X y розв'язання системи рівнянь. Системи лінійних рівнянь

Системи рівнянь набули широкого застосування в економічній галузі при математичному моделюванні різних процесів. Наприклад, при вирішенні завдань управління та планування виробництва, логістичних маршрутів ( транспортне завдання) або розміщення обладнання.

Системи рівняння використовуються у галузі математики, а й фізики, хімії та біології, під час вирішення завдань з знаходження чисельності популяції.

Системою лінійних рівнянь називають два і більше рівняння з кількома змінними, котрим необхідно знайти загальне рішення. Таку послідовність чисел, коли всі рівняння стануть вірними рівностями чи довести, що послідовності немає.

Лінійне рівняння

Рівняння виду ax+by=c називають лінійними. Позначення x, y – це невідомі, значення яких треба знайти, b, a – коефіцієнти при змінних, c – вільний член рівняння.
Рішення рівняння шляхом побудови його графіка матиме вигляд прямої, всі точки якої є рішенням багаточлена.

Види систем лінійних рівнянь

Найбільш простими вважаються приклади систем лінійних рівнянь із двома змінними X та Y.

F1(x, y) = 0 і F2(x, y) = 0, де F1,2 – функції, а (x, y) – змінні функцій.

Розв'язати систему рівнянь - це означає знайти такі значення (x, y), у яких система перетворюється на правильну рівність чи встановити, що відповідних значень x і y немає.

Пара значень (x, y), записана як координат точки, називається рішенням системи лінійних рівнянь.

Якщо системи мають одне загальне рішення чи рішення немає їх називають рівносильними.

Однорідними системами лінійних рівнянь є системи права частина яких дорівнює нулю. Якщо права після знака " рівність " частина має значення чи виражена функцією, така система неоднорідна.

Кількість змінних може бути набагато більше двох, тоді слід говорити про приклад системи лінійних рівнянь із трьома змінними або більше.

Зіткнувшись із системами школярі припускають, що кількість рівнянь обов'язково має збігатися з кількістю невідомих, але це не так. Кількість рівнянь у системі залежить від змінних, їх може бути скільки завгодно багато.

Прості та складні методи вирішення систем рівнянь

Немає загального аналітичного способу вирішення подібних систем, всі методи засновані на чисельних рішеннях. У шкільному курсі математики докладно описані такі методи як перестановка, складення алгебри, підстановка, а так само графічний і матричний спосіб, рішення методом Гауса.

Основне завдання під час навчання способам рішення - це навчити правильно аналізувати систему та знаходити оптимальний алгоритм рішення кожному за прикладу. Головне не визубрити систему правил та дій для кожного способу, а зрозуміти принципи застосування того чи іншого методу

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь 7 класу програми загальноосвітньої школиДосить просте і пояснено дуже докладно. У будь-якому підручнику математики цьому розділу приділяється достатньо уваги. Рішення прикладів систем лінійних рівнянь методом Гаусса і Крамера докладніше вивчають перших курсах вищих навчальних закладів.

Рішення систем методом підстановки

Дії методу підстановки спрямовані вираз значення однієї змінної через другу. Вираз підставляється в рівняння, що залишилося, потім його приводять до вигляду з однією змінною. Дія повторюється в залежності від кількості невідомих у системі

Наведемо рішення прикладу системи лінійних рівнянь 7 класу методом підстановки:

Як видно з прикладу, змінна x була виражена через F(X) = 7 + Y. Отриманий вираз, підставлений у 2-е рівняння системи на місце X, допоміг отримати одну змінну Y у 2-му рівнянні. Рішення даного прикладуне викликає труднощів і дозволяє отримати значення Y. Останній крокце перевірка набутих значень.

Вирішити приклад системи лінійних рівнянь підстановкою не завжди можливо. Рівняння можуть бути складними і вираз змінної через другу невідому виявиться надто громіздким для подальших обчислень. Коли невідомих у системі більше трьох рішень підстановкою також недоцільно.

Розв'язання прикладу системи лінійних неоднорідних рівнянь:

Рішення за допомогою алгебраїчної складання

При пошуку рішенні систем методом додавання виробляють почленное додавання і множення рівнянь на різні числа. Кінцевою метою математичних процесів є рівняння з однією змінною.

Для застосування даного методунеобхідна практика та спостережливість. Вирішити систему лінійних рівнянь шляхом додавання при кількості змінних 3 і більше складно. Алгебраїчне додавання зручно застосовувати коли в рівняннях присутні дроби та десяткові числа.

Алгоритм дій рішення:

1. Помножити обидві частини рівняння деяке число. В результаті арифметичної дії один із коефіцієнтів при змінній повинен стати рівним 1.
2. Почленно скласти отриманий вираз і знайти один із невідомих.
3. Підставити отримане значення у 2-е рівняння системи для пошуку змінної, що залишилася.

Спосіб вирішення запровадженням нової змінної

Нову змінну можна вводити, якщо в системі потрібно знайти рішення не більше ніж для двох рівнянь, кількість невідомих теж має бути не більшою за два.

Спосіб використовується, щоб спростити одне із рівнянь, введенням нової змінної. Нове рівняння вирішується щодо введеної невідомої, а отримане значення використовується визначення початкової змінної.

З прикладу видно, що ввівши нову змінну t вдалося звести 1 рівняння системи до стандартного квадратного тричлену. Вирішити многочлен можна знайшовши дискримінант.

Необхідно знайти значення дискримінанта за відомою формулою: D = b2 - 4*a*c, де D - дискримінант, що шукається, b, a, c - множники многочлена. У заданому прикладі a=1, b=16, c=39, отже, D=100. Якщо дискримінант більший за нуль, то рішень два: t = -b±√D / 2*a, якщо дискримінант менший за нуль, то рішення одне: x= -b / 2*a.

Рішення для отриманих у результаті системи знаходять шляхом складання.

Наочний метод вирішення систем

Підходить для систем з трьома рівняннями. Метод полягає у побудові на координатній осі графіків кожного рівняння, що входить до системи. Координати точок перетину кривих і будуть загальним рішенням системи.

Графічний метод має низку аспектів. Розглянемо кілька прикладів розв'язання систем лінійних рівнянь наочним способом.

Як видно з прикладу, для кожної прямої було побудовано дві точки, значення змінної x були обрані довільно: 0 і 3. Виходячи із значень x, знайдені значення для y: 3 і 0. Точки з координатами (0, 3) та (3, 0) були відзначені на графіку та з'єднані лінією.

Події необхідно повторити для другого рівняння. Точка перетину прямих є розв'язком системи.

У наступному прикладі потрібно знайти графічне рішення системи лінійних рівнянь: 0,5x-y+2=0 та 0,5x-y-1=0.

Як видно з прикладу, система не має рішення, тому що графіки паралельні і не перетинаються по всьому своєму протязі.

Системи з прикладів 2 і 3 схожі, але при побудові стає очевидним, що їх рішення різні. Слід пам'ятати, що не завжди можна сказати, чи має система рішення чи ні, завжди необхідно побудувати графік.

Матриця та її різновиди

Матриці використовуються для короткого записусистеми лінійних рівнянь Матрицею називають таблицю спеціального виду, заповнену числами. n*m має n - рядків та m - стовпців.

Матриця є квадратною, коли кількість стовпців і рядків дорівнює між собою. Матрицею - вектором називається матриця з одного стовпця з нескінченно можливою кількістю рядків. Матриця з одиницями по одній із діагоналей та іншими нульовими елементами називається одиничною.

Зворотна матриця - це така матриця при множенні на яку вихідна перетворюється на одиничну, така матриця існує тільки для вихідної квадратної.

Правила перетворення системи рівнянь на матрицю

Стосовно систем рівнянь як чисел матриці записують коефіцієнти і вільні члени рівнянь, одне рівняння - один рядок матриці.

Рядок матриці називається ненульовим, якщо хоча б один елемент рядка не дорівнює нулю. Тому якщо в якомусь із рівнянь кількість змінних відрізняється, то необхідно на місці відсутньої невідомої вписати нуль.

Стовпці матриці повинні суворо відповідати змінним. Це означає, що коефіцієнти змінної x можуть бути записані тільки в один стовпець, наприклад перший, коефіцієнт невідомої y - тільки в другий.

При множенні матриці всі елементи матриці послідовно множаться число.

Варіанти знаходження зворотної матриці

Формула знаходження зворотної матриці досить проста: K -1 = 1 / | K |, де K -1 - Зворотна матриця, а | K | - Визначник матриці. |K| не повинен дорівнювати нулю, тоді система має рішення.

Визначник легко обчислюється для матриці два на два, необхідно лише помножити один на одного елементи по діагоналі. Для варіанта "три на три" існує формула | K | b 2 c 1 . Можна скористатися формулою, а можна запам'ятати що необхідно взяти по одному елементу з кожного рядка та кожного стовпця так, щоб у творі не повторювалися номери стовпців та рядків елементів.

Розв'язання прикладів систем лінійних рівнянь матричним методом

Матричний спосіб пошуку рішення дозволяє скоротити громіздкі записи під час вирішення систем із великою кількістю змінних і рівнянь.

У прикладі a nm – коефіцієнти рівнянь, матриця – вектор x n – змінні, а b n – вільні члени.

Рішення систем методом Гауса

У вищій математиці метод Гаусса вивчають разом із методом Крамера, а процес пошуку рішення систем і називається метод рішення Гаусса - Крамера. Дані способи використовують при знаходженні змінних системз великою кількістю лінійних рівнянь.

Метод Гауса дуже схожий на рішення за допомогою підстановок та алгебраїчної складання, але більш систематичний. У шкільному курсі рішення способом Гаусса застосовується для систем із 3 та 4 рівнянь. Мета методу полягає у приведенні системи до виду перевернутої трапеції. Шляхом перетворень алгебри і підстановок знаходиться значення однієї змінної в одному з рівнянні системи. Друге рівняння є виразом з двома невідомими, а 3 і 4 - відповідно з трьома і чотирма змінними.

Після приведення системи до описаного виду, подальше рішення зводиться до послідовної підстановки відомих змінних рівняння системи.

У шкільних підручникахдля 7 класу приклад рішення методом Гауса описаний таким чином:

Як видно з прикладу, на кроці (3) було отримано два рівняння 3x3 -2x4 = 11 і 3x3 +2x4 =7. Рішення будь-якого рівняння дозволить дізнатися одну зі змінних x n .

Теорема 5, про яку згадується в тексті, свідчить, що якщо одне з рівнянь системи замінити рівносильним, то отримана система буде також рівносильна вихідній.

Метод Гауса важкий для сприйняття учнів середньої школи, але є одним з найбільш цікавих способівдля розвитку кмітливості дітей, які навчаються за програмою поглибленого вивчення у математичних та фізичних класах.

Для простоти запису обчислень прийнято робити так:

Коефіцієнти рівнянь та вільні члени записуються у вигляді матриці, де кожен рядок матриці співвідноситься з одним із рівнянь системи. відокремлює ліву частину рівняння від правої. Римськими цифрами позначаються номери рівнянь у системі.

Спочатку записують матрицю, з якою належить працювати, потім усі дії, що проводяться з одного з рядків. Отриману матрицю записують після знака "стрілка" і продовжують виконувати необхідні дії алгебри до досягнення результату.

У результаті повинна вийти матриця в якій по одній з діагоналей стоять 1, а всі інші коефіцієнти дорівнюють нулю, тобто матрицю призводять до поодинокого вигляду. Не можна забувати робити обчислення з цифрами обох частин рівняння.

Цей спосіб запису менш громіздкий і дозволяє не відволікатися на перелік численних невідомих.

Вільне застосування будь-якого способу вирішення потребує уважності та певного досвіду. Не всі методи мають прикладний характер. Якісь способи пошуку рішень більш переважні в тій іншій галузі діяльності людей, інші існують з метою навчання.

1. Метод підстановки: з будь-якого рівняння системи виражаємо одне невідоме через інше і підставляємо друге рівняння системи.

Завдання.Розв'язати систему рівнянь:

Рішення.З першого рівняння системи виражаємо учерез хта підставляємо у друге рівняння системи. Отримаємо систему рівносильну вихідній.

Після приведення подібних членів система набуде вигляду:

З другого рівняння знаходимо: . Підставивши це значення рівняння у = 2 - 2х, отримаємо у= 3. Отже, розв'язком цієї системи є пара чисел .

2. Метод алгебраїчної складання: шляхом складання двох рівнянь отримати рівняння з однією змінною

Завдання.Розв'язати систему рівняння:

Рішення.Помноживши обидві частини другого рівняння на 2, отримаємо систему рівносильну вихідній. Склавши два рівняння цієї системи, прийдемо до системи

Після приведення подібних членів дана система набуде вигляду: З другого рівняння знаходимо. Підставивши це значення рівняння 3 х + 4у= 5, отримаємо звідки. Отже, рішенням цієї системи є пара чисел .

3. Метод запровадження нових змінних: шукаємо в системі деякі вирази, що повторюються, які позначимо новими змінними, тим самим спрощуючи вид системи.

Завдання.Розв'язати систему рівнянь:

Рішення.Запишемо цю систему інакше:

Нехай х + у = u, ху = v.Тоді отримаємо систему

Вирішимо її методом підстановки. З першого рівняння системи висловимо uчерез vі підставимо на друге рівняння системи. Отримаємо систему тобто.

З другого рівняння системи знаходимо v 1 = 2, v 2 = 3.

Підставивши ці значення до рівняння u = 5 - v, отримаємо u 1 = 3,
u 2 = 2. Тоді маємо дві системи

Вирішуючи першу систему, отримаємо дві пари чисел (1; 2), (2; 1). Друга система рішень немає.

Вправи для самостійної роботи

1. Вирішити системи рівнянь шляхом підстановки.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Інструкція

Спосіб складання.
Потрібно записати два строго один під одним:

549+45у+4у=-7, 45у+4у=549-7, 49у=542, у=542:49, у≈11.
У довільно обране (із системи) рівняння вставити замість вже знайденого «гравця» число 11 та обчислити друге невідоме:

Х = 61 +5 * 11, х = 61 +55, х = 116.
Відповідь цієї системи рівнянь: х=116, у=11.

Графічний метод.
Полягає у практичному знаходженні координати точки, у якій прямі, математично записані у системі рівнянь. Слід накреслити графіки обох прямих окремо в одній системі координат. Загальний вигляд: - у = kх + b. Щоб побудувати пряму, достатньо знайти координати двох точок, причому х вибирається довільно.
Нехай дана система: 2х - у = 4

У = -3х +1.
Будується пряма по першому, для зручності його потрібно записати: у = 2х-4. Придумати (легше) значення для ікс, підставляючи його на рівняння, вирішивши його, знайти гравець. Виходять дві точки, якими будується пряма. (Див рис.)
х 0 1

у -4 -2
Будується пряма за другим рівнянням: у = -3х +1.
Так само збудувати пряму. (Див рис.)

у 1 -5
Знайти координати точки перетину двох побудованих прямих графіку (якщо прямі не перетинаються, то система рівнянь немає – так ).

Відео на тему

Корисна порада

Якщо ту саму систему рівнянь вирішити трьома різними способами, відповідь вийде однаковий (якщо рішення правильне).

Джерела:

• Алгебра 8 класу
• вирішити рівняння з двома невідомими онлайн
• Приклади розв'язання систем лінійних рівнянь із двома

Система рівняньє сукупність математичних записів, кожна з яких містить кілька змінних. Існує кілька способів їх вирішення.

Вам знадобиться

• -Лінійка та олівець;
• -Калькулятор.

Інструкція

Розглянемо послідовність розв'язання системи, що складається з лінійних рівнянь, що мають вигляд: a1x + b1y = c1 та a2x + b2y = c2. Де x та y – невідомі змінні, а b,c – вільні члени. При застосуванні даного способу кожна система являє собою координати точок , що відповідають кожному рівнянню. Для початку в кожному випадку висловіть одну змінну через іншу. Потім задайте змінною х кілька будь-яких значень. Достатньо два. Підставте в рівняння та знайдіть y. Побудуйте систему координат, позначте на ній отримані точки та проведіть через них пряму. Аналогічні розрахунки необхідно провести й інших частин системи.

Система має єдине рішенняякщо побудовані прямі перетинаються і одну загальну точку. Вона несумісна, якщо паралельні одна одній. І має безліч рішень, коли прямі зливаються один з одним.

Цей спосіб вважається дуже наочним. Головним недоліком є ​​те, що обчислені невідомі мають наближені значення. Точніший результат дають звані алгебраїчні методи.

Будь-яке рішення системи рівнянь варто перевірити. Для цього підставте замість змінних отримані значення. Також можна знайти його рішення кількома методами. Якщо рішення системи правильне, всі повинні вийти однаковими.

Часто зустрічаються рівняння, у яких одне із доданків невідомо. Щоб вирішити рівняння, потрібно запам'ятати і зробити з цими числами певний набір дій.

Вам знадобиться

• - аркуш паперу;
• - Ручка або олівець.

Інструкція

Уявіть, що перед вами 8 кроликів, а у вас є лише 5 морквин. Подумайте, моркву вам потрібно ще купити, щоб кожному кролику дісталося по моркві.

Подамо це завдання у вигляді рівняння: 5 + x = 8. Підставимо на місце x число 3. Дійсно, 5 + 3 = 8.

Коли ви підставляли число на місце x, ви проробляли ту ж операцію, що і при відніманні 5 з 8. Таким чином, щоб знайти невідомедоданок, відніміть із суми відомий доданок.

Припустимо, у вас 20 кроликів і лише 5 морквин. Складемо. Рівняння – це рівність, яке виконується лише за деяких значеннях літер, що входять до нього. Літери, значення яких потрібно знайти, називаються . Складіть рівняння з одним невідомим, назвіть x. При розв'язанні нашої задачі для кролів виходить наступне рівняння: 5 + x = 20.

Знайдемо різницю між 20 і 5. При відніманні те число, з якого віднімають, що зменшується. Те число, яке віднімають, називається , а кінцевий результат називається різницею. Отже, x = 20 - 5; x = 15. Потрібно купити 15 морквин для кроликів.

Перевірте: 5 + 15 = 20. Рівняння вирішено правильно. Зрозуміло, коли мова йдепро таких простих перевірку виконувати необов'язково. Однак коли доводиться рівняння з тризначними, чотиризначними тощо, обов'язково потрібно виконувати перевірку, щоб бути абсолютно впевненим у результаті своєї роботи.

Відео на тему

Корисна порада

Щоб знайти невідоме зменшуване, треба до різниці додати віднімання.

Щоб знайти невідоме віднімання, треба від зменшуваного відібрати різницю.

Порада 4: Як вирішити систему з трьох рівнянь із трьома невідомими

Система із трьох рівнянь із трьома невідомими може й мати рішень, попри достатню кількість рівнянь. Можна намагатися вирішити її за допомогою методу підстановки або методу Крамера. Метод Крамера крім розв'язання системи дозволяє оцінити, чи є система розв'язаною, як знайти значення невідомих.

Інструкція

Метод підстановки полягає в послідовному одному невідомому через два інших і підстановці отриманого результату рівняння системи. Нехай дана система з трьох рівнянь у загальному вигляді:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

Виразіть з першого рівняння x: x = (d1 - b1y - c1z)/a1 - і підставте в друге і третє рівняння, потім другого рівняння виразіть y і підставте в третє. Ви отримаєте лінійний вираз для z через коефіцієнти рівнянь системи. Тепер йдіть "назад": підставте z у друге рівняння і знайдіть y, а потім z та y підставте в перше і знайдіть x. Процес у загальному вигляді відображений малюнку до знаходження z. Далі запис у загальному вигляді буде надто громіздким, на практиці, підставивши ви досить легко знайдете всі три невідомі.

Метод Крамера полягає у складанні матриці системи та обчисленні визначника цієї матриці, а також ще трьох допоміжних матриць. Матриця системи складається з коефіцієнтів за невідомих членів рівнянь. Стовпець, що містить числа, що стоять у правих частинах рівнянь, стовпцем правих частин. У системі він не використовується, але використовується під час вирішення системи.

Відео на тему

Зверніть увагу

Усі рівняння у системі мають постачати додаткову незалежну від інших рівнянь інформацію. Інакше система буде недовизначена і однозначного рішення знайти буде неможливо.

Корисна порада

Після розв'язання системи рівнянь підставте знайдені значення у вихідну систему та перевірте, що вони задовольняють усі рівняння.

Само по собі рівнянняз трьома невідомимимає безліч рішень, тому найчастіше воно доповнюється ще двома рівняннями чи умовами. Залежно від цього, які вихідні дані, багато в чому залежатиме хід рішення.

Вам знадобиться

• - система з трьох рівнянь із трьома невідомими.

Інструкція

Якщо дві з трьох системи мають лише дві невідомі з трьох, спробуйте висловити одні змінні через інші та підставити їх у рівнянняз трьома невідомими. Ваша мета при цьому – перетворити його на звичайне рівнянняз невідомою. Якщо це, подальше рішення досить просто - підставте знайдене значення в інші рівняння і знайдіть решту невідомих.

Деякі системи рівнянь можна віднімати з одного рівняння іншого. Подивіться, чи немає можливості помножити одне з або змінну так, щоб скоротилися відразу дві невідомі. Якщо така можливість є, скористайтеся нею, швидше за все, наступне рішення не складе труднощів. Не забувайте, що при множенні на число необхідно множити як ліву, так і праву. Так само при відніманні рівнянь необхідно пам'ятати про те, що права частина повинна також відніматися.

Якщо попередні способине допомогли, скористайтеся загальним способом вирішення будь-яких рівнянь з трьома невідомими. Для цього перепишіть рівняння у вигляді а11х1+a12х2+а13х3=b1, а21х1+а22х2+а23х3=b2, а31х1+а32х2+а33х3=b3. Тепер складіть матрицю коефіцієнтів при х (А), матрицю невідомих (Х) та матрицю вільних (В). Зверніть увагу, множачи матрицю коефіцієнтів на матрицю невідомих, ви отримаєте матрицю, матриці вільних членів, тобто А * Х = В.

Знайдіть матрицю А в ступені (-1) попередньо відшукавши , зверніть увагу, він не повинен дорівнювати нулю. Після цього помножте отриману матрицю на матрицю, в результаті ви отримаєте шукану матрицю Х, із зазначенням всіх значень.

Знайти рішення системи із трьох рівнянь можна також за допомогою методу Крамера. Для цього знайдіть визначник третього порядку ∆, який відповідає матриці системи. Потім послідовно знайдіть ще три визначники ∆1, ∆2 та ∆3, підставляючи замість значень відповідних стовпців значення вільних членів. Тепер знайдіть х: х1=∆1/∆, х2=∆2/∆, х3=∆3/∆.

Джерела:

• рішень рівнянь із трьома невідомими

Починаючи вирішення системи рівнянь, розберіться з тим, які це рівняння. Досить добре вивчені способи розв'язання лінійних рівнянь. Нелінійні рівняння найчастіше вирішуються. Є лише одні окремі випадки, кожен з яких практично індивідуальний. Тому вивчення прийомів рішення слід розпочати з рівнянь саме лінійних. Такі рівняння можна вирішувати навіть суто алгоритмічно.

знаменники при знайдених невідомих абсолютно однакові. Та й у чисельників проглядаються деякі закономірності їхньої побудови. Якщо розмірність системи рівнянь була б більшою за два, то метод виключення приводив би до дуже громіздких викладок. Щоб їх уникнути, розроблено суто алгоритмічні способи розв'язання. Найпростіший їх алгоритм Крамера (формули Крамера). Для слід дізнатися, загальна системарівнянь із n рівнянь.

Система n лінійних рівнянь алгебри з n невідомими має вигляд (див. рис. 1a). У ній аij - коефіцієнти системи,
хj - невідомі, bi - вільні члени (i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., п). Компактно таку систему можна записувати матричної формі АХ=B. Тут А – матриця коефіцієнтів системи, Х – матриця-стовпець невідомих, B – матриця-стовпець вільних членів (див. рис 1b). За методом Крамера кожне невідоме xi = ∆i/∆ (i = 1,2 ..., n). Визначник матриці коефіцієнтів називають головним, а ∆i допоміжним. Для кожної невідомої допоміжний визначник знаходять за допомогою заміни i стовпця головного визначника на стовпець вільних членів. Детально метод Крамера для випадку систем другого та третього порядку представлено на рис. 2.

Система є об'єднання двох або більше рівностей, у кожному з яких є по дві або більше невідомих. Існують два основні способи вирішення систем лінійних рівнянь, що використовуються в рамках шкільної програми. Один з них носить назву методу, інший – методу складання.

Стандартний вид системи із двох рівнянь

При стандартному виглядіперше рівняння має вигляд a1 * x + b1 * y = с1, друге рівняння має вигляд a2 * x + b2 * y = c2 і так далі. Наприклад, у разі двох частин системи в обох наведених a1, a2, b1, b2, c1, c2 - деякі числові коефіцієнти, представлені в конкретних рівняннях. У свою чергу, x і у є невідомими, значення яких потрібно визначити. Шукані значення звертають обидва рівняння одночасно у вірні рівності.

Рішення системи способом додавання

Для того щоб вирішити систему , тобто знайти ті значення x і y, які перетворять їх на правильні рівності, необхідно зробити кілька нескладних кроків. Перший полягає в перетворенні будь-якого з рівнянь таким чином, щоб числові коефіцієнти для змінної x або y в обох рівняннях збігалися по модулю, але розрізнялися по знаку.

Наприклад, нехай задана система, що складається із двох рівнянь. Перше має вигляд 2x+4y=8, друге має вигляд 6x+2y=6. Одним із варіантів виконання поставленої задачі є домноження другого рівняння на коефіцієнт -2, яке приведе його до вигляду -12x-4y=-12. Вірний вибір коефіцієнта є одним із ключових завдань у процесі вирішення системи способом додавання, оскільки він визначає весь подальший хід процедури знаходження невідомих.

Тепер необхідно здійснити складання двох рівнянь системи. Очевидно, взаємне знищення змінних із рівними за значенням, але протилежними за знаком коефіцієнтами приведе його до вигляду -10x=-4. Після цього необхідно вирішити це просте рівняння, з якого однозначно випливає, що x = 0,4.

Останнім кроком у процесі рішення є підстановка знайденого значення однієї зі змінних у будь-яку з початкових рівностей, що є в системі. Наприклад, підставляючи x=0,4 перше рівняння, можна отримати вираз 2*0,4+4y=8, звідки y=1,8. Таким чином, x=0,4 та y=1,8 є корінням наведеної в прикладі системи.

Щоб переконатися, що коріння було знайдено правильно, корисно провести перевірку, підставивши знайдені значення у друге рівняння системи. Наприклад, в даному випадкувиходить рівність виду 0,4*6+1,8*2=6, що є вірним.

Відео на тему

Розберемо два види розв'язання систем рівняння:

1. Рішення системи шляхом підстановки.
2. Рішення системи методом почленного складання (віднімання) рівнянь системи.

Для того, щоб вирішити систему рівнянь методом підстановкипотрібно слідувати простому алгоритму:
1. Висловлюємо. З будь-якого рівняння виражаємо одну змінну.
2. Підставляємо. Підставляємо в інше рівняння замість вираженої змінної отримане значення.
3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною. Знаходимо рішення системи.

Для того щоб вирішити систему методом почленного складання (віднімання)потрібно:
1.Вибрати змінну у якої робитимемо однакові коефіцієнти.
2.Складаємо або віднімаємо рівняння, в результаті отримуємо рівняння з однією змінною.
3. Вирішуємо отримане лінійне рівняння. Знаходимо рішення системи.

Рішенням системи є точки перетину графіків функції.

Розглянемо докладно з прикладів рішення систем.

Приклад №1:

Вирішимо методом підстановки

Вирішення системи рівнянь методом підстановки

2x+5y=1 (1 рівняння)
x-10y=3 (2 рівняння)

1. Висловлюємо
Видно що у другому рівнянні є змінна x з коефіцієнтом 1, звідси виходить що найлегше висловити змінну x з другого рівняння.
x=3+10y

2.Після того, як висловили підставляємо в перше рівняння 3+10y замість змінної x.
2(3+10y)+5y=1

3. Вирішуємо отримане рівняння з однією змінною.
2(3+10y)+5y=1 (розкриваємо дужки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Рішенням системи рівняння є точки перетинів графіків, отже нам потрібно знайти x і у, тому що точка перетину складається з x і y.Знайдемо x, в першому пункті де ми виражали туди підставляємо y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки прийнято записувати першому місці пишемо змінну x, але в другому змінну y.
Відповідь: (1; -0,2)

Приклад №2:

Вирішимо методом почленного складання (віднімання).

Рішення системи рівнянь шляхом складання

3x-2y=1 (1 рівняння)
2x-3y=-10 (2 рівняння)

1.Вибираємо змінну, припустимо, вибираємо x. У першому рівнянні у змінної x коефіцієнт 3, у другому 2. Потрібно зробити коефіцієнти однаковими, при цьому маємо право домножити рівняння чи розділити будь-яке число. Перше рівняння примножуємо на 2, а друге на 3 і отримаємо загальний коефіцієнт 6.

3x-2y = 1 | * 2
6x-4y = 2

2x-3y = -10 | * 3
6x-9y=-30

2.З першого рівняння віднімемо друге, щоб позбавитися від змінної x.Вирішуємо лінійне рівняння.
__6x-4y=2

5y = 32 | :5
y=6,4

3. Знаходимо x. Підставляємо у будь-яке з рівнянь знайдений y, допустимо у перше рівняння.
3x-2y=1
3x-2 * 6,4 = 1
3x-12,8 = 1
3x = 1 +12,8
3x = 13,8 |: 3
x = 4,6

Точкою перетину буде x = 4,6; y=6,4
Відповідь: (4,6; 6,4)

Хочеш готуватися до іспитів безкоштовно? Репетитор онлайн безкоштовно. Без жартів.