Fizičko značenje derivata. Trenutna brzina promjene funkcije, ubrzanje i gradijent

Derivacija funkcije jedna je od najtežih tema u školskom programu. Neće svaki maturant odgovoriti na pitanje što je derivat.

Ovaj članak jednostavno i jasno objašnjava što je derivat i zašto je potreban.. Nećemo sada težiti matematičkoj strogosti prezentacije. Najvažnije je razumjeti značenje.

Prisjetimo se definicije:

Derivacija je brzina promjene funkcije.

Na slici su prikazani grafovi triju funkcija. Što mislite koji najbrže raste?

Odgovor je očigledan – treći. Ima najveću stopu promjene, odnosno najveću derivaciju.

Evo još jedan primjer.

Kostya, Grisha i Matvey su se zaposlili u isto vrijeme. Pogledajmo kako su se njihovi prihodi mijenjali tijekom godine:

Možete odmah vidjeti sve na grafikonu, zar ne? Kostyin prihod se više nego udvostručio u šest mjeseci. I Grishini prihodi su također porasli, ali samo malo. I Matthewov prihod pao je na nulu. Početni uvjeti su isti, ali brzina promjene funkcije, tj. izvedenica, - drugačiji. Što se tiče Matveya, derivat njegovih prihoda je uglavnom negativan.

Intuitivno možemo lako procijeniti brzinu promjene funkcije. Ali kako ćemo to učiniti?

Ono što zapravo gledamo je koliko strmo graf funkcije ide gore (ili dolje). Drugim riječima, koliko se brzo y mijenja s x. Očito je da ista funkcija u različite točke može imati različitu vrijednost derivacije – odnosno može se mijenjati brže ili sporije.

Derivacija funkcije označava se s .

Pokažimo kako pronaći pomoću grafikona.

Nacrtan je graf neke funkcije. Uzmite točku na njoj s apscisom. Nacrtajte tangentu na graf funkcije u ovoj točki. Želimo procijeniti koliko strmo graf funkcije ide gore. Zgodna vrijednost za ovo je tangenta nagiba tangente.

Derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu nagiba tangente povučene na graf funkcije u toj točki.

Napomena - kao kut nagiba tangente uzimamo kut između tangente i pozitivnog smjera osi.

Ponekad učenici pitaju što je tangenta na graf funkcije. Ovo je ravna linija, koja ima jedini zajednička točka s grafom, a kako je prikazano na našoj slici. Izgleda kao tangenta na krug.

Hajdemo pronaći. Sjećamo se da je tangens oštrog kuta u pravokutni trokut jednak omjeru suprotnog kraka prema susjednom. Iz trokuta:

Derivaciju smo pronašli pomoću grafa, a da nismo ni znali formulu funkcije. Takvi se zadaci često nalaze na ispitu iz matematike pod rednim brojem.

Postoji još jedna važna korelacija. Prisjetimo se da je ravna crta dana jednadžbom

Veličina u ovoj jednadžbi zove se nagib ravne linije. Jednak je tangensu kuta nagiba pravca prema osi.

.

Shvaćamo to

Zapamtimo ovu formulu. Izražava geometrijsko značenje izvedenice.

Derivacija funkcije u točki je kutni koeficijent tangenta povučena na graf funkcije u toj točki.

Drugim riječima, derivacija je jednaka tangensu nagiba tangente.

Već smo rekli da ista funkcija u različitim točkama može imati različitu derivaciju. Pogledajmo kako je derivacija povezana s ponašanjem funkcije.

Nacrtajmo graf neke funkcije. Neka se ova funkcija u nekim područjima poveća, u drugima smanji, a s različita brzina. I neka ova funkcija ima maksimalne i minimalne točke.

U jednom trenutku funkcija raste. Tangenta na graf, nacrtana u točki, tvori oštar kut; s pozitivnim smjerom osi. Dakle, izvod je pozitivan u točki.

U tom trenutku, naša funkcija se smanjuje. Tangenta u ovoj točki tvori tupi kut; s pozitivnim smjerom osi. Budući da je tangens tupog kuta negativan, izvodnica u točki je negativna.

Evo što se događa:

Ako je funkcija rastuća, njezina je derivacija pozitivna.

Ako se smanjuje, njegova derivacija je negativna.

A što će se dogoditi na maksimalnim i minimalnim točkama? Vidimo da je u (maksimalna točka) i (minimalna točka) tangenta vodoravna. Stoga je tangens nagiba tangente u tim točkama nula, a derivacija je također nula.

Bod je maksimalni bod. U ovom trenutku povećanje funkcije zamjenjuje se smanjenjem. Posljedično, predznak derivacije se mijenja u točki iz "plus" u "minus".

U točki - točki minimuma - izvodnica je također jednaka nuli, ali joj se predznak mijenja iz "minus" u "plus".

Zaključak: uz pomoć izvoda možemo saznati sve što nas zanima o ponašanju funkcije.

Ako je izvod pozitivan, tada je funkcija rastuća.

Ako je derivacija negativna, tada je funkcija opadajuća.

U točki maksimuma derivacija je nula i mijenja predznak s plusa na minus.

U točki minimuma derivacija je također nula i mijenja predznak iz minusa u plus.

Ove nalaze zapisujemo u obliku tablice:

	povećava se	maksimalna točka	smanjujući se	minimalna točka	povećava se
+	0	-	0	+

Napravimo dva mala pojašnjenja. Jedan od njih trebat će vam prilikom rješavanja problema. Drugi - na prvoj godini, s ozbiljnijim proučavanjem funkcija i izvedenica.

Moguć je slučaj kada je derivacija funkcije u nekom trenutku jednaka nuli, ali funkcija u tom trenutku nema ni maksimum ni minimum. Ovaj tzv :

U točki je tangenta na graf vodoravna, a derivacija je nula. Međutim, prije točke funkcija je rasla - a nakon točke nastavlja rasti. Predznak izvoda se ne mijenja - ostao je pozitivan kakav je i bio.

Također se događa da u točki maksimuma ili minimuma derivacija ne postoji. Na grafu to odgovara oštrom lomu, kada je nemoguće nacrtati tangentu u datoj točki.

Ali kako pronaći izvod ako funkcija nije dana grafom, već formulom? U ovom slučaju vrijedi

Mnogi će biti iznenađeni neočekivanim mjestom ovog članka u mom autorskom tečaju o izvodu funkcije jedne varijable i njegovim primjenama. Uostalom, kako je bilo iz škole: standardni udžbenik, prije svega, daje definiciju derivata, njegovo geometrijsko, mehaničko značenje. Zatim učenici pronalaze derivacije funkcija po definiciji i, zapravo, tek tada se usavršava tehnika diferenciranja pomoću tablice izvedenica.

Ali s moje točke gledišta, sljedeći pristup je pragmatičniji: prije svega, preporučljivo je DOBRO RAZUMIJETI limit funkcije, a posebno infinitezimalne. Činjenica je da

definicija derivacije temelji se na konceptu granice , što se slabo razmatra u školskom tečaju. Zato značajan dio mladih potrošača granitnog znanja slabo prodire u samu bit derivata. Stoga, ako ste loše orijentirani u diferencijalnom računu, ili mudar mozak za duge godine uspješno riješio ovu prtljagu, počnite od granice funkcije . U isto vrijeme svladajte / zapamtite svoju odluku.

Isti praktični smisao sugerira da je prvo isplativo

naučiti pronaći izvode, uključujući izvode složenih funkcija . Teorija je teorija, ali, kako kažu, uvijek se želi razlikovati. U tom smislu, bolje je razraditi navedene osnovne lekcije, a možda i postati majstor diferencijacije a da i ne shvaćaju bit svojih postupaka.

Preporučujem da počnete s materijalima na ovoj stranici nakon čitanja članka. Najjednostavniji problemi s izvodnicom, gdje se posebno razmatra problem tangente na graf funkcije. Ali može se odgoditi. Činjenica je da mnoge primjene derivata ne zahtijevaju njegovo razumijevanje, te ne čudi da se teorijska lekcija pojavila prilično kasno - kada sam trebao objasniti pronalaženje intervala povećanja/padanja i ekstrema funkcije. Štoviše, bio je u temi dosta dugo " Funkcije i grafovi“, sve dok ga ranije nisam odlučio staviti.

Stoga, dragi čajnici, nemojte žuriti upijati esenciju derivata, poput gladnih životinja, jer će zasićenje biti neukusno i nepotpuno.

Pojam rastućeg, opadajućeg, maksimuma, minimuma funkcije

Puno vodiči za učenje dovesti do koncepta izvedenice uz pomoć nekih praktičnih problema, a također sam ih smislio zanimljiv primjer. Zamislite da moramo putovati u grad do kojeg se može doći na različite načine. Odmah odbacujemo zakrivljene vijugave staze, a razmatrat ćemo samo ravne linije. Međutim, pravocrtni pravci su također drugačiji: možete doći do grada ravnom autocestom. Ili na brdovitom autoputu - gore-dolje, gore-dolje. Drugi put ide samo uzbrdo, a drugi stalno nizbrdo. Ljubitelji uzbuđenja odabrat će rutu kroz klanac sa strmom liticom i strmim usponom.

No bez obzira na vaše preferencije, poželjno je poznavati područje ili barem imati njegovu topografsku kartu. Što ako takvih informacija nema? Uostalom, možete odabrati, na primjer, ravnu stazu, ali kao rezultat toga, naletjeti na skijašku stazu sa smiješnim Fincima. Nije činjenica da je navigator i čak

satelitska slika će dati pouzdane podatke. Stoga bi bilo lijepo formalizirati reljef staze pomoću matematike.

Razmotrite neku cestu (bočni pogled):

Za svaki slučaj, podsjećam vas na elementarnu činjenicu: putovanje se odvija slijeva nadesno. Radi jednostavnosti, pretpostavljamo da je funkcija kontinuirana na promatranoj dionici.

Koje su karakteristike ovog grafikona?

U intervalima funkcija je rastuća, odnosno svaka joj je sljedeća vrijednost veća od prethodne. Grubo rečeno, graf ide odozdo prema gore (penjemo se na brdo). I na intervalu funkcija opada - svaka sljedeća vrijednost je manja od prethodne, a naš graf ide odozgo prema dolje (idemo nizbrdo).

Obratimo pozornost i na posebne točke. U trenutku mi

dostignemo maksimum , odnosno postoji takav dio puta na kojem će vrijednost biti najveća (najviša). U istoj točki se postiže minimum i postoji takvo susjedstvo u kojem je vrijednost najmanja (najniža).

U lekciji će se razmotriti rigoroznija terminologija i definicije. o ekstremima funkcije dok proučimo još jednu važna značajka: između funkcija raste, ali se povećava različitim brzinama. I prva stvar koja upada u oči je da intervalni grafikon raste mnogo više cool nego na intervalu. Je li moguće izmjeriti strminu ceste pomoću matematičkih alata?

Stopa promjene funkcije

Ideja je sljedeća: uzeti neku vrijednost

(čitaj "delta x") , koju ćemo nazvatipovećanje argumenta, i počnimo ga "isprobavati" na raznim točkama našeg puta:

1) Pogledajmo krajnju lijevu točku: zaobilazeći udaljenost , penjemo se na padinu do visine ( zelena linija). Količina se zove prirast funkcije, i u ovaj slučaj ovaj prirast je pozitivan (razlika vrijednosti duž osi je veća od

nula). Napravimo omjer , koji će biti mjera strmine naše ceste. Očito, ovo je vrlo specifičan broj, a budući da su oba povećanja pozitivna, onda.

Pažnja! Oznaka je JEDAN simbol, odnosno ne možete "otkinuti" "deltu" od "x" i razmatrati ova slova odvojeno. Naravno, komentar se također odnosi na simbol inkrementa funkcije.

Hajdemo smislenije istražiti prirodu rezultirajuće frakcije. Neka

u početku smo na visini od 20 metara (u lijevoj crnoj točki). Nakon što smo prevladali udaljenost od metara (lijeva crvena linija), bit ćemo na visini od 60 metara. Tada će prirast funkcije biti

metara (zelena crta) i:. Tako

Dakle, na svakom metru ove dionice puta povećava se visina prosječno 4 metra ... zaboravili ste opremu za penjanje? =) Drugim riječima, konstruirani omjer karakterizira PROSJEČNU STOPU PROMJENE (u ovom slučaju rasta) funkcije.

Napomena: numeričke vrijednosti dotičnog primjera samo približno odgovaraju proporcijama crteža.

2) Sada idemo na istu udaljenost od krajnje desne crne točke. Ovdje je uspon blaži, pa prirast

(magenta linija) je relativno mala, a omjer

u usporedbi s prethodnim slučajem bit će vrlo skroman. Relativno govoreći, metara i stopa rasta funkcije

je . Odnosno, ovdje na svaki metar staze ide u prosjeku pola metra uspona.

3) Mala avantura na planini. Pogledajmo gornju crnu točku koja se nalazi na y-osi. Pretpostavimo da je ovo oznaka od 50 metara. Opet svladavamo udaljenost, zbog čega se nalazimo niže - na razini od 30 metara. Budući da se kretanje odvijalo odozgo prema dolje (u "suprotnom" smjeru od osi), finale prirast funkcije (visine) bit će negativan:metara (smeđa linija na crtežu). I u ovom slučaju govorimo o brzini

silazna funkcija: , odnosno za svaki metar staze

U ovom području visina se smanjuje u prosjeku za 2 metra. Vodite računa o odjeći na petoj točki.

Sada postavimo pitanje: koja je najbolja vrijednost "mjernog standarda" za korištenje? Jasno je da je 10 metara vrlo grubo. Na njih bez problema stane dobrih desetak kvrga. Zašto postoje izbočine, ispod može biti dubok klanac, a nakon nekoliko metara - njegova druga strana s daljnjim strmim usponom. Dakle, s desetmetrom nećemo dobiti razumljivu karakterizaciju takvih dionica staze

odnos .

Iz gornje rasprave proizlazi sljedeći zaključak: što je vrijednost manja, točnije ćemo opisati reljef ceste. Štoviše, pošteno

Sada znamo da je trenutna brzina promjene funkcije N(Z) pri Z = +2 -0,1079968336. To znači gore/dolje tijekom razdoblja, tako da kada je Z = +2, krivulja N(Z) ide gore za -0,1079968336. Ova situacija je prikazana na slici 3-13.

Mjera "apsolutne" osjetljivosti može se nazvati brzinom promjene funkcije. Mjera osjetljivosti funkcije u danoj točki ("trenutna brzina") naziva se derivacija.

Stupanj apsolutne osjetljivosti varijable y na promjene varijable x možemo izmjeriti ako definiramo omjer Ay/Ax. Nedostatak takve definicije osjetljivosti je što ona ne ovisi samo o "početnoj" točki XQ, u odnosu na koju se razmatra promjena argumenta, već i o samoj vrijednosti intervala Dx, na kojem se određuje brzina . Da bi se uklonio ovaj nedostatak, uvodi se koncept derivacije (brzina promjene funkcije u točki). Pri određivanju brzine promjene funkcije u točki, točke XQ i xj se spajaju, težeći intervalu Dx prema nuli. Brzina promjene funkcije f (x) u točki XQ i naziva se derivacija funkcije f (x) u točki x. Geometrijsko značenje brzine promjene funkcije u točki XQ je da ona određena je kutom nagiba tangente na graf funkcije u točki XQ. Derivacija je tangens nagiba tangente na graf funkcije.

Ako se derivacija y smatra brzinom promjene funkcije /, tada je vrijednost y /y njena relativna brzina promjene. Stoga je logaritamska derivacija (In y)

Derivacija u smjeru - karakterizira brzinu promjene funkcije z - f (x, y) u točki MO (ZhO, UO) u smjeru

Stopa promjene funkcije relativna 124.188

Do sada smo razmatrali prvu derivaciju funkcije , koja vam omogućuje da pronađete brzinu promjene funkcije. Da bi se utvrdilo je li stopa promjene konstantna, treba uzeti drugu derivaciju funkcije. Ovo se označava kao

Ovdje i dolje, primarni broj znači diferencijaciju tako da je h stopa promjene funkcije h u odnosu na povećanje viška ponude).

Mjera "apsolutne" osjetljivosti - stopa promjene funkcije (prosječna (omjer promjena) ili marginalna (derivacija))

Povećanje vrijednosti, argumenta, funkcije. Stopa promjene funkcije

Brzina promjene funkcije na intervalu (prosječna brzina).

Nedostatak takve definicije brzine je što ta brzina ne ovisi samo o točki x0, u odnosu na koju se razmatra promjena argumenta, već i o veličini same promjene argumenta, tj. na vrijednost intervala Dx, na kojem se određuje brzina. Da bi se uklonio taj nedostatak, uvodi se pojam brzine promjene funkcije u točki (trenutne brzine).

Brzina promjene funkcije u točki (trenutačna brzina).

Da bi se odredila brzina promjene funkcije u točki J Q, točke x i x0 se spajaju, težeći interval Ax na nulu. Promjena kontinuirane funkcije također će težiti nuli. U tom slučaju omjer promjene funkcije koja teži nuli i promjene argumenta koja teži nuli daje brzinu promjene funkcije u točki x0 (trenutna brzina), točnije, na beskonačno malom intervalu relativne do točke xd.

Upravo se ta brzina promjene funkcije Dx) u točki x0 naziva derivacija funkcije Dx) u točki xa.

Naravno, da bi se okarakterizirala stopa promjene vrijednosti y, može se koristiti jednostavniji indikator, recimo, derivacija y u odnosu na L. Elastičnost supstitucije o je poželjna zbog činjenice da ima veliku prednost - konstantna je za većinu proizvodnih funkcija koje se koriste u praksi, tj. ne samo da se ne mijenja pri kretanju po nekoj izokvanti, već ne ovisi ni o izboru izokvante.

Pravovremenost kontrole znači da učinkovita kontrola mora biti pravovremena. Njegova pravodobnost leži u razmjernosti vremenskog intervala mjerenja i procjene kontroliranih pokazatelja, procesa specifičnih aktivnosti organizacije kao cjeline. Fizička vrijednost takvog intervala (učestalost mjerenja) određena je vremenskim okvirom mjerenog procesa (plana), uzimajući u obzir brzinu promjene kontroliranih pokazatelja i troškove provedbe kontrolnih operacija. Najvažniji zadatak kontrolne funkcije ostaje otklanjanje odstupanja prije nego ona dovedu organizaciju u kritičnu situaciju.

Za homogeni sustav pri TV = 0, M = 0 5 također nestaje, tako da je desna strana izraza (6.20) jednaka stopi promjene ukupne funkcije blagostanja povezane s heterogenošću.

Mehaničko značenje izvedenice. Za funkciju y = f(x) koja se mijenja s vremenom x, derivacija y = f(xo] je stopa promjene y u trenutku XQ.

Relativna brzina (brzina) promjene funkcije y = f(x) određena je logaritamskom derivacijom

Varijable x znače veličinu razlike između ponude i potražnje za odgovarajućom vrstom sredstava za proizvodnju x = s - p. Funkcija x(f) je kontinuirano diferencijabilna u vremenu. Varijable x" znače stopu promjene razlike između ponude i potražnje. Putanja x (t) znači ovisnost stope promjene ponude i potražnje o veličini razlike između ponude i potražnje, koja pak ovisi o Prostor stanja (fazni prostor) u našem slučaju je dvodimenzionalan, tj. ima oblik fazne ravnine.

Takva svojstva veličine a objašnjavaju činjenicu da se brzina promjene granične stope supstitucije y karakterizira na temelju nje, a ne uz pomoć nekog drugog pokazatelja, na primjer, derivacije y u odnosu na x>. Štoviše, za značajan broj funkcija, elastičnost supstitucije je konstantna ne samo duž izoklina, već i duž izokvanti. Dakle, za proizvodnu funkciju (2.20), koristeći činjenicu da, prema izokli-

Postoje mnogi trikovi koji se mogu izvesti u kratkoročnim stopama promjena. Ovaj model koristi jednu periodu

Alternativno fizikalno značenje pojma derivacije funkcije.

Nikolaj Brylev

Članak za one koji misle samostalno. Za one koji ne mogu shvatiti kako je moguće spoznati pomoću nespoznatljivog i zbog toga se ne mogu složiti s uvođenjem nespoznatljivih pojmova u alate spoznaje: "beskonačnost", "ići na nulu", "beskonačno malo", "okolica točke" itd. .P.

Svrha ovog članka nije ocrniti ideju uvođenja vrlo korisnog temeljnog koncepta u matematiku i fiziku. pojmovi izvedeni iz funkcije(diferencijal), i duboko ga razumjeti fizički smisao, na temelju općih globalnih ovisnosti prirodne znanosti. Cilj je obdariti koncept izvodna funkcija(diferencijalna) kauzalna struktura i duboko značenje fizika interakcije. Ovo značenje danas je nemoguće pogoditi, jer je općeprihvaćeni koncept prilagođen uvjetno formalnom, nestrogom, matematičkom pristupu diferencijalnog računa.

1.1 Klasični pojam izvoda funkcije.

Za početak, okrenimo se univerzalno korištenom, općeprihvaćenom, postojećem gotovo tri stoljeća, koji je postao klasik, matematički pojam (definicija) izvoda funkcije (diferencijala).

Taj se pojam u svim brojnim udžbenicima objašnjava na isti način i približno tako.

Neka vrijednost u ovisi o argumentu x kao u = f(x). Ako je f(x ) je fiksiran na dvije točke u vrijednostima argumenata: x2, x1, , tada dobivamo količine u 1 = f (x 1 ), i u 2 = f (x 2 ). Razlika dviju vrijednosti argumenata x 2, x 1 nazvat ćemo prirast argumenta i označiti kao Δ x = x 2 - x 1 (dakle x 2=x1+ Δ x) . Ako se argument promijenio u Δ x \u003d x 2 - x 1, , tada se funkcija promijenila (povećala) kao razlika između dvije vrijednosti funkcije u 1 \u003d f (x 1), u 2 \u003d f (x 2 ) prirastom funkcije∆f. Obično se piše ovako:

∆f= u 1 - u 2 \u003d f (x 2) - f (x 1 ) . Ili s obzirom na to x 2 = x 1 + Δ x , možemo napisati da je promjena funkcije jednaka∆f= f (x 1 + Δx)- f (x 1 ). I ova se promjena dogodila, naravno, na rasponu mogućih vrijednosti funkcije x2 i x1, .

Vjeruje se da ako vrijednosti x 2 i x 1, beskrajno blizu u veličini jedan prema drugom, zatim Δ x \u003d x 2 - x 1, - infinitezimalnog.

Derivativna definicija: Derivacija funkcije f (x) u točki x 0 naziva se granica omjera prirasta funkcije Δ f u ovoj točki prirastu argumenta Δx kada potonji teži nuli (beskonačno malen). Ovako snimljeno.

Lim Δx →0 (∆f(x0)/ Δx)=lim Δx→0 ((f (x + Δx)-f (x 0))/ Δx)=f ` (x0)

Pronalaženje derivacije zove se diferencijacija . Predstavljeno definicija diferencijabilne funkcije : Funkcija f , koji ima derivaciju u svakoj točki nekog intervala, naziva se diferencijabilnim na tom intervalu.

1.2 Općeprihvaćeno fizikalno značenje izvoda funkcije

A sada o općeprihvaćenom fizikalnom značenju izvedenice .

o njoj tzv fizički, odnosno pseudofizički a geometrijska značenja također se mogu pročitati u bilo kojem udžbeniku matematike (analiza materijala, diferencijalni račun). Ukratko sažimam njihov sadržaj na tu temu o njezinoj fizičkoj prirodi:

Fizičko značenje derivata x `(t ) iz kontinuirane funkcije x (t) u točki t 0 je trenutna brzina promjene vrijednosti funkcije, pod uvjetom da je promjena argumenta Δ t teži nuli.

I da ovo objasnim učenicima fizičko značenje učitelji mogu npr. tako.

Zamislite da letite u avionu i na ruci imate sat. Kad letite, imate li brzinu jednaku brzini aviona?, - obraća se učitelj publici.

Da, odgovaraju učenici.

A koja je brzina vas i aviona u svakom trenutku na vašem satu?

Brzina jednaka brzini aviona!, - uglas odgovaraju dobri i odlikaši.

Ne baš, kaže učitelj. - Brzina, kao fizikalni pojam, je put koji letjelica prijeđe u jedinici vremena (primjerice, u satu (km/h)), a kada ste pogledali na sat, prošao je samo trenutak. Tako, trenutna brzina (udaljenost prijeđena u trenutku) derivacija je funkcije koja opisuje putanju zrakoplova u vremenu. Trenutna brzina - to je fizičko značenje derivata.

1.3. Problemi strogosti metodologije za formiranje matematičkog koncepta derivacije funkcije.

A publikastudenti, naviknuti na krotkost obrazovnog sustava,odmah i potpunonaučiti sumnjive istine, u pravilu, ne postavlja učitelju dodatna pitanja o pojam i fizičko značenje derivata. Ali radoznala, duboko i neovisno razmišljajuća osoba ne može to asimilirati kao strogu znanstvenu istinu. Sigurno će postaviti niz pitanja, na koja očito neće dočekati argumentiran odgovor od učitelja bilo kojeg ranga. Pitanja su sljedeća.

1. Jesu li egzaktni (ispravni, znanstveni, koji imaju objektivnu vrijednost, uzročnu suštinu) pojmovi (izrazi) "egzaktne" znanosti - matematike kao što su: trenutak - infinitezimalna vrijednost, težnja nuli, težnja beskonačnosti, malenkost, beskonačnost, težnja? Kako može znati neki entitet u veličini promjene, operirajući nespoznatljivim pojmovima, bez veličine? Više Veliki Aristotel (384.-322. pr. Kr.) u 4. poglavlju traktata "FIZIKA", od pamtivijeka, prenosi: "Ako je beskonačno, jer je beskonačno, nespoznatljivo, onda je beskonačno u količini ili veličini nespoznatljivo, koliko je veliko, a beskonačno u vrsti je nespoznatljivo, koja je njegova kvaliteta. Budući da su počeci beskonačni i u količini i u vrsti, tada je nemoguće spoznati one koji su od njih [stvari] nastali: nakon svega, tek tada vjerujemo da smo spoznali komplicirana stvar kada saznamo od čega i koliko [početaka] se sastoji ..." Aristotel, "Fizika", 4 pogl.

2. Kako može derivati ​​imaju fizičko značenje identična nekoj trenutnoj brzini, ako trenutna brzina nije fizikalni pojam, nego vrlo uvjetan, "netočan" pojam matematike, jer ovo je granica funkcije, a granica je uvjetni matematički pojam?

3. Zašto je matematički pojam točke, koja ima samo jedno svojstvo - koordinatu (bez drugih svojstava: veličina, površina, interval) u matematičkoj definiciji derivacije zamijenjen pojmom susjedstva točke, koji zapravo ima interval, samo neodređene veličine. Jer u konceptu derivacije, pojmovi i količine Δ x = x 2 - x 1 i x 0 .

4. Ispravno da li uopće fizičko značenje objasniti matematičkim pojmovima koji nemaju fizičko značenje?

5. Zašto uzročnost (funkcija), ovisno o uzroku (argument, svojstvo, parametar) sam mora imati konačni beton definiran u veličini ograničiti promjene (posljedice) s neodređeno malim, nemajući veličinu promjene u veličini uzroka?

6. U matematici postoje funkcije koje nemaju derivaciju (nediferencijabilne funkcije u neglatkoj analizi). To znači da se u tim funkcijama, kada se promijeni njezin argument (njen parametar, svojstvo), funkcija (matematički objekt) ne mijenja. Ali nema predmeta u prirodi koji se ne bi promijenili kad se promijene njihova vlastita svojstva. Zašto si onda matematika može priuštiti takve slobode kao što je korištenje matematičkog modela koji ne uzima u obzir temeljne uzročno-posljedične veze svemira?

Odgovoriti ću. U predloženom, klasičnom pojmu koji postoji u matematici – trenutna brzina, derivacija, fizikalno i uopće znanstveno, nema i ne može ga biti ispravnog značenja zbog neznanstvene neispravnosti i nespoznatljivosti pojmova koji se za to koriste! Ne postoji u konceptu "beskonačnosti", iu konceptu "trenutka", iu konceptu "težnje ka nuli ili beskonačnosti".

Ali onaj pravi, očišćen od labavih koncepata moderne fizike i matematike (tendencija nuli, infinitezimalna vrijednost, beskonačnost, itd.)

FIZIČKI SMISAO POJMA DERIVACIJE FUNKCIJE POSTOJI!

O tome će se sada raspravljati.

1.4 Pravo fizičko značenje i uzročna struktura derivata.

Da bismo razumjeli fizičku bit, “otresli s ušiju debeli sloj stoljetnih rezanaca”, koji su još objesili Gottfried Leibniz (1646-1716) i njegovi sljedbenici, trebat će se, kao i obično, okrenuti metodologiji znanje i stroga osnovna načela. Istina, valja napomenuti da se zbog prevladavajućeg relativizma, ovih se načela danas više ne pridržava u znanosti.

Dopustite mi da nakratko odstupim.

Prema duboko i iskreno vjernicima Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Leibniz, mijenjanje objekata, mijenjanje njihovih svojstava, nije se dogodilo bez sudjelovanja Svevišnjeg. Proučavanje Svemogućeg izvora varijabilnosti od strane bilo kojeg prirodnog znanstvenika bilo je u to vrijeme bremenito progonima moćne crkve i nije se provodilo u svrhu samoodržanja. Ali već u 19. stoljeću prirodoslovci su to shvatili UZROČNA BIT PROMJENE SVOJSTAVA BILO KOG OBJEKTA - INTERAKCIJE. "Interakcija je uzročni odnos postavljen u svom punom razvoju", primijetio je Hegel (1770.-1831.) “Na najbliži način, interakcija se pojavljuje kao uzajamna uzročnost pretpostavljenih, međusobno uvjetovanih supstanci; svaki je, u odnosu na drugi, i aktivna i pasivna supstancija. . F. Engels (1820-1895) precizirao je: “Interakcija je prva stvar koja dolazi pred nas kada razmatramo pokretnu (promjenjivu) materiju u cjelini, sa stajališta suvremene prirodne znanosti ... Dakle, prirodna znanost potvrđuje da je ... ta interakcija pravi causa finalis (krajnji temeljni uzrok) stvari. Ne možemo ići dalje od znanja o ovoj interakciji upravo zato što iza nje nema više što znati. Ipak, nakon što su se formalno pozabavili temeljnim uzrokom varijabilnosti, nitko od bistrih glava 19. stoljeća nije počeo ponovno graditi zgradu prirodne znanosti.Kao rezultat toga, zgrada je ostala ista - s temeljnom "truležom". Kao rezultat toga, uzročna struktura (interakcija) još uvijek nedostaje u velikoj većini temeljnih pojmova prirodnih znanosti (energija, sila, masa, naboj, temperatura, brzina, količina gibanja, tromost itd.), uključujući matematički pojam izvoda funkcije- kao matematički model koji opisuje " iznos trenutne promjene" objekta od "beskonačno male" promjene njegovog uzročnog parametra. Još uvijek nije stvorena teorija interakcija koja kombinira čak četiri poznate temeljne interakcije (elektromagnetsku, gravitacijsku, jaku, slabu). Sada je već puno više "pokošeno" i "džemovi" gmižu posvuda. Praksa - kriterij istine, potpuno ruši sve teorijske modele izgrađene na takvoj građevini koji pretendiraju na univerzalnost i globalnost. Dakle, svejedno će biti potrebno obnoviti zgradu prirodne znanosti, jer više se nema gdje "plivati", znanost se odavno razvija metodom "bockanja" - glupo, skupo i neučinkovito. Fizika budućnosti, fizika 21. stoljeća i sljedećih stoljeća, mora postati fizika interakcija. A u fizici je jednostavno potrebno uvesti novi temeljni koncept - "događaj-interakcija". Istodobno se daje osnovni temelj za osnovne pojmove i odnose moderne fizike i matematike, a tek u ovom slučaju korijenska formula"causa finalis" (konačni prvi uzrok) formula potkrijepiti sve osnovne formule koje funkcioniraju u praksi. Razjašnjeno je značenje svjetskih konstanti i još mnogo toga. I ja sam tebi dragi čitatelju, sad ću ti pokazati.

Tako, formulacija problema.

Ocrtajmo u u općim crtama model. Neka apstraktni objekt spoznaje, spoznatljiv po veličini i naravi (označavamo ga -u) je relativna cjelina koja ima određenu prirodu (dimenziju) i veličinu. Predmet i njegova svojstva su kauzalni sustav. Objekt po vrijednosti ovisi o vrijednosti svojih svojstava, parametara, a po dimenziji o njihovoj dimenziji. Kauzalni parametar, dakle, označit ćemo s - x, a istraživački parametar s - u. U matematici se takav uzročno-posljedični odnos formalno opisuje funkcijom (ovisnošću) o njegovim svojstvima – parametrima u = f (x). Promjena parametra (svojstva objekta) povlači za sobom promjenu vrijednosti funkcije - relativnog cijelog broja. Štoviše, objektivno određena spoznata vrijednost cjeline (broja) relativna je vrijednost dobivena u odnosu na njezin pojedini dio (prema nekom objektivnom općeprihvaćenom jedinstvenom standardu cjeline - u at, Jedan standard je formalna vrijednost, ali općenito prihvaćena kao objektivna komparativna mjera.

Zatim u =k*u kat . Objektivna vrijednost parametra (svojstva) je odnos prema jediničnom dijelu (standardu) parametra (svojstva) -x= ja* x ovaj. Dimenzije cijelog broja i dimenzije parametra i njihovi standardi jedinica nisu identični. Izgledi k, jasu numerički jednake u, x, budući da su referentne vrijednosti u ix ovajsu samci. Kao rezultat međudjelovanja dolazi do promjene parametra, a ta uzročna promjena posljedično za sobom povlači i promjenu funkcije (relativne cjeline, objekta, sustava).

Obavezno definirati formalan opća ovisnost veličine promjene objekta o međudjelovanjima – razlozi te promjene. Ovakva tvrdnja problema odražava istinski, kauzalni, kauzalni (prema F. Baconu) dosljedni, pristup fizika interakcije.

Odluka i posljedice.

Interakcija je uobičajeni evolucijski mehanizam – uzrok varijabilnosti. Što je zapravo interakcija (kratkog dometa, dugog dometa)? Jer opća teorija interakcije i teorijskog modela interakcije objekata, nositelja razmjernih svojstava u prirodnoj znanosti još uvijek nedostaje, morat ćemo stvoriti(više o tome na).Ali budući da čitatelj koji razmišlja želi znati o pravoj fizikalnoj biti derivata odmah i sada, onda ćemo se snaći samo kratkim, ali strogim i potrebnim zaključcima iz ovog rada za razumijevanje biti derivata.

„Svaka, pa i najsloženija interakcija objekata, može se prikazati na takvoj skali vremena i prostora (proširiti u vremenu i prikazati u koordinatnom sustavu na takav način) da u svakom trenutku vremena, u datoj točki prostora , samo će dva objekta, dva nositelja razmjernih svojstava, međusobno djelovati, au ovom trenutku oni će djelovati samo sa svoja dva proporcionalna svojstva.

« Svaka (linearna, nelinearna) promjena bilo kojeg svojstva (parametra) određene prirode bilo kojeg objekta može se rastaviti (predstaviti) kao rezultat (posljedicu) događaja-interakcija iste prirode, koji slijede u formalnom prostoru i vremenu, redom, linearno ili nelinearno (jednoliko ili neravnomjerno). Istodobno, u svakom elementarnom, pojedinačnom događaju-interakcija (bliska interakcija), svojstvo se mijenja linearno jer je to zbog jedinog razloga promjene - elementarne razmjerne interakcije (i stoga postoji funkcija jedne varijable). ... Prema tome, bilo koja promjena (linearna ili nelinearna), kao rezultat interakcija, može se prikazati kao zbroj elementarnih linearnih promjena koje slijede u formalnom prostoru i vremenu linearno ili nelinearno.”

« Iz istog razloga, svaka interakcija može se rastaviti na kvante promjene (nedjeljive linearne dijelove). Elementarni kvant bilo koje prirode (dimenzije) rezultat je elementarnog međudjelovanja događaja prema danoj prirodi (dimenziji). Veličina i dimenzija kvanta određena je veličinom međusobnog svojstva i prirodom tog svojstva. Na primjer, pri idealnom, apsolutno elastičnom sudaru kuglica (bez uzimanja u obzir toplinskih i drugih gubitaka energije), kuglice izmjenjuju svoje momente (razmjerna svojstva). Promjena momenta jedne kuglice je dio linearne energije (koji joj se daje ili oduzima) - postoji kvantum koji ima dimenziju kutnog momenta. Ako kuglice s fiksnim vrijednostima količine gibanja međusobno djeluju, tada je stanje vrijednosti kutne količine gibanja svake kuglice na bilo kojem promatranom intervalu interakcije "dopuštena" vrijednost (po analogiji s pogledima kvantne mehanike).»

U fizičkom i matematičkom formalizmu postalo je općeprihvaćeno da svako svojstvo u bilo kojem trenutku i u bilo kojoj točki prostora (radi jednostavnosti, uzmimo linearno, jednokoordinatno) ima vrijednost koja se može izraziti pisanjem

(1)

gdje je dimenzija.

Ovaj zapis, između ostalog, bit je i duboko fizičko značenje kompleksnog broja, različit od općeprihvaćenog geometrijskog prikaza (prema Gaussu), kao točka na ravnini..( Bilješka. Autor)

Zauzvrat, modul promjene , označen u (1) kao , može se izraziti, uzimajući u obzir događaje interakcije, kao

(2)

fizičko značenje Ova temeljna za veliki broj najpoznatijih prirodoslovnih relacija, korijenska formula, jest da su na intervalu vremena i na intervalu homogenog linearnog (jednokoordinatnog) prostora postojali - razmjerni događaji - kratkog dometa. interakcije iste prirode, koje slijede u vremenu i prostoru u skladu sa svojim funkcijama - raspodjelom događaja u prostoru - i vremenu. Svaki od događaja promijenio se u neki . Možemo reći da u prisutnosti homogenosti objekata interakcije na određenom intervalu prostora i vremena, govorimo o o nekima konstantna, linearna, prosječna vrijednost elementarne promjene - izvedena vrijednost o veličini promjene , formalno opisana funkcija koja je svojstvena mediju interakcije i karakterizira okolinu i proces interakcije određene prirode (dimenzije). S obzirom na to da ih možda ima različite vrste funkcije distribucije događaja u prostoru i vremenu , zatim postoje promjenjive prostorno-vremenske dimenzije y kao integral distribucijskih funkcijadogađaja u vremenu i prostora , naime [vrijeme - t] i[koordinata - x] može biti na k potenciju(k - nije jednako nuli).

Ako u dovoljno homogenom okruženju označimo vrijednost prosječnog vremenskog intervala između događaja - , i vrijednost prosječnog intervala udaljenosti između događaja - , tada možemo napisati da je ukupan broj događaja u intervalu vremena i prostora jednako je

(3)

Ovaj temeljni zapis(3) u skladu je s osnovnim prostorno-vremenskim identitetima prirodnih znanosti (Maxwellova elektrodinamika, hidrodinamika, teorija valova, Hookeov zakon, Planckova formula za energiju itd.) i pravi je temeljni uzrok logičke ispravnosti fizičkih i matematičkih konstrukcija . Ovaj unos (3) je u skladu s dobro poznatim u matematici "teoremom sredine". Prepišimo (2) uzimajući u obzir (3)

(4) - za vremenske omjere;

(5) - za prostorne odnose.

Iz ovih jednadžbi (3-5) slijedi običajno pravo interakcije:

vrijednost svake promjene u objektu (svojstvu) proporcionalna je broju događaja-interakcija (bliskih interakcija) razmjernih s njime koji je uzrokuju. Istovremeno, priroda promjene (vrsta ovisnosti u vremenu i prostoru) odgovara prirodi slijeda tih događaja u vremenu i prostoru.

Dobili smo opći osnovni omjeri prirodne znanosti za slučaj linearnog prostora i vremena, očišćenog od pojma beskonačnosti, težnji ka nuli, trenutne brzine itd. Iz istog razloga se ne koriste oznake beskonačno male dt i dx iz istog razloga. Umjesto njih konačni Δti i Δxi . Iz ovih generalizacija (2-6) slijedi:

- opće fizičko značenje derivacije (diferencijala) (4) i gradijenta (5), kao i "svjetske" konstante, kao vrijednosti usrednjene (prosječne) linearne promjene funkcije (objekta) s jednim događajem - interakcija argumenta (svojstva) koji ima određenu dimenziju (prirodu) s proporcionalnim (iste prirode) svojstvima drugih objekata. Omjer veličine promjene i broja događaja-interakcija koji je iniciraju zapravo je vrijednost derivacije funkcije, koja odražava uzročnu ovisnost objekta o njegovom svojstvu.

; (7) - izvod funkcije

; (8) - gradijent funkcije

- fizičko značenje integrala, kao zbroj vrijednosti funkcije promjene tijekom događaja po argumentu

; (9)

- potkrepljenje (dokaz i razumljiv fizikalni smisao) Lagrangeovog teorema za konačne priraštaje(formule konačnih inkremenata), u mnogočemu temeljne za diferencijalni račun. Za linearne funkcije i vrijednosti njihovih integrala u izrazima (4)(5) i zauzimaju mjesto. Zatim

(10)

(10.1)

Formula (10.1) je zapravo Lagrangeova formula za konačne priraštaje [ 5].

Kada specificiramo objekt sa skupom njegovih svojstava (parametara), dobivamo slične ovisnosti za varijabilnost objekta kao funkciju varijabilnosti njegovih svojstava (parametara) i pojašnjavamo fizički značenje djelomične derivacije funkcije nekoliko varijabilnih parametara.

(11)

Taylorova formula za funkciju jedne varijable, što je također postalo klasično,

ima oblik

(12)

Predstavlja dekompoziciju funkcije (formalnog kauzalnog sustava) u niz u kojem je njezina promjena jednaka

se rastavlja na komponente, prema principu rastavljanja općeg toka događaja iste prirode na podtokove koji imaju različite sljedeće karakteristike. Svaki podtok karakterizira linearnost (nelinearnost) slijeda događaja u prostoru ili vremenu. Ovo je fizičko značenje Taylorove formule . Tako, na primjer, prvi član Taylorove formule identificira promjenu u linearnom praćenju događaja u vremenu (prostoru).

U . Drugi na nelinearno praćenje pogledati događaje itd.

- fizičko značenje stalne brzine promjene (kretanja)[m/s], što ima značenje jednog linearnog pomaka (promjene, prirasta) vrijednosti (koordinate, putanje), s linearno pratećim događajima.

(13)

Iz tog razloga brzina nije uzročna ovisnost o formalno odabranom koordinatnom sustavu ili vremenskom intervalu. Brzina je neformalna ovisnost o sukcesijskoj funkciji (distribuciji) u vremenu i prostoru događaja koja dovodi do promjene koordinata.

(14)

A svako složeno kretanje može se rastaviti na komponente, pri čemu svaka komponenta ovisi o sljedećim linearnim ili nelinearnim događajima. Zbog toga se kinematika točke (jednadžba točke) proširuje u skladu s Lagrangeovom ili Taylorovom formulom.

Brzina postaje ubrzanje kada se linearni slijed događaja promijeni u nelinearni.

- fizičko značenje ubrzanja- , kao vrijednost brojčano jednaka jednom pomaku, s nelinearnim slijedom događaja-interakcija koji uzrokuju taj pomak . pri čemu, ili . U isto vrijeme, ukupni pomak u slučaju nelinearnog slijeda događaja (s linearnom promjenom brzine slijeda događaja) za jednaki (15) - formula poznata iz školska klupa

- fizičko značenje ubrzanja slobodnog pada objekta- , kao konstantna vrijednost, numerički jednaka omjeru linearne sile koja djeluje na objekt (zapravo, tzv. "trenutni" linearni pomak), u korelaciji s nelinearnim brojem naknadnih događaja-interakcija s okolinom u formalnom vremenu, uzrokujući ovu silu.

Prema tome, vrijednost jednaka broju nelinearno praćenje događaji, odnosno odnos - dobio naziv tjelesna težina , a vrijednost - tjelesna težina , kao sile koje djeluju na tijelo (na oslonac) u mirovanju.Objasnimo gore navedeno jer široko korišten, temeljni fizikalni koncept mase u modernoj fizici uopće nije strukturirano kauzalno iz bilo kakvih međudjelovanja. A fizika poznaje činjenice o promjenama mase tijela tijekom određenih reakcija (fizičkih interakcija) unutar njih. Na primjer, tijekom radioaktivnog raspada smanjuje se ukupna masa tvari.Kada tijelo miruje u odnosu na Zemljinu površinu, ukupan broj događaja-interakcija čestica ovog tijela s nehomogenim medijem s gradijentom (drugim nazivom gravitacijsko polje) se ne mijenja. A to znači da se sila koja djeluje na tijelo ne mijenja, a inercijalna masa je proporcionalna broju događaja koji se događaju objektima tijela i objektima okoline, jednaka omjeru sile prema njenom konstantnom ubrzanju .

Kada se tijelo giba u gravitacijskom polju (pada), omjer promjenjive sile koja djeluje na njega i promjenjivog broja događaja također ostaje konstantan i omjer - odgovara gravitacijskoj masi. iz čega slijedi analitički identitet inercijske i gravitacijske mase. Kada se tijelo giba nelinearno, već horizontalno u odnosu na Zemljinu površinu (po sfernoj ekvipotencijalnoj površini Zemljinog gravitacijskog polja), tada gravitacijsko polje nema gradijent na ovoj putanji. Ali svaka sila koja djeluje na tijelo proporcionalna je broju događaja koji ubrzavaju i usporavaju tijelo. Odnosno u slučaju horizontalno kretanje, jednostavno se mijenja razlog kretanja tijela. A nelinearno promjenjiv broj događaja daje ubrzanje tijelu i (2. Newtonov zakon). Kod linearnog slijeda događaja (i ubrzanja i usporavanja) brzina tijela je konstantna i fizikalna veličina, s takvim slijedom događaja, u fizika se zove zamah.

- Fizičko značenje kutnog momenta, kao kretanje tijela pod utjecajem događaja koji linearno slijede u vremenu.

(16)

- Fizičko značenje električnog naboja objekta unesenog u polje, kao omjer sile koja djeluje na "nabijeni" objekt (Lorentzova sila) u točki polja i vrijednosti naboja točke polja. Jer sila je rezultat međudjelovanja razmjernih svojstava predmeta unesenog u polje i predmeta polja. Interakcija se izražava u promjeni tih proporcionalnih svojstava oba. Kao rezultat svake pojedinačne interakcije, objekti izmjenjuju module svojih promjena, mijenjajući jedni druge, što je vrijednost “trenutačne” sile koja djeluje na njih, kao derivacije sile koja djeluje na intervalu prostora. Ali u modernoj fizici polje, posebna vrsta materije, nažalost, nema naboj (nema objekte nositelje naboja), ali ima drugačiju karakteristiku - napetost na intervalu (razlika potencijala (naboja) u određenoj praznini). Tako, naplatiti po svojoj veličini pokazuje koliko se puta sila koja djeluje na nabijeni objekt razlikuje od jakosti polja u određenoj točki (od "trenutačne" sile). (17)

Zatim pozitivni naboj predmeta– vidi se kao naboj koji u apsolutnoj vrijednosti premašuje (veći) naboj točke polja, a negativan - manji od naboja točke polja. To implicira razliku u predznacima sila odbijanja i privlačenja. Što određuje prisutnost smjera za djelovanje sile "odbojnosti - privlačnosti". Ispada da je naboj kvantitativno jednak broju događaja-interakcija koje ga mijenjaju u svakom događaju za veličinu jakosti polja. Veličina naboja, u skladu s pojmom broja (vrijednosti), je odnos s referencom, jedinicom, probnim nabojem -. Odavde . Kada se naboj kreće, kada događaji slijede linearno (polje je homogeno), integrali , a kada se homogeno polje pomiče u odnosu na naboj . Otuda poznati odnosi fizike ;

- Fizikalni smisao jakosti električnog polja, kao omjer sile koja djeluje na nabijeni objekt i broja tekućih događaja-interakcija nabijenog objekta s nabijenim medijem. Postoji konstantna karakteristika električnog polja. To je također derivacija u odnosu na koordinatu Lorentzove sile.Jačina električnog polja- ovo je fizikalna veličina brojčano jednaka sili koja djeluje na jedinični naboj u jednom događaju-interakcija () nabijenog tijela i polja (nabijenog medija).

(18)

-Fizičko značenje potencijala, struje, napona i otpora (električna provodljivost).

S obzirom na promjenu veličine naboja

(19)

(20)

(21)

Gdje se naziva potencijalom točke polja i uzima se kao energetska karakteristika dane točke polja, a zapravo je to naboj točke polja koji se razlikuje za faktor ispitnog (referentnog) naboja. Ili: . Tijekom međudjelovanja naboja unesenog u polje i naboja točke polja dolazi do izmjene razmjernih svojstava - naboja. Razmjena je fenomen koji se opisuje kao "Lorentzova sila djeluje na naboj uveden u polje", jednak u apsolutnoj vrijednosti veličini promjene naboja, kao i veličini relativne promjene potencijala točke polja . Kada se naboj unese u Zemljino polje, Posljednja promjena može zanemariti zbog relativne malenosti te promjene u usporedbi s ogromnom vrijednošću ukupnog naboja točke u Zemljinom polju.

Iz (20) vidljivo je da je struja (I ) vremenski izvod veličine promjene naboja u vremenskom intervalu, mijenjajući veličinu naboja u jednoj interakciji događaja (interakcija kratkog dometa) s nabojem srednje (poljske točke).

* Do sada se u fizici smatralo da ako: vodič ima presjek površine S, naboj svake čestice je jednak q 0, a volumen vodiča, ograničen presjecima 1 i 2 i duljinom (), sadrži čestice, gdje je n koncentracija čestica. To je ukupna naknada. Ako se čestice gibaju u istom smjeru prosječnom brzinom v, tada će s vremenom sve čestice zatvorene u promatranom volumenu proći kroz presjek 2. Stoga je jakost struje

.

Isto, možemo reći u slučaju naše metodološke generalizacije (3-6), samo umjesto broja čestica treba reći broj događaja, što je u smislu točnije, jer ima puno više nabijenih čestica (događaja) u vodiču nego npr. elektroni u metalu . Ovisnost će biti prepisana u obrascu , dakle, u Ponovno potvrđena je valjanost (3-6) i drugih generalizacija ovog rada.

Dvije točke homogenog polja, međusobno razmaknute u prostoru, s različitim potencijalima (nabojima) imaju jedna u odnosu na drugu potencijalnu energiju, koja je brojčano jednaka radu promjene potencijala s vrijednosti na . Jednaka je njihovoj razlici.

. (22)

Inače, može se napisati Ohmov zakon pravilnim izjednačavanjem

. (23)

Gdje je u ovom slučaju otpor, koji pokazuje broj događaja potrebnih za promjenu veličine naboja, pod uvjetom da će se u svakom događaju naboj promijeniti za konstantnu vrijednost takozvane "trenutne" struje, ovisno o svojstvima dirigent. Iz ovoga slijedi da je struja vremenska derivacija veličine i pojma napona. Treba imati na umu da se u SI jedinicama električna vodljivost izražava u Siemensu s dimenzijom: Cm \u003d 1 / Ohm \u003d Amper / Volt \u003d kg -1 m -2 s ³A². Otpor je u fizici recipročna vrijednost umnoška električne vodljivosti (otpor jediničnog presjeka materijala) i duljine vodiča. Što se može napisati (u smislu generalizacije (3-6)) kao

(24)

- Fizikalno značenje indukcije magnetskog polja. Empirijski je utvrđeno da omjer najveće vrijednosti modula sile koja djeluje na vodič kroz koji teče struja (Amperova sila) i jakosti struje - I prema duljini vodiča - l, ne ovisi o jakosti struje. u provodniku, niti o duljini provodnika. Uzeta je kao karakteristika magnetskog polja na mjestu gdje se nalazi vodič - indukcija magnetskog polja, vrijednost koja ovisi o strukturi polja - , što odgovara

(25)

a budući da , onda .

Kada okvir vrtimo u magnetskom polju, prije svega povećavamo broj događaja-interakcija nabijenih objekata okvira i nabijenih objekata polja. Iz toga slijedi ovisnost EMF-a i struje u okviru o brzini vrtnje okvira i jakosti polja u blizini okvira. Zaustavljamo okvir - nema interakcija - nema struje. W vrtlog (promjena) polje - struja je otišla u okvir.

- Fizičko značenje temperature. Danas u fizici pojam - mjera temperature nije sasvim trivijalan. Jedan kelvin jednak je 1/273,16 termodinamičke temperature trojne točke vode. Početak ljestvice (0 K) poklapa se s apsolutnom nulom. Pretvorba u stupnjeve Celzijusa: ° S \u003d K -273,15 (temperatura trojne točke vode je 0,01 ° C).
Godine 2005. definicija kelvina je pročišćena. U obveznom Tehničkom prilogu teksta ITS-90, Savjetodavni odbor za termometriju utvrdio je zahtjeve za izotopski sastav vode pri primjeni temperature trojne točke vode.

Štoviše, fizikalni smisao i bit pojma temperature puno lakše i jasnije. Temperatura je, u svojoj biti, posljedica događaja-interakcija unutar tvari koje imaju i "unutarnje" i "vanjske" uzroke. Više događaja - više temperature, manje događaja- niža temperatura. Otuda i pojava promjene temperature u mnogim kemijskim reakcijama. govorio je i P. L. Kapitsa "... mjera temperature nije samo kretanje, već slučajnost tog kretanja. Slučajnost stanja tijela određuje njegovo temperaturno stanje, a ova ideja (koju je prvi razvio Boltzmann) da određeno temperaturno stanje tijela uopće nije određena energijom kretanja, već slučajnošću ovog kretanja, i to je novi koncept u opisu temperaturnih pojava, koji moramo koristiti ... " (Izvješće dobitnika Nobelove nagrade iz 1978. Petra Leonidoviča Kapitse „Svojstva tekućeg helija“, pročitano na konferenciji „Problemi moderna znanost"na Moskovskom sveučilištu 21. prosinca 1944.)
Pod mjerom kaosa treba razumjeti kvantitativnu karakteristiku broja događaj-interakcije po jedinici vremena u jedinici volumena materije – svoj temperatura. Nije slučajno što će Međunarodni odbor za utege i mjere 2011. godine promijeniti definiciju kelvina (mjera temperature) kako bi se riješili teško ponovljivih uvjeta "trojne točke vode". U novoj definiciji kelvin će biti izražen kroz sekundu i vrijednost Boltzmannove konstante.Što točno odgovara osnovnoj generalizaciji (3-6) ovog rada. U ovom slučaju Boltzmannova konstanta izražava promjenu stanja određene količine materije tijekom jednog događaja (vidi fizičko značenje derivata), a veličina i dimenzija vremena karakteriziraju broj događaja u vremenskom intervalu . To još jednom dokazuje uzročna struktura temperature - događaji-interakcije. Kao rezultat događaja-interakcija, objekti u svakom događaju razmjenjuju kinetičku energiju (trenuci impulsa kao kod sudara loptica), a medij na kraju postiže termodinamičku ravnotežu (prvi zakon termodinamike).

- Fizičko značenje energije i snage.

U modernoj fizici energija E ima drugu dimenziju (prirodu). Koliko priroda, toliko energija. Na primjer:

Sila pomnožena s duljinom (E ≈ F l≈N*m);

Tlak puta volumen (E ≈ P V≈N*m 3 /m 2 ≈N*m);

Impuls pomnožen brzinom (E ≈ p v≈kg * m / s * m / s ≈ (N * s 2) / m * (m / s * m / s) ≈ N * m);

Masa pomnožena s kvadratom brzine (E ≈ m v 2 ≈N*m);

Struja pomnožena s naponom (E ≈ I U ≈

Iz tih odnosa proizlazi pročišćen koncept energije i povezanost s jedinstvenim standardom (mjernom jedinicom) energije, događaja i promjena.

energija, – je kvantitativna karakteristika promjene bilo kojeg fizičkog parametra materije pod utjecajem događaja-interakcija iste dimenzije, koji uzrokuju tu promjenu. Inače, možemo reći da je energija kvantitativna karakteristika koja se neko vrijeme (na određenoj udaljenosti) primjenjuje na svojstvo vanjske djelujuće sile. Veličina energije (broj) je omjer veličine promjene određene prirode prema formalnom, općeprihvaćenom standardu energije te prirode. Dimenzija energije je dimenzija formalnog, općeprihvaćenog standarda energije. Uzročno, veličina i dimenzija energije, njezina promjena u vremenu i prostoru, formalno ovise o ukupnoj veličini promjene u odnosu na standard i dimenziju standarda, a neformalno ovise o prirodi slijeda događaja.

Ukupna vrijednost promjene - ovisi o broju događaja-interakcija koji mijenjaju vrijednost ukupne promjene u jednom događaju za - prosječnu jediničnu silu - vrijednost izvedenice.

Standard energije određene prirode (dimenzije) mora odgovarati općem konceptu standard (singularnost, uobičajenost, nepromjenjivost), imaju dimenziju funkcije niza događaja u prostor-vremenu i promijenjenu vrijednost.

Ti su omjeri, zapravo, uobičajeni za energiju svake promjene materije.

O snazi. a vrijednost ili u stvari, postoji ista "trenutačna" sila koja mijenja energiju.

. (26)

Dakle, pod opći koncept Inerciju treba shvatiti kao vrijednost elementarne relativne promjene energije pod djelovanjem jednog događaja-interakcije (za razliku od sile, koja nije u korelaciji s veličinom intervala, već pretpostavljene prisutnosti intervala nepromjenjivosti djelovanja), koji ima stvarni vremenski interval (interval prostora) svoje nepromjenjivosti do sljedećeg događaja.

Interval je razlika između dvije točke u vremenu početka ovog i sljedećih usporedivih događaja-interakcija, odnosno dvije točke-koordinate događaja u prostoru.

Inercija ima dimenziju energije, jer je energija integralni zbroj vrijednosti tromosti u vremenu pod djelovanjem događaja-interakcija. Količina promjene energije jednaka je zbroju tromosti

(27)

Inače, možemo reći da je inercija koju apstraktnom svojstvu prenosi th događaj-interakcija energija promjene svojstva, koja je imala neko vrijeme nepromjenjivosti do sljedećeg događaja-interakcije;

- fizičko značenje vremena kao formalni način spoznaje veličine trajanja promjene (invarijantnost), kao način mjerenja veličine trajanja u usporedbi s formalnim standardom trajanja, kao mjera trajanja promjene (trajanje, trajanje)

I vrijeme je da se prestanu brojna nagađanja o tumačenju ovog temeljnog pojma prirodne znanosti.

- fizičko značenje koordinatnog prostora , kao vrijednosti (mjere) promjene (putovi, udaljenosti),

(32)

koji ima dimenziju formalnog, jedinstvenog standarda prostora (koordinate) i vrijednost koordinate, kao integrala funkcije slijeda događaja u prostoru. jednak ukupno koordinatni standardi na intervalu . Prilikom mjerenja koordinate, radi praktičnosti, linearno se mijenjaju integrand funkcija čiji je integral jednak broju formalno odabranih referentnih intervala jediničnih koordinata;

- fizički smisao svih osnovnih fizička svojstva(parametri) koji karakteriziraju svojstva medija tijekom elementarne proporcionalne interakcije s njim (dielektrična i magnetska propusnost, Planckova konstanta, koeficijenti trenja i površinske napetosti, specifična toplina, svjetske konstante itd.).

Tako se dobivaju nove ovisnosti koje imaju jedinstven izvorni oblik zapisa i jedno metodološki ujednačeno uzročno značenje. A to uzročno značenje dobiva uvođenjem globalnog fizikalnog principa - "događaj-interakcija" u prirodnu znanost.

Evo, dragi čitatelju, što bi trebalo biti u najopćenitijim crtama nova matematika obdarena fizičkim značenjem i sigurnošću I nova interakcijska fizika 21. stoljeća , očišćen od roja nebitnih, bez izvjesnosti, veličine i dimenzije, a samim time i zdravorazumskih pojmova. Takav npr. Kako klasična derivacija i trenutna brzina - koji imaju malo toga zajedničkog s fizički koncept ubrzati. Kako koncept inercije - određena sposobnost tijela da održe brzinu ... Kako inercijski referentni sustav (ISO) , što nema nikakve veze s koncept referentnog okvira(CO). Za ISO, za razliku od uobičajenog referentnog okvira (CO) nije objektivan sustav znanja o veličini kretanja (promjene). U odnosu na ISO, prema njegovoj definiciji, tijela miruju ili se kreću samo pravocrtno ili ravnomjerno. I mnoge druge stvari koje su stoljećima glupo ponavljane kao nepokolebljive istine. Te pseudo-istine, koje su postale bazične, više nisu sposobne fundamentalno, dosljedno i uzročno opisati općim ovisnostima brojni fenomeni svemira koji postoje i mijenjaju se prema jedinstvenim zakonima prirode.

1. Književnost.

1. Hegel G.W.F. Enciklopedija filozofskih znanosti: U 3 toma, knjiga 1: Znanost logike. M., 197 3

2. Hegel G.W.F. , Soch., vol. 5, M., 1937, str. 691.

3. F. Engels. PSS. stih 20, str. 546.

1.1 Neki problemi fizike 3

2. Izvedenica

2.1 Stopa promjene funkcije 6

2.2 Derivacija funkcije 7

2.3 Derivacija funkcije snage 8

2.4 Geometrijsko značenje izvoda 10

2.5 Diferencijacija funkcija

2.5.1 Razlikovanje rezultata aritmetičkih operacija 12

2.5.2 Razlikovanje složenih i inverzne funkcije 13

2.6 Derivacije parametarski definiranih funkcija 15

3. Diferencijal

3.1 Diferencijal i njegovo geometrijsko značenje 18

3.2 Diferencijalna svojstva 21

4. Zaključak

4.1 Dodatak 1. 26

4.2 Dodatak 2. 29

5. Popis korištene literature 32

1. Uvod

1.1 Neki problemi fizike. Razmotrimo jednostavne fizikalne pojave: pravocrtno gibanje i linearnu raspodjelu mase. Za njihovo proučavanje uvode se brzina kretanja i gustoća.

Analizirajmo takav fenomen kao što je brzina kretanja i srodni pojmovi.

Neka se tijelo giba pravocrtno i znamo udaljenost , prošao pokraj tijela za svaki dano vrijeme , tj. znamo udaljenost kao funkciju vremena:

Jednadžba
nazvao jednadžba gibanja i linija koju definira u sustavu osovina
- raspored kretanja.

Razmotrite gibanje tijela tijekom vremenskog intervala
od nekog trenutka do trenutka
. U vremenu, tijelo je prešlo put, a u vremenu, put
. Dakle, u jedinicama vremena prešao je udaljenost

.

Ako je gibanje jednoliko, tada postoji linearna funkcija:

U ovom slučaju
, i odnos
pokazuje koliko je jedinica staze u jedinici vremena; u isto vrijeme, ostaje konstantan, bez obzira na trenutak u vremenu se uzima, a ne na koji se vremenski prirast uzima . To je stalan stav nazvao jednolika brzina.

Ali ako je gibanje neravnomjerno, tada omjer ovisi

iz , i od . Naziva se prosječnom brzinom kretanja u vremenskom intervalu od na i označeno sa :

Tijekom tog vremenskog intervala, uz istu prijeđenu udaljenost, kretanje se može dogoditi na najrazličitije načine; grafički je to ilustrirano činjenicom da između dviju točaka na ravnini (točke
na sl. 1) možete crtati razne linije
- grafovi kretanja u određenom vremenskom intervalu, a sva ta različita kretanja odgovaraju istoj prosječnoj brzini.

Konkretno, između točaka prolazi kroz ravnu liniju
, koji je graf uniforme u intervalu
pokret. Dakle prosječna brzina pokazuje koliko se brzo morate ravnomjerno kretati da biste prošli u istom vremenskom intervalu ista udaljenost
.

Ostavljajući isto , smanjimo . Prosječna brzina izračunata za promijenjeni interval
, koji leži unutar zadanog intervala, može, naravno, biti drugačiji nego u; kroz cijeli interval . Iz ovoga slijedi da se prosječna brzina ne može smatrati zadovoljavajućom karakteristikom kretanja: ona (prosječna brzina) ovisi o intervalu za koji se vrši proračun. Na temelju činjenice da je prosječna brzina u intervalu treba smatrati što bolje karakterizira pokret, to manje , Idemo na nulu. Ako istodobno postoji granica prosječne brzine, tada se ona uzima kao brzina kretanja u ovaj trenutak .

Definicija. ubrzati pravocrtno gibanje u određenom trenutku naziva se granica prosječne brzine koja odgovara intervalu, budući da teži nuli:

Primjer. Napišimo zakon slobodnog pada:

.

Za prosječnu stopu pada u vremenskom intervalu imamo

i za trenutnu brzinu

.

To pokazuje da je brzina slobodnog pada proporcionalna vremenu gibanja (pada).

2. Izvedenica

Brzina promjene funkcije. Derivacija funkcije. Derivacija funkcije potencije.

2.1 Brzina promjene funkcije. Svaki od četiri posebna pojma: brzina kretanja, gustoća, toplinski kapacitet,

ubrzati kemijska reakcija, unatoč značajnoj razlici u njihovom fizičkom značenju, s matematičke točke gledišta, kao što je lako vidjeti, jedno te isto karakteristika odgovarajuće funkcije. Sve su to pojedine vrste tzv. brzine promjene funkcije, definirane, kao i navedeni posebni pojmovi, uz pomoć pojma limita.

Analizirajmo stoga opći pogled pitanje o brzini promjene funkcije
, apstrahirajući se od fizičkog značenja varijabli
.

Neka prvo
- linearna funkcija:

.

Ako nezavisna varijabla dobiva prirast
, zatim funkcija ovdje dobiva prirast
. Stav
ostaje konstantan, neovisno o tome koja se funkcija razmatra, niti koja se uzima .

Ovaj odnos se zove stopa promjene linearna funkcija. Ali ako funkcija nije linearan, tada je odnos

također ovisi o , i od . Ovaj omjer samo "u prosjeku" karakterizira funkciju kada se nezavisna varijabla promijeni iz zadane u
; jednaka je brzini takve linearne funkcije, koja s obzirom ima isti prirast
.

Definicija.Stav nazvaoProsječna brzina promjene funkcije u intervalu
.

Jasno je da što je razmatrani interval manji, to prosječna brzina bolje karakterizira promjenu funkcije, pa forsiramo teže nuli. Ako u isto vrijeme postoji ograničenje prosječne brzine, tada se kao mjera uzima brzina promjene funkcije za danu , I naziva se brzina promjene funkcije.

Definicija. Stopa promjene funkcije Vdana točka naziva se granica prosječne brzine promjene funkcije u intervalu kada ide na nulu:

2.2 Derivacija funkcije. Stopa promjene funkcije

određuje se sljedećim redoslijedom radnji:

1) prirastom , dodijeljena ovoj vrijednosti , pronaći odgovarajući inkrement funkcije

;

2) sastavlja se relacija;

3) pronaći granicu ovog omjera (ako postoji)

s proizvoljnom tendencijom nule.

Kao što je već navedeno, ako ova funkcija nije linearna

zatim odnos također ovisi o , i od . Granica ovog omjera ovisi samo o odabranoj vrijednosti. i stoga je funkcija . Ako funkcija linearno, tada razmatrana granica ne ovisi o , tj. bit će konstantna vrijednost.

Ova granica se zove izvod funkcije ili jednostavno izvod funkcije i označava se ovako:
.Čitaj: "ef potez od » odnosno "ef prim od".

Definicija. izvedenica ove funkcije naziva se granica omjera prirasta funkcije prema prirastu nezavisne varijable s proizvoljnom težnjom, taj priraštaj na nulu:

.

Vrijednost derivacije funkcije u bilo kojoj danoj točki obično označeno
.

Koristeći uvedenu definiciju derivata, možemo reći da:

1) Brzina pravocrtnog gibanja je derivacija

funkcije Po (derivacija puta u odnosu na vrijeme).

2.3 Derivacija funkcije snage.

Nađimo izvode nekih jednostavnih funkcija.

Neka
. Imamo

,

tj. izvedenica
je konstantna vrijednost jednaka 1. To je očito, jer - linearna funkcija i stopa promjene je konstantna.

Ako
, To

Neka
, Zatim

Lako je uočiti obrazac u izrazima za derivacije potencije
na
. Dokažimo da je, općenito, derivacija za bilo koji pozitivni cijeli broj eksponenta jednako je
.

.

Izraz u brojniku transformira se Newtonovom binomnom formulom :

Na desnoj strani posljednje jednakosti nalazi se zbroj članova od kojih prvi ne ovisi o , a ostali teže nuli zajedno s . Zato

.

Dakle, funkcija potencije s pozitivnim cijelim brojem ima derivaciju jednaku:

.

Na
gore izvedene formule slijede iz pronađene opće formule.

Ovaj rezultat vrijedi za bilo koji pokazatelj, na primjer:

.

Razmotrimo sada odvojeno derivaciju konstante

.

Kako se ova funkcija ne mijenja promjenom nezavisne varijable, onda
. Stoga,

,

T. e. derivacija konstante je nula.

2.4 Geometrijsko značenje derivacije.

Derivacija funkcije ima vrlo jednostavno i jasno geometrijsko značenje, koje je usko povezano s konceptom tangente na liniju.

Definicija. Tangens
na liniju
u njezinoj točki
(slika 2). naziva se granični položaj pravca koji prolazi točkom, i još jedna točka
linije kada ova točka teži spajanju s danom točkom.

.Tutorial

Postoji prosjek ubrzatipromjenefunkcije u smjeru ravne linije. 1 naziva se derivacija funkcije u smjeru i naznačeno je. Dakle - (1) - ubrzatipromjenefunkcije u točki...

Limit i neprekidnost funkcije

Studija

Fizičko značenje derivata. Izvedenica karakterizira ubrzatipromjene jedna fizikalna veličina u odnosu na ... . Na kojoj su vrijednosti argumenta jednaki ubrzatipromjenefunkcije i Odluka. , i, i. Koristeći fizičko značenje derivata...

Pojam funkcije jedne varijable i metode zadavanja funkcija

Dokument

Pojam karakterizacije diferencijalnog računa ubrzatipromjenefunkcije; P. je funkcija, definiran za svaki x ... kontinuirani izvod (diferencijalni račun karakterizira ubrzatipromjenefunkcije u ovom trenutku). Zatim i...

§ 5 Parcijalne derivacije složenih funkcija diferencijali složenih funkcija 1 Parcijalne derivacije složene funkcije

Dokument

Postoji i konačan je) bit će ubrzatipromjenefunkcije u točki u smjeru vektora. Njegov ... i označavaju ili. Osim veličine ubrzatipromjenefunkcije, omogućuje određivanje prirode promjenefunkcije u točki u smjeru vektora...