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किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान। किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान कैसे ज्ञात करें

समारोह होने दें वाई =एफ(एक्स)अंतराल पर निरंतर [ ए, बी]। जैसा कि जाना जाता है, ऐसा फ़ंक्शन इस खंड पर अपने अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों तक पहुंचता है। फ़ंक्शन इन मानों को या तो खंड के आंतरिक बिंदु पर ले सकता है [ ए, बी], या खंड की सीमा पर।

खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करने के लिए [ ए, बी] ज़रूरी:

1) अंतराल में फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें ( ए, बी);

2) पाए गए महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें;

3) सेगमेंट के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें, अर्थात एक्स=एऔर एक्स = बी;

4) फ़ंक्शन के सभी परिकलित मानों में से, सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।

उदाहरण।किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए

खंड पर।

महत्वपूर्ण बिंदु ढूँढना:

ये बिंदु खंड के अंदर स्थित हैं; वाई(1) = ‒ 3; वाई(2) = ‒ 4; वाई(0) = ‒ 8; वाई(3) = 1;

बिंदु पर एक्स= 3 और बिंदु पर एक्स= 0.

उत्तलता और एक विभक्ति बिंदु के लिए एक समारोह की जांच।

समारोह वाई = एफ (एक्स) बुलाया उत्तलबीच में (ए, बी) , यदि इसका ग्राफ इस अंतराल के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा के अंतर्गत आता है, और कहा जाता है उत्तल नीचे (अवतल)यदि इसका ग्राफ स्पर्शरेखा के ऊपर स्थित है।

संक्रमण के उस बिंदु को कहा जाता है जिसके माध्यम से उत्तलता को अवतलता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है या इसके विपरीत कहा जाता है संक्रमण का बिन्दु.

उत्तलता और विभक्ति बिंदु के अध्ययन के लिए एल्गोरिथम:

1. दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदुओं का पता लगाएं, अर्थात, जिन बिंदुओं पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

2. महत्वपूर्ण बिंदुओं को संख्या रेखा पर रखें, इसे अंतरालों में विभाजित करें। प्रत्येक अंतराल पर दूसरे अवकलज का चिह्न ज्ञात कीजिए; यदि , तो फलन ऊपर की ओर उत्तल है, यदि, तो फलन नीचे की ओर उत्तल है।

3. यदि, दूसरी तरह के महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, यह संकेत बदलता है और इस बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है, तो यह बिंदु विभक्ति बिंदु का भुज होता है। इसकी कोटि ज्ञात कीजिए।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख। स्पर्शोन्मुख में एक समारोह की जांच।

परिभाषा।किसी फलन के ग्राफ की अनंतस्पर्शी रेखा कहलाती है सीधा, जिसका यह गुण है कि ग्राफ़ के किसी भी बिंदु से इस रेखा तक की दूरी ग्राफ़ बिंदु को मूल बिंदु से असीमित रूप से हटाने पर शून्य हो जाती है।

स्पर्शोन्मुख तीन प्रकार के होते हैं: ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज और झुका हुआ।

परिभाषा।डायरेक्ट कॉल किया ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोटसमारोह ग्राफ वाई = एफ (एक्स), यदि इस बिंदु पर फ़ंक्शन की कम से कम एक तरफा सीमा अनंत के बराबर है, अर्थात

फलन का विच्छिन्नता बिंदु कहाँ है, अर्थात् यह परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं है।

उदाहरण।

डी( वाई) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

एक्स= 2 - ब्रेकिंग पॉइंट।

परिभाषा।सीधा वाई =एबुलाया समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखासमारोह ग्राफ वाई = एफ (एक्स)पर, अगर

उदाहरण।

एक्स
वाई

परिभाषा।सीधा वाई =कएक्स +बी (क≠ 0) कहा जाता है तिरछा स्पर्शोन्मुखसमारोह ग्राफ वाई = एफ (एक्स)कहा पर

कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन के लिए सामान्य योजना।

फंक्शन रिसर्च एल्गोरिथमवाई = एफ (एक्स) :

1. फलन का प्रांत ज्ञात कीजिए डी (वाई).

2. (यदि संभव हो तो) निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को खोजें (साथ में एक्स= 0 और पर वाई = 0).

3. सम और विषम कार्यों के लिए जाँच करें ( वाई (‒ एक्स) = वाई (एक्स) ‒ समानता; वाई(‒ एक्स) = ‒ वाई (एक्स) ‒ अजीब)।

4. फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शोन्मुख खोजें।

5. समारोह की एकरसता के अंतराल का पता लगाएं।

6. फलन का चरम ज्ञात कीजिए।

7. फ़ंक्शन के ग्राफ के उत्तलता (अवतलता) और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल का पता लगाएं।

8. किए गए शोध के आधार पर, फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं।

उदाहरण।फ़ंक्शन की जांच करें और इसके ग्राफ को प्लॉट करें।

1) डी (वाई) =

एक्स= 4 - ब्रेकिंग पॉइंट।

2) कब एक्स = 0,

(0; – 5) – के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ओए.

पर वाई = 0,

3) वाई(‒ एक्स)= समारोह सामान्य रूप से देखें(न तो सम और न ही विषम)।

4) हम स्पर्शोन्मुख के लिए जांच करते हैं।

ए) लंबवत

बी) क्षैतिज

ग) तिरछे स्पर्शोन्मुख खोजें जहां

- तिरछा स्पर्शोन्मुख समीकरण

5) इस समीकरण में, फ़ंक्शन की एकरसता के अंतरालों को खोजने की आवश्यकता नहीं है।

ये महत्वपूर्ण बिंदु फ़ंक्शन के पूरे डोमेन को अंतराल (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) और (10; +∞) पर विभाजित करते हैं। प्राप्त परिणामों को निम्न तालिका के रूप में प्रस्तुत करना सुविधाजनक है।

अक्सर भौतिकी और गणित में इसे खोजने की आवश्यकता होती है सबसे छोटा मूल्यकार्य करता है। यह कैसे करना है, अब हम बताएंगे।

किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे प्राप्त करें: निर्देश

किसी दिए गए अंतराल पर निरंतर कार्य के सबसे छोटे मूल्य की गणना करने के लिए, आपको इस एल्गोरिथम का पालन करने की आवश्यकता है:
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
किसी दिए गए खंड पर उन बिंदुओं को खोजें जिन पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर है, साथ ही साथ सभी महत्वपूर्ण बिंदु भी। फिर इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें, अर्थात उस समीकरण को हल करें जहां x शून्य के बराबर है। पता करें कि कौन सा मान सबसे छोटा है।
पता लगाएं कि फ़ंक्शन के अंत बिंदुओं पर क्या मूल्य है। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान निर्धारित करें।
प्राप्त आंकड़ों की तुलना सबसे छोटे मूल्य से करें। प्राप्त संख्याओं में से जो छोटा होगा वह फलन का सबसे छोटा मान होगा।

ध्यान दें कि यदि किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन में सबसे छोटे बिंदु नहीं होते हैं, तो इसका मतलब यह है कि यह इस खंड पर बढ़ता या घटता है। इसलिए, सबसे छोटे मान की गणना फ़ंक्शन के परिमित खंडों पर की जानी चाहिए।

अन्य सभी मामलों में, फ़ंक्शन के मान की गणना दिए गए एल्गोरिथम के अनुसार की जाती है। एल्गोरिथ्म के प्रत्येक चरण में, आपको एक सरल हल करने की आवश्यकता होगी रेखीय समीकरणएक जड़ के साथ। गलतियों से बचने के लिए रेखाचित्र की सहायता से समीकरण को हल कीजिए।

आधे खुले सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे प्राप्त करें? आधे खुले पर या खुली अवधिफ़ंक्शन, सबसे छोटा मान निम्नानुसार पाया जाना चाहिए। फ़ंक्शन मान के अंत बिंदु पर, फ़ंक्शन की एक तरफा सीमा की गणना करें। दूसरे शब्दों में, एक समीकरण को हल करें जिसमें प्रवृत्त बिंदु मान a+0 और b+0 द्वारा दिए गए हैं, जहां a और b महत्वपूर्ण बिंदुओं के नाम हैं।

अब आप जानते हैं कि किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान कैसे ज्ञात किया जाता है। मुख्य बात यह है कि सभी गणना सही, सटीक और त्रुटियों के बिना करें।

और इसे हल करने के लिए, आपको विषय का न्यूनतम ज्ञान होना चाहिए। अगला शैक्षणिक वर्ष समाप्त हो रहा है, हर कोई छुट्टी पर जाना चाहता है, और इस क्षण को करीब लाने के लिए, मैं तुरंत व्यवसाय में उतर जाता हूं:

आइए क्षेत्र से शुरू करते हैं। स्थिति में संदर्भित क्षेत्र है सीमित बंद किया हुआ विमान में बिंदुओं का सेट। उदाहरण के लिए, ENTIRE त्रिभुज सहित त्रिभुज से घिरे बिंदुओं का एक समूह (यदि से सीमाओंकम से कम एक बिंदु "पोक आउट" करें, फिर क्षेत्र बंद नहीं होगा). व्यवहार में, आयताकार, गोल और थोड़ा अधिक क्षेत्र भी होते हैं जटिल आकार. यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गणितीय विश्लेषण के सिद्धांत में सख्त परिभाषाएं दी गई हैं सीमाएँ, अलगाव, सीमाएँ, आदि।, लेकिन मुझे लगता है कि हर कोई इन अवधारणाओं के बारे में सहज स्तर पर जानता है, और अब और अधिक की आवश्यकता नहीं है।

समतल क्षेत्र को अक्षर द्वारा मानक रूप से निरूपित किया जाता है, और, एक नियम के रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से दिया जाता है - कई समीकरणों द्वारा (आवश्यक रूप से रैखिक नहीं); कम अक्सर असमानताएं। एक विशिष्ट मौखिक कारोबार: "बंद क्षेत्र लाइनों द्वारा सीमित"।

विचाराधीन कार्य का एक अभिन्न अंग ड्राइंग पर क्षेत्र का निर्माण है। इसे कैसे करना है? सूचीबद्ध सभी पंक्तियों को खींचना आवश्यक है (में इस मामले में 3 सीधा) और विश्लेषण करें कि क्या हुआ। वांछित क्षेत्र आमतौर पर हल्के से रचा हुआ होता है, और इसकी सीमा को एक बोल्ड लाइन के साथ हाइलाइट किया जाता है:

एक ही क्षेत्र सेट किया जा सकता है रैखिक असमानताएँ: , जो किसी कारण से अधिक बार गणना सूची के रूप में लिखे जाते हैं, और नहीं प्रणाली.
चूंकि सीमा क्षेत्र से संबंधित है, तो निश्चित रूप से सभी असमानताएं, गैर सख्त.

और अब मामले की जड़। कल्पना कीजिए कि निर्देशांक की उत्पत्ति से अक्ष सीधे आपके पास जाता है। एक समारोह पर विचार करें कि निरंतर प्रत्येक मेंक्षेत्र बिंदु। इस समारोह का ग्राफ है सतह, और छोटी सी खुशी यह है कि आज की समस्या को हल करने के लिए हमें यह जानने की जरूरत नहीं है कि यह सतह कैसी दिखती है। यह ऊपर, नीचे स्थित हो सकता है, विमान को पार कर सकता है - यह सब महत्वपूर्ण नहीं है। और निम्नलिखित महत्वपूर्ण है: के अनुसार वीयरस्ट्रास प्रमेय, निरंतरवी सीमित बंदक्षेत्र, समारोह अपने अधिकतम तक पहुँचता है ("उच्चतम" का)और कम से कम ("सबसे कम")पाए जाने वाले मान। ये मान प्राप्त होते हैं यावी स्थिर बिंदु, क्षेत्र से संबंधितडी , याउन बिंदुओं पर जो इस क्षेत्र की सीमा पर स्थित हैं। जिससे एक सरल और पारदर्शी समाधान एल्गोरिथ्म का अनुसरण होता है:

उदाहरण 1

सीमित बंद क्षेत्र

समाधान: सबसे पहले, आपको ड्राइंग पर क्षेत्र को चित्रित करने की आवश्यकता है। दुर्भाग्य से, मेरे लिए समस्या का एक संवादात्मक मॉडल बनाना तकनीकी रूप से कठिन है, और इसलिए मैं तुरंत अंतिम चित्रण दूंगा, जो अध्ययन के दौरान पाए गए सभी "संदिग्ध" बिंदुओं को दर्शाता है। आमतौर पर उन्हें एक के बाद एक नीचे रखा जाता है क्योंकि वे पाए जाते हैं:

प्रस्तावना के आधार पर, निर्णय को आसानी से दो बिंदुओं में विभाजित किया जा सकता है:

I) आइए स्थिर बिंदु खोजें। यह एक मानक क्रिया है जिसे हमने पाठ में बार-बार किया है। कई चर के एक्स्ट्रेमा के बारे में:

स्थिर बिंदु मिला अंतर्गत आता हैक्षेत्र: (इसे ड्राइंग पर चिह्नित करें), जिसका अर्थ है कि हमें दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करनी चाहिए:

- जैसा कि लेख में है किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान, मैं महत्वपूर्ण परिणामों को बोल्ड में हाइलाइट करूंगा। एक नोटबुक में उन्हें एक पेंसिल के साथ सर्कल करना सुविधाजनक है।

हमारी दूसरी खुशी पर ध्यान दें - जाँचने का कोई मतलब नहीं है एक चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति. क्यों? यहां तक कि अगर बिंदु पर फ़ंक्शन पहुंचता है, उदाहरण के लिए, स्थानीय न्यूनतम, तो इसका मतलब यह नहीं है कि परिणामी मूल्य होगा कम से कमपूरे क्षेत्र में (पाठ की शुरुआत देखें बिना शर्त चरम के बारे में) .

क्या होगा यदि स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं है? लगभग कुछ भी नहीं है! यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि और अगले पैराग्राफ पर जाएं।

II) हम क्षेत्र की सीमा की जांच करते हैं।

चूंकि सीमा में एक त्रिभुज की भुजाएँ होती हैं, इसलिए अध्ययन को 3 उप-अनुच्छेदों में विभाजित करना सुविधाजनक है। लेकिन इसे किसी भी तरह से न करना बेहतर है। मेरे दृष्टिकोण से, सबसे पहले समन्वय अक्षों के समानांतर खंडों पर विचार करना अधिक लाभप्रद है, और सबसे पहले, जो स्वयं अक्षों पर स्थित हैं। क्रियाओं के पूरे क्रम और तर्क को पकड़ने के लिए, "एक सांस में" अंत का अध्ययन करने का प्रयास करें:

1) आइए त्रिभुज की निचली भुजा से निपटें। ऐसा करने के लिए, हम सीधे फ़ंक्शन में स्थानापन्न करते हैं:

वैकल्पिक रूप से, आप इसे इस तरह कर सकते हैं:

ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि समन्वय विमान (जो समीकरण द्वारा भी दिया गया है)से "कट आउट" सतह"स्थानिक" परबोला, जिसका शीर्ष तुरंत संदेह के दायरे में आता है। चलो पता करते हैं वह कहाँ है:

- परिणामी मूल्य क्षेत्र में "हिट", और यह उस बिंदु पर अच्छी तरह से हो सकता है (ड्राइंग पर निशान)फ़ंक्शन पूरे क्षेत्र में सबसे बड़े या सबसे छोटे मान तक पहुँचता है। वैसे भी, गणना करते हैं:

अन्य "उम्मीदवार", निश्चित रूप से, खंड के अंत हैं। बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें (ड्राइंग पर निशान):

यहाँ, वैसे, आप "स्ट्रिप्ड डाउन" संस्करण पर एक मौखिक मिनी-चेक कर सकते हैं:

2) त्रिभुज के दाईं ओर का अध्ययन करने के लिए, हम इसे फ़ंक्शन में प्रतिस्थापित करते हैं और "चीजों को क्रम में रखते हैं":

यहां हम तुरंत खंड के पहले से संसाधित अंत "रिंगिंग" की एक रफ जांच करते हैं:
, महान।

ज्यामितीय स्थिति पिछले बिंदु से संबंधित है:

- परिणामी मूल्य भी "हमारे हितों के दायरे में प्रवेश किया", जिसका अर्थ है कि हमें यह गणना करने की आवश्यकता है कि फ़ंक्शन उस बिंदु के बराबर है जो दिखाई दिया है:

आइए खंड के दूसरे छोर की जांच करें:

समारोह का उपयोग करना , की जाँच करें:

3) शायद हर कोई जानता है कि शेष पक्ष का पता कैसे लगाया जाए। हम फ़ंक्शन में स्थानापन्न करते हैं और सरलीकरण करते हैं:

रेखा समाप्त होती है पहले ही जांच की जा चुकी है, लेकिन मसौदे पर हम अभी भी जाँचते हैं कि क्या हमने फ़ंक्शन को सही पाया है :
– पहले उप-अनुच्छेद के परिणाम के साथ मेल खाता है;
- दूसरे उप-अनुच्छेद के परिणाम के साथ मेल खाता है।

यह पता लगाना बाकी है कि क्या खंड के अंदर कुछ दिलचस्प है:

- वहाँ है! समीकरण में एक सीधी रेखा को प्रतिस्थापित करते हुए, हमें इस "दिलचस्पता" का क्रम मिलता है:

हम ड्राइंग पर एक बिंदु को चिह्नित करते हैं और फ़ंक्शन के संबंधित मूल्य का पता लगाते हैं:

आइए "बजट" संस्करण के अनुसार गणनाओं को नियंत्रित करें :
, आदेश देना।

और अंतिम चरण: ध्यान से सभी "वसा" संख्याओं को देखें, मैं शुरुआती लोगों को भी एक सूची बनाने की सलाह देता हूं:

जिसमें से हम सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान चुनते हैं। उत्तरखोजने की समस्या की शैली में लिखें सेगमेंट पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान:

बस मामले में, मैं एक बार फिर से परिणाम के ज्यामितीय अर्थ पर टिप्पणी करूंगा:
- यहाँ सबसे अधिक है उच्च बिंदुक्षेत्र में सतहें;
- यहाँ क्षेत्र में सतह का सबसे निचला बिंदु है।

विश्लेषित समस्या में, हमें 7 "संदिग्ध" बिंदु मिले, लेकिन उनकी संख्या कार्य से कार्य में भिन्न होती है। त्रिकोणीय क्षेत्र के लिए, न्यूनतम "अन्वेषण सेट" में तीन बिंदु होते हैं। यह तब होता है जब फ़ंक्शन, उदाहरण के लिए, सेट हो जाता है विमान- यह बिल्कुल स्पष्ट है कि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं, और फ़ंक्शन केवल त्रिकोण के शीर्ष पर अधिकतम / न्यूनतम मान तक पहुंच सकता है। लेकिन एक बार, दो बार ऐसे कोई उदाहरण नहीं हैं - आमतौर पर आपको किसी न किसी तरह से निपटना पड़ता है दूसरे क्रम की सतह.

यदि आप ऐसे कार्यों को थोड़ा हल करते हैं, तो त्रिकोण आपके सिर को घुमा सकते हैं, और इसलिए मैंने आपके लिए इसे चौकोर बनाने के लिए असामान्य उदाहरण तैयार किए हैं :))

उदाहरण 2

किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए लाइनों से बंधे एक बंद क्षेत्र में

उदाहरण 3

परिबद्ध बंद क्षेत्र में किसी फलन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

तर्कसंगत क्रम और क्षेत्र की सीमा की खोज की तकनीक के साथ-साथ मध्यवर्ती चेक की श्रृंखला पर विशेष ध्यान दें, जो लगभग पूरी तरह से कम्प्यूटेशनल त्रुटियों से बचेंगे। आम तौर पर, आप इसे अपनी इच्छानुसार हल कर सकते हैं, लेकिन कुछ समस्याओं में, उदाहरण के लिए, उसी उदाहरण 2 में, आपके जीवन को महत्वपूर्ण रूप से जटिल बनाने का पूरा मौका है। नमूना नमूनापाठ के अंत में कार्य पूरा करना।

हम समाधान एल्गोरिथ्म को व्यवस्थित करते हैं, अन्यथा, मकड़ी के मेरे परिश्रम के साथ, यह किसी तरह पहले उदाहरण की टिप्पणियों के लंबे धागे में खो गया:

- पहले चरण में, हम एक क्षेत्र का निर्माण करते हैं, इसे छायांकित करना वांछनीय है, और सीमा को एक बोल्ड लाइन के साथ हाइलाइट करें। समाधान के दौरान, ऐसे बिंदु दिखाई देंगे जिन्हें ड्राइंग पर डालने की आवश्यकता है।

- स्थिर बिंदुओं का पता लगाएं और फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें केवल उन्हीं मेंजो क्षेत्र के हैं। प्राप्त मूल्यों को पाठ में हाइलाइट किया गया है (उदाहरण के लिए, एक पेंसिल के साथ परिचालित)। यदि स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित नहीं है, तो हम इस तथ्य को एक चिह्न या मौखिक रूप से चिह्नित करते हैं। यदि कोई स्थिर बिंदु नहीं हैं, तो हम एक लिखित निष्कर्ष निकालते हैं कि वे अनुपस्थित हैं। किसी भी स्थिति में, इस आइटम को छोड़ा नहीं जा सकता!

- सीमा क्षेत्र की खोज। सबसे पहले, सीधी रेखाओं से निपटना फायदेमंद होता है जो समन्वय अक्षों के समानांतर होती हैं (अगर वहां कोई है). "संदिग्ध" बिंदुओं पर गणना किए गए फ़ंक्शन मान भी हाइलाइट किए गए हैं। ऊपर समाधान तकनीक के बारे में बहुत कुछ कहा गया है और नीचे कुछ और कहा जाएगा - पढ़ें, फिर से पढ़ें, तल्लीन करें!

- चयनित संख्याओं में से, सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों का चयन करें और उत्तर दें। कभी-कभी ऐसा होता है कि फ़ंक्शन एक साथ कई बिंदुओं पर ऐसे मानों तक पहुँच जाता है - इस मामले में, इन सभी बिंदुओं को उत्तर में परिलक्षित होना चाहिए। चलो, उदाहरण के लिए, और यह पता चला कि यह सबसे छोटा मान है। फिर हम उसे लिखते हैं

अंतिम उदाहरण अन्य उपयोगी विचारों के लिए समर्पित हैं जो व्यवहार में उपयोगी होंगे:

उदाहरण 4

एक बंद क्षेत्र में किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें .

मैंने लेखक का सूत्रीकरण रखा है, जिसमें क्षेत्र को दोहरी असमानता के रूप में दिया गया है। इस स्थिति को समतुल्य प्रणाली में या इस समस्या के लिए अधिक पारंपरिक रूप में लिखा जा सकता है:

मैं आपको याद दिलाता हूं कि साथ गैर रेखीयहमें असमानताओं का सामना करना पड़ा, और यदि आप प्रविष्टि के ज्यामितीय अर्थ को नहीं समझते हैं, तो कृपया देरी न करें और अभी स्थिति स्पष्ट करें ;-)

समाधान, हमेशा की तरह, क्षेत्र के निर्माण से शुरू होता है, जो एक प्रकार का "एकमात्र" है:

हम्म, कभी-कभी आपको न केवल विज्ञान के ग्रेनाइट को कुतरना पड़ता है ....

I) स्थिर बिंदुओं का पता लगाएं:

इडियट्स ड्रीम सिस्टम :)

स्थिर बिंदु क्षेत्र से संबंधित है, अर्थात्, इसकी सीमा पर स्थित है।

और इसलिए, यह कुछ भी नहीं है ... मजेदार सबक चला गया - यही सही चाय पीने का मतलब है =)

II) हम क्षेत्र की सीमा की जांच करते हैं। आगे की हलचल के बिना, आइए एक्स-अक्ष से शुरू करें:

1) अगर, तो

पता लगाएं कि परबोला का शीर्ष कहां है:
- ऐसे क्षणों की सराहना करें - "हिट" सही बिंदु पर, जिससे सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। लेकिन जांचना न भूलें:

आइए सेगमेंट के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

2) हम "एकमात्र" "एक बैठक में" के निचले हिस्से से निपटेंगे - बिना किसी परिसर के हम इसे फ़ंक्शन में बदल देंगे, इसके अलावा, हम केवल सेगमेंट में रुचि लेंगे:

नियंत्रण:

अब यह पहले से ही घुमावदार ट्रैक पर नीरस सवारी के लिए कुछ पुनरुद्धार ला रहा है। आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:

हमने निर्णय किया द्विघात समीकरणक्या आपको यह याद है? ... हालाँकि, याद रखें, निश्चित रूप से, अन्यथा आपने इन पंक्तियों को नहीं पढ़ा होगा =) यदि पिछले दो उदाहरणों में दशमलव अंशों में गणना सुविधाजनक थी (जो कि, दुर्लभ है), तो यहाँ हम प्रतीक्षा कर रहे हैं साधारण सामान्य अंश. हम "x" जड़ें पाते हैं और समीकरण का उपयोग करते हुए, "उम्मीदवार" बिंदुओं के संबंधित "गेम" निर्देशांक निर्धारित करते हैं:

आइए पाए गए बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

समारोह को स्वयं जांचें।

अब हम जीती हुई ट्राफियों का ध्यानपूर्वक अध्ययन करते हैं और लिखते हैं उत्तर:

यहाँ "उम्मीदवार" हैं, इसलिए "उम्मीदवार"!

स्टैंडअलोन समाधान के लिए:

उदाहरण 5

किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान ज्ञात करें एक बंद क्षेत्र में

घुंघराले ब्रेसिज़ के साथ एक प्रविष्टि इस तरह पढ़ती है: "बिंदुओं का एक सेट ऐसा"।

कभी-कभी ऐसे उदाहरणों में वे उपयोग करते हैं लैग्रेंज गुणक विधि, लेकिन इसका उपयोग करने की वास्तविक आवश्यकता उत्पन्न होने की संभावना नहीं है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि एक ही क्षेत्र "डी" के साथ एक फ़ंक्शन दिया जाता है, तो उसमें प्रतिस्थापन के बाद - बिना किसी कठिनाई के व्युत्पन्न के साथ; इसके अलावा, ऊपरी और निचले अर्धवृत्तों पर अलग-अलग विचार करने की आवश्यकता के बिना सब कुछ एक "एक पंक्ति" (संकेतों के साथ) में तैयार किया गया है। लेकिन, ज़ाहिर है, और भी हैं कठिन मामले, जहां लैग्रेंज फ़ंक्शन के बिना (जहां , उदाहरण के लिए, समान वृत्त समीकरण है)इसे प्राप्त करना कठिन है - बिना अच्छे आराम के प्राप्त करना कितना कठिन है!

सत्र को पास करने के लिए शुभकामनाएं और अगले सत्र में जल्द ही आपसे मुलाकात होगी!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2: समाधान: ड्राइंग पर क्षेत्र बनाएं:

किसी फलन का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम (चरम) के लिए आवश्यक शर्त इस प्रकार है: यदि फ़ंक्शन f(x) बिंदु x = a पर चरम है, तो इस बिंदु पर व्युत्पन्न या तो शून्य या अनंत है, या करता है मौजूद नहीं।

यह स्थिति आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। बिंदु पर व्युत्पन्न x = a गायब हो सकता है, अनंत तक जा सकता है, या इस बिंदु पर चरम सीमा वाले फ़ंक्शन के बिना मौजूद नहीं हो सकता है।

फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f?(x) a के बाईं ओर धनात्मक है और a के दाईं ओर ऋणात्मक है, तो बिंदु x = स्वयं पर, फलन f(x) है अधिकतम

यदि, बिंदु x = a के पर्याप्त निकटता में, व्युत्पन्न f? (x) a के बाईं ओर ऋणात्मक है और a के दाईं ओर धनात्मक है, तो बिंदु x = स्वयं पर, फलन f(x) है न्यूनतमबशर्ते कि फलन f(x) यहाँ संतत हो।

इसके बजाय, आप फ़ंक्शन के चरम के लिए दूसरी पर्याप्त स्थिति का उपयोग कर सकते हैं:

चलो बिंदु पर x = और पहला व्युत्पन्न f? (x) गायब हो जाता है; यदि दूसरा व्युत्पन्न f??(а) ऋणात्मक है, तो फलन f(x) बिंदु x = a पर अधिकतम है, यदि यह धनात्मक है, तो न्यूनतम है।

किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजें?

यह फ़ंक्शन तर्क का मान है जिस पर फ़ंक्शन का चरम (यानी अधिकतम या न्यूनतम) होता है। इसे खोजने के लिए, आपको चाहिए व्युत्पन्न खोजेंफलन f?(x) और, इसे शून्य के बराबर करने पर, प्रश्न हल करें f?(x) = 0। इस समीकरण की जड़ें, साथ ही वे बिंदु जिन पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न मौजूद नहीं है, महत्वपूर्ण बिंदु हैं, अर्थात, तर्क के मान जिस पर एक चरम सीमा हो सकती है . इन्हें देखकर आसानी से पहचाना जा सकता है व्युत्पन्न ग्राफ: हम तर्क के उन मूल्यों में रुचि रखते हैं जिन पर फ़ंक्शन का ग्राफ़ एब्सिस्सा अक्ष (ऑक्स अक्ष) को काटता है और जिन पर ग्राफ़ टूटता है।

उदाहरण के लिए, आइए खोजें परबोला का चरम.

फलन y(x) = 3x2 + 2x - 50।

फलन व्युत्पन्न: y?(x) = 6x + 2

हम समीकरण को हल करते हैं: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

इस स्थिति में, महत्वपूर्ण बिंदु x0=-1/3 है। यह फ़ंक्शन के तर्क के इस मान के लिए है चरम. उसे पाने के लिए पाना, हम "x" के बजाय फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्ति में मिली संख्या को प्रतिस्थापित करते हैं:

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333।

किसी फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम कैसे निर्धारित करें, अर्थात इसका सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य?

यदि महत्वपूर्ण बिंदु x0 से गुजरने पर व्युत्पन्न का चिह्न "प्लस" से "माइनस" में बदल जाता है, तो x0 है अधिकतम बिंदु; यदि अवकलज का चिह्न ऋणात्मक से धनात्मक में परिवर्तित होता है, तो x0 है न्यूनतम बिंदु; यदि चिन्ह नहीं बदलता है, तो बिंदु x0 पर न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम है।

माना उदाहरण के लिए:

हम के बाईं ओर के तर्क का मनमाना मान लेते हैं महत्वपूर्ण बिन्दू: एक्स = -1

जब x = -1, व्युत्पन्न का मान y होगा? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (यानी, ऋण चिह्न)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर तर्क का मनमाना मान लेते हैं: x = 1

x = 1 के लिए, अवकलज का मान होगा y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (अर्थात् धन चिह्न)।

जैसा कि आप देख सकते हैं, महत्वपूर्ण बिंदु से गुजरते समय, डेरिवेटिव ने साइन को माइनस से प्लस में बदल दिया। इसका अर्थ है कि x0 के क्रांतिक मान पर हमारे पास एक न्यूनतम बिंदु है।

समारोह का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मूल्य अंतराल पर(सेगमेंट पर) एक ही प्रक्रिया द्वारा पाए जाते हैं, केवल इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि, शायद, सभी महत्वपूर्ण बिंदु निर्दिष्ट अंतराल के भीतर नहीं होंगे। वे महत्वपूर्ण बिंदु जो अंतराल के बाहर हैं, उन्हें विचार से बाहर रखा जाना चाहिए। यदि अंतराल के अंदर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, तो इसका या तो अधिकतम या न्यूनतम होगा। इस मामले में, फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को निर्धारित करने के लिए, हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों को भी ध्यान में रखते हैं।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें

वाई (एक्स) \u003d 3 पाप (एक्स) - 0.5x

अंतरालों पर:

अतः फलन का अवकलज है

वाई? (एक्स) = 3cos (एक्स) - 0.5

हम समीकरण 3cos(x) - 0.5 = 0 को हल करते हैं

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± आर्ककोस (0.16667) + 2πk।

हम अंतराल [-9; 9]:

x \u003d आर्ककोस (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन के मान पाते हैं:

वाई (-7.687) = 3cos (-7.687) - 0.5 = 0.885

वाई (-4.88) = 3cos (-4.88) - 0.5 = 5.398

वाई (-1.403) = 3cos (-1.403) - 0.5 = -2.256

वाई (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

वाई (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

वाई (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] उच्चतम मूल्यफ़ंक्शन x = -4.88 पर है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398।

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: x = -4.88। x = -4.88 पर फलन का मान y = 5.398 है।

हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान पाते हैं:

वाई(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

वाई(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है

वाई = 5.398 एक्स = -4.88 पर

सबसे छोटा मान है

वाई = 1.077 एक्स = -3 पर

फ़ंक्शन ग्राफ़ के विभक्ति बिंदु कैसे खोजें और उत्तलता और समतलता के पक्षों का निर्धारण कैसे करें?

रेखा y \u003d f (x) के सभी विभक्ति बिंदुओं को खोजने के लिए, आपको दूसरा व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता है, इसे शून्य के बराबर करें (समीकरण को हल करें) और x के उन सभी मानों का परीक्षण करें जिनके लिए दूसरा व्युत्पन्न शून्य है , अनंत या मौजूद नहीं है। यदि, इन मानों में से किसी एक से गुजरते समय, दूसरा अवकलज चिह्न बदल जाता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक मोड़ होता है। यदि यह नहीं बदलता है, तो कोई विभक्ति नहीं है।

समीकरण च की जड़ें ? (x) = 0, साथ ही फलन के विच्छिन्नता के संभावित बिंदु और दूसरा अवकलज, फलन के क्षेत्र को कई अंतरालों में विभाजित करते हैं। उनके प्रत्येक अंतराल पर उत्तलता दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न द्वारा निर्धारित की जाती है। यदि अध्ययन के तहत अंतराल पर एक बिंदु पर दूसरा व्युत्पन्न सकारात्मक है, तो रेखा y = f(x) यहाँ ऊपर की ओर अवतल है, और यदि यह ऋणात्मक है, तो नीचे की ओर।

दो वेरिएबल्स के फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा कैसे खोजें?

फ़ंक्शन f(x, y) के एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए, इसके असाइनमेंट के क्षेत्र में अलग-अलग, आपको इसकी आवश्यकता है:

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफएक्स? (एक्स,वाई) = 0, वित्त वर्ष? (एक्स, वाई) = 0

2) प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु P0(a;b) के लिए, जाँच करें कि क्या अंतर का चिन्ह अपरिवर्तित रहता है

सभी बिंदुओं (x; y) के लिए P0 के काफी करीब। यदि अंतर एक सकारात्मक संकेत रखता है, तो बिंदु P0 पर हमारे पास एक न्यूनतम, यदि नकारात्मक है, तो अधिकतम। यदि अंतर अपने संकेत को बरकरार नहीं रखता है, तो बिंदु Р0 पर कोई चरम सीमा नहीं है।

इसी तरह, बड़ी संख्या में तर्कों के लिए फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा निर्धारित किया जाता है।

किसी फलन का चरम क्या है और चरम के लिए आवश्यक शर्त क्या है?

किसी फ़ंक्शन का चरम फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम होता है।

फ़ंक्शन के चरम (अधिकतम या न्यूनतम) के लिए पर्याप्त स्थिति क्या है?

पहली शर्त:

किसी फ़ंक्शन का महत्वपूर्ण बिंदु क्या है और इसे कैसे खोजें?

उदाहरण के लिए, आइए खोजें परबोला का चरम.

फलन y(x) = 3x2 + 2x - 50।

फलन व्युत्पन्न: y?(x) = 6x + 2

हम समीकरण को हल करते हैं: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333।

माना उदाहरण के लिए:

हम महत्वपूर्ण बिंदु के बाईं ओर तर्क का मनमाना मान लेते हैं: x = -1

जब x = -1, व्युत्पन्न का मान y होगा? (-1) = 6 * (-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (यानी, ऋण चिह्न)।

अब हम महत्वपूर्ण बिंदु के दाईं ओर तर्क का मनमाना मान लेते हैं: x = 1

x = 1 के लिए, अवकलज का मान होगा y(1) = 6 * 1 + 2 = 6 + 2 = 8 (अर्थात् धन चिह्न)।

उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें

वाई (एक्स) \u003d 3 पाप (एक्स) - 0.5x

अंतरालों पर:

अतः फलन का अवकलज है

वाई? (एक्स) = 3cos (एक्स) - 0.5

हम समीकरण 3cos(x) - 0.5 = 0 को हल करते हैं

cos(x) = 0.5/3 = 0.16667

x \u003d ± आर्ककोस (0.16667) + 2πk।

हम अंतराल [-9; 9]:

x \u003d आर्ककोस (0.16667) - 2π * 2 \u003d -11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

x \u003d -arccos (0.16667) - 2π * 1 \u003d -7.687

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) - 2π * 1 \u003d -4.88

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 0 \u003d -1.403

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) + 2π * 0 \u003d 1.403

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 1 \u003d 4.88

एक्स \u003d आर्ककोस (0.16667) + 2π * 1 \u003d 7.687

x \u003d -arccos (0.16667) + 2π * 2 \u003d 11.163 (अंतराल में शामिल नहीं)

हम तर्क के महत्वपूर्ण मूल्यों पर फ़ंक्शन के मान पाते हैं:

वाई (-7.687) = 3cos (-7.687) - 0.5 = 0.885

वाई (-4.88) = 3cos (-4.88) - 0.5 = 5.398

वाई (-1.403) = 3cos (-1.403) - 0.5 = -2.256

वाई (1.403) = 3cos (1.403) - 0.5 = 2.256

वाई (4.88) = 3cos (4.88) - 0.5 = -5.398

वाई (7.687) = 3cos (7.687) - 0.5 = -0.885

यह देखा जा सकता है कि अंतराल पर [-9; 9] फ़ंक्शन का x = -4.88 पर सबसे बड़ा मान है:

एक्स = -4.88, वाई = 5.398,

और सबसे छोटा - x = 4.88 पर:

एक्स = 4.88, वाई = -5.398।

हम अंतराल के अंत में फ़ंक्शन का मान पाते हैं:

वाई(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

वाई(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

अंतराल पर [-6; -3] हमारे पास फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है

वाई = 5.398 एक्स = -4.88 पर

सबसे छोटा मान है

वाई = 1.077 एक्स = -3 पर

दो वेरिएबल्स के फ़ंक्शन का एक्स्ट्रेमा कैसे खोजें?

1) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, और इसके लिए समीकरणों की प्रणाली को हल करें

एफएक्स? (एक्स,वाई) = 0, वित्त वर्ष? (एक्स, वाई) = 0

श्रेक फॉरएवर आफ्टर क्या है?
कार्टून: श्रेक फॉरएवर आफ्टर रिलीज का साल: 2010 प्रीमियर (रूस): 20 मई 2010 देश: यूएसए निर्देशक: माइकल पिचेल स्क्रिप्ट: जोश क्लॉसनर, डैरेन लेमके शैली: पारिवारिक कॉमेडी, फंतासी, साहसिक आधिकारिक वेबसाइट: www.shrekforeverafter.com प्लॉट खच्चर

क्या मैं अपनी अवधि के दौरान रक्तदान कर सकता हूं?
मासिक धर्म के दौरान डॉक्टर रक्तदान करने की सलाह नहीं देते हैं, क्योंकि। खून की कमी, हालांकि महत्वपूर्ण मात्रा में नहीं है, हीमोग्लोबिन के स्तर में कमी और महिला की सेहत में गिरावट से भरा हुआ है। रक्तदान प्रक्रिया के दौरान, रक्तस्राव की खोज तक भलाई के साथ स्थिति खराब हो सकती है। इसलिए महिलाओं को मासिक धर्म के दौरान रक्तदान करने से बचना चाहिए। और पहले से ही 5 वें दिन समाप्त होने के बाद

फर्श धोते समय कितने किलो कैलोरी/घंटा की खपत होती है
प्रकार शारीरिक गतिविधिऊर्जा की खपत, किलो कैलोरी/घंटा खाना बनाना 80 ड्रेसिंग 30 ड्राइविंग 50 डस्टिंग 80 खाना 30 बागवानी 135 इस्त्री करना 45 बिस्तर बनाना 130 खरीदारी 80 बैठने का काम 75 लकड़ी काटना 300 फर्श धोना 130 सेक्स 100-150 कम तीव्रता वाला एरोबिक नृत्य

"दुष्ट" शब्द का क्या अर्थ है?
एक बदमाश एक चोर है जो छोटी-मोटी चोरी में लिप्त है, या एक दुष्ट व्यक्ति धोखाधड़ी की चाल से ग्रस्त है। इस परिभाषा की पुष्टि क्रायलोव के व्युत्पत्ति संबंधी शब्दकोश में निहित है, जिसके अनुसार "धोखाधड़ी" शब्द "धोखाधड़ी" (चोर, ठग) शब्द से बना है, जो क्रिया और ला के समान है

स्ट्रुगात्स्की बंधुओं की अंतिम प्रकाशित कहानी का क्या नाम है?
एक छोटी सी कहानीअर्कडी और बोरिस स्ट्रुगात्स्की "ऑन द इश्यू ऑफ साइक्लोटेशन" पहली बार अप्रैल 2008 में साइंस फिक्शन एंथोलॉजी "नून। XXI सेंचुरी" में प्रकाशित हुआ था (पत्रिका "वोक्रग स्वेता" का पूरक, बोरिस स्ट्रुगात्स्की के संपादन के तहत प्रकाशित)। प्रकाशन बोरिस स्ट्रुगात्स्की की 75 वीं वर्षगांठ को समर्पित था।

मैं वर्क एंड ट्रैवल यूएसए कार्यक्रम के प्रतिभागियों की कहानियां कहां पढ़ सकता हूं
कार्य और यात्रा यूएसए (संयुक्त राज्य अमेरिका में काम और यात्रा) एक लोकप्रिय छात्र विनिमय कार्यक्रम है जहां आप अमेरिका में गर्मियां बिता सकते हैं, कानूनी रूप से सेवा क्षेत्र में काम कर रहे हैं और यात्रा कर रहे हैं। कार्य और यात्रा कार्यक्रम का इतिहास अंतर-सरकारी आदान-प्रदान के कल्चरल एक्सचेंज प्रो कार्यक्रम का हिस्सा है

कान। पाक और ऐतिहासिक संदर्भ ढाई शताब्दियों से भी अधिक समय से, "उखा" शब्द का उपयोग सूप या ताज़ी मछली के काढ़े को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता रहा है। लेकिन एक समय ऐसा भी था जब इस शब्द की अधिक व्यापक व्याख्या की जाती थी। उन्होंने सूप को निरूपित किया - न केवल मछली, बल्कि मांस, मटर और मीठा भी। तो ऐतिहासिक दस्तावेज़ में - "

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