Oznake u aritmetičkoj progresiji.  Algebra: Aritmetičke i geometrijske progresije

Aritmetika i geometrijska progresija

Teorijske informacije

Teorijske informacije

	Aritmetička progresija	Geometrijska progresija
Definicija	Aritmetička progresija a n naziva se niz čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu, zbrojenom s istim brojem d (d- razlika u progresiji)	geometrijska progresija b n naziva se niz brojeva različitih od nule, čiji je svaki član, počevši od drugog, jednak prethodnom članu pomnoženom s istim brojem q (q- nazivnik progresije)
Rekurentna formula	Za svaki prirodni n a n + 1 = a n + d	Za svaki prirodni n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
formula n-tog člana	a n = a 1 + d (n - 1)	b n \u003d b 1 ∙ q n - 1, b n ≠ 0
karakteristično svojstvo
Zbroj prvih n članova

Primjeri zadataka s komentarima

Vježba 1

U aritmetička progresija (a n) a 1 = -6, a 2

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1+ d (22 - 1) = a 1+ 21d

Po stanju:

a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d.

Potrebno je pronaći razliku progresije:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

odgovor: a 22 = -48.

Zadatak 2

Nađi peti član geometrijske progresije: -3; 6;....

1. način (upotrebom formule s n-članovima)

Prema formuli n-tog člana geometrijske progresije:

b 5 \u003d b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Jer b 1 = -3,

2. način (koristeći rekurzivnu formulu)

Budući da je nazivnik progresije -2 (q = -2), tada je:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

odgovor: b 5 = -48.

Zadatak 3

U aritmetičkoj progresiji ( a n) a 74 = 34; a 76= 156. Pronađite sedamdeset peti član ove progresije.

Za aritmetičku progresiju karakteristično svojstvo ima oblik .

Stoga:

.

Zamijenite podatke u formuli:

Odgovor: 95.

Zadatak 4

U aritmetičkoj progresiji ( a n ) a n= 3n - 4. Nađite zbroj prvih sedamnaest članova.

Za pronalaženje zbroja prvih n članova aritmetičke progresije koriste se dvije formule:

.

Koji u ovaj slučaj praktičniji za korištenje?

Po uvjetu je poznata formula n-tog člana izvorne progresije ( a n) a n= 3n - 4. Može se pronaći odmah i a 1, I a 16 bez pronalaska d . Stoga koristimo prvu formulu.

Odgovor: 368.

Zadatak 5

U aritmetičkoj progresiji a n) a 1 = -6; a 2= -8. Pronađite dvadeset i drugi član progresije.

Prema formuli n-tog člana:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1+ 21d.

Pod uvjetom, ako a 1= -6, dakle a 22= -6 + 21d. Potrebno je pronaći razliku progresije:

d= a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

odgovor: a 22 = -48.

Zadatak 6

Zapisano je nekoliko uzastopnih članova geometrijske progresije:

Nađi član progresije, označen slovom x .

Pri rješavanju koristimo formulu za n-ti član b n \u003d b 1 ∙ q n - 1 za geometrijske progresije. Prvi član progresije. Da biste pronašli nazivnik progresije q, trebate uzeti bilo koji od ovih članova progresije i podijeliti s prethodnim. U našem primjeru, možete uzeti i podijeliti sa. Dobivamo da je q \u003d 3. Umjesto n, zamijenimo 3 u formuli, jer je potrebno pronaći treći član dane geometrijske progresije.

Zamjenom pronađenih vrijednosti u formulu, dobivamo:

.

Odgovor: .

Zadatak 7

Od aritmetičkih progresija danih formulom n-tog člana odaberite onu za koju je zadovoljen uvjet a 27 > 9:

Budući da navedeni uvjet mora biti zadovoljen za 27. član progresije, zamijenit ćemo 27 umjesto n u svakoj od četiri progresije. U 4. progresiji dobivamo:

.

Odgovor: 4.

Zadatak 8

U aritmetičkoj progresiji a 1= 3, d = -1,5. Navedite najveća vrijednost n , za koju vrijedi nejednakost a n > -6.

Problemi aritmetičke progresije postoje od davnina. Pojavili su se i tražili rješenje, jer su imali praktičnu potrebu.

Dakle, u jednom od papirusa drevni Egipt, koji ima matematički sadržaj - Rhindov papirus (XIX. st. pr. Kr.) - sadrži sljedeći zadatak: podijeliti deset mjera kruha na deset osoba, s tim da je razlika između svakog od njih jedna osmina mjere.

I u matematičkim djelima starih Grka postoje elegantni teoremi vezani uz aritmetičku progresiju. Dakle, Hipsikle iz Aleksandrije (2. st., koji je sastavio mnoge zanimljive probleme i dodao četrnaestu knjigu Euklidovim "Elementima", formulirao je ideju: "U aritmetičkoj progresiji s parnim brojem članova, zbroj članova 2. pol. više od iznosačlanovi 1. na trgu 1/2 od broja članova.

Označava se niz an. Brojevi niza nazivaju se njegovim članovima i obično se označavaju slovima s indeksima koji označavaju redni broj tog člana (a1, a2, a3 ... čitaj: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” i tako dalje).

Niz može biti beskonačan ili konačan.

Što je aritmetička progresija? Podrazumijeva se da je dobiven zbrajanjem prethodnog člana (n) s istim brojem d, koji je razlika progresije.

Ako d<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, tada se takva progresija smatra rastućom.

Kaže se da je aritmetička progresija konačna ako se u obzir uzme samo nekoliko njenih prvih članova. S vrlo velikim brojem članova, to je već beskonačna progresija.

Svaka aritmetička progresija dana je sljedećom formulom:

an =kn+b, dok su b i k neki brojevi.

Tvrdnja, koja je suprotna, apsolutno je istinita: ako je niz zadan sličnom formulom, onda je to upravo aritmetička progresija, koja ima svojstva:

1. Svaki član progresije je aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana.
2. Suprotno: ako je, počevši od 2., svaki član aritmetička sredina prethodnog i sljedećeg člana, tj. ako je uvjet ispunjen, tada je zadani niz aritmetička progresija. Ova jednakost je ujedno i znak progresije, pa se obično naziva karakteristično svojstvo progresije.
   Na isti način, teorem koji odražava ovo svojstvo je istinit: niz je aritmetička progresija samo ako je ova jednakost istinita za bilo koji od članova niza, počevši od 2.

Karakteristično svojstvo za bilo koja četiri broja aritmetičke progresije može se izraziti formulom an + am = ak + al ako je n + m = k + l (m, n, k su brojevi progresije).

U aritmetičkoj progresiji, bilo koji potrebni (N-ti) član može se pronaći primjenom sljedeće formule:

Na primjer: zadan je prvi član (a1) u aritmetičkoj progresiji i jednak je tri, a razlika (d) jednaka je četiri. Morate pronaći četrdeset peti član ove progresije. a45 = 1+4(45-1)=177

Formula an = ak + d(n - k) omogućuje nam određivanje n-ti pojam aritmetička progresija kroz bilo koji njegov k-ti član, pod uvjetom da je poznat.

Zbroj članova aritmetičke progresije (pod pretpostavkom 1. n članova konačne progresije) izračunava se na sljedeći način:

Sn = (a1+an) n/2.

Ako je poznat i 1. član, tada je druga formula prikladna za izračunavanje:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

Zbroj aritmetičke progresije koja sadrži n članova izračunava se na sljedeći način:

Izbor formula za izračun ovisi o uvjetima zadataka i početnim podacima.

Prirodni niz bilo kojih brojeva kao što su 1,2,3,...,n,...- najjednostavniji primjer aritmetička progresija.

Osim aritmetičke progresije, postoji i geometrijska, koja ima svoja svojstva i karakteristike.

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Ciljevi lekcije:

• proširivanje i produbljivanje predodžbi učenika o zadacima rješavanim aritmetičkom progresijom; organiziranje aktivnosti pretraživanja učenika pri izvođenju formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije;
• razvoj sposobnosti za samostalno stjecanje novih znanja, korištenje već stečenih znanja za postizanje zadatka;
• razvoj želje i potrebe za generaliziranjem dobivenih činjenica, razvoj samostalnosti.

Zadaci:

• generalizirati i sistematizirati postojeće znanje o temi "Aritmetička progresija";
• izvesti formule za izračunavanje zbroja prvih n članova aritmetičke progresije;
• naučiti primijeniti dobivene formule u rješavanju različitih problema;
• skrenuti pozornost učenicima na postupak pronalaženja vrijednosti brojevnog izraza.

Oprema:

• kartice sa zadacima za rad u skupinama i parovima;
• evaluacijski rad;
• prezentacija"Aritmetička progresija".

I. Aktualizacija temeljnih znanja.

1. Samostalni rad u parovima.

1. opcija:

Definirajte aritmetičku progresiju. Zapišite rekurzivnu formulu koja definira aritmetičku progresiju. Navedite primjer aritmetičke progresije i označite njezinu razliku.

2. opcija:

Zapišite formulu za n-ti član aritmetičke progresije. Pronađite 100. član aritmetičke progresije ( a n}: 2, 5, 8 …
U ovom trenutku, dva učenika obrnuta strana ploče pripremaju odgovore na ista pitanja.
Učenici ocjenjuju rad partnera uspoređujući ga s pločom. (Predaju se letci s odgovorima).

2. Trenutak igre.

Vježba 1.

Učitelj, nastavnik, profesor. Zamislio sam neku aritmetičku progresiju. Postavite mi samo dva pitanja kako biste nakon odgovora mogli brzo imenovati 7. člana ove progresije. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Pitanja studenata.

1. Što je šesti član progresije i koja je razlika?
2. Što je osmi član progresije i koja je razlika?

Ako više nema pitanja, onda ih nastavnik može stimulirati - “zabrana” na d (razlika), odnosno nije dopušteno pitati koja je razlika. Možete postavljati pitanja: koji je 6. član progresije, a koji je 8. član progresije?

Zadatak 2.

Na ploči je napisano 20 brojeva: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učitelj stoji leđima okrenut ploči. Učenici izgovaraju broj broja, a učiteljica odmah naziva sam broj. Objasnite mi kako to mogu učiniti?

Nastavnik se sjeća formule n-tog člana a n \u003d 3n - 2 i, zamjenom zadanih vrijednosti n, pronalazi odgovarajuće vrijednosti a n .

II. Izjava obrazovnog zadatka.

Predlažem da riješimo stari problem koji datira iz 2. tisućljeća prije Krista, pronađen u egipatskim papirusima.

Zadatak:"Neka vam se kaže: podijelite 10 mjera ječma na 10 ljudi, razlika između svakog čovjeka i njegovog susjeda je 1/8 mjere."

• Kako se ovaj problem odnosi na temu aritmetičke progresije? (Svaka sljedeća osoba dobiva 1/8 mjere više, dakle razlika je d=1/8, 10 osoba, dakle n=10.)
• Što mislite što znači broj 10? (Zbroj svih članova progresije.)
• Što još trebate znati kako biste lako i jednostavno podijelili ječam prema stanju problema? (Prvi član progresije.)

Cilj lekcije- dobivanje ovisnosti zbroja članova progresije o njihovom broju, prvom članu i razlici te provjera je li zadatak bio ispravno riješen u antičko doba.

Prije izvođenja formule, pogledajmo kako su stari Egipćani riješili problem.

A riješili su to ovako:

1) 10 mjera: 10 = 1 mjera - prosječni udio;
2) 1 mjera ∙ = 2 mjere - udvostručeno prosjek udio.
udvostručen prosjek udio je zbroj udjela 5. i 6. osobe.
3) 2 mjere - 1/8 mjere = 1 7/8 mjere - dvostruki udio pete osobe.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - udio petine; i tako dalje, možete pronaći udio svake prethodne i sljedeće osobe.

Dobijamo slijed:

III. Rješenje zadatka.

1. Rad u skupinama

1. grupa: Nađi zbroj 20 uzastopnih prirodnih brojeva: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

Općenito

II grupa: Odredi zbroj prirodnih brojeva od 1 do 100 (Legenda o malom Gaussu).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Zaključak:

III grupa: Odredi zbroj prirodnih brojeva od 1 do 21.

Rješenje: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Zaključak:

IV grupa: Odredi zbroj prirodnih brojeva od 1 do 101.

Zaključak:

Ova metoda rješavanja razmatranih problema naziva se "Gaussova metoda".

2. Svaka skupina predstavlja rješenje zadatka na ploči.

3. Generalizacija predloženih rješenja za proizvoljnu aritmetičku progresiju:

a 1 , a 2 , a 3 ,…, a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Ovaj zbroj nalazimo argumentirajući na sličan način:

4. Jesmo li riješili zadatak?(Da.)

IV. Primarno razumijevanje i primjena dobivenih formula u rješavanju zadataka.

1. Provjera rješenja starog zadatka formulom.

2. Primjena formule u rješavanju raznih problema.

3. Vježbe za formiranje sposobnosti primjene formule u rješavanju zadataka.

A) Broj 613

dano :( i n) - aritmetička progresija;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Pronaći: S 1500

Riješenje: , i 1 = 1, i 1500 = 1500,

B) Dano: ( i n) - aritmetička progresija;
(i n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Pronaći: n
Riješenje:

V. Samostalni rad uz međusobnu provjeru.

Denis je otišao raditi kao kurir. U prvom mjesecu plaća mu je iznosila 200 rubalja, au svakom sljedećem mjesecu povećavala se za 30 rubalja. Koliko je zaradio u godinu dana?

dano :( i n) - aritmetička progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Pronaći: S 12
Riješenje:

Odgovor: Denis je dobio 4380 rubalja za godinu.

VI. Uputa za domaću zadaću.

1. p. 4.3 - naučiti izvođenje formule.
2. №№ 585, 623 .
3. Sastavite zadatak koji bi se riješio pomoću formule za zbroj prvih n članova aritmetičke progresije.

VII. Sažimanje lekcije.

1. Bodovi

2. Nastavi rečenice

• Danas sam na nastavi naučio...
• Naučene formule...
• Vjerujem da …

3. Znaš li pronaći zbroj brojeva od 1 do 500? Koju metodu ćete koristiti za rješavanje ovog problema?

Bibliografija.

1. Algebra, 9. razred. Udžbenik za obrazovne ustanove. ur. G.V. Dorofeeva. Moskva: Prosvjetljenje, 2009.

Da, da: aritmetička progresija nije igračka za vas :)

Pa prijatelji, ako čitate ovaj tekst, onda mi interni cap evidence govori da još uvijek ne znate što je aritmetička progresija, ali stvarno (ne, ovako: TAOOOO!) želite znati. Stoga vas neću mučiti dugim uvodima i odmah ću prijeći na posao.

Za početak par primjera. Razmotrite nekoliko skupova brojeva:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Što je zajedničko svim ovim setovima? Na prvi pogled ništa. Ali zapravo postoji nešto. Naime: svaki sljedeći element razlikuje se od prethodnog istim brojem.

Prosudite sami. Prvi skup su samo uzastopni brojevi, svaki veći od prethodnog. U drugom slučaju, razlika između susjednih brojeva već je jednaka pet, ali je ta razlika još uvijek konstantna. U trećem slučaju postoje korijeni općenito. Međutim, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, dok je $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, tj. u tom slučaju se svaki sljedeći element jednostavno povećava za $\sqrt(2)$ (i nemojte se bojati da je taj broj iracionalan).

Dakle: svi takvi nizovi nazivaju se samo aritmetičkim progresijama. Dajmo strogu definiciju:

Definicija. Niz brojeva u kojem se svaki sljedeći razlikuje od prethodnog za točno isti iznos naziva se aritmetička progresija. Sam iznos za koji se brojevi razlikuju naziva se razlika progresije i najčešće se označava slovom $d$.

Notacija: $\left(((a)_(n)) \right)$ je sama progresija, $d$ je njena razlika.

I samo nekoliko važnih napomena. Prvo, razmatra se samo napredovanje uredno niz brojeva: dopušteno ih je čitati strogo redoslijedom kojim su napisani - i ništa drugo. Ne možete presložiti ili zamijeniti brojeve.

Drugo, sam niz može biti konačan ili beskonačan. Na primjer, skup (1; 2; 3) je očito konačna aritmetička progresija. Ali ako napišete nešto poput (1; 2; 3; 4; ...) - to je već beskonačna progresija. Elipsa iza četiri, takoreći, nagovještava da dosta brojeva ide dalje. Beskrajno mnogo, na primjer. :)

Također bih želio primijetiti da se progresije povećavaju i smanjuju. Već smo vidjeli rastuće - isti skup (1; 2; 3; 4; ...). Evo primjera opadajuće progresije:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

OK OK: posljednji primjer može izgledati previše komplicirano. Ali ostalo, mislim, razumijete. Stoga uvodimo nove definicije:

Definicija. Aritmetička progresija se naziva:

1. raste ako je svaki sljedeći element veći od prethodnog;
2. opadajući, ako je, naprotiv, svaki sljedeći element manji od prethodnog.

Osim toga, postoje takozvani "stacionarni" nizovi - sastoje se od istog broja koji se ponavlja. Na primjer, (3; 3; 3; ...).

Ostaje samo jedno pitanje: kako razlikovati rastuću progresiju od one koja se smanjuje? Srećom, ovdje sve ovisi samo o predznaku broja $d$, tj. razlike u progresiji:

1. Ako je $d \gt 0$, tada progresija raste;
2. Ako je $d \lt 0$, tada je progresija očito opadajuća;
3. Konačno, tu je i slučaj $d=0$ — u ovom slučaju cijela progresija se svodi na stacionarni niz identičnih brojeva: (1; 1; 1; 1; ...), itd.

Pokušajmo izračunati razliku $d$ za tri gore navedene opadajuće progresije. Da biste to učinili, dovoljno je uzeti bilo koja dva susjedna elementa (na primjer, prvi i drugi) i od broja s desne strane oduzeti broj s lijeve strane. Izgledat će ovako:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Kao što vidite, u sva tri slučaja razlika je doista bila negativna. I sada kada smo više-manje shvatili definicije, vrijeme je da shvatimo kako se progresije opisuju i koja svojstva imaju.

Članovi progresijske i rekurentne formule

Budući da se elementi naših nizova ne mogu međusobno mijenjati, mogu se numerirati:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \desno\)\]

Pojedinačni elementi tog skupa nazivaju se članovima progresije. Tako se označavaju pomoću broja: prvi član, drugi član i tako dalje.

Osim toga, kao što već znamo, susjedni članovi progresije povezani su formulom:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\desna strelica ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Ukratko, da biste pronašli $n$-ti član progresije, trebate znati $n-1$-ti član i razliku $d$. Takva se formula naziva ponavljajućom, jer uz njezinu pomoć možete pronaći bilo koji broj, samo znajući prethodni (i zapravo sve prethodne). Ovo je vrlo nezgodno, pa postoji složenija formula koja svaki izračun svodi na prvi član i razliku:

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d\]

Vjerojatno ste već naišli na ovu formulu. Vole ga dati u svim vrstama referentnih knjiga i reshebnika. I u svakom razumnom udžbeniku matematike, jedan je od prvih.

Ipak, predlažem da malo vježbate.

Zadatak broj 1. Zapišite prva tri člana aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$ ako je $((a)_(1))=8,d=-5$.

Riješenje. Dakle, znamo prvi član $((a)_(1))=8$ i razliku progresije $d=-5$. Upotrijebimo upravo danu formulu i zamijenimo $n=1$, $n=2$ i $n=3$:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\lijevo(1-1 \desno)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\lijevo(2-1 \desno)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\lijevo(3-1 \desno)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \end(align)\]

Odgovor: (8; 3; -2)

To je sve! Imajte na umu da se naše napredovanje smanjuje.

Naravno, $n=1$ nije mogao biti zamijenjen - već znamo prvi član. No, zamjenom jedinice uvjerili smo se da i za prvi član naša formula funkcionira. U ostalim slučajevima sve se svodilo na banalnu aritmetiku.

Zadatak broj 2. Napiši prva tri člana aritmetičke progresije ako je njen sedmi član −40, a sedamnaesti član −50.

Riješenje. Stanje problema pišemo uobičajenim terminima:

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \desno.\]

\[\lijevo\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \pravo.\]

Stavljam znak sustava jer ti zahtjevi moraju biti ispunjeni istovremeno. I sada primjećujemo da ako oduzmemo prvu jednadžbu od druge jednadžbe (imamo pravo na to, jer imamo sustav), dobivamo ovo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\lijevo(((a)_(1))+6d \desno)=-50-\lijevo(-40 \desno); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\ & 10d=-10; \\&d=-1. \\ \end(align)\]

Upravo tako, pronašli smo razliku u progresiji! Ostaje zamijeniti pronađeni broj u bilo kojoj od jednadžbi sustava. Na primjer, u prvom:

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \kraj(matrica)\]

Sada, znajući prvi član i razliku, ostaje pronaći drugi i treći član:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \end(align)\]

Spreman! Problem riješen.

Odgovor: (-34; -35; -36)

Primijetite neobično svojstvo progresije koje smo otkrili: ako uzmemo $n$-ti i $m$-ti član i oduzmemo ih jedan od drugog, dobit ćemo razliku progresije pomnoženu s brojem $n-m$:

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \lijevo(n-m \desno)\]

Jednostavno, ali vrlo korisno svojstvo, što svakako morate znati - uz njegovu pomoć možete značajno ubrzati rješavanje mnogih problema u progresijama. Evo najboljeg primjera ovoga:

Zadatak broj 3. Peti član aritmetičke progresije je 8,4, a deseti član je 14,4. Pronađite petnaesti član ove progresije.

Riješenje. Budući da je $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, a mi trebamo pronaći $((a)_(15))$, bilježimo sljedeće:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \end(align)\]

Ali prema uvjetu $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, dakle $5d=6$, odakle imamo:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \end(align)\]

Odgovor: 20.4

To je sve! Nismo trebali sastavljati nikakve sustave jednadžbi i računati prvi član i razliku - sve je odlučeno u samo par redaka.

Razmotrimo sada drugu vrstu problema - potragu za negativnim i pozitivnim članovima progresije. Nije tajna da ako se progresija povećava, dok je njen prvi član negativan, tada će se prije ili kasnije u njemu pojaviti pozitivni termini. I obrnuto: uvjeti opadajuće progresije će prije ili kasnije postati negativni.

U isto vrijeme, nije uvijek moguće pronaći ovaj trenutak "na čelu", uzastopno sortirajući elemente. Često su problemi osmišljeni na način da bi bez poznavanja formula izračuni trajali nekoliko listova - samo bismo zaspali dok ne nađemo odgovor. Stoga ćemo te probleme pokušati riješiti na brži način.

Zadatak broj 4. Koliko negativnih članova u aritmetičkoj progresiji -38,5; -35,8; …?

Riješenje. Dakle, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, iz čega odmah nalazimo razliku:

Imajte na umu da je razlika pozitivna, tako da progresija raste. Prvi član je negativan, tako da ćemo doista u nekom trenutku naići na pozitivne brojeve. Pitanje je samo kada će se to dogoditi.

Pokušajmo saznati koliko dugo (tj. do kojeg prirodnog broja $n$) ostaje negativnost članova:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38,5+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 2,7 \lt 0;\kvad \lijevo| \cdot 10 \desno. \\ & -385+27\cdot \lijevo(n-1 \desno) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\desna strelica ((n)_(\max ))=15. \\ \end(align)\]

Posljednji redak treba pojasniti. Dakle, znamo da je $n \lt 15\frac(7)(27)$. S druge strane, odgovarat će nam samo cjelobrojne vrijednosti broja (štoviše: $n\in \mathbb(N)$), pa je najveći dopušteni broj upravo $n=15$, a nikako 16.

Zadatak broj 5. U aritmetičkoj progresiji $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Pronađite broj prvog pozitivnog člana ove progresije.

Ovo bi bio potpuno isti problem kao i prethodni, ali ne znamo $((a)_(1))$. Ali poznati su susjedni članovi: $((a)_(5))$ i $((a)_(6))$, tako da možemo lako pronaći razliku progresije:

Uz to, pokušajmo izraziti peti član u smislu prvog i razlike koristeći standardnu ​​formulu:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\lijevo(n-1 \desno)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \end(align)\]

Sada nastavljamo po analogiji s prethodnim problemom. Saznajemo na kojoj će se točki našeg niza pojaviti pozitivni brojevi:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\desna strelica ((n)_(\min ))=56. \\ \end(align)\]

Najmanje cjelobrojno rješenje ove nejednadžbe je broj 56.

Imajte na umu: u posljednji zadatak sve se svelo na strogu nejednakost, pa nam opcija $n=55$ neće odgovarati.

Sada kada smo naučili rješavati jednostavne probleme, prijeđimo na složenije. Ali prvo, naučimo još jedno vrlo korisno svojstvo aritmetičkih progresija, koje će nam uštedjeti puno vremena i nejednakih ćelija u budućnosti. :)

Aritmetička sredina i jednake uvlake

Razmotrimo nekoliko uzastopnih članova rastuće aritmetičke progresije $\left(((a)_(n)) \right)$. Pokušajmo ih označiti na brojevnom pravcu:

Članovi aritmetičke progresije na brojevnom pravcu

Posebno sam primijetio proizvoljne članove $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, a ne bilo koje $((a)_(1)) , \ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$ itd. Jer pravilo, koje ću vam sada reći, vrijedi isto za sve "segmente".

A pravilo je vrlo jednostavno. Sjetimo se rekurzivne formule i zapišimo je za sve označene članove:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \end(align)\]

Međutim, ove se jednakosti mogu prepisati drugačije:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \end(align)\]

Pa što onda? Ali činjenica da se pojmovi $((a)_(n-1))$ i $((a)_(n+1))$ nalaze na istoj udaljenosti od $((a)_(n)) $ . A ova udaljenost je jednaka $d$. Isto se može reći za pojmove $((a)_(n-2))$ i $((a)_(n+2))$ - oni su također uklonjeni iz $((a)_(n) )$ za istu udaljenost jednaku $2d$. Možete nastaviti unedogled, ali slika dobro ilustrira značenje

Članovi progresije leže na istoj udaljenosti od središta

Što to znači za nas? To znači da možete pronaći $((a)_(n))$ ako su susjedni brojevi poznati:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Izveli smo veličanstvenu tvrdnju: svaki član aritmetičke progresije jednak je aritmetičkoj sredini susjednih članova! Štoviše, možemo odstupiti od našeg $((a)_(n))$ ulijevo i udesno ne za jedan korak, već za $k$ koraka — i dalje će formula biti točna:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Oni. lako možemo pronaći neki $((a)_(150))$ ako znamo $((a)_(100))$ i $((a)_(200))$, jer $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. Na prvi pogled može se činiti da nam ta činjenica ne daje ništa korisno. Međutim, u praksi su mnogi zadaci posebno "izoštreni" za korištenje aritmetičke sredine. Pogledaj:

Zadatak broj 6. Pronađite sve vrijednosti od $x$ tako da su brojevi $-6((x)^(2))$, $x+1$ i $14+4((x)^(2))$ uzastopni članovi aritmetička progresija (u određenom redoslijedu).

Riješenje. Budući da su ti brojevi članovi progresije, za njih je zadovoljen uvjet aritmetičke sredine: središnji element $x+1$ može se izraziti preko susjednih elemenata:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \end(align)\]

Ispalo je klasično kvadratna jednadžba. Njegovi korijeni: $x=2$ i $x=-3$ su odgovori.

Odgovor: -3; 2.

Zadatak broj 7. Pronađite vrijednosti $$ tako da brojevi $-1;4-3;(()^(2))+1$ čine aritmetičku progresiju (tim redoslijedom).

Riješenje. Opet izražavamo srednji član u smislu aritmetičke sredine susjednih članova:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\kvad \lijevo| \cdot 2\desno.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \end(align)\]

Još jedna kvadratna jednadžba. I opet dva korijena: $x=6$ i $x=1$.

Odgovor: 1; 6.

Ako u procesu rješavanja problema dobijete neke brutalne brojke ili niste potpuno sigurni u točnost pronađenih odgovora, onda postoji prekrasan trik koji vam omogućuje da provjerite: jesmo li ispravno riješili problem?

Recimo da smo u zadatku 6 dobili odgovore -3 i 2. Kako možemo provjeriti jesu li ti odgovori točni? Uključimo ih u izvorno stanje i vidimo što će se dogoditi. Da vas podsjetim da imamo tri broja ($-6(()^(2))$, $+1$ i $14+4(()^(2))$, koji bi trebali činiti aritmetičku progresiju. Zamijenite $x=-3$:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \end(align)\]

Dobili smo brojeve -54; −2; 50 koji se razlikuju za 52 nedvojbeno je aritmetička progresija. Ista stvar se događa za $x=2$:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \end(align)\]

Opet progresija, ali s razlikom od 27. Dakle, zadatak je ispravno riješen. Oni koji žele mogu sami provjeriti drugi zadatak, ali odmah ću reći: i tamo je sve točno.

Uglavnom, rješavajući zadnje zadatke, naletjeli smo na još jedan zanimljiva činjenica, što također treba zapamtiti:

Ako su tri broja takva da je drugi prosjek prvog i posljednjeg, tada ti brojevi čine aritmetičku progresiju.

U budućnosti će nam razumijevanje ove izjave omogućiti doslovno "konstruiranje" potrebnih progresija na temelju uvjeta problema. Ali prije nego što se upustimo u takvu "konstrukciju", valja obratiti pozornost na još jednu činjenicu, koja izravno proizlazi iz već razmotrenog.

Grupiranje i zbroj elemenata

Vratimo se ponovno brojevnom pravcu. Tu bilježimo nekoliko članova progresije, između kojih možda. vrijedi puno drugih članova:

Na brojevnoj crti označeno 6 elemenata

Pokušajmo izraziti "lijevi rep" u terminima $((a)_(n))$ i $d$, a "desni rep" u terminima $((a)_(k))$ i $ d$. Vrlo je jednostavno:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \end(align)\]

Sada primijetite da su sljedeći zbrojevi jednaki:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \end(align)\]

Jednostavno rečeno, ako kao početak uzmemo u obzir dva elementa progresije, koji su ukupno jednaki nekom broju $S$, a zatim od tih elemenata počnemo koračati u suprotnim smjerovima (jedan prema drugom ili obrnuto da se udaljimo), zatim jednaki će biti i zbrojevi elemenata na koje ćemo se spotaknuti$S$. To se najbolje može grafički prikazati:

Iste alineje daju jednake zbrojeve

Razumijevanje ova činjenica omogućit će nam da suštinski više riješimo probleme visoka razina složenosti od onih o kojima se gore raspravljalo. Na primjer, ove:

Zadatak broj 8. Odredite razliku aritmetičke progresije u kojoj je prvi član 66, a umnožak drugog i dvanaestog člana najmanji mogući.

Riješenje. Zapišimo sve što znamo:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \end(align)\]

Dakle, ne znamo razliku progresije $d$. Zapravo, cijelo će se rješenje izgraditi oko razlike, budući da se umnožak $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ može prepisati na sljedeći način:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\lijevo(66+d \desno)\cdot \lijevo(66+11d \desno)= \\ & =11 \cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno). \end(align)\]

Za one u spremniku: izbacio sam zajednički faktor 11 iz druge zagrade. Dakle, željeni umnožak je kvadratna funkcija u odnosu na varijablu $d$. Stoga, razmotrite funkciju $f\lijevo(d \desno)=11\lijevo(d+66 \desno)\lijevo(d+6 \desno)$ - njen graf će biti parabola s granama prema gore, jer otvorimo li zagrade, dobivamo:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Kao što vidite, koeficijent na najvišem članu je 11 - to je pozitivan broj, tako da stvarno imamo posla s parabolom s granama prema gore:

graf kvadratne funkcije – parabola

Imajte na umu: ova parabola dobiva svoju najmanju vrijednost na svom vrhu s apscisom $((d)_(0))$. Naravno, ovu apscisu možemo izračunati prema standardnoj shemi (postoji formula $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), ali bilo bi mnogo razumnije da imajte na umu da željeni vrh leži na osnoj simetriji parabole, pa je točka $((d)_(0))$ jednako udaljena od korijena jednadžbe $f\left(d \right)=0$:

\[\begin(align) & f\left(d\right)=0; \\ & 11\cdot \lijevo(d+66 \desno)\cdot \lijevo(d+6 \desno)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \end(align)\]

Zato nisam žurio otvoriti zagrade: u izvornom obliku, korijenje je bilo vrlo, vrlo lako pronaći. Dakle, apscisa je jednaka aritmetičkoj sredini brojeva −66 i −6:

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Što nam daje otkriveni broj? Uz to, traženi proizvod zauzima najmanja vrijednost(Usput, nismo izračunali $((y)_(\min ))$ - nismo obavezni to učiniti). Ujedno, ovaj broj je razlika početne progresije, tj. našli smo odgovor. :)

Odgovor: -36

Zadatak broj 9. Između brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac(1)(6)$ umetnite tri broja tako da zajedno sa zadanim brojevima čine aritmetičku progresiju.

Riješenje. Zapravo, moramo napraviti niz od pet brojeva, s prvim i posljednji broj već poznato. Brojeve koji nedostaju označimo varijablama $x$, $y$ i $z$:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \desno\ )\]

Imajte na umu da je broj $y$ "sredina" našeg niza - jednako je udaljen od brojeva $x$ i $z$, te od brojeva $-\frac(1)(2)$ i $-\frac (1)( 6)$. A ako smo od brojeva $x$ i $z$ u ovaj trenutak ne možemo dobiti $y$, onda je situacija drugačija s krajevima progresije. Zapamtite aritmetičku sredinu:

Sada, znajući $y$, pronaći ćemo preostale brojeve. Imajte na umu da se $x$ nalazi između $-\frac(1)(2)$ i $y=-\frac(1)(3)$ upravo pronađeno. Zato

Raspravljajući na sličan način, nalazimo preostali broj:

Spreman! Pronašli smo sva tri broja. Zapišimo ih u odgovor redoslijedom kojim ih treba umetnuti između izvornih brojeva.

Odgovor: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Zadatak broj 10. Između brojeva 2 i 42 upiši nekoliko brojeva koji sa zadanim brojevima čine aritmetičku progresiju, ako je poznato da je zbroj prvog, drugog i zadnjeg uvrštenog broja 56.

Riješenje. Još teži zadatak, koji se, međutim, rješava na isti način kao i prethodni - kroz aritmetičku sredinu. Problem je što ne znamo točno koliko brojeva ubaciti. Stoga, radi određenosti, pretpostavljamo da će nakon umetanja biti točno $n$ brojeva, od kojih je prvi 2, a posljednji 42. U ovom slučaju željena aritmetička progresija može se prikazati kao:

\[\lijevo(((a)_(n)) \desno)=\lijevo\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \desno\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Imajte na umu, međutim, da su brojevi $((a)_(2))$ i $((a)_(n-1))$ dobiveni iz brojeva 2 i 42 koji stoje na rubovima jedan korak jedan prema drugom , tj. u središte niza. A ovo znači to

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Ali tada se gornji izraz može prepisati ovako:

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \lijevo(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \desno)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \end(align)\]

Poznavajući $((a)_(3))$ i $((a)_(1))$, lako možemo pronaći razliku progresije:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\lijevo(3-1 \desno)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\desna strelica d=5. \\ \end(align)\]

Ostaje samo pronaći preostale članove:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \end(align)\]

Tako ćemo već na 9. koraku doći do lijevog kraja niza - broja 42. Ukupno je trebalo umetnuti samo 7 brojeva: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Odgovor: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Tekstualni zadaci s napredovanjem

Zaključno, želio bih razmotriti nekoliko relativno jednostavnih problema. Pa one jednostavne: većini učenika koji u školi uče matematiku, a nisu pročitali što je gore napisano, ovi se zadaci mogu činiti kao gesta. Ipak, upravo se takvi zadaci susreću u OGE i USE iz matematike, pa preporučujem da se upoznate s njima.

Zadatak broj 11. Tim je u siječnju izradio 62 dijela, au svakom sljedećem mjesecu proizveli su 14 dijelova više nego u prethodnom. Koliko je dijelova brigada proizvela u studenom?

Riješenje. Očito, broj dijelova, oslikanih po mjesecima, bit će sve veća aritmetička progresija. I:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Studeni je 11. mjesec u godini, pa moramo pronaći $((a)_(11))$:

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Dakle, u studenom će biti proizvedena 202 dijela.

Zadatak broj 12. Knjigoveška radionica je u siječnju ukoričila 216 knjiga, a svaki mjesec je uvezala 4 knjige više nego prethodni mjesec. Koliko je knjiga uvezano na radionici u prosincu?

Riješenje. Sve isto:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\lijevo(n-1 \desno)\cdot 4. \\ \end(align)$

Prosinac je posljednji, 12. mjesec u godini, pa tražimo $((a)_(12))$:

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Ovo je odgovor – u prosincu će biti ukoričeno 260 knjiga.

Pa, ako ste dovde pročitali, žurim vam čestitati: uspješno ste završili “tečaj za mladog borca” u aritmetičkim progresijama. Možete sigurno otići na sljedeća lekcija, gdje ćemo proučiti formulu zbroja progresije, kao i važne i vrlo korisne posljedice iz nje.

Ili aritmetika - ovo je vrsta uređenog numeričkog niza, čija se svojstva proučavaju u školskom tečaju algebre. Ovaj članak detaljno raspravlja o tome kako pronaći zbroj aritmetičke progresije.

Što je ovo napredovanje?

Prije nego što pređemo na razmatranje pitanja (kako pronaći zbroj aritmetičke progresije), vrijedi razumjeti o čemu će se raspravljati.

Svaki niz realnih brojeva koji se dobije dodavanjem (oduzimanjem) neke vrijednosti svakom prethodnom broju naziva se algebarska (aritmetička) progresija. Ova definicija, prevedena na jezik matematike, ima oblik:

Ovdje je i redni broj elementa niza a i . Dakle, znajući samo jedan početni broj, možete lako vratiti cijelu seriju. Parametar d u formuli naziva se razlika progresije.

Lako se može pokazati da za razmatrani niz brojeva vrijedi sljedeća jednakost:

a n \u003d a 1 + d * (n - 1).

To jest, da biste pronašli vrijednost n-tog elementa po redu, dodajte razliku d prvom elementu a 1 n-1 puta.

Koliki je zbroj aritmetičke progresije: formula

Prije nego što date formulu za navedeni iznos, vrijedi razmotriti jednostavnu poseban slučaj. S obzirom na progresiju prirodnih brojeva od 1 do 10, trebate pronaći njihov zbroj. Budući da ima malo članova u progresiji (10), moguće je problem riješiti direktno, odnosno zbrojiti sve elemente redom.

S 10 \u003d 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 \u003d 55.

Vrijedno je razmotriti jednu zanimljivu stvar: budući da se svaki član razlikuje od sljedećeg za istu vrijednost d \u003d 1, tada će parno zbrajanje prvog s desetim, drugog s devetim i tako dalje dati isti rezultat . Stvarno:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Kao što vidite, postoji samo 5 ovih zbrojeva, odnosno točno dva puta manje od broja elemenata u nizu. Zatim množenjem broja zbrojeva (5) s rezultatom svakog zbroja (11) doći ćete do rezultata dobivenog u prvom primjeru.

Ako generaliziramo ove argumente, možemo napisati sljedeći izraz:

S n \u003d n * (a 1 + a n) / 2.

Ovaj izraz pokazuje da uopće nije potrebno zbrajati sve elemente u nizu, dovoljno je znati vrijednost prvog a 1 i posljednjeg a n , a također ukupni broj pojmovi n.

Vjeruje se da je Gauss prvi put pomislio na ovu jednakost kada je tražio rješenje problema koji mu je postavio njegov učitelj: zbrojiti prvih 100 cijelih brojeva.

Zbroj elemenata od m do n: formula

Formula navedena u prethodnom odlomku odgovara na pitanje kako pronaći zbroj aritmetičke progresije (prvih elemenata), no često je u zadacima potrebno zbrojiti niz brojeva u sredini progresije. Kako to učiniti?

Na ovo pitanje najlakše ćemo odgovoriti na sljedećem primjeru: neka je potrebno pronaći zbroj članova od m-tog do n-tog. Da bismo riješili problem, zadani segment od m do n progresije treba predstaviti kao novi niz brojeva. U takvim reprezentacija m-thčlan a m će biti prvi, a a n će biti označen brojem n-(m-1). U ovom slučaju, primjenom standardne formule za zbroj, dobit će se sljedeći izraz:

S m n \u003d (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Primjer korištenja formula

Znajući kako pronaći zbroj aritmetičke progresije, vrijedi razmotriti jednostavan primjer korištenja gornjih formula.

U nastavku je dano brojčani niz, trebali biste pronaći zbroj njegovih članova, počevši od 5. do 12.:

Zadani brojevi pokazuju da je razlika d jednaka 3. Pomoću izraza za n-ti element možete pronaći vrijednosti 5. i 12. člana progresije. Ispada:

a 5 \u003d a 1 + d * 4 \u003d -4 + 3 * 4 \u003d 8;

a 12 \u003d a 1 + d * 11 \u003d -4 + 3 * 11 \u003d 29.

Znajući vrijednosti brojeva na krajevima algebarske progresije koja se razmatra, a također znajući koje brojeve u nizu zauzimaju, možete koristiti formulu za zbroj dobiven u prethodnom odlomku. Dobiti:

S 5 12 \u003d (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 \u003d 148.

Vrijedno je napomenuti da se ova vrijednost može dobiti na drugačiji način: prvo, pronađite zbroj prvih 12 elemenata pomoću standardne formule, zatim izračunajte zbroj prva 4 elementa koristeći istu formulu, a zatim oduzmite drugi od prvog zbroja .