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अंकगणितीय प्रगति में पदनाम। बीजगणित: अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति

सैद्धांतिक जानकारी

सैद्धांतिक जानकारी

	अंकगणितीय प्रगति	ज्यामितीय अनुक्रम
परिभाषा	अंकगणितीय प्रगति एकएक अनुक्रम कहा जाता है, जिसका प्रत्येक सदस्य, दूसरे से शुरू होकर, पिछले सदस्य के बराबर होता है, उसी संख्या के साथ जोड़ा जाता है डी (डी- प्रगति अंतर)	ज्यामितीय अनुक्रम बी एनगैर-शून्य संख्याओं का एक क्रम कहा जाता है, जिनमें से प्रत्येक पद, दूसरे से शुरू होकर, उसी संख्या से गुणा किए गए पिछले पद के बराबर होता है क्यू (क्यू- प्रगति का भाजक)
आवर्ती सूत्र	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन एक एन + 1 = एक एन + डी	किसी भी प्राकृतिक के लिए एन बी एन + 1 = बी एन ∙ क्यू, बी एन ≠ 0
nवाँ पद सूत्र	एन = ए 1 + डी (एन - 1)	बी एन \u003d बी 1 ∙ क्यू एन - 1, बी एन ≠ 0
विशेषता संपत्ति
पहले n पदों का योग

टिप्पणियों के साथ कार्यों के उदाहरण

अभ्यास 1

में अंकगणितीय प्रगति (एक) एक 1 = -6, एक 2

Nवें पद के सूत्र के अनुसार:

एक 22 = एक 1+ डी (22 - 1) = एक 1+ 21घ

शर्त के अनुसार:

एक 1= -6, इसलिए एक 22= -6 + 21d।

प्रगति के अंतर को खोजना आवश्यक है:

घ = एक 2 - एक 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

उत्तर : एक 22 = -48.

कार्य 2

गुणोत्तर श्रेढ़ी का पाँचवाँ पद ज्ञात कीजिए: -3; 6;....

पहला तरीका (एन-टर्म फॉर्मूला का उपयोग करके)

ज्यामितीय प्रगति के एन-वें सदस्य के सूत्र के अनुसार:

बी 5 \u003d बी 1 ∙ क्यू 5 - 1 = बी 1 ∙ क्यू 4.

क्योंकि बी 1 = -3,

दूसरा तरीका (पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके)

चूँकि प्रगति का हर -2 (q = -2) है, तो:

ख 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

बी 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

ख 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

उत्तर : ख 5 = -48.

कार्य 3

अंकगणितीय प्रगति में ( एन) ए 74 = 34; एक 76= 156. इस श्रेणी का पचहत्तरवाँ पद ज्ञात कीजिए।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, विशेषता संपत्ति का रूप है .

इसलिए:

डेटा को सूत्र में बदलें:

उत्तर : 95.

कार्य 4

अंकगणितीय प्रगति में ( एन) एन एन= 3n - 4. पहले सत्रह पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग ज्ञात करने के लिए, दो सूत्रों का उपयोग किया जाता है:

कौन सा में इस मामले मेंउपयोग करने में अधिक सुविधाजनक?

शर्त के अनुसार, मूल प्रगति के nवें सदस्य का सूत्र ज्ञात है ( एक) एक= 3n - 4. तुरंत पाया जा सकता है और एक 1, और एक 16बिना खोजे डी। इसलिए, हम पहले सूत्र का उपयोग करते हैं।

उत्तर : 368.

कार्य 5

अंकगणितीय प्रगति में एक) एक 1 = -6; एक 2= -8। श्रेणी का बाइसवाँ पद ज्ञात कीजिए।

Nवें पद के सूत्र के अनुसार:

एक 22 = एक 1 + घ (22 – 1) = एक 1+ 21घ.

शर्त के अनुसार, अगर एक 1= -6, तब एक 22= -6 + 21d। प्रगति के अंतर को खोजना आवश्यक है:

घ = एक 2 - एक 1 = -8 – (-6) = -2

एक 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

उत्तर : एक 22 = -48.

टास्क 6

एक ज्यामितीय प्रगति के लगातार कई पद दर्ज किए गए हैं:

श्रेणी का पद ज्ञात कीजिए, जिसे अक्षर x द्वारा निरूपित किया गया है।

हल करते समय, हम nवें पद के सूत्र का उपयोग करते हैं बी एन \u003d बी 1 n क्यू एन - 1ज्यामितीय प्रगति के लिए। प्रगति का पहला सदस्य। श्रेढ़ी q का भाजक ज्ञात करने के लिए, आपको श्रेढ़ी के इन पदों में से कोई भी लेना होगा और पिछले वाले से विभाजित करना होगा। हमारे उदाहरण में, आप द्वारा ले सकते हैं और विभाजित कर सकते हैं। हमें वह q \u003d 3 मिलता है। n के बजाय, हम सूत्र में 3 को प्रतिस्थापित करते हैं, क्योंकि किसी दिए गए ज्यामितीय प्रगति के तीसरे पद को खोजना आवश्यक है।

सूत्र में पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर : ।

टास्क 7

nवें पद के सूत्र द्वारा दी गई अंकगणितीय श्रेढ़ियों में से वह चुनें जिसके लिए प्रतिबंध संतुष्ट है एक 27 > 9:

चूंकि निर्दिष्ट शर्त को श्रेढ़ी के 27वें पद के लिए संतुष्ट होना चाहिए, इसलिए हम चार श्रेढ़ियों में से प्रत्येक में n के बजाय 27 को प्रतिस्थापित करते हैं। चौथी प्रगति में हमें मिलता है:

उत्तर - 4।

टास्क 8

अंकगणितीय प्रगति में एक 1= 3, डी = -1.5। उल्लिखित करना उच्चतम मूल्य n , जिसके लिए असमानता एक > -6.

अंकगणितीय प्रगति की समस्याएं प्राचीन काल से मौजूद हैं। वे प्रकट हुए और समाधान की मांग की, क्योंकि उनकी एक व्यावहारिक आवश्यकता थी।

तो, एक पपायरी में प्राचीन मिस्र, जिसमें गणितीय सामग्री है - राइंड पेपिरस (XIX सदी ईसा पूर्व) - में निम्नलिखित कार्य शामिल हैं: रोटी के दस उपायों को दस लोगों में विभाजित करें, बशर्ते कि उनमें से प्रत्येक के बीच का अंतर एक माप का आठवां हिस्सा हो।

और प्राचीन यूनानियों के गणितीय कार्यों में अंकगणितीय प्रगति से संबंधित सुरुचिपूर्ण प्रमेय हैं। इसलिए, अलेक्जेंड्रिया के हाइपसिकल्स (दूसरी शताब्दी, जिन्होंने कई दिलचस्प समस्याओं को संकलित किया और यूक्लिड के "तत्वों" में चौदहवीं पुस्तक को जोड़ा, ने विचार तैयार किया: "सदस्यों की एक समान संख्या के साथ एक अंकगणितीय प्रगति में, दूसरी छमाही के सदस्यों का योग राशि से अधिकसदस्यों की संख्या के वर्ग 1/2 पर 1 के सदस्य।

अनुक्रम a निरूपित किया जाता है। अनुक्रम की संख्या को इसके सदस्य कहा जाता है और आमतौर पर सूचकांक वाले अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जो इस सदस्य की क्रम संख्या (a1, a2, a3 ... पढ़ें: "a 1", "a 2nd", "a 3rd") और इसी तरह)।

अनुक्रम अनंत या परिमित हो सकता है।

एक अंकगणितीय प्रगति क्या है? इसे पिछले शब्द (n) को उसी संख्या d के साथ जोड़कर प्राप्त किया गया समझा जाता है, जो कि प्रगति का अंतर है।

अगर डी<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, तो इस तरह की प्रगति को बढ़ती हुई माना जाता है।

एक अंकगणितीय प्रगति को परिमित कहा जाता है यदि इसके पहले कुछ पदों को ही ध्यान में रखा जाए। बहुत बड़ी संख्या में सदस्यों के साथ, यह पहले से ही है अनंत प्रगति.

किसी भी अंकगणितीय प्रगति को निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है:

an =kn+b, जबकि b और k कुछ संख्याएँ हैं।

कथन, जो विपरीत है, बिल्कुल सत्य है: यदि अनुक्रम एक समान सूत्र द्वारा दिया गया है, तो यह बिल्कुल अंकगणितीय प्रगति है, जिसमें गुण हैं:

प्रगति का प्रत्येक सदस्य पिछले सदस्य और अगले सदस्य का अंकगणितीय माध्य है।
विपरीत: यदि, दूसरे पद से शुरू होकर, प्रत्येक पद पिछले पद और अगले पद का अंकगणितीय माध्य है, अर्थात यदि शर्त पूरी होती है, तो दिया गया क्रम अंकगणितीय प्रगति है। यह समानता एक ही समय में प्रगति का संकेत है, इसलिए इसे आमतौर पर प्रगति की एक विशिष्ट संपत्ति कहा जाता है।
उसी तरह, प्रमेय जो इस संपत्ति को दर्शाता है वह सच है: एक अनुक्रम एक अंकगणितीय प्रगति है, अगर यह समानता अनुक्रम के किसी भी सदस्य के लिए सच है, जो दूसरे से शुरू होती है।

एक समांतर श्रेढ़ी की किन्हीं चार संख्याओं के लिए अभिलाक्षणिक गुण सूत्र a + am = ak + al द्वारा व्यक्त किया जा सकता है यदि n + m = k + l (m, n, k प्रगति की संख्याएँ हैं)।

अंकगणितीय प्रगति में, कोई भी आवश्यक (Nth) पद निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करके पाया जा सकता है:

उदाहरण के लिए: अंकगणितीय प्रगति में पहला पद (a1) दिया गया है और तीन के बराबर है, और अंतर (d) चार के बराबर है। आपको इस श्रेढ़ी का पैंतालीसवाँ पद ज्ञात करना है। a45 = 1+4(45-1)=177

सूत्र a = ak + d(n - k) हमें निर्धारित करने की अनुमति देता है वां सदस्यइसके किसी भी k-वें पद के माध्यम से अंकगणितीय प्रगति, बशर्ते कि यह ज्ञात हो।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की राशि (अंतिम श्रेणी के पहले एन सदस्यों को मानते हुए) की गणना निम्नानुसार की जाती है:

एसएन = (ए1+एएन) एन/2।

यदि पहला पद भी ज्ञात हो, तो गणना के लिए दूसरा सूत्र सुविधाजनक होता है:

एसएन = ((2ए1+डी(एन-1))/2)*एन।

अंकगणितीय प्रगति का योग जिसमें एन शब्द शामिल हैं, निम्नानुसार गणना की जाती है:

गणना के लिए सूत्रों का चुनाव कार्यों की शर्तों और प्रारंभिक डेटा पर निर्भर करता है।

किसी भी संख्या की प्राकृतिक श्रृंखला जैसे 1,2,3,...,n,...- सबसे सरल उदाहरणअंकगणितीय प्रगति।

अंकगणितीय प्रगति के अलावा, एक ज्यामितीय भी है, जिसके अपने गुण और विशेषताएं हैं।

पाठ प्रकार:नई सामग्री सीखना।

पाठ मकसद:

अंकगणितीय प्रगति का उपयोग करके हल किए गए कार्यों के बारे में छात्रों के विचारों का विस्तार और गहनता; अंकगणितीय प्रगति के पहले एन सदस्यों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करते समय छात्रों की खोज गतिविधि का संगठन;
नए ज्ञान को स्वतंत्र रूप से प्राप्त करने के लिए कौशल का विकास, कार्य को प्राप्त करने के लिए पहले से अर्जित ज्ञान का उपयोग करना;
इच्छा का विकास और प्राप्त तथ्यों को सामान्य बनाने की आवश्यकता, स्वतंत्रता का विकास।

कार्य:

"अंकगणितीय प्रगति" विषय पर मौजूदा ज्ञान को सामान्य बनाना और व्यवस्थित करना;
अंकगणितीय प्रगति के पहले n सदस्यों के योग की गणना के लिए सूत्र प्राप्त करें;
विभिन्न समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्रों का प्रयोग करना सिखा सकेंगे;
संख्यात्मक व्यंजक का मान ज्ञात करने की प्रक्रिया की ओर विद्यार्थियों का ध्यान आकर्षित कर सकेंगे।

उपकरण:

समूहों और जोड़े में काम करने के लिए कार्यों वाले कार्ड;
मूल्यांकन पत्र;
प्रस्तुति"अंकगणितीय प्रगति"।

I. बुनियादी ज्ञान का बोध।

1. स्वतंत्र कामजोंड़ों में।

पहला विकल्प:

एक अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करें। एक पुनरावर्ती सूत्र लिखिए जो अंकगणितीय प्रगति को परिभाषित करता है। अंकगणितीय प्रगति का एक उदाहरण दीजिए और इसके अंतर को इंगित कीजिए।

दूसरा विकल्प:

अंकगणितीय प्रगति के nवें पद के लिए सूत्र लिखिए। समांतर श्रेढ़ी का 100वां पद ज्ञात कीजिए ( एक}: 2, 5, 8 …
इस दौरान दो छात्र विपरीत पक्षबोर्ड उन्हीं सवालों के जवाब तैयार करते हैं।
छात्र बोर्ड के साथ तुलना करके साथी के काम का मूल्यांकन करते हैं। (उत्तर वाले पर्चे सौंपे गए हैं)।

2. खेल का क्षण।

अभ्यास 1।

अध्यापक।मैंने कुछ अंकगणितीय प्रगति की कल्पना की। मुझसे केवल दो प्रश्न पूछें ताकि उत्तर के बाद आप जल्दी से इस प्रगति के 7वें सदस्य का नाम बता सकें। (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

छात्रों से प्रश्न।

श्रेढ़ी का छठा पद क्या है और अंतर क्या है?
श्रेणी का आठवाँ पद क्या है और अंतर क्या है?

यदि कोई और प्रश्न नहीं हैं, तो शिक्षक उन्हें उत्तेजित कर सकता है - डी (अंतर) पर "प्रतिबंध", यानी यह पूछने की अनुमति नहीं है कि अंतर क्या है। आप प्रश्न पूछ सकते हैं: श्रेढ़ी का छठा पद क्या है और श्रेढ़ी का आठवाँ पद क्या है?

कार्य 2।

बोर्ड पर 20 नंबर लिखे हैं: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

शिक्षक ब्लैकबोर्ड की ओर पीठ करके खड़ा है। छात्र संख्या की संख्या कहते हैं, और शिक्षक तुरंत संख्या को ही कॉल करता है। समझाएं कि मैं यह कैसे कर सकता हूं?

शिक्षक को nवें पद का सूत्र याद है एक n \u003d 3n - 2और, n के दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हुए, संबंधित मान पाता है एक ।

द्वितीय। शैक्षिक कार्य का विवरण।

मैं दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की एक पुरानी समस्या को हल करने का प्रस्ताव करता हूं, जो मिस्र के पिपरी में पाई जाती है।

काम:“तुम से यह कहा जाए, कि दस मन जौ को दस लोगों में बांट दो, प्रत्येक मनुष्य और उसके पड़ोसी के बीच में जो अन्तर है वह माप का 1/8 है।”

यह समस्या अंकगणितीय प्रगति के विषय से कैसे संबंधित है? (प्रत्येक अगले व्यक्ति को माप का 1/8 अधिक मिलता है, इसलिए अंतर है d=1/8, 10 लोग, इसलिए n=10।)
आपको क्या लगता है कि 10 नंबर का मतलब क्या है? (प्रगति के सभी सदस्यों का योग।)
समस्या की स्थिति के अनुसार जौ को विभाजित करना आसान और सरल बनाने के लिए आपको और क्या जानने की आवश्यकता है? (प्रगति का पहला कार्यकाल।)

पाठ उद्देश्य- उनकी संख्या, प्रथम पद और अंतर पर प्रगति की शर्तों के योग की निर्भरता प्राप्त करना और यह जांचना कि प्राचीन काल में समस्या का सही समाधान किया गया था या नहीं।

सूत्र निकालने से पहले, आइए देखें कि प्राचीन मिस्रवासियों ने इस समस्या का समाधान कैसे किया।

और उन्होंने इसे इस तरह हल किया:

1) 10 माप: 10 = 1 माप - औसत हिस्सा;
2) 1 उपाय ∙ = 2 उपाय - दुगना औसतशेयर करना।
दोगुनी औसतहिस्सा 5वें और 6वें व्यक्ति के शेयरों का योग है।
3) 2 उपाय - 1/8 उपाय = 1 7/8 उपाय - पांचवें व्यक्ति के हिस्से का दुगुना।
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - पांचवें का हिस्सा; और इसी तरह, आप प्रत्येक पिछले और बाद के व्यक्ति का हिस्सा पा सकते हैं।

हमें अनुक्रम मिलता है:

तृतीय। कार्य का समाधान।

1. समूहों में कार्य करें

पहला समूह:लगातार 20 प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए: एस 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210।

सामान्य रूप में

द्वितीय समूह: 1 से 100 तक प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए (लिटिल गॉस की कथा)।

एस 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

निष्कर्ष:

तृतीय समूह: 1 से 21 तक प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

हल: 1+21=2+20=3+19=4+18…

निष्कर्ष:

चतुर्थ समूह: 1 से 101 तक प्राकृत संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए।

निष्कर्ष:

विचाराधीन समस्याओं को हल करने की इस विधि को "गॉस विधि" कहा जाता है।

2. प्रत्येक समूह बोर्ड पर समस्या का समाधान प्रस्तुत करता है।

3. एक मनमाना अंकगणितीय प्रगति के लिए प्रस्तावित समाधानों का सामान्यीकरण:

एक 1, एक 2, एक 3,…, एक n-2, एक n-1, एक n।
एस एन \u003d ए 1 + ए 2 + ए 3 + ए 4 + ... + ए एन-3 + ए एन-2 + ए एन-1 + ए एन।

हम इस राशि को इसी तरह बहस करके पाते हैं:

4. क्या हमने कार्य हल कर लिया है?(हाँ।)

चतुर्थ। समस्याओं को हल करने में प्राप्त सूत्रों की प्राथमिक समझ और अनुप्रयोग।

1. किसी पुरानी समस्या का समाधान सूत्र द्वारा जांचना।

2. विभिन्न समस्याओं को हल करने में सूत्र का अनुप्रयोग।

3. समस्याओं को हल करने में सूत्र को लागू करने की क्षमता के निर्माण के लिए व्यायाम।

ए) संख्या 613

दिया गया :( और n) -अंकगणितीय प्रगति;

(ए एन): 1, 2, 3, ..., 1500

पाना: एस 1500

समाधान: , और 1 = 1, और 1500 = 1500,

बी) दिया गया: ( और n) -अंकगणितीय प्रगति;
(और एन): 1, 2, 3, ...
एस एन = 210

पाना: एन
समाधान:

वी। पारस्परिक सत्यापन के साथ स्वतंत्र कार्य।

डेनिस एक कूरियर के रूप में काम करने गया। पहले महीने में, उनका वेतन 200 रूबल था, बाद के प्रत्येक महीने में यह 30 रूबल बढ़ गया। उसने एक साल में कितना कमाया?

दिया गया :( और n) -अंकगणितीय प्रगति;
एक 1 = 200, डी = 30, एन = 12
पाना: एस 12
समाधान:

उत्तर: डेनिस को प्रति वर्ष 4380 रूबल मिले।

छठी। गृहकार्य निर्देश।

पृष्ठ 4.3 - सूत्र की व्युत्पत्ति सीखें।
№№ 585, 623 .
एक ऐसी समस्या की रचना करें जिसे अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों के योग के सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सके।

सातवीं। पाठ का सारांश।

1. स्कोर शीट

2. वाक्यों को जारी रखें

आज क्लास में मैंने सीखा...
सीखे हुए सूत्र...
मेरा मानना है कि …

3. क्या आप 1 से 500 तक की संख्याओं का योग ज्ञात कर सकते हैं? इस समस्या को हल करने के लिए आप किस विधि का प्रयोग करेंगे?

ग्रंथ सूची।

1. बीजगणित, 9वीं कक्षा। शैक्षिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक। ईडी। जी.वी. डोरोफीवा।मॉस्को: ज्ञानोदय, 2009।

हाँ, हाँ: अंकगणितीय प्रगति आपके लिए कोई खिलौना नहीं है :)

ठीक है, दोस्तों, यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो आंतरिक कैप साक्ष्य मुझे बताता है कि आप अभी भी नहीं जानते हैं कि अंकगणितीय प्रगति क्या है, लेकिन आप वास्तव में (नहीं, इस तरह: SOOOOO!) जानना चाहते हैं। इसलिए, मैं आपको लंबे परिचयों से परेशान नहीं करूंगा और तुरंत व्यापार में उतर जाऊंगा।

शुरू करने के लिए, कुछ उदाहरण। संख्याओं के कई सेटों पर विचार करें:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

इन सभी सेटों में क्या समानता है? पहली नज़र में, कुछ भी नहीं। लेकिन असल में कुछ है। अर्थात्: प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से उसी संख्या से भिन्न होता है.

अपने लिए न्याय करो। पहला सेट केवल लगातार संख्याएं हैं, प्रत्येक पिछले एक से अधिक है। दूसरे मामले में, आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर पहले से ही पाँच के बराबर है, लेकिन यह अंतर अभी भी स्थिर है। तीसरे मामले में, सामान्य रूप से जड़ें होती हैं। हालांकि, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, जबकि $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, यानी। जिस स्थिति में प्रत्येक अगला तत्व $\sqrt(2)$ से बढ़ जाता है (और डरो मत कि यह संख्या तर्कहीन है)।

अत: ऐसे सभी क्रमों को अंकगणितीय श्रेढ़ी कहा जाता है। आइए एक सख्त परिभाषा दें:

परिभाषा। संख्याओं का एक क्रम जिसमें प्रत्येक अगली संख्या पिछले एक से बिल्कुल समान मात्रा में भिन्न होती है, अंकगणितीय प्रगति कहलाती है। वह राशि जिसके द्वारा संख्याएँ भिन्न होती हैं, प्रगति अंतर कहलाती है और इसे अक्सर $d$ अक्षर द्वारा निरूपित किया जाता है।

नोटेशन: $\left(((a)_(n)) \right)$ प्रगति ही है, $d$ इसका अंतर है।

और बस कुछ महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ। सबसे पहले, प्रगति को ही माना जाता है व्यवस्थितसंख्याओं का क्रम: उन्हें उसी क्रम में पढ़ने की अनुमति है जिसमें वे लिखे गए हैं - और कुछ नहीं। आप संख्याओं को पुनर्व्यवस्थित या स्वैप नहीं कर सकते।

दूसरे, अनुक्रम या तो परिमित या अनंत हो सकता है। उदाहरण के लिए, सेट (1; 2; 3) स्पष्ट रूप से एक परिमित अंकगणितीय प्रगति है। लेकिन अगर आप कुछ लिखते हैं (1; 2; 3; 4; ...) - यह पहले से ही एक अनंत प्रगति है। चार के बाद दीर्घवृत्त, जैसा कि यह था, संकेत करता है कि बहुत सारी संख्याएँ आगे बढ़ती हैं। असीमित कई, उदाहरण के लिए। :)

मैं यह भी नोट करना चाहूंगा कि प्रगति बढ़ रही है और घट रही है। हम पहले ही बढ़ते हुए देख चुके हैं - एक ही सेट (1; 2; 3; 4; ...)। घटती हुई प्रगति के उदाहरण यहां दिए गए हैं:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ठीक है ठीक है: अंतिम उदाहरणअत्यधिक जटिल लग सकता है। लेकिन बाकी, मुझे लगता है, आप समझते हैं। इसलिए, हम नई परिभाषाएँ प्रस्तुत करते हैं:

परिभाषा। एक अंकगणितीय प्रगति कहलाती है:

बढ़ रहा है अगर प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से अधिक है;

घट रहा है, अगर, इसके विपरीत, प्रत्येक बाद वाला तत्व पिछले एक से कम है।

इसके अलावा, तथाकथित "स्थिर" अनुक्रम हैं - उनमें एक ही दोहराई जाने वाली संख्या होती है। उदाहरण के लिए, (3; 3; 3; ...).

केवल एक ही प्रश्न शेष है: एक बढ़ती हुई प्रगति को एक घटती हुई प्रगति से कैसे अलग किया जाए? सौभाग्य से, यहाँ सब कुछ केवल संख्या $d$ के चिन्ह पर निर्भर करता है, अर्थात। प्रगति मतभेद:

यदि $d \gt 0$, तो प्रगति बढ़ रही है;
यदि $d \lt 0$, तो प्रगति स्पष्ट रूप से घट रही है;
अंत में, मामला $d=0$ है - इस मामले में पूरी प्रगति समान संख्याओं के एक स्थिर अनुक्रम में कम हो जाती है: (1; 1; 1; 1; ...), आदि।

आइए उपरोक्त तीन घटती प्रगति के लिए $d$ के अंतर की गणना करने का प्रयास करें। ऐसा करने के लिए, किसी भी दो आसन्न तत्वों (उदाहरण के लिए, पहले और दूसरे) को लेने के लिए पर्याप्त है और दाईं ओर की संख्या से बाईं ओर की संख्या घटाएं। यह ऐसा दिखाई देगा:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$।

जैसा कि आप देख सकते हैं, तीनों मामलों में अंतर वास्तव में नकारात्मक निकला। और अब जब हमने कमोबेश परिभाषाओं का पता लगा लिया है, तो यह पता लगाने का समय आ गया है कि प्रगति का वर्णन कैसे किया जाता है और उनके पास क्या गुण हैं।

प्रगति के सदस्य और आवर्तक सूत्र

चूंकि हमारे अनुक्रम के तत्वों का आदान-प्रदान नहीं किया जा सकता है, उन्हें क्रमांकित किया जा सकता है:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं$ ((ए)_(1)),\ ((ए)_(2)),((ए)_(3 )),... \सही$\]

इस सेट के अलग-अलग तत्वों को प्रगति के सदस्य कहा जाता है। उन्हें एक संख्या की सहायता से इस प्रकार इंगित किया जाता है: पहला सदस्य, दूसरा सदस्य, और इसी तरह।

इसके अलावा, जैसा कि हम पहले से ही जानते हैं, प्रगति के पड़ोसी सदस्य सूत्र द्वारा संबंधित हैं:

\[((ए)_(एन))-((ए)_(एन-1))=d\Rightarrow ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी \]

संक्षेप में, प्रगति का $n$वाँ पद ज्ञात करने के लिए, आपको $n-1$वाँ पद और अंतर $d$ जानने की आवश्यकता है। इस तरह के एक सूत्र को आवर्तक कहा जाता है, क्योंकि इसकी मदद से आप केवल पिछले एक (और वास्तव में, सभी पिछले वाले) को जानकर किसी भी संख्या का पता लगा सकते हैं। यह बहुत असुविधाजनक है, इसलिए एक अधिक पेचीदा सूत्र है जो किसी भी गणना को पहले पद और अंतर तक कम कर देता है:

\[((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)d\]

आप शायद इस फॉर्मूले से पहले आ चुके हैं। वे इसे सभी प्रकार की संदर्भ पुस्तकों और रेशेबनिकों में देना पसंद करते हैं। और गणित पर किसी भी समझदार पाठ्यपुस्तक में, यह सबसे पहले में से एक है।

हालाँकि, मेरा सुझाव है कि आप थोड़ा अभ्यास करें।

टास्क नंबर 1। अंकगणितीय प्रगति $\left(((a)_(n)) \right)$ के पहले तीन पदों को लिखें यदि $((a)_(1))=8,d=-5$।

समाधान। तो, हम पहले शब्द $((a)_(1))=8$ और प्रगति अंतर $d=-5$ जानते हैं। आइए अभी दिए गए सूत्र का उपयोग करें और $n=1$, $n=2$ और $n=3$ को प्रतिस्थापित करें:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)d; \\ & ((ए)_(1))=((ए)_(1))+\बाएं(1-1 \दाएं)डी=((ए)_(1))=8; \\ & ((ए)_(2))=((ए)_(1))+\बाएं(2-1 \दाएं)d=((ए)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((ए)_(3))=((ए)_(1))+\बाएं(3-1 \दाएं)d=((ए)_(1))+2d=8-10= -2। \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: (8; 3; -2)

बस इतना ही! ध्यान दें कि हमारी प्रगति कम हो रही है।

बेशक, $n=1$ को प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता था - हम पहले से ही पहले शब्द को जानते हैं। हालाँकि, इकाई को प्रतिस्थापित करके, हमने यह सुनिश्चित किया कि पहले पद के लिए भी हमारा सूत्र काम करता है। अन्य मामलों में, सब कुछ साधारण अंकगणित में आ गया।

टास्क नंबर 2। अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद लिखिए यदि इसका सातवाँ पद -40 है और इसका सत्रहवाँ पद -50 है।

समाधान। हम समस्या की स्थिति को सामान्य शब्दों में लिखते हैं:

\[((ए)_(7))=-40;\क्वाड ((ए)_(17))=-50.\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(7))=((ए)_(1))+6d \\ & ((ए)_(17))=((ए) _(1))+16d \\ \end(संरेखित करें) \दाएं।\]

\[\बाएं\( \शुरू(संरेखित) और ((ए)_(1))+6d=-40 \\ और ((ए)_(1))+16d=-50 \\ \अंत(संरेखित) \सही।\]

मैंने सिस्टम का चिन्ह लगाया क्योंकि इन आवश्यकताओं को एक साथ पूरा किया जाना चाहिए। और अब हम ध्यान दें कि यदि हम पहले समीकरण को दूसरे समीकरण से घटाते हैं (हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि हमारे पास एक प्रणाली है), तो हमें यह मिलता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(1))+16d-\बाएं(((ए)_(1))+6d \दाएं)=-50-\बाएं(-40 \दाएं); \\ & ((ए)_(1))+16डी-((ए)_(1))-6डी=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&डी=-1. \\ \end(संरेखित करें)\]

ठीक उसी तरह, हमने प्रगति अंतर पाया! यह सिस्टम के किसी भी समीकरण में पाई गई संख्या को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है। उदाहरण के लिए, पहले में:

\[\begin(मैट्रिक्स) ((ए)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \डाउनएरो \\ ((ए)_(1))-6=-40; \\ ((क)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(मैट्रिक्स)\]

अब, पहले पद और अंतर को जानने के बाद, यह दूसरे और तीसरे पद को खोजने के लिए बना रहता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(2))=((ए)_(1))+डी=-34-1=-35; \\ & ((ए)_(3))=((ए)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(संरेखित करें)\]

तैयार! समस्या हल हो गई।

उत्तर: (-34; -35; -36)

हमारे द्वारा खोजी गई प्रगति की एक जिज्ञासु संपत्ति पर ध्यान दें: यदि हम $n$th और $m$th शब्द लेते हैं और उन्हें एक दूसरे से घटाते हैं, तो हमें $n-m$ संख्या से गुणा की गई प्रगति का अंतर मिलता है:

\[((ए)_(एन))-((ए)_(एम))=d\cdot \बाएं(एन-एम \दाएं)\]

सरल लेकिन बहुत उपयोगी संपत्ति, जिसे आपको निश्चित रूप से जानने की आवश्यकता है - इसकी मदद से आप प्रगति में कई समस्याओं के समाधान में तेजी ला सकते हैं। यहाँ इसका एक प्रमुख उदाहरण है:

टास्क नंबर 3। समांतर श्रेढ़ी का पाँचवाँ पद 8.4 है, और इसका दसवाँ पद 14.4 है। इस श्रेणी का पंद्रहवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान। चूँकि $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, और हमें $((a)_(15))$ खोजने की आवश्यकता है, हम निम्नलिखित नोट करते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(15))-((ए)_(10))=5d; \\ & ((ए)_(10))-((ए)_(5))=5d. \\ \end(संरेखित करें)\]

लेकिन शर्त के अनुसार $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, इसलिए $5d=6$, जहां से हमारे पास है:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(15))-14,4=6; \\ & ((ए)_(15))=6+14.4=20.4। \\ \end(संरेखित करें)\]

उत्तर: 20.4

बस इतना ही! हमें समीकरणों की किसी भी प्रणाली की रचना करने और पहले पद और अंतर की गणना करने की आवश्यकता नहीं थी - सब कुछ सिर्फ कुछ पंक्तियों में तय किया गया था।

अब आइए एक अन्य प्रकार की समस्या पर विचार करें - प्रगति के नकारात्मक और सकारात्मक सदस्यों की खोज। यह कोई रहस्य नहीं है कि यदि प्रगति बढ़ती है, जबकि इसकी पहली अवधि नकारात्मक है, तो अभी या बाद में इसमें सकारात्मक शब्द दिखाई देंगे। और इसके विपरीत: घटती हुई प्रगति की शर्तें जल्द या बाद में नकारात्मक हो जाएंगी।

उसी समय, इस क्षण को "माथे पर" ढूंढना हमेशा संभव होता है, क्रमिक रूप से तत्वों के माध्यम से छंटनी। अक्सर, समस्याओं को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि सूत्रों को जाने बिना, गणनाओं में कई पत्रक लगेंगे - जब तक हमें उत्तर नहीं मिल जाता, तब तक हम सो जाते हैं। इसलिए, हम इन समस्याओं को तेजी से हल करने का प्रयास करेंगे।

टास्क नंबर 4। एक अंकगणितीय श्रेढ़ी में कितने ऋणात्मक पद -38.5; -35.8; ...?

समाधान। तो, $((ए)_(1))=-38.5$, $((ए)_(2))=-35.8$, जिससे हम तुरंत अंतर पाते हैं:

ध्यान दें कि अंतर सकारात्मक है, इसलिए प्रगति बढ़ रही है। पहला पद ऋणात्मक है, इसलिए वास्तव में किसी बिंदु पर हम धनात्मक संख्याओं पर ठोकर खाएँगे। एकमात्र सवाल यह है कि ऐसा कब होगा।

आइए यह पता लगाने की कोशिश करें: कितने समय तक (यानी, किस प्राकृतिक संख्या $n$ तक) शर्तों की नकारात्मकता संरक्षित है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन)) \lt 0\Rightarrow ((ए)_(1))+\बाएं (n-1 \दाएं)d \lt 0; \\ & -38.5+\बाएं(n-1 \दाएं)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \बाएं| \cdot 10 \सही। \\ & -385+27\cdot \बाएं(n-1 \दाएं) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \end(संरेखित करें)\]

अंतिम पंक्ति को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। तो हम जानते हैं कि $n \lt 15\frac(7)(27)$। दूसरी ओर, संख्या के केवल पूर्णांक मान हमारे अनुरूप होंगे (इसके अलावा: $n\in \mathbb(N)$), इसलिए सबसे बड़ी स्वीकार्य संख्या ठीक $n=15$ है, और किसी भी स्थिति में 16 नहीं है।

कार्य संख्या 5। अंकगणितीय प्रगति में $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$। इस श्रेढ़ी के प्रथम धनात्मक पद की संख्या ज्ञात कीजिए।

यह पिछले वाले के समान ही समस्या होगी, लेकिन हम $((a)_(1))$ नहीं जानते हैं। लेकिन पड़ोसी शब्द ज्ञात हैं: $((a)_(5))$ और $((a)_(6))$, इसलिए हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

इसके अलावा, आइए मानक सूत्र का उपयोग करके पहले और अंतर के संदर्भ में पांचवें पद को व्यक्त करने का प्रयास करें:

\[\शुरू(संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=((ए)_(1))+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot डी; \\ & ((ए)_(5))=((ए)_(1))+4d; \\ & -150=((ए)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((ए)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(संरेखित करें)\]

अब हम पिछली समस्या के अनुरूप आगे बढ़ते हैं। हमें पता चलता है कि हमारे अनुक्रम में सकारात्मक संख्याएँ किस बिंदु पर दिखाई देंगी:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन))=-162+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56। \\ \end(संरेखित करें)\]

इस असमिका का न्यूनतम पूर्णांक हल संख्या 56 है।

कृपया ध्यान दें: में अंतिम कार्यसब कुछ सख्त असमानता के लिए नीचे आया, इसलिए $n=55$ विकल्प हमारे लिए उपयुक्त नहीं होगा।

अब जब हमने सरल समस्याओं को हल करना सीख लिया है, तो आइए अधिक जटिल समस्याओं पर चलते हैं। लेकिन पहले, अंकगणितीय प्रगति की एक और बहुत ही उपयोगी संपत्ति सीखें, जो भविष्य में हमें बहुत समय और असमान कोशिकाओं को बचाएगी। :)

अंकगणित माध्य और समान इंडेंट

बढ़ती अंकगणितीय प्रगति के लगातार कई पदों पर विचार करें $\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)$। आइए उन्हें एक संख्या रेखा पर चिह्नित करने का प्रयास करें:

संख्या रेखा पर अंकगणितीय प्रगति सदस्य

मैंने विशेष रूप से मनमाने सदस्यों को नोट किया $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, और कोई नहीं $((a)_(1)) , \ ((ए)_(2)),\ ((ए)_(3))$ वगैरह। क्योंकि जो नियम अब मैं आपको बताऊंगा वह किसी भी "सेगमेंट" के लिए समान रूप से काम करता है।

और नियम बहुत ही सरल है। आइए पुनरावर्ती सूत्र को याद करें और इसे सभी चिह्नित सदस्यों के लिए लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन-3))+डी; \\ & ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन-2))+डी; \\ & ((ए)_(एन))=((ए)_(एन-1))+डी; \\ & ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन+1))+डी; \\ \end(संरेखित करें)\]

हालाँकि, इन समानताओं को अलग तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(एन-1))=((ए)_(एन))-डी; \\ & ((ए)_(एन-2))=((ए)_(एन))-2डी; \\ & ((ए)_(एन-3))=((ए)_(एन))-3डी; \\ & ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2d; \\ & ((ए)_(एन+3))=((ए)_(एन))+3डी; \\ \end(संरेखित करें)\]

अच्छा, तो क्या? लेकिन तथ्य यह है कि शर्तें $((a)_(n-1))$ और $((a)_(n+1))$ से समान दूरी पर हैं $((a)_(n)) $ . और यह दूरी $d$ के बराबर है। $((a)_(n-2))$ और $((a)_(n+2))$ शर्तों के बारे में भी यही कहा जा सकता है - उन्हें $((a)_(n) से भी हटा दिया गया है )$ उसी दूरी से जो $2d$ के बराबर है। आप अनिश्चित काल तक जारी रख सकते हैं, लेकिन चित्र अच्छी तरह से अर्थ दिखाता है

प्रगति के सदस्य केंद्र से समान दूरी पर स्थित हैं

हमारे लिए इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि यदि पड़ोसी नंबर ज्ञात हैं तो आप $((ए)_(एन))$ पा सकते हैं:

\[((ए)_(एन))=\frac(((ए)_(एन-1))+((ए)_(एन+1)))(2)\]

हमने एक शानदार कथन निकाला है: अंकगणितीय प्रगति का प्रत्येक सदस्य पड़ोसी सदस्यों के अंकगणितीय माध्य के बराबर है! इसके अलावा, हम अपने $((a)_(n))$ से बाईं ओर और दाईं ओर एक कदम से नहीं, बल्कि $k$ चरणों से विचलित हो सकते हैं - और फिर भी सूत्र सही होगा:

\[((ए)_(एन))=\frac(((ए)_(एन-के))+((ए)_(एन+के)))(2)\]

वे। हम कुछ $((a)_(150))$ आसानी से पा सकते हैं यदि हम $((a)_(100))$ और $((a)_(200))$ जानते हैं, क्योंकि $((a)_ (150))=\frac(((ए)_(100))+((ए)_(200)))(2)$। पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि यह तथ्य हमें कुछ भी उपयोगी नहीं देता है। हालांकि, व्यवहार में, अंकगणितीय माध्य के उपयोग के लिए कई कार्य विशेष रूप से "तेज" होते हैं। नज़र रखना:

टास्क नंबर 6। $X$ के सभी मान ज्ञात कीजिए जैसे कि संख्याएँ $-6((x)^(2))$, $x+1$ और $14+4((x)^(2))$ के लगातार सदस्य हैं एक अंकगणितीय प्रगति (निर्दिष्ट क्रम में)।

समाधान। चूंकि ये संख्याएं एक प्रगति के सदस्य हैं, अंकगणितीय माध्य स्थिति उनके लिए संतुष्ट है: केंद्रीय तत्व $x+1$ पड़ोसी तत्वों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

यह क्लासिक निकला द्विघात समीकरण. इसकी जड़ें: $x=2$ और $x=-3$ उत्तर हैं।

उत्तर: -3; 2.

टास्क नंबर 7। $$ के मान ज्ञात कीजिए कि संख्याएं $-1;4-3;(()^(2))+1$ एक अंकगणितीय प्रगति (उस क्रम में) बनाती हैं।

समाधान। फिर से, हम मध्य पद को पड़ोसी शब्दों के अंकगणितीय माध्य के संदर्भ में व्यक्त करते हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \बाएं| \cdot 2\दाएं.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(संरेखित करें)\]

एक और द्विघात समीकरण। और फिर से दो जड़ें: $x=6$ और $x=1$।

उत्तर 1; 6.

यदि किसी समस्या को हल करने की प्रक्रिया में आपको कुछ क्रूर संख्याएँ मिलती हैं, या आप पाए गए उत्तरों की शुद्धता के बारे में पूरी तरह से सुनिश्चित नहीं हैं, तो एक अद्भुत ट्रिक है जो आपको जाँचने की अनुमति देती है: क्या हमने समस्या को सही ढंग से हल किया?

मान लीजिए कि समस्या 6 में हमें उत्तर -3 और 2 मिले। हम कैसे जांच सकते हैं कि ये उत्तर सही हैं? आइए बस उन्हें मूल स्थिति में प्लग करें और देखें कि क्या होता है। मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास तीन नंबर ($-6(()^(2))$, $+1$ और $14+4(()^(2))$) हैं, जो एक अंकगणितीय प्रगति का निर्माण करना चाहिए। स्थानापन्न $x=-3$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \ अंत (संरेखित करें) \]

हमें संख्याएँ मिलीं -54; -2; 50 जो 52 से भिन्न है निस्संदेह एक अंकगणितीय प्रगति है। $x=2$ के लिए भी ऐसा ही होता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \ अंत (संरेखित करें) \]

फिर से प्रगति, लेकिन 27 के अंतर के साथ। इस प्रकार, समस्या सही ढंग से हल हो गई है। जो लोग चाहते हैं वे अपने दम पर दूसरे कार्य की जाँच कर सकते हैं, लेकिन मैं अभी कहूँगा: वहाँ भी सब कुछ सही है।

सामान्य तौर पर, अंतिम कार्यों को हल करते समय, हम दूसरे पर ठोकर खा गए दिलचस्प तथ्य, जिसे भी याद रखने की आवश्यकता है:

यदि तीन संख्याएँ ऐसी हैं कि दूसरी पहली और अंतिम का औसत है, तो ये संख्याएँ अंकगणितीय श्रेढ़ी बनाती हैं।

भविष्य में, इस कथन को समझने से हमें समस्या की स्थिति के आधार पर आवश्यक प्रगति का अक्षरशः "निर्माण" करने की अनुमति मिलेगी। लेकिन इससे पहले कि हम इस तरह के "निर्माण" में संलग्न हों, हमें एक और तथ्य पर ध्यान देना चाहिए, जो कि पहले से ही माना जा चुका है।

समूहीकरण और तत्वों का योग

आइए फिर से संख्या रेखा पर वापस जाएं। हम प्रगति के कई सदस्यों पर ध्यान देते हैं, जिनके बीच, शायद। बहुत सारे अन्य सदस्यों के लायक:

संख्या रेखा पर 6 तत्व अंकित हैं

आइए $((a)_(n))$ और $d$ के संदर्भ में "लेफ्ट टेल" और $((a)_(k))$ और $ के संदर्भ में "राइट टेल" को व्यक्त करने का प्रयास करें घ $। यह बहुत सरल है:

\[\शुरू (संरेखित) और ((ए)_(एन+1))=((ए)_(एन))+डी; \\ & ((ए)_(एन+2))=((ए)_(एन))+2d; \\ & ((ए)_(के-1))=((ए)_(के))-डी; \\ & ((ए)_(के-2))=((ए)_(के))-2डी। \\ \end(संरेखित करें)\]

अब ध्यान दें कि निम्नलिखित योग समान हैं:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(एन))+((ए)_(के))=एस; \\ & ((ए)_(एन+1))+((ए)_(के-1))=((ए)_(एन))+डी+((ए)_(के))-डी= एस; \\ & ((ए)_(एन+2))+((ए)_(के-2))=((ए)_(एन))+2d+((ए)_(के))-2डी= एस। \ अंत (संरेखित करें) \]

सीधे शब्दों में कहें, अगर हम प्रगति के शुरुआती दो तत्वों के रूप में विचार करते हैं, जो कुल मिलाकर $S$ के बराबर हैं, और फिर हम इन तत्वों से विपरीत दिशाओं में कदम रखना शुरू करते हैं (एक दूसरे की ओर या इसके विपरीत दूर जाने के लिए), तब जिन तत्वों पर हम ठोकर खाएंगे उनका योग भी बराबर होगा$स$। इसे रेखांकन के रूप में सबसे अच्छा दर्शाया जा सकता है:

समान इंडेंट समान योग देते हैं

समझ इस तथ्यहमें समस्याओं को मौलिक रूप से और अधिक हल करने की अनुमति देगा उच्च स्तरऊपर चर्चा की तुलना में जटिलता। उदाहरण के लिए, ये:

टास्क नंबर 8। अंकगणितीय प्रगति का अंतर निर्धारित करें जिसमें पहला पद 66 है, और दूसरे और बारहवें पदों का गुणनफल सबसे छोटा संभव है।

समाधान। आइए हम जो कुछ भी जानते हैं उसे लिखें:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=66; \\&डी =? \\ & ((ए)_(2))\cdot ((ए)_(12))=\मिनट। \ अंत (संरेखित करें) \]

इसलिए, हम $ d $ की प्रगति के अंतर को नहीं जानते हैं। दरअसल, संपूर्ण समाधान अंतर के आसपास बनाया जाएगा, क्योंकि उत्पाद $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(2))=((ए)_(1))+डी=66+डी; \\ & ((ए)_(12))=((ए)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((ए)_(2))\cdot ((ए)_(12))=\बाएं(66+d \दाएं)\cdot \बाएं(66+11d \दाएं)= \\ & =11 \cdot \बाएं(d+66 \दाएं)\cdot \बाएं(d+6 \दाएं). \ अंत (संरेखित करें) \]

टैंक में उन लोगों के लिए: मैंने दूसरे ब्रैकेट में से सामान्य कारक 11 लिया है। इस प्रकार, वांछित उत्पाद चर $d$ के संबंध में एक द्विघात फलन है। इसलिए, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ फ़ंक्शन पर विचार करें - इसका ग्राफ शाखाओं के साथ एक पैराबोला होगा, क्योंकि यदि हम कोष्ठक खोलते हैं, तो हमें मिलता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं (डी \दाएं)=11\बाएं (((डी)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \दाएं)= \\ और =11(( डी)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(संरेखित)\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, उच्चतम पद पर गुणांक 11 है - यह है सकारात्मक संख्या, इसलिए हम वास्तव में शाखाओं के साथ एक परवलय के साथ काम कर रहे हैं:

द्विघात फलन का ग्राफ - परवलय
कृपया ध्यान दें: यह परवलय अपने शीर्ष पर भुज $((d)_(0))$ के साथ अपना न्यूनतम मान लेता है। बेशक, हम मानक योजना के अनुसार इस भुज की गणना कर सकते हैं (एक सूत्र है $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), लेकिन यह अधिक उचित होगा ध्यान दें कि वांछित शीर्ष पैराबोला की अक्ष समरूपता पर स्थित है, इसलिए बिंदु $((d)_(0))$ समीकरण की जड़ों से समान दूरी पर है $f\left(d \right)=0$:

\[\शुरू (संरेखित करें) और f\बाएं (डी\दाएं)=0; \\ & 11\cdot \बाएं(d+66 \दाएं)\cdot \बाएं(d+6 \दाएं)=0; \\ & ((डी)_(1))=-66;\क्वाड ((डी)_(2))=-6. \\ \end(संरेखित करें)\]

यही कारण है कि मुझे कोष्ठक खोलने की कोई जल्दी नहीं थी: मूल रूप में, जड़ों को खोजना बहुत आसान था। इसलिए, भुज संख्या -66 और -6 के अंकगणितीय माध्य के बराबर है:

\[((डी)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

हमें खोजी गई संख्या क्या देती है? इसके साथ, आवश्यक उत्पाद लेता है सबसे छोटा मूल्य(वैसे, हमने $((y)_(\min ))$ की गणना नहीं की - हमें ऐसा करने की आवश्यकता नहीं है)। साथ ही, यह संख्या प्रारंभिक प्रगति का अंतर है, अर्थात। हमें जवाब मिल गया। :)

उत्तर :-36

टास्क नंबर 9। संख्याओं $-\frac(1)(2)$ और $-\frac(1)(6)$ के बीच तीन संख्याएँ डालें ताकि दी गई संख्याओं के साथ मिलकर वे अंकगणितीय प्रगति बना सकें।

समाधान। वास्तव में, हमें पहले और के साथ पाँच संख्याओं का क्रम बनाने की आवश्यकता है अंतिम संख्यापहले से ही ज्ञात था। चर $x$, $y$ और $z$ द्वारा लापता संख्याओं को निरूपित करें:

\[\बाएं(((ए)_(एन)) \दाएं)=\बाएं\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \दाएं\ )\]

ध्यान दें कि संख्या $y$ हमारे अनुक्रम का "मध्य" है - यह संख्या $x$ और $z$ से समान दूरी पर है, और संख्या $-\frac(1)(2)$ और $-\frac से (1)(6)$। और अगर संख्या $x$ और $z$ से हम अंदर हैं इस पलहम $y$ प्राप्त नहीं कर सकते हैं, तो प्रगति के अंत के साथ स्थिति अलग है। अंकगणितीय माध्य याद रखें:

अब, $y$ जानने के बाद, हम शेष संख्याएँ ज्ञात करेंगे। ध्यान दें कि $x$ $-\frac(1)(2)$ और $y=-\frac(1)(3)$ के बीच स्थित है। इसीलिए

इसी तरह तर्क करते हुए, हम शेष संख्या ज्ञात करते हैं:

तैयार! हमें तीनों नंबर मिले। आइए उन्हें उत्तर में उस क्रम में लिखें जिसमें उन्हें मूल संख्याओं के बीच डाला जाना चाहिए।

उत्तर: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

टास्क नंबर 10। संख्या 2 और 42 के बीच, कई संख्याएँ सम्मिलित करें, जो दी गई संख्याओं के साथ मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, यदि यह ज्ञात है कि सम्मिलित संख्याओं में से पहली, दूसरी और अंतिम संख्या का योग 56 है।

समाधान। एक और भी कठिन कार्य, जो, हालांकि, पिछले वाले की तरह ही हल किया जाता है - अंकगणितीय माध्य के माध्यम से। समस्या यह है कि हम ठीक से नहीं जानते कि कितनी संख्याएँ सम्मिलित की जाएँ। इसलिए, निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि सम्मिलित करने के बाद बिल्कुल $n$ संख्याएँ होंगी, और उनमें से पहली 2 है, और अंतिम 42 है। इस मामले में, वांछित अंकगणितीय प्रगति को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

\[\लेफ्ट(((ए)_(एन)) \राइट)=\लेफ्ट$ 2;((ए)_(2));((ए)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right$\]

\[((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56\]

हालाँकि, ध्यान दें कि संख्याएँ $((a)_(2))$ और $((a)_(n-1))$ किनारों पर खड़ी संख्या 2 और 42 से एक दूसरे की ओर एक कदम आगे बढ़कर प्राप्त की जाती हैं। , अर्थात्। अनुक्रम के केंद्र में। और इसका मतलब यह है

\[((ए)_(2))+((ए)_(एन-1))=2+42=44\]

लेकिन तब उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(2))+((ए)_(3))+((ए)_(एन-1))=56; \\ & \बाएं(((ए)_(2))+((ए)_(एन-1)) \दाएं)+((ए)_(3))=56; \\ & 44+((ए)_(3))=56; \\ & ((ए)_(3))=56-44=12. \\ \end(संरेखित करें)\]

$((a)_(3))$ और $((a)_(1))$ को जानने के बाद, हम आसानी से प्रगति अंतर पा सकते हैं:

\[\शुरू(संरेखित करें) & ((ए)_(3))-((ए)_(1))=12-2=10; \\ & ((ए)_(3))-((ए)_(1))=\बाएं(3-1 \दाएं)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \end(संरेखित करें)\]

यह केवल शेष सदस्यों को खोजने के लिए बनी हुई है:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=2; \\ & ((ए)_(2))=2+5=7; \\ & ((ए)_(3))=12; \\ & ((ए)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((ए)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((ए)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((ए)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((ए)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((ए)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(संरेखित करें)\]

इस प्रकार, पहले से ही 9वें चरण में हम अनुक्रम के बाईं ओर आएंगे - संख्या 42। कुल मिलाकर, केवल 7 संख्याएँ सम्मिलित की जानी थीं: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

उत्तर: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

प्रगति के साथ पाठ कार्य

अंत में, मैं कुछ अपेक्षाकृत सरल समस्याओं पर विचार करना चाहूंगा। ठीक है, सरल के रूप में: अधिकांश छात्रों के लिए जो स्कूल में गणित का अध्ययन करते हैं और जो ऊपर लिखा गया है उसे नहीं पढ़ा है, ये कार्य एक इशारे की तरह लग सकते हैं। फिर भी, यह ठीक ऐसे कार्य हैं जो गणित में OGE और USE में सामने आते हैं, इसलिए मेरा सुझाव है कि आप उनसे खुद को परिचित करें।

टास्क नंबर 11। टीम ने जनवरी में 62 भागों का उत्पादन किया, और बाद के प्रत्येक महीने में उन्होंने पिछले एक की तुलना में 14 अधिक भागों का उत्पादन किया। नवंबर में ब्रिगेड ने कितने पुर्जों का उत्पादन किया?

समाधान। जाहिर है, महीने के हिसाब से चित्रित भागों की संख्या एक बढ़ती हुई अंकगणितीय प्रगति होगी। और:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=62;\क्वाड डी=14; \\ & ((ए)_(एन))=62+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 14. \\ \end(संरेखित करें)\]

नवंबर साल का 11वां महीना है, इसलिए हमें $((a)_(11))$ खोजने की जरूरत है:

\[((ए)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

इसलिए नवंबर में 202 पुर्जों का निर्माण किया जाएगा।

कार्य संख्या 12। बुकबाइंडिंग वर्कशॉप ने जनवरी में 216 किताबों की बाउंडिंग की, और हर महीने इसने पिछले महीने की तुलना में 4 और किताबों की बाउंडिंग की। दिसंबर में कार्यशाला में कितनी पुस्तकों की जिल्दसाजी हुई?

समाधान। सब एक जैसे:

$\शुरू (संरेखित करें) और ((ए)_(1))=216;\क्वाड डी=4; \\ & ((ए)_(एन))=216+\बाएं(एन-1 \दाएं)\cdot 4. \\ \end(संरेखित करें)$

दिसंबर साल का आखिरी, 12वां महीना है, इसलिए हम $((a)_(12))$ की तलाश कर रहे हैं:

\[((ए)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

ये रहा जवाब- दिसंबर में 260 किताबों की जिल्दसाजी होगी।

ठीक है, अगर आपने इसे अभी तक पढ़ा है, तो मैं आपको बधाई देने की जल्दबाजी करता हूं: आपने अंकगणितीय प्रगति में "युवा लड़ाकू पाठ्यक्रम" सफलतापूर्वक पूरा कर लिया है। आप सुरक्षित रूप से जा सकते हैं अगला पाठ, जहां हम प्रगति योग सूत्र का अध्ययन करेंगे, साथ ही इससे महत्वपूर्ण और बहुत उपयोगी परिणाम भी।

या अंकगणित - यह एक प्रकार का क्रमबद्ध संख्यात्मक क्रम है, जिसके गुणों का अध्ययन स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में किया जाता है। यह आलेख विस्तार से इस प्रश्न पर चर्चा करता है कि अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे प्राप्त किया जाए।

यह प्रगति क्या है?

प्रश्न पर विचार करने के लिए आगे बढ़ने से पहले (अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे ज्ञात करें), यह समझने योग्य है कि किस पर चर्चा की जाएगी।

वास्तविक संख्याओं का कोई भी अनुक्रम जो प्रत्येक पिछली संख्या से कुछ मान जोड़कर (घटाना) प्राप्त किया जाता है, बीजगणितीय (अंकगणितीय) प्रगति कहलाती है। गणित की भाषा में अनुवादित यह परिभाषा इस प्रकार लेती है:

यहाँ i श्रंखला a i के अवयवों की क्रमांक संख्या है। इस प्रकार, केवल एक प्रारंभिक संख्या जानने के बाद, आप पूरी श्रृंखला को आसानी से पुनर्स्थापित कर सकते हैं। सूत्र में पैरामीटर d को प्रगति अंतर कहा जाता है।

यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित समानता विचाराधीन संख्याओं की श्रृंखला के लिए है:

ए एन \u003d ए 1 + डी * (एन - 1)।

अर्थात्, क्रम में n-वें तत्व का मान ज्ञात करने के लिए, अंतर d को पहले तत्व a में 1 n-1 बार जोड़ें।

अंकगणितीय प्रगति का योग क्या है: सूत्र

संकेतित राशि के लिए सूत्र देने से पहले, यह एक साधारण विचार करने योग्य है विशेष मामला. 1 से 10 तक प्राकृतिक संख्याओं की प्रगति को देखते हुए, आपको उनका योग ज्ञात करना होगा। चूंकि प्रगति (10) में कुछ शर्तें हैं, इसलिए समस्या को सीधे हल करना संभव है, यानी सभी तत्वों को क्रम में जोड़ दें।

एस 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55।

यह एक दिलचस्प बात पर विचार करने योग्य है: चूँकि प्रत्येक शब्द अगले एक से समान मान d \u003d 1 से भिन्न होता है, तो दसवें के साथ पहले का जोड़ो में योग, दूसरा नौवें के साथ, और इसी तरह एक ही परिणाम देगा . वास्तव में:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

जैसा कि आप देख सकते हैं, इनमें से केवल 5 राशियाँ हैं, अर्थात् श्रृंखला में तत्वों की संख्या से ठीक दो गुना कम है। फिर योगों की संख्या (5) को प्रत्येक योग (11) के परिणाम से गुणा करके, आप पहले उदाहरण में प्राप्त परिणाम पर आ जाएंगे।

यदि हम इन तर्कों का सामान्यीकरण करें, तो हम निम्नलिखित व्यंजक लिख सकते हैं:

एस एन \u003d एन * (ए 1 + एन) / 2।

यह अभिव्यक्ति दर्शाती है कि सभी तत्वों को एक पंक्ति में योग करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, यह पहले a 1 और अंतिम a n के मान को जानने के लिए पर्याप्त है, और यह भी कुल गणनाशर्तें एन।

ऐसा माना जाता है कि गॉस ने पहली बार इस समानता के बारे में सोचा था जब वह अपने स्कूल के शिक्षक द्वारा निर्धारित समस्या का समाधान ढूंढ रहे थे: पहले 100 पूर्णांकों का योग।

एम से एन तक तत्वों का योग: सूत्र

पिछले पैराग्राफ में दिए गए सूत्र इस प्रश्न का उत्तर देते हैं कि अंकगणितीय प्रगति (पहले तत्वों) का योग कैसे प्राप्त किया जाए, लेकिन अक्सर कार्यों में प्रगति के बीच में संख्याओं की एक श्रृंखला को योग करना आवश्यक होता है। इसे कैसे करना है?

इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे आसान तरीका निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करना है: मान लीजिए कि mth से nth तक के पदों का योग ज्ञात करना आवश्यक है। समस्या को हल करने के लिए, प्रगति के m से n तक दिए गए खंड को एक नई संख्या श्रृंखला के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। ऐसे में प्रतिनिधित्व एम-वेंपद a m पहला होगा, और a n का क्रमांक n-(m-1) होगा। इस मामले में, योग के मानक सूत्र को लागू करने पर, निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त होगी:

एस एम एन \u003d (एन - एम + 1) * (ए एम + एन) / 2।

सूत्रों का उपयोग करने का उदाहरण

अंकगणितीय प्रगति का योग कैसे प्राप्त करना है, यह जानने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करने के एक सरल उदाहरण पर विचार करना उचित है।

नीचे दिया गया है संख्यात्मक अनुक्रम, आपको 5वें से शुरू होकर 12वें पर समाप्त होने वाले इसके सदस्यों का योग ज्ञात करना चाहिए:

दी गई संख्याएँ इंगित करती हैं कि अंतर d 3 के बराबर है। nवें तत्व के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करके, आप श्रेणी के 5वें और 12वें सदस्यों के मान ज्ञात कर सकते हैं। यह पता चला है:

ए 5 \u003d ए 1 + डी * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;
एक 12 \u003d एक 1 + डी * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29।

विचाराधीन बीजगणितीय प्रगति के अंत में संख्याओं के मूल्यों को जानने के साथ-साथ यह भी जानना कि वे श्रृंखला में किन संख्याओं पर कब्जा करते हैं, आप पिछले पैराग्राफ में प्राप्त योग के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। पाना:

एस 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148।

यह ध्यान देने योग्य है कि यह मान अलग तरीके से प्राप्त किया जा सकता है: पहले, मानक सूत्र का उपयोग करके पहले 12 तत्वों का योग ज्ञात करें, फिर उसी सूत्र का उपयोग करके पहले 4 तत्वों के योग की गणना करें, और फिर पहले योग से दूसरे को घटाएं .

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