda figürün uzayda belli bir noktasında üçgene dönüşmektedir.

Ancak bu tasarım özelliği başka bir durumda da gözlemlenebilir. Telden bir halka yapıp onu farklı yönlere yayarsanız, silindirik bir spiralin bir turunu elde edersiniz. Bu döngü elbette açıktır. Ancak onu bir uçağa yansıttığınızda kapalı bir çizgi elde edebilirsiniz.

Bir düzleme yapılan projeksiyondan, bir çizimden üç boyutlu bir figürün belirsiz bir şekilde yeniden oluşturulduğuna bir kez daha ikna olduk. Yani projeksiyon, "imkansız üçgene" yol açan bir miktar belirsizlik, yetersiz ifade içeriyor.

Ve diyebiliriz ki Penrose'ların "imkansız üçgeni", diğer pek çok optik yanılsama gibi, mantıksal paradokslar ve kelime oyunları.

Penrose üçgeninin imkansızlığının kanıtı

Üç boyutlu nesnelerin bir düzlem üzerindeki iki boyutlu görüntüsünün özelliklerini analiz ederek, bu görüntünün özelliklerinin nasıl imkansız bir üçgene yol açtığını anladık.

İmkansız bir üçgenin var olmadığını kanıtlamak son derece kolaydır çünkü açılarının her biri diktir ve bunların toplamı "konumlandırılmış" 1800 yerine 2700'dür.

Üstelik 900'den küçük açılarla birbirine yapıştırılmış imkansız bir üçgeni düşünsek bile, bu durumda imkansız bir üçgenin var olmadığını kanıtlayabiliriz.

Birkaç parçadan oluşan başka bir üçgeni ele alalım. Oluşturduğu parçalar farklı düzenlenirse, tamamen aynı üçgeni elde edersiniz, ancak küçük bir kusurla. Bir kare eksik olacak. Bu nasıl mümkün olabilir? Yoksa hâlâ bir yanılsama mı?

https://pandia.ru/text/80/021/images/image016_2.jpg" alt="İmkansız üçgen" width="298" height="161">!}

Algı olgusunu kullanma

İmkansızlığın etkisini arttırmanın bir yolu var mı? Bazı nesneler diğerlerinden daha "imkansız" mıdır? İşte özelliklerin kurtarmaya geldiği yer burasıdır. insan algısı. Psikologlar, gözün bir nesneyi (resmi) sol alt köşeden incelemeye başladığını, ardından bakışın sağa, merkeze doğru kaydığını ve resmin sağ alt köşesine düştüğünü bulmuşlardır. Bu gidişat, atalarımızın bir düşmanla karşılaştıklarında önce en tehlikeli sağ ele bakmaları, ardından bakışların sola, yüze ve şekle kaymasından kaynaklanıyor olabilir. Böylece, sanatsal algı büyük ölçüde resmin kompozisyonunun nasıl oluşturulduğuna bağlı olacaktır. Bu özellik, Orta Çağ'da halıların imalatında açıkça ortaya çıkmıştır: tasarımları aynadaki görüntü orijinaldir ve duvar halıları ile orijinallerin yarattığı izlenim farklıdır.

Bu özellik, imkansız nesnelerle yaratımlar oluştururken, "imkansızlık derecesini" artırarak veya azaltarak başarıyla kullanılabilir. Alma ihtimali ilginç kompozisyonlar bilgisayar teknolojisini kullanarak veya döndürülmüş birkaç fotoğraftan (belki kullanarak) çeşitli türler simetriler) biri diğerine göre, izleyicilerde nesne hakkında farklı bir izlenim yaratır ve tasarımın özüne dair daha derin bir anlayış yaratır veya belirli açılarda basit bir mekanizma kullanarak (sürekli veya sarsıntılı olarak) dönen birinden.

Bu yöne çokgen (çokgen) denilebilir. Çizimler birbirine göre döndürülmüş görüntüleri göstermektedir. Kompozisyon şu şekilde oluşturuldu: Kağıt üzerinde mürekkep ve kurşun kalemle yapılan bir çizim tarandı, dijital forma dönüştürüldü ve işlendi. grafik editörü. Bir düzenlilik not edilebilir - döndürülen resmin orijinalinden daha büyük bir "imkansızlık derecesi" vardır. Bu kolayca açıklanabilir: Sanatçı, çalışma sürecinde bilinçaltında "doğru" imajı yaratmaya çalışır.

Çözüm

Çeşitli matematiksel şekil ve kanunların kullanımı yukarıdaki örneklerle sınırlı değildir. Verilen tüm rakamları dikkatlice inceleyerek bu makalede bahsedilmeyen diğer rakamları da bulabilirsiniz. geometrik cisimler veya matematik yasalarının görsel yorumlanması.

Matematiksel güzel sanatlar bugün gelişiyor ve birçok sanatçı Escher'in tarzında ve kendi tarzında resimler yaratıyor. kendi tarzı. Bu sanatçılar heykel, düz ve üç boyutlu yüzeylerde resim, litografi ve bilgisayar grafikleri. Ve matematik sanatının en popüler konuları çokyüzlüler, imkansız şekiller, Möbius şeritleri, çarpık perspektif sistemleri ve fraktallar olmaya devam ediyor.

Sonuçlar:

1. Yani imkansız figürleri düşünmek mekansal hayal gücümüzü geliştirir, düzlemden üç boyutlu uzaya “çıkmamıza” yardımcı olur, bu da stereometri çalışmasına yardımcı olur.

2. İmkansız figürlerin modelleri, bir düzlemdeki projeksiyonların dikkate alınmasına yardımcı olur.

3. Matematiksel safsataların ve paradoksların dikkate alınması matematiğe ilgiyi artırır.

Bu çalışmayı gerçekleştirirken

1. İmkansız figürlerin ilk kez nasıl, ne zaman, nerede ve kim tarafından düşünüldüğünü, bu tür figürlerin çok olduğunu, sanatçıların sürekli bu figürleri tasvir etmeye çalıştıklarını öğrendim.

2. Babamla birlikte imkansız bir üçgenin modelini yaptım, düzleme izdüşümünü inceledim ve bu şeklin paradoksunu gördüm.

3. Bu figürleri tasvir eden sanatçıların reprodüksiyonlarının incelenmesi

4. Sınıf arkadaşlarım araştırmamla ilgilendiler.

Gelecekte edindiğim bilgileri matematik derslerinde kullanacağım ve başka paradoksların olup olmadığı da ilgimi çekti.

EDEBİYAT

1. Aday teknik bilimler D. RAKOV İmkansız rakamların tarihi

2. Rutesward O. İmkansız rakamlar.- M.: Stroyizdat, 1990.

3. V. Alekseev Illusions'ın Web Sitesi · 7 Yorumlar

4. J. Timothy Unrach. – İnanılmaz rakamlar.
(AST Yayınevi LLC, Astrel Yayınevi LLC, 2002, 168 s.)

5. . - Grafik Sanatları.
(Art-Rodnik, 2001)

6. Douglas Hofstadter. – Gödel, Escher, Bach: bu sonsuz çelenk. ( Yayın Evi"Bahrakh-M", 2001)

7. A. Konenko – İmkansız rakamların sırları
(Omsk: Levşa, 199)

Birkaç imkansız figür icat edildi: bir merdiven, bir üçgen ve bir x-prong. Bu rakamlar aslında üç boyutlu bir görüntüde oldukça gerçektir. Ancak bir sanatçı hacmi kağıda yansıttığında nesneler imkansız görünür. “Kabile” olarak da adlandırılan üçgen, çaba sarf edildiğinde imkansızın nasıl mümkün olabileceğinin harika bir örneği haline geldi.

Bütün bu figürler güzel yanılsamalardır. İnsan dehasının başarıları, imp art tarzında resim yapan sanatçılar tarafından kullanılmaktadır.

Hiçbir şey imkansız değildir. Bu Penrose üçgeni hakkında söylenebilir. Bu, elemanları bağlanamayan geometrik olarak imkansız bir rakamdır. Sonuçta imkansız üçgen mümkün oldu. İsveçli ressam Oscar Reutersvärd, 1934'te dünyaya küplerden oluşan imkansız üçgeni tanıttı. O. Reutersvard bu görsel yanılsamanın kaşifi olarak kabul ediliyor. Bu olayın şerefine, bu çizim daha sonra bir İsveç posta pulu üzerine basıldı.

Ve 1958'de matematikçi Roger Penrose, bir İngiliz dergisinde imkansız rakamlarla ilgili bir yayın yayınladı. Yanılsamanın bilimsel modelini yaratan oydu. Roger Penrose inanılmaz bir bilim adamıydı. Görelilik teorisinin yanı sıra büyüleyici kuantum teorisi üzerine de araştırmalar yaptı. S. Hawking ile birlikte Wolf Ödülü'ne layık görüldü.

Sanatçı Maurits Escher'in bu makalenin izlenimi altında muhteşem eserini - taşbaskı "Şelale" yi boyadığı biliniyor. Peki Penrose üçgeni yapmak mümkün mü? Mümkünse nasıl yapılır?

Kabile ve gerçeklik

Figürün imkansız olduğu düşünülse de kendi ellerinizle Penrose üçgeni yapmak armut bombardımanı kadar kolaydır. Kağıttan yapılabilir. Origami severler kabileyi görmezden gelemediler ve yine de daha önce bir bilim adamının hayal gücünün ötesinde görünen bir şeyi yaratmanın ve ellerinde tutmanın bir yolunu buldular.

Ancak üç boyutlu bir cismin üç boyutlu yansımasına baktığımızda kendi gözümüze aldanırız. Dikey çizgiler. Gözlemci bir üçgen gördüğünü sanıyor ama gerçekte öyle değil.

Geometri el sanatları

Kabile üçgeni, belirtildiği gibi aslında bir üçgen değildir. Penrose üçgeni bir yanılsamadır. Bir nesne yalnızca belirli bir açıda eşkenar üçgene benzer. Ancak doğal haliyle nesne bir küpün 3 yüzüdür. Böyle bir izometrik projeksiyonda düzlemde 2 açı çakışır: izleyiciye en yakın olan ve en uzak olan.

Tabii ki optik illüzyon, bu nesneyi elinize aldığınız anda hızla kendini gösteriyor. Gölge aynı zamanda yanılsamayı da ortaya çıkarır, çünkü kabilenin gölgesi açıların gerçekte çakışmadığını açıkça gösterir.

Kabile kağıttan yapılmış. Şema

Kağıttan kendi ellerinizle Penrose üçgeni nasıl yapılır? Bu modelin şeması var mı? Bugün böyle imkansız bir üçgeni katlamak için 2 düzen icat edildi. Temel geometri size bir nesneyi tam olarak nasıl katlayacağınızı anlatır.

Penrose üçgenini kendi ellerinizle katlamak için sadece 10-20 dakika ayırmanız gerekecek. Birkaç kesim için tutkal, makas ve diyagramın basıldığı kağıdı hazırlamanız gerekir.

Böyle bir boşluktan en popüler imkansız üçgen elde edilir. Origami zanaatını yapmak çok zor değil. Bu nedenle geometriye yeni başlayan bir okul çocuğu için bile ilk seferde kesinlikle işe yarayacaktır.

Gördüğünüz gibi çok güzel bir zanaat ortaya çıkıyor. İkinci parça farklı görünüyor ve farklı şekilde katlanıyor, ancak Penrose üçgeninin kendisi aynı görünüyor.

Kağıttan Penrose üçgeni oluşturma adımları.

Size uygun 2 boşluktan birini seçin, dosyayı kopyalayın ve yazdırın. Burada biraz daha basit olan ikinci yerleşim modelinin örneğini veriyoruz.

"Tribar" origami boşluğunun kendisi zaten gerekli tüm ipuçlarını içeriyor. Aslında devrenin talimatlarına gerek yoktur. Sadece kalın bir kağıt ortamına indirmek yeterlidir, aksi takdirde çalışması sakıncalı olacak ve şekil çalışmayacaktır. Hemen kartona yazdıramıyorsanız, taslağı yeni malzemeye yapıştırmanız ve çizimi kontur boyunca kesmeniz gerekir. Kolaylık sağlamak için ataçlarla sabitleyebilirsiniz.

Sonra ne yapacağız? Penrose üçgenini kendi ellerinizle adım adım nasıl katlayabilirsiniz? Bu eylem planını takip etmeniz gerekiyor:

Haydi yönlendirelim ters taraf Talimatlara göre bükmeniz gereken çizgileri makasla kesin. Tüm çizgileri bük
Gereken yerlerde kesim yapıyoruz.
PVA kullanarak parçayı bir arada tutmayı amaçlayan artıkları tek bir bütün halinde yapıştırıyoruz.

Bitmiş model herhangi bir renkte yeniden boyanabilir veya iş için önceden renkli karton alabilirsiniz. Ancak nesne beyaz kağıttan yapılmış olsa bile, oturma odanıza ilk kez giren herkesin böyle bir zanaattan kesinlikle cesareti kırılacaktır.

Üçgen çizimi

Penrose üçgeni nasıl çizilir? Herkes origami yapmaktan hoşlanmaz ama birçok insan çizmeyi sever.

Başlamak için herhangi bir boyutta normal bir kare çizin. Daha sonra içine tabanı karenin alt tarafı olan bir üçgen çizilir. Her köşeye, tüm kenarları silinmiş küçük bir dikdörtgen yerleştirilir; Yalnızca üçgene bitişik olan kenarlar kalır. Çizgilerin düz olmasını sağlamak için bu gereklidir. Sonuç, köşeleri kesik bir üçgendir.

Bir sonraki aşama ikinci boyutun görüntüsüdür. Üst alt köşenin sol tarafından kesinlikle düz bir çizgi çizilir. Aynı çizgi sol alt köşeden başlayarak çizilir ve 2. boyutun ilk satırına biraz getirilmez. Ana figürün sağ köşesinden alt kenarına paralel bir çizgi daha çizilir.

Son aşama, üç küçük çizgi daha kullanarak üçüncüyü ikinci boyutun içine çizmektir. Küçük çizgiler ikinci boyutun çizgilerinden başlar ve üç boyutlu bir hacmin görüntüsünü tamamlar.

Diğer Penrose figürleri

Aynı benzetmeyi kullanarak başka şekiller de çizebilirsiniz - kare veya altıgen. İllüzyon korunacaktır. Ancak yine de bu rakamlar artık o kadar şaşırtıcı değil. Bu tür çokgenler çok bükülmüş gibi görünüyor. Modern grafikler, ünlü üçgenin daha ilginç versiyonlarını oluşturmayı mümkün kılıyor.

Üçgenin yanı sıra Penrose Merdiveni de dünyaca ünlüdür. Buradaki fikir, gözü kandırarak, bir kişinin saat yönünde hareket ederken sürekli olarak yukarıya doğru, saat yönünün tersine hareket ederken ise aşağıya doğru yükseliyormuş gibi görünmesini sağlamaktır.

Sürekli merdiven en çok M. Escher'in "Yükseliş ve Alçalma" tablosuyla olan ilişkisiyle tanınır. Bir kişinin bu hayali merdivenin 4 katını da yürüdüğünde, her zaman başladığı yere geri dönmesi ilginçtir.

İmkansız blok gibi insan aklını yanıltan bilinen başka nesneler de vardır. Veya kenarları kesişen, aynı yanılsama yasalarına göre yapılmış bir kutu. Ancak tüm bu nesneler, dikkate değer bir bilim adamı olan Roger Penrose'un bir makalesine dayanarak zaten icat edildi.

Perth'te imkansız üçgen

Matematikçinin adını taşıyan figür onurlandırıldı. Onun adına bir anıt dikildi. 1999 yılında Avustralya'nın şehirlerinden birinde (Perth), 13 metre yüksekliğinde alüminyumdan yapılmış büyük bir Penrose üçgeni kuruldu. Turistler alüminyum devinin yanında fotoğraf çektirmenin keyfini yaşıyor. Ancak fotoğraf için farklı bir açı seçerseniz aldatmaca açıkça ortaya çıkar.

Penrose üçgeni- analardan biri imkansız rakamlar, Ayrıca şöyle bilinir imkansız üçgen Ve kabile.

Penrose üçgeni (renkli)

Hikaye

Bu rakam, hakkında bir makalenin yayınlanmasından sonra geniş bir popülerlik kazandı. imkansız rakamlarİngiliz bir matematikçi tarafından British Journal of Psychology'de Roger Penrose V 1958. Ayrıca bu makalede imkansız üçgen en genel haliyle tasvir edilmiştir. üç şekli kirişler birbirine dik açılarla bağlanır. Bu makaleden etkilenen Hollandalı sanatçı Maurits Escherünlülerinden birini yarattı taşbaskılar « Şelale ».

Penrose üçgeninin 3 boyutlu baskısı

Heykeller

Alüminyumdan yapılmış 13 metrelik imkansız üçgen heykeli dikildi 1999şehirde Perth (Avustralya)

Bakış açısını değiştirirken aynı heykel

Diğer rakamlar

Her ne kadar Penrose üçgeninin analoglarını temel alarak oluşturmak oldukça mümkün olsa da düzenli çokgenler onlardan gelen görsel efekt o kadar etkileyici değil. Kenar sayısı arttıkça nesne sadece bükülmüş veya bükülmüş gibi görünür.

Ayrıca bakınız

Üç tavşan ( İngilizce Üç tavşan )

İllüzyonizm (felsefe)

İllüzyonizm - geniş anlamda, belirli fenomenlerle ilgili felsefi bir duruşun adıdır; bu tür olguları ele almanın yolu için; dar anlamda, birkaç spesifik felsefi teorinin adıdır.

Kafe duvarı yanılsaması

Kafe duvarı yanılsaması, farklı düzeydeki sinir mekanizmalarının (retina nöronları ve görsel korteks nöronları) birleşik eylemiyle yaratılan optik bir yanılsamadır.

İmkansız rakam

İmkansız bir figür, optik yanılsama türlerinden biridir; ilk bakışta sıradan bir üç boyutlu nesnenin izdüşümü gibi görünen bir figür, dikkatle incelendiğinde, figürün unsurları arasındaki çelişkili bağlantılar görünür hale gelir. Üç boyutlu uzayda böyle bir figürün varlığının imkansızlığına dair bir yanılsama yaratılıyor.

İmkansız küp

İmkansız Küp, Escher'in Belvedere litografisi için icat ettiği imkansız bir figürdür. Bu, gerçek bir küple uyumsuz olan üç boyutlu bir küpün perspektifine yüzeysel olarak benzeyen iki boyutlu bir figürdür. Belvedere litografisinde binanın dibinde oturan bir çocuk elinde imkansız bir küp tutuyor. Benzer bir Necker küpünün çizimi ayaklarının dibinde dururken, binanın kendisi de imkansız bir küpün aynı özelliklerini içeriyor.

İmkansız küp, kenarların çizgi parçaları olarak çizildiği ve iki farklı üç boyutlu yönelimden birinde yorumlanabilen Necker küpünün belirsizliğini ödünç alıyor.

İmkansız küp genellikle kenarların (bölümlerin) görünüşte katı çubuklarla değiştirildiği bir Necker küpü olarak çizilir.

Escher litografisinde çubukların üstteki dört bağlantısı ve çubukların üstteki kesişimi Necker küpünün iki yorumundan birine karşılık gelirken alttaki dört bağlantı ve alt kesişim diğer yoruma karşılık gelir. İmkansız küpün diğer çeşitleri bu özellikleri başka şekillerde birleştirir. Örneğin şekildeki küplerden biri, Necker küpünün bir yorumuna göre sekiz bağlantının tamamını içerir ve her iki kesişim de başka bir yoruma karşılık gelir.

Çubukların belirgin sağlamlığı, imkansız küpün, imkansız bir nesne olarak algılanma olasılığı daha düşük olan Necker küpüne göre daha fazla görsel belirsizlik sağlar. Yanılsama, insan gözünün iki boyutlu bir çizimi üç boyutlu bir nesne olarak yorumlamasıyla oynuyor. Üç boyutlu nesneler, belirli bir açıdan bakıldığında ve nesneyi doğru yerden keserek veya farklı bir perspektif kullanarak bakıldığında imkansız görünebilir, ancak dikdörtgen nesnelerle ilgili insan deneyimi, gerçeklikteki yanılsamalardan daha imkansız algıları mümkün kılar.

Jos De Mey'in de aralarında bulunduğu diğer sanatçılar da imkansız küple eserler çizdiler.

İmkansız olduğu varsayılan küpün uydurma bir fotoğrafı, Scientific American'ın Haziran 1966 sayısında "Frimish Kafesi" olarak adlandırıldı. İmkansız küp bir Avusturya posta pulunda yer alıyordu.

İmkansız üç uçlu mızrak

Poyut veya şeytanın dirgeni olarak da bilinen Blivet, açıklanması mümkün olmayan bir figürdür. Optik yanılsama ve imkansız bir rakam. Görünüşe göre üç silindirik çubuk iki çubuğa dönüşüyor.

Ruthersward, Oscar

Oscar Rutersvärd (Rus dili edebiyatında soyadının olağan yazımı; daha doğrusu Reutersvärd), İsveçli. Oscar Reutersvärd (29 Kasım 1915, Stockholm, İsveç - 2 Şubat 2002, Lund) - "imkansız figürün babası", imkansız figürlerin, yani tasvir edilebileceklerin tasvirinde uzmanlaşmış İsveçli bir sanatçı (verilen) kağıt üzerinde 3 boyutlu uzayı temsil ederken kaçınılmaz perspektif ihlalleri), ancak yaratılamaz. Rakamlarından biri alındı Daha fazla gelişme"Penrose üçgeni" (1934) olarak. Ruthersvard'ın çalışması Escher'in çalışmasıyla karşılaştırılabilir, ancak ikincisi fantastik dünyaları tasvir etmek için imkansız figürleri "iskeletler" olarak kullanmışsa, o zaman Ruthersvard yalnızca bu tür figürlerle ilgileniyordu. Ruthersvard hayatı boyunca izometrik projeksiyonda yaklaşık 2.500 figürü tasvir etti. Ruthersvard'ın kitapları Rusça dahil birçok dilde yayınlandı.

Escher, Maurits Cornelis

Maurits Cornelis Escher (Hollandaca: Maurits Cornelis Escher [ˈmʌu̯rɪts kɔrˈneːlɪs ˈɛʃər̥]; 17 Haziran 1898, Leeuwarden, Hollanda - 27 Mart 1972, Hilversum, Hollanda) - Hollandalı bir grafik sanatçısı. Öncelikle sonsuzluk ve simetri kavramlarının plastik yönlerini ve karmaşık üç boyutlu nesnelerin psikolojik algısının özelliklerini ustaca araştırdığı kavramsal litografları, ahşap ve metal gravürleriyle tanınır. parlak temsilci sanat eseri.